2018年河南全省 含所有市 高考数学一模试卷 汇总 (2

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（８套）2018年河南全省含所有市高考数学一模试卷汇总
2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本题共12个小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}, B={y|y=3x﹣1, x∈R}, 则A∩B=（）A．（﹣1, +∞）B．[﹣2, +∞）C．[﹣1, 2] D．（﹣1, 2]
2．（5分）已知复数, 则在复平面内所对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1, x2∈（0, +∞）且x1≠x2, 都有；②对定义域内任意x, 都有f（x）=f（﹣x）, 则符合上述条件的函数是（）
A．f（x）=x2+|x|+1 B．C．f（x）=ln|x+1|D．f（x）=cosx
4．（5分）若, 则cosα﹣2sinα=（）
A．﹣1 B．1 C．D．﹣1或
5．（5分）已知等比数列{a n}中, a1=1, a3+a5=6, 则a5+a7=（）
A．12 B．10 C．D．
6．（5分）执行如图所示的程序框图, 若输入p=0.99, 则输出的n=（）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．（5分）如图所示是一个几何体的三视图, 则该几何体的体积是（）
A．4+2πB．C．4+πD．
8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P, 则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）
A．B．C．D．
9．（5分）已知{a n}为等差数列, S n为其前n项和, 若a3+7=2a5, 则S13=（）A．49 B．91 C．98 D．182
10．（5分）已知函数, 要得到g（x）=cosx的图象, 只需将函数y=f（x）的图象（）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向左平移个单位
11．（5分）已知F1, F2分别是椭圆的左、右焦点, P为椭圆上一点, 且（O为坐标原点）, 若, 则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
12．（5分）已知函数, （e为自然对数的底数）, 则函数
的零点个数为（）
A．8 B．6 C．4 D．3
二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分.
13．（5分）展开式中的常数项为．
14．（5分）已知向量=（2, 3）, =（x, y）, 且变量x, y满足, 则z=•
的最大值为．
15．（5分）已知AB为圆C：x2+y2﹣2y=0的直径, 点P为直线y=x﹣1上任意一点, 则|PA|2+|PB|2的最小值为．
16．（5分）在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球, 晃动此正方体, 则小球可以经过的空间的体积为．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第22, 23题为选考题, 考生根据要求作答. 17．（12分）已知在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且满足a+2acosB=c．
（Ⅰ）求证：B=2A；
（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形, 且c=2, 求a的取值范围．
18．（12分）某公司为了准确把握市场, 做好产品计划, 特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天, 统计发现每天的销售量x分布在[50, 100）内, 且销售
量x的分布频率．
（Ⅰ）求a的值并估计销售量的平均数；
（Ⅱ）若销售量大于等于70, 则称该日畅销, 其余为滞销．在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天, 再从这8天中随机抽取3天进行统计, 设这3天来自X 个组, 求随机变量X的分布列及数学期望（将频率视为概率）．
19．（12分）如图, 在空间直角坐标系O﹣xyz中, 正四面体（各条棱均相等的三棱锥）ABCD的顶点A, B, C分别在x轴, y轴, z轴上．
（Ⅰ）求证：CD∥平面OAB；
（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的余弦值．
20．（12分）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W, 区域W中动点P（x, y）到l1, l2的距离之积为1．
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）动直线l穿过区域W, 分别交直线l1, l2于A, B两点, 若直线l与轨迹C有且只有一个公共点, 求证：△OAB的面积恒为定值．
21．（12分）已知函数, g（x）=3elnx, 其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．
（Ⅱ）是否存在实数a, b, 使f（x）≥ax+b≥g（x）对任意x∈（0, +∞）恒成立？若存在, 试求出a, b的值；若不存在, 请说明理由．
（二）选考题：共10分.请考生在第22, 23题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】
22．（10分）设直线l的参数方程为, （t为参数）, 若以直角坐标系xOy
的原点O为极点, x轴的正半轴为极轴, 选择相同的长度单位建立极坐标系, 曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．
（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程, 并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A, B两点, 求|AB|．
【选修4-5：不等式选讲】
23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．
（Ⅰ）当时, 若对任意x∈R恒成立, 求m+n的最小值；
