江苏省南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学试卷
江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟考试数学试题+word版含答案
南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学1、已知集合{}101,,-=A ，),(0-∞=B ，则=B A ．2、已知复数z 满足21=+)(i z ，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为 ．3、已知样本数据54321x x x x x ,,,,的方差32=s ，则样本数据5432122222x x x x x ,,,,的方 差为 ．4、如图是一个算法流程图，则输出的x 的值是 ．5、在数字4321,,,中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为 ．6、已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤+>yx y x x 2270，则x y 的最小值是 ．7、设双曲线)(01222>=-a y ax 的一条渐近线的倾斜角为30，则该双曲线的离心率为．8、设数列{}n a 是等差数列，若21654=++a a a ，则=9S ． 9、将函数)sin(323π+=x y 的图象向右平移)(20πϕϕ<<个单位后，所得函数为偶函数，则=ϕ ．10、将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，23==BC AB ,，圆柱上底面圆心 为O ，EFG ∆为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥EFG O -体积的最大值是 ．11、在ABC ∆中，已知33π==C AB ,，则⋅的最大值为 ．12、如图，在平面直角坐标系xOy 中，分别在x 轴与直线)(133+=x y 上从左向右依次 取点 ,,,,21=k B A k k ，其中1A 是坐标原点，使1+∆k k k A B A 都是等边三角形，则111010A B A ∆的边长是 ．13、在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为函数x y ln 2=的图象与圆2223r y x M =+-)(:的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数)(x f y =的图象经过点M P O ,,，则函数)(x f y =的最大值为 ．14、在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若82222=++c b a ，则ABC ∆的面积的最大值为 ．15、如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，AC BC ⊥，E D ,分别是AC AB ,的中点． （1）求证：//11C B 平面DE A 1； （2）求证：平面⊥DE A 1平面11A ACC ．16、在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,所对的边，且B c C b sin sin =2． （1）求角C 的值； （2）若533=-)sin(πB ，求A sin 的值．17、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222b y x O =+:经过椭圆14222=+by x E :)(20<<b 的焦点．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）记直线m kx y l +=:交椭圆E 于Q P ,两点，T 为弦PQ 的中点，),(),,(0101N M -， 记直线TN TM ,的斜率分别为21k k ,，当12222=-k m 时，求21k k ⋅的值．18、如图所示，某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活 动中心，其中30=AE 米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截 面图的下部分是长方形ABCD ，上部分是以DC 为直径的半圆．为了保证居民楼住户的 采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过52. 米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足43=θtan ． （1）若设计18=AB 米，6=AD 米，问能否保证上述采光要求?（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB 与AD 的长度，可使得活动中心的截 面面积最大？（注：计算中π取3）19、设函数x x f ln )(=，)()(R ∈--+=a xa ax x g 31． （1）当2=a 时，解关于x 的方程0=)(x e g （其中e 为自然对数的底数）； （2）求函数)()()(x g x f x +=ϕ的单调增区间；（3）当1=a 时，记函数)()()(x g x f x h ⋅=，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式)(x h ≥λ2有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：693102.ln ≈，098613.ln ≈）20、若存在常数d q k k k ,),,(2≥∈*N ，使得无穷数列{}n a 满足⎪⎩⎪⎨⎧∈∉+=**+NN k n qa k n d a a n n n ,,1， 则称数列{}n a 为“段比差数列”，其中常数d q k ,,分别叫做段长、段比、段差．设数列{}n b 为“段比差数列”．（1）若数列{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为331,,,q ．①当0=q 时，求2016b ；②当1=q 时，设数列{}n b 的前n 3项和为n S 3，若不等式133-⋅≤n n S λ对*∈N n 恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设数列{}n b 为等比数列，且首项为b ，试写出所有满足条件的{}n b ，并说明理由．南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. {}1-2. 13. 124. 95.56 6. 34 7.8. 63 9. 512π 10. 4 11. 32 12.512 13. 98 14. 5二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．证明：（1）因为D ,E 分别是AB ,AC 的中点，所以//DE BC ， ...............2分又因为在三棱柱111ABC A B C -中，11//B C BC ，所以11//B C DE . ...............4分又11B C ⊄平面1A DE ，DE ⊂平面1A DE ，所以11B C ∥平面1A DE . ...............6分 （2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，又DE ⊂底面ABC ，所以1CC DE ⊥. ...............8分 又BC AC ⊥，//DE BC ，所以DE AC ⊥， ...............10分 又1,CC AC ⊂平面11ACC A ，且1C C A C C = ，所以DE ⊥平面11ACC A . ...............12分 又DE ⊂平面1A DE ，所以平面1A DE ⊥平面11ACC A ． ...............14分 （注：第（2）小题也可以用面面垂直的性质定理证明DE ⊥平面11ACC A ，类似给分）16．解：（1）由sin 2sin b C c B =，根据正弦定理，得2sin sin cos sin sin B C C C B =， …………2分因为sin 0,sin 0B C >>，所以1cos 2C =， …………4分 又(0,)C π∈，所以3C π=. …………6分（2）因为3C π=，所以2(0,)3B π∈，所以(,)333B πππ-∈-，又3sin()35B π-=，所以4cos()35B π-==. …………8分又23A B π+=，即23A B π=-， 所以2sin sin()3A B π=-sin(())sin cos()cos sin()333333B B B ππππππ=--=--- ………12分413525=-⨯=. …………14分17．解：（1）因02b <<，所以椭圆E 的焦点在x 轴上，又圆222:O x y b +=经过椭圆E 的焦点，所以椭圆的半焦距c b =， ……………3分所以224b =，即22b =，所以椭圆E 的方程为22142x y +=. ……………6分 （2）方法一：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)T x y ，联立22142x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得222(12)4240k x kmx m +++-=， 所以122412km x x k +=-+，又22221m k -=，所以12x x +2k m =-， 所以0k x m =-，012k y m k m m =-⋅=， ……………10分则1222221111122442(22)211m m k k k k k m m k m m⋅=⋅===-----+--. ……………14分 方法二：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)T x y ， 则22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式作差，得()()()()12121212042x x x x y y y y +-+-+=，又1202x x x +=，1202y y y +=，∴()()01201202x x x y y y -+-=，∴()01201202y y y x x x -+=-， 又11(,)P x y ，22(,)Q x y 在直线y kx m =+上，∴1212y y k x x -=-，∴0020x ky +=，①又00(,)T x y 在直线y kx m =+上，∴00y kx m =+，②由①②可得02212km x k =-+，0212my k =+. ……………10分 以下同方法一.18．解：如图所示，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．（1）因为18AB =，6AD =，所以半圆的圆心为(9,6)H半径9r =．设太阳光线所在直线方程为34y x b =-+，即3440x y b +-=， ...............2分 9=，解得24b =或32b =（舍）.故太阳光线所在直线方程为3244y x =-+， ...............5分令30x =，得 1.5EG =米 2.5<米.所以此时能保证上述采光要求. ...............7分 （2）设AD h =米，2AB r =米，则半圆的圆心为(,)H r h ，半径为r ．方法一：设太阳光线所在直线方程为34y x b =-+， 即3440x y b +-=r =，解得2b h r =+或b h = ...............9分故太阳光线所在直线方程为324y x h r =-++，令30x =，得4522EG r h =+-，由52EG ≤，得252h r ≤-. ...............11分所以222133222(252)222S rh r rh r r r r π=+=+⨯≤-+⨯225550(10)25025022r r r =-+=--+≤.当且仅当10r =时取等号.所以当20AB =米且5AD =米时，可使得活动中心的截面面积最大. ...............16分 方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG 恰为2.5米，则此时点G 为(30,2.5)，设过点G 的上述太阳光线为1l ，则1l 所在直线方程为y －52＝－34(x －30)，即341000x y +-=． ...............10分 由直线1l 与半圆H 相切，得|34100|5r h r +-=．而点H (r ，h )在直线1l 的下方，则3r ＋4h －100＜0，即341005r h r +-=-，从而252h r =-． ...............13分又221322(252)22S rh r r r r π=+=-+⨯225550(10)25025022r r r =-+=--+≤.当且仅当10r =时取等号.所以当20AB =米且5AD =米时，可使得活动中心的截面面积最大. ...............16分19．解：（1）当2a =时，方程()0xg e =即为1230x x e e +-=，去分母，得22()310x x e e -+=，解得1x e =或12x e =， ……………2分故所求方程的根为0x =或ln 2x =-. ……………4分（2）因为1()()()ln 3(0)a x f x g x x ax x xϕ-=+=++->， 所以222211(1)((1))(1)()a ax x a ax a x x a x x x x ϕ-+----+'=+-==（0x >）， ……………6分①当0a =时，由()0x ϕ'>，解得0x >；②当1a >时，由()0x ϕ'>，解得1a x a->；③当01a <<时，由()0x ϕ'>，解得0x >； ④当1a =时，由()0x ϕ'>，解得0x >；⑤当0a <时，由()0x ϕ'>，解得10a x a-<<.综上所述，当0a <时，()x ϕ的增区间为1(0,)a a-； 当01a ≤≤时，()x ϕ的增区间为(0,)+∞；1a >时，()x ϕ的增区间为1(,)a a-+∞. .……………10分 （3）方法一：当1a =时，()3g x x =-，()(3)ln h x x x =-，所以3()ln 1h x x x '=+-单调递增，33()ln 12022h '=+-<，3(2)ln 2102h '=+->，所以存在唯一03(,2)2x ∈，使得0()0h x '=，即003ln 10x x +-=， .……………12分当0(0,)x x ∈时，()0h x '<，当0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>，所以20min 00000000(3)39()()(3)ln (3)(1)6()x h x h x x x x x x x x -==-=--=-=-+，记函数9()6()r x x x =-+，则()r x 在3(,2)2上单调递增， .……………14分所以03()()(2)2r h x r <<，即031()(,)22h x ∈--，由322λ≥-，且λ为整数，得0λ≥，所以不等式2()h x λ≥有解时的λ的最小整数为0. .……………16分 方法二：当1a =时，()3g x x =-，所以()(3)ln h x x x =-，由(1)0h =得，当0λ=时，不等式2()h x λ≥有解， .……………12分 下证：当1λ≤-时，()2h x λ>恒成立，即证(3)ln 2x x ->-恒成立. 显然当(0,1][3,)x ∈+∞ 时，不等式恒成立， 只需证明当(1,3)x ∈时，(3)ln 2x x ->-恒成立.即证明2ln 03x x +<-.令2()ln 3m x x x =+-， 所以2221289()(3)(3)x x m x x x x x -+'=-=--，由()0m x '=，得4x = .……………14分当(1,4x ∈，()0m x '>；当(4x ∈，()0m x '<；所以max 21()(4ln(4ln(42)ln 2103m x m +==<--=-<. 所以当1λ≤-时，()2h x λ>恒成立.综上所述，不等式2()h x λ≥有解时的λ的最小整数为0. .……………16分20．（1）①方法一：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3， 2014201300b b ∴=⨯=，2015201433b b ∴=+=，2016201536b b ∴=+=. ……………3分方法二：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴11b =，24b =，37b =，4300b b =⨯=，5433b b =+=，6536b b =+=，7600b b =⨯=，… ∴当4n ≥时，{}n b 是周期为3的周期数列.∴201666b b ==. ……………3分 ②方法一：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴()()()32313131331313126n n n n n n n n b b b d b qb d b q b d d b d +-+-----=+-=+-=++-==⎡⎤⎣⎦，∴{}31n b -是以24b =为首项、6为公差的等差数列，又()()32313313131313n n n n n n n b b b b d b b d b ------++=-+++= ，()()()312345632313n n n n S b b b b b b b b b --∴=+++++++++()()2253113346932n n n b b b n n n --⎡⎤=++=+⨯=+⎢⎥⎣⎦， ……………6分133n n S λ-≤⋅ ，313n n S λ-∴≤，设313n n n Sc -=，则()max n c λ≥，又()()()2221112322913193333n n n n n n n n n n n c c +-----++++-=-=， 当1n =时，23220n n --<，12c c <；当2n ≥时，23220n n -->，1n n c c +<，∴123c c c <>>⋅⋅⋅，∴()2max 14n c c ==， ……………9分 ∴14λ≥，得[)14,λ∈+∞. ……………10分 方法二：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴313n n b b +=，∴333333126n n n n b b b b d +++-=-==，∴{}3n b 是首项为37b =、公差为6的等差数列，∴()2363176342n n n b b b n n n -+++=+⨯=+ ， 易知{}n b 中删掉{}3n b 的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，()21245323122121362n n n n b b b b b b n n n ---∴++++++=⨯+⨯=- ，()()222334693n S n n n n n n ∴=++-=+， ………………6分以下同方法一.