微专题二 二次函数的图象性质与系数的关系-2020秋浙教版九年级数学上册习题课件(共28张PPT)

(2)∵P(m，y1)，Q(m＋4，y2)两点都在二次函数 y＝x2－(2m＋1)x－3m 的图象上， ∴y1＝－m2－4m，y2＝－m2－4m＋12， ∴y1＜y2； (3)∵二次函数 y＝x2－(2m＋1)x－3m 在－1≤x≤1 的范围内至少有一个 x 的值使 y≥0， ∴1＋2m＋1－3m≥0 或 1－2m－1－3m≥0， 解得 m≤2. 根据题意，可得 m 的取值范围是 m≤2.
(2)当 x≤1 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x≥1 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＝1 时，y 有最大值 8. 【思想方法】 (1)利用函数的增减性可以比较二次函数值的大小，也可以利用函 数的图象比较大小； (2)根据函数的图象可以确定二次函数的各项系数或有关代数式的值． a 的作用：a的大小决定抛物线的开口大小.a越大，抛物线的开口越小；a越小， 抛物线的开口越大． 口诀：上(开口)＋(a 的符号)，下(开口)－(a 的符号)．
(2)函数的对称轴为 x＝－1－m2 ， 当 m＞0 时，－1＋m1 ＞－1＞－1－m2 ， ∴y 随 x 的增大而增大， ∴y1＞y2； 当 m＜0 时，－1－m2 ＞－1＞－1＋m1 ， y 随 x 的增大而增大， ∴y2＞y1.
[2019·萧山区一模]已知二次函数 y＝x2－(2m＋1)x－3m. (1)若 m＝2，写出该函数的表达式，并求出函数图象的对称轴； (2)已知点 P(m，y1)，Q(m＋4，y2)在该函数图象上，试比较 y1，y2 的大小； (3)对于此函数，在－1≤x≤1 的范围内至少有一个 x 值使得 y≥0，求 m 的取值 范围． 解：(1)若 m＝2，则二次函数 y＝x2－5x－6， ∴对称轴为直线 x＝－2－×51＝52；
②由于对称轴是直线 x＝12，－2 和 3 是关于对称轴对称的，∴②正确；
③由对称轴是直线 x＝12可得 a＋b＝0，∵x＝0 时，y＝－2，可知 c＝－2，当 x ＝－12时，与其对应的函数值 y>0 可得 a＞83，当 x＝－1 时，m＝a－b－2＝2a－2>130， ∵－1 和 2 关于对称轴对称，可得 m＝n，∴m＋n>230，∴③错误，故选 C.
④∵抛物线的对称轴为直线 x＝1， ∴x＝1 时，函数的最小值为 a＋b＋c， ∴a＋b＋c≤am2＋bm＋c， 即 a＋b≤m(am＋b)，∴④正确． 故选 C.
[2019·天津]二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)的自变量 x
与函数值 y 的部分对应值如下表：
x
… －2 －1 0 1 2 …
b 的作用：ab 的符号决定抛物线的对称轴的位置．当 b＝0 时，对称轴为 y 轴； 当 ab>0 时，对称轴在 y 轴左侧；当 ab<0 时，对称轴在 y 轴右侧．
口决：左(对称轴在 y 轴左侧)同(a，b 同号)右(对称轴在 y 轴右侧)异(a，b 异号)． c 的作用：c 的大小决定抛物线与 y 轴的交点位置，c＝0 时，抛物线过原点；c>0 时，抛物线与 y 轴交于正半轴；c<0 时，抛物线与 y 轴交于负半轴． 口诀：上(抛物线与 y 轴交于正半轴)＋(c＞0)下(抛物线与 y 轴交于负半轴)－(c＜ 0)． 特殊值：当 x＝1 时，y＝a＋b＋c；当 x＝－1 时，y＝a－b＋c.若 a＋b＋c>0，即 x＝1 时，y>0；若 a－b＋c>0，即 x＝－1 时，y>0.
[2019·齐齐哈尔]如图 5，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
与 x 轴交于点(－3，0)，其对称轴为直线 x＝－12，结合图象分析下
列结论：①abc＞0；②3a＋c＞0；③当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增
大；④一元二次方程 cx2＋bx＋a＝0 的两根分别为 x1＝－13，x2＝12；
[2019·鄂州]二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图 4 所
示，对称轴是直线 x＝1.下列结论：①abc＜0；②3a＋c＞0；③(a＋ c)2－b2＜0；④a＋b≤m(am＋b)(m 为实数)．其中结论正确的个数为
A．1 个
B．2 个
( C)
图4
C．3 个
D．4 个
【解析】 ①∵抛物线开口向上，
由图象可知函数 y＝ax2＋bx＋c 与 y＝－1 有两个不同的交点， ∴一元二次方程； ④由图象可知，y＞0 时，x＜－1 或 x＞3， ∴④正确． 故正确的结论是②③④.
