解一元二次不等式的步骤

1.三个“二次”的关系 一元二次不等式解的端点值是对应一元二次方程 的根，也是对应一元二次函数的零点. 2.含参一元二次不等式的解法：
（1）对二次项系数分是否为0，是正还是负进行讨论；
（2）对判别式进行讨论； （3）对相应的一元二次方程根的大小进行分类讨论.
例5 解关于 的不等式
分析：题中二次项系数含有参数，因此要分 a = 0
及 a ≠ 0 进行讨论 .
解：原不等式可化为 (ax - 1)(x - 1)< 0. (1) 当a = 0时,x > 1. 1 (2) 当a < 0时，不等式可化为 (x - )(x - 1)> 0. a 1 1 因为 < 1,所以x < 或x > 1. a a
1 (3) 当a > 0时，不等式化为 (x - )(x - 1)< 0. a 1 1 若 < 1,即a > 1,则 < x < 1； a a 1 若 = 1,即a = 1,则解集为; a 1 1 若 > 1,即0 < a < 1,则1 < x < . a a
解：原不等式可化为 (x - 3a)(x + 2a)< 0.
它所对应的二次方程的两根为 -2a,3a .
即 -2a > 3a, 时， 原不等式的解集为 x 3a < x < -2a ； 当 a<0 当 -2a = 3a, 即a = 0 时，原不等式的解集为 ；
当 -2a < 3a, 即 a > 0 时， x -2a < x < 3a .
三个“二次”的关系
解一元二次不等式的过程涉及一元二次方程、 一元二次函数的图象的有关知识，那么一元二次 不等式与一元二次方程、一元二次函数之间有什 么关系呢？
例1若关于 的不等式 解关于x的不等式
的解集为
探究点2
含参数的一元二次不等式的解法
例2 解关于x的不等式m(x-5)(x+1)>0 Δ<0, 即-8< k <0时,方程2x +kx- k = 0
2
无实数根, 所以不等式
2x2 + kx - k 0的解集为 .
【提升总结】 在解含参数的不等式时，往往要进行分类讨论： （1）对二次项系数分是否为0，是正还是负进行讨论， 以确定解集的形式； Δ > 0, Δ = 0, Δ < 0 进行讨论，以便确 （2）对判别式分 定二次方程根的个数； （3）对相应的一元二次方程根的大小进行讨论，以 确定解集.
综上所述，
原不等式的解集为：
当a>0时， x -2a < x < 3a； 当a=0时， ；
x 3a < x < -2a . 当a<0时，
例4 解关于 x 的不等式 分析：分 0, 0, 0 进行讨论.
解: Δ= k2 + 8k = k(k + 8).
(1)当 Δ>0, 即k < -8或k >0时,方程2x2 + kx - k = 0 有两个不相等的实数根, 所以不等式 2x2 + kx - k 0的解集是
-k + k(k + 8) -k - k(k + 8) x x ; 4 4
(2)当 Δ= 0，即k = -8或k = 0时,方程2x2 +kx- k = 0 有两个相等的实数根，
k 所以不等式2x + kx - k 0的解集是 - ，即{2}或{0}. 4
△=0
y
△<0 y
x
没有实根
b { x|x ≠ } {x|x<x1,或 x>x2} 2a
R Φ
{x|x1< x <x2 }
Φ
完成同步练习
解一元二次不等式的步骤：
• 化标准右边为0、最高次的系数为正； • 十字相乘 ，否则计算判别式 • 画图 • 下结论注意结果要写成集合或者区间的形式
探究点1
含有参数的 一元二次不等式
1.掌握一元二次不等式、一元二次方程与一元二 次函数的关系,并且会利用三个“二次”之间的 关系解决问题. 2.会解含有参数的一元二次不等式.
一元二次不等式的解法
判别式 △=b2- 4ac
y=ax2+bx+c (a>0)的图象 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 △>0 y x1 O x2 x O x1 有两相异实 根 (x1<x2) 有两等根 x O
综上所述，原不等式的解集为： 1 当a < 0时，x x > 1 ； x < 或x > 1 ；当a = 0时，x a 1 当0 < a < 1时，x 1 < x < ；当a = 1时,； a 1 当a > 1时， x < x < 1 . a