（2）方法一：设{}n b 的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ，则等比数列{}n b 的公比为1k kb q b +=，由等比数列的通项公式有1n n b bq -=， 当m N *∈时，21k m k m b b d ++-=，即()11k m k m k m bq bq bq q d +-=-=恒成立， ……………12分 ①若1q =，则0d =，n b b =； ②若1q ≠，则()1kmd qq b=-，则km q 为常数，则1q =-，k 为偶数，2d b =-，()11n n b b -=-；经检验，满足条件的{}n b 的通项公式为n b b =或()11n n b b -=-. ……………16分方法二：设{}n b 的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ，①若2k =，则1b b =，2b b d =+，()3b b d q =+，()4b b d q d =++，由2132bb b =，得b d bq +=；由2243b b b =，得()()2b d q b d q d +=++，联立两式，得01d q =⎧⎨=⎩或21d b q =-⎧⎨=-⎩，则n b b =或()11n n b b -=-，经检验均合题意. …………13分②若3k ≥，则1b b =，2b b d =+，32b b d =+，由2132bb b =，得()()22b d b b d +=+，得0d =，则n b b =，经检验适合题意. 综上①②，满足条件的{}n b 的通项公式为n b b =或()11n n b b -=-. ……………16分附加题答案21. A 、解：由切割线定理得：PD PA PC PB ⋅=⋅则4(24)3(3)BC ⨯+=⨯+，解得5BC =， …………4分又因为AB 是半圆O 的直径，故2π=∠ADB , …………6分则在三角形PDB 中有34166422=-=-=PD PB BD . …………10分B 、解：由题意得 2112 322m λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦， …………4分则4262m λλ-=⎧⎨+=-⎩， …………8分 解得0m =，4λ=-. …………10分C 、解：直线35:(45x t l t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)化为普通方程为034=-y x ， …………2分 圆C 的极坐标方程2cos ρθ=化为直角坐标方程为()1122=+-y x ， …………4分则圆C 的圆心到直线l 的距离为()5434422=-+=d ， …………6分 所以56122=-=d AB . …………10分 D 、解：由柯西不等式，得2222222(2)(121)()x y z x y z ++≤++⋅++，即2x y z ++≤， …………5分又因为21x y z ++=，所以61222≥++z y x ， 当且仅当121x y z ==，即11,63x z y ===时取等号. 综上，()61min 222=++z y x . …………10分22．解：（1）这两个班“在星期一综合实践课节次不同”的概率为321333P =-=⨯. …………4分 （2）由题意得1~(5,)3X B ，5512(),0,1,2,3,4,533k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. …………6分所以X…………8分所以，X 的数学期望为15()533E X =⨯=. …………10分 23.解：（1）①()()()()111!!!!1!!k k n n n n kC nC k n k n k k n k ----=⨯-⨯--- ()()()()!!01!!1!!n n k n k k n k =-=----. ……………2分 ②()()()()()()2212212!!11!!2!!k k k n n n n n k C n n C nC k n n k n k k n k --------=⨯--⨯--- ()()()1!1!!n n k n k --⨯--()()()()()()!!!1!!2!!1!!n n n k k n k k n k k n k =⨯-------- ()()!1102!!11n k k n k k k ⎛⎫=--= ⎪----⎝⎭. ………………4分（2）方法一：由（1）可知当2k ≥时()()2221212k k k k kn n n n n k C k k C k C kC C +=++=++()()21121211211213k k k k k k kn n n n n n n n n C nC nC C n n C nC C ----------⎡⎤=-+++=-++⎣⎦. ……………6分 故()()2220212212311k nn n n n n C C C k C n C +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++()()()()20210121212221111213n n n n n n n n n n C C n n C C C n C C C --------=++-+++++++L L ()23n n n n C C C ++++L ()()()()21141232121n n n n n n n n --=++-+-+--()22254n n n -=++. ……………10分方法二：当3n ≥时，由二项式定理，有()12211nk k n nn n n n x C x C x C x C x +=++++++ ，两边同乘以x ，得()1223111nk k n n n n n n x x x C x C x C x C x +++=++++++ ，两边对x 求导，得()()()()11221112311nn k k n nn n n n x n x x C x C x k C x n C x -+++=++++++++ ，……………6分两边再同乘以x ，得()()()()12122311112311nn k k n n n n n n x x n x x x C x C x k C x n C x -+++++=++++++++ ，两边再对x 求导，得()()()()()1212111121nn n n x n x x n n x x n x x ---++++-+++()()222122212311k k n nn n n n C x C x k C x n C x =++++++++ . ……………8分令1x =，得()121221222nn n n n n n n ---++-+()()22212212311k nnn n n C C k C n C =+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++， 即()()2220212212311k n n n n n n C C C k C n C +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++()22254n n n -=++. …………10分。
2017年南京盐城高三一模数学
密封线____________ 号学 ____________ 名姓 ____________ 级班 ____________校学(这是边文，请据需要手工删加)2017届高三年级第一次模拟考试（一）·数学 第页(共6页）(这是边文，请据需要手工删加)南京，盐城高三第一次模拟考试2017届高三年级第一次模拟考试(一)数学（总分160分，考试时间120分钟)参考公式：锥体体积公式：V ＝13Sh ,其中S 为底面积，h 为高； 柱体体积公式：V ＝Sh ，其中S 为底面积,h 为高．样本数据x 1，x 2，…,x n 的方差s 2＝错误!错误! （x i －x )2，其中x ＝错误!错误!x i 。
一、 填空题（本大题共14小题，每小题5分,计70分．不需写出解答过程)1. 已知集合A ＝{－1，0,1},B ＝（－∞,0)，则A ∩B ＝________.2. 设复数z 满足z(1＋i ）＝2,其中i 为虚数单位，则z 的虚部为________．3. 已知样本数据x 1,x 2,x 3，x 4，x 5的方差s 2＝3，则样本数据2x 1，2x 2,2x 3，2x 4,2x 5的方差为________。
4。
如图是一个算法流程图，则输出的x 的值是________.5. 在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为________．6. 已知实数x ，y 满足错误!，则错误!的最小值是________．7. 设双曲线错误!－y 2＝1(a>0)的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为________．8。
设{a n }是等差数列，若a 4＋a 5＋a 6＝21,则S 9＝________.9. 将函数y ＝3sin 错误!的图象向右平移φ错误!个单位后,所得函数为偶函数，则φ＝________．10。
将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，AB ＝3,BC ＝2，圆柱上底面圆心为O ，△EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥OEFG 体积的最大值是________．11. 在△ABC 中，已知AB ＝错误!，C ＝错误!，则错误!·错误!的最大值为________.12. 如图,在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线y＝错误!(x＋1）上从左向右依次取点A k、B k，k＝1,2，…，其中A1是坐标原点，使△A k B k A k＋1都是等边三角形,则△A10B10A11的边长是________。
2017年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷[1]
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2017年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），则A∩B=．2．（5分）设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，则z的虚部为．3．（5分）已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，则样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的x的值是．5．（5分）在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为．6．（5分）已知实数x，y满足，则的最小值是．7．（5分）设双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为．8．（5分）设{a n}是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9=．9．（5分）将函数的图象向右平移φ（）个单位后，所得函数为偶函数，则φ=．10．（5分）将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O﹣EFG 体积的最大值是．11．（5分）在△ABC中，已知，，则的最大值为．12．（5分）如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线上从左向右依次取点A k、B k，k=1，2，…，其中A1是坐标原点，使△A k B k A k+1都是等边三角形，则△A10B10A11的边长是．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P为函数y=2lnx的图象与圆M：（x﹣3）2+y2=r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y=f（x）的图象经过点O，P，M，则y=f（x）的最大值为．14．（5分）在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC 的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．16．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin2C=csinB．（1）求角C；（2）若，求sinA的值．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=b2经过椭圆（0＜b＜2）的焦点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M（﹣1，0），N（1，0），记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m2﹣2k2=1时，求k1?k2的值．18．（16分）如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足．（1）若设计AB=18米，AD=6米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）19．（16分）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+﹣3（a∈R）．（1）当a=2时，解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）当a=1时，记h（x）=f（x）?g（x），是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．20．（16分）若存在常数k（k∈N*，k≥2）、q、d，使得无穷数列{a n}满足则称数列{a n}为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差．设数列{b n}为“段比差数列”．（1）若{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3．①当q=0时，求b2016；②当q=1时，设{b n}的前3n项和为S3n，若不等式对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{b n}为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{b n}，并说明理由．数学附加题部分（本部分满分0分，考试时间30分钟）[选做题]（在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，计20分）[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，AB是半圆O的直径，点P为半圆O外一点，PA，PB分别交半圆O 于点D，C．若AD=2，PD=4，PC=3，求BD的长．[选修4-2：矩阵与变换]22．设矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，求m与λ的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线为参数）．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．[选修4-5：不等式选讲]24．若实数x，y，z满足x+2y+z=1，求x2+y2+z2的最小值．[必做题]（第25、26题，每小题0分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）25．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．26．设n∈N*，n≥3，k∈N*．（1）求值：k﹣1；①kC n k﹣nC n﹣1②k2C n k﹣n（n﹣1）C n﹣2k﹣2﹣nC n﹣1k﹣1（k≥2）；（2）化简：12C n0+22C n1+32C n2+…+（k+1）2C n k+…+（n+1）2C n n．2017年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）（2017?盐城一模）已知集合A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），则A ∩B={﹣1} ．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），∴A∩B={﹣1}，故答案为：{﹣1}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2017?盐城一模）设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，则z的虚部为﹣1．【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后运用复数的除法进行运算，分子分母同时乘以1﹣i．整理后可得复数z的虚部．【解答】解：由（1+i）z=2，得：．所以，z的虚部为﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，此题是基础题．3．（5分）（2017?盐城一模）已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，则样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为12．