2021届湖北省荆门市龙泉中学高三上学期11月月考数学试题(解析版)

2021届湖北省荆门市龙泉中学高三上学期11月月考数学试
题
一、单选题
1．在复平面内，复数23i
z i
-=
+（i 为虚数单位）对应点的坐标为（ ） A ．11,22⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．11,22⎛⎫
-
⎪⎝
⎭ C ．11,22⎛⎫
-
- ⎪⎝
⎭ D ．11,22⎛⎫
-
⎪⎝
⎭ 【答案】D
【分析】先化简复数为1
1
2
2
z i ，再写出复数在复平面内对应点的坐标即可. 【详解】解：因为2(2)(3)5511
3(3)(3)1022
i i i i z i i i i ----=
===-++- 所以复数23i z i -=+在复平面内对应点的坐标为11,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
故选：D
【点睛】本题考查复数的运算、复数的几何意义，是基础题. 2．已知集合(){}2
2
,+1A x y x y
==，(){},B x y y x =
=，则集合A ∩B 的子集的个
数为（ ） A ．2 B ．4
C ．6
D ．8
【答案】B
【分析】由已知联立方程组求得集合A ∩B 的元素，根据集合中的元素的个数求得集合的子集的个数，可得选项.
【详解】由22+1x y y x ⎧=⎪⎨=⎪
⎩
，解得2
x y ⎧=⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
或2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
所以,,2222A B ⎧⎫⎛⎛⎪⎪
=- ⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭
，有两个元素，它的子集有4个． 故选：B ．
【点睛】本题考查集合的含义，求集合的子集的个数，属于基础题.
3．已知4log 2a =，0.32b =，cos1c =.则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ．c b a <<
B ．c a b <<
C ．a b c <<
D ．a c b <<
【答案】D
【分析】利用指数函数与对数函数的性质及三角函数的单调性，即可得出,,a b c 的大小关系.
【详解】41
log 22
a ==
，0.312b =>，cos cos113π<<即112c <<，
则a ，b ，c 的大小关系是a c b <<. 故选：D.
【点睛】本题考查的是比较大小问题，涉及的知识点包括指数函数的单调性、对数函数的单调性及三角函数的单调性，属于基础题. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性：x
y a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递
减；
（2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函
数递减；
（3）借助于中间值，例如：0或1等.
4．已知{}2
:230p A x x x =--≤，{}
2
2
:240q B x x mx m =-+->，若p 是q 成
立的充分不必要条件，求m 的取值范围是（ ） A ．()(),35,-∞-+∞ B ．()3,5- C ．[]3,5- D ．(]
[),35,-∞-+∞
【答案】A
【分析】分别解出不等式，化简p 、q ，根据p 是q 成立的充分不必要条件，即可得出
m 的取值范围.
【详解】由2230x x --≤解得：13x -≤≤，[]1,3A ∴=-.
由22240x mx m -+->，即()2
4x m ->，解得2x m >+或2x m <-+.
()(),22,B m m ∴=-∞-++∞.
p 是q 成立的充分不必要条件，则A B ，32m ∴<-+或21m +<-，
解得：5m >或3m <-.
m ∴的取值范围是()
(),35,-∞-+∞.
故选：A.
【点睛】本题考查了集合、简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 5．已知tan
32
α
=，则
sin 1cos α
α=-（ ）
A ．3
B ．
13
C ．3-
D ．13
-
【答案】B
【分析】利用二倍角的正弦和余弦公式以及同角三角函数的基本关系式，将所求的表达式化简为正切函数的形式，代入求解即可． 【详解】解：已知tan
32
α
=，
而
2
22sin
cos
2sin
cos
sin 11
2
2
2
21cos 3
2sin tan
112sin 2
2
2α
α
α
α
α
α
α
αα
==
=
=
-⎛
⎫-- ⎪
⎝
⎭. 故选：B.
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角的正弦和余弦公式，以及同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题． 6．已知(),0,x y ∈+∞，4
124y
x -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，则xy 的最大值为（ ） A ．2 B ．
98 C ．
32
D ．
94
【答案】A 【分析】根据4
124y
x -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
可得24x y +=，之后利用基本不等式得到2112(2)()2222
x y xy x y +=
⋅≤=，从而求得结果. 【详解】因为(),0,x y ∈+∞，且421224y
x y --⎛⎫
== ⎪⎝⎭
， 所以42x y ，即24x y +=，
所以有2112(2)()2222
x y xy x y +=
⋅≤=，
当且仅当22x y ==时取得最大值2， 故选：A.
