有理数域上的多项式因式分解 (1)
因式分解定理(高等代数)
证：若 p( x ) f ( x ), 结论成立 . 若 p( x ) 不整除 f ( x ) ，则 ( p( x ), f ( x )) = 1
Th4
⇒
p( x ) g ( x ).
不可约， 推论： 推论： p( x )不可约，p( x ) f1 ( x ) f 2 ( x )L f s ( x ), 则必有某个 f i ( x ), 使得 p( x ) f i ( x ).
一、不可约多项式 二、因式分解及唯一性定理
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问题的引入
因式分解与多项式系数所在数域有关 如： x 4 − 4 = x 2 − 2
(
)(
x2 + 2
)（在有理数域上） 在有理数域）= x− 2 = x− 2
其中 c 为 f ( x )的首项系数， pi ( x )为互不相同的， 的首项系数， 为互不相同的，
ri ∈ Z + . 称之为 f ( x ) 首项系数为1的不可约多项式 的不可约多项式， 首项系数为 的不可约多项式，
的标准分解式. 标准分解式
§1.5 因式分解定理
说明
的标准分解式, ① 若已知两个多项式 f ( x ), g ( x ) 的标准分解式, 则可直接写出
§1.5 因式分解定理
∴ f ( x )可分解为一些不可约多项式的积 可分解为一些不可约多项式的积.
再证唯一性 . 设 f ( x ) 有两个分解式
f ( x ) = p1 ( x ) p2 ( x )L ps ( x )
= q1 ( x )q2 ( x )L qt ( x )
⑴
pi ( x ), q j ( x ) ( i = 1,2,L , s ; j = 1,2,L , t . ) 都是不可约
有理数域上的多项式
说明：
对于某些整系数多项式来说，作适当线性代换后 再用Eisenstein判别法判定它是否可约是个可行的 办法，但未必总是凑效的．也就是说，存在 整系数 多项式 f ( x), 无论作怎样的代换 x ay b, 都不能
使 f (ay b) g( y) 满足Eisenstein判别法的条件（其中a, b 都是整数，a 0).
定理2.18 设f ( x) [ x].若令x y a, 那么f ( x) 在 上可约当且仅当g( y)在 上可约，这里
f ( x) f ( y a) g( y). 证明：设f ( x)在 上可约，则f ( x) f1( x) f2( x), 其中fi ( x) [ x]且0 fi ( x) 0 f ( x) (i 1, 2).于是 g( y) f ( y a) f1( y a) f2( y a) g1( y)g2( y). 其中gi ( y) fi ( y a) [x] (i 1, 2). 再由 0 gi ( y) 0 fi ( y a) 0 fi ( x) 0 f ( x) 0 g( y)， 可得g( y)在Q上可约.
注意：
① Eisenstein判别法是判断不可约的充分条件，而
非必要条件． 也就是说，如果一个整系数多项式 不满足Eisenstein判别法的条件，则它可能是可约的， 也可能是不可约的．
② 有些整系数多项式 f ( x)不能直接用Eisenstein
判别法来判断其是否可约，此时可考虑用适当的
代换 x ay b (a,b Z,a 0),使 f (ay b) g( y) 满足Eisenstein判别法的条件，从而来判定原多项 式 f ( x)不可约．
2.8有理数域上多项式
2.8 有 理 数 域 上 多 项 式教学目的：1． 理解本原多项式的概念和艾森斯坦因判别法，并能利用这个判别法来判断某些整系数多项式在有理数域不可约。
2． 掌握多项式有理根的求法并能熟练地求出有理系数多项式的有理根。
教学内容：1． 本原多项式定义 若是一个整系数多项式f(x)系数互素，那么f(x)叫作一个本原多项式。
关于本原多项式，有以下的引理2.8.1 两个本原多项式的乘积仍是一个本原多项式。
证 设给了两个本原多项式 f(x)=a 0+a 1x+…+a i x i+…+a m x mg(x)=b 0+b 1x+…+b j x j+…+b n x n, 并且f(x)g(x)=c 0+c 1x+…+c j i +xj i ++…+c n m +xnm +.如果f(x)g(x)不是本原多项式，那么一定存在一个素数p ，它能整除所有系数c 0, c 1,…, c n m +. 由于f(x)和g(x)都是本原多项式，所以p 不能整除f(x)的所有系数，也不能整除g(x)所有系数。
令a i 和b j 各是f(x)和g(x)的第一个不能被p 整除的系数。
我们考察f(x)g(x)的系数 c j i +.我们有c j i += a 0b j i ++…+a 1-i b1+j +a i b j +a 1+i b 1-j +…+a j i + b 0这等式的左端被p 整除。
根据选择a i 和b j 的条件，所有系数a 0,……a 1-i 以及b1-j ,……b 0都能被p 整除，因而等式右端除a i b j 这一项外，其它每一项也都能被p 整除。
因此乘积a i b j 也必须被p 整除。
但p 是一个素数，所以p 必须整除a i 或b j .这与假设矛盾。
2． 整系数多项式的分解：定理2.8.2 若是一个整系数n(n>0)次多项式f(x)在有理数域上可约，那么f(x)总可以分解成次数都小于n 的两个整系数多项式的乘积。
初中四年级探索多项式的因式分解
初中四年级探索多项式的因式分解多项式的因式分解是初中四年级数学课程中的重要内容之一。
通过因式分解，可以将一个多项式表达式化简为较简单的乘积形式，并进一步研究多项式的性质与特征。
本文将介绍多项式的因式分解方法及其应用。
一、一元多项式的因式分解在初中四年级的数学课堂上，我们学习了一元多项式的因式分解。
一元多项式是一个只包含一个未知数的多项式，例如2x^2+3x-5。
多项式的因式分解要求将多项式拆解为不可再分的部分，这些不可再分的部分称为多项式的因式。
对于一元多项式的因式分解，可以运用以下几种方法。
1.1 提取公因式法提取公因式法是一种常用的因式分解方法。
它的基本思想是将多项式中的公因式提取出来，形成因式分解的结果。
例如，对于多项式2x^2+3x-5，我们可以提取出公因式1，得到1(2x^2+3x-5)。
1.2 组合分解法组合分解法是一种将多项式拆解为乘积形式的方法。
通过对多项式进行适当的组合与拆分，可以将其转化为因式分解的形式。
例如，对于多项式x^2+5x+4，我们可以将其拆解为(x+1)(x+4)。
1.3 公式法公式法是一种利用特定公式进行因式分解的方法。
在初中数学课程中，我们学习了二次多项式的因式分解公式，例如(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab。
