长期趋势和季节变动分析(14)

以表5-33为例说明偶数项数列计算方法。
表5-33
年份 t
2000 -5
最小平方法计算表（偶数项）
产量y t2
ty
yt
85.6 25 -428.0 85.6
2001 -3 91.0 9 -273.0 90.9
2002 -1 96.1 1 -96.0 96.2
2003 1 101.2 1 101.2 101.5
一季 = 2.325÷6.481×100% = 35.87% 二季 = 12.05÷6.481×100% = 185.93% 三季 = 7.625÷6.481×100% = 117.65% 四季 = 3.925÷6.481×100% = 60.56% 第三步，绘制季节比率图，见下图。
200
y游客的指数(%)
表5-29 三、五项移动平均计算表（2、3栏为趋势值）
Baidu Nhomakorabea
产量（吨） 三项移动平均 五项移动平均
2
—
—
6
4
—
4
5
5.2
5
6
6.2
9
7
6.6
7
8
8.2
8
9
9.2
12
10
8.6
10
11
11.2
11
12
12.2
15
13
—
13
—
—
（二）最小平方法
它是配合一个最适当的方程式，使实际值（y）与 用该方程计算出的趋势值（yt）之间的离差平方和最小，
1 2.1 3.8 4.3 4.5 14.7 3.675 37.93
2
2.5 3.7 3.8 4.0 14.0 3.500 36.12
3 5.5 8.3 6.5 4.2 24.5 6.125 63.21
4 8.6 10.0 10.6 11.0 40.2 10.050 103.37
5 17.6 19.3 21.9 20.0 78.8 19.700 203.30
表5-35 某地游客人数季节比率计算表（单位：十万人）
2002年 2003年 2004年 2005年 各季平均数 季节比率%
一季 1.8 2.0 2.5 3.0 2.325 35.87
二季 8.0 11.0 14.0 15.2 12.05 185.93
三季 6.0 7.0 8.0 9.5 7.625 117.65
二、季节变动分析
（一）季节变动分析的意义
季节变动是指因受自然条件或社会因素的影响，在 一年内随着季节的更替而引起的比较有规律的变动。本 节将分析现象因季节变动而产生的变化规律。
（二）季节变动的测定
测定季节变动的方法很多，这里只介绍季节指数法， 又称月（季）平均法。这种方法是在不考虑长期趋势的 影响下，而直接通过计算各月（季）平均数、总平均数， 来确定季节比率。通过季节比率可以显示和分析季节变 动的规律性。
*第四节 长期趋势和季节变动分析
一、长期趋势分析 长期趋势是时间数列的主要构成因素，是事物受某些根本因
素的影响在较长时期内持续发展变化（增加或减少）的一种趋势 或状态。
例如，由于“三农”即农业、农村、农民是我国国民经济重 中之重，所以我国粮食产量50多年来呈上升趋势持续发展。
（一）扩大时期法 它是在原时间数列不能明显反映现象发展变化趋势时，将其
表5-27 某企业各季衬衣销售资料（单位：千件）
时间 2002年 2003年 2004年 2005年
一季度 1.8 2.0 2.5 3.0
二季度 8.0 11.0 14.0 15.2
三季度 6.0 7.0 8.0 9.5
四季度 3.0 3.5 4.2 5.0
表5-27中资料受季节因素影响长期趋势不明 显，采用移动平均法可以使长期趋势显现出来。 具体方法是每四项求一个平均数，然后每移动一 项计算一个平均数，如（1.8+8+6+3）/4 = 4.7。 使4.7在表中对准1～4季的正中（即2、3季之间）， 然后往下移动一季计算出2、3、4、5季的平均数： （8+6+3+2）/4 = 4.75。使4.75在表中对准2～5 季的正中（即3、4季之间）。全部计算后的结果
2004 3 107.0 9 321.0 106.8
2005 5 112.2 25 561.0 112.2
合计 0 593.1 70 186.1 593.2
将表中数据代入参数公式得： a y 593.1 98.85
n6
b
ty t2
186.1 70
2.66
将a、b值代入直线方程得：yt=98.85+2.66t
年平均 7.99 9.93 10.28 10.56 38.76 9.69 100.0
具体计算如下：
（1）求各年同月平均数，如：一月份为14.7÷4 = 3.675,二 月份为14÷4 = 3.5，…
（2）求全部数据总平均数，如：465.1÷48 = 9.69 或 38.76÷4 = 9.69。
（3）用各年月平均数除以总平均数得季节比率，见表5-34中 最后一列。
表中数据表明：季节比率各月平均数为100%,全年12个月合 计为1200%(按季计算为400%)。以大于或小于100%分为经营活动 的“淡”季、“旺”季。该地衬衫销售量旺季是4～8月，其中6 月是最旺季，11月是最淡季。
再如，某地区游客人数资料如表5-35所示，试计算游客人数 季节比率，为该地区接待工作提供依据。
如表5-28所示:
表5-28 四项移动平均计算表(“两项移中”栏为趋势值)
季节顺序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
销售量（千件） 1.8 8.0 6.0 3.0 2.0 11.0 7.0 3.5 2.5 14.0 8.0 4.2 3.0 5.2 9.5 5.0
10 2.8 3.4 3.8 4.2 14.2 3.550 36.64
11 1.6 2.3 2.8 3.5 10.2 2.550 26.32
12 2.1 3.0 3.1 2.8 11.0 2.750 28.38
年合计 95.9 119.2 123.3 126.7 465.1 116.275 1200.0
第二，计算季节比率。 4
