高思级枚举法计数问题答案
高思3年级·3枚举法(一)(计数问题第1讲)·答案
第3讲 枚举法（一）（计数问题第1讲）【1】1～20共有多少个数相隔：20-1=19（个）；个数：19+1=20（个）。
答：1～20共有20个数。
【2】20～40共有多少个数相隔：40-20=20（个）；个数：20+1=21（个）。
答：20～40共有21个数。
【3】如图，桌上有一些围棋子，有多少枚黑子 正难则反一共：5×5=25（枚）；白子：9枚；黑子：25-9=16（枚）。
答：有16枚黑子。
【4】小明决定去香山、颐和园、圆明园这3个景点旅游，要走遍这三个景点，他一共有多少种不同的游览顺序 （1）香山、颐和园、圆明园；（2）香山、圆明园、颐和园；（3）颐和园、香山、圆明园；（4）颐和园、圆明园、香山；（5）圆明园、香山、颐和园；（6）圆明园、颐和园、香山。
3×2=6（种）答：他一共有6种不同的游览顺序。
【5】小王准备从青岛、三亚、桂林、杭州这4个地方中选2个地方去旅游，小王有多少种不同的选择 握手原则⎩⎨⎧÷⨯-2每个人握手次数所有人握手次数：人数1每个人握手次数：人数（1）青岛、三亚；（2）青岛、桂林；（3）青岛、杭州；（4）三亚、桂林；（5）三亚、杭州；（6）桂林、杭州。
4×3÷2=6（种）答：小王有6种不同的选择。
【6】小王准备从青岛、三亚、桂林、杭州这4个地方中选3个地方去旅游，小王有多少种不同的选择 正难则反：在4个地方里面选3个，也就是每次去掉1个地方不选。
（1）青岛、三亚、桂林（不选杭州）；（2）青岛、三亚、杭州（不选桂林）；（3）青岛、桂林、杭州（不选三亚）；（4）三亚、桂林、杭州（不选青岛）。
答：小王有4种不同的选择。
【7】墨莫在一张纸上画了一些图形，如图所示，每个图形都是由若干条线段连接组成的。
数一数，纸上一共有多少条线段（最外面的大长方形是纸的边框，不算在内） 三角形个数：2；四边形个数：2；五边形个数：2。
（3+4+5）×2=24（条） 答：纸上一共有24条线段。
高斯小学奥数四年级上册含答案第23讲_最值问题一
第二十三讲最值问题一最值问题，即求最大值、最小值的问题．这类问题中，有时满足题目条件的情况并不多，这时我们就可以用枚举法将所有可能情况一一列出，再比较大小．例题1（1）在五位数12435的某一位数字后面插入一个同样的数字可以得到一个六位数（例如：在2的后面插入2可以得到122435）．请问：能得到的最大六位数是多少？（2）在七位数9876789的某一位数字后面再插入一个同样的数字．请问：能得到的最小八位数是多少？「分析」一共有多少种不同的插入数字的方法？你能将它们全部枚举出来吗？练习1在五位数41729的某一位数字前面插入一个同样的数字（例如：在7的前面插入7得到417729），能得到的最大六位数是多少？直接枚举的优点是不用过多思考，大家都能理直气壮地说，直接比较大小得到的答案一定是正确的．事实上，我们应该多想一想，为什么这个答案是最大或最小的，有没有什么道理，其中有没有什么规律．例题2有9个同学要进行象棋比赛．他们准备分成两组，不同组的任意两人之间都进行一场比赛，同组的人不比赛，那么一共最多有多少场比赛？「分析」把9个同学分成两组，有多少种情况呢？你能算出这些分法各自对应的比赛场数吗？练习2有7个同学要进行乒乓球单打比赛．他们准备分成两组，不同组的任意两人之间都进行一场比赛，同组的人不比赛，那么一共最多有多少场比赛？从例题2我们可以得出：两个数的和相等，当它们越接近时（也就是它们的差越小时），两数乘积越大，也可以简单记成“和同近积大”．“和同近积大”的应用非常广泛，接下来我们分析一下比较典型的“篱笆问题”．例题3墨爷爷要用长20米的篱笆围成一个长方形养鸡场，已知长和宽均为整数米，那么怎样围所得的养鸡场面积最大？（正方形是特殊的长方形）「分析」长方形面积是长、宽的乘积，要想长、宽乘积最大，可以不可以应用“和同近积大”的道理来解决呢？能找到“和同”吗？练习3墨爷爷要用长30米的篱笆围成一个长方形养鸡场，已知长和宽均为整数米，那么怎样围所得的养鸡场面积最大？例题4请将1、2、3、4、5、6这六个数填入下面的方格中，使得乘法算式的结果最大．⨯□□□□□□ 「分析」要使得乘积最大，百位应当填哪两个数？十位呢？个位呢？练习4请将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数填入下面的方格中，使得乘法算式的结果最大．⨯□□□□□□□□例题5墨爷爷要用长20米的篱笆围成一个靠墙的直角三角形养鸡场，已知靠墙的恰好为三角形斜边，两条直角边长均为整数米，那么怎样围所得的养鸡场面积最大？「分析」长方形篱笆我们已经解决了，三角形的与长方形的有什么联系吗？养鸡场想一想要用篱笆围一个靠墙的三角形，那么锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种面积会最大呢？在很多问题中，我们都需要先进行整体的思考，再对局部进行一些调整．千万不能“丢了西瓜捡芝麻”！例题6各位数字互不相同的多位数中，数字之和为23的最小数是多少？最大数是多少？「分析」两个多位数比较大小，首先要比较它们的位数．如果位数相同，还要从高位到低位依次比较．课堂内外动物之最最大的动物：蓝鲸（平均长30米，重达160吨）最大的路上动物：非洲象（平均重达9吨）最高的路上动物：长颈鹿（平均高5米）嘴巴最大的陆生哺乳动物：河马最聪明的动物：海豚（人除外）最大的鸟类：鸵鸟（平均身高2.5米，最重可达155千克）翅膀最长的鸟类：信天翁（翅展2~3米）嘴巴最大的鸟：巨嘴鸟（最长24厘米，宽9厘米）形体最小的鸟：蜂鸟飞得最高的鸟：天鹅（最高能达17000米）最耐寒的鸟：企鹅路上奔跑速度最快的动物：猎豹（可高达时速130公里）速度最快的海洋动物：旗鱼（可高达时速190公里）飞行速度最快的动物：军舰鸟（可高达时速418公里）现存最古老的生物：舌形贝（有4.5亿年历史）牙齿最多的动物：蜗牛（共有25600颗牙齿）飞行能力最强的昆虫：蝗虫（每天能够连续飞行近10小时）力气最大的昆虫：屎壳郎（可以支撑或拖走相当于自己体重1141倍的物体）外形最奇特的鱼：海马最大的两栖动物：大鲵（即娃娃鱼）毒性最强的蛇：海蛇（其毒性为眼镜蛇的2倍）寿命最长的动物：海葵（已发现最年长的海葵有2000多岁了）冬眠时间最长的动物：睡鼠（冬眠时间5~6个月）作业1.在六位数129854的某一位数字前面再插入一个同样的数字（例如：可以在2的前面插入2得到1229854），能得到的最小七位数是多少？2.两个自然数之和等于10，那么它们的乘积最大是多少？3.用20根长1厘米的火柴棒围成一个长方形，这个长方形的面积最大是多少平方厘米？4.请将3，4，5，6，7，8这六个数分别填入算式□□□□□□的方格中，使这个乘法算式的结果最大．5.各位数字互不相同的多位数中，数字之和为32的最小数是多少，最大数是多少？第二十三讲 最值问题一1. 例题1答案：（1）124435；（2）98766789详解：（1）枚举：112435、122435、124435、124335、124355，最大的六位数是124435；（2）枚举：99876789、98876789、98776789、98766789、98767789、98767889、98767899，最小的八位数是98766789．2. 例题2答案：20场详解：如果是（1，8），那么共188⨯=场；如果是（2，7），那么共2714⨯=场；如果是（3，6），那么共3618⨯=场；如果是（4，5），那么共4520⨯=场；所以一共最多有20场比赛．3. 例题3答案：长、宽 都为5米时，面积最大为25平方米详解：长方形周长是20米，长、宽之和为10，是固定不变的；长方形面积为长、宽之积，根据“和同近积大”，可知长、宽越接近，面积越大； 当长、宽相等，即篱笆为正方形时，面积最大，最大面积为5525⨯=平方米．4. 例题4答案：631542⨯详解：要使得乘积最大，那么就要百位上的数字最大、个位上的数字最小；所以百位填5、6，十位填3、4，个位填1、2；在这个前提下，无论怎么填，最后两个三位数的和都固定等于5006003040121173+++++=，所以要想让它们的乘积最大，就要让这两个三位数差最小，尝试可得是631542⨯．5. 例题5答案：两条直角边都为10米时，面积最大为50平方米详解：设两条直角边分别为A 、B ，则20+=A B 米；直角三角形面积为“2⨯÷底高”，即面积大小是由“⨯A B ”决定的；A 、B 之和为20米，越接近则乘积越大，所以当10==A B 米时， “⨯A B ”有最大值； 所以，三角形面积最大为1010250⨯÷=平方米．6. 例题6答案：689；8543210详解：数的大小，首先是要考虑位数，再考虑各个数位上的数的大小．（1）最小：即要位数最少，那么就得要让每个数位上的数字都尽量的大，把23拆开：23986=++，所以最小数为689；（2）最大：即要位数最多，那么就得要让每个数位上的数字都尽量的小，把23拆开：230123458=++++++，所以最大数为8543210．7.练习1答案：441729详解：枚举：441729、411729、417729、417229、417299，最大的六位数为441729．8.练习2答案：12场详解：如果是（1，6），那么共166⨯=场；如果是（2，5），那么共2510⨯=场；如果是（3，4），那么共3412⨯=场；所以一共最多有12场比赛．9.练习3答案：长8米，宽7米时，面积最大为56平方米简答：长、宽和为15米，当长为8米、宽为7米时，长、宽最接近，长、宽乘积最大，最大面积为56平方米．10.练习4答案：76428531⨯简答：要使得乘积最大，那么就要千位上的数字最大、个位上的数字最小；所以千位填7、8，百位填5、6，十位填3、4，个位填1、2；在这个前提下，无论怎么填，最后两个四位数的和都固定等于+++++++=，所以要想让它们的乘积最大，就要让这两个四7000800050060030401216173位数差最小，尝试可得是76428531⨯．11.作业1答案：1129854简答：在原数某一位前面插入相同数一共可以得到1129854、1229854、1299854、1298854、1298554、1298544这些数，对比可知1129854最小．12.作业2答案：25简答：两个数的和为10，根据“和同近积大”的原则，当两个数都为5时乘积最大，为25．13.作业3答案：25平方厘米简答：长、宽的和是10厘米，根据“和同近积大”的原则，正方形的时候面积最大，此时边长为5厘米，面积为25平方厘米．14.作业4答案：853764⨯简答：最高位填8和7，十位填6和5，个位填4和3，相差越小乘积越大，所以应为853764⨯．15.作业5答案：26789；98543210简答：3298762=++++，所以最小为26789；3201234589=+++++++，所以最大为98543210．。
高斯小学奥数含答案三年级(下)第04讲数字计数
第四讲数字计数- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -数一数，上图中一共有多少个正方形？枚举法是解决计数问题的基础，但是对于比较复杂的问题，如果直接枚举很容易出现重复或者遗漏．这时就需要预先把所有情形分成若干小类，针对每一小类进行枚举．在涉及数字的枚举时，需要注意0 不能在首位．对于没有指定位数的问题，可以按位数分类枚举．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题1利用数字0、1、2 能拼出多少个无重复数字的自然数？（数字不必都用上）练习1利用数字1、2、3 能拼出多少个无重复数字的自然数？（数字不必都用上）- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -类与类之间有时会有很多相似性．如果能够合理的利用这些相似性，就可以大大减少枚举的工作量．比如例题 1 中，以1 开头的三位数和以 2 开头的三位数是相类似的，只要枚举清楚以 1 开头的三位数有几个，就可以算出其它类的方法数了．6- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题2在所有的三位数中，各位数字之和不超过 4 的共有多少个？练习2在所有的两位数中，各位数字大于16 的共有多少个？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -在分类时，一定注意类与类之间有没有重复的部分，或者有没有漏掉的情况．只有在分类已经做到“不重不漏”的前提下，才能够进行下一步的枚举．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题3用两个1，一个2，一个3，可以组成多少个不同的四位数？练习3用三个2，一个4，一个5，可以组成多少个不同的五位奇数？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -如果题目中的数字是印在木板上的，如1、3、5：1 3 5由于这是块木板，可以随意旋转，例如0、1、6、8、9 这5 个，而其他 5 个数字旋转之后什么都不是，没有意义，所以结果不变．如果把写着 6 的那块木板倒过来的话就会变成9，所以会多出来很多数，比如9、95、954 等等，想一下．还有哪些数字可以倒过来看呢？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -7例题4老师拿来 3 块木板，上面分别写着数字0、3、6．你可以用这些木板拼出多少个不同的自然数？（木板可以颠倒，且数字不必都用上）练习4老师拿来 3 块木板，上面分别写着数字4、5、6．你可以用这些木板拼出多少个不同的三位数？（木板可以颠倒）例题5如下图，四张卡片上写有数字2，4，7，8．从中任取三张卡片，排成一行，就可以组成一个三位数．请问：一共可以组成多少个不同的三位数？其中有多少个不同的三位偶数？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -分类方式非常多样，有时可以像例 1 一样按位数分类，有时可以像例 2 一样按各个数位数字和分类，有时可以像例 3 一样按相同数字的位置分类，有时可以像例 4 一样，按用不同数字分类．无论是哪种分类方式，首先需要将有几类写清楚，然后再枚举出每类的情况数，最后再将每类的方法数相加，即分类相加．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题6在所有的四位数中，各位数字之和超过32 的共有多少个？8课堂内外成语分类一、数字成语一唱一和两败俱伤三长两短三顾茅庐三令五申四海为家五体投地六根清净七零八落半斤八两九霄云外十拿九稳百无禁忌千变万化瞬息万变二、动物名称成语【鼠】鼠目寸光鼠肚鸡肠鼠窃狗盗投鼠忌器抱头鼠窜獐头鼠目【牛】牛鬼蛇神牛刀小试牛鼎烹鸡汗牛充栋对牛弹琴九牛一毛【虎】虎视眈眈虎口余生虎头虎脑虎背熊腰虎头蛇尾虎落平阳【兔】兔死狐悲兔死狗烹狡兔三窟鸟飞兔走守株待兔【龙】龙腾虎跃龙飞凤舞龙马精神龙凤呈祥画龙点睛来龙去脉【蛇】蛇蝎心肠画蛇添足惊蛇入草龙蛇混杂杯弓蛇影牛鬼蛇神三、带植物成语开花结果斩草除根顺藤摸瓜披荆斩棘奇花异果投桃报李粗枝大叶春兰秋菊火树银花四、带人体成语面无人色心旷神怡耳熟能详心花怒放蒙头转向满面春风屈指可数满目疮痍铁面无私五、带方位成语旁若无人前车之鉴旁敲侧击人间地狱节外生枝福如东海马放南山居高临下蒙在鼓里六、带色彩成语黄金时代白雪皑皑乌烟瘴气皓首穷经青面獠牙苍髯如戟金光灿烂红颜薄命白发苍苍七、叠字成语亭亭玉立姗姗来迟栩栩如生欣欣向荣惺惺作态洋洋得意绵绵不绝静静乐道虎视眈眈八、带“不”字成语不由自主不谋而合不寒而栗不同凡响不甘示弱不知深浅不露声色不择手段不足为奇九、带“人”字成语人心涣散人生如梦人情冷暖人地生疏人面兽心人困马乏人才济济人浮于事人才辈出十、“想”的成语想了又想（朝思暮想）苦苦地想（苦思冥想）静静地想（静思默想）十一、“多”的成语观众多（座无虚席）贵宾多（高朋满座）人很多（摩肩接踵）十二、带有“看”的近义词的成语见多识广望而生畏察言观色一视同仁一览无余高瞻远瞩坐井观天举世瞩目管中窥豹十三、含有一对近义词的成语惊心动魄争奇斗艳生龙活虎添油加醋降龙伏虎争权夺利高楼大厦狂风暴雨满山遍野十四、含有两对近义词的成语深思熟虑真凭实据灵丹妙药凶神恶煞心满意足街头巷议翻山越岭精雕细刻生拉硬扯9作业1. 各位数字之和大于15 的两位数有多少个？2. 由1、2、3、4 各一个能组成多少个不同的四位奇数？3. 在三角形中，任意两条边之和都大于第三边．三条边的边长均为整数，且最长边的长度是8 厘米，那么这样的三角形共有多少种？4. 现有数字1、2、2、3 各一个能拼出多少个不同的三位数？5. 老师拿来 3 块木板，上面分别写着数字7、8、9．你可以用这些木板拼出多少个不同的自然数？（木板不必都用上，木板可以颠倒）10第四讲数字计数1. 例题1答案：11．详解：一位数：0、1、2；两位数：10、12、20、21；三位数：102、120、201、210，共有11 个．2. 例题2答案：20．详解：数字之和不超过4，意味着数字和有四种情形：1、2、3、4．我们就依此分类．数字和为1：100，1个．数字和为2：首位为1，101、110；首位为2，200；此类共 3 个．数字和为3：首位为1，102、111、120；首位为2，201、210；首位为3，300；此类共 6 个．数字和为4：首位为1，103、112、121、130；首位为2，202、211、220；首位为3，301、310；首位为4，400；此类共10 个．所以，共有20 个三位数．3. 例题3答案：19．详解：先放两个1，它们的位置一共有 6 种可能，然后放 2 和3，每种可能下2、3 的位置可以颠倒，则会有 2种，那么一共有12 个不同的四位数．