湖南省岳阳市第一中学高考数学中“平面向量多选题”的类型分析含解析

湖南省岳阳市第一中学高考数学中“平面向量多选题”的类型分析含解析
一、平面向量多选题
1．已知向量(2
2cos m x =，()1, sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数
()y f x =的性质的描述正确的是 （ ）
A ．()f x 的最大值为3
B ．()f x 的周期为π
C ．()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 D ．()f x 在,03π⎛-
⎫
⎪⎝⎭
上是增函数 【答案】ABD 【分析】
运用数量积公式及三角恒等变换化简函数()f x ，根据性质判断. 【详解】
解：()2
2cos 2cos221f x m n x x x x =⋅==+2sin 216x π⎛⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
， 当6
x k π
π=
+，()k Z ∈时，()f x 的最大值为3，选项A 描述准确；
()f x 的周期22
T π
π=
=,选项B 描述准确； 当512x π=
时，2sin 2116x π⎛⎫++= ⎪
⎝⎭，所以()f x 的图象关于点5,112π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，选项C 描述不准确；
当,03x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
时，
2,626x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以()f x 在,03π⎛-⎫
⎪⎝⎭上是增函数，选项D 描述准确. 故选：ABD. 【点睛】
本题考查三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题.
2．已知集合()(){}=
,M x y y f x =,若对于()1
1
,x y M ∀∈,()2
2
,x y M ∃∈,使得
12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集
合:(){}2
1,1M x y y x =
=+;(){2
,M x y y ==
;(){}3,x
M x y y e =
=;
(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( )
A ．1M
B ．2M
C ．3M
D ．4M
【答案】BD 【分析】
根据题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点
P '，使得OP OP '⊥，结合函数图象即可判断．
【详解】
由题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点
P '，使得OP OP '⊥．
在21y x =+的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以1M 不是“互垂点集”集合； 对1y x =
+的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点，
所以在2M 中的任意点()11,P x y ，在2M 中存在另一个P '，使得OP OP '⊥， 所以2M 是“互垂点集”集合；
在x
y e =的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以3M 不是“互垂点
集”集合；
对sin 1y x =+的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以4M 是“互垂点集”集合， 故选：BD ． 【点睛】
本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题．
3．如图，A ､B 分别是射线OM ､ON 上的点，下列以O 为起点的向量中，终点落在阴影区域内的向量是（ ）
A ．2OA O
B + B ．1123OA OB +
C ．
31
43
OA OB + D ．
3145
OA OB + 【答案】AC 【分析】
利用向量共线的条件可得：当点P 在直线AB 上时，等价于存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得OP uOA vOB =+成立，且u +v =1.可以证明点P 位于阴影区域内等价于：
OP uOA vOB =+，且u >0，v >0，u +v >1.据此即可判断出答案.
由向量共线的条件可得：当点P 在直线AB 上时，存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得
OP uOA vOB =+成立，且u +v =1.
可以证明点P 位于阴影区域内等价于： OP uOA vOB =+，且u >0，v >0，u +v >1. 证明如下：如图所示，
点P 是阴影区域内的任意一点，过点P 作PE //ON ，PF //OM ，分别交OM ，ON 于点E ，F ；
PE 交AB 于点P ′，过点P ′作P ′F ′//OM 交ON 于点F ′，
则存在唯一一对实数(x ，y )，(u ′，v ′)，使得OP xOE yOF u OA v OB ''''=+=+，且u ′+v ′=1，u ′，v ′唯一；
同理存在唯一一对实数x ′，y ′使得OP x OE y OF uOA vOB =+=+''， 而x ′=x ，y ′>y ，∴u =u ′，v >v ′，∴u +v >u ′+v ′=1，
对于A ，∵1+2>1，根据以上结论，∴点P 位于阴影区域内，故A 正确； 对于B ，因为11
123
+<，所以点P 不位于阴影区域内，故B 不正确； 对于C ，因为311314312
+=>，所以点P 位于阴影区域内，故C 正确； 对于D ，因为311914520
+=<，所以点P 不位于阴影区域内，故D 不正确； 故选：AC. 【点睛】
关键点点睛：利用结论：①点P 在直线AB 上等价于存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得
OP uOA vOB =+成立，且u +v =1；②点P 位于阴影区域内等价于OP uOA vOB =+，且u >0，v >0，u +v >1求解是解题的关键.