（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1, 2], 求实数a的取值范围．
2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12个小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}, B={y|y=3x﹣1, x∈R}, 则A∩B=（）A．（﹣1, +∞）B．[﹣2, +∞）C．[﹣1, 2] D．（﹣1, 2]
【解答】解：∵集合A={x|﹣2≤x≤2},
B={y|y=3x﹣1, x∈R}={y|y＞﹣1},
∴A∩B={x|﹣1＜x≤2}=（﹣1, 2]．
故选：D．
2．（5分）已知复数, 则在复平面内所对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：∵=,
∴,
则在复平面内所对应的点的坐标为（﹣, ﹣）, 位于第三象限角．
故选：C．
3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1, x2∈（0, +∞）且x1≠x2, 都有；②对定义域内任意x, 都有f（x）=f（﹣x）, 则符合上述条件的函数是（）
A．f（x）=x2+|x|+1 B．C．f（x）=ln|x+1|D．f（x）=cosx
【解答】解：由题意得：f（x）是偶函数, 在（0, +∞）递增,
对于A, f（﹣x）=f（x）, 是偶函数, 且x＞0时, f（x）=x2+x+1, f′（x）=2x+1＞0,
故f（x）在（0, +∞）递增, 符合题意；
对于B, 函数f（x）是奇函数, 不合题意；
对于C, 由x+1=0, 解得：x≠﹣1, 定义域不关于原点对称,
故函数f（x）不是偶函数, 不合题意；
对于D, 函数f（x）在（0, +∞）无单调性, 不合题意；
故选：A．
4．（5分）若, 则cosα﹣2sinα=（）
A．﹣1 B．1 C．D．﹣1或
【解答】解：若, 则1+cosα=3sinα, 又sin2α+cos2α=1,
∴sinα=, ∴cosα=3sinα﹣1=, ∴cosα﹣2sinα=﹣,
故选：C．
5．（5分）已知等比数列{a n}中, a1=1, a3+a5=6, 则a5+a7=（）
A．12 B．10 C．D．
【解答】解：∵, a1=1, a3+a5=6,
∴a3+a5=q2+q4=6,
得q4+q2﹣6=0,
即（q2﹣2）（q2+3）=0,
则q2=2,
则a5+a7=q4+q6=22+23=4+8=12,
故选：A
6．（5分）执行如图所示的程序框图, 若输入p=0.99, 则输出的n=（）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解答】解：模拟程序的运行, 可得程序框图的功能是计算S=+++…的值．由题意, S=+++…==1﹣≥0.99, 可得：2k≥100, 解得：k≥
7,
即当n=8时, S的值不满足条件, 退出循环．
故选：C．
7．（5分）如图所示是一个几何体的三视图, 则该几何体的体积是（）
A．4+2πB．C．4+πD．
【解答】解：由几何体的三视图得：
该几何体是一个长方体和一个半圆柱的组合体,
其中长方体的长为4, 宽为1, 高为1,
半圆柱的底面半径为r=1, 高为h=1, 如图,
∴该几何体的体积：
V=4×1×1+=4+．
故选：D．
8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P, 则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）
A．B．C．D．
【解答】解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：
边长AB=a,
=•a2•sin=a2；
其中正三角形ABC的面积S
三角形
满足到正三角形ABC的顶点A、B、C
的距离至少有一个小于1的平面区域,
如图中阴影部分所示, 其加起来是一个半径为的半圆,
=•π•=,
∴S
阴影
∴使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于的概率是：
P=1﹣=1﹣π．
故选：B．
9．（5分）已知{a n}为等差数列, S n为其前n项和, 若a3+7=2a5, 则S13=（）A．49 B．91 C．98 D．182
【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d, ∵a3+7=2a5,
∴a1+2d+7=2（a1+4d）, 化为：a1+6d=7=a7．
则S13==13a7=13×7=91．
故选：B．
10．（5分）已知函数, 要得到g（x）=cosx的图象, 只需将函数y=f（x）的图象（）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向左平移个单位
【解答】解：将函数y=f（x）=sin（x﹣）的图象向左平移个单位,
可得y=sin（x+﹣）=cosx的图象,
故选：D．
11．（5分）已知F1, F2分别是椭圆的左、右焦点, P为椭圆上一点, 且（O为坐标原点）, 若, 则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：如图, 取PF1的中点A, 连接OA,
∴2=+, =,
∴+=,
∵,
∴•=0,
∴⊥,
∵,
不妨设|PF2|=m, 则|PF1|=m,
∵|PF2|+|PF1|=2a=m+m,
∴m=a=2（﹣1）a,
∵|F1F2|=2c,
∴4c2=m2+2m2=3m2=3×4a2（3﹣2）,
∴=9﹣6=（﹣）2,
∴e=﹣,
故选：A
12．（5分）已知函数, （e为自然对数的底数）, 则函数
的零点个数为（）
A．8 B．6 C．4 D．3
【解答】解：令f（x）=t可得f（t）=t+1．
作出f（x）的函数图象如图所示：
设直线y=kx+1与y=e x相切, 切点为（x0, y0）, 则,
解得x0=0, k=1．
设直线y=kx+1与y=lnx相切, 切点为（x1, y1）, 则,
解得x1=e2, k=．
∴直线y=t+1与f（t）的图象有4个交点,
不妨设4个交点横坐标为t1, t2, t3, t4, 且t1＜t2＜t3＜t4,
由图象可知t1＜0, t2=0, 0＜t3＜1, t4=e2．
由f（x）的函数图象可知f（x）=t1无解, f（x）=t2有1解, f（x）=t3有3解, f（x）=t4有2解．
∴F（x）有6个零点．
故选：B．
二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分.