4. 例题4答案：19．详解：6 的木板还能反过来当9 用．可以是一位数、两位数和三位数，一位数有0、3、6、9，共 4 个，两位数是30、36、39、60、63、90、93 共有7 个，三位数时：先考虑当 6 用的情况．首位不能为0．三位数有306、360、603、630，共4 个．当9 用也有 4 个．所以，共有4×2=8 个三位数．则总共有4+7+8=19 个不同的自然数．5. 例题5答案：24；18．详解：（1）从2、4、7、8 中先选 3 个数字，共有 4 种选法，每种选法下会有 6 个三位数，则一共有24 个不同的三位数．（2）如果是偶数，则个位可以是2、4、8，共有 3 类，每类的方法下会有 6 种可能，则会有18个不同的三位偶数．6. 例题6答案：49 个．详解：按各位数字和分类：数字和可能为33、34、35、36．这四类情形对应的四位数分别有：34 个、10 个、4 个、1 个．因此，共有49 个四位数．7. 练习1答案：15．简答：1 打头的有1，12，13，123，132 共5 个．2、3 打头的也有 5 个．一共15 个．8. 练习2答案：3．简答：数字之和是17，这样的两位数有89、98；数字之和是18，这样的两位数是99，共有 3 个．9. 练习3答案：4．简答：个位一定是5，则只需把三个 2 和一个 4 放在千位、百位、十位即可，一共有 4 种可能：分别为22245、22425、24225、42225．10. 练习4答案：12．简答：用数字4、5、6：有456、465、546、564、645、654，6 个；用数字4、5、9：有459、495、549、594、945、954，6 个；一共有12 个．11. 作业1答案：6．11简答：数字之和为16 的两位数有79、88、97，数字之和为17 的两位数有89、98，数字之和为18 的两位数有99，则一共有 6 个这样的两位数．12. 作业2答案：12．简答：个位为 1 的四位数有 6 个，个位为 3 的四位数有 6 个，则一共有12 个．13. 作业3答案：20．简答：三角形两边之和大于第三边，有（1，8，8）（2，7，8）（2，8，8）（3，6，8）（3，7，8）（3，8，8）（4，5，8）（4，6，8）（4，7，8）（4，8，8）（5，5，8）（5，6，8）（5，7，8）（5，8，8）（6，6，8）（6，7，8）（6，8，8）（7，7，8）（7，8，8）（8，8，8）二十种．14. 作业4答案：12．简答：按数字组合来分类．用1、2、2 可以拼出 3 个．用1、2、3 可以拼出 6 个，用2、2、3 可以拼出 3 个，共12 个．15. 作业5答案：26．简答：9 也可以当成 6 用．一位数有 4 个，两位数有10 个，三位数有12 个，共26 个．12。
高斯小学奥数含答案三年级(下)第04讲 数字计数
第四讲数字计数- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 数一数，上图中一共有多少个正方形？枚举法是解决计数问题的基础，但是对于比较复杂的问题，如果直接枚举很容易出现重复或者遗漏．这时就需要预先把所有情形分成若干小类，针对每一小类进行枚举．在涉及数字的枚举时，需要注意0不能在首位．对于没有指定位数的问题，可以按位数分类枚举．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题1利用数字0、1、2能拼出多少个无重复数字的自然数？（数字不必都用上）练习1利用数字1、2、3能拼出多少个无重复数字的自然数？（数字不必都用上）- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 类与类之间有时会有很多相似性．如果能够合理的利用这些相似性，就可以大大减少枚举的工作量．比如例题1中，以1开头的三位数和以2开头的三位数是相类似的，只要枚举清楚以1开头的三位- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题2在所有的三位数中，各位数字之和不超过4的共有多少个？练习2在所有的两位数中，各位数字大于16的共有多少个？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 在分类时，一定注意类与类之间有没有重复的部分，或者有没有漏掉的情况．只有在分类已经做到“不重不漏”的前提下，才能够进行下一步的枚举．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题3用两个1，一个2，一个3，可以组成多少个不同的四位数？练习3用三个2，一个4，一个5，可以组成多少个不同的五位奇数？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 如果题目中的数字是印在木板上的，如1、3、5：1 3 5由于这是块木板，可以随意旋转，例如0、1、6、8、9这5个，而其他5个数字旋转之后什么都不是，没有意义，所以结果不变．如果把写着6的那块木板倒过来的话就会变成9，所以会多出来很多数，比如9、95、954等等，想一下．还有哪些数字可以倒过来看呢？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题4老师拿来3块木板，上面分别写着数字0、3、6．你可以用这些木板拼出多少个不同的自然数？（木板可以颠倒，且数字不必都用上）练习4老师拿来3块木板，上面分别写着数字4、5、6．你可以用这些木板拼出多少个不同的三位数？（木板可以颠倒）例题5如下图，四张卡片上写有数字2，4，7，8．从中任取三张卡片，排成一行，就可以组成一个三位数．请问：一共可以组成多少个不同的三位数？其中有多少个不同的三位偶数？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 分类方式非常多样，有时可以像例1一样按位数分类，有时可以像例2一样按各个数位数字和分类，有时可以像例3一样按相同数字的位置分类，有时可以像例4一样，按用不同数字分类．无论是哪种分类方式，首先需要将有几类写清楚，然后再枚举出每类的情况数，最后再将每类的方法数相加，即分类相加．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题6在所有的四位数中，各位数字之和超过32的共有多少个？课堂内外成语分类一、数字成语一唱一和两败俱伤三长两短三顾茅庐三令五申四海为家五体投地六根清净七零八落半斤八两九霄云外十拿九稳百无禁忌千变万化瞬息万变二、动物名称成语【鼠】鼠目寸光鼠肚鸡肠鼠窃狗盗投鼠忌器抱头鼠窜獐头鼠目【牛】牛鬼蛇神牛刀小试牛鼎烹鸡汗牛充栋对牛弹琴九牛一毛【虎】虎视眈眈虎口余生虎头虎脑虎背熊腰虎头蛇尾虎落平阳【兔】兔死狐悲兔死狗烹狡兔三窟鸟飞兔走守株待兔【龙】龙腾虎跃龙飞凤舞龙马精神龙凤呈祥画龙点睛来龙去脉【蛇】蛇蝎心肠画蛇添足惊蛇入草龙蛇混杂杯弓蛇影牛鬼蛇神三、带植物成语开花结果斩草除根顺藤摸瓜披荆斩棘奇花异果投桃报李粗枝大叶春兰秋菊火树银花四、带人体成语面无人色心旷神怡耳熟能详心花怒放蒙头转向满面春风屈指可数满目疮痍铁面无私五、带方位成语旁若无人前车之鉴旁敲侧击人间地狱节外生枝福如东海马放南山居高临下蒙在鼓里六、带色彩成语黄金时代白雪皑皑乌烟瘴气皓首穷经青面獠牙苍髯如戟金光灿烂红颜薄命白发苍苍七、叠字成语亭亭玉立姗姗来迟栩栩如生欣欣向荣惺惺作态洋洋得意绵绵不绝静静乐道虎视眈眈八、带“不”字成语不由自主不谋而合不寒而栗不同凡响不甘示弱不知深浅不露声色不择手段不足为奇九、带“人”字成语人心涣散人生如梦人情冷暖人地生疏人面兽心人困马乏人才济济人浮于事人才辈出十、“想”的成语想了又想（朝思暮想）苦苦地想（苦思冥想）静静地想（静思默想）十一、“多”的成语观众多（座无虚席）贵宾多（高朋满座）人很多（摩肩接踵）十二、带有“看”的近义词的成语见多识广望而生畏察言观色一视同仁一览无余高瞻远瞩坐井观天举世瞩目管中窥豹十三、含有一对近义词的成语惊心动魄争奇斗艳生龙活虎添油加醋降龙伏虎争权夺利高楼大厦狂风暴雨满山遍野十四、含有两对近义词的成语深思熟虑真凭实据灵丹妙药凶神恶煞心满意足街头巷议翻山越岭精雕细刻生拉硬扯作业1.各位数字之和大于15的两位数有多少个？2.由1、2、3、4各一个能组成多少个不同的四位奇数？3.在三角形中，任意两条边之和都大于第三边．三条边的边长均为整数，且最长边的长度是8厘米，那么这样的三角形共有多少种？4.现有数字1、2、2、3各一个能拼出多少个不同的三位数？5.老师拿来3块木板，上面分别写着数字7、8、9．你可以用这些木板拼出多少个不同的自然数？（木板不必都用上，木板可以颠倒）第四讲数字计数1.例题1答案：11．详解：一位数：0、1、2；两位数：10、12、20、21；三位数：102、120、201、210，共有11个．2.例题2答案：20．详解：数字之和不超过4，意味着数字和有四种情形：1、2、3、4．我们就依此分类．数字和为1：100，1个．数字和为2：首位为1，101、110；首位为2，200；此类共3个．数字和为3：首位为1，102、111、120；首位为2，201、210；首位为3，300；此类共6个．数字和为4：首位为1，103、112、121、130；首位为2，202、211、220；首位为3，301、310；首位为4，400；此类共10个．所以，共有20个三位数．3.例题3答案：19．详解：先放两个1，它们的位置一共有6种可能，然后放2和3，每种可能下2、3的位置可以颠倒，则会有2种，那么一共有12个不同的四位数．4.例题4答案：19．详解：6的木板还能反过来当9用．可以是一位数、两位数和三位数，一位数有0、3、6、9，共4个，两位数是30、36、39、60、63、90、93共有7个，三位数时：先考虑当6用的情况．首位不能为0．三位数有306、360、603、630，共4个．当9用也有4个．所以，共有4×2=8个三位数．则总共有4+7+8=19个不同的自然数．5.例题5答案：24；18．详解：（1）从2、4、7、8中先选3个数字，共有4种选法，每种选法下会有6个三位数，则一共有24个不同的三位数．（2）如果是偶数，则个位可以是2、4、8，共有3类，每类的方法下会有6种可能，则会有18个不同的三位偶数．6.例题6答案：49个．详解：按各位数字和分类：数字和可能为33、34、35、36．这四类情形对应的四位数分别有：34个、10个、4个、1个．因此，共有49个四位数．7.练习1答案：15．简答：1打头的有1，12，13，123，132共5个．2、3打头的也有5个．一共15个．8.练习2答案：3．简答：数字之和是17，这样的两位数有89、98；数字之和是18，这样的两位数是99，共有3个．9.练习3答案：4．简答：个位一定是5，则只需把三个2和一个4放在千位、百位、十位即可，一共有4种可能：分别为22245、22425、24225、42225．10.练习4答案：12．简答：用数字4、5、6：有456、465、546、564、645、654，6个；用数字4、5、9：有459、495、549、594、945、954，6个；一共有12个．11.作业1简答：数字之和为16的两位数有79、88、97，数字之和为17的两位数有89、98，数字之和为18的两位数有99，则一共有6个这样的两位数．12.作业2答案：12．简答：个位为1的四位数有6个，个位为3的四位数有6个，则一共有12个．13.作业3答案：20．简答：三角形两边之和大于第三边，有（1，8，8）（2，7，8）（2，8，8）（3，6，8）（3，7，8）（3，8，8）（4，5，8）（4，6，8）（4，7，8）（4，8，8）（5，5，8）（5，6，8）（5，7，8）（5，8，8）（6，6，8）（6，7，8）（6，8，8）（7，7，8）（7，8，8）（8，8，8）二十种．14.作业4答案：12．简答：按数字组合来分类．用1、2、2可以拼出3个．用1、2、3可以拼出6个，用2、2、3可以拼出3个，共12个．15.作业5答案：26．简答：9也可以当成6用．一位数有4个，两位数有10个，三位数有12个，共26个．。
高思导引六年级第12讲 计数综合三完整版
第12讲计数综合三内容概述建立递推的思想，将问题的复杂情形与简单情形联系起来；学会现察和发现递推关系；利用树形图、列表等方法处理某些递推关系．另外，综合运用各种方法处理与数字相关的复杂计数问题．兴趣篇1．一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶．走完这10级台阶，一共可以有多少种不同的走法？答案：89种。
解析：将台阶数和走台阶的方法数列成一张表格，如下所示：走1、2级台阶的方法数可以枚举得到．走3级台方法数可以分两类得到：如果第一步走1级台阶，那么参考数表可得，剩下2级有2种走法；如果第一步走2级台阶，同样参考数表可得，剩下1级有1种走法；因此3级合阶的走法总数为1+2=3，如上表箭头所示．以此类推便可填满整张表格．2．卡莉娅买了10块巧克力，她每天最少吃一块，最多吃3块，直到吃完，共有多少种吃法？答案：274种解析：将巧克力的数量与吃法数列成一张表格，如下所示：吃1、2、3块巧克力的方法数可以枚举得到，吃4块巧克力的方法数可以分三类得到：如果第一天吃1块，那么参考数表可得，剩下3块有4种吃法；如果第一天吃2块，同样参考数表可得，剩下2块有2种吃法；如果第一天吃3块，那么剩下1块还有1种吃法，因此4块巧克力的吃法总数为1+2+4=7，如上表箭头所示．以此类推便可填满整张表格．3．用1×2的小方格覆盖7×2的长方形，共有多少种不同的覆盖方法？答案：21种解析：找到左上角的方格，按照该方格是横着覆盖还是竖着覆盖分两类讨论即可得递推规则，从而得到如下所示的一张表格．4．如果在一个平面上画出4条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画20条线，最多可以分成几个部分？答案：11个；211个解析：由于新增直线被分为几部分，区域数量自然也就增加几部分，所以可以将情况写为如下的一张数表：所以20条直线的时候最多把平面分成2+2+3+4+…+20=211个部分．5．甲、乙、丙三名同学练习传球，每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个．先由甲发球，经过6次传球后球仍然回到了甲的手中，请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？答案：22种解析：采用“传球法”，甲拿球，所以最开始甲标1，乙、丙都标o，接着甲必须由乙、丙传球给他，所以他下方的数也必须由乙、两累加给他；其余两人同理——这就是传球规则决定累加规则，依据这一累加规则，我们不停地将数表向下累加，每传一次球就多累加一行，最后得到第“6”行．这一行的三个数分别为22、21和21.他们分别表示6次传球后，由甲、乙、丙拿球的传球方法数．由于题目要求最后球回到甲手中，因此答案为22种．6．如图12—1，用红、黄、蓝三种颜色给一个五边形的各个顶点染色，同一条边的两端点不能同色，且顶点A必须染红色，请问：有多少种不同的染色方式？图12—1答案：10种解析：采用“传球法”，A染红色，所以在红色的下方标1，黄色和蓝色下方标0．B 不能再染红色，所以红色下面的标O，黄色和蓝色下方标1．后面的C、D、E 按照传球规则进行累加，注意到E不能染红色，所以有5+5=10种染法．7．一个三位数，有相邻两个数字的和为16，那么这样的三位数共有多少个？答案：54个解析：首先要审清题，题目中说“有相邻两个数字的和为16”，并不是说所有相邻两个数字之和都是16.相邻两个数字之和为16有三种可能：79，97或88.(1)若百位和十位的数字之和为16，个位可以填O ～9，共3×10一30种填法．(2)若十位和个位的数字之和为16，百位可以填1～9，共3×9—27种填法，两种情况共计57种填法，考虑到797、979和888被算了两次，因此这样的三位数有57-3=54个．8．一个各位数字互不相等的五位数不含数字0，且数字和为18，这样的五位数共有多少个？答案：360个解析：满足条件的情况只有以下三种：1+2+4+5+6=18, l+2+3+4+8=18, 1+2+3+5+7=18，共计55A ×3=360个．9．一个十位数只含有数字1或2，且不含两个连续的数字1，一共有多少个这样的十位数？答案：144个解析：十位数中不含有1，有1种，十位数中含有一个1，有110C =10种．十位数中含有两个l ，有29C = 36种．十位数中含有三个l ，有38C = 56种．十位数中含有四个1，有47C =35种．十位数中含有五个1，有56C =6种．共计144种，10．一个六位数由1、2、3、4、5组成，而且任意相邻两个数位的数字之差都是1，这样的六位数有多少个？答案：72个解析：采用“传球法”，十万位可以填1、2、3、4、5，因此在下方分别填1．要求任意相邻两个数位之差都是1，因此万位1、2、3、4、5的下方分别填1、2、2、2、1．后面的数位同理，因此这咩的六位数共有9+18+18+18+9=72个，拓展篇1．老师给小高布置了12篇作文，规定他每天至少写1篇．如果小高每天最多能写3篇，那么共有多少种写完作文的方法？答案：927种解析：将作文数量与完成作文的方法数列成一张表格，如下所示：下面解释一下这张数表是如何累加得到的，写1、2、3篇作文的方法数可以枚举得到．写4篇作文的完成方法数可以分三类去数：如果第一天写1篇，那么参考数表可得，剩下3篇有4种完成方法；如果第一天写2篇，同样参考数表可得，剩下2篇有2种完成方法；如果第一天写3篇，那么剩下1篇还有1种完成方法，因此4篇作文的完成方法总数为1+2+4=7，如上表箭头所示．接着分析5篇作文的完成方法数，仍然分三类：第一天写1篇，那么参考数表可得，剩下4篇还有7种完成方法；第一天写2篇．那么剩下3篇还有4种完成方法：第一天写3篇，那么剩下2篇还有2种完成方法，因此5篇作文的完成方法数等于2+4+7=13……以此类推便可填满整张表格．2．用10个1×3的长方形纸片覆盖一个10×3的方格表．共有多少种覆盖方法？2.答案：28种解析：我们可以列出一个递推数表，将其表示如下：下面详细说明该问题的递推规律．覆盖1×3、2×3和3×3方格表的方法数可以枚举得到．接着分析覆盖4×3的表格有几种覆盖方法，如下匿所示，左上角的阴影方格在覆盖的时候有两种方法：竖着覆盖或横着覆盖．当竖着覆盖时，余下部分恰好是一个3×3的方格表，覆盖方法数为2；当横着覆盖时，其下方的方格只能被横放的纸片盖住，因此只剩下一个1×3的方格表需要覆盖，方法数为1．由此可得4×3的表格的覆盖方法数为2+1=3．用同样的方法分析5×3的方格表，可得其覆盖方法数等于4×3的方法数加上2×3的方法数，因此等于3+1=4．接着以此类推即可，余下部分恰好是一个3×3的方格表，覆盖方法数为2。