[2019·云南]已知 k 是常数，抛物线 y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k 的对称轴是 y 轴，并且与 x 轴有两个交点．
[2019·甘肃]如图 2 是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象，对于下列说法： ①ac＞0，②2a＋b＞0，③4ac＜b2，④a＋b＋c＜0，⑤当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减 小，其中正确的是( C )
A．①②③
B．①②④
图2 C．②③④
D．③④⑤
【解析】 ①由图象可知：a＞0，c＜0，ac＜0，故①错误； ②由对称轴可知：－2ba＜1，则 2a＋b＞0，故②正确； ③由于抛物线与 x 轴有两个交点，Δ＝b2－4ac＞0，即 4ac＜b2，故③正确； ④由图象可知：x＝1 时，y＝a＋b＋c＜0，故④正确； ⑤当 x＜－2ba时，y 随 x 的增大而减小，故⑤错误． 故选 C.
[2019·赤峰]二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如
图 6 所示，下列结论：①b＞0；②a－b＋c＝0；③一元二次方程
ax2＋bx＋c＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；④当 x＜－1 或
x＞3 时，y＞0.上述结论中正确的是___②__③___④___．(填上所有正确
结论的序号)
y＝ax2＋bx＋c … t m －2 －2 n …
且当 x＝－12时，与其对应的函数值 y>0，有下列结论：①abc>0；②－2 和 3 是
关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝t 的两个根；③0<m＋n<230，其中，正确结论的个数是
( C)
A．0
B．1 C．2
D．3
【解析】 ①∵当 x＝－12时，与其对应的函数值 y>0，由表可知 x＝0 时，y＝－2， x＝1 时，y＝－2，可以判断对称轴左侧 y 随 x 的增大而减小，图象开口向上，a>0； 由图表可知 x＝0 时，y＝－2，x＝1 时，y＝－2，可得对称轴为直线 x＝12，∴b<0；x ＝0 时，y＝－2，∴c＝－2<0，故 abc>0，∴①正确；
(1)求 k 的值； (2)若点 P 在抛物线 y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k 上，且 P 到 y 轴的距离是 2，求点 P 的坐标． 解：(1)∵抛物线 y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k 的对称轴是 y 轴， ∴x＝－k2＋2k－6＝0，即 k2＋k－6＝0，解得 k＝－3 或 k＝2. 当 k＝2 时，二次函数表达式为 y＝x2＋6，它的图象与 x 轴无交点，不满足题意， 舍去，
④一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根为 x1＝－3，x2＝2，∴一元二次方程 cx2 ＋bx＋a＝0 的两根分别为 x1＝－13，x2＝12，故④正确；
⑤由图象顶点的纵坐标大于 0 可知，4ac4－a b2＞0， ∴b2－4a4ac＜0，故⑤正确； ⑥若 m，n(m＜n)为方程 a(x＋3)(x－2)＋3＝0 的两个根，则 a(x＋3)(x－2)＝－3， 由图象可知，当 y＝－3 时，方程的两根为 m，n，∴m＜－3，n＞2，故⑥正确． 综上，正确的有 5 个，故选 C.
②由抛物线与 x 轴有两个交点得 b2－4ac＞0，故结论②错误； ③由图象知对称轴 x＝－2ba＞－1 得2ba＜1，由 a<0，结合不等式的性质三可得 b>2a，即 2a<b，故结论③错误； ④由图象知：当 x＝1 时，y<0 即 a＋b＋c<0；当 x＝－1 时，y>0 即 a－b＋c>0， ∴(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0， ∴(a＋c)2＜b2.故结论④正确． 故选 A.
