最长公共子序列
算法,最长公共子序列
最长公共子序列（LCS）问题（非连续子序列）的两种解法最长公共子序列也称作最长公共子串，英文缩写是LCS（Longest Common Subsequence）。
其定义是：一个序列S，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是符合此条件的子序列中最长的，则称S为已知序列的最长公共子序列。
关于子序列的定义通常有两种方式，一种是对子序列没有连续的要求，其子序列的定义就是原序列中删除若干元素后得到的序列。
另一种是对子序列有连续的要求，其子序列的定义是原序列中连续出现的若干个元素组成的序列。
求解子序列是非连续的最长公共子序列问题是一个十分实用的问题，它可以描述两段文字之间的“相似度”，即它们的雷同程度，从而能够用来辨别抄袭。
本文将介绍对子序列没有连续性要求的情况下如何用计算机解决最长公共子序列问题，对子序列有连续性要求的情况下如何用计算机解决最长公共子序列问题将在后续的文章中介绍。
一、动态规划法（Dynamic Programming）最长公共子序列问题应该是属于多阶段决策问题中求最优解一类的问题，凡此类问题在编制计算机程序时应优先考虑动态规划法，如果不能用动态规划法，而且也找不到其它解决方法，还可以考虑穷举法。
对于这个问题，只要能找到描述最长公共子序列的最优子结构和最优解的堆叠方式，并且保证最优子结构中的每一次最优决策都满足“无后效性”，就可以考虑用动态规划法。
使用动态规划法的关键是对问题进行分解，按照一定的规律分解成子问题（分解后的子问题还可以再分解，这是个递归的过程），通过对子问题的定义找出最优子结构中最优决策序列（对于子问题就是最有决策序列的子序列）以及最优决策序列子序列的递推关系（当然还包括递推关系的边界值）。
如果一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列，也就意味着子序列在原序列中的位置索引（下标）保持严格递增的顺序。
例如,序列S = <B,C,D,B>是序列K = <A，B，C，B，D，A，B>的一个子序列（非连续），序列S的元素在在K中的位置索引I = [2,3,5,7]，I是一个严格递增序列。
最长公共子序列矩阵
最长公共子序列矩阵1.引言概述部分的内容如下：1.1 概述最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称LCS）是一种常见的字符串处理问题。
它是指在两个或多个序列中找出最长的子序列，要求这个子序列在所有序列中保持相对顺序一致，但不要求连续。
最长公共子序列问题在生物信息学、文本相似度匹配、版本控制等领域得到广泛应用。
本文将探讨一种新颖的解决方案，即最长公共子序列矩阵。
最长公共子序列矩阵是一种将最长公共子序列问题转化为矩阵形式的解决方法。
通过构建一个二维矩阵，我们可以将两个序列的比较转化为矩阵元素的计算和更新。
这种方法不仅能够有效地解决最长公共子序列问题，还能够为其他相关问题提供便利的解决思路。
本文的结构如下：首先，我们将在第2节介绍最长公共子序列的定义和意义。
我们将详细解释什么是最长公共子序列，以及它在实际应用中的重要性和应用场景。
接着，在第3节中，我们将介绍最长公共子序列问题的几种解法。
我们将分析每种解法的优缺点，并比较它们的时间复杂度和空间复杂度。
最后，在第4节中，我们将总结最长公共子序列矩阵的应用。
我们将回顾文章中的主要内容，讨论最长公共子序列矩阵在实际问题中的应用情况，并展望它在未来研究中的潜在发展方向。
通过本文的阅读，读者将对最长公共子序列问题有更深入的理解，并对最长公共子序列矩阵有一定的认识。
希望本文能够为读者在相关领域的研究和实践中提供有价值的参考和启发。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以写成以下形式:1.2 文章结构本文将按照如下结构进行阐述最长公共子序列矩阵的定义、意义和问题的解法：第二章将详细介绍最长公共子序列的定义和意义。
首先，我们将解释什么是最长公共子序列以及它在实际问题中的应用。
其次，我们将探讨最长公共子序列问题的背后原理，以及它解决的具体问题和挑战。
第三章将介绍最长公共子序列问题的解法。
我们将介绍几种常用的算法和技巧，包括动态规划、回溯法和优化算法等。
最长公共子序列 空间复杂度优化
最长公共子序列（LCS）是一种经典的字符串算法，用于找到两个字符串中最长的共同子序列。
在实际应用中，LCS算法被广泛用于文本相似度比较、版本控制系统、生物信息学等领域。
在本文中，我们将探讨LCS算法的空间复杂度优化，通过深入分析和讨论，帮助你更好地理解这一优化策略。
1. LCS算法概述LCS算法是一种动态规划算法，通过填表格的方式，将两个字符串的比对过程可视化，最终找到它们的最长公共子序列。
在最简单的情况下，LCS算法的时间复杂度为O(n*m)，其中n和m分别为两个字符串的长度。
但是，在实际应用中，我们通常不仅关注算法的时间复杂度，还需要考虑空间复杂度的优化。
2. 实现原理在传统的LCS算法中，我们通常使用一个二维数组来保存中间状态，以便回溯最长公共子序列。
然而，这种做法在空间上会占用较多的内存，尤其是当输入字符串较长时。
为了优化空间复杂度，我们可以采用一维数组来存储中间状态，从而减少内存的占用。
3. 空间复杂度优化具体来说，我们可以利用滚动数组的思想，只使用两个一维数组来交替保存当前行和上一行的状态。
这样做的好处是，我们可以不断地更新这两个数组，而不需要保存整个二维表格，从而减少了空间的占用。
通过这种优化策略，我们可以将空间复杂度降低到O(min(n, m))，显著减少了内存的使用。
4. 示例分析让我们通过一个简单的示例来说明空间复杂度优化的过程。
