数学教案：数列训练题

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数列综合问题高中数学教案

数列综合问题高中数学教案
知识点：数列的综合
教学目标：通过本节课的学习，学生能够掌握数列的综合方法，解决相关数学问题。

教学重点：数列的综合求解方法。

教学难点：在实际问题中运用数列的综合方法解决问题。

教学过程：
一、导入新知识（5分钟）
教师向学生介绍本节课的学习内容，引导学生了解数列的综合概念。

并通过一个简单的例子引出数列综合问题。

二、讲解与实践（15分钟）
1. 讲解数列的综合方法，说明综合的含义及求解步骤。

2. 通过几个示例讲解综合求解数列问题的步骤，引导学生掌握方法。

3. 学生进行练习，巩固数列综合的求解方法。

三、拓展应用（10分钟）
1. 给学生提供一些实际问题，让学生尝试用数列综合方法解决问题。

2. 学生结合实际问题进行讨论，分享不同解题思路。

四、作业布置（5分钟）
布置练习题作业，相关综合数列问题的练习。

五、课堂小结（5分钟）
总结本节课的重点内容，强调数列综合方法的重要性，并提醒学生作业要认真完成。

教学反思：本节课通过讲解数列的综合方法，让学生了解了数列的综合应用，实际问题中的数列综合求解方法。

通过多种实例的讲解和练习，学生对数列综合方法有了更深入的理解和掌握。

在今后的教学过程中，可以结合更多实际问题，让学生更好地运用数列综合方法解决各种数学问题。

高中数学第二章数列习题课教案新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学教案

环节
教学内容
教师行为
学生行为
设计意图
时间
1.
课前3分钟
1、展示《优化设计》第20页预习测评
2、目标解读
检查，评价总结。
1.展示答案
2.提出自主学习困惑.
明确本节课学习目标，准备学习。
3分钟
2.
承接结果
1、求通项公式的方法和步骤；
2、通项公式含义的理解
1．巡视检查学生预习习题完成情况，进行及时评价。
1、巡视学生完成情况，让学生更准确的认识计算〔化简〕的方法。
2、抽查记忆情况。
1、独立完成练习册习题。
2、归纳出计算〔化简〕的方法。
。
通过具体例题，总结出计算〔化简〕的方法。
10分钟
思考1：数列通项公式的ຫໍສະໝຸດ 义和谁密不可分?思考2：研究数列的项，本质是在研究什么？
思考3：面对一个数列，最在意的应该是什么？
思考4：如何利用通项看其单调性？
1、巡视学生的完成情况。
2、对学生的展示和评价要给予及时的反馈。
3.要对学生不同的解题过程和答案给出准确的评价，总结。
1、学生先独立完成教辅习题，然后以小组为单位统一答案。
2、小组讨论并展示自己组所写的答案。
3、其他组给予评价〔主要是找错，纠错〕
在具体问题中，探索、挖掘内在规律、发现数学的本质。
2分钟
7
板书设计
数列
学习目标：例题：练习：
8
课后反思
本节课，重点在于对数列通项公式的理解与应用上，唯一干扰学生思绪的地方在于函数的概念和性质的应用上；所以只有充分的理解了函数，才能真正明确通项公式的意义。
1、小考卷上作答。
2、同桌互批。

高考数学《数列》大题训练50题含答案解析整理版

高考数学《数列》大题训练50题1 ．数列{}的前n 项和为，且满足，.n a n S 11a =2(1)n n S n a =+（1）求{}的通项公式；（2）求和T n =.n a 1211123(1)na a n a ++++L 2 ．已知数列，a 1=1，点在直线上.}{n a *))(2,(1N n a a P n n ∈+0121=+-y x （1）求数列的通项公式；}{n a （2）函数，求函数最小值.)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 )(n f 3 ．已知函数(a ，b 为常数)的图象经过点P （1，）和Q （4，8）x ab x f =)(81(1) 求函数的解析式；)(x f (2) 记a n =log 2,n 是正整数，是数列{a n }的前n 项和，求的最小值。

)(n f n S n S 4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式．n S 5 ．设数列的前项和为，且，其中是不等于和0的实常数.{}n a n n S 1n n S c ca =+-c 1-（1）求证: 为等比数列；{}n a （2）设数列的公比，数列满足，试写出的{}n a ()q f c ={}n b ()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭通项公式，并求的结果.12231n n b b b b b b -+++L 6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量与向量共线，且1+n n A A n n C B 点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15，求数列{a n }中的最小项.7 ．已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且…对任意的{}n a {}n b 212322a a a +++12n n a -+8n =∈n N*都成立，数列是等差数列．1{}n n b b +-（1）求数列与的通项公式；{}n a {}n b （2）问是否存在N *，使得？请说明理由．k ∈(0,1)k k b a -∈8 ．已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a nn n n 且中（I ）试求a 2，a 3的值；（II ）若存在实数为等差数列，试求λ的值.}3{,nn a λλ+使得9 ．已知数列的前项和为，若，{}n a n n S ()1,211++=⋅=+n n S a n a n n（1）求数列的通项公式;{}n a （2）令，①当为何正整数值时，：②若对一切正整数，总有，求的n nn S T 2=n 1+>n n T T n m T n ≤m 取值范围。

