苏州市高中数学选修2-2第三章《导数应用》检测(有答案解析)

一、选择题
1．已知函数2()1(0)f x ax x a =-+≠，若任意1x ，2[1x ∈，)+∞且12x x ≠都有
1212
()()
1f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围（ ）
A ．[1，)+∞
B ．(0，1]
C ．[2，)+∞
D ．(0,)+∞
2．已知函数32()f x x bx cx d =+++在区间[1,2]-上是减函数，那么b c + （ ） A ．有最小值
152 B ．有最大值
152 C ．有最小值152
- D ．有最大值152
-
3．以下不等式不成立的是（ ） A ．sin x x >，0,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
B ．1ln x x -≥，()0,x ∈+∞
C ．10x e x --≥，x ∈R
D ．ln 10x x e +->，()0,x ∈+∞
4．已知定义在R 上的函数()y xf x '=的图象（如图所示）与x 轴分别交于原点、点
(2,0)-和点(2,0)，若3-和3是函数()f x 的两个零点，则不等式()0f x >的解集（ ）
A ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞
B ．(-∞，3)(3-，)+∞
C ．(-∞，3)(0-⋃，2)
D ．(3-，0)(3⋃，)+∞
5．当01x <<时，()ln x
f x x
=，则下列大小关系正确的是（ ） A ．()()
()2
2f
x f x f x <
<
B ．()()()2
2
f x f
x f x << C ．()()()2
2
f x f x f x <<
D ．()()()2
2
f x f x f x <<
6．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()10f =，当0x >时，有()()
2
xf x f x x '->恒成立，则不等式()0f x >的解集为（ ） A ．()()1,01,-⋃+∞ B ．()()1,00,1-⋃ C ．()(),11,-∞-⋃+∞
D ．()
(),10,1-∞-
7．若函数1
()ln f x x a x =-+在区间(1,)e 上存在零点，则常数a 的取值范围为（ ） A ．01a <<
B ．
1
1a e
<< C ．
1
11a e
-<< D ．
1
11a e
+<< 8．函数2()(3)x f x x e =-的单调递增区间是（ ） A ．(,0)-∞
B ．(0)+∞，
C ．(,3)-∞和(1
)+∞， D ．（-3,１） 9．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x ∈R ，有()()2
f x f x x +-=，且在
[)0,+∞上有()f x x '>.若()()222f k f k k --≥-，则k 的取值范围是（ ）
A ．(],0-∞
B ．(],1-∞
C ．1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．50,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
10．已知函数()y f x =在R 上可导且()02f =，其导函数()f x '满足
()()02f x f x x '>--，对于函数()()
x f x g x e
=，下列结论错误．．
的是（ ）. A ．函数()g x 在()2,+∞上为单调递增函数 B ．2x =是函数()g x 的极小值点 C ．0x ≤时，不等式()2x
f x e ≤恒成立
D ．函数()g x 至多有两个零点
11．若1
201x x ，则（ ）
A ．2121ln ln x
x
e e x x ->- B ．2
121ln ln x x e e x x -<-
C ．1221x
x
x e x e > D ．1221x
x
x e x e <
12．已知函数(),
20
21,0x e x f x x x x ⎧>=⎨-++≤⎩
，若函数()()g x f x kx =-恰好有两个零点，
则实数k 等于（e 为自然对数的底数）（ ） A ．1 B ．2 C ．e D ．2e
二、填空题
13．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底
AB 是圆O 的直径，上底C 、D 的端点在圆周上，则所裁剪出的等腰梯形面积最大值为
_______________.
14．若关于x 的方程()2
ln ln x ax x x -=有且只有三个不相等的实根，则实数a 的取值范
围是__________.
15．已知函数()2
x e f x ax x
=-，()0,x ∈+∞，当21
x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为________.
16．设动直线x m =与函数()3
2f x x =，()ln g x x =的图象分别交于点M ，N ，则线
段MN 长度的最小值为______．
17．有如下命题：①函数sin y x =与y x =的图象恰有三个交点；②函数sin y x =与
y x =的图象恰有一个交点；③函数sin y x =与2y x 的图象恰有两个交点；④函数
sin y x =与3y x =的图象恰有三个交点，其中真命题为_____
18．某生产厂家生产一种产品的固定成本为1万元，并且每生产1百台产品需增加投入0.5万元.已知销售收入()R x （万元）满足()32191
882
R x x x x =-
++（其中x 是该产品的月产量，单位：百台，08x <<），假定生产的产品都能卖掉，则当公司每月产量为______百台时，公司所获利润最大.. 19．下列五个命题：
①“2a >”是“()sin f x ax x =-为R 上的增函数”的充分不必要条件； ②函数()3
113
f x x x =
++有两个零点； ③集合A ={2，3}，B ={1，2，3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是
13
； ④动圆C 即与定圆()2
224x y -+=相外切，又与y 轴相切，则圆心C 的轨迹方程是
()280y x x =≠
⑤若对任意的正数x ，不等式x e x a ≥+ 恒成立，则实数的取值范围是1a ≤ 其中正确的命题序号是_____．
20．若函数()ln 1f x ax x =--有零点，则实数a 的取值范围是___________．
三、解答题
21．如图是一个半径为2千米，圆心角为
3
π
的扇形游览区的平面示意图C 是半径OB 上一点，D 是圆弧AB 上一点，且//CD OA .现在线段OC ，线段CD 及圆弧DB 三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC 处每千米为2a 元，线段CD 及圆弧
DB 处每千米均为a 元．设AOD x ∠=弧度，广告位出租的总收入为y 元．
(1)求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域；
(2)试问：x 为何值时，广告位出租的总收入最大？并求出其最大值． 22．已知函数()ln f x ax x =-. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 23．已知函数()x
f x e =，()215
122
g x x x =
--(e 为自然对数的底数). （1）记()()ln F x x g x =+，求函数()F x 在区间[]1,3上的最大值与最小值； （2）若k ∈Z ，且()()0f x g x k +-≥对任意x ∈R 恒成立，求k 的最大值. 24．已知函数3
2
1()12
f x x x ax =-
++. （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；
（2）若函数()f x 在1x =处有极小值，求函数()f x 在区间32,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
上的最大值.
