四边形专题复习

证明：连接CD和BE，则HI=FG=BE,且 HI∥BE∥FG，GH=FI=CD，且 GH=FI=ＣＤ （三角形的中位线平行于底边且等于 D 底边的一半），在⊿ＡＤＥ和⊿ＡＢ Ｅ中，ＡＤ＝ＡＢ ＡＣ＝ＡＥ，且∠ＤＡＢ＋∠ＢＡＣ ＝∠ＥＡＣ＋∠ＢＡＣ ，既∠ＤＡ I Ｃ＝∠ＢＡＥ ∴⊿ＤＡＥ≌⊿ＢＡＥ，由此得 ∠ＡＤＣ＝∠ＡＢＥ，∴∠ＣＤＢ＋ ∠ＤＢＥ＝∠ＡＤＢ＋∠ＤＢＡ＝ ９０°，CD=BE既 FG=GH=HI=IF∴CD⊥BE， 既FG⊥GH，∴四边形FGHI是正方形
D E G
A
B
8.如图过正方形ABCD的A点 AM∥BD且DM=DB，求AM的长 解：设D坐标为(a,a)则直线BD为 y=x,AM为y=x+a,又设坐标M为 （x,y),MD 2=(x-a)2+(y-a)2=(xa)2+(x+a-a)2=2x2-2ax+a2=2a2 解得x=(1-√3) ÷2 M AM2=(0-x)2+(a-y)2 = (√6-√2)a／2

１４.如果四边形两条AB与CD对边中点 的连线等于另两条对边AD与BC是和的 一半，试证此四边形是梯形
证明：作DH∥EF ,NH∥AB,则GF是 ∥ ⊿NDH和⊿DNC中位线,NC∥FG, 连接DE并延长CB与CB的延长线 交于I，则EG是⊿DIN的中位线， ∴EG∥NI，在⊿DAE和⊿IBE中， I ＡＥ＝ＢＥ，ＤＥ＝ＩＥ，∠Ｄ ＡＥ＝∠ＩＥＢ，∴⊿ＤＡＥ ≌⊿ＩＢＥ，∴∠ＤＡＥ＝∠Ｉ ＢＥ，∴ＤＡ∥ＩＢ，∴ＡＤ∥ ＢＣ，∴四边形ＡＢＣＤ是梯形， 此题得证。
A E D F C H
G N
B
１５.如图所示，梯形ABCD的对角线AC、BD交于 Ｏ，⊿ＡＯＤ的面积为S1,⊿BOC的面积为S2，求 证，梯形ABCD的面积S=(S1)1／2 + (S2) 1／2 证明：要证S= = (S1)1／2 +(S2) 1／2 ，只需证⊿Ａ ＯＢ的面积＋⊿ＣＯＤ面积等于２ (S1)1／2 ×(S2) 1／2 而⊿ＡＯＢ面积＋⊿ＣＯＤ面积＝Ｓ -S１－ Ｓ２＝1／2（ＡＤ＋ＢＣ）PQ—1／2ＡＤ h１－1／2ＢＣｈ2=（ADh2+BC h1）,因为 ⊿AOD∽⊿BOC∴AD×OQ=BD×OP，既ＡＤ h2=BCh1,既证，而⊿ＡＯＢ面积＋⊿ＣＯＤ面 积＝ 1／2（ＡＤ＋ＢＣ）PQ—1／2ＡＤh１－1 ／2ＢＣｈ2 ＝ 1／2 （ＡＤ＋ＢＣ）PQ—ＡＤｈ P A １－ＢＣｈ２＝（ADh2+BC h1）=BCh1,而 ２ (S1)1／2 ×(S2) 1／2 =2×1／2（AD× OP） 1／2 O 1／2 =BCh1 （BC×OQ） Q B ∴⊿ＡＯＢ面积＋⊿ＣＯＤ面积＝ ２ (S1)1／2