通过运用这种公式，可以快速将二次多项式分解为乘积形式。
1.4 分类讨论法分类讨论法是一种根据多项式的特征来进行因式分解的方法。
根据多项式的次数、系数等特点进行分类，然后针对不同情况进行因式分解。
例如，对于一元二次多项式ax^2+bx+c，可以根据判别式∆=b^2-4ac的正负情况进行分类，进而进行因式分解。
二、因式分解的应用多项式的因式分解不仅是一种数学计算方法，同时也具有广泛的应用价值。
以下是一些常见的因式分解应用领域。
2.1 简化运算通过将多项式进行因式分解，可以将复杂的运算化简为简单的乘法运算。
这样可以提高运算效率，并减少计算错误的可能性。
数论中的多项式
数论中的多项式问题一．有理系数多项式的因式分解定理1：设I 是][x Q 的一个子集，满足如下性质。
,)(),(I x g x f ∈∀有Ix g x f ∈+)()(][)(,)(x Q x c I x f ∈∈∀，有Ix c x f ∈)()(则存在I x p ∈)(使得})()(|)({的因式是x q x p x q I =证明：取I 中次数最低的非零多项式)(x f ，如果有多个，任取其中一个。
若)(x f 为常数，根据第二条性质，显然I =][x Q 满足条件。
若1deg ≥f ，假设存在一个多项式)(x g 不是)(x f 的倍式，设)()()()(x r x f x q x g +=，f r deg deg <，)(x r 非零。
则)(x r I ∈，与)(x f 次数最低矛盾。
所以I 的一切多项式都是)(x f 的倍式，证毕。
定理2：对任意)(x f ∈][x Q ，)(x f 可唯一分解为)()...()(21x p x p x cp n 形式，其中c 为)(x f 首项系数，)(x p k 为次数不低于1的首一不可约多项式。
存在性是显然的，只需证明唯一性，设)(x f 还有一种分解式)()...()(21x q x q x cq m 。
我们先证明一个引理。
引理：设不可约多项式)(x p 是)()(x g x f 的因式，则或者)(|)(x f x p ，或者)(|)(x g x p ，二者至少有一个成立。
证明：令]}[,),()()()()(|][)({2121x Q c c x g x c x p x c x q x Q x q I ∈+=∈=则I 满足定理1中的条件，故I 中存在一个次数最低的多项式是I 中每个多项式的因式。
它是不可约多项式)(x p 的因式，则它或者为常数，或者为c )(x p 。
如果是常数，令)()()()(21x g x c x p x c c +=，两边乘)(x f ，由)(x p |右边，推出)(x p |)(x f 。
第10讲：因式分解(一)
第十讲因式分解（一）一．定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种代数式变形就叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
分解因式与整式乘法互为逆变形。
二．意义因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
三．要点因式分解要注意一下五点：（1）因式分解的对象是多项式；（2）其结果必须是整式的乘积；（3）不能混淆因式分解和整式乘法；（4）要分解到不能分解为止；（5）因式分解结果的唯一性。
四．因式分解的数域范围因式分解的范围通常都是在有理数域上进行的，即分解的结果里面只能含有有理数。
五．书写惯例（1）因式分解的结果中有如果有一个单项式，通常要放在最前面，如：()232-+=-是不符合惯例的；a a a a a442（2）整式的乘积中如有相同的因式，要写成幂的形式，如：()()32a a a a a a-+=--是不符合惯例的；4422（3）首项的系数是负数时，要提出负号置于最前面，如：()()2111-+=---是不符合惯例的。
x x x六．基本方法1．提公因式法首先，什么叫做公因式呢？各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
这个公因式可以是单项式，也可以是多项式。
定义：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将一个多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；（2）字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；（3）取相同的多项式，多项式的次数取最低的；（4）正确找出多项式提出最大公因式后剩余的项；注意：（1）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。
高代第一章第9节
令f ( x ) af1 ( x ), g( x ) rg1 ( x ), h( x ) sh1 ( x ), 其中f1 ( x ), g1 ( x ), h1 ( x )均为本原多项式, a是整数,r , s为有理数. 于是有
af1 ( x) rsg1 ( x)h1 ( x)
rs a
有理系数多项式在有理数域上的因式分解
整系数多项式在有理数域上的因式分解
整系数多项式在整数环中的因式分解
8
推论 设 f ( x ), g( x )是整系数多项式, 且g( x )是本 原的, 若f ( x ) g( x )h( x ), 其中h( x )是有理系数多项式, 那么h( x )一定是整系数多项式.
n m
a0 b0
d0
d n m 1 x
n m 1
dk
r sk
ab,
r s
k 0,1, 2,
,n m
如果h(x)不是本原多项式, 那么必有素数 p能整除
4
h(x)的所有系数. 即有素数 p,使 p | dk , k 0,1, 2, , n m
但f ( x)的有理根只能是 1. 而 f (1) 0, 所以f ( x)没有有理根. 与上述结论矛盾. 故 f ( x )在有理数域上不可约.
22
三、整系数多项式不可约的判别法
定理13 (艾森斯坦因(Eisenstein)判别法)设 f ( x ) a n x a n 1 x
因此h( x ) rh1 ( x)是整系数多项式.
9
二、有理数域上多项式的有理根及其求法
定理12 设 f ( x ) a n x n a n 1 x n 1 a0 r 是一个整系数多项式, 如果 是它的有理根,其中r , s s互素, 那么必有 (1) s | an , r | a0 . 特别地, 若an 1, 则 f ( x )的有理根 均为整数, 且为a0的因子. r (2) f ( x ) ( x )q( x ), 这里q( x )是一个整系数多 s 项式.