【分析】利用方差性质求解．【解答】解：∵样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，∴样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为：22s2=4×3=12．故答案为：12．【点评】本题考查样本数据方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用．4．（5分）（2017?盐城一模）如图是一个算法流程图，则输出的x的值是9．【分析】模拟执行程序，即可得出结论．【解答】解：由题意，x=1，y=9，x＜y，第1次循环，x=5，y=7，x＜y，第2次循环，x=9，y=5，x＞y，退出循环，输出9．故答案为9．【点评】本题考查程序框图，考查学生的计算能力，比较基础．5．（5分）（2017?盐城一模）在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为．【分析】基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，由此能求出选中的数字中至少有一个是偶数的概率．【解答】解：在数字1、2、3、4中随机选两个数字，基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，∴选中的数字中至少有一个是偶数的概率为p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．6．（5分）（2017?盐城一模）已知实数x，y满足，则的最小值是．【分析】先作出不等式组所表示的平面区域，由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可求斜率最大值【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如图所示：由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可知，当直线过OA时斜率最小．由于可得A（4，3），此时k=．故答案为：．【点评】本题主要考查了线性规划在求解最值中的应用，解题的关键是发现所求的式子的几何意义是平面区域内的点与原点的连线的斜率．7．（5分）（2017?盐城一模）设双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为．【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得a=，则c==2，再由离心率公式，即可得到双曲线的离心率．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，则tan30°=即为a=，则c==2，即有e=．故答案为．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．8．（5分）（2017?盐城一模）设{a n}是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9=63．【分析】由等差数列的通项公式求出a5=7，再由等差数列的前n项和公式得，由此能求出结果．【解答】解：∵{a n}是等差数列，a4+a5+a6=21，∴a4+a5+a6=3a5=21，解得a5=7，∴=63．故答案为：63．【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．9．（5分）（2017?盐城一模）将函数的图象向右平移φ（）个单位后，所得函数为偶函数，则φ=．【分析】若所得函数为偶函数，则﹣2φ=+kπ，k∈Z，进而可得答案．【解答】解：把函数f（x）=3sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，可得函数y=3sin[2（x﹣φ）+]=3sin（2x+﹣2φ）的图象，若所得函数为偶函数，则﹣2φ=+kπ，k∈Z，解得：φ=﹣+kπ，k∈Z，当k=1时，φ的最小正值为．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，函数图象的平移变换，难度中档．10．（5分）（2017?盐城一模）将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O﹣EFG体积的最大值是4．【分析】三棱锥O﹣EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，当三棱锥O﹣EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，）max=，由此能求出三棱锥O﹣EFG体积的最大值．（S△EFG【解答】解：∵将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，∴三棱锥O﹣EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，∴当三棱锥O﹣EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，）max=，（S△EFG∴三棱锥O﹣EFG体积的最大值V max==．故答案为：4．【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11．（5分）（2017?盐城一模）在△ABC中，已知，，则的最大值为．【分析】可先画出图形，对的两边平方，进行数量积的运算即可得到，根据不等式a2+b2≥2ab即可得到，这样便可求出的最大值．【解答】解：如图，；∴；∴；即；∴=；∴的最大值为．故答案为：．【点评】考查向量减法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，以及不等式a2+b2≥2ab的运用．12．（5分）（2017?盐城一模）如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线上从左向右依次取点A k、B k，k=1，2，…，其中A1是坐标原点，使△A k B k A k+1都是等边三角形，则△A10B10A11的边长是512．【分析】设直线与x轴交点坐标为P，由直线的倾斜角为300，又△A1B1A2是等边三角形，求出△A2B2A3、…找出规律，就可以求出△A10B10A11的边长．【解答】解：∵直线的倾斜角为300，且直线与x轴交点坐标为P（﹣1，0），又∵△A1B1A2是等边三角形，∴∠B1A1A2=600，B1A1=1，PA2=2，∴△A2B2A3的边长为PA2=2，同理B2A2=PA3=4，…以此类推B10A10=PA10=512，∴△A10B10A11的边长是512，故答案为：512．【点评】本题考查了直线的倾斜角，等边三角形的性质，及归纳推理的能力，属于基础题．13．（5分）（2017?盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点P为函数y=2lnx 的图象与圆M：（x﹣3）2+y2=r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y=f（x）的图象经过点O，P，M，则y=f（x）的最大值为．【分析】设P（x0，y0），求得y=2lnx的导数，可得切线的斜率和切线方程；求得圆上一点的切线方程，由直线重合的条件，可得二次函数y=x（3﹣x），满足经过点P，O，M，即可得到所求最大值．【解答】解：设P（x0，y0），函数y=2lnx的导数为y′=，函数y=2lnx在点P处的切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），即为x﹣y+y0﹣2=0；圆M：（x﹣3）2+y2=r2的上点P处的切线方程为（x0﹣3）（x﹣3）+yy0=r2，即有（x0﹣3）x+yy0+9﹣3x0﹣r2=0；由切线重合，可得==，即x0（3﹣x0）=2y0，则P为二次函数y=x（3﹣x）图象上的点，且该二次函数图象过O，M，则当x=时，二次函数取得最大值，故答案为：．【点评】本题考查圆的方程、导数的几何意义和二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．14．（5分）（2017?盐城一模）在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为．【分析】由三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理可求S2=a2b2﹣，进而利用基本不等式，从而可求S2≤﹣（c2﹣）2，从而利用二次函数的性质可求最值．【解答】解：由三角形面积公式可得：S=absinC，可得：S2=a2b2（1﹣cos2C）=a2b2[1﹣（）2]，∵a2+b2+2c2=8，∴a2+b2=8﹣2c2，可得：a2+b2=8﹣2c2≥2ab，解得：ab≤4﹣c2，当且仅当a=b时等号成立，∴S2=a2b2[1﹣（）2]=a2b2[1﹣（）2]=a2b2﹣≤（4﹣c2）2﹣=﹣+c2=﹣（c2﹣）2，当且仅当a=b时等号成立，∴当c2=时，﹣+c2取得最大值，S的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式，二次函数的最值的综合应用，考查了运算能力和转化思想，难度中等．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）（2017?盐城一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．【分析】（1）证明B1C1∥DE，即可证明B1C1∥平面A1DE；（2）证明DE⊥平面ACC1A1，即可证明平面A1DE⊥平面ACC1A1．【解答】证明：（1）因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC，…（2分）又因为在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C1∥BC，所以B1C1∥DE…（4分）又B1C1?平面A1DE，DE?平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE…（6分）（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，又DE?底面ABC，所以CC1⊥DE…（8分）又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC，…（10分）又CC1，AC?平面ACC1A1，且CC1∩AC=C，所以DE⊥平面ACC1A1…（12分）又DE?平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1…（14分）【点评】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．（14分）（2017?盐城一模）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin2C=csinB．（1）求角C；（2）若，求sinA的值．【分析】（1）根据正弦定理化简已知等式得2sinBsinCcosC=sinCsinB，结合sinB＞0，sinC＞0，可求，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（2）由角的范围利用同角三角函数基本关系式可求cos（B﹣）的值，由于A=﹣（B﹣），利用两角差的正弦函数公式即可计算求值得解．【解答】解：（1）由bsin2C=csinB，根据正弦定理，得2sinBsinCcosC=sinCsinB，…（2分）因为sinB＞0，sinC＞0，所以，…（4分）又C∈（0，π），所以．…（6分）（2）因为，所以，所以，又，所以．…（8分）又，即，所以=sin[﹣（B﹣）]…（12分）=．…（14分）【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17．（14分）（2017?盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=b2经过椭圆（0＜b＜2）的焦点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M（﹣1，0），N（1，0），记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m2﹣2k2=1时，求k1?k2的值．【分析】（1）椭圆E的焦点在x轴上，圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，所以2b2=4，即b2=2，即可求出椭圆E的方程；（2）求出T的坐标，利用斜率公式，结合条件，即可求k1?k2的值．【解答】解：（1）因0＜b＜2，所以椭圆E的焦点在x轴上，又圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，…（3分）所以2b2=4，即b2=2，所以椭圆E的方程为．…（6分）（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），T（x0，y0），联立，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，所以，又2m2﹣2k2=1，所以x1+x2=，所以，，…（10分）则．…（14分）【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．18．（16分）（2017?盐城一模）如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足．（1）若设计AB=18米，AD=6米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）【分析】（1）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，即可得出结论；（2）方法一：设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得h≤25﹣2r，即可求出截面面积最大；方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，即可求出截面面积最大【解答】解：如图所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．（1）因为AB=18，AD=6，所以半圆的圆心为H（9，6），半径r=9．设太阳光线所在直线方程为，即3x+4y﹣4b=0，…（2分）则由，解得b=24或（舍）．故太阳光线所在直线方程为，…（5分）令x=30，得EG=1.5米＜2.5米．所以此时能保证上述采光要求…（7分）（2）设AD=h米，AB=2r米，则半圆的圆心为H（r，h），半径为r．方法一：设太阳光线所在直线方程为，即3x+4y﹣4b=0，由，解得b=h+2r或b=h﹣2r（舍）…（9分）故太阳光线所在直线方程为，令x=30，得，由，得h≤25﹣2r…（11分）所以=．当且仅当r=10时取等号．所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大…（16分）方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，则此时点G 为（30，2.5），设过点G的上述太阳光线为l1，则l1所在直线方程为y﹣=﹣（x﹣30），即3x+4y﹣100=0…（10分）由直线l1与半圆H相切，得．而点H（r，h）在直线l1的下方，则3r+4h﹣100＜0，即，从而h=25﹣2r…（13分）又=．当且仅当r=10时取等号．所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大…（16分）【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查直线与圆的位置关系，考查配方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（16分）（2017?盐城一模）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+﹣3（a∈R）．（1）当a=2时，解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）当a=1时，记h（x）=f（x）?g（x），是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．【分析】（1）当a=2时，求出g（x）=0的解，即可解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+﹣3，φ′（x）=，分类讨论，利用导数的正负，求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）判断h（x）不存在最小值，即可得出结论．【解答】解：（1）当a=2时，g（x）=0，可得x=1，g（e x）=0，可得e x=或e x=1，∴x=﹣ln2或0；（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+﹣3，φ′（x）=①a=0，φ′（x）=＞0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；②a=1，φ′（x）=?x＞0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；③0＜a＜1，x=＜0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；④a＞1，x=＞0，函数的单调递增区间是（，+∞）；⑤a＜0，x=＞0，函数的单调递增区间是（0，）；（3）a=1，h（x）=（x﹣3）lnx，h′（x）=lnx﹣+1，h″（x）=+＞0恒成立，∴h′（x）在（0，+∞）上单调递增，∴存在x0，h′（x0）=0，即lnx0=﹣1+，h（x）在（0，x0）上单调递减，（x0，+∞）上单调递增，∴h（x）min=h（x0）=﹣（x0+）+6，∵h′（）＜0，h′（2）＞0，∴x0∈（，2），∴h（x0）∈（﹣，﹣），∴存在λ的最小值0，使得关于x 的不等式2λ≥h （x ）有解．