高中数学第二章基本初等函数ⅰ3幂函数课件a必修1a高一必修1数学课件

是偶函数的有:y=x2.
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第六页，共三十六页。
课前篇
自主预习
一
二
2.填表:
幂函数的性质(xìngzhì)
幂函数 y=x
2
y=x
y=x
3
y=x
1
2
定义域 R
R
R
[0,+∞)
值域
[0,+∞)
R
[0,+∞)
R
y=x-1
(-∞,0)∪
(0,+∞)
(-∞,0)∪
(0,+∞)
非奇非
奇偶性 奇函数 偶函数
(2)上述5个函数中,在(0,+∞)内是增函数的有哪几个?是减函数的呢?
提示:在(0,+∞)内是增函数的有:y=x,y=x2,y=x3,y= .在(0,+∞)内是减函数的
有:y=x-1.
1
2
(3)上述5个函数中,图象关于原点对称,是奇函数的有哪几个?图象关于y轴对
称,是偶函数的呢?
提示:图象关于原点对称,是奇函数的有:y=x,y=x3,y=x-1;图象关于y轴对称,
奇函数
奇函数
偶函数
在R
在[0,+∞)上 在 R
在(0,+∞)上是
在[0,+∞)
上是
是增函数,
上是
减函数,在
单调性
上是增函
增函
在(-∞,0]上 增函
(-∞,0)上是减
数
12/11/2021 数
是减函数
数
函数
公共点 (1,1)
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课前篇
自主预习
一
二
3.判断正误:
(1)幂函数的图象可以出现在平面直角坐标系中的任意一个象限(xiàngxiàn).(
则下列结论正确的是(
)
A.n<m<0
B.m<n<0
C.n>m>0
D.m>n>0
解析:画出直线y=x0的图象,作出直线x=2,与三个函数图象交于点
(2,20),(2,2m),(2,2n).由三个点的位置关系可知,n<m<0.故选A.
答案:A
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课堂篇
探究学习
探究(tànjiū)
函数,则该函数必具有这种形式.
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课堂篇
探究学习
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
探究四
思想方法
变式训练1如果幂函数y=(m2-3m+3)

当堂检测
2 --2
的
图象不过原点,求实数m的
取值.
解:由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;
(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1).(
)
答案:(1)× (2)×
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)
课前篇
自主预习
一
二
4.做一做:
3
2
(1)函数 y= 的图象是(
)
(2)已知幂函数 f(x)=xa 的图象经过点(2, 2),则函数 f(x)为(
A.奇函数且在(0,+∞)上单调递增(dìzēng)
答案:A
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课堂篇
探究学习
探究(tànjiū) 探究(tànjiū)
一
二
探究(tànjiū)
三
探究四
思想方法
当堂检测
反思感悟1.本题也可采用特殊值法,如取x=2,结合图象可知2a>2b>2c,又函数
y=2x在R上是增函数,于是a>b>c.
2.对于函数y=xα(α为常数)而言,其图象有以下特点:
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探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
探究四
思想方法
当堂检测
1
解:(1)∵幂函数 y= 2 在[0,+∞)上是增函数,
1Hale Waihona Puke 11 22 2
1
2
又5 > 3,∴ 5 > 3 .
(2)∵幂函数 y=x-1 在(-∞,0)上是减函数,
当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;
当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件.
综上所述,m=1或m=2.
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探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
探究四
二
探究(tànjiū)
三
探究四
思想方法
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探究一幂函数的概念
例1 函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,试确定m
的值.
分析:由f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x>0时是增函数,可先利用幂函数的
定义求出m的值,再利用单调性确定m的值.
设 g(x)=xb(b∈R).
1
∵点 -2, 4 在幂函数 g(x)的图象上,
1
∴4=(-2)b,解得 b=-2,
∴g(x)=x-2.
在同一直角坐标系中作出f(x)=x2和g(x)=x-2的图象,如图所示:
(1)当x>1或x<-1时,f(x)>g(x);
(2)当x=1或x=-1时,f(x)=g(x);
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
4
3
探究四
思想方法
当堂检测
2
5
1
3
)
1
5
1
3
变式训练 3 已知 a=2 ,b=4 ,c=25 ,则(
A.b<a<c
B.a<b<c
C.b<c<a
D.c<a<b
4
3
1
3
2
5
解析:∵a=2 =16 ,b=4 =16 ,c=25 ,
∴a>b,a<c,∴b<a<c.
2 3
又-3<-5,∴
2 -1
-3
>
3 -1
-5 .
1
3
(3)∵函数 y1= 2 在定义域内为减函数,且4
1
1
3
2
又函数 y2= 在[0,+∞)上是增函数,且4 > 2,
∴
3
4
1
2
>
1
2
1
2
.∴
3
4
1
2
>
1
2
3
4
.
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>
1
1
,∴ 2
2
1
2
>
1
2
3
4
.
课堂篇
4
分析:先利用幂函数的定义求出f(x),g(x)的解析式,再利用图象判断.
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课堂篇
探究学习
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
探究四
思想方法
当堂检测
解:设 f(x)=xa(a∈R).
∵点( 2,2)在幂函数 f(x)的图象上,
∴2=( 2)a,解得 a=2,∴f(x)=x2.
(4)当α>0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上都是增函数;
当α<0时,幂函数的
1
图象在区间(0,+∞)上都是减函数.
2
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课堂篇
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探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
探究四
思想方法
当堂检测
变式训练2如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,
B.偶函数且在(0,+∞)上单调递减
C.非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递增
D.非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递减
12/11/2021
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)
课前篇
自主预习
一
二
3
2
解析:(1)∵函数 y= 的定义域是[0,+∞),∴排除选项 A 和 B.
3
∵2>1,∴曲线应该是下凸型递增的.
2.3
幂函数
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第一页，共三十六页。
-1-
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核心素养培养目标
1.通过具体实例,了解幂函数的概念,会求幂
函数的解析式.
1
1
2
2.结合幂函数 y=x,y=x ,y=x ,y= ,y=x 的图
2
3
x
象,掌握它们的性质.
3.能利用幂函数的基本性质解决相关的实际
问题,培养数学建模核心素养.
,y=3x2,y=x2+2x,y=1中,幂函数的个数为
.
4

