《随机过程概论》第4章 随机信号的频域分析 作业
精品文档-随机信号分析基础(梁红玉)-第4章
(4-50)
第四章 随机信号的频域分析
对式（4-49）两边取数学期望， 则可得到随机信号的平均功 率
第四章 随机信号的频域分析
第四章 随机信号的频域分析
4.1 确知信号分析 4.2 随机信号的功率谱密度 4.3 互功率谱密度 4.4 随机信号的带宽 4.5 高斯白噪声与带限白噪声
第四章 随机信号的频域分析
4.1 确知信号分析
4.1.1 对于确知信号， 根据能量是否有限， 可将其分为能量信
号和功率信号两类。 在通信理论中， 通常把信号功率定义为 电流或电压信号在单位电阻(1 Ω)上消耗的功率， 即归一化 功率P。 因此， 功率就等于电流或电压的平方：
(4-29)
第四章 随机信号的频域分析
图4-1 截短信号示意图
第四章 随机信号的频域分析
显然， 截短信号sT(t)是时间持续有限长的能量信号， 我们利用傅里叶变换可以求出其能量谱密度|ST(ω)|2或者 |ST(f)|2， 并由帕斯瓦尔能量守恒定理有
E
T T
sT2
t
dt
1 2π
ST
2
（1） s(t)在(－∞, ∞)范围内满足狄利克利条件（只
有有限间断点）；
（2） s t dt （绝对可积）的等价条件为
s(t) 2 dt
（信号s(t)的总能量有限）。
若s(t)满足上述条件， 则傅里叶变换对存在。
频谱（正变换）
第四章 随机信号的频域分析
S()
s
t
e jtdt
P
V2
I 2R
V2
I2
W
R
(4-1)
第四章 随机信号的频域分析
假定确知实信号为s(t)代表信号电压或电流的时间波形。
随机信号分析第四章习题讲解
4-4设有限时间积分器的单位冲激响应h(t)=U(t)－U(t －0.5) 它的输入是功率谱密度为 210V Hz 的白噪声，试求系统输出的总平均功率、交流平均功率和输入输出互相关函数()()()()()22221:()2[()][()]0Y Y Y Y XY X P E Y t G d D Y t E Y t m E Y R R R h ωωπτττ∞-∞⎡⎤==⎣⎦⎡⎤=-==⎣⎦=*⎰思路()()()10()()10()10[()(0.5)]()()10[()(0.5)]XY X YX XY R R h h h U U R R U U τττδτττττττττ=*=*==--=-=----解：输入输出互相关函数()Y R τ00020.025()0()10()10()0()()()()10(()00[()(0.)()10()()()10()()10101100.55[()5)]](0)X X X Y X Y X Y Y X t m G R m m h d R U R h h h h h h d R h h d d d E Y t R U ωτττττττττλτλδτλλλλλλλμ∞∞∞∞==⇔====**-=*-=+=+=-=-=⋅=⨯==⎰⎰⎰⎰⎰时域法平均功是白噪声，，，率面积法：225[()][()]5Y Y D Y t E Y t m ==-=P 交流：平均功率()()()2141224222Y2(P1313711()2415()()()102424115112522242j j j Y X Y U t U t Sa e H e Sa G G H e Sa Sa G d Sa S d a d ωτωωωτττωωωωωωωωωωωππωωπ---∞∞∞-∞∞--∞⎛⎫--⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭-⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫===⎛⎫= ⎪ ⎭⎪⎭⎝⎝⎰⎰⎰P 矩形脉冲A 的频谱等于A 信号与线性系统书式域法）频()()2220000[()][()][()]5Y X Y Y m m H H D Y t E Y t m E Y t =⋅=⋅⇒=-===P 交直流分量为平均功率：流4-5 已知系统的单位冲激响应()(1)[()(1)]h t t U t U t =---，其输入平稳信号的自相关函数为()2()9X R τδτ=+，求系统输出的直流功率和输出信号的自相关函数？分析：直流功率＝直流分量的平方解: 输入平稳输出的直流分量 输出的直流功率()2300X X m R σ==±==()()()10332Y X m m h t h t ττ=*=*=⎰=31-d ()()()()()()()()()()()()()()()2'''222'[()(1()(1)(1)F )]12122222j j j j Y h t t t d F j d d F j jd H A A U t U t A Sa ej A Sa e Sa e Sa eG U t U t t j ωωωωωωωωωωωωωωωωωω----⋅↔⇒⋅↔-⇒=-⎛⎫--⇒=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒==+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝=-=-⎭⎣-=-⎦变换 频域的微分特性 -jt f t t f t =A t A t 矩形脉冲A 谱t 的频()()()()()()()()()()()2''21920222410001lim 022239024X X Y Y X G H G H H Sa Sa R j H A A j Sa m m H j ωωωωωωωωπδτω*→=⋅⋅⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+⇒ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫---== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅=⇒＝＝直流功率294Y m =()Y X m m h t =*4-7 已知如图4.21 所示的线性系统，系统输入信号是物理谱密度为0N 的白噪声，求：①系统的传递函数()H ω？