假设有两个字符串"ABCD"和"BACDB"，我们希望找到它们的最长公共子序列。
在传统的LCS算法中，我们需要使用一个二维数组来保存中间状态，而在空间复杂度优化后，我们只需要使用两个一维数组来交替保存状态。
通过这种优化，我们可以用较少的内存来解决相同的问题。
5. 个人观点空间复杂度优化是算法设计中非常重要的一环，尤其在处理大规模数据时尤为重要。
通过优化空间复杂度，我们可以节省内存的使用，提高算法的效率，同时也更好地适应了现代计算机的内存限制。
[Python]最长公共子序列VS最长公共子串[动态规划]
![[Python]最长公共子序列VS最长公共子串[动态规划]](https://img.taocdn.com/s3/m/866f1ef3c9d376eeaeaad1f34693daef5ef71338.png)
[Python]最长公共⼦序列VS最长公共⼦串[动态规划]前⾔由于原微软开源的基于古⽼的perl语⾔的Rouge依赖环境实在难以搭建，遂跟着Rouge论⽂的描述⾃⾏实现。
Rouge存在N、L、S、W、SU等⼏⼤⼦评估指标。
在复现Rouge-L的函数时，便遇到了本博⽂的问题：求两串的最长公共⼦序列。
⼀参考⽂献全⽂参考均如下博⽂。
⼆最长公共⼦序列 & 最长公共⼦串的区别1、最长公共⼦序列(Longest Common Subsequence,LCS)：在字符串A和字符串B中都出现的序列，且顺序与母串保持⼀致最长的那个序列。
2、最长公共⼦串(Longest Common Substring)：相⽐LCS更加严格，序列必须连续出现，即公共的⼦字符串。
eg: csdnblog与belong，最长公共⼦序列为blog，最长公共⼦串为lo。
三程序设计与实现3.1 最长公共⼦序列def longestCommonSubsequence(seqA, seqB):"""最长公共⼦序列-----------[reference] 最长公共⼦序列与最长公共⼦串【动态规划】 https:///a515557595_xzb/article/details/88296989:param seqA::param seqB::return:"""m = len(seqA);n = len(seqB);init_unit={"len":0,"lcs":[]}dp = [[ init_unit ]*(n+1) for i in range(m+1)]; # m+1⾏, n+1列for i in range(0, m+1):for j in range(0, n+1):if i==0 or j==0:dp[i][j] = init_unit;elif seqA[i-1] == seqB[j-1]:tmp_str = copy.copy((dp[i-1][j-1])["lcs"]);tmp_str.append(seqA[i-1]);unit = {"len": (dp[i-1][j-1])["len"] + 1,"lcs": tmp_str}dp[i][j] = unit;elif seqA[i-1] != seqB[j-1]:if (dp[i-1][j])["len"] > (dp[i][j-1])["len"]: # 存储最长的信息dp[i][j] = dp[i-1][j];else:dp[i][j] = dp[i][j-1];else:pass;pass; # end inner for looppass; # end outer for loopreturn dp[m][n];print( longestCommonSubsequence("GM%$ABG", "gbndGFMABG") ) # {'len': 5, 'lcs': ['G', 'M', 'A', 'B', 'G']}print( longestCommonSubsequence(["G", "M", "%", "$", "A", "B", "G"], ["g","b", "n", "d", "G", "F", "M", "A", "B","G"] ) ); # {'len': 5, 'lcs': ['G', 'M', 'A', 'B', 'G']}3.2 最长公共⼦串def longestCommonSubstring(strA, strB):"""最长公共⼦串-----------[reference] 最长公共⼦序列与最长公共⼦串【动态规划】 https:///a515557595_xzb/article/details/88296989:param strA::param strB::return:"""m = len(strA);n = len(strB);init_unit={"len":0,"lcs":[]}dp = [[ init_unit ]*(n+1) for i in range(m+1)]; # m+1⾏, n+1列result ={"len":0, # 记录最长公共⼦串的长度"lcs": []};for i in range(0, m+1): # 考虑i为0或j为0的情况for j in range(0, n+1):if i==0 or j==0 or ( strA[i-1] != strB[j-1] ):dp[i][j] = init_unit;elif strA[i-1] == strB[j-1]:tmp_str = copy.copy((dp[i-1][j-1])["lcs"]);tmp_str.append(strA[i-1]);unit = {"len": (dp[i-1][j-1])["len"] + 1,"lcs": tmp_str}dp[i][j] = unit;if (dp[i][j])["len"] > result["len"]: # 