季节比率（%）
季平均数 总平均数
100%
3.2 12.8 16 3.015
3.1 15.5 25 3.112
28.9 10.7 110 28.897
将上表资料代入参数公式得： a y 28.9 2.627
n 11
b
ty t2
10.7 110
0.097
将a、b代入直线方程得：yt = 2.627+0.097t
将时间序号t依次代入公式可得yt栏数据，即趋势值。
四季 3.0 3.5 4.2 5.0 3.925 60.56
年平均数 4.7 5.875 7.175 8.175 6.481 100.0
第一步，计算各年同季平均数和总平均数： 计算结果如表5-35所示。
第二步，计算季节比率，它是季平均数与总平均数之比，公 式为：季节比率（%）= 季平均数÷总平均数×100%。
季度
一
二
三
四
表5-2季6采平用均序产时量平均8数2.构3 成的新86数列能87明.7显反映9该4.企7 业产量 呈上升趋势。
（二）移动平均法
从时间数列的第一项开始，按一定项数求序时平均 数，然后每次向后推移一项计算一系列序时平均数从而 形成一个新的时间数列。通过移动平均使原数列的长期 趋势显现。如表5-27所示。
6 21.1 25.5 30.3 32.0 108.9 27.225 280.96
7 17.9 21.2 20.5 24.0 83.6 20.900 215.70
8 10.7 11.4 10.8 11.5 44.4 11.100 114.55
9 3.4 7.3 4.9 5.0 20.6 5.150 53.15
四项移动平均 —
4.70 4.75 5.50 5.75 5.88 6.00 6.75 7.00 7.18 7.30 7.60 7.98 8.18
—
两项移中 — — 4.73 5.13 5.63 5.82 5.94 6.38 6.88 7.09 7.24 7.45 7.79 8.08 — —
三、五项移动平均计算法如表5-29所示:
将时间序号依次代入直线方程得yt栏数值，即趋势
值。
预测以后各年产量：
2006年产量预测值为：
yt=98.85+2.66×7=117.47(万吨)
2007年产量预测值为:
yt=98.85+2.66×9=122.79(万吨) 需要注意的是偶数项时间间隔为2，因此b =2.66只
表示半年产量的平均增加数量。
原方程： ∑y = na +b∑t ∑ty = a∑t+b∑t2
简化为 ∑y = na ∑ty = b∑t2
因此，a、b 两个参数的计算公式为：
a y
n
b
ty t2
这样处理，可以简化计算过程。以表5-32为例，它是奇数项 数列，以中间项即1998年为原点，计算过程如下。
表5-32
年份 t
1995 -5 1996 -4 1997 -3 1998 -2 1999 -1 2000 0 2001 1 2002 2 2003 3 2004 4 2005 5 合计 0
不同时间单位上的数据加以合并形成一个新的时间数列。例如， 某企业2005年资料如表5-24所示。
表5-24 某企业2005年产量资料（单位：台）
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
产量 80 85 82 86 84 88 86 85 92 94 92 98
表5-24发展趋势不明显，现采用扩大时期法，即将时间间隔 由月扩大到季，可得到表5-25。
n
n
为简化计算，给时间顺序重新赋值使∑t=0。为奇数项时用
中间项为原点“O ”；偶数项时两个中间项的中点为原点“0”。
见表5-30、5-31。
表5-30 奇数项赋值表
表5-31 偶数项赋值表
时间
t
时间
t
1
-2
2
-1
3
0
4
1
5
2
1
-5
2
-3
3
-1
4
1
5
3
6
5
∑
0
∑
0
当以上两种情况出现时，∑t =0。
进行季节变动分析必须占有较长时期的资料，即至 少应有三个周期（年度）以上的各月（季）资料，才能 测定季节变动。
例如，某地区2002年至2005年各月衬衫销售资料如 表5-34所示。
表5-34 某地衬衫销售量季节比率计算表（单位：万件）
月份 2002年 2003年 2004年 2005年 四年合计 同月平均 季节比率%
150
100
50
0
1
2
3
4
t季节（季）
本节小结：
简单平均法
时 间
扩大时距法：a a
n
移动平均法：a a
n
b
n xy x y
n x2 x2
数
a y bx
列 最小平均法
n
n
趋 yt a bt
势 分
或
b
ty t2
a y
n
析
第一，先计算各年同季平均数，再计算总平均数
季节变动
总平均数 季平均数
这种方法叫最小平方法。
其直线方程式为：yt = a + bt 式中：t —时间序号，可以是年、季、月、日；
a —直线在y轴上的截距，即t为零时的y值； b —直线斜率，表示t每增加一个单位时yt的变
动值；
yt —根据直线方程计算的趋势值。
解联立方程求参数a、b值：
b
nty t y
nt2 t2
a y b t y bt
最小平方法计算表（奇数项）
y
ty
t2
Yt
2.1 -10.5 25 2.142
2.3 -9.2 16 2.239
2.5 -7.5 9 2.336
2.6 -5.2 4 2.433
2.4 -2.4 1 2.530
2.3
0
0 2.627
2.6 2.6
1 2.724
2.8 5.6
4 2.821
3.0 9.0
9 2.918
表5-25 某企业2005年季产量资料
季度
一
二
三
四
产量
247
258
263
284
表5-25能明显反映该企业产量呈上升趋势。应用扩大时期法 应注意两点：其一扩大时期法只适用于时期数列；其二扩大时期 后的时期长度要相等。
扩大时期法还可以用序时平均数组成新数列，如表5-26所示。
表5-26 某企业2005季平均产量