高考数学总复习 63 课时跟踪练习 文(含解析)

课时知能训练
一、选择题
1．(2011·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥1，x ＋y －4≤0，
x －3y ＋4≤0，
则目标函数z ＝
3x －y 的最大值为( )
A ．－4
B ．0 C.
4
3
D ．4
图6－3－1
2．给出平面区域如图6－3－1所示，其中A (5,3)，B (1,1)，C (1,5)，若使目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是( )
A.23
B.12 C ．2 D.32
3．(2011·湖北高考)直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥0，
y ≥0，
x －y ≥－2，
4x ＋3y ≤20，
表示的平面
区域的公共点有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．无数个
4．不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋5≥0，y ≥a ，
0≤x ≤3，
表示的平面区域是一个三角形，则a 的范围是( )
A ．a <5
B ．a ≥8
C ．5≤a <8
D ．a <5或a ≥8
5．(2011·安徽高考)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤1，x －y ≤1，
x ≥0，
则x ＋2y 的最大值和最小值分
别为( )
A ．1，－1
B ．2，－2
C ．1，－2
D ．2，－1 二、填空题
图6－3－2
6．(2011·陕西高考)如图6－3－2，点(x ，y )在四边形ABCD 内部和边界上运动，那么2x －y 的最小值为________．
7．已知点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，
x －1≥0，
定点为A (2,0)，则|OP →
|sin ∠AOP (O 为坐
标原点)的最大值为________．
8．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：
a
b (万吨)
c (百万元)
A 50% 1 3 B
70%
0.5
6
22(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．
三、解答题
9．当x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≤x ，
2x ＋y ＋k ≤0，
(k 为负常数)时，能使z ＝x ＋3y 的最大
值为12，试求k 的值．
10．已知x ，y 满足条件：⎩⎪⎨⎪
⎧
7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，
4x ＋y ＋10≥0.
M (2,1)，P (x ，y )．求：
(1)
y ＋7
x ＋4
的取值范围； (2)OM →·OP →
的最大值．
11．某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知每生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；每生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个．问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？
答案及解析
1．【解析】 ⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥1，x ＋y －4≤0，
x －3y ＋4≤0，
表示的平面区域如图所示．
z ＝3x －y 在(2,2)取得最大值． z max ＝3×2－2＝4.
【答案】 D
2．【解析】 由于a ＞0，所以要使z ＝ax ＋y 有无穷多个最优解，直线须经过A ，C 两点，
∵k AC ＝－1
2
，
∴－a ＝－12，即a ＝1
2.
【答案】 B
3．【解析】 直线2x ＋y －10＝0与不等式组表示的平面区域的位置关系如图所示，故直线与此区域的公共点有1个．
【答案】 B
4．【解析】 如图，⎩⎪⎨
⎪⎧
x －y ＋5＝0
x ＝0
的交点为(0,5)，⎩⎪⎨
⎪⎧
x －y ＋5＝0
x ＝3
的交点为(3,8)，
∴5≤a <8. 【答案】 C
5．【解析】 作出可行域(如图阴影部分所示)，设z ＝x ＋2y ，作l 0：x ＋2y ＝0.
把l 0向左下方平移到点(0，－1)时，z 有最小值，z min ＝0＋2×(－1)＝－2.
把l 0向右上方平移到点(0,1)时，z 有最大值，z max ＝0＋2×1＝2. 【答案】 B
6．【解析】 令b ＝2x －y ，则y ＝2x －b ，如图所示，
作斜率为2的平行线y ＝2x －b ，
当经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，为－b ，此时b ＝2x －y 取得最小值，为b ＝2×1－1＝1.
【答案】 1
7．【解析】 可行域如图阴影部分所示，A (2,0)在x 正半轴上，所以|OP →
|·sin∠AOP 即为P 点纵坐标．
当P 位于点B 时，其纵坐标取得最大值225
.
【答案】
225
8．【解析】 设购买铁矿石A 为 x 万吨，购买铁矿石B 为y 万吨，总费用为z 百万元． 根据题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 0.5x ＋0.7y ≥1.9x ＋0.5y ≤2x ≥0y ≥0
，
整理为⎩⎪⎨⎪⎧
5x ＋7y ≥19
2x ＋y ≤4x ≥0
y ≥0
线性目标函数为z ＝3x ＋6y ，
画可行域如图所示，当x ＝1，y ＝2时，z 取得最小值， ∴z min ＝3×1＋6×2＝15(百万元)． 【答案】 15
9．【解】 在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示)
当直线y ＝－13x
＋13z 经过区域中的点A (－k 3，－k 3)时，z 取到最
大值，等于－4k
3
.
令－4k
3＝12，得k ＝－9.
∴所求实数k 的值为－9. 10．【解】
如图所示，画出不等式组 ⎩⎪⎨⎪
⎧
7x －5y －23≤0x ＋7y －11≤04x ＋y ＋10≥0
，所表示的平面区域：
其中A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)． (1)
y ＋7
x ＋4
可以理解为区域内的点与点D (－4，－7)连线的斜率． 由图可知，连线与直线BD 重合时，倾斜角最小且为锐角；连线与直线CD 重合时，倾斜角最大且为锐角．
k DB ＝13，k CD ＝9，所以y ＋7x ＋4的取值范围为[13
，9]．
(2)由于OM →·OP →
＝(2,1)·(x ，y )＝2x ＋y ，令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，z 表示直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，由可行域可知，当直线y ＝－2x ＋z 经过A 点时，z 取到最大值，这时z 的最大值为z max ＝2×4＋1＝9.
11．【解】 设每天生产甲、乙两种产品分别为x 吨、y 吨，利润总额为z 万元，
则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧
9x ＋4y ≤300
4x ＋5y ≤200
3x ＋10y ≤300
x ≥15y ≥15
目标函数为z ＝7x ＋12y ， 作出可行域如图，
作出一组平行直线7x ＋12y ＝t ，当直线经过直线4x ＋5y ＝200和直线3x ＋10y ＝300的交点A (20,24)时，利润最大．
即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨，利润总额最大，z max ＝7×20＋12×24＝428(万元)．。