②输出()Z t 的均方值？其中2222[sin()][()]2ax dx a ax dx axSa π∞∞==⎰⎰()()()()()()()112122121212()()()()()()()()()()()F ()(1)()()11()()()()()()()(()j T Y t X t X t T h t t t T t h t d U t Y X H Y H X H H H H H H e H j H h H t h t H ωωωωωωωωωωωωωωωπδωωωωδδωλδλω-∞-∆∆=--=--⇒=⋅==⇒⇒=-=+=⋅=⋅⋅=⎡⎤⎣⎦⎰Z Z 可以分别求冲激响应，输入为冲激函数：输入为冲激函数、，冲激响应＝1(1)()1)[()](1)()j Tj T j T e e e j j ωωωπδωπδωωω----=-+=-＋()2222222220022022102(2)(1)(1)2()(1cos )2sin sin 2sin ((0)()()()21sin 21sin (0)2)()()()[()]j T j T Z X j Z Z Z Z Z Z e e H T j j T TN T G G H H N T N e d T R G R R F G R N ωωωτωωωωωωωωωωωωωωωωωπωωπωωττω+∞-∞----=⋅=-⋅=⇒⋅=⋅⋅=⋅-⋅⇒⋅==⋅⎰＝＝＝求输出Z t 的均方值即，所以有2200000sin 2222j e d N TN N T d T τωωπωπωπ∞-∞∞=⋅⋅=⋅⋅=⎰⎰4-11 已知系统的输入为单位谱密度的白噪声，输出的功率谱密度为2424()109Y G ωωωω+=++求此稳定系统的单位冲激响应()h t ？解：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()242223211242()41092243311()()12231311112()0231921Y t Y X X t G s s s s s s G H G H s H s H s s j H s H s s j j h t F H F e e U t j j s s j s H G s ωωωωωωωωωωωωωωωωω----⋅==⇒=-=++=⇒=++++⎛⎫ ⎪+=++-+-+====+ ⎪++ ⎪⎝⎭-+-+-+==系统稳定，则零头、极点都＋在左半平面带入4-12 已知系统输入信号的功率谱密度为223()8X G ωωω+=+ 设计一稳定的线性系统()H ω，使得系统的输出为单位谱密度的白噪声？解：()()()()()221()11()Y X X G G H s s H s G s H s H ωωωω=⇒⋅=⇒==⇒==即4-14 功率谱密度为02N 的白噪声作用于(0)2H =的低通网络上，等效噪声带宽为XH MHz 。
随机信号的谱分析
单边功率谱
单边功率谱——实平稳过程的谱密度 SX () 是偶函数，
因而可将负的频率范围内的值折算到正频率范围内。
FX
()
2 lim T
1 T
E
T 0
X
(t) eitd t
2
,
0
0 ,
0
FX () 20G,X () ,
0 0
GX()
FX()
平稳随机序列的功率谱
对于平稳随机序列X (n)，若它的自相关函数RX (m) 满足
[解]
GX
()
2
ea
0
cos(0
) cos() d
ea
0
[cos(0
)
cos(0
)
]d
a
a
a2 ( 0 )2 a2 ( 0 )2
例3 设随机序列X(n) = W(n) +W(n-1)，其中W(n)是高斯随
机序列，mW=0, RW(m)=2(m)，求X(n)的均值、自相关 函数和谱密度 GX () .
若 X (t) 和 Y (t)相互正交，则
RW ( ) RX ( ) RY ( )
GW () GX () GY ()
[例4] 如图所示X (t) 是平稳过程，过程Y (t)= X (t)+ X (tT)
也是平稳的，求Y (t) 的功率谱。
X (t)
[解]
Y (t)
延迟T
RY (t, t ) E[Y (t)Y (t )] E{[ X (t) X (t T )][ X (t ) X (t T )]} 2RX ( ) RX ( T ) RX ( T )
GX
() e j
d
N0
随机信号习题及答案
3.
⎧0 ⎪ 已知随机变量 X 的分布函数为： FX ( x) = ⎨kx 2 ⎪1 ⎩
x<0 0 ≤ x < 1 ，求：①系数 k；②X 落在区间 x >1
0 < x < +∞,0 < y < +∞ 其它
（0.3，0.7）内的概率；③随机变量 X 的概率密度函数。
4.
