微专题二 二次函数的图象性质与系数的关系-2020秋浙教版九年级数学上册习题课件(共28张PPT)

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(2)∵P(m,y1),Q(m+4,y2)两点都在二次函数 y=x2-(2m+1)x-3m 的图象上, ∴y1=-m2-4m,y2=-m2-4m+12, ∴y1<y2; (3)∵二次函数 y=x2-(2m+1)x-3m 在-1≤x≤1 的范围内至少有一个 x 的值使 y≥0, ∴1+2m+1-3m≥0 或 1-2m-1-3m≥0, 解得 m≤2. 根据题意,可得 m 的取值范围是 m≤2.
(2)当 x≤1 时,y 随 x 的增大而增大; 当 x≥1 时,y 随 x 的增大而减小; 当 x=1 时,y 有最大值 8. 【思想方法】 (1)利用函数的增减性可以比较二次函数值的大小,也可以利用函 数的图象比较大小; (2)根据函数的图象可以确定二次函数的各项系数或有关代数式的值. a 的作用:a的大小决定抛物线的开口大小.a越大,抛物线的开口越小;a越小, 抛物线的开口越大. 口诀:上(开口)+(a 的符号),下(开口)-(a 的符号).
(2)函数的对称轴为 x=-1-m2 , 当 m>0 时,-1+m1 >-1>-1-m2 , ∴y 随 x 的增大而增大, ∴y1>y2; 当 m<0 时,-1-m2 >-1>-1+m1 , y 随 x 的增大而增大, ∴y2>y1.
[2019·萧山区一模]已知二次函数 y=x2-(2m+1)x-3m. (1)若 m=2,写出该函数的表达式,并求出函数图象的对称轴; (2)已知点 P(m,y1),Q(m+4,y2)在该函数图象上,试比较 y1,y2 的大小; (3)对于此函数,在-1≤x≤1 的范围内至少有一个 x 值使得 y≥0,求 m 的取值 范围. 解:(1)若 m=2,则二次函数 y=x2-5x-6, ∴对称轴为直线 x=-2-×51=52;
②由于对称轴是直线 x=12,-2 和 3 是关于对称轴对称的,∴②正确;
③由对称轴是直线 x=12可得 a+b=0,∵x=0 时,y=-2,可知 c=-2,当 x =-12时,与其对应的函数值 y>0 可得 a>83,当 x=-1 时,m=a-b-2=2a-2>130, ∵-1 和 2 关于对称轴对称,可得 m=n,∴m+n>230,∴③错误,故选 C.
④∵抛物线的对称轴为直线 x=1, ∴x=1 时,函数的最小值为 a+b+c, ∴a+b+c≤am2+bm+c, 即 a+b≤m(am+b),∴④正确. 故选 C.
[2019·天津]二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)的自变量 x
与函数值 y 的部分对应值如下表:
x
… -2 -1 0 1 2 …
b 的作用:ab 的符号决定抛物线的对称轴的位置.当 b=0 时,对称轴为 y 轴; 当 ab>0 时,对称轴在 y 轴左侧;当 ab<0 时,对称轴在 y 轴右侧.
口决:左(对称轴在 y 轴左侧)同(a,b 同号)右(对称轴在 y 轴右侧)异(a,b 异号). c 的作用:c 的大小决定抛物线与 y 轴的交点位置,c=0 时,抛物线过原点;c>0 时,抛物线与 y 轴交于正半轴;c<0 时,抛物线与 y 轴交于负半轴. 口诀:上(抛物线与 y 轴交于正半轴)+(c>0)下(抛物线与 y 轴交于负半轴)-(c< 0). 特殊值:当 x=1 时,y=a+b+c;当 x=-1 时,y=a-b+c.若 a+b+c>0,即 x=1 时,y>0;若 a-b+c>0,即 x=-1 时,y>0.
[2019·齐齐哈尔]如图 5,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)
与 x 轴交于点(-3,0),其对称轴为直线 x=-12,结合图象分析下
列结论:①abc>0;②3a+c>0;③当 x<0 时,y 随 x 的增大而增
大;④一元二次方程 cx2+bx+a=0 的两根分别为 x1=-13,x2=12;
[2019·鄂州]二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图 4 所
示,对称轴是直线 x=1.下列结论:①abc<0;②3a+c>0;③(a+ c)2-b2<0;④a+b≤m(am+b)(m 为实数).其中结论正确的个数为
A.1 个
B.2 个
( C)
图4
C.3 个
D.4 个
【解析】 ①∵抛物线开口向上,
由图象可知函数 y=ax2+bx+c 与 y=-1 有两个不同的交点, ∴一元二次方程; ④由图象可知,y>0 时,x<-1 或 x>3, ∴④正确. 故正确的结论是②③④.