数学数列多选题专项训练知识点-+典型题附解析

一、数列多选题1．已知数列{}n a ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．68S a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++= D ．2222123202020202021a a a a a a ++++=答案：BCD 【分析】根据题意写出，，，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误．【详解】对A ，，，故A 不正确；对B ，，故B 正确；对C ，由，，解析：BCD 【分析】根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误．【详解】对A ，821a =，620S =，故A 不正确；对B ，761333S S =+=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020a a a =-，可得135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故C 正确；对D ，该数列总有21n n n a a a ++=+，2121a a a =，则()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 22019a =2019202020192018a a a a -，220202020202120202019a a a a a =-，故2222123202*********a a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故D 正确．故选：BCD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形.2．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（） A ．1055a = B ．2020a 是偶数C ．2020201820223a a a =+D ．123a a a +++…20202022a a +=答案：AC 【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，，，，故A 正确；对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；对于C ，，故C 正确；对于D ，，，，，各式相加解析：AC 【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确；对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确；对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，32121,a a a a a ⋅⋅⋅=+=，各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++，所以202220202019201811a a a a a a =++⋅⋅⋅+++，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项.3．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2答案：ABC 【分析】根据不等式对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有恒成立，当n 为偶数时有恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】根据不等式对于任意正整数n 恒成立，当n 为奇数时有：恒成立，由递减解析：ABC 【分析】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n-<恒成立，当n 为偶数时有12a n<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立，当n 为奇数时有：12+a n-<恒成立，由12+n 递减，且1223n<+≤，所以2a -≤，即2a ≥-，当n 为偶数时有：12a n<-恒成立，由12n -第增，且31222n ≤-<，所以32a <，综上可得：322a -≤<，故选：ABC . 【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题. 4．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 答案：ABCD 【分析】由题意可得数列满足递推关系，对照四个选项可得正确答案.【详解】对A ，写出数列的前6项为，故A 正确；对B ，，故B 正确；对C ，由，，，……，，可得：.故是斐波那契数列中的第解析：ABCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确；对B ，71123581333S =++++++=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.对D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=，故D 正确；故选：ABCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换.5．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的有（）A ．1:17:2a d =-B ．180S =C ．当0d >时，6140a a +>D ．当0d <时，614a a >答案：ABC 【分析】因为是等差数列，由可得，利用通项转化为和即可判断选项A ；利用前项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质即可判断选项C ；由可得且，即可判断选项D ，进而得出正确选项解析：ABC 【分析】因为{}n a 是等差数列，由612S S =可得9100a a +=，利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ；利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ；由0d <可得6140a a d +=<且60a >，140a <即可判断选项D ，进而得出正确选项.【详解】因为{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，由612S S =得：1267891011120S S a a a a a a -=+++++=，即()91030a a +=，即9100a a +=，对于选项A ：由9100a a +=得12170a d +=，可得1:17:2a d =-，故选项A 正确；对于选项B ：()()118910181818022a a a a S ++===，故选项B 正确；对于选项C ：911691014a a a a a a d d =+=++=+，若0d >，则6140a a d +=>，故选项C 正确；对于选项D ：当0d <时，6140a a d +=<，则614a a <-，因为0d <，所以60a >，140a <，所以614a a <，故选项D 不正确，故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=，熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式，灵活运用等差数列的性质即可. 6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15110,20,a a a 则（）A ．80a <B ．当且仅当n = 7时，n S 取得最大值C ．49S S =D ．满足0n S >的n 的最大值为12答案：ACD 【分析】由题可得，，，求出可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出可判断C ；令，解出即可判断D. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得，，，且，对于A ，，故A 正确；对于B ，的对称解析：ACD 【分析】由题可得16a d =-，0d <，21322n d d S n n =-，求出80a d =<可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出49,S S 可判断C ；令213022n d d S n n =->，解出即可判断D. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()5111122+4++100a a a d a d +==，解得16a d =-，10a >，0d ∴<，且()21113+222n n n d d S na d n n -==-，对于A ，81+7670a a d d d d ==-+=<，故A 正确；对于B ，21322n d d S n n =-的对称轴为132n =，开口向下，故6n =或7时，n S 取得最大值，故B 错误；对于C ，4131648261822d d S d d d =⨯-⨯=-=-，9138191822d d S d =⨯-⨯=-，故49S S =，故C 正确；对于D ，令213022n d dS n n =->，解得013n <<，故n 的最大值为12，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值. 7．数列{}n a 满足11,121nn n a a a a +==+，则下列说法正确的是（） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2n S n =C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =-D ．数列{}n a 为递减数列答案：ABD 【分析】首项根据得到，从而得到是以首项为，公差为的等差数列，再依次判断选项即可. 【详解】对选项A ，因为，，所以，即所以是以首项为，公差为的等差数列，故A 正确. 对选项B ，由A 知：解析：ABD【分析】首项根据11,121n n n a a a a +==+得到1112n n a a +-=，从而得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，再依次判断选项即可.【详解】对选项A ，因为121nn n a a a +=+，11a =，所以121112n n n n a a a a ++==+，即1112n na a +-= 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，故A 正确.对选项B ，由A 知：112121nn n a数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()21212n n n S n +-==，故B 正确.对选项C ，因为121n n a =-，所以121n a n =-，故C 错误. 对选项D ，因为121n a n =-，所以数列{}n a 为递减数列，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和，同时考查了递推公式，属于中档题.8．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（） A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+答案：ABD 【分析】由已知递推式可得数列是首项为，公差为1的等差数列，结合选项可得结果. 【详解】得， ∴，即数列是首项为，公差为1的等差数列， ∴，∴，得，由二次函数的性质得数列为递增数列，解析：ABD 【分析】由已知递推式可得数列2=，公差为1的等差数列，结合选项可得结果. 【详解】)211n a =-得)211n a +=，1=，即数列2=，公差为1的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，∴22n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，所以易知ABD 正确，故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（） A ．100a = B ．当9n =或10时，n S 取最大值 C ．911a a <D ．613S S =答案：AD 【分析】由求出，即，由此表示出、、、，可判断C 、D 两选项；当时，，有最小值，故B 错误. 【详解】解：，，故正确A.由，当时，，有最小值，故B 错误. ，所以，故C 错误. ，，故D 正确.解析：AD 【分析】由1385a a S +=求出100a =，即19a d =-，由此表示出9a 、11a 、6S 、13S ，可判断C 、D 两选项；当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误.【详解】解：1385a a S +=，111110875108,90,02da a d a a d a ⨯++=++==，故正确A. 由190a d +=，当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误.9101110,a a d d a a d d =-==+=，所以911a a =，故C 错误.61656+5415392dS a d d d ⨯==-+=-， 131131213+11778392dS a d d d ⨯==-+=-，故D 正确. 故选：AD 【点睛】考查等差数列的有关量的计算以及性质，基础题.10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若90a <，100a >，则下列结论正确的是（） A ．109S S >B ．170S <C ．1819S S >D ．190S >答案：ABD 【分析】先根据题意可知前9项的和最小，判断出正确；根据题意可知数列为递减数列，则，又，进而可知，判断出不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知，，故正确. 【详解】根据题意可知数列为递增解析：ABD 【分析】先根据题意可知前9项的和最小，判断出A 正确；根据题意可知数列为递减数列，则190a >，又181919S S a =-，进而可知1516S S >，判断出C 不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知()01179179172171722a a a S a <+⨯⨯===，()1191019101921919022a a a S a +⨯⨯===>，故BD 正确. 【详解】根据题意可知数列为递增数列，90a <，100a >，∴前9项的和最小，故A 正确；()11791791721717022a a a S a +⨯⨯===<，故B 正确； ()1191019101921919022a a a S a +⨯⨯===>，故D 正确；190a >， 181919S S a ∴=-， 1819S S ∴<，故C 不正确.故选：ABD . 【点睛】本题考查等差数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.。