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在 y 轴右侧，∴b＜0，
∵抛物线与 y 轴交于负半轴，∴c＜0，
∴abc＞0，①错误；
②当 x＝－1 时，y＞0，∴a－b＋c＞0， ∵－2ba＝1，∴b＝－2a， 把 b＝－2a 代入 a－b＋c＞0 中，得 3a＋c＞0， ∴②正确； ③当 x＝1 时，y＜0，∴a＋b＋c＜0， ∴(a－b＋c)(a＋b＋c)＜0， ∴(a＋c)2－b2＜0，∴③正确；
[2019·巴中]二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图 1 所示，下列结 论：①b2>4ac，②abc<0，③2a＋b－c>0，④a＋b＋c<0，其中正确的是( A )
A．①④
B．②④
图1 C．②③
D．①②③④
【解析】 ①∵图象与 x 轴有两个不同的交点，∴b2－4ac>0，即 b2>4ac，故①正 确；②图象开口向下，故 a<0，图象与 y 轴交于正半轴，故 c>0，∵对称轴为 x＝－1， ∴－2ba＝－1，∴2a＝b，故 b<0，∴abc>0，②错误；③a<0，b<0，c>0，∴2a＋b－ c<0，③错误；④当 x＝1 时，y＝a＋b＋c，由图可得 x＝－3 时，y<0，由对称性可知， 当 x＝1 时，y<0，即 a＋b＋c<0，故④正确．综上所述，①④正确，故选 A.
⑤b2－4a4ac＜0；⑥若 m，n(m＜n)为方程 a(x＋3)(x－2)＋3＝0 的两个
图5
根，则 m＜－3，n＞2，其中正确的结论有( C )
A．3 个 B．4 个 C．5 个
D．6 个
【解析】 ①由图象可知 a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，故①正确； ②由于对称轴是直线 x＝－12，∴a＝b， ∵与 x 轴的一个交点是(－3，0)， ∴另一个交点是(2，0)，把(2，0)代入表达式可得 4a＋2b＋c＝0，∴6a＋c＝0， ∴3a＋c＝－3a， ∵a＜0，∴－3a＞0，∴3a＋c＞0，故②正确； ③由图象可知当－12＜x＜0 时，y 随 x 的增大而减小，∴当 x＜0 时，y 随 x 的增 大而增大是错误的，故③错误；
当 k＝－3 时，二次函数表达式为 y＝x2－9，它的图象与 x 轴有两个交点，满足 题意．∴k＝－3；
(2)∵P 到 y 轴的距离为 2，∴点 P 的横坐标为－2 或 2. 当 x＝2 时，y＝－5；当 x＝－2 时，y＝－5. ∴点 P 的坐标为(2，－5)或(－2，－5)．
[2019·上城区二模]关于二次函数 y＝mx2＋(2m＋4)x＋8(m 为常数，且 m≠0)．
图6
【解析】 由图可知，对称轴为 x＝1，与 x 轴的一个交点为(3，0)，
∴b＝－2a，与 x 轴的另一个交点为(－1，0)，
①∵a＞0，∴b＜0，∴①错误；
②当 x＝－1 时，y＝0，∴a－b＋c＝0，∴②正确；
③一元二次方程 ax2＋bx＋c＋1＝0 可以看作函数 y＝ax2＋bx＋c 与 y＝－1 的交 点，
微专题二 二次函数的图象性质与系数的关系
(教材 P22 作业题第 1 题) 已知二次函数 y＝－2x2＋4x＋6. (1)求函数图象的顶点坐标、对称轴和与坐标轴交点的坐标，并画出函数的大致 图象； (2)自变量 x 在什么范围内时，y 随 x 的增大而增大？何时 y 随 x 的增大而减小？ 并求函数的最大值或最小值． 解：(1)y＝－2x2＋4x＋6＝－2(x－1)2＋8. 令 y＝0，得 x1＝－1，x2＝3，令 x＝0，得 y＝6， ∴图象的顶点坐标是(1，8)，对称轴是直线 x＝1，与 x 轴的交点坐标为(－1，0)， (3，0)，与 y 轴的交点坐标为(0，6)，图略；
(1)证明：该函数与 x 轴一定有交点； (2)若该函数经过点 A－1＋m1 ，y1，B(－1，y2)，请比较 y1，y2 的大小关系，并 说明理由． 解：(1)证明：二次函数 y＝mx2＋(2m＋4)x＋8， Δ＝(2m＋4)2－32m＝4m2－16m＋16＝(2m－4)2≥0， ∴函数与 x 轴一定有交点；
[2019·娄底]二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图 3 所示，下列结论中： ①abc<0；②b2－4ac＜0；③2a＞b；④(a＋c)2＜b2.其中结论正确的个数为( A )
图3
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解析】①由抛物线的开口方向向下知 a<0，对称轴在 y 轴的左侧得 a，b 同号， 抛物线与 y 轴交于正半轴得 c>0，∴abc>0，故结论①错误；