D H E
FJ k I G
C
A
B
7.如图所示，在正方形ABCD中，E、 F分别是AD和CD的中点BF和CE交 于G，求证AG=AB

证明：设点A坐标为（0,0），B（2,0），C （2,2）直线BF为y=-2x+4,直线CE为 y=x／2+1由此得交点G坐标为（1.2,1.6）则 ＡG２＝Ｘ２＋Ｙ２＝（１．２）２＋（１．６） ２＝４∴AG=2=AB F C

A
D
B
C
9.如图过正方形ABCD的A点 AM∥BD且DM=DB，求AM的长





解：设AP=x,MP=y,由于AM∥BD， BD⊥AC，∴AM⊥AC， ∴⊿AMP是直角三角形，因此 ⊿AMP∽⊿ODP，∴AP／ OP=MP／DP， M ∴x／(√2／2-x)=y／(√2y),∴y=2x, 由于PD2= OP2+OD2 ∴（√2／2）2=（√2／2-x） 2+(√2-y)2∴x=√2／2-1／√6，由于 AM2=y2-x2=(2x)2-x2=3x2 ∴AM=√3(√2／2-1／√6)=(√6-√2)
C
A
E F
D
3.如图所示，在正方形ABCD中E为正方形CD 边的中点,F为EC的中点， 求证：∠DAE＝1／2∠BAF 证明取BC的中点J连接AJ并延长且与DC 的延 长线交于G，则⊿ABJ≌⊿GCH，∠G=∠BAG， DE=3／4CD则AF=5／4CD而 FG=AF∠G=∠GAF,而 ∠DAE=∠BAH∴∠DAE=2∠BAF此题得证
D E F C G
H
A
B
4.如图，以⊿ABC的AB和AC边源自外 做正方形ABEF和ACGH，点I是BC 的中点， 求证:FH＝2AI
F
J
H G
证明：延长AI至D，使DI＝AI E 则四边形ABDC是平行四边形， 在 ⊿ＡＦＨ和⊿ＢＤＡ中， ＡＦ= ＡＢ，ＡＨ＝ＡＣ＝ BD，∠FAH+∠BAC＝ 180°∠DBA+∠BAC=180° 所以∠FAH=∠ABD，因此 ⊿AFH≌⊿BDA，由此得证 FH=AD=2AI
A C I B D
5.如图 在平行四边形ABCD中 若AC2 ·ＢＤ２＝ＡＢ４＋ＡＤ４ 求证∠ＤＡＢ＝４５°
A
D
C
F E B

证明：设AB=a,AD=b,AC=p,BD=q则有 p2q2=a4+b4,又p2+q2=2(a4+b4)（定理126）, 根据韦达定理得：x2-2(a2+b2)x+a4+b4=0 解得：x=a2+b2+√2ab(根下2乘以 ab）,q2=a2+b2-√2ab,设 AE=b‘则q2=a2+b2-2ab’,由此得b=√2b‘既AD ／AE=√2由此∠A=45°此题得证
E
11．如图，正方形ABCD中， ∠EAF=45°，那么EF和 BE+DF是否相等？请说明理 由．
证明：延长EB到G，使BG=DF，则 ⊿ABG≌⊿ADF由此可证⊿AGE≌⊿AEF则 ＥＦ＝ＧＢ＋ＢＥ＝ＢＥ＋ＤＦ

A D F
G
B
E
C
12.如图所示ABCD为矩形AP⊥BD,PM⊥BC， PN⊥CD求证PM2／3+PN2／3=BD2／3 证明：设∠ABD=θ，BD =a,在直角⊿ABD中， PM⊥BC， ∴∠BPM=∠ABD=θ，∴PM=PBcosθ 在直角⊿APB中PB=ABcosθ ∴PM=ABcos2θ，――(2)在直角⊿BAD中 A AB=BDcosθ,带入（2）中得： D PM=BDcos3θ=acos3θ,同理可得： P N 2θ=asin3θ PN=PDsinθ=ADsin B M C ∴PM2／3+PN2／3 =(acos3θ) 2／3 +(asin3θ) 2／3 = a 2／3 (sin2θ+cos2θ)= a2／3=BD2／3
平行 四边 形
①对边平行且相等 ②对角相等
③两条对角线互相平分
矩 形 菱 形
①对边平行且相等 ②四个角都是直角 ③对角线互相平分且相等 ①对边平行且四条边相等 ②对角相等 ③两条对角线互相垂直平
分且对角线平分对角
①有三个角是直角的四边形 ②是平行四边形且有一个角是直角 ③是平行四边形且两条对角线相等 ①四条边都相等 ②是平行四边形且有一组邻边相等 ③是平行四边形，且两条对角线互相垂