存储最长的信息result = copy.copy( dp[i][j] );else:pass;pass; # end inner for looppass; # end outer for loopreturn result;print( longestCommonSubstring("GM%$ABG", "gbndGFMABG") ) # {'len': 3, 'lcs': ['A', 'B', 'G']}print( longestCommonSubstring(["G", "M", "%", "$", "A", "B", "G"], ["g","b", "n", "d", "G", "F", "M", "A", "B","G"] ) ); # {'len': 3, 'lcs': ['A', 'B', 'G']}四应⽤领域4.1 机器学习 > ⾃动⽂本摘要 / 机器翻译 / 机器阅读理解等任务中 > 评估指标 > Rouge-LRouge-L分类：句⼦级: 最长公共⼦序列⽂摘级: Union[多条句⼦] 最长公共⼦序列推荐博⽂:推荐论⽂: 《ROUGE: A Package for Automatic Evaluation of Summaries》。
最长公共子序列问题;
最长公共子序列问题；最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）问题是指找到多个字符串中最长的公共子序列。
公共子序列是指这些字符串在所有字符串中都以相同的顺序出现，但不要求连续。
例如，对于字符串"ABCD"和"ACDF"，其最长公共子序列为"ACD"。
最长公共子序列问题可以通过动态规划来解决。
基本思路是使用一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示字符串A的前i个字符和字符串B的前j个字符的最长公共子序列的长度。
首先，初始化dp[0][j]和dp[i][0]为0，表示空字符串与任何字符串的最长公共子序列长度为0。
然后，对于每个字符A[i]和B[j]，如果A[i]等于B[j]，则dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1，表示在之前的最长公共子序列长度的基础上加1。
否则，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])，表示要么在字符串A的前i-1个字符和字符串B的前j个字符的最长公共子序列的基础上取得，要么在字符串A的前i个字符和字符串B的前j-1个字符的最长公共子序列的基础上取得。
最终，dp[m][n]即为所求，其中m和n分别为字符串A和字符串B的长度。
可以通过追踪dp数组来还原出最长公共子序列，具体方法是从dp[m][n]开始，如果A[i]等于B[j]，则该字符是公共字符，将其加入结果序列，然后向左上方移动，即dp[i-1][j-1]。
如果dp[i][j]等于dp[i-1][j]，则说明最长公共子序列在A中取得，向上移动，即dp[i-1][j]；如果dp[i][j]等于dp[i][j-1]，则说明最长公共子序列在B中取得，向左移动，即dp[i][j-1]。
重复上述过程，直到dp[i][j]为0。
数据结构与算法题解：最长公共子序列和最长公共子串
f [0][0] = 0, f [0][∗] = 0, f [∗][0] = 0,最后应该返回f [lenA][lenB]. 即 f 中索引与字符串串索引
ource, target)); }
}
二二、最⻓长公共子子串串
2.1 简单考虑
可以使用用两根指针索引分别指向两个字符串串的当前遍历位置，若遇到相等的字符时则同时向后移 动一一位。
public class Demo { public static int longestCommonSubstring(String A, String B) { if (A == null || A.length() == 0) return 0; if (B == null || B.length() == 0) return 0; int lenA = A.length(); int lenB = B.length(); int lcs = 0, lcs_temp = 0; for (int i = 0; i < lenA; ++i) { for (int j = 0; j < lenB; ++j) { lcs_temp = 0; while ((i + lcs_temp < lenA) && (j + lcs_temp < lenB) && (A.charAt(i + lcs_temp) == B.charAt(j + lcs_temp))) { ++lcs_temp; }
最长公共子序列
最长公共⼦序列给定两个长度分别为 NN 和 MM 的字符串 AA 和 BB，求既是 AA 的⼦序列⼜是 BB 的⼦序列的字符串长度最长是多少。
输⼊格式第⼀⾏包含两个整数 NN 和 MM。
第⼆⾏包含⼀个长度为 NN 的字符串，表⽰字符串 AA。
第三⾏包含⼀个长度为 MM 的字符串，表⽰字符串 BB。
字符串均由⼩写字母构成。
输出格式输出⼀个整数，表⽰最⼤长度。
