浙江省舟山市重点中学2025届高三第二次(5月)调研数学试题试卷

浙江省舟山市重点中学2025届高三第二次（5月）调研数学试题试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．为得到函数πcos 23y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）
A ．向右平移5π
6个长度单位 B ．向右平移
5π
12个长度单位 C ．向左平移5π
6
个长度单位
D ．向左平移5π
12
个长度单位
2．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ） A ．15︒ B ．30︒
C ．45︒
D ．60︒
3．
中，如果
，则
的形状是（ ）
A ．等边三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰直角三角形
4．已知()22log 217y x x =-+的值域为[),m +∞，当正数a ，b 满足
21
32m a b a b
+=++时，则74a b +的最小值为（ ） A ．
94
B ．5
C ．
522
4
+ D ．9
5．已知函数，其中04?,?04b c ≤≤≤≤，记函数满足条件：(2)12
{
(2)4
f f ≤-≤为事件A ，则事件A
发生的概率为 A ．
14
B ．
58
C ．38
D ．
12
6．已知命题p ：1m =“”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：函数4
()f x x x
=+的最小值为4. 给出下列命题：①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()()p q ⌝∧⌝，其中真命题的个数为( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．复数21i
z i
=-（i 为虚数单位），则z 等于（ ） A ．3 B ．22 C ．2
D ．2
8．正方形ABCD 的边长为2，E 是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且2AE AC ⋅=，则()2
AE AC +的最小
值为（ ） A ．
232
B ．12
C ．
252
D ．13
9．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若563a a =，则3132310log log log a a a +++=（ ）
A ．31log 5+
B ．6
C ．4
D ．5
10．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱 AB ，BC ，1CC 的中点，M 为棱AD 的中点，设P ，Q 为底面ABCD 内的两个动点，满足1//D P 平面EFG ，1
17DQ =，则PM PQ +的最小值为（ ）
A ．321
B ．322
C ．251
D ．252
11．曲线2
4x y =在点()2,t 处的切线方程为（ ） A ．1y x =-
B ．23y x =-
C ．3y x =-+
D ．25y x =-+
12．已知函数21
,0()2ln(1),0
x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨
⎪+≥⎩，若函数()()g x f x kx =-有三个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．112⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
B ．112⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
C ．(0,1)
D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知实数1,2a b ≥，且22
,a a b b -=-由22b a M a b
=+的最大值是_________
14．函数()3sin()0,
2f x x π
ωϕϕϕπ⎛⎫
=+><< ⎪⎝
⎭
的图像如图所示，则该函数的最小正周期为________.
15．若椭圆C ：22
211
x y m m +=-的一个焦点坐标为()0,1，则C 的长轴长为_______．
16．已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，满足{}{}{}123123,,,,,,2a a a b b b a b ==-，其中0a >，0b >，则+a b 的值为_______________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）设k ∈R ，函数()()g x k x e =-，其中e 为自然对数的底数.
（1）设函数()1ln x
f x x
=
-.
①若1k =-，试判断函数()f x 与()g x 的图像在区间)e 上是否有交点； ②求证：对任意的k ∈R ，直线()y g x =都不是()y f x =的切线；
（2）设函数()2ln ()h x x x x xg x ekx =-+-，试判断函数()h x 是否存在极小值，若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.
18．（12分）已知矩阵1221M ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦，1001⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
MN . ()1求矩阵N ； ()2求矩阵N 的特征值.
19．（12分）等比数列{}n a 中，1752,4a a a ==． (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)记n S 为{}n a 的前n 项和．若126m S =，求m ．
20．（12分）已知函数()2|2|f x x m =--(0)m >，若(2)0f x +<的解集为()2,2-．
（1）求m 的值；
（2）若正实数a ，b ，c 满足23++=a b c m ，求证：
1119234
a b c ++≥． 21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量()cos ,sin a αα=，
cos ,sin 44b ππαα⎛⎫⎛⎫
⎛
⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭⎝
⎭，其中02πα<<. （1）求()
b a a -⋅的值； （2）若()1,1
c =，且()
b c
+a ，求α的值.