25．设函数2
()(41)43x f x e ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦．
（1）0a >时，求()y f x =的单调增区间；
（2）若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围． 26．已知函数()ln a
f x x x
=-
，其中R a ∈， （1）当2a =时，求函数()f x 的图象在点()()
1,1f 处的切线方程； （2）如果对于任意()1,∈+∞x ，都有()2f x x >-+，求a 的取值范围．
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
求出函数的导数，通过讨论a 的范围，得到关于a 的不等式，解出即可． 【详解】
1212
()()
1f x f x x x ->-表示函数()f x 在区间[)1,+∞上任意两个不同点连线的斜率都大于1，
等价于()'
211f x ax =-≥，1x 时恒成立， 0a
时，()'0f x <，不合题意，
0a >时，只需211ax -，
即1
a
x
在[1，)+∞恒成立， 故max 1
()1a x
=，
故a 的范围是[1，)+∞， 故选：A 【点睛】
1212
()()
1f x f x x x ->-表示函数()f x 在区间[)1,+∞上任意两个不同点连线的斜率都大于1，
由此考虑利用导数进行求解.
2．D
解析：D 【解析】
试题分析：由f （x ）在[-1，2]上是减函数，知f′（x ）=3x 2+2bx+c≤0，x ∈[-1，2]， 则f′(-1)=3-2b+c≤0,且f′(2)=12+4b+c≤0，⇒
15+2b+2c≤0⇒b+c≤-15
2
，故选D. 考点：本题主要考查了函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
点评：解决该试题的关键是先对函数f （x ）求导，然后令导数在[-1，2]小于等于0即可求出b+c 的关系，得到答案．
3．D
解析：D 【分析】
针对ABC 选项中的不等式构造函数，然后利用导数研究函数的单调性，由此判断出不等式成立，利用特殊值判断出D 选项不等式不成立. 【详解】
A.令()sin x x x f -=，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由()cos 10x x f '=->，则()f x 在0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
单
调递增，
则()()00sin 0sin f x f x x x x >=⇒->⇒>，不等式成立
B.令()1ln f x x x =--，()0,x ∈+∞，由()111x f x x x
-'=-
=，当()0,1x ∈，()0f x '<，()f x 单调递减，当()1,x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增，则
()()101ln 01ln f x f x x x x ≥=⇒--≥⇒-≥，不等式成立
C.令()1x
f x e x =--，x ∈R ，由()1x
f x e '=-，当(),0x ∈-∞，()0f x '<，()
f x 单调递减，当()0,x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增， 则()()0010x
f x f e x =⇒--≥≥，不等式成立
D.令()ln 1x
f x x e =+-，()0,x ∈+∞，当1x =时，()110f e =-<，所以不等式不成
立. 故选：D 【点睛】
本小题主要考查利用导数证明不等式，属于中档题.
4．B
解析：B 【分析】
根据()y xf x '=的图像可得()'f x 在R 上的正负值，进而求得原函数的单调性，再结合()f x 的零点画出()f x 的简图，进而求得不等式()0f x >的解集.
【详解】
由图，当(),2x ∈-∞-时()0xf x '>，故()0f x '<，()f x 为减函数； 当()2,0x ∈-时()0xf x '<，故()0f x '>，()f x 为增函数； 当()0,2x ∈时()0xf x '<，故()0f x '<，()f x 为减函数； 由图，当()2,x ∈+∞时()0xf x '>，故()0f x '>，()f x 为增函数； 又3-和3是函数()f x 的两个零点，画出()f x 的简图如下：
故不等式()0f x >的解集为()(),33,-∞-+∞.
故选：B 【点睛】
本题主要考查了根据关于导函数的图像，分析原函数单调性从而求得不等式的问题.需要根据题意分段讨论导函数的正负,属于中档题.
