高中数学必修四巩固练习_提高
高中数学必修四(人教B版)练习：第三章 三角恒等变换3.1.1 Word版含解析
第三章 3.1 3.1.1一、选择题1．cos75°cos15°－sin435°sin15°的值是( ) A ．0 B ．12C ．32D ．－12[答案] A[解析] cos75°cos15°－sin435°sin15° ＝cos75°cos15°－sin(360°＋75°)sin15° ＝cos75cos15°－sin75°sin15° ＝cos(75°＋15°)＝cos90°＝0.2．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形[答案] D[解析] ∵sin A sin B <cos A cos B ， ∴cos A cos B －sin A sin B >0， ∴cos(A ＋B )>0，∵A 、B 、C 为三角形的内角， ∴A ＋B 为锐角， ∴C 为钝角．3．下列结论中，错误的是( )A ．存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βB ．不存在无穷多个α和β的值，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βC ．对于任意的α和β，有cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin βD ．不存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)≠cos αcos β－sin αsin β [答案] B[解析] 当α、β的终边都落在x 轴的正半轴上或都落在x 轴的负半轴上时，cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β成立，故选项B 是错误的．4．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A sin B ，y ＝cos A cos B ，则x 、y 的大小关系是( )A ．x ≥yB ．x ≤yC ．x >yD ．x <y[答案] C[解析] y －x ＝cos(A ＋B )，在锐角三角形中π2<A ＋B <π，y －x <0，即x >y .5．化简sin(x ＋y )sin(x －y )＋cos(x ＋y )cos(x －y )的结果是( ) A ．sin2x B ．cos2y C ．－cos2x D ．－cos2y [答案] B[解析] 原式＝cos[(x ＋y )－(x －y )]＝cos2y .6．△ABC 中，cos A ＝35，且cos B ＝513，则cos C 等于( )A ．－3365B ．3365C ．－6365D ．6365[答案] B[解析] 由cos A >0，cos B >0知A 、B 都是锐角， ∴sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，sin B ＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213，∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－(cos A cos B －sin A sin B ) ＝－⎝⎛⎭⎫35×513－45×1213＝3365. 二、填空题7．若cos α＝15，α∈(0，π2)，则cos(α＋π3)＝________.[答案]1－6210[解析] ∵cos α＝15，α∈(0，π2)，∴sin α＝265.∴cos(α＋π3)＝cos αcos π3－sin αsin π3＝15×12－265×32＝1－6210.8．已知cos(π3－α)＝18，则cos α＋3sin α的值为________．[答案] 14[解析] cos(π3－α)＝cos π3cos α＋sin π3sin α＝12cos α＋32sin α ＝12(cos α＋3sin α)＝18， ∴cos α＋3sin α＝14.三、解答题 9．已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α、β∈(0，π2)． 求：cos(2α－β)的值． [解析] ∵α、β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，∴sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010，∴cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)] ＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝55×31010－255×1010＝210. 10. 已知sin α＋sin β＝310，cos α＋cos β＝9110，求cos(α－β)的值．[解析] 将sin α＋sin β＝310，两边平方得，sin 2α＋2sin αsin β＋sin 2β＝9100①，将cos α＋cos β＝9110两边平方得，cos 2α＋2cos αcos β＋cos 2β＝91100②，①＋②得2＋2cos(α－β)＝1， ∴cos(α－β)＝－12.一、选择题 1.cos47°＋sin17°sin30°cos17°的值为( )A ．－32B ．－12C ．12D ．32[答案] D [解析]cos47°＋sin17°sin30°cos17°＝cos (30°＋17°)＋sin17°sin30°cos17°＝cos30°cos17°－sin30°sin17°＋sin17°sin30°cos17°＝cos30°＝32. 2．在△ABC 中，若tan A ·tan B >1，则△ABC 一定是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形[答案] C[解析] ∵sin A ·sin B >cos A ·cos B ， ∴cos A ·cos B －sin A ·sin B <0， 即cos(A ＋B )<0，∵A 、B 、C 为三角形的内角， ∴A ＋B 为钝角，∴C 为锐角． 又∵tan A ·tan B >1， ∴tan A >0，tan B >0，∴A 、B 均为锐角，故△ABC 为锐角三角形．3．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x 、y 的大小关系为( )A ．x ≤yB ．x >yC ．x <yD ．x ≥y[答案] B[解析] y －x ＝cos A cos B －sin A sin B ＝cos(A ＋B )， ∵△ABC 为锐角三角形， ∴C 为锐角，∵A ＋B ＝π－C ， ∴A ＋B 为钝角， ∴cos(A ＋B )<0，∴y <x .4．函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．[－32，32] [答案] B[解析] f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝32sin x －32cos x ＝3(32sin x －12cos x ) ＝3sin(x －π6)∈[－3，3]．二、填空题 5．形如⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 的式子叫做行列式，其运算法则为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，则行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π3 sin π6sin π3 cos π6的值是________． [答案] 0[解析] ⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π3 sin π6sin π3cos π6＝cos π3cos π6－sin π3sin π6＝cos(π3＋π6)＝cos π2＝0.6．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，则tan α·tan β＝________.[答案] －14[解析] ∵cos(α＋β)＝13，∴cos αcos β－sin αsin β＝13，①∵cos(α－β)＝15，∴cos αcos β＋sin αsin β＝15，②由①②得⎩⎨⎧sin αsin β＝－115cos αcos β＝415，∴tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－14.三、解答题7．已知cos(α－30°)＝1517，30°<α<90°，求cos α的值．[解析] ∵30°<α<90°， ∴0°<α－30°<60°. ∵cos(α－30°)＝1517，∴sin(α－30°)＝1－cos 2(α－30°)＝817，∴cos α＝cos[(α－30°)＋30°]＝cos(α－30°)cos30°－sin(α－30°)sin30°＝1517×32－817×12＝153－834.8．已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，若向量a 与b 的夹角为60°，求cos(α－β)的值．[解析] ∵a·b ＝6cos αcos β＋6sin αsin β＝6cos(α－β)， ∴|a |＝2，|b |＝3， 又∵a 与b 的夹角为60°，∴cos60°＝a·b |a|·|b|＝6cos (α－β)2×3＝cos(α－β)，∴cos(α－β)＝12.9. 已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋π6)(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α、β∈[0，π2]，f (5α＋5π3)＝－65，f (5β－5π6)＝1617，求cos(α＋β)的值．[解析] (1)∵T ＝10π＝2πω，∴ω＝15.(2)由(1)得f (x )＝2cos(15x ＋π6)，∵－65＝f (5α＋5π3)＝2cos[15(5α＋5π3)＋π6]＝2cos(α＋π2)＝－2sin α，∴sin α＝35，cos α＝45.∵1617＝f (5β－5π6)＝2cos[15(5β－5π6)＋π6]＝2cos β， ∴cos β＝817，sin β＝1517.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.。
高中数学必修四学案及答案(人教B版)
2014级必修四 编号：4001 课题：角的概念的推广编制人：李敏 审核人：王国燕 编制日期 ： 班级 姓名一、学习目标：1. 会判断角的大小；2. 能够会用集合表示终边相同的角；3. 会用集合表示表示象限角区间角以及终边在坐标轴上的角.二、自主学习1、回忆初中所学的角是如何定义？角的范围？初中所研究的角的范围为 .2、举例实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？①体操比赛中术语：“转体720o ”（即转体 周），“转体1080o ”（即转体 周）； ②时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？（ 时针旋转 度） 如果慢了5分钟，又该如何校正？（ 时针旋转 度）3、在实际生活中有些角显然超出了我们已有的认识范围. 如何重新给出角的定义？研究这些角的分类及记法？4、如何将角放入坐标系中讨论？角的顶点与 重合，角的 与x 轴的非负半轴重合. 象限角的定义： 5、终边相同的角与60°终边相同的角有 , , …都可以用代数式表示为 . 与α终边相同的角如何表示？ 6、终边在以下象限中的角如何表示?第一象限角：第二象限角：第三象限角:第四象限角三．尝试练习1、基础过关(1)（A ）下列命题是真命题的有 .（填序号）①三角形的内角必是第一二象限角 ②始边相同而终边不同的角一定不相等 ③第四象限角一定是负角④钝角比第三象限角小(2)用集合表示下列各角：“第一象限角”、“锐角”、“小于90o 的角”、“0o ~90o 的角”2、难点突破(A) (1)写出与下列各角终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α写出来.－15° 124°30′(A) (2)求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：210-； 731484'- ．(B) (3)若α是第二象限的角，试分别确定2α，2α，3α的终边所在位置.(B) (4)如果α是第三象限的角，那么—α，2α的终边落在何处？四．巩固提高(A)1、下列角中终边与330°相同的角是（ ）A ．30°B ．-30°C ．630°D ．-630° (A)2、－1120°角所在象限是 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(B)3、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=CC ．A ⊂CD ．A=B=C(B)4、已知角2α的终边在x 轴的上方，那么α是 （ ）A ．第一象限角B ．第一、二象限角C ．第一、三象限角D ．第一、四象限角(B)5、若α是第四象限的角，则α-180是 ．A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角(C)6、设集合{}Z k k x k x A ∈+⋅<<+⋅=,30036060360|,{}Z k k x k x B ∈⋅<<-⋅=,360210360| , 求B A ,B A .2014级必修四编号：4001 课题：角的概念的推广编制人：李敏审核人：王国燕编制日期：班级姓名4001角的概念的推广答案二、自主学习1、0°≤α＜360°2、①2 3 ②逆30 顺304、原点始边5、-300°420°780°k·360°+60°k∈Z S={β|β=α+ k·360°，k∈Z }6、S={α|k·360°＜α＜90°+k·360°，k∈Z}S={α|90°+k·360°＜α＜180°+k·360°，k∈Z }S={α|180°+k·360°＜α＜270°+k·360°，k∈Z }S={α|270°+k·360°＜α＜(k+1)·360°，k∈Z }三、尝试练习：1、（1）②（2）S1={α|k·360°＜α＜90°+k·360°} S2={α|0°＜α＜90°}S3={α|α＜90°} S4={α|0°≤α＜90°}2、（1）S={α|α=-15°+ k·360°，k∈Z} S={α|α=124°30′+ k·360°，k∈Z}当k=0时，α=-15°当k=-1时，α=-235°30′当k=1时，α=345°当k=0时，α=124°30′当k=2时，α=705°当k=1时，α=484°30′（2）S={α|α=-210°+k·360°，k∈Z} S={α|α=-1484°37′+ k·360°，k∈Z}当k=1时，S=150°={α|α=-44°37′+k·360°，k∈Z}当k=0时，S=-210°当k=1时，α=315°23′当k=0时，α=-44°37′（3）解：∵α是第三象限的角∴180°+k·360°＜α＜270°+k·360°，k∈Z∴-270°+k·360°＜-α＜-180°+k·360°∴-α终边落在第二象限同理2α落在x轴上方四、1、B2、D3、B4、C5、C6、解：∵B={x|k·360°-210°＜x＜k·360°，k∈Z}={x|k·360°+150°＜x＜(k+1)360°，k∈Z}∴A B={x|k·360°+150°＜x＜k·360°+300°，k∈Z}A B={k·360°+60°＜x＜(k+1)·360°，k∈Z}2014级必修四 编号：4002 课题：弧度制和弧度制与角度制的换算编制人：李敏 审核人：王国燕 编制日期 ： 班级 姓名1.掌握角的不同度量制度，能对弧度和角度进行正确的变换．2.掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式二、自主学习1、初中几何研究过的角的度量，当时是用度来做度量单位度量角的，那么1度角是如何定义的？它的大小和圆的大小是否有关？2、用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在角度制下如何计算扇形弧长和面积，其公式是什么？3、根据角度制的定义阅读课本，说一说弧度制的定义是什么?1弧度的角是多大的角？弧度的单位符号是什么？4、扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，其圆心角α，分别求出当α是弧度角和角度角时，扇形的弧长和面积是多少？三．尝试练习 1、基础过关(1)(2)ππ(3).（A ）把下列角度化成弧度 （1）22.5（2）210-（3）1200(4)（A ）把下列弧度化成度12π43π-310π 236π 7π62、难点突破(B)（1）已知扇形AOB 扇形半径为2，圆心角为120°，用弧度制求弧长，面积。
高中数学必修4(人教B版)第三章三角恒等变换3.1知识点总结含同步练习题及答案
tan 60∘ − tan 15∘ 1 + tan 60∘ ⋅ tan 15∘ = tan(60∘ − 15∘ ) = tan 45∘ = 1.
（2）根据tan α + tan β = tan(α + β)(1 − tan α tan β) ，则有 原式 = tan 120 ∘ (1 − tan 55∘ tan 65∘ ) − √3 tan 55∘ tan 65∘
π )，向左平移 m 个单位后，得到的函数为 3 π π π y = 2 sin (x + + m)，若所得到的图像关于 y 轴对称，则 + m = + kπ, k ∈ Z ，所以 3 3 2 π π m = + kπ ，k ∈ Z．取 k = 0 时，m = ． 6 6
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和差角公式 辅助角公式
三、知识讲解
1.和差角公式 描述： 两角差的余弦公式 对于任意角α，β 有cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β，称为差角的余弦公式，简记C(α−β) ． 两角和的余弦公式 对于任意角α，β 有cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β，称为和角的余弦公式，简记C(α＋β) ． 两角和的正弦公式 对于任意角α，β 有sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β，称为和角的正弦公式，简记S (α＋β) ． 两角差的正弦公式 对于任意角α，β 有sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β，称为差角的正弦公式，简记S (α−β) ． 两角和的正切公式 对于任意角α，β 有tan(α + β) = 两角差的正切公式 对于任意角α，β 有tan(α − β) =
新教材人教B版高中数学选择性必修第四册课时练习-旋转体
课时练习(十三) 旋转体(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列几何体中是旋转体的是 ( )①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A ．①和⑤B ．①C ．③和④D ．①和④D [根据旋转体的概念可知，①和④是旋转体．]2．下面几何体的轴截面(过旋转轴的截面)是圆面的是( )A ．圆柱B ．圆锥C ．球D ．圆台C [圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，只有球的轴截面是圆面．]3．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积之比为( )A ．1＋2π2πB ．1＋4π4πC ．1＋2ππD ．1＋4π2πA [设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则有h ＝2πr ，所以表面积与侧面积的比为2π(r 2＋rh )∶2πrh ＝(r ＋h )∶h ＝(2π＋1)∶2π.]4．圆台OO ′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台OO ′的侧面积是( )A ．54πB ．8πC ．4πD ．16πA [S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ＝π(7＋2)×6＝54π.]5．长方体的体对角线长为52，若长方体的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )A ．202πB ．252πC ．50πD ．200πC [∵对角线长为52，∴2R ＝52，S ＝4πR 2＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫5222＝50π.] 二、填空题6．若一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方形，则这个圆柱的表面积是________． 2π＋4π2 [由题意可知，2πr ＝h ＝2π，则r ＝1，所以圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πrh ＝2π＋4π2.]7．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________．2∶1 [S 圆柱＝2·π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋2π·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2·a ＝32πa 2， S 圆锥＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋π·a 2·a ＝34πa 2，∴S 圆柱∶S 圆锥＝2∶1.] 8．如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________．100π [设圆台的上底半径为r ，则下底半径为4r ，高为4r .由母线长为10可知10＝(3r )2＋(4r )2＝5r ，∴r ＝2.故圆台的上、下底面半径和高分别为2,8,8.所以圆台的侧面积为π(2＋8)×10＝100π.]三、解答题9.如图所示，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD <BC ．当梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成一个几何体，试描述该几何体的结构特征．[解] 如图所示，旋转所得的几何体是由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的几何体．10．已知一个表面积为120 cm 2的正方体的四个顶点在半球的球面上，四个顶点在半球的底面上，求半球的表面积．[解] 如图所示为过正方体对角面的截面图．设正方体的棱长为a ，半球的半径为R ，由6a 2＝120，得a 2＝20，在Rt △AOB 中，AB ＝a ，OB ＝22a ， 由勾股定理，得R 2＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＝3a 22＝30. 所以半球的表面积为S ＝2πR 2＋πR 2＝3πR 2＝3×30π＝90π(cm 2)．11．(多选题)下列命题中正确的是( )A ．过球面上任意两点只能作球的一个大圆B ．球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径C ．用不过球心的平面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面D ．以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面叫做球面BCD [过球的直径的两端点可作无数个大圆，故A 错误；由球及球面的概念可知B 、C 、D 均正确．]12．我国古代数学名著中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺”(注：1丈等于10尺)( )A ．29尺B ．24尺C ．26尺D ．30尺C [由题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，其一条边(圆木的高)长24尺，与其相邻的边长5×2＝10(尺)，因此葛藤长＝242＋102＝26(尺)．]13．若棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为________．3π [因为棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，所以球的直径是正方体的体对角线，所以球的半径是r ＝32，所以球的表面积是4×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3π.] 14．(一题两空)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积为392，母线所在的直线与轴的夹角是45°，则这个圆台的高为________，母线长为________．14 142 [圆台的轴截面如图所示，由题意可设圆台上、下底面半径分别为x,3x ，延长AA 1交OO 1的延长线于点S .在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，∠SOA ＝90°，∴SO ＝AO ＝3x ，SO 1＝A 1O 1＝x ，∴OO 1＝2x ，∴S 轴截面＝12(6x ＋2x )·2x ＝392，∴x ＝7.故圆台的高OO 1＝14，母线长A 1A ＝2OO 1＝14 2.]15．如图所示，用一个平行于圆锥SO 底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的底面半径为3 cm ，圆锥SO 的高为24 cm.(1)试求圆台的母线长l ；(2)若该圆锥中有一内接正方体，试求正方体的棱长．[解] (1)设圆台的母线长为l ，由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r .过轴SO 作截面，如图所示．则△SO′A′∽△SOA，O′A′＝3，∴O′A′OA＝14，∴OA＝12 cm.又SO＝24 cm，∴SA＝122＋242＝125cm.AA′＝34SA＝9 5 cm，即圆台的母线长为95cm.(2)如图，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为x，则OC＝22x，∴22x12＝24－x24，解得x＝24(2－1)，∴正方体的棱长为24(2－1)cm.。
数学导学练人教B版全国通用必修四练习：第二章 平面向量2.3.2 Word版含答案(1)
2.1.3 向量的减法
1.掌握向量减法的运算，并理解其几何意义.(重点) 2.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义.(难点) 3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算.(易混点)
[基础·初探] 教材整理 1 向量的减法 阅读教材 P84 倒数“第 7 行”以上内容，完成下列问题.
【导学号：72010046】
①若|a|＋|b|＝|a＋b|，则 a 与 b 方向相同；
②若|a|＋|b|＝|a－b|，则 a 与 b 方向相反；
③若|a|＋|b|＝|a－b|，则 a 与 b 有相等的模；
④若||a|－|b||＝|a－b|，则 a 与 b 方向相同.
【解析】 当 a，b 方向相同时有|a|＋|b|＝|a＋b|，||a|－|b||＝|a－b|，当 a，b 方
“＋”，只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可，如“－AB”改为“BA”.
[再练一题]
→→→ 2.如图 2121，在五边形 ABCDE 中，若四边形 ACDE 是平行四边形，且AB＝a，AC＝b，AE
→→→→→ ＝c，试用 a，b，c 表示向量BD，BC，BE，CD及CE.
图 2121
【解】 ∵四边形 ACDE 为平行四边形，
→→→ 所以||AB|－|AD||<|AC|
→→ → → ＝|AB＋AD|<|AB|＋|AD|，
→ 即 0<|AC|<4.
→ 【答案】 (1)D (2)①0 ②AB (3)2 (0,4)
1.向量加法与减法的几何意义的联系：
高中数学必修四
→→
→
→
(1)如图所示，平行四边形 ABCD 中，若AB＝a，AD＝b，则AC＝a＋b，DB＝a－b.