高中数学数列题目训练卷

高中数学数列题目训练卷在高中数学的学习中，数列一直是一个重点和难点内容。

为了帮助同学们更好地掌握数列相关知识，提高解题能力，特编制此数列题目训练卷。

一、选择题1、已知数列\（＼｛a_n\｝＼）的通项公式为\（a_n ＝ 2n 1\），则\（a_5\）的值为（）A 9B 11C 7D 52、等差数列\（＼｛a_n\｝＼）中，＼（a_1 ＝ 3\），＼（d ＝ 2\），则\（a_{10}＼）等于（）A 19B 21C 23D 253、等比数列\（＼｛b_n\｝＼）中，＼（b_2 ＝ 6\），＼（b_4 ＝24\），则公比\（q\）的值为（）A 2B 3C 4D ＼（＼sqrt{2}＼）4、数列\（1, 3, 6, 10, 15, ＼cdots\）的通项公式为（）A ＼（a_n ＝＼frac{n(n ＋ 1)｝｛2}＼）B ＼（a_n ＝ n^2 n ＋ 1\）C ＼（a_n ＝ 2^n 1\）D ＼（a_n ＝ n ＋ 1\）5、已知等差数列\（＼｛a_n\｝＼）的前\（n\）项和为\（S_n\），若\（S_9 ＝ 72\），则\（a_5\）等于（）A 8B 9C 10D 12二、填空题1、等比数列\（＼｛c_n\｝＼）中，＼（c_1 ＝ 1\），＼（c_4 ＝8\），则\（c_7 ＝＼）＿____。