【点睛】该题考查的是有关应用基本不等式求最值的问题，涉及到的知识点有利用基本不等式求积的最大值，属于简单题目.
7．已知若()f x 为定义在R 上的偶函数，且当(],0x ∈-∞时，()20f x x '+>，则不等式()()1223f x f x x +-+>+的解集为（ ） A ．（
3
2
，+∞） B ．（-∞，3-） C ．（-∞，3
2
-
） D ．（3
2
-
，+∞） 【答案】D
【分析】设()()2
g x f x x =+，可得()g x 为偶函数，又(]
,0x ∈-∞时,()()20g x f x x +'=>，所以()g x 在(],0-∞上单调递增，在[)0+，
∞上单调递减，由()()1223f x f x x +-+>+，可得()()12g x g x +>+，即()()
12g x g x +>+，由单调性可得出答案.
【详解】设()()2
g x f x x =+，()f x 为定义在R 上的偶函数，则()g x 为偶函数.
当(],0x ∈-∞时，,()()20g x f x x +'=>,所以()g x 在(],0-∞上单调递增.
由()g x 为偶函数，则()g x 在[)0+，
∞上单调递减. 由()()1223f x f x x +-+>+，即()()()()2
2
1122f x x f x x +++>+++
所以()()12g x g x +>+，由()g x 为偶函数，即()()
12g x g x +>+
又()g x 在[)0+，
∞上单调递减，所以12x x +<+，解得：32
x >- 故选：D
【点睛】本题考查构造函数，根据导数得出单调性，结合函数为偶函数解不等式，本题根据条件构造出函数是关键，属于中档题.
8．设二次函数()f x 满足下列条件：①()(2)f x f x =--，(1)0f -=；②当()
0,2x ∈时，2()412x f x x ≤≤-+恒成立．若()f x 在区间[]1,m m -上恒有2
()12
x f x -≤，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]1,1-
B ．31,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
C ．11,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦ D ．13,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】C
【分析】由条件①得函数的对称轴和零点，可设出解析式，由条件②中令1x =可求得
解析式，然后解出不等式2
()12
x f x -≤后可确定m 的范围． 【详解】由()(2)f x f x =--知1x =-是其对称轴，又(1)0f -=，∴设
2()(1)f x a x =+，
由②，令1x =得2(1)2f ≤≤，(1)2f =，解得12
a =，∴22111()(1)222
f x x x x =
+=++， 不等式2()12x f x -
≤为112x +≤，解得31
22
x -≤≤， 由题意312
1
2m m ⎧
-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩
，解得1122m -≤≤．
故选：C ．
【点睛】关键点点睛：本题考查二次函数的性质．考查不等式恒成立问题．函数()f x 满足()()f a x f b x +=-，则2
a b
x +=
是其图象的对称轴．与二次函数有关问题中出现类似条件：当()0,2x ∈时，2()412x f x x ≤≤-+恒成立，可用特殊值法，采用两边夹思想求出某个函数值．
二、多选题
9．已知向量(4,3)a k =，(4,3)b k =，则（ ） A ．若a b ⊥，则0k = B ．若//a b ，则1k =
C ．若a b >，则1k <
D ．若a b a b +=-，则a b ⊥
【答案】AD
【分析】先根据a b ⊥建立方程44330k k ⨯+⨯=解得0k =，判断选项A 正确；再根据//a b ，建立方程(4,3)(4,3)k k λ=解得1k =±，判断选项B 错误；接着根据a b
>>解得11k -<<，判断选项C 错误；最后根据
a b a b +=-，化简整理得到a b ⊥，判断选项D 正确.
【详解】解：因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b ⊥，则44330k k ⨯+⨯=，解得0k =，故选项A 正确；
因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，//a b ，则λa b ，即(4,3)(4,3)k k λ=，解得1k =±，
故选项B 错误；
因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b >，则22224(3)(4)3k k +>+，解得
11k -<<，故选项C 错误；
因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b a b +=-，则0a b ⋅=，0a ≠，0b ≠，所以
a b ⊥，故选项D 正确.
故答案为：AD.