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．20．（16分）（2017?盐城一模）若存在常数k （k ∈N *，k ≥2）、q 、d ，使得无穷数列{a n }满足则称数列{a n }为“段比差数列”，其中常数k 、q 、d 分别叫做段长、段比、段差．设数列{b n }为“段比差数列”．（1）若{b n }的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3．①当q=0时，求b 2016；②当q=1时，设{b n }的前3n 项和为S 3n ，若不等式对n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{b n }为等比数列，且首项为b ，试写出所有满足条件的{b n }，并说明理由．【分析】（1）①方法一：由{b n }的首项、段长、段比、段差可得b 2014=0×b 2013=0，再由b 2015=b 2014+3，b 2016=b 2015+3即可；方法二：根据{b n }的首项、段长、段比、段差，?b 1=1，b 2=4，b 3=7，b 4=0×b 3=0，b 5=b 4+3=3，b 6=b 5+3=6，b 7=0×b 6=0，…?b n }是周期为3的周期数列即可； ②方法一：由{b n }的首项、段长、段比、段差，?b 3n +2﹣b 3n ﹣1=（b 3n +1+d ）﹣b 3n ﹣1=（qb 3n +d ）﹣b 3n ﹣1=[q （b 3n ﹣1+d ）+d ]﹣b 3n ﹣1=2d=6，?{b 3n ﹣1}是等差数列，又∵b 3n ﹣2+b 3n ﹣1+b 3n =（b 3n ﹣1﹣d ）+b 3n ﹣1+（b 3n ﹣1+d ）=3b 3n ﹣1，即可求S 3n方法二：由{b n }的首项、段长、段比、段差?b 3n +1=b 3n ，∴b 3n +3﹣b 3n =b 3n +3﹣b 3n +1=2d=6，∴{b 3n }是首项为b 3=7、公差为6的等差数列即可，（2）方法一：设{b n }的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ，?等比数列的通项公式有，当m ∈N *时，b km +2﹣b km +1=d ，即bq km +1﹣bq km =bq km （q ﹣1）=d 恒成立，①若q=1，则d=0，b n =b ；②若q ≠1，则，则q km 为常数，则q=﹣1，k 为偶数，d=﹣2b ，；方法二：设{b n}的段长、段比、段差分别为k、q、d，①若k=2，则b1=b，b2=b+d，b3=（b+d）q，b4=（b+d）q+d，由，得b+d=bq；由，得（b+d）q2=（b+d）q+d，求得得d 即可②若k≥3，则b1=b，b2=b+d，b3=b+2d，由，求得得d 即可．【解答】（1）①方法一：∵{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴b2014=0×b2013=0，∴b2015=b2014+3=3，∴b2016=b2015+3=6．…（3分）方法二：∵{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴b1=1，b2=4，b3=7，b4=0×b3=0，b5=b4+3=3，b6=b5+3=6，b7=0×b6=0，…∴当n≥4时，{b n}是周期为3的周期数列．∴b2016=b6=6．…（3分）②方法一：∵{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴b3n+2﹣b3n﹣1=（b3n+1+d）﹣b3n﹣1=（qb3n+d）﹣b3n﹣1=[q（b3n﹣1+d）+d]﹣b3n﹣1=2d=6，∴{b3n﹣1}是以b2=4为首项、6为公差的等差数列，又∵b3n﹣2+b3n﹣1+b3n=（b3n﹣1﹣d）+b3n﹣1+（b3n﹣1+d）=3b3n﹣1，∴S3n=（b1+b2+b3）+（b4+b5+b6）+…+（b3n﹣2+b3n﹣1+b3n）=，…（6分）∵，∴，设，则λ≥（c n）max，又，当n=1时，3n2﹣2n﹣2＜0，c1＜c2；当n≥2时，3n2﹣2n﹣2＞0，c n+1＜c n，∴c1＜c2＞c3＞…，∴（c n）max=c2=14，…（9分）∴λ≥14，得λ∈[14，+∞）．…（10分）方法二：∵{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴b3n+1=b3n，∴b3n+3﹣b3n=b3n+3﹣b3n+1=2d=6，∴{b3n}是首项为b3=7、公差为6的等差数列，∴，易知{b n}中删掉{b3n}的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，∴，∴，…（6分）以下同方法一．（2）方法一：设{b n}的段长、段比、段差分别为k、q、d，则等比数列{b n}的公比为，由等比数列的通项公式有，当m∈N*时，b km+2﹣b km+1=d，即bq km+1﹣bq km=bq km（q﹣1）=d恒成立，…（12分）①若q=1，则d=0，b n=b；②若q≠1，则，则q km为常数，则q=﹣1，k为偶数，d=﹣2b，；经检验，满足条件的{b n}的通项公式为b n=b或．…（16分）方法二：设{b n}的段长、段比、段差分别为k、q、d，①若k=2，则b1=b，b2=b+d，b3=（b+d）q，b4=（b+d）q+d，由，得b+d=bq；由，得（b+d）q2=（b+d）q+d，联立两式，得或，则b n=b或，经检验均合题意．…（13分）②若k≥3，则b1=b，b2=b+d，b3=b+2d，由，得（b+d）2=b（b+2d），得d=0，则b n=b，经检验适合题意．综上①②，满足条件的{b n}的通项公式为b n=b或．…（16分）【点评】本题考查了等差等比数列的运算及性质，考查了学生的推理和分析能力，属于难题．数学附加题部分（本部分满分0分，考试时间30分钟）[选做题]（在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，计20分）[选修4-1：几何证明选讲]21．（2017?盐城一模）如图，AB是半圆O的直径，点P为半圆O外一点，PA，PB分别交半圆O于点D，C．若AD=2，PD=4，PC=3，求BD的长．【分析】由切割线定理得：PD?PA=PC?PB，求出BC，利用勾股定理，求BD的长．【解答】解：由切割线定理得：PD?PA=PC?PB则4×（2+4）=3×（3+BC），解得BC=5，…（4分）又因为AB是半圆O的直径，故，…（6分）则在三角形PDB中有．…（10分）【点评】本题考查切割线定理的运用，考查勾股定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（2017?盐城一模）设矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，求m与λ的值．【分析】推导出，由此能求出结果．【解答】解：∵矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，∴，…（8分）解得m=0，λ=﹣4．…（10分）【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意特征向量的性质的合理运用．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2017?盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，已知直线为参数）．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．【分析】直线为参数）化为普通方程，圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程，求出圆C的圆心到直线l的距离，即可求弦AB的长．【解答】解：直线为参数）化为普通方程为4x﹣3y=0，…（2分）圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，…（4分）则圆C的圆心到直线l的距离为，…（6分）所以．…（10分）【点评】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的转化，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2017?盐城一模）若实数x，y，z满足x+2y+z=1，求x2+y2+z2的最小值．【分析】利用条件x+2y+z=1，构造柯西不等式（x+y+z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+12）进行解题即可．【解答】解：由柯西不等式，得（x+2y+z）2≤（12+22+12）?（x2+y2+z2），即，…（5分）又因为x+2y+z=1，所以，当且仅当，即时取等号．综上，．…（10分）【点评】本题主要考查了函数的最值，以及柯西不等式的应用，解题的关键是利用（x+2y+z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+12）进行解决．[必做题]（第25、26题，每小题0分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）25．（2017?盐城一模）某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．【分析】（1）利用对立事件的概率关系求解；（2）两个班“在一星期的任一天同时上综合实践课”的概率为，一周中5天是5次独立重复试验，服从二项分布．【解答】解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为．…（4分）（2）由题意得，．…（6分）所以X的概率分布表为：…（8分）所以，X的数学期望为．…（10分）【点评】本题考查了古典概型的概率，独立重复试验的分布列、期望，属于中档题．26．（2017?盐城一模）设n∈N*，n≥3，k∈N*．（1）求值：k﹣1；①kC n k﹣nC n﹣1②k2C n k﹣n（n﹣1）C n﹣2k﹣2﹣nC n﹣1k﹣1（k≥2）；（2）化简：12C n0+22C n1+32C n2+…+（k+1）2C n k+…+（n+1）2C n n．【分析】（1）利用组合数的计算公式即可得出．（2）方法一：由（1）可知当k≥2时=．代入化简即可得出．方法二：当n≥3时，由二项式定理，有，两边同乘以x，得，，两边再同乘以x，得，两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n﹣1x+n（n﹣1）（1+x）n﹣2x2+2n（1+x）n﹣1x=．令x=1，即可得出．【解答】解：（1）①=．…（2分）②==．…（4分）（2）方法一：由（1）可知当k≥2时=．（6分）故==（1+4n）+n（n﹣1）2n﹣2+3n（2n﹣1﹣1）+（2n﹣1﹣n）=2n﹣2（n2+5n+4）．…（10分）方法二：当n≥3时，由二项式定理，有，两边同乘以x，得，，…（6分）两边再同乘以x，得，两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n﹣1x+n（n﹣1）（1+x）n﹣2x2+2n（1+x）n﹣1x=．…（8分）令x=1，得2n+n2n﹣1+n（n﹣1）2n﹣2+2n2n﹣1=，即=2n﹣2（n2+5n+4）．…（10分）【点评】本题考查了组合数的计算公式及其性质、利用导数的运算法则化简证明，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn；sxs123；zlzhan；lcb001；qiss；w3239003；wkl197822；陈远才；双曲线；刘老师；沂蒙松（排名不分先后）菁优网2017年3月4日。
2017年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷[1](1)
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2017年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），则A∩B=．2．（5分）设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，则z的虚部为．3．（5分）已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，则样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的x的值是．5．（5分）在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为．6．（5分）已知实数x，y满足，则的最小值是．7．（5分）设双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为．8．（5分）设{a n}是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9=．9．（5分）将函数的图象向右平移φ（）个单位后，所得函数为偶函数，则φ=．10．（5分）将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O﹣EFG体积的最大值是．11．（5分）在△ABC中，已知，，则的最大值为．12．（5分）如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线上从左向右依次取点A k、B k，k=1，2，…，其中A1是坐标原点，使△A k B k A k+1都是等边三角形，则△A10B10A11的边长是．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P为函数y=2lnx的图象与圆M：（x﹣3）2+y2=r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y=f（x）的图象经过点O，P，M，则y=f（x）的最大值为．14．（5分）在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC 的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．16．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin2C=csinB．（1）求角C；（2）若，求sinA的值．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=b2经过椭圆（0＜b＜2）的焦点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M（﹣1，0），N（1，0），记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m2﹣2k2=1时，求k1?k2的值．18．（16分）如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足．（1）若设计AB=18米，AD=6米，问能否保证上述采光要求（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大（注：计算中π取3）19．（16分）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+﹣3（a∈R）．（1）当a=2时，解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）当a=1时，记h（x）=f（x）?g（x），是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．20．（16分）若存在常数k（k∈N*，k≥2）、q、d，使得无穷数列{a n}满足则称数列{a n}为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差．设数列{b n}为“段比差数列”．（1）若{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3．①当q=0时，求b2016；②当q=1时，设{b n}的前3n项和为S3n，若不等式对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{b n}为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{b n}，并说明理由．数学附加题部分（本部分满分0分，考试时间30分钟）[选做题]（在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，计20分）[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，AB是半圆O的直径，点P为半圆O外一点，PA，PB分别交半圆O 于点D，C．若AD=2，PD=4，PC=3，求BD的长．[选修4-2：矩阵与变换]22．设矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，求m与λ的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线为参数）．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．[选修4-5：不等式选讲]24．若实数x，y，z满足x+2y+z=1，求x2+y2+z2的最小值．[必做题]（第25、26题，每小题0分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）25．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．26．设n∈N*，n≥3，k∈N*．（1）求值：k﹣1；①kC n k﹣nC n﹣1②k2C n k﹣n（n﹣1）C n﹣2k﹣2﹣nC n﹣1k﹣1（k≥2）；（2）化简：12C n0+22C n1+32C n2+…+（k+1）2C n k+…+（n+1）2C n n．2017年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）（2017?