高2020届高2017级三维设计一轮复习理科数学课时跟踪检测(十)对数与对数函数
高2020届高2017级三维设计一轮复习理科数学课时跟踪检测(六十三)分类加法计数原理与分步乘法计数原理
课时跟踪检测（六十三）分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、题点全面练1.集合P＝{x,1},Q＝{y,1,2},其中x,y∈{1,2,3,…,9},且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的点的个数是()A.9B.14C.15D.21试题解析：选B当x＝2时,x≠y,点的个数为1×7＝7.当x≠2时,∵P⊆Q,∴x＝y.∴x 可从3,4,5,6,7,8,9中取,有7种方法.因此满足条件的点共有7＋7＝14(个).2.某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单,开演前又增加了3个新节目,如果将这3个新节目插入节目单中,那么不同的插法种数为()A.504B.210C.336D.120试题解析：选A分三步,先插第一个新节目,有7种方法,再插第二个新节目,有8种方法,最后插第三个节目,有9种方法.故共有7×8×9＝504种不同的插法.3.已知两条异面直线a,b上分别有5个点和8个点,则这13个点可以确定不同的平面个数为()A.40B.16C.13D.10试题解析：选C分两类情况讨论：第1类,直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类,直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面.根据分类加法计数原理知,共可以确定8＋5＝13个不同的平面.4.从集合{1,2,3,4,…,10}中,选出5个数组成子集,使得这5个数中任意两个数的和都不等于11,则这样的子集有()A.32个B.34个C.36个D.38个试题解析：选A将和等于11的放在一组：1和10,2和9,3和8,4和7,5和6.从每一小组中取一个,有C12＝2(种).共有2×2×2×2×2＝32(个)子集.5.从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为()A.3B.4C.6D.8试题解析：选D当公比为2时,等比数列可为1,2,4或2,4,8；当公比为3时,等比数列可为1,3,9；当公比为32时,等比数列可为4,6,9.同理,公比为12,13,23时,也有4个.故共有8个等比数列.6.将1,2,3,…,9这9个数字填在如图所示的空格中,要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大,当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法为( )A.6种B.12种C.18种D.24种试题解析：选A 根据数字的大小关系可知,1,2,9的位置是固定的,如图所示,则剩余5,6,7,8这4个数字,而8只能放在A 或B 处,若8放在B 处,则可以从5,6,7这3个数字中选一个放在C 处,剩余两个位置固定,此时共有3种方法,同理,若8放在A 处,也有3种方法,所以共有6种方法.7.(2019·郴州模拟)用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色,要求相邻区域不同色,则不同的涂色方法共有( )A.4 320种B.2 880种C.1 440种D.720种试题解析：选A 分步进行：1区域有6种不同的涂色方法,2区域有5种不同的涂色方法,3区域有4种不同的涂色方法,4区域有3种不同的涂色方法,6区域有4种不同的涂色方法,5区域有3种不同的涂色方法.根据分步乘法计数原理可知,共有6×5×4×3×3×4＝4 320(种)不同的涂色方法.8.(2019·惠州调研)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”),则“六合数”中首位为2的“六合数”共有( )A.18个B.15个C.12个D.9个试题解析：选B 由题意知,这个四位数的百位数,十位数,个位数之和为4.由4,0,0组成3个数,分别为400,040,004；由3,1,0组成6个数,分别为310,301,130,103,013,031；由2,2,0组成3个数,分别为220,202,022；由2,1,1组成3个数,分别为211,121,112,共有3＋6＋3＋3＝15(个).9.在某一运动会百米决赛上,8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上,则安排这8名运动员比赛的方式共有________种.试题解析：分两步安排这8名运动员.第一步：安排甲、乙、丙三人,共有1,3,5,7四条跑道可安排.故安排方式有4×3×2＝24(种).第二步：安排另外5人,可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道上安排,所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(种).故安排这8人的方式共有24×120＝2 880(种).答案：2 88010.有A,B,C型高级电脑各一台,甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同,甲、乙会操作三种型号的电脑,丙不会操作C型电脑,而丁只会操作A型电脑.从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑,则不同的选派方法有________种(用数字作答).试题解析：由于丙、丁两位操作人员的技术问题,要完成“从4个操作人员中选3人去操作这三种型号的电脑”这件事,则甲、乙两人至少要选派一人,可分四类：第1类,选甲、乙、丙3人,由于丙不会操作C型电脑,分2步安排这3人操作的电脑的型号,有2×2＝4种方法；第2类,选甲、乙、丁3人,由于丁只会操作A型电脑,这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑,有2种方法；第3类,选甲、丙、丁3人,这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑,只有1种方法；第4类,选乙、丙、丁3人,同样也只有1种方法.根据分类加法计数原理,共有4＋2＋1＋1＝8种选派方法.答案：8二、专项培优练易错专练——不丢怨枉分1.把3封信投到4个信箱,所有可能的投法共有()A.24种B.4种C.43种D.34种试题解析：选C第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法.只要把这3封信投完,就做完了这件事情,由分步乘法计数原理可得共有43种投法.2.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个试题解析：选B由题意可知,符合条件的五位数的万位数字是4或5.当万位数字为4时,个位数字从0,2中任选一个,共有2×4×3×2＝48个偶数；当万位数字为5时,个位数字从0,2,4中任选一个,共有3×4×3×2＝72个偶数.故符合条件的偶数共有48＋72＝120(个).3.如图是一个由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形,现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不相同,则不同的涂色方法有()A.24种B.72种C.84种D.120种试题解析：选C如图,设四个直角三角形顺次为A,B,C,D,按A―→B―→C―→D顺序涂色,下面分两种情况：(1)A,C不同色(注意：B,D可同色、也可不同色,D只要不与A,C同色,所以D可以从剩余的2种颜色中任意取一色)：有4×3×2×2＝48种不同的涂法.(2)A,C同色(注意：B,D可同色、也可不同色,D只要不与A,C同色,所以D可以从剩余的3种颜色中任意取一色)：有4×3×1×3＝36种不同的涂法.故共有48＋36＝84种不同的涂色方法.4.(2018·湖南十二校联考)若m,n均为非负整数,在做m＋n的加法时各位均不进位(例如：134＋3 802＝3 936),则称(m,n)为“简单的”有序对,而m＋n称为有序对(m,n)的值,那么值为1 942的“简单的”有序对的个数是________.试题解析：第1步,1＝1＋0,1＝0＋1,共2种组合方式；第2步,9＝0＋9,9＝1＋8,9＝2＋7,9＝3＋6,…,9＝9＋0,共10种组合方式；第3步,4＝0＋4,4＝1＋3,4＝2＋2,4＝3＋1,4＝4＋0,共5种组合方式；第4步,2＝0＋2,2＝1＋1,2＝2＋0,共3种组合方式.根据分步乘法计数原理,值为1 942的“简单的”有序对的个数是2×10×5×3＝300.答案：300－3，－2，－1，0，1，2,若a,b,c∈M,则：5.已知集合M＝{}(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数；(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数.解：(1)a的取值有5种情况,b的取值有6种情况,c的取值有6种情况,因此y＝ax2＋bx ＋c可以表示5×6×6＝180个不同的二次函数.(2)y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上时,a的取值有2种情况,b,c的取值均有6种情况,因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72个图象开口向上的二次函数.。
高三一轮复习精题组对数与对数函数(有详细答案)
§2.6 对数与对数函数1．对数的概念如果a x＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log am M n＝n mlog a M . (2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b(a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .3．对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若log2(log3x)＝log3(log2y)＝0，则x＋y＝5. ( √)(2)2log510＋log50.25＝5. ( ×)(3)已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝2. ( √)(4)log2x2＝2log2x. ( ×)(5)当x>1时，log a x>0. ( ×)(6)当x>1时，若log a x>log b x，则a<b. ( ×) 2．(2013·课标全国Ⅱ)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( ) A．c>b>a B．b>c>aC．a>c>b D．a>b>c答案 D解析a＝log36＝1＋log32＝1＋1log23，b＝log510＝1＋log52＝1＋1log25，c＝log714＝1＋log72＝1＋1log27，显然a>b>c.3．(2013·浙江)已知x，y为正实数，则( )A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x＋2lg yB ．2lg(x ＋y )＝2lg x·2lg yC ．2lg x ·lg y＝2lg x＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y答案 D 解析 2lg x·2lg y＝2lg x ＋lg y＝2lg(xy )．故选D.4．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．答案 (－12，＋∞)解析 函数f (x )的定义域为(－12，＋∞)，令t ＝2x ＋1(t >0)．因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝2x ＋1在(－12，＋∞)上为增函数，所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是(－12，＋∞)．5．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (log 18x )>0的解集为________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)解析 ∵f (x )是R 上的偶函数，∴它的图象关于y 轴对称． ∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞，0]上为减函数，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0. ∴f (log 18x )>0⇒log 18x <－13或log 18x >13⇒x >2或0<x <12，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞).题型一 对数式的运算例1 (1)若x ＝log 43，则(2x－2－x )2等于( )A.94B.54C.103D.43(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f (log 312)的值是( )A ．5B ．3C ．－1D.72思维启迪 (1)利用对数的定义将x ＝log 43化成4x＝3； (2)利用分段函数的意义先求f (1)，再求f (f (1))；f (log 312)可利用对数恒等式进行计算．答案 (1)D (2)A解析 (1)由x ＝log 43，得4x＝3，即2x＝3，2－x ＝33，所以(2x －2－x )2＝(233)2＝43.(2)因为f (1)＝log 21＝0，所以f (f (1))＝f (0)＝2. 因为log 312<0，所以f (log 312)＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3.所以f (f (1))＋f (log 312)＝2＋3＝5.思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (2＋log 23)的值为________．答案124解析 因为2＋log 23<4， 所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)， 而3＋log 23>4，所以f (3＋log 23)＝(12)3＋log 23＝18×(12)log 23＝18×13＝124. 题型二 对数函数的图象和性质例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )(2)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 213)，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <a <b B ．c <b <a C ．b <c <aD ．a <b <c思维启迪 (1)结合函数的定义域、单调性、特殊点可判断函数图象；(2)比较函数值的大小可先看几个对数值的大小，利用函数的单调性或中间值可达到目的． 答案 (1)C (2)B解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ； 又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.选C. (2)log 213＝－log 23＝－log 49，b ＝f (log 213)＝f (－log 49)＝f (log 49)，log 47<log 49,0.2－0.6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－35＝5125>532＝2>log 49， 又f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数， 且在(－∞，0]上是增函数，故f (x )在[0，＋∞)上是单调递减的，∴f (0.2－0.6)<f (log 213)<f (log 47)，即c <b <a .思维升华 (1)函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小，解不等式等；(2)函数图象可以直观表示函数的所有关系，充分利用函数图象解题也体现了数形结合的思想．(1)已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a(2)已知函数f (x )＝log a (x ＋b ) (a >0且a ≠1)的图象过两点(－1，0)和(0,1)，则a ＝________，b ＝________. 答案 (1)A (2)2 2解析 (1)b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8＝20.8<21.2＝a ，c ＝2log 52＝log 522<log 55＝1<20.8＝b ，故c <b <a .(2)f (x )的图象过两点(－1,0)和(0,1)．则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0且f (0)＝log a (0＋b )＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧b －1＝1b ＝a，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ＝2.题型三 对数函数的应用例3 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．思维启迪 f (x )恒有意义转化为“恒成立”问题，分离参数a 来解决；探究a 是否存在，可从单调性入手．解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立．∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数， ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数， ∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0log a (3－a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32a ＝32，故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 思维升华 解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质 (1)要分清函数的底数是a ∈(0,1)，还是a ∈(1，＋∞)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．已知f (x )＝log 4(4x－1)．(1)求f (x )的定义域；(2)讨论f (x )的单调性；(3)求f (x )在区间[12，2]上的值域．解 (1)由4x－1>0，解得x >0， 因此f (x )的定义域为(0，＋∞)． (2)设0<x 1<x 2，则0<4x 1－1<4x 2－1，因此log 4(4x 1－1)<log 4(4x 2－1)，即f (x 1)<f (x 2)， 故f (x )在(0，＋∞)上递增．(3)f (x )在区间[12，2]上递增，又f (12)＝0，f (2)＝log 415，因此f (x )在[12，2]上的值域为[0，log 415]．利用函数性质比较幂、对数的大小典例：(15分)(1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．b <a <cD ．a <c <bA ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b(3)已知函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，a ＝(20.2)·f (20.2)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝(log 39)·f (log 39)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b >a >cB ．c >a >bC ．c >b >aD ．a >c >b思维启迪 (1)利用幂函数y ＝x 0.5和对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，结合中间值比较a ，b ，c 的大小；(2)化成同底的指数式，只需比较log 23.4、log 43.6、－log 30.3＝log 3103的大小即可，可以利用中间值或数形结合进行比较；(3)先判断函数φ(x )＝xf (x )的单调性，再根据20.2，log π3，log 39的大小关系求解．解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1； 根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1. 所以b <a <c .方法一 在同一坐标系中分别作出函数y ＝log2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示． 由图象知：log 23.4>log 3103>log 43.6.方法二 ∵log 3103>log 33＝1，且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44＝1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.(3)因为函数y ＝f (x )关于y 轴对称，所以函数y ＝xf (x )为奇函数． 因为[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )，且当x ∈(－∞，0)时，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )<0，则函数y ＝xf (x )在(－∞，0)上单调递减； 因为y ＝xf (x )为奇函数，所以当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf (x )单调递减． 因为1<20.2<2,0<log π3<1，log 39＝2， 所以0<log π3<20.2<log 39， 所以b >a >c ，选A. 答案 (1)C (2)C (3)A温馨提醒 (1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.方法与技巧1．对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为{x |x >0}．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．2．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性． 3．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定． 失误与防范1．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N ＋，且α为偶数)．2．指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．3．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值A 组 专项基础训练一、选择题 1．函数y ＝2－xlg x的定义域是( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |0<x <1或1<x <2}C ．{x |0<x ≤2}D ．{x |0<x <1或1<x ≤2}答案 D解析 要使函数有意义只需要⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0x >0lg x ≠0，解得0<x <1或1<x ≤2，∴定义域为{x |0<x <1或1<x ≤2}． 2．函数y ＝lg|x －1|的图象是( )答案 A解析 ∵y ＝lg|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x －1)，x >1lg (1－x )，x <1.∴A 项符合题意．3．已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e 21-，则 ( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x答案 D解析 ∵x ＝ln π>ln e ，∴x >1.∵y ＝log 52<log 55，∴0<y <12.∵z ＝e21-＝1e >14＝12，∴12<z <1.综上可得，y <z <x .4．A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)答案 C⇒a >1或－1<a <0.5．函数f (x )＝log a (ax －3)在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，＋∞)B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13D ．(3，＋∞)答案 D解析 由于a >0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数， ∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数， 因此a >1.又y ＝ax －3在[1,3]上恒为正， ∴a －3>0，即a >3，故选D. 二、填空题 6．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________________．答案 {x |－1<x ≤0或x >2}解析 当x ≤0时，3x ＋1>1⇒x ＋1>0，∴－1<x ≤0；当x >0时，log 2x >1⇒x >2，∴x >2.综上所述，x 的取值范围为－1<x ≤0或x >2.8．若log 2a 1＋a 21＋a<0，则a 的取值范围是____________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析 当2a >1时，∵log 2a 1＋a 21＋a<0＝log 2a 1， ∴1＋a 21＋a<1.∵1＋a >0，∴1＋a 2<1＋a ， ∴a 2－a <0，∴0<a <1，∴12<a <1. 当0<2a <1时，∵log 2a 1＋a 21＋a<0＝log 2a 1， ∴1＋a 21＋a>1.∵1＋a >0，∴1＋a 2>1＋a ， ∴a 2－a >0，∴a <0或a >1，此时不合题意．综上所述，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 三、解答题9．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．解 (1)要使函数f (x )有意义．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1. 故所求函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}．(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1，解得0<x <1. 所以使f (x )>0的x 的解集是{x |0<x <1}．10．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18.当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)．∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝2－13，＝2∉[2,8]，舍去．若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝(12)－32＝22∈[2,8]，符合题意，∴a ＝12.B 组 专项能力提升1．设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是 () A ．(－1,0) B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 A解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x1－x ，定义域为(－1,1)．由f (x )<0，可得0<1＋x1－x <1，∴－1<x <0.2．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有()A ．f (13)<f (2)<f (12) B ．f (12)<f (2)<f (13) C ．f (12)<f (13)<f (2) D ．f (2)<f (12)<f (13) 答案 C解析 由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x 2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|，∴f (12)<f (13)<f (2)． 3．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 015)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 015)＝________.答案 16解析 f (x 1x 2…x 2 015)＝log a (x 1x 2…x 2 015)＝8，f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 015) ＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22 015＝log a (x 1x 2…x 2 015)2＝2log a (x 1x 2…x 2 015)＝16.4．设f (x )＝|lg x |，a ，b 为实数，且0<a <b .(1)求方程f (x )＝1的解；(2)若a ，b 满足f (a )＝f (b )，求证：a ·b ＝1，a ＋b 2>1. (3)在(2)的条件下，求证：由关系式f (b )＝2f (a ＋b 2)所得到的关于b 的方程g (b )＝0，存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.(1)解 由f (x )＝1得，lg x ＝±1，所以x ＝10或110. (2)证明 结合函数图象，由f (a )＝f (b )可判断a ∈(0,1)，b ∈(1，＋∞)，从而－lg a ＝lg b ，从而ab ＝1.又a ＋b 2＝1b ＋b 2>21b ·b 2＝1(因1b≠b )． (3)证明 由已知可得b ＝(a ＋b 2)2，得4b ＝a 2＋b 2＋2ab ，得1b 2＋b 2＋2－4b ＝0， g (b )＝1b 2＋b 2＋2－4b ， 因为g (3)<0，g (4)>0，根据零点存在性定理可知，函数g (b )在(3,4)内一定存在零点，即存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.5．已知函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，求a 的取值范围．解 函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )是由函数y ＝log 21t 和t ＝x 2－ax ＋a 复合而成．因为函数y ＝log 21t 在区间(0，＋∞)上单调递减，而函数t ＝x 2－ax ＋a 在区间(－∞，a 2)上单调递减， 故函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )在区间(－∞，a 2]上单调递增． 又因为函数y ＝log 21 (x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2≤a 2，(2)2－2a ＋a ≥0，解得⎩⎨⎧ a ≥22，2－2a ＋a ≥0，即22≤a ≤2(2＋1)．。