【点睛】本题考查利用向量垂直求参数、利用向量共线求参数、根据向量的模的大小关系求参数的范围、利用向量的运算判断向量垂直，是中档题.
10．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，ϕπ<）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A ．函数()f x 的图象关于2
x π=
直线对称
B ．函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
对称 C ．函数()f x 在区间36ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
，上单调递增 D ．1y =与图象()231212y f x x π
π⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭
的所有交点的横坐标之和为83π 【答案】BCD
【分析】根据图象求出函数解析式，再判断各选项．
【详解】由题意2A =，254312T πππ⎛⎫
=⨯-= ⎪⎝⎭
，∴22πωπ=
=，又22sin 223πϕ⎛⎫
⨯+=- ⎪⎝⎭
，42,32k k Z ππϕπ+=-∈，又ϕπ<，∴6π=ϕ，
∴()2sin(2)6
f x x π
=+．
∵722
6
6
π
π
π⨯
+
=
，∴2x π
=不是对称轴，A 错；
sin 20126ππ⎡⎤⎛⎫⨯-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，∴,012π⎛⎫
- ⎪⎝⎭是对称中心，B 正确；
36x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，时，2,622x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，∴()f x 在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 正确；
2sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，1sin 262x π⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，2266x k πππ+=+或
522,6
6
x k k Z π
π
π+
=+
∈， 即x k π=或3
x k π
π=+，k Z ∈，又2312
12x π
π-
≤≤
，∴40,,,33
x πππ=，和为83π
，D 正确． 故选：BCD ．
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的图象与性质，解题关键是掌握“五点法”，通过五点法求出函数解析式，然后结合正弦函数性质确定函数()f x 的性质．本题方法是代入法，整体思想，即由已知求出26
x π
+的值或范围，然后结合正弦函数得出结论．
11．下列结论不正确的是（ ）
A ．当0x >2
≥ B ．当0x >2
的最小值是2
C ．当54x <
时，22145
x x -+-的最小值是5
2 D ．设0x >，0y >，且2x y +=，则
14x y +的最小值是9
2
【答案】AD
【分析】根据基本不等式判断各选项．
【详解】A. 当0x >2
+≥=，=即1
x =时等号成立，A 正确；
B. 当0x >2
2=≥=，当且仅当
=
=
无实解，故最小值2取不到，
B 错； C. 当5
4x <
时，450x -<，22145
x x -+-无最小值，C 错； D. 设0x >，0y >，且2x y +=，则
141141419()552222y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝
⎭⎝，当且仅当4y x x y =，即24,33
x y ==时等号成立，D 正确． 故选：AD ．
【点睛】本题考查用基本不等式求最值，掌握基本不等式是解题关键，基本不等式求最值时有三个条件：一正二定三相等，缺一不可，但用来证明不等式可以没有相等的条件，如A 中不等式可能不考虑等号成立的条件．
12．已知函数()ln f x x mx =-有两个零点1x ，2x ，且12x x <，则（ ） A ．101x << B ．2x e >
C ．1
0m e
<<
D ．21x x -的值随m 的增大而减小
【答案】BCD
【分析】由()ln 0f x x mx =-=得()n 0l x
m x x =
>，作出()ln x g x x
=图象，然后作y m =图象，由图即可判断四个选项是否正确，即可得到答案.
【详解】解：由()ln 0f x x mx =-=，得ln x mx =，
即()n 0
l x
m x x
=
>. 令()ln x g x x =
，则()21ln x
g x x
-'=， ∴当()0,x e ∈时，()0g x '>，当(),x e ∈+∞时，()0g x '<. ∴()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减. ∴当x e =时，()g x 取最大值为()1
g e e
=
. 又当0x +→时，()g x →-∞，当x →+∞时，()0g x →. 作出函数()g x 的图象如图：
由图可知，2x e >，1
0m e
<<，21x x -的值随m 的增大而变小. 故选：BCD
【点睛】本题主要考查了函数与方程，函数的零点转化为对应方程的根，转化为两个函数图象的交点，考查数形结合的思想，属于中档题.
三、填空题 13．函数22()log (21)1
x
f x x x -=
++-的定义域为_______. 【答案】(]1,11,22⎛⎫
-
⎪⎝⎭
【分析】由二次根式、分式及对数函数的性质可得不等式组，即可得解.