5．D
解析：D 【分析】
由01x <<得到2x x <，要比较()f x 与()
2
f x 的大小，即要判断函数是增函数还是减函数，可求出()'f x 利用导函数的正负决定函数的增减项，即可比较出()f x 与()
2
f x 的大
小，利用对数的运算法则以及式子的性质，从式子的符号可以得到()f x 与()2
f x 的大
小，从而求得最后的结果. 【详解】
根据01x <<得到201x x <<<，而()2
1ln 'x
f x x -=
， 所以根据对数函数的单调性可知01x <<时，1ln 0x ->，
从而可得()'0f x >，函数()f x 单调递增，所以()
()()2
10f x f x f <<=， 而()2
22ln 0x f x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭
，所以有()()()22f x f x f x <<.
故选D. 【点睛】
本题主要考查函数的值的大小比较，在解题的过程中，注意应用导数的符号研究函数的单调性，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．
6．A
解析：A 【分析】 构造函数()
()(0)f x g x x x
=
≠，可得()g x 在定义域内为偶函数，并得到()g x 在(0,)+∞ 上单调递增，则在(,0)-∞上单调递减，且(1)0g =，(1)0g -=，结合函数的大致图像分析即可得到()0f x >的解集． 【详解】 构造函数()
()(0)f x g x x x =
≠，则()()2()xf x f x g x x
'-'= 由于()f x 是定义在R 上的奇函数，
则()()()()()f x f x f x g x g x x x x
---=
===--， 故()g x 在定义域内为偶函数，图像关于y 轴对称；
()10f =，则(1)0g =，(1)0g -=；
又
0x >时，有
()()
2
0xf x f x x
'->恒成立， 故()0g x '>在(0,)+∞上恒成立，
即()g x 在(0,)+∞ 上单调递增；
根据偶函数的对称性可得()g x 在(,0)-∞上单调递减， 所以()g x 的大致图像如下图：
()0f x >，即为当0x <时，()0<g x ，当0x >时，()0>g x 的解集，
所以()0f x >，则10x -<<或1x >； 即()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞ 故选：A. 【点睛】
本题考查奇偶函数的定义，根据导数符号判断函数单调性，根据函数单调性解不等式，考查学生数形结合的思维能力，属于中档题目．
7．C
解析：C 【分析】
先利用导数判断出函数()f x 在区间()1,e 上为增函数，再解不等式
(1)ln110f a =-+<，1
()ln 0f e e a e
=-+>，即得解.
【详解】 由题得2
11()0f x x x '=
+>在区间()1,e 上恒成立， 所以函数1
()ln f x x a x
=-
+在区间()1,e 上为增函数， 所以(1)ln110f a =-+<，1
()ln 0f e e a e
=-+>， 可得
1
11a e
-<<. 故选：C.
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性和零点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
8．D
解析：D 【解析】
∵函数f(x)=(3-x 2)e x ， ∴f′(x)=-2xe x +(3-x 2)e x =(3-2x-x 2)e x . 由f′(x)＞0，得到f′(x)=(3-2x-x 2)e x ＞0， 即3-2x-x 2＞0，则x 2+2x-3＜0，解得-3＜x ＜1， 即函数的单调增区间为（-3，1）. 本题选择D 选项.
9．B
解析：B 【分析】
构造函数()()2
12
g x f x x =-
，可得()g x 在[)0,+∞上单调递增，利用奇偶性的定义知()g x 是奇函数，进而求解不等式即可.
【详解】
由题意当0x ≥时，()f x x '>，构造函数()()2
12
g x f x x =-
， 则()()'0g x f x x '=->，得()g x 在[)0,+∞上单调递增， 又由条件()()2
f x f x x +-=得()()0
g x g x +-=.
所以()g x 是奇函数，又()g x 在[)0,+∞上单调递增且()00g =，所以()g x 在R 上单调递增，
由()()222f k f k k --≥-，得()()20k g k g --≥，即()()2g k g k -≥， 根据函数()g x 在R 上单调递增，可得2k k -≥，解得1k ≤. 故选：B 【点睛】
本题考查导数在函数单调性中的应用，考查函数的奇偶性，属于中档题．
10．C
解析：C 【分析】
由
()()
02
f x f x x '>--，利用导数求出函数()
g x 的单调区间以及函数的极值，根据单调
性、极值判断每个选项，从而可得结论． 【详解】
()
()x
f x
g x e =
， 则()()
()x
f x f x
g x e '-'=
， 2x >时，()()0f x f x '->，
故()y g x =在(2,)+∞递增，A 正确；
2x <时，()()0f x f x '-<，
故()y g x =在(,2)-∞递减，
故2x =是函数()y g x =的极小值点，故B 正确； 若g （2）0<，则()y g x =有2个零点， 若g （2）0=，则函数()y g x =有1个零点， 若g （2）0>，则函数()y g x =没有零点，故D 正确； 由()y g x =在(,2)-∞递减，则()y g x =在(,0)-∞递减， 由0
(0)
(0)2f g e ==，得0x 时，()(0)g x g ， 故
()
2x
f x e
，故()2x f x e ≥，故C 错误； 故选：C ． 【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、零点问题，考查了构造函数法的应用，是一道综合题．
11．C
解析：C 【分析】
令()x e f x x
=，(01)x <<，()()ln 01x
g x e x x =-<<，求出函数的导数，通过讨论x
的范围，求出函数的单调区间，从而判断结论. 【详解】
令()x e f x x =，(01)x <<，则2
(1)
()0x e x f x x -'=<，
故()f x 在(0,1)递减，若1
201x x ，则12()()f x f x >，
故12
12
x x e e x x >，即1221x x
x e x e >，故C 正确，D 不正确； 令()()ln 01x
g x e x x =-<<，则11()x x
xe g x e x x
-'=-=，
令()1x h x xe =-，可知()h x 在()0,1单调递增，
且(0)10,(1)10h h e =-<=->，则存在()00,1x ∈，使得0()0h x =，
则当()00,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 在()00,x 单调递减， 当()0,1x x ∈时，()0h x >，即()0g x '>，()g x 在()0,1x 单调递增， 所以()g x 在()0,1不单调，故A ，B 错误. 故选：C. 【点睛】
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题.