-多项式的因式分解定理
§1-5多项式的因式分解定理多项式44-x 在有理数域、实数域、复数域上的因式分解 ][)2)(2)(2)(2(4][)2)(2)(2(4][)2)(2(4424224x C i x i x x x x x R x x x x x Q x x x +-+-=-++-=-+-=-（不能再分）（不能再分） 在不同的系数域上，具有不同形式的分解式什么叫不能再分？平凡因式：零次多项式（不等于零的常数）、多项式自身、前两个的乘积Definition8：（不可约多项式）令][)(x P x f 是的一个次数大于零的多项式，如果][)(x P x f 在中只有平凡因式，就称f(x )为数域P 上（或在P[x]中）的不可约多项式.（p(x)在数域P 上不能表示成两个次数低的多项式的乘积） 若)(x f 除平凡因式外，在P[x]中还有其它因式，f(x )就说是在数域P 上（或在P[x]中）是可约的.如果不是平凡因式)(,)()()(x g x h x g x f =，的次数显然和则)()(x h x g 都小于)(x f 的次数.反之，若)(x f 能写成两个这样多项式的乘积，那么)(x f有非平凡因式；如果P[x]的一个n 次多项式能够分解成P[x]中两个次数都 小于n 的多项式 的乘积和)()(x h x g 即 )()()(x h x g x f 那么)(x f 在P 上可约.由不可约多项式的定义可知：任何一次多项式都是不可约多项式的.不可约多项式的重要性质：一个多项式是否不可约是依赖于系数域；1.如果多项式)(x f 不可约，那么P 中任意不为零的元素c 与)(x f 的乘积c )(x f 都不可约.2.设)(x f 是一个不可约多项式而P(x)是一个任意多项式，那么或者)(x f 与P(x)互素，或者)(x f 整除P(x).3.如果多项式)(x f 与)(x g 的乘积能被不可约多项式P(x)整除，那么至少有一个因式被P(x)整除.Theorem5.如果)(x p 是一个不可约多项式,P(x)整除一些多项式)(,),(),(21x f x f x f s 的乘积,那么)(x p 一定整除这些多项式之中的一个.证明:对被除多项式的个数s 用数学归纳法当s=1时,显然成立;假设s=n-1 时,结论成立;当s=n 时,令)()()()(),()(32211x f x f x f x g x f x g n ==, 如果)(|)(),(|)(11x f x p x g x p 则命题成立,如果1))(),((),(|)(11=/x g x p x g x p 则,从而)(|)(2x g x p ,即)(,),(),()(32x f x f x f x p n 整除 n-1 多项式的乘积,由归纳法假设)(x p 整除其中一个多项式,根据数学归纳法原理,命题得证. 因式分解及唯一性定理：多项式环P[x]的每一个)0(>n n 次多项式)(x f 都可以唯一分解成P[x]的不可约多项式的乘积；)()()()(21x p x p x p x f s =所谓唯一性是说，如果有两个分解式)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ==那么，必有s=t ，并且适当地排列因式的顺序后有),2,1()()(s i x cq x p i i ==标准分解式（典型分解式）：)()()()(2121x p x p x cp x f s r s rr =其中c 是f(x)的首项系数，)(),(),(21x p x p x p s 是不同的、首项系数为1的不可约多项式，而s r r r ,,21正整数.例1：在有理数域上分解多项式， 22)(23--+=x x x x f . )2)(1)(1()2)(1(22)(223+-+=-++=--+=x x x x x x x x x x f例2：求 的典型分解式内在][122)(2345x Q x x x x x x f -++--=. 23242345)1()1()12)(1(122)(+-=+--=-++--=x x x x x x x x x x x f 例3.求 的典型内在][6141616102)(2345x R x x x x x x f -+-+-= 分解式. )3()1)(1(2)(22--+=x x x x f例4：分别在有理数域、实数域和复数域上分解多项式 15-x 和16-x 为不可约多项式的乘积.解:)1)(1()1(2345++++-=-x x x x x x Q[x]][)154cos 2)(152cos 2)(1()1)(1()1(222345x R x x x x x x x x x +-+--=++++-=-ππ][)52sin 52cos ()1()1)(1()1(412345x C k i k x x x x x x x x k ππ---=++++-=-=在Q[x]上)1)(1)(1)(1()1)(1()1(22336+-+++-=+-=-x x x x x x x x x ; 在R[x]上)1)(1)(1)(1()1)(1()1(22336+-+++-=+-=-x x x x x x x x x ; 在C[x]上)2321)(2321)(1)(2321)(2321)(1(16i x i x x i x i x x x -++++--+--=-。
所有多项式都可以被因式分解吗
所有多项式都可以被因式分解吗
将一个多项式分解成不可约多项式的乘积称为因式分解。
因此，对于不可约多项式，它不能继续因式分解。
不可约性与我们在哪个数域中探讨由关。
例如， x^2-2 ，它在有理数域中是不可约的，但是在实数域中，由平方差公式
x^2-2=(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})
在有理数领域，艾森斯坦判别法是一种常用的判别方法，但完全没有必要。
一般来说，我们可以通过有限次数的尝试来判断，因为我们有以下定理:
x^n+...+a_0=0,a_k\in \mathbb{Z} ，若其存在有理根 r ，则必为整数根，并且有 r|a_0 .
任何有理多项式都可以转化为上述形式，而一个整数的除数是有限的，所以可以通过逐个试除法来判断该多项式是否能在有理数域内继续分解。
当然，您可以通过一些技术继续缩小验证范围，基于以下定理:
若 r 是上述方程的整数根，则 \frac{f(1)}{r-1},\frac{f(-1)}{r+1} 也是整数[1].