【详解】由题意2010210x x x -≥⎧⎪
-≠⎨⎪+>⎩
，
解得1
22
x -
<≤且1x ≠， 所以函数()f x 的定义域为(]1,11,22⎛⎫
-
⎪⎝⎭
.
故答案为：(]1,11,22⎛⎫
-
⎪⎝⎭
.
【点睛】本题考查了具体函数定义域的求解，考查了运算求解能力，属于较易题. 14．已知向量a ,b 满足2a b ==，且()()
22a b a b +⋅-=-，则向量a ,b 的夹角为______. 【答案】
3
π 【分析】由()()22a b a b +⋅-=-得2a b
，再根据平面向量的夹角公式可得结果.
【详解】由(
)(
)
22a b a b +⋅-=-，得2222a a b b +⋅-=-， 所以482a b +⋅-=-，即2a b ，
所以21
cos ,222
||||a b a b a b ⋅<>=
==⨯，
又因为,[0,]a b π<>∈，所以,3
a b π
<>=.
故答案为：
3
π. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算律，考查了平面向量的夹角公式，属于基础题.
15．若函数()x
x a
f x e e
=+
（e 为自然对数的底数）在区间()1,2上存在最小值，则实数a 的取值范围是______. 【答案】(
)()42
2
4
,,e e
e e --⋃
【分析】分别讨论0a <、0a >、0a =，三种情况()x
x
a
f x e e =+
的单调区间，由题意知在区间()1,2内必存在()f x 的极小值点，即可得出不等式，解不等式即可求解.
【详解】当0a <时， ()()1,ln 2
1,ln 2x x x x a
e x a e y a e x a e ⎧+>-⎪⎪=⎨⎪--<-⎪⎩
，
当()1ln 2x a <
-时，x x a y e e =--，0x x a y e e '=-+<，x x a
y e e =--单调递减， 当()1ln 2x a >-时，x
x a y e e
=+单调递增，
函数()x
x a
f x e e
=+
（e 为自然对数的底数）在区间()1,2上存在最小值， 则()1
1ln 22
a <
-<，即24e a e <-<，解得：42e a e -<<- 当0a >时，()0x
x
a f x e e
=+
>对于区间()1,2恒成立，()x x
x x a a f x e e e e =+=+ 则()x
x a
f x e e '=-
， 令()0x
x a f x e e '=-=，得1ln 2
x a =，
当1
ln 2x a <时()0f x '<，()f x 单调递减；
当1
ln 2
x a >时()0f x '>，()f x 单调递增；
若()x
x
x x a a f x e e e e =+
=+区间()1,2上存在最小值，则11ln 22
a <<， 解得:24e a e <<，
当0a =时，()x
f x e =，在区间()1,2上单调递增，无最小值，不符合题意.
故答案为：(
)()42
2
4
,,e e
e e --⋃
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，属于中档题.
四、双空题
16．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足
()2tan tan tan c B b A B ⋅=⋅+，则A =_____；若O 是ABC 外接圆的圆心，且
cos cos 2sin 2sin B C
AB AC mAO C B
⋅+⋅=，则实数m =______.