22．（10分）已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>与x 轴负半轴交于()2,0A -，离心率12e =.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于()()1122,,,M x y N x y 两点，连接AM ,AN 并延长交直线x =4于
()()3344,,,E x y F x y 两点，若
1234
1111
y y y y +=+，直线MN 是否恒过定点，如果是，请求出定点坐标，如果不是，请说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解题分析】
55cos(2)sin(2)sin(2)sin 2()332612y x x x x πππππ=+=++=+=+，所以要的函数cos(2)3
y x π
=+的图象，只需将
函数sin 2y x =的图象向左平移512
π
个长度单位得到，故选D
2、D 【解题分析】
设圆锥的母线长为l ,底面半径为R ,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得2l R =即可得圆锥轴截面底角的大小.
【题目详解】
设圆锥的母线长为l ,底面半径为R ,则有2222R Rl R R ππππ+=+,解得2l R =,所以圆锥轴截面底角的余弦值是
1
2
R l =,底角大小为60︒. 故选：D 【题目点拨】
本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题. 3、B 【解题分析】 化简得lg cos A ＝lg ＝﹣lg 2，即
，结合
， 可求
，得
代入sinC ＝sinB ，从而可求
C ，B ，进而可判断. 【题目详解】 由，可得lg cos A ＝＝﹣lg 2，∴
，
∵，∴
，
，∴sin C ＝sin B ＝
＝
，∴tanC ＝，C ＝，B ＝.
故选：B 【题目点拨】
本题主要考查了对数的运算性质的应用，两角差的正弦公式的应用，解题的关键是灵活利用基本公式，属于基础题． 4、A 【解题分析】 利用()2
2
log 217y x
x =-+的值域为[),m +∞,求出m ,再变形,利用1的代换,即可求出74a b +的最小值.
【题目详解】
解：∵()
()2
2
22log 217log 116y x x x ⎡⎤=-+=-+⎣⎦
的值域为[
),m +∞, ∴4m =, ∴
41
4622a b a b
+=++,
∴()()14
1746224622a b a b a b a b a b ⎛⎫+=
++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭
()()4216219
554426244
a b a b a b a b +⎡⎤+=++≥⨯+=⎢⎥++⎣⎦, 当且仅当
()4262262a b a b a b a b
++=
++时取等号,
∴74a b +的最小值为94
. 故选：A. 【题目点拨】
本题主要考查了对数复合函数的值域运用,同时也考查了基本不等式中“1的运用”,属于中档题. 5、D 【解题分析】 由(2)12{
(2)4f f ≤-≤得4212424b c b c ++≤⎧⎨-+≤⎩，分别以,b c 为横纵坐标建立如图所示平面直角坐标系，由图可知，()1
2
P A =.
6、A 【解题分析】
先由两直线垂直的条件判断出命题p 的真假，由基本不等式判断命题q 的真假，从而得出p ,q 的非命题的真假，继而判断复合命题的真假，可得出选项. 【题目详解】
已知对于命题p ，由2110m ⨯-=得1m =±，所以命题p 为假命题； 关于命题q ，函数4
()f x x x
=+
， 当0x >时，44
()4f x x x x x
=+
≥⋅=，当4x x =即2x =时，取等号，
当0x <时，函数4
()f x x x
=+没有最小值， 所以命题q 为假命题.
所以p ⌝
和q ⌝
是真命题，
所以p q ∧为假命题，p q ∨为假命题，⌝∧p q 为假命题，⌝⌝∧p q 为真命题，所以真命题的个数为1个. 故选：A.
本题考查直线的垂直的判定和基本不等式的应用，以及复合命题的真假的判断，注意运用基本不等式时，满足所需的条件，属于基础题. 7、D 【解题分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简z ，从而求得z ，然后直接利用复数模的公式求解. 【题目详解】
()()()
()21211111i i i z i i i i i i +=
==+=-+--+，
所以1z i =--，z =， 故选：D. 【题目点拨】
该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于基础题目. 8、C 【解题分析】
分别以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴建立平面直角坐标系，设(,)E x y ，根据2AE AC ⋅=，可求1x y +=，而
2
2
2()(2)(2)AE
AC x
y
，化简求解.