4．已知向量(2,1),(3,1)a b ==-，则（ ） A ．()a b a +⊥
B ．|2|5a b +=
C ．向量a 在向量b 上的投影是22
D ．向量a 的单位向量是255⎝⎭
【答案】ABD
多项选择题需要要对选项一一验证: 对于A:利用向量垂直的条件判断； 对于B:利用模的计算公式； 对于C:利用投影的计算公式； 对于D:直接求单位向量即可． 【详解】
(2,1),(3,1)a b ==-
对于A: (1,2),()(1)2210,a b a b a +=-+⋅=-⨯+⨯=∴()a b a +⊥，故A 正确；
对于B:
222(2,1)2(3,1)(4,3),|2|(4)35a b a b +=+-=-∴+=-+=，故B 正确；
对于C: 向量a 在向量b 上的投影是2210
2||(3)1a b b ⋅==--+，故C 错误；
对于D: 向量a 的单位向量是255,55⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，故D 正确．
故选：ABD ． 【点睛】
多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．
5．在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，2DE EC =，AE 交BD 于F 且
2AE BD ⋅=-，则下列说法正确的有（ ）
A ．1233AE AC AD =+
B ．2
5
DF DB =
C ．,3
AB AD π
=
D ．27
25
FB FC ⋅=
【答案】BCD 【分析】
根据向量的线性运算，以及向量的夹角公式，逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】
对于选项A ：()
222
33
133AE AD DE AD DC AD AD D C A A A C =+=+=+-=+，故选项A 不正确；
对于选项B ：易证DEF BFA ，所以
23DF DE BF AB ==，所以22
35
DF FB DB ==，故选项B 正确；
对于选项C ：2AE BD ⋅=-，即()
223AD A B D AB A ⎛
⎫
+
-=- ⎪⎝⎭
，所以 2221233AD AD AB AB -⋅-=-，所以114233
2
AD AB -⋅-⨯=-，解得：1AB AD ⋅=，
11
cos ,212
AB AD AB AD AB AD
⋅=
=
=⨯⨯，因为[],0,AB AD π∈，所以,3
AB AD π
=
，
故选项C 正确； 对于选项D ：()()
33
255
5AB FB FC DB FD DC AD BD AB ⎛⎫
⋅=
⋅+=-⋅+ ⎪⎝⎭
()(
)(
)
3
23
325
55
55AD AD AB AB AD A AB AB B AD ⎡⎤⎛⎫
=
-⋅-+=-⋅+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
229693627
34252525252525AB AB AD AD =
⨯-⋅-⨯=⨯--=，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】
关键点点睛：选项B 的关键点是能得出DEF BFA ，即可得
2
3
DF DE BF AB ==，选项D 的关键点是由于AB 和AD 的模长和夹角已知，故将FB 和FC 用AB 和AD 表示，即可求出数量积.
6．给出下列结论，其中真命题为（ ） A ．若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =
B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22
()a b a b ⋅=⋅ C ．若非零向量a 、b 满足2
2
2
a b
a b +=+，则a 与b 垂直
D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2
π 【答案】CD 【分析】
对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出
()
()()
2
2
2
a b a b ⋅≠⋅，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题
是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2
π
，所以该命题是真命题. 【详解】
对于A ，若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题； 对于B ，()(
)
2
2
2
2
2cos cos a b
a b a b α
α⋅==，而()()
2
2
2
2
a b
a b ⋅=，
由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2
cos 1α≠，所以()()()2
2
2
a b a b ⋅≠⋅，
所以该命题是假命题；
对于C ，若非零向量a 、b 满足2
2
2
a b
a b +=+，22222a b a b a b ++⋅=+，所以
0a b ⋅=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题；
对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂直，所以向量a b +与a b -的夹角是2
π
，所以该命题是真命题. 故选：CD. 【点睛】
本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.