13．（5分）展开式中的常数项为．
【解答】解：二项式展开式的通项公式为
T r+1=•x6﹣r•=••,
令6﹣=0, 解得r=4；
∴展开式中的常数项为
•=．
故答案为：．
14．（5分）已知向量=（2, 3）, =（x, y）, 且变量x, y满足, 则z=•的最大值为．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图,
联立, 解得A（）,
∵=（2, 3）, =（x, y）,
∴z=•=2x+3y, 化为y=, 由图可知, 当直线y=过A时,
直线在y轴上的截距最大, z有最小值为．
故答案为：．
15．（5分）已知AB为圆C：x2+y2﹣2y=0的直径, 点P为直线y=x﹣1上任意一点, 则|PA|2+|PB|2的最小值为6．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣2y=0,
转化为：x2+（y﹣1）2=1,
则：圆心（0, 1）到直线y=x﹣1的距离d=,
由于AB为圆的直径,
则：点A到直线的最小距离为：．
点B到直线的距离为．
则：|PA|2+|PB|2==6,
故答案为：6
16．（5分）在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球, 晃动此正方体, 则小球可以经过的空间的体积为．
【解答】解：∵在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球, 晃动此正方体,
∴小球可以经过的空间的体积：
V==．
故答案为：．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第22, 23题为选考题, 考生根据要求作答. 17．（12分）已知在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且满足a+2acosB=c．
（Ⅰ）求证：B=2A；
（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形, 且c=2, 求a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）证明：根据题意, 在△ABC中, a+2acosB=c,
由正弦定理知sinA+2sinAcosB=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,
即sinA=cosAsinB﹣sinAcosB=sin（B﹣A）．
因为A, B∈（0, π）,
所以B﹣A∈（﹣π, π）, 且A+（B﹣A）=B∈（0, π）, 所以A+（B﹣A）≠π,
所以A=B﹣A, B=2A．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知, ．
由△ABC为锐角三角形得,
得, 则0＜cosB＜,
由a+2acosB=2得,
又由0＜cosB＜,
则．
18．（12分）某公司为了准确把握市场, 做好产品计划, 特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天, 统计发现每天的销售量x分布在[50, 100）内, 且销售
量x的分布频率．
（Ⅰ）求a的值并估计销售量的平均数；
（Ⅱ）若销售量大于等于70, 则称该日畅销, 其余为滞销．在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天, 再从这8天中随机抽取3天进行统计, 设这3天来自X 个组, 求随机变量X的分布列及数学期望（将频率视为概率）．
【解答】解：（Ⅰ）由题知, 解得5≤n≤9n, n可取5, 6, 7, 8, 9, 代入中,
得, a=0.15．
销售量在[50, 60）, [60, 70）, [70, 80）, [80, 90）, [90, 100）内的频率分别是0.1, 0.1, 0.2, 0.3, 0.3,
销售量的平均数为55×0.1+65×0.1+75×0.2+85×0.3+95×0.3=81．
（Ⅱ）销售量在[70, 80）, [80, 90）, [90, 100）内的频率之比为2：3：3,
所以各组抽取的天数分别为2, 3, 3．
X的所有可能值为1, 2, 3,
,
,
．
X的分布列为：
X123
P
数学期望．
19．（12分）如图, 在空间直角坐标系O﹣xyz中, 正四面体（各条棱均相等的三棱锥）ABCD的顶点A, B, C分别在x轴, y轴, z轴上．
（Ⅰ）求证：CD∥平面OAB；
（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：由AB=BC=CA, 可得OA=OB=OC．
设OA=a, 则, A（a, 0, 0）, B（0, a, 0）, C（0, 0, a）,
设D点的坐标为（x, y, z）, 则由,
可得（x﹣a）2+y2+z2=x2+（y﹣a）2+z2=x2+y2+（z﹣a）2=2a2,
解得x=y=z=a,
∴．
又平面OAB的一个法向量为,
∴,
∴CD∥平面OAB；
（Ⅱ）解：设F为AB的中点, 连接CF, DF,
则CF⊥AB, DF⊥AB, ∠CFD为二面角C﹣AB﹣D的平面角．
由（Ⅰ）知, 在△CFD中, , ,
则由余弦定理知,
即二面角C﹣AB﹣D的余弦值为．