【题目详解】
解：建立以A 为原点，以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴的平面直角坐标系.设(,)E x y ，(0,2)x ∈，(0,2)y ∈，则
(,)AE x y =，(2,2)AC =，由2AE AC ⋅=，即222x y +=，得1x y +=.所以
2
2
2
()(2)(2)AE
AC x
y 22
4()8x y x y
22213x x =21252()2
2
x
，所以当1
2x =时，2()AE
AC 的最小值为
25
2
. 故选：C. 【题目点拨】
本题考查向量的数量积的坐标表示，属于基础题. 9、D 【解题分析】
由对数运算法则和等比数列的性质计算．
由题意313231031210log log log log ()a a a a a a ++
+=
53563563log ()5log ()5log 35a a a a ====．
故选：D ． 【题目点拨】
本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则．掌握等比数列的性质是解题关键． 10、C 【解题分析】
把截面EFG 画完整，可得P 在AC 上，由1
17DQ =知Q 在以D 为圆心1为半径的四分之一圆上，利用对称性可得PM PQ +的最小值．
【题目详解】
如图，分别取11111,,C D D A A A 的中点,,H I J ，连接,,,GH HI IJ JE ，易证,,,,,E F G H I J 共面，即平面EFG 为截面
EFGHIJ ，连接11,,AD D C AC ，由中位线定理可得//AC EF ，AC ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG ，则//AC 平
面EFG ，同理可得1//AD 平面EFG ，由1AC AD A =可得平面1AD C //平面EFG ，又1//D P 平面EFG ，P 在
平面ABCD 上，∴P AC ∈．
正方体中1DD ⊥平面ABCD ，从而有1DD DQ ⊥，∴22111DQ D Q DD =-=，∴Q 在以D 为圆心1为半径的四
分之一圆（圆在正方形ABCD 内的部分）上， 显然M 关于直线AC 的对称点为E ，
22421251PM PQ PE PQ PE PD DQ ED DQ +=+≥+-≥-=+=，当且仅当,,,E P Q D 共线时取等号，
∴所求最小值为251．
故选：C ． 【题目点拨】
本题考查空间距离的最小值问题，解题时作出正方体的完整截面求出P 点轨迹是第一个难点，第二个难点是求出Q 点轨迹，第三个难点是利用对称性及圆的性质求得最小值． 11、A 【解题分析】
将点代入解析式确定参数值，结合导数的几何意义求得切线斜率，即可由点斜式求的切线方程. 【题目详解】
曲线2
4x y =，即2
14
y x =
， 当2x =时，代入可得2
1124
t =⨯=，所以切点坐标为()2,1，
求得导函数可得1
2
y x '=
， 由导数几何意义可知1
212
k y ='=
⨯=， 由点斜式可得切线方程为12y x -=-，即1y x =-， 故选：A. 【题目点拨】
本题考查了导数的几何意义，在曲线上一点的切线方程求法，属于基础题. 12、B 【解题分析】
根据所给函数解析式，画出函数图像.结合图像，分段讨论函数的零点情况：易知0x =为()()g x f x kx =-的一个零点；对于当0x <时，由代入解析式解方程可求得零点，结合0x <即可求得k 的范围；对于当0x >时，结合导函数，结合导数的几何意义即可判断k 的范围.综合后可得k 的范围. 【题目详解】
根据题意，画出函数图像如下图所示：
函数()()g x f x kx =-的零点，即()f x kx =. 由图像可知，(0)0f =，
所以0x =是0()f x kx -=的一个零点，
当0x <时，2
1
()2
f x x x =-+
，若0()f x kx -=， 则2