高斯小学奥数五年级下册含答案第05讲_计数综合
第五讲计数综合从三年级开始到现在，我们已经学了很多有关计数的讲次，其中包括枚举法、加乘原理、排列组合、容斥原理等．我们先来做一个简单的小结和复习．枚举法是万能的方法，只要有足够多的时间和精力．并且往往在一些复杂棘手的题目中，别的方法都不能适用，此时就能体会到枚举法的“威力”．使用枚举法时一定要注意有序思考．．．．． 加法原理强调的是分类，计数时我们只需选择其中的某一类即可以满足要求，类与类之间可以相互替代．乘法原理强调的是分步，每一步只是整个事情的一部分，必须全部完成才能满足结论，缺一不可．在乘法原理中，步骤顺序的安排往往非常重要．排列与组合：排列的计算公式由乘法原理推导而来，组合的计算公式由排列公式推导而来．从n 个不同的元素中取出m 个（m n ≤），并按照一定的顺序排成一列，其方法数叫做从n 个不同元素中取出m 个的排列数，记作mn A ．()()()()!121!mn n A n n n n m n m ==⨯-⨯-⨯⨯-+-从n 个不同元素中取出m 个（m n ≤）作为一组（不计顺序），可选择的方法数叫做从n 个不同元素中取出m 个的组合数，记作mn C ．()()()()()121!121mmnnn n n n m A C m m m m ⨯-⨯-⨯⨯-+==⨯-⨯-⨯⨯在运用排列组合时，有特殊要求的我们往往优先考虑，有时还会用到“捆绑法”和“插空法”.我们今天主要来学习计数中的分类思想，以及正面分类和反面排除的合理选择． 分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题所给对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，将整体问题划分为局部问题，把复杂问题转化为单一问题，然后分而治之、各个击破，最后综合各类的结果得到整个问题的解答．例题1．五张卡片上分别写有0、1、2、3、5，每张卡片各用一次可以组成一些五位数．其中5的倍数有多少个？4的倍数有多少个？分析：一个数是5的倍数，它要满足什么条件？4的倍数呢？练习1．五张卡片上分别写有0、1、2、3、5，每张卡片只能用一次可以组成多少个三位偶数？例题2．（1）用2个1、2个2和1个3可以组成多少个不同的五位数？（2）用1个0、2个1和2个2可以组成多少个不同的五位数？（3）用1个0、2个1和2个2可以组成多少个不同的四位数？分析：先选好1的位置，再选好2的位置，最后选好3的位置，就可以组成五位数．那么有多少种不同的选法？练习2．（1）用1个1、1个2、2个3可以组成多少个不同的四位数？（2）用1个0、1个2、2个3可以组成多少个不同的四位数？（3）用1个0、1个2、2个3可以组成多少个不同的三位数？例题3．数1447、1225、1031有某些相同的特点，每一个数都是以1为首的四位数，且每个数恰好只有两个数字相同（1112，1222，1122这样的数不算），这样的数共有多少个？分析：根据题意可知这样的四位数由三种数字组成，其中有一种数字出现了2次．那么可以根据这个数字所在的数位来分类．练习3．用1、2、3、4这4个数字组成四位数，至多允许有1个数字重复一次．例如1234、1233和2434是满足条件的，而1212、3331和4444就是不满足条件的．那么，所有这样的四位数共有多少个？例题4和2468相加至少会发生一次进位的四位数有多少个？分析：和2486相加发生进位有好多种情况，比如发生一次进位、发生两次进位、发生三次进位等等，不同的类型太多了．这时不妨考虑下反面．练习4．和250相加至少会发生一次进位的三位数有多少个？例题5．有10名外语翻译，其中5名是英语翻译，4名日语翻译，另外1名英语和日语都很精通，从中找出7人，使他们可以组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另3人翻译日语，这两个小组能同时工作，则不同的分配方案共有多少种？分析：这个英语和日语都很精通的人很麻烦，应该优先考虑他．例题6．将右图中的“○”分别用四种颜色染色，只要求有实线段连接的两个相邻的“○”都涂成不同的颜色，共有多少种涂法？如果还要求虚线段连接的两个“○”也涂成不同的颜色，共有多少种涂法？分析：染色时顺序很重要，要遵循“前不影响后”的原则．四色定理四色定理指出每个可以画出来的无飞地地图（飞地是指与本土不相连的土地）都可以至多用4种颜色来上色，而且没有两个相邻的区域会是相同的颜色．被称为相邻的两个区域是指它们共有一段边界，而不是一个点．这一定理最初是由Francis Guthrie在1853年提出的猜想．很明显，3种颜色不会满足条件，而且也不难证明5种颜色满足条件且绰绰有余．但是，直到1977年四色猜想才最终由Kenneth Appel 和Wolfgang Haken证明．他们得到了J. Koch在算法工作上的支持．证明方法将地图上的无限种可能情况减少为1,936种状态（稍后减少为1,476种），这些状态由计算机一个挨一个的进行检查．这一工作由不同的程序和计算机独立的进行了复检．在1996年，Neil Robertson、Daniel Sanders、Paul Seymour和Robin Thomas使用了一种类似的证明方法，检查了633种特殊的情况．这一新证明也使用了计算机，如果由人工来检查的话是不切实际的．四色定理是第一个主要由计算机证明的理论，这一证明并不被所有的数学家接受，因为它不能由人工直接验证．最终，人们必须对计算机编译的正确性以及运行这一程序的硬件设备充分信任．参见实验数学．缺乏数学应有的规范成为了另一个方面；以至于有人这样评论“一个好的数学证明应当像一首诗——而这纯粹是一本电话簿！”虽然四色定理证明了任何地图可以只用四种颜色着色，但是这个结论对于现实中的应用却相当有限．现实中的地图常会出现飞地，即两个不相连的土地属于同一个国家的情况（例如美国的阿拉斯加州），而制作地图时我们仍会要求这两个区域被涂上同样的颜色，在这种情况下，四个颜色将会是不够用的．作业1. 计算：（1） 38C =_________； （2） 48A =_________； （3） 810C =_________； （4） 012345555555C C C C C C +++++=_________． 作业2. 王老师家装修新房，需要2个木匠和2个电工．现有木匠3人、电工4人，另有1人既能做木匠也能做电工．要从这8人中挑选出4人完成这项工作，共有多少种不同的选法？作业3. 用2个3、3个1和1个0可以组成多少个不同的六位数？ 作业4. 用2个5、1个2和1个0可以组成多少个不同的三位数？ 作业5. 与1357相加会发生进位的四位数有多少个？第五讲计数综合例题1.答案：42，18详解：5的倍数分为两类，末位是5的有332118⨯⨯⨯=个，末位是0的有432124⨯⨯⨯=个，共42个．4的倍数：末两位是20的有6个，末两位是12的有4个，末两位是32的有4个，末两位是52的有4个，共有18个．例题2.答案：（1）30；（2）24；（3）24详解：（1）先给1选位置，再给2选位置，再给3选位置，共可组成22153130C C C⨯⨯=个不同的五位数．（2）先给0选位置，再给1选位置，再给2选位置，共可组成12244224C C C⨯⨯=个不同的五位数．（3）注意这个地方是要组成四位数，所以有一个数字不会用到．如果有1个1没用，可以组成1213319C C C⨯⨯=个不同的四位数；如果有1个2没用，可以组成1213319C C C⨯⨯=个不同的四位数；如果0没有用，可以组成6个不同的四位数．一共可以组成24个不同的四位数．例题3.答案：432详解：按重复的数字是不是1可以分成两类，若重复的数字是1，则有1239216C A⨯=个，若重复的数字不是1，则有121938216C C C⨯⨯=个，一共是432个．例题4.答案：8661详解：一共有9000个四位数．考虑与2468相加不会进位的四位数，个位可以是0~1，有2种可能；十位可以是0~3，有4种可能；百位可以是0~5，有6种可能；千位可以是1．~7，有7种可能．那么这样的四位数有2467336⨯⨯⨯=个．那么至少会发生一次进位的四位数有90003368664-=个．例题5.答案：90详解：按“自由人”的归属来分类：不选这个“自由人”，有435420C C⨯=种；让“自由人”翻译英语，有335440C C⨯=种；让“自由人”翻译日语，有425430C C⨯=种；一共是90种．例题6.答案：432，336详解：如果不考虑虚线，有432332432⨯⨯⨯⨯⨯=种涂法．如果考虑虚线，先染四边形顶点上的四个“○”，有84种染法，然后再染剩下的2个“○”，有8422336⨯⨯=种染法．练习1.答案：21简答：末尾数字可以是0或2．末尾数字是0的三位偶数有43112⨯⨯=个，末尾数字是2的三位偶数有3319⨯⨯=个，一共有21个．练习2.答案：（1）12；（2）9；（3）9简答：（1）11243212C C C⨯⨯=；（2）1123329C C C⨯⨯=；（3）4个数字中有一个没有被选．如果没有选0，有12323C C⨯=个．如果没有选2，有12222C C⨯=个．如果没有选的是3，有1112214C C C⨯⨯=个．一共有9个．练习3.答案：168简答：根据相同数字所在的位置来分类即可．练习4.答案：550简答：所有的三位数有900个，其中与250相加不会发生进位的有7510350⨯⨯=个，那么会发生进位的有900350550-=个． 作业1.答案：（1）56；（2）1680；（3）45；（4）32简答：略． 作业2.答案：48简答：根据既能做木匠又能做电工那个人的挑选情况分类讨论，可以分三类：没有选，做电工和做木匠． 作业3.答案：50简答：123553C C C 50⨯⨯=． 作业4.答案：9简答：如果三位数中不含有0，有23C 3=个；如果含有0，剩下的两个数字可能是2个5，也有可能是1个5和1个2，共有246+=个．一共可以组成9个不同的三位数． 作业5.答案：8160简答：利用反面排除的方法，900087538160-⨯⨯⨯=．。
四年级高思奥数之计数综合一含答案
第22讲 计数综合一内容概述内容概述巩固以前学过的各种方法，综合运用分类与分步思想、排列与组合公式及枚举法来解决较复杂的计数问题；学会使用排阵法、捆绑法、插空法解决排队问题．杂的计数问题；学会使用排阵法、捆绑法、插空法解决排队问题．典型问题典型问题兴趣篇兴趣篇1．现有面值1元的钞票3张，面值5元的钞票1张，面值10元的钞票2张．张．如果从中取出如果从中取出一些钞票(至少取1张)，可能凑出多少种不同的总钱数?2．一本书从第1页开始编排页码，到最后一页结束时共用了1983个数码．这本书共有多少页?3．费叔叔带着小悦、冬冬、阿奇一起到圆明园游玩．他们四人站成一排照相，其中费叔叔要站在最左边或者最右边，一共有多少种不同的站法?4．有13个球队参加篮球比赛．比赛分两个组，第一组7个队，第二组6个队．各组内先进行单循环赛(即每队都要与本组中其他各队比赛一场)，然后由两组的第1名再比赛一场决定冠亚军．请问：一共需要比赛多少场5．从5瓶不同的纯净水，2瓶不同的可乐和6瓶不同的果汁中，拿出2瓶不同类型的饮料，共有多少种不同的选法?6．从4台不同型号的等离子电视和5台不同型号的液晶电视中任意取出3台，其中等离子电视与液晶电视至少要各有1台，共有多少种不同的取法?7．从1至9中取出7个不同的数，要求它们的和是36，共有多少种不同的取法?8．用0、1、2、3、4这五个数字可以组成多少个没有重复数字的五位数?9．用两个1、一个2、一个3、一个4可以组成多少个不同的五位数?10．在所有不超过1000的自然数中，数字9一共出现了多少次?拓展篇拓展篇 1．把自然数1至2008依次写成一排，得到一个多位数12345678910111213…0620072008．请问：问：(1)这个多位数一共有多少位?(2)从左向右数，这个多位数的第2008个数字是多少? 2．商场里举行抽奖活动，在一个大箱子里放着9个球．其中红色的、黄色的和绿色的球各有3个，而且每种颜色的球都分别标有1、2、3号．顾客从箱子里摸出3个球，如果3个球的颜色全相同或者各不相同，就可以中奖．已知这两种中奖方式分别被设定为一等奖和二等奖，并且一等奖比二等奖少．问：到底哪种中奖方式是一等奖，哪种是二等奖呢?3．工厂某日生产的10件产品中有2件次品，从这10件产品中任意抽出3件进行检查，件进行检查，问：问：(1)一共有多少种不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种?4．如图22-1，在半圆弧及其直径上共有9个点，以这些点为顶点可画出多少个三角形?5．6名学生和4名老师分成红、蓝两队拔河，要求每个队都是3名学生和2名老师，一共有多少种分队的方法?6．10个人围成一圈，从中选出3个人．要求这3个人中恰有2人相邻，一共有多少种不同选法?7．用0、1、2、3、4、5这六个数字可以组成多少个没有重复数字的四位数?其中偶数有多少个?8．用l 、2、3、4这四个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数?这些三位数的和是多少?9．用两个1、两个2、两个3可以组成多少个不同的六位数?10．5名同学站成一排，在下列不同的要求下，请分别求出有多少种站法：名同学站成一排，在下列不同的要求下，请分别求出有多少种站法：(1)5个人站成一排；个人站成一排；(2)5个人站成一排，小强必须站在中间；个人站成一排，小强必须站在中间；(3)5个人站成一排，小强、大强必须有一人站在中间；个人站成一排，小强、大强必须有一人站在中间；(4)5个人站成一排，小强、大强必须站在两边；个人站成一排，小强、大强必须站在两边； (5)5个人站成一排，小强、大强都没有站在边上．个人站成一排，小强、大强都没有站在边上．11．6名小朋友A 、B 、C 、D 、E 、F 站成一排．若A ，B 两人必须相邻，一共有多少种不同的站法?若A 、B 两人不能相邻，一共有多少种不同的站法?12．学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生．某次比赛后他们站成一排照相，请问：名女生．某次比赛后他们站成一排照相，请问：(1)如果要求男生不能相邻，一共有多少种不同的站法? (2)如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法?超越篇超越篇1．有6种不同颜色的小球，请问：种不同颜色的小球，请问：(1)如果每种颜色的球都只有1个，从这些球中取出3个排成一列，共有多少种方法? (2)如果每种颜色的球都只有1个，从这些球中取出3个装到袋中，共有多少种方法? (3)如果每种颜色的球的数量都足够多，从这些球中取出3个排成一列，共有多少种方法(4)如果每种颜色的球的数量都足够多，从这些球中取出3个装到袋中，共有多少种方法? 2．有一些四位数的4个数字分别是2个不同的奇数和2个不同的偶数，而且不含有数字0．这样的四位数有几个3．用l 、2、3、4这四个数字组成四位数，至多允许有1个数字重复两次．例如1234、1233和2414是满足条件的，而1212、3334和3333都不满足条件．请问：一共能组成多少个满足条件的四位数4．四年级三班举行六一儿童节联欢活动．整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成．请问：问：(1)如果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序?(2)如果第一个和最后一个节目不能是小品，那么共有多少种不同的出场顺序?5．在一次合唱比赛中，有身高互不相同的8个人要站成两排，每排4个人，且前后对齐．而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住．一共有多少种不同的排队方法?6．有9张同样大小的圆形纸片．其中标有数字“1”的纸片有1张；标有数字“2”的纸片有2张；标有数字“3”的纸片有3张；标有数字“4”的纸片也有3张．把这9张圆形纸片如图22-2所示放置在一起，要求标有相同数字的纸片不许靠在一起．请问：所示放置在一起，要求标有相同数字的纸片不许靠在一起．请问：(1)如果在M 处放置标有数字“3”的纸片，一共有多少种不同的放置方法?(2)如果在M 处放置标有数字“2”的纸片，一共有多少种不同的放置方法?7．从三个0、四个1、五个2中挑选出五个数字，能组成多少个不同的五位数?8．8个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间(不一定相邻)，小慧和大智不能相邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种?第22讲 计数综合一内容概述内容概述巩固以前学过的各种方法，综合运用分类与分步思想、排列与组合公式及枚举法来解决较复杂的计数问题；学会使用排阵法、捆绑法、插空法解决排队问题．杂的计数问题；学会使用排阵法、捆绑法、插空法解决排队问题．典型问题典型问题兴趣篇兴趣篇1．现有面值1元的钞票3张，面值5元的钞票1张，面值10元的钞票2张．张．如果从中取出如果从中取出一些钞票(至少取1张)，可能凑出多少种不同的总钱数? 答案：23种分析分析 ：根据题意，钱数的可能范围为1-28元，其中4元，元，99元，元，1414元，元，1919元，24元是不可能出现的。