12．C
解析：C 【分析】
求得y kx =与x y e =的图象相切时的k 值，结合图象可得结论． 【详解】
()()0g x f x kx =-=，()f x kx =，
作出()f x 的图象，及直线y kx =，如图，
∵0x ≤时，221y x x =-++是增函数，0x =时，1y =，无论k 为何值，直线y kx =与
()(0)y f x x =≤都有一个交点且只有一个交点，而()g x 有两个零点，
∴直线y kx =与()(0)x f x e x =>只能有一个公共点即相切．设切点为00(,)x y ，
()x f x e '=，00()x f x e '=，切线方程为0
00()-=-x
x y e e x x ，切线过原点，
∴0
00x x e
e x -=-⋅，01x =，∴(1)k
f e '==，
故选：C ．
【点睛】
方法点睛：本题考查函数零点个数问题，解题方法是把零点转化为直线与函数图象交点个数，再转化为求直线与函数图象相切问题．
二、填空题
13．【分析】连过作垂足为设则则等腰梯形的面积令利用导数求其最值【详解】连过作垂足为如图：设则所以等腰梯形的面积令单调递增单调递减所以时取得极大值也是最大值即的最大值故答案为：【点睛】本题考查了函数的实际 解析：33
【分析】
连OC ，过C 作CE OB ⊥，垂足为E ，设(02),OE x x CE y =<<=，则
224x y +=，则等腰梯形ABCD 的面积
1
(24)(2)2
S x y x y =
+=+3(2)(2)x x =+-，令3()(2)(2),02h x x x x =+-<<，利用导数求其最值. 【详解】
连OC ，过C 作CE OB ⊥，垂足为E ，如图：
设,OE x CE y ==，则224x y +=， 所以等腰梯形ABCD 的面积1
(24)(2)2
S x y x y =
+=+2(2)4x x =+-3(2)(2),02x x x =+-<<
令3()(2)(2),02h x x x x =+-<<
232()3(2)(2)(2)4(1)(2)h x x x x x x '=+--+=-+， (0,1),()0,()x h x h x ∈'>单调递增， (1,2),()0,()x h x h x ∈'<单调递减，
所以1x =时，()h x 取得极大值，也是最大值，
max ()(1)27h x h ==，即S 的最大值33
故答案为：33 【点睛】
本题考查了函数的实际应用，运用导数求最值时解题的关键，属于中档题.
14．【分析】由参变量分离法得出令（且）作出函数的图象由题意可知关于的方程的两根满足数形结合可得出实数的取值范围【详解】显然不满足方程；当且时由得令对函数求导得令得列表如下： 单调
解析：1,e e ⎛⎫-∞-
⎪⎝
⎭
【分析】
由参变量分离法得出ln ln x x a x x
=-，令ln x t x =（0x >且1x ≠），1
y t t =-，作出函
数ln x t x =
的图象，由题意可知，关于t 的方程1a t t
=-的两根1t 、2t 满足11
0t e <<，20t <，数形结合可得出实数a 的取值范围.
【详解】
显然1x =不满足方程()2
ln ln x ax x x -=；
当0x >且1x ≠时，由()2
ln ln x ax x x -=得ln ln x x
a x x
=
-， 令ln x t x =，1y t t =-，对函数ln x
t x
=求导得2
1ln x
t x ，令0t '=得x e =，列表如下：
x
()0,1
()1,e
e
(),e +∞
t '
+
+
-
t
单调递增
单调递增
极大值
单调递减
所以，函数ln x
t x =
在x e =处取得极大值，即1t e
=极大值，如下图所示：
由于关于x 的方程()2
ln ln x ax x x -=有且只有三个不相等的实根，
则关于t 的方程1
a t t =-要有两个根1t 、2t ，且11
0t e
<<
，20t <，如下图所示：
所以，1
a e e
<
-. 综上所述，实数a 的取值范围是1,e e
⎛⎫-∞- ⎪⎝
⎭
. 故答案为：1,e e
⎛⎫-∞- ⎪⎝
⎭
. 【点睛】
本题考查利用函数的零点个数求参数，考查了利用导数研究函数的零点个数问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
15．【分析】由当时不等式恒成立变形得到当时不等式恒成立即在上是增函数然后由在上是恒成立求解【详解】因为当时不等式恒成立即当时不等式恒成立所以在上是增函数所以在上是恒成立即在上是恒成立令所以当时当时所以当
解析：2,12e ⎛⎤
-∞ ⎥⎝
⎦
【分析】
由当21x x >时，不等式
()()122
1
0f x f x x x -
<恒成立，变形得到当21x x >时，不等式
()()1122x f x x f x <恒成立，即()()g x xf x =，在()0,x ∈+∞上是增函数，然后由()0g x '≥，在()0,x ∈+∞上是恒成立求解.