2、等差数列\（＼｛d_n\｝＼）中，＼（d_3 ＋ d_7 ＝ 10\），则\（d_5 ＝＼）＿____。

3、数列\（＼｛e_n\｝＼）的通项公式为\（e_n ＝ 3n 2\），则其前\（n\）项和\（T_n ＝＼）＿____。

4、等比数列\（＼｛f_n\｝＼）的公比为\（2\），前\（5\）项和为\（62\），则首项\（f_1 ＝＼）＿____。

5、已知数列\（＼｛g_n\｝＼）满足\（g_{n ＋ 1} ＝ 2g_n ＋ 1\），＼（g_1 ＝ 1\），则\（g_5 ＝＼）＿____。

三、解答题1、已知等差数列\（＼｛a_n\｝＼）中，＼（a_1 ＝ 5\），＼（a_3 ＝ 11\），求数列的通项公式及前\（n\）项和\（S_n\）。

高中数学数列专题课教案

高中数学数列专题课教案
一、课题：数列
二、教学目标：
1. 理解数列的概念和性质；
2. 掌握数列的常见类型和求和公式；
3. 能够独立解决数列相关问题。

三、教学重点和难点：
1. 数列的概念和性质；
2. 数列的求和公式；
3. 数列问题的解决方法。

四、教学内容和学习步骤：
1. 导入：通过一个生活实例引入数列的概念，引起学生对数列的兴趣。

2. 讲解：介绍数列的定义、常见类型（等差数列、等比数列等）、性质和求和公式。

3. 示例分析：通过几个实例详细解析数列的求和过程和解题方法。

4. 实践练习：让学生做一些练习题，巩固所学知识。

5. 提高拓展：设置一些拓展题，挑战学生的思维和解题能力。

6. 总结反思：对本节课的知识点进行总结，并鼓励学生自主学习。

五、教学资源：
1. 教科书和教辅资料；
2. 多媒体课件；
3. 练习题库。

六、教学评价：
1. 随堂小测验，检查学生掌握情况；
2. 课后作业，查漏补缺；
3. 学习反馈，及时了解学生学习情况。

七、教学过程管理：
1. 保证课堂纪律；
2. 注重启发式教学，激发学生学习兴趣；
3. 根据学生实际情况，灵活调整教学节奏。

以上是数学数列专题课的教案范本，希會对您有所帮助。

数学数列的概念选择题专项训练试题及答案

数学数列的概念选择题专项训练试题及答案一、数列的概念选择题1．已知数列{}n a 的前5项为：12a =，232a =，343a =，454a =，565a =，可归纳得数列{}n a 的通项公式可能为（） A ．1+=n n a nB ．21n n a n +=+ C ．3132n n a n -=-D ．221n na n =- 答案：A解析：A 【分析】将前五项的分母整理为1,2,3,4,5，则其分子为2,3,4,5,6，据此归纳即可. 【详解】因为12a =，232a =，343a =，454a =，565a =，故可得1223,12a a ==, 343a =，454a =，565a =，故可归纳得1+=n n a n. 故选：A. 【点睛】本题考查简单数列通项公式的归纳总结，属基础题.2．数列{}n a 中，()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（）A ．32B ．36C ．38D ．40答案：B解析：B 【分析】根据所给数列表达式，递推后可得()121121n n n a a n ++++-=+.并将原式两边同时乘以()1n-后与变形后的式子相加，即可求得2n n a a ++，即隔项和的形式.进而取n 的值，代入即可求解. 【详解】由已知()1121nn n a a n ++-=-，① 得()121121n n n a a n ++++-=+，②由()1n ⨯-+①②得()()()212121nn n a a n n ++=-⋅-++，取1,5,9n =及2,6,10n =，易得13572a a a a +=+=，248a a +=，6824a a +=，故81234836S a a a a a =++++⋅⋅⋅+=.故选：B. 【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键，属于中档题.3．已知数列{}n a 满足00a =，()11i i a a i +=+∈N ，则201kk a=∑的值不可能是（）A ．2B ．4C ．10D ．14答案：B解析：B 【分析】先由题中条件，得到21221i i i a a a +-=+，由累加法得到202211221k k a a ==-∑，根据00a =，()11i i a a i +=+∈N ，逐步计算出221a 所有可能取的值，即可得出结果.【详解】由11i i a a +=+得()2221121i i i i a a a a +=+=++，则21221i i i a a a +-=+，所以2221121a a a -=+， 2232221a a a -=+，……，2202022121a a a -=+，以上各式相加可得：()2112022102212 (20202)kk a a a a a a=-=+++++=∑，所以20221211220k k a a a ==--∑，又00a =，所以2120211a a a =++=，则202211221k k a a ==-∑，因为()11i i a a i +=+∈N ，00a =，则0111a a =+=，所以11a =±，则2110a a =+=或2，所以20a =或2±；则3211a a =+=或3，所以31a =±或3±；则4310a a =+=或2或4，所以42a =±或4±或0；则5411a a =+=或3或5，所以51a =±或3±或5±；……，以此类推，可得：211a =±或3±或5±或7±或9±或11±或13±或15±或17±或19±或21±，因此221a 所有可能取的值为222222222221,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21，所以221122a -所有可能取的值为10-，6-，2，14，30，50，74，102，134，170，210；则201kk a=∑所有可能取的值为10，6，2，14，30，50，74，102，134，170，210，即ACD 都有可能，B 不可能. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于将题中条件平方后，利用累加法，得到20221211220k k a a a ==--∑，将问题转化为求221a 的取值问题，再由条件，结合各项取值的规律，即可求解.4．已知数列{}n a 满足112n a +=+112a =，则该数列前2016项的和为（） A ．2015B ．2016C ．1512D ．30252答案：C解析：C 【分析】通过计算出数列的前几项确定数列{}n a 是以2为周期的周期数列，进而计算可得结论．【详解】依题意，112a =，211122a =，3111222a =+=， ⋯从而数列{}n a 是以2为周期的周期数列，于是所求值为20161(1)151222⨯+=，故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是联想到数列的周期性并找到数列的周期. 5．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，则4a 的值为（） A ．4B ．6C ．8D ．10答案：C解析：C 【分析】利用443a S S =-计算．【详解】由已知22443(44)(33)8a S S =-=+-+=．故选：C ．6．设n a 表示421167n n +的个位数字，则数列{}n a 的第38项至第69项之和383969a a a ++⋅⋅⋅+=（）A ．180B ．160C ．150D ．140答案：B解析：B 【分析】根据题意可得n a 为421167n n +的个位数为27n n +的个位数，而2n 的个位是以2,4,8,6为周期，7n 的个位数是以7,9,3,1为周期，即可求和. 【详解】由n a 为421167n n +的个位数，可得n a 为27n n +的个位数，而2n 的个位是以2,4,8,6为周期，7n 的个位数是以7,9,3,1为周期，所以27n n +的个位数是以9,3,1,7为周期，即421167n n +的个位数是以9,3,1,7为周期，第38项至第69项共32项，共8个周期，所以383969a a a ++⋅⋅⋅+=8(9317)160⨯+++=. 故选：B7．已知数列{a n }满足112,0,2121, 1.2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若a 1=35,则a 2019 = ( )A ．15B ．25C ．35D ．45答案：B解析：B 【分析】根据数列的递推公式，得到数列的取值具备周期性，即可得到结论．【详解】∵112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，又∵a 135=，∴a 2＝2a 1﹣1＝235⨯-115=，a 3＝2a 225=，a 4＝2a 3＝22455⨯=， a 5＝2a 4﹣1＝245⨯-135=，故数列的取值具备周期性，周期数是4，则2019a ＝50443a ⨯+＝325a =，故选B ．【点睛】本题主要考查数列项的计算，根据数列的递推关系是解决本题的关键．根据递推关系求出数列的取值具备周期性是解决本题的突破口．8．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）（注：()()22221211236n n n n ++++++=）A ．1624B ．1198C ．1024D ．1560答案：C解析：C 【分析】设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，则n c n =，依次用累加法，可求解.【详解】设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，设{}n c 的前n 项和为n C ，易得n c n =，()()()111121n n n n n n n C c c c b b b b b b +----=+++=++++-所以11n n b b C +=-，1213b a a -==22n n n C +=，进而得21332n n n nb C ++=+=+，所以()21133222n n n n b n -=+=-+，()()()()2221111121233226n n n n B n n n n +-=+++-++++=+同理：()()()111112n n n n n n n B b b b a a a a a a +---=+++=+++--11n n a a B +-=所以11n n a B +=+，所以191024a =. 故选：C 【点睛】本题考查构造数列，用累加法求数列的通项公式，属于中档题. 9．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（）A ．()21n a n n =-- B ．21n a n =-C ．()12n n n a +=D ．()12n n n a -=答案：C解析：C 【分析】首先根据已知条件得到410a =，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】由题知：410a =，对选项A ，()2444113a =--=，故A 错误；对选项B ，244115a =-=，故B 错误；对选项C ，()4441102a ⨯+==，C 正确；对选项D ，()444162a ⨯-==，故D 错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查数列的通项公式，属于简单题.10．