届高考数学一轮总复习课时跟踪检测(十)对数与对数函数理新人教版【含答案】
课时跟踪检测(十) 对数与对数函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．(2015·南昌一模)函数y ＝log 23x －的定义域是( )A ．[1,2]B ．[1,2)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 解析：选D 由log 23(2x －1)≥0⇒0<2x －1≤1⇒12<x ≤1.2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B.12x C ．log 12xD ．2x －2解析：选A 由题意知f (x )＝log a x ， ∵f (2)＝1，∴log a 2＝1.∴a ＝2. ∴f (x )＝log 2x .3．(2016·石家庄模拟)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b <cB ．a ＝b >cC ．a <b <cD ．a >b >c解析：选B 因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1.4．(2015·安徽高考)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________.解析：lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1. 答案：－15．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为______，单调递增区间为______．解析：作出函数y ＝log 2x 的图象，将其关于y 轴对称得到函数y ＝log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．答案：(－∞，－1) (－1，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标1．(2014·天津高考)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：选D 函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )是由y ＝log 12t 与t ＝g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增．2．(2016·江西八校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312的值是( )A ．5B ．3C ．－1D.72解析：选A 由题意可知f (1)＝log 21＝0，f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝3123log －＋1＝33log 2＋1＝2＋1＝3，所以f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝5.3．(2016·皖北联考)设a ＝log 323，b ＝log 525，c ＝log 727，则( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．a >c >bD ．a >b >c解析：选D 因为log 323＝log 32－1，log 525＝log 52－1，log 727＝log 72－1，log 32>log 52>log 72，故a >b >c .4．已知函数f (x )＝log a (2x＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0<a －1<b <1 B ．0<b <a －1<1 C ．0<b －1<a <1 D ．0<a －1<b －1<1解析：选A 令g (x )＝2x＋b －1，这是一个增函数，而由图象可知函数y ＝log a g (x )是单调递增的， 所以必有a >1.又由图象知函数图象与y 轴交点的纵坐标介于－1和0之间， 即－1<f (0)<0，所以－1<log a b <0， 故a －1<b <1，因此0<a －1<b <1.5．若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析：选A 令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1.所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞.又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32.所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．6．计算：log 2.56.25＋lg 0.001＋ln e ＋2－1＋log 23＝______. 解析：解析：原式＝log 2.5(2.5)2＋lg 10－3＋ln e 12＋2322log log 232 ＝2－3＋12＋32＝1.答案：17．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是______．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1.答案：(1，＋∞)8．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为______．解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，因此函数f (x )的最小值为－14.答案：－149．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12－x ，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数， 所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．10．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，(a >0且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集． 解：(1)要使函数f (x )有意义．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1.故所求函数f (x )的定义域为(－1,1)． (2)由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)， 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )， 故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1，解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的解集是(0,1)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1解析：选A 当0<a <1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是减函数，所以log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫43－a >0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1； 当a >1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. 2．已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x .(1)当x ∈[1,4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；(2)如果对任意的x ∈[1,4]，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围．解：(1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2， 因为x ∈[1,4]，所以log 2x ∈[0,2]， 故函数h (x )的值域为[0,2]． (2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )， 得(3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，令t ＝log 2x ，因为x ∈[1,4]，所以t ＝log 2x ∈[0,2]， 所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ； ②当t ∈(0,2]时，k <－4t－tt恒成立，即k <4t ＋9t－15，因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t－15的最小值为－3.综上，实数k 的取值范围为(－∞，－3)．。
2020年高中数学课时跟踪检测含解析(全一册)新人教A版
2020年高中数学课时跟踪检测含解析新人教A版课时跟踪检测一变化率问题导数的概念课时跟踪检测二导数的几何意义课时跟踪检测三几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课时跟踪检测四复合函数求导及应用课时跟踪检测五函数的单调性与导数课时跟踪检测六函数的极值与导数课时跟踪检测七函数的最大小值与导数课时跟踪检测八生活中的优化问题举例课时跟踪检测九定积分的概念课时跟踪检测十微积分基本定理课时跟踪检测十一定积分的简单应用课时跟踪检测十二合情推理课时跟踪检测十三演绎推理课时跟踪检测十四综合法和分析法课时跟踪检测十五反证法课时跟踪检测十六数学归纳法课时跟踪检测十七数系的扩充和复数的概念课时跟踪检测十八 复数的几何意义课时跟踪检测十九 复数代数形式的加减运算及其几何意义 课时跟踪检测二十 复数代数形式的乘除运算课时跟踪检测（一） 变化率问题、导数的概念一、题组对点训练对点练一 函数的平均变化率1．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a ＝( ) A ．－3 B ．2 C ．3 D ．－2解析：选C 根据平均变化率的定义,可知Δy Δx ＝(2a ＋b )－(a ＋b )2－1＝a ＝3.2．若函数f (x )＝－x 2＋10的图象上一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，314及邻近一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx ，314＋Δy ,则Δy Δx ＝( )A ．3B ．－3C ．－3－(Δx )2D ．－Δx －3解析：选D ∵Δy ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－3Δx －(Δx )2,∴Δy Δx ＝－3Δx －(Δx )2Δx ＝－3－Δx . 3．求函数y ＝f (x )＝1x在区间[1,1＋Δx ]内的平均变化率．解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx－1＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝1－(1＋Δx )(1＋1＋Δx )1＋Δx＝－Δx(1＋1＋Δx )1＋Δx, ∴Δy Δx ＝－1(1＋1＋Δx )1＋Δx. 对点练二 求瞬时速度4．某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 3－2表示,则此物体在t ＝1 s 时的瞬时速度(单位：m/s)为( )A ．1B ．3C ．－1D ．0 答案：B5．求第4题中的物体在t 0时的瞬时速度． 解：物体在t 0时的平均速度为v ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝(t 0＋Δt )3－2－(t 30－2)Δt ＝3t 20Δt ＋3t 0(Δt )2＋(Δt )3Δt＝3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2.因为lim Δt →0 [3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2]＝3t 20,故此物体在t ＝t 0时的瞬时速度为3t 20 m/s. 6．若第4题中的物体在t 0时刻的瞬时速度为27 m/s,求t 0的值．解：由v ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝(t 0＋Δt )3－2－(t 30－2)Δt＝3t 20Δt ＋3t 0(Δt )2＋(Δt )3Δt ＝3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2,因为lim Δt →0 [3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2]＝3t 20. 所以由3t 20＝27,解得t 0＝±3, 因为t 0>0,故t 0＝3,所以物体在3 s 时的瞬时速度为27 m/s. 对点练三 利用定义求函数在某一点处的导数 7．设函数f (x )可导,则lim Δx →0 f (1＋3Δx )－f (1)3Δx等于( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1)C ．13f ′(1) D ．f ′(3)解析：选A lim Δx →0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx＝f ′(1)．8．设函数f (x )＝ax ＋3,若f ′(1)＝3,则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3 解析：选C ∵f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0a (1＋Δx )＋3－(a ＋3)Δx＝a ,∴a ＝3.9．求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数f ′(1)．解：由导数的定义知,函数在x ＝1处的导数f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx,而f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1,又lim Δx →0 11＋Δx ＋1＝12,所以f ′(1)＝12.二、综合过关训练1．若f (x )在x ＝x 0处存在导数,则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h( )A ．与x 0,h 都有关B ．仅与x 0有关,而与h 无关C ．仅与h 有关,而与x 0无关D ．以上答案都不对解析：选B 由导数的定义知,函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关．2．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1,在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2,则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 2<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析：选D k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ；k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2Δx＝2x 0－Δx .因为Δx 可正也可负,所以k 1与k 2的大小关系不确定． 3．A ,B 两机关开展节能活动,活动开始后两机关的用电量W 1(t ),W 2(t )与时间t (天)的关系如图所示,则一定有( )A ．两机关节能效果一样好B ．A 机关比B 机关节能效果好C ．A 机关的用电量在[0,t 0]上的平均变化率比B 机关的用电量在[0,t 0]上的平均变化率大D ．A 机关与B 机关自节能以来用电量总是一样大解析：选B 由题图可知,A 机关所对应的图象比较陡峭,B 机关所对应的图象比较平缓,且用电量在[0,t 0]上的平均变化率都小于0,故一定有A 机关比B 机关节能效果好．4．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2,其中s 的单位是：m,t 的单位是：s,那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7 m/sB ．6 m/sC ．5 m/sD ．8 m/s解析：选C ∵Δs Δt ＝1－(3＋Δt )＋(3＋Δt )2－(1－3＋32)Δt＝5＋Δt ,∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (5＋Δt )＝5 (m/s)． 5．如图是函数y ＝f (x )的图象,则(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 解析：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12.(2)由函数f (x )的图象知,f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以,函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.答案：(1)12 (2)346．函数y ＝－1x在点x ＝4处的导数是________．解析：∵Δy ＝－14＋Δx＋14＝12－14＋Δx ＝4＋Δx －224＋Δx ＝Δx24＋Δx (4＋Δx ＋2). ∴Δy Δx ＝124＋Δx (4＋Δx ＋2). ∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0124＋Δx (4＋Δx ＋2) ＝12×4×(4＋2)＝116.∴y ′|x ＝4＝116.答案：1167．一做直线运动的物体,其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移：m ；时间：s)． (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时平均速度．解：(1)初速度v 0＝lim Δt →0 s (Δt )－s (0)Δt ＝lim Δt →0 3Δt －(Δt 2)Δt＝lim Δt →0 (3－Δt )＝3(m/s)． 即物体的初速度为3 m/s. (2)v ＝lim Δt →0s (2＋Δt )－s (2)Δt＝lim Δt →0 3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－4)Δt＝lim Δt →0 －(Δt )2－Δt Δt ＝lim Δt →0 (－Δt －1)＝－1(m/s)． 即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s,方向与初速度相反． (3)v ＝s (2)－s (0)2－0＝6－4－02＝1(m/s)．即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.8．若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1,求Δx 的范围．解：因为函数f (x )在[2,2＋Δx ]上的平均变化率为： Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx＝－4Δx ＋Δx －(Δx )2Δx ＝－3－Δx ,所以由－3－Δx ≤－1, 得Δx ≥－2. 又因为Δx >0,即Δx 的取值范围是(0,＋∞)．课时跟踪检测（二） 导数的几何意义一、题组对点训练对点练一 求曲线的切线方程1．曲线y ＝x 3＋11在点(1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．－9 B ．－3 C ．9 D ．15解析：选C ∵切线的斜率k ＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (1＋Δx )3＋11－12Δx ＝lim Δx →0 1＋3·Δx ＋3·(Δx )2＋(Δx )3－1Δx ＝lim Δx →0[3＋3(Δx )＋(Δx )2]＝3, ∴切线的方程为y －12＝3(x －1)． 令x ＝0得y ＝12－3＝9.2．求曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的切线方程．解：因为y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x ＋Δx －1x Δx ＝lim Δx →0 －1x 2＋x ·Δx ＝－1x 2, 所以曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的切线斜率为k ＝y ′|x ＝12＝－4.故所求切线方程为y －2＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12,即4x ＋y －4＝0.对点练二 求切点坐标3．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0,b )处的切线方程是x －y ＋1＝0,则( ) A ．a ＝1,b ＝1 B ．a ＝－1,b ＝1 C ．a ＝1,b ＝－1D ．a ＝－1,b ＝－1解析：选A ∵点(0,b )在直线x －y ＋1＝0上,∴b ＝1. 又y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋1－x 2－ax －1Δx ＝2x ＋a , ∴过点(0,b )的切线的斜率为y ′|x ＝0＝a ＝1.4．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16,则点P 坐标为________． 解析：设P (x 0,2x 20＋4x 0),则f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 2(Δx )2＋4x 0Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4, 又∵f ′(x 0)＝16,∴4x 0＋4＝16,∴x 0＝3,∴P (3,30)． 答案：(3,30)5．曲线y ＝f (x )＝x 2的切线分别满足下列条件,求出切点的坐标． (1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)切线的倾斜角为135°.解：f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x2Δx＝2x , 设P (x 0,y 0)是满足条件的点．(1)∵切线与直线y ＝4x －5平行,∴2x 0＝4,∴x 0＝2,y 0＝4,即P (2,4),显然P (2,4)不在直线y ＝4x －5上,∴符合题意．(2)∵切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直,∴2x 0·13＝－1,∴x 0＝－32,y 0＝94,即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94.(3)∵切线的倾斜角为135°,∴其斜率为－1,即2x 0＝－1,∴x 0＝－12,y 0＝14,即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14. 对点练三 导数几何意义的应用 6．下面说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在,则曲线y ＝f (x )点(x 0,f (x 0))处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处有切线,则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在,则曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处没有切线,则f ′(x 0)有可能存在解析：选C 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x 0,y 0)处有导数,则切线一定存在,但反之不一定成立,故A,B,D 错误．7．设曲线y ＝f (x )在某点处的导数值为0,则过曲线上该点的切线( ) A ．垂直于x 轴B ．垂直于y 轴C ．