数据范围1≤N,M≤10001≤N,M≤1000输⼊样例：4 5acbdabedc输出样例：3先来判断⼀下极端情况⼤概的估算⼀下时间复杂度再选择算法假如有a，b两串，a中的元素是n,n,n,n,n...b中的元素是n,n,n,n,n....（保证a<b）那a，b的最长公共⼦序列就是a的序列，然⽽a的序列中的⼦串每个元素都有选与不选两种⽅案，所以是2^n种指数型增长，⼀般数据范围⼤点的都不能枚举来做，必超时所以应该⽤dp来写令f[i][j]为集合A中1~i和B中1~j的公共⼦序列的最⼤值（根据a[i],b[j]是否相等再来分个类）然后划分a[i],b[j]包不包含在⼦序列⾥⾯，有四种状态，00，01，10，11第四类11；a[i],b[j]都选，然后a[i],b[j]是已经确定了的，是不变的，关键看前⾯不定的序列（前⾯的序列可以任意选，a[i],b[j]必选），f[i-1][j-1]+1就是这⼀类的最⼤值第⼀类00：这个就类似于背包问题，a[i],b[j]都不选，那f[i][j]此时的状态就是f[i-1][j-1]第⼆类01和第三类10⼀起说，这个y总讲的太⽜逼了，对的。
⾸先f[i-1][j]这个意思是不包含a[i],b[j]可以包含可以不包含，这个就是把01的状态全部覆盖了，虽然可能会有11的状态但没关系呀，没有总的界呀（01，11，10，00），同理可以⽤f[i-1][j]和f[i][j-1]这两种情况把10，01全部覆盖了，可能会涉及到⼀些11吧，但对结果没啥影响的这样说，第⼀类额00，f[i-1][j-1]就是不包含a[i]也不包含a[j]也是全部包含在a[i-1][j]，a[i][j-1]的情况⾥⾯的，所以可以不⽤考虑的这个就是y总的主要思路#include<iostream>using namespace std;const int N=1010;char a[N],b[N];int n,m;int f[N][N];int main(){cin>>n>>m>>a+1>>b+1;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){if(a[i]==b[j])f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-1]+1);elsef[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]); }}cout<<f[n][m]<<endl;return0;}结合思路，代码⼀看就懂。
动态规划经典——最长公共子序列问题（LCS）和最长公共子串问题
动态规划经典——最长公共⼦序列问题（LCS）和最长公共⼦串问题⼀.最长公共⼦序列问题(LCS问题)给定两个字符串A和B，长度分别为m和n，要求找出它们最长的公共⼦序列，并返回其长度。
例如： A = "Hel lo W o rld" B = "loo p"则A与B的最长公共⼦序列为 "loo",返回的长度为3。
此处只给出动态规划的解法：定义⼦问题dp[i][j]为字符串A的第⼀个字符到第 i 个字符串和字符串B 的第⼀个字符到第 j 个字符的最长公共⼦序列，如A为“app”,B为“apple”，dp[2][3]表⽰ “ap” 和 “app” 的最长公共字串。
注意到代码中 dp 的⼤⼩为 (n + 1) x (m + 1) ，这多出来的⼀⾏和⼀列是第 0 ⾏和第 0 列，初始化为 0，表⽰空字符串和另⼀字符串的⼦串的最长公共⼦序列，例如dp[0][3]表⽰ "" 和“app” 的最长公共⼦串。
当我们要求dp[i][j]，我们要先判断A的第i个元素B的第j个元素是否相同即判断A[i - 1]和 B[j -1]是否相同，如果相同它就是dp[i-1][j-1]+ 1，相当于在两个字符串都去掉⼀个字符时的最长公共⼦序列再加 1；否则最长公共⼦序列取dp[i][j - 1] 和dp[i - 1][j]中⼤者。
所以整个问题的初始状态为：dp[i][0]=0,dp[0][j]=0相应的状态转移⽅程为：dp[i][j]=max{dp[i−1][j],dp[i][j−1]},A[i−1]!=B[j−1] dp[i−1][j−1]+1,A[i−1]==B[j−1]代码的实现如下：class LCS{public:int findLCS(string A, int n, string B, int m){if(n == 0 || m == 0)//特殊输⼊return 0;int dp[n + 1][m + 1];//定义状态数组for(int i = 0 ; i <= n; i++)//初始状态dp[i][0] = 0;for(int i = 0; i <= m; i++)dp[0][i] = 0;for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = 1; j<= m; j++){if(A[i - 1] == B[j - 1])//判断A的第i个字符和B的第j个字符是否相同dp[i][j] = dp[i -1][j - 1] + 1;elsedp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i][j - 1]);}return dp[n][m];//最终的返回结果就是dp[n][m]}};该算法的时间复杂度为O(n*m)，空间复杂度为O(n*m)。
最长公共子序列
最长公共子序列
最长公共子序列（longest common subsequence，简称LCS）是在一系列序列中找到最长
公共子序列的算法，这是一种计算机科学中重要的算法，因为它可以用于文本处理、图像处理和生物信息学中的序列比较，并给定的两个序列的编辑距离。
关于LCS算法的历史，称为最早的提出者是Muntz在1971年提出的，但它后来也被Hirschberg和哈利时用来
计算机科学领域。
LCS算法是一种动态规划方法，它的关键在于它需要从底部开始着手，然后一步步的递推到上面，而不是传统的栈方式，只有从上面开始而不会有正确的结果，同时它具有极高的计算效率。
通过动态规划，我们可以用二维表dp[i] [j]来记录字符串X[0]…X[i] 与Y[0]…Y[j] 的LCS，这是该方法的最重要的步骤，每更新一次状态表dp，就可以获得一个新的解。