解析:函数y= =x-4为幂函数;函数y=3x2中x2的系数不是1,所以它不是幂函
α(α∈R)的形式,所以它不是幂函数;函数y=1与
1
数;函数y=x2+2x不是y=x
4
y=x0=1(x≠0)不是同一函数,所以y=1不是幂函数.
答案:1
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第二页，共三十六页。
核心素养形成脉络
课前篇
自主预习
一
二
一、幂函数的定义
1.函数y=2x与y=x2有什么(shén me)不同?
提示:在函数y=2x中,常数2为底数,自变量x为指数,故为指数函数;而在函数
y=x2中,自变量x为底数,常数2为指数,故为幂函数.
2.函数 y=x,y=x ,y=x ,y=x 及
∴0<0.71.3<1.
又根据幂函数y=x0.7的图象,知
当x>1时,y>1,∴1.30.7>1.
于是有0.71.3<1.30.7.
对于幂函数y=xm,
由(0.71.3)m<(1.30.7)m,知
当x>0时,随着x的增大,函数值y也增大,所以m>0.
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第二十二页，共三十六页。
当堂检测
思想方法
当堂检测
探究二幂函数的图象
例2已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为 (
)
A.c<b<a
B.a<b<c
C.b<c<a
D.c<a<b
分析:利用幂函数在第一象限内的图象特征和性质,结合所给图象分析并判断
a,b,c的大小关系.
解析:由幂函数的图象特征,知c<0,a>1,0<b<1.故c<b<a.
答案:A
12/11/2021
第十九页，共三十六页。
课堂篇
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探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
探究四
思想方法
当堂检测
探究四幂函数图象的应用
1
例4已知点 ( 2,2)在幂函数 f(x)的图象上,点 在幂函数g(x
)的图象上,问
-2,
当x为何值时,有:(1)f(x)>g(x),(2)f(x)=g(x),(3)f(x)<g(x).
(3)当1<x<1且x≠0时,f(x)<g(x).
12/11/2021
第二十一页，共三十六页。
课堂篇
探究学习
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
探究四
思想方法
变式训练 4已知(0.71.3)m<(1.30.7)m,求m的取值范围.
解:根据幂函数y=x1.3的图象,知
当0<x<1时,0<y<1,
(2)幂函数 f(x)=xa 的图象经过点(2, 2),
1
1
2
∴2 = 2,解得 a=2,∴函数 f(x)= .
∴函数 f(x)是非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递增.
a
答案(dá àn):(1)C (2)C
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课堂篇
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探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
第四页，共三十六页。
课前篇
自主预习
一
二
二、幂函数的图象(tú xiànɡ)及性质
1.在同一平面直角坐标系中,幂函数
图象如下图所示.
12/11/2021
第五页，共三十六页。
1
2
3
y=x,y=x ,y=x ,y= 2 ,y=x-1 的
课前篇
自主预习
一
二
(1)它们的图象都过同一定点吗?
提示(tíshì):是的,都过定点(1,1).
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
探究四
思想方法
当堂检测
探究三利用幂函数的单调性比较大小
例3比较下列各组中两个数的大小:
1
2
(1)
2
5
(2)
2 -1
与
3
(3)
1
2
3
4
与
与
1
3
3
4
分析:(1)利用
1
2
;
3 -1
;
5
1
2
.
1
y= 2 的单调性比较大小;
1
1
2
(2)利用 y=x-1 的单调性比较大小;(3)利用中间量 2 比较大小.
课堂篇
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一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
探究四
思想方法
当堂检测
数形结合与分类讨论思想在幂函数中的应用
典例 已知函数 f(x)= -2 2 ++3
(m∈Z)为偶函数,且f(3)<f(5).
(1)求m的值,并确定f(x)的解析式;
2
3
-1
1
y= 2解析式有什么共同特征?
提示:底数是自变量,自变量的系数(xìshù)为1;指数为常数;幂xα的系数为1;解析
式等号右边只有1项.
3.填空:
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
12/11/2021
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自主预习
一
二
4.做一做:
在函数(hánshù)1y=