高斯小学奥数六年级上册含答案第19讲 计数综合提高上
四、排列：从 m 个不同的元素中取出 n 个（ n ≤ m ），并按照一定的顺序排成一列，其方法 ．．第十九讲 计数综合提高上一、枚举法．1、简单枚举．2、分类枚举．3、特殊的枚举：标数法、树形图．二、加法原理——分类如果完成一件事有几类方式，在每一类方式中又有不同的方法，那么把每类的方法数相加就得到所有的方法数．加法原理的类与类之间会满足下列要求：(1)只能选择其中的某一类，而不能几类同时选；(2)类与类之间可以相互替代，只需要选择某一类就可以满足要求．三、乘法原理——分步如果完成一件事分为几个步骤，在每一个步骤中又有不同的方法，那么把每步的方法数相乘就得到所有的方法数．乘法原理的步与步之间满足下列要求：(1)每步都只是整件事情的一个部分，必须全部完成才能满足结论；(2)步骤之前有先后的顺序，先确定好一步，再做下一步，……，直到最后．．．数叫做从 m 个不同元素中取出 n 个的排列数，记作 A n ，它的计算方法如下：m从 m 开始递减地连乘 n 个数A n = m ⨯ ( m - 1) ⨯ …… ⨯ ( m - n + 1)m五、组合：从 m 个不同元素中取出 n 个（ n ≤ m ）作为一组（不计顺序），可选择的方法数叫做从 m 个不同元素中取出 n 个不同的组合数，记作 C n ，它的计算方法如下：mA nA n C n = m = m n[m ⨯ (m - 1)⨯ L L ⨯ (m - n + 1)]n ⨯ (n - 1)⨯ L L ⨯ 2 ⨯ 1注意：几个常用公式： C 1 = m ； C 0 = 1 ； C n = C m -n ； C 0 + C 1 + C 2 + L C m = 2m ．mm m m m m m m六、一些好用的计数技巧和方法：1. 捆绑法：对于要求必须站在一起的人，可以采用事先捆绑的方法来处理．2. 插空法：对于不能相邻的情况，先把其他人先排好，再把不能相邻的人插入其他人之间的空隙中．3. 有重复数字的数字排列问题，可以用“数字挑位置”的方法解决．4. 数字 0 不能作为多位数的首位，在计数时需要特别注意．5. 对挑出的对象有特殊要求的计数问题，一般来说要优先考虑有特殊要求的对象或位置，尽可能地让余下的对象或位置的确定变得简单．6. 当满足要求的情况很多时，可以尝试用排除法计算不满足要求的情况，再从所有可能的情况中排除不满足要求的，也能得到问题的答案．例1． 某人射击 8 枪，命中 4 枪，命中的 4 枪中恰好有 3 枪连在一起的情况有多少种？「分析」首先仔细思考一下命中的 4 枪之间是否有顺序区别？然后确定其中 3 枪连在一起的位置选择有多少种情况？练习 1、在由 1 和 2 组成的六位数中（例如 112111、111111等），恰好有 3 个 1 连在一起的六位数有多少个？例2． 一种电子表在 6 时 24 分 30 秒的显示为 6:24:30，那么从 6 时到 7 时这段时间里，此表的 5 个数字都不相同的时刻一共有多少个？「分析」分钟的十位和秒钟的十位可能性比较少，所以，应优先确定．练习 2、现在我们规定一种记日期的方式，把“2012 年 05 月 12 日”写作“120512”，即只需写出后面六位数，那么在 2013 年有多少天按这种计数方式写出的六位数六个数字互不相同？例3．纳达尔和费德勒进行网球比赛，谁先得6分就赢得此局，最后费德勒在第一局6:4获胜，已知在过程中费德勒从未落后过，那么比赛过程一共有多少种不同的可能？「分析」大家还记得最短路线问题中曾经学习过的标数法吗？练习3、皇马和巴萨两队进行足球比赛，最后皇马5:3获胜，已知在过程中皇马从未落后过，那么进球过程一共有多少种不同的可能？例4．小王左口袋里有10张黑卡片，分别写着1到10，右口袋里有10张红卡片，也分别写着1到10．他从两个口袋里各取出一张卡片，然后计算两张卡片上数的乘积，如果乘积恰好是6的倍数，那么共有多少种不同的取法？「分析」两个数的乘积是6的倍数这两个数需要符合什么要求？练习4、小高有12个黑球，分别写着1到12，还有10个红球，分别写着1到10．他从两个种球里各取出一个，然后计算两球上数的乘积，如果乘积恰好是10的倍数，那么共有多少种不同的取法？（注：此题中6不能倒过来当9用，9也不能倒过来当6用）例5．N BA总决赛在洛杉矶湖人和波士顿凯尔特人队之间进行，比赛采用7局4胜制，比赛分为主场和客场，第1，第2，第6，第7场均在洛杉矶进行，第3~5场在波士顿进行．最终湖人队在自己的主场获得总冠军，那么比赛中的胜负结果有多少种可能？「分析」由7局4胜制及主场获胜两个要求你可得出什么？通过分析寻找一下解决这道题目的突破口．例6．各位数字均不大于5，且能被99整除的六位数共有多少个？「分析」99的整除特性是什么，在这道题目中任何应用？年龄“外号”知多少总角：指童年．语出《诗经》，如《诗•卫风•氓》“总角之宴”．垂髫：指童年．古时童子未冠，头发下垂，因而以”垂髫”代指童年．束发：指青少年．一般指15岁左右，这时应该学会各种技艺．及笄：指女子15岁．语出《礼记•内则》“女子……十有五年而笄”．“笄”，谓结发而用笄贯之，表示已到出嫁的年岁．待年：指女子成年待嫁，又称“待字”．弱冠：指男子20岁．语出《礼记•曲礼上》“二十曰弱，冠”．古代男子20岁行冠礼，表示已经成年．而立：指30岁．语出《论语•为政》“三十而立”．以后称三十岁为“而立”之年．不惑：指40岁．语出《论语•为政》“四十而不惑”．以后用“不惑”作40岁的代称．艾：指50岁．语出《礼记•曲礼上》“五十曰艾”．老年头发苍白如艾．花甲：指60岁．作业1.8个同学排成一排照相，其中4个人要站在一起，共有多少种站法？2.甲、乙队之间进行篮球比赛，比赛采用7局4胜制，等比到第6场就分出了胜负，甲赢得了比赛，那么有多少种可能？3.甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，4个人看也不看就随便各拿了1本，那么至少有一人拿错有多少种可能？4.小明左口袋里有8张红卡片，上面写着1到8，右口袋里有8张黑卡片，上面也写着1到8，如果从两个口袋里各取出一张卡片，然后计算得到卡片上两数的乘积，那么能被6整除的乘积共有多少个？（6不能倒过来当9用）5.各位数字均不大于4，且能被99整除的六位数共有多少个？（（第十九讲 计数综合提高上例7． 答案：20详解：分情况讨论，如果第1 到 3 枪命中，第 4 枪有 4 种方法；第 2 到 4 枪命中，最后一枪有 3 种可能；3 到 5 命中，有 3 种；4 到 6 命中，有 3 种；5 到 7 命中，3 种；6 到8 命中，4 种．共 20 种情况．例8． 答案：1260详解：从右边数第二位和第四位上的数字可取 0 到 5，第一位和第三位上的数字可取 0到 5 或 7 到 9．乘法原理可知答案为 1260．例9． 答案：42详解：画一个 6 4 的表格，则答案就是在虚线以下部分，从 A 到 B的方法数，注意最右面一列不标数，因为有人达到 6 分比赛即结束，标数，得到答案为 42．AB例10． 答案：35详解：分五类讨论，（1）黑卡和红卡都是 6 的倍数，此时有 1 种取法；（2）黑卡是 6的倍数而红卡不是 6 的倍数，此时有 9 种取法； 3）红卡是 6 的倍数而黑卡不是 6 的倍数，此时有 9 种取法；（4）黑卡上的数字是 3 或 9，红卡上的数字是 2、4、8 或 10，此时有 8 种取法；（5）红卡上的数字是 3 或 9，黑卡上的数字是 2、4、8 或 10，此时有 8种取法．所以共有 35 种取法．例11． 答案：30详解：湖人在主场获得胜利，则最少打了 6 场，即可分两种情况讨论：（1）打了 6 场，则湖人在前 5 场中输了 2 场，5 选 2，有 10 种可能； 2）打了 7 场，则湖人在前 6 场中输了 3 场，6 选 3，有 20 种可能．所以共有 30 种可能．例12．答案：575解法：设六位数为abcdef，由其可被99整除且各位数字不大于5，可知ab+cd+ef=99，则a+c+e=9且b+d+f=9，9=5+4+0=5+3+1=5+2+2=4+4+1=4+3+2=3+3+3，所以a、c、e有23种可能（只有a不能是0），b、d、f有25种可能，所以共有23⨯25=575个符合要求的六位数．练习1、答案：12简答：前3位是1，有4种；2到4位是1，有2种；3到5位是1，有2种；4到6位是1，有4种．所以共12种．练习2、答案：30简答：千位（表示月份的十位）只能是0，十位只能是3，其它两个数字共30种情况．B 练习3、答案：28简答：题目可转化为如右图由A到B点共有多少种最短的走法，且必须沿着虚线右下方的边走．由标数法可知共有28种可能．A 练习4、答案：30简答：黑球数为10时，任意红球均可，红球为10时，任意黑球均可，除去红10黑10重复的情况，共有21种取法，另一类情况是一个球提供质因数2，另一个球提供质因数5，共有4+5=9种取法，所以，本题共有21+9=30种不同取法．作业1．答案：2880简答：把要站在一起的4个人捆绑在一起，由乘法原理可知共有A5⋅A4=2880种站法．542．答案：10简答：甲在第6场取得胜利，则甲赢了第6场且在前5场中赢了3场，即五选三的问题，共有10种可能．3．答案：23简答：共有4!种情况，减去全拿对的1种情况，则符合要求的情况有23种．4．答案：21简答：按照例4、练4的方法详解即可．5．答案：100简答：设六位数为abcdef，由其可被99整除且各位数字不大于4，可知ab+cd+ef=99，则a+c+e=9且b+d+f=9，9=4+4+1=4+3+2=3+3+3，所以a、c、e有10种可能，b、d、f也有10种可能，所以共有10⨯10=100个符合要求的六位数．。
高斯小学奥数六年级下册含答案第12讲_计数综合练习
第十二讲计数综合练习【学生注意】本讲练习满分100分，考试时间70分钟．一、填空题Ⅰ（本题共有8小题，每题6分）1.用0、1、2、3、4、5这六个自然数中的三个组成三位数，从个位到百位的数字依次增大，且任意两个数字的差都不是1，这样的三位数共有________个．2.从1到30中选出两个不同的数相加，和大于30的情况有_______种．3.从1000到2010中，十位数与个位数相同的数有______个．4.在用数字0、1组成一个6位数中，至少有4个连续的1的数共有______个．5.3个海盗分30枚金币，如果每个海盗最多分12枚，一共有_______种不同的分法．6.右图中有______条线段，______个三角形，______个梯形．7.一台综艺节目，由2个不同的舞蹈和3个不同的演唱组成．如果第一个节目是舞蹈，那么共有_____种不同的安排方法．8.有身高各不相同的5个孩子，按下列条件排成一行：条件1：最高的孩子不排在边上．条件2：最高的孩子的左边按由高到矮向左排列．条件3：最高的孩子的右边按由高到矮向右排列．那么符合上述所有条件的排队方法有________种．二、填空题Ⅱ（本题共有4小题，每题7分）9.（1）平面上7个点，任意三点不共线，那么可以连出_______个三角形．（2）两条平行线上各有4个点，从这些点中任取3个作为顶点，可以连出______个三角形．10.如图，左边是由22个六边形组成的图形，在六边形内蚂蚁只可以选如右边箭头所指的方向之一爬到相邻的六边形内．一只蚂蚁从六边形A出发，选择不经过六边形B的路线到达六边形C，那么这样的路线共有________条．11.8块相同的奥运纪念徽章分给小高、卡莉娅、墨莫、萱萱四人，每人至少分一块，有______种不同的分法．12.由0、1、2、…、9组成的小于5000且没有重复数字的四位数共有________个，其中从小到大第2010个是________．三、填空题Ⅲ（本题共有3小题，每题8分）13.有些三位数，相邻两个数字的差都不超过．．．2．，比如424、244、110、……，所有这样的三位数有_______个．14.各位数字之和为4的四位数有______个，其中能被11整除的有_______个．15.在下面数字谜中，七个不同汉字表示七个不同数字，“高思学校尖子班”表示的七位数有_______种不同的取值．高思学校+ 尖子班2 0 1 0第十二讲 计数综合练习1. 答案：4．解答：枚举法，符合要求的数只有420、520、530、531，共4个．2. 答案：225．解答：较小数是1时，较大数只能取30，有1种取法；较小数是2时，较大数只能取30和29，有2种取法；……较小数是15时，较大数可取16、17、L 、30，有15种取法；……较小数是29时，较大数只能取30，有1种取法．所以一共有123141514321225++++++++++=L L 种情况．3. 答案：101．解答：在1000到1999中，十位与个位相同有10种情况：00、11、22、L 、99，千位和百位也有10种情况：10、11、12、L 、19．所以在1000到1999中，十位数与个位数相同的数有1010100⨯=个．另外，2000到2010中只有2000是十位数与个位数相同的，所以符合要求的数一共有101个．4. 答案：5．解答：枚举即可，有111100、111110、111101、111111、101111共五个．5. 答案：28．解答：不妨设三个海盗分别为甲、乙、丙．当甲海盗分到8枚金币时，乙海盗的金币可能是10、11、12枚，有3种分法；当甲海盗分到9枚金币时，乙海盗的金币可能是9、10、11、12枚，有4种分法；……当甲海盗分到12枚金币时，乙海盗的金币可能是6、7、8、9、10、11、12枚，有7种分法．所以一共有123456728++++++=种不同的分法．6. 答案：42、18、18．解答：每条直线（如直线AD ）上有6条线段，一共有6742⨯=条线段；每个三角形都由顶点以及AD 、BE 或CF 上的一段线段组成，有6318⨯=个；AD 、BE 或CF 中，任两条之间有6个梯形，所以一共有23618C ⨯=个梯形．7. 答案：48．解答：设舞蹈是第1个和第n 个节目，则n 可取2、3、4、5，有4种取法．同时两个舞蹈的顺序有222A =种，3个演唱的顺序有336A =种，所以一共有42648⨯⨯=种不同的安排方法．8. 答案：14．解答：按最高的孩子左边的孩子人数分类，可的符合要求的排队方法有12344414C C C ++=种．9. （1）答案35．解答：任取三个点就确定了一个三角形，共有3735C =个．（2）答案：48．解答：一条直线上取两个点，另一条上取一个点，就确定了一个三角形，共有2112444448C C C C ⨯+⨯=个．10. 答案：466．解答：标数法．11. 答案：35．解答：用插板法，有3735C =种不同的分法．12. 答案：2016、4980．解答：用乘法原理，求出符合要求的四位数有49872016⨯⨯⨯=个．求其中第2010个数，只需从大往小数到第7个数即可，它是4980．13. 答案：188．解答：按十位数字分类讨论．如十位是2时，百位可取1、2、3、4有四种取值，个位可取0、1、2、3、4有五种取值，所以十位数字是2的有4520⨯=个．按这样把十位数字是0到9的情况都进行计数，可求得符合要求的三位数一共有188个．14. 答案：20、6．解答：设abcd 的各位数字之和为4，则a 、1b +、1c +、1d +这四个正整数的和是7．由于7x y z w +++=的正整数解个数是3620C =个，故各位数字之和4的四位数有20个．其中能被11整除的数，必有2a c b d +=+=，(),a c 的取值有()1,1、()2,0两种，(),b d 的取值有两种()0,2、()1,1、()2,0三种，故有236⨯=个．15. 答案：40．解答：容易推断出：校+班=10，学+子=10，思+尖=9，高=1，尖≠0．按“思，尖”的取值分类讨论：（1）思=0，尖=9时，10283746=+=+=+，“校”有6种取值，取完“校”之后，“班”的值就确定了，而“学”的可选取值还有4种，所以此类情况有6424⨯=种填法；（2）“思=2，尖=7”或“思=7，尖=2”或“思=3，尖=6”或“思=6，尖=3”时，余下的数字均不足以配成两对和数10，故没有符合要求的填法；（3）“思=4，尖=5”或“思=5，尖=4”时，102837=+=+，“校”有4种取值，取完“校”之后，“班”的值就确定了，而“学”的可选取值还有2种，所以此类情况有24216⨯⨯=种填法．所以一共有241640+=种不同的取值．。
高斯小学奥数五年级下册含答案第05讲_计数综合