【详解】
因为当21x x >时，不等式
()()122
1
0f x f x x x -
<恒成立，
即当21x x >时，不等式()()1122x f x x f x <恒成立， 所以()()g x xf x =，在()0,x ∈+∞上是增函数，
所以()2
30x
g x e ax '=-≥，在()0,x ∈+∞上是恒成立，
即23x
e a x ≤，在()0,x ∈+∞上是恒成立，
令2()3x
e h x x
=，
所以()3
2()3x e x h x x
-'=， 当02x <<时，()0h x '<，当2x >时，()0h x '>，
所以当2x =时，()h x 取得最小值，最小值为212
e
，
所以实数a 的取值范围为2,12e ⎛⎤
-∞ ⎥⎝⎦.
故答案为：2,12e ⎛⎤
-∞ ⎥⎝
⎦.
【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
16．【分析】构造函数利用导数求得的最小值进而求得线段长度的最小值【详解】构造函数则所以在上递增令解得所以在上递增在上递减所以的最小值为也即的最小值为故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值 解析：
()1
1ln 63
+ 【分析】
构造函数()()()()0h x f x g x x =->，利用导数求得()h x 的最小值，进而求得线段MN 长度的最小值. 【详解】
构造函数()()()()3
2ln 0h x f x g x x x x =-=->，
则()()'2''211
6,120h x x h x x x x
=-
=+>， 所以()'
h x 在()0,∞+上递增，令()'
0h x =解得1
3
6x -==. 所以()h x 在13
0,6-⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在136,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上递减，
所以()h x 的最小值为()3
111
333111
626ln 6ln 61ln 6333h ---⎛⎫⎛⎫=⨯-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
也即MN 的最小值为()1
1ln 63
+. 故答案为：()1
1ln 63
+ 【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
17．②③④【分析】①构造函数求出函数的导数研究函数的导数和单调性进行判断即可；②利用与x 的关系进行转化判断；③设函数利用导数研究其单调性根据零点存在原理得出零点个数判断其真假④设函数利用导数研究其单调性
解析：②③④ 【分析】
①构造函数()sin f x x x =-，求出函数的导数，研究函数的导数和单调性，进行判断即可；
②x 的关系进行转化判断；
③设函数()2
sin g x x x =-,利用导数研究其单调性，根据零点存在原理得出零点个数，判
断其真假.
④设函数()3
sin h x x x =-,利用导数研究其单调性，根据零点存在原理得出零点个数，判
断其真假. 【详解】
①设()sin f x x x =-，则()cos 10f x x '=-≤，即函数()f x 为减函数， ∵()0=0f ，
∴函数()f x 只有一个零点，即函数sin y x =与y x =的图象恰有一个交点，故①错误， ②由①知当0x >时，sin x x <，
当01x <≤sin x x >>，
当1x >sin x >，
当0x =sin x =，综上当0x >sin x >恒成立，
函数sin y x =与y =
②正确，
③设函数()2
sin g x x x =-，则()cos 2g x x x '=-， 又()sin 20g x x ''=--<，所以()g x '在R 上单调递减. 又()01g '=，02g ππ⎛⎫
'=-< ⎪⎝⎭
所以存在00,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，使得()00g x '= 即当0x x <时，()0g x '>，函数()g x 单调递增.
当0x x >时，()0g x '<，函数()g x 单调递减. 由函数()g x 在()0，x -∞上单调递增且()00g =，
所以函数()g x 在(]0-∞，
上有且只有一个零点. 由()00g =，函数()g x 在()0，x -∞上单调递增，则()00g x >
又2
1024g ππ⎛⎫
=-
< ⎪⎝⎭
，且函数()g x 在()0x +∞，上单调递减. 所以()g x 在()0x +∞，
上有且只有一个零点. 即()g x 在()0+∞，
上有且只有一个零点. 所以()g x 有2个零点，即函数sin y x =与2y
x 的图象恰有两个交点，故③正确.
④设函数()3
sin h x x x =-,()h x 为奇函数，且()00h =.
所以只需研究()h x 在()0+∞，
上的零点个数即可. 则()2
cos 3h x x x '=-,则()sin 6h x x x ''=--，
所以()cos 60h x x '''=--<，所以()h x ''在()0+∞，
上单调递减. 所以当()0x ∈+∞，
时，()()00h x h ''''<=，则()h x '在()0+∞，上单调递减. 又()01h '=，2
03024h ππ⎛⎫
'=-⨯< ⎪⎝⎭
. 所以存在00,
2x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，使得()00h x '=. 即当00x x <<时，()0h x '>，函数()h x 单调递增. 当0x x >时，()0h x '<，函数()h x 单调递减.