2020年高中数学必修4 诱导公式与y=Asin(wx+φ)图象与性质 培优练习题(含答案解析)
2020年高中数学必修4培优练习题 诱导公式与y=Asin(wx+φ)图象与性质一、选择题1.错误!未找到引用源。
等于（ ）A.sin2－cos2B.cos2－sin2C.±(sin2－cos2)D.sin2+cos22.已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3=0垂直，则错误!未找到引用源。
的值为( )A.0.8B.－0.8C.2D.-0.53.已知f(x)=asin(πx ＋α)＋bcos(πx ＋β)＋4，若f(2 016)=5，则f(2 017)的值是( ) A.2 B.3 C.4 D.54.当θ为第二象限角，且sin(错误!未找到引用源。
)=错误!未找到引用源。
时，错误!未找到引用源。
的值是( )A.1B.-1C.±1D.05.已知2sin α－cos α=0，则sin 2α－2sin αcos α的值为( )A ．－35B ．－125 C.35 D.1256.已知sin α＋3cos α3cos α－sin α=5，则cos 2α＋12sin 2α的值是( )A.35 B ．－35 C ．－3 D ．37.已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x 的方程2x 2＋(3－1)x ＋m=0(m ∈R)的两根，则sin θ－cos θ=( ) A.1－32 B.1＋32 C. 3 D ．－ 38.函数y=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z )9.设a 为常数，且，则函数的最大值为（ ）A.2a-1B.2a+1C.-2a-1D.a 210.若函数错误!未找到引用源。
(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为错误!未找到引用源。
新教材人教B版高中数学选择性必修第四册课时练习-得到不可达两点之间的距离
课时练习(三) 正弦定理与余弦定理的应用数学探究活动：得到不可达两点之间的距离(建议用时：40分钟)一、选择题1．海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C之间的距离为()A．2 6 n mile B．3 6 n mileC．5 6 n mile D．6 6 n mileC[在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝75°，∴∠C＝45°.∵ABsin C＝BCsin A，∴BC＝AB·sin Asin C＝10×3222＝56(n mile)．]2．某人向正东方向走x km后向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 3 km，那么x的值是()A. 3 B．23C．23或 3 D．3C[如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝3，∠B＝30°.由余弦定理，得(3)2＝x2＋32－2×3×x×32，所以x2－33x＋6＝0，解得x＝3或x＝2 3.]3．一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这艘船的航行速度是()A．52海里/时B．5海里/时C．102海里/时D．10海里/时D[如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10海里，在直角三角形ABC中，可得AB＝5海里，于是这艘船的航行速度是10海里/时．]4．有一条与两岸平行的河流，水速为1 m/s，小船的速度为 2 m/s，为使所走路程最短，小船应朝什么方向行驶()A．与水速成45°B．与水速成135°C．垂直于对岸D．不能确定B[如图所示，AB是水速，AD为船速，AC是船的实际速度，且AC⊥AB，在Rt△ABC中，cos∠ABC＝ABBC＝ABAD＝22.∴∠ABC＝45°，∴∠DAB＝180°－45°＝135°.则小船的方向应与水速成135°行驶．]5．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200 3 m以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为()A．200 m B．300 mC．400 m D．100 3 mB[如图，△BED，△BDC为等腰三角形，BD＝ED＝600(m)，BC＝DC＝2003 (m)．在△BCD中，由余弦定理可得cos 2θ＝6002＋(2003)2－(2003)22×600×2003＝32，∵0°＜2θ＜90°，∴2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·sin 4θ＝2003×32＝300(m)，故选B.]二、填空题6．如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为________．(30＋303)m[由正弦定理得60sin(45°－30°)＝PBsin 30°，∴PB＝30sin 15°，∴树的高度h＝PB sin 45°＝(30＋303)(m)．]7．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C.测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B 两点的距离为________m.502[由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理，得ACsin∠ABC＝ABsin∠ACB，∴AB＝AC·sin∠ACBsin∠ABC＝50×2212＝502(m)．]8．如图，某交警队为了了解山底一段水平公路上行驶车辆的车速情况，现派交警进行测量．交警小明在山顶A处观测到一辆汽车在这段水平公路上沿直线匀速行驶，交警小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°，若山高AD＝100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度为________m/s.50107[分析知∠ABD＝30°，∠ACD＝45°，∴在△ABD和△ACD中，AB＝200 m，AC＝100 2 m，∴在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC cos∠BAC＝100 000，即BC＝10010 m，∴这辆汽车的速度为BC14＝1001014＝50107(m/s)．]三、解答题9．如图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进30 km到达D处，看到A在他的北偏东45°方向，B在北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离．[解]由题意可知CD＝30，∠BDC＝180°－75°－75°＝30°，∠CBD＝180°－30°－30°＝120°，∠DAC＝45°.在△BDC中，由正弦定理可得，BC＝DC·sin∠BDCsin∠DBC＝30·sin 30°sin 120°＝10.在△ADC中，由正弦定理可得，AC＝DC·sin∠ADCsin∠DAC＝30·sin 60°sin 45°＝3 5.在△ABC中，由余弦定理可得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(35)2＋(10)2－2×35×10×cos 45°＝25，∴AB＝5.故这两座建筑物之间的距离为5 km.10．如图所示，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(3－1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？[解]设缉私船用t h在D处追上走私船，则有CD＝103t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2cos 120°＝6，∴BC＝6，且sin∠ABC＝ACBC·sin∠BAC＝26·32＝22.∴∠ABC＝45°.∴BC与正北方向垂直．∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10t sin 120°103t＝12，∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．11．如图，为绘制海底地貌图，测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，C，D在同一个铅垂平面内．海底探测仪测得∠BAC＝30°，∠DAC＝45°，∠ABD＝45°，∠DBC＝75°，A，B两点的距离为3 km.则C，D间的距离是()A. 3 km B．3 kmC. 5 km D．5 kmC[在△ABD中，因为∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝30°＋45°＝75°，所以∠ADB＝180°－∠BAD－∠ABD＝180°－75°－45°＝60°.由ABsin∠ADB＝ADsin∠ABD，得AD＝3sin 45°sin 60°＝2，因为∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝45°＋75°＝120°，∠BAC＝∠BCA＝30°，所以BC＝AB＝3，所以AC＝AB2＋BC2－2AB×BC cos∠ABC＝3.在△ACD中，由余弦定理，得CD2＝AC2＋AD2－2AC×AD cos∠DAC＝5，即CD＝ 5.故C，D间的距离为 5 km.故选C.]12．如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为()A．8 km/h B．6 2 km/hC．234 km/h D．10 km/hB[设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝⎛⎭⎪⎫110v2＝⎝⎛⎭⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v＝6 2.]13．(一题两空)如图，一艘轮船从A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东35°的方向航行了402海里到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到C，则此船航行的方向为北偏东______度，航行路程为________海里．8020(6＋2)[由题意，在△ABC中，∠ABC＝70°＋35°＝105°，AB＝40，BC＝40 2.根据余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC＝402＋(402)2－2×40×402×2－6 4＝3 200＋1 6003，∴AC＝20(6＋2)．根据正弦定理得BCsin∠CAB＝ACsin 105°，∴∠CAB＝45°，∴此船航行的方向和路程分别为北偏东65°，20(6＋2)海里．]14.如图所示，有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC.小明在山脚B处看索道AC，此时视角∠ABC＝120°，从B处攀登200米到达D处，回头看索道AC，此时视角∠ADC＝150°，从D处再攀登300米到达C处．则石竹山这条索道AC长为________米．10039[在△ABD中，BD＝200米，∠ABD＝120°.因为∠ADB＝30°，所以∠DAB＝30°.由正弦定理，得BDsin∠DAB＝ADsin∠ABD，所以200sin 30°＝ADsin 120°.所以AD＝200×sin 120°sin 30°＝2003(米)．在△ADC中，DC＝300米，∠ADC＝150°，所以AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos∠ADC＝(2003)2＋3002－2×2003×300×cos 150°＝390 000，所以AC＝10039(米)．故石竹山这条索道AC长为10039米．]15．如图所示，某军舰艇位于岛屿A的正西方C处，且与岛屿A相距120海里．经过侦察发现，国际海盗船以50海里/时的速度从岛屿A出发沿东偏北60°方向逃窜，同时，该军舰艇从C处出发沿东偏北α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用4小时追上．(1)求该军舰艇的速度；(2)求sin α的值．[解](1)依题意知，∠CAB＝120°，AB＝50×4＝200，AC＝120，∠ACB＝α，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝2002＋1202－2×200×120cos 120°＝78 400，解得BC＝280.所以该军舰艇的速度为BC4＝70海里/时．(2)在△ABC中，由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°，即sin α＝AB sin 120°BC＝200×32280＝5314.。
新教材人教B版高中数学选择性必修第四册课时练习-棱锥与棱台
课时练习(十二) 棱锥与棱台(建议用时：40分钟)一、选择题1．若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是()A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥D[因为正六边形的边长与它的外接圆半径相等，所以满足上述条件的棱锥一定不是六棱锥．]2．如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是()A．①③B．②④C．③④D．①②C[可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体．]3．下面说法中，正确的是()A．上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台B．棱台的所有侧面都是梯形C．棱台的侧棱长必相等D．棱台的上下底面可能不是相似图形B[由棱台的结构特点可知，A、C、D不正确．]4．下列三种叙述，其中正确的有()①两个底面平行且相似，其余的面都是梯形的多面体是棱台；②如图所示，截正方体所得的几何体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个A[①不正确，因为不能保证各侧棱的延长线交于一点．②不正确，因为所得几何体两底面不相似，侧棱延长后不交于一点．③不正确，因为它们的侧棱延长后不一定交于一点，用一个平行于楔形底面的平面去截楔形，截得的几何体虽有两个面平行，其余各面是梯形，但它不是棱台．]5．正三棱锥的底面边长为a ，高为66a ，则此棱锥的侧面积等于( ) A ．34a 2 B ．32a 2 C ．334a 2 D ．332a 2A [如图，在三棱锥S -ABC 中，AB ＝a ，SO ＝66a ，于是OD ＝13·AB ·sin 60°＝36a ，从而SD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫66a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫36a 2＝a2，故三棱锥的侧面积为S ＝3×12×a ×a 2＝34a 2.]二、填空题6．如图，已知四边形ABCD 是一个正方形，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，沿折痕DE ，EF ，FD 折起得到一个空间几何体，则这个空间几何体是________(只填几何体的名称)．三棱锥 [折起后是一个三棱锥(如图所示)．]7．若一个棱台共有21条棱，则这个棱台是________棱台．七 [由棱台的概念可知，棱台的上下底面为相似多边形，边数相同；侧面为梯形，侧面个数与底面多边形边数相同，可知该棱台为七棱台．]8．侧面是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a ，该三棱锥的表面积为________．3＋34a 2[底面边长为a，则斜高为a2，故S侧＝3×12×a×12a＝34a2.而S底＝34a2，故S表＝3＋34a2.]三、解答题9．试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；(3)三棱柱．[解](1)如图所示，三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一)．(2)如图所示，三棱锥B1-ACD1(答案不唯一)．(3)如图所示，三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一)．10．如图，正四棱台AC′的高是17 cm，两底面的边长分别是4 cm和16 cm，求这个棱台的侧棱长和斜高．[解]设棱台两底面的中心分别是O′和O，B′C′，BC的中点分别是E′，E.连接O′O，E′E，O′B′，OB，O′E′，OE，则四边形OBB′O′，OEE′O′都是直角梯形．在正方形ABCD中，BC＝16 cm，则OB＝8 2 cm，OE＝8 cm；在正方形A′B′C′D′中，B′C′＝4 cm，则O′B′＝2 2 cm，O′E′＝2 cm.在直角梯形O′OBB′中，BB′＝OO′2＋(OB－O′B′)2＝172＋(82－22)2＝19(cm)．在直角梯形O′OEE′中，EE′＝OO′2＋(OE－O′E′)2＝172＋(8－2)2＝513(cm)．即这个棱台的侧棱长为19 cm，斜高为513 cm.11．(多选题)对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，下列说法正确的是()A．可能是棱锥B．可能是棱台C．一定不是棱锥D．一定不是棱柱BCD[有两个面互相平行，故此多面体一定不是棱锥，其余各面都是梯形，所以也不是棱柱，棱柱的侧面都是平行四边形，选B、C、D．]12．若棱长为1的正四面体ABCD中，M和N分别是边AB和CD的中点，则线段MN的长度为()A．22B． 2 C．33D．2A[如图，连接AN，BN，∵正四面体ABCD的棱长为1，N是CD的中点，∴BN＝AN＝3 2.∵M是AB的中点，∴MN⊥AB，∴MN＝BN2－BM2＝34－14＝22.]13．已知正三棱锥的高是10 cm，底面积是12 3 cm2，则它的侧棱长是________cm.229 [如图，已知三棱锥高SO＝10 cm，S正△ABC＝123，∴底面正三角形边长BC＝4 3.又O为△ABC中心，∴OC＝23CD＝23·32·43＝4.在Rt△SOC中，SC＝SO2＋OC2＝102＋42＝229.]14．在如图所示的三棱锥A-BCD中，BD＝2，DC＝3，∠DAB＋∠BAC＋∠DAC ＝90°，∠ADB＝∠BDC＝∠ADC＝90°.现有一只蚂蚁从点D出发经三棱锥A-BCD 的三个侧面绕行一周后回到点D，则蚂蚁爬行的最短距离为________．52[三棱锥的侧面展开图如图(实线部分)所示．由题意知，蚂蚁爬行的最短距离即为DD ′. ∵∠DAB ＋∠BAC ＋∠DAC ＝90°， ∴∠DAD ′＝90°.∵∠ADB ＝∠BDC ＝∠ADC ＝90°且AD ＝AD ′， ∴四边形ADED ′为正方形． 由题意，得BC ＝22＋32＝13， 设CE ＝x ，则BE ＝13－x 2. ∵DE ＝D ′E ，∴3＋x ＝2＋13－x 2，解得x ＝2， ∴DE ＝D ′E ＝5， ∴DD ′＝25＋25＝5 2.]15．设正三棱锥S -ABC 的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO ＝3，求此正三棱锥的表面积．[解] 如图所示，设正三棱锥的底面边长为a ，斜高为h ′，过O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，连接SE ，则SE ＝h ′.∵S 侧＝2S 底，∴3×12ah ′＝34a 2×2，∴a ＝3h ′. ∵SO ⊥OE ，且OE ＝13×32a ＝36×3h ′＝h ′2， ∴由SO 2＋OE 2＝SE 2，得32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫h ′22＝h ′2，∴h ′＝23，a ＝3h ′＝6，∴S底＝34a2＝34×62＝93，S侧＝2S底＝183，∴S表＝S侧＋S底＝183＋93＝27 3.。
人教A版高中数学 必修四 第二章 §2.4平面向量的数量积 教材课时同步培优练习
人教A 版高中数学 必修四 第二章 §2.4平面向量的数量积 教材课时同步培优练习一、本节主要知识点回顾1、两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向； （2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒2、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ⋅b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a ≠0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ⋅b =0，不能推出b =0.因为其中cos θ有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c .但是a ⋅b = b ⋅c a = c如右图：a ⋅b = |a ||b |cos β = |b ||OA|，b ⋅c = |b ||c |cos α = |b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但a ≠ c(5)在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3、“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒C时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.4、向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.5、两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ 5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |6、平面向量数量积的运算律（1）交换律：a ⋅ b = b ⋅ a（2）数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )（3）分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c7、 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ⋅.设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b 22+=所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+=又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i ，所以b a ⋅2121y y x x +=这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=8、平面内两点间的距离公式一、 设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)二、 向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x三、 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=二、典型例题精选例1、 已知|a |=6， |b |=4， a 与b 的夹角为60o 求(a+2b)·(a -3b).例2、 已知|a |=3， |b |=4， 且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a+kb 与a-kb 互相垂直.例3 、判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB ＝BA ；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.例4、 已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a - 5b 垂直，a - 4b 与7a - 2b 垂直，求a 与b 的夹角.例5、求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.证明：如图：平行四边形ABCD 中，DC AB =，BC AD =，AC =+∴||2=AD AB AD AB AD AB ⋅++=+2||222 而=- ，∴||2=⋅-+=-2||222 ∴|AC |2 + |BD |2 = 2222AD AB += 2222||||||||+++例6、 四边形ABCD 中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD 是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.解：四边形ABCD 是矩形，这是因为：一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD 两组对边分别相等.∴四边形ABCD 是平行四边形另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD 可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０，即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB ⊥BC .综上所述，四边形ABCD 是矩形.评述：(1)在四边形中，AB ，BC ，CD ，DA 是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.例7、已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少?例8、如图，以原点和A (5， 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒，求点B 和向量AB 的坐标.解：设B 点坐标(x ， y )，则= (x ， y )，AB = (x -5， y -2) ∵⊥ ∴x (x -5) + y (y -2) = 0即：x 2 + y 2-5x - 2y = 0 又∵|| = || ∴x 2 + y 2 = (x -5)2 + (y -2)2即：10x + 4y = 29 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧==-==⇒⎩⎨⎧=+=--+2723232729410025221122y x y x y x y x y x 或 ∴B 点坐标)23,27(-或)27,23(；=)27,23(--或)23,27(-例9、对于任意非零向量a 与b ，求证：｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a ±b ｜≤｜a ｜+｜b ｜证明：(1)两个非零向量a 与b 不共线时，a +b 的方向与a ，b 的方向都不同，并且｜a ｜-｜b ｜＜｜a ±b ｜＜｜｜+｜｜(2)两个非零向量与共线时，①与同向，则+的方向与.相同且｜+｜=｜｜＋｜｜.②与异向时，则+的方向与模较大的向量方向相同，设||＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。
【精品】高中数学 必修4_三角函数的诱导公式_讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案)提高