⎧e − ( x + y ) 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为： f ( x, y ) = ⎨ ⎩0
求：①
分布函数 FXY ( x, y ) ；②（X，Y）落在如图所示的三角形区域内的概率。
y x+y=1
0
x
5. （续上题）求③边缘分布函数 FX ( x) 和 FY ( y ) ；④求边缘概率 f X ( x) 和 fY ( y ) 。 6. （ 续 上 题 ） ⑤ 求 条 件 分 布 函 数 FX ( x y ) 和 FY ( y x) ； ⑥ 求 条 件 概 率 密 度 f X ( x
103
9 若两个随机过程 X (t ) = A(t )cos t 和 Y (t ) = B(t )sin t 都是非平稳过程，其中 A(t ) 和 B (t ) 为相互独立，且 各自平稳的随机过程，它们的均值为 0 ，自相关函数 R A (τ ) = RB (τ ) = R (τ ) 。试证这两个过程之和
和 Y 的相关性及独立性。
11. 已知随机变量 X 的均值 m X = 3 ，方差 σ 2 X = 2 ，且另一随机变量 Y = −6 X + 22 。讨论 X 和 Y 的相关性和正交性。 12. 设随机变量 Y 和 X 之间为线性关系 Y = aX + b ，a、b 为常数，且 a ≠ 0 。已知随机变量 X 为正态分布，即：
随机信号分析课后习题答案
随机信号分析课后习题答案随机信号分析课后习题答案随机信号分析是现代通信系统设计和信号处理领域中的重要基础知识。
通过对随机信号的分析，我们可以更好地理解和处理噪声、干扰等随机性因素对通信系统性能的影响。
下面是一些关于随机信号分析的课后习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 什么是随机信号？随机信号是在时间域上具有随机性质的信号。
与确定性信号不同，随机信号的每个样本值都是随机变量，其取值不是确定的。
随机信号可以用统计特性来描述，如均值、方差、功率谱密度等。
2. 什么是平稳随机信号？平稳随机信号是指在统计性质上不随时间变化的随机信号。
具体来说，平稳随机信号的均值和自相关函数不随时间变化。
平稳随机信号在实际应用中较为常见，因为它们具有一些方便的数学性质，可以简化信号处理的分析和设计。
3. 如何计算随机信号的均值？随机信号的均值可以通过对信号样本值的求平均来计算。
对于离散时间随机信号，均值可以表示为：E[x[n]] = (1/N) * Σ(x[n])其中，E[x[n]]表示信号x[n]的均值，N表示信号的样本数，Σ表示求和运算。
4. 如何计算随机信号的方差？随机信号的方差可以用均方差来表示。
对于离散时间随机信号，方差可以表示为：Var[x[n]] = E[(x[n] - E[x[n]])^2]其中，Var[x[n]]表示信号x[n]的方差，E[x[n]]表示信号的均值。
5. 什么是自相关函数？自相关函数是用来描述随机信号与其自身在不同时间延迟下的相似性的函数。
自相关函数可以用来分析信号的周期性、相关性等特性。
对于离散时间随机信号，自相关函数可以表示为：Rxx[m] = E[x[n] * x[n-m]]其中，Rxx[m]表示信号x[n]的自相关函数，E[ ]表示期望运算。
6. 如何计算随机信号的自相关函数？随机信号的自相关函数可以通过对信号样本值的乘积进行求平均来计算。
对于离散时间随机信号，自相关函数可以表示为：Rxx[m] = (1/N) * Σ(x[n] * x[n-m])其中，Rxx[m]表示信号x[n]的自相关函数，N表示信号的样本数，Σ表示求和运算。
随机信号分析(第3版)第四章习题及答案
4-1习 题4.1 随机信号()1Y t 与()2Y t 的实测样本函数如下题图4.1(a)与(b)所示，试说明它们是否均值各态历经。
（a ） （b ）题图4.1解：由均值各态历经信号的物理意义：只要观测的时间足够长，每个样本函数都将经历信号的各个状态，结合题图可见：（a ）不可能是均值各态历经信号；（b ）很可能是均值各态历经信号4.2 随机二元传输信号如例3.16所述，试分析它的均值各态历经性。
解：由例3.16，随机二元传输信号的协方差函数为， 41(),0Y pq T C T Tττττ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭>⎪⎩又根据充分条件为：()lim 0C ττ→∞=，且 ()04C pq =<∞，因此，它是均值各态历经信号。
4.34.4 随机信号()X t 与()Y t 是联合广义各态历经的，试分析信号()()()Z t aX t bY t =+的各态历经性，其中a 与b 是常数。
解：由题意，均方意义下有，[()][()][()]()()()A Z t aA X t bA Y t aEX t bEY t EZ t =+=+=2222[()()][()()][()()][()()][()()][()()][()()][()()][()()]()Z A Z t Z t a A X t X t b A Y t Y t abA X t Y t abA Y t X t a E X t X t b E Y t Y t abE X t Y t abE Y t X t R ττττττττττ+=+++++++=+++++++=因此，()Z t 是均值各态历经信号4.54.6 随机过程()sin cos X t A t B t =+，式中，A 和B 为零均值随机变量。