()00h =，由函数()h x 在()00x ，上单调递增，则()00h x >
又3
1028h ππ⎛⎫
=-
< ⎪⎝⎭
，且函数()h x 在()0x +∞，上单调递减. 所以()h x 在()0x +∞，
上有且只有一个零点. 即()h x 在()0+∞，
上有且只有一个零点. 由()h x 为奇函数，所以()h x 在()0-∞，
上有且只有一个零点，且()00h =. 所以()h x 有3个零点，即函数sin y x =与3y x =的图象恰有三个交点，故④正确. 故答案为：②③④. 【点睛】
本题主要考查命题的真假判断，涉及函数零点个数，利用数形结合或构造函数，利用导数是解决本题的关键．属于中档题.
18．6【分析】设销售利润为利用导数求出的最大值即可【详解】设销售利润为依题意可得当时当时所以在单调递增在单调递减所以时取得极大值也是最大值所以当公司每月生产6百台时获得利润最大故答案为：6【点睛】本题考
解析：6 【分析】
设销售利润为1
(),()()12
g x g x R x x =--，利用导数求出()g x 的最大值即可. 【详解】
设销售利润为()g x ，依题意可得，
3232191119
()11,(0,8)882288g x x x x x x x x =-++--=-+-∈，
2393
()(6)848
g x x x x x '=-+=--，
当(0,6)x ∈时，()0g x '>，当(6,8)x ∈时，()0g x '<， 所以()g x 在(0,6)单调递增，在(6,8)单调递减， 所以6x =时，()g x 取得极大值，也是最大值， 所以当公司每月生产6百台时，获得利润最大. 故答案为：6. 【点睛】
本题考查函数应用问题以及运用导数求最值，考查数学建模、数学计算能力，属于中档题.
19．①③⑤【分析】①通过导数研究函数的单调性可得结论正确；②利用导数可知函数为增函数函数最多一个零点；③根据古典概型求得概率为；④根据条件直接求得轨迹方程；⑤利用导数研究不等式恒成立可得的范围【详解】对
解析：①③⑤ 【分析】
①通过导数研究函数的单调性可得结论正确； ②利用导数可知函数为增函数，函数最多一个零点； ③根据古典概型求得概率为
1
3
； ④根据条件直接求得轨迹方程；
⑤利用导数研究不等式恒成立，可得a 的范围. 【详解】
对于①，当2a >时，()cos f x a x '=-0>恒成立，所以，()sin f x ax x =-为R 上的增函数；而当12a ≤≤时，()cos f x a x '=-0>也恒成立，()sin f x ax x =-在R 上也是增函数，所以“2a >”是“()sin f x ax x =-为R 上的增函数”的充分不必要条件是正确的； 对于②，2()10f x x '=+>恒成立，所以()f x 在R 上为增函数，最多只有一个零点，故
②是错误的；
对于③，所有基本事件为：21,22,23,31,32,33++++++共6个， 其中和为4的有
22,31++共2个，根据古典概型可得所求概率为21
63
=，故③正确；
对于④，设(,)(0)C x y x ≠||x =2+，两边平方并化简得
244||y x x =+，
当0x >时，得28y x =，当0x <时，得0y =，所以所求轨迹方程是：28(0)y x x =>或
0,0y x =<，故④不正确；
对于⑤，依题意得x a e x ≤-对任意的正数x 恒成立，令()x f x e x =-，则
()1x f x e =-'，
因为0x >，所以()0f x '>，所以()x f x e x =-在(0,)+∞上为增函数，所以
()(0)1f x f >=，
所以1a ≤，故⑤时正确的. 故答案为：①③⑤ 【点睛】
本题考查了；利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数处理不等式恒成立，考查了古典概型，考查了两圆外切，考查了求曲线的轨迹方程，属于中档题.
20．【分析】变换得到设求导得到单调性画出图像得到答案【详解】由题可知函数的定义域为函数有零点等价于有实数根即设则则函数在上单调递增在上单调递减且画出图像如图所示：根据图像知故答案为：【点睛】本题考查了利 解析：(,1]-∞
【分析】 变换得到ln 1x a x
+=，设()ln 1
x g x x +=，求导得到单调性，画出图像得到答案.
【详解】
由题可知函数()f x 的定义域为()0,∞+ 函数()ln 1f x ax x =--有零点， 等价于()ln 10f x ax x =--=有实数根
()ln 10f x ax x =--=，即ln 1x a x
+=
， 设()ln 1x g x x +=
，则()2
ln 'x
g x x
-=. 则函数在()0,1上单调递增，在[)1,+∞上单调递减，且()11g =， 画出图像，如图所示：
根据图像知1a ≤. 故答案为：(,1]-∞. 【点睛】
本题考查了利用导数研究零点，参数分离画出图像是解题的关键.