三角函数的诱导公式【学习目标】1．借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式(απαπ±±,2的正弦、余弦、正切)；2．掌握并运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式. 【要点梳理】 要点一：诱导公式 诱导公式一：sin(2)sin k απα+=， cos(2)cos k απα+=，tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈诱导公式二：sin()sin αα-=-， cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-，其中k Z ∈诱导公式三：sin[((21)]sin k απα++=-， cos[(21)]cos k απα++=-， tan[(21)]tan k απα++=，其中k Z ∈诱导公式四：sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中k Z ∈ 要点诠释：(1)要化的角的形式为α±⋅ο90k (k 为常整数)； (2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；(3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；(4)sin cos cos 444x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.要点二：诱导公式的记忆诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把α看成锐角时原三角函数值的符号．诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上．因为任意一个角都可以表示为k ·90°+α（|α|<45°）的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”： “奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角90k α⋅±o(k 为常整数)的三角函数值：当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时原函数值的符号.要点三：三角函数的三类基本题型(1)求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值. ①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解；③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解.求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取.(2)化简题型：化简三角函数式的一般要求是：能求出值的要求出值；函数种类要尽可能少；化简后的式子项数最少，次数最低，尽可能不含根号.(3)证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简.化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式. 【典型例题】类型一：利用诱导公式求值【高清课堂：三角函数的诱导公式385952 例2】例1．求下列各三角函数的值： （1）252525sincos tan()634πππ++-； （2）()()cos 585tan 300---o o（3）2222132131sin cos 6tan 10cot 243ππππ-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【思路点拨】利用诱导公式把所求角化为我们熟悉的锐角去求解． 【答案】（1）0（2）2-（3）16【解析】（1）原式=sin(4)cos(8)tan(6)634ππππππ+++-+sincostan634111022πππ=+-=+-=（2）原式=cos(18045)tan(36060)++-o o o o =cos 45tan 60--o o= （3）原式=2222sin (6)cos (5)6tan 10cot (10)243πππππππ+-++-+=2222sin cos 6tan 0cot 243πππ-+-=111023-+-=16【总结升华】（1）对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向，但是在具体的转化过程中如何选用诱导公式，方法并不唯一，这就需要同学们去认真体会，适当选择，找出最好的途径，完成求值．（2）运用诱导公式求任意三角函数值的过程的本质是化任意角的三角函数为锐角三角函数的过程，而诱导公式就是这一转化的工具． 举一反三：【变式】（1）10sin 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）31cos 6π；（3）tan （－855°）．【答案】（1）2（2）2-（3）1 【解析】（1）1010sin sin 33ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭44sin 2sin 33πππ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭sin sin sin 3332ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=--==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）3177coscos 4cos 666ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭cos cos 662πππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭． （3）tan(－855°)=tan(－3×360°+225°)=tan225°=tan(180°+45°)=tan45°=1． 例2．已知函数()sin()cos()f x a x b x παπβ=+++，其中a 、b 、α、β都是非零实数，又知f （2009）=－1，求f （2010）．【解析】 (2009)sin(2009)cos(2009)f a b παπβ=+++sin(2008)cos(2008)a b ππαππβ=+++++sin()cos()sin cos (sin cos )a b a b a b παπβαβαβ=+++=--=-+．∵f （2009）=－1 ∴sin cos 1a b αβ+=． ∴(2010)sin(2010)cos(2010)f a b παπβ=+++sin cos 1a b αβ=+=．【总结升华】 求得式子sin cos 1a b αβ+=，它是联系已知和未知的纽带．解决问题的实质就是由未知向已知的转化过程，在这个转化过程中一定要抓住关键之处．举一反三：【变式1】 已知1cos(75)3α︒+=，其中α为第三象限角，求cos(105°―α)+sin(α―105°)的值．【答案】13【解析】 ∵cos(105°－α)=cos[180°－(75°+α)]=－cos(75°+α)=13-,sin(α―105°)=―sin[180°－(75°+α)]=－sin(75°+α)， ∵α为第三象限角，∴75°+α为第三、四象限角或终边落在y 轴负半轴上．又cos(75°+α)=13＞0，∴75°+α为第四象限，∴sin(75)3α︒+===-．∴11cos(105)sin(105)333αα︒-+-︒=-+=．【总结升华】 解答这类给值求值的问题，关键在于找到已知角与待求角之间的相互关系，从而利用诱导公式去沟通两个角之间的三角函数关系，如：75°+α=180°－(105°－α)或105°－α=180°－(75°+α)等．【变式2】已知3sin()2παπβ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭))απβ-=+，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值．【解析】由已知得sin αβ=αβ=． 两式平方相加，消去β，得22sin 3cos 2αα+=， ∴21cos 2α=，而0απ<<，∴cos 2α=±，∴4πα=或34πα=．当4πα=时，cos 2β=，又0βπ<<，∴6πβ=；当34πα=时，cos 2β=-，又0βπ<<，∴56βπ=．故4πα=，6πβ=或34πα=，56βπ=． 类型二：利用诱导公式化简 例3．化简(1)sin(180)sin()tan(360)tan(180)cos()cos(180)αααααα-++--+++-+-o o o o ；(2)sin()sin()()sin()cos()n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-.【思路点拨】化简时，要认真观察“角”，显然利用诱导公式，但要注意公式的合理选用.【答案】（1）-1（2）略 【解析】(1)原式sin sin tan tan 1tan cos cos tan αααααααα--==-=-+-；(2)①当2,n k k Z =∈时，原式sin(2)sin(2)2sin(2)cos(2)cos k k k k απαπαπαπα++-==+-.②当21,n k k Z =+∈时，原式sin[(21)]sin[(21)]2sin[(21)]cos[(21)]cos k k k k απαπαπαπα+++-+==-++-+.【总结升华】(1)诱导公式应用的原则是：负化正，大化小，化到锐角就终了； (2)关键抓住题中的整数n 是表示π的整数倍与公式一中的整数k 有区别，所以必须把n 分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论.举一反三： 【变式1】化简 （1）()()()()cos cot 7tan 8sin 2-⋅--⋅--αππαπααπ；（2）()sin2n n Z π∈； （3）()222121tan tan ,22n n n Z παπα++⎛⎫⎛⎫+--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）sin()cos[(1)]sin[(1)]cos(]k k k k παπαπαπα---+++，()k z ∈．【解析】（1）原式=[]cos()cot()tan(2)sin(2)παπαπαπα----+=cos cot (tan )(sin )αααα-⋅-=3cot α（2）1,(41)sin1,(43)20,(2)n k n n k n k π=+⎧⎪=-=+⎨⎪=⎩ （3）原式=22cot cot αα-=0（4）由(k π+α)+(k π―α)=2k π，[(k ―1)π―α]+[(k+1)π+α]=2k π，得cos[(1)]cos[(1)]cos()k k k παπαπα--=++=-+，sin[(1)]sin()k k παπα++=-+．故原式sin()[cos()]1sin()cos()k k k k παπαπαπα-+-+==--++．【总结升华】 常见的一些关于参数k 的结论： （1）sin()(1)sin ()k k k Z παα+=-∈； （2）cos()(1)cos ()k k k Z παα+=-∈； （3）1sin()(1)sin ()k k k z παα+-=-∈； （4）cos()(1)cos ()k k k Z παα-=-∈． 类型三：利用诱导公式进行证明例4．设8tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求证：1513sin 3cos 37720221sin cos 77m m ππααππαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【思路点拨】证明此恒等式可采取从“繁”到“简”，从左边到右边的方法．【证明】 证法一：左边88sin 3cos 37788sin 4cos 277πππααπππαππα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦888sin 3cos tan 3777888sin cos tan 1777πππαααπππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭31m m +=+=右边． ∴等式成立．证法二：由8tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴左边sin 23cos 277sin 2cos 277πππαπαππππαππα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦sin 3cos 77sin cos 77ππααπππαπα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦sin 3cos 77sin cos 77ππααππαα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 3371tan 17m m παπα⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭=右边， ∴等式成立． 举一反三：【高清课堂：三角函数的诱导公式385952 例4 】 【变式1】设A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，求证： （1）()sin sin A B C +=；（2）sincos22A B C+=； （3）tan cot 22A B C+=【解析】（1）左边=sin()sin()sin A B c C π+=-==右边，等式得证． （2）左边=sin2A =()sin cos cos 2222B C B C B C ππ-+++⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=右边，等式得证． （3）左边=tantan cot 2222A B C C π+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭=右边，等式得证． 【变式2】求证：232sin cos 1tan(9)12212sin ()tan()1ππθθπθπθπθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=-++-． 证明：∵左边2232sin sin 12sin (sin )12212sin 12sin πππθθθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+----⋅-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==-- 22222sin sin 12cos sin 1212sin cos sin 2sin πθθθθθθθθ⎛⎫--- ⎪--⎝⎭==-+-222(sin cos )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ++==--，右边tan(9)1tan 1sin cos tan()1tan 1sin cos πθθθθπθθθθ++++===+---，∴左边=右边，故原式得证． 类型四：诱导公式的综合应用例5．已知3sin(3)cos(2)sin 2()cos()sin()f παππαααπαπα⎛⎫---+⎪⎝⎭=----．（1）化简()f α；（2）若α是第三象限的角，且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值． （3）若313πα=-，求()f α的值． 【解析】 （1）(sin )cos (cos )()cos (cos )sin f ααααααα-⋅⋅-==--．（2）∵3cos sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∴1sin 5α=-，∴cos α==()f α=． （3）31315cos cos 62333f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭51cos cos 332ππ=-=-=-． 【总结升华】这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱．举一反三： 【变式1】已知α、β均为锐角，cos()sin()αβαβ+=-，若()sin cos 44f ππααα⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 【解析】由cos()sin()αβαβ+=-得cos()cos ()2παβαβ⎡⎤+=--⎢⎥⎣⎦，又α、β均为锐角．则()2παβαβ+=--，即4πα=．于是，sin cos 0222f ππα⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭．【巩固练习】1．sin585°的值为（ ）A．2-B．2 C．2- D．2A ．13 B ． 13- C． D3．已知(cos )cos3f x x =，则(sin 30)f ︒的值等于（ ）A ．―1B ．1C ．12D ．0）A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±（sin2－cos2）D ．sin2+cos25．若sin cos 2sin cos αααα+=-，则3sin(5)sin 2παπα⎛⎫-⋅-⎪⎝⎭等于（ ） A ．34 B ．310 C ．310± D ．310-6．在△ABC 中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则△ABC 必是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形7．已知3sin()cos(2)tan 2()cos()f ππαπαααπα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=--，则313f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值为（ ） A ．12 B ．12- C．2 D．2-8．已知cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则25sin cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值是（ ）A ．23+B ．23+-C ．23- D．23-+9．计算：)425tan(325cos 625sinπππ-++＝ ．10．若()θ+ο75cos 31=，θ为第三象限角，则()()θθ++--οο435sin 255cos 的值是 ． 11．已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+=__________. 12．（1）cos1°+cos2°+cos3°+…+cos180°的值为________；（2）cos 21°+cos 22°+cos 23°+…+cos 289°的值为________。
人教版高中数学必修四第一章三角函数1.2任意角的三角函数(教师版)【个性化辅导含答案】
任意角的三角函数__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系； 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法||。
3.牢固掌握同角三角函数的两个关系式||，并能灵活运用于解题. （一）任意角的三角函数： 任意点到原点的距离公式：22y x r +=1.三角函数定义：在直角坐标系中||，设α是一个任意角||，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ||，它与原点的距离为(0)r r ==>||，那么（1）比值y r 叫做α的正弦||，记作sin α||，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦||，记作cos α||，即cos xr α=；（3）比值y x 叫做α的正切||，记作tan α||，即tan yxα=；（4）比值x y 叫做α的余切||，记作cot α||，即cot x yα=； 2.说明：（1）α的始边与x 轴的非负半轴重合||，α的终边没有表明α一定是正角或负角||，以及α的大小||，只表明与α的终边相同的角所在的位置；（2）根据相似三角形的知识||，对于确定的角α||，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； （3）当()2k k Z παπ=+∈时||，α的终边在y 轴上||，终边上任意一点的横坐标x 都等于0||，所以tan yxα=无意义；同理当()k k Z απ=∈时||，y x =αcot 无意义；（4）除以上两种情况外||，对于确定的值α||，比值y r 、x r 、y x、xy 分别是一个确定的实数||。
高中数学必修四第二章平面向量课后习题Word版(2021年整理)
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【必修4】 第二章平面向量2.1 练习1、画有向线段,分别表示一个竖直向上,大小为18N 的力和一个水平向左、大小为28N 的力（1cm 长表示10N ）.2、非零向量AB 的长度怎样表示？非零向量BA 的长度怎样表示？这两个向量的长度相等吗？这两个向量相等吗？3、指出图中各向量的长度.4、(1）用有向线段表示两个相等的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？（2）用有向线段表示两个方向相同但长度不同的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？2.2.1 练习1、如图，已知b a ，,用向量加法的三角形法则作出b a 。
2、如图，已知b a ，，用向量加法的平行四边形法则作出b a +.3、根据图示填空：（1）________;=+d a（2）.________=+b c4、根据图示填空:（1）________;=+b a（2）________;=+d c（3)________;=++d b a（4）.________=++e d c2.2.2 练习1、如图，已知b a ，，求作.b a -2、填空：________;=- ________;=- ________;=-BA BC ________;=-OA OD .________=-3、作图验证：b a b)(a --=+-2.2。
新教材人教B版高中数学选择性必修第四册课时练习-模块综合测评
模块综合测评(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 是虚数单位，则i1＋i的虚部是( ) A ．12i B ．－12i C ．12 D ．－12 C [i1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i.]2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若c ＝4，a ＝42，A ＝45°，则sin C 等于( )A ．12B ．22C ．14D ．24A [由正弦定理得sin C ＝c ·sin A a ＝4×2242＝12.]3．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列选项不一定成立的是( )A ．AB ∥m B ．AC ⊥β C ．AB ∥βD ．AC ⊥mB [∵m ∥α，m ∥β，α∩β＝l ，∴m ∥l ，又AB ∥l ，∴AB ∥m ，则A 一定成立．∵AC ⊥l ，m ∥l ，∴AC ⊥m ，则D 一定成立．∵AB ∥l ，AB ⊄β，l ⊂β，∴AB ∥β，则C 一定成立．若C ∉α且AC ⊥α，∵l ⊂α，∴AC ⊥l ，∵平面α⊥平面β，∴AC ∥β，则B 不一定成立．故选B ．]4．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10πB [因为过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.]5．复数i1－i的共轭复数为( ) A ．－12＋12i B ．12＋12i C ．12－12i D ．－12－12iD [因为i 1－i ＝i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i 2＝－12＋12i ， 所以其共轭复数为－12－12i.故选D ．]6．在△ABC 中，若lg a －lg c ＝lg sin B ＝－lg 2，且B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则△ABC的形状是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形C [∵lg a －lg c ＝lg sin B ＝－lg 2，∴a c ＝sin B ，sin B ＝22.∵B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴B ＝π4，∴a c ＝sin A sin C ＝22，∴sin C ＝2sin A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－C ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos C ＋22sin C ，∴cos C ＝0.∵C ∈(0，π)，∴C ＝π2，∴A ＝π－B －C ＝π4，∴△ABC 是等腰直角三角形．故选C ．]7．如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 上任意一点，则一定有( )A ．PC 1与AA 1异面B ．PC 1与A 1A 垂直 C ．PC 1与平面AB 1D 1相交D ．PC 1与平面AB 1D 1平行 D [连接BC 1和DC 1(图略)， 因为BD ∥B 1D 1，AB 1∥DC 1， 所以平面AB 1D 1∥平面C 1BD ， 而PC 1⊂平面C 1BD ， 所以PC 1∥平面AB 1D 1.选D ．]8．已知三棱锥P -ABC 的各棱长均相等，O 是△ABC 的中心，D 是PC 的中点，则直线PO 与直线BD 所成角的余弦值为( )A ．23B ．73C ．12D ．13A [设底面边长为a ，连接CO 并延长交AB 于F ，过点D 作DE ∥PO 交CF 于点E ，连接BE ，则∠BDE 即PO 与BD 所成角，因为PO ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ， 所以△BDE 是直角三角形，设三棱锥P -ABC 的各棱长均为a ，则， BD ＝CF ＝32a ，CO ＝23BD ＝33a ， 所以PO ＝a 2－13a 2＝63a ，因为点D 为侧棱PC 的中点，所以DE ＝12PO ＝66a ， 所以cos ∠BDE ＝DE BD ＝66a32a＝23，则直线PO 与直线BD 所成角的余弦值为23.]二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是( )A ．若ab ＞c 2，则C ＜π3 B ．若a ＋b ＞2c ，则C ＜π3 C ．若(a ＋b )c ＜2ab ，则C ＞π2 D ．若(a 2＋b 2)c 2＜2a 2b 2，则C ＞π2AB [对于A ，由余弦定理有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＞2ab －ab 2ab ＝12，因为C 为三角形的内角，所以C ＜π3，故A 正确；对于B ，因为a ＋b ＞2c ，所以(a ＋b )2＞4c 2，c 2＜(a ＋b )24，由余弦定理有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＞a 2＋b 2－(a ＋b )242ab＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥12，因为C 为三角形的内角，所以C ＜π3，故B 正确；对于C ，取a ＝b ＝2，c ＝1，满足(a ＋b )c ＜2ab ，因为cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝78＞0，所以C ＜π2，故C 错误；对于D ，取a ＝b ＝2，c ＝1，满足(a 2＋b 2)c 2＜2a 2b 2，因为cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝34＞0，所以C ＜π2，故D 错误．故选AB ．]10．下列各式的运算结果不是纯虚数的是( ) A ．i·(1＋i)2 B ．i 2·(1－i) C ．(1＋i)2D ．i·(1＋i)ABD [A 项，i(1＋i)2＝i(1＋2i ＋i 2)＝i ×2i ＝－2，不是纯虚数． B 项，i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数． C 项，(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，是纯虚数． D 项，i(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，不是纯虚数．]11．已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，下列命题中正确的是()A．若α⊥β，l⊥β，则l∥αB．若l⊥α，l∥β，则α⊥βC．若l上有两个点到α的距离相等，则l∥αD．若α⊥β，α∥γ，则β⊥γBD[对于A，由α⊥β，l⊥β，得l⊂α或l∥α，故A错误；对于B，过直线l作第三个平面与平面β相交于直线m，根据线面平行的性质，知m∥l，又l⊥α，则m⊥α，又m⊂β，所以α⊥β，故B正确；对于C，l还可能与α相交，故C错误；对于D，在平面α内作与α和β的交线垂直的直线m，根据面面垂直的性质，得m⊥β，再过直线m作平面δ，并与平面γ相交于直线n，根据面面平行的性质，知m∥n，所以n⊥β，又n⊂γ，所以γ⊥β，故D正确．]12．在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”．类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“≻”．定义如下：对于任意两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，a2，b1，b2∈R)，当且仅当“a1＞a2”或“a1＝a2且b1＞b2”时，z1≻z2.按上述定义的关系“≻”，下列命题为真命题的是()A．若z1≻z2，则|z1|＞|z2|B．若z1≻z2，z2≻z3，则z1≻z3C．若z1≻z2，则对于任意z∈C，z1＋z≻z2＋zD．对于复数z≻0，若z1≻z2，则zz1≻zz2BC[对于复数z1＝2＋i，z2＝1－3i，显然满足z1≻z2，但|z1|＝5，|z2|＝10，不满足|z1|＞|z2|，故A为假命题；设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R)，由z1≻z2，z2≻z3可得“a1＞a3”或“a1＝a3且b1＞b3”，即z1≻z3，故B为真命题；设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z＝a＋b i(a1，a2，a，b1，b2，b∈R)，由z1≻z2可得“a1＞a2”或“a1＝a2且b1＞b2”，显然有“a1＋a＞a2＋a”或“a1＋a ＝a2＋a且b1＋b＞b2＋b”，从而z1＋z≻z2＋z，故C为真命题；对于复数z1＝2＋i，z2＝1－3i，显然满足z1≻z2，令z＝1＋i，则zz1＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i，zz2＝(1＋i)(1－3i)＝4－2i，显然不满足zz1≻zz2，故D为假命题．故选BC．]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．)13．已知实数a，b满足a＋b i＝i2 019(i为虚数单位)，则a＋b的值为_______．－1 [由i 1＝i ，i 2＝－1，i 3＝－i ，i 4＝1，所以a ＋b i ＝i 2 019＝(i 4)504·i 3＝－i ， 得a ＝0，b ＝－1.∴a ＋b ＝－1.]14．已知在△ABC 中，AC ＝4，BC ＝27，∠BAC ＝60°，AD ⊥BC 于点D ，则BDCD 的值为________．6 [在△ABC 中，AC ＝4，BC ＝27，∠BAC ＝60°，由余弦定理得cos 60°＝AB 2＋42－(27)22AB ·4＝12，解得AB ＝6或－2(舍去)．因为Rt △ADB 与Rt △ADC 有公共边AD ，所以62－BD 2＝42－(27－BD )2，解得BD ＝1277，所以CD ＝277，所以BDCD＝6.]15．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．(本题第一空2分，第二空3分)图1 图2262－1 [依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体由18个正方形和8个正三角形围成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x ，则22x ＋x ＋22x ＝1，解得x ＝2－1，故题中的半正多面体的棱长为2－1.]16．定义复数的一种运算z 1]|z 1|＋|z 2|,2)(等式右边为普通运算)．若复数z ＝a ＋b i ，z －为z 的共轭复数，且正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则z *z －的最小值为________．322 [由题意可得z *z －＝|a ＋b i|＋|a －b i|2＝a 2＋b 2＋a 2＋(－b )22＝a 2＋b 2.∵正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，∴b ＝3－a ，∴a 2＋b 2＝a 2＋(3－a )2＝2a 2－6a ＋9＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －322＋92，∴当a ＝32时，z *z －取得最小值，为322.] 四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．[解] z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝(3－i )(2－i )5＝5－5i5＝1－i. 因为z 2＋az ＋b ＝(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝－2i ＋a －a i ＋b ＝(a ＋b )－(2＋a )i ＝1＋i ， 所以⎩⎨⎧ a ＋b ＝1，－(2＋a )＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝4.18．(本小题满分12分)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P -ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，连接DE ，BD ，BE .(1)证明：DE ⊥平面PBC ．试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由．(2)记阳马P -ABCD 的体积为V 1，四面体EBCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．[解] (1)证明：因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥BC ． 由底面ABCD 为长方形，得BC ⊥CD ．而PD ∩CD ＝D ， 所以BC ⊥平面PCD ．又DE ⊂平面PCD ，所以BC ⊥DE .因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ⊥PC ． 而PC ∩BC ＝C ，所以DE ⊥平面PBC ．由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD ，∠BCE ，∠DEC ，∠DEB ．(2)由已知，PD 是阳马P -ABCD 的高，所以V 1＝13S 长方形ABCD ·PD ＝13BC ·CD ·PD ． 由(1)知，DE 是鳖臑D -BCE 的高，BC ⊥CE ， 所以V 2＝13S △BCE ·DE ＝16BC ·CE ·DE .