2020年陕西省汉中市金华中学高三数学理联考试题含解析

2020年陕西省汉中市金华中学高三数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 运行如图所示的程序框图，当输入时，输出的x为（）
A．B．2 C． D．
参考答案：
D
2. 设函数f(x)在R上的导函数为f’(x),且2f(x)+xf’(x)>x,x下面的不等式在R内恒成立的是
A B C D
参考答案：
A
解析：由已知，首先令，排除B，D。

然后结合已知条件排除C,得到A
3. 函数f（x）=2x﹣x﹣的一个零点所在区间是（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
参考答案：
B
【考点】函数零点的判定定理．【分析】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通可采用代入排除的方法求解．
【解答】解：由 f（1）=1﹣＜0，f（2）=2﹣＞0及零点定理知f（x）的零点在区间（1，2）上，
故选B．
4. 设D，E，F分别为△ABC三边BC，CA，AB的中点，则( )
A、B、C、D、
参考答案：
A
5. 向量, 若,则实数的值为
A. B. C. D.
参考答案：
A
由得，即，解得，选A.
6. 函数的图象向右平移个单位长度，所得图象与曲线关于轴对称，则
（）
（A）（B）（C）
（D）
参考答案：
D
7. 右图是歌手大奖赛中，七位评委给甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中为0～9中的一个正整数)，现分别将甲、乙所得的一个最高分和一个最低分均去掉后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为,中位数分别为,则有()
A．, B．,
C．, D．与大小均不能确定
参考答案：
B
略
8. 如图，在棱长为1的正方体中，点
分别是 棱的中点，
是侧面
内一点，若
平面
则线段
长度的取值范围是
A ．
B. C. D.
参考答案：
B 取的中点M,
的中点N,连结
，可以证明平面
平面
，所以点P 位
于线段
上，把三角形
拿到平面上，则有
,
所以当点P 位于
时，
最大，当P
位于中点O 时，最小，此时，所以，即
，所以线段
长度的取值范围是
，选B.
9. 复数化简的结果为 （ ） A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案：
A
10. 四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论： ① y 与x 负相关且； ② y 与x 负相关且； ③ y 与x 正相关且
； ④ y 与x 正相关且
．
其中一定错误的结论的序号是 A ．①② B ．②③
C ．③④
D ．①④
参考答案：
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11.
= ．
参考答案：
3
【考点】8J ：数列的极限．
【分析】通过分子分母同除3n+1
，利用数列极限的运算法则求解即可．
【解答】解： ===3．
故答案为：3．
12. 已知直线l 和曲线Γ的极坐标方程分别为ρ（sin θ﹣cos θ）=1和ρ=1，若l 和Γ相交于两点A ，B ，则|AB|= ．
参考答案：
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【专题】坐标系和参数方程．
【分析】把极坐标方程化为直角方程，求出圆心到直线的距离d ，利用弦长公式|AB|=2，即
可得出．
【解答】解：直线l ：ρ（sin θ﹣cos θ）=1化为y ﹣x=1， 曲线Γ：ρ=1，化为x 2+y 2=1，
∴圆心到直线的距离d=，
∴|AB|=2=2=．
故答案为：
．
【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角方程、点到直线的距离公式、弦长公式|AB|=2
，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13. （几何证明选讲选做题）如图，
是圆
的切线，切点为
，点
在圆
上，
，
，则圆
的面积为________．
参考答案：
14. 已知，则
的值为
参考答案：
15. 某城市为促进家庭节约用电，计划制定阶梯电价，阶梯电价按年月均用电量从低到高分为一、二、三、四档，属于第一档电价的家庭约占10，属于第二档电价的家庭约占40，属于第三档电价的家庭约占30，属于第四档电价的家庭约占20。