在实数域，也有判定定理和一套系统的方法，这里就不介绍了。
1.^【苏联】奥库涅夫《高等代数》下册，哈工大出版社。
数论中的多项式
数论中的多项式问题一．有理系数多项式的因式分解定理1：设I 是][x Q 的一个子集，满足如下性质。
,)(),(I x g x f ∈∀有I x g x f ∈+)()(][)(,)(x Q x c I x f ∈∈∀，有I x c x f ∈)()(则存在I x p ∈)(使得})()(|)({的因式是x q x p x q I =证明：取I 中次数最低的非零多项式)(x f ，如果有多个，任取其中一个。
若)(x f 为常数，根据第二条性质，显然I =][x Q 满足条件。
若1deg ≥f ，假设存在一个多项式)(x g 不是)(x f 的倍式，设)()()()(x r x f x q x g +=，f r deg deg <，)(x r 非零。
则)(x r I ∈，与)(x f 次数最低矛盾。
所以I 的一切多项式都是)(x f 的倍式，证毕。
定理2：对任意)(x f ∈][x Q ，)(x f 可唯一分解为)()...()(21x p x p x cp n 形式，其中c 为)(x f 首项系数，)(x p k 为次数不低于1的首一不可约多项式。
存在性是显然的，只需证明唯一性，设)(x f 还有一种分解式)()...()(21x q x q x cq m 。
我们先证明一个引理。
引理：设不可约多项式)(x p 是)()(x g x f 的因式，则或者)(|)(x f x p ，或者)(|)(x g x p ，二者至少有一个成立。
证明：令]}[,),()()()()(|][)({2121x Q c c x g x c x p x c x q x Q x q I ∈+=∈=则I 满足定理1中的条件，故I 中存在一个次数最低的多项式是I 中每个多项式的因式。
它是不可约多项式)(x p 的因式，则它或者为常数，或者为c )(x p 。
如果是常数，令)()()()(21x g x c x p x c c +=，两边乘)(x f ，由)(x p |右边，推出)(x p |)(x f 。
数学公式知识：多项式的加减乘除及其因式分解
数学公式知识：多項式的加减乘除及其因式分解多项式是数学上重要的一类函数形式，由多项式的系数和次数组成。
其中，系数可以是实数、复数或其他某些域中的元素，而次数通常是自然数。
在代数学中，多项式的加减乘除以及因式分解都是非常重要的知识点。
一、多项式的加减多项式的加减是指将两个或多个多项式相加或相减的过程。
同样次数的项可以直接相加和相减，而不同次数的项需要进行配对后再进行运算。
例如，将多项式f(x) = 3x^2 + 5x + 2和g(x) = 2x^2 +3x +1相加，则有：f(x) + g(x) = (3x^2 + 5x + 2) + (2x^2 + 3x + 1)= 5x^2 + 8x + 3将这两个多项式相加后，得到的结果多项式的最高次数为2，其系数为5。
因此，图中的结果多项式可以简化为5x^2 + 8x + 3。
同样的，两个多项式进行减法的步骤也类似，例如，将多项式f(x) = 4x^3 + 2x^2 + 3x - 1和g(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 2相减，则有：f(x) - g(x) = (4x^3 + 2x^2 + 3x - 1) - (2x^3 - x^2 - 4x + 2)= 2x^3 + 3x^2 + 7x - 3通过以上的计算表明，多项式的加减法不难掌握，只需要注意相同次数项的加减运算与不同次数的项配对就可以。
二、多项式的乘法多项式的乘法是指将两个或多个多项式进行相乘的运算。
怎么相乘？这里我给出一个例子：将多项式f(x) = 3x^2 + 2x + 1和g(x) = x + 2相乘，则有：f(x) × g(x) = （3x^2 + 2x + 1)×(x + 2)= 3x^3 + 8x^2 + 7x + 2通过以上计算表明，多项式的乘法是将两个多项式的单项式逐一进行相乘，并将值相加得到的新多项式。
在这个过程中，需要注意每一个项中的系数和指数和进行相乘。
因式分解定理
பைடு நூலகம்：
① 若已知两个多项式 f ( x), g( x) 的标准分解式,
则可直接写出 f ( x), g( x). f ( x), g( x) 就是那些同时在 f ( x), g( x) 的标准
分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带 方幂指数等于它在 f ( x), g( x) 中所带的方幂指数 中较小的一个．
即 d( x) a 或 d( x) cp( x)
( p( x), f ( x)) 1 p( x) f ( x)
定理5.7 设 p( x) 不可约. f ( x), g( x) P[x] ，若 p( x) f ( x)g( x), 则 p( x) f ( x) 或 p( x) g( x). 证：若 p( x) f ( x), 结论成立 .
f ( x) g( x) ri li , i 1,2, , s
② 虽然因式分解定理在理论有其基本重要性， 但并未给出一个具体的分解多项式的方法．
实际上，对于一般的情形，普通可行的分解多 项式的方法是不存在的．而且在有理数域上，多 项式的可约性的判定都是非常复杂的．
例5.5 设多项式 f ( x) 3x4 12,分别求 f (x)在
p( x) 的因式只有非零常数及其自身的非零常数倍.
引理 多项式 p( x)不可约，对 f ( x) P[x] 有
p( x) f ( x) 或 p( x), f ( x) 1.