在Rt △PDC 中，因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点， 所以DE ＝CE ＝22CD ，于是V 1V 2＝13BC ·CD ·PD16BC ·CE ·DE ＝2CD ·PDCE ·DE ＝4. 19．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，已知c ＝2，∠C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积． [解] (1)由余弦定理，得a 2＋b 2－ab ＝4. 因为△ABC 的面积等于3， 所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4. 联立方程⎩⎨⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2.(2)由正弦定理，已知条件可化为b ＝2a . 联立方程⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233.20．(本题小题满分12分)在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE ⊥EB ，AD ∥EF ，EF ∥BC ，BC ＝2AD ＝4，EF ＝3，AE ＝BE ＝2，G 是BC 的中点．(1)求证：AB ∥平面DEG ； (2)求证：BD ⊥EG ；(3)求多面体ADBEG 的体积．[解] (1)证明：∵AD ∥EF ，EF ∥BC ，∴AD ∥BC ． 又∵BC ＝2AD ，G 是BC 的中点，∴AD BG ，∴四边形ADGB 是平行四边形，∴AB ∥DG .∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，∴AB ∥平面DEG . (2)证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，∴EF ⊥AE . 又AE ⊥EB ，EB ∩EF ＝E ，EB ，EF ⊂平面BCFE ， ∴AE ⊥平面BCFE .过D 作DH ∥AE 交EF 于H ，连接BH ，EG ，则DH ⊥平面BCFE .∵EG ⊂平面BCFE ，∴DH ⊥EG .∵AD ∥EH ，DH ∥AE ，∴四边形AEHD 为平行四边形，∴EH ＝AD ＝2， ∴EH ＝BG ＝2，又EH ∥BG ，EH ⊥BE ，BE ＝2， ∴四边形BGHE 为正方形，∴BH ⊥EG ，又BH ∩DH ＝H ，BH ⊂平面BHD ，DH ⊂平面BHD ，∴EG ⊥平面BHD ．∵BD⊂平面BHD，∴BD⊥EG.(3)∵EF⊥平面AEB，AD∥EF，∴AD⊥平面AEB，由(2)知四边形BGHE为正方形，∴BE⊥BC．∴V ADBEG＝V D﹣AEB＋V D﹣BEG＝13S△ABE·AD＋13S△BEG·AE＝43＋43＝83.21．(本小题满分12分)如图所示，甲船以每小时30 2 n mile的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20 n mile.当甲船航行20 min到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10 2 n mile.问乙船每小时航行多少海里．[解]如图所示，连接A1B2.因为A2B2＝102，A1A2＝302×2060＝102，所以A1A2＝A2B2.又因为∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，所以△A1A2B2是等边三角形．所以A1B2＝A1A2＝10 2.又因为A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，在△A1B2B1中，由余弦定理，得B1B22＝A1B21＋A1B22－2A1B1·A1B2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×2 2＝200.所以B1B2＝10 2.所以乙船的速度为1022060＝302(n mile/h)．即乙船每小时航行30 2 n mile.22．(本小题满分12分)如图，三棱锥P-ABC中，PC，AC，BC两两垂直，BC ＝PC＝1，AC＝2，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．(1)证明：平面GFE∥平面PCB；(2)求二面角B-AP-C的正切值；(3)求直线PF与平面P AB所成角的正弦值．[解](1)证明：因为E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，所以EF∥BC，GF∥CP.因为EF⊄平面PCB，GF⊄平面PCB，所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB．又EF∩GF＝F，所以平面GFE∥平面PCB．(2)如图，过点C作CH⊥P A，垂足为H，连接HB．因为BC⊥PC，BC⊥AC，且PC∩AC＝C，所以BC⊥平面P AC，所以BC⊥P A．又P A⊥CH，CH∩BC＝C，所以P A⊥平面BCH，所以HB⊥P A，所以∠BHC是二面角B-AP-C的平面角，依条件容易求出CH＝25，所以tan∠BHC＝125＝52，所以二面角B-AP-C的正切值是5 2.(3)如图，设PB的中点为K，连接KC，AK.因为△PCB为等腰直角三角形，所以KC⊥PB．又AC⊥PC，AC⊥BC，且PC∩BC＝C，所以AC⊥平面PCB，所以AC⊥PB．又PB⊥KC，AC∩KC＝C，所以PB⊥平面AKC．又PB⊂平面P AB，所以平面AKC⊥平面P AB．在平面AKC内，过点F作FM⊥AK，垂足为M.因为平面AKC⊥平面P AB，所以FM⊥平面P AB．连接PM，则∠MPF是直线PF与平面P AB所成的角．易得PF＝2，FM＝13，所以sin∠MPF＝132＝26，即直线PF与平面P AB所成角的正弦值是2 6.。
高中数学必修四各章节练习题(附带答案解析)
1．已知中学生一节课的上课时间一般是45分钟，那么，经过一节课，分针旋转形成的角是( )A ．120°B ．－120°C ．270°D ．－270°解析：分针旋转形成的角是负角，每60分钟转动一周，所以一节课45分钟分针旋转形成的角是－360°×4560＝－270°.答案：D2．下列叙述正确的是( )A ．第一或第二象限的角都可作为三角形的内角B ．始边相同而终边不同的角一定不相等C ．第四象限角一定是负角D ．钝角比第三象限角小解析：－330°角是第一象限角，但不能作为三角形的内角，故A 错；280°角是第四象限角，它是正角，故C 错；－100°角是第三象限角，它比钝角小，故D 错．答案：B3．若α是第四象限角，则180°－α是第________象限角． 解析：∵角α与角－α的终边关于x 轴对称， 又∵角α的终边在第四象限，∴角－α终边在第一象限，又角－α与180°－α的终边关于原点对称，∴角180°－α的终边在第三象限． 答案：三4．在0°～360°范围内：与－1 000°角终边相同的最小正角是________，是第________象限角．解析：－1 000°＝－3×360°＋80°，∴与－1 000°角终边相同的最小正角是80°，为第一象限角． 答案：80° 一5．在角的集合{α|α＝k ·90°＋45°，k ∈Z }中， (1)有几种终边不相同的角？(2)若－360°<α<360°，则集合中的α共有多少个？解：(1)在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种，分别是与45°、135°、－135°、－45°终边相同的角．(2)令－360°<k ·90°＋45°<360°，得－92<k <72. 又∵k ∈Z ，∴k ＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3， ∴满足条件的角共有8个．1．下列命题中，正确的是( ) A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角D ．1弧度是1度的弧与1度的角之和解析：利用弧度的概念可直接推得C 为正确选项． 答案：C2．2 100°化成弧度是( ) A.35π3 B ．10π C.28π3D.25π3解析：2 100°＝2 100×π180＝35π3. 答案：A3．若扇形的圆心角为60°，半径为6，则扇形的面积为________． 解析：扇形的面积S ＝12|α|r 2＝12×π3×62＝6π. 答案：6π4．若θ角的终边与8π5角的终边相同，在[0,2π)内与θ4角的终边相同的角是________．解析：由题设知θ＝2k π＋8π5，k ∈Z ，则θ4＝k π2＋2π5，k ∈Z . ∴当k ＝0时，θ4＝2π5； 当k ＝1时，θ4＝9π10； 当k ＝2时，θ4＝7π5； 当k ＝3时，θ4＝19π10. 答案：2π5，9π10，7π5，19π105．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α的终边在第几象限；(2)求 γ角，使γ与α角的终边相同，且γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝14π9， ∴α＝14π9＋(－3)×2π，α角与14π9的终边相同， ∴α是第四象限角．(2)∵与α角终边相同的角为2k π＋α，k ∈Z ，α与14π9终边相同， ∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z .又∵γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴－π2<2k π＋14π9<π2， 当k ＝－1时，不等式成立， ∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9.1．有下列说法：①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等； ③若sin α>0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－xx 2＋y2， 其中不正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案：D2．若点P 的坐标是(sin2，cos2)，则点P 位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D3．sin420°＝________.答案：324．使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第________象限角． 解析：要使原式有意义，必须cos αtan α>0，即需cos α，tan α同号，所以α是第一或第二象限角．答案：一或二 5．求下列各式的值．(1)sin1 470°；(2)cos 9π4；(3)tan(－116π)． 解：(1)sin1 470°＝sin(4×360°＋30°)＝sin30°＝12. (2)cos 9π4＝cos(2π＋π4)＝cos π4＝22. (3)tan(－11π6)＝tan(－2π＋π6)＝tan π6＝33.1．已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边( ) A ．在x 轴上 B ．在y 轴上 C ．在直线y ＝x 上 D ．在直线y ＝－x 上答案：B2．已知11π6的正弦线为MP ，正切线为AT ，则有( ) A ．MP 与AT 的方向相同 B ．|MP |＝|AT | C ．MP >0，AT <0D ．MP <0，AT >0 解析：三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的．MP ＝sin 11π6<0，AT ＝tan 11π6<0.答案：A3．若角α的正弦线的长度为12，且方向与y 轴的正方向相反，则sin α的值为________．答案：－124．函数y ＝lg(sin x －cos x )的定义域为________．解析：利用三角函数线，如下图，MN 为正弦线，OM 为余弦线，要使sin x ≥cos x ，即MN ≥OM ，则π4≤x ≤54π，(在[0,2π]内)．∴定义域为{x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z }． 答案：{x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z }5．在单位圆中画出满足cos α＝12的角α的终边，并写出α组成的集合．解：如图所示，作直线x ＝12交单位圆于M ，N ，连接OM ，ON ，则OM ，ON 为α的终边．由于cos π3＝12，cos 5π3＝12，则M 在π3的终边上，N 在5π3的终边上，则α＝π3＋2k π或α＝5π3＋2k π，k ∈Z . 所以α组成的集合为S ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝π3＋2k π或α＝5π3＋2k π，k ∈Z .1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( ) A ．－1213 B ．－513 C.513D.213解析：因为α是第二象限角，所以cos α<0， 故cos α＝－1－sin 2α＝－1－(513)2＝－1213.答案：A2．已知cos α－sin α＝－12，则sin αcos α的值为( ) A.38 B ．±38 C.34D ．±34解析：由已知得(cos α－sin α)2＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝1－2sin αcos α＝14，解得sin αcos α＝38，故选A.答案：A3．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________.解析：由已知得θ是第三象限角，所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－(－45)2＝－35. 答案：－354．已知tan α＝3，则2sin 2α＋4sin αcos α－9cos 2α的值为________． 解析：原式＝2sin 2α＋4sin αcos α－9cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α＋4tan α－9tan 2α＋1 ＝2×32＋4×3－932＋1＝2110.答案：21105．若π2<α<π，化简cos α1－cos 2α＋sin α1－sin 2α1－cos 2α.解：因为π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2α，sin α＝1－cos 2α，所以原式＝cos αsin α＋sin α(－cos α)1－cos 2α＝cos αsin α－sin αcos αsin 2α＝cos αsin α－cos αsin α＝0.1．cos(－20π3)等于( ) A.12 B.32 C ．－12D ．－32解析：cos(－20π3)＝cos 20π3 ＝cos(6π＋2π3)＝cos 2π3＝－12. 答案：C2．sin600°＋tan240°的值是( ) A ．－32 B.32 C ．－12＋ 3 D.12＋3 解析：sin600°＋tan240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°) ＝sin240°＋tan60°＝sin(180°＋60°)＋tan60° ＝－sin60°＋tan60°＝－32＋3＝32. 答案：B3．已知sin(45°＋α)＝513，则sin(135°－α)＝________.解析：sin(135°－α)＝sin[180°－(45°＋α)] ＝sin(45°＋α)＝513. 答案：5134．已知α∈(0，π2)，tan(π－α)＝－34，则sin α＝________. 解析：由于tan(π－α)＝－tan α＝－34， 则tan α＝34，解方程组⎩⎨⎧sin αcos α＝34，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝±35，又α∈(0，π2)，所以sin α>0. 所以sin α＝35. 答案：355．化简tan (2π－θ)sin (－2π－θ)cos (6π－θ)cos (θ－π)sin (5π＋θ).解：原式＝tan (－θ)sin (－θ)cos (－θ)(－cos θ)(－sin θ)＝(－tan θ)(－sin θ)cos θcos θsin θ＝tan θ.1．已知sin40°＝a ，则cos130°等于( ) A ．a B ．－a C.1－a 2D ．－1－a 2解析：cos130°＝cos(90°＋40°)＝－sin40°＝－a .答案：B2．已知sin(α－π4)＝13，则cos(π4＋α)的值等于( ) A.223 B ．－232 C.13D ．－13解析：∵π4＋α－(α－π4)＝π2， ∴cos(π4＋α)＝cos[π2＋(α－π4)] ＝－sin(α－π4)＝－13. 答案：D3．已知sin(π6－θ)＝13，则cos(π3＋θ)等于________． 解析：cos(π3＋θ)＝cos[π2－(π6－θ)] ＝sin(π6－θ)＝13. 答案：134．已知cos α＝15，且α为第四象限角，那么cos(α＋π2)等于________． 解析：∵α为第四象限角且cos α＝15， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－25 6. ∴cos(α＋π2)＝－sin α＝25 6. 答案：2655．化简1＋2sin (π2－2)·cos (π2＋2).解：原式＝1＋2cos2·(－sin2)＝1－2sin2cos2＝(sin2－cos2)2＝|sin2－cos2|. 又∵sin2>cos2，∴原式＝sin2－cos2.1．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图是( )解析：用特殊点来验证．x ＝0时，y ＝－sin0＝0，排除选项A ，C ；又x ＝－π2时，y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝1，排除选项B.答案：D2．方程x ＋sin x ＝0的根有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．无数个解析：设f (x )＝－x ，g (x )＝sin x ，在同一直角坐标系中画出 f (x )和g (x )的图象，如图所示．由图知f (x )和g (x )的图象仅有一个交点，则方程x ＋sin x ＝0仅有一个根．答案：B3．用“五点法”画y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]的图象时，五个关键点的坐标是________．答案：(0,0)，⎝⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，2)，⎝⎛⎭⎪⎫3π2，1，(2π，0)4．函数y ＝2cos x －2的定义域是________． 解析：由2cos x －2≥0得cos x ≥22， 借助y ＝cos x 的图象可得cos x ≥22的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z 5．在[0,2π]内用五点法作出y ＝－sin x －1的简图． 解：(1)按五个关键点列表xπ2π3π22πy －1 －2 －1 0 －1(2)描点并用光滑曲线连接可得其图象，如图所示：1．函数y ＝2cos(π3－ωx )的最小正周期是4π，则ω等于( ) A ．2 B.12 C ．±2D ．±12解析：4π＝2π|ω|，∴ω＝±12. 答案：D2．定义在R 上的周期函数f (x )的一个周期为5，则f (2 011)＝( )A ．f (1)B ．f (2)C ．f (3)D ．f (4) 解析：f (2 011)＝f (402×5＋1)＝f (1)． 答案：A3．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的周期为π，则ω＝________. 解析：由于周期T ＝2πω，所以2πω＝π，解得ω＝2. 答案：24．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为6的奇函数，且f (1)＝1，则f (5)＝________.解析：由于函数f (x )是定义在R 上的周期为6的奇函数，则f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝－f (1)．又f (1)＝1，则f (5)＝－1. 答案：－15．若函数f (x )是以π2为周期的奇函数，且f (π3)＝1，求 f (－176π)的值．证明：∵f (x )的周期为π2，且为奇函数， ∴f (－17π6)＝f (－3π＋π6)＝f (－6×π2＋π6) ＝f (π6)．而f (π6)＝f (π2－π3)＝f (－π3)＝－f (π3)＝－1， ∴f (－17π6)＝－1.1．函数y ＝sin(2x ＋52π)的图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝－π2 B ．x ＝－π4 C ．x ＝π8D ．x ＝54π解析：y ＝sin(2x ＋52 π)＝cos2x ，令2x ＝k π(k ∈Z )，则x ＝k2 π(k ∈Z )．当k ＝－1时，x ＝－π2.答案：A2．函数y ＝2sin(2x －π4)的一个单调递减区间是( ) A ．[3π8，7π8] B ．[－π8，3π8] C ．[3π4，5π4]D ．[－π4，π4]解析：令z ＝2x －π4，函数y ＝sin z 的单调递减区间是[π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )．由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z . 令k ＝0，3π8≤x ≤7π8. 答案：A3．下列关系式中正确的是( ) A ．sin11°<cos10°<sin168° B ．sin168°<sin11°<cos10° C ．sin11°<sin168°<cos10° D ．sin168°<cos10°<sin11°解析：∵sin168°＝sin(180°－168°)＝sin12°，cos10°＝sin80°， ∴sin11°<sin12°<sin80°. ∴sin11°<sin168°<cos10°. 答案：C4．设ω>0，若函数f (x )＝2sin ωx 在[－π3，π4]上单调递增，则ω的取值范围是________．解析：令－π2≤ωx ≤π2，－π2ω≤x ≤π2ω，则[－π2ω，π2ω]是函数的关于原点对称的递增区间中范围最大的，即[－π3，π4]⊆[－π2ω，π2ω]，则⎩⎪⎨⎪⎧π4≤π2ω，－π3≥－π2ω.⇒ω≤32.答案：[0，32]5．求函数y ＝1－2cos 2x ＋5sin x 的最大值和最小值． 解：y ＝1－2cos 2x ＋5sin x ＝2sin 2x ＋5sin x －1 ＝2(sin x ＋54)2－338.∵sin x ∈[－1,1]，而y 在[－1,1]上是增函数， ∴当sin x ＝－1时，函数取得最小值－4； 当sin x ＝1时，函数取得最大值6.1．y ＝tan(x ＋π)是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数答案：A2．函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的一个对称中心是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0 解析：由3x －π4＝k π2，得x ＝k π6＋π12 令k ＝－2得x ＝－π4.故选C. 答案：C3．函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的定义域是________．解析：由π3－x 2≠k π＋π2，得x ≠－2k π－π3，k ∈Z ，故函数y ＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫π3－x 2的定义域是：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π3－2k π，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π3－2k π，k ∈Z4．使函数y ＝2tan x 与y ＝cos x 同时为单调增的区间是________． 解析：由y ＝2tan x 与y ＝cos x 的图象知，同时为单调增的区间为(2k π－π2，2k π)(k ∈Z )和(2k π＋π，2k π＋3π2)(k ∈Z )．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π(k ∈Z )和(2k π＋π，2k π＋3π2)(k ∈Z )5．求函数y ＝tan(π－x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π4，π3的值域．解：y ＝tan(π－x )＝－tan x ，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π3上为减函数，所以值域为(－3，1)．1．把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向左平移π8个单位长度，所得到的图象对应的函数是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π8，向左平移π8个单位长度后为y ＝sin[2(x －π8＋π8)]＝sin2x ，为奇函数，故选A.答案：A2．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象( )A ．向左平移π4个单位长度 B ．向右平移π4个单位长度 C ．向左平移π2个单位长度 D ．向右平移π2个单位长度 解析：由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6――→x →x ＋φy＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x ＋φ)＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，即2x ＋2φ＋π6＝2x －π3，解得φ＝－π4，即向右平移π4个单位长度．答案：B3．用“五点法”画函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)在一个周期内的简图时，五个关键点是(－π6，0)，(π12，2)，(π3，0)，(712 π，－2)，(5π6，0)，则ω＝________.解析：周期T ＝5π6－(－π6)＝π. ∴2πω＝π，ω＝2. 答案：24．把函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象上所有的点向右平移π6个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象对应的一个解析式为________．解析：把函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象上所有的点向右平移π6个单位长度，得函数y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象，即y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －π4.答案：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －π45．已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)用“五点法”画出函数的草图．(2)函数图象可由y ＝sin x 的图象怎样变换得到？ 解：(1)列表：2x ＋π4 0 π2 π 3π2 2π x －π8 π8 3π8 5π8 7π8 y1211描点、连线如图所示．将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，7π8上的图象向左(右)平移k π(k ∈Z )个单位，即可得到y ＝sin(2x ＋π4)＋1的整个图象．1．函数y ＝2sin(x 2＋π5)的周期、振幅依次是( ) A ．4π，－2 B ．4π，2 C ．π，2D ．π，－2解析：在y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)中，T ＝2πω，A 叫振幅(A >0)，故y ＝2sin(x 2＋π5)的周期T ＝2π12＝4π，振幅为2，故选B.答案：B2．已知函数f (x )＝2 sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数 解析：∵函数f (x )的最小正周期为6π，∴2πω＝6π，得ω＝13，在x ＝π2时，函数f (x )取得最大值， ∴13×π2＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z . 又∵－π<φ≤π，∴φ＝π3. ∴f (x )＝2sin(13x ＋π3)．由2k π－π2≤13x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得6k π－52π≤x ≤6k π＋12π(k ∈Z )．∴f (x )的增区间是[6k π－52π，6k π＋π2](k ∈Z )． 取k ＝0，得[－52π，π2]是f (x )的一个增区间． ∴函数f (x )在区间[－2π，0]上是增函数． 答案：A3．函数y ＝|5sin(2x ＋π3)|的最小正周期为________． 解析：∵y ＝5sin(2x ＋π3)的最小正周期为π， ∴函数y ＝|5sin(2x ＋π3)|的最小正周期为π2. 答案：π24．使函数f (x )＝3sin(2x ＋5θ)的图象关于y 轴对称的θ为________． 解析：∵函数f (x )＝3sin(2x ＋5θ)的图象关于y 轴对称， ∴f (－x )＝f (x )恒成立，∴3sin(－2x ＋5θ)＝3sin(2x ＋5θ)． ∴sin(－2x ＋5θ)＝sin(2x ＋5θ)．∴－2x ＋5θ＝2x ＋5θ＋2k π(舍去)或－2x ＋5θ＋2x ＋5θ＝2k π＋π(k ∈Z )．即10θ＝2k π＋π，故θ＝k π5＋π10(k ∈Z )． 答案：θ＝k π5＋π10，k ∈Z5．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如图，试求这个函数的解析式．解：方法一：易知A ＝22，T4＝6－2＝4. ∴T ＝16，∴2πω＝16，∴ω＝π8. 又∵图象过点(2,22)． ∴22sin(π8×2＋φ)＝2 2. 又∵|φ|<π2，∴φ＝π4. 于是y ＝22sin(π8x ＋π4)．方法二：易知A ＝22，由图可知，第二、第三两关键点的横坐标分别为2和6.∵⎩⎨⎧2ω＋φ＝π2，6ω＋φ＝π，∴⎩⎪⎨⎪⎧ω＝π8，φ＝π4.∴y ＝22sin(π8x ＋π4)．1．已知某人的血压满足函数解析式f (t )＝24sin(160πt )＋115.其中f (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数为( )A ．60B ．70C ．80D ．90解析：由题意可得频率f ＝1T ＝160π2π＝80(次/分)，所以此人每分钟心跳的次数是80.答案：C2．如图表示电流I 与时间t 的关系I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0)在一个周期内的图象，则该函数的解析式为( )A ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫50πt ＋π3B ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫50πt －π3C ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3D ．I ＝300sin(100πt －π3)解析：由图象得周期T ＝2(1150＋1300)＝150，最大值为300，图象经过点(1150，0)，则ω＝2πT ＝100π，A ＝300，∴I ＝300sin(100πt ＋φ)． ∴0＝300sin(100π×1150＋φ)． ∴sin(2π3＋φ)＝0.取φ＝π3， ∴I ＝300sin(100πt ＋π3)． 