为确定各档之间的界限，从该市的家庭中抽查了部分家庭，调查了他们上一年度的年月均用电量（单位：千瓦时），由调查结果得下面的直方图
由此直方图可以做出的合理判断是 ①．年月均用电量不超过80千瓦时的家庭属于第一档
②．年月均用电量低于200千瓦时，且超过80千瓦时的家庭属于第二档 ③．年月均用电量超过240千瓦时的家庭属于第四档
④．该市家庭的年月均用电量的平均数大于年月均用电量的中位数
参考答案：
①③④，
16. = 。

参考答案：
6 略
17. 已知a ∈R ，函数若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤|x |恒成立，则a 的取
值范围是__________．
参考答案：
［，2］
分析：由题意分类讨论 和 两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.
详解：分类讨论：①当 时， 即：
，
整理可得：
，
由恒成立的条件可知： ，
结合二次函数的性质可知：
当时，，则；
②当时，即：，整理可得：，
由恒成立的条件可知：，
结合二次函数的性质可知：
当或时，，则；
综合①②可得的取值范围是.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知数列是公差为2的等差数列，其前项和为，且成等比数列. （1）求数列的通项公式；（2）求的前项和
参考答案：
（Ⅰ）因为、、成等比数列，所以，┄┄┄2分
则，解得
，┄┄┄5分
故
；
┄┄┄7分
（Ⅱ）因为
，
┄┄┄9分
则
，
┄┄┄11分
．┄┄┄14分19. 如图，在四棱锥中,为上一点，
平面，,,，
为上一点，且．
(Ⅰ) 求证:；
（Ⅱ）若，
求二面角的大小．
参考答案：
(Ⅰ) 证明：连接AC交BE于点M，连接.
由，
，
……4分
……6分
(Ⅱ)连,在平面内过作于.
由于,故.
过作于,连.则,
即为二面角的平面角. ……10分
,,
,即二面角的大小为. ……14分
略
20. （14分）如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为为，F为椭圆C的右焦点A （﹣a，0），|AF|=3．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设O为原点，P为椭圆上一点，AP的中点为M．直线OM与直线x=4交于点D，过O作OE 丄DF，交直线x=4于点E．求证：OE∥AP．
参考答案：
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c，依题意列式求得a，c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A（﹣2，0），设AP的中点M（x0，y0），P（x1，y1），设出直线AP方程为：y=k（x+2）（k≠0），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得M的坐标，进一步求出直线OM的斜率，得到直线OM的方程，再求得D的坐标，得到直线DF的斜率，由OE丄DF可得OE 的斜率，则答案得证．
【解答】（Ⅰ）解：设椭圆C的半焦距为c，依题意，得：
，a+c=3，解得a=2，c=1．
∴b2=a2﹣c2=3，
则椭圆方程为：；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，A（﹣2，0），设AP的中点M（x0，y0），P（x1，y1），
设直线AP方程为：y=k（x+2）（k≠0），
联立，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0．
∴，，．
即M（），
∴直线OM的斜率是，
∴直线OM的方程是y=﹣，令x=4，得D（4，﹣）．
由F（1，0），得直线DF的斜率是，
∵OE丄DF，∴直线OE的斜率为k，
∴OE∥AP．
【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．
21. （06年全国卷Ⅱ理）（１２分）
设数列的前项和为，且方程，有一根为
（I）求
（II）求的通项公式
参考答案：
解析:（1）为方程的根,代入方程可得
将n=1和n=2代入上式可得
（2）. 求出等,可猜想
并用数学归纳法进行证明
本题主要考察1.一般数列的通项公式求和公式间的关系
2.方程的根的意义(根代入方程成立)
3.数学归纳法证明数列的通项公式(也可以把分开为
,可得
难道较大,不过计算较易,数列的前面一些项的关系也比较容易发现
22. 已知的内角所对的边分别是，且，
（1）求角A的大小；
（2）当取最大值时，求角的大小.
参考答案：
解：由，得从而，………………………2分
由正弦定理得
………………………4分
，………………………5分
，故………………………………6分
（2）
=……………………………………9分
由（1）得，……………………………………10分
当取最大值时，………………………………………12分略。