102x x kx -+-=，即12x k =-，所以102k -<，解得12
k <；
当0x >时，()ln(1)f x x =+， 则1
()1f x x '=
+，且
()10,11
x ∈+ 若0()f x kx -=在0x >时有一个零点，则()0,1k ∈， 综上可得1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
， 故选：B. 【题目点拨】
本题考查了函数图像的画法，函数零点定义及应用，根据零点个数求参数的取值范围，导数的几何意义应用，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、
3212
+ 【解题分析】
将其转化为几何意义，然后根据最值的条件求出最大值
【题目详解】
由22a a b b -=-化简得22111222a b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又实数1,2a b ≥，图形为14圆，如图: 22a a b b -=-，可得22a a b b =+-，22b a b a =+-
则2222112b a a b a a b b b a b a M a b a b a b a b a b a b
+-+-=+=+=+-++-=+--+ 由几何意义得2112b a ⎡⎤∈⎣⎦，，则2112a b
⎡∈⎣，，为求最大值则当过点A 或点B 时a b +取最小值，可得1123221122122M =++--+= 所以22b a M a b =+的最大值是3212
+ 【题目点拨】
本题考查了二元最值问题，将其转化为几何意义，得到圆的方程及斜率问题，对要求的二元二次表达式进行化简，然后求出最值问题，本题有一定难度。

14、8
【解题分析】 根据图象利用6(0)f =
，先求出ϕ的值，结合()10f =求出ω，然后利用周期公式进行求解即可． 【题目详解】 解：由6(0)3sin f ϕ==2sin ϕ=，
2ϕπ<<π，34
πϕ∴=， 则3()3sin()4
f x x πω=+， ()313sin 0
4f πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭
， 34πωπ∴+=，即4
πω=，
则函数的最小正周期
2284T πππω===，
故答案为：8
【题目点拨】 本题主要考查三角函数周期的求解，结合图象求出函数的解析式是解决本题的关键．
15
、【解题分析】
由焦点坐标得211m m --=从而可求出2m =，继而得到椭圆的方程，即可求出长轴长.
【题目详解】
解：因为一个焦点坐标为()0,1，则211m m --=，即220m m --=，解得2m =或1m =- 由22211
x y m m +=-表示的是椭圆，则0m >，所以2m =，则椭圆方程为22
132y x +=
所以a a ==故答案为
:【题目点拨】
本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的几何意义.本题的易错点是忽略0m >，从而未对m 的两个值进行取舍. 16、5
【解题分析】
根据题意，判断出22b =-，根据等比数列的性质可得()2
221324b b b ==-=，再令数列{}n a 中的12a =-，2a a =，3a b =，根据等差数列的性质，列出等式22a b =-+，求出a 和b 的值即可.
【题目详解】
解：由{}{}{}123123,,,,,,2a a a b b b a b ==-，其中0a >，0b >，
可得22b =-，则()2
221324b b b ==-=，令1b a =，3b b =， 可得4ab =.①
又令数列{}n a 中的12a =-，2a a =，3a b =，
根据等差数列的性质，可得2132a a a =+，
所以22a b =-+.②
根据①②得出1a =，4b =.
所以5a b +=.
故答案为5.
