高三复习——异面直线

高三复习——异面直线考点1 异面直线所成的角此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角.异面直线所成的角是高考考查的重点.例1如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --的直二面角．D 是AB 的中点．（I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（II ）求异面直线AO 与CD 所成角的正切值的大小． 解答过程：（I ）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥，BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角， CO BO ∴⊥，又AOBO O =，CO ∴⊥平面AOB ，又CO ⊂平面COD ．∴平面COD ⊥平面AOB ．（II ）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DE AO ∥，CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角．在Rt COE △中，2CO BO ==，112OE BO ==，CE ∴又12DE AO =∴在Rt CDE △中，tan CE CDE DE=同步练习：1. 在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中，∠ABC=90°，SA ⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=12 （1）求四棱锥S-ABCD 的体积； （2）求直线AB 与直线SD 所成角的大小OCADBE2.在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M 是AB的中点．（I）求证：CM⊥EM；（Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角3.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（Ⅰ）求PB和平面PAD所成的角的大小；（Ⅱ）证明AE⊥平面PCD；（Ⅲ）求二面角A-PD-C的大小．考点2.简单多面体的侧面积及体积的计算棱柱侧面积转化成求矩形或平行四边形面积，棱柱侧面积转化成求三角形的面积. 直棱柱体积V 等于底面积与高的乘积.棱锥体积V 等于31Sh 其中S 是底面积，h 是棱锥的高.例2. 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2a ，BC ＝CA ＝AA 1＝a ， A 1在底面△ABC 上的射影O 在AC 上 ① 求AB 与侧面AC 1所成角；② 若O 恰好是AC 的中点，求此三棱柱的侧面积.[思路启迪]①找出AB 与侧面AC 1所成角即是∠CAB ；②三棱锥侧面积转化成三个侧面面积之和，侧面BCC 1B 1是正方形，侧面ACC 1A 1和侧面ABB 1A 1是平行四边形，分别求其面积即可. 解答过程：①点A 1在底面ABC 的射影在AC 上， ∴ 平面ACC 1A 1⊥平面ABC .在△ABC 中，由BC ＝AC ＝a ，AB ＝2a . ∴ ∠ACB ＝90°，∴ BC ⊥AC . ∴ BC ⊥平面ACC 1A 1.即 ∠CAB 为AB 与侧面AC 1所成的角在Rt △ABC 中，∠CAB ＝45°. ∴ AB 与侧面AC 1所成角是45°.∵ O 是AC 中点，在Rt △AA 1O 中，AA 1＝a ，AO ＝21a . ∴ AO 1＝23a . ∴ 侧面ACC 1A 1面积S 1＝2123a ＝AO AC . 又BC ⊥平面ACC 1A 1 ， ∴ BC ⊥CC 1. 又BB 1＝BC ＝a ，∴ 侧面BCC 1B 1是正方形，面积S 2＝a 2.过O 作OD ⊥AB 于D ，∵ A 1O ⊥平面ABC ，∴A 1D ⊥AB .A 1B 1C 1AB CDO在Rt △AOD 中，AO ＝21a ，∠CAD ＝45° ∴ OD ＝42a 在Rt △A 1OD 中，A 1D ＝222122342）＋（）（＝a a O ＋A OD ＝a 87. ∴ 侧面ABB 1A 1面积S 3＝a a D ＝A AB 8721⋅⋅＝227a .∴ 三棱柱侧面积 S ＝S 1＋S 2＋S 3＝273221a ）＋＋（.同步练习：1. 如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4将△CBD 沿BD 折起到△EBD 的位置，使平面EDB ⊥平面ABD（I ）求证：AB ⊥DE （Ⅱ）求三棱锥E-ABD 的侧面积2.如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，∠ABD=60°，∠BDC=45°，△ADP ～△BAD ．（1）求线段PD 的长；（2）若PC ＝11 R ，求三棱锥P-ABC 的体积．考点3 异面直线的距离（1）直接法：根据定义，直接找出公垂线段，再求其长，这是解题时首先要考虑的方法。

例1. 如图所示，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC//D 1B ，且平面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°，AB=a ，求异面直线A B 11与AC 之间的距离。