第五讲计数综合从三年级开始到现在，我们已经学了很多有关计数的讲次，其中包括枚举法、加乘原理、排列组合、容斥原理等．我们先来做一个简单的小结和复习．枚举法是万能的方法，只要有足够多的时间和精力．并且往往在一些复杂棘手的题目中，别的方法都不能适用，此时就能体会到枚举法的“威力”．使用枚举法时一定要注意有序思考．．．．． 加法原理强调的是分类，计数时我们只需选择其中的某一类即可以满足要求，类与类之间可以相互替代．乘法原理强调的是分步，每一步只是整个事情的一部分，必须全部完成才能满足结论，缺一不可．在乘法原理中，步骤顺序的安排往往非常重要．排列与组合：排列的计算公式由乘法原理推导而来，组合的计算公式由排列公式推导而来．从n 个不同的元素中取出m 个（m n ≤），并按照一定的顺序排成一列，其方法数叫做从n 个不同元素中取出m 个的排列数，记作mn A ．()()()()!121!mn n A n n n n m n m ==⨯-⨯-⨯⨯-+-从n 个不同元素中取出m 个（m n ≤）作为一组（不计顺序），可选择的方法数叫做从n 个不同元素中取出m 个的组合数，记作mn C ．()()()()()121!121mmnnn n n n m A C m m m m ⨯-⨯-⨯⨯-+==⨯-⨯-⨯⨯在运用排列组合时，有特殊要求的我们往往优先考虑，有时还会用到“捆绑法”和“插空法”.我们今天主要来学习计数中的分类思想，以及正面分类和反面排除的合理选择． 分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题所给对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，将整体问题划分为局部问题，把复杂问题转化为单一问题，然后分而治之、各个击破，最后综合各类的结果得到整个问题的解答．例题1．五张卡片上分别写有0、1、2、3、5，每张卡片各用一次可以组成一些五位数．其中5的倍数有多少个？4的倍数有多少个？分析：一个数是5的倍数，它要满足什么条件？4的倍数呢？练习1．五张卡片上分别写有0、1、2、3、5，每张卡片只能用一次可以组成多少个三位偶数？例题2．（1）用2个1、2个2和1个3可以组成多少个不同的五位数？（2）用1个0、2个1和2个2可以组成多少个不同的五位数？（3）用1个0、2个1和2个2可以组成多少个不同的四位数？分析：先选好1的位置，再选好2的位置，最后选好3的位置，就可以组成五位数．那么有多少种不同的选法？练习2．（1）用1个1、1个2、2个3可以组成多少个不同的四位数？（2）用1个0、1个2、2个3可以组成多少个不同的四位数？（3）用1个0、1个2、2个3可以组成多少个不同的三位数？例题3．数1447、1225、1031有某些相同的特点，每一个数都是以1为首的四位数，且每个数恰好只有两个数字相同（1112，1222，1122这样的数不算），这样的数共有多少个？分析：根据题意可知这样的四位数由三种数字组成，其中有一种数字出现了2次．那么可以根据这个数字所在的数位来分类．练习3．用1、2、3、4这4个数字组成四位数，至多允许有1个数字重复一次．例如1234、1233和2434是满足条件的，而1212、3331和4444就是不满足条件的．那么，所有这样的四位数共有多少个？例题4和2468相加至少会发生一次进位的四位数有多少个？分析：和2486相加发生进位有好多种情况，比如发生一次进位、发生两次进位、发生三次进位等等，不同的类型太多了．这时不妨考虑下反面．练习4．和250相加至少会发生一次进位的三位数有多少个？例题5．有10名外语翻译，其中5名是英语翻译，4名日语翻译，另外1名英语和日语都很精通，从中找出7人，使他们可以组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另3人翻译日语，这两个小组能同时工作，则不同的分配方案共有多少种？分析：这个英语和日语都很精通的人很麻烦，应该优先考虑他．例题6．将右图中的“○”分别用四种颜色染色，只要求有实线段连接的两个相邻的“○”都涂成不同的颜色，共有多少种涂法？如果还要求虚线段连接的两个“○”也涂成不同的颜色，共有多少种涂法？分析：染色时顺序很重要，要遵循“前不影响后”的原则．四色定理四色定理指出每个可以画出来的无飞地地图（飞地是指与本土不相连的土地）都可以至多用4种颜色来上色，而且没有两个相邻的区域会是相同的颜色．被称为相邻的两个区域是指它们共有一段边界，而不是一个点．这一定理最初是由Francis Guthrie在1853年提出的猜想．很明显，3种颜色不会满足条件，而且也不难证明5种颜色满足条件且绰绰有余．但是，直到1977年四色猜想才最终由Kenneth Appel 和Wolfgang Haken证明．他们得到了J. Koch在算法工作上的支持．证明方法将地图上的无限种可能情况减少为1,936种状态（稍后减少为1,476种），这些状态由计算机一个挨一个的进行检查．这一工作由不同的程序和计算机独立的进行了复检．在1996年，Neil Robertson、Daniel Sanders、Paul Seymour和Robin Thomas使用了一种类似的证明方法，检查了633种特殊的情况．这一新证明也使用了计算机，如果由人工来检查的话是不切实际的．四色定理是第一个主要由计算机证明的理论，这一证明并不被所有的数学家接受，因为它不能由人工直接验证．最终，人们必须对计算机编译的正确性以及运行这一程序的硬件设备充分信任．参见实验数学．缺乏数学应有的规范成为了另一个方面；以至于有人这样评论“一个好的数学证明应当像一首诗——而这纯粹是一本电话簿！”虽然四色定理证明了任何地图可以只用四种颜色着色，但是这个结论对于现实中的应用却相当有限．现实中的地图常会出现飞地，即两个不相连的土地属于同一个国家的情况（例如美国的阿拉斯加州），而制作地图时我们仍会要求这两个区域被涂上同样的颜色，在这种情况下，四个颜色将会是不够用的．作业1. 计算：（1） 38C =_________； （2） 48A =_________； （3） 810C =_________； （4） 012345555555C C C C C C +++++=_________． 作业2. 王老师家装修新房，需要2个木匠和2个电工．现有木匠3人、电工4人，另有1人既能做木匠也能做电工．要从这8人中挑选出4人完成这项工作，共有多少种不同的选法？作业3. 用2个3、3个1和1个0可以组成多少个不同的六位数？ 作业4. 用2个5、1个2和1个0可以组成多少个不同的三位数？ 作业5. 与1357相加会发生进位的四位数有多少个？第五讲计数综合例题1.答案：42，18详解：5的倍数分为两类，末位是5的有332118⨯⨯⨯=个，末位是0的有432124⨯⨯⨯=个，共42个．4的倍数：末两位是20的有6个，末两位是12的有4个，末两位是32的有4个，末两位是52的有4个，共有18个．例题2.答案：（1）30；（2）24；（3）24详解：（1）先给1选位置，再给2选位置，再给3选位置，共可组成22153130C C C⨯⨯=个不同的五位数．（2）先给0选位置，再给1选位置，再给2选位置，共可组成12244224C C C⨯⨯=个不同的五位数．（3）注意这个地方是要组成四位数，所以有一个数字不会用到．如果有1个1没用，可以组成1213319C C C⨯⨯=个不同的四位数；如果有1个2没用，可以组成1213319C C C⨯⨯=个不同的四位数；如果0没有用，可以组成6个不同的四位数．一共可以组成24个不同的四位数．例题3.答案：432详解：按重复的数字是不是1可以分成两类，若重复的数字是1，则有1239216C A⨯=个，若重复的数字不是1，则有121938216C C C⨯⨯=个，一共是432个．例题4.答案：8661详解：一共有9000个四位数．考虑与2468相加不会进位的四位数，个位可以是0~1，有2种可能；十位可以是0~3，有4种可能；百位可以是0~5，有6种可能；千位可以是1．~7，有7种可能．那么这样的四位数有2467336⨯⨯⨯=个．那么至少会发生一次进位的四位数有90003368664-=个．例题5.答案：90详解：按“自由人”的归属来分类：不选这个“自由人”，有435420C C⨯=种；让“自由人”翻译英语，有335440C C⨯=种；让“自由人”翻译日语，有425430C C⨯=种；一共是90种．例题6.答案：432，336详解：如果不考虑虚线，有432332432⨯⨯⨯⨯⨯=种涂法．如果考虑虚线，先染四边形顶点上的四个“○”，有84种染法，然后再染剩下的2个“○”，有8422336⨯⨯=种染法．练习1.答案：21简答：末尾数字可以是0或2．末尾数字是0的三位偶数有43112⨯⨯=个，末尾数字是2的三位偶数有3319⨯⨯=个，一共有21个．练习2.答案：（1）12；（2）9；（3）9简答：（1）11243212C C C⨯⨯=；（2）1123329C C C⨯⨯=；（3）4个数字中有一个没有被选．如果没有选0，有12323C C⨯=个．如果没有选2，有12222C C⨯=个．如果没有选的是3，有1112214C C C⨯⨯=个．一共有9个．练习3.答案：168简答：根据相同数字所在的位置来分类即可．练习4.答案：550简答：所有的三位数有900个，其中与250相加不会发生进位的有7510350⨯⨯=个，那么会发生进位的有900350550-=个． 作业1.答案：（1）56；（2）1680；（3）45；（4）32简答：略． 作业2.答案：48简答：根据既能做木匠又能做电工那个人的挑选情况分类讨论，可以分三类：没有选，做电工和做木匠． 作业3.答案：50简答：123553C C C 50⨯⨯=． 作业4.答案：9简答：如果三位数中不含有0，有23C 3=个；如果含有0，剩下的两个数字可能是2个5，也有可能是1个5和1个2，共有246+=个．一共可以组成9个不同的三位数． 作业5.答案：8160简答：利用反面排除的方法，900087538160-⨯⨯⨯=．。
高斯小学奥数含答案三年级(上)第02讲 枚举法中的字典排列
6基础例题：在上一讲中我们学习了简单的枚举法——直接把所有情况一一列举出来．但如果问题较为复杂，直接枚举很有可能产生重复或者遗漏，这时就需要有一些特别的方法来帮助我们枚举出所有情况．本讲就主要介绍两种枚举的方法：字典排列法和树形图法．同学们可以翻一下英汉字典，不难发现字典中单词排列的规律：整本字典按首字母从a 到z 排列，首字母相同的单词都在一起．在首字母相同的单词中，再按照第2个字母从a 到z 的顺序排列，然后是我明天先吃什么呢？先吃汉堡，不不，还是先吃玉米，哎，还是先吃饼干吧！到底先吃什么呢？共有多少种不同的吃法？这里的东西可真好吃，肚子好胀哦！我要带回去一些慢慢吃。
如果我把这三个东西都带回去，一天吃1个，还可以再吃3天呢？ 第二讲枚举法中的字典排列第3个字母，第4个字母……所谓“字典排列法”，就是指在枚举时，像字典里的单词顺序那样排列出所有答案．例如，用1、2、3各一次可以组成多少个不同的三位数？用字典排列法枚举时，每个位置都按从小到大排列，枚举的顺序是：123，132，213，231，312，321．下面我们用字典排列法来解决几个问题．例题1．卡莉娅、墨莫、小高三个人去游乐园玩，三人在藏宝屋中一共发现了5件宝物，三人找到的宝物数量共有多少种不同的可能？（可能有人没有发现宝物）分析：每个人最少找到几件宝物？最多呢？练习：1.老师准备了6个笔记本奖励萱萱、小高和墨莫三人，每人至少得到1本笔记本，请问：老师有多少种不同的奖励方法？例题2．老师要求每个同学写出3个自然数，并且要求这3个数的和是8．如果两个同学写出的3个自然数相同，只是顺序不一样，则算是同一种写法．试问：同学们最多能得出多少种不同的写法？分析：注意顺序不同算一种写法，也就是三个数分别为（1、2、5）、（2、5、1）和（5、1、2）都算同一种写法．练习：2.三个大于0的整数之和（数与数可以相同）等于10，共有多少组这样的三个数？用字典排序法枚举的时候，判断题目要求到底是“交换顺序后算作两种”还是“交换顺序后仍然是同一种”非常关键．往往题目中要求“交换顺序后仍然是同一种”，那么枚举的每个结果里就没有明确的顺序关系；反之，那么枚举时要注意每个结果中应该都符合一定的顺序关系．在求解计数问题时，审题非常关键．往往一字之差就会有天壤之别．枚举法是解决计数问题的基础，但是对于比较复杂的问题，如果直接枚举很容易出现重复或者遗漏．这时就需要预先把所有情形分成若干小类，针对每一小类进行枚举．例题3如下图所示，有7个按键，上面分别写着：1、2、3、4、5、6、7这七个数字．请问：（1）从中选出2个按键，使它们上面的数字的差等于2，一共有多少种选法？7（2）从中选出2个按键，使它们上面的数字的和大于9，一共有多少种选法？分析：第二问中的和大于9是什么意思？也就是最小等于10，那最大又是多少？和共有几种可能？练习3有一次，著名的探险家大米得到一个宝箱，但是宝箱有密码锁，密码锁下边有一行小字：密码是和大于11的两个数，而且这两个数不能相同．不用考虑数的先后顺序，你知道密码共有多少种可能吗？例题4数一数下图中包含星星的长方形（包括正方形）有多少个？分析：含星星的长方形会由几个小方格组成呢？我们可以依据长方形的种类进行分类．练习4数一数下图中包含星星的正方形有多少个？在分类时，一定注意类与类之间有没有重复的部分，或者还有没有漏掉的情况．只有在分类已经做到“不重不漏”的前提下，才能够进行进一步的枚举．例题5妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止．如果天数不限．可能的吃法1 2 3 4 5 6 78一共有多少种？分析：虽然题目对天数没有限制，但要求每天至少吃2个．照此推算，最多能吃几天？例题6午餐的时候，食堂为同学们准备了苹果、桃子和桔子三种水果，每种都有很多．东东想要挑3个水果吃．请问东东有多少种不同的选法？分析：仔细审题，挑的3个水果能不能是同种的水果？若要分类枚举，应该如何分类呢？课堂内外字典是如何排序的？在英语字典中，两个单词的位置是这样决定的：从第一个字母开始比较，如果相同，那么就看下一个字母；如果不同，那么就按照从a到z的顺序进行排列．比如说：book和look这两个单词，第一个字母分别是b和l，b排在l前面，所以book排在look之前．再比如说：book和boat这两个单词，前两个字母都是bo，所以就看第三个字母，o在a之后，所以字典里book出现在boat之后．再来看看中文字典，现在的中文字典主要采用的都是按拼音字母的顺序进行排序，方法与英语字典相同．其实在使用拼音之前我国古代的字典一般都是按照部首以及笔画来排序的，比如著名的《康熙字典》就是这样排序的：先按部首排序，每个部首之中再按剩下的笔画数从少到多进行排序．中文字典除了按拼音、部首等顺序排列之外，还有四角号码、笔顺等多种排序方法．9作业1.有4支完全相同的铅笔要分给3位同学，每位同学至少分1支，共有多少种不同的分法？2.有面值分别为1元、10元和50元的纸币若干，每种面值的纸币张数都大于3．如果从中任取3张，那么能组成的钱数共有多少种？3.老师要求墨莫写4篇作文，题目不限，但是每天至少写1篇．那么墨莫完成这些作文共有多少种不同的可能？4.爷爷要墨莫多吃水果，于是给了他8个苹果，要求每天至少吃2个，吃完为止．那么墨莫一共有多少不同的吃法？5.体育馆里有很多足球和篮球，体育老师要小高从里面拿4个，请问小高有多少种不同的选择？10第二讲枚举法中的字典排列1.例题1答案：21种详解：按照字典排列法，依次枚举卡莉娅、墨莫和小高三人所找到的宝物数量，由于每人最少找到0件宝物，最多找到5件，所以按（卡莉娅、墨莫、小高）的形式枚举出：（0、0、5），（0、1、4），（0、2、3），（0、3、2），（0、4、1），（0、5、0），（1、0、4），（1、1、3），（1、2、2），（1、3、1），（1、4、0），（2、0、3），（2、1、2），（2、2、1），（2、3、0），（3、0、2），（3、1、1），（3、2、0），（4、0、1），（4、1、0），（5、0、0），共有21种不同的可能．2.例题2答案：10种详解：由于题目要求三个数顺序不同算作同一种方法，所以在枚举时只需要考虑从小到大排列的情况．用字典排列法不难得到：=++=++=++=++=++=++=++=++=++=++ 8008017026035044116125134224233，共有10种不同的可能．3.例题3答案：（1）5种；（2）6种详解：（1）7和5，6和4，5和3，4和2，3和1；（2）和为10：7和3，6和4；和为11：7和4，6和5；和为12：7和5；和为13：7和6．4.例题4答案：12个详解：按长方形的大小分类．一格的有1个，两格的有3个，三格的有2个，四格的有3个，+++++=个．六格的有2个，八格的有1个．共有132321125.例题5答案：8种详解：天数最多3天．按天数分类．吃1天的有1种，吃2天的有4种，吃3天的有3种．共++=种．有14386.例题6答案：10种详解：3个水果既可以同种，也可以不同种．因此可按所选水果的种类数量进行分类：（1）只选1种水果：全苹果、全桃子、全桔子，共3种情况；（2）选2种水果：2个苹果1个桃子、2个桃子1个苹果、2个苹果1个桔子、2个桔子1个苹果、2个桔子1个桃子、2个桃子1个桔子，共6种情况；（3）3种水果都选：每种水果各1个，共1种情况．++=种情况．综上所述，共有361107.练习1答案：10种简答：每人至少1本，人与人不同，所以是“有顺序”的问题，枚举可得共有10种不同的奖励方法．8.练习2答案：8种简答：题目要求是3个大于0的数组成一组，也就是“无顺序”，在枚举时要注意前后的大小关系，共8种．9.练习3答案：12种11简答：9和3、4、5、6、7、8；8和4、5、6、7；7和5、6．10.练习4答案：10个简答：按正方形的大小分类．一格的有1个，四格的有4个，九格的有4个，十六格的有1 +++=个．个．共有14411011.作业1答案：3种简答：（2、1、1）；（1、2、1）；（1、1、2）；共3种．12.作业2答案：10种简答：按取出的钱所含的面值种数分类，可能是1种面值，也可能是2种面值，也可能是3种面值．3类情形加起来共有10种可能．13.作业3答案：8种简答：根据天数分类．1天、2天、3天、4天完成分别有：1、3、3、1种情况，共8种可能．14.作业4答案：13种简答：按吃完的天数分类，分为4类：1天、2天、3天、4天．这四类分别有1、5、6、1种情况，共13种不同的情况．15.作业5答案：5种简答：按取出的球的种类数量进行考虑：取出的球可能有1种或2种．分上述2类进行枚举，共有5种不同选择．12。
高思奥数导引小学三年级含详解答案第12讲 枚举法二.