[2019·云南]已知 k 是常数,抛物线 y=x2+(k2+k-6)x+3k 的对称轴是 y 轴,并且与 x 轴有两个交点.
[2019·甘肃]如图 2 是二次函数 y=ax2+bx+c 的图象,对于下列说法: ①ac>0,②2a+b>0,③4ac<b2,④a+b+c<0,⑤当 x>0 时,y 随 x 的增大而减 小,其中正确的是( C )
A.①②③
B.①②④
图2 C.②③④
D.③④⑤
【解析】 ①由图象可知:a>0,c<0,ac<0,故①错误; ②由对称轴可知:-2ba<1,则 2a+b>0,故②正确; ③由于抛物线与 x 轴有两个交点,Δ=b2-4ac>0,即 4ac<b2,故③正确; ④由图象可知:x=1 时,y=a+b+c<0,故④正确; ⑤当 x<-2ba时,y 随 x 的增大而减小,故⑤错误. 故选 C.
[2019·赤峰]二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如
图 6 所示,下列结论:①b>0;②a-b+c=0;③一元二次方程
ax2+bx+c+1=0(a≠0)有两个不相等的实数根;④当 x<-1 或
x>3 时,y>0.上述结论中正确的是___②__③___④___.(填上所有正确
结论的序号)
y=ax2+bx+c … t m -2 -2 n …
且当 x=-12时,与其对应的函数值 y>0,有下列结论:①abc>0;②-2 和 3 是
关于 x 的方程 ax2+bx+c=t 的两个根;③0<m+n<230,其中,正确结论的个数是
( C)
A.0
B.1 C.2
D.3
【解析】 ①∵当 x=-12时,与其对应的函数值 y>0,由表可知 x=0 时,y=-2, x=1 时,y=-2,可以判断对称轴左侧 y 随 x 的增大而减小,图象开口向上,a>0; 由图表可知 x=0 时,y=-2,x=1 时,y=-2,可得对称轴为直线 x=12,∴b<0;x =0 时,y=-2,∴c=-2<0,故 abc>0,∴①正确;
(1)求 k 的值; (2)若点 P 在抛物线 y=x2+(k2+k-6)x+3k 上,且 P 到 y 轴的距离是 2,求点 P 的坐标. 解:(1)∵抛物线 y=x2+(k2+k-6)x+3k 的对称轴是 y 轴, ∴x=-k2+2k-6=0,即 k2+k-6=0,解得 k=-3 或 k=2. 当 k=2 时,二次函数表达式为 y=x2+6,它的图象与 x 轴无交点,不满足题意, 舍去,
④一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1=-3,x2=2,∴一元二次方程 cx2 +bx+a=0 的两根分别为 x1=-13,x2=12,故④正确;
⑤由图象顶点的纵坐标大于 0 可知,4ac4-a b2>0, ∴b2-4a4ac<0,故⑤正确; ⑥若 m,n(m<n)为方程 a(x+3)(x-2)+3=0 的两个根,则 a(x+3)(x-2)=-3, 由图象可知,当 y=-3 时,方程的两根为 m,n,∴m<-3,n>2,故⑥正确. 综上,正确的有 5 个,故选 C.
②由抛物线与 x 轴有两个交点得 b2-4ac>0,故结论②错误; ③由图象知对称轴 x=-2ba>-1 得2ba<1,由 a<0,结合不等式的性质三可得 b>2a,即 2a<b,故结论③错误; ④由图象知:当 x=1 时,y<0 即 a+b+c<0;当 x=-1 时,y>0 即 a-b+c>0, ∴(a+b+c)(a-b+c)<0,即(a+c)2-b2<0, ∴(a+c)2<b2.故结论④正确. 故选 A.