答案：C 3.如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________s 往复一次．解析：由图象知周期T ＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动需要0.8 s 往复一次．答案：0.84．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，则f (x )＝________.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝8，－A ＋B ＝4，解得A ＝2，B ＝6.周期T ＝2(7－3)＝8，∴ω＝2πT ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ＋6. 又当x ＝3时，y ＝8，∴8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＋6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1.由于|φ|<π2，∴φ＝－π4， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋6.答案：2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋65.如图所示，摩天轮的半径为40 m ，O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速转动，每3 min 转一圈，摩天轮上的P 点的起始位置在最低点处．(1)试确定在时刻t min 时P 点距离地面的高度；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间P 点距离地面超过70 m? 解：(1)以中心O 为坐标原点建立如图所示的坐标系，设t min 时P 距地面的高度为y ，依题意得y ＝40sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t －π2＋50.(2)令40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3t －π2＋50>70，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3t －π2>12，∴2k π＋π6<2π3t －π2<2k π＋5π6(k ∈Z )，∴2k π＋2π3<2π3t <2k π＋4π3(k ∈Z )，∴3k ＋1<t <3k ＋2(k ∈Z )．令k ＝0得1<t <2. 因此，共有1 min P 点距地面超过70 m.单元综合测试一时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．若角600°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是( ) A ．－4 3 B ．±43 C. 3D ．43解析：因为tan600°＝a－4＝tan(540°＋60°)＝tan60° ＝3，故a ＝－4 3. 答案：A2．已知cos(π2＋φ)＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( ) A ．－33 B.33 C ．－ 3D.3 解析：由cos(π2＋φ)＝32，得sin φ＝－32，又|φ|<π2，∴cos φ＝12，∴tan φ＝－ 3. 答案：C3．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π6) B ．y ＝sin(x 2＋π6) C ．y ＝sin(2x －π6)D ．y ＝sin(2x －π3)解析：∵最小正周期为π，∴ω＝2，又图象关于直线x ＝π3对称， ∴f (π3)＝±1，故只有C 符合． 答案：C4．若2k π＋π<θ<2k π＋5π4(k ∈Z )，则sin θ，cos θ，tan θ的大小关系是( )A ．sin θ<cos θ<tan θB ．cos θ<tan θ<sin θC ．cos θ<sin θ<tan θD ．sin θ<tan θ<cos θ解析：设π<α<54π，则有sin θ＝sin α， cos θ＝cos α，tan θ＝tan α， ∵tan α>0，而sin α<0，cos α<0，∴B 、D 排除，又∵cos α<－22<sin α，即cos α<sin α，排除A.选C. 答案：C5．已知A 是三角形的内角，且sin A ＋cos A ＝52，则tan A 等于( )A ．4＋15B ．4－15C ．4±15D ．以上均不正确解析：因为sin A ＋cos A ＝52，所以2sin A cos A ＝14>0.所以A 为锐角．又(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1－14＝34，所以sin A －cos A ＝±32.从而可求出sin A ，cos A 的值，从而求出tan A ＝4±15.答案：C6．函数y ＝2sin(π6－2x )(x ∈[0，π])的单调递增区间是( ) A ．[0，π3] B ．[π12，7π12] C ．[π3，5π6]D ．[5π6，π]解析：由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π 可得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π(k ∈Z )．∵x ∈[0，π]，∴单调递增区间为[π3，5π6]． 答案：C7．为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度 B ．向右平移π6个单位长度 C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度 解析：∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π6， ∴只需将y ＝sin x 的图象向左平移5π6个单位长度． 答案：C8．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，－π12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤11π12，17π12 解析：由图形可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2，又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫512π，2.∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×512π＋φ＝2， ∴φ＝－π3，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， 其单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z )， 取k ＝1，即得选项D. 答案：D9．设a 为常数，且a >1,0≤x ≤2π，则函数f (x )＝cos 2x ＋2a sin x －1的最大值为( )A ．2a ＋1B ．2a －1C ．－2a －1D ．a 2解析：f (x )＝cos 2x ＋2a sin x －1 ＝1－sin 2x ＋2a sin x －1 ＝－(sin x －a )2＋a 2，∵0≤x ≤2π，∴－1≤sin x ≤1，又a >1，∴f (x )max ＝－(1－a )2＋a 2＝2a －1. 答案：B 10.函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A ，B 分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为22，则该函数图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝2π B ．x ＝π2 C ．x ＝1D ．x ＝2解析：函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最大值为1，最小值为－1，所以周期T ＝2(22)2－22＝4，所以ω＝π2，又函数为奇函数，所以cos φ＝0(0<φ<π)⇒φ＝π2，所以函数解析式为y ＝cos(π2x ＋π2)＝－sin π2x ，所以直线x ＝1为该函数图象的一条对称轴．答案：C11．中国最高的摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若从最低点开始计时，则摩天轮进行5分钟后离地面的高度为( )A ．41米B ．43米C ．78米D ．118米解析：摩天轮转轴离地面高160－⎝ ⎛⎭⎪⎫1562＝82(米)，ω＝2πT ＝π15，摩天轮上某个点P 离地面的高度h 米与时间t 的函数关系是h ＝82－78cos π15t ，当摩天轮运行5分钟时，其离地面高度为h ＝82－78cos π15t ＝82－78×12＝43(米)．答案：B12．设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )A.23B.43C.32D ．3解析：方法一：函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后得到函数y ＝sin[ω(x －4π3)＋π3]＋2＝sin(ωx －4π3ω＋π3)＋2的图象．∵两图象重合，∴ωx ＋π3＝ωx －4π3ω＋π3＋2k π，k ∈Z ，解得ω＝32k ，k ∈Z .又ω>0，∴当k ＝1时，ω的最小值是32.方法二：由题意可知，4π3是函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2(ω>0)的最小正周期T 的正整数倍，即4π3＝kT ＝2k πω(k ∈N *)，ω＝32k ，ω的最小值为32. 答案：C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是________弧度，扇形面积是________．解析：圆心角α＝l r ＝128＝32， 扇形面积S ＝12lr ＝12×12×8＝48.答案：32 4814．方程sin x ＝lg x 的解的个数为________．解析：画出函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图象(图略)，结合图象易知这两个函数的图象有3个交点．答案：315．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β为非零常数．若f (2 013)＝－1，则f (2 014)＝________.解析：f (2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β) ＝－1，f (2 014)＝a sin(2 014π＋α)＋b cos(2 014π＋β) ＝a sin[π＋(2 013π＋α)]＋b cos[π＋(2 013π＋β)] ＝－[a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)]＝1. 答案：116．关于函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1有以下结论：①函数f (x )的值域是[0,2]；②点⎝⎛⎭⎪⎫－512π，0是函数f (x )的图象的一个对称中心；③直线x ＝π3是函数f (x )的图象的一条对称轴；④将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，与所得图象对应的函数是偶函数．其中，所有正确结论的序号是________．解析：①∵－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴0≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1≤2；②∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＋π3＋1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋1＝1≠0，∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫－512π，0不是函数f (x )图象的一个对称中心；③∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π3＋1＝cosπ＋1＝0，函数取得最小值，∴直线x ＝π3是函数f (x )的图象的一条对称轴；④将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，与所得图象对应的函数解析式为g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＋1＝cos2x ＋1，此函数是偶函数．综上所述，①③④正确．答案：①③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知sin θ＝45，π2<θ<π， (1)求tan θ；(2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ的值．解：(1)∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴cos 2θ＝1－sin 2θ＝925.又π2<θ<π，∴cos θ＝－35. ∴tan θ＝sin θcos θ＝－43.(2)sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋2tan θ3tan 2θ＋1＝－857.18．(12分)(1)已知cos(75°＋α)＝13，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值；(2)已知π<θ<2π，cos(θ－9π)＝－35，求tan(10π－θ)的值． 解：(1)cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＝－13，sin(α－105°)＝－sin[180°－(75°＋α)] ＝－sin(75°＋α)． ∵α为第三象限角，∴75°＋α为第三或第四象限角，又cos(75°＋α)＝13>0， ∴75°＋α为第四象限角，∴sin(75°＋α)＝－1－cos 2(75°＋α) ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223， ∴cos(105°－α)＋sin(α－105°) ＝－13＋223＝22－13. (2)由已知得cos(θ－9π)＝－35， ∴cos(π－θ)＝－35，∴cos θ＝35， ∵π<θ<2π，∴3π2<θ<2π，∴sin θ＝－45， ∴tan θ＝－43，∴tan(10π－θ)＝tan(－θ)＝－tan θ＝43.19．(12分)已知函数f (x )＝2cos(2x －π4)，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间．(2)求函数f (x )在区间[－π8，π2]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．解：(1)因为f (x )＝2cos(2x －π4)，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间为[－3π8＋k π，π8＋k π](k ∈Z )．(2)因为f (x )＝2cos(2x －π4)在区间[－π8，π8]上为增函数，在区间[π8，π2]上为减函数，又f (－π8)＝0，f (π8)＝2，f (π2)＝2cos(π－π4)＝－2cos π4＝－1，所以函数f (x )在区间[－π8，π2]上的最大值为2，此时x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2.20．(12分)函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象过点(0,1)，如图所示．(1)求函数f 1(x )的表达式；(2)把f 1(x )的图象向右平移π4个单位长度得到f 2(x )的图象，求f 2(x )取得最大值时x 的取值．解：(1)由图知，T ＝π，于是ω＝2πT ＝2.将y ＝A sin2x 的图象向左平移π12，得y ＝A sin(2x ＋φ)的图象，于是φ＝2×π12＝π6.将(0,1)代入y ＝A sin(2x ＋π6)，得A ＝2.故f 1(x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)依题意，f 2(x )＝2sin[2(x －π4)＋π6] ＝－2cos(2x ＋π6)，当2x ＋π6＝2k π＋π(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时， y max ＝2.此时x 的取值为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }． 21．(12分)已知函数f (x )＝2sin(2x ＋π6)－1.(1)若点P (1，－3)在角α的终边上，求f (α2－π12)的值； (2)若x ∈[－π6，π3]，求f (x )的值域．解：(1)因为点P (1，－3)在角α的终边上， 所以sin α＝－32，cos α＝12，所以f (α2－π12)＝2sin[2×(α2－π12)＋π6]－1 ＝2sin α－1＝2×(－32)－1＝－3－1. (2)令t ＝2x ＋π6，因为x ∈[－π6，π3]，所以－π6≤2x ＋π6≤5π6，而y ＝sin t 在[－π6，π2]上单调递增， 在[π2，5π6]上单调递减， 且sin(－π6)＝－12，sin 5π6＝12，所以函数y ＝sin t 在[－π6，5π6]上的最大值为1， 最小值为－12，即－12≤sin(2x ＋π6)≤1， 所以f (x )的值域是[－2,1]．22．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的一系列对应值如下表：(1)(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k >0)的最小正周期为2π3，当x ∈[0，π3]时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围． 解：(1)设f (x )的最小正周期为T ， 得T ＝11π6－(－π6)＝2π， 由T ＝2πω，得ω＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧ B ＋A ＝3，B －A ＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝1.令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2，解得φ＝－π3， ∴f (x )＝2sin(x －π3)＋1.(2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin(kx －π3)＋1的最小正周期为2π3， 又k >0，∴k ＝3，令t ＝3x －π3， ∵x ∈[0，π3]，∴t ∈[－π3，2π3]，若sin t ＝s 在[－π3，2π3]上有两个不同的解， 则s ∈[32，1)，∴方程f (kx )＝m 在x ∈[0，π3]时恰好有两个不同的解，则m ∈[3＋1,3)，即实数m的取值范围是[3＋1,3)．1.如图，在⊙O 中，向量OB →，OC →，AO →是( ) A ．有相同起点的向量 B ．共线向量 C ．模相等的向量 D ．相等的向量解析：由题知OB →，OC →，AO →对应的有向线段都是圆的半径，因此它们的模相等．答案：C2．下列说法中正确的是( ) A ．若|a |>|b |，则a >b B ．若|a |＝|b |，则a ＝b C ．若a ＝b ，则a ∥bD ．若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量解析：向量不能比较大小，所以A 不正确；a ＝b 需满足两个条件：a ，b 同向且|a |＝|b |，所以B 不正确，C 正确；a 与b 是共线向量只需方向相同或相反，所以D 不正确．答案：C3．设O 是正方形ABCD 的中心，则OA →，BO →，AC →，BD →中，模相等的向量是________．解析：∵四边形ABCD 为正方形，O 为正方形的中心， ∴OA ＝BO ，即|OA →|＝|BO →|，|AC →|＝|BD →|. 答案：OA →与BO →，AC →与BD →4.如图所示，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形． (1)与向量ED →相等的向量为______；(2)若|AB →|＝3，则向量EC →的模等于________． 解析：(1)在平行四边形ABCD 和ABDE 中， ∵AB →＝ED →，AB →＝DC →，∴ED →＝DC →. (2)由(1)知ED →＝DC →，∴E 、D 、C 三点共线，|EC →|＝|ED →|＋|DC →|＝2|AB →|＝6. 答案：(1)AB →、DC →(2)65．一个人从点A 出发沿东北方向走了100 m 到达点B ，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100 m 到达点C .(1)画出AB →，BC →，CA →. (2)求|CA →|. 解：(1)如图所示． (2)|AB →|＝100 m ， |BC →|＝100 m ，∠ABC ＝45°＋15°＝60°， 则△ABC 为正三角形． 故|CA →|＝100 m.1．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则( ) A ．ABCD 一定是矩形 B ．ABCD 一定是菱形 C ．ABCD 一定是正方形D ．ABCD 一定是平行四边形解析：由AC →＝AB →＋AD →知由A ，B ，C ，D 构成的四边形一定是平行四边形．答案：D2．下列等式不成立的是( ) A ．0＋a ＝a B ．a ＋b ＝b ＋a C.AB →＋BA →＝2BA →D.AB →＋BC →＝AC →解析：对于C ，∵AB →与BA →是相反向量， ∴AB →＋BA →＝0. 答案：C3．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________.解析：原式＝(AB →＋BO → )＋(OM →＋MB → )＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →.答案：AC →4．若a ＝“向北走8 km ”，b ＝“向东走8 km ”，则|a ＋b |＝________；a ＋b 的方向是________．解析：由向量加法的平行四边形法则，知|a ＋b |＝82，方向为东北方向．答案：8 2 km 东北方向5．在水流速度为4 3 km/h 的河中，要使船以12 km/h 的实际航速与河岸成直角行驶，求船在静水中的航行速度的大小和方向．解：设AB →表示水流的速度，AC →表示船的实际航行速度，如图，作出AB →，AC →，连接BC ，作AD 綊BC ，连接DC ，则AD →为所求船的静水航速，且AD →＋AB →＝AC →.∵|AB →|＝43，|AC →|＝12， tan ∠ACB ＝4312＝33. ∴∠ACB ＝30°＝∠CAD ， |AD →|＝|BC →|＝83，∠BAD ＝120°.∴船在静水中的航行速度的大小为8 3 km/h ，方向与水流速度成120°角．1．下列等式： ①0－a ＝－a ②－(－a )＝a ③a ＋(－a )＝0 ④a ＋0＝a ⑤a －b ＝a ＋(－b ) ⑥a ＋(－a )＝0正确的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：根据向量的加减运算易知①②③④⑤均正确． 答案：C2．设AB →，BC →，AC →是三个非零向量，且AB →＋BC →＝AC →，则( ) A ．线段AB ，BC ，AC 一定构成一个三角形 B ．线段AB ，BC 一定共线 C ．线段AB ，BC 一定平行D ．线段AB ，BC ，AC 构成三角形或共线解析：由于三角形法则对于共线时也成立，因此线段AB ，BC ，AC 可以构成三角形，也可以共线，但线段AB ，BC 不可能平行．答案：D3．若向量a 与b 共线，且|a |＝|b |＝1，则|a －b |＝________. 解析：∵a 与b 共线， ∴两向量同向或反向． 又|a |＝|b |＝1，∴|a －b |＝0或2. 答案：0或24．化简：(1)(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)＝________. (2)(PQ →－MO →)＋(QO →－QM →)＝________. 答案：(1)AD → (2)PQ →5.如图，在五边形ABCDE 中，若四边形ACDE 是平行四边形，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用a ，b ，c 表示向量BD →，BE →，CE →.解：∵四边形ACDE 为平行四边形， ∴CD →＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a . ∴BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c ， BE →＝AE →－AB →＝c －a ， CE →＝AE →－AC →＝c －b .1．在四边形ABCD 中，若AB →＝－12CD →，则此四边形是( ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．梯形D ．矩形解析：由AB →＝－12CD →可得，在四边形ABCD 中有AB ∥CD ，但|AB |≠|CD |，故为梯形．答案：C2．已知非零向量a ，b 满足a ＝λb ，b ＝λa (λ∈R )，则λ＝( ) A ．－1 B ．±1 C ．0D ．0解析：∵a ＝λb ，b ＝λa ，∴a ＝λ2a ，∴λ±1.答案：B3．化简：2(a －2b )＋3(13a ＋b )＝________. 答案：3a －b4．若|a |＝5，b 与a 的方向相反，且|b |＝7，则a ＝________b . 解析：∵b 与a 方向相反，∴设a ＝λb (λ<0) ∴|a |＝|λ||b |，∴5＝|λ|×7，∴|λ|＝57， ∴λ＝±57，又λ<0，∴λ＝－57. 答案：－57 5.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示BC →和MN →.解：在四边形ANMD 中，有 MN →＝MD →＋DA →＋AN → ＝－12DC →－AD →＋12AB → ＝－AD →－12(12AB →)＋12AB →＝－AD →＋14AB →＝14a －b . 在四边形ABCD 中，有BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－AB →＋AD →＋12AB → ＝AD →－12AB →＝b －12a .1．已知e 1，e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是( )A ．e 1，e 1＋e 2B ．e 1－2e 2，e 2－2e 1C ．e 1－2e 2,4e 2－2e 1D ．e 1＋e 2，e 1－e 2解析：因为4e 2－2e 1＝－2(e 1－2e 2)，从而e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线．答案：C2．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，以b 与c 作为基底，则AD →＝( )A.23b ＋13cB.53c －23bC.23b －13cD.13b ＋23c解析：∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →)， ∴AD →－c ＝2(b －AD →)，∴AD →＝13c ＋23b . 答案：A。
高中数学必修四第三章三角恒等变换
必修四 第三章：三角恒等变换【知识点梳理】：考点一：两角和、差的正、余弦、正切公式两角差的余弦：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ 两角和的余弦：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- 两角和的正弦：()sin αβ+sin cos cos sin αβαβ=+ 两角差的正弦：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=- 两角和的正切：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-两角差的正切：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+注意：对于正切,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．【典型例题讲解】：例题1.已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.例题2.利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值。
例题3.已知()sin αβ+=32，)sin(βα-=51，求βαtan tan 的值。
例题4.cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（ ）A ．12B ．33C ．22D ．32例题5.已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值.例题6.已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____例题7.如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 225（1） 求tan()αβ+的值； （2） 求2αβ+的值。
例题8.设ABC ∆中，tan A tan B Atan B +=，sin Acos A =，则此三角形是____三角形【巩固练习】练习1. 求值（1）sin 72cos 42cos72sin 42-； （2）cos 20cos70sin 20sin 70-；练习2.0sin 45cos15cos 225sin15⋅+⋅的值为（A ） -2 1（B ） -2 1（C ）2 （D ）2练习3.若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于（ ） Ａ．3-Ｂ．13-Ｃ．3Ｄ．13练习4. 已知α，β为锐角，1tan 7α=，sin 10β=，求2αβ+.考点二：二倍角公式及其推论：在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时，就可得到二倍角的三角函数公式222,,S C T ααα：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--．注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，24αα是的二倍，332αα是的二倍等等，要熟悉这多种形 式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键．二倍角公式的推论升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-=降幂公式：ααα2sin 21cos sin =； 22cos 1sin 2αα-=； 22cos 1cos 2αα+=.【典型例题讲解】例题l. ） A ．2sin15cos15 B ．22cos 15sin 15- C ．22sin 151-D ．22sin 15cos 15+例题2.．已知1sin cos 5θθ+=，且432πθπ≤≤，则cos 2θ的值是 ．例题3.化简0000cos10cos 20cos30cos 40••• 例题4.23sin 702cos 10-=-（ ）A ．12B ．2C ．2D例题5.已知02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin ))]lg(1sin 2)24x x x x x π⋅+-+--+.例题6.若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 。