盐城一模）已知集合A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），则A∩B={﹣1} ．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），∴A∩B={﹣1}，故答案为：{﹣1}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2017?盐城一模）设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，则z 的虚部为﹣1．【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后运用复数的除法进行运算，分子分母同时乘以1﹣i．整理后可得复数z的虚部．【解答】解：由（1+i）z=2，得：．所以，z的虚部为﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，此题是基础题．3．（5分）（2017?盐城一模）已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，则样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为12．【分析】利用方差性质求解．【解答】解：∵样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，∴样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为：22s2=4×3=12．故答案为：12．【点评】本题考查样本数据方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用．4．（5分）（2017?盐城一模）如图是一个算法流程图，则输出的x的值是9．【分析】模拟执行程序，即可得出结论．【解答】解：由题意，x=1，y=9，x＜y，第1次循环，x=5，y=7，x＜y，第2次循环，x=9，y=5，x＞y，退出循环，输出9．故答案为9．【点评】本题考查程序框图，考查学生的计算能力，比较基础．5．（5分）（2017?盐城一模）在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为．【分析】基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，由此能求出选中的数字中至少有一个是偶数的概率．【解答】解：在数字1、2、3、4中随机选两个数字，基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，∴选中的数字中至少有一个是偶数的概率为p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．6．（5分）（2017?盐城一模）已知实数x，y满足，则的最小值是．【分析】先作出不等式组所表示的平面区域，由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可求斜率最大值【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如图所示：由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可知，当直线过OA时斜率最小．由于可得A（4，3），此时k=．故答案为：．【点评】本题主要考查了线性规划在求解最值中的应用，解题的关键是发现所求的式子的几何意义是平面区域内的点与原点的连线的斜率．7．（5分）（2017?盐城一模）设双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为．【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得a=，则c==2，再由离心率公式，即可得到双曲线的离心率．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，则tan30°=即为a=，则c==2，即有e=．故答案为．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．8．（5分）（2017?盐城一模）设{a n}是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9=63．【分析】由等差数列的通项公式求出a5=7，再由等差数列的前n项和公式得，由此能求出结果．【解答】解：∵{a n}是等差数列，a4+a5+a6=21，∴a4+a5+a6=3a5=21，解得a5=7，∴=63．故答案为：63．【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．9．（5分）（2017?盐城一模）将函数的图象向右平移φ（）个单位后，所得函数为偶函数，则φ=．【分析】若所得函数为偶函数，则﹣2φ=+kπ，k∈Z，进而可得答案．【解答】解：把函数f（x）=3sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，可得函数y=3sin[2（x﹣φ）+]=3sin（2x+﹣2φ）的图象，若所得函数为偶函数，则﹣2φ=+kπ，k∈Z，解得：φ=﹣+kπ，k∈Z，当k=1时，φ的最小正值为．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，函数图象的平移变换，难度中档．10．（5分）（2017?盐城一模）将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O﹣EFG体积的最大值是4．【分析】三棱锥O﹣EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，当三棱锥O﹣EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，）max=，由此能求出三棱锥O﹣EFG体积的最大值．（S△EFG【解答】解：∵将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，∴三棱锥O﹣EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，∴当三棱锥O﹣EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，（S）max=，△EFG∴三棱锥O﹣EFG体积的最大值V max==．故答案为：4．【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11．（5分）（2017?盐城一模）在△ABC中，已知，，则的最大值为．【分析】可先画出图形，对的两边平方，进行数量积的运算即可得到，根据不等式a2+b2≥2ab即可得到，这样便可求出的最大值．【解答】解：如图，；∴；∴；即；∴=；∴的最大值为．故答案为：．【点评】考查向量减法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，以及不等式a2+b2≥2ab的运用．12．（5分）（2017?盐城一模）如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线上从左向右依次取点A k、B k，k=1，2，…，其中A1是坐标原点，使△A k B k A k+1都是等边三角形，则△A10B10A11的边长是512．【分析】设直线与x轴交点坐标为P，由直线的倾斜角为300，又△A1B1A2是等边三角形，求出△A2B2A3、…找出规律，就可以求出△A10B10A11的边长．【解答】解：∵直线的倾斜角为300，且直线与x轴交点坐标为P（﹣1，0），又∵△A1B1A2是等边三角形，∴∠B1A1A2=600，B1A1=1，PA2=2，∴△A2B2A3的边长为PA2=2，同理B2A2=PA3=4，…以此类推B10A10=PA10=512，∴△A10B10A11的边长是512，故答案为：512．【点评】本题考查了直线的倾斜角，等边三角形的性质，及归纳推理的能力，属于基础题．13．（5分）（2017?盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点P为函数y=2lnx 的图象与圆M：（x﹣3）2+y2=r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y=f（x）的图象经过点O，P，M，则y=f（x）的最大值为．【分析】设P（x0，y0），求得y=2lnx的导数，可得切线的斜率和切线方程；求得圆上一点的切线方程，由直线重合的条件，可得二次函数y=x（3﹣x），满足经过点P，O，M，即可得到所求最大值．【解答】解：设P（x0，y0），函数y=2lnx的导数为y′=，函数y=2lnx在点P处的切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），即为x﹣y+y0﹣2=0；圆M：（x﹣3）2+y2=r2的上点P处的切线方程为（x0﹣3）（x﹣3）+yy0=r2，即有（x0﹣3）x+yy0+9﹣3x0﹣r2=0；由切线重合，可得==，即x0（3﹣x0）=2y0，则P为二次函数y=x（3﹣x）图象上的点，且该二次函数图象过O，M，则当x=时，二次函数取得最大值，故答案为：．【点评】本题考查圆的方程、导数的几何意义和二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．14．（5分）（2017?盐城一模）在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为．【分析】由三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理可求S2=a2b2﹣，进而利用基本不等式，从而可求S2≤﹣（c2﹣）2，从而利用二次函数的性质可求最值．【解答】解：由三角形面积公式可得：S=absinC，可得：S2=a2b2（1﹣cos2C）=a2b2[1﹣（）2]，∵a2+b2+2c2=8，∴a2+b2=8﹣2c2，可得：a2+b2=8﹣2c2≥2ab，解得：ab≤4﹣c2，当且仅当a=b时等号成立，∴S2=a2b2[1﹣（）2]=a2b2[1﹣（）2]=a2b2﹣≤（4﹣c2）2﹣=﹣+c2=﹣（c2﹣）2，当且仅当a=b时等号成立，∴当c2=时，﹣+c2取得最大值，S的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式，二次函数的最值的综合应用，考查了运算能力和转化思想，难度中等．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）（2017?盐城一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．【分析】（1）证明B1C1∥DE，即可证明B1C1∥平面A1DE；（2）证明DE⊥平面ACC1A1，即可证明平面A1DE⊥平面ACC1A1．【解答】证明：（1）因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC，…（2分）又因为在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C1∥BC，所以B1C1∥DE…（4分）又B1C1?平面A1DE，DE?平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE…（6分）（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，又DE?底面ABC，所以CC1⊥DE…（8分）又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC，…（10分）又CC1，AC?平面ACC1A1，且CC1∩AC=C，所以DE⊥平面ACC1A1…（12分）又DE?平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1…（14分）【点评】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．（14分）（2017?盐城一模）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin2C=csinB．（1）求角C；（2）若，求sinA的值．【分析】（1）根据正弦定理化简已知等式得2sinBsinCcosC=sinCsinB，结合sinB＞0，sinC＞0，可求，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（2）由角的范围利用同角三角函数基本关系式可求cos（B﹣）的值，由于A=﹣（B﹣），利用两角差的正弦函数公式即可计算求值得解．【解答】解：（1）由bsin2C=csinB，根据正弦定理，得2sinBsinCcosC=sinCsinB，…（2分）因为sinB＞0，sinC＞0，所以，…（4分）又C∈（0，π），所以．…（6分）（2）因为，所以，所以，又，所以．…（8分）又，即，所以=sin[﹣（B﹣）]…（12分）=．…（14分）【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17．（14分）（2017?盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=b2经过椭圆（0＜b＜2）的焦点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M（﹣1，0），N（1，0），记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m2﹣2k2=1时，求k1?k2的值．【分析】（1）椭圆E的焦点在x轴上，圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，所以2b2=4，即b2=2，即可求出椭圆E的方程；（2）求出T的坐标，利用斜率公式，结合条件，即可求k1?k2的值．【解答】解：（1）因0＜b＜2，所以椭圆E的焦点在x轴上，又圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，…（3分）所以2b2=4，即b2=2，所以椭圆E的方程为．…（6分）（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），T（x0，y0），联立，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，所以，又2m2﹣2k2=1，所以x1+x2=，所以，，…（10分）则．…（14分）【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．18．（16分）（2017?盐城一模）如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足．（1）若设计AB=18米，AD=6米，问能否保证上述采光要求（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大（注：计算中π取3）【分析】（1）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，即可得出结论；（2）方法一：设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得h≤25﹣2r，即可求出截面面积最大；方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，即可求出截面面积最大【解答】解：如图所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．（1）因为AB=18，AD=6，所以半圆的圆心为H（9，6），半径r=9．设太阳光线所在直线方程为，即3x+4y﹣4b=0，…（2分）则由，解得b=24或（舍）．故太阳光线所在直线方程为，…（5分）令x=30，得EG=1.5米＜2.5米．所以此时能保证上述采光要求…（7分）（2）设AD=h米，AB=2r米，则半圆的圆心为H（r，h），半径为r．方法一：设太阳光线所在直线方程为，即3x+4y﹣4b=0，由，解得b=h+2r或b=h﹣2r（舍）…（9分）故太阳光线所在直线方程为，令x=30，得，由，得h≤25﹣2r…（11分）所以=．当且仅当r=10时取等号．所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大…（16分）方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，则此时点G 为（30，2.5），设过点G的上述太阳光线为l1，则l1所在直线方程为y﹣=﹣（x﹣30），即3x+4y﹣100=0…（10分）由直线l1与半圆H相切，得．而点H（r，h）在直线l1的下方，则3r+4h﹣100＜0，即，从而h=25﹣2r…（13分）又=．当且仅当r=10时取等号．所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大…（16分）【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查直线与圆的位置关系，考查配方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（16分）（2017?盐城一模）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+﹣3（a∈R）．（1）当a=2时，解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）当a=1时，记h（x）=f（x）?g（x），是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．【分析】（1）当a=2时，求出g（x）=0的解，即可解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+﹣3，φ′（x）=，分类讨论，利用导数的正负，求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）判断h（x）不存在最小值，即可得出结论．