【答案】
3π 【分析】①利用正弦定理边化角，结合两角和差公式进行化简变形，即可得答案． ②取AB 边中点D ，则AB OD ⊥，
2cos cos cos cos ()()2sin 2sin 2sin 2sin B C B C AB AC m AD DO AB AC AB m AD DO AB C B C B
+=++=+，
利用正弦定理边化角，化简即可得出答案．
【详解】①2tan (tan tan )c B b A B =+， 2sin tan sin (tan tan )C B B A B =+，
因为sin sin[()]sin()sin cos cos sin C A B A B A B A B π=-+=+=+，代入上式得， sin sin sin 2[sin cos cos sin ]sin ()cos cos cos B A B
A B A B B B A B +=+ 1sin sin 2[sin cos cos sin ]
cos cos cos A B
A B A B B A B
+=+， 2[sin cos cos sin ]cos sin cos sin cos A B A B A A B B A +=+， 2sin cos cos 2cos cos sin sin cos sin cos A A B A A B A B B A +=+， 2sin cos cos 2cos cos sin sin cos sin cos 0A A B A A B A B B A +--=，
sin cos (2cos 1)cos sin (2cos 1)0A B A A B A -+-=， (2cos 1)(sin cos cos sin )0A A B A B -+=， (2cos 1)sin()0A A B -+=， (2cos 1)sin 0A C -=，
因为sin 0C ≠
所以2cos 10A -=，即1cos 2
A =， 因为是锐角三角形， 所以3
A π
=
，
②取AB 边中点D ，则AB OD ⊥ cos cos 2sin 2sin B C
AB AC mAO C B +=，
cos cos ()2sin 2sin B C
AB AC m AD DO C B
+=+
2cos cos ()2sin 2sin B C
AB AC AB m AD DO AB C B
+=+，
2cos cos cos ()2sin 2sin B C
c b c A m AD AB DO AB C B
+=+， 22cos cos 1
cos 2sin 2sin 2
B C c b c A m AB C B +=， 22cos cos 1
sin sin sin cos sin 2sin 2sin 2
B C C B C A m C C B +=， cos cos cos sin B A C m C +=，
所以cos cos cos cos[()]cos cos sin sin B A C A C A C
m C C
π+-++==
cos cos sin sin cos cos sin A C A C C A
C
-++=
sin A ==
．
故答案为：
3π；3．
【点睛】本题考查正弦定理，向量数量积的应用，属于中档题．
五、解答题
17．在①355a a +=，47S =；②2
43n S n n =+；③42514S S =，5a 是3a 与
9
2
的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若________. （1）求n a ； （2）记222
1
n n n b a a +=
⋅，求数列{}n b 的前n 项和T n .
【答案】（1）1
2n n a +=
；（2）469
n n T n =
+. 【分析】（1）若选择条件①，由355a a +=得出1265a d +=，根据47S =得出
143
472
a d ⨯+
=，最后两式联立，即可得出结果；若选择条件②，可根据1n n n a S S -=-得出结果；若选择条件③，由42514S S =得出()()11546142a d a d ⨯+=+，根据5a 是
3a 与92
的等比中项得出()()2
119422a d a d +=+，然后两式联立，通过计算即可得出
结果；
（2）本题首先可根据12n n a +=得出1
122123n b n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭
，然后通过裂项相消法求和即可得出结果.
【详解】（1）选择条件①：设等差数列{}n a 的公差为d ，
则1126543472a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得11
12a d =⎧⎪
⎨=⎪⎩
，故12n
n a += ；
选择条件②：2
43n S n n =+，
当2n ≥时，22
14443(1)3(1)22n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦， 即1
2
(2)n n a n +=
≥， 当1n =时，211131
14
a S +⨯===，也适合上式，
故1
2
n n a +=
； 选择条件③：设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()()()112
1
15461429422a d a d a d a d ⎧⨯+=+⎪
⎨+=+⎪⎩， 解得11a =、12d =或10a =、0d =（不合题意），故1
2n n a +=
. （2）因为1
2
n n a +=，
所以222141
12(21)(23)2123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅++++⎝⎭
，
故12
n
n T b b b
1111
11235572123n n …⎛⎫=-+-++- ⎪++⎝⎭
114232369
n n n ⎛⎫=-= ⎪
++⎝⎭. 【点睛】本题考查数列通项公式的求法以及裂项相消法求和，考查等差数列通项公式以及等差数列前n 项和公式的灵活应用，考查等比中项公式以及数列的项与其前n 项和之间的关系，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.
18．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知向量(,2)m b a c =-，
(cos 2cos ,cos )n A C B =-，且m n ⊥．
（1）求
sin sin C
A
的值； （2）若2,35a m ==，求△ABC 的面积S ．
【答案】（1）2
（2 【分析】（1）先根据向量垂直得到边角关系：(cos 2cos )+(2)cos 0b A C a c B --=，
再由正弦定理将边的关系化角的关系，结合两角和的正弦以及三角形角的关系，即可求解；
（2）由向量模的定义知22
(2)45b a c +-=，又由（1）知2c a =，而2,a =所以三边
都已确定，再由余弦定理求出cos A 的值，再利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）(cos 2cos )+(2)cos 0m n b A C a c B ⊥⇒--=， 由正弦定理得sin cos 2sin cos +sin cos 2sin cos B A B C A B C B --
sin()2sin()sin 2sin 0A B B C C A =+-+=-=，
所以
sin 2sin C
A
=； （2）由35m =得22
(2)45b a c +-=，
又由（1）知2c a =，而2,a =所以解得4,3c b ==，
由余弦定理得222715
cos ,sin 28b c a A A bc +-===
， 因此三角形面积为1115315
3422S bcsinA ==⨯⨯⨯=
【解析】正余弦定理
19．如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为等边三角形，D 、E 分别为AC 、11A C 的中点，点F 在棱1CC 上，且EF BF ⊥.