20．（12分）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W, 区域W中动点P（x, y）到l1, l2的距离之积为1．
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）动直线l穿过区域W, 分别交直线l1, l2于A, B两点, 若直线l与轨迹C有且只有一个公共点, 求证：△OAB的面积恒为定值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得, |（x+y）（x﹣y）|=2．
因为点P在区域W内, 所以x+y与x﹣y同号, 得（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2=2,
即点P的轨迹C的方程为．
（Ⅱ）设直线l与x轴相交于点D, 当直线l的斜率不存在时, , , 得．
当直线l的斜率存在时, 设其方程为y=kx+m, 显然k≠0, 则,
把直线l的方程与C：x2﹣y2=2联立得（k2﹣1）x2﹣2kmx+m2+2=0,
由直线l与轨迹C有且只有一个公共点, 知△=4k2m2﹣4（k2﹣1）（m2+2）=0,
得m2=2（k2﹣1）＞0, 得k＞1或k＜﹣1．
设A（x1, y2）, B（x2, y2）, 由得, 同理, 得．
所以=．
综上, △OAB的面积恒为定值2．
21．（12分）已知函数, g（x）=3elnx, 其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．
（Ⅱ）是否存在实数a, b, 使f（x）≥ax+b≥g（x）对任意x∈（0, +∞）恒成立？若存在, 试求出a, b的值；若不存在, 请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意, 函数,
,
令f'（x）=0得．
当且x≠0时, f'（x）＜0；当时, f'（x）＞0．
所以f（x）在（﹣∞, 0）上单调递减, 在上单调递减, 在上
单调递增．
（Ⅱ）根据题意, 注意到f（e）=g（e）=3e, 则ae+b=3e, b=3e﹣ae①．
于是, ax+b≥g（x）即a（x﹣e）﹣3e（1﹣lnx）≥0,
则记h（x）=a（x﹣e）+3e（1﹣lnx）, ,
若a≤0, 则h'（x）＜0, 得h（x）在（0, +∞）上单调递减, 则当x＞e时, 有h （x）＜h（e）=0, 不合题意；
若a＞0, 易知h（x）在上单调递减, 在上单调递增,
得h（x）在（0, +∞）上的最小值．
记, 则, 得m（a）有最大值m（3）=0, 即m （a）≤m（3）=0,
又m（a）≥0, 故a=3, 代入①得b=0．
当a=3, b=0时, f（x）≥ax+b即⇔2x3﹣3ex2+e3≥0．
记φ（x）=2x3﹣3ex2+e3, 则φ'（x）=6x（x﹣e）, 得φ（x）在（0, +∞）上有最小值φ（e）=0, 即φ（x）≥0, 符合题意．
综上, 存在a=3, b=0, 使f（x）≥ax+b≥g（x）对任意x∈（0, +∞）恒成立．
（二）选考题：共10分.请考生在第22, 23题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】
22．（10分）设直线l的参数方程为, （t为参数）, 若以直角坐标系xOy
的原点O为极点, x轴的正半轴为极轴, 选择相同的长度单位建立极坐标系, 曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．
（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程, 并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A, B两点, 求|AB|．
【解答】解：（Ⅰ）由于ρsin2θ=4cosθ,
所以ρ2sin2θ=4ρcosθ, 即y2=4x,
因此曲线C表示顶点在原点, 焦点在x轴上的抛物线．
（Ⅱ）, 化为普通方程为y=2x﹣1,
代入y2=4x,
并整理得4x2﹣8x+1=0,
所以,
=,
=．
【选修4-5：不等式选讲】
23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．
（Ⅰ）当时, 若对任意x∈R恒成立, 求m+n的最小值；
（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1, 2], 求实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当时, ,
∴, ∴．∴,
∴, 当且仅当m=n时等号成立,
∵m, n＞0, 解得, 当且仅当m=n时等号成立,
故m+n的最小值为．
（Ⅱ）∵f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1, 2],
当x∈[﹣1, 2]时, 有x+1+a|2x﹣1|≥2﹣x,
∴a|2x﹣1|≥1﹣2x对x∈[﹣1, 2]恒成立,
当时, a（1﹣2x）≥1﹣2x, ∴a≥1；
当时, a（2x﹣1）≥1﹣2x, ∴a≥﹣1．
综上：a≥1．
故实数a的取值范围是[1, +∞）．
2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有
一项是符合题目要求的.
