【成才之路】高中数学 2.4.2 二次函数的性质课后强化作业 北师大版必修1

【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.4.2 二次函数的性质课后
强化作业 北师大版必修1
一、选择题
1．二次函数y ＝－2(x ＋1)2
＋8的最值情况是( ) A ．最小值是8，无最大值 B ．最大值是－2，无最小值 C ．最大值是8，无最小值 D ．最小值是－2，无最大值 [答案] C
[解析] 因为二次函数开口向下，所以当x ＝－1时，函数有最大值8，无最小值． 2．二次函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c 的顶点为(4,0)，且过点(0,2)，则abc ＝( ) A ．－6 B ．11 C ．－1
4
D ．1
4
[答案] C
[解析] ∵f (x )图像过点(0,2)，∴c ＝2.
又顶点为(4,0)，∴－b 2a ＝4，8a －b
2
4a
＝0.
解得：b ＝－1，a ＝18，∴abc ＝－1
4
.
3．函数y ＝ax 2
＋bx ＋3在(－∞，－1]上是增加的，在[－1，＋∞)上是减少的，则( ) A ．b >0且a <0 B ．b ＝2a <0 C ．b ＝2a >0 D ．a ，b 的符号不定
[答案] B
[解析] 由题意知a <0，且－b
2a ＝－1，
∴b ＝2a <0.
4．函数f (x )＝x 2＋2x ＋1，x ∈[－2,2]，则函数( ) A ．有最小值0，最大值9 B ．有最小值2，最大值5 C ．有最小值2，最大值9 D ．有最小值1，最大值5
[答案] A
[解析] 由于f (x )＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2
，
图像的对称轴是x ＝－1，所以f (x )在x ＝－1处取得最小值且f (－1)＝0.又f (－2)＝1，
f (2)＝9.
因此函数的最大值等于9.
5．某生产厂家生产总成本y (万元)与产量x (件)之间的解析式为y ＝x 2
－85x ，若每件产品售价25万元，则该厂所获利润最大时生产的产品件数为( )
A ．35
B ．45
C ．55
D ．65
[答案] C
[解析] 生产x 台时，所获利润f (x )＝25x －y ＝－x 2
＋110x ＝－(x －55)2＋3 025. 所以当x ＝55时，f (x )取最大值，即该厂所获利润最大时生产的产品件数是55. 6．二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，又f (x )在[0,2]上是增函数，且f (a )≥f (0)，那么实数a 的取值范围是( )
A ．[0，＋∞)
B ．(－∞，－0]
C ．[0,4]
D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)
[答案] C
[解析] 此函数图像的对称轴为x ＝2＋x ＋2－x 2＝2，在[0,2]上递增，如图所示，正确
答案为C.
二、填空题
7．已知函数f (x )＝4x 2
－kx －8在[2,10]上具有单调性，则实数k 的取值范围是________．
[答案] k ≤16或k ≥80
[解析] 函数f (x )的对称轴为x ＝k
8，
∴k 8≤2或k
8≥10， ∴k ≤16或k ≥80.
8．已知抛物线y ＝ax 2
与直线y ＝kx ＋1交于两点，其中一点的坐标为(1,4)，则另一交点的坐标为________．
[答案] (－14，14
)
[解析] 把(1,4)的坐标代入y ＝ax 2
与y ＝kx ＋1中得a ＝4，k ＝3.所以由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝4x 2
，y ＝3x ＋1，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，
y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1
4，y ＝1
4.
三、解答题
9．已知二次函数f (x )＝ax 2
＋2x ＋c (a ≠0)的图像与y 轴交于点(0,1)，且满足f (－2＋
x )＝f (－2－x )(x ∈R )．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)已知函数在(t －1，＋∞)上是增加的，求实数t 的取值范围． [解析] (1)由函数f (x )的图像与y 轴交于点(0,1)，知c ＝1. ∵f (－2＋x )＝f (－2－x )， ∴函数f (x )的对称轴x ＝－
22a ＝－1
a
＝－2. ∴a ＝12.∴f (x )＝12
x 2
＋2x ＋1.
(2)∵函数f (x )在(t －1，＋∞)上是增加的， ∴t －1≥－2.∴t ≥－1.