既不垂直于x 轴也不垂直于y 轴D ．方向不能确定解析：选B 由导数的几何意义知曲线f (x )在此点处的切线的斜率为0,故切线与y 轴垂直．8．如图所示,单位圆中弧AB 的长为x ,f (x )表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍,则函数y ＝f (x )的图象是( )解析：选D 不妨设A 固定,B 从A 点出发绕圆周旋转一周,刚开始时x 很小,即弧AB 长度很小,这时给x 一个改变量Δx ,那么弦AB 与弧AB 所围成的弓形面积的改变量非常小,即弓形面积的变化较慢；当弦AB 接近于圆的直径时,同样给x 一个改变量Δx ,那么弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的改变量将较大,即弓形面积的变化较快；从直径的位置开始,随着B点的继续旋转,弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢．由上可知函数y ＝f (x )图象的上升趋势应该是首先比较平缓,然后变得比较陡峭,最后又变得比较平缓,对比各选项知D 正确．9．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示, 则函数y ＝f ′(x )的图象可能是________(填序号)．解析：由y ＝f (x )的图象及导数的几何意义可知,当x <0时f ′(x )>0,当x ＝0时,f ′(x )＝0,当x >0时,f ′(x )<0,故②符合．答案：②二、综合过关训练1．函数f (x )的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A ．0<f ′(a )<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a ) B ．0<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a ) C ．0<f ′(a ＋1)<f ′(a )<f (a ＋1)－f (a ) D ．0<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a )<f ′(a ＋1)解析：选B f ′(a ),f ′(a ＋1)分别为曲线f (x )在x ＝a ,x ＝a ＋1处的切线的斜率,由题图可知f ′(a )>f ′(a ＋1)>0,而f (a ＋1)－f (a )＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a表示(a ,f (a ))与(a ＋1,f (a＋1))两点连线的斜率,且在f ′(a )与f ′(a ＋1)之间．∴0<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a )．2．曲线y ＝1x －1在点P (2,1)处的切线的倾斜角为( ) A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．3π4解析：选D Δy ＝12＋Δx －1－12－1＝11＋Δx －1＝－Δx 1＋Δx ,lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 －11＋Δx ＝－1,斜率为－1,倾斜角为3π4.3．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝－2x ＋2解析：选 A 由Δy ＝(1＋Δx )3－2(1＋Δx )＋1－(1－2＋1)＝(Δx )3＋3(Δx )2＋Δx 得lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (Δx )2＋3Δx ＋1＝1,所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1,切线过点(1,0),根据直线的点斜式可得切线方程为y ＝x －1.4．设P 0为曲线f (x )＝x 3＋x －2上的点,且曲线在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1,则P 0点的坐标为( )A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)或(－1,－4)D ．(2,8)或(－1,－4)解析：选C f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3＋(x ＋Δx )－2－(x 3＋x －2)Δx＝lim Δx →0 (3x 2＋1)Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx ＝3x 2＋1.由于曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1,所以f (x )在P 0处的导数值等于4.设P 0(x 0,y 0),则有f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4,解得x 0＝±1,P 0的坐标为(1,0)或(－1,－4)．5．已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示,则y ＝f (x )在A 、B 两点处的导数f ′(a )与f ′(b )的大小关系为：f ′(a )________f ′(b )(填“<”或“>”)．解析：f ′(a )与f ′(b )分别表示函数图象在点A 、B 处的切线斜率,故f ′(a )>f ′(b )．答案：>6．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程为____________．解析：曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →03(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2Δx＝lim Δx →0 (3Δx ＋2)＝2.所以过点 P (－1,2)的直线的斜率为2.由点斜式得y－2＝2(x＋1),即2x－y＋4＝0.所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.答案：2x－y＋4＝07．甲、乙二人跑步的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②,试问：(1)甲、乙二人哪一个跑得快？(2)甲、乙二人百米赛跑,问快到终点时,谁跑得较快？解：(1)图①中乙的切线斜率比甲的切线斜率大,故乙跑得快；(2)图②中在快到终点时乙的瞬时速度大,故快到终点时,乙跑得快．8．“菊花”烟花是最壮观的烟花之一,制造时通常期望它在达到最高时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t.其示意图如图所示．根据图象,结合导数的几何意义解释烟花升空后的运动状况．解：如图,结合导数的几何意义,我们可以看出：在t＝1.5 s附近曲线比较平坦,也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0,达到最高点并爆裂；在0～1.5 s之间,曲线在任何点的切线斜率大于0且切线的倾斜程度越来越小,也就是说烟花在达到最高点前,以越来越小的速度升空；在1.5 s后,曲线在任何点的切线斜率小于0且切线的倾斜程度越来越大,即烟花达到最高点后,以越来越大的速度下降,直到落地．课时跟踪检测（三） 几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一、题组对点训练对点练一 利用导数公式求函数的导数 1．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2,则y ′＝－1x ；④⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝12x x.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B 因为(cos x )′＝－sin x ,所以①错误．sin π3＝32,而⎝ ⎛⎭⎪⎫32′＝0,所以②错误.⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝0－(x 2)′x 4＝－2x x 4＝－2x 3,所以③错误.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝－0－(x 12)′x ＝12x －12x ＝12x －32＝12x x,所以④正确． 2．已知f (x )＝x α(α∈Q *),若f ′(1)＝14,则α等于( )A ．13B ．12C ．18D ．14 解析：选D ∵f (x )＝x α,∴f ′(x )＝αx α－1.∴f ′(1)＝α＝14.对点练二 利用导数的运算法则求导数 3．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( ) A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2x B ．y ′＝cos 2x －sin 2x C ．y ′＝2cos x ·sin xD ．y ′＝cos x ·sin x解析：选B y ′＝(sin x ·cos x )′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x )＝cos 2x －sin 2x . 4．函数y ＝x 2x ＋3的导数为________．解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋3′＝(x 2)′(x ＋3)－x 2(x ＋3)′(x ＋3)2＝2x (x ＋3)－x 2(x ＋3)2＝x 2＋6x (x ＋3)2.答案：x 2＋6x (x ＋3)25．已知函数f (x )＝ax ln x ,x ∈(0,＋∞),其中a 为实数,f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3,则a 的值为________．解析：f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ,又f ′(1)＝3, 所以a ＝3.答案：36．求下列函数的导数．(1)y ＝sin x －2x 2；(2)y ＝cos x ·ln x ；(3)y ＝exsin x.解：(1)y ′＝(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－(2x 2)′＝cos x －4x .(2)y ′＝(cos x ·ln x )′＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′＝－sin x ·ln x ＋cos xx.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x sin x ′＝(e x )′·sin x －e x ·(sin x )′sin 2x ＝e x ·sin x －e x ·cos x sin 2x ＝e x(sin x －cos x )sin 2x. 对点练三 利用导数公式研究曲线的切线问题7．(2019·全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x在点(0,0)处的切线方程为________． 解析：∵y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝e x (3x 2＋9x ＋3), ∴切线斜率k ＝e 0×3＝3,∴切线方程为y ＝3x . 答案：y ＝3x8．若曲线f (x )＝x ·sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直,则实数a ＝________.解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ,所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a2,所以根据题意得1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1,解得a ＝2.答案：29．已知a ∈R,设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1,f (1))处的切线为l ,则l 在y 轴上的截距为________．解析：因为f ′(x )＝a －1x,所以f ′(1)＝a －1,又f (1)＝a ,所以切线l 的方程为y －a＝(a －1)(x －1),令x ＝0,得y ＝1.答案：110．在平面直角坐标系xOy 中,点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋13上,且在第一象限内,已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2,求点P 的坐标．解：设点P 的坐标为(x 0,y 0),因为y ′＝3x 2－10,所以3x 20－10＝2,解得x 0＝±2.又点P 在第一象限内,所以x 0＝2,又点P 在曲线C 上,所以y 0＝23－10×2＋13＝1,所以点P 的坐标为(2,1)．二、综合过关训练1．f 0(x )＝sin x ,f 1(x )＝f ′0(x ),f 2(x )＝f ′1(x ),…,f n ＋1(x )＝f ′n (x ),n ∈N,则f 2 019(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x解析：选D 因为f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ,f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ,f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ,f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ,f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ,所以循环周期为4,因此f 2 019(x )＝f 3(x )＝－cos x .2．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D ．12解析：选A 因为y ′＝x 2－3x ,所以根据导数的几何意义可知,x 2－3x ＝12,解得x ＝3(x ＝－2不合题意,舍去)．3．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12B ．12C ．－22D ．22解析：选B y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝11＋sin 2x ,把x ＝π4代入得导数值为12,即为所求切线的斜率．4．已知直线y ＝3x ＋1与曲线y ＝ax 3＋3相切,则a 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．－1D ．－2解析：选A 设切点为(x 0,y 0),则y 0＝3x 0＋1,且y 0＝ax 30＋3,所以3x 0＋1＝ax 30＋3…①.对y ＝ax 3＋3求导得y ′＝3ax 2,则3ax 20＝3,ax 20＝1…②,由①②可得x 0＝1,所以a ＝1.5．设a 为实数,函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x ),且f ′(x )是偶函数,则曲线y ＝f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为____________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －3, ∵f ′(x )是偶函数,∴a ＝0, ∴f (x )＝x 3－3x ,f ′(x )＝3x 2－3, ∴f (2)＝8－6＝2,f ′(2)＝9,∴曲线y ＝f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为y －2＝9(x －2), 即9x －y －16＝0. 答案：9x －y －16＝06．设f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n ),则f ′(0)＝________. 解析：令g (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n ),则f (x )＝xg (x ), 求导得f ′(x )＝x ′g (x )＋xg ′(x )＝g (x )＋xg ′(x ), 所以f ′(0)＝g (0)＋0×g ′(0)＝g (0)＝1×2×3×…×n . 答案：1×2×3×…×n7．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切,则a ＝________.解析：法一：∵y ＝x ＋ln x , ∴y ′＝1＋1x,y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1),即y ＝2x －1. ∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切,∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y ,得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0,解得a ＝8. 法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0,ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)． ∵y ′＝2ax ＋(a ＋2), ∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋(a ＋2)＝2，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.答案：88．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ,f ′(2)＝－b ,其中常数a ,b ∈R.求曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线方程．解：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1,所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 令x ＝1,得f ′(1)＝3＋2a ＋b , 又f ′(1)＝2a,3＋2a ＋b ＝2a , 解得b ＝－3,令x ＝2得f ′(2)＝12＋4a ＋b , 又f ′(2)＝－b , 所以12＋4a ＋b ＝－b , 解得a ＝－32.则f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1,从而f (1)＝－52.又f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3, 所以曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1), 即6x ＋2y －1＝0.9．已知两条直线y ＝sin x ,y ＝cos x ,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．解：不存在．由于y ＝sin x ,y ＝cos x ,设两条曲线的一个公共点为P (x 0,y 0),所以两条曲线在P (x 0,y 0)处的斜率分别为k 1＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0,k 2＝y ′|x ＝x 0＝－sinx 0.若使两条切线互相垂直,必须使cos x 0·(－sin x 0)＝－1,即sin x 0·cos x 0＝1,也就是sin 2x 0＝2,这是不可能的,所以两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直．课时跟踪检测（四） 复合函数求导及应用一、题组对点训练对点练一 简单复合函数求导问题 1．y ＝cos 3x 的导数是( ) A ．y ′＝－3cos 2x sin x B ．y ′＝－3cos 2x C ．y ′＝－3sin 2xD ．y ′＝－3cos x sin 2x解析：选A 令t ＝cos x ,则y ＝t 3,y ′＝y t ′·t x ′＝3t 2·(－sin x )＝－3cos 2x sin x . 2．求下列函数的导数． (1)y ＝ln(e x ＋x 2)； (2)y ＝102x ＋3；(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x .解：(1)令u ＝e x ＋x 2,则y ＝ln u .∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·(e x ＋x 2)′＝1e x ＋x 2·(e x＋2x )＝e x＋2x e x ＋x2.(2)令u ＝2x ＋3,则y ＝10u,∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝10u·ln 10·(2x ＋3)′＝2×102x ＋3ln10.(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x ·cos 2x ＝1－12sin 22x ＝1－14(1－cos 4x )＝34＋14cos 4x . 所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋14cos 4x ′＝－sin 4x . 对点练二 复合函数与导数运算法则的综合应用 3．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2xD ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x解析：选B y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .4．函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( ) A ．ln(2x ＋5)－x2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5)D ．x2x ＋5解析：选 B y ′＝[x ln(2x ＋5)]′＝x ′ln(2x ＋5)＋x [ln(2x ＋5)]′＝ln(2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x 2x ＋5. 5．函数y ＝sin 2x cos 3x 的导数是________． 解析：∵y ＝sin 2x cos 3x ,∴y ′＝(sin 2x )′cos 3x ＋sin 2x (cos 3x )′＝2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x . 答案：2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x6．已知f (x )＝e πxsin πx ,求f ′(x )及f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12.解：∵f (x )＝e πxsin πx ,∴f ′(x )＝πe πxsin πx ＋πe πxcos πx ＝πe πx(sin πx ＋cos πx )． f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝πe π2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2＋cos π2＝πe 2π. 对点练三 复合函数导数的综合问题7．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ,则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D 令y ＝ax －ln(x ＋1),则f ′(x )＝a －1x ＋1.所以f (0)＝0,且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3.8．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5D ．0解析：选A 设曲线y ＝ln(2x －1)在点(x 0,y 0)处的切线与直线2x －y ＋3＝0平行． ∵y ′＝22x －1,∴y ′|x ＝x 0＝22x 0－1＝2,解得x 0＝1,∴y 0＝ln(2－1)＝0,即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2－0＋3|4＋1＝5,即曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是 5.9．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t30,其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时,铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年),则M (60)＝( )A ．5太贝克B ．75ln 2太贝克C ．150ln 2 太贝克D ．150太贝克解析：选D M ′(t )＝－130ln 2×M 02-t30,由M ′(30)＝－130ln 2×M 02-3030＝－10 ln 2,解得M 0＝600, 所以M (t )＝600×2-t 30,所以t ＝60时,铯137的含量为M (60)＝600×2-6030＝600×14＝150(太贝克)．二、综合过关训练1．函数y ＝(2 019－8x )3的导数y ′＝( ) A ．3(2 019－8x )2B ．－24xC ．－24(2 019－8x )2D ．24(2 019－8x 2)解析：选C y ′＝3(2 019－8x )2×(2 019－8x )′＝3(2 019－8x )2×(－8)＝－24(2 019－8x )2.2．函数y ＝12(e x ＋e －x)的导数是( )A ．12(e x －e －x) B ．12(e x ＋e －x) C ．e x－e －xD ．e x＋e －x解析：选A y ′＝12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x)．3．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切,则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2解析：选B 设切点坐标是(x 0,x 0＋1),依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a＝1，x 0＋1＝ln (x 0＋a )，由此得x 0＋1＝0,x 0＝－1,a ＝2.4．函数y ＝ln ex1＋ex 在x ＝0处的导数为________．解析：y ＝ln e x1＋e x ＝ln e x －ln(1＋e x )＝x －ln(1＋e x),则y ′＝1－e x1＋e x .当x ＝0时,y ′＝1－11＋1＝12. 答案：125．设曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直,则a ＝________. 解析：令y ＝f (x ),则曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线的斜率为f ′(0),又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直,所以f ′(0)＝2.因为f (x )＝e ax ,所以f ′(x )＝(e ax )′＝e ax ·(ax )′＝a e ax,所以f ′(0)＝a e 0＝a ,故a ＝2.答案：26．f (x )＝ax 2－1且f ′(1)＝2,则a 的值为________．解析：∵f (x )＝(ax 2－1)12,∴f ′(x )＝12(ax 2－1)－12·(ax 2－1)′＝ax ax 2－1 .又f ′(1)＝2,∴aa －1＝2,∴a ＝2. 答案：27．求函数y ＝a sin x3＋b cos 22x (a ,b 是实常数)的导数．