三、解答题
21．（1）23cos ,0,33y a x x x x ππ⎫
⎛⎫
=+-+∈⎪ ⎪⎭⎝⎭
；（2）当6x π=时，广告位出租的总收入最大，最大值为236a π⎫
⎪⎭
元. 【分析】
（1）根据题意，利用正弦定理求得OC 的值，再求弧长DB ，求出函数y 的解析式，写出x 的取值范围；
（2）求函数y 的导数，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值和对应x 的值． 【详解】
(1)因为//CD OA ，所以ODC AOD xrad ∠=∠=. 在OCD ∆中，23OCD π∠=
，3
COD x π
∠=-，2OD km =. 由正弦定理，得243
2sin 3sin
sin 33OC CD x
x ππ=
==
⎛⎫
- ⎪⎝⎭
， 得43OC xkm =
，4333CD x km π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
. 又圆弧DB 长为23x km π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
， 所以43432233
33y a x a x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯
+⨯-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 23sin cos ,0,33a x x x x ππ⎫⎛⎫
=+-+∈⎪ ⎪⎭⎝⎭
.
(2)记()23sin cos 3f x a x x x π⎛⎫=+-+
⎪⎝⎭， 则()()
'23cos sin 122cos 16f x a x x a x π⎡⎤⎛⎫=--=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令()'0f x =，得6x π
=.
当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化如下表：
所以()f x 在6x π
=处取得极大值，这个极大值就是最大值，即
2323666f a a πππ⎛⎫⎫⎫=⨯= ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭. 故当6x π
=时，广告位出租的总收入最大，最大值为236a π⎫⎪⎭
元． 【点睛】
本题考查了三角函数模型的应用问题，考查利用导数知识处理最值问题，考查函数与方程思想，是中档题．
22．（1）答案见解析；（2）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】
（1）当1a =时，求导得到()111x f x x x -'=-
=，然后解不等式()0f x '<和()0f x '>即可..
（2）由()1f x a x '=-，当0a ≤时，()10f x a x
'=-<，()f x 单调减不成立，当0a >时，()11a x a f x a x x
⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-=，易得1x a =是()f x 的极小值点，然后分1a e ≥，10a e
<<两种情况，利用零点存在定理求解. 【详解】
（1）当1a =时，由()111x f x x x
-'=-=，
当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；
当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；.
（2）由()1f x a x
'=-， 若0a ≤，()10f x a x
'=-<， ()f x 单调减，()f x 最多有一个零点，不合题意；
若0a >，()11a x a f x a x x
⎛⎫- ⎪⎝
⎭'=-=， 当10,x a ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x '<，()f x 单调减； 当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0f x '>，()f x 单调增， 则1x a
=是()f x 的极小值点， （i ）若111110ln 1ln 0a e f a e e a a a a ⎛⎫≥⇒<≤⇒=⋅-≥-= ⎪⎝⎭
， 此时，()f x 最多有一个零点，不合题意；.
（ii ）当111110ln 1ln 0a e f a e e a a a a ⎛⎫<<⇒>⇒=⋅-<-= ⎪⎝⎭
， 又1110f a e e ⎛⎫=⋅+> ⎪⎝⎭，故在11,
e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，()
f x 有一个零点， 又∵10,
x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减， 在10,a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
内，()f x 有且只有一个零点. 由（1）知，ln 1ln11x x -≥-=，等号仅当1x =时成立，
22442222ln 2ln 2f a a a a a
a ⎛⎫⎛⎫=⋅-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故在214,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
内，()f x 有一个零点， 又∵1,x a ⎛⎫∈+∞
⎪⎝⎭时，()f x 单调增， 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
内，()f x 有且只有一个零点.
所以a 的取值范围为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题主要考查函数的单调性与导数以及函数的零点与导数，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.
23．（1）()min 4ln 2F x =-+，()max 4ln3F x =-+；（2）1-.
【分析】
（1）对函数()F x 求导，根据导数的方法研究其在[]1,3上的单调性，进而可得出最值； （2）先将不等式恒成立转化为215122
x k e x x ≤+--对任意x ∈R 恒成立，令()215122
x h x e x x =+
--，根据导数的方法求出最值，即可得出结果. 【详解】 （1）∵()()215ln ln 122F x x g x x x x =+=+
--，∴()()()2122x x F x x --'=， 令()0F x '=，则112
x =，22x =， 当()1,2x ∈时，()()()21202x x F x x --'=
<，则函数()F x 在区间()1,2上单调递减； 当()2,3x ∈时，()()()21202x x F x x
--'=>，则函数()F x 在区间()2,3上单调递增； ∴()()min 24ln2F x F ==-+，
又()()33ln 143F F =-<=-+，所以()max 4ln3F x =-+；
（2）∵()()0f x g x k +->对任意x ∈R 恒成立， ∴2151022
x e x x k +---≥对任意x ∈R 恒成立， ∴215122
x k e x x ≤+--对任意x ∈R 恒成立. 令()215122x h x e x x =+
--，则()52x h x e x '=+-. 由于()10x
h x e '=+>，所以()h x '在R 上单调递增. 又()3002h =-<'，()3102h e =->'，121202h e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，3437044h e ⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭
， 所以存在唯一的013,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，使得()00h x '=， 且当()0,x x ∈-∞时，()0h x '<，()0,x x ∈+∞时，()0h x '>.
