初二数学压轴几何证明题含答案

初二数学压轴几何证明题

含答案

Newly compiled on November 23, 2020

1.四边形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°，BE=EF，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG，EC．

(1)如图1，若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及的值；

(2)将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转至图2所示位置，请问(1)中所得的结论是否仍然成立若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

(3)将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，若BE=1，AB=，当E，F，D 三点共线时，求DF的长及tan∠ABF的值．

解：（1）EG⊥CG，=，

理由是：过G作GH⊥EC于H，

∵∠FEB=∠DCB=90°，

∴EF∥GH∥DC，

∵G为DF中点，

∴H为EC中点，

∴EG=GC，GH=（EF+DC）=（EB+BC），

即GH=EH=HC，

∴∠EGC=90°，

即△EGC是等腰直角三角形，

∴=；

（2）

解：结论还成立，

理由是：如图2，延长EG到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，∵在△EFG和△HDG中

∴△EFG≌△HDG（SAS），

∴DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG，

∴EF∥DH，

∴∠1=∠2=90°-∠3=∠4，

∴∠EBC=180°-∠4=180°-∠1=∠HDC，

在△EBC和△HDC中

∴△EBC≌△HDC．

∴CE=CH，∠BCE=∠DCH，

∴∠ECH=∠DCH+∠ECD=∠BCE+∠ECD=∠BCD=90°，

∴△ECH是等腰直角三角形，

∵G为EH的中点，

∴EG⊥GC，=，

即（1）中的结论仍然成立；

（3）

解：连接BD，

∵AB=，正方形ABCD，

∴BD=2，

∴cos∠DBE==，

∴∠DBE=60°，

∴∠ABE=∠DBE-∠ABD=15°，

∴∠ABF=45°-15°=30°，

∴tan∠ABF=，

∴DE=BE=，

∴DF=DE-EF=-1．

解析：（1）过G作GH⊥EC于H，推出EF∥GH∥DC，求出H为EC中点，根据梯形的中位线求出

EG=GC，GH=（EF+DC）=（EB+BC），推出GH=EH=BC，根据直角三角形的判定推出△EGC是等腰直角三角形即可；

（2）延长EG到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，证△EFG≌△HDG，推出DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG，求出∠EBC=∠HDC，证出△EBC≌△HDC，推出CE=CH，∠BCE=∠DCH，求出△ECH是等腰直角三角形，即可得出答案；

（3）连接BD，求出cos∠DBE==，推出∠DBE=60°，求出∠ABF=30°，解直角三角形求出即可．

2.已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按图1放置，使点E在BC上，取DF的中点G，连接EG，CG．

(1)延长EG交DC于H，试说明：DH=BE．

(2)将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45°，连接DF，取DF中点G(如图2)，莎莎同学发现：EG=CG且EG⊥CG．在设法证明时他发现：若连接BD，则D，E，B三点共线．你能写出结论“EG=CG且EG⊥CG”的完整理由吗请写出来．

(3)将图1中△BEF绕B点转动任意角度α(0＜α＜90°)，再连接DF，取DF的中点G(如图3)，第2问中的结论是否成立若成立，试说明你的结论；若不成立，也请说明理由．

（1）证明：∵∠BEF=90°，

∴EF∥DH，

∴∠EFG=∠GDH，

而∠EGF=∠DGH，GF=GD，

∴△GEF≌△GHD，

∴EF=DH，

而BE=EF，

∴DH=BE；

（2）连接DB，如图，

∵△BEF为等腰直角三角形，

∴∠EBF=45°，

而四边形ABCD为正方形，

∴∠DBC=45°，

∴D，E，B三点共线．

而∠BEF=90°，

∴△FED为直角三角形，

而G为DF的中点，

∴EG=GD=GC，

∴∠EGC=2∠EDC=90°，

∴EG=CG且EG⊥CG；

（3）第2问中的结论成立．理由如下：

连接AC、BD相交于点O，取BF的中点M，连接OG、EM、MG，如图，

∵G为DF的中点，O为BD的中点，M为BF的中点，

∴OG∥BF，GM∥OB，

∴四边形OGMB为平行四边形，

∴OG=BM，GM=OB，

而EM=BM，OC=OB，

∴EM=OG，MG=OC，

∵∠DOG=∠GMF，

而∠DOC=∠EMF=90°，

∴∠EMG=∠GOC，

∴△MEG≌△OGC，

∴EG=CG，∠EGM=∠OCG，

又∵∠MGF=∠BDF，∠FGC=∠GDC+∠GCD，

∴∠EGC=∠EGM+∠MGF+∠FGC=∠BDF+∠GDC+∠GCD+∠OCG=45°+45°=90°，∴EG=CG且EG⊥CG．

解析：

（1）由∠BEF=90°，得到EF∥DH，而GF=GD，易证得△GEF≌△GHD，得EF=DH，而

BE=EF，即可得到结论．

（2）连接DB，如图2，由△BEF为等腰直角三角形，得∠EBF=45°，而四边形ABCD为正方形，得∠DBC=45°，得到D，E，B三点共线，而G为DF的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EG=GD=GC，于是∠EGC=2∠EDC=90°，即得到结论．

（3）连接AC、BD相交于点O，取BF的中点M，连接OG、EM、MG，由G为DF的中点，O为BD的中点，M为BF的中点，根据三角形中位线的性质得OG∥BF，GM∥OB，得到OG=BM，GM=OB，而EM=BM，OC=OB，得到EM=OG，MG=OC，又∠DOG=∠GMF，而∠DOC=∠EMF=90°，得∠EMG=∠GOC，则△MEG≌△OGC，得到EG=CG，∠EGM=∠OCG，而∠MGF=∠BDF，∠FGC=∠GDC+∠GCD，所以有∠EGC=∠EGM+∠MGF+∠FGC=∠BDF+∠GDC+∠GCD+∠OCG=45°+45°

=90°．

3.已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按图①放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连接EG、CG．

(1)探索EG、CG的数量关系和位置关系并证明；

(2)将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45°，再连接DF，取DF中点G(如图②)，问(1)中的结论是否仍然成立．证明你的结论；

(3)将图①中△BEF绕B点转动任意角度(旋转角在0°到90°之间)，再连接DF，取DF的中点G(如图③)，问(1)中的结论是否仍然成立，证明你的结论．

解：（1）EG=CG且EG⊥CG．

证明如下：如图①，连接BD．

∵正方形ABCD和等腰Rt△BEF，

∴∠EBF=∠DBC=45°．

∴B、E、D三点共线．

∵∠DEF=90°，G为DF的中点，∠DCB=90°，

∴EG=DG=GF=CG．

∴∠EGF=2∠EDG，∠CGF=2∠CDG．

∴∠EGF+∠CGF=2∠EDC=90°，

即∠EGC=90°，

∴EG⊥CG．

（2）仍然成立，

证明如下：如图②，延长EG交CD于点H．

∵BE⊥EF，∴EF∥CD，∴∠1=∠2．

又∵∠3=∠4，FG=DG，

∴△FEG≌△DHG，