对一道高考模拟题的探究080627已发表在中学数学教学参考.doc

(x - a)2 (x - Z?)2
尸则 E)= 1 对一道周考模拟题的探究
王淼生
先看题目：
定义区间(c,d),[c,d),(c,d][c ，d]的长度均为d —c,其中d>c.已知实数a>b,则满足
+ >2的x 构成的区间的长度之和为 x-a x-b
A. 1
B. a-b
C. a+b
D. 2
这道题是2008年厦门市高三模拟考试的选择题的第12题，考完以后，我就问一些平时学习成 绩较优秀的理科实验班学生，同时也问了一些数学老师，如何解答这道题，几乎都是令a.、b 为 特殊值，如a=l 、b=0,然后求出不等式的解的区间为0,1-」D 1,1 + —，从而x 构成的
2 2
区间的长度之和为1———0 + 1 + -——1 =1,故选A. 2 2
Lv / J Lv / J 听完这些回答，我掩卷反思:倘若是-^ + — + — >2呢？纵使分别令a 、b 、c 为最 x- a x-b x-c
简单2、1、0,运算起来也是非常繁杂！
探求： 一-—H ——-—> k ( a>b, k 为正实数) x-a x-b
人
1 1 [
令 f(x)= --------- 1 ------- ( X 壬 Q, 1 更 /?), x-a x-b 2 2
--------------- 1 --------- 7 (% - a)3 (x — b) 易知:f(x)在(—co,。

)、(b,a)、(a,+co)上均为减函数
f (x)在(-8,。

)上为凸函数，在(a,+8)上为凹函数，在上[①a 为凹函数,
在广；气a]上为凸函数.
limf (x )= °，limf (x )T-°°，lim/W^+co , lim/W^-00 x->-<x )
x —>b~ x->Z?+ x^a~
limf (x )T+°° ， lim/W = 0 x —>a+ x —>+oo
2 2
i Ha+b)=r
于是得到：f （x ）= -^― + -^―的大致图象，如图所示，则f （x ） 2 k 即-^― + -^― > k 的解的 x-a x-b x- a x-b 区间为（。

,工』。

（。

，互]
（尤1 -/?） + （互-。

）=（x 1 +x 2 ）-（a+b ）
令 -- - - 1 ------ = k =>kx2 - [k （Q +。

）+2]x+kab+a+b=0,由韦达定理：x 构成的区间的长度 x-a x-b 之和为（a+b+ 于是得到： 1 1 9 推广1：满足不等式—— + —— >k （a>b,k 为正实数）的x 构成的区间的长度之和为一. x-a x-b k 本文开始的题目就是它的特例，因此答案为A.
进一步可以得到：
n b 推广2:£— >k （bi 为非负实数，（i=l, 2・・・n ）, k 为正实数），则X 构成的区间 i=i x 一 %
n
的长度之和为旦一 还可得到:
n b
推广3：£— <-k (bj 为非负实数，(i=l, 2・・・n), k 为正实数)，则X 构成的区间
,=1 x - %
n
的长度之和为上」. k
于是，更进一步得到：
〃 b
推广4:£— >k (如.为非负实数，(i=l, 2・・・n), k 为正实数)，则x 构成的区间
i=i x-a t
2支饥
的长度之和 k
以上推广2、推广3、推广4的推理及证明过程与前面探求推广1的推理及证明过程一样， 只不过应用了 •元n 次方程的韦达定理.。