解：连结DB ，设DB 交AC 于点O 由题设知ABCD A B C D -1111是正四棱柱 则A A ABCD A A AC A A A B 11111⊥⊥⊥底面，即，而 所以A A 1是异面直线A B 11与AC 的公垂线段由题意分析知∠为平面与底面DOE EAC ABCD 所成的角则∠DOE=45°又∵截面EAC//D 1B ，且平面D 1BD 与平面EAC 的交线为EO ∴D 1B//EO ，∠DBD 1=∠DOE=45° ∴D 1D=DB=2a ∵AA 1=D 1D∴异面直线A 1B 1与AC 之间的距离为2a（2）间接法：当采用直接法不便于求解或证明时，可利用已知条件进行间接求解或证明的方法。

1’线面距离法：选择异面直线中的一条，过它作另一条直线的平行平面，则此直线与平行平面的距离即为异面直线间的距离。

例2. 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，AD=3，AA 1=4，求异面直线AB 与A 1C 间的距离。

解：如图所示，连结A 1D 由AB//DC ，得AB//平面A 1DC故AB 到平面A 1DC 的距离即为AB 与A 1C 间的距离 又平面A 1D ⊥平面A 1DC 及平面A 1D ⊥AB 故可在平面A 1D 内过A 作AE ⊥A 1D 于点E则AE 为AB 到平面A 1DC 的距离即为异面直线AB 与A 1C 间的距离。

由AD AA A D AE ··11= 可得AE =1252’面面距离法：把所求异面直线间的距离转化为分别过两条异面直线的两个平行平面间的距离。

例3. 如图所示，正方体ABCD A B C D -1111的棱长为1，求异面直线A 1D 与AC 间的距离。

解：连结A C C D AB B C A D AC 11111、、、，与分别在两个相互平行的平面A DC 11和B CA 1内，则A 1D 与AC 间的距离就是两个相互平行的平面A 1DC 1和B 1CA 之间的距离。

连结BD ，且交AC 于点O ，作OO 1⊥平面AC 交平面A 1C 1于O 1 连结DO 1，作OE ⊥DO 1于E可知OE 为两平行平面A 1DC 1和B 1CA 之间的距离 在Rt △DOO 1中，OO DO DO 1112262===，，。

∴·OE OO DO DO ==1133∴异面直线A 1D 与AC 间的距离为33同步练习：如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线DB 1与AC 间的距离。

高三复习——异面直线考点1 异面直线所成的角此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角.异面直线所成的角是高考考查的重点.例1如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --的直二面角．D 是AB 的中点．（I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（II ）求异面直线AO 与CD 所成角的正切值的大小．同步练习：1. 在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中，∠ABC=90°，SA ⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=12 （1）求四棱锥S-ABCD 的体积； （2）求直线AB 与直线SD 所成角的大小OC ADBE2.在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M 是AB的中点．（I）求证：CM⊥EM；（Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角3.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（Ⅰ）求PB和平面PAD所成的角的大小；（Ⅱ）证明AE⊥平面PCD；（Ⅲ）求二面角A-PD-C的大小．考点2.简单多面体的侧面积及体积的计算棱柱侧面积转化成求矩形或平行四边形面积，棱柱侧面积转化成求三角形的面积. 直棱柱体积V 等于底面积与高的乘积.棱锥体积V 等于31Sh 其中S 是底面积，h 是棱锥的高.例2. 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2a ，BC ＝CA ＝AA 1＝a ， A 1在底面△ABC 上的射影O 在AC 上 ① 求AB 与侧面AC 1所成角；② 若O 恰好是AC 的中点，求此三棱柱的侧面积.同步练习：2. 如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4将△CBD 沿BD 折起到△EBD 的位置，使平面EDB ⊥平面ABD （I ）求证：AB ⊥DE （Ⅱ）求三棱锥E-ABD 的侧面积A 1B 1C 1ABCDO2.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD=60°，∠BDC=45°，△ADP～△BAD．（1）求线段PD的长；（2）若PC＝11 R，求三棱锥P-ABC的体积．考点3 异面直线的距离（1）直接法：根据定义，直接找出公垂线段，再求其长，这是解题时首先要考虑的方法。

例1. 如图所示，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC//D1B，且平面EAC与AC之间的距离。

与底面ABCD所成的角为45°，AB=a，求异面直线A B11（2）间接法：当采用直接法不便于求解或证明时，可利用已知条件进行间接求解或证明的方法。

1’线面距离法：选择异面直线中的一条，过它作另一条直线的平行平面，则此直线与平行平面的距离即为异面直线间的距离。