已知数列{}n a 的通项公式为23nn a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则数列{}n a 中的最大项为（） A ．89B ．23C ．6481D ．125243答案：A解析：A 【分析】由12233nn n n a a +-⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，当n <2时，a n ＋1－a n >0，当n <2时，a n ＋1－a n >0，从而可得到n ＝2时，a n 最大. 【详解】解：112222(1)3333n n nn n n a a n n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{}n a 中的最大项为a 2或a 3，且2328239a a ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭. 故选：A . 【点睛】此题考查数列的函数性质：最值问题，属于基础题. 11．数列{}n a 中，11a =，12n n a a n +=+，则n a =（） A ．2n n 1-+B ．21n +C ．2(1)1n -+D ．2n答案：A解析：A 【分析】由题意，根据累加法，即可求出结果. 【详解】因为12n n a a n +=+，所以12n n a a n +-=，因此212a a -=，324a a -=，436a a -=，…，()121n n a a n --=-，以上各式相加得：()()()21246.1221..212n n n a a n n n ⎡⎤-+-⎣⎦-=+++==+--，又11a =，所以21n a n n =-+.故选：A. 【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项，属于基础题型.12．对于实数,[]x x 表示不超过x 的最大整数.已知正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1240S S S +++=（）A ．135B ．141C ．149D ．155答案：D解析：D 【分析】利用已知数列的前n 项和求其n S 得通项，再求[]n S 【详解】解：由于正项数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，所以当1n =时，得11a =，当2n ≥时，111111[()]22n n n n n n n S a S S a S S --⎛⎫=+=-+ ⎪-⎝⎭ 所以111n n n n S S S S ---=-，所以2=n S n ，因为各项为正项，所以=n S 因为[][][]1234851,1,[]1,[][]2S S S S S S =======,[]05911[][]3S S S ====,[]161724[][]4S S S ==== ,[]252635[][]5S S S ==== ,[]363740[][]6S S S ====.所以[][][]1240S S S +++=13+25+37+49+511+65=155⨯⨯⨯⨯⨯⨯，故选：D 【点睛】此题考查了数列的已知前n 项和求通项，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题. 13．已知数列{}n a 满足11a =),2n N n *=∈≥，且()2cos3n n n a b n N π*=∈，则数列{}n b 的前18项和为（） A ．120B ．174C ．204-D ．3732答案：B解析：B 【分析】将题干中的等式化简变形得211n n a n a n --⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式，由此计算出()32313k k k b b b k N *--++∈，进而可得出数列{}nb 的前18项和.【详解】)1,2n a n N n *--=∈≥，将此等式变形得211n n a n a n --⎛⎫= ⎪⎝⎭，由累乘法得22232121211211123n n n aa a n a a a a a n n--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()2cos3n n n a b n N π*=∈，22cos 3n n b n π∴=，()()222323134232cos 231cos 29cos 233k k k b b b k k k k k k πππππ--⎛⎫⎛⎫∴++=--+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭592k =-，因此，数列{}n b 的前18项和为()591234566921151742⨯+++++-⨯=⨯-=. 故选：B. 【点睛】本题考查并项求和法，同时也涉及了利用累乘法求数列的通项，求出32313k k k b b b --++是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 14．已知数列{}n a 满足12a =，111n na a +=-，则2018a =（）. A ．2B ．12 C ．1-D ．12-答案：B解析：B 【分析】利用递推关系可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，从而可得2018a . 【详解】在数列{}n a 中，111n na a +=-，且12a =， 211112a a ∴=-=， 3211121a a =-=-=- ， ()41311112a a a =-=--== ∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，201867232=⨯+， 2018212a a ∴==.故选：B 【点睛】本题考查了由数列的递推关系式研究数列的性质，考查了数列的周期性，属于基础题. 15．已知数列{}n a 满足1221n n n a a a ++=+，n *∈N ，若1102a <<，则（）A ．8972a a a +<B ．91082a a a +>C ．6978a a a a +>+D ．71089a a a a +>+答案：C解析：C 【分析】由递推公式1221n n n a a a ++=+得出25445n n n a a a ++=+，计算出25,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用递推公式推导得出()0,1n a ∈（n 为正奇数），1n a >（n 为正偶数），利用定义判断出数列{}()21n a n N *-∈和{}()2n a n N *∈的单调性，进而可得出结论.【详解】()()113212132221212221n n n n n n a a a a a a ++++===++++，110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，25,24a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭， ()()121259245221545944221454544452121n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++-+++=====-+++++⨯++，且()2241544545n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=++，()212122121n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=++. 110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则101a <<，则()()3590,14445n a a =-∈+，如此继续可得知()()210,1n a n N *-∈∈，则()22121212141=045n n n n a aa a -+---->+，所以，数列{}()21n a n N *-∈单调递增；同理可知，()21na n N *>∈，数列{}()2na n N *∈单调递减.对于A 选项，78a a <且79a a <，8972a a a ∴+>，A 选项错误；对于B 选项，89a a >且108a a <，则91082a a a +<，B 选项错误；对于C 选项，68a a >，97a a >，则6978a a a a +>+，C 选项正确；对于D 选项，79a a <，108a a <，则71098a a a a +<+，D 选项错误. 故选：C. 【点睛】本题考查数列不等式的判断，涉及数列递推公式的应用，解题的关键就是推导出数列{}()21n a n N *-∈和{}()2n a n N *∈的单调性，考查推理能力，属于难题.二、数列多选题16．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（） A ．－4B ．－2C ．0D ．2答案：AB 【分析】由题意可得，利用裂项相相消法求和求出，只需对于任意的恒成立，转化为对于任意的恒成立，然后将选项逐一验证即可求解. 【详解】，，则，，，，上述式子累加可得：，，对于任意的恒成立解析：AB 【分析】由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-，上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<，()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确；对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确；对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误；对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误，故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.17．若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中的项的值可能为（） A ．15B ．25C ．45D ．65答案：ABC 【分析】利用数列满足的递推关系及，依次取代入计算，能得到数列是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】数列满足，，依次取代入计算得，，，，，因此继续下去会循环解析：ABC 【分析】利用数列{}n a 满足的递推关系及135a =，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，依次取1,2,3,4,...n =代入计算得，211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234,,,5555. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题.18．(多选)在数列{}n a 中，若221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．