1．（5分）在复平面内, 复数所对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}, B={y|y=3x﹣1, x∈R}, 则A∩B=（）
A．（﹣1, +∞）B．[﹣2, +∞）C．[﹣1, 2] D．（﹣1, 2]
3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1, x2∈（0, +∞）且x1≠x2, 都有；
②对定义域内任意x, 都有f（x）=f（﹣x）, 则符合上述条件的函数是（）
A．f（x）=x2+|x|+1 B．C．f（x）=ln|x+1| D．f（x）=cosx
4．（5分）若, 则cosα﹣2sinα=（）
A．﹣1 B．1 C．D．﹣1或
5．（5分）已知等比数列{an}中, a1=1, a3+a5=6, 则a5+a7=（）
A．12 B．10 C．D．
6．（5分）执行如图所示的程序框图, 若输入p=0.8, 则输出的n=（）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（5分）如图所示是一个几何体的三视图, 则该几何体的体积是（）
A．4+2πB．C．4+πD．
8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P, 则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）
A．B． C．D．
9．（5分）已知{an}为等差数列, Sn为其前n项和, 若a3+7=2a5, 则S13=（）
A．49 B．91 C．98 D．182
10．（5分）已知函数, 要得到g（x）=cosx的图象, 只需将函数y=f（x）的图象（）
A．向右平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向左平移个单位
11．（5分）已知函数与g（x）=6x+a的图象有3个不同的交点, 则a的取值范围是（）
A． B． C． D．
12．（5分）已知F1, F2分别是椭圆的左、右焦点, P为椭圆上一点, 且（O为坐标原点）, 若, 则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分
13．（5分）命题“∀x∈R, 都有x2+|x|≥0”的否定是．
14．（5分）长、宽、高分别为1, 2, 3的长方体的顶点都在同一球面上, 则该球的表面积为．
15．（5分）已知向量=（2, 3）, =（x, y）, 且变量x, y满足, 则z=•的最大值为．
16．（5分）在平面直角坐标系xOy中, 点A（0, ﹣3）, 若圆C：（x﹣a）2+（y﹣a+2）2=1上存在一点M满足|MA|=2|MO|, 则实数a的取值范围是．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第22, 23题为选考题, 考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．（12分）已知在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且满足a+2acosB=c．（Ⅰ）求证：B=2A；
（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形, 且c=2, 求a的取值范围．
18．（12分）某公司为了准确把握市场, 做好产品计划, 特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天, 统计发现每天的销售量x分布在[50, 100]内, 且销售量x的分布频率
．
（Ⅰ）求a的值．
（Ⅱ）若销售量大于等于80, 则称该日畅销, 其余为滞销, 根据是否畅销从这50天中用分层抽样的方法随机抽取5天, 再从这5天中随机抽取2天, 求这2天中恰有1天是畅销日的概率（将频率视为概率）．
19．（12分）如图, 已知在四棱锥P﹣ABCD中, 平面PAD⊥平面ABCD, 且PA⊥PD, PA=PD, AD=4, BC∥AD, AB=BC=CD=2, E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求三棱锥E﹣PBC的体积．
20．（12分）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W, 区域W中动点P（x, y）到l1, l2的距离之积为1．
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）动直线l穿过区域W, 分别交直线l1, l2于A, B两点, 若直线l与轨迹C有且只有一个公共点, 求证：△OAB的面积恒为定值．
21．（12分）已知函数, g（x）=3elnx, 其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．
（Ⅱ）试判断曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在公共点并且在公共点处有公切线．若存在, 求出公切线l的方程；若不存在, 请说明理由．
（二）选考题：共10分.请考生在22, 23题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）设直线l的参数方程为, （t为参数）, 若以直角坐标系xOy的原点O为极点, x轴的正半轴为极轴, 选择相同的长度单位建立极坐标系, 曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．
（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程, 并指出曲线C是什么曲线；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A, B两点, 求|AB|．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．