即()h x 在()0,x -∞单调递减，在()0,x +∞上单调递增.
∴()()02000min 15122
x h x h x e x x ==+--. 又()00h x '=，即00502x e x +-=，∴0052
x e x =-. ∴()()2200000051511732222h x x x x x x =
-+--=-+. ∵013,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()0271,328h x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭
. 又∵215122
x k e x x ≤+--对任意x ∈R 恒成立，∴()0k h x ≤， 又k ∈Z ，∴max 1k =-.
【点睛】
本题主要考查用导数的方法求函数的最值，考查导数的方法研究等式恒成立问题，属于常考题型.
24．（1）210x y -+=；（2）
4927. 【分析】
(1）利用导数的几何意义求切线的斜率，再利用点斜式方程即可求出切线方程。

(2）根据极小值点求出a 的值，根据导数值的正负判断函数的单调性，即可求出最大值
【详解】
（1）当2a =时，321()212
f x x x x =-++， 2()32f x x x '=-+， 所以(0)2k f '==，(0)1f =，
所以切线方程为12y x -=，
整理得210x y -+=.
（2）2()3f x x x a '=-+，
因为函数在1x =处有极小值，
所以(1)310f a '=-+=，
解得2a =-， 所以321()212
f x x x x =--+， 令2()320f x x x '=--=，解得1x =或23x =-
， 当23x <-
或1x >时()0f x '>，()f x 单调递增， 当213
x -<<时，()0f x '>，()f x 单调递减，
所以()f x 在区间22,3⎛⎫-- ⎪⎝
⎭，31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增， 在2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，所以322212249()()()2()13323327f -=--⨯--⨯-+= 32331331()()()2()1222224f =-⨯-⨯+=，因为491274
>， 所以()f x 的最大值为
4927. 【点睛】
本题主要考查导数的概念及其几何意义，导数在研究函数中的应用.
25．（1）分类讨论，答案见解析；（2）1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭． 【分析】
（1）对函数求导得()(1)(2)x f x ax x e '=--，然后分12a >，102a << 和12a =三种情况令导函数大于零，可求得()y f x =的单调增区间；
（2）对函数求导，讨论0a =，12
a >，102a <≤，0a <，由极小值的定义，即可得到所求a 的取值范围
【详解】
解：（1）因为()2()e 4143x f x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦，
所以2()(21)2(1)(2)x x f x ax a x e ax x e '⎡⎤=-++=--⎣⎦， 当12
a >时，令()0f x '>，得：1x a <或2x >， 当102a <<
时，令()0f x '>，得：2x <或1x a >， 当12a =时，0f x 恒成立 ． 综上，当12a >时，单调递增区间是()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ 当102a <<
时，单调递增区间是()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ 当12
a =时，()f x 在R 上单调递增 （2）2()(21)2(1)(2)x x f x ax a x e ax x e '⎡⎤=-++=--⎣⎦
， 由（1）得，若12
a >，()f x 在2x =处取得极小值；
102
a <≤，所以2不是()f x 的极小值点． 0a =时，()(1)(2)e 0,2x f x x x '=--><，
()(1)(2)0,2x f x x e x '=--<>，
2是()f x 的极大值点，
0a <时，()0f x '>，得：12x a <<，
令()0f x '<，得：1x a <
或2x > 2是()f x 的极大值点，
综上可知，a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭． 【点睛】
此题考查导数的应用，考查利用导数求单调区间和极值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题
26．（1）350x y --=；（2）1a ≤-．
【分析】
（1）当2a =时，求函数的导数，根据导数的几何意义即可求函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程；
（2）对于任意()1,∈+∞x ，都有()2f x x >-+，等价于2ln 2a x x x x <+-恒成立，构造函数()2
ln 2g x x x x x =+-，利用导数求出其最小值即可 【详解】
(1)解：当2a =时，由己知得()2ln f x x x
=-，故()212f x x x '=+， 所以()1123f '=+=，又因为()21ln121
f =-=-，所以函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为()231y x +=-，即350x y --=；
（2）解：由()2f x x >-+，得ln 2a x x x
-
>-+，又()1,∈+∞x ， 故2ln 2a x x x x <+-．
设函数()2ln 2g x x x x x =+-， 则()1ln 22ln 21g x x x x x x x
'=+⋅+-=+-． 因为()1,∈+∞x ，所以ln 0x >，210x ，
所以当()1,∈+∞x 时，()ln 210g x x x '=+->，
故函数()g x 在1,上单调递增．
所以当()1,∈+∞x 时，()()11ln11211g x g >=⨯+-⨯=-．
因为对于任意()1,∈+∞x ，都有()2f x x >-+成立，
所以对于任意()1,∈+∞x ，都有()a g x <成立．所以1a ≤-．
【点睛】
此题考查导数的应用，考查导数的几何意义以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解此题的关键，属于中档题。