求证()X t 是均值各态历经的，而均方值无各态历经性。
4-2 解：由题意，首先，()sin cos 0[()][sin ][cos ]0EX t EA t EB t A X t A A t B A t =+==⨯+⨯= 而222222222()sin cos 2sin cos sin cos sin 2X t A t B t AB t t A t B t AB t =++=++ 222222222[()]sin cos sin 2sin cos E X t EA t EB t EA EB t EA t EB t =++⨯⨯=+2222222[()][sin ][cos ][sin 2]2A B A X t A A t B A t AB A t +=⨯+⨯+⨯= 显然，()[()]EX t A X t =，但22()[()]EX t A X t ≠。
《随机过程》第4章离散部分习题及参考答案
湖南大学本科课程《随机过程》第4章习题及参考答案主讲教师：何松华 教授30．设X(n)为均值为0、方差为σ2的离散白噪声，通过一个单位脉冲响应为h(n)的线性时不变离散时间线性系统，Y(n)为其输出，试证：2[()()](0)E X n Y n h σ=，2220()Y n h n σσ∞==∑证：根据离散白噪声性质，220()[()()]()0X m R m E X n m X n m m σσδ⎧==+==⎨≠⎩()()()()()m Y n X n h n X n m h m ∞==⊗=-∑220[()()]{()()()][()()]()()()()()(0)m m X m m E X n Y n E X n X n m h m E X n X n m h m R m h m m h m h σδσ∞∞==∞∞===-=-===∑∑∑∑12121222112202121221210000[()]{()()()()][()()]()()[()()]()Y m m m m m m E Y n E X n m h m X n m h m E X n m X n m h m h m m m h m h m σσδ∞∞==∞∞∞∞======--=--=-∑∑∑∑∑∑(对于求和区间内的每个m 1,在m 2的区间内存在唯一的m 2=m 1,使得21()0m m δ-≠)1222110()()()m n h m h m h n σσ∞∞====∑∑(求和变量置换) 31．均值为0、方差为σ2的离散白噪声X(n)通过单位脉冲响应分别为h 1(n)=a n u(n)以及h 2(n)=b n u(n)的级联系统(|a|<1,|b|<1)，输出为W(n)，求σW 2。
解：该级联系统的单位脉冲响应为121211100()()()()()()()1(/)()1/n m m m m mn n n nnn m m n nm m h n h n h n h n m h m a u n m b u m b b a aba b a a u n a b a a b∞∞-=-∞=-∞+++-===⊗=-=---⎛⎫====⎪--⎝⎭∑∑∑∑参照题30的结果可以得到21122222211212000222222222()[()2()()]()2(1)[]()111(1)(1)(1)n n n n n W n n n a b h n a ab b a b a b a ab b ab a b a ab b a b ab σσσσσσ++∞∞∞+++===⎡⎤-===-+⎢⎥--⎣⎦+=-+=-------∑∑∑32．设离散系统的单位脉冲响应为()() (1)n h n na u n a -=>，输入为自相关函数为2()()X X R m m σδ=的白噪声，求系统输出Y(n)的自相关函数和功率谱密度。
随机信号分析第四章new
运算结果
作业
4.3 4.4 4.5 4.14 4.16 4.22
]=
1
2
GX ( )d
lim 1
T 2T
T T
E
X
(t )
2 dt
若X (t)为平稳随机信号时
W=E[X2(t)]
举例
例：随机过程X(t)为
X(t)=acos(0t+) a,0为常数，是在(0, / 2)上均匀
分布的随机变量，求随机信号X(t) 的平均功率W
E[ X 2 (t)] E[a2 cos2 (0t )]
L
2n
b 2(n1) 2(n1)
L
a22 a0 b22 b0
举例
例、已知谱密度为
GX
(
)
4
2 1
3 2
1
求相关函数及平均功率。
解、 由因式分解
GX
()
4
2 1 32
2
1
2
2
由公式：
e
2 2
2
RX ( )
1 (e 22
2
)
W R(0) 1 22
例、已知谱密度为 求相关函数。
T
YT ()
T
Y
(t
)e
jt
dt
T
若X(t)及Y(t)联合平稳，有
RXY ( ) GXY ()
互谱密度及其性质
GXY () GYX () GY*X () Re[GXY ()]与Re[GYX ()]是的偶函数 Im[GXY ()]与Im[GYX ()]是的奇函数 GXY()2 GX ()GY () 若X (t)与Y (t)正交，则GXY () GY*X () 0 若不相关，则GXY () GY*X () 2 mX mY ()
随机过程及其应用_习题答案(陆大金)
⎛ z2 ⎞ 1 exp ⎜ − ⎟ 2π ⎝ 2⎠
解（4） ： 若 c 小于零，则事件 A 为必然事件，P（A）=1； 若 c 大于等于零， 考察
2ω
π
∫
π /ω
0
ζ 2 (t )dt ，变形为：