∴a>0,
∵抛物线的对称轴在 y 轴右侧,∴b<0,
∵抛物线与 y 轴交于负半轴,∴c<0,
∴abc>0,①错误;
②当 x=-1 时,y>0,∴a-b+c>0, ∵-2ba=1,∴b=-2a, 把 b=-2a 代入 a-b+c>0 中,得 3a+c>0, ∴②正确; ③当 x=1 时,y<0,∴a+b+c<0, ∴(a-b+c)(a+b+c)<0, ∴(a+c)2-b2<0,∴③正确;
[2019·巴中]二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 1 所示,下列结 论:①b2>4ac,②abc<0,③2a+b-c>0,④a+b+c<0,其中正确的是( A )
A.①④
B.②④
图1 C.②③
D.①②③④
【解析】 ①∵图象与 x 轴有两个不同的交点,∴b2-4ac>0,即 b2>4ac,故①正 确;②图象开口向下,故 a<0,图象与 y 轴交于正半轴,故 c>0,∵对称轴为 x=-1, ∴-2ba=-1,∴2a=b,故 b<0,∴abc>0,②错误;③a<0,b<0,c>0,∴2a+b- c<0,③错误;④当 x=1 时,y=a+b+c,由图可得 x=-3 时,y<0,由对称性可知, 当 x=1 时,y<0,即 a+b+c<0,故④正确.综上所述,①④正确,故选 A.
⑤b2-4a4ac<0;⑥若 m,n(m<n)为方程 a(x+3)(x-2)+3=0 的两个
图5
根,则 m<-3,n>2,其中正确的结论有( C )
A.3 个 B.4 个 C.5 个
D.6 个
【解析】 ①由图象可知 a<0,b<0,c>0,∴abc>0,故①正确; ②由于对称轴是直线 x=-12,∴a=b, ∵与 x 轴的一个交点是(-3,0), ∴另一个交点是(2,0),把(2,0)代入表达式可得 4a+2b+c=0,∴6a+c=0, ∴3a+c=-3a, ∵a<0,∴-3a>0,∴3a+c>0,故②正确; ③由图象可知当-12<x<0 时,y 随 x 的增大而减小,∴当 x<0 时,y 随 x 的增 大而增大是错误的,故③错误;
当 k=-3 时,二次函数表达式为 y=x2-9,它的图象与 x 轴有两个交点,满足 题意.∴k=-3;
(2)∵P 到 y 轴的距离为 2,∴点 P 的横坐标为-2 或 2. 当 x=2 时,y=-5;当 x=-2 时,y=-5. ∴点 P 的坐标为(2,-5)或(-2,-5).
[2019·上城区二模]关于二次函数 y=mx2+(2m+4)x+8(m 为常数,且 m≠0).
图6
【解析】 由图可知,对称轴为 x=1,与 x 轴的一个交点为(3,0),
∴b=-2a,与 x 轴的另一个交点为(-1,0),
①∵a>0,∴b<0,∴①错误;
②当 x=-1 时,y=0,∴a-b+c=0,∴②正确;
③一元二次方程 ax2+bx+c+1=0 可以看作函数 y=ax2+bx+c 与 y=-1 的交 点,
微专题二 二次函数的图象性质与系数的关系
(教材 P22 作业题第 1 题) 已知二次函数 y=-2x2+4x+6. (1)求函数图象的顶点坐标、对称轴和与坐标轴交点的坐标,并画出函数的大致 图象; (2)自变量 x 在什么范围内时,y 随 x 的增大而增大?何时 y 随 x 的增大而减小? 并求函数的最大值或最小值. 解:(1)y=-2x2+4x+6=-2(x-1)2+8. 令 y=0,得 x1=-1,x2=3,令 x=0,得 y=6, ∴图象的顶点坐标是(1,8),对称轴是直线 x=1,与 x 轴的交点坐标为(-1,0), (3,0),与 y 轴的交点坐标为(0,6),图略;
(1)证明:该函数与 x 轴一定有交点; (2)若该函数经过点 A-1+m1 ,y1,B(-1,y2),请比较 y1,y2 的大小关系,并 说明理由. 解:(1)证明:二次函数 y=mx2+(2m+4)x+8, Δ=(2m+4)2-32m=4m2-16m+16=(2m-4)2≥0, ∴函数与 x 轴一定有交点;
[2019·娄底]二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图 3 所示,下列结论中: ①abc<0;②b2-4ac<0;③2a>b;④(a+c)2<b2.其中结论正确的个数为( A )
图3
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
【解析】①由抛物线的开口方向向下知 a<0,对称轴在 y 轴的左侧得 a,b 同号, 抛物线与 y 轴交于正半轴得 c>0,∴abc>0,故结论①错误;
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