（1）证明：平面BEF ⊥平面BDF ；
（2）若4AB =，12C F FC =，求二面角D BE F --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）
2
3
. 【分析】（1）推导出BD ⊥平面11ACC A ，可得出BD EF ⊥，结合EF BF ⊥，利用线面垂直的判定定理可得出EF ⊥平面BDF ，再由面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）由EF ⊥平面BDF 得出EF DF ⊥，利用勾股定理计算出CF 的长，然后以点D 为坐标原点，DB 、DC 、DE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，利用空间向量法可求出二面角D BE F --的余弦值.
【详解】（1）因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1A A ⊥平面ABC ，
BD ⊂平面ABC ，1A A BD ∴⊥，
因为ABC 为等边三角形，D 为AC 的中点，所以BD AC ⊥. 又1A A
AC A =，所以BD ⊥平面11ACC A ，
EF ⊂平面11ACC A ，所以BD EF ⊥.
又因为EF BF ⊥，BD
BF B =，所以EF ⊥平面BDF .
又因为EF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面BDF ； （2）由（1）可知EF ⊥平面BDF ，所以EF DF ⊥.
设CF m =，则有2224449m m m +++=，即248m =，得
2m =
.
以D 为坐标原点，DB 、DC 、DE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，
则()0,0,0D ，(
)
23,0,0B ，()0,2,0C ，(0,0,32E ，(0,2F ，
设平面BEF 的法向量为(),,m x y z =，(2
3,0,32BE =-，(0,2,22EF =-，
由23320220
BE m x z EF m y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令3x =2z =，2y =，则(
)
3,2,2m =
，
因为DC ⊥平面BDE ，所以平面BDE 的一个法向量为()0,2,0DC =，
2
cos ,3
2m DC m DC m DC
⋅<>=
=
=⨯，
由图形可知，二面角D BE F --的平面角为锐角，所以二面角D BE F --的余弦值为
23
. 【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
20．某市居民用天然气实行阶梯价格制度，具体见下表：
从该市随机抽取10户（一套住宅为一户）同一年的天然气使用情况，得到统计表如下：
（1）求一户居民年用气费y （元）关于年用气量x （立方米）的函数关系式； （2）现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数的分布列与数学期望；
（3）若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市中依次抽取10户，其中恰有k 户年用气量不超过228立方米的概率为()P k ，求()P k 取最大值时的值．
【答案】（1）(]
(]()
3.25,0,2283.83132.24,228,348
4.7435,348,x x y x x x x ⎧∈⎪
=-∈⎨⎪-∈+∞⎩
；（2）分布列见解析，数学期望为910；
（3）6．
【分析】（1）由表格中的数据结合题意，即可求得一户居民年用气费y （元）关于年用气量x （立方米）的函数关系式；
（2）由题意知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户，
得到随机变量ξ可取0,1,2,3，利用超几何分布求得相应的概率，得到随机变量的分布列，进而求得期望；
（3）由()1010
3255k k
k P k C -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，列出不等式组由
101101
1
1010101101
110103232555532325555k k k k k k k k k k k k C C C C -+--+---+-⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎩，求得k 的值，即可求解. 【详解】（1）由题意，当(]
0,228x ∈时， 3.25y x =； 当(]
228,348x ∈时， 3.83132.24y x =-； 当()348,x ∈+∞时， 4.7435x y -=，
所以年用气费y 关于年用气量x 的函数关系式为(]
(]()3.25,0,2283.83132.24,228,3484.7435,348,x x y x x x x ⎧∈⎪
=-∈⎨⎪-∈+∞⎩
.
（2）由题知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户， 设取到年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为ξ，则ξ可取0,1,2,3，
则()373107024C P C ξ===，()21
733
1021
140C C P C ξ===， ()12733107240C C P C ξ===，()333101
3120
C P C ξ===，
故随机变量ξ的分布列为：
所以()19012324404012010
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=. （3）由题意知()()1010
320,1,2,3,1055k
k
k
P k C k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
由101101
11010101101
110103232555532325555k k k k k k k k k k k k C C C C -+--+---+-⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎩，解得283355k ≤≤，*k N ∈， 所以当6k =时，概率()P k 最大，所以6k =.