证：设 ( p( x), f ( x)) d( x), 则 d( x) p( x)
d( x) a 0 或 d( x) cp( x), c 0
2、重因式的判别和求法
方法一： 若 f ( x)的标准分解式为： f ( x) cpr11( x) pr21( x) prs s ( x)
有理数域上的多项式的因式分解-应用数学论文
嘉应学院本科毕业论文（设计）（2014届）题目：有理数域上的多项式的因式分解**：***学号：*********学院：数学学院专业：数学与应用数学****：***申请学位：学士学位嘉应学院教务处制摘要在多项式理论中，对于有理数域上多项式的因式分解的研究有着极其重要的地位。
判断一元多项式是否能因式分解是不容易的。
本文根据多项式的可约性和有理根的判断与求法的理论，探究多项式的因式分解的方法，并进行了归纳、整理和补充。
关键词：有理数域, 可约, 因式分解AbstractIn polynomial, the research on rational polynomial factorization has an extremely important position. Determine whether a polynomial can be factoring or not is not easy. According to the theory of irreducible polynomials and rational roots, we explore polynomial factorization method, and make some the induction, consolidation and supplements.Key words： rational number field, reducible, factorization目录1 有理数域上的多项式基本内容 (i)1.1 多项式因式分解的基本概念 (1)1.2 本原多项式 (2)1.3 不可约多项式的艾森斯坦判别法 (5)2 多项式的有理根及因式分解 (7)2.1多项式在有理数域上的性质 (7)2.2多项式有理根的判定 (8)2.3多项式有理根的求法及因式分解 (10)2.4因式分解的特殊解法 (12)参考文献................................................... 错误！未定义书签。
多项式运算及因式分解技巧
多项式运算及因式分解技巧多项式是代数学中的重要概念，它由一个或多个单项式（即只含有一个未知数的代数式）相加或者相减构成。
在代数表达式的计算中，多项式的运算及因式分解是首要的基础操作。
本文将介绍多项式的基本概念、运算法则以及因式分解的技巧。
一、多项式的基本概念多项式是由常数、变量及其幂次相乘并相加得到的代数表达式。
例如，下面的式子就是一个多项式的例子:P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 1在多项式中，每一个单项式都由一个系数与一个指数的幂次组成。
例如，在上述的多项式中，3x^3是一个单项式，其中系数是3，指数是3。
多项式常常按照指数的从高到低排列，如上述的多项式 P(x)。
二、多项式的运算法则1. 加法和减法多项式的加法和减法运算比较简单，只需要将相同次数的项进行相加或相减即可。
例如，对两个多项式进行加法运算:P(x) = 3x^2 + 2x + 1Q(x) = 4x^2 - 3x + 2则 P(x) + Q(x) = (3x^2 + 4x^2) + (2x - 3x) + (1 + 2)= 7x^2 - x + 32. 乘法多项式的乘法运算较为复杂，需要将每一个单项式相乘，并将结果进行合并。
例如，对两个多项式进行乘法运算:P(x) = 3x^2 + 2x + 1Q(x) = 4x - 5则 P(x) * Q(x) = (3x^2) * (4x) + (3x^2) * (-5) + (2x) * (4x) + (2x) * (-5) + (1) * (4x) + (1) * (-5)= 12x^3 - 15x^2 + 8x^2 - 10x + 4x - 5= 12x^3 - 7x^2 - 6x - 5三、因式分解的技巧因式分解是将一个多项式拆解为较为简单的乘积形式，以便于进一步的计算和分析。
以下介绍几种常见的因式分解技巧。
1. 公因式提取当多项式的各个项都含有相同因子时，可以将这个公因式提取出来，并写成乘积的形式。
多项式因式分解的几种方法
多项式因式分解的几种方法作者：褚丽娜来源：《读与写·教育教学版》2012年第05期在给定的数域上，把一个多项式分解成若干个不可约多项式的积的形式，叫做多项式的分解因式。
多项式的分解因式是一种重要的恒等变形，在初等数学中有着广泛的应用。
在初中代数中，已经学习过提取公因式法、公式法、分组分解法和十字相乘法等基本方法。
这些方法要根据多项式的结构特征灵活地加以应用。
这里，讨论几种分解因式的其他方法，这里的因式分解都是在有理数域上进行的。
1 用待定系数法分解因式用待定系数法分解因式，就是按已知条件把原式假设为若干个因式的乘积，使这些因式的乘积与原式组成恒等式，求出各待定系数的值。
例1，分解因式x4-x3-5x2-6x-4解：设 x4-x3-5x2-6x-4=（x2+ɑx+b）（x2+cx+d）=x4+（ɑ+c）x3+（b+ɑc+d）x2+（ɑd+bc）x+bd比较对应的系数，得ɑ+c=-1b+ɑc+d=-5ɑd+bc=-6bd=-4 ?圳ɑ=1b=1c=-2d=-4∴x4-x3-5x2-6x-4=（x2+x+1）（x2-2x-4）例2，分解因式2x2-7xy+3y2+5xz-5yz+2z2解：这是一个关于x, y, z的二次齐次式，注意到2x2-7xy+3y2=（2x-y）（x-3y），可设2x2-7xy+3y2+5xz-5yz+2z2 =（2x-y+ɑz）（x-3y+bz）=2x2-7xy+3y2+（ɑ+2b）xz-（3ɑ+b）yz+ɑbz2比较对应的系数，得ɑ+2b=53ɑ+b=5ɑb=2 ?圳ɑ=1b=2∴ 2x2-7xy+3y2+5xz-5yz+2z2=（2x-y+z）（x-3y+2z）2 用余数定理和综合除法分解因式多项式f（x）有因式x-ɑ的充要条件是f（ɑ）=0，ɑ就是f（x）的一个有理根。
求出f （x）的有理根，就能得到f（x）的一次因式。
这一方法的关键是如何寻找有理根。
【定理】设f（x）=ɑ0xn+ɑ1xn-1+…ɑn是一个整系数多项式。
pdf1.7有理数域上的多项式(线性代数)
g ( x) = bn x n + 是两个本原多项式.令
h( x) = f ( x) g ( x) = cm + n x
i+ j =k
m+n
+
+ c1 x + c0 ,
其中ck = ∑ ai b j ,假设h( x)不是本原多项式, 则有素数 p 能整除 h( x)的所有系数.因为f ( x), g ( x) 都是本原多项式,故有i, j (1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n) 使得 p | a0 ,… , p | ai 1 , p ai , p | b0 ,… , p | b j 1 , p b j .
注意到 ci + j = a0bi + j +
+ ai 1b j +1 + ai b j + ai +1b j 1 +
+ ai + j b0 ,
而且 p整除上式中除ai b j以外的所有项,因此,也 必有p | ai b j .因为 p是素数,故p | ai或p | b j ,与假设 矛盾,因此h( x)是本原多项式.
引理7.1 每个非零的有理系数多项式均可分解成 一个有理数和一个本原多项式之积, 而且这样的分 解在不计 ± 号时是唯一的.