解：∵⎝⎛⎭⎪⎫a sin x 3′＝a cos x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3′＝a 3cos x3,又(cos 22x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12cos 4x ′＝12(－sin 4x )×4＝－2sin 4x , ∴y ＝a sin x3＋b cos 22x 的导数为y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a sin x 3′＋b (cos 22x )′＝a 3cos x 3－2b sin 4x .8．曲线y ＝e 2xcos 3x 在(0,1)处的切线与l 的距离为5,求l 的方程． 解：由题意知y ′＝(e 2x)′cos 3x ＋e 2x(cos 3x )′ ＝2e 2x cos 3x ＋3(－sin 3x )·e 2x＝2e 2x cos 3x －3e 2xsin 3x ,所以曲线在(0,1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝0＝2. 所以该切线方程为y －1＝2x ,即y ＝2x ＋1. 设l 的方程为y ＝2x ＋m ,则d ＝|m －1|5＝ 5.解得m ＝－4或m ＝6.当m ＝－4时,l 的方程为y ＝2x －4;当m＝6时,l的方程为y＝2x＋6.综上,可知l的方程为y＝2x－4或y＝2x＋6.课时跟踪检测（五）函数的单调性与导数一、题组对点训练对点练一函数与导函数图象间的关系1．f′(x)是函数f(x)的导函数,y＝f′(x)的图象如图所示,则y＝f(x)的图象最有可能是下列选项中的( )解析：选C 题目所给出的是导函数的图象,导函数的图象在x轴的上方,表示导函数大于零,原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在x轴的下方,表示导函数小于零,原函数的图象呈下降趋势．由x∈(－∞,0)时导函数图象在x轴的上方,表示在此区间上,原函数的图象呈上升趋势,可排除B、D两选项．由x∈(0,2)时导函数图象在x轴的下方,表示在此区间上,原函数的图象呈下降趋势,可排除A选项．故选C.2．若函数y＝f′(x)在区间(x1,x2)内是单调递减函数,则函数y＝f(x)在区间(x1,x2)内的图象可以是( )解析：选B 选项A中,f′(x)>0且为常数函数；选项C中,f′(x)>0且f′(x)在(x1,x2)内单调递增；选项D中,f′(x)>0且f′(x)在(x1,x2)内先增后减．故选B.3．如图所示的是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象,则在[－2,5]上函数f(x)的递增区间为________．解析：因为在(－1,2)和(4,5]上f′(x)>0,所以f(x)在[－2,5]上的单调递增区间为(－1,2)和(4,5]．答案：(－1,2)和(4,5]对点练二判断(证明)函数的单调性、求函数的单调区间4．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( )A．(－∞,2)B．(0,3)C．(1,4) D．(2,＋∞)解析：选D f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝e x(x－2)．由f′(x)>0得x>2,∴f(x)的单调递增区间是(2,＋∞)．5．函数f (x )＝2x 2－ln x 的递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析：选C 由题意得,函数的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x＝(2x ＋1)(2x －1)x ,令f ′(x )＝(2x ＋1)(2x －1)x >0,解得x >12,故函数f (x )＝2x 2－ln x 的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.故选C. 6．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1),且在x ＝1处的切线方程是y ＝x . (1)求y ＝f (x )的解析式； (2)求y ＝f (x )的单调递增区间．解：(1)∵f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1),∴c ＝1,f ′(x )＝3ax 2＋2bx ,f ′(1)＝3a ＋2b ＝1,切点为(1,1),则f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(1,1),得a ＋b ＋c ＝1,解得a ＝1,b ＝－1,即f (x )＝x 3－x 2＋1.(2)由f ′(x )＝3x 2－2x >0得x <0或x >23,所以单调递增区间为(－∞,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.对点练三 与参数有关的函数单调性问题7．若函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递减,则实数a 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．5解析：选C 函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递减,只需f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立即可,令f ′(x )＝1－12ax －12≤0,解得a ≥2x ,则a ≥4.∴a min ＝4.8．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1,2),则b ＝________,c ＝________.解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ,由题意知－1<x <2是不等式f ′(x )<0的解,即－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根,把－1,2分别代入方程,解得b ＝－32,c ＝－6.答案：－32－69．已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2.讨论f (x )的单调性． 解：f ′(x )＝(x －1)e x＋2a (x －1)＝(x －1)·(e x＋2a )．(1)设a ≥0,则当x ∈(－∞,1)时,f ′(x )<0；当x ∈(1,＋∞)时,f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增．(2)设a <0,由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．①若a ＝－e 2,则f ′(x )＝(x －1)(e x－e),所以f (x )在(－∞,＋∞)上单调递增；②若－e2<a <0,则ln(－2a )<1,故当x ∈(－∞,ln(－2a ))∪(1,＋∞)时,f ′(x )>0；当x∈(ln(－2a ),1)时,f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞,ln(－2a ))∪(1,＋∞)上单调递增,在(ln(－2a ),1)上单调递减；③若a <－e2,则ln(－2a )>1,故当x ∈(－∞,1)∪(ln(－2a ),＋∞)时,f ′(x )>0；当x ∈(1,ln(－2a ))时,f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞,1)∪(ln(－2a ),＋∞)上单调递增,在(1,ln(－2a ))上单调递减．二、综合过关训练1．若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增,则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中具有M 性质的是( )A ．f (x )＝2－xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝3－xD ．f (x )＝cos x解析：选A 对于选项A,f (x )＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ,则e x f (x )＝e x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ,∵e 2＞1,∴e x f (x )在R 上单调递增,∴f (x )＝2－x具有M 性质．对于选项B,f (x )＝x 2,e xf (x )＝e x x 2,[e xf (x )]′＝e x(x 2＋2x ),令e x (x 2＋2x )＞0,得x ＞0或x ＜－2；令e x (x 2＋2x )＜0,得－2＜x ＜0,∴函数e xf (x )在(－∞,－2)和(0,＋∞)上单调递增,在(－2,0)上单调递减,∴f (x )＝x 2不具有M 性质．对于选项C,f (x )＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ,则e x f (x )＝e x·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x ,∵e3＜1, ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在R 上单调递减,∴f (x )＝3－x不具有M 性质．对于选项D,f (x )＝cos x ,e xf (x )＝e xcos x ,则[e x f (x )]′＝e x (cos x －sin x )≥0在R 上不恒成立,故e x f (x )＝e xcos x 在R 上不是单调递增的,∴f (x )＝cos x 不具有M 性质．故选A.2．若函数f (x )＝x －eln x,0<a <e<b ,则下列说法一定正确的是( ) A ．f (a )<f (b ) B ．f (a )>f (b ) C ．f (a )>f (e)D ．f (e)>f (b )解析：选C f ′(x )＝1－e x ＝x －ex,x >0,令f ′(x )＝0,得x ＝e,f (x )在(0,e)上为减函数,在(e,＋∞)上为增函数,所以f (a )>f (e),f (b )>f (e),f (a )与f (b )的大小不确定．3．设f ′(x )是函数f (x )的导函数,将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一直角坐标系中,不可能正确的是( )解析：选D 对于选项A,若曲线C 1为y ＝f (x )的图象,曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象,则函数y ＝f (x )在(－∞,0)内是减函数,从而在(－∞,0)内有f ′(x )<0；y ＝f (x )在(0,＋∞)内是增函数,从而在(0,＋∞)内有f ′(x )>0.因此,选项A 可能正确．同理,选项B 、C 也可能正确．对于选项D,若曲线C 1为y ＝f ′(x )的图象,则y ＝f (x )在(－∞,＋∞)内应为增函数,与C 2不相符；若曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象,则y ＝f (x )在(－∞,＋∞)内应为减函数,与C 1不相符．因此,选项D 不可能正确．4．设f (x ),g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数,且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0,则当a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )解析：选C 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2,又因为f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0,所以f (x )g (x )在R 上为减函数．又因为a <x <b ,所以f (a )g (a )>f (x )g (x )>f (b )g (b ),又因为f (x )>0,g (x )>0,所以f (x )g (b )>f (b )g (x )．5．(2019·北京高考)设函数f (x )＝e x ＋a e －x(a 为常数)．若f (x )为奇函数,则a ＝________；若f (x )是R 上的增函数,则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝e x ＋a e －x(a 为常数)的定义域为R, ∴f (0)＝e 0＋a e －0＝1＋a ＝0,∴a ＝－1.∵f (x )＝e x ＋a e －x ,∴f ′(x )＝e x －a e －x ＝e x－ae x .∵f (x )是R 上的增函数,∴f ′(x )≥0在R 上恒成立, 即e x≥ae x 在R 上恒成立,∴a ≤e 2x在R 上恒成立．又e 2x>0,∴a ≤0,即a 的取值范围是(－∞,0]． 答案：－1 (－∞,0]6．如果函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1,k ＋1)上不是单调函数,则实数k 的取值范围是________．解析：函数f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x.由f ′(x )>0,得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞；由f ′(x )<0,得函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.由于函数在区间(k －1,k ＋1)上不是单调函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0.解得：1≤k <32.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 7．已知函数f (x )＝x ln x .(1)求曲线f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)讨论函数f (x )在区间(0,t ](t >0)上的单调性． 解：(1)f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝ln x ＋1. 曲线f (x )在x ＝1处的切线的斜率为k ＝f ′(1)＝1.把x ＝1代入f (x )＝x ln x 中得f (1)＝0,即切点坐标为(1,0)．所以曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －1.(2)令f ′(x )＝1＋ln x ＝0,得x ＝1e.①当0<t <1e时,在区间(0,t ]上,f ′(x )<0,函数f (x )为减函数．②当t >1e 时,在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上,f ′(x )<0,f (x )为减函数；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，t 上,f ′(x )>0,f (x )为增函数．8．已知函数f (x )＝ln x ,g (x )＝12ax 2＋2x ,a ≠0.若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减,求a 的取值范围．解：h (x )＝ln x －12ax 2－2x ,x ∈(0,＋∞),所以h ′(x )＝1x －ax －2.因为h (x )在[1,4]上单调递减,所以x ∈[1,4]时,h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立,即a ≥1x 2－2x恒成立,令G (x )＝1x 2－2x,则a ≥G (x )max .而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－12－1.因为x ∈[1,4],所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1,所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4),所以a ≥－716.当a ＝－716时,h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x 2－32x 16x ＝(7x －4)(x －4)16x .因为x ∈[1,4],所以h ′(x )＝(7x －4)(x －4)16x ≤0,即h (x )在[1,4]上为减函数． 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.课时跟踪检测（六） 函数的极值与导数一、题组对点训练对点练一 求函数的极值1．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值5,极小值－27 B ．极大值5,极小值－11 C ．极大值5,无极小值D ．极小值－27,无极大值解析：选C 由y ′＝3x 2－6x －9＝0, 得x ＝－1或x ＝3.当x <－1或x >3时,y ′>0； 当－1<x <3时,y ′<0.∴当x ＝－1时,函数有极大值5； 3∉(－2,2),故无极小值．2．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点,则f (x )的极大值、极小值分别为( )A ．427,0 B ．0,427C ．－427,0D ．0,－427解析：选A f ′(x )＝3x 2－2px －q , 由f ′(1)＝0,f (1)＝0,得⎩⎪⎨⎪⎧3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x .由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1,易得当x ＝13时f (x )取极大值427,当x ＝1时f (x )取极小值0.3．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ,其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示,则下列说法中不正确的序号是________． ①当x ＝32时,函数取得极小值；②f (x )有两个极值点； ③当x ＝2时,函数取得极小值； ④当x ＝1时,函数取得极大值．解析：由题图知,当x ∈(－∞,1)时,f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时,f ′(x )<0；当x ∈(2,＋∞)时,f ′(x )>0,所以f (x )有两个极值点,分别为1和2,且当x ＝2时函数取得极小值,当x ＝1时函数取得极大值．只有①不正确．答案：①对点练二 已知函数的极值求参数4．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2,则a ,b 的值分别为( )A ．1,－3B ．1,3C ．－1,3D ．－1,－3解析：选A f ′(x )＝3ax 2＋b , 由题意知f ′(1)＝0,f (1)＝－2,∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2，∴a ＝1,b ＝－3.5．若函数f (x )＝x 2－2bx ＋3a 在区间(0,1)内有极小值,则实数b 的取值范围是( ) A ．b <1 B ．b >1 C ．0<b <1 D ．b <12解析：选C f ′(x )＝2x －2b ＝2(x －b ),令f ′(x )＝0,解得x ＝b ,由于函数f (x )在区间(0,1)内有极小值,则有0<b <1.当0<x <b 时,f ′(x )<0；当b <x <1时,f ′(x )>0,符合题意．所以实数b 的取值范围是0<b <1.6．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值,则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2),∵函数f (x )既有极大值又有极小值,∴方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根,∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)>0.即a 2－a －2>0,解之得a >2或a <－1.答案：(－∞,－1)∪(2,＋∞) 对点练三 函数极值的综合问题7．设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ,a ∈R. (1)令g (x )＝f ′(x ),求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值,求实数a 的取值范围． 解：(1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a , 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ,x ∈(0,＋∞)． 则g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x.当a ≤0时,x ∈(0,＋∞)时,g ′(x )>0,函数g (x )单调递增；当a >0时,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时,g ′(x )>0,函数g (x )单调递增,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时,函数g (x )单调递减．所以当a ≤0时,g (x )的单调增区间为(0,＋∞)； 当a >0时,g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ,单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞. (2)由(1)知,f ′(1)＝0.。
高三数学(理)复习学案： 对数与对数函数(含答案)
例2
解题导引 比较对数式的大小或证明等式问题是对数中常见题 型，解决此类问题的方法很多，①当底数相同时，可直接利用对数函数
的单调性比较；②若底数不同，真数相同，可转化为同底(利用换底公 式)或利用对数函数图象，数形结合解得；③若不同底，不同真数，则 可利用中间量进行比较． 解 (1)①∵log3<log31＝0， 而log5>log51＝0，∴log3<log5. ②方法一 ∵0<0.7<1,1.1<1.2， ∴0>log0.71.1>log0.71.2. ∴<， 由换底公式可得log1.10.7<log1.20.7.
(满分：75分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2010·北京市丰台区高三一调)设M＝{y|y＝()x，x∈[0，＋ ∞)}，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，则集合M∪N等于 ( ) A．(－∞，0)∪[1，＋∞) B．[0，＋∞)
则
探究点一 对数式的化简与求值
例1
计算：(1)； (2)lg－lg＋lg；
(3)已知2lg＝lg x＋lg y，求.
变式迁移1 计算： (1)log2＋log212－log242－1； (2)(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25.
探究点二 含对数式的大小比较
例2
(1)比较下列各组数的大小． ①log3与log5； ②log1.10.7与log1.20.7. (2)已知logb<loga<logc，比较2b,2a,2c的大小关系．
③logaMn＝__________(n∈R)； ④＝logaM. 3．对数函数的图象与性质 a>1
0<a<1
图 象
(1)定义域：______ (2)值域：______ (3)过点______，即x＝____时，y＝____ 性 质 (4)当x>1时，______ 当0<x<1时，______ (6)是(0，＋∞)上的______函数 (5)当x>1时， ______当0<x<1 时，______ (7)是(0，＋∞) 上的______函数
2019届高考数学一轮复习 课时跟踪检测(十)对数与对数函数 理(普通高中).doc
