2019年山东省日照市高考数学一模试卷(理科)〖详解版〗

2019年山东省日照市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知复数z＝a+i，a∈R，若|z|＝2，则a的值为（）A．1B．C．±1D．2．（5分）己知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|x＜2}，则A∩B＝（）A．（1，3）B．（1，3]C．[﹣1，2）D．（﹣1，2）3．（5分）已知倾斜角为θ的直线l与直线x+2y﹣3＝0垂直，则sinθ＝（）A．B．C．D．4．（5分）已知a＞b＞0，c＞1，则下列各式成立的是（）A．sin a＞sin b B．c a＞c b C．a c＜b c D．5．（5分）数列{a n}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，则实数λ的最大值为（）A．B．C．D．6．（5分）某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980﹣1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多7．（5分）设a，b∈（1，+∞），则“a＞b”是“log a b＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A、B、C三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法种数为（）A．8B．7C．6D．59．（5分）正方形ABCD的边长为2，E是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且，则的最小值为（）A．B．12C．D．1310．（5分）某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A．B．C．16D．3211．（5分）己知函数的图象与直线y＝m（x+2）（m＞0）恰有四个公共点A（x1，y1），B（x1，y2），C（x3，y3），D （x4，y4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则（x4+2）tan x4＝（）A．﹣1B．0C．1D．12．（5分）已知函数f（x）＝m（x﹣1）﹣（x﹣2）e x﹣e（e为自然对数底数），若关于x 的不等式f（x）＞0有且只有一个正整数解，则实数m的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若函数f（x）＝（x﹣a）（x+3）为偶函数，则f（2）＝．14．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1+a3＝＝．15．（5分）某市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N （100，σ2），已知P（80＜ξ≤100）＝0.40，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取的份数为．16．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于点A，B，以线段AB为直径的圆E上存在点P，Q，使得以PQ为直径的圆过点D（﹣2，t），则实数t的取值范围为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）在△ABC角中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若．（1）求角A；（2）若△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面P AD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点且PM＝3MC，．（1）求证：平面PQB⊥平面P AD；（2）求二面角M﹣BQ﹣C的大小．19．（12分）某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销，定价为5元/瓶．酸奶在试销售期间足量供应，每天的销售数据按照[15，25]，（25，35]，（35，45]，（45，55]分组，得到如下频率分布直方图，以不同销量的频率估计概率．（1）从试销售期间任选三天，求其中至少有一天的酸奶销量大于35瓶的概率；（2）试销结束后，这款酸奶正式上市，厂家只提供整箱批发：大箱每箱50瓶，批发成本75元；小箱每箱30瓶，批发成本60元．由于酸奶保质期短，当天未卖出的只能作废．该早餐店以试销售期间的销量作为参考，决定每天仅批发一箱（计算时每个分组取中间值作为代表，比如销量为（45，55]时看作销量为50瓶）．