(){}1n- 是等方差数列C ．{}2n是等方差数列.D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列答案：BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列中，是常数，是等方差数列，故解析：BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}na 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；对于C ，数列{}2n中，()()22221112234n n n n n aa ----=-=⨯不是常数，{}2n∴不是等方差数列，故C 错误；对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+，{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义，利用定义进行判断.19．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <.答案：ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且，所以公差，所以，即，根据等差数列的性质可得，又，所以，，故A 正解析：ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <，所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=，根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <，所以50a >，60a <，故A 正确；对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >，所以890,0a a ><，所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===，所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确；对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >， 116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <，所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >，所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确，故选：ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.20．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（） A ．59823a a S +=B ．27S S =C ．5S 最小D ．50a =答案：BD 【分析】设等差数列的公差为，根据条件、、成等差数列可求得与的等量关系，可得出、的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】设等差数列的公差为，则，，因为、、成等差数列，则，即，解得，，解析：BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出n a 、n S 的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则8118788282S a d a d ⨯=+=+，9119899362S a d a d ⨯=+=+，因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()219122n n n d n n d S na --=+=. 对于A 选项，59233412a a d d +=⨯=，()2888942d S d -⨯==-，A 选项错误；对于B 选项，()2229272d Sd -⨯==-，()2779772d Sd -⨯==-，B 选项正确；对于C 选项，()2298192224n d d S n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误；对于D 选项，50a =，D 选项正确. 故选：BD.【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和n S 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解.21．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，717S S =，则（） A ．0d < B ．120a > C ．13n S S ≤D ．当且仅当0nS <时，26n ≥答案：AB 【分析】根据等差数列的性质及可分析出结果. 【详解】因为等差数列中，所以，又，所以，所以，，故AB 正确，C 错误；因为，故D 错误，故选：AB 【点睛】关键点睛：本题突破口在于由解析：AB 【分析】根据等差数列的性质及717S S =可分析出结果. 【详解】因为等差数列中717S S =，所以89161712135()0a a a a a a ++++=+=，又10a >，所以12130,0a a ><，所以0d <，12n S S ≤，故AB 正确，C 错误；因为125251325()2502a a S a +==<，故D 错误，故选：AB 【点睛】关键点睛：本题突破口在于由717S S =得到12130a a +=，结合10a >，进而得到12130,0a a ><，考查学生逻辑推理能力.22．等差数列{}n a 的首项10a >，设其前n 项和为{}n S ，且611S S =，则（） A ．0d > B ．0d <C ．80a =D ．n S 的最大值是8S 或者9S答案：BD 【分析】由，即，进而可得答案．【详解】解：，因为所以，，最大，故选：．【点睛】本题考查等差数列的性质，解题关键是等差数列性质的应用，属于中档题．解析：BD 【分析】由6111160S S S S =⇒-=，即950a =，进而可得答案．【详解】解：1167891011950S S a a a a a a -=++++==，因为10a >所以90a =，0d <，89S S =最大，故选：BD ．【点睛】本题考查等差数列的性质，解题关键是等差数列性质的应用，属于中档题．23．无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（）A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列答案：ABC 【分析】由可求得的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当时，．当时，．当时，上式＝．所以若是等差数列，则所以当时，是等差数列，时是等比数列；当时，从第二项开始是等差数列．解析：ABC 【分析】由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当1n =时，11a S a b c ==++．当2n ≥时，()()221112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+．当1n =时，上式＝+a b ．所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴=所以当0c 时，{}n a 是等差数列， 0a cb ==⎧⎨≠⎩时是等比数列；当0c ≠时，{}n a 从第二项开始是等差数列．故选：A B C 【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题．24．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（） A ．a 6＞0 B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项答案：ABCD 【分析】S12＞0，a7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a6+a7＞0，a6＞0．再利用a3＝a1+2d ＝12，可得＜d ＜﹣3．a1＞0．利用S13＝13a7＜0．可得Sn ＜0解析：ABCD 【分析】S 12＞0，a 7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a 6+a 7＞0，a 6＞0．再利用a 3＝a 1+2d ＝12，可得247-＜d ＜﹣3．a 1＞0．利用S 13＝13a 7＜0．可得S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断出D 是否正确．【详解】∵S 12＞0，a 7＜0，∴()67122a a +＞0，a 1+6d ＜0．∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0，又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴247-＜d ＜﹣3．a 1＞0． S 13＝()113132a a +＝13a 7＜0．∴S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0．对于：7≤n ≤12时，nnS a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0，但是随着n 的增大而减小，可得：nnS a ＜0，但是随着n 的增大而增大． ∴n ＝7时，nnS a 取得最小值．综上可得：ABCD 都正确．故选：ABCD ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．25．设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1718S S =，则下列各式的值为0的是（） A ．17aB ．35SC ．1719a a -D ．1916S S -答案：BD 【分析】由得，利用可知不正确；；根据可知正确；根据可知不正确；根据可知正确. 【详解】因为，所以，所以，因为公差，所以，故不正确；，故正确；，故不正确；，故正确. 故选：BD.解析：BD 【分析】由1718S S =得180a =，利用17180a a d d =-=-≠可知A 不正确；；根据351835S a =可知 B 正确；根据171920a a d -=-≠可知C 不正确；根据19161830S S a -==可知D 正确. 【详解】因为1718S S =，所以18170S S -=，所以180a =，因为公差0d ≠，所以17180a a d d =-=-≠，故A 不正确；13518351835()35235022a a a S a +⨯====，故B 正确； 171920a a d -=-≠，故C 不正确；19161718191830S S a a a a -=++==，故D 正确.故选：BD. 【点睛】本题考查了等差数列的求和公式，考查了等差数列的下标性质，属于基础题.。