第12讲枚举法二◇兴趣篇◇◇1. 有一些三位数的各位数字都不是0，且各位数字之和为6，这样的三位数共有多少个？2. 汤姆、杰瑞和德鲁比都有蛀牙，他们一起去牙医诊所看病。
医生发现他们一共有8颗蛀牙，他们三人可能分别有几颗蛀牙？3. 老师让小明写出了3个非零的自然数，且3个数的和是9，如果数相同、顺序不同算同一种写法，例如126++都算是同一种写法。
请问：小明一共有++还有612++、216多少种不同的写法？4. 生物老师让大家观察蚂蚁的习性。
第二天小悦在小区的广场上发现了12只黑蚂蚁，这12只蚂蚁恰好凑成了3堆，每堆至少有2只。
请问：这3堆蚂蚁可能各有几只？5. 一个三位数，每一位上的数字都是1、2、3中的某一个，并且相邻的两个数字不相同，一共有多少个满足条件的三位数？6. 如图，一只蚂蚁要从一个正四面体的顶点A出发，沿着这个正四面体的棱依次走遍4个顶点再回到顶点A。
请问：这只小蚂蚁一共有多少种不同的走法？7. 5块六边形的地毯拼成了图中的形状，每块地毯上都有一个编号。
现在阿奇站在1号地毯上，他想要走到5号地毯上。
如果阿奇每次都只能走到和他相邻的地毯上（两个六边形如果有公共边就称为相邻），并且只能向右边走，例如1235→→→就是一种可能的走法。
请问：阿奇一共有多少种不同的走法？8. 在图中，一共能找出多少个长方形（包括正方形）？9. 如果只能用1元、2元、5元的纸币付款，那么要买价格是13元的东西，一共有多少种不同的付款办法？（不考虑找钱的情况）10. 有一类小于1000的自然数，每个数都由若干个1和若干个2组成，并且在每个数中，1的个数比2的个数多，这样的数一共有多少个？◇◇拓展篇◇◇1. 小悦、冬冬、阿奇三个人去游乐园玩，三人在藏宝屋中一共发现了5件宝物，这三个人可能分别找到了几件宝物？2. 小悦、冬冬和阿奇三个人一起吃完了一盘薯条，这盘薯条总共有20根，并且每个人吃的薯条都比5根多。
请问：每个人可能吃了几根薯条？3. 老师要求每个同学写出3个自然数，并且要求这3个数的和是8。
【讲义】高斯杯复赛考辅材料_2年级_第1讲_带答案
（2）3，2，5，5，8，10，13，17，21，26，（ c ），（ d ） 答案：50
9． 用简便方法计算． 372－（72＋19－48）＋（100＋19－48）＝________ 答案：400
10． 用简便方法计算． 122－（57－78）＋（57－125）＝________ 答案：75
11． 数一数，下图中包含“☆”的正方形共有________个．
＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝52
答案：8
＝______
高斯杯复赛考辅班
2年级
复赛考辅讲义
7． 找规律，求出：c＝（ ）．
3，1，4，5，9，（ a ），（ b ），37，60，（ c ） 答案：97
8． 找规律，求出：a＋d＝（ ）．
（1）5，3，7，6，9，12，11，24，( a )，( b )
答案：5 12． 数一数，下图中共有________个正方形．
高斯杯复赛考辅班
答案：7
复赛考辅讲义
13． 数一数，下图中共有________个三角形．
2年级
答案：17
14．
小松鼠采了 16 个松籽，它要把这些松籽分成 3 堆，每堆至少有 3 个松籽，一共有________种 不同的分法． 答案：8
高斯杯复赛考辅班
2年级复赛考辅讲义3． 用简便方法计算． 365－84＋24＝________ 答案：305
4． 数一数，下图中共有________个长方形．
答案：12
5． 小满从超市买来 12 块水果橡皮．如果小满把这些橡皮全部分给妞妞和歪歪，并且两人都要分到水 果橡皮，一共有________种不同的分法． 答案：11
例题
1． 小明统计二年级的体育用品，画了一张像蛋糕的统计图．请问：小明共统计（
六年级高斯学校竞赛计数综合三含答案
第14讲计数综合三内容概述建立递推的思想，将问题的复杂情形与简单情形联系起来；学会观察和发现递推关系；利用树形固、列表等方法处理某些递推关系，另外，综合运用各种方法处理与数字相关的复杂计数问题．典型问题兴趣篇1．一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶．走完这10级台阶，一共可以有多少种不同的走法？2．小悦买了10块巧克力，她每天最少吃一块，最多吃3块，直到吃完，共有多少种吃法？3．用l×2的小方格覆盖2×7的长方形，共有多少种不同的覆盖方法？4．如果在一个平面上画出4条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画20条直线，最多可以分成几个部分？5．甲、乙、丙三名同学练习传球，每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个．先由甲发球，经过6次传球后球仍然回到了甲的手中．请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？6．一个三位数，有相邻两个数字的和为16，那么这样的三位数共有多少个？7．由1、3、4组成的各位数字之和为9的多位数共有多少个？8．一个各位数字互不相等的五位数不含数字0，且数字和为18，这样的五位数共有多少个？9．一个十位数只含有数字l或2，且不含两个连续的数字1，一共有多少个这样的十位数？10．一个六位数由1、2、3、4、5组成，而且任意相邻两个数位的数字之差都是l，这样的六位数有多少个？拓展篇1．老师给冬冬布置了12篇作文，规定他每天至少写l篇，如果冬冬每天最多能写3篇，那么共有多少种写完作文的方法？2．用10个1×3的长方形纸片覆盖一个10×3的方格表，共有多少种覆盖方法？3．现有14块糖，如果阿奇每天吃奇数块糖，直到吃完，那么阿奇共有多少种吃法？4．如果在一个平面上画出8条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画8个圆，最多可以把平面分成几个部分？5．四个人分别穿着红、黄、绿、蓝四种颜色的球衣练习传球，每人都可以把球传给另外三个人中的任意一个．先由红衣人发球，并作为第1次传球，经过8次传球后球仍然回到红衣人手中。
高斯小学奥数含答案三年级(上)第02讲枚举法中的字典排列
枚举法中的字典排列我明天先吃什么呢？先吃汉堡，不不，还 是先吃玉米，哎，还是先吃饼干吧！到底 先吃什么呢？共有多少种不同的吃法？基础例题:在上一讲中我们学习了简单的枚举法一一直接把所有情况一一列举出来.接枚举很有可能产生重复或者遗漏， 这时就需要有一些特别的方法来帮助我们枚举出所有情况. 本讲就但如果问题较为复杂，直如果我把这三个东西都带回去,天吃1个，还可以再吃3天呢？主要介绍两种枚举的方法：字典排列法和树形图法.首字母相同的单词都在一起 同学们可以翻一下英汉字典，不难发现字典中单词排列的规律：整本字典按首字母从 a 到z 排列, 在首字母相同的单词中, 再按照第2个字母从a 到z 的顺序排列, 然后是个字母，第4个字母所谓“字典排列法”，就是指在枚举时，像字典里的单词顺序那样排列出3各一次可以组成多少个不同的三位数？用字典排列法枚举时，每个位置都勒*按从小到大排列，枚举的顺序是：123, 132, 213, 231 , 312, 321 .下面我们用字典排列法来解决几个问题.例题1 .卡莉娅、墨莫、小高三个人去游乐园玩，三人在藏宝屋中一共发现了5件宝物，三人找到的宝物数量共有多少种不同的可能？（可能有人没有发现宝物）分析：每个人最少找到几件宝物？最多呢？练习：1.老师准备了6个笔记本奖励萱萱、小高和墨莫三人，每人至少得到1本笔记本，请问：老师有多少种不同的奖励方法？例题2 •老师要求每个同学写出3个自然数，并且要求这3个数的和是8 •如果两个同学写出的3 个自然数相同，只是顺序不一样，则算是同一种写法•试问：同学们最多能得出多少种不同的写法？分析：注意顺序不同算一种写法，也就是三个数分别为（1、2、5）、（2、5、1 ）和（5、1、2）都算同一种写法.练习：2.三个大于0的整数之和（数与数可以相同）等于10，共有多少组这样的三个数?用字典排序法枚举的时候，判断题目要求到底是“交换顺序后算作两种”还是“交换顺序后仍然是同一种”非常关键•往往题目中要求“交换顺序后仍然是同一种”，那么枚举的每个结果里就没有明确的顺序关系；反之，那么枚举时要注意每个结果中应该都符合一定的顺序关系.在求解计数问题时，审题非常关键•往往一字之差就会有天壤之别.枚举法是解决计数问题的基础，但是对于比较复杂的问题，如果直接枚举很容易出现重复或者遗漏.这时就需要预先把所有情形分成若干小类，针对每一小类进行枚举.例题3如下图所示，有7个按键，上面分别写着：1、2、3、4、5、6、7这七个数字•请问：（1）从中选出2个按键，使它们上面的数字的差等于2, 一共有多少种选法？ftp f1ft 0(2)从中选出2个按键，使它们上面的数字的和大于9, 一共有多少种选法分析：第二问中的和大于9是什么意思？也就是最小等于10，那最大又是多少？和共有几种可能?练习3有一次，著名的探险家大米得到一个宝箱，但是宝箱有密码锁，密码锁下边有一行小字：密码是和大于11的两个数，而且这两个数不能相同•不用考虑数的先后顺序，你知道密码共有多少种可能吗？例题4数一数下图中包含星星的长方形(包括正方形)有多少个?☆分析：含星星的长方形会由几个小方格组成呢？我们可以依据长方形的种类进行分类.练习4数一数下图中包含星星的正方形有多少个？☆在分类时，一定注意类与类之间有没有重复的部分，或者还有没有漏掉的情况. 只有在分类已经做到“不重不漏”的前提下，才能够进行进一步的枚举.例题5妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止.如果天数不限.可能的吃法多少种?分析：虽然题目对天数没有限制，但要求每天至少吃2个•照此推算，最多能吃几天?例题6午餐的时候，食堂为同学们准备了苹果、桃子和桔子三种水果，每种都有很多.东东想要挑3个水果吃.请问东东有多少种不同的选法？课堂内外分析：仔细审题，挑的3个水果能不能是同种的水果？若要分类枚举，应该如何分类呢？字典是如何排序的？在英语字典中，两个单词的位置是这样决定的：从第一个字母开始比较，如果相同，那么就看下一个字母；如果不同，那么就按照从a到z的顺序进行排列.比如说：book和look这两个单词，第一个字母分别是b和I, b排在I前面，所以book排在look之前.再比如说：book和boat这两个单词，前两个字母都是bo,所以就看第三个字母，o在a之后，所以字典里book出现在boat 之后.再来看看中文字典，现在的中文字典主要采用的都是按拼音字母的顺序进行排序，方法与英语字典相同.其实在使用拼音之前我国古代的字典一般都是按照部首以及笔画来排序的，比如著名的《康熙字典》就是这样排序的：先按部首排序，每个部首之中再按剩下的笔画数从少到多进行排序.中文字典除了按拼音、部首等顺序排列之外，还有四角号码、笔顺等多种排序方法.1每种面值的纸币张数都大于 2 那么墨莫完成这些作文共有3 多少种不同的可能?4 一共有多少不同的吃法? 请问小高有多少种不同的选5 择？ (7^任取3张，那么能组成的钱数共有多少种? 2个，吃完为止.那么墨莫3.如果从中有面值分别为1元、10元和50元的纸币若爷爷要墨莫多吃水果，于是给了他8个苹果，要求每天至少吃 4支完全相同的铅笔要分给 3位同学，每位同学至少分1支，共有多少种不同的分法? 体育馆里有很多足球和篮球，体育老师要小高从里面拿 4个老师要求墨莫写4篇作文，题目不限，但是每天至少写1篇 作业详解：按照字典排列法，依次枚举卡莉娅、墨莫和小高三人所找到的宝物数量，由于每人最少找到0件宝物，最多找到5件，所以按（卡莉娅、墨莫、小高）的形式枚举出：（0、0、5）,（0、1、4），（0、2、3），（0、3、2），（0、4、1），（0、5、0），（1、0、4），（1、1、3），（1、2、2）,（1、3、1）,（1、4、0）, （2、0、3）,（2、1、2）,（2、2、1）,（2、3、0）,（3、0、2），（3、1、1）,（3、2、0）,（4、0、1）,（4、1、0）,（5、0、0 ），共有21 种不同的可能.2. 例题2答案：10种详解：由于题目要求三个数顺序不同算作同一种方法，所以在枚举时只需要考虑从小到大排列的情况.用字典排列法不难得到:8 00 80 1 7 0 2 6 0 3 50 44 1 1 6 1 2 513 4 2 2 4 2 3 3，共有10种:申不同的可能.3.例题3答案：(1)5种；（2）6种详解：(1)7和5, 6和4, 5和3, 4和2, 3和1；(2)和为10：7和3, 6和4;和为11：7和4,(6和5 ；和为12：7 和5；和为13：7和6.4. 例题4答案：12个详解：按长方形的大小分类•一格的有1个，两格的有3个，三格的有2个，四格的有3个,六格的有2个，八格的有1个•共有1 3 2 3 2 1 12个.5. 例题5答案：8种详解：天数最多3天•按天数分类•吃1天的有1种，吃2天的有4种，吃3天的有3种•共有1 4 3 8种.6. 例题6答案：10种详解：3个水果既可以同种，也可以不同种•因此可按所选水果的种类数量进行分类：（1）只选1种水果：全苹果、全桃子、全桔子，共3种情况；（2 ）选2种水果：2个苹果1个桃子、2个桃子1个苹果、2个苹果1个桔子、2个桔子1个苹果、2个桔子1个桃子、2个桃子1个桔子，共6种情况；（3）3种水果都选：每种水果各1个，共1种情况. 综上所述，共有3 6 1 10种情况.7. 练习1答案：10种简答：每人至少1本，人与人不同，所以是“有顺序”的问题，枚举可得共有10种不同的奖励方法.8. 练习2答案：8种简答：题目要求是3个大于0的数组成一组，也就是“无顺序”，在枚举时要注意前后的大小关系，共8种.9. 练习3第二讲枚举法中的字典排列1. 例题1答案：21种简答：按正方形的大小分类•一格的有1个，四格的有4个，九格的有4个，十六格的有1个.共有14 4 1 10个.11. 作业1答案：3种简答：（2、1、1） ; （1、2、1） ; （1、1、2）;共3 种.12. 作业2答案：10种简答：按取出的钱所含的面值种数分类，可能是1种面值，也可能是2种面值，也可能是3 种面值.3类情形加起来共有10种可能.13. 作业3答案：8种简答：根据天数分类.1天、2天、3天、4天完成分别有：1、3、3、1种情况，共8种可能.14. 作业4答案：13种简答：按吃完的天数分类，分为4类：1天、2天、3天、4天.这四类分别有1、5、6、1种情况，共13种不同的情况.15. 作业5答案：5种简答：按取出的球的种类数量进行考虑：取出的球可能有1种或2种.分上述2类进行枚举，共有5种不同选择.。
高思数学_5年级下第十八讲数论相关的计数
这些数字能组成几个６的倍数呢？在前面的学习中，我们学习了解决计数问题的一些基本方法，包括：枚举法、树形图、分类讨论、加法原理和乘法原理、排列与组合等．计数问题是多种多样的，它经常与其他的知识联系在一起，比如几何、数论、数字谜等等．今天让我们来研究一下结合了数论知识的计数问题．分析 （1）3个数的乘积能被3整除，那么这3个数中至少有一个能被3整除．如何选取才能保证选到3的倍数呢？（2）要考虑3个数的和是否能被3整除，只需要考虑每个数除以3的余数的情况，那么怎样的三个数相加才能被3整除呢？使得：106练习1.从1~10中选出3个互不相同的数，如果要使它们的乘积是3的倍数，那么有多少种选法？如果要使它们的和是3的倍数，那么有多少种选法？分析 要使乘积能被6整除，这两个数应该含有哪些质因数？ 练习2.从1到10中，选出2个互不相同的数，使它们的乘积是4的倍数，共有多少种选法？ 分析 同学们还记得能被11整除的数有怎样的特征吗？如果重新排列能改变哪些数字的顺序呢？练习3.用1、2、3、4、5、9组成各位数字互不相同的六位数，其中有多少个能被11整除？前面几个例题都是计数与整除相结合的题目．而除了整除之外，与数字相关的问题也属于数论的范畴，下面我们来看两道与数字有关的计数问题．3，…，10．如果从中拿出两张卡片，使得两数的乘积能被有多少种？例题2字重新排列，还能排出多少个能被例题3分析 数字从左往右依次增大的数是“上升数”，那么四位“上升数”一共有多少个呢？显然，不能将前100个“上升数”都写出来，那怎么才能方便地计算出第100个数呢？练习4.有一种数，它的各位数字从左至右依次减少，我们称之为“下降数”，例如97531、65、3210等，如果将三位的“下降数”从大到小排列，例如：987，986，…，210，那么从左往右第20个三位“下降数”是多少？ 积极上进的人生格言 每一个成功者都有一个开始．勇于开始，才能找到成功的路．即使爬到最高的山上，一次也只能脚踏实地地迈一步．积极思考造成积极人生，消极思考造成消极人生．目标的坚定是性格中最必要的力量源泉之一，也是成功的利器之一．没有它，天才也会在矛盾无定的迷径中徒劳无功．平凡的脚步也可以走完伟大的行程．你可以这样理解impossible （不可能）——I'm possible （我是可能的）．分析 在一个三位数中，相邻的两个数字是2和3，那么它们或者分别在三位数的百位和十位上，或者在十位与个位上，那么我们从哪个数位入手比较简单呢？ 称之为“上升数”1234等等，那么这样的三位数一共有多少个？108练习5.有一些四位数，它们存在相邻三位数为2、3和4，例如2341、3425等等，那么这样的四位数有多少个？2、3、…、是的倍数，共有多少种选法？题本一、与整除相关的计数问题：整除的特点往往是解题的关键．二、与数字相关的计数问题：抓住数字特点来解决问题．作业1.从20、28、36、…、100这个等差数列中，选出3个互不相同的数，如果要使它们的乘积是7的倍数，那么有多少种选法？如果要使它们的和是3的倍数，那么有多少种选法？2. 1至15中，选出两个不同的数，使它们的乘积是10的倍数，共有多少种选法？3.用1、2、3、4、5、8、9组成不重复的七位数，其中有多少个能被11整除？4.如果把三位的“上升数”从小到大排列一下，如123、124、…，那么第20个“上升数”是多少？5.有一些三位数，它的相邻两位数分别为1和0，例如102、301、…，那么这样的三位数有多少个？。