(人教版B版2019课标)高中数学必修第四册 第十一章综合测试(含答案)
第十一章综合测试基础练习一、单选题1.如图，四棱锥P ABCD -，AC BD O =，M 是PC 的中点，直线AM 交平面PBD 于点N ，则下列结论正确的是（ ）A.O ，N ，P ，M 四点不共面B.O ，N ，M ，D 四点共面C.O ，N ，M 三点共线D.P ，N ，D 三点共线2.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB AC BC ===，则异面直线1AB 和1BC 所成角的余弦值为（ ）A.12-B.12C.14-D.143.如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为（ ）A.AC BD ⊥B.AC ∥截面PQMNC.AC BD =D.异面直线PM 与BD 所成的角为45︒4.设E ，F 分别是正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1的棱DC 上两点，且2AB =，1EF =，给出下列四个命题：①三棱锥11D B EF -的体积为定值； ②异面直线11D B 与EF 所成的角为45︒； ③11D B ⊥平面1B EF ；④直线11D B 与平面1D EF 所成的角为60︒。
其中正确的命题为（ ） A.①②B.②③C.②④D.①④5.在如图的正方体ABCD A B C D ''''-中，3AB =，点M 是侧面BCC B ''内的动点，满足'AM BD ⊥，设AM 与平面BCC B ''所成角为θ，则tan θ的最大值为（ ）C.43D.34二、填空题6.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥面ABCD ，4PA AB ==，E ，F ，H 分别是棱PB ，BC ，PD 的中点，过E ，F ，H 的平面交棱CD 于点G ，则四边形EFGH 面积为________。
7.如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，正确的是________。
2016高中数学人教A版必修四第二章 71点到直线的距离公式72向量的应用举例 练习题含答案
§7向量应用举例7、1点到直线的距离公式7、2向量的应用举例,)1、问题导航(1）已知直线l的方向向量（M,N)或法向量（A,B),如何设l的方程?（2)向量可以解决哪些常见的几何问题？（3)向量可以解决哪些物理问题？2、例题导读P102例1、通过本例学习，学会利用点到直线的距离公式计算点到直线的距离、试一试:教材P102练习T1,T2,T3您会不?P102例2、通过本例学习，学会利用向量方法解答平面几何问题的方法步骤、试一试:教材P104习题2－7 B组T1您会不？P103例3，例4、通过此两例学习,学会利用向量方法解答物理中位移、力等问题、试一试:教材P104习题2－7 A组T3，B组T2您会不？1、直线l:Ax＋By＋C＝0的法向量（1）与直线的方向向量垂直的向量称为该直线的法向量、（2）若直线l的方向向量v＝(B,－A）,则直线l的法向量n＝(A,B)、（3）与直线l的法向量n同向的单位向量n0＝错误!＝错误!、2、点到直线的距离公式点M（x0,y0）到直线l:Ax＋By＋C＝0的距离d＝错误!、3、用向量解决平面几何中的问题（1）证明线段平行或相等，可以用向量的数乘、平行向量定理、(2)证明线段垂直，可以用向量数量积运算、（3）利用向量数量积运算，可以求线段的长度、夹角及平面图形的面积、4、用向量解决解析几何中的问题解析几何就是在平面直角坐标系内研究图形的性质,这类问题大多适用于向量的坐标运算,建立适当的平面直角坐标系，设出向量的坐标,将几何问题转化为向量的线性运算或数量积的运算、5、向量在物理中的应用向量有着丰富的物理背景,向量的物理背景就是位移、力、速度等，向量数量积的物理背景就是力所做的功，因此，利用向量可以解决一些物理问题、用向量法解决物理问题时,要作出相应的几何图形,以帮助我们建立数学模型、向量在物理中的应用，如求力的合成与分解,力做功等,实际上就是把物理问题转化为向量问题,然后通过向量运算解决向量问题，最后再用获得的结果解释物理现象、1、判断正误、(正确的打“√"，错误的打“×")(1）求力F1与F2的合力可按照向量加法的三角形法则求解、()（2）若△ABC为直角三角形,则有错误!·错误!＝0、（)（3）若向量错误!∥错误!,则AB∥CD、()解析：（1）正确、物理中的力既有大小又有方向,所以力可以瞧作向量,F1，F2的合力可按照向量加法的三角形法则求解、（2)错误、因为△ABC为直角三角形,角A并不一定就是直角,有可能就是角B或角C 为直角、（3)错误、向量错误!∥错误!时,直线AB∥CD或AB,CD重合、答案：（1）√（2)×(3)×2、已知A,B,C，D四点的坐标分别为（1，0）,(4，3),（2,4),（0,2)，则此四边形为（)A、梯形B、菱形C、矩形D、正方形解析:选A、错误!＝(3,3），错误!＝（－2,－2)，所以错误!＝－错误!错误!,错误!与错误!共线,但｜错误!|≠｜错误!｜,故此四边形为梯形、3、两个大小相等的共点力F1,F2,当它们间的夹角为90°时合力大小为20 N,则当它们的夹角为120°时，合力的大小为________N、解析：根据题意，当F1,F2夹角为90°时,|F1｜2＋|F2｜2＝202,因为｜F1｜＝|F2|，所以|F1｜＝|F2|＝102，则当F1,F2夹角为120°时，它们的合力大小为|错误!|＝10错误!、答案：10错误!4、在△ABC中，若C＝90°，AC＝BC＝4,则错误!·错误!＝________、解析：因为C＝90°,AC＝BC＝4,所以△ABC为等腰直角三角形，所以BA＝42,∠ABC＝45°,所以错误!·错误!＝16、答案：161、对直线l:Ax＋By＋C＝0的方向向量及法向量的两点说明（1)设P1(x1,y1)，P2(x2，y2）为直线上不重合的两点,则错误!＝（x2－x1,y2－y1)及其共线的向量λ错误!均为直线的方向向量、显然当x1≠x2时,向量错误!与错误!共线,因此向量错误!＝错误!（B,－A)为直线l的方向向量，由共线向量的特征可知(B，－A）为直线l的方向向量、(2)结合法向量的定义可知，向量（A，B）与(B，－A）垂直,从而向量（A，B)为直线l 的法向量、2、向量法在几何证明与计算中的几个主要应用(1）A、B、C三点共线的证法只需证错误!＝λ错误!或错误!＝(x1,y1），错误!＝（x2，y2)满足x1y2－x2y1＝0、(2）证明AB⊥AC的方法只需证错误!·错误!＝0、(3)求A、B两点间距离的方法可把错误!表示成λa＋μb或者求坐标（x，y）,然后利用向量的运算求解、（4)求∠AOB的方法利用数量积定义的变形cos∠AOB＝错误!、3、向量在物理中应用时应注意的三个问题(1）把物理问题转化为数学问题，也就就是将物理量之间的关系抽象成数学模型、(2)利用建立起来的数学模型解释与回答相关的物理现象、(3）在解决具体问题时，要明确与掌握用向量方法研究物理问题的相关知识：①力、速度、加速度与位移都就是向量；②力、速度、加速度与位移的合成与分解就就是向量的加、减法;③动量m v就是数乘向量；④功就是力F与在力F的作用下物体所产生的位移s的数量积、向量在解析几何中的应用（1）经过点A（－1，2）,且平行于向量a＝（3，2）的直线方程就是________、(2)已知圆C：（x－3）2＋(y－3）2＝4及点A（1，1），M就是圆C上的任一点，点N在线段MA的延长线上,且错误!＝2错误!,求点N的轨迹方程、[解］（1)在直线上任取一点P(x，y）,则错误!＝(x＋1,y－2)，由错误!∥a,得(x＋1）×2－（y－2)×3＝0,即2x－3y＋8＝0、故填2x－3y＋8＝0、(2)设N(x,y），M（x0，y0)、因为错误!＝2错误!，所以(1－x0，1－y0)＝2（x－1，y－1）,所以错误!即错误!又因为点M(x0,y0)在圆C:（x－3）2＋（y－3)2＝4上，所以（x0－3）2＋（y0－3)2＝4,所以（2x)2＋(2y）2＝4，即x2＋y2＝1,所以点N的轨迹方程为x2＋y2＝1、将本例(1)中的“平行于向量”改为“法向量为”结果如何?解：由法向量a＝(3，2)，设直线的方程为3x＋2y＋c＝0,又A（－1，2)在直线上,所以3×(－1）＋2×2＋c＝0，得c＝－1,即3x＋2y－1＝0、方法归纳向量在解析几何中的应用问题向量与解析几何的综合就是高考的热点、主要题型有:（1)向量的概念、运算、性质、几何意义与解析几何问题结合、（2）将向量作为描述问题或解决问题的工具、（3)以向量坐标运算为工具,考查直线与曲线相交、轨迹等问题、1、(1)已知两点A(3，2)，B（－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m＝________、（2）已知点P（－3，0)，点A在y轴上,点Q在x轴的正半轴上,点M在直线AQ上，满足错误!·错误!＝0，错误!＝－错误!错误!、当点A在y轴上移动时,求动点M的轨迹方程、解:(1)由已知得直线的一个法向量为n＝（m,1）,其单位向量为n0＝错误!＝错误!(m，1)，在直线上任取一点P(0,－3）,则错误!＝(－3,－5），错误!＝(1，－7)、依题意有｜错误!·n0｜＝｜错误!·n0|，即错误!＝错误!,解得m＝错误!或m＝－6、故填错误!或－6、（2）设点M(x，y)为轨迹上的任一点，设A（0，b)，Q(a,0)（a＞0)，则错误!＝（x,y －b），错误!＝(a－x，－y)、因为错误!＝－错误!错误!,所以(x，y－b)＝－错误!(a－x,－y）、所以a＝错误!,b＝－错误!,即A错误!，Q错误!、错误!＝错误!，错误!＝错误!、因为错误!·错误!＝0,所以3x－错误!y2＝0、即所求轨迹方程为y2＝4x（x＞0)、向量在平面几何中的应用如图正三角形ABC中,D、E分别就是AB、BC上的一个三等分点,且AE、CD交于点P、求证：BP⊥DC、(链接教材P100例2)[证明］设错误!＝λ错误!,并设三角形ABC的边长为a,则有：错误!＝错误!＋错误!＝λ错误!＋错误!错误!＝λ错误!＋错误!错误!＝错误!（2λ＋1）错误!－λ错误!、又错误!＝错误!－错误!错误!,错误!∥错误!,所以错误!（2λ＋1）错误!－λ错误!＝k错误!－错误!k错误!,于就是有错误!解得λ＝错误!、所以错误!＝错误!错误!、所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!,错误!＝错误!错误!－错误!、所以错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!a2－错误!a2－错误!a2cos 60°＝0、所以由向量垂直的等价条件知BP⊥DC、方法归纳用向量解决平面几何问题的两种常见思路(1)向量的线性运算法错误!―→错误!―→利用向量的线性运算或数量积找相应关系―→错误!(2）向量的坐标运算法建立适当的平面直角坐标系―→错误!―→错误!―→错误!2、（1）如图，在▱ABCD中，E，F在对角线BD上,且BE＝FD，则四边形AECF的形状就是________、(2)如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°,作AE⊥BD交BC于点E,求BE∶EC的值、解:（1）由已知可设错误!＝错误!＝a，错误!＝错误!＝b，故错误!＝错误!＋错误!＝a ＋b，错误!＝错误!＋错误!＝b＋a，又a＋b＝b＋a，则错误!＝错误!，即AE，FC平行且相等，故四边形AECF就是平行四边形、故填平行四边形、（2）法一:设错误!＝a,错误!＝b,|a｜＝1,|b|＝2，则a·b＝|a||b｜cos 60°＝1，错误!＝a＋b、设错误!＝λ错误!＝λb，则错误!＝错误!－错误!＝λb－a、由AE⊥BD,得错误!·错误!＝0，即(λb－a)·(a＋b）＝0，解得λ＝错误!,所以BE∶EC＝错误!∶错误!＝2∶3、法二：以B为坐标原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设B（0，0),C（2,0），则A错误!，D错误!、设E(m,0)，则错误!＝错误!，错误!＝错误!，由AE⊥BD，得错误!·错误!＝0,即错误!（m－错误!）－错误!×错误!＝0，解得m＝错误!,所以BE∶EC＝错误!∶错误!＝2∶3、向量在物理中的应用一个物体受到同一平面内三个力F1，F2,F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m、已知｜F1｜＝2 N，方向为北偏东30°，|F2｜＝4 N，方向为北偏东60°，｜F3|＝6 N,方向为北偏西30°,求这三个力的合力F所做的功、（链接教材P103例4）［解]以三个力的作用点为原点,正东方向为x轴正半轴,正北方向为y轴正半轴建立平面直角坐标系，如图所示、由已知可得F 1＝（1，错误!),F 2＝（2错误!,2),F 3＝(－3，3错误!）、所以F ＝F 1＋F 2＋F 3＝（2错误!－2,4错误!＋2)、又位移s ＝（4错误!,4错误!)，所以F ·s ＝(23－2）×4错误!＋（4错误!＋2)×4错误!＝24错误!（J)、故这三个力的合力F 所做的功就是24错误! J 、方法归纳利用向量解决物理问题的思路及注意问题(1）向量在物理中的应用,实际上就是把物理问题转化为向量问题,然后通过向量运算解决向量问题，最后用所获得的结果解释物理现象、(2）在用向量法解决物理问题时，应作出相应图形,以帮助建立数学模型,分析解题思路、（3）注意问题:①如何把物理问题转化为数学问题，也就就是将物理之间的关系抽象成数学模型；②如何利用建立起来的数学模型解释与回答相关的物理现象、3、（1）一质点受到平面上的三个力F 1,F 2,F 3(单位:牛顿）的作用而处于平衡状态、已知F 1,F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2与4,则F 3的大小为( )A 、6B 、2C 、2错误!D 、2错误!(2)点P 在平面上做匀速直线运动，速度向量v ＝(4，－3)（即点P 的运动方向与v 相同,且每秒移动的距离为|v ｜个单位)、设开始时点P 0的坐标为（－10，10），则5秒后点P 的坐标为( )A 、(－2,4）B 、（－30,25）C 、(10,－5）D 、(5,－10)(3）已知两恒力F 1＝（3，4）、F 2＝(6,－5)作用于同一质点,使之由点A （20,15)移动到点B (7,0)，试求:①F 1、F 2分别对质点所做的功；②F 1,F 2的合力F 对质点所做的功、解：（1）选D 、因为力F 就是一个向量,由向量加法的平行四边形法则知F 3的大小等于以F 1,F 2为邻边的平行四边形的对角线的长,故|F 3|2＝|F 1|2＋｜F 2|2＋2｜F 1||F 2|·cos 60°＝4＋16＋8＝28,所以｜F 3|＝2错误!、(2)选C 、由题意知，P 0P ，→＝5v ＝（20,－15），设点P 的坐标为（x ，y )，则错误!解得点P 的坐标为（10,－5）、(3）设物体在力F 作用下的位移为s ,则所做的功为W ＝F ·s ，错误!＝(7，0)－(20，15)＝（－13,－15)、①W 1＝F 1·错误!＝（3，4)·（－13,－15）＝3×(－13）＋4×(－15）＝－99（J ），W 2＝F 2·错误!＝(6，－5）·（－13，－15）＝6×(－13）＋(－5）×(－15）＝－3(J ）、②W ＝F ·错误!＝(F 1＋F 2）·错误!＝[（3，4)＋(6,－5）］·(－13，－15)＝(9，－1）·（－13,－15)＝9×（－13）＋（－1）×(－15)＝－117＋15＝－102（J ）、易错警示 向量在几何应用中的误区在△ABC 中,已知向量错误!与错误!满足错误!·错误!＝0且错误!＝错误!，则△ABC 的形状为________、［解析] 因为向量错误!，错误!分别表示与向量错误!，错误!同向的单位向量，所以以错误!，错误!为邻边的平行四边形就是菱形、根据平行四边形法则作错误!＝错误!＋错误!（如图所示)，则AD 就是∠BAC 的平分线、因为非零向量满足错误!·错误!＝0，所以∠BAC 的平分线AD 垂直于BC ，所以AB ＝AC ,又cos ∠BAC ＝错误!＝错误!,且∠BAC ∈(0，π),所以∠BAC ＝错误!,所以△ABC 为等边三角形、［答案] 等边三角形［错因与防范］ （1)解答本题常会给出错误的答案为“直角三角形”,原因在于未能正确分析挖掘题设中的条件，直接根据数量积为零,就判断△ABC 为直角三角形、（2）为杜绝上述可能发生的错误,应该:①注意知识的积累向量线性运算与数量积的几何意义就是解决向量问题的依据，如本例中错误!,错误!的含义,邻边相等的平行四边形就是菱形,菱形的对角线平分对角、②树立数形结合意识推导图形的形状时要以题目条件为依据全面进行推导,回答应力求准确，如本例求解时，以图形辅助解题，较为形象直观、4、（1）设A 1,A 2，A 3,A 4就是平面直角坐标系中两两不同的四点,若错误!＝λ错误!(λ∈R ）,错误!＝μ错误!（μ∈R ），且错误!＋错误!＝2,则称A 3，A 4调与分割A 1，A 2、已知平面上的点C ,D 调与分割点A ,B ，则下面说法正确的就是（ )A 、C 可能就是线段AB 的中点B 、D 可能就是线段AB 的中点C 、C 、D 可能同时在线段AB 上D 、C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上（2)设O 为△ABC 所在平面上一点，动点P 满足错误!＝错误!＋λ错误!，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A 、重心B 、垂心C 、外心D 、内心解析：（1)选D 、因为C ,D 调与分割点A ，B ，所以错误!＝λ错误!，错误!＝μ错误!,且错误!＋错误!＝2（*），不妨设A （0,0)，B （1,0）,则C (λ,0），D （μ，0）,对A ，若C 为AB 的中点,则错误!＝错误!错误!,即λ＝错误!,将其代入(＊)式，得错误!＝0,这就是无意义的,故A 错误；对B ，若D 为AB 的中点,则μ＝错误!,同理得错误!＝0，故B 错误;对C ,要使C ,D 同时在线段AB 上,则0＜λ＜1，且0＜μ＜1，所以错误!＞1，错误!＞1，所以错误!＋错误!＞2,这与错误!＋错误!＝2矛盾;故C 错误;显然D 正确、（2)选C 、设线段BC 的中点为D ，则错误!＝错误!、所以错误!＝错误!＋λ 错误!＝错误!＋λ 错误!，所以OP →－错误!＝λ 错误!＝错误!,所以错误!·错误!＝λ 错误!·错误!＝λ 错误!＝λ 错误!＝λ（－｜错误!｜＋｜错误!|）＝0,所以DP ⊥BC ，即点P 一定在线段BC 的垂直平分线上,即动点P 的轨迹一定通过△ABC 的外心、1、已知直线x ＋3y ＋9＝0,则直线的一个法向量为（ ）A 、a ＝(1，3)B 、a ＝(3，1)C 、a ＝（3，－1）D 、a ＝（－3，－1）解析：选A 、直线Ax ＋By ＋C ＝0的法向量可以为(A ,B ）、2、在△ABC 中,若错误!·错误!＋|错误!|2＝0,则△ABC 的形状就是( ）A 、锐角三角形B 、等腰三角形C 、直角三角形D 、钝角三角形解析：选C 、因为AB →·错误!＋|错误!|2＝0,所以错误!·错误!＋错误!2＝0，即错误!·（错误!＋错误!）＝0、所以错误!·错误!＝0,所以错误!⊥错误!,即AB ⊥AC 、所以A ＝90°、所以△ABC 就是直角三角形、3、一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行,直扑猎物,太阳光从头上直照下来,鹰在地面上的影子的速度就是40 m/s ，则鹰的飞行速率为( )A 、错误! m/sB 、错误! m/sC 、错误! m/sD 、错误! m/s解析:选C 、设鹰的飞行速度为v 1，鹰在地面上的影子的速度为v 2,则v 2＝40 m/s ,因为鹰的运动方向就是与水平方向成30°角向下，故｜v 1｜＝错误!＝错误!（m/s ）,故选C 、, ［学生用书单独成册］）［A 、基础达标]错误!一个人骑自行车行驶速度为v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度的大小为( )A 、v 1－v 2B 、v 1＋v 2C 、|v 1|－｜v 2｜D 、错误!解析:选C 、根据速度的合成可知、错误!若错误!＝(2，2)，错误!＝(－2，3)分别表示F 1，F 2,则｜F 1＋F 2｜为（ ）A 、（0，5）B 、25C 、2错误!D 、5解析：选D 、因为F 1＋F 2＝（0,5）,所以｜F 1＋F 2｜＝错误!＝5、3、过点A （2，3）且垂直于向量a ＝(2，1)的直线方程为（ )A 、2x ＋y －7＝0B 、2x ＋y ＋7＝0C 、x －2y ＋4＝0D 、x －2y －4＝0解析：选A 、设所求直线上任一点P (x ，y ）,则错误!⊥a 、又因为错误!＝（x －2,y －3),所以2(x －2）＋（y －3）＝0,即所求的直线方程为2x ＋y －7＝0、错误!若A i （i ＝1,2，3,4,…，n)就是△AOB 所在平面内的点，且错误!·错误!＝错误!·错误!、给出下列说法:①｜错误!|＝｜错误!|＝…＝|错误!｜＝|错误!｜；②｜错误!|的最小值一定就是｜错误!|；③点A 、A i 在一条直线上、其中正确的个数就是（ )A 、0B 、1C 、2D 、3解析：选B 、由错误!·错误!＝错误!·错误!，可得（错误!－错误!)·错误!＝0,即错误!·错误!＝0，所以错误!⊥错误!，即点A i 在边OB 过点A 的垂线上、故三个命题中,只有③正确,故选B 、5、已知△ABC 中,A(2，－1），B(3，2)，C(－3,－1），BC 边上的高为AD ，则错误!等于（ )A 、(－1,2）B 、(1，－2）C 、(1,2）D 、（－1,－2)解析:选A 、设D （x ，y ),则错误!＝（x －2，y ＋1）,错误!＝（x －3，y －2)，错误!＝(－6,－3）、因为错误!⊥错误!，错误!∥错误!、所以错误!解得错误!所以错误!＝（－1,2）、错误!已知三个力F 1＝（3,4），F 2＝(2,－5）,F 3＝（x ，y ),满足F 1＋F 2＋F 3＝0,若F 1与F 2的合力为F ,则合力F 与力F 1夹角的余弦值为________、解析：因为F 1＋F 2＋F 3＝0，F 1＋F 2＝F ,所以F ＝－F 3,因为F 3的坐标为(－5，1），所以F ＝－F 3＝(5,－1),设合力F 与力F 1的夹角为θ，则cos θ＝错误!＝错误!＝错误!、答案:错误!错误!已知直线的方向向量为a ＝(3,1）,且过点A （－2,1），则直线方程为____________、 解析:由题意知,直线的斜率为错误!，设直线方程为x －3y ＋c ＝0,把（－2,1）代入得c ＝5,故所求直线方程为x －3y ＋5＝0、答案：x －3y ＋5＝08、已知｜a |＝错误!,｜b ｜＝4,｜c ｜＝2错误!,且a ＋b ＋c ＝0,则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________、解析:(a ＋b ＋c ）2＝|a ｜2＋|b ｜2＋｜c |2＋2（a ·c ＋b ·c ＋a ·b ）＝0，所以a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－错误!、答案：－错误!9、在△ABC 中，错误!·错误!＝｜错误!－错误!|＝6,M 为BC 边的中点，求中线AM 的长、解:因为|错误!－错误!｜＝6，所以（错误!－错误!)2＝36、即错误!2＋错误!2－2错误!·错误!＝36、又因为错误!·错误!＝6，所以错误!2＋错误!2＝48、又因为错误!＝错误!（错误!＋错误!）,所以AM →2＝错误!（错误!2＋错误!2＋2错误!·错误!）＝错误!×（48＋12)＝15，所以｜错误!｜＝错误!，即中线AM 的长为错误!、10、已知点A （－1,0),B (0,1），点P (x ，y )为直线y ＝x －1上的一个动点、（1）求证:∠APB 恒为锐角;(2）若四边形ABPQ 为菱形,求错误!·错误!的值、解:（1）证明：因为点P （x ，y ）在直线y ＝x －1上,所以点P （x ,x －1），所以错误!＝(－1－x ，1－x ）,错误!＝(－x ，2－x ），所以错误!·错误!＝2x 2－2x ＋2＝2(x 2－x ＋1)＝2错误!＞0，所以cos ∠APB ＝错误!＞0,若A ，P ，B 三点在一条直线上，则错误!∥错误!，得到（x ＋1)（x －2)－（x －1）x ＝0,方程无解，所以∠APB ≠0,所以∠APB 恒为锐角、（2)因为四边形ABPQ 为菱形,所以｜错误!|＝｜错误!｜，即错误!＝错误!,化简得到x 2－2x ＋1＝0，所以x ＝1,所以P （1，0），设Q (a ，b )，因为错误!＝错误!,所以（a －1，b )＝（－1,－1）,所以错误!所以错误!·错误!＝（0，－2）·(1,－1）＝2、［B 、能力提升]1、水平面上的物体受到力F 1，F 2的作用,F 1水平向右,F 2与水平向右方向的夹角为θ，物体在运动过程中,力F 1与F 2的合力所做的功为W ，若物体一直沿水平地面运动,则力F 2对物体做功的大小为（ )A 、错误!WB 、错误!WC 、错误!WD 、错误!W解析:选D 、设物体的位移就是s ，根据题意有（｜F 1｜＋|F 2|·cos θ)｜s ｜＝W ,即|s ｜＝错误!,所以力F 2对物体做功的大小为错误!W 、2、记max{x ,y ｝＝错误!min ｛x ,y }＝错误!设a ,b 为平面向量，则( )A 、min{|a ＋b ｜,｜a －b |｝≤min ｛|a ｜,｜b |｝B 、min ｛|a ＋b|，|a －b ｜}≥min{|a ｜，|b ｜｝C 、max{|a ＋b|2,|a －b ｜2｝≤|a|2＋｜b|2D 、max{｜a ＋b ｜2,|a －b ｜2}≥｜a|2＋|b|2解析：选D 、对于min ｛|a ＋b|,｜a －b ｜}与min ｛｜a ｜，|b|｝,相当于平行四边形的对角线长度的较小者与两邻边长的较小者比较，它们的大小关系不确定，因此A ,B 均错,而｜a ＋b ｜，|a －b ｜中的较大者与｜a ｜,|b ｜可构成非锐角三角形的三边，因此有max ｛|a ＋b ｜2,|a －b|2}≥｜a ｜2＋|b|2、3、已知△ABC 的面积为10,P 就是△ABC 所在平面上的一点,满足P A ，→＋错误!＋2错误!＝3错误!，则△ABP 的面积为________、解析：由错误!＋错误!＋2错误!＝3错误!,得错误!＋错误!＋2错误!＝3（错误!－错误!），所以4错误!＋2（错误!－错误!）＝0，所以2错误!＝错误!,由此可得P A 与CB 平行且|CB |＝2｜P A ｜,故△ABP 的面积为△ABC 的面积的一半，故△ABP 的面积为5、答案:54、在平面直角坐标系中,O 为原点，A (－1,0），B (0,3)，C (3，0)，动点D 满足|错误!｜＝1,则|错误!＋错误!＋错误!|的最大值就是________、解析：设D (x ，y ）,由｜错误!|＝1，得(x －3）2＋y 2＝1,向量错误!＋错误!＋错误!＝（x －1，y ＋错误!），故｜错误!＋错误!＋错误!｜＝错误!的最大值为圆（x －3）2＋y 2＝1上的动点到点（1，－错误!）距离的最大值，其最大值为圆（x －3）2＋y 2＝1的圆心（3，0)到点（1，－错误!)的距离加上圆的半径，即错误!＋1＝1＋错误!、答案:1＋错误!5、在平面直角坐标系xOy 中,已知向量AB →＝(6，1）,错误!＝(x ，y ），错误!＝(－2,－3)，且错误!∥错误!、（1）求x 与y 间的关系；（2)若错误!⊥错误!,求x 与y 的值及四边形ABCD 的面积、解：（1）由题意得错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝（x ＋4,y －2），错误!＝(x ，y ), 因为错误!∥错误!，所以(x ＋4)y －（y －2）x ＝0，即x ＋2y ＝0、①（2）由题意得错误!＝错误!＋错误!＝(x ＋6,y ＋1)，错误!＝错误!＋错误!＝（x －2,y －3)，因为错误!⊥错误!,所以错误!·错误!＝0,即(x ＋6）（x －2)＋(y ＋1)（y －3)＝0，即x 2＋y 2＋4x －2y －15＝0，②由①②得错误!或错误!当错误!时，错误!＝(8，0)，错误!＝(0,－4），则S 四边形ABCD ＝错误!｜错误!||错误!|＝16,当错误!时，错误!＝(0,4），错误!＝(－8,0)，则S 四边形ABCD ＝错误!｜错误!｜｜错误!|＝16，综上错误!或错误!四边形ABCD 的面积为16、6、（选做题)已知e 1＝(1,0），e 2＝（0，1）,现有动点P 从P 0(－1，2）开始，沿着与向量e 1＋e 2相同的方向做匀速直线运动,速度为｜e 1＋e 2|;另一动点Q 从Q 0(－2,－1)开始，沿着与向量3e 1＋2e 2相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e 1＋2e 2｜,设P 、Q 在t ＝0 s 时分别在P0、Q0处，问当错误!⊥错误!时所需的时间为多少？解：e1＋e2＝(1,1）,｜e1＋e2｜＝2,其单位向量为错误!；3e1＋2e2＝(3，2)，｜3e1＋2e2｜＝错误!，其单位向量为错误!、依题意，|错误!|＝错误!t,｜错误!|＝错误!t,所以错误!＝｜错误!｜错误!＝(t,t)，错误!＝|错误!｜错误!＝(3t,2t)，由P0（－1,2）,Q0（－2，－1），得P（t－1，t＋2），Q(3t－2,2t－1）,所以错误!＝(－1，－3),错误!＝(2t－1，t－3)，因为错误!⊥错误!，所以错误!·错误!＝0，即2t－1＋3t－9＝0，解得t＝2、即当错误!⊥错误!时所需的时间为2 s、。
高中数学必修四同步练习及答案(新课标人教A版)