人教版高中数学《数列》全部教案

∴ 又是-1与3的等差中项 ∴
又是1与7的等差中项 ∴
解二：设 ∴
∴所求的数列为-1，1，3，5，7
五、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项
六、作业： P118 习题3．2 1-9
第四教时
教材：等差数列（二）
目的：通过例题的讲解，要求学生进一步认清等差数列的有关性质意义，并且能够用定义与通项公式来判断一个数列是否成等差数列。
过程：
一、引导观察数列：4，5，6，7，8，9，10，……
3，0，3，6，……
，，，，……
12，9，6，3，……
特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数 — “等差”
二、得出等差数列的定义：（见P115）
注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。
1．名称：AP首项公差
2．若则该数列为常数列
N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，当自变量从小到大依
次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。
6．用图象表示：— 是一群孤立的点
例一（P111 例一略）
三、关于数列的通项公式
1．不是每一个数列都能写出其通项公式（如数列3）
2．数列的通项公式不唯一如数列4可写成和
过程：
一、复习：等差数列的定义，通项公式
二、例一在等差数列中，为公差，若且
求证：1 2
证明：1设首项为，则
∵ ∴
2∵
∴
注意：由此可以证明一个定理：设成AP，则与首末两项距离相等的两项和等于首末两项的和，即：
同样：若则
例二在等差数列中，
1若求
解：即 ∴
2若求
解： =
3若求