（Ⅰ）当时, 若对任意x∈R恒成立, 求m+n的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1, 2], 求实数a的取值范围．
2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）在复平面内, 复数所对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：∵=,
∴复数所对应的点的坐标为（）, 位于第二象限．
故选：B．
2．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}, B={y|y=3x﹣1, x∈R}, 则A∩B=（）
A．（﹣1, +∞）B．[﹣2, +∞）C．[﹣1, 2] D．（﹣1, 2]
【解答】解：∵集合A={x|﹣2≤x≤2},
B={y|y=3x﹣1, x∈R}={y|y＞﹣1},
∴A∩B={x|﹣1＜x≤2}=（﹣1, 2]．
故选：D．
3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1, x2∈（0, +∞）且x1≠x2, 都有；
②对定义域内任意x, 都有f（x）=f（﹣x）, 则符合上述条件的函数是（）
A．f（x）=x2+|x|+1 B．C．f（x）=ln|x+1| D．f（x）=cosx
【解答】解：由题意得：f（x）是偶函数, 在（0, +∞）递增,
对于A, f（﹣x）=f（x）, 是偶函数, 且x＞0时, f（x）=x2+x+1, f′（x）=2x+1＞0,
故f（x）在（0, +∞）递增, 符合题意；
对于B, 函数f（x）是奇函数, 不合题意；
对于C, 由x+1=0, 解得：x≠﹣1, 定义域不关于原点对称,
故函数f（x）不是偶函数, 不合题意；
对于D, 函数f（x）在（0, +∞）无单调性, 不合题意；
故选：A．
4．（5分）若, 则cosα﹣2sinα=（）
A．﹣1 B．1 C．D．﹣1或
【解答】解：若, 则1+cosα=3sinα, 又sin2α+cos2α=1,
∴sinα=, ∴cosα=3sinα﹣1=, ∴cosα﹣2sinα=﹣,
故选：C．
5．（5分）已知等比数列{an}中, a1=1, a3+a5=6, 则a5+a7=（）
A．12 B．10 C．D．
【解答】解：∵, a1=1, a3+a5=6,
∴a3+a5=q2+q4=6,
得q4+q2﹣6=0,
即（q2﹣2）（q2+3）=0,
则q2=2,
则a5+a7=q4+q6=22+23=4+8=12,
故选：A
6．（5分）执行如图所示的程序框图, 若输入p=0.8, 则输出的n=（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：第一次运行n=1, s=0, 满足条件s＜0.8, s==0.5, n=2,
第二次运行n=2, s=0.5, 满足条件s＜0.8, s=+=0.75, n=3,
第三次运行n=3, s=0.75, 满足条件s＜0.8, s=0.75+=0.75+0.125=0.875, n=4, 此时s=0.875不满足条件s＜0.8输出, n=4,
故选：B．
7．（5分）如图所示是一个几何体的三视图, 则该几何体的体积是（）
A．4+2πB．C．4+πD．
【解答】解：由几何体的三视图得：
该几何体是一个长方体和一个半圆柱的组合体,
其中长方体的长为4, 宽为1, 高为1,
半圆柱的底面半径为r=1, 高为h=1, 如图,
∴该几何体的体积：
V=4×1×1+=4+．
故选：D．
8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P, 则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）
A．B． C．D．
【解答】解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：
边长AB=a,
其中正三角形ABC的面积S三角形=•a2•sin=a2；
满足到正三角形ABC的顶点A、B、C
的距离至少有一个小于1的平面区域,
如图中阴影部分所示, 其加起来是一个半径为的半圆,
∴S阴影=•π•=,
∴使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于的概率是：
P=1﹣=1﹣π．
故选：B．
9．（5分）已知{an}为等差数列, Sn为其前n项和, 若a3+7=2a5, 则S13=（）
A．49 B．91 C．98 D．182
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d, ∵a3+7=2a5,
∴a1+2d+7=2（a1+4d）, 化为：a1+6d=7=a7．
则S13==13a7=13×7=91．
故选：B．
10．（5分）已知函数, 要得到g（x）=cosx的图象, 只需将函数y=f（x）的图象（）
A．向右平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向左平移个单位
【解答】解：将函数y=f（x）=sin（x﹣）的图象向左平移个单位,
可得y=sin（x+﹣）=cosx的图象,
故选：D．
11．（5分）已知函数与g（x）=6x+a的图象有3个不同的交点, 则a的取值范围是（）
A． B． C． D．
【解答】解：函数与g（x）=6x+a的图象有3个不同的交点⇔方程a=有3个不同的实根,
即函数y=a, g（x）=的图象有3个不同的交点．
g′（x）=x2+x﹣6=（x+3）（x﹣2）
x∈（﹣∞, ﹣3）, （2, +∞）时, g（x）递增, x∈（﹣3, 2）递减,
函数g（x）图如下, 结合图象, 只需g（2）＜a＜g（﹣3）即可,
即﹣＜＜,
故选：B．
12．（5分）已知F1, F2分别是椭圆的左、右焦点, P为椭圆上一点, 且（O为坐标原点）, 若, 则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：如图, 取PF1的中点A, 连接OA,
∴2=+, =,
∴+=,
∵,
∴•=0,
∴⊥,