2019届高考数学一轮复习 课时跟踪检测（十）对数与对数函数 理（普通高中）A 级——基础小题练熟练快 1．函数y ＝log 3x －＋1的定义域是( )A ．[1,2]B ．[1,2)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧log 3x －＋1≥0，2x －1＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧log 3x －313，x ＞12，解得x ≥23.2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B.12x C ．log 12xD ．2x －2解析：选A 由题意知f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)， ∵f (2)＝1，∴log a 2＝1，∴a ＝2. ∴f (x )＝log 2x .3．如果log 12x <log 12y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x解析：选D ∵log 12x <log 12y <log 121，∴x >y >1.4．若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |0＜y ≤1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )解析：选A 由函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |0＜y ≤1}，知0＜a ＜1，由此可知y ＝log a |x |的图象大致是A.5．设函数f (x )＝log a |x |(a >0，且a ≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( )A ．f (a ＋1)>f (2)B ．f (a ＋1)<f (2)C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定解析：选A 由已知得0<a <1，所以1<a ＋1<2，又易知函数f (x )为偶函数，故可以判断f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (2)．6．(2018·郑州模拟)已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，若f (a )＝12，则f (－a )＝( )A ．2B ．－2 C.12D ．－12解析：选D ∵f (x )＝lg 1－x1＋x 的定义域为－1<x <1，∴f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x1＋x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，∴f (－a )＝－f (a )＝－12.7．lg 2＋lg 5＋20＋⎝⎛⎭⎫5132×35＝________. 解析：原式＝lg 10＋1＋523×513＝32＋5＝132.答案：1328．已知函数f (x )＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则log b a ＝________.解析：f (x )的图象过两点(－1,0)和(0,1)． 则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0， 且f (0)＝log a (0＋b )＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －1＝1，b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝2.所以log b a ＝1.答案：19．(2018·安徽两校阶段性测试)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝2x，则f (log 49)＝________.解析：因为log 49＝log 23＞0，又f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝2x，所以f (log 49)＝f (log 23)＝－22log 3－＝－21log23＝－13.答案：－1310．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·log 2x ，则f (2)＝ ________.解析：因为f (x )＝1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·log 2x ， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·log 212，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，所以f (x )＝1＋12log 2x ，所以f (2)＝1＋12log 22＝32.答案：32B 级——中档题目练通抓牢1．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 227－log 233，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b ＜cB ．a ＝b ＞cC ．a ＜b ＜cD ．a ＞b ＞c解析：选 B 因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23＞1，b ＝log 227－log 233＝log 233＝a ，c ＝log 32＜log 33＝1，所以a ＝b >c .2.已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1,0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1,0<c <1解析：选D 由对数函数的性质得0＜a ＜1，因为函数y ＝log a (x ＋c )的图象在c ＞0时是由函数y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，所以根据题中图象可知0＜c ＜1.3．若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32x (a ＞0，且a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内恒有f (x )＞0，则f (x )的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析：选A 令M ＝x 2＋32x ，则M >0，所以x ＞0或x ＜－32.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )＞0，所以a ＞1，又M ＝x 2＋32x 图象的对称轴为x ＝－34，且开口向上，故由复合函数的单调性知，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．4．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________.解析：因为2a ＝5b＝m ， 所以a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，所以1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，所以m 2＝10，m ＝10.答案：105．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12－x ，x ＜0，若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是________________．解析：由f (a )＞f (－a )得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞log 12a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 12－a ＞log 2－a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－log 2－a ＞log 2－a解得a ＞1或－1＜a ＜0. 答案：(－1,0)∪(1，＋∞)6．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值． 解：(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a ＞0，且a ≠1)， ∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得－1＜x ＜3，∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 7．已知函数f (x )＝log a (a 2x＋t )，其中a ＞0且a ≠1. (1)当a ＝2时，若f (x )＜x 无解，求t 的取值范围；(2)若存在实数m ，n (m ＜n )，使得x ∈[m ，n ]时，函数f (x )的值域也为[m ，n ]，求t 的取值范围．解：(1)∵log 2(22x＋t )＜x ＝log 22x ，∴22x ＋t ＜2x 无解，等价于22x ＋t ≥2x恒成立，即t ≥－22x＋2x＝g (x )恒成立，即t ≥g (x )max ，∵g (x )＝－22x ＋2x＝－⎝⎛⎭⎪⎫2x －122＋14，∴当2x＝12，即x ＝－1时，g (x )取得最大值14，∴t ≥14，故t 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞. (2)由题意知f (x )＝log a (a 2x＋t )在[m ，n ]上是单调增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f m ＝m ，fn ＝n ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2m ＋t ＝a m，a 2n ＋t ＝a n，问题等价于关于k 的方程a 2k －a k＋t ＝0有两个不相等的实根，令a k＝u ＞0，则问题等价于关于u 的二次方程u 2－u ＋t ＝0在u ∈(0，＋∞)上有两个不相等的实根，即⎩⎪⎨⎪⎧ u 1＋u 2＞0，u 1·u 2＞0，Δ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧t ＞0，t ＜14，得0＜t ＜14.∴t 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14. C 级——重难题目自主选做1．(2018·广东省级名校模拟)已知函数f (x )＝(e x－e－x)x ，f (log 5x )＋f (log 15x )≤2f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1 B ．[1,5]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，5 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，15∪[5，＋∞) 解析：选C ∵f (x )＝(e x－e －x)x ，∴f (－x )＝－x (e －x－e x )＝(e x －e －x)x ＝f (x )， ∴函数f (x )是偶函数．∵f ′(x )＝(e x－e －x)＋x (e x ＋e －x)＞0在(0，＋∞)上恒成立． ∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．∵f (log 5x )＋f (log 15x )≤2f (1)，∴2f (log 5x )≤2f (1)，即f (log 5x )≤f (1)， ∴|log 5x |≤1，∴15≤x ≤5.故选C.2．(2018·沈阳质检)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0＜m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________.解析：f (x )＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 3x ，0＜x ＜1，log 3x ，x ≥1，所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0＜m ＜n 且f (m )＝f (n )，可得⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，n ＞1，log 3n ＝－log 3m ，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，n ＞1，mn ＝1，所以0＜m 2＜m ＜1，则f (x )在[m 2,1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，所以f (m 2)＞f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3，所以nm＝9.答案：9。
人教版高中数学配套课时作业(三维设计版)课时跟踪检测(十六) 对数的运算
课时跟踪检测（十六） 对数的运算层级一 学业水平达标1.log 29log 23＝( ) A.12 B ．2 C.32 D.92 解析：选B 原式＝log 29log 23＝log 232log 23＝2.2．2log 510＋log 50.25＝( )A ．0B ．1C ．2 D. 4 解析：选C 原式＝log 5102＋log 50.25＝log 5(102×0.25)＝log 525＝2. 3．若a ＞0，且a ≠1，则下列说法正确的是( ) A ．若M ＝N ，则log a M ＝log a N B ．若log a M ＝log a N ，则M ＝N C ．若log a M 2＝log a N 2，则M ＝ND ．.若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2解析：选B 在A 中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立，故A 错误；在B 中，当log a M ＝log a N 时，必有M ＞0，N ＞0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立，故B 正确；在C 中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但未必有M ＝N ，例如M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N ，故C 错误；在D 中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立，故D 错误．4．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( ) A ．a －2 B ．3a －(1＋a )2 C ．5a －2D ．－a 2＋3a －1解析：选A ∵a ＝log 32，∴log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 5．计算log 225·log 322·log 59的结果为( )A ．3B ．4C ．5 D.6解析：选D 原式＝lg 25lg 2·lg 22lg 3·lg 9lg 5＝2lg 5lg 2·32lg 2lg 3·2lg 3lg 5＝6.6．已知a 2＝1681(a ＞0)，则log 23a ＝________.解析：由a 2＝1681(a ＞0)得a ＝49，所以log 2349＝log 23⎝⎛⎭⎫23 2＝2. 答案：27．lg 5＋lg 20的值是________． 解析：lg 5＋lg 20＝lg 100＝lg 10＝1. 答案：18．若log a b ·log 3a ＝4，则b 的值为________． 解析：log a b ·log 3a ＝lg b lg a ·lg a lg 3＝lg blg 3＝4， 所以lg b ＝4lg 3＝lg 34，所以b ＝34＝81. 答案：819．用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式： (1)lg(xyz )； (2)lg xy 2z ；(3)lg xy 3z；(4)lgxy 2z . 解：(1)lg (xyz )＝lg x ＋lg y ＋lg z . (2)lg xy 2z ＝lg(xy 2)－lg z ＝lg x ＋2lg y －lg z . (3)lg xy 3z ＝lg(xy 3)－lg z＝lg x ＋3lg y －12lg z .(4)lgxy 2z ＝lg x －lg (y 2z )＝12lg x －2lg y －lg z . 10．求下列各式的值： (1)2log 525＋3log 264； (2)lg(3＋5＋3－5)； (3)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2.解：(1)∵2log 525＝2log 552＝4log 55＝4， 3log 264＝3log 226＝18log 22＝18， ∴2log 525＋3log 264＝4＋18＝22. (2)原式＝12lg(3＋5＋3－5)2＝12lg(3＋5＋3－5＋29－5)＝12lg 10＝12. (3)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2 ＝(lg 5)2－(lg 2)2＋2lg 2 ＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2 ＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.层级二 应试能力达标1．若log 5 13·log 36·log 6x ＝2，则x 等于( )A ．9 B.19 C ．25 D.125解析：选D 由换底公式，得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lg x lg 6＝2，lg x ＝－2lg 5，x ＝5－2＝125. 2．若ab ＞0，给出下列四个等式： ①lg(ab )＝lg a ＋lg b ； ②lg ab ＝lg a －lg b ； ③12lg ⎝⎛⎭⎫a b 2＝lg a b ； ④lg(ab )＝1log ab 10.其中一定成立的等式的序号是( ) A ．①②③④ B ．①② C ．③④D ．③解析：选D ∵ab ＞0，∴a ＞0，b ＞0或a ＜0，b ＜0，∴①②中的等式不一定成立；∵ab ＞0，∴a b ＞0，12lg ⎝⎛⎭⎫a b 2＝12×2lg a b ＝lg a b ，∴③中等式成立；当ab ＝1时，lg(ab )＝0，但log ab 10无意义，∴④中等式不成立．故选D.3．若lg x －lg y ＝t ，则lg ⎝⎛⎭⎫x 2 3－lg ⎝⎛⎭⎫y2 3＝( ) A ．3t B.32t C ．tD.t 2解析：选A lg ⎝⎛⎭⎫x 2 3－lg ⎝⎛⎭⎫y 2 3＝3lg x 2－3lg y 2＝3lg xy ＝3(lg x －lg y )＝3t .4．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1y ＝( )A. 13 B ．3 C ．－13D ．－3解析：选A ∵x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000， ∴1x ＝1log 2.51 000＝log 1 0002.5，同理1y ＝log 1 0000.25，∴1x －1y ＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝lg 10lg 1 000＝13.5.lg 3＋2lg 2－1lg 1.2＝________.解析：lg 3＋2lg 2－1lg 1.2＝lg 3＋lg 22－1lg 1.2＝lg 12－1lg 1.2＝lg1210lg 1.2＝lg 1.2lg 1.2＝1.答案：16．若lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则xy ＝________.解析：因为lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，x －2y ＞0，xy ＝(x －2y )2.由xy ＝(x －2y )2，知x 2－5xy ＋4y 2＝0，所以x ＝y 或x ＝4y .又x ＞0，y ＞0且x －2y ＞0， 所以舍去x ＝y ，故x ＝4y ，则xy ＝4.答案：47．计算下列各式的值： (1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514；(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64.解：(1)原式＝log 535＋log 550－log 514＋2log 12212＝log 535×5014＋log 122＝log 553－1＝2.(2)原式＝[(log 66－log 63)2＋log 62·log 6(2×32)]÷log 64＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫log 6632＋log 62·(log 62＋log 632)÷log 622＝[(log 62)2＋(log 62)2＋2log 62·log 63]÷2log 62 ＝log 62＋log 63＝log 6(2×3)＝1.8．若a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值． 解：原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0. 设t ＝lg x ，则方程化为2t 2－4t ＋1＝0， ∴t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝12.又∵a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根， ∴t 1＝lg a ，t 2＝lg b ， 即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12.∴lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝(lg a ＋lg b )·⎝⎛⎭⎫lg b lg a ＋lg a lg b ＝(lg a ＋lg b )·(lg b )2＋(lg a )2lg a ·lg b＝(lg a ＋lg b )·(lg a ＋lg b )2－2lg a ·lg blg a ·lg b＝2×22－2×1212＝12，即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12.。
高2020届高2017级高考理科数学总复习全套作业课时跟踪练(七十七)
课时跟踪练(七十七)A组基础巩固1.某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型,并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间(x个月)和市场占有率(y%)的几组相关对应数据：(1)x的线性回归方程；(2)根据(1)得到的回归方程,分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势,并预测自上市起经过多少个月,该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%(精确到月).附：b^＝,a^＝y－－b x－.解：(1)由数据表知x－＝3,y－＝0.1,代入计算b^＝0.042,a^＝－0.026.所以线性回归方程为y^＝0.042x－0.026.(2)由(1)中回归方程可知,上市时间与市场占有率正相关,即上市时间每增加1个月,市场占有率就增加0.042个百分点.由y^＝0.042x－0.026>0.5,解得x≥13.预计上市13个月时,该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%.2.(2019·豫南九校联考)为创建国家级文明城市,某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”,该城市某出租车公司共200名司机,他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示：(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数； (2)从这200名司机中任选两人,设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X ,求X 的分布列及数学期望.解：(1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人, 送考2次的有100人,送考3次的有80人,所以该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为20×1＋100×2＋80×3200＝2.3.(2)从该公司任选两名司机,记“这两人中一人送考1次,另一人送考2次”为事件A ,“这两人中一人送考2次,另一人送考3次”为事件B , “这两人中一人送考1次,另一人送考3次”为事件C , “这两人送考次数相同”为事件D , 由题意知X 的所有可能取值为0,1,2,P (X ＝1)＝P (A )＋P (B )＝C 120C 1100C 2200＋C 1100C 180C 2200＝100199,P (X ＝2)＝P (C )＝C 120C 180C 2200＝16199,P (X ＝0)＝P (D )＝C 220＋C 2100＋C 280C 2200＝83199,所以X 的分布列为E(X)＝0×83199＋1×100199＋2×16199＝132199.3.(2018·天津卷)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望；②设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.解：(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.(2)①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝k)＝C k4·C3－k3C37(k＝0,1,2,3).所以随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)＝0×135＋1×1235＋2×1835＋3×435＝127.②设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A＝B∪C,且B与C互斥.由①知,P(B)＝P(X＝2),P(C)＝P(X＝1),故P(A)＝P(B∪C)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＝6 7.所以事件A发生的概率为6 7.4.(2019·珠海模拟)某兴趣小组进行“野岛生存”实践活动,他们设置了200个取水敞口箱.其中100个采用A种取水法,100个采用B种取水法.如图1为A种方法一个夜晚操作一次100个水箱积取淡水量频率分布直方图,图2为B种方法一个夜晚操作一次100个水箱积取淡水量频率分布直方图.(1)设两种取水方法互不影响,设M表示事件“A法取水箱积水量不低于1.0 kg,B法取水箱积水量不低于1.1 kg”,以样本估计总体,以频率分布直方图中的频率为概率,估计M的概率；(2)填写下面2×2列联表,并判断是否有99%的把握认为箱积水量与取水方法有关..附：K2＝（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）解：(1)设E,“B法取水箱积水量不低于 1.1 kg”为事件F,P(E)＝(2＋1＋0.3)×0.1＝0.33,P(F)＝(5＋3＋0.2＋0.1)×0.1＝0.83,P(M)＝P(EF)＝P(E)·P(F)＝0.33×0.83＝0.273 9,故估计M发生的概率为0.273 9.(2)2×2列联表如下：＝K2＝（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）200×（87×83－13×17）2≈98.157>6.635,100×100×104×96所以有99%的把握认为箱积水量与取水方法有关.B组素养提升5.(2019·化州模拟)中石化集团获得了某地深海油田块的开采权,集团在该地区随机初步勘探了几口井,取得了地质资料.进入全面勘探时期后,集团按网络点来布置井位进行全面勘探.由于勘探一口井的费用很高,如果新设计的井位与原有井位重合或接近,便利用旧井的地质资料,不必打这口新井,以节约勘探费用,勘探初期数据资料见下表：求得回归直线方程为y＝6.5x＋a,求a,并估计y的预报值；(2)现准备勘探新井7(1,25),若通过1、3、5、7号井计算出的b^,a^的值(b^,a^精确到0.01)与(1)中b,a的值差不超过10%,则使用位置最接近的已有旧井6(1,y),否则在新位置打开,请判断可否使用旧井？参考公式和计算结果：b^＝a^=y—-b^x－,.(3)设出油量与勘探深度的比值k不低于20的勘探井称为优质井,那么在原有6口井中任意勘探4口井,求勘探优质井数X的分布列与数学期望.解：(1)利用前5组数据得到x－＝15×(2＋4＋5＋6＋8)＝5,y－＝15×(30＋40＋60＋50＋70)＝50,因为y＝6.5x＋a,所以a＝50－6.5×5＝17.5,所以回归直线方程为y＝6.5x＋17.5,当x＝1时,y＝6.5＋17.5＝24,所以y的预报值为24.(2)利用1、3、5、7号井的数据得x－＝2＋5＋8＋14＝4,y－＝30＋60＋70＋254＝46.25,又＝94,x2i－1 y2i－1＝945所以b^＝＝945－4×4×46.2594－4×42≈6.83,又因为a^＝y－－b^x－,所以a^＝46.25－6.83×4＝18.93,又b＝6.5,a＝17.5,所以b^－bb≈5%,a^－aa≈8%,均不超过10%,所以可使用位置最接近的已有旧井6(1,24).(3)由题意,1、3、5、6这4口井是优质井,2,4这两口井是非优质井,所以勘察优质井数X的可能取值为2,3,4,由P(X＝k)＝C k4C4－k2C46(k＝2,3,4),可得P(X＝2)＝25,P(X＝3)＝815,P(X＝4)＝115.所以X的分布列为E (X )＝2×25＋3×815＋4×115＝83.6.(2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ,μ＋3σ)之外的零件数,求P (X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ－3σ,μ＋3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性； (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得x －＝116x i ＝9.97,s ＝＝)≈0.212,其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸,i ＝1,2, (16)用样本平均数x －作为μ的估计值μ^,用样本标准差s 作为σ的估计值σ^,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查.剔除(μ^－3σ^,μ^＋3σ^)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附：若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ－3σ<Z＜μ＋3σ)＝0.997 4,0.997 416≈0.959 2,0.008≈0.09.解：(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ,μ＋3σ)之内的概率为0.997 4,从而零件的尺寸在(μ－3σ,μ＋3σ)之外的概率为0.002 6,故X～B(16,0.002 6).因此P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8.X的数学期望为E(X)＝16×0.002 6＝0.041 6.(2)(ⅰ)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ－3σ,μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(μ－3σ,μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8,发生的概率很小,因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ⅱ)由x－＝9.97,s≈0.212,得μ的估计值为μ^＝9.97,σ的估计值为σ^＝0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^,μ^＋3σ^)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(μ^－3σ^,μ^＋3σ^)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为1 15×(16×9.97－9.22)＝10.02.因此μ的估计值为10.02.x2i＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134,剔除(μ^－3σ^,μ^＋3σ^)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为1 15×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008,因此σ的估计值为0.008≈0.09.。