证明 设f ( x)是Q上的非零多项式, 则有整数a 使得af ( x)的系数均为整数.设b是af ( x)的所有 系数的最大公因子, 则有af ( x) = bg ( x), 其中g ( x) 是一个本原多项式, 从而f ( x) = (a / b) g ( x)是 一个有理数a / b和一个本原多项式g ( x)之积.
例如, 设f ( x) = 3 x x 6 x + 2.
因式分解技巧——实数域与复数域上的分解
因式分解技巧——实数域与复数域上的分解因式分解应当分解到“底”，即应当把多项式分解为既约（不可约）多项式的乘积。
怎样算“既约”，这要由分解所在的数域决定。
例如， x 2−3没有有理根，因⽽不能分解为两个有理系数的⼀次因式的乘积，即在有理数域上 x 2−3 是既约多项式。
若将其放在实数域内考虑，因为 x 2−3=(x −√3)(x +√3), 所以 x 2−3 不是实数域上的既约多项式。
前⾯我们的讨论都是在有理数域上进⾏的。
下⾯我们看看实数域和复数域上的分解。
求根公式⼀次多项式永远是既约的。
关于 x 的⼆次三项式 ax 2+bx +c 在复数域上的因式分解⾮常简单：根据求根公式x =−b ±√b 2−4ac 2a我们就得到⼀个分解 $$ax^2+bx+c=a\left(x-\frac{-b+ \sqrt{b 2-4ac}}{2a}\right)\left(x-\frac{-b-\sqrt{b 2-4ac}}{2a}\right). \qquad (1)$$在实数域上，若 b 2−4ac ≥0, (1) 就是⼀个分解；若 b 2−4ac <0, 那么 ax 2+bx +c 就是实数域上的⼀个既约多项式。
如果 b 2−4ac 不是有理数的平⽅，那么 ax 2+bx +c 就是有理数域上既约多项式。
如果 b 2−4ac 是有理数的平⽅，那么 ax 2+bx +c 就可以分解。
当然，这时候⽤⼗字相乘法更⽅便。
分解因式：2x 2−3x −7.因为 b 2−4ac =65>0, 65 不是有理数的平⽅，所以 2x 2−3x −7 是有理数域上的既约多项式。
但在实数域和复数域上，它是可以分解的：2x 2−3x −7=2x −3+√654x −3−√654.分解因式：2x 2−3x +7.因为 b 2−4ac =−47<0, 所以 2x 2−3x +7 是实数域上的既约多项式。
在复数域上它可分解为2x 2−3x +7=2x −3+√47i 4x −3−√47i 4.分解因式：2x 2−3x −2.因为 b 2−4ac =25 是有理数的平⽅，所以原式可在有理数域上分解。
初一数学技巧多项式因式分解
初一数学技巧多项式因式分解在初一数学的学习中，多项式因式分解是一个重要的知识点，也是后续数学学习的基础。
掌握好多项式因式分解的技巧，不仅能够帮助我们解决数学问题，还能培养我们的逻辑思维能力和数学素养。
一、什么是多项式因式分解简单来说，多项式因式分解就是把一个多项式化成几个整式的乘积的形式。
例如，将多项式 x² 9 分解因式，可以得到（x ＋ 3)（x 3)。
二、多项式因式分解的方法1、提公因式法如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式。
例如，对于多项式 6x ＋ 9，我们可以先找出它们的公因式 3，然后将其提出，得到 3(2x ＋ 3)。
再比如，多项式 4x²y 6xy²，公因式为 2xy ，分解因式后为 2xy(2x 3y) 。
2、公式法我们常用的公式有平方差公式：a² b²＝（a ＋ b)（a b) ；完全平方公式：（a ± b)²＝ a² ± 2ab ＋ b²。
比如，对于多项式 9 x²，可以利用平方差公式分解为（3 ＋ x)（3 x) 。
对于多项式 x²＋ 6x ＋ 9 ，可以利用完全平方公式分解为（x ＋3)²。
3、十字相乘法对于二次三项式 ax²＋ bx ＋ c （a ≠ 0），如果能找到两个数 p、q ，使得 p ＋ q ＝ b ， pq ＝ ac ，那么就可以将其分解为（x ＋ p)（x ＋q) 。
例如，对于多项式 x²＋ 5x ＋ 6 ，我们需要找到两个数，它们的和为 5，积为 6，这两个数是 2 和 3，所以分解因式为（x ＋ 2)（x ＋ 3) 。
4、分组分解法当多项式的项数较多时，可以将多项式适当分组，然后再用提公因式法或公式法进行分解。
比如，对于多项式 am ＋ an ＋ bm ＋ bn ，可以将其分组为（am ＋an) ＋（bm ＋ bn) ，然后分别提公因式得到 a(m ＋ n) ＋ b(m ＋ n) ，再提公因式（m ＋ n) ，最终分解为（m ＋ n)（a ＋ b) 。
有理数域上多项式的因式分解
本科毕业论文(设计) 论文题目：有理数域上多项式的因式分解学生姓名：学号：专业：班级：指导教师：完成日期：年月日有理数域上多项式的因式分解内容摘要多项式理论是学习高等代数和解析几何必不可少的内容，它具有独立完整不基于其他高代理论基础的体系，并且为学习代数和其他的数学分支提供理论依据.因式分解，也叫做分解因式，是我们研究有理数域上多项式理论的核心之一，也是进一步学习代数和科学知识的必备基础.因此，在这里我们要对有理数域上多项式的因式分解进行研究.本文讲述了有理数域上多项式因式分解的条件和方法，通过多个判别方法判断多项式因式分解的充分条件；在多项式可以因式分解的基础上，总结出应用于多项式因式分解的简便算法，给出实例供参考；并在实际应用中融入因式分解的意义和目的.