高中数学必人修教四A版练习册高中数学人教A 版必修4练习册目录导航人教A 版必修4练习1.1任意角和弧度制 ....................................................... 1 1.2任意角的三角函数 ..................................................... 3 1.3三角函数的诱导公式 ................................................... 5 1.4三角函数的图像与性质 . (7)1.5函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与1.6三角函数模型的简单应用 .............. 10 第一章 三角函数基础过关测试卷 ........................................... 12 第一章三角函数单元能力测试卷 .. (14)2.1平面向量的实际背景及基本概念与2.2.1向量加法运算 .................... 18 2.2向量减法运算与数乘运算 .............................................. 20 2.3平面向量的基本定理及坐标表示 ........................................ 22 2.4平面向量的数量积与2.5平面向量应用举例 .............................. 25 第二章平面向量基础过关测试卷 ............................................ 27 第二章平面向量单元能力测试卷 .. (29)3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 .................................... 33 3.2简单的三角恒等变换 .................................................. 36 第三章三角恒等变换单元能力测试卷 . (38)人教A 版必修4练习答案1.1任意角和弧度制 ...................................................... 42 1.2任意角的三角函数 .................................................... 42 1.3三角函数的诱导公式 .................................................. 43 1.4三角函数的图像与性质 (43)1.5函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与1.6三角函数模型的简单应用 .............. 44 第一章三角函数基础过关测试卷 ............................................ 45 第一章三角函数单元能力测试卷 .. (45)2.1平面向量的实际背景及基本概念与2.2.1向量加法运算 .................... 46 2.2向量减法运算与数乘运算 .............................................. 46 2.3平面向量的基本定理及坐标表示 ........................................ 46 2.4平面向量的数量积与2.5平面向量应用举例 .............................. 47 第二章平面向量基础过关测试卷 ............................................ 48 第二章平面向量单元能力测试卷 .. (48)3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 .................................... 49 3.2简单的三角恒等变换 .................................................. 49 第三章三角恒等变换单元能力测试卷 . (50)1.1任意角和弧度制一、选择题（每题5分，共50分）1.四个角中，终边相同的角是 （ ）A.,398- 38 B.,398- 142 C.,398- 1042 D.,14210422.集合α{=A ︱ 90⋅=k α,36-}Z k ∈，β{=B ︱180-180<<β},则B A 等于（ ）A.,36{- 54} B.,126{- 144} C.,126{-,36-,54144} D.,126{-54}3.设θ{=A ︱θ为锐角}，θ{=B ︱θ为小于90的角}，θ{=C ︱θ为第一象限角}， θ{=D ︱θ为小于 90的正角}，则 （ ） A.B A = B.C B = C.C A = D.D A =4.若角α与β终边相同，则一定有 （ ） A.180=+βα B.0=+βαC.360⋅=-k βα，Z k ∈ D.360⋅=+k βα，Z k ∈ 5.已知α为第二象限的角，则2α所在的象限是 （ ） A.第一或第二象限 B.第二或第三象限 C.第一或第三象限 D.第二或第四象限 6.将分针拨慢5分钟，则分针转过的弧度数是 （ ）A.3π B.3π- C.2π D.32π7.在半径为cm 2的圆中，有一条弧长为cm 3π，它所对的圆心角为 （ ）A.6πB.3πC.2πD.32π 8.已知角α的终边经过点)1,1(--P ,则角α为 （ ）A.)(45Z k k ∈+=ππα B.)(432Z k k ∈+=ππα C.)(4Z k k ∈+=ππα D.)(432Z k k ∈-=ππα 9.角316π化为)20,(2παπα<<∈+Z k k 的形式 ( )A.35ππ+B.344ππ+C.326ππ-D.373ππ+10.集合α{=A ︱},2Z k k ∈+=ππα，α{=B ︱},)14(Z k k ∈±=πα，则集合A 与B 的关系是 （ ） A.B A = B.B A ⊇ C.B A ⊆ D.B A ≠ 二、填空题（每题5分，共20分）11.角a 小于180而大于-180，它的7倍角的终边又与自身终边重合，则满足条件的角a 的集合为__________.12.写满足下列条件的角的集合.1）终边在x 轴的非负半轴上的角的集合__________； 2）终边在坐标轴上的角的集合__________；3）终边在第一、二象限及y 轴上的角的集合__________； 4）终边在第一、三象限的角平分线上的角的集合__________.13.设扇形的周长为cm 8，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是__________. 14.已知a {∈θ︱a =+πk },4)1(Z k k∈⋅-π，则角θ的终边落在第__________象限.三、解答题（15、16每题7分，17、18每题8分）15.已知角a 的终边与y 轴的正半轴所夹的角是30，且终边落在第二象限，又720-<a < 0，求角a .16.已知角45=a ，（1）在区间720[-0,)内找出所有与角a 有相同终边的角β；（2）集合x M {=︱ 1802⨯=k x 45+，}Z k ∈,x N {=︱ 1804⨯=kx 45+}Z k ∈ 那么两集合的关系是什么？17.若θ角的终边与3π的终边相同，在]2,0[π内哪些角的终边与3θ角的终边相同？18.已知扇形的周长为30，当它的半径R 和圆心角各取何值时，扇形的面积最大？并求出扇形面积的最大值.1.2任意角的三角函数一、选择题（每题5分，共40分）1.已知角α的终边过点()αcos ,2,1-P 的值为 （ ）A.55-B.55C.552 D.252.α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是 （ ） A.αsin B.αcos C.αtan D.αtan 13.已知角α的终边过点()()03,4<-a a a P ，则ααcos sin 2+的值是 （ ）A.52B.52- C.0 D.与α的取值有关 4.(),,0,54cos παα∈=则αtan 1的值等于 （ ）A.34B.43C.34±D.43± 5.函数x x y cos sin -+=的定义域是 （ ）A.()Z k k k ∈+,)12(,2ππB.Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,)12(,22πππ C.Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,)1(,2πππ D.[]Z k k k ∈+,)12(,2ππ 6.若θ是第三象限角，且,02cos<θ则2θ是 （ ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角7.已知,54sin =α且α是第二象限角，那么αtan 的值为 （ ） A.34- B.43- C.43 D.348.已知点()ααcos ,tan P 在第三象限，则角α在 （ ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 二、填空题（每题5分，共20分）9.已知,0tan sin ≥αα则α的取值集合为__________. 10.角α的终边上有一点(),5,m P 且(),013cos ≠=m mα则=+ααcos sin __________.11.已知角θ的终边在直线x y 33=上，则=θsin __________，=θtan __________. 12.设(),2,0πα∈点()αα2cos ,sin P 在第三象限，则角α的范围是__________. 三、解答题（第15题20分，其余每题10分，共40分） 13.求43π的角的正弦，余弦和正切值.14.已知,51sin =α求ααtan ,cos 的值.15.已知,22cos sin =+αα求αα22cos 1sin 1+的值.1.3三角函数的诱导公式一、选择题（每题5分，共40分） 1.21)cos(-=+απ，παπ223<<,)2sin(απ-值为 ( ) A.23 B.21C.23±D.23- 2.若,)sin()sin(m -=-++ααπ则)2sin(2)3sin(απαπ-++等于 （ ） A.m 32-B.m 23-C.m 32D.m 233.已知,23)4sin(=+απ则)43sin(απ-值为 （ ） A.21B.21-C.23D.23-4.如果),cos(|cos |π+-=x x 则x 的取值范围是（ ）A.)](22,22[Z k k k ∈++-ππππB.))(223,22(Z k k k ∈++ππππC.)](223,22[Z k k k ∈++ππππD.))(2,2(Z k k k ∈++-ππππ 5.已知,)1514tan(a =-π那么=︒1992sin （ ）A.21||aa + B.21aa +C.21aa +-D.211a+-6.设角则,635πα-=)(cos )sin(sin 1)cos()cos()sin(222απαπααπαπαπ+--+++--+的值等于 （ ）A.33B.33-C.3D.－37.若,3cos )(cos x x f =那么)30(sin ︒f 的值为 （ ） A.0 B.1C.1-D.238.在△ABC 中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则△ABC 必是 （ ） A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰或直角三角形D .等腰直角三角形二、填空题（每题5分，共20分）9.求值：︒2010tan 的值为 ．10.若1312)125sin(=-α,则=+)55sin(α ． 11.=+++++76cos 75cos 74cos 73cos 72cos 7cos ππππππ ．12.设,1234tan a =︒那么)206cos()206sin(︒-+︒-的值为 ． 三、解答题（每题10分，共40分） 13.已知3)tan(=+απ,求)2sin()cos(4)sin(3)cos(2a a a a -+-+--πππ的值．14.若32cos =α,α是第四象限角，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值．15.已知αtan 、αtan 1是关于x 的方程0322=-+-k kx x 的两实根，且,273παπ<< 求)sin()3cos(απαπ+-+的值．16.记4)cos()sin()(++++=βπαπx b x a x f ，（a 、b 、α、β均为非零实数），若5)1999(=f ，求)2000(f 的值．1.4三角函数的图像与性质一、选择题(每题5分,共50分)1.)(x f 的定义域为[]1,0则)(sin x f 的定义域为 （ ） A.[]1,0 B.)(2,2222,2Z k k k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+ πππππππ C.[])()12(,2Z k k k ∈+ππ D.)(22,2Z k k k ∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡+πππ2.函数)652cos(3π-=x y 的最小正周期是 （ ）A52π B 25π C π2 D π5 3.x x y sin sin -=的值域是 （ ） A ]0,1- B ]1,0 C ]1,1[- D ]0,2[-4.函数)44(tan 1ππ≤≤-=x x y 的值域是 ( ) A.[]1,1- B.(][) +∞-∞-,11, C.[)+∞-,1 D.(]1,∞-5.下列命题正确的是 （ ） A.函数)3sin(π-=x y 是奇函数 B.函数)cos(sin x y =既是奇函数,也是偶函数C.函数x x y cos =是奇函数D.函数x y sin =既不是奇函数,也不是偶函数6.设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos ,(0)(),2sin ,(0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤<⎩ 则15()4f π-等于 （ ） A 1C.0D.2- 7.函数)3cos(πϖ+=x y 的周期为4π则ϖ值为 ( ) A.8 B.6 C.8± D.48.函数)32sin(π+=x y 的图象 ( )A.关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,12π对称 B.关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,6π对称C.关于直线3π=x 对称 D.关于直线6π-=x 对称9.)2sin(θ+=x y 图像关于y 轴对称则 ( ) A.)(,22Z k k ∈+=ππθ B.)(,2Z k k ∈+=ππθC.)(,2Z k k ∈+=ππθD.)(,Z k k ∈+=ππθ 10.满足21)4sin(≥-πx 的x 的集合是 ( ) A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,121321252ππππ B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,65262ππππ C.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤-Z k k x k x ,1272122ππππ D.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤Z k k x k x ,6522πππ 二、填空题(每题5分,共20分) 11.函数)23sin(2x y -=π的单调递增区间是__________.12.函数)21(cos log 2-=x y 的定义域是__________. 13.函数)2sin(x y =的最小正周期为__________.14.若)(x f 为奇函数,且当0>x 时,x x x x f 2cos sin )(+=,则当0<x 时,=)(x f __________.三、解答题(每题10分,共30分) 15.利用“五点法”画出函数)621sin(π+=x y 在长度为一个周期的闭区间的简图.16.已知函数⎪⎭⎫⎝⎛-=32tan )(πx x f ，(1)求函数)(x f 的定义域周期和单调区间； (2)求不等式3)(1≤≤-x f 的解集.17.求下列函数的最大值和最小值及相应的x 值. (1)1)42sin(2++=πx y (2)),32cos(43π+-=x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,3ππx (3)5cos 4cos 2+-=x x y (4)2sin sin 1-+=x xy1.5函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与1.6三角函数模型的简单应用一、选择题(每题5分，共35分) 1.函数1)62sin(3)(--=πx x f 的最小值和最小正周期分别是 ( )A.13--，πB.13+-，πC.3-，πD.13--，π2 2.若函数)3sin(2πω+=x y 的图像与直线2=y 的相邻的两个交点之间的距离为π,则ω的一个可能值为 ( ) A.3 B.2 C.31 D.21 3.要得到)32sin(π-=x y 的图像,只要将x y 2sin =的图像 ( )A.向左平移3π个单位 B.向右平移3π个单位C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位 4.函数1)62sin(2++=πx y 的最大值是 （ ）A.1B.2C.3D.45.已知函数)(x f 的部分图像如图所示，则)(x f 的解析式可能为 （ ）A.)62sin(2)(π-=x x f B.)44cos(2)(π+=x x fC.)32cos(2)(π-=x x fD.)64sin(2)(π+=x x f6.)23sin(2x y -=π的单调增区间为 （ ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-125,12ππππK K B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡++127,125ππππK K C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6,3ππππK K D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1211,125ππππK K 7.函数[]),0(),62sin(3ππ∈--=x x y 为增函数的区间是 （ ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡125,0πB.⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,6ππC.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211,6ππD.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211,32ππ二、填空题(每题5分，共15分)8.关于))(32sin(4)(R x x x f ∈+=有下列命题： 1）有0)()(31==x f x f 可得21x x -是π的整数倍； 2）表达式可改写为)62cos(4)(π-=x x f ；3）函数的图像关于点)0,6(π-对称；4）函数的图像关于直线6π-=x 对称；其中正确的命题序号是__________.9.甲乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为45,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲乙两楼的高度分别为__________.10.已知1tan sin )(++=x b x a x f 满足7)5(=πf ，则)599(πf 的值为__________. 三、解答题(每题25分，共50分) 11.已知函数)421sin(3π-=x y ，1）用“五点法”画函数的图像；2）说出此图像是由x y sin =的图像经过怎样的变换得到的； 3）求此函数的周期、振幅、初相；4）求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间.12.已知函数)32cos(log )(π-=x ax f （其中)1,0≠>a a 且，1）求它的定义域； 2）求它的单调区间； 3）判断它的奇偶性；4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的周期.第一章 三角函数基础过关测试卷一、选择题(每题5分，共40分)1.与240-角终边位置相同的角是 （ ） A.240 B.60 C.150 D.480 2.已知()21cos -=+απ,则()απ+3cos 的值为 （ ） A.21 B.23± C.21- D.233.函数x y sin 1-=的最大值为 （ ） A.1 B.0 C.2 D.1-4.函数⎪⎭⎫⎝⎛+=321sin x y 的最小正周期是 （ ） A.2πB.πC.π2D.π4 5.在下列各区间上，函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4sin 2πx y 单调递增的是（ ） A.],4[ππB.]4,0[πC.]0,[π-D.]2,4[ππ 6.函数x y cos 1+=的图象 （ ） A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线2π=x 轴对称7.使x x cos sin <成立的x 的一个区间是 （ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-4,43ππ B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ C.⎪⎭⎫⎝⎛-43,4ππ D.()π,08.函数⎪⎭⎫⎝⎛+=43sin πx y 的图象，可由x y 3sin =的图象 （ ）A.向左平移4π个单位 B.向右平移4π个单位 C .向左平移12π个单位 D .向右平移12π个单位二、填空题（每题5分，共20分）9.已知角β的终边过点()12,5--P ，求=βcos __________．10.函数x y tan lg =的定义域是__________． 11.()R x x y ∈=sin 的对称点坐标为__________． 12.1cos cos -=x xy 的值域是__________．三、解答题(每题10分，共40分) 13.已知2tan =β，求1sin cos sin 2+βββ的值．14.化简：()()()()()()()()πααπαπαπααπααπ6sin sin cos sin 6cos cos cos sin 2222---++---+-++． 15.求证：ααααααααcos sin cos sin 1cos sin 2cos sin 1+=+++++．16.求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤+=323cos 2sin 2ππx x x y 的最大值和最小值．第一章三角函数单元能力测试卷一、选择题（每小题5分，共60分） 1.设α角属于第二象限，且2cos2cosαα-=，则2α角属于 ( ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.下列值①)1000sin( -；②)2200cos(-；③)10tan(-；④4sin 是负值的为 （ ）A.①B.②C.③D.④3.函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，则ϕ的值是 （ ）A.0 B4π C 2πD π 4.已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于 （ ） A.43-B.34-C.43D.34 5.若α是第四象限的角，则πα-是 （ ） A 第一象限的角 B 第二象限的角 C 第三象限的角 D 第四象限的角6.将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是 ( )A.1sin 2y x = B 1sin()22y x π=- C.1sin()26y x π=- D.sin(2)6y x π=-7.若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限,则在[0,2)π内α的取值范围是 ( )A.35(,)(,)244ππππ B 5(,)(,)424ππππC.353(,)(,)2442ππππ D 33(,)(,)244ππππ 8.与函数)42tan(π+=x y 的图像不相交的一条直线是 ( )A.2π=x B 2π-=x C 4π=x D 8π=9.在函数x y sin =、x y sin =、)322sin(π+=x y 、)322cos(π+=x y 中,最小正周期为π的函数的个数是（ ） A.1个 B 2个 C 个 D 4个10.方程1sin 4x x π=的解的个数是（ ） A B C 7 D 811.在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为 （ ）A.)45,()2,4(ππππ B.),4(ππ C.)45,4(ππ D.)23,45(),4(ππππ12.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=对称，则ϕ可能是 （ ）A.2π B 4π- C 4πD 34π二、填空题（每小题5分，共20分）13.设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是__________14.若,24παπ<<则αααtan cos sin 、、的大小关系为__________15 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是__________16.关于x 的函数()cos()f x x α=+有以下命题：①对任意α,()f x 都是非奇非偶函数；②不存在α，使()f x 既是奇函数，又是偶函数；③存在α，使()f x 是偶函数；④对任意α,()f x 都是奇函数 其中假命题的序号是__________三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分） 17.求下列三角函数值: （1）)316sin(π- （2）)945cos( -18.比较大小:（1） 150sin ,110sin ； （2）200tan ,220tan19.化简：（1）)sin()360cos()810tan()450tan(1)900tan()540sin(x x x x x x --⋅--⋅--（2）xx x sin 1tan 1sin 12-⋅++20.求下列函数的值域： （1）)6cos(π+=x y ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ； (2) 2sin cos 2+-=x x y21.求函数)32tan(π-=x y 的定义域、周期和单调区间.22.用五点作图法画出函数)631sin(2π-=x y 的图象(1)求函数的振幅、周期、频率、相位； (2)写出函数的单调递增区间；(3)此函数图象可由函数x y sin =怎样变换得到2.1平面向量的实际背景及基本概念与2.2.1向量加法运算一、选择题（每题5分，共40分）1.把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是（ ） A.一条线段 B.一段圆弧 C.两个孤立点 D.一个圆2.下列说法中，正确的是 （ ）A.>,则b a >B.=，则b a =C.若b a =，则a ∥bD.若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量3.设O 为△ABC 的外心，则AB 、BO 、CO 是 （ ） A.相等向量 B.平行向量 C.模相等的向量 D.起点相等的向量4.已知正方形ABCD 的边长为1，设a AB =，b BC =，c AC =， b ++=（ ） A.0 B.3 C.22+ D.225.58==，的取值范围是 （ ） A.[]8,3 B.()8,3 C.[]13,3 D.()13,36.如图，四边形ABCD 为菱形，则下列等式中 A B成立的是A.CA BC AB =+ B.BC AC AB =+C.AD BA AC =+D.DC AD AC =+ D C7.在边长为1的正三角形ABC 中，若向量a BA =，b BC =，+= （ ） A.7 B.5 C.3 D.28.向量a 、b 皆为非零向量，下列说法不正确的是 （ ）A.向量a 与b >，则向量b a +与a 的方向相同B.向量a 与b <，则向量b a +与a 的方向相同C.向量a 与b 同向，则向量b a +与a 的方向相同D.向量a 与b 同向，则向量b a +与b 的方向相同二、填空题（每题5分，共20分）9.ABC ∆是等腰三角形，则两腰上的向量AB 与AC 的关系是__________.10.已知C B A ,,是不共线的三点，向量m 与向量AB 是平行向量，与BC 是共线向量，则m =__________.11.在菱形ABCD 中，∠DAB ︒=601==+__________.12.化简=++BO OP PB __________.三、解答题（13题16分，其余每题12分，共40分）13.化简：（1)FA BC CD DF AB ++++. (2)PM MN QP NQ +++.14.已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且OC AO =，OB DO =. 求证：四边形ABCD 是平行四边形.15.一艘船以h km /5的速度向垂直于对岸的方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成︒30 角，求水流速度和船的实际速度.2.2向量减法运算与数乘运算一、选择题(每题5分,共40分) 1.在菱形ABCD 中，下列各式中不成立的是 （ ） A.-=AC AB BC B.-=AD BD AB C.-=BD AC BC D.-=BD CD BC2.下列各式中结果为O 的有 （ ） ①++AB BC CA ②+++OA OC BO CO ③-+-AB AC BD CD ④+-+MN NQ MP QP A.①② B.①③ C.①③④ D.①②③3.下列四式中可以化简为AB 的是 （ ） ①+AC CB ②-AC CB ③+OA OB ④-OB OA A.①④ B.①② C.②③ D.③④4. ()()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+ba b a24822131 （ ）A.2a b -B.2b a -C.b a -D.()b a --5.设两非零向量12,e e ，不共线，且1212()//()k e e e ke ++，则实数k 的值为 （ ） A.1 B.1- C.1± D.06.在△ABC 中，向量BC 可表示为 （ ） ①-AB AC ②-AC AB ③+BA AC ④-BA CAA.①②③B.①③④C.②③④D.①②④ 7.已知ABCDEF 是一个正六边形，O 是它的中心，其中===,,OA a OB b OC c 则EF =( )A.a b +B.b a -C.-c bD.-b c 8.当C 是线段AB 的中点，则AC BC += （ ） A.AB B.BA C.AC D.O二、填空题(每题5分,共20分)9.化简：AB DA BD BC CA ++--=__________.10.一架飞机向北飞行km 300后改变航向向西飞行km 400，则飞行的总路程为__________， 两次位移和的和方向为__________，大小为__________. 11.点C 在线段AB 上，且35AC AB =，则________AC CB =. 12.把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是__________三、解答题(每题10分,共40分)13.已知点C 在线段AB 的延长线上，且2,,BC AB BC CA λλ==则为何值? 14.如图，ABCD 中,E F 分别是,BC DC 的中点，G 为交点，若AB =a ，AD =b ，试以a ，b 表示DE 、BF 、CG15.若菱形ABCD 的边长为2，求AB CB CD -+=?16.在平面四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-，则四边形ABCD 的形状是什么？AGE F BD2.3平面向量的基本定理及坐标表示一、选择题（每题5分，共50分）1.已知平面向量),2,1(),1,2(-==b a则向量b a2321-等于（ ） A.)25,21(-- B.)27,21( C.)25,21(- D.)27,21(-2.若),3,1(),4,2(==AC AB 则BC 等于 （ ） A.)1,1( B.)1,1(-- C.)7,3( D.)7,3(--3.21,e e 是表示平面内所有向量的一组基底，下列四组向量中，不能作为一组基底的是 （ ）A.21e e +和21e e -B.2123e e -和1264e e -C.212e e +和122e e +D.2e 和21e e +4.已知平面向量),,2(),3,12(m b m a =+=且b a //，则实数m 的值等于 （ ） A.2或23-B.23C.2-或23D.72- 5.已知C B A ,,三点共线，且),2,5(),6,3(--B A 若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为 A.13- B.9 C.9- D.13 （ ） 6.已知平面向量),,2(),2,1(m b a -==且b a //，则b a 32+等于 （ ） A.)10,5(-- B.)8,4(-- C.)6,3(-- D.)4,2(--7.如果21,e e 是平面内所有向量的一组基底，那么 （ ） A.若实数21,λλ使02211=+e e λλ，则021==λλ B.21,e e 可以为零向量C.对实数21,λλ，2211e e λλ+不一定在平面内D.对平面中的任一向量a ，使=a 2211e e λλ+的实数21,λλ有无数对8.已知向量)4,3(),3,2(),2,1(===c b a ，且b a c 21λλ+=，则21,λλ的值分别为 ( ) A.1,2- B.2,1- C.1,2- D.2,1-9.已知),3,2(),2,1(-==b a 若b n a m -与b a 2+共线（其中R n m ∈,且)0≠n ，则nm 等于 ( )A.21-B.2C.21D.2- 10.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若,,b BD a AC == 则AF 等于 （ ）A.b a 2141+ B.b a 3132+ C.b a 4121+ D.b a 3231+ 二、填空题（每题5分，共20分）11.已知),1,(),3,1(-=-=x b a 且b a //，则=x __________12.设向量)3,2(),2,1(==b a ，若向量b a +λ与向量)7,4(--=c 共线，则=λ__________13.已知x 轴的正方向与a 的方向的夹角为3π4=，则a 的坐标为__________ 14.已知边长为1的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AD AB ,分别落在x 轴，y 轴的正向上，则向量AC BC AB ++32的坐标为__________三、解答题(第15题6分,其余每题8分,共30分)15.已知向量a 与b 不共线，实数y x ,满足等式b x a x b y a x 2)74()10(3++=-+，求y x ,的值.16.