∵,
不妨设|PF2|=m, 则|PF1|=m,
∵|PF2|+|PF1|=2a=m+m,
∴m=a=2（﹣1）a,
∵|F1F2|=2c,
∴4c2=m2+2m2=3m2=3×4a2（3﹣2）,
∴=9﹣6=（﹣）2,
∴e=﹣,
故选：A
二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分
13．（5分）命题“∀x∈R, 都有x2+|x|≥0”的否定是∃x0∈R, 使得．
【解答】解：由全称命题的否定为特称命题, 可得
命题“∀x∈R, 都有x2+|x|≥0”的否定是
“∃x0∈R, 使得”．
故答案为：∃x0∈R, 使得．
14．（5分）长、宽、高分别为1, 2, 3的长方体的顶点都在同一球面上, 则该球的表面积为14π．
【解答】解：∵长、宽、高分别为1, 2, 3的长方体的顶点都在同一球面上,
∴球半径R==,
∴该球的表面积为S=4π×R2=4=14π．
故答案为：14π．
15．（5分）已知向量=（2, 3）, =（x, y）, 且变量x, y满足, 则z=•的最大值为．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图,
联立, 解得A（）,
∵=（2, 3）, =（x, y）,
∴z=•=2x+3y, 化为y=, 由图可知, 当直线y=过A时,
直线在y轴上的截距最大, z有最小值为．
故答案为：．
16．（5分）在平面直角坐标系xOy中, 点A（0, ﹣3）, 若圆C：（x﹣a）2+（y﹣a+2）2=1上存在一点M满足|MA|=2|MO|, 则实数a的取值范围是[0, 3]．
【解答】解：设点M（x, y）, 由|MA|=2|MO|,
得到：,
整理得：x2+y2﹣2y﹣3=0,
∴点M在圆心为D（0, 1）, 半径为2的圆上．
又点M在圆C上, ∴圆C与圆D有公共点,
∴1≤|CD|≤3,
∴1≤≤3,
解得0≤a≤3．
即实数a的取值范围是[0, 3]．
故答案为：[0, 3]．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第22, 23题为选考题, 考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17．（12分）已知在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且满足a+2acosB=c．（Ⅰ）求证：B=2A；
（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形, 且c=2, 求a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）证明：根据题意, 在△ABC中, a+2acosB=c,
由正弦定理知sinA+2sinAcosB=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,
即sinA=cosAsinB﹣sinAcosB=sin（B﹣A）．
因为A, B∈（0, π）,
所以B﹣A∈（﹣π, π）, 且A+（B﹣A）=B∈（0, π）, 所以A+（B﹣A）≠π,
所以A=B﹣A, B=2A．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知, ．
由△ABC为锐角三角形得,
得, 则0＜cosB＜,
由a+2acosB=2得,
又由0＜cosB＜,
则．
18．（12分）某公司为了准确把握市场, 做好产品计划, 特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天, 统计发现每天的销售量x分布在[50, 100]内, 且销售量x的分布频率
．
（Ⅰ）求a的值．
（Ⅱ）若销售量大于等于80, 则称该日畅销, 其余为滞销, 根据是否畅销从这50天中用分层抽样的方法随机抽取5天, 再从这5天中随机抽取2天, 求这2天中恰有1天是畅销日的概率（将频率视为概率）．
【解答】解：（Ⅰ）由题知, 解得5≤n≤9, n可取5, 6, 7, 8, 9,
代入中,
得,
解得a=0.15．
（Ⅱ）滞销日与畅销日的频率之比为（0.1+0.1+0.2）：（0.3+0.3）=2：3,
则抽取的5天中, 滞销日有2天, 记为a, b, 畅销日有3天, 记为C, D, E,
再从这5天中抽出2天, 基本事件有ab, aC, aD, aE, bC, bD, bE, CD, CE, DE, 共10个,
2天中恰有1天为畅销日的事件有aC, aD, aE, bC, bD, bE, 共6个,
则这2天中恰有1天是畅销日的概率为p=．
19．（12分）如图, 已知在四棱锥P﹣ABCD中, 平面PAD⊥平面ABCD, 且PA⊥PD, PA=PD, AD=4, BC∥AD, AB=BC=CD=2, E为PD的中点．
（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求三棱锥E﹣PBC的体积．
【解答】证明：（Ⅰ）取PA的中点F, 连接BF, EF．
在△PAD中, EF为中位线,
则, 又, 故,
则四边形BCEF为平行四边形, 得CE∥BF,
又BF⊂平面PAB, CE⊄平面PAB,
故CE∥平面PAB．
解：（Ⅱ）由E为PD的中点, 知点D到平面PBC的距离是点E到平面PBC的距离的两倍, 则．
由题意知, 四边形ABCD为等腰梯形, 且AB=BC=CD=2, AD=4, 其高为,
则．
取AD的中点O, 在等腰直角△PAD中, 有, PO⊥AD,
又平面PAD⊥平面ABCD, 故PO⊥平面ABCD,
则点P到平面ABCD的距离即为PO=2．
,
故三棱锥E﹣PBC的体积．
20．（12分）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W, 区域W中动点P（x, y）到l1, l2的距离之积为1．
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）动直线l穿过区域W, 分别交直线l1, l2于A, B两点, 若直线l与轨迹C有且只有一个公共点, 求证：△OAB的面积恒为定值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得, |（x+y）（x﹣y）|=2．