高2020届高2017级三维设计一轮复习理科数学第二章第一节函数及其表示
2．下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是
(B )
A．y＝( x＋1)2
B．y＝3 x3＋1
C．y＝xx2＋1 解析：对于A，函数y＝(
D．y＝ x2＋1 x＋1 )2的定义域为{x|x≥－1}，与函
数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对
应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y＝
(× ) (× )
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二、选填题
1．下列图形中可以表示为以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N
＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是
(C )
解析：A选项，函数定义域为M，但值域不是N，B选项，函 数定义域不是M，值域为N，D选项，集合M中存在x与集合N 中的两个y对应，不能构成函数关系．故选C.
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则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． (4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法．
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(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数． (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段 值域的并集． (3)各段函数的定义域不可以相交.
3．分段函数❸ 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有 着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
x2 x
＋1的定义域
为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对
于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选B.
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3．函数f(x)＝ 2x－1＋x－1 2的定义域为__[_0_,2_)_∪__(2_，__＋__∞__)_． 解析：由题意得2xx－－21≠≥00，， 解得x≥0且x≠2.
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(3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
【2022 高考数学一轮复习(三维设计)】课时过关检测(十) 对数与对数函数
课时过关检测（十） 对数与对数函数A 级——基础达标1．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B.12x C ．log 12xD ．2x －2解析：选A f (x )＝log a x ，∵f (2)＝1，∴log a 2＝1. ∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x .2．(2021·陕西汉中重点中学第一次联考)若log 2x ＋log 4y ＝1，则( ) A ．x 2y ＝2 B ．x 2y ＝4 C ．xy 2＝2D ．xy 2＝4解析：选B log 2x ＋log 4y ＝log 2x ＋12log 2y ＝log 2x ＋log 2y 12＝log 2(xy 12)＝1，所以xy 12＝2，两边平方得x 2y ＝4.故选B.3．设0<a <1，在同一直角坐标系中，函数y ＝a－x与y ＝log a (－x )的大致图象是( )解析：选B 因为0<a <1，所以y ＝a－x为增函数，过点(0,1)；y ＝log a (－x )为增函数，过点(－1,0)，综上可知，B 选项符合题意，故选B.4．若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2＋32x (a ＞0，且a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞内恒有f (x )＞0，则f (x )的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析：选A 令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，恒有f (x )＞0，所以a ＞1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝⎛⎭⎫x ＋342－916， 所以M 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－34，＋∞. 又x 2＋32x ＞0，所以x ＞0或x ＜－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)． 5．(多选)(2021·淄博模拟)设0<a <1，则( )6．(多选)(2021·济南质检)在同一坐标系中，f (x )＝kx ＋b 与g (x )＝log b x 的图象如图，则下列关系不正确的是( )A ．k ＜0,0＜b ＜1B ．k ＞0，b ＞1C ．f ⎝⎛⎭⎫1x g (1)＞0(x ＞0)D ．x ＞1时，f (x )－g (x )＞0解析：选ABC 由直线方程可知，k ＞0,0＜b ＜1，故A 、B 不正确；而g (1)＝0，故C 不正确；当x ＞1时，g (x )＜0，f (x )＞0，所以f (x )－g (x )＞0，故D 正确．7．计算：lg 427－lg 823＋lg 75＝________.解析：原式＝lg 4＋12lg 2－lg 7－23lg 8＋lg 7＋12 lg 5＝2lg 2＋12(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝12.答案：128．(2021·百校联盟联考)若函数f (x )＝log a (x ＋2)＋2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点M ，则点M 的坐标为________．解析：当x ＋2＝1，即x ＝－1时，f (－1)＝log a (－1＋2)＋2＝2，∴点M 的坐标为(－1,2)． 答案：(－1,2)9．已知函数f (x )＝log a (－x ＋1)(a >0且a ≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]，则实数a ＝________.解析：函数f (x )＝log a (－x ＋1)(a >0且a ≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]．当a >1时，f (x )＝log a (－x ＋1)在[－2,0]上单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝log a 3＝0，f (0)＝log a 1＝－1无解；当0<a <1时，f (x )＝log a (－x ＋1)在[－2,0]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝log a 3＝－1，f (0)＝log a 1＝0，解得a ＝13.答案：1310．已知函数f (x )＝－log 2x ，则下列四个结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①函数f (|x |)为偶函数；②若f (a )＝|f (b )|，其中a >0，b >0，a ≠b ，则ab ＝1；③函数f (－x 2＋2x )在(1,3)上单调递增．解析：对于①，f (|x |)＝－log 2|x |，f (|－x |)＝－log 2|－x |＝－log 2|x |＝f (|x |)，所以函数f (|x |)为偶函数，故①正确；对于②，若f (a )＝|f (b )|，其中a >0，b >0，a ≠b ，则f (a )＝|f (b )|＝－f (b )，即－log 2a ＝log 2b ，即log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ＝0，得到ab ＝1，故②正确；对于③，函数f (－x 2＋2x )＝－log 2(－x 2＋2x )，由－x 2＋2x >0，解得0<x <2，所以函数f (－x 2＋2x )的定义域为(0,2)，因此在(1,3)上不具有单调性，故③错误．答案：①②11．已知函数f (x －3)＝log a x6－x (a >0，且a ≠1)．(1)求f (x )的解析式；(2)判断f (x )的奇偶性，并说明理由．解：(1)令x －3＝u ，则x ＝u ＋3，于是f (u )＝log a 3＋u3－u(a >0，a ≠1，－3<u <3)， 所以f (x )＝log a 3＋x3－x(a >0，a ≠1，－3<x <3)．(2)因为f (－x )＋f (x )＝log a 3－x 3＋x ＋log a 3＋x3－x ＝log a 1＝0，所以f (－x )＝－f (x )，又定义域(－3,3)关于原点对称． 所以f (x )是奇函数．12．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求实数a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值． 解：(1)因为f (1)＝2，所以log a 4＝2(a >0，a ≠1)， 所以a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得－1<x <3. 所以函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， 所以当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. B 级——综合应用13．(2020·全国卷Ⅱ)若2x －2y <3－x －3－y ，则( ) A ．ln(y －x ＋1)>0 B ．ln(y －x ＋1)<0 C ．ln|x －y |>0D ．ln|x －y |<0解析：选A 由2x －2y <3－x －3－y ，得2x －3－x <2y －3－y ，即2x －⎝⎛⎭⎫13x <2y －⎝⎛⎭⎫13y .设f (x )＝2x －⎝⎛⎭⎫13x ，则f (x )<f (y )．因为函数y ＝2x在R 上为增函数，y ＝－⎝⎛⎭⎫13x 在R 上为增函数，所以f (x )＝2x －⎝⎛⎭⎫13x 在R 上为增函数，则由f (x )<f (y )，得x <y ，所以y －x >0，所以y －x ＋1>1，所以ln(y －x ＋1)>0，故选A.14．(多选)(2021·济宁模拟)关于函数f (x )＝ln 1－x1＋x，下列说法中正确的有( ) A ．f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．f (x )为奇函数C ．f (x )在定义域上是增函数D ．对任意x 1，x 2∈(－1,1)，都有f (x 1)＋f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 21＋x 1x 2解析：选BD 函数f (x )＝ln1－x1＋x＝ln ⎝⎛⎭⎫21＋x －1，其定义域满足(1－x )(1＋x )＞0，解得－1＜x ＜1， ∴定义域为{x |－1＜x ＜1}．∴A 错误； 由f (－x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－ln 1－x 1＋x ＝－f (x )，是奇函数，∴B 正确；函数y ＝21＋x－1在定义域内是减函数，根据复合函数的单调性同增异减， ∴f (x )在定义域内是减函数，∴C 错误； f (x 1)＋f (x 2)＝ln1－x 11＋x 1＋ln 1－x 21＋x 2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 11＋x 1×1－x 21＋x 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 21＋x 1x 2，∴D 正确．15．已知函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫12x ＋a .(1)若函数f (x )是R 上的奇函数，求a 的值；(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，求a 的取值范围；(3)若函数f (x )在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a 的取值范围． 解：(1)若函数f (x )是R 上的奇函数，则f (0)＝0， 所以log 2(1＋a )＝0，所以a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝－x 是R 上的奇函数． 所以a ＝0.(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，则12x ＋a ＞0恒成立．即a ＞－12x 恒成立，由于－12x ∈(－∞，0)，故只要a ≥0，则a 的取值范围是[0，＋∞)．(3)由已知得函数f (x )是减函数，故f (x )在区间[0,1]上的最大值是f (0)＝log 2(1＋a )，最小值是f (1)＝log 2⎝⎛⎭⎫12＋a .由题设得log 2(1＋a )－log 2⎝⎛⎭⎫12＋a ≥2， 则log 2(1＋a )≥log 2(4a ＋2)．所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ≥4a ＋2，4a ＋2＞0，解得－12＜a ≤－13.故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－12，－13. C 级——迁移创新16．函数f (x )的定义域为D ，若满足①f (x )在D 内是单调函数；②存在[a ，b ]⊆D 使f (x )在[a ，b ]上的值域为⎣⎡⎦⎤a 2，b 2，那么就称y ＝f (x )为“半保值函数”，若函数f (x )＝log a (a x ＋t 2)(a ＞0且a ≠1)是“半保值函数”，求t 的取值范围．。
高2020届高2017级三维设计一轮复习理科数学课时跟踪检测(六十六)随机事件的概率
课时跟踪检测（六十六） 随机事件的概率一、题点全面练1.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”B.“至少有一个黑球”与“都是红球”C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”试题解析：选D A 中的两个事件是包含关系,不是互斥事件；B 中的两个事件是对立事件；C 中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件,不是互斥关系；D 中的两个事件是互斥而不对立的关系.2.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为17,都是白子的概率为1235.则从中任意取出2粒恰好是同一颜色的概率为( )A.17 B.1235 C.1735D.1试题解析：选C 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ,“从中取出2粒都是白子”为事件B ,“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ,则C ＝A ∪B ,且事件A 与B 互斥.所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735,即任意取出2粒恰好是同一颜色的概率为1735.3.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,在正常生产情况下,出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%,则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )A.0.95B.0.97C.0.92D.0.08试题解析：选C 记抽检的产品是甲级品为事件A ,是乙级品为事件B ,是丙级品为事件C ,这三个事件彼此互斥,因而所求概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝92%＝0.92.4.抛掷一个质地均匀的骰子的试验,事件A 表示“小于5的偶数点出现”,事件B 表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A ＋B 发生的概率为( )A.13 B.12 C.23D.56试题解析：选C 掷一个骰子的试验有6种可能结果,依题意P (A )＝26＝13,P (B )＝46＝23,所以P (B )＝1－P (B )＝1－23＝13,因为B 表示“出现5点或6点”的事件,所以事件A 与B 互斥,从而P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝13＋13＝23.5.抛掷一枚质地均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点)一次,观察掷出向上的点数,设事件A 为掷出向上为偶数点,事件B 为掷出向上为3点,则P (A ∪B )＝( )A.13B.23C.12D.56试题解析：选B 事件A 为掷出向上为偶数点,所以P (A )＝12.事件B 为掷出向上为3点,所以P (B )＝16.又事件A ,B 是互斥事件, 所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝23.6.若随机事件A ,B 互斥,A ,B 发生的概率均不等于0,且P (A )＝2－a ,P (B )＝4a －5,则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫54，2B.⎝⎛⎭⎫54，32 C.⎣⎡⎦⎤54，32D.⎝⎛⎦⎤54，43试题解析：选D 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧0＜P (A )＜1，0＜P (B )＜1，P (A )＋P (B )≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜2－a ＜1，0＜4a －5＜1，3a －3≤1，解得54＜a ≤43.7.若A ,B 为互斥事件,P (A )＝0.4,P (A ∪B )＝0.7,则P (B )＝________. 试题解析：∵A ,B 为互斥事件, ∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B ),∴P (B )＝P (A ∪B )－P (A )＝0.7－0.4＝0.3. 答案：0.38.已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05,则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为________,________.试题解析：断头不超过两次的概率P 1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.于是,断头超过两次的概率P 2＝1－P 1＝1－0.97＝0.03.答案：0.97 0.039.“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利,却习惯在网络上大放厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中,有14人持认可态度,其余持反对态度,若该地区有9 600人,则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有________人.试题解析：在随机抽取的50人中,持反对态度的频率为1－1450＝1825,则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有9 600×1825＝6 912(人).答案：6 91210.一只袋子中装有7个红玻璃球,3个绿玻璃球,从中无放回地任意抽取两次,每次只取一个,取得两个红玻璃球的概率为715,取得两个绿玻璃球的概率为115,则取得两个同色玻璃球的概率为________；至少取得一个红玻璃球的概率为________.试题解析：由于“取得两个红玻璃球”与“取得两个绿玻璃球”是互斥事件,取得两个同色玻璃球,只需两互斥事件有一个发生即可,因而取得两个同色玻璃球的概率为P ＝715＋115＝815.由于事件A “至少取得一个红玻璃球”与事件B “取得两个绿玻璃球”是对立事件,则至少取得一个红玻璃球的概率为P (A )＝1－P (B )＝1－115＝1415. 答案：815 141511.(2019·湖北七市联考)某电子商务公司随机抽取1 000名网络购物者进行调查.这1 000名购物者2018年网上购物金额(单位：万元)均在区间[0.3,0.9]内,样本分组为：[0.3,0.4),[0.4,0.5),[0.5,0.6),[0.6,0.7),[0.7,0.8),[0.8,0.9],购物金额的频率分布直方图如下：电子商务公司决定给购物者发放优惠券,其金额(单位：元)与购物金额关系如下：(2)以这1 000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率,求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率.解：(1)购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如下表：这11 000(50×400＋100×300＋150×280＋200×20)＝96.(2)由获得优惠券金额y与购物金额x的对应关系及(1)知P(y＝150)＝P(0.6≤x＜0.8)＝0.28,P(y＝200)＝P(0.8≤x≤0.9)＝0.02,从而,获得优惠券金额不少于150元的概率为P(y≥150)＝P(y＝150)＋P(y＝200)＝0.28＋0.02＝0.3.12.某保险公司利用简单随机抽样方法对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4 000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4 000元的概率.解：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”,B表示事件“赔付金额为4 000元”,以频率估计概率得P(A)＝1501 000＝0.15,P(B)＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元,赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元,所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”,由已知,可得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆),而赔付金额为4 000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×120＝24(辆),所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24,由频率估计概率得P(C)＝0.24.二、专项培优练(一)交汇专练——融会巧迁移1.[与数学文化交汇]我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( )A.134石B.169石C.338石D.1 365石试题解析：选B 这批米内夹谷约为28254×1 534≈169石,故选B .2.[与数列交汇]现有10个数,它们能构成一个以1为首项,－3为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是( )A.35B.12C.310D.15试题解析：选A 由题意得a n ＝(－3)n －1,易知前10项中奇数项为正,偶数项为负,所以小于8的项为第一项和偶数项,共6项,即6个数,所以所求概率P ＝610＝35.3.[与不等式交汇]若A ,B 互为对立事件,其概率分别为P (A )＝4x ,P (B )＝1y ,则x ＋y 的最小值为________.试题解析：由题意,x ＞0,y ＞0,4x ＋1y ＝1.则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫4x ＋1y ＝5＋⎝⎛⎭⎫4y x ＋x y ≥5＋2 4y x ·xy ＝9,当且仅当x ＝2y 时等号成立,故x ＋y 的最小值为9. 答案：9(二)素养专练——学会更学通4.[数据分析]某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 解：(1)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品,所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理,可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2,顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6,顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1.所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.5.[数学建模]如图,A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2,现随机抽取100位从A 地到火车站的人进行调查,调查结果如下：(2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.解：(1)共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人), 用频率估计概率,可得所求概率为0.44. (2)选择L 1的有60人,选择L 2的有40人, 故由调查结果得频率分布如下表：1212记事件B 1,B 2分别表示乙选择L 1和L 2时,在50分钟内赶到火车站. 用频率估计概率及由(2)知P (A 1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6, P (A 2)＝0.1＋0.4＝0.5, P (A 1)＞P (A 2),故甲应选择L 1；P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8, P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9,P(B2)＞P(B1),故乙应选择L2.。