此外，我们可以使用空间换时间的思想来优化我们的LCS算法，通常有单行存储和单列存储两种方式，尽管这也大大降低了内存的占用，但在计算量的增加的情况下，这种方式也不是很实用。
最长公共子序列算法已经广泛应用在计算机科学，生物信息和图像处理上，它使得在序列比较或文本处理中的传统办法变得简单，更加可靠。
这种算法有着极高的计算效率，可以加快运算的速度，并使用尽可能少的内存存储状态表，这使得LCS算法在当前的应用中日益受到重视。
最长公共子序列
穷举法:
若要求两个序列X，Y的最长公共子序列， 先取得X，Y的所有子序列，并进行一一 比较，共有如下不同的组合：
Cm1 Cm2 ... Cmm 2m Cn1 Cn2 ... Cnn 2n
共要进行不同的比较：2 m+n
最长公共子序列的结构
设序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}的最长公共子序列为 Z={z1,z2,…,zk} ，则 (1)若xm=yn，则zk=xm=yn，且zk-1是xm-1和yn-1的最长公共子序列。 (2)若xm≠yn且zk≠xm，则Z是xm-1和Y的最长公共子序列。 (3)若xm≠yn且zk≠yn，则Z是X和yn-1的最长公共子序列。
最长公共子序列的定义：
•若给定序列X={x1,x2,…,xm}，则另一序列 Z={z1,z2,…,zk}，是X的子序列是指存在一个严格递增 下例标如序，列序列{i1,Zi2=,…{B,，ik}C使，得D对，于B所}是有序j=列1,X2=,…{A,，k有B：，zCj=，xiBj。， D，A，B}的子序列，相应的递增下标序列为{2，3，5， 7}。而子串则要求左右两元素在母串中为相邻。 •给定2个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是 Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。 •给定2个序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，找 出X和Y的最长公共子序列。
算法的改进
•如果只需要计算最长公共子序列的长度，则 算法的空间需求可大大减少。事实上，在计 算c[i][j]时，只用到数组c的第i行和第i-1行。 因此，用2行的数组空间就可以计算出最长公 共子序列的长度。进一步的分析还可将空间 需求减至O(min(m,n))。 •思考题：如何对程序进行改正，作为思考题。
第7课 最长公共子序列(C++)
(2)求 x=<x1，x2，…，xm>和 yn-1=<y1, y2，…，yn-1>的最长公共子序列 问题；
由这个分析过程，我们发现求 X 和 Y 的最长公共子序列问题，包 含了这两个序列的前缀的最长公共子序列，即它具有最优子结构性质。
Y 的一个公共子序列；编程求出给定的两个序列中，最长公共子序列 符串表示第一个序列，第二个 字符串表示第二个序列，两个字符串长度均小于 1000 。 【输出格式】
一个整数，即两个序列的公共子序列的长度。 【输入样例】
aabaaecd abcd 【输出样例】 4
我们用 f[i,j]记录序列 xi 和 yj 的最长公共子序列的长度，其中 xi=<x1，x2，…，xi>, yi=<y1，y2,…,yj>，那么：
f[i][j]=0 当 i=0 或 j=0 时 f[i,j]= f[i-1,j-1]+1 当 i，j>0 时，且 xi=yj 时 f[i][j]=Max（f[i,j-1]，f[i-1,j]） 当 i，j>0 时，且 xi≠yj 时 该算法的时间复杂度为 O(n×m)，其中 n，m 为两字符串长度。 参考程序如下：
分析问题 解最长公共子序列问题时最容易想到的算法是枚举法，即对 X 的
每个子序列，检查它是否也是 Y 的子序列，从而确定它是否为 X 和 Y 的公共子序列，最后选出最长的公共子序列。但是若序列 X 的长度为 m，则 X 共有 2m 个不同子序列，m 的范围是 1000，会超时！
2 最长公共子序列
不用递归的情况下计算lcs(i, j). 不用递归的情况下计算 . 算法Lcs的时间复杂性显然是 的时间复杂性显然是O(nm) 算法 的时间复杂性显然是
int String::Lcs ( String y ) { int n = Length( ), m = y.Length( ); int lcs[MaxN][MaxM]; // MaxN和MaxM 是已定义的常数 int i, j; for ( i = 0; i <= n; i++) lcs[i][0] = 0; // 初始值 for ( j = 0; j <= m; j++) lcs[0][j] = 0; // 初始值 for ( i = 1; i <= n; i++) for ( j = 1; j <= m; j++) if ( str[i] ==y.str[j] ) lcs[i][j] = lcs[i-1][j-1] + 1; else lcs[i][j] = max(lcs[i-1][j], lcs[i][j-1]); return lcs[n][m]; }
穷举法
对于每一个X 的子序列,验证它是否是 验证它是否是Y 对于每一个 m的子序列 验证它是否是 n的子序 列. Xm有2m个子序列 每个子序列需要o(n)的时间来验证它是否是 n的 的时间来验证它是否是Y 每个子序列需要 的时间来验证它是否是 子序列. 子序列 的第一个字母开始扫描下去,如果不是则从 从Yn的第一个字母开始扫描下去 如果不是则从 第二个开始 运行时间: 运行时间 o(n2m)
作业
String String::Lcs ( String x, String y );
最长公共子序列