①设早餐店批发一大箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量X，批发一小箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量Y，求X和Y的分布列和数学期望；②以利润作为决策依据，该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱？注：销售额＝销量×定价；利润＝销售额﹣批发成本．20．（12分）己知点E，F分别是椭圆的上顶点和左焦点，若EF 与圆相切于点T，且点T是线段EF靠近点E的三等分点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线l：y＝kx+m与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第二象限，过坐标原点O 且与l垂直的直线l′与圆x2+y2＝8相交于A，B两点，求△P AB面积的取值范围．21．（12分）己知函数u（x）＝xlnx，v（x）＝+x﹣1，m∈R．（1）令m＝2，求函数h（x）＝的单调区间；。

（2）令f（x）＝u（x）﹣v（x），若函数f（x）恰有两个极值点x1，x2，且满足1＜≤e（e为自然对数的底数）求x1•x2的最大值．考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心为，半径为l的圆．（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程；（2）设M为曲线C1上的点，N为曲线C2上的点，求|MN|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣a|+|x+|（a＞0）．（1）若不等式f（x）﹣|x+|≥4x的解集为{x|x≤1}，求实数a的值；（2）证明：f（x）．。

2019年山东省日照市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．【解答】解：z＝a+i，a∈R，则|z|＝＝2，解得：a＝±，故选：D．2．【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|x＜2}，∴A∩B＝{x|﹣1≤x＜2}＝[﹣1，2）．故选：C．3．【解答】解：倾斜角为θ的直线l与直线x+2y﹣3＝0垂直，∴tanθ＝﹣＝2．则sinθ＝＝．故选：D．4．【解答】解：因为y＝c x为增函数，且a＞b，所以c a＞c b，故选：B．5．【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，∴1+3d+λ（1+9d）+1+15d＝15，解得λ＝，∵d∈[1，2]，λ＝＝﹣2+是减函数，∴d＝1时，实数λ取最大值为λ＝＝﹣．故选：D．6．【解答】解：在A中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%，故A正确；在B中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%，故B正确；在C中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多，故C正确；在D中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多，故D错误．故选：D．7．【解答】解：∵a，b∈（1，+∞），∴a＞b⇒log a b＜1，log a b＜1⇒a＞b，∴a＞b是log a b＜1的充分必要条件，故选：C．8．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①，乙和甲一起去A社区，此时将丙丁二人安排到B、C社区即可，有A22＝2种情况，②，乙不去A社区，则乙必须去C社区，若丙丁都去B社区，有1种情况，若丙丁中有1人去B社区，先在丙丁中选出1人，安排到B社区，剩下1人安排到A或C社区，有2×2＝4种情况，则不同的安排方法种数有2+1+4＝7种；故选：B．9．【解答】解：分别以AB，AD所在的在直线为x，y轴，建立直角坐标系，设E（x，y），则＝（2，2），＝（x，y），∵，∴2x+2y＝2即x+y＝1（0＜x＜2，0＜y＜2），则＝（x+2）2+（y+2）2，其最小值的几何意义是在直线x+y＝1位于正方形内取一点，使其到M（﹣2，﹣2）的距离的平方最小，而M（﹣2，﹣2）到直线x+y＝1的距离d＝＝所求的最小值．故选：C．10．【解答】解：回归到正方体中，该几何体是一个底面为等腰直角三角形的三棱锥，即如图中的几何体A﹣BCD，其体积是正方体体积的，等于，故选：A．11．