13.在正方形ＡＢＣＤ中过Ａ作ＢＤ的平行线 ＡＥ且使ＢＥ＝ＢＤ，求证ＤＥ＝ＤＦ
证明：作垂线BG 与EA的延长线相交于G，∵Ｅ Ｇ∥ＢＤ∴ＡＣ⊥ＥＧ ∴∠ＢＡＧ ＝ＡＢＧ＝４５°∵ＡＧ＝ＢＧ，由 于ＢＥ２＝ＢＤ２＝ E ２ＡＢ２＝４ＢＧ２∴ＥＢ＝２ＢＥ A D ∴∠ＢＥＧ＝ＤＢＥ＝３０° F ∴∠ＤＦＥ＝∠ＦＥＡ＋∠FAE G =４５°＋３０°＝７５°， C ∠ＢＥＤ＝（１８０°－３０°） B ＝７5°∴∠ＤＥＦ＝ＤＦＥ＝７５° ∴ＤＥ=EＦ，此题得证
O E G B C
19.如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对 角线AC和BD交于O，且∠BOC=60°点E、F、G 分别是 CD、OA、OB的中点，求证：⊿EFG是正三角形
直
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二：特殊四边形的性质和判定
类别
正 方 形
性
质
判
定
①对边平行，四条边都相等 ②对角相等 ③两条对角线互相垂直平分
①是矩形，且有一组邻 边相等 ②是菱形，且一角是直 角
梯 形 等腰 梯形
①两底平行 ①有一组对边平行的四 边形是梯形 梯形的中位线平行两底且等于两 底和的一半 ①两底平行两腰相等 ②两条对角线相等 ③同底上的两角相等 ①是梯形，且两腰相等 ②是梯形，且同底上的 两底角相等
三：四 边 形 的 面 积
长为b,高为h,面 积为S 长为a,宽为b,面 积为S S=bh
平行四边形
S=ab
矩形
菱形 正方形 梯形
长对角线为L1，短对 S=1／2L1L2 角线为L2 面积为S
边长为a,面积为S S=a2 上底长为a,下底
S=1／2（a+b)h
1如图所示 ，以⊿ABC的AB和AC边为腰，向外作等腰 直角三角形ABD和ACE，取BC、CE、ED、DB的中点 F、G、H、I，求证四边形FGHI是正方形
D
C
16.在正方形ABCD中，CE∥BD， BE=BD，求证：DH=DE
证明：设BC=1,则BE=BD =( 2)1 ／2 ，在⊿BCE中，BE／ sin135°=BC／sin∠BEC，既 ( 2)1／2 ／sin135°= 1／ sin∠BEC A ∴sin∠BEC=1／2∴∠BEC =30° ∴∠DHE=(45+30)°=75°=∠D EH∴DE=DH,此得证题
6.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AD 和CD的中点BF和CE交于G，求证AI=AB
证明：作FI∥BC交CE于I， GJ⊥CD,GH与FI相较于K， BC=2ED =4FI，⊿FIG∽⊿ BCG， JG:FI=4:5，KI=FI﹣GJ=1 ／4 BC ﹣ 1／4BC× 4／5= 1／20BC， KG= 1／10CD，HG= 1／2BC+ 1／10BC= 3／5BC， AH= 1／2BC + 1／4 BC+ 1／20BC=4／5BC ,所以 AI2=（4／5BC）2+（ 3／5BC）2 AI=BC此题得证，