【解答】解：（1）当a=2时，g（x）=0，可得x=1，g（e x）=0，可得e x=或e x=1，∴x=﹣ln2或0；（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+﹣3，φ′（x）=①a=0，φ′（x）=＞0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；②a=1，φ′（x）=?x＞0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；③0＜a＜1，x=＜0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；④a＞1，x=＞0，函数的单调递增区间是（，+∞）；⑤a＜0，x=＞0，函数的单调递增区间是（0，）；（3）a=1，h（x）=（x﹣3）lnx，h′（x）=lnx﹣+1，h″（x）=+＞0恒成立，∴h′（x）在（0，+∞）上单调递增，∴存在x0，h′（x0）=0，即lnx0=﹣1+，h（x）在（0，x0）上单调递减，（x0，+∞）上单调递增，∴h（x）min=h（x0）=﹣（x0+）+6，∵h′（）＜0，h′（2）＞0，∴x0∈（，2），∴h（x0）∈（﹣，﹣），∴存在λ的最小值0，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．20．（16分）（2017?盐城一模）若存在常数k （k ∈N *，k ≥2）、q 、d ，使得无穷数列{a n }满足则称数列{a n }为“段比差数列”，其中常数k 、q 、d 分别叫做段长、段比、段差．设数列{b n }为“段比差数列”．（1）若{b n }的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3．①当q=0时，求b 2016；②当q=1时，设{b n }的前3n 项和为S 3n ，若不等式对n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{b n }为等比数列，且首项为b ，试写出所有满足条件的{b n }，并说明理由．【分析】（1）①方法一：由{b n }的首项、段长、段比、段差可得b 2014=0×b 2013=0，再由b 2015=b 2014+3，b 2016=b 2015+3即可；方法二：根据{b n }的首项、段长、段比、段差，?b 1=1，b 2=4，b 3=7，b 4=0×b 3=0，b 5=b 4+3=3，b 6=b 5+3=6，b 7=0×b 6=0，…?b n }是周期为3的周期数列即可； ②方法一：由{b n }的首项、段长、段比、段差，?b 3n +2﹣b 3n ﹣1=（b 3n +1+d ）﹣b 3n ﹣1=（qb 3n +d ）﹣b 3n ﹣1=[q （b 3n ﹣1+d ）+d ]﹣b 3n ﹣1=2d=6，?{b 3n ﹣1}是等差数列，又∵b 3n ﹣2+b 3n ﹣1+b 3n =（b 3n ﹣1﹣d ）+b 3n ﹣1+（b 3n ﹣1+d ）=3b 3n ﹣1，即可求S 3n方法二：由{b n }的首项、段长、段比、段差?b 3n +1=b 3n ，∴b 3n +3﹣b 3n =b 3n +3﹣b 3n +1=2d=6，∴{b 3n }是首项为b 3=7、公差为6的等差数列即可，（2）方法一：设{b n }的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ，?等比数列的通项公式有，当m ∈N *时，b km +2﹣b km +1=d ，即bq km +1﹣bq km =bq km （q ﹣1）=d 恒成立，①若q=1，则d=0，b n =b ；②若q ≠1，则，则q km 为常数，则q=﹣1，k 为偶数，d=﹣2b ，；方法二：设{b n }的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ，①若k=2，则b 1=b ，b 2=b +d ，b 3=（b +d ）q ，b 4=（b +d ）q +d ，由，得b +d=bq ；由，得（b +d ）q 2=（b +d ）q +d ，求得得d 即可②若k≥3，则b1=b，b2=b+d，b3=b+2d，由，求得得d 即可．【解答】（1）①方法一：∵{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴b2014=0×b2013=0，∴b2015=b2014+3=3，∴b2016=b2015+3=6．…（3分）方法二：∵{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴b1=1，b2=4，b3=7，b4=0×b3=0，b5=b4+3=3，b6=b5+3=6，b7=0×b6=0，…∴当n≥4时，{b n}是周期为3的周期数列．∴b2016=b6=6．…（3分）②方法一：∵{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴b3n+2﹣b3n﹣1=（b3n+1+d）﹣b3n﹣1=（qb3n+d）﹣b3n﹣1=[q（b3n﹣1+d）+d]﹣b3n﹣1=2d=6，∴{b3n﹣1}是以b2=4为首项、6为公差的等差数列，又∵b3n﹣2+b3n﹣1+b3n=（b3n﹣1﹣d）+b3n﹣1+（b3n﹣1+d）=3b3n﹣1，∴S3n=（b1+b2+b3）+（b4+b5+b6）+…+（b3n﹣2+b3n﹣1+b3n）=，…（6分）∵，∴，设，则λ≥（c n）max，又，当n=1时，3n2﹣2n﹣2＜0，c1＜c2；当n≥2时，3n2﹣2n﹣2＞0，c n+1＜c n，∴c1＜c2＞c3＞…，∴（c n）max=c2=14，…（9分）∴λ≥14，得λ∈[14，+∞）．…（10分）方法二：∵{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴b3n+1=b3n，∴b3n+3﹣b3n=b3n+3﹣b3n+1=2d=6，∴{b3n}是首项为b3=7、公差为6的等差数列，∴，易知{b n}中删掉{b3n}的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，∴，∴，…（6分）以下同方法一．（2）方法一：设{b n}的段长、段比、段差分别为k、q、d，则等比数列{b n}的公比为，由等比数列的通项公式有，当m∈N*时，b km+2﹣b km+1=d，即bq km+1﹣bq km=bq km（q﹣1）=d恒成立，…（12分）①若q=1，则d=0，b n=b；②若q≠1，则，则q km为常数，则q=﹣1，k为偶数，d=﹣2b，；经检验，满足条件的{b n}的通项公式为b n=b或．…（16分）方法二：设{b n}的段长、段比、段差分别为k、q、d，①若k=2，则b1=b，b2=b+d，b3=（b+d）q，b4=（b+d）q+d，由，得b+d=bq；由，得（b+d）q2=（b+d）q+d，联立两式，得或，则b n=b或，经检验均合题意．…（13分）②若k≥3，则b1=b，b2=b+d，b3=b+2d，由，得（b+d）2=b（b+2d），得d=0，则b n=b，经检验适合题意．综上①②，满足条件的{b n}的通项公式为b n=b或．…（16分）【点评】本题考查了等差等比数列的运算及性质，考查了学生的推理和分析能力，属于难题．数学附加题部分（本部分满分0分，考试时间30分钟）[选做题]（在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，计20分）[选修4-1：几何证明选讲]21．（2017?盐城一模）如图，AB是半圆O的直径，点P为半圆O外一点，PA，PB分别交半圆O于点D，C．若AD=2，PD=4，PC=3，求BD的长．【分析】由切割线定理得：PD?PA=PC?PB，求出BC，利用勾股定理，求BD的长．【解答】解：由切割线定理得：PD?PA=PC?PB则4×（2+4）=3×（3+BC），解得BC=5，…（4分）又因为AB是半圆O的直径，故，…（6分）则在三角形PDB中有．…（10分）【点评】本题考查切割线定理的运用，考查勾股定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（2017?盐城一模）设矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，求m与λ的值．【分析】推导出，由此能求出结果．【解答】解：∵矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，∴，…（8分）解得m=0，λ=﹣4．…（10分）【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意特征向量的性质的合理运用．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2017?盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，已知直线为参数）．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．【分析】直线为参数）化为普通方程，圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程，求出圆C的圆心到直线l的距离，即可求弦AB的长．【解答】解：直线为参数）化为普通方程为4x﹣3y=0，…（2分）圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，…（4分）则圆C的圆心到直线l的距离为，…（6分）所以．…（10分）【点评】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的转化，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2017?盐城一模）若实数x，y，z满足x+2y+z=1，求x2+y2+z2的最小值．【分析】利用条件x+2y+z=1，构造柯西不等式（x+y+z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+12）进行解题即可．【解答】解：由柯西不等式，得（x+2y+z）2≤（12+22+12）?（x2+y2+z2），即，…（5分）又因为x+2y+z=1，所以，当且仅当，即时取等号．综上，．…（10分）【点评】本题主要考查了函数的最值，以及柯西不等式的应用，解题的关键是利用（x+2y+z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+12）进行解决．[必做题]（第25、26题，每小题0分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）25．（2017?盐城一模）某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．【分析】（1）利用对立事件的概率关系求解；（2）两个班“在一星期的任一天同时上综合实践课”的概率为，一周中5天是5次独立重复试验，服从二项分布．【解答】解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为．…（4分）（2）由题意得，．…（6分）所以X的概率分布表为：…（8分）所以，X的数学期望为．…（10分）【点评】本题考查了古典概型的概率，独立重复试验的分布列、期望，属于中档题．26．（2017?盐城一模）设n∈N*，n≥3，k∈N*．（1）求值：k﹣1；①kC n k﹣nC n﹣1②k2C n k﹣n（n﹣1）C n﹣2k﹣2﹣nC n﹣1k﹣1（k≥2）；（2）化简：12C n0+22C n1+32C n2+…+（k+1）2C n k+…+（n+1）2C n n．【分析】（1）利用组合数的计算公式即可得出．（2）方法一：由（1）可知当k≥2时=．代入化简即可得出．方法二：当n≥3时，由二项式定理，有，两边同乘以x，得，两边对x求导，得，两边再同乘以x，得，两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n﹣1x+n（n﹣1）（1+x）n﹣2x2+2n（1+x）n﹣1x=．令x=1，即可得出．【解答】解：（1）①=．…（2分）②==．…（4分）（2）方法一：由（1）可知当k≥2时=．（6分）故==（1+4n）+n（n﹣1）2n﹣2+3n（2n﹣1﹣1）+（2n﹣1﹣n）=2n﹣2（n2+5n+4）．…（10分）方法二：当n≥3时，由二项式定理，有，两边同乘以x，得，两边对x求导，得，…（6分）两边再同乘以x，得，两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n﹣1x+n（n﹣1）（1+x）n﹣2x2+2n（1+x）n﹣1x=．…（8分）令x=1，得2n+n2n﹣1+n（n﹣1）2n﹣2+2n2n﹣1=，即=2n﹣2（n2+5n+4）．…（10分）【点评】本题考查了组合数的计算公式及其性质、利用导数的运算法则化简证明，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn；sxs123；zlzhan；lcb001；qiss；w3239003；wkl197822；陈远才；双曲线；刘老师；沂蒙松（排名不分先后）菁优网2017年3月4日。
江苏省南京市、盐城市2017届高三上学期第一次模拟考试数学试题(解析版)
一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{}1,0,1A =-，(,0)B =-∞，则A B =I ▲ .【答案】{}1-2.设复数z 满足(1i)2z +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为 ▲ .【答案】1-【解析】试题分析：(1i)21z z i +=⇒=-，所以虚部为 1.-考点：复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi3.已知样本数据12345,,,,x x x x x 的方差23s =，则样本数据123452,2,2,2,2x x x x x 的方差为 ▲ .【答案】12【解析】试题分析：由题意得方差为2224312s =⨯=考点：方差4.如图是一个算法流程图，则输出的x 的值是▲ ..【答案】95.在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为 ▲ . 【答案】56【解析】 试题分析：对立事件概率为24116C =，因此所求概率为151.66-= 考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.第4题图(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.6.已知实数,x y 满足0722x x y x y >⎧⎪+≤⎨⎪+≤⎩，则y x 的最小值是 ▲ . 【答案】347.设双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线的倾斜角为30︒，则该双曲线的离心率为 ▲ .【解析】 试题分析：双曲线渐近线方程为x y a =±，所以1tan 302a c e a =⇒=⇒=⇒=o 考点：双曲线渐近线及离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.8.设{}n a 是等差数列，若45621a a a ++=，则9S = ▲ .【答案】63【解析】试题分析：由45621a a a ++=得57a =，所以19959()9632a S a a +===考点：等差数列性质【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.9.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移ϕ（02πϕ<<）个单位后，所得函数为偶函数，则ϕ= ▲ . 【答案】512π10.将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，3AB =，2BC =，圆柱上底面圆心为O ，EFG ∆为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O EFG -体积的最大值是 ▲ .【答案】4【解析】 试题分析：1124432O EFG EFG EFG V AB S S -∆∆=⨯⨯=≤⨯⨯= 考点：三棱锥体积【方法点睛】(1)求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.(2)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.11.在ABC ∆中，已知AB =，3C π=，则CA CB ⋅uu r uu r 的最大值为 ▲ . 【答案】3212.如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线)1y x =+上从左向右依次取点k A 、k B ，1,2,k =⋅⋅⋅，其中1A 是坐标原点，使1k k k A B A +∆都是等边三角形，则101011A B A ∆的边长是 ▲ .【答案】512【解析】试题分析：设)1y x =+与x 轴交点为P ，则1112223331;112;224;A B A P A B A P A B A P ====+===+=依次类推得101011A B A ∆的边长为92512= 考点：归纳推理13.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为函数2ln y x =的图象与圆222:(3)M x y r -+=的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数()y f x =的图象经过点,,O P M ，则()y f x =的最大值为 ▲ .【答案】98【解析】试题分析：设00(,)P x y ，则由2y x '=得000000022111(3)32PM y k y x x x x x ⋅=-⇒⋅=-⇒=---，而二次函数1(3)2y x x =--正好过,,O P M 三点，所以19()(3)28f x x x =--≤ 考点：导数几何意义，二次函数最值【思路点睛】(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.14.