高2020届高2017级三维设计一轮复习理科数学课时跟踪检测(七十)离散型随机变量的均值与方差、正态分布
课时跟踪检测（七十） 离散型随机变量的均值与方差、正态分布一、题点全面练1.(2019·乌鲁木齐模拟)口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状完全相同的小球,从中任取2个,则取出的球的最大编号X 的期望为( )A.13 B.23 C.2D.83试题解析：选D 因为口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状完全相同的小球,从中任取2个,所以取出的球的最大编号X 的可能取值为2,3,所以P (X ＝2)＝1C 23＝13,P (X ＝3)＝C 12C 11C 23＝23,所以E (X )＝2×13＋3×23＝83.2.已知随机变量X 服从正态分布N (a,4),且P (X ＞1)＝0.5,P (X ＞2)＝0.3,则P (X ＜0)＝( )A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8试题解析：选B 因为随机变量X 服从正态分布N (a,4),所以曲线关于x ＝a 对称,且P (X ＞a )＝0.5.由P (X ＞1)＝0.5,可知a ＝1,所以P (X ＜0)＝P (X ＞2)＝0.3,故选B.3.(2019·合肥一模)已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：克)服从正态分布N (100,4),现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品,其中质量在[98,104]内的产品估计有( )(附：若X 服从N (μ,σ2),则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝0.682 7,P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝0.954 5) A.4 093件 B.4 772件 C.6 827件D.8 186件试题解析：选D 由题意可得,该正态分布的对称轴为x ＝100,且σ＝2,则质量在[96,104]内的产品的概率为P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝0.954 5,而质量在[98,102]内的产品的概率为P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝0.682 7,结合对称性可知,质量在[98,104]内的产品的概率为0.682 7＋0.954 5－0.682 72＝0.818 6,据此估计质量在[98,104]内的产品的数量为10000×0.818 6＝8 186(件).4.某篮球队对队员进行考核,规则是①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次,若至少投中1次,则本轮通过,否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为23,如果甲各次投篮投中与否互不影响,那么甲3个轮次通过的次数X 的期望是( )A.3B.83C.2D.53试题解析：选B 在一轮投篮中,甲通过的概率为P ＝2×13×23＋23×23＝89,未通过的概率为19.X 服从二项分布X ～B ⎝⎛⎭⎫3，89,由二项分布的期望公式,得E (X )＝3×89＝83. 5.某学校为了给运动会选拔志愿者,组委会举办了一个趣味答题活动.参选的志愿者回答三个问题,其中两个是判断题,另一个是有三个选项的单项选择题,设ξ为回答正确的题数,则随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝( )A.1B.43C.53D.2试题解析：选B 由已知得ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝12×12×23＝16,P (ξ＝1)＝12×12×23＋12×12×23＋12×12×13＝512,P (ξ＝2)＝12×12×23＋12×12×13＋12×12×13＝13,P (ξ＝3)＝12×12×13＝112.∴E (ξ)＝0×16＋1×512＋2×13＋3×112＝43. 6.一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X 表示抽到的二等品件数,则D (X )＝________.试题解析：依题意,X ～B (100,0.02), 所以D (X )＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96. 答案：1.967.若随机变量ξ的分布列如表所示,E (ξ)＝1.6,则a －b ＝________.试题解析：易知a ,b ∈b ＝0.8,又由E (ξ)＝0×0.1＋1×a ＋2×b ＋3×0.1＝1.6,得a ＋2b ＝1.3,解得a ＝0.3,b ＝0.5,则a －b ＝－0.2.答案：－0.28.一个人将编号为1,2,3,4的四个小球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,每个盒子放一个小球,球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了,否则叫做放错了.设放对的个数为ξ,则ξ的期望值为________.试题解析：将四个小球放入四个盒子,每个盒子放一个小球,共有A 44种不同放法,放对的个数ξ可取的值有0,1,2,4.其中,P (ξ＝0)＝9A 44＝38,P (ξ＝1)＝C 14×2A 44＝13,P (ξ＝2)＝C 24A 44＝14,P (ξ＝4)＝1A 44＝124, 所以E (ξ)＝0×38＋1×13＋2×14＋4×124＝1.答案：19.(2019·长春质检)某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴,贷款期限分为6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种,对于这五种期限的贷款政府分别补贴200元、300元、300元、400元、400元,从2018年享受此项政策的自主创业人员中抽取了100人进行调查统计,选择的贷款期限的频数如下表：概率.(1)某大学2019年毕业生中共有3人准备申报此项贷款,计算其中恰有2人选择的贷款期限为12个月的概率；(2)设给某享受此项政策的自主创业人员的补贴为X 元,写出X 的分布列；该市政府要做预算,若预计2019年全市有600人申报此项贷款,则估计2019年该市共要补贴多少万元.解：(1)由题意知,每人选择的贷款期限为12个月的概率为25,所以3人中恰有2人选择的贷款期限为12个月的概率P ＝C 23×⎝⎛⎭⎫252×35＝36125. (2)由题意知,享受的补贴为200元的概率p 1＝15,享受的补贴为300元的概率p 2＝35,享受的补贴为400元的概率p 3＝15,所以随机变量X 的分布列为：所以E (X )＝2005＋9005＋4005＝300(元),所以2019年该市政府共要补贴w ＝600×300＝180 000(元).故2019年该市政府需要补贴18万元.10.(2019·石家庄模拟)某厂有4台大型机器,在一个月中,1台机器至多出现1次故障,且每台机器是否出现故障是相互独立的,出现故障时需1名工人进行维修.每台机器出现故障的概率为13.(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%?(2)已知1名工人每月只有维修1台机器的能力,每月需支付给每位工人1万元的工资.每台机器不出现故障或出现故障能及时维修,就能使该厂产生5万元的利润,否则将不产生利润.若该厂现有2名工人,求该厂每月获利的均值.解：(1)1台机器是否出现故障可看作1次试验,在1次试验中,机器出现故障设为事件A ,则事件A 的概率为13.该厂有4台机器,就相当于4次独立重复试验,可设出现故障的机器台数为X ,则X ～B ⎝⎛⎭⎫4，13, ∴P (X ＝0)＝C 04×⎝⎛⎭⎫234＝1681, P (X ＝1)＝C 14×13×⎝⎛⎭⎫233＝3281, P (X ＝2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫232＝827, P (X ＝3)＝C 34×⎝⎛⎭⎫133×23＝881, P (X ＝4)＝C 44×⎝⎛⎭⎫134＝181. ∴X 的分布列为：设该厂有n 名工人,则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为X ≤n ,即X ＝0,X ＝1,X ＝2,…,X ＝n ,这n ＋1个互斥事件的和事件,则：∵89＜90%＜8081,∴该厂至少需要3名工人,才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%.(2)设该厂每月可获利Y 万元,则Y 的所有可能取值为18,13,8, P (Y ＝18)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝89,P (Y ＝13)＝P (X ＝3)＝881, P (Y ＝8)＝P (X ＝4)＝181,∴Y 的分布列为：则E (Y )＝18×89＋13×881＋8×181＝1 40881(万元).故该厂每月获利的均值为1 40881万元.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1.(2018·全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ,各成员的支付方式相互独立.设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX ＝2.4,P (X ＝4)＜P (X ＝6),则p ＝( )A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3 试题解析：选B 由题意可知,10位成员中使用移动支付的人数X 服从二项分布,即X ～B (10,p ),所以DX ＝10p (1－p )＝2.4,所以p ＝0.4或0.6. 又因为P (X ＝4)＜P (X ＝6),所以C 410p 4(1－p )6＜C 610p 6(1－p )4,所以p ＞0.5,所以p ＝0.6.2.设随机变量ξ服从正态分布N (μ,σ2),函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ 没有零点的概率是12,则μ等于( )A.1B.2C.4D.不能确定试题解析：选C 当函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点时,Δ＝16－4ξ＜0,即ξ＞4,根据正态曲线的对称性,当函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12时,μ＝4.3.已知离散型随机变量X 的分布列如表所示,若E (X )＝0,D (X )＝1,则P (X ＜1)＝________.试题解析：∵E (X )＝0,D∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＋112＝1，－1×a ＋0×b ＋1×c ＋2×112＝0，(－1)2×a ＋02×b ＋12×c ＋22×112＝1，且a ,b ,c ∈[0,1],解得a ＝512,b ＝14,c ＝14,P (X ＜1)＝P (X ＝－1)＋P (X ＝0)＝512＋14＝23.答案：23(二)素养专练——学会更学通4.[数据分析]甲、乙两家外卖公司,其送餐员的日工资方案如下：甲公司,底薪80元,每单送餐员抽成4元；乙公司,无底薪,40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元,超出40单的部分送餐员每单抽成7元.假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同,现从这两家公司各随机选取一名送餐员,并分别记录其50天的送餐单数,得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表(1)现从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天的送餐单数,求这3天送餐单数都不小于40的概率.(2)若将频率视为概率,回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为X (单位：元),求X 的分布列和数学期望E (X )；②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员,如果仅从日工资的角度考虑,请利用所学的统计学知识为小王作出选择,并说明理由.解：(1)记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件M , 则P (M )＝C 325C 350＝23196.(2)①设乙公司送餐员的送餐单数为a , 当a ＝38时,X ＝38×6＝228, 当a ＝39时,X ＝39×6＝234, 当a ＝40时,X ＝40×6＝240,当a＝41时,X＝40×6＋1×7＝247,当a＝42时,X＝40×6＋2×7＝254.所以X的所有可能取值为228,234,240,247,254. 故X的分布列为：所以E(X)＝228×110＋234×15＋240×15＋247×25＋254×110＝241.8.②依题意,甲公司送餐员的日平均送餐单数为38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1＝39.7,所以甲公司送餐员的日平均工资为80＋4×39.7＝238.8元.由①得乙公司送餐员的日平均工资为241.8元.因为238.8＜241.8,所以推荐小王去乙公司应聘.5.[数学建模、数学运算]计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的入流量相互独立.(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系：若某台发电机运行,则该台发电机年利润为5 000万元；若某台发电机未运行,则该台发电机年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台？解：(1)依题意,得p1＝P(40＜X＜80)＝1050＝0.2,p2＝P(80≤X≤120)＝3550＝0.7,p3＝P(X＞120)＝550＝0.1.由二项分布可知,在未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率为P＝C04(1－p3)4＋C14(1－p3)3p3＝(0.9)4＋4×(0.9)3×0.1＝0.947 7.(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元).①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y＝5 000,E(Y)＝5 000×1＝5 000(万元).②安装2台发电机的情形.依题意,当40＜X＜80时,一台发电机运行,此时Y＝5 000－800＝4 200,因此P(Y＝4 200)＝P(40＜X＜80)＝p1＝0.2；当X≥80时,两台发电机运行,此时Y＝5 000×2＝10 000,因此P(Y ＝10 000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.由此得Y的分布列如下：所以E(Y)＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840(万元).③安装3台发电机的情形.依题意,当40＜X＜80时,一台发电机运行,此时Y＝5 000－1 600＝3 400,因此P(Y＝3 400)＝P(40＜X＜80)＝p1＝0.2；当80≤X≤120时,两台发电机运行,此时Y＝5 000×2－800＝9 200,因此P(Y＝9 200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；当X＞120时,三台发电机运行,此时Y＝5 000×3＝15 000,因此P(Y＝15 000)＝P(X＞120)＝p3＝0.1,由此得Y的分布列如下：所以E(Y)＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620(万元).综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台.。
高2020届理科数学一轮复习课件金太阳新考案第三单元§3.3对数与对数函数
§3.3对数与对数函数一对数概念一般地,如果a x=N(a＞0,且a≠1),那么数x叫作以a为底N的对数,记作,其中叫作对数的底数,叫作真数.二对数运算1.对数的运算性质如果a＞0,且a≠1,M＞0,N＞0,那么:(1)log a(M·N)= ;(2)log a= ;(3)log a M n= (n∈R).2.对数的换底公式log a b==(a＞0,且a≠1;c＞0,且c≠1;b＞0,且b≠1).三对数函数的图象与性质y=log a x(a＞1)y=log a x(0＜a＜1)四反函数指数函数y=a x(a＞0,且a≠1)与对数函数y=log a x(a＞0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线四、y=x已知a=2－,b=log2,c=lo,则().A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.c＞b＞aD.c＞a＞b【试题解析】因为0＜a=2－＜1,b=log2＜0,c=lo＞1,所以c＞a＞b.【参考答案】D已知x,y为正实数,则().2l g x＋lg y=2l g x＋2l g yB.2l g(x＋y)=2l g x·2l g yC.2l g x·lg y=2l g x＋2l g yD.2l g(xy)=2l g x·2l g y【试题解析】2l g(xy)=2l g x＋lg y=2l g x·2l g y.故选D.【参考答案】D函数y=－的定义域为().A.＞B.＜＜C.＜D.【试题解析】要使函数y=－有意义,则需log0.5(4x－3)≥0且4x－3＞0,解得＜x≤1.故选C.【参考答案】C计算:2log510＋log5= .【试题解析】原式=log5102＋log5=log525=2.【参考答案】2题型一对数的运算【例1】(1)设2a=5b=m,且＋=2,则m等于().A.B.10C.20D.100(2)计算:－＋= .【试题解析】(1)∵2a=5b=m,∴a=log2m,b=log5m,∴＋=＋=log m2＋log m5=log m10=2,∴m=.(2)原式=＋=(log62＋log618)=×2=1.【参考答案】(1)A(2)1在对数的运算中,灵活利用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形,多个对数式要尽量先化成同底的【追踪训练1】(1)计算:lg ＋2lg 2－－1=.(2)已知4a=2,lg x=a,则x= .【试题解析】(1)lg ＋2lg 2－－1=lg 5－lg 2＋2lg 2－2=(lg 5＋lg 2)－2=1－2=－1.(2)∵4a=2,∴a=log42=log44=.又∵lg x=a,∴lg x=,∴x=1=.【参考答案】(1)－1(2)题型二对数函数的图象及应用【例2】(1)函数y=2log4(1－x)的大致图象是().(2)设f(x)=|ln(x＋1)|,已知f(a)=f(b)(a＜b),则().A.a＋b＞0B.a＋b＞1C.2a＋b＞0D.2a＋b＞1【试题解析】(1)函数y=2log4(1－x)的定义域为(－∞,1),排除A、B;函数y=2log4(1－x)在定义域内单调递减,排除D.故选C.(2)作出函数f(x)=|ln(x＋1)|的图象,如图所示.(法一)由f(a)=f(b)(a＜b),得－ln(a＋1)=ln(b＋1),即ab＋a＋b=0.∴0=ab＋a＋b＜＋＋a＋b,即(a＋b)(a＋b＋4)＞0.显然－1＜a＜0,b＞0,∴a＋b＋4＞0,∴a＋b＞0.故选A.(法二)由f(a)=f(b)(a＜b),得－ln(a＋1)=ln(b＋1),令－ln(a＋1)=ln(b＋1)=t(t＞0),则a=－1,b=e t－1,∴a＋b=e t＋－2=(－－)2,∵t＞0,∴a＋b＞0.故选A.【参考答案】(1)C(2)A在识别函数图象时,要会利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求【追踪训练2】函数y=ln－的图象大致为().【试题解析】易知2x－3≠0,即x≠,排除C、D.当x＞时,函数y=ln－为减函数,当x＜时,函数y=ln－为增函数,故选A.【参考答案】A题型三对数函数的性质及应用【例3】已知函数f(x)=log a(x＋1)－log a(1－x),a＞0且a≠1.(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;(3)当a＞1时,求使f(x)＞0的x的解集.【试题解析】(1)要使函数f(x)有意义,则＋＞－＞解得－1＜x＜1.故函数f(x)的定义域为(－1,1).(2)f(x)为奇函数.证明如下:由(1)知f(x)的定义域为(－1,1),又f(－x)=log a(－x＋1)－log a(1＋x)=－[log a(x＋1)－log a(1－x)]=－f(x),故f(x)为奇函数.(3)因为当a＞1时,f(x)在定义域(－1,1)内是增函数,所以f(x)＞0,即log a＋－＞0,所以＋－＞1,解得0＜x＜1,所以使f(x)＞0的x的解集是{x|0＜x＜1}.解决与对数函数有关的问题时,注意定义域与对数底数的取值范围.【追踪训练3】(1)函数f(x)=lo(x2－2x)的单调递减区间是.(2)若函数f(x)=log a(ax－3)(a＞0,且a≠1)在[1,3]上单调递增,则a的取值范围是.【试题解析】(1)由题意得函数f(x)的定义域为(－∞,0)∪(2,＋∞),令t=x2－2x,则原函数可化为y=lo t,∵y=lo t是减函数,t=x2－2x在(2,＋∞)上是增函数,∴函数f(x)=lo(x2－2x)的单调递减区间是(2,＋∞).(2)∵a＞0,且a≠1,∴u=ax－3为增函数,∴若函数f(x)为增函数,则y=log a u必为增函数,因此a＞1.又u=ax－3在[1,3]上恒为正,∴a－3＞0,解得a＞3,∴a的取值范围是(3,＋∞).【参考答案】(1)(2,＋∞)(2)(3,＋∞)方法一等价转化法在对数函数中的应用【突破训练1】已知函数f(x)=log a－＋(0＜a＜1)为奇函数,当x∈(－1,a]时,函数f(x)的值域是(－∞,1],则a＋b的值为.【试题解析】由－＋＞0,解得－b＜x＜1(b＞0).根据奇函数定义域关于原点对称,得b=1.所以f(x)=log a－＋(0＜a＜1).又g(x)=－＋=－1＋＋在(－1,a]上单调递减,0＜a＜1,所以f(x)在(－1,a]上单调递增.因为函数f(x)的值域是(－∞,1],所以f(a)=1,此时g(a)=a,即－＋=a,解得a=－1(负根舍去),所以a＋b=.【参考答案】方法二利用数形结合思想解决对数函数问题【突破训练2】如果不等式x2－log m x＜0(m＞0,且m≠1)在内恒成立,那么实数m的取值范围是.【试题解析】构造函数f(x)=x2,g(x)=log m x(m＞0,且m≠1),要使不等式x2－log m x＜0在内恒成立,只需在内f(x)的图象位于g(x)图象的下方,＜＜由图可知m＞1不满足,则所以≤m＜1,故实数m的取值范围是.【参考答案】1.(2018江西八校联考)函数y=－的定义域是().A.[1,2]B.[1,2)C.D.【试题解析】lo(2x－1)≥0⇒0＜2x－1≤1⇒＜x≤1.【参考答案】D2.(2018山东寿光三校联考)已知函数f(x)=＋若f=3,则b=().＞A.－1B.0C.2D.3【试题解析】因为f=log2=－1,所以f=f(－1)=(－1)2＋b=1＋b=3,即b=3－1=2.【参考答案】C3.(2018朝阳区期中)若a=log2.10.6,b=2.10.6,c=log0.50.6,则a,b,c的大小关系是().A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.b＞c＞aD.c＞b＞a【试题解析】∵a=log2.10.6＜0,b=2.10.6＞1,0＜c=log0.5 0.6＜1,∴b＞c＞a.【参考答案】C4.(改编)式子－log32×log427＋20200的值为().A.0B.C.－1D.【试题解析】－log32×log427＋20200=－log32×log23＋1=－＋1=0.【参考答案】A5.(2018四川德阳二模)已知x,y,z均为正实数,且log2x=log3y=log5z＜0,则,,的大小关系为().A.＜＜B.＜＜C.＜＜D.＜＜【试题解析】令log2x=log3y=log5z=k＜0,则=2k－1,=3k－1,=5k－1,可得=21－k,=31－k,=51－k.∵k＜0,∴1－k＞1,∴函数f(x)=x1－k在(0,＋∞)上单调递增,∴＜＜.【参考答案】A6.(2018石家庄模拟)已知函数f(x)=log2(x＋1)且a＞b＞c＞0,则,,的大小关系为().A.＞＞B.＜＜C.＞＞D.＞＞【试题解析】由题意可得,,,可分别看作函数f(x)=log2(x＋1)图象上的点(a,f(a)),(b,f(b)),(c,f(c))与原点连线的斜率,结合图象可知,当a＞b＞c＞0时,＜＜.【参考答案】B7.(2018上海中学模拟)已知函数y=|log2x|的定义域为[a,b],值域为[0,2],则b－a的最小值为.【试题解析】∵y=|log2x|,∴x=2y或x=2－y.∵0≤y≤2,∴1≤x≤4或≤x≤1.∴(b－a)m in=1－=.【参考答案】8.(2018山东菏泽一中月考)如图,已知函数f(x)的图象为折线ACB(含端点A,B),其中A(－4,0),B(4,0),C(0,4),则不等式f(x)＞log2(x＋2)的解集是.【试题解析】如图,在同一直角坐标系中作出函数y=f(x)和y=log2(x＋2)的图象,易知当x=2时,f(x)=log2(x＋2)=2,∴不等式f(x)＞log2(x＋2)的解集是(－2,2).【参考答案】(－2,2)9.(2018山东潍坊一中月考)已知函数f(x)=ln(＋－2x)＋3,则f(lg 2)＋f= .【试题解析】由函数解析式得f(x)－3=ln(＋－2x),所以f(－x)－3=ln(＋＋2x)=ln＋－=－ln(＋－2x)=－[f(x)－3],所以函数y=f(x)－3为奇函数,则f(x)＋f(－x)=6,所以f(lg 2)＋f=f(lg 2)＋f(－lg 2)=6.【参考答案】610.(改编)已知函数f(x)=＋＜的零点为3,则f(f(6)－2)=().A.1B.2C.D.2020【试题解析】因为函数f(x)=＋＜的零点为3,所以f(3)=log3(3＋m)=0,解得m=－2,所以函数f(x)=－＜所以f(6)=log34,f(6)－2=log34－2＜0, 所以f(f(6)－2)=,故选C.【参考答案】C11.(2018北京通州区三模)标准的围棋棋盘共19行19列,361个格点,每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况,因此有3361种不同的情况.我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中,也讨论过这个问题,他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种,即1000052种.下列数据最接近的是().(lg 3≈0.477)A.10－37B.10－36C.10－35D.10－34【试题解析】由题意知,lg=lg 3361－lg 1000052=361×lg 3－52×4≈－35.803,所以≈10－35.803,分析选项,B中10－36与其最接近.【参考答案】B12.(2018山西联考)若函数f(x)=log0.2(5＋4x－x2)在(a－1,a＋1)上单调递减,且b=lg 0.2,c=20.2,则().A.c＜b＜aB.b＜c＜aC.a＜b＜cD.b＜a＜c【试题解析】函数f(x)的定义域为{x|－1＜x＜5},令u=u(x)=5＋4x－x2,因为u(x)在(－1,2)上为增函数,且y=log0.2u为减函数,所以f(x)在(－1,2)上为减函数,所以(a－1,a＋1)⊆(－1,2),即＋－－⇒0≤a≤1.又因为b=lg 0.2＜0,c=20.2＞20=1,所以c＞a＞b.故选D.【参考答案】D13.(2018衡水金卷压轴卷)已知3a=4b=12,则a,b不可能满足的关系是().A.a＋b＞4B.ab＞4C.(a－1)2＋(b－1)2＞2D.a2＋b2＜3【试题解析】∵3a=4b=12,∴a=log312,b=log412,∴＋=log123＋log124=1,整理得a＋b=ab(a≠b且a＞0,b＞0).A成立,因为a＋b=ab＜＋,所以a＋b＞4;B成立,因为ab=a＋b＞2,所以ab＞4;C成立,(a－1)2＋(b－1)2=a2＋b2－2(a＋b)＋2=a2＋b2－2ab＋2=(a－b)2＋2＞2;D不成立,因为4＜a＋b＜2＋=＋,所以a2＋b2＞8,因此D不成立.【参考答案】D14.(2018江西南昌十中月考)已知函数f(x)=lg5x＋＋m的值域是R,则实数m的取值范围是().A.(－4,＋∞)B.[－4,＋∞)C.(－∞,－4)D.(－∞,－4]【试题解析】令t=5x＋＋m,则t≥4＋m,f(x)=lg t.因为f(x)的值域为R,故t可取(0,＋∞)上的每一个正数,所以4＋m≤0,m≤－4,故选D.【参考答案】D15.(改编)若函数f(x)在其定义域内存在实数x0,使得f(x0＋1)=f(x0)＋f(1)成立,则称x0为函数f(x)的“可拆分点”.若函数f(x)=log5＋存在“可拆分点”,则实数a的取值范围是.【试题解析】∵函数f(x)=log5＋存在“可拆分点”,∴存在实数x0,使得log5＋＋=log5＋＋log5,且a＞0,∴a=＋＋＋=＋＋.令t=,则t＞0,∴a=＋＋=＋＋,由t＞0,得＜a＜3.【参考答案】。