2ω
π
∫
π /ω
0
v 2 sin 2 (ωt + φ )dt
= v2 ⎛ v2 ⎞ ⎛ c⎞ P{A}=P{ v > c }=P{ v > c }= ∫ v ⋅ exp ⎜ − ⎟ dv = exp ⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ c
0
+∞
=∫ =
+∞
0
V −2 e dv 2π
V2
1 2π
因为 f v (v) ⋅ f φ (φ ) = f vφ (v, φ ) ，所以可知二者统计独立。 解（2） ： 典型样本函数图形，略。 解（3） ： 利用特征函数求解。 在 t 时刻，cos(wt),sin(wt) 值均给定。
⎛ u2 ⎞ 高斯随机变量 ξ 的特征函数为 Φξ (u ) = exp ⎜ − ⎟ ⎝ 2 ⎠
= P{ηn > [t − (n − 1)T ]}
1 dη t − ( n −1)T T T − t + (n − 1)T = T nT − t = T t = n− T t − (n − 1)T = 1− T
=∫
T
P{ξ (t ) = 0} = 1 − P{ξ (t ) = A} =
t − (n − 1)T t = − (n − 1) T T ∴ fξt ( x) = PAδ ( x − A) + P0δ ( x) t⎞ ⎛ ⎛t ⎞ = ⎜ n − ⎟ δ ( x − A) + ⎜ − (n − 1) ⎟ δ ( x) T⎠ ⎝ ⎝T ⎠
随机信号分析第四章习题讲解
4-4设有限时间积分器的单位冲激响应h(t)=U(t)－U(t －0.5) 它的输入是功率谱密度为 210V Hz 的白噪声，试求系统输出的总平均功率、交流平均功率和输入输出互相关函数()()()()()22221:()2[()][()]0Y Y Y Y XY X P E Y t G d D Y t E Y t m E Y R R R h ωωπτττ∞-∞⎡⎤==⎣⎦⎡⎤=-==⎣⎦=*⎰思路()()()10()()10()10[()(0.5)]()()10[()(0.5)]XY X YX XY R R h h h U U R R U U τττδτττττττττ=*=*==--=-=----解：输入输出互相关函数()Y R τ00020.025()0()10()10()0()()()()10(()00[()(0.)()10()()()10()()10101100.55[()5)]](0)X X X Y X Y X Y Y X t m G R m m h d R U R h h h h h h d R h h d d d E Y t R U ωτττττττττλτλδτλλλλλλλμ∞∞∞∞==⇔====**-=*-=+=+=-=-=⋅=⨯==⎰⎰⎰⎰⎰时域法平均功是白噪声，，，率面积法：225[()][()]5Y Y D Y t E Y t m ==-=P 交流：平均功率()()()2141224222Y2(P1313711()2415()()()102424115112522242j j j Y X Y U t U t Sa e H e Sa G G H e Sa Sa G d Sa S d a d ωτωωωτττωωωωωωωωωωωππωωπ---∞∞∞-∞∞--∞⎛⎫--⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭-⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫===⎛⎫= ⎪ ⎭⎪⎭⎝⎝⎰⎰⎰P 矩形脉冲A 的频谱等于A 信号与线性系统书式域法）频()()2220000[()][()][()]5Y X Y Y m m H H D Y t E Y t m E Y t =⋅=⋅⇒=-===P 交直流分量为平均功率：流4-5 已知系统的单位冲激响应()(1)[()(1)]h t t U t U t =---，其输入平稳信号的自相关函数为()2()9X R τδτ=+，求系统输出的直流功率和输出信号的自相关函数？分析：直流功率＝直流分量的平方解: 输入平稳输出的直流分量 输出的直流功率()2300X X m R σ==±==()()()10332Y X m m h t h t ττ=*=*=⎰=31-d ()()()()()()()()()()()()()()()2'''222'[()(1()(1)(1)F )]12122222j j j j Y h t t t d F j d d F j jd H A A U t U t A Sa ej A Sa e Sa e Sa eG U t U t t j ωωωωωωωωωωωωωωωωωω----⋅↔⇒⋅↔-⇒=-⎛⎫--⇒=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒==+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝=-=-⎭⎣-=-⎦变换 频域的微分特性 -jt f t t f t =A t A t 矩形脉冲A 谱t 的频()()()()()()()()()()()2''21920222410001lim 022239024X X Y Y X G H G H H Sa Sa R j H A A j Sa m m H j ωωωωωωωωπδτω*→=⋅⋅⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+⇒ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫---== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅=⇒＝＝直流功率294Y m =()Y X m m h t =*4-7 已知如图4.21 所示的线性系统，系统输入信号是物理谱密度为0N 的白噪声，求：①系统的传递函数()H ω？