动态规划精选文库一、问题描绘用动向规划法求两个字符串A=‘ xzyzzyx ’和 B=‘ zxyyzxz ’的最长公共子序列二、算法剖析(1)、若 xm=yn, zk=xm=yn，且 Zk-1 是 Xm-1和 Yn-1 的最公共自序列；(2)、若 xm≠yn, 且 zk≠xm， Zk 是 Xm-1和 Yn的最公共自序列；(3)、若xm≠yn, 且zk≠yn，Zk 是Xm和Yn-1 的最公共自序列；L(m,n) 表示序列 X={x1,x2, ⋯,xm} 和 Y={y1,y2, ⋯,yn} 的最公共子序列的度L表示已决议的度S表示每个决议的状L(0,0)=L(0,j)=0 1≤i ≤m,1 ≤j ≤nL(i-1,j-1)+1xi=yi,i≥1,j≥1L(i,j)=max{L(i,j-1),(L(i-1,j)} xi≠yi,i ≥1,j≥11xi=yiS(i,j)= 2xi≠yi且L(i,j-1)≥L(i-1,j)精选文库3xi≠yi且L(i,j-1)< L(i-1,j)x z y z z y x00000000z00111111x01111222y01122222y01122333z01122334x01123334z01223344长度矩阵 L三、源代码#include <iostream>#include <string>using namespace std;int main(){string str1 = "xzyzzyx";string str2 = "zxyyzxz";精选文库int x_len = str1.length();int y_len = str2.length();int arr[50][50] ={{0,0}};int i = 0;int j = 0;for(i = 1; i <= x_len; i++){for(j = 1; j <= y_len; j++){if(str1[i - 1] == str2[j - 1]){arr[i][j] = arr[i - 1][j - 1] + 1;}else if(arr[i][j - 1] >= arr[i - 1][j])arr[i][j] = arr[i][j - 1];elsearr[i][j] = arr[i -1][j];}}精选文库for(i = 0 ; i <= x_len; i++){for( j = 0; j <= y_len; j++){cout << arr[i][j] << " ";}cout << endl;}for(i = x_len, j = y_len; i >= 1 && j >= 1;){if(str1[i - 1] == str2[j - 1]){cout << str1[i - 1] << " ";i--;j--;}else if(arr[i][j -1] > arr[i - 1][j])j--;elsei--;}cout << endl;精选文库return 0;}。
什么是最长公共子序列？
什么是最长公共子序列？
什么是最长公共子序列（LCS）？
最长公共子序列是指在两个序列中找到的最长的公共子序列，该子序列不需要在原序列中是连续的，但在两个序列中的顺序保持一致。
为了更好地理解最长公共子序列，我们可以通过一个具体的例子来说明。
假设我们有两个序列：ABCBDAB 和 BDCABA。
我们的目标是找到这两个序列的最长公共子序列。
首先，我们可以使用动态规划的方法来解决这个问题。
我们可以创建一个二维数组来存储两个序列之间的最长公共子序列的长度。
数组的行和列分别表示两个序列，数组中的每个元素表示对应位置的最长公共子序列的长度。
接下来，我们可以使用以下递推公式来填充数组：
如果两个序列的当前元素相等，则最长公共子序列的长度为前一个元素的最长公共子序列长度加1。
如果两个序列的当前元素不相等，则最长公共子序列的长度为前一个元素的最长公共子序列长度的最大值。
通过填充数组，我们可以得到最长公共子序列的长度。
然后，我们可以根据填充数组的过程来找到最长公共子序列。
最后，我们可以得到最长公共子序列为BCAB，长度为4。
总结起来，最长公共子序列是指在两个序列中找到的最长的公共子序列，不需要在原序列中是连续的，但在两个序列中的顺序保持一致。
我们可以使用动态规划的方法来解决这个问题，通过填充数组来得到最长公共子序列的长度，并根据填充数组的过程来找到最长公共子序列。
最长公共子序列
问题解决方案
由于应用了滚动数组，那么空间开销就 能够从5001*5001压缩到 2*5001 ！！！
POJ 1159
#include<iostream> using namespace std; int max(int a,int b){ return a>b?a:b; } int main(int i,int j){ int n; while(cin>>n) { char* s1=new char[n+1]; char* s2=new char[n+1]; //s1的逆序列 int **dp=new int*[n+1]; //定义二维动态滚动数组 dp[0]=new int[n+1]; dp[1]=new int[n+1]; dp[0][0]=dp[1][0]=0;
分析
怎样求最少字符数？ 先求原序列S的逆序列为S' 则最少需要补充的字符数 = 原序列S的长 度 — S和S'的最长公共子串长度
问题解决方案
几种不同的申请空间方法的区别： 1. 静态数组 开销大小为5001*5001的int是铁定超的. 2. 动态数组 单纯的申请动态数组是不能解决这个问题 的，动态数组只能增加空间利用率，但是本题最恶劣 的数组大小还是5001*5001，动态数组是不能改变这个 事实的 3. 滚动数组 这里重点讲一下滚动数组在这个题目中的 应用.滚动数组的目的就是减少空间开销.首先可以在纸 上简单模拟一下DP的转移过程.确定好最少行数或者列 数之后,重点就是在如何进行"滚动"以及如何用表达式 控制这个滚动.对于本题,可以用行数以0--1--0--1的滚动 方式，滚动表达式为i%2和(i-1)%2 ，没错，就是强大 的求余滚动