一、选择题
1．(2013·浙江高考)已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( )
A ．a >0,4a ＋b ＝0
B ．a <0,4a ＋b ＝0
C ．a >0,2a ＋b ＝0
D ．a <0,2a ＋b ＝0
[答案] A
[解析] 由题意得f (0)＝c ，f (4)＝16a ＋4b ＋c ＝c ， 即16a ＋4b ＝0,4a ＋b ＝0，f (1)＝a ＋b ＋c ， 因为f (4)>f (1)，所以a ＋b <0，a >0，故选A.
2．已知函数f (x )＝4x 2
－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的取值范围是( )
A ．f (1)≥25
B ．f (1)＝25
C ．f (1)≤25
D ．f (1)>25
[答案] A
[解析] f (x )＝4x 2
－mx ＋5在[m 8，＋∞)上是增加的，故[－2，＋∞)⊆[m
8，＋∞)，
即－2≥m
8，∴m ≤－16.∴f (1)＝9－m ≥25.
二、填空题
3．设函数f (x )＝4x 2
－(a ＋1)x ＋5在[－1，＋∞)上是增加的，在(－∞，－1]上是减少的，则f (－1)＝________.
[答案] 1 [解析] ∵
a ＋1
8
＝－1，∴a ＝－9.
∴f (－1)＝4×(－1)2
＋8×(－1)＋5＝1.
4．已知二次函数y ＝－x 2
＋2x ＋m 的部分图像如图所示，则关于x 的一元二次方程－x 2
＋2x ＋m ＝0的根为________．
[答案] 3或－1
[解析] 由图像知f (3)＝0， ∴m ＝3.
由－x 2
＋2x ＋3＝0得x 2
－2x －3＝0，∴x ＝3或－1.
三、解答题
5．已知函数f (x )＝x 2
＋2ax －3. (1)如果f (a ＋1)－f (a )＝9，求a 的值； (2)问a 为何值时，函数的最小值是－4?
[解析] (1)∵f (a ＋1)－f (a )＝(a ＋1)2
＋2a (a ＋1)－3－(a 2
＋2a 2
－3)＝4a ＋1＝9，∴a ＝2.
(2)∵由
－
－4a
2
4
＝－4，
得a 2
＝1，∴a ＝±1.
6．已知二次函数f (x )的最小值为1，且f (0)＝f (2)＝3. (1)求f (x )的解析式；
(2)若f (x )在区间[2a ，a ＋1]上不单调，求实数a 的取值范围；
(3)在区间[－1,1]上，y ＝f (x )的图像恒在y ＝2x ＋2m ＋1的图像上方，试确定实数m 的取值范围．
[解析] (1)由f (0)＝f (2)知二次函数f (x )的图像关于x ＝1对称，f (x )的最小值为1， 故可设f (x )＝a (x －1)2
＋1，
因为f (0)＝3，得a ＝2，故f (x )＝2x 2
－4x ＋3. (2)要使函数不单调，则2a <1<a ＋1，则0<a <12.
(3)由已知，即2x 2
－4x ＋3>2x ＋2m ＋1， 化简得x 2
－3x ＋1－m >0.
设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，则只要g (x )min >0， 因为x ∈[－1,1]时，g (x )是减少的， 所以g (x )min ＝g (1)＝－1－m ， 因此有－1－m >0，得m <－1.
7．设f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，且f (x )在闭区间[－2,2]上恒取非负数，求a 的取值范围．
[解析] f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋a 22
＋3－a －a 2
4，f (x )≥0在x ∈[－2,2]恒成立的充分条件是f (x )
在x ∈[－2,2]上的最小值非负．
(1)当－a
2<－2，即a >4时，f (x )在[－2,2]上是增函数，最小值为f (－2)＝7－3a ，由7
－3a ≥0，得a ≤7
3
，这与a >4矛盾，此时a 不存在．
(2)当－2≤－a
2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )在[－2,2]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－a 2＝3－a －a 2
4，
3－a －a 2
4
≥0⇒a 2
＋4a －12≤0，∴－6≤a ≤2.
结合－4≤a ≤4，可知此时－4≤a ≤2.
(3)当－a
2>2，即a <－4时，f (x )在[－2,2]上是减函数，最小值为f (2)＝7＋a ，由7＋a ≥0，
得a ≥－7.
∵a <－4，∴－7≤a <－4.
由(1)(2)(3)可知，a 的取值范围是[－7,2]．。