7．在三棱锥P ABC -中，三条侧棱,,PA PB PC 两两垂直，且3PA PB PC ===，G 是
PAB △的重心，E ，F 分别为,BC PB 上的点，且::1:2BE EC PF FB ==，则下列说法正确的是（ ） A ．EG PG ⊥ B ．EG BC ⊥ C ．//FG BC D ．FG EF ⊥ 【答案】ABD 【分析】
取,,PA a PB b PC c ===，以{},,a b c 为基底表示EG ，FG ，EF ，结合向量数量积运算性质、向量共线定理即可选出正确答案. 【详解】
如图，设,,PA a PB b PC c ===，则{},,a b c 是空间的一个正交基底， 则0a b a c b c ⋅=⋅=⋅=，取AB 的中点H ，则22111()33233
PG PH a b a b =
=⨯+=+， 1121111
,3333333EG PG PE a b b c a b c BC c b =-=+--=--=-，
1111
3333
FG PG PF a b b a =-=+-=，
11
21133
333EF PF PE b c b c b ⎛⎫=-=-+=-- ⎪⎝⎭，
∴0EG PG ⋅=，A 正确；0EG BC ⋅=，B 正确；()FG BC R λλ≠∈，C 不正确；
0FG EF ⋅=，D 正确.
故选:ABD.
【点睛】
本题考查了平面向量共线定理，考查了由数量积求两向量的位置关系，考查了平面向量基本定理的应用，属于中档题.
8．已知向量(4,3)a k =，(4,3)b k =，则（ ） A ．若a b ⊥，则0k = B ．若//a b ，则1k =
C ．若a b >，则1k <
D ．若a b a b +=-，则a b ⊥
【答案】AD 【分析】
先根据a b ⊥建立方程44330k k ⨯+⨯=解得0k =，判断选项A 正确；再根据//a b ，建立方程(4,3)(4,3)k k λ=解得1k =±，判断选项B 错误；接着根据a b >建立不等式
22224(3)(4)3k k +>+解得11k -<<，判断选项C 错误；最后根据
a b a b +=-，化简整理得到a b ⊥，判断选项D 正确.
【详解】
解：因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b ⊥，则44330k k ⨯+⨯=，解得0k =，故选项A 正确；
因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，//a b ，则λa b ，即(4,3)(4,3)k k λ=，解得1k =±，
故选项B 错误；
因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b >，则22224(3)(4)3k k +>+，解得
11k -<<，故选项C 错误；
因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b a b +=-，则0a b ⋅=，0a ≠，0b ≠，所以
a b ⊥，故选项D 正确. 故答案为：AD. 【点睛】
本题考查利用向量垂直求参数、利用向量共线求参数、根据向量的模的大小关系求参数的范围、利用向量的运算判断向量垂直，是中档题.
9．设O ，A ，B 是平面内不共线的三点，若()1,2,3n OC OA nOB n =+=，则下列选项正确的是（ ）
A ．点1C ，2C ，3C 在同一直线上
B ．123O
C OC OC ==
C ．123OC OB OC OB OC OB ⋅<⋅<⋅
D ．123OC OA OC OA OC OA ⋅<⋅<⋅
【答案】AC 【分析】
利用共线向量定理和向量的数量积运算，即可得答案； 【详解】
()
12212()C C OC OC OA OB OA OB OB =-=+-+=，()()2332
32C C OC OC OA OB OA OB OB =-=+-+=，所以1
2
23C C
C C =，A 正确.
由向量加法的平行四边形法则可知B 不正确.
21OC OA OC OA OA OB ⋅-⋅=⋅，无法判断与0的大小关系，而()
2
1OC OB OA OB OB OA OB OB ⋅=+⋅=⋅+，
()2
2
22OC OB OA OB OB OA OB OB
⋅=+⋅=⋅+，
同理2
33OC OB OA OB OB ⋅=⋅+，所以C 正确，D 不正确. 故选：AC . 【点睛】
本题考查向量共线定理和向量的数量积，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
10．下列各式结果为零向量的有（ ） A ．AB BC AC ++ B ．AB AC BD CD +++ C ．OA OD AD -+ D ．NQ QP MN MP ++-
【答案】CD 【分析】
对于选项A ，2AB BC AC AC ++=,所以该选项不正确；对于选项B ，
2AB AC BD CD AD +++=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD -+=,所
以该选项正确；对于选项D ，0NQ QP MN MP ++-=，所以该选项正确. 【详解】
对于选项A ，2AB BC AC AC AC AC ++=+=,所以该选项不正确；
对于选项B ，()()2AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD AD +++=+++=+=，所
以该选项不正确；
对于选项C ，0OA OD AD DA AD -+=+=,所以该选项正确； 对于选项D ，0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=，所以该选项正确. 故选：CD 【点睛】
本题主要考查平面向量的加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。