算法系列之六：最长公共子序列(LCS)问题(连续子序列)的三种解法
算法系列之六：最长公共子序列（LCS）问题（连续子序列）的三种解法最长公共子序列（LCS）问题有两种方式定义子序列，一种是子序列不要求不连续，一种是子序列必须连续。
上一章介绍了用两种算法解决子序列不要求连续的最终公共子序列问题，本章将介绍要求子序列必须是连续的情况下如何用算法解决最长公共子序列问题。
仍以上一章的两个字符串“abcdea”和“aebcda”为例，如果子序列不要求连续，其最长公共子序列为“abcda”，如果子序列要求是连续，则其最长公共子序列应为“bcd”。
在这种情况下，有可能两个字符串出现多个长度相同的公共子串，比如“askdfiryetd”和“trkdffirey”两个字符串就存在两个长度为3的公共子串，分别是“kdf”和“fir”，因此问题的性质发生了变化，需要找出两个字符串所有可能存在公共子串的情况，然后取最长的一个，如果有多个最长的公共子串，只取其中一个即可。
字符串“abcdea”和“aebcda”如果都以最左端的a字符对齐，则能够匹配的最长公共子串就是“a”。
但是如果用第二个字符串的e字符对齐第一个字符串的a 字符，则能够匹配的最长公共子串就是“bcd”。
可见，从两个字符串的不同位置开始对齐匹配，可以得到不同的结果，因此，本文采用的算法就是穷举两个字符串所有可能的对齐方式，对每种对齐方式进行字符的逐个匹配，找出最长的匹配子串。
一、递归方法首先看看递归方法。
递归的方法比较简单，就是比较两个字符串的首字符是否相等，如果相等则将其添加到已知的公共子串结尾，然后对两个字符串去掉首字符后剩下的子串继续递归匹配。
如果两个字符串的首字符不相等，则用三种对齐策略分别计算可能的最长公共子串，然后取最长的一个与当前已知的最长公共子串比较，如果比当前已知的最长公共子串长就用计算出的最长公共子串代替当前已知的最长公共子串。
第一种策略是将第一个字符串的首字符删除，将剩下的子串与第二个字符串继续匹配；第二种策略是将第二个字符串的首字符删除，将剩下的子串与第一个字符串继续匹配；第三种策略是将两个字符串的首字符都删除，然后继续匹配两个字符串剩下的子串。
最长公共子序列
0-1背包问题
问题描述
0-1背包问题可描述为：n个物品和1个背包。对物品i，其价值为
vi，重量为wi，背包的容量为W。如何选取物品装入背包，使背 包中所装入的物品的总价值最大？ n 约束条件： （4-7） wi xi W i=1 x {0,1},(1 i n) i 目标函数： （4-8） n
B
D
C
A
B
A
0 0 0 0 0 0 0 0
A B C B D A B
0 0 1 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 2 2 2
0 0 1 2 2 2 2 2
0 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 2 2 2 3 3
0 1 2 2 3 3 3 4
0 1 2 2 3 3 4 4
从i=7，j=6处向前递推 ，找到X和Y的最长公共子序列为{B,C,B,A}
最长公共子序列问题
基本概念 （1）子序列
给定序列 X={x1, x2, …, xn}、Z={z1, z2, …, zk}，若 Z是X的子序列，当且仅当存在一个严格递增的下 标序列 {i1, i2, …, ik}，对j∈{1, 2, …, k}有zj=x。 （2）公共子序列 给定序列X和Y，序列Z是X的子序列，也是Y的子序 列，则称Z是X和Y的公共子序列。 （3）最长公共子序列 包含元素最多的公共子序列即为最长公共子序列。
实例构造
【例4-6】给定序列X={A, B, C, B, D, A, B}和Y={B, D, C, A, B, A}，求
它们的最长公共子序列。
（1）m=7，n=6，将停止条件填入数组c中，即
c[i][0]＝0，c[0][j]=0，其中0≤i≤m，0≤j≤n。 （2）当i=1时，X1={A}，最后一个字符为A；Yj的 规模从1逐步放大到6，其最后一个字符分别为B、 D、C、A、B、A； 依此类推，直到i=7。
最长公共子序列
一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。
最长公共子序列问题是给定两个序列X=｛x1,x2...xm}和Y={y1,y2...yn}，找出X和Y的最长公共子序列，用动态规划算法可有效的解些问题。
最长公共子序列的结构：设X = { x1 , ... , xm },Y = { y1 , ... , yn }及它们的最长子序列Z = { z1 , ... , zk }则1、若 xm = yn ，则 zk = xm = yn，且Z[k-1] 是 X[m-1] 和 Y[n-1] 的最长公共子序列2、若 xm != yn ，且 zk != xm , 则 Z 是 X[m-1] 和 Y 的最长公共子序列3、若 xm != yn , 且 zk != yn , 则 Z 是 Y[n-1] 和 X 的最长公共子序列子问题的递归结构：当 i = 0 , j = 0 时 , c[i][j] = 0当 i , j > 0 ; xi = yi 时 , c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1当 i , j > 0 ; xi != yi 时 , c[i][j] = max { c[i][j-1] , c[i-1][j] }由以上分析，先计算最优值，再构造最长公共子序列，C++源程序如下：#include <stdio.h>#include <string.h>#include"iostream"using namespace std;int length=0; //记录最长公共序列长度//计算最优值void lcs(string x,string y,int **b){int i,j;//获取字符串的长度int m = x.size();int n = y.size();//创建动太二维数组int **c;c = new int*[m+1];for(int i = 0;i < m+1;i++)c[i] = new int[n+1];//初始化数组for (i=1;i<=m;i++) c[i][0] = 0;for (i=1;i<=n;i++) c[0][i] = 0;c[0][0] = 0;//遍历记录最优值，并将标识存在数组b中for (i=1;i<=m;i++)for (j=1;j<=n;j++){if (x[i-1] == y[j-1]){ //xm = yn ，则 zk = xm = yn，且Z[k-1] 是 X[m-1] 和 Y[n-1] 的最长公共子序列c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;b[i][j] = 1;}else if (c[i-1][j] > c[i][j-1]){ //xm != yn ，且 zk != xm , 则 Z 是 X[m-1] 和 Y 的最长公共子序列c[i][j] = c[i-1][j];b[i][j] = 2;}else{ //xm != yn , 且 zk != yn , 则 Z 是 Y[n-1] 和 X 的最长公共子序列c[i][j] = c[i][j-1];b[i][j] = 3;}}//释放空间for(int i = 0;i < m+1;i++)delete c[i];delete c;}//构造最长公共子序列void show(int i,int j,string x,int **b){//递归中止条件if (i==0||j==0)return ;//从b[m][n]开始，用递归依其值在数组b中搜索if (b[i][j]==1){ //xi和yj的最长公共子序列是由x(i-1)和y(j-1)的最长公共子序列在尾部加上xi所得到的子序列show(i-1,j-1,x,b);length++;cout << x[i-1];}else if (b[i][j]==2){ //xi和yi的最长公共子序列与x(i-1)和yj的最长公共子序列相同show(i-1,j,x,b);}else{ //xi和yi的最长公共子序列与xi和y(j-1)的最长公共子序列相同show(i,j-1,x,b);}}int main(){string x;string y;int **b;cout << "输入第一个序列";cin >> x;cout << "输入第二个序列";cin >> y;int m = x.size();int n = y.size();//创建二维动态数组b = new int*[m+1];for(int i = 0;i < m+1;i++)b[i] = new int[n+1];//求解最优值lcs(x,y,b);//构造序列并打印cout << "最长公共序列:";show(m,n,x,b);cout << "\n长度:" << length << endl;//释放空间for(int i = 0;i < m+1;i++)delete b[i];delete b;system("pause");return 0;}。
最长公共子序列输出序列
最长公共子序列输出序列最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称LCS）是一种常见的字符串匹配问题，其解决方法可以应用于文本比对、DNA 序列比对等多个领域。
本文将介绍如何找到最长公共子序列，并输出这个序列。
首先，我们需要明确什么是子序列。
给定两个字符串A和B，如果存在一个新的字符串C，C中的字符在A和B中出现的相对顺序相同，但可以在A和B中的任意位置中间插入其他字符，那么C就是A和B的一个子序列。
接下来，我们来解决如何找到最长公共子序列的问题。
假设A和B 分别是长度为m和n的字符串。
我们可以使用动态规划的方法来求解。
首先，我们定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示A的前i个字符和B的前j个字符的最长公共子序列的长度。
数组dp的大小为(m+1)×(n+1)，多出的一行一列是为了处理边界情况。
接着，我们需要确定dp数组的初始值。
当i=0或j=0时，表示A或B的前0个字符，此时最长公共子序列的长度为0。
因此，我们可以将dp数组的第一行和第一列都初始化为0。
然后，我们开始填充dp数组的其他位置。
从dp[1][1]开始，我们依次遍历A和B的每个字符。
如果A[i-1]等于B[j-1]，则说明A的第i个字符和B的第j个字符相同，可以将这个字符加入最长公共子序列中，此时dp[i][j]的值应该是dp[i-1][j-1]+1。
如果A[i-1]不等于B[j-1]，则说明A的第i个字符和B的第j个字符不同，此时需要做一些处理。
由于dp[i][j]表示的是A的前i个字符和B的前j个字符的最长公共子序列的长度，所以我们需要考虑A的前(i-1)个字符和B的前j个字符以及A的前i个字符和B的前(j-1)个字符的情况。
因此，dp[i][j]的值应该是dp[i-1][j]和dp[i][j-1]的较大值。
最后，当我们填充完整个dp数组后，dp[m][n]就是A和B的最长公共子序列的长度。