在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22228a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为 ▲ ．二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC AC ⊥，D ,E 分别是AB ,AC 的中点．（1）求证：11B C ∥平面1A DE ；（2）求证：平面1A DE ⊥平面11ACC A ．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析又1,CC AC ⊂平面11ACC A ，且1CC AC C =，所以DE ⊥平面11ACC A . ...............12分ABC A 1B 1C 1DE 第15题图又DE ⊂平面1A DE ，所以平面1A DE ⊥平面11ACC A ． ...............14分 （注：第（2）小题也可以用面面垂直的性质定理证明DE ⊥平面11ACC A ，类似给分）考点：线面平行判定定理，面面垂直判定定理【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.16.(本小题满分14分)在ABC ∆中，a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边，且sin 2sin b C c B =．（1）求角C ；（2）若3sin()35B π-=，求sin A 的值.【答案】（Ⅰ）3C π=又23A B π+=，即23A B π=-，所以2sin sin()3A B π=-sin(())sin cos()cos sin()333333B B B ππππππ=--=--- ………12分413525=-⨯=. …………14分 考点：正弦定理，给值求值【方法点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.17.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:O x y b +=经过椭圆222:14x y E b +=(02)b <<的焦点. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+交椭圆E 于,P Q 两点，T 为弦PQ 的中点，(1,0),(1,0)M N -，记直线,TM TN 的斜率分别为12,k k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值.【答案】（Ⅰ）22142x y +=（Ⅱ）12- 【解析】试题分析：（Ⅰ）先确定交点位置：在x 轴上，再根据圆与x 轴交点得等量关系：c b =；又2a =,所以22b =（2）方法一：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)T x y ， 联立22142x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得222(12)4240k x kmx m +++-=， 所以122412km x x k +=-+，又22221m k -=，所以12x x +2k m=-， 所以0k x m =-，012k y m k m m=-⋅=， ……………10分 则1222221111122442(22)211m m k k k k k m m k m m ⋅=⋅===-----+--. …………14分 方法二：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)T x y ， 则22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式作差，得()()()()12121212042x x x x y y y y +-+-+=， 又1202x x x +=，1202y y y +=，∴()()01201202x x x y y y -+-=，∴()01201202y y y x x x -+=-， 又11(,)P x y ，22(,)Q x y 在直线y kx m =+上，∴1212y y k x x -=-，∴0020x ky +=，① 又00(,)T x y 在直线y kx m =+上，∴00y kx m =+，②由①②可得02212km x k =-+，0212my k=+. ……………10分 以下同方法一.考点：直线与椭圆位置关系【思路点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解。
江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷
2017年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），则A ∩B= ． 2．（5分）设复数z 满足（1+i ）z=2，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为 ． 3．（5分）已知样本数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的方差s 2=3，则样本数据2x 1，2x 2，2x 3，2x 4，2x 5的方差为 ．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的x 的值是 ．5．（5分）在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为 ．6．（5分）已知实数x ，y 满足，则的最小值是 ．7．（5分）设双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为 ．8．（5分）设{a n }是等差数列，若a 4+a 5+a 6=21，则S 9= ． 9．（5分）将函数的图象向右平移φ（）个单位后，所得函数为偶函数，则φ= ．10．（5分）将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O ，△EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O ﹣EFG 体积的最大值是 ． 11．（5分）在△ABC 中，已知，，则的最大值为 ．12．（5分）如图，在平面直角坐标系中，分别在x 轴与直线上从左向右依次取点A k 、B k ，k=1，2，…，其中A 1是坐标原点，使△A k B k A k+1都是等边三角形，则△A 10B 10A 11的边长是 ．13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为函数y=2lnx 的图象与圆M ：（x ﹣3）2+y 2=r 2的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数y=f （x ）的图象经过点O ，P ，M ，则y=f （x ）的最大值为 ．14．（5分）在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．16．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin2C=csinB．（1）求角C；（2）若，求sinA的值．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=b2经过椭圆（0＜b＜2）的焦点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M（﹣1，0），N（1，0），记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m2﹣2k2=1时，求k1?k2的值．18．（16分）如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足．（1）若设计AB=18米，AD=6米，问能否保证上述采光要求（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大（注：计算中π取3）19．（16分）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+﹣3（a∈R）．（1）当a=2时，解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）当a=1时，记h（x）=f（x）?g（x），是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．20．（16分）若存在常数k（k∈N*，k≥2）、q、d，使得无穷数列{an}满足则称数列{an}为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差．设数列{bn}为“段比差数列”．（1）若{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3．①当q=0时，求b2016；②当q=1时，设{bn }的前3n项和为S3n，若不等式对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{bn }为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{bn}，并说明理由．数学附加题部分（本部分满分0分，考试时间30分钟）[选做题]（在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，计20分）[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，AB是半圆O的直径，点P为半圆O外一点，PA，PB分别交半圆O于点D，C．若AD=2，PD=4，PC=3，求BD的长．[选修4-2：矩阵与变换]22．设矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，求m与λ的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线为参数）．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l与圆C 交于A，B两点，求弦AB的长．[选修4-5：不等式选讲]24．若实数x，y，z满足x+2y+z=1，求x2+y2+z2的最小值．[必做题]（第25、26题，每小题0分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）25．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．26．设n∈N*，n≥3，k∈N*．（1）求值：①kCn k﹣nCn﹣1k﹣1；②k2Cn k﹣n（n﹣1）Cn﹣2k﹣2﹣nCn﹣1k﹣1（k≥2）；（2）化简：12Cn 0+22Cn1+32Cn2+…+（k+1）2Cnk+…+（n+1）2Cnn．2017年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）（2017?盐城一模）已知集合A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），则A∩B= {﹣1} ．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），∴A∩B={﹣1}，故答案为：{﹣1}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2017?盐城一模）设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，则z的虚部为﹣1 ．【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后运用复数的除法进行运算，分子分母同时乘以1﹣i．整理后可得复数z的虚部．【解答】解：由（1+i）z=2，得：．所以，z的虚部为﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，此题是基础题．3．（5分）（2017?盐城一模）已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，则样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为12 ．【分析】利用方差性质求解．【解答】解：∵样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，∴样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为：22s2=4×3=12．故答案为：12．【点评】本题考查样本数据方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用．4．（5分）（2017?盐城一模）如图是一个算法流程图，则输出的x的值是9 ．【分析】模拟执行程序，即可得出结论．【解答】解：由题意，x=1，y=9，x＜y，第1次循环，x=5，y=7，x＜y，第2次循环，x=9，y=5，x＞y，退出循环，输出9．故答案为9．【点评】本题考查程序框图，考查学生的计算能力，比较基础．5．（5分）（2017?盐城一模）在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为．【分析】基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，由此能求出选中的数字中至少有一个是偶数的概率．【解答】解：在数字1、2、3、4中随机选两个数字，基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，∴选中的数字中至少有一个是偶数的概率为p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．6．（5分）（2017?盐城一模）已知实数x，y满足，则的最小值是．【分析】先作出不等式组所表示的平面区域，由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可求斜率最大值【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如图所示：由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可知，当直线过OA时斜率最小．由于可得A（4，3），此时k=．故答案为：．【点评】本题主要考查了线性规划在求解最值中的应用，解题的关键是发现所求的式子的几何意义是平面区域内的点与原点的连线的斜率．7．（5分）（2017?盐城一模）设双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为．【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得a=，则c==2，再由离心率公式，即可得到双曲线的离心率．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，则tan30°=即为a=，则c==2，即有e=．故答案为．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．8．（5分）（2017?盐城一模）设{an }是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9= 63 ．【分析】由等差数列的通项公式求出a5=7，再由等差数列的前n项和公式得，由此能求出结果．【解答】解：∵{an }是等差数列，a4+a5+a6=21，∴a4+a5+a6=3a5=21，解得a5=7，∴=63．故答案为：63．【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．9．（5分）（2017?盐城一模）将函数的图象向右平移φ（）个单位后，所得函数为偶函数，则φ=．【分析】若所得函数为偶函数，则﹣2φ=+kπ，k∈Z，进而可得答案．【解答】解：把函数f（x）=3sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，可得函数y=3sin[2（x﹣φ）+]=3sin（2x+﹣2φ）的图象，若所得函数为偶函数，则﹣2φ=+kπ，k∈Z，解得：φ=﹣+kπ，k∈Z，当k=1时，φ的最小正值为．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，函数图象的平移变换，难度中档．10．（5分）（2017?盐城一模）将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O﹣EFG体积的最大值是 4 ．【分析】三棱锥O﹣EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，当三棱锥O﹣EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，（S△EFG ）max=，由此能求出三棱锥O﹣EFG体积的最大值．【解答】解：∵将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，∴三棱锥O﹣EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，∴当三棱锥O﹣EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，（S △EFG ）max =，∴三棱锥O ﹣EFG 体积的最大值V max ==．故答案为：4．【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11．（5分）（2017?盐城一模）在△ABC 中，已知，，则的最大值为．【分析】可先画出图形，对的两边平方，进行数量积的运算即可得到，根据不等式a 2+b 2≥2ab 即可得到，这样便可求出的最大值．【解答】解：如图，；∴；∴；即；∴=；∴的最大值为．故答案为：．【点评】考查向量减法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，以及不等式a 2+b 2≥2ab 的运用．12．（5分）（2017?