因为点P在区域W内, 所以x+y与x﹣y同号, 得（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2=2,
即点P的轨迹C的方程为．
（Ⅱ）设直线l与x轴相交于点D, 当直线l的斜率不存在时, , , 得
．
当直线l的斜率存在时, 设其方程为y=kx+m, 显然k≠0, 则,
把直线l的方程与C：x2﹣y2=2联立得（k2﹣1）x2﹣2kmx+m2+2=0,
由直线l与轨迹C有且只有一个公共点, 知△=4k2m2﹣4（k2﹣1）（m2+2）=0,
得m2=2（k2﹣1）＞0, 得k＞1或k＜﹣1．
设A（x1, y2）, B（x2, y2）, 由得, 同理, 得．
所以=．
综上, △OAB的面积恒为定值2．
21．（12分）已知函数, g（x）=3elnx, 其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．
（Ⅱ）试判断曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在公共点并且在公共点处有公切线．若存在, 求出公切线l的方程；若不存在, 请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）由, 得,
令f′（x）=0, 得．
当且x≠0时, f′（x）＜0；当时, f′（x）＞0．
∴f（x）在（﹣∞, 0）上单调递减, 在上单调递减, 在上单调递增；
（Ⅱ）假设曲线y=f（x）与y=g（x）存在公共点且在公共点处有公切线, 且切点横坐标为x0＞0,
则, 即, 其中（2）式即
．
记h（x）=4x3﹣3e2x﹣e3, x∈（0, +∞）, 则h'（x）=3（2x+e）（2x﹣e）,
得h（x）在上单调递减, 在上单调递增,
又h（0）=﹣e3, , h（e）=0,
故方程h（x0）=0在（0, +∞）上有唯一实数根x0=e, 经验证也满足（1）式．
于是, f（x0）=g（x0）=3e, f′（x0）=g'（x0）=3,
曲线y=g（x）与y=g（x）的公切线l的方程为y﹣3e=3（x﹣e）,
即y=3x．
（二）选考题：共10分.请考生在22, 23题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）设直线l的参数方程为, （t为参数）, 若以直角坐标系xOy的原点O为极点, x轴的正半轴为极轴, 选择相同的长度单位建立极坐标系, 曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．
（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程, 并指出曲线C是什么曲线；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A, B两点, 求|AB|．
【解答】解：（Ⅰ）由于ρsin2θ=4cosθ,
所以ρ2sin2θ=4ρcosθ, 即y2=4x,
因此曲线C表示顶点在原点, 焦点在x轴上的抛物线．
（Ⅱ）, 化为普通方程为y=2x﹣1,
代入y2=4x,
并整理得4x2﹣8x+1=0,
所以,
=,
=．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．
（Ⅰ）当时, 若对任意x∈R恒成立, 求m+n的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1, 2], 求实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当时, ,
∴, ∴．∴,
∴, 当且仅当m=n时等号成立,
∵m, n＞0, 解得, 当且仅当m=n时等号成立,
故m+n的最小值为．
（Ⅱ）∵f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1, 2],
当x∈[﹣1, 2]时, 有x+1+a|2x﹣1|≥2﹣x,
∴a|2x﹣1|≥1﹣2x对x∈[﹣1, 2]恒成立,
当时, a（1﹣2x）≥1﹣2x, ∴a≥1；
当时, a（2x﹣1）≥1﹣2x, ∴a≥﹣1．
综上：a≥1．
故实数a的取值范围是[1, +∞）．
2018年河南省高考数学一诊试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知a∈R, 复数z=, 若=z, 则a=（）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
2．（5分）已知集合M={x|≤0}, N={x|y=log3（﹣6x2+11x﹣4）}, 则M∩N=（）
A．[1, ] B．（, 3] C．（1, ）D．（, 2）
3．（5分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据, 绘制了下面的折线图．
已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系, 则根据该折线图, 下列结论错误的是（）
A．最低气温与最高气温为正相关
B．10月的最高气温不低于5月的最高气温
C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月
D．最低气温低于0℃的月份有4个
4．（5分）在等比数列{an}中, 若a2=, a3=, 则=（）
A．B．C．D．2
5．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著, 书中有如下问题：“今有阳马, 广五尺, 褒七尺, 高八尺, 问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形, 一侧棱垂直于底面的四棱锥, 它的底面长, 宽分别为7尺和5尺, 高为8尺, 问它的体积是多少？”若以上条件不变,。