三维设计高考数学苏教版理科一轮复习课时检测2.7对数与对数函数(含答案详析)
课时跟踪检测(十) 对数与对数函数第Ⅰ组：全员必做题1．函数y ＝1－lg (x ＋2)的定义域为________．2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝________.3．(2013·全国卷Ⅱ改编)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a ，b ，c 的大小关系为________．4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 12x ，x >0，log 2(－x )，x <0，若f (m )<f (－m )，则实数m 的取值范围是____________．5．(2014·常州期末)设函数y ＝f (x )在R 内有定义，对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )>k ，k ， f (x )≤k .若函数f (x )＝log 3|x |，则当k ＝13时，函数f k (x )的单调减区间为________． 6．计算：(log 29)·(log 34)＝________.7．函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的值域是________． 8．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________. 9．(2014·长春模拟)设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域．(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值．10．已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎡⎦⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·徐州联考)函数y ＝log a (x －1)＋1(a >0，且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在一次函数y ＝mx ＋n 的图像上，其中m ，n >0，则1m ＋2n的最小值为________．2．(2014·无锡模拟)若f (x )＝lg x ，g (x )＝f (|x |)，则g (lg x )>g (1)，x 的取值范围是________．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．解析：由题意可知，1－lg(x ＋2)≥0，整理得lg(x ＋2)≤lg 10，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≤10，x ＋2>0，解得－2<x ≤8，故函数y ＝1－lg (x ＋2)的定义域为(－2,8]． 答案：(－2,8]2．解析：f (x )＝log a x ，∵f (2)＝1，∴log a 2＝1.∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x .答案：log 2x3．解析：a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72，则只要比较log 32，log 52，log 72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 的图像，由三个图像的相对位置关系，可知a ＞b ＞c .答案：a ＞b ＞c4．解析：当m >0时，f (m )<f (－m )⇒log 12m <log 2m ⇒m >1； 当m <0时，f (m )<f (－m )⇒log 2(－m )<log 12(－m )⇒－1<m <0.所以m 的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．答案：(－1,0)∪(1，＋∞)5．解析：因为f (x )＝log 3|x |，k ＝13，所以由f (x )>k 得log 3|x |>13，解得x <－33或x >33.同理由f (x )≤k 得－33≤x <0或0<x ≤33，所以f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 3|x |，x <－33或x >33，13，－33≤x <0或0<x ≤33，所以函数f k (x )的单调减区间为(－∞，－33)．(闭区间也对)答案：(－∞，－33)⎝⎛⎭⎫或(－∞，－33]6．解析：(log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4.答案：47．解析：令t ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，y ＝log 12t 为减函数， 所以有log 12t ≤log 128＝－3. 答案：(－∞，－3]8．解析：由2a ＝5b ＝m ，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，又1a ＋1b ＝2，即1log 2m ＋1log 5m＝2， ∴1lg m＝2，即m ＝10. 答案：109．解：∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为 (－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 10．解：当a >1时，f (x )＝log a x 在⎣⎡⎦⎤13，2上单调递增，要使x ∈⎣⎡⎦⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧log a 13≥－1，log a 2≤1，解得a ≥3. ∴此时a 的取值范围是a ≥3.当0<a <1时，f (x )＝log a x 在⎣⎡⎦⎤13，2 上单调递减，要使x ∈⎣⎡⎦⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧ log a 13≤1，log a2≥－1，解得0<a ≤13. ∴此时，a 的取值范围是0<a ≤13. 综上可知，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，13∪[3，＋∞)． 第Ⅱ组：重点选做题1．解析：取x －1＝1得原函数的图像恒过定点A (2,1)，代入直线方程得2m ＋n ＝1，所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2(2m ＋n )n ＝4＋n m ＋4m n ≥8，当且仅当n m ＝4m n ，即2m ＝n ＝12时等号成立，故最小值为8.答案：82．解析：因为g (lg x )>g (1)，所以f (|lg x |)>f (1)，由f (x )为增函数得|lg x |>1，从而lg x >1或lg x <－1.解得0<x <110或x >10. 答案：⎝⎛⎭⎫0，110∪(10，＋∞)。
精选-江苏专版2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测十对数与对数函数理含解析
课时跟踪检测（十）对数与对数函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快．(·淮安调研)函数()＝(－)的定义域为．解析：由－＞，解得＞，所以函数()的定义域为.答案：．函数()＝(－＋)的值域为．解析：令＝－＋＝(－)＋≥，故函数()可化为＝，≥，此函数是一个增函数，其最小值为＝，故()的值域为[，＋∞)．答案：[，＋∞)．计算＋()＝.解析：＋()＝)·)＋＝＋＝＋＝.答案：．(·长沙调研)已知函数＝(＋)－(＞，≠)的图象恒过定点，若点也在函数()＝＋的图象上，则()＝.解析：∵函数＝(＋)－(＞，≠)的图象恒过定点(－，－)，将＝－，＝－代入()＝＋，得－＋＝－，∴＝－，∴()＝－，则()＝－＝－＝.答案：．若函数()＝(\\(－＋，≤，＋，＞))(＞，且≠)的值域是[，＋∞)，则实数的取值范围是．解析：当≤时，＝－＋≥.因为()的值域为[，＋∞)，所以当＞时，＋＞＋≥，所以≥，所以＜≤；当＜＜时，＋＜＋，不合题意．故∈(]．答案：(]．(·镇江期末)已知函数()是定义在上的奇函数，当＞时，()＝－，则不等式()＜的解集是．解析：当＜时，()＝－(－)＝(－)－，()＜，即(－)－＜，解得－＜＜；当＞时，()＝－，()＜，即－＜，解得＞，综上，不等式()＜的解集是(－)∪(，＋∞)．答案：(－)∪(，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标．(·镇江中学调研)函数＝＋(－)的值域为．解析：由题意知，＞且－＞，∴()的定义域是()．∵函数()＝＋(－)＝[(－)]，∴＜(－)≤＝，当且仅当＝时等号成立．∴[(－)]≤，∴函数＝＋(－)的值域为(－∞，]．答案：(－∞，]．(·镇江中学学情调研)已知函数()＝的定义域是，则实数的值为．解析：因为函数()＝的定义域是，所以当＞时，－＞，即＜，所以＜，所以＞.令＝，得＝＝，所以实数的值为.答案：．若函数()＝(－＋＋)在区间(－∞，]上递减，则的取值范围为．解析：令函数()＝－＋＋＝(－)＋＋－，对称轴为＝，要使函数在(－∞，]上递减，则有(\\(＞，≥，))即(\\(－＞，≥，))解得≤＜，即∈[)．答案：[)．(·连云港模拟)已知函数()＝，若()＝，则(－)＝.解析：因为()＝的定义域为－＜＜，所以(－)＝＝－＝－()，所以()为奇函数，所以(－)＝－()＝－.答案：－．函数()＝＋的定义域为．解析：由(\\(－≥，,(－＋－)＞，))得(\\(－≤≤，＞且≠，))故函数定义域为()∪(]．答案：()∪(]．(·苏州调研)若函数()＝(\\(－＋，≤，＋，＞))(＞，且≠)的值域为[，＋∞)，则实数的取值范围是．解析：当≤时，()∈[，＋∞)，所以当＞时，()的取值集合⊆[，＋∞)．当＜＜时，＝，不符合题意；当＞时，＝(＋，＋∞)，若⊆[，＋∞)，则有＋≥，解得＜≤.答案：(]．函数()＝·()的最小值为．解析：依题意得()＝·(＋)＝()＋＝－≥－，当且仅当＝－，即＝时等号成立，因此函数()的最小值为－.答案：－．设函数()＝(\\(，＞，－，＜，))若()＞(－)，则实数的取值范围是．解析：由()＞(－)得(\\(＞，＞))或(\\(＜，－＞－，))即(\\(＞，＞－))或(\\(＜，,－－＞－))解得＞或－＜＜.答案：(－)∪(，＋∞)．已知函数()是定义在上的偶函数，()＝，当＞时，()＝.()求函数()的解析式；()解不等式(－)＞－.解：()当＜时，－＞，则(－)＝(－)．因为函数()是偶函数，所以(－)＝()．所以函数()的解析式为()＝(\\(，＞，，＝，－，＜.))()因为()＝＝－，()是偶函数，所以不等式(－)＞－可化为(－)＞()．又因为函数()在(，＋∞)上是减函数，所以－＜，解得－＜＜，即不等式的解集为(－，)．．(·如东上学期第一次阶段检测)已知函数()＝(＋)＋(－)(＞且≠)，且()＝. ()求的值及()的定义域；()若不等式()≤恒成立，求实数的取值范围．解：()因为()＝，所以＝，故＝，所以()＝(＋)＋(－)，要使函数()有意义，需有(\\(＋＞，－＞，))解得－＜＜，所以()的定义域为(－)．()由()知，()＝(＋)＋(－)＝[(＋)(－)]＝(－＋＋)＝[－(－)＋]，故当＝时，()有最大值，所以的取值范围是[，＋∞)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校．(·南京五校联考)已知函数()＝＋－(＜)与()＝＋(＋)，若函数()图象上存在点与函数()图象上的点关于轴对称，则的取值范围是．解析：设点(，)(＜)，则点关于轴的对称点(－，)在函数()的图象上，所以(\\(＝\()＋－()，＝－＋－＋，))消去，可得＋－＝(－)＋(－＋)，所以－＝(－＋)(＜)．令()＝－(＜)，()＝(－)(＜)，问题转化为函数()与函数()的图象在＜时有交点．在平面直角坐标系中分别作出函数()与函数()的图象如图所示．当()＝(－)的图象过点时，＝.由图可知，当＜时，函数()与函数()的图象在＜时有交点．故的取值范围为(－∞，)．答案：(－∞，)．(·昆山测试)已知函数()＝(∈)．()当＝时，求函数()的值域；()当＞时，求函数()的定义域；()若函数()在区间[，＋∞)上是单调增函数，求实数的取值范围．解：()当＝时，()＝，定义域为(－∞，)．因为函数＝(＜)的值域为(，＋∞)，所以()＝的值域为.()因为＞，所以关于的不等式＞⇔(－)(－)＞⇔(－)＞.(*)①若＜＜，则＞，不等式(*)的解为＜或＞；②若＝，则不等式(*)即(－)＞，其解为≠；③若＞，则＜，不等式(*)的解为＜或＞.综上，当＜≤时，函数()的定义域为(－∞，)∪；当＞时，函数()的定义域为∪(，＋∞)．()令()＝，则()＝ ()．因为函数()在[，＋∞)上是单调增函数，且对数的底数＞，所以当∈[，＋∞)时，()＞，且函数()在[，＋∞)上是单调增函数．而()＝＝＝＋，若－≥，则函数()在[，＋∞)上不是单调增函数；若－＜，则函数()在[，＋∞)上是单调增函数．所以＜.①因为函数()在[，＋∞)上是单调增函数，所以要使当∈[，＋∞)时，()＞，必须()＞，即＞，解得＞.②综合①②知，实数的取值范围是.。
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课时跟踪检测(十) 对数与对数函数一、题点全面练1.若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0,且a ≠1)的反函数,且f (2)＝1,则f (x )＝( ) A.log 2x B.12x C.log 12xD.2x －2试题解析：选A 由题意知f (x )＝log a x (a ＞0,且a ≠1), ∵f (2)＝1,∴log a 2＝1,∴a ＝2. ∴f (x )＝log 2x .2.如果log 12x ＜log 12y ＜0,那么( )A.y ＜x ＜1B.x ＜y ＜1C.1＜x ＜yD.1＜y ＜x试题解析：选D ∵log 12x ＜log 12y ＜log 121,∴x ＞y ＞1.3.(2019·新乡一模)若log 2(log 3a )＝log 3(log 4b )＝log 4(log 2c )＝1,则a ,b ,c 的大小关系是( )A.a ＞b ＞cB.b ＞a ＞cC.a ＞c ＞bD.b ＞c ＞a试题解析：选D 由log 2(log 3a )＝1,可得log 3a ＝2,故a ＝32＝9；由log 3(log 4b )＝1,可得log 4b ＝3,故b ＝43＝64；由log 4(log 2c )＝1,可得log 2c ＝4,故c ＝24＝16.∴b ＞c ＞a .故选D.4.(2019·郑州模拟)设a ＝log 50.5,b ＝log 20.3,c ＝log 0.32,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A.b ＜a ＜c B.b ＜c ＜a C.c ＜b ＜aD.a ＜b ＜c试题解析：选B a ＝log 50.5＞log 50.2＝－1,b ＝log 20.3＜log 20.5＝－1,c ＝log 0.32＞log 0.3103＝－1,log 0.32＝lg 2lg 0.3,log 50.5＝lg 0.5lg 5＝lg 2－lg 5＝lg 2lg 0.2.∵－1＜lg 0.2＜lg 0.3＜0,∴lg 2lg 0.3＜lg 2lg 0.2,即c ＜a ,故b ＜c ＜a .故选B.5.(2019·长春模拟)已知对数函数f (x )＝log a x 是增函数,则函数f (|x |＋1)的图象大致是( )试题解析：选B 由函数f (x )＝log a x 是增函数知,a ＞1.f (|x |＋1)＝log a (|x |＋1)＝⎩⎪⎨⎪⎧log a (x ＋1)，x ≥0，log a [－(x －1)]，x ＜0.由对数函数图象知选B. 6.(2018·肇庆二模)已知f (x )＝lg(10＋x )＋lg(10－x ),则( ) A.f (x )是奇函数,且在(0,10)上是增函数 B.f (x )是偶函数,且在(0,10)上是增函数 C.f (x )是奇函数,且在(0,10)上是减函数 D.f (x )是偶函数,且在(0,10)上是减函数试题解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧10＋x ＞0，10－x ＞0，得x ∈(－10,10),故函数f (x )的定义域为(－10,10),关于原点对称.由于f (－x )＝lg(10－x )＋lg(10＋x )＝f (x ),故函数f (x )为偶函数.而f (x )＝lg(10＋x )＋lg(10－x )＝lg(100－x 2),y ＝100－x 2在(0,10)上递减,y ＝lg x 在(0,10)上递增,故函数f (x )在(0,10)上递减.7.(2018·郑州月考)已知2x ＝72y ＝A ,且1x ＋1y ＝2,则A 的值是________.试题解析：由2x ＝72y ＝A 得x ＝log 2A ,y ＝12log 7A ,则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2,A 2＝98.又A ＞0,故A ＝98＝7 2. 答案：7 28.已知函数f (x )＝|log 3x |,实数m ,n 满足0＜m ＜n ,且f (m )＝f (n ),若f (x )在[m 2,n ]上的最大值为2,则nm＝________.试题解析：因为f (x )＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 3x ，0＜x ＜1，log 3x ，x ≥1，所以f (x )在(0,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增,由0＜m ＜n 且f (m )＝f (n ),可得⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，n ＞1，log 3n ＝－log 3m ，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，n ＞1，mn ＝1，所以0＜m 2＜m ＜1,则f (x )在[m 2,1)上单调递减,在(1,n ]上单调递增,所以f (m 2)＞f (m )＝f (n ),则f (x )在[m 2,n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2,解得m ＝13,则n ＝3,所以n m ＝9.答案：99.已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且当x ≥0时,f (x )＝log a (x ＋1)(a ＞0,且a ≠1). (1)求函数f (x )的解析式；(2)若－1＜f (1)＜1,求实数a 的取值范围. 解：(1)当x ＜0时,－x ＞0, 由题意知f (－x )＝log a (－x ＋1),又f (x )是定义在R 上的偶函数,∴f (－x )＝f (x ). ∴当x ＜0时,f (x )＝log a (－x ＋1),∴函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a (x ＋1)，x ≥0，log a (－x ＋1)，x ＜0.(2)∵－1＜f (1)＜1,∴－1＜log a 2＜1, ∴log a 1a ＜log a 2＜log a a .①当a ＞1时,原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1a ＜2，a ＞2，解得a ＞2；②当0＜a ＜1时,原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1a ＞2，a ＜2，解得0＜a ＜12.综上,实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，12∪(2,＋∞). 10.已知函数f (x )＝log a (3－ax )(a ＞0,且a ≠1).(1)当x ∈[0,2]时,函数f (x )恒有意义,求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ,使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1？如果存在,试求出a 的值；如果不存在,请说明理由.解：(1)∵a ＞0且a ≠1,设t (x )＝3－ax ,则t (x )＝3－ax 为减函数,当x ∈[0,2]时,t (x )的最小值为3－2a ,∵当x ∈[0,2]时,f (x )恒有意义,即x ∈[0,2]时,3－ax ＞0恒成立. ∴3－2a ＞0,∴a ＜32.又a ＞0且a ≠1,∴0＜a ＜1或1＜a ＜32,∴实数a 的取值范围为(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1，32.(2)由(1)知函数t (x )＝3－ax 为减函数. ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数, ∴y ＝log a t 在[1,2]上为增函数,∴a ＞1,当x ∈[1,2]时,t (x )的最小值为3－2a ,f (x )的最大值为f (1)＝log a (3－a ),∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ＞0，log a (3－a )＝1，即⎩⎨⎧a ＜32，a ＝32.故不存在这样的实数a ,使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1.若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞,1]上单调递减,则a 的取值范围为( ) A.[1,2) B.[1,2] C.[1,＋∞)D.[2,＋∞)试题解析：选A 令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2,其图象的对称轴为x ＝a ,要使函数f (x )在(－∞,1]上单调递减,则⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)＞0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ≥1，解得1≤a ＜2,即a ∈[1,2),故选A.2.(2019·湛江模拟)已知log a 34＜1,那么a 的取值范围是________.试题解析：∵log a 34＜1＝log a a ,故当0＜a ＜1时,y ＝log a x 为减函数,0＜a ＜34；当a ＞1时,y＝log a x 为增函数,a ＞34,∴a ＞1.综上所述,a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪(1,＋∞). 答案：⎝⎛⎭⎫0，34∪(1,＋∞) 3.函数f (x )＝log 13(x 2－4)的单调递增区间为________.试题解析：设t ＝x 2－4,因为y ＝log 13t 在定义域上是减函数,所以求原函数的单调递增区间,即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间,结合函数的定义域,可知所求区间为(－∞,－2).答案：(－∞,－2)(二)交汇专练——融会巧迁移4.[与指数函数、幂函数的交汇]已知x 1＝log 132,x 2＝2-12,x 3满足⎝⎛⎭⎫13x 3＝log 3x 3,则x 1,x 2,x 3的大小关系是( )A.x 1＜x 2＜x 3B.x 1＜x 3＜x 2C.x 2＜x 1＜x 3D.x 3＜x 1＜x 2试题解析：选A 由题意可知x 3是函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x与y ＝log 3x 的图象交点的横坐标,在同一直角坐标系中画出函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x与y ＝log 3x 的图象,如图所示,由图象可知x 3＞1,而x 1＝log 132＜0,0＜x 2＝2-12＜1,所以x 3＞x 2＞x 1.故选A.5.[与数列的交汇]已知数列{a n }满足log 2a n ＋1＝1＋log 2a n (n ∈N *),且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1,则log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝________.试题解析：∵log 2a n ＋1＝1＋log 2a n (n ∈N *), ∴log 2a n ＋1－log 2a n ＝1,即log 2a n ＋1a n ＝1,∴a n ＋1a n ＝2.∴数列{a n }是公比q ＝2的等比数列,则a 101＋a 102＋…＋a 110＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10)q 100＝2100, ∴log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝log 22100＝100. 答案：100(三)素养专练——学会更学通6.[逻辑推理]设x ,y ,z 为正实数,且log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＞0,则x 2,y 3,z5的大小关系不可能是( )A.x 2＜y 3＜z 5B.x 2＝y 3＝z 5C.z 5＜y 3＜x 2D.y 3＜x 2＜z 5试题解析：选D 设log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝k ＞0, 可得x ＝2k ＞1,y ＝3k ＞1,z ＝5k ＞1. ∴x 2＝2k －1,y 3＝3k －1,z 5＝5k －1. ①若0＜k ＜1,则函数f (x )＝x k －1单调递减,∴x 2＞y 3＞z 5； ②若k ＝1,则函数f (x )＝x k －1＝1,∴x 2＝y 3＝z 5；③若k ＞1,则函数f (x )＝x k－1单调递增,∴x 2＜y 3＜z 5. ∴x 2,y 3,z5的大小关系不可能是D. 7.[直观想象]已知点A (1,0),点B 在曲线G ：y ＝ln x 上,若线段AB 与曲线M ：y ＝1x 相交且交点恰为线段AB 的中点,则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点.那么曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为( )A.0B.1C.2D.4试题解析：选B 设B (x 0,ln x 0),x 0＞0,线段AB 的中点为C ,则C ⎝⎛⎭⎫x 0＋12，ln x 02,又点C 在曲线M 上,故ln x 02＝2x 0＋1,即ln x 0＝4x 0＋1.此方程根的个数可以看作函数y ＝ln x 与y ＝4x ＋1的图象的交点个数.画出图象(如图),可知两个函数的图象只有1个交点.故选B.8.[逻辑推理]若方程2log 2x －log 2(x －1)＝m ＋1有两个不同的解,则实数m 的取值范围是________.试题解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －1＞0，即x ＞1,方程化简为log 2x 2x －1＝m ＋1,故x 2x －1＝2m ＋1,即x 2－2m ＋1x ＋2m ＋1＝0,当x ＞1时,此方程有两个不同的解,所以⎩⎪⎨⎪⎧2m＞1，1－2m ＋1＋2m ＋1＞0，Δ＝22m ＋2－4×2m ＋1＞0，得m ＞1.答案：(1,＋∞)。