关键词：有理数域多项式因式分解Rational polynomial factorization domainAbstractPolynomial theory is the study of Higher Algebra and analytic geometry essential content, it has independent and complete not system based on other generation of high theoretical basis and algebra and other branches of mathematics learning and provide a theoretical basis. Factorization, also called factorization, we study the rational number field polynomial theory is one of the core, also for further study of the essential basis of the algebra and scientific knowledge. Therefore, here we want to factor the polynomial over the rational number field decomposition was studied.This paper tells the factorization of polynomial factorization of rational number field conditions and methods, through multiple discriminant method to determine sufficient conditions for polynomial factorization; in polynomial can factorization based, summed for simple algorithm for polynomial factorization, give an example for reference; and in the practical application into factorization of meaning and purpose.Key words：Rational number field polynomial factoring目录一、多项式的相关概念 (1)（一）一元多项式和一元多项式环的概念 (1)（二）多项式整除的概念 (2)二、有理数域上的多项式的可约性 (3)（一）有理数域与实数域和复数域的区别 (3)（二）多项式的可约性和因式分解的相关理念 (3)（三）本原多项式的基本内容 (4)1.本原多项式的概念 (4)2.本原多项式的性质 (4)（四）判断多项式在有理数域上的可约性 (5)1.爱森斯坦(判别法 (5)2.布朗判别法 (6)3.佩龙判别法 (6)4.克罗内克判别法 (7)5.反证法 (7)6.有理法（利用有理根） (8)7.利用因式分解唯一性定理 (8)8.综合分析法 (8)三、多项式的有理根及因式分解 (9)（一）求根法 (9)（二）待定系数法 (9)（三）重因式分离法 (10)（四）应用矩阵的初等行变换法 (10)（五）利用行列式的性质 (11)四、结论 (12)参考文献 (13)序言代数问题是方程问题，方程问题就是求解问题.低阶方程的求解具有一般的代数方法（一次到四次）[1]，而对于高次方程的求解关键在于掌握多项式的因式分解.因式分解是集分解变形为之意，综合应用以前所学的知识，是解决许多数学问题的有力工具.它是研究各种运算和代数的恒等变形，采用了大部分相同的变形技能和技巧，如常用的因子提取、公式化配方等.因此，因式分解不只是数学上的一个重点，也是一个难点.在本文中，研究的有理数域上多项式的因式分解实际上是整系数多项式的分解.整系数多项式是一个无限集，如何判断它可约迄今为止还没有精确和易操作的方法，所以文中针对这个难点进行研究讨论.一、多项式的相关概念（一）一元多项式和一元多项式环的概念多项式是代数学中重要的基础知识，它不仅与高次方程有密切联系，在其他方向为学习代数知识也做了很好的铺垫，因此，我们必须清楚多项式的基本内容.定义1设是一非负整数，表达式其中全属于数域，称为系数在数域中的一元多项式，或者简称为数域上的一元多项式.[2]多项式可以加、减、乘，例如：根据上述式子的计算，可以看出数域上的两个多项式通过加、减、乘等运算后，其结果仍然是数域上的多项式.接下来，我们引入一个概念.定义2 所有系数在数域中的一元多项式的全体，称为数域上的一元多项式环，记为，称为的系数域.[3]之后我们要讨论的有理数域上多项式的因式分解是在一个固定的数域上的多项式环中进行的.（二）多项式整除的概念我们讨论过一元多项式可以容易地进行加、减、乘法运算，但是多项式之间的除法并不像其他运算那样可以普遍地做.因此整除运算就成为了两个多项式之间区别于其他运算更值得探讨的课题.和高中代数一样，作为一种表达式，可以用一个多项式去除另一个多项式，求得商和余式，如：设接下来，我们作除法：于是，求得商为，余式为，所得结果可以写成下列形式：定理1（带余除法）对于中任意两个多项式和，其中，一定有中的多项式存在，使成立，并有或，并且这样的是唯一决定的.证明（唯一性）设另外有多项式使成立，其中或,于是有即如果，就假设，那么即可得出又因为所以上述式子不可能成立，这也证明了，同时定义 3 数域上的多项式通常称作整除，存在数域上的多项式使等式成立，我们用表示整除，用表示不可以整除.当时，就称为的因式，称为的倍式.事实上，整除多项式原理使我们很轻松的了解多项式因式分解的原理.二、有理数域上的多项式的可约性（一）有理数域与实数域和复数域的区别我们知道，有理数域，实数域和复数域的范围不同.为了能更好的分析有理数域上多项式的因式分解，我们要区分有理数域，实数域和复数域的概念，只有将单项涵义牢记于心，我们才能知道多项式在各个数域中需要分解到何种形式，这里先做简要介绍.首先，有理数包括：（1）整数：正整数，负整数和；（2）分数：正分数，负分数；（3）小数：有限小数和无限循环小数[4].所有有理数组成一个集合，即为有理数集.而有理数集是一个域，可以在其中进行四则运算（0作除数除外），用字母表示.其次，实数可以包含所有的轴点数量，直观的看作是有限小数和无限小数，是有理数和无理数的统称，用字母表示.再次，是写成如下形式的数，和是，是，是实数和虚数的统称，用字母表示.（二）多项式的可约性和因式分解的相关理念定义4 数域上次数的多项式称为域上的不可约多项式，如果它不能表成数域上两个次数比的次数低的多项式的乘积.定理2（因式分解及唯一性）数域上每一个次数的多项式都可以唯一地分解成数域上一些.而是指，若有那么必有,根据因式的次序适当排列得到其中属于非零常数.多项式因式分解看似简单，实质蕴含了许多深奥的理论.