②输出()Z t 的均方值？其中2222[sin()][()]2ax dx a ax dx axSa π∞∞==⎰⎰()()()()()()()112122121212()()()()()()()()()()()F ()(1)()()11()()()()()()()(()j T Y t X t X t T h t t t T t h t d U t Y X H Y H X H H H H H H e H j H h H t h t H ωωωωωωωωωωωωωωωπδωωωωδδωλδλω-∞-∆∆=--=--⇒=⋅==⇒⇒=-=+=⋅=⋅⋅=⎡⎤⎣⎦⎰Z Z 可以分别求冲激响应，输入为冲激函数：输入为冲激函数、，冲激响应＝1(1)()1)[()](1)()j Tj T j T e e e j j ωωωπδωπδωωω----=-+=-＋()2222222220022022102(2)(1)(1)2()(1cos )2sin sin 2sin ((0)()()()21sin 21sin (0)2)()()()[()]j T j T Z X j Z Z Z Z Z Z e e H T j j T TN T G G H H N T N e d T R G R R F G R N ωωωτωωωωωωωωωωωωωωωωωπωωπωωττω+∞-∞----=⋅=-⋅=⇒⋅=⋅⋅=⋅-⋅⇒⋅==⋅⎰＝＝＝求输出Z t 的均方值即，所以有2200000sin 2222j e d N TN N T d T τωωπωπωπ∞-∞∞=⋅⋅=⋅⋅=⎰⎰4-11 已知系统的输入为单位谱密度的白噪声，输出的功率谱密度为2424()109Y G ωωωω+=++求此稳定系统的单位冲激响应()h t ？解：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()242223211242()41092243311()()12231311112()0231921Y t Y X X t G s s s s s s G H G H s H s H s s j H s H s s j j h t F H F e e U t j j s s j s H G s ωωωωωωωωωωωωωωωωω----⋅==⇒=-=++=⇒=++++⎛⎫ ⎪+=++-+-+====+ ⎪++ ⎪⎝⎭-+-+-+==系统稳定，则零头、极点都＋在左半平面带入4-12 已知系统输入信号的功率谱密度为223()8X G ωωω+=+ 设计一稳定的线性系统()H ω，使得系统的输出为单位谱密度的白噪声？解：()()()()()221()11()Y X X G G H s s H s G s H s H ωωωω=⇒⋅=⇒==⇒==即4-14 功率谱密度为02N 的白噪声作用于(0)2H =的低通网络上，等效噪声带宽为XH MHz 。
概率论与随机过程第4章
1 E[ | X T (ω , ξ i ) |2 ] T →∞ 2T
1 T T E[ ∫−T xT (t1 , ξ i )e jω t1 dt1 ∫−T xT (t2 , ξ i )e − jω t2 dt2 ] T →∞ 2T 1 T T − jω ( t 2 − t1 ) = lim dt1dt 2 ∫−T ∫−T E[ X T (t1 ) X T (t2 )]e T →∞ 2T
{x ( t , ξ i ) }
每一样本函数都是一确定的时间函数, 可以求得每个样本函数对应的功率谱密度函数，即:
样本函数的功率 谱密度函数
| XT (ω , ξi ) |2 GX (ω ,ξi ) = lim T→∞ 2T
由于随机信号的随机性，各样本函数不同，故任一样本函数 对应的功率谱密度函数都不能用来代表随机过程的功率谱密 度函数。因此，只有将所有可能出现的每一个样本函数的功 率谱密度函数的统计平均值作为随机过程的功率谱密度函数 才是合理的。
11
若 R(τ ) 含直流分量或周期成分，则可引入 δ 函数加以解决。
⎧ ⎪1 ⇔ 2πδ (ω ) ⎪ ⎪ ⎨ cos(ω0τ ) = π [δ (ω − ω0 ) + δ (ω + ω0 )] ⎪ π ⎪sin(ω0τ ) = [δ (ω − ω0 ) − δ (ω + ω0 )] j ⎪ ⎩
1 G X ( ω ) = lim T → ∞ 2T
+∞
∫
T −t
−T − t
[∫
T −T
T
−T
R X ( t , t + τ )dt ] e − jωτ d τ
自相关函数 的时间平均
1 = ∫ [ lim − ∞ T → ∞ 2T
随机信号分析课件---第四章
1）卷积积分法或卷积求和法
能求得系统的零状态响应
2）微分或差分方程法
利用初始条件可得系统的全响应
3）状态变量法
解状态变量方程可得系统的全响应
4.1.2 连续时不变线性系统
设x(t)是连续时不变线性系统的输入，则该系 统的输出由卷积积分得到
y(t )
x(t )h( )d
0