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（五）数列A 组（1）设数列{}n a 是单调递增的等差数列,前三项的和是12, 前三项的积是48,则它的首项是(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8（2）一个各项均正的等比数列,其每一项都等于它后面的相邻两项之和,则公比q =( ) (A)32 (B) 352 (C) 512- (D)512+ （3）一个蜂巢里有1只蜜蜂,第1天,它飞出去找回了5个伙伴; 第2天, 6只蜜蜂飞出去,各自找回了5个伙伴,……,如果这个找伙伴的过程继续下去,第6天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有( )只蜜蜂. (A)55986 (B)46656 (C)216 (D)36（4）一个等比数列前n 项的和为48, 前2n 项的和为60, 则前3n 项的和为( )(A) 83 (B)108 (C)75 (D)63（5）已知等差数列245,4,3,77的前n 项和为n S ,则使得n S 最大的序号n 的值为 . （6）集合{}*21,,60M m m n n N m ==-∈<的元素个数是 ,这些元素的和为 .（7）在小于100的正整数中，被7除余2的数的个数有个；这些数的和是．（8）等差数列{}n a 的首项为,a 公差为d ;等差数列{}n b 的首项为,b 公差为e ,如果()1n n n c a b n =+≥,且124,8.c c == 则数列{}n c 的通项公式为 . （9）已知数列{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项和. 求证:61261812,,S S S S S --也成等差数列.（10）如图,作边长为a 的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后,再作新三角形的内切圆.如此下去,求前n 个内切圆的面积和.B 组（11）等比数列{}n a 中, 首项为1a ,公比为q , 则下列条件中, 使{}n a 一定为递减数列的条件是( ) (A) 1q < (B) 10,1a q >< (C)10,01a q ><<或10,1a q <> (D)1q >（12）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的,二进制即“逢二进一”.如(1101)2表示二进制的数, 将它转换成十进制的形式是3211212021213⨯+⨯+⨯+⨯=, 那么将二进制数(11111111)2转换成十进制的形式是( )(A) 922- (B) 821- (C) 822- (D) 721-（13）已知数列(){}f n 中,()()()()111,22,22(2,n f f f n f n n n -===-+≥∈N *),求()f n 的表达式.（14）观察下面的数阵, 容易看出, 第n 行最右边的数是2n , 那么第20行最左边的数是几?第20行所有数的和是多少?12 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25… … … … … …（15）选采问题:学校餐厅每天供应500名学生用餐,每星期一有A,B 两种菜可供选择.调查资料表明,凡是在星期一选A 种菜的,下星期一会有20% 改选B 种菜;而选B 种菜的,下星期一会有30% 改选A 种菜.用,n n a b 分别表示在第n 个星期选A 的人数和选B 的人数,如果1300,a =求10a .参考答案或提示：（五）数列（1）B （2）C （3）B （4）D （5）12（6）30,900（7）14, 665（8）4n （9）略（10）21(1)94n a π-（11）C （12）B （13）()()()11122,(321,(n n n f n n ++⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数时）1为奇数时）3（14）362,14859（15）300略解或提示:（1）设等差数列{}n a 前三项分别为,,a d a a d -+，依题意得()()1248a d a a d a d a a d -+++=⎧⎨-⨯⨯+=⎩解得42(2a d =⎧⎨=±-⎩由题意舍去）所以首项为2a d -=. 故选（B ）. (2)令()212k k k k a a a a q q++=+=+, 得210qq +-=, 解得152q -±=, 其中152q --=应舍去, 所以512q -=. 故选(C). (3)共有6646656=.故选(B).(4)解法1：设等比数列为{}n a ，前n 项和为n S ，取1n =，则148S =，260S =，即148a =，212a =，则22313a a a ==，则332363n S S S a ==+=，故选（D ）．解法2：由于n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列，∴ 48，12，360n S -成等比数列，即231248(60)n S =-，∴363n S =，故选（D ）．解法3：由题意知公比1q ≠,且()()12114811601n n a q q a q q ⎧-⎪=-⎪⎨-⎪=⎪-⎩解得114641n q a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以前3n 项的和为()311164163164n a q q-⎛⎫=⨯-= ⎪-⎝⎭.，故选(D).(5)公差234577d =-=-,令100n n a a +≥⎧⎨≤⎩可解得383353n n ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩故12n =.(6)令2160n -<,得612n <,又n ∈N *,所以1,2,,30n = .故集合M 的元素个数是30,其和为()()()()21122123012123030900⨯-+⨯-++⨯-=⨯+++-= .(7)令72100,k k N +<∈, 解得14,k <所以0,1,2,,13k = 共有14个.和为()()()(702)7127227132665⨯++⨯++⨯+++⨯+=. (8) 解法1：由于数列{}n a 和{}n b 都是等差数列，由于()1n n n c a b n =+≥，则{}n c 为等差数列，而124,8.c c ==，则该等差数列的公差为844-=，因此4(1)44n c n n =+-⨯=．解法2：由124,8c c ==得48a b a d b e +=⎧⎨+++=⎩，即44a b d e +=⎧⎨+=⎩所以 ()()()14n c a b n d e n =++-⨯+=. (9)证明:设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,则61121181615,1266,18153S a d S a d S a d =+=+=+. ()()()1266181212636,36S S S d S S S S d --=---= ,∴()()()12661812126S S S S S S S --=--- ∴61261812,,S S S S S --也成等差数列.(10) 设第n 个正三角形的内切圆的半径为n a ,因为从第2个正三角形开始,每一个正三角形的边长是前一个正三角形边长的12,每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的12.由题意知113tan 3026a a a ︒==,112n n a a -=.故前n个内切圆的面积和为()2122221211111444n na a a a ππ-⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++=++++⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦221114(1)1129414nn a a ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⨯=--.(12) (11111111)2765081212121221=⨯+⨯+⨯++⨯=- .故选（B ）. (13)当n 为偶数时,()()()11322422n n n f n f n f n ---=-+=-++ ()1332222n n f --==++++()13531122222223n n n n ---+=+++++=- . 当n 为奇数时,()()()11322422n n n f n f n f n ---=-+=-++()1321222n n f --==++++()11352121212222121312n n n n n +---+-=+++++==-- . ()()()11122,(321,(n n n f n n ++⎧-⎪⎪∴=⎨⎪-⎪⎩为偶数时）1为奇数时）3(14) 第20行最左边的数为2191362+=,第20行共有220139⨯-=个连续的自然数,它们的和是()39362400148592⨯+=.(15) 依题意得143510500n nn n na ab a b +⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，消去n b 得：111502n n a a +=+.由1300a =得2300a =,从而得10300a =.一般地，可推出11300(300)2n n a a +-=-，若1300a ≠，则数列{}300n a -是首项为1300a -，公比为12的等比数列．则111300(300)2n n a a -=+-⨯．。