八年级数学上等腰梯形的轴对称性试题

一. 教学内容：
制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……
日期：2022年二月八日。

等腰梯形的轴对称性
［目的］
探究等腰梯形的轴对称性及其相关性质。

二. 重、难点：
等腰梯形及其性质和四边形是等腰梯形的条件。

三. 知识要点：
1. 梯形
平面中，有一组对边平行且不相等的四边形是梯形。

梯形中，平行的一组对边称为底，不平行的一组对边称为腰。

如：在梯形EBCD中，ED∥BC，EB、CD叫梯形的腰，ED、BC叫梯形的两底，∠EBC、∠DCB、∠BED、∠CDE叫梯形的底角。

☆边与角满足什么条件的四边形为梯形。

①只有一组对边平行的四边形为梯形
②只有一组邻角互补的四边形为梯形
2. 等腰梯形
〔a〕定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

〔b〕等腰梯形是轴对称图形，过两底的中点的直线是它的对称轴。

〔c〕等腰梯形的性质：
①等腰梯形的对角线相等；
②等腰梯形在同一底上的两个角相等。

③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

〔断定定理〕
【典型例题】
例1. 如图，有九个点在平面上形成3×3的方阵，以这些点为顶点的等腰梯形有〔〕〔A〕0个〔B〕2个〔C〕4个〔D〕8个
分析：只能以最长的对角线作为等腰梯形的底边。

一一共有2条这样长的对角线，而每条对角线可组成2个等腰梯形。

所以一共有4个。

答：C
例2. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AD、BC的中点，且EF⊥BC，那么梯形ABCD_________〔填“是〞或者“不是〞〕等腰梯形。

Ａ
Ｂ Ｃ Ｄ
Ｅ
分析：分别作AG ⊥BC 于G ，DH ⊥BC 于H ；
A B C
D
E G
由易证△ABG ≌△DCH ，∴ AB ＝DC ，∴梯形ABCD 是等腰梯形。

答：是
例3. 〔1〕等腰梯形上底的长与腰长相等，而一条对角线与一腰垂直，那么梯形上底角的度数是____________。

〔2〕等腰梯形的一个底角等于60° ，它的两底分别为13cm 和37cm ，它的周长为___________。

〔3〕如图在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝ AD ，BD ＝ BC ，求∠C 的度数。

解：〔1〕设上底与对角线的夹角为x ，那么 上底角＝
90+x ＝
180－2x 解得：x ＝ 30
∴上底角的度数是
90+x ＝
120
〔2〕延长两腰BA 、CD 交于一点O ，
∵底角B ＝
60
∴△ADO 和△BCO 都为等边三角形
∴AO ＝上底AD ＝13cm ； BO ＝下底BC ＝37cm ；
∴腰AB ＝BO －AO ＝24 cm ，∴周长＝13+37+24+24＝98cm 。

〔3〕设∠C ＝x ，
∵BD ＝ BC ，∴∠C ＝∠BDC ＝x ，∴∠DBC ＝
180－2x ∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠DBC
∵AB ＝ AD ，∴∠ADB ＝∠ABD ＝
180－2x ，∴∠A ＝
180－2〔
180－2x 〕 又∵∠A 与∠C 互补，∴
180－2〔
180－2x 〕＝
180－x 解得：x ＝
72 即∠C ＝ 72
例4. 如图，在梯形ABCD 中，BC ∥AD ，延长CB 到E ，使AD BE =，假设同时有ACE E ∠=∠，那么梯形ABCD 是等腰梯形吗?为什么
?
解：∵ACE E ∠=∠，
∴ACE ∆为等腰三角形。

∴AC AE =，又BC ∥AD ∴DAC ACE ∠=∠〔内错角相等〕 ∴DAC E ∠=∠，又AD BE = ∴AEB ∆≌ACD ∆
∴CD AB =，∴梯形ABCD 是等腰梯形。

例5. 如图，四边形ABCD 是等腰梯形，BC ∥AD ，DC AB =，cm AD BC 42==，CD BD ⊥，AB AC ⊥，BC 边的中点为E 。

〔1〕 判断ADE ∆的形状〔简述理由〕，并求其周长。

〔2〕 求AB 的长。

〔3〕 DE AC 与是否互相垂直平分?说出你的理由。

解：〔1〕∵CD BD ⊥，E 为BC 边的中点, ∴在BCD Rt ∆中，DE 为斜边BC 上的中线
∴
BC DE 21=
；同理可得BC AE 21
= 又∵
cm BC AD 224
21===
，
∴ADE ∆为等边三角形。

周长cm C ADE 623=⨯=∆。

〔2〕易证o
DEC AED AEB 60=∠=∠=∠
又∵
BE BC
AE ==
21
∴ABE ∆为等边三角形， ∴cm AE AB 2==
〔3〕是互相垂直平分。

∵DA CD EC AE ===且EC ∥DA
∴四边形AECD 是菱形，∴DE AC 、互相垂直平分〔菱形对角线垂直且互相平分〕
例6. 如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BC ，AC ⊥BD ，CH 是高，MN 是中位线。