如果连续时不变系统是稳定的，输入信号的所有样 本函数都是有界的，那么输入信号的所有样本函数 都收敛。则Y（t）在均方意义下收敛，即积分在均 方意义下存在。
二、输出的均值 输入随机信号的均值已知，求输出均值。
mY (t ) E[Y (t )] E 0 h( ) X (t )d
（2）由互谱密度的性质5可得
S XY SYX 2 mX mY S Z a 2 S X b 2 SY 4 abmX mY
（3）
RXZ t , t E X t Z t
RXY (t1 , t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )] E X (t1 ) h(u ) X (t2 u )du 0
h(u) E[ X (t1 ) X (t2 u)]du
0
h(u) RX (t1 , t2 u)du
0
S XZ aS X bS XY SYZ aSYX bSY
第四章 随机信号通过线性系统
引言 在许多学科中，关于系统输入－输出关系的描 述是非常重要的。系统的输入可能有各种不同的形 式，然而一般来说，系统的输入总是被认为是对系 统的某种激励，而系统的输出则被看成系统的响应。 系统的描述可以有许多不同的方法。例如，系统的 输入和输出可以经由微分方程、传递函数或冲激响 应联系起来。 当系统的输入是随机过程的某个样本时，则系统的 输出信号可以通过系统的定义来求得，输入随机过 程的每一个样本都会在系统的输出产生一个输出信 号。
第四章 平稳随机过程的谱分析
持续时间无限长的信号一般能量无限
2020/2/8 利用截取函数的性质
12
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖功率谱
x(t) t T
定义截取函数为：xT (t)
0
t T
2020/2/8
2020/2/8
3
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖确定信号分析
时域分析
信号特征分析
关键词
频域分析
傅立叶变换
Parseval定理 频谱
能谱
2020/2/8
功率谱
4
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖关于确定信号的一些假设 设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t) 满足
•狄利赫利条件
有限个极值；有限个断点；断点为有限值
能量谱密度存在的条件为：
s2 (t)dt
即信号总能量有限，s(t)也称为有限能量信号
2020/2/8
10
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖Parseval定理
信号在时域的总能量等于其在频域的总能量
即
[x(t)]2 dt 1
2
X
X
()
2d
证明： [x(t)]2 dt
2020/2/8
15
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖如何定义随机信号的功率谱？
1）定义每个样本函数的功率谱（处理方法适用于确定性信号） 2）对样本空间中所有样本函数的功率谱求统计平均
T
2020/2/8
x(t)
0
xT (t)
随机信号大作业
随机信号大作业
大作业建议如下：
1. 随机信号的统计分析：选择一个随机信号，对其进行统计分析。
可以计算平均值、
方差、自相关函数、互相关函数等指标，了解信号的基本统计特性。
2. 随机信号的功率谱密度估计：选择一个随机信号，通过频谱估计方法（如傅里叶变换、周期图法、自相关法等），对其功率谱密度进行估计。
比较不同方法的估计结果，并讨论其优缺点。
3. 高斯白噪声的产生及检测：了解高斯白噪声的定义及特性，编程实现高斯白噪声的
产生，并通过相关统计检验（如卡方检验、Kolmogorov-Smirnov检验），对生成的噪声进行检测。
4. 随机过程的模拟及识别：选择一种随机过程（如马尔可夫过程、线性时不变过程等），编程实现其模拟，并通过识别方法（如自回归模型、卡尔曼滤波器等），对实
际观察到的随机过程进行识别和模型拟合。
5. 随机信号的滤波：选择一个随机信号，设计一个滤波器，对信号进行滤波处理。
可
以比较不同滤波器设计方法（如IIR滤波器、FIR滤波器等）的效果并进行评估。
6. 随机信号的压缩与重构：选择一个随机信号，使用信号压缩算法（如小波变换、奇
异值分解等），对信号进行压缩，并通过信号重构方法，将压缩后的信号进行恢复。
比较不同压缩和重构方法的效果及开销。
以上是一些建议的大作业题目，你可以根据自己的兴趣和能力选择其中一个或结合多
个进行深入研究。
希望对你有帮助！。
随机信号分析基础第四章习题
E s2 (t)dt 1
2
S() d
2
时域内信号的能量等于频域内信号的能量
S() 2
4.1 功率谱密度 随机过程
随机信号的能量一般是无限的，但是其平均功率是有限的。 因此可推广频谱分析法，引入功率谱的概念。
GX () E[GX (, )]
E
Tlim
1 2T
X
T
(,
)
2
1
lim T 2T
2
N0 (0)
2
1 ( 0) 0 ( 0)
上式表明；白噪声在任何两个相邻时刻(不管这两个时刻多 么邻近)的状态都是不相关的，即白噪声随时间的起伏变化 极快，而过程的功率谱极宽。
与连续的白噪声过程相对应的随机序列则是白序列。
4.5 功率谱估值的经典方法
1. 周期图法
Gˆ X ()
1 N
E
XT (, ) 2