【题目点拨】
本题主要考查等差数列、等比数列的性质，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）①函数()f x 与()g x
的图象在区间上有交点；②证明见解析；（2）0k >且12k e
≠
； 【解题分析】
（1）①令()()()F x f x g x =-，结合函数零点的判定定理判断即可；②设切点横坐标为0x ，求出切线方程，得到002x e elnx =-，根据函数的单调性判断即可； （2）求出()h x 的解析式，通过讨论k 的范围，求出函数的单调区间，确定k 的范围即可．
【题目详解】
解：（1）①当1k =-时，函数()g x x e =-+， 令()()()1x F x f x g x x e lnx
=-=+--
，x ∈， 则()120F e =-<
，0F e =>，
故()()10F F e <，
又函数(
)F x 在区间上的图象是不间断曲线，
故函数(
)F x 在区间上有零点，
故函数()f x 与
()g x 的图象在区间上有交点；
②证明：假设存在k ∈R ，使得直线()y k x e =-是曲线()y f x =的切线，
切点横坐标为0x ，且()()00,,x e e ∈+∞，
则切线()y f x =在点0x x =切线方程为000()()()y f x x x f x ='-+，
即0000022000
22(1)(1)1lnx x x lnx x y x lnx lnx lnx --=-+---， 从而0202(1)lnx k lnx -=
-，且00002002(1)1x x lnx x ke lnx lnx --+=---， 消去k ，得002x e elnx =-，故0x e =满足等式，
令000()2s x x e elnx =-+，所以00
()1e s x x '=+， 故函数0()s x 在(0,)e 和(,)e +∞上单调递增，
又函数0()s x 在0x e =时()0s e =，
故方程002x e elnx =-有唯一解0x e =，
又()()00,,x e e ∈+∞，
故0x 不存在，即证；
（2）由2()2()22h x x xlnx xg x ekx x xlnx kx kex =-+-=-+-得，
0x >，()12()h x lnx k x e '=-+-，
令()12()m x lnx k x e =-+-， 则121()2kx m x k x x
-'=-=， ()()0m e h e '==，
()i 当0k 时，()h x '递减，
故当(0,)x e ∈时，()0h x '>，()h x 递增，
当(,)x e ∈+∞时，()0h x '<，()h x 递减，
故()h x 在x e =处取得极大值，不合题意；
()0ii k >时，则()m x 在1(0,)2k 递减，在1(2k ，)+∞递增， ①当102k e
<<时，12e k >， 故()m x 在1(0,
)2k 递减， 可得当(0,)x e ∈时，()0h x '>， 当1(,
)2x e k ∈时，()0h x '<， 1
11()(12)2k k k e e m ke e ln k k =-+-， 易证1
12k e k k >，令11
()2k k e m k e ln k
=-，1(,)2k e e ∈，
令12t e k
=>， 故()2n t et lnt t =--，则1()210n t e t
'=-->， 故()n t 在(2,)e +∞递增，
则()()()210n t n e n >>>， 即102k e
<<时，0m >， 故在1(2k ，1)k e k
内存在0x ，使得0()0m x =， 故()h x 在1(2k
，0)x 上递减，在0(x ，)+∞递增， 故()h x 在0x x =处取得极小值．
②由（1）知12k e =，12e k
=， 故()h x '在(0,)e 递减，在(,)e +∞递增，
故(0,)x ∈+∞时，()0h x '，()f x 递增，不合题意； ③当12k e >时，102e k <<， 当1(2x k
∈，)e 时，()0h x '<，()f x 递减， 当(,)x e ∈+∞时，()0h x '>，()f x 递增，
故()h x 在x e =处取极小值，符合题意，
综上，实数k 的范围是0k >且12k e
≠
． 【题目点拨】
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题． 18、()112332133N ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
；()2113λ=，21λ=-. 【解题分析】
()1由题意，可得a b N c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，利用矩阵的知识求解即可.
()2矩阵N 的特征多项式为()2
1439f λλ⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭，令()0f λ=，求出矩阵N 的特征值. 【题目详解】 ()1设矩阵a b N c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则122210212201a b a c b d MN c d a c b d ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 所以212020
21
a c
b d a
c b
d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得13a =-，23b =，23c =，13d =-， 所以矩阵12332133N ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
； ()2矩阵N 的特征多项式为()21439f λλ⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭， 令()0f λ=，解得113
λ=，21λ=-， 即矩阵N 的两个特征值为113λ=
，21λ=-. 【题目点拨】
本题考查矩阵的知识点，属于常考题.
19、 (Ⅰ)2n n a =或()2n
n a =--(Ⅱ)12 【解题分析】
（1）先设数列{}n a 的公比为q ，根据题中条件求出公比，即可得出通项公式；
（2）根据（1）的结果，由等比数列的求和公式，即可求出结果.
【题目详解】
（1）设数列{}n a 的公比为q ，
275
4a q a ∴==， 2q ∴=±，
2n n a ∴=或(2)n n a =--.