已知向量21,e e 不共线，（1）若,82,2121e e BC e e AB +=+=),(321e e CD -=则B A ,,D 三点是否共线？（2）是否存在实数k ，使21e e k +与21e k e -共线？17.已知三点),10,7(),4,5(),3,2(C B A 点P 满足)(R AC AB AP ∈+=λλ，（1）λ为何值时，点P 在直线x y =上？（2）设点P 在第一象限内，求λ的取值范围.18.平面内给定三个向量)1,4(),2,1(),2,3(=-==c b a ，（1）求c b a 23-+；（2）求满足c n b m a +=的实数n m ,；（3)若)2//()(a b c k a -+，求实数k .2.4平面向量的数量积与2.5平面向量应用举例一、选择题（每题5分，共50分）1.若b a ,是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是 （ ）A.b a =B.1=⋅b aC.≠D.=2.下面给出的关系始终正确的个数是 （ ）①00=⋅a ②a b b a ⋅=⋅ ③2a = ④()()c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅ b a ⋅≤ A.0 B.1 C.2 D.33.对于非零向量b a ,，下列命题中正确的是 （ ）A.000==⇒=⋅b a b a 或B. b a //a ⇒在bC.()2b a b a b a ⋅=⋅⇒⊥ D.b ac b c a =⇒⋅=⋅4.下列四个命题，真命题的是 （ ） A.在ABC ∆中，若,0>⋅BC AB 则ABC ∆是锐角三角形； B.在ABC ∆中，若,0>⋅BC AB 则ABC ∆是钝角三角形； C.ABC ∆为直角三角形的充要条件是0=⋅BC AB ； D.ABC ∆为斜三角形的充要条件是.0≠⋅BC AB .5.e ,8=为单位向量，a 与e 的夹角为,60o 则a 在e 方向上的投影为 （ ）A.34B.4C.24D.238+6.若向量b a ,a ,1==与b 的夹角为120，则=⋅+⋅b a a a （ ）A.21 B.21- C.23 D.23-7.a ,631==与b 的夹角为,3π则b a ⋅的值为 （ ）A.2B.2±C.1D.1±8.已知()(),5,5,0,3-==b a 则a 与b 的夹角为 （ ） A.4π B.3π C.43π D.32π9.若O 为ABC ∆所在平面内的一点，且满足()(),02=-+⋅-OA OC OB OC OB 则ABC ∆ 的形状为 （ ） A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.A ，B ，C 均不是10.设向量()(),1,,2,1x b a ==当向量b a 2+与b a -2平行时，b a ⋅等于 （ ）A.25 B.2 C.1 D.27二、填空题（每题5分，共20分）11.(),2,1,3==b 且,b a ⊥则a 的坐标是_____________. 12.若(),8,6-=a 则与a 平行的单位向量是_____________.13.设21,e e 为两个不共线的向量，若21e e a λ+=与()2132e e b --=共线，则=λ________.14.有一个边长为1的正方形ABCD ，设,,,c AC b BC a AB ====b __________. 三、解答题（每题10分，共30分）15.()()61232,34=+⋅-==b a b a ，求a 与b的夹角θ.16.,43==且a 与b 不共线，当k 为何值的时，向量b k a +与b k a -互相垂直？17.平面上三个力321,,F F F 作用于一点且处于平衡状态，121,226,1F N F N F +==与 2F 的夹角为,45o求：①3F 的大小；②3F 与1F 的夹角的大小.第二章平面向量基础过关测试卷一、选择题（每题5分，共55分）1.如图在平行四边形ABCD 中,,b OB a OA ==,,d OD c OC ==则下列运算正确的是（ ）A.0=+++d c b a B.0 =-+-d c b a C.0 =--+d c b a D.0 =+--d c b a2.已知)1,3(),3,(-==b x a ，且a ∥b ，则x 等于 （ ） A.1- B.9 C.9- D.13.已知a =)1,2(-，b =)3,1(，则－2a +3b 等于 （ ） A.)11,1(--B.)11,1(-C.)11,1(-D.)11,1(4.若点P 分有向线段21P P 所成定比为1:3，则点1P 分有向线段P P 2所成的比为 （ ） A.34-B. 32-C.21-D.23- 5.下列命题中真命题是 （ ）A.000 ==⇒=⋅b a b a 或B.a b a b a 上的投影为在⇒//C.()2b a b a b a ⋅=⋅⇒⊥ D.b ac b c a =⇒⋅=⋅6.已知ABCD 的三个顶点C B A ,,的坐标分别为),3,1(),4,3(),1,2(--则第四个顶点D的坐标为 ( ) A.)2,2( B.)0,6(- C.)6,4( D.)2,4(-7.设21,e e 为两不共线的向量，则21e e a λ+=与()1232e e b --=共线的等价条件是 A.23=λ B.32=λ C.32-=λ D.23-=λ （ ） 8.下面给出的关系式中正确的个数是 （ ）① 00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅ ③22a a = ④)()(c b a c b a ⋅=⋅ ⑤||||b a b a⋅≤⋅A.0B.1C.2D.39.下列说法中正确的序号是 （ ） ①一个平面内只有一对不共线的向量可作为基底； ②两个非零向量平行，则他们所在直线平行；ACOD③零向量不能作为基底中的向量； ④两个单位向量的数量积等于零.A.①③B.②④C.③D.②③10.已知()()5,0,1,221P P -且点P 在21P P 延长线上，22PP =，则点P 坐标是（ ） A.)11,2(- B.)3,34( C.)3,32( D.)7,2(-11.若b a k b a b a b a 432,1||||-+⊥==与且也互相垂直，则k 的值为 （ ） A.6- B.6 C.3 D.3- 二、填空题（每题5分，共15分）12.已知向量)2,1(,3==b a，且b a ⊥，则a 的坐标是__________.13.若()0,2,122=⋅-==a b a b a，则b a 与的夹角为__________.14.ΔABC 中,)1,3(),2,1(B A 重心)2,3(G ，则C 点坐标为__________. 三、解答题（每题题10分，共30分）15.已知),4,(),1,1(),2,0(--x C B A 若C B A ,,三点共线，求实数x 的值.16.已知向量)1,0(),0,1(,4,23212121==+=-=e e e e b e e a ，求（1）b a b a+⋅,的值；（2）a 与b的夹角的余弦值.17.已知四边形ABCD 的顶点分别为)4,1(),7,2(),4,5(),1,2(-D C B A ,求证：四边形ABCD 为正方形.第二章平面向量单元能力测试卷一、选择题(每题5分，共60分)1.设F E D C B A ,,,,,是平面上任意五点，则下列等式①AB CE AE CB +=+ ②AC BE BC EA +=- ③ED AB EA AD +=+ ④0AB BC CD DE EA ++++= ⑤0AB BC AC +-=其中错误等式的个数是（ ）A.1B.2C.3D.42.已知正方形ABCD 的边长为1，设c AC b BC a AB ===,,=++b ( ) A.0 B.3 C.22+D.223.设1e 、2e 是两个不共线向量，若向量 a =2153e e +与向量213e e m b -=共线，则m 的值等于 （ ） A.35-B.－59C.53-D.95-4.已知)3,1(),1,2(=-=b a 则b a 32+-等于 ( ) A.)11,1(--B.)11,1(-C.)11,1(-D.)11,1(5.设P )6,3(-,Q )2,5(-,R 的纵坐标为9-，且R Q P ,,三点共线，则R 点的横坐标为 A.9-B.6-C.9D.6 （ ）6.在ΔABC 中,若0)()(=-⋅+CB CA CB CA ，则ΔABC 为 ( ) A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.无法确定7.已知向量a ，b ，40-=⋅b a =8,则向量a 与b 的夹角为 （ ） A.60B. 60-C.120D.120-8.已知)0,3(=a ,)5,5(-=b ，则a 与b 的夹角为 ( )A.4πB.43π C.3π D.32π 9.若b a b a⊥==,1||||且b a 32+与b a k 4-也互相垂直，则k 的值为 ( )A.6-B.6C.3D.3-NA BDM C10.已知a =(2,3),b =(4-,7),则a 在b上的投影值为 ( )A.13B.513 C.565 D.6511.若035=+CD AB ,且BC AD =，则四边形ABCD 是 ( ) A.平行四边形B.菱形C.等腰梯形D.非等腰梯形12.己知)1,2(1-P ,)5,0(2P 且点P 在线段21P P 的延长线上,||2||21PP P P =, 则P 点坐标为 ( ) A.)11,2(-B.)3,34(C.(3,32) D.)7,2(- 二、填空题(每题5分，共 20分)13.已知|a |=1,|b |=2,且(a －b )和a 垂直,则a 与b的夹角为__________.14.若向量),2(x a -=,)2,(x b -=,且a 与b 同向，则-a b 2=__________.15.已知向量a )2,3(-=,b )1,2(-,c )4,7(-=,且b a cμλ+=，则λ=__________，μ=__________.16.已知|a |=3,｜b ｜=2，a 与b 的夹角为60，则｜a －b ｜=__________. 三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分） 17.如图，ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BD BN 31=，求证：C N M ,,三点共线．18.已知C B A ,,三点坐标分别为),2,1(),1,3(),0,1(--AE =31AC ，BF =31BC ， 1）求点E 、F 及向量EF 的坐标； 2）求证：EF ∥AB ．19.24==夹角为120,求：(1)b a ⋅；(2))()2(b a b a +⋅-；(3)a 3+．20.已知)2,3(),2,1(-==b a，当k 为何值时：（1）b a k +与b a 3-垂直；（2）b a k +与b a3-平行，平行时它们是同向还是反向？21.())sin 3cos ),3(sin(,sin ,cos 2x x x b x x a -+==π,b a x f ⋅=)(，求：(1)函数()x f 的最小正周期； (2))(x f 的值域； (3))(x f 的单调递增区间.22.已知点)sin ,(cos ),3,0(),0,3(ααC B A ， （1）若1-=⋅BC AC ，求α2sin 的值；（213=+，且),0(πα∈，求OB 与OC 的夹角.3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题(每题5分,共45分)1. 345cos 的值等于 （ ）A.462- B.426- C.462+ D.462+- 2.195sin 75sin 15cos 75cos -的值为 （ ） A.0 B.21 C.23D.21- 3.已知1312sin -=θ，)0,2(πθ-∈，则)4cos(πθ-的值为 （ ）A.2627-B.2627C.26217-D.26217 4.已知53)4sin(=-x π，则x 2sin 的值为 （ ）A.2519B.2516C.2514D.257 5.若31sin cos ),,0(-=+∈ααπα且, 则α2cos 等于 （ ）A.917 B.917± C.917- D.317 6.已知函数是则)(,,sin )2cos 1()(2x f R x x x x f ∈+= （ ）A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为2π的奇函数 C.最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为2π的偶函数7.已知71tan =α，βtan =31，20πβα<<<，则βα2+等于 （ ）A.45πB.4πC.45π或4πD.47π8.ΔABC 中，已知αtan 、βtan 是方程01832=-+x x 的两个根，则c tan 等于 ( ) A.2 B.2- C.4 D.4-9.函数56sin2sin 5cos 2cos )(ππx x x f -=的单调递增区间是 （ ） A.)(53,10Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ B.)(207,203Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ C.)(532,102Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ D.)(10,52Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ 二、填空题(每题5分,共20分)10.已知函数的最小正周期是则)(,,sin )cos (sin )(x f R x x x x x f ∈-=__________. 11.135)6cos(-=+πx ,则)26sin(x -π的值是__________. 12.231tan 1tan +=+-αα,则α2sin =__________. 13.已知函数[]则,,0,sin )(π∈=x x x f )2(3)(x f x f y -+=π的值域为__________.三、解答题(14题11分，15、16题12分，共35分) 14.求值：(1))32cos(3)3sin(2)3sin(x x x ---++πππ.(2)已知,71tan ,21)tan(-==-ββα且)0,(,πβα-∈，求βα-2的值.15.设x x x f 2sin 3cos 6)(2-=，（1)求)(x f 的最大值及最小正周期；（2)若锐角α满足323)(-=αf ，求α54tan 的值.16.已知),,0(,,55cos ,31tan πβαβα∈=-= （1)求)tan(βα+的值； （2)求函数)cos()sin(2)(βα++-=x x x f 的最大值.3.2简单的三角恒等变换一、选择题(每题5分，共40分)1.=-︒︒︒︒16sin 194cos 74sin 14sin （ ） A .23 B .23-C .21 D .21- 2.下列各式中，最小的是 （ ） A .40cos 22B .6cos 6sin 2 C .37sin 50cos 37cos 50sin - D .41cos 2141sin 23- 3.函数()R x x y ∈+=2cos 21的最小正周期为 （ ） A .2πB .πC .π2D .π4 4.︒︒︒︒-+70tan 50tan 350tan 70tan 的值为 （ ） A .21 B .23 C .21- D .3-5.若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos （ ） A .97-B .31-C .31D .97 6.若函数x x y tan 2sin =，则该函数有 （ ） A .最小值0，无最大值 B .最大值2，无最小值 C .最小值0，最大值2 D .最小值2-，最大值2 7.若παπ223<<，则=++α2cos 21212121 （ ） A .2cosαB .2sinαC .2cosα- D .2sinα-8.若()x x f 2sin tan =，则()=-1f （ ） A .1 B .1- C .21D .21-二、填空题（每题5分，共20分）9.计算=-+75tan 175tan 1__________.10.要使mm --=-464cos 3sin θθ有意义,则m 取值范围是__________.11.sin αβ==且,αβ为锐角，则αβ+＝__________. 12.若函数4cos sin 2++=x a x y 的最小值为1，则a =__________.三、解答题（每题10分，共40分） 13.化简：)10tan 31(40cos ︒+︒.14.求值：︒︒︒︒++46cos 16sin 46cos 16sin 22.15.求函数1cos sin 2cos sin +++=x x x x y ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 的最值.16.已知函数R x x x x x y ∈++=,cos 2cos sin 3sin 22,(1)求函数的最小正周期；(2)求函数的对称轴； (3)求函数最大值及取得最大值时x 的集合.第三章三角恒等变换单元能力测试卷一、选择题（每题5分 ，共60分）1.︒︒︒︒++15cos 75cos 15cos 75cos 22的值等于 （ ）A.26 B.23 C.45 D.431+2.已知222tan -=θ，πθπ22<<，则θtan 的值为 ( ) A.2 B.22-C.2D.2或22- 3.设︒︒︒︒++=30tan 15tan 30tan 15tan a ，︒︒-=70sin 10cos 22b ，则a ，b 的大小关系 A.b a = B.b a > C.b a < D.b a ≠ （ ）4.函数x x x x f cos sin 3sin )(2+=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ上的最大值 （ ）A.1B.231+ C.23 D.31+5.函数)32cos()62sin(ππ+++=x x y 的最小正周期和最大值分别为（ ） A.π,1 B.π,2 C.π2,1 D.π2,2 6.xx xx sin cos sin cos -+= （ ）A.)4tan(π-x B.)4tan(π+x C.)4cot(π-x D.)4cot(π+x 7.函数)3cos()33cos()6cos()33sin(ππππ+++-+=x x x x y 的图像的一条对称轴是A.6π=x B.4π=x C.6π-=x D.2π-=x （ ）8.)24tan 1)(25tan 1)(20tan 1)(21tan 1(++++的值为 （ ） A.2 B.4 C.8 D.169.若51)cos(=+βα，53)cos(=-βα，则βαtan tan = （ ）A.2B.21C.1D.010.函数[]0,(cos 3sin )(π-∈-=x x x x f ）的单调递增区间是 （ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--65,ππ B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6,65ππ C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,3π D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,6π 11.已知A 、B 为小于︒90的正角，且31sin =A ，21sin =B ，则)(2sin B A +的值是 A.97B.23C.1832+D.183724+ （ ）12.若22)4sin(2cos -=-παα，则ααsin cos +的值为 （ ） A.27-B.21-C.21D.27 二、填空题（每题5分，共20分） 13.已知32tan=θ，则θθθθsin cos 1sin cos 1+++-=__________.14.函数)2sin()3sin(ππ+⋅+=x x y 的最小正周期T =__________. 15.已知xxx f +-=11)(，若),2(ππα∈则)cos ()(cos αα-+f f 可化简为__________.16.若2cos sin -=+αα，则ααtan 1tan +=__________. 三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分） 17.（1）已知54cos =α，且παπ223<<，求2tan α.（2）已知1cos )cos()22sin(sin 3=⋅+--θθπθπθ，),0(πθ∈，求θ的值.18.已知135)43sin(=+πα，53)4cos(=-βπ，且434,44πβππαπ<<<<-， 求)cos(βα-的值.19.已知函数R x x x x x x f ∈++=,cos 3cos sin 2sin )(22， 求：（1）函数)(x f 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； （2）函数)(x f 的单调增区间.20.已知α、β),0(π∈，且αtan 、βtan 是方程0652=+-x x 的两根，求：（1）βα+的值；（2）)cos(βα-的值.。
高中数学必修四巩固练习_余弦函数与正切函数的图象_提高
【巩固练习】1.函数tan()3y x π=+的定义域( ). A.|,6x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭ B.|,6x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠-∈⎨⎬⎩⎭ C.|2,6x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭ D.|2,6x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠-∈⎨⎬⎩⎭ 2.tan (,)2y x x k k Z ππ=≠+∈在定义域上的单调性为( ).A.在整个定义域上为增函数B.在整个定义域上为减函数C.在每一个开区间(,)()22k k k Z ππππ-++∈上为增函数D.在每一个开区间(2,2)()22k k k Z ππππ-++∈上为增函数3.方程|x|＝cos x 在(－∞,+∞)内( )A.没有根B.有且仅有一个根C.有且仅有两个根D.有无穷多个根4.要得到函数sin y x =的图象,只需将函数cos()y x π=-3的图象( ).A.向右平移6π个单位 B.向右平移3π个单位C.向左平移3π个单位 D.向左平移6π个单位5.当22x ππ-<<时,函数y ＝tan |x|的图象( )A.关于原点对称B.关于x 轴对称C.关于y 轴对称D.不是对称图形6.已知k ＜―4,则函数y ＝cos 2x+k (cos x ―1)的最小值是( )7.已知函数y ＝tan(x+ϕ)的图象过点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭,则ϕ可以是( ) A.6π- B.6πC.12π- D.12π8.下列函数中同时满足:①在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数；②奇函数；③以π为最小正周期的函数的是() A.y ＝tan x B.y ＝cos x C.tan 2xy = D.y ＝|sin x|9.方程x 2＝cos x 的实根个数有________个.10.函数()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π,其中0ω>,则ω=________。
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【巩固练习】1.在以下关于向量的命题中，不正确的是( ) A.若()()()0a x y b y x x y ==-≠，，，，、，则a ⊥bB.四边形ABCD 是菱形的充要条件是AB DC =，且AB AD =C.点G 是△ABC 的重心，则0GA GB CG ++=D.△ABC 中，AB 和CA 的夹角等于180°-A2.若a 、b 、c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定．．．成立的是( ) A.()()a b c a b c ++=++ B.()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅C.m(a b +)=m a +m bD.()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅3.设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 ①(a ·b )c -(c ·a )b =0 ②|a |-|b |<|a -b |③(b ·c )a -(c ·a )b 不与c 垂直④(3a +2b )(3a -2b )=9|a |2-4|b |2中，是真命题的有( ) A.①②B.②③C.③④D.②④4.如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD =( )(A)12BC BA -+(B)12BC BA -- (C)12BC BA - (D)12BC BA +5.P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心D.垂心6.已知平行四边形ABCD 中，AD =(3，7)，AB =(-2，3)，对角线AC ，BD 交于点O ，则CO 的坐标为( )A.(-21，5)B.(-21，-5)C.(21，-5)D.(21，5) 7.已知向量5(1,2),(2,4),||5,()2a b c a b c ==--=+⋅=若，则a 与c 的夹角为( )A.30°B.60°C.120°D.150°8.在△ABC 中，∠C=90°，(,1),(2,3),AB k AC ==则k 的值是( )A.5B.-5C.32 D.32- 9.已知a 、b 均为单位何量，它们的夹角为60°，那么|a + 3b |=( ) A.7 B.10 C.13 D.410.已知向量a ≠e ，|e |=1，对任意t ∈R ，恒有|a -t e |≥|a -e |，则( ) A.a ⊥e B.a ⊥(a -e ) C.e ⊥(a -e ) D.(a ＋e )⊥(a -e ) 11.已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k=___. 12.已知向量(2,2),(5,).||a b k a b =-=+若不超过5，则k 的取值范围是_______.13.已知向量(2,3)a =，(,6)b x =，且//a b ，则=x .14.求与向量a →=-1)和b →=(1)的向量c →的坐标.15.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量(1,2)a =-，又点(8,0),(,),(sin ,)(0)2A B n t C k t πθθ≤≤(1)若,AB a ⊥且||5||AB OA =，求向量OB ；(2)若向量AC 与向量a 共线，当4k >时，且sin t θ取最大值为4时，求OA OC ⋅.16.已知m R ∈，2(1, )a x m =-+，1 (1, )b m x =+， (,)xc m x m=-+. (Ⅰ)当1m =-时，求使不等式 1a c ⋅<成立的x 的取值范围； (Ⅱ)求使不等式 0a b ⋅>成立的x 的取值范围.【答案与解析】 1.【答案】C【解析】若点G 是△ABC 的重心，则有0GA GB GC ++=，而C 的结论是0GA GB CG ++=，显然是不成立的，选C.2.【答案】D【解析】因为()||||cos a b c a b c θ⋅⋅=⋅⋅，而()||||cos a b c b c a θ⋅⋅=⋅⋅；而c 方向与a 方向不一定同向.3.【答案】D【解析】①平面向量的数量积不满足结合律.故①假；②由向量的减法运算可知|a |、|b |、|a -b |恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；③因为［(b ·c )a -(c ·a )b ］·c =(b ·c )a ·c -(c ·a )b ·c =0，所以垂直.故③假；④(3a +2b )(3a -2b )=9·a ·a -4b ·b =9|a |2-4|b |2成立.故④真.4.【答案】A【解析】12CD CB BD BC BA =+=-+ 5.【答案】D【解析】∵PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则由PA PB PB PC ⋅=⋅得()0,0,PB PC PA PB AC PB AC ⋅-=⋅=∴⊥即同理AB PC BC PA ⊥⊥,，即P 是垂心.6.【答案】B【解析】AD =(3，7)，AB =(-2，3)，(1,10)AC AB AD =+=，则11(,5)22CO AC =-=-- 7.【答案】C【解析】a c θ设与的夹角为，∵(1,2),(2,4)a b ==--，∴2b a =-5()5cos 2a b c a c θ+⋅=-⋅=-⨯= 1cos 1202θθ=-∴=︒. 8.【答案】A【解析】∠C=90°，(,1),(2,3),AB k AC ==则(2,2)BC k =-∵∠C=90°∴02(2)605AC BC k k ⋅=∴-+=∴= 9.【答案】C【解析】已知a 、b 均为单位何量，它们的夹角为60°，那么12a b ⋅=∴|a +3b |2=226913a a b b +⋅+=.10.【答案】C【解析】已知向量a ≠e ，|e |=1，对任意t ∈R ，恒有|a -t e |≥|a -e | 即 |a -t e |2≥|a -e |2∴22210t a et a e -⋅+⋅-≥即22(2)4(21)01010a e a e a e a e ∆=⋅-⋅-≤⋅-≤∴⋅-=即（） 200a e e e a e ⋅-=∴⋅-=（）11.【答案】23-【解析】向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-， ∴ (4,7),(2,2)AB k AC k =--=--又A 、B 、C 三点共线，故(4-k ，-7)=λ(-2k ，-2)，∴k=23- 12.【答案】[-6，2]【解析】(2,2),(5,).(3,2)||92a b k a b k a b k =-=+=++=++则（ 2)29k ++（≤5 ∴62k -≤≤.13.【答案】4=x【解析】∵//a b ，∴1221y x y x =，∴x 362=⋅，∴4=x . 14.【解析】法一：设()c x y →=，，则3a c x y ⋅=-，3b c x y ⋅=+∵ a c b c →→→→=，，，∴ ||||||||a cb ca cbc →→→→→→→→⋅⋅=∴ 33x y x y -=+ 即(23)x y =+①又2c →=，∴ x 2+y 2=2 ②由①②得31231x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ 或31231x y ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩(舍) ∴3131(,)c →+-=. 法二：从分析形的特征着手 ∵ |→a |=|→b |=2 →a ·→b =0∴ △AOB 为等腰直角三角形，如图 ∵ |→--OC |=2，∠AOC=∠BOC ∴ C 为AB 中点15.【解析】(1)(8,),820AB n t AB a n t =-⊥∴-+=，又2225||||,564(3)5OB AB n t t =∴⨯=-+=，得8t =±.(24,8)OB ∴=或(8,8)OB =-- (2)(sin 8,)AC k t θ=-AC 与a 向量共线， 2sin 16t k θ∴=-+232sin (2sin 16)sin 2(sin )4k t k k kθθθθ=-+=--+4,104k k ∴>∴>>，∴当sin 4k θ=时，sin t θ取最大值为32k由324k =，得8k =，此时,(4,8)6OC πθ==(8,0)(4,8)32OA OC ∴⋅=⋅=.16.【解析】(Ⅰ)当1m =-时，2(1, 1)a x =--， (1,)1xc x =-. 22(1)111x x a c x x x -⋅=-+=+--∵ 211a c x x ⋅=+-<，∴ 2211,1 1.x x x x ⎧+->-⎪⎨+-<⎪⎩解得 21x -<<-或01x <<.∴ 当1m =-时，使不等式 1a c ⋅<成立的x 的取值范围是{}2101x x x -<<-<<或.(Ⅱ)∵ 22(1)(1)()(1)0x m x m x m x x m a b m x x x+-++--⋅=-++==>， ∴ 当m<0时，(, 0)(1, )x m ∈+∞；当m=0时， (1, )x ∈+∞； 当01m <<时，(0, )(1, )x m ∈+∞；当m=1时，(0, 1 )(1, )x ∈+∞； 当m>1时，(0, 1 )(, )x m ∈+∞.。