求证：MN ＝CH 。

A
B
C D
M N
证明：过点C 作CE ∥BD 交AB 延长线于E ，那么四边形BDCE 是平行四边形。

∴BE ＝CD ，CE ＝BD ∵四边形ABCD 是等腰梯形
∴AC ＝BD ，即AC ＝EC 又∵AC ⊥BD
∴AC ⊥CE ，△ACE 是等腰直角三角形。

∴
)(21
21BE AB AE CH +==
， 又∵
)(21
CD AB MN +=
∴MN ＝CH
【模拟试题】〔答题时间是：30分钟〕
1. 有以下说法：①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形的对角线相等；③等腰梯形是轴对称图形，且只有一条对称轴；④有两个内角相等的梯形是等腰梯形。

其中正确的有〔 〕
〔A 〕1个 〔B 〕2个 〔C 〕3个 〔D 〕4个
2. 在四边形ABCD 中，AB ≠DC ，给出以下论断：①AB ∥DC ；②AD ＝BC ；③∠A ＝∠B 以其中两个作为题设，另一个作为结论，用“假如……那么……〞的形式，写出一个你认为正确的命题：___________________________________________
3. 在等腰梯形ABCD 中，BC AD =，A ∠比C ∠小
50，那么梯形各内角中最小角
的度数为________。

4. 等腰梯形的两条对角线互相垂直，一条对角线长8cm ，那么梯形的面积为__________。

5. 如图，在梯形ABCD 中，BC ∥AD ，DE ∥AB ，DE ＝DC ，∠A ＝
100，试求其他
三个内角的度数。

请问此时ABCD为等腰梯形吗?
A
C
D
6. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，M是CD的中点，∠1＝∠2；试说明梯形ABCD 是等腰梯形。

7. 如图，四边形ABCD是等腰梯形，BC∥AD，AB＝DC，BD⊥CD，AC⊥AB，∠BAD＝
120，AD＝5。

求等腰梯形ABCD的周长。

A
B
D
试题答案
1. C 正确的选项是：①②③ 错误的选项是：④〔反例：直角梯形〕
2. 在四边形ABCD 中，AB ≠DC ，假如AB ∥DC ，AD ＝BC 那么∠A ＝∠C
3.
65
分析：显然A ∠最小，设A ∠＝x ，C ∠＝x + 50而A ∠与C ∠互补，那么x +x +
50
＝
180
解得：x ＝
65即A ∠＝
65。

4.
2cm 328821
=⨯⨯=
梯形S
5. 解：∵BC ∥AD ，DE ∥AB
∴四边形ABED 为平行四边形。

∵∠A ＝
100
∴∠BED ＝∠A ＝
100，∠B ＝∠ADE ＝
180－
80100=， 又∵DE ＝DC
∴∠DEC ＝∠C ＝
180－∠DEA ＝
80，∠EDC ＝
180－2∠C ＝
180－2
80⨯＝
20
∴∠ADC ＝∠ADE+∠EDC ＝
80+
20＝
100 由等腰梯形的性质知：此时，ABCD 为等腰梯形。

6. 解：∵∠1＝∠2
∴MBA ∆为等腰三角形，∴MA MB = ∵AB ∥CD
∴∠CMB ＝∠1＝∠2＝∠DMA 又M 是CD 的中点，即CM ＝DM ∴CMB ∆≌DMA ∆，∴BC ＝AD ∴梯形ABCD 为等腰梯形。

7. 解：延长两腰BA 、CD 交于一点O ，
∵∠BAD ＝ 120，∴∠OAD ＝ 180－ 120＝
60 又∵AB ＝DC ，∴∠OBC ＝∠OAD ＝
60 而四边形ABCD 是等腰梯形 ∴△ADO 和△BCO 都为等边三角形 ∴OA ＝AD ＝5。

∴AC ⊥AB ，∴在等边△BCO 中，AC 也是中线，即AB ＝OA ＝5 又OB ＝10，而BC ＝OB ＝10
∴等腰梯形ABCD 的周长＝5+10+5+5＝25。

【课后阅读】
在梯形中常用辅助线的位置
〔1〕过上底一端点，作一腰的平行线〔如图 〔a 〕〕。

〔2〕过上底两端点，向下底作垂线〔如图 〔b 〕〕。

日期：2022年二月八日。

日期：2022年二月八日。

〔3〕向上延长两腰构成三角形〔如图〔c 〕〕。

〔4〕过上底一端点作一对角线的平行线〔如图 〔d 〕〕。

〔5〕连结上底一端点和一腰中点的直线与下底延长线相交．通过构造全等三角形，把梯形化成等积的三角形〔如图 〔e 〕〕。

〔6〕过一腰的中点作另一腰的平行线〔如图 〔f 〕〕。

〔7〕作梯形的中位线〔如图 〔g 〕〕。

（e ） （f ） （g ）
制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅……
日期：2022年二月八日。