（2）2q 时，()2122212612n n n S -==-=-，解得6n =；
2q =-时，()21(2)21(2)126123
n n n S --⎡⎤==--=⎣⎦+， n 无正整数解；
综上所述6n =.
【题目点拨】
本题主要考查等比数列，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于基础题型.
20、（1）4m =；（2）证明见详解.
【解题分析】
（1）将不等式(2)0f x +<的解集用m 表示出来，结合题中的解集，求出m 的值；
（2）利用柯西不等式证明.
【题目详解】
解：（1）(2)2||0f x x m +=-<，||2
m x <， 22
m m x ∴-<<， 因为()20f x +<的解集为()2,2-，所以
22m =， 4m ∴=；
（2）由（1）234a b c ++= 由柯西不等式21
11()(23)(111)923a b c a b c
++++≥++=， 1119234
a b c ∴++≥ 当且仅当43
a =，23
b =，49
c =，等号成立． 【题目点拨】
本题考查了绝对值不等式的解法，利用柯西不等式证明不等式的问题，属于中档题.
21、（1
）12
-（2）512πα=. 【解题分析】
（1）根据()2b a a a b a -⋅=⋅-，由向量a ，b 的坐标直接计算即得；（2）先求出b c +，再根据向量平行的坐标关系解得α. 【题目详解】 （1）由题，向量()cos ,sin a αα=，cos ,sin 44b ππαα⎛
⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭， 则()2b a a a b a -⋅=⋅- ()22cos cos sin sin cos sin 44ππαααααα⎛⎫⎛⎫=+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
cos 1142π⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭. （2）()1,1c =，cos 1,sin 144b c ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ()b c a +∥，
cos 1sin sin 1cos 044ππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭， 整理得sin cos sin cos cos sin 44ππαααααα⎛
⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
sin 44ππα⎛
⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 02πα<<，444πππα∴-<-
<， 46π
π
α∴-=，即512πα=
. 【题目点拨】
本题考查平面向量的坐标运算，以及向量平行，是常考题型.
22、（1）22
143
x y +=（2）直线MN 恒过定点()1,0,详见解析 【解题分析】
（1）依题意由椭圆的简单性质可求出,a b ，即得椭圆C 的方程；
（2）设直线AM 的方程为：12x t y =-，联立直线AM 的方程与椭圆方程可求得点M 的坐标，同理可求出点N 的坐
标，根据,M N 的坐标可求出直线MN 的方程，将其化简成点斜式，即可求出定点坐标．
【题目详解】
（1）由题有2a =，12c e a ==.∴1c =，∴2223b a c =-=.∴椭圆方程为22
143
x y +=. （2）设直线AM 的方程为：12x t y =-，则()1222
1123412014
3x t y t y t y x y =-⎧⎪⇒+-=⎨+=⎪⎩ ∴0y =或1211234t y t =+，∴211111122111268223434t t x t y t t t -=-=-=++，同理222226834t x t -=+，2222
1234t y t =+ 当34x =时，由3132x t y =-有316y t =.∴164,E t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理264,F t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又12341111y y y y +=+ ∴221212123434121266t t t t t t +++=+，()()1212121234126
t t t t t t t t +++⇒= 当120t t +≠时，124t t =-∴直线MN 的方程为()121112
y y y y x x x x --=-- 122221121222212112212121212343468686834343434
t t t t t t y x t t t t t t -⎛⎫++-⇒-=- ⎪--++⎝⎭-++211221121126843434t t y x t t t t ⎛⎫-⇒-=- ⎪+++⎝⎭ 211221212116812443434t t y x t t t t t t -⇒=-⋅+++++()()
()()212121211243444134t x x t t t t t t t +=-=-++++ ∴直线MN 恒过定点()1,0，当120t t +=时，此时也过定点()1,0..
综上:直线MN 恒过定点()1,0.
【题目点拨】
本题主要考查利用椭圆的简单性质求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系应用，定点问题的求法等，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于难题．。