2020-2021学年天津市河西区高一上学期期中数学试卷(含解析)

2020-2021学年天津市河西区高一上学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共9小题，共36.0分）
1.全集为R，A={x|x2−5x>0}，B={x||x−5|<a}，(a是常数)，且10∈B，则()
A. (∁U A)∪B=R
B. (∁U B)∪A=R
C. (∁U A)∪(∁U B)=R
D. A∪B=R
2.若a，b是正整数，则a+b>ab充要条件是()
A. a=b=1
B. a，b有一个为1
C. a=b=2
D. a>1且b>1
3.下列四个命题中，正确的是()
A. 命题“∃x∈R，x2−x>0”的否定是“∀x∈R，x2−x<0”
B. 在公差为d的等差数列{a n}中，a1=2，a1，a3，a4成等比数列，则公差d为−1
2
C. “命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的充分不必要条件
D. 命题“若a>b，则2a>2b−1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b−1”
4.下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③命题“若a>b，则a+c>b+c”的否命题；④命
题“矩形的两条对角线相等”的逆命题．其中假命题的个数为()
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
5.若关于x的一元二次不等式x2+mx+1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是()
A. (−∞,−2]∪[2,+∞)
B. [−2,2]
C. (−∞,−2)∪(2,+∞)
D. (−2,2)
6.下列函数表示同一个函数是()
A. y=x与y=√x2
B. y=√x−1与y=x−1
√x−1
C. y=x
与y=1 D. y=x与y=3x3
x
x(x≥0)和矩形ABCD，AB=16，AD=9，点
7.已知射线OP：y=4
3
A、B分别在射线OP和x轴非负半轴上，则线段OD长度的最大值
为()
A. √337
B. 27
C. √689
D. 29
8. 6.
A. m<n<p
B. m<p<n
C. p<m<n
D. p<n<m
9.下列函数既是偶函数，又在(0,+∞)上单调递减的是()
A. y=1
x B. y=cosx C. y=x2 D. y=1
|x|
二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）
10.设全集U={0,1，2，6，9}，Q={0,2，6}，则用列举法表示∁U Q=______．
11.定义在[1,+∞)上的函数f(x)满足：(1)f(2x)=2f(x)；(2)当2≤x≤4时，f(x)=1−|x−3|，
则集合S={x|f(x)=f(34)}中的最小元素是______ ．
12.函数y=[x]称为高斯函数，又称取整函数，对任意实数x，[x]是不超过x的最大整数，则函数
y=[x]+1(−0.5<x<2.5)的值域为______ ．
13.若两个正实数x，y满足2
x +1
y
=1，则x+2y的最小值是_________．
14.若f(x)=m+n−2 x
1+2 x (其中m>0，n>0)是奇函数，则代数式1
m
+1
n
的最小值为______ ．
15.已知y=f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，f(x)<xf′(x)，且f(1)=0，则不等式xf(x)>
0的解集为______ ．
三、解答题（本大题共3小题，共34.0分）
16.在数学中，等与不等是相对的，例如“当a≤b且a≥b时，我们就可以得到a=b”.设二次函数
f(x)=ax2+bx+c(a,b，c∈R)，且满足f(−1)=0，对于任意实数x都有f(x)−x≥0，且当x∈(0,2)时，f(x)≤(x+1
2
)2．
(Ⅰ)求f(1)的值；
(Ⅱ)求证：a>0，c>0；
(Ⅲ)当x∈[−1,1]时，函数g(x)=f(x)−mx(m∈R)是单调的，求实数m的取值范围．
17.已知二次函数f(x)=x2+bx+c，f(2)=3，且函数f(x+1)为偶函数．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若g(x)=|f(x)|，求g(x)在区间[0,4]上的值域．
18. (本小题满分12分)
图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面(阴影部分)示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为，设AB=2x，BC=y．
(1)写出y关于x函数表达式，并指出x的取值范围；
(2)求当x取何值时，凹槽的强度最大．
【答案与解析】
1.答案：D
解析：解：全集为R，A={x|x2−5x>0}={x|x<0或x>5}=(−∞,0)∪(5,+∞)，
又B={x||x−5|<a}，(a是常数)，且10∈B，
∴B={x|5−a<x<5+a}=(5−a,5+a)，
由5+a>10，得a>5；
∴5−a<0，
∴A∪B=R．
故选：D．
化简集合A、B，根据题意判断是否正确即可．
本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．
2.答案：B
解析：解：∵a，b是正整数，则a+b>ab，
∴(a−1)(b−1)<1，
∵a，b是正整数，∴a≥1，b≥1，
则a−1≥0，b−1≥0，
∴(a−1)(b−1)≥0，
若(a−1)(b−1)<1，
则(a−1)(b−1)=0，
即a=1或b=1，
即a，b有一个为1，
即a+b>ab充要条件是a，b有一个为1，
故选：B．
根据不等式的解法，结合充分条件和必要条件的定义进行求解判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的求解，结合不等式的性质求出不等式的等价条件是解决本题的关键．
3.答案：D
解析：解：对于A：命题“∃x∈R，x2−x>0”的否定是“∀x∈R，x2−x≤0”，故A错误；
对于B：在公差为d的等差数列{a n}中，a1=2，a1，a3，a4成等比数列，所以a32=a1⋅a4，整理得：(a1+2d)2=a1⋅(a1+3d)，解得d=0或−1
，故B错误；
2
对于C：“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的必要不充分条件，故C错误；
对于D：命题“若a>b，则2a>2b−1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b−1”，故D正确．故选：D．
直接利用命题的否定和否命题的关系，等差数列的性质的应用，真值表的应用判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：命题的否定和否命题的关系，等差数列的性质的应用，真值表，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
4.答案：B
解析：解：①是p或q形式的复合命题，p真q假，根据真值表，故p或q为真，①为真命题；
②是真命题；
③否命题是“若a≤b，则a+c≤b+c”，根据不等式的性质，③是真命题；
④逆命题是“两条对角线相等的四边形是矩形”，是假命题，例如等腰梯形的对角线也相等，但不是矩形．
故选B
5.答案：B
解析：解：关于x的一元二次不等式x2+mx+1≥0的解集为R，
所以△=m2−4≤0，
解得−2≤m≤2，
所以实数m的取值范围是[−2,2]．
故选：B．
利用判别式△≤0，列不等式求出实数m的取值范围．
本题考查了一元二次不等式恒成立问题，基础题．
6.答案：D
解析：解：y=x与y=√x2两个函数的定义域相同，但是对应法则不同，所以不是相同的函数．
y=√x−1与y=
两个函数的定义域不相同，所以不是相同的函数．
√x−1
y=x
与y=1两个函数的定义域不相同，所以不是相同的函数．
x
y=x与y=3x3两个函数的定义域相同，但是对应法则相同，所以是相同的函数．。