【点睛】本题主要考查了分段函数模型的性质及其应用，以及离散型随机变量的分布列与期望的求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
12,F F
分别为椭圆的左、右
焦点，点P 为椭圆上一点，12F PF △
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点(4,0)A 作关于x 轴对称的两条不同直线12,l l 分别交椭圆于11(,)M x y 与
22(,)N x y ，且12x x ≠，证明直线MN 过定点，并求出该定点坐标.
【答案】（1）2
214
x y +=；
（2）证明见解析，直线MN 过定点()10B ,. 【分析】（1）
根据离心率可得2
c a =
，
再由三角形的面积12
F PF S bc ≤=求出,,a b c
即可求解.
（2）设MN 方程为(),0x ny m n =+≠，将直线与椭圆方程联立，由直线12,l l 斜率之和为0，结合韦达定理可得1m =，代入直线方程即可求解. 【详解】（1）设222a c b -=
，则c a =
(,)P x y ， 则12
F PF S
c y =，
y b ≤
，12
F PF S bc ∴≤=
解得21
a b =⎧⎨=⎩.所以椭圆C 的方程为2
214x y +=.
（2）设MN 方程为(),0x ny m n =+≠，联立2
2
440
x ny m
x y =+⎧
⎨+-=⎩，
得(
)
2
22
4240n y nmy m +++-=，
2121222
24
,44
nm m y y y y n n --∴+==++， 因为关于x 轴对称的两条不同直线12,l l 的斜率之和为0，
即1212044y y x x +=--，即1212044
y y ny m ny m +=+-+-， 得()()121212240ny y m y y y y ++-+=， 即
()22222242804
44
n m nm nm
n n n --+=+++，解得：1m =. 直线MN 方程为：1x ny =+，所以直线MN 过定点()10
B ,. 【点睛】本题考查了由椭圆的离心率求标准方程、直线与椭圆的位置关系中的定点问题，此题对计算能力要求比较高，属于难题.
22．已知函数2()f x lnx mx =-，2
1()2
g x mx x =+，m R ∈，()()()F x f x g x =+．
（1）讨论函数()f x 的单调区间及极值；
（2）若关于x 的不等式()1F x mx -恒成立，求整数m 的最小值． 【答案】（1）详见解析；（2）2.
【分析】先求函数()f x 的导函数2112()2mx f x mx x x
-'=-=，
再讨论①当0m 时，②当0m >时函数()f x 的单调区间及极值； （2）不等式()1F x mx -恒成立等价于222(1)
lnx x x
m x +++恒成立，
再构造函数22(12)
()lnx x h x
x x +++=
，利用导数求函数()h x 的最大值即可得解.
【详解】解：（1）因为2()f x lnx mx =-，定义域为(0,)+∞，所以
2112()2mx f x mx x x
-'=-=，
①当0m 时()0f x '>恒成立，()f x ∴在(0,)+∞上是增函数，无极值， ②当0m >时令()0f x '>，0
x ∴<，
令()0f x '<，
x ∴>
所以函数()f x 在
上为增函数，在)+∞为减函数，
所以当
x 时，有极大值，极大值为1
(21)2
ln m -+，无极小值， （2）：由()1F x mx -恒成立知222(1)
lnx x x
m
x +++恒成立，
第 21 页 共 21 页 令22(12)()lnx x h x
x x +++=
， 则222(1)(2)()(2)x lnx x h x x x -++'=+， 令()2x lnx x ϕ=+，因为11()4022
ln ϕ=-<，ϕ（1）10=>，()ϕx 为增函数． 故存在01(2
x ∈，1)，使0()0x ϕ=，即0020lnx x +=， 当00x x <<时，()0h x '>，()h x 为增函数，当0x x <时，()0h x '<，()h x 为减函数． 所以00020
002(1)
1()()2max lnx x h x h x x x x ++===+， 而01(2
x ∈，1)，所以01(1,2)x ∈， 所以整数m 的最小值为2．
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调区间、极值及函数的最值，属综合性较强的题型.。