Gx(ω)被称为随机过程X(t)的功率谱密度函数，功率谱密 度是从频率角度描述随机过程X(t)的统计特性的最主要的 数字特征。
4.1 功率谱密度 随机过程
随机过程X(t)的平均功率为：
W E[W ]
lim 1
T
2
E[ X (t) ]dt
T 2T T
1
2
GX ( )d
(t)
1
c os0t
sin(t / 2)
2 t / 2
ea
ea cos0
1 , 1
0,
其他
1
2 ()
( 0 ) ( 0 )
rect( )
2a
a2 2
a
a
a2 ( 0 )2 a2 ( 0 )2
sin2 ( )
《随机过程概论》课程复习提纲
哈尔滨工业大学 19
第3章 随机信号的平稳性与各态历经性
• 1、严平稳与宽平稳定义、二者关系、判断 宽平稳的条件、联合平稳定义及判定 • 2、平稳随机信号自相关函数的性质： 0点值，偶函数，均值，相关值，方差
信息与通信学院 随机信号分析基础
哈尔滨工业大学
20
10
第3章 随机信号的平稳性与各态历经性 • 3、各态历经性 • 定义、物理含义、判定条件（时间平均、统计 平均） • 平稳性与各态历经性的关系、 • 直流分量、直流功率、总平均功率、交流平均 功率
12
6
第2章 随机信号的基本概念
随机信号(Stochastic Signal)定义
定义1: 定义1: 设随机试验E的样本空间为 i ，对其每一个元素
i i 1, 2, 都以某种法则确定一个样本函数 X t , i xi t
,由全部元素
号 X t , ，简记为 X t 。
h t1
h t2
RYX t1 , t2
h t2
h
RYX
RXY
h
h
RY
RY
RXY t1 , t2
h t1
h
信息与通信学院 随机信号分析基础
哈尔滨工业大学
29
第5章 随机信号通过线性系统分析
H
2
H
H H 其它
H
0
P Y
H
PY
N 0 /2
1 2
H
PY d
H
0
随机过程第四章习题解答
第四章习题解答4.1Y1,Y2,···是来自总体Y的随机变量，与X0独立，h(x,y)是实函数.对于n 1，取X n=h(X n−1,Y n).设{X n}的状态空间为I，验证{X n}是马氏链，给出转移概率p ij.解：由题知，Y k与X1,···,X k−1独立,k 1,∀n,i,j,i1,...,i n−1∈I有，P(X n+1=j|X n=i,X n−1=i n−1, (X0)i0)=P(h(i,Y n+1)=j|X n=i,X n−1=i n−1,···,X0=i0)=P(h(i,Y n+1)=j|X n=i)=P(h(i,Y)=j)=P(h(i,Y1)=j|X0=i)=P(X1=j|X0=i).∴X n是马氏链，P ij=P(h(i,Y)=j).4.2设{X i,i 0}是取非负整数值的独立同分布的随机变量序列，V ar(X0)>0.验证以下随机序列是马氏链：(a){X n,n 0};(b){S n,n 0}，其中S n=∑ni=0X i;(c){ξn,n 0}，其中ξn=∑ni=0(1+X i).解：∀n,i,j,i0,···,i n−1∈N+,(a).P(X n+1=j|X n=i,X n−1=i n−1,···,X0=i0)=P(X n+1=j)= P(X n+1=j|X n=i)=P(X1=j)=P(X1=j|X0=i).1第四章离散时间马尔可夫链第四章离散时间马尔可夫链(b).P(S n+1=j|S n=i,S n−1=i n−1,···,X0=i0)=P(X n+1=j−i|X n=i−i n−1,···,X0=i0)=P(X n+1=j−i)=P(X n+1=j−i,S n=i|S n=i)=P(S n+1=j|S n=i)=P(X1=j−i)=P(X1=j−i|X0=i)=P(S1=j|S0=i).(c).P(ξn+1=j|ξn=i,ξn−1=i n−1,···,ξ0=i0)=P(X n+1=ji −1)=P(X n+1=ji−1|ξn=i)=P(ξn+1=j|ξn=i)=P(X1=ji −1)=P(X1=ji−1|X0=i)=P(ξ1=j|ξ0=i).4.3马氏链的状态空间是I=(1,2,3,4,5)，转移概率矩阵P=0.20.80000.50.5000000.50.500.20.3000.500001界定马氏链的状态。
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第4章 随机信号的频域分析 作业
4-1、已知平稳信号()X t 的功率谱密度为()2
42
32
X P ωωωω=++，求此信号的均方值和方差。
4-2、已知平稳信号()X t 的自相关函数为()4cos cos3X
R e
τ
τπτπτ-=+，求其
功率谱密度()X P ω。
4-3、如下图所示：该线性系统的输入()X t 为平稳随机信号，且()X t 的功率谱密度为()X P ω，系统的输出为()Y t ，试求输出信号()Y t 的功率谱密度()Y P ω及其自相关函数()Y R τ。
()
X t
4-4、已知随机信号()()()00cos sin W
t X t t Y t t ωω=+，式中随机信号
()(),X t Y t 联合平稳，0ω为常数。
①讨论()(),X t Y t 的均值和自相关函数在什么条件下才能使随机信号()
W t 宽平稳。
②利用①的结论，用功率谱密度()()(),,X Y XY P P P ωωω表示()W t 的功率
谱密度()W
P ω。
③若()(),X t Y t 互不相关，求()W t 的功率谱密度()W P ω。