六年级高斯学校竞赛计数综合四含答案
第20讲计数综合四内容概述了解对应的思想，维够建立起一类对象与另一类对象之间的对应关系，并通过对后者的计数得到前者的答案；需要考虑对称性的各种复杂计数问题，解题时要注意旋转和翻转对结果的影响．典型问题兴趣篇1．在8×8的方格表中，取出一个如图20-1所示的由3个小方格组成的“L”形，共有多少种不同的取法？2．冬冬妈妈每天让冬冬吃1个鸡蛋或者1个鸭蛋，那么冬冬吃完家里的4个鸡蛋和4个鸭蛋共有多少种吃法？3．常吴与古力两人进行围棋“棋圣”冠军争霸赛，比赛没有平局，谁先胜4局即获得比赛的胜利，请问：比赛过程一共有多少种不同的方式？4．10只相同的橘子放到3个不同的盘子里，每个盘子至少放1只，一共有多少种不同的放法？5．一部电视连续剧共8集，电视台要在周一到周四这4天内按顺序播完，其中可以有若干天不播，共有多少种安排播出的方法？6．某班40名学生参加了一项关于“超市是否应该提供免费塑料袋”的调查，每人均在“应该提供”、“不应该提供”和“无所谓”三个选项中做出了选择．请问：三个选项的统计数字共有多少种不同的可能？7．海淀大街上一共有18盏路灯，区政府为了节约用电，打算熄灭其中的7盏．但为了行路安全，任意相邻的两盏灯不能同时被熄灭，请问：一共有多少种熄灯方案？8．数字和为9，而且不含数字0的三位数共有多少个？四位数共有多少个？9．有一批规格相同的均匀圆棒，每根划分成相同的5节，每节用红、黄、蓝3种颜色中的一种来涂，相邻两节不能同色，那么可以染成多少种不同的圆棒？10．给一个正四面体的4个面染色，每个面只允许用一种颜色，且4个面的颜色互不相同．现有5种颜色可选，共有多少种不同的染色方式？（旋转后是一样的染色情况算是同一种方式）拓展篇1．在8×8的方格棋盘中，一共可以数出多少个如图20-2所示的由4个单位小正方形组成的“L”型？2．一次射击比赛中，7个泥制的靶子挂成3列（如图20.3）．一位射手按下列规则去击碎靶子：先挑选一列，然后击碎这列中尚未被击碎的靶子中最下面的一个，若每次都遵循这一原则，则击碎全部7个靶子共有多少种不同的顺序？3．(1)一只青蛙沿着一条直线跳跃4次后回到起点．如果它每一次跳跃的长度都是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？(2)如果这只青蛙在一个方格边长为1分米的方格纸上沿格线跳跃4次后回到起点，每次跳跃的长度仍是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？4．如图20-4所示，有两条平行线，如果每条直线上有3个点，连出3条线段，从图中最多可以数出5个三角形；如图20.5所示，如果每条直线上有4个点，连出4条线段，从图中最多可以数出16个三角形，如果每条直线上有10个点，连出10条线段，从图中最多可以数出多少个三角形？5．把20个苹果分给3个小朋友，每个小朋友至少分1个，共有多少种分苹果的方法？如果可以有小朋友没有分到苹果，共有多少种分法？6．冬冬有10块大白兔奶糖，他从今天起，每天至少吃一块，直到吃完．请问一共有多少种不同的吃法？7．美国众议院435名议员对“拒绝缴纳联合国会费”的提案进行投票，每名议员都可以选择投赞同票、反对票和弃权票中的某一种，并且只要赞成票多于总票数的一半，提案就会被通过，否则不能通过．表决结果是拒绝缴纳．试问共有多少种可能的三种票数的统计情况？8．有10个小朋友排成一列，要从中选出3个互不相邻的小朋友，有多少种不同的选法？9．一次自助餐，共有10种菜，每个人都有4个盘子可以选菜，每个盘子只能放1种菜，但可以重复选菜，请问：共有多少种选菜方案？10．3个男生和7个女生站成一排，要求每2个男生之间至少有2个女生，共有多少种排列方法？如果站成一圈呢？11．一个长方体的各边长都是整数，并且它的体积是2310，那么这样的长方体有多少个？（如果两个长方体经过旋转可以重合，则认为它们是同一个长方体．）12．用4种颜色为一个正方体的6个面染色，要求每个面只能用1种颜色，且相邻面的颜色必须不相同，如果将正方体经过翻转后颜色相同，就认为是同一种染色方法，那么共有多少种不同的染色方法？超越篇1．某工厂生产一批玩具，玩具为一条圆环上均匀安装着13个小球，其中3个是红球，10个是白球．如果2个圆环通过翻转后可以叠放在一起，使得红球对红球、白球对白球，这样的两个圆环就认为是相同的．那么一共可以生产多少种不同的圆环？2．对于由1至6组成的无重复数字的六位数，如果它的首位数字不是1，那么可以进行如下的1次操作：记首位数字为足，则将数字尼与第七位上的数字对换，例如，245136可以进行两次操作：245136→425136→125436.请问：可以进行5次操作的六位数有多少个？3．大小形状相同的红、黄、蓝三种颜色的珠子依次有2枚、2枚、3枚，现在要将它们穿成一串，要求相同颜色的珠子不能柑邻，共有多少种不同实质的穿法？如果要穿成一个圈呢？4．有8个队参加比赛，采用如图20-6所示的淘汰制方式．问：在比赛前抽签时，可以得到多少种实质不同的比赛安排表？5．平面上8个点构成一个凸八边形，将这8个点中任意2个点之间连接一条线段，已知任意3条线段都没有交于一点，请问：(1)八边形内共连接了多少条线段？(2)这些线段在八边形内共有多少个交点？(3)所形成的图形中最多可以数出多少个三角形76．动物园的门票5元l张，每人限购1张．现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有5元的钞票，另外5个小朋友只有10元的钞票，售票员没有准备零钱，请问：有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？7．经理将要打印的信件交给秘书，每次给一封，且放在所有信件的最上面，秘书一有空就从最上面拿一封信来打．有一天共有7封信要打印，经理按1号信，2号信，……，7号信的顺序交给秘书，午饭时，秘书告诉同事，经理已经给了5封信，她已经把5号信打好了，但未透露上午工作的其他情况，问：(1)如果上午秘书已经把五封信打完了，那么上午打印信的顺序有多少种可能？(2)如果上午秘书还没有把信打完，那么下午打印信的顺序有多少种可能？8．(1)将8个黑球和20个白球排成一圈，每2个黑球之间至少有2个白球的排列方法有多少种？(2)8名女生，20名男生站成一圈，要求每2名女生之问至少有2名男生．有多少种不同的站法？（经过旋转后相同的算作同一种排法，答案用阶乘表示．）C 2C第 20 讲 计数综合四兴趣篇1、在 8 8 的方格表中，取出一个如图所示的由 3 个小方格组成的“L ”形，共有多少种不 同的取法？【分析】每个 2×2 的小方块有 4 种取法，∴共有 7×7 ×4=196 种取法。
高斯小学奥数五年级下册含答案第14讲_数论相关的计数
第十四讲数论相关的计数在前面的学习中，我们学习了解决计数问题的一些基本方法，包括：枚举法、树形图、分类讨论、加法原理和乘法原理、排列与组合等．计数问题是多种多样的，它经常与其他的知识联系在一起，比如几何、数论、数字谜等等．今天让我们来研究一下结合了数论知识的计数问题．例1．恰好能同时被6，7，8，9整除的四位数有多少个？「分析」大家还记得公倍数怎么求吗？练习1、恰好能同时被4，5，6整除的三位数有多少个？例2．用1、2、3、4、5、7这6个数字各一次组成六位数，并且使这个六位数是11的倍数，有多少种不同的方法？「分析」根据11的整除特性，通过分析奇位数字和与偶位数字和，再结合本题的已知条件可以获得解题的线索．练习2、用1，2，3，4各一次组成四位数，使得它是11的倍数，有多少种不同的方法？例3．从1~10这10个数中选出2个数，请问：（1）要使这2个数的乘积能被3整除，一共有多少种不同的选法？（2）要使这2个数的和能被3整除，一共有多少种不同的选法？「分析」（1）两个数的乘积能被3整除，那么这两个数中至少有一个能被3整除．如何选取才能保证选到3的倍数呢？（2）要考虑两个数的和是否能被3整除，只需要考虑每个数除以3的余数的情况，那么怎样的两个数相加才能被3整除呢？练习3、从1~12这12个数中选出2个数，请问：（1）要使这2个数的乘积能被3整除，一共有多少种不同的选法？（2）要使这2个数的和能被3整除，一共有多少种不同的选法？例4．如果称能被8整除或者含有数字8的自然数为“吉利数”，那么在1至200这200个自然数中有多少个“吉利数”？「分析」这道题目可以从两方面入手，8的倍数和含有数字8的数，注意其中重复的情况．练习4、在1至200这200个自然数中，含有数字9或者能被9整除的有多少个？前面几个例题都是计数与整除相结合的题目．而除了整除之外，与数字相关的问题也属于数论的范畴，下面我们来看两道与数字有关的计数问题．例5．有一种“上升数”，这些数的数字从左往右依次增大，将所有的四位“上升数”按从小到大的顺序排成一行：1234，1235，1236，…，6789．请问：此列数中的第100个数是多少？「分析」数字从左往右依次增大的数是“上升数”，那么四位“上升数”一共有多少个呢？显然，不能将前100个“上升数”都写出来，那怎么才能方便的计算出第100个数呢？例6．一个正整数，如果从左到右看和从右到左看都是一样的，那么称这个数为“回文数”．例如：1331，7，202，66都是回文数，而220则不是回文数．请问：六位回文数有多少个？五位回文数又有多少个？五位的回文数中，有多少个是4的倍数？「分析」“回文数”一定是左右对称的，不妨从左往右分析，一旦左面的一个数字确定，右面一定有一个数字和其相同．回文联数学当中有回文数，在文学当中也有回文联．回文联，它是我国对联修辞奇葩(pā)中的一朵．用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅它的意思不变，而且颇具趣味．兹举数例如下．其一：河南省境内有一座山名叫鸡公山，山中有两处景观：“斗鸡山”和“龙隐岩”．有人就此作了一副独具慧眼的回文联：斗鸡山上山鸡斗龙隐岩中岩隐龙其二：厦门鼓浪屿鱼脯浦，因地处海中，岛上山峦叠峰，烟雾缭绕，海淼淼水茫茫，远接云天．于是，一副饶有趣味的回文联便应运而生：雾锁山头山锁雾天连水尾水连天其三：清代，北京城里有一家饭馆叫“天然居”，乾隆皇帝曾就此作过一副有名的回文联：客上天然居居然天上客上联是说，客人上“天然居”饭馆去吃饭．下联是上联倒着念，意思是没想到居然像是天上的客人．乾隆皇帝想出这副回文联后，心里挺得意．即把它当成一个联，向大臣们征对下联，大臣们面面相觑，无人言声．只有大学士纪晓岚即席就北京城东的一座有名的大庙——大佛寺，想出了一副回文联：人过大佛寺寺佛大过人上联是说，人们路过大佛寺这座庙．下联是说，庙里的佛像大极了，大得超过了人．纪学士的下联，想得挺不错．这副回文联放到乾隆皇帝的一块，就组成一副如出一口的新回文联了：客上天然居居然天上客人过大佛寺寺佛大过人其四：湛江德邻里有一副反映邻里之间友好关系，鱼水深情的回文联，至今传颂不衰：邻居爱我爱居邻鱼傍水活水傍鱼作业1.1~100中，7的倍数有多少个？除以7余2的数有多少个？2.从1~15中，选出2个数，使它们的和是3的倍数，共有多少种选法？3.用1、2、3、4、5、8、9组成不重复的七位数，其中有多少个能被11整除？4.如果把三位的“上升数”从小到大排列一下，如123、124、…，那么第20个上升数是多少？5.有一类六位数，组成每个数的六个数字互不相同，并且每个数中任意两个相邻的数字组成的两位数都能被3整除．这类六位数共有多少个?第十四讲 数论相关的计数例题：例7． 答案：18详解：一个数能被6，7，8，9整除，即是6，7，8，9的倍数．6，7，8，9的最小公倍数为504，所有满足条件的数都是504的倍数．999950419423÷=，故1~9999中共有19个数是504的倍数．9995041495÷=，故1~999中共有1个数是504的倍数．则四位数中有19118-=个数是504的倍数．即能同时被6，7，8，9整除的四位数有18个．例8． 答案：72详解：用1，2，3，4，5，7各一次组成六位数，六个数字的和为22．若为11的倍数，则奇位和与偶位和的差只能为0．奇位填1，3，7，偶位填2，4，5，考虑到1，3，7可以互换，2，4，5可以互换，故共有3333A A 36⨯= 种填法．同理奇位填2，4，5，偶位填1，3，7，也有36种填法，共72种填法．例9． 答案：（1）24；（2）15详解：（1）若两个数的乘积是3的倍数，则其中至少有一个数是3的倍数．1~10中是3的倍数的有3，6，9这3个数，不是3的倍数的有7个．分两种情况：<1>两个数中只有一个是3的倍数，有1137C C 21⨯=种选法；<2>两个数均为3的倍数，有23A 3=种选法．共有24种选法．另解：排除法：不加任何条件选两个数的方式减去，没有3的倍数的情况，22107C -C 24=；（2）将1~10这10个数按除以3的余数不同进行分类．除以3余0的有（3，6，9）， 除以3余1的有（1，4，7，10），除以3余2的有（2，5，8）．若两数之和为3的倍数，分两种情况：<1>两个数除以3均余0．有23C 3=种选法．<2>其中一个数除以3余1，另一个数除以3余2．有1143C C 12⨯=种选法．共有31215+=种选法．例10． 答案：56详解：可以将题目条件分成两部分，先看能被8整除的数，200825÷=，因此能被8整除的数有25个．再看含有数字8的数，我们可以从反面考虑较为方便，即看不含有数字8的数有多少个．百位可以选0或1（百位选0，表示其为两位数），十位可以选除8以外的9个数，个位也可选除8以外的9个数，共有299162⨯⨯=个数不含有数字8．0~199共有200个数，含有数字8的有20016238-=个．考虑到有些数既能被8整除，又含有数字8，这样的数有8，48，88，128，168，以及80和184，共7个数．因此吉利数有2538756+-=个．例11． 答案：3479详解：若上升数的首位为1，剩下的3位可以从2~9中选，且顺序一定，有38C 56=种选法，即首位为1的上升数有56个．同理，若首位为2，剩下的3位可以从3~9中选，有37C 35=种选法，即首位为2的上升数有35个．再考虑首位为3的上升数，依次为3456，3457，3458，3459，3467，3468，3469，3478，3479．即第100个上升数为3479．例12． 答案：900；900；200详解：六位“回文数”应为abccba 的形式，a 有1~9这9种选择，b 有0~9这10种选择，c 有0~9这10种选择，由乘法原理这样的数共有91010900⨯⨯=个．五位“回文数”应为abcba 的形式，a 有1~9这9种选择，b 有0~9这10种选择，c 有0~9这10种选择，由乘法原理这样的数共有91010900⨯⨯=个． 若回文数为4的倍数，则末两位为4的倍数，可为04，08，12，16，……，96共24个数，除去20，40，60，80这四个不满足条件的数，共有20种选择．考虑到c 有0~9这10种选择，故共有2010200⨯=个五位回文数是4的倍数．“练习：1. 答案：15简答：4、5、6的最小公倍数是60，三位数中60的倍数有99960115÷-≈个．2. 答案：8简答：用1，2，3，4各一次组成四位数，四个数字的和为10．若为11的倍数，则奇位和与偶位和的差只能为0．奇位填1，3，偶位填2，4，考虑到1，3，可以互换，2，4，可以互换，故共有224⨯=种填法．同理奇位填2，4，偶位填1，3，也有4种填法，共8种填法．3. 答案：38；22简答：解法同例3．4. 答案：55简答：先看能被9整除的数，2009222÷=，因此能被9整除的数有22个．再看含有数字9的数，仍可从反面考虑，即看不含有数字9的数有多少个．百位可以选0或1（百位选0，表示其为两位数），十位可以选除9以外的9个数，个位也可选除9以外的9个数，共有299162⨯⨯=个数不含有数字9．0~199共有200个数，含有数字9的有20016238-=个．考虑到有些数既能被9整除，又含有数字9，这样的数有9，99，189，90，198，共5个数．因此含有数字9或者能被9整除的有2238555+-=个．作业6. 答案：14，15简答：1007142÷=，7的倍数有14个；100298-=，98714÷=，14115+=．除以7余2的有15个．7. 答案：35简答：1~15中，除以3余0、余1和余2的都有5个．和为3的倍数，那么两数可能是余1＋余2或者余0＋余0．第一种有5525⨯=种选法，第二种有25C 10=种选法，一共有35种选法．8. 答案：432简答：能被11整除，说明这个七位数奇数位之和与偶数位之和的差是11的倍数．而奇数位之和与偶数位之和的和是123458932++++++=，那么奇数位之和与偶数位之和可以都是16，或者是27和5，后面这种情况不可能．偶数位有3个数字，和为16可能是952++，943++，853++．那么一共可以组成4343A A 3432⨯⨯=个能被11整除的七位数．9. 答案：157简答：前两位为12的上升数有7个，前两位为13的上升数有6个，前两位为14的上升数有5个．那么第19个上升数是156，第20个上升数是157．10. 答案：72简答：如果首位数字除以3余0，那么其余的所有数字也都除以3余0，这样的话一定会重复，这样的六位数不存在．如果首位数字除以3余1，那么后面的数字除以3的余数依次是2、1、2、1、2．这样的六位数有3333A A 36⨯=个．如果首位数字除以3余2，这样的六位数也有36个．一共有72个．。