【解答】解：由其图象如图所示，当x∈[，]，f（x）＝﹣cos x，f′（x）＝sin x，由图知切点坐标为（x4，﹣cos x4），切线方程为：y+cos x4＝sin x4（x﹣x4），又切线过点（﹣2，0），则cos x4＝sin x4（﹣2﹣x4），即（x4+2）tan x4＝﹣1，故选：A．12．【解答】解：f（x）＝m（x﹣1）﹣（x﹣2）e x﹣e＞0，∴m（x﹣1）＞（x﹣2）e x+e＝0，设y＝g（x）＝（x﹣2）e x+e，∴g′（x）＝（x﹣1）e x，当x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，当x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，∴g（x）≥g（1）＝0，当x→+∞时，f（x）→+∞，当x→﹣∞，f（x）→e，函数y＝m（x﹣1）恒过点（1，0），分别画出y＝g（x）与y＝m（x﹣1）的图象，如图所示，，若不等式f（x）＞0有且只有一个正整数解，则y＝m（x﹣1）的图象在y＝g（x）图象的上方只有一个正整数值，∴2m≤g（3）＝e3+e，∴m≤，故实数m的最大值为，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：因为函数f（x）＝（x﹣a）（x+3）是偶函数，所以∀x∈R，都有f（﹣x）＝f（x），所以∀x∈R，都有（﹣x﹣a）•（﹣x+3）＝（x﹣a）（x+3），即x2+（a﹣3）x﹣3a＝x2﹣（a﹣3）x﹣3a，所以a＝3，所以f（2）＝（2﹣3）（2+3）＝﹣5．故答案为：﹣5．14．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a3＝，a2+a4＝，∴＝，a1q（1+q2）＝，解得a1＝2，q＝．∴＝＝63．故答案为：63．15．【解答】解：∵数学成绩ξ服从正态分布N（100，σ2），P（80＜ξ≤100）＝0.40，∴P（80＜ξ≤120）＝2×0.40＝0.80，∴P（ξ＞120）＝（1﹣0.80）＝0.10，∴100×0.10＝10，故答案为：10．16．【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），直线AB的方程为：y＝x﹣1，代入抛物线方程y2＝4x，消去y并整理得：x2﹣6y+1＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝6，x1x2＝1，∴y1+y2＝4，则＝2，即E的横坐标为x＝2+1＝3，∴AB的中点坐标为E（3，2），且|AB|＝x1+x2+2＝y1+1+y2+1+2＝4+4＝8，∴以线段AB为直径的圆E的方程为：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝16；由题意知点D恒在圆E外，圆E上存在点P、Q使得以PQ为直径的圆过点D（﹣2，t），即圆E上存在点P、Q，使得DP⊥DQ，则当DP、DQ与圆E相切时，∠PDQ最大，此时应满足∠PDQ≥，∴＝，整理得t2﹣4t﹣3≤0，解得2﹣≤t≤2+；∴t的取值范围是[2﹣，2+]．故答案为：[2﹣，2+]．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．【解答】解：（1）∵，∴由正弦定理可得：sin A sin B＝sin B cos A，∵sin B≠0，∴可得：sin A＝cos A，即：tan A＝，∵A∈（0，π），∴A＝；（2）∵A＝，a＝5，∴△ABC的面积2＝bc sin A＝bc，可得：bc＝8，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得：25＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（b+c）2﹣24，∴可得：（b+c）2＝49，解得：b+c＝7，∴△ABC的周长a+b+c＝5+7＝12．18．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面P AD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点且PM＝3MC，，∴CD∥BQ，∴BQ⊥AD，∵平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴BQ⊥平面P AD，∵BQ⊂平面PBQ，∴平面PQB⊥平面P AD．解：（2）以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，建立空间直角坐标系，则Q（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，），C（﹣1，2，0），M（﹣，3，﹣），＝（0，2，0），＝（﹣，3，﹣），设平面BQM的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，0，﹣），平面BQC的法向量＝（0，0，1），设二面角M﹣BQ﹣C的大小为θ，则cosθ＝＝＝，∴θ＝30°，∴二面角M﹣BQ﹣C的大小为30°．