多项式在不同数域上分解程度是不同的,我们不应该想当然的提出多项式因式分解后，就说它已经不能再分，并完成了多项式分解.我们可以比较一下复数域、实数域和有理数域上的差异.如:分别求多项式在复数域，实数域以及有理数域上的因式分解.①在复数域上这个多项式的因式分解为②在实数域上这个多项式的因式分解为()③在有理数域上这个多项式的因式分解为(从上述结果可以看出，对于一个多项式能否因式分解，不能单独考虑它是否满足因式分解的定理.我们具体情况具体分析，有理数域的多项式的因式分解比较困难.因为在有理数域上多少次的不可约多项式都存在，我们有时还认不出其究竟是否可约，所以研究非常麻烦.故而确定有理数域上多项式是否可约是麻烦的，掌握多项式因式分解不如想象中那么简单.（三）本原多项式的基本内容1.本原多项式的概念定义 5 设是非零的整系数多项式，如若的系数互素，就称是本原多项式.所以，任何一个非零的有理系数多项式都能表示为一个有理数与一个本原多项式的乘积，即.由此证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的，可以说，若,且是有理数，是本原多项式，那么必定有.因为多项式和本原多项式只相差一个非零的常数倍，他们都有着相同的整除性质，因此的因式分解问题可以归结为本原多项式的因式分解问题.所以我们可以讨论原多项式的性质，之后考虑整系数多项式的因式分解问题.2.本原多项式的性质性质1高斯引理设与为两个本原多项式，那么他们的乘积也是本原多项式.性质2设是非零整系数多项式，若分成为两个有理数域上的多项式与的乘积，且那么定能分解成两个次数较低的整系数多项式乘积.例1：设是两个整系数多项式，且是本原多项式.证明：若，且是有理数域上的多项式，那么一定是整系数多项式.证明：根据本原多项式的性质来证明，设其中都是本原多项式，是整数，是有理数.于是有因为是本原多项式.故，即是一个整数，所以是整系数多项式.（四）判断多项式在有理数域上的可约性基于，我们需要判断它是否可约，这是我们讨论有理数域上多项式因式分解的重点，接下来列出一些判别整系数多项式不可约的方法.1.爱森斯坦(判别法定理3设是一个整系数多项式，若找到一个素数，使⑴与不可约；⑵与是可约的；⑶与不可约，那么多项式在有理数域上不可约.证明：如果=可找到素数满足|所以，根据爱森斯坦判别法可知，在有理数域上不可约[5].特别注意的是，爱森斯坦判别法的条件只是充分条件，即满足三个条件的多项式不可约.如：，满足爱森斯坦判别法的三个条件，故而不可约.但并不是说所有不满足定义要求的多项式都可约，因为有很多多项式不满足上述三个条件但却是不可约的，譬如.当然，也有可约的多项式，如：不满足上述的三个条件，但却可以分解为有时，对于某个多项式来说，爱森斯坦判别法不能直接应用，但我们可以把其适当变形.设和是两个有理数，且，整数系多项式在有理数域上不可约当且仅当在有理数域上不可约[6].例2：证明在有理数域上不可约.证明：因为的系数都是1，无法应用爱森斯坦判别法.因此，我们令= + 1 并把其代入，则多项式变为根据爱森斯坦判别法判别，取=3，即证上式不可约，故而可知在有理数域上不可约.2.布朗判别法定理4设为次整系数多项式，令其中表示中1的个数，表示质数的个数，令，则在上不可约.例3：证明在上不可约.证明：因为无法找到素数来判断满足爱森斯坦判别法的条件，因此我们无法根据爱森斯坦判别法来判别可约性，但是我们可以根据布朗判别法判断多项式的可约性.因此，我们可以得到：=47故而，所以得到由此根据布朗判别法可知，在有理数域上不可约.3.佩龙判别法定理5设是整系数多项式，若此系数满足，则在有理数域上不可约.例4：证明在有理数域上不可约.证明：因为无法找到素数来判断爱森斯坦判别法的条件，因此我们不能用爱森斯坦判别法，但是我们可以看出满足佩龙判别法的条件.因此根据佩龙判别法定理以及题目得出4>1+1+1，所以该多项式在有理数域上不可约.4.克罗内克判别法定理6设是一个整系数多项式，可以在有理数域上将分解成两个不可约多项式的乘积.例5：证明在有理数域上不可约.证明：=52，取，则有，，因此，的因子为0，的因子为1，的因子为1,2故令，，；，，应用插值多项式得由带余除法可知：不能整除，不能整除，从而得到在有理数域上不可约.此方法是一个通过有限次数计算判定整系数多项式可以分解成若干个次数低的整系数多项式的方法[7].然而，有大量的文献资料显示，整系数多项式的因式分解过程中往往不采用克罗内克方法[8]，因为对于工作量来说，克罗内克方法的使用非常大，通常选择使用其他的分解技巧实现.因此克罗内克方法只是一种理论上可行的方法，不能用于因式分解的实际操作，实用价值不大5.反证法上述判别法判别多项式在有理数域上的条件并不是所有题目都适用，因此，我们不确定不满足爱森斯坦判别法的多项式是不是可约的，或在无法找到满足判别法中的素数时，我们选择反证法.例6：设()是()上一个次数大于零的多项式，如果对任意，都有∈()，且()|，并且()|或者()|，那么()不可约.证明：若()可约，则有，其中，令，则()|由题可得：|或|，与前面整除矛盾，故()不可约.6.有理法（利用有理根）对于一些次数不超过三次的多项式，利用有理根方法进行判别会更简便，若没有有理根，则该多项式在有理数域上不可约.例7：在有理数域上是否可约？解：假设可约，那么至少有一个一次因子，即有一个有理根.但的有理根只可能是±1，因此带入验算得(±1)≠0.说明该多项式没有有理根，因此在有理数域上不可约.例8：在有理数域上是否可约？解：若可约必有有理根，而的有理根中只能是±1或±127.因为(±1)(±127)所以无有理根，解得在有理数域上不可约.7.利用因式分解唯一性定理将有理数域看作实数域的一部分，多项式可以分解成几个实数域上的不可约因子.由于其不可约因式的系数不都是有理数，所以通过因式分解唯一性定理，则该多项式在有理数域上不可约.例9：证明在有理数域上不可约.解：多项式在实数域上分解为不可约因式的乘积为根据可知，如果在有理数域上可约，应该为上述的分解形式，但上述不可约因式的系数不全为有理数，故而.8.综合分析法在多项式因式分解过程中，我们有时不能只用一种方法判断其是否可约，因为有时靠一种方法并不能推断出来，所以我们采取综合分析法.例10：证明（是整数）在有理数域上是否可约？解：的有理根只能是±1，且±1)≠0.所以无一次因式，如若可约，只能是两个二次因式乘积。