高思导引六年级第12讲 计数综合三完整版
第12讲计数综合三内容概述建立递推的思想，将问题的复杂情形与简单情形联系起来；学会现察和发现递推关系；利用树形图、列表等方法处理某些递推关系．另外，综合运用各种方法处理与数字相关的复杂计数问题．兴趣篇1．一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶．走完这10级台阶，一共可以有多少种不同的走法？答案：89种。
解析：将台阶数和走台阶的方法数列成一张表格，如下所示：走1、2级台阶的方法数可以枚举得到．走3级台方法数可以分两类得到：如果第一步走1级台阶，那么参考数表可得，剩下2级有2种走法；如果第一步走2级台阶，同样参考数表可得，剩下1级有1种走法；因此3级合阶的走法总数为1+2=3，如上表箭头所示．以此类推便可填满整张表格．2．卡莉娅买了10块巧克力，她每天最少吃一块，最多吃3块，直到吃完，共有多少种吃法？答案：274种解析：将巧克力的数量与吃法数列成一张表格，如下所示：吃1、2、3块巧克力的方法数可以枚举得到，吃4块巧克力的方法数可以分三类得到：如果第一天吃1块，那么参考数表可得，剩下3块有4种吃法；如果第一天吃2块，同样参考数表可得，剩下2块有2种吃法；如果第一天吃3块，那么剩下1块还有1种吃法，因此4块巧克力的吃法总数为1+2+4=7，如上表箭头所示．以此类推便可填满整张表格．3．用1×2的小方格覆盖7×2的长方形，共有多少种不同的覆盖方法？答案：21种解析：找到左上角的方格，按照该方格是横着覆盖还是竖着覆盖分两类讨论即可得递推规则，从而得到如下所示的一张表格．4．如果在一个平面上画出4条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画20条线，最多可以分成几个部分？答案：11个；211个解析：由于新增直线被分为几部分，区域数量自然也就增加几部分，所以可以将情况写为如下的一张数表：所以20条直线的时候最多把平面分成2+2+3+4+…+20=211个部分．5．甲、乙、丙三名同学练习传球，每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个．先由甲发球，经过6次传球后球仍然回到了甲的手中，请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？答案：22种解析：采用“传球法”，甲拿球，所以最开始甲标1，乙、丙都标o，接着甲必须由乙、丙传球给他，所以他下方的数也必须由乙、两累加给他；其余两人同理——这就是传球规则决定累加规则，依据这一累加规则，我们不停地将数表向下累加，每传一次球就多累加一行，最后得到第“6”行．这一行的三个数分别为22、21和21.他们分别表示6次传球后，由甲、乙、丙拿球的传球方法数．由于题目要求最后球回到甲手中，因此答案为22种．6．如图12—1，用红、黄、蓝三种颜色给一个五边形的各个顶点染色，同一条边的两端点不能同色，且顶点A必须染红色，请问：有多少种不同的染色方式？图12—1答案：10种解析：采用“传球法”，A染红色，所以在红色的下方标1，黄色和蓝色下方标0．B 不能再染红色，所以红色下面的标O，黄色和蓝色下方标1．后面的C、D、E 按照传球规则进行累加，注意到E不能染红色，所以有5+5=10种染法．7．一个三位数，有相邻两个数字的和为16，那么这样的三位数共有多少个？答案：54个解析：首先要审清题，题目中说“有相邻两个数字的和为16”，并不是说所有相邻两个数字之和都是16.相邻两个数字之和为16有三种可能：79，97或88.(1)若百位和十位的数字之和为16，个位可以填O ～9，共3×10一30种填法．(2)若十位和个位的数字之和为16，百位可以填1～9，共3×9—27种填法，两种情况共计57种填法，考虑到797、979和888被算了两次，因此这样的三位数有57-3=54个．8．一个各位数字互不相等的五位数不含数字0，且数字和为18，这样的五位数共有多少个？答案：360个解析：满足条件的情况只有以下三种：1+2+4+5+6=18, l+2+3+4+8=18, 1+2+3+5+7=18，共计55A ×3=360个．9．一个十位数只含有数字1或2，且不含两个连续的数字1，一共有多少个这样的十位数？答案：144个解析：十位数中不含有1，有1种，十位数中含有一个1，有110C =10种．十位数中含有两个l ，有29C = 36种．十位数中含有三个l ，有38C = 56种．十位数中含有四个1，有47C =35种．十位数中含有五个1，有56C =6种．共计144种，10．一个六位数由1、2、3、4、5组成，而且任意相邻两个数位的数字之差都是1，这样的六位数有多少个？答案：72个解析：采用“传球法”，十万位可以填1、2、3、4、5，因此在下方分别填1．要求任意相邻两个数位之差都是1，因此万位1、2、3、4、5的下方分别填1、2、2、2、1．后面的数位同理，因此这咩的六位数共有9+18+18+18+9=72个，拓展篇1．老师给小高布置了12篇作文，规定他每天至少写1篇．如果小高每天最多能写3篇，那么共有多少种写完作文的方法？答案：927种解析：将作文数量与完成作文的方法数列成一张表格，如下所示：下面解释一下这张数表是如何累加得到的，写1、2、3篇作文的方法数可以枚举得到．写4篇作文的完成方法数可以分三类去数：如果第一天写1篇，那么参考数表可得，剩下3篇有4种完成方法；如果第一天写2篇，同样参考数表可得，剩下2篇有2种完成方法；如果第一天写3篇，那么剩下1篇还有1种完成方法，因此4篇作文的完成方法总数为1+2+4=7，如上表箭头所示．接着分析5篇作文的完成方法数，仍然分三类：第一天写1篇，那么参考数表可得，剩下4篇还有7种完成方法；第一天写2篇．那么剩下3篇还有4种完成方法：第一天写3篇，那么剩下2篇还有2种完成方法，因此5篇作文的完成方法数等于2+4+7=13……以此类推便可填满整张表格．2．用10个1×3的长方形纸片覆盖一个10×3的方格表．共有多少种覆盖方法？2.答案：28种解析：我们可以列出一个递推数表，将其表示如下：下面详细说明该问题的递推规律．覆盖1×3、2×3和3×3方格表的方法数可以枚举得到．接着分析覆盖4×3的表格有几种覆盖方法，如下匿所示，左上角的阴影方格在覆盖的时候有两种方法：竖着覆盖或横着覆盖．当竖着覆盖时，余下部分恰好是一个3×3的方格表，覆盖方法数为2；当横着覆盖时，其下方的方格只能被横放的纸片盖住，因此只剩下一个1×3的方格表需要覆盖，方法数为1．由此可得4×3的表格的覆盖方法数为2+1=3．用同样的方法分析5×3的方格表，可得其覆盖方法数等于4×3的方法数加上2×3的方法数，因此等于3+1=4．接着以此类推即可，余下部分恰好是一个3×3的方格表，覆盖方法数为2。
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第3讲 枚举法（一）（计数问题第1讲）【1】1～20共有多少个数相隔：20-1=19（个）；个数：19+1=20（个）。
答：1～20共有20个数。
【2】20～40共有多少个数相隔：40-20=20（个）；个数：20+1=21（个）。
答：20～40共有21个数。
【3】如图，桌上有一些围棋子，有多少枚黑子 正难则反一共：5×5=25（枚）；白子：9枚；黑子：25-9=16（枚）。
答：有16枚黑子。
【4】小明决定去香山、颐和园、圆明园这3个景点旅游，要走遍这三个景点，他一共有多少种不同的游览顺序 （1）香山、颐和园、圆明园；（2）香山、圆明园、颐和园；（3）颐和园、香山、圆明园；（4）颐和园、圆明园、香山；（5）圆明园、香山、颐和园；（6）圆明园、颐和园、香山。
3×2=6（种）答：他一共有6种不同的游览顺序。
【5】小王准备从青岛、三亚、桂林、杭州这4个地方中选2个地方去旅游，小王有多少种不同的选择 握手原则⎩⎨⎧÷⨯-2每个人握手次数所有人握手次数：人数1每个人握手次数：人数（1）青岛、三亚；（2）青岛、桂林；（3）青岛、杭州；（4）三亚、桂林；（5）三亚、杭州；（6）桂林、杭州。
4×3÷2=6（种）答：小王有6种不同的选择。
【6】小王准备从青岛、三亚、桂林、杭州这4个地方中选3个地方去旅游，小王有多少种不同的选择 正难则反：在4个地方里面选3个，也就是每次去掉1个地方不选。
（1）青岛、三亚、桂林（不选杭州）；（2）青岛、三亚、杭州（不选桂林）；（3）青岛、桂林、杭州（不选三亚）；（4）三亚、桂林、杭州（不选青岛）。
答：小王有4种不同的选择。
【7】墨莫在一张纸上画了一些图形，如图所示，每个图形都是由若干条线段连接组成的。
数一数，纸上一共有多少条线段（最外面的大长方形是纸的边框，不算在内） 三角形个数：2；四边形个数：2；五边形个数：2。
（3+4+5）×2=24（条） 答：纸上一共有24条线段。
【8】小烧饼每个5角钱，大烧饼每个2元钱，墨莫一共有6元钱，把这些钱全部用来买烧饼，一共有多少种不同的买法全部买大烧饼个数：6÷2=3（个） 2元=20角，20÷5=4（个）【9】在一次知识抢答比赛中，小高和墨莫两个人一共答对了10道题，并且每个人都有答对的题目。
每道题答对得1分，小高和墨莫分别可能得多少分把所有的可能填写到下面的表格里。
每个海盗最少分5枚，最多分20-5=15枚，一共有15-5+1=11种分法海盗A 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 海盗B 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5【11】两个海盗分20枚金币，每个海盗最多分到16枚金币，一共有多少种不同的分法每个海盗最多分16枚，最少分20-16=4枚，一共有16-4+1=13种分法甲 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 乙16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4【12】有15个玻璃球，要把它们分成两堆，一共有几种不同的分法这两堆球的个数可能相差几个最少1个，最多14个，一共有14-1+1=14种不同的分法一 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 差13 11 9 7 5 3 1 1 3 5 7 9 11 13【13】张奶奶去超市买了12盒光明牛奶，这些牛奶需要装在2个相同的袋子里，并且每个袋子最多只能装10盒。
张奶奶一共有几种不同的装法一个袋子最多装10盒，最少装12-10=2盒，一共有10-2+1=9种不同的装法一10 9 8 7 6 5 4 3 2二 2 3 4 5 6 7 8 9 10【14】小高、萱萱、卡莉娅3个人去看电影，他们买了3张座位相邻的票。
他们3人的座位顺序一共有多少种不同的安排方法（1）小高、萱萱、卡莉娅；（2）小高、卡莉娅、萱萱；（3）萱萱、小高、卡莉娅；（4）萱萱、卡莉娅、小高；（5）卡莉娅、小高、萱萱；（6）卡莉娅、萱萱、小高。
答：他们3人的座位顺序一共有6种不同的安排方法。
【15】如图，小高画了一个小房子，每一笔都不能拐弯，她最少画了几笔：4条：4条：6条：11条4+11+6×2+4=31（条）答：她最少画了31笔。
【16】小高把8块绿豆糕摆成如图所示的图形，让墨莫挑2块挨在一起的绿豆糕。
墨莫一共有多少种不同的挑法2块挨在一起的有：①1、2，②2、3，③3、6，④4、5，⑤5、6，⑥6、7，⑦7、8答：墨莫一共有7种不同的挑法。
【17】小李摆摊卖货，小木偶每个卖1元，大木偶每个卖2元。
他今天一共卖出了5个木偶，小李今天一共可能卖了多少钱大木偶0 1 2 3 4 5小木偶 5 4 3 2 1 0×1=10（元）。
答：小李今天一共可能卖了5元、6元、7元、8元、9元、10元。
【18】老师给小高14个相同的作业本，小高把这些本子全部分给墨莫和卡莉娅，有多少种不同的分法（可以只给一个人）墨莫0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14卡莉娅14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0答：有15种不同的分法。
【19】老师给小高14个相同的作业本，小高只需要把这些本子分成2堆，有多少种不同的分法第一堆 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 第二堆13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1答：有14种不同的分法。
【20】要沿着如图所示的道路从A点走到B点，并且每段路最多只能经过1次，一共有多少种不同的走法（1）A→C→D→B；（2）A→C→F→B；（3）A→E→F→C→D→B；（4）A→E→F→B。
答：一共有4种不同的走法。
【21】盘子里一共有20颗花生，小高和墨莫一起吃。
每人一口吃2颗，两个人一起把花生吃完（每人至少吃一口）。
列举出他们吃花生数量的所有情况。
20÷2=10（口）小高 1 2 3 4 5 6 7 8 9墨莫9 8 7 6 5 4 3 2 1外书写出他们全部可能的情况。
小高：1本⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧1本墨莫：5本；卡莉娅：2本墨莫：4本；卡莉娅：3本墨莫：3本；卡莉娅：4本墨莫：2本；卡莉娅：5本墨莫：1本；卡莉娅：5-1+1=5（种）小高：2本⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧1本墨莫：4本；卡莉娅：2本墨莫：3本；卡莉娅：3本墨莫：2本；卡莉娅：4本墨莫：1本；卡莉娅：4-1+1=4（种）小高：3本⎪⎩⎪⎨⎧1本墨莫：3本；卡莉娅：2本墨莫：2本；卡莉娅：3本墨莫：1本；卡莉娅：3-1+1=3（种） 小高：4本⎩⎨⎧1本墨莫：2本；卡莉娅：2本墨莫：1本；卡莉娅：2-1+1=2（种）小高：5本；墨莫：1本；卡莉娅：1本 1-1+1=1（种）一共：5+4+3+2+1=15（种） 答：一共有15种可能的情况。
【23】小王有5个相同的飞机模型，他要把它们放在一个3层的货架上，每层至少要放1个。
小王一共有多少种不同的放法【24】小王有18个相同的飞机模型，他要把它们放在一个3层的货架上，每层至少要放5个。
小王一共有多少种不同的放法答：小王一共有10种不同的放法。
【25】如图，有7个按键，上面分别写着1～7这7个数字。
从中选出2个按键，使它们上面数字的差等于2，一共有多少种选法4-2=2；5-3=2；6-4=2；7-5=2。
答：一共有4种选法。
【26】如图，有7个按键，上面分别写着1～7这7个数字。
从中选出2个按键，使它们上面数字的和大于9，一共有多少种选法3+7=10；4+6=10；4+7=11；5+6=11；5+7=12；6+7=13。
答：一共有6种选法。
【27】小明买回来一袋糖豆，他数了一下，一共有10个。
现在他要把这些糖豆分成3堆，一共有多少种不同的分法【28】小明有2袋糖豆，每袋10个，要把这些糖豆分成3堆，每堆至少要有5个，一共有多少种不同的分法10×2=20（颗）【29】A、B、C、D、E这5个人一起回答一道题目，结果只有2人回答对了。
所有可能的回答情况一共有多少种5个同学选2个，适用握手原则。
4×5÷2=10（种）答：所有可能的回答情况一共有10种。
【30】有2个相同的白球和1个红球，把这3个小球排成一排，有多少种不同排法○○●○●○●○○答：有3种不同排法。
【31】有2个相同的白球和3个相同的红球，把这5个小球排成一排，有多少种不同的排法●●●○○●●○○●●○○●●○○●●●●●○●○●○●●○○●●●○●○●○●○●●○●○●○●●答：有10种不同的排法。
【32】班主任要从甲、乙、丙、丁、戊这5个小朋友里面选出4个人参加乒乓球比赛，有多少种不同的选法正难则反原则：选出4个，也就是排除1个。
依次排除甲、乙、丙、丁、戊，一共有5种不同的选法。
答：有5种不同的选法。
【33】班主任要把甲、乙、丙、丁这4个小朋友分成2组，进行乒乓球双打比赛，有多少种不同的分法握手原则：4个同学选择2个，有3×4÷2=6种分法，再分成2组，有6÷2=3种分法。
【34】小明参加了一次小测验，每个小题2分，每个大题5分，两种题目各有3道，小明的得分一共有多少种不同的可能【35】几个小朋友在屋子里玩石头剪子布，墨莫在门外问他们一共有几个人，其中一个小朋友说：“不能直接告诉你人数，不过我们现在一共伸出了22根手指，并且有3个人出石头。
”屋子里可能有几个人在玩游戏（出石头的不伸手指，出剪子的伸2根，出布的伸5根）出手指：3×0+2×1+5×4=22（根）；人数：3+1+4=8（人）出手指：3×0+2×6+5×2=22（根）；人数：3+6+2=11（人）出手指：3×0+2×11+5×0=22（根）；人数：3+11+0=14（人）答：屋子里可能有8人、11人、14人在玩游戏。
【36】一次测验一共4道题，最初每位同学都有4分的基础分，然后每答对一道题加3分，答错一道题扣1分，不答不扣分。
同学们的得分可能是多少16分。
【37】现在有1分、2分、5分的硬币各5枚，要用这些硬币凑出2角钱，一共有多少种不同的凑法【38】如图，妈妈在5张卡片上分别写了1、1、1、2、2这5个数字，让小明从里面挑出3张来组成一个三位数，小明可能组成多少个不同的三位数111、112、121、122、211、212、221答：小明可能组成7个不同的三位数。
【39】刘老师在某一个星期中要去3次健身馆，但是为了防止运动过量，不能连续两天都去。