19．【解答】解：（1）根据图中数据，酸奶每天销量大于35瓶的概率为（0.02+0.01）×10＝0.3，不大于35瓶的概率为0.7．设“试销售期间任选三天，其中至少有一天的酸奶销量大于35瓶”为事件A，则表示“这三天酸奶的销量都不大于35瓶”．所以从试销售期间任选三天，其中至少有一天的酸奶销量大于35瓶的概率：P（A）＝1﹣P（）＝1﹣0.73＝0.657．（2）①若早餐店批发一大箱，批发成本为75元，依题意，销量有20，30，40，50四种情况．当销量为20瓶时，利润为5×20﹣75＝25元，当销量为30瓶时，利润为5×30﹣75＝75元，当销量为40瓶时，利润为5×40﹣75＝125元，当销量为50瓶时，利润为5×50﹣75＝175元．随机变量X的分布列为：所以E（X）＝25×0.3+75×0.4+125×0.2+175×0.1＝80（元），若早餐店批发一小箱，批发成本为60元，依题意，销量有20，30两种情况．当销量为20瓶时，利润为5×20﹣60＝40元，当销量为30瓶时，利润为5×30﹣60＝90元．随机变量Y的分布列为：所以E（Y）＝40×0.3+90×0.7＝75（元）．②根据①中的计算结果，E（X）＞E（Y），所以早餐店应该批发一大箱．20．【解答】解：（1）如图所示，设|ET|＝m，|FT|＝2m，即|EF|＝3m．由△EOT∽△OFT，可得：|OT|2＝|TF||ET|，∴＝2m2，解得m＝．又|OT|＝，∴b2＝+＝2，c2＝+＝4，∴a2＝b2+c2＝6∴椭圆C的标准方程为+＝1，（2）设P的坐标为（x0，y0），则y0＝，（﹣＜x0＜0），由y＝，则y′＝﹣，则y′|＝﹣，∴过坐标原点O且与l垂直的直线l′的方程为y＝x，即3x﹣x0y＝0，点（x0，，）到直线3x﹣x0y＝0的距离d＝，∴S△APB＝×4×＝•，令y＝．再令x02＝t，（0＜t＜6），则y＝＝•＝﹣[（9﹣t）+﹣12]≤6﹣3．当且仅当9﹣t＝，即t＝9﹣3时取等号，故△P AB面积的取值范围（0，6﹣3]．21．【解答】解：（1）令m＝2，函数h（x）＝＝＝，∴h′（x）＝，令h′（x）＝0，解得x＝e，∴当x∈（0，e）时，h′（x）＞0，当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，∴函数h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．（2）f（x）＝u（x）﹣v（x）＝xlnx﹣﹣x+1，∴f′（x）＝1+lnx﹣mx﹣1＝lnx﹣mx，∵函数f（x）恰有两个极值点x1，x2，∴f′（x）＝lnx﹣mx＝0有两个正根，∴lnx1﹣mx1＝0，lnx2﹣mx2＝0，两式相减可得lnx2﹣lnx1＝m（x2﹣x1），两式相加可得∴m（x2﹣x1）＝lnx2﹣lnx1，m（x2+x1）＝lnx2+lnx1，∴＝＝∴lnx1x2＝ln•，设t＝，∵1＜≤e，∴1＜t≤e，设g（t）＝（）lnt，∴g′（t）＝，令φ（t）＝t2﹣1﹣2tlnt，∴φ′（t）＝2t﹣2（1+lnt）＝2（t﹣1﹣lnt），再令p（t）＝t﹣1﹣lnt，∴p′（t）＝1﹣＞0恒成立，∴p（t）在（1，e]单调递增，∴φ′（t）＝p（t）＞p（1）＝1﹣1﹣ln1＝0，∴φ（t）在（1，e]单调递增，∴g′（t）＝φ（t）＞φ（1）＝1﹣1﹣2ln1＝0，∴g（t）在（1，e]单调递增，∴g（t）max＝g（e）＝，∴lnx1x2≤，∴x1x2≤故x1•x2的最大值为．考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）消去参数φ可得C1的普通方程为+y2＝1，……（2分）∵曲线C2是圆心为（2，），半径为1 的圆，曲线C2的圆心的直角坐标为（0，2），∴C2的直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝1；…………（5分）（2）设M（3cosφ，sinφ），则|MC2|＝＝＝＝，…………（8分）∵﹣1≤sinφ≤1，∴1≤|MC2|≤，由题意结合图象可得|MN|的最小值为1﹣1＝0，最大值为+1，∴|MN|的取值范围为[0，+1]．…………（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）由f（x）﹣|x+|≥4x，可得|x﹣a|≥4x，（a＞0），当x≥a时，x﹣a≥4x，解得x≤﹣，这与x≥a＞0矛盾，故不成立，当x＜a时，a﹣x≥4x，解得x≤，又不等式的解集是{x|x≤1}，故＝1，解得a＝5．（2）证明：f（x）＝|x﹣a|+|x+|＝|x﹣a﹣（x+）|＝|a+|，∵a＞0，∴|a+|＝a+≥2＝2，当且仅当a＝时取等号，故f（x）．。