盐城一模）如图，在平面直角坐标系中，分别在x 轴与直线上从左向右依次取点A k 、B k ，k=1，2，…，其中A 1是坐标原点，使△A k B k A k+1都是等边三角形，则△A 10B 10A 11的边长是 512 ． 【分析】设直线与x 轴交点坐标为P ，由直线的倾斜角为300，又△A 1B 1A 2是等边三角形，求出△A 2B 2A 3、…找出规律，就可以求出△A 10B 10A 11的边长．【解答】解：∵直线的倾斜角为300，且直线与x轴交点坐标为P（﹣1，0），又∵△A1B1A2是等边三角形，∴∠B1A1A2=600，B1A1=1，PA2=2，∴△A2B2A3的边长为PA2=2，同理 B2A2=PA3=4，…以此类推B 10A10=PA10=512，∴△A10B10A11的边长是512，故答案为：512．【点评】本题考查了直线的倾斜角，等边三角形的性质，及归纳推理的能力，属于基础题．13．（5分）（2017?盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点P为函数y=2lnx的图象与圆M：（x﹣3）2+y2=r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y=f（x）的图象经过点O，P，M，则y=f（x）的最大值为．【分析】设P（x0，y），求得y=2lnx的导数，可得切线的斜率和切线方程；求得圆上一点的切线方程，由直线重合的条件，可得二次函数y=x（3﹣x），满足经过点P，O，M，即可得到所求最大值．【解答】解：设P（x0，y），函数y=2lnx的导数为y′=，函数y=2lnx在点P处的切线方程为y﹣y0=（x﹣x），即为x﹣y+y﹣2=0；圆M：（x﹣3）2+y2=r2的上点P处的切线方程为（x0﹣3）（x﹣3）+yy=r2，即有（x0﹣3）x+yy+9﹣3x﹣r2=0；由切线重合，可得==，即x0（3﹣x）=2y，则P为二次函数y=x（3﹣x）图象上的点，且该二次函数图象过O，M，则当x=时，二次函数取得最大值，故答案为：．【点评】本题考查圆的方程、导数的几何意义和二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．14．（5分）（2017?盐城一模）在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为．【分析】由三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理可求S2=a2b2﹣，进而利用基本不等式，从而可求S2≤﹣（c2﹣）2，从而利用二次函数的性质可求最值．【解答】解：由三角形面积公式可得：S=absinC，可得：S2=a2b2（1﹣cos2C）=a2b2[1﹣（）2]，∵a2+b2+2c2=8，∴a2+b2=8﹣2c2，可得：a2+b2=8﹣2c2≥2ab，解得：ab≤4﹣c2，当且仅当a=b时等号成立，∴S2=a2b2[1﹣（）2]=a2b2[1﹣（）2]=a2b2﹣≤（4﹣c2）2﹣=﹣+c2=﹣（c2﹣）2，当且仅当a=b时等号成立，∴当c2=时，﹣+c2取得最大值，S的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式，二次函数的最值的综合应用，考查了运算能力和转化思想，难度中等．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）（2017?盐城一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．【分析】（1）证明B1C1∥DE，即可证明B1C1∥平面A1DE；（2）证明DE⊥平面ACC1A1，即可证明平面A1DE⊥平面ACC1A1．【解答】证明：（1）因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC，…（2分）又因为在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C1∥BC，所以B1C1∥DE…（4分）又B1C1?平面A1DE，DE?平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE…（6分）（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，又DE?底面ABC，所以CC1⊥DE…（8分）又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC，…（10分）又CC1，AC?平面ACC1A1，且CC1∩AC=C，所以DE⊥平面ACC1A1…（12分）又DE?平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1…（14分）【点评】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．（14分）（2017?盐城一模）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin2C=csinB．（1）求角C；（2）若，求sinA的值．【分析】（1）根据正弦定理化简已知等式得2sinBsinCcosC=sinCsinB，结合sinB＞0，sinC ＞0，可求，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（2）由角的范围利用同角三角函数基本关系式可求cos（B﹣）的值，由于A=﹣（B ﹣），利用两角差的正弦函数公式即可计算求值得解．【解答】解：（1）由bsin2C=csinB，根据正弦定理，得2sinBsinCcosC=sinCsinB，…（2分）因为sinB＞0，sinC＞0，所以，…（4分）又C∈（0，π），所以．…（6分）（2）因为，所以，所以，又，所以．…（8分）又，即，所以=sin[﹣（B﹣）]…（12分）=．…（14分）【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17．（14分）（2017?盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=b2经过椭圆（0＜b＜2）的焦点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M（﹣1，0），N（1，0），记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m2﹣2k2=1时，求k1?k2的值．【分析】（1）椭圆E的焦点在x轴上，圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，所以2b2=4，即b2=2，即可求出椭圆E的方程；（2）求出T的坐标，利用斜率公式，结合条件，即可求k1?k2的值．【解答】解：（1）因0＜b＜2，所以椭圆E的焦点在x轴上，又圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，…（3分）所以2b2=4，即b2=2，所以椭圆E的方程为．…（6分）（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），T（x，y），联立，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，所以，又2m2﹣2k2=1，所以x1+x2=，所以，，…（10分）则．…（14分）【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．18．（16分）（2017?盐城一模）如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足．（1）若设计AB=18米，AD=6米，问能否保证上述采光要求（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大（注：计算中π取3）【分析】（1）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，即可得出结论；（2）方法一：设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得h≤25﹣2r，即可求出截面面积最大；方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，即可求出截面面积最大【解答】解：如图所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．（1）因为AB=18，AD=6，所以半圆的圆心为H（9，6），半径r=9．设太阳光线所在直线方程为，即3x+4y﹣4b=0，…（2分）则由，解得b=24或（舍）．故太阳光线所在直线方程为，…（5分）令x=30，得EG=1.5米＜2.5米．所以此时能保证上述采光要求…（7分）（2）设AD=h米，AB=2r米，则半圆的圆心为H（r，h），半径为r．方法一：设太阳光线所在直线方程为，即3x+4y﹣4b=0，由，解得b=h+2r或b=h﹣2r（舍）…（9分）故太阳光线所在直线方程为，令x=30，得，由，得h≤25﹣2r…（11分）所以=．当且仅当r=10时取等号．所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大…（16分）方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，则此时点G为（30，2.5），设过点G的上述太阳光线为l1，则l1所在直线方程为y﹣=﹣（x﹣30），即3x+4y﹣100=0…（10分）由直线l1与半圆H相切，得．而点H（r，h）在直线l1的下方，则3r+4h﹣100＜0，即，从而h=25﹣2r…（13分）又=．当且仅当r=10时取等号．所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大…（16分）【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查直线与圆的位置关系，考查配方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（16分）（2017?盐城一模）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+﹣3（a∈R）．（1）当a=2时，解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）当a=1时，记h（x）=f（x）?g（x），是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．【分析】（1）当a=2时，求出g（x）=0的解，即可解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+﹣3，φ′（x）=，分类讨论，利用导数的正负，求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）判断h（x）不存在最小值，即可得出结论．【解答】解：（1）当a=2时，g（x）=0，可得x=1，g（e x）=0，可得e x=或e x=1，∴x=﹣ln2或0；（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+﹣3，φ′（x）=①a=0，φ′（x）=＞0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；②a=1，φ′（x）=?x＞0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；③0＜a＜1，x=＜0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；④a＞1，x=＞0，函数的单调递增区间是（，+∞）；⑤a＜0，x=＞0，函数的单调递增区间是（0，）；（3）a=1，h（x）=（x﹣3）lnx，h′（x）=lnx﹣+1，h″（x）=+＞0恒成立，∴h′（x）在（0，+∞）上单调递增，∴存在x0，h′（x）=0，即lnx=﹣1+，h（x）在（0，x0）上单调递减，（x，+∞）上单调递增，∴h（x）min =h（x）=﹣（x+）+6，∵h′（）＜0，h′（2）＞0，∴x∈（，2），∴h（x）∈（﹣，﹣），∴存在λ的最小值0，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．20．（16分）（2017?盐城一模）若存在常数k（k∈N*，k≥2）、q、d，使得无穷数列{an}满足则称数列{an}为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差．设数列{bn}为“段比差数列”．（1）若{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3．①当q=0时，求b2016；②当q=1时，设{bn }的前3n项和为S3n，若不等式对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{bn }为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{bn}，并说明理由．【分析】（1）①方法一：由{bn }的首项、段长、段比、段差可得b2014=0×b2013=0，再由b 2015=b2014+3，b2016=b2015+3即可；方法二：根据{bn }的首项、段长、段比、段差，?b1=1，b2=4，b3=7，b4=0×b3=0，b 5=b4+3=3，b6=b5+3=6，b7=0×b6=0，…?bn}是周期为3的周期数列即可；②方法一：由{bn }的首项、段长、段比、段差，?b3n+2﹣b3n﹣1=（b3n+1+d）﹣b3n﹣1=（qb3n+d）﹣b3n﹣1=[q（b3n﹣1+d）+d]﹣b3n﹣1=2d=6，?{b3n﹣1}是等差数列，又∵b3n﹣2+b3n﹣1+b3n=（b3n﹣1﹣d）+b3n﹣1+（b3n﹣1+d）=3b3n﹣1，即可求S3n方法二：由{bn }的首项、段长、段比、段差?b3n+1=b3n，∴b3n+3﹣b3n=b3n+3﹣b3n+1=2d=6，∴{b3n}是首项为b3=7、公差为6的等差数列即可，（2）方法一：设{bn}的段长、段比、段差分别为k、q、d，?等比数列的通项公式有，当m∈N*时，bkm+2﹣bkm+1=d，即bq km+1﹣bq km=bq km（q﹣1）=d恒成立，①若q=1，则d=0，bn=b；②若q≠1，则，则q km为常数，则q=﹣1，k为偶数，d=﹣2b，；方法二：设{bn}的段长、段比、段差分别为k、q、d，①若k=2，则b1=b，b2=b+d，b3=（b+d）q，b4=（b+d）q+d，由，得b+d=bq；由，得（b+d）q2=（b+d）q+d，求得得d 即可②若k≥3，则b1=b，b2=b+d，b3=b+2d，由，求得得d 即可．【解答】（1）①方法一：∵{bn }的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴b2014=0×b2013=0，∴b2015=b2014+3=3，∴b2016=b2015+3=6．…（3分）方法二：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴b1=1，b2=4，b3=7，b4=0×b3=0，b5=b4+3=3，b6=b5+3=6，b7=0×b6=0，…∴当n≥4时，{bn}是周期为3的周期数列．∴b2016=b6=6．…（3分）②方法一：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴b3n+2﹣b3n﹣1=（b3n+1+d）﹣b3n﹣1=（qb3n+d）﹣b3n﹣1=[q（b3n﹣1+d）+d]﹣b3n﹣1=2d=6，∴{b3n﹣1}是以b2=4为首项、6为公差的等差数列，又∵b3n﹣2+b3n﹣1+b3n=（b3n﹣1﹣d）+b3n﹣1+（b3n﹣1+d）=3b3n﹣1，∴S3n=（b1+b2+b3）+（b4+b5+b6）+…+（b3n﹣2+b3n﹣1+b3n）=，…（6分）∵，∴，设，则λ≥（cn）max，又，当n=1时，3n2﹣2n﹣2＜0，c1＜c2；当n≥2时，3n2﹣2n﹣2＞0，cn+1＜cn，∴c1＜c2＞c3＞…，∴（cn）max=c2=14，…（9分）∴λ≥14，得λ∈[14，+∞）．…（10分）方法二：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴b3n+1=b3n，∴b3n+3﹣b3n=b3n+3﹣b3n+1=2d=6，∴{b3n}是首项为b3=7、公差为6的等差数列，∴，易知{bn }中删掉{b3n}的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，∴，∴，…（6分）以下同方法一．（2）方法一：设{bn}的段长、段比、段差分别为k、q、d，则等比数列{bn}的公比为，由等比数列的通项公式有，当m∈N*时，bkm+2﹣bkm+1=d，即bq km+1﹣bq km=bq km（q﹣1）=d恒成立，…（12分）①若q=1，则d=0，bn=b；②若q≠1，则，则q km为常数，则q=﹣1，k为偶数，d=﹣2b，；经检验，满足条件的{bn }的通项公式为bn=b或．…（16分）方法二：设{bn}的段长、段比、段差分别为k、q、d，①若k=2，则b1=b，b2=b+d，b3=（b+d）q，b4=（b+d）q+d，由，得b+d=bq；由，得（b+d）q2=（b+d）q+d，联立两式，得或，则bn=b或，经检验均合题意．…（13分）②若k≥3，则b1=b，b2=b+d，b3=b+2d，由，得（b+d）2=b（b+2d），得d=0，则bn=b，经检验适合题意．综上①②，满足条件的{bn }的通项公式为bn=b或．…（16分）【点评】本题考查了等差等比数列的运算及性质，考查了学生的推理和分析能力，属于难题．数学附加题部分（本部分满分0分，考试时间30分钟）[选做题]（在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，计20分）[选修4-1：几何证明选讲] 21．（2017?盐城一模）如图，AB是半圆O的直径，点P为半圆O外一点，PA，PB分别交半圆O于点D，C．若AD=2，PD=4，PC=3，求BD的长．【分析】由切割线定理得：PD?PA=PC?PB，求出BC，利用勾股定理，求BD的长．【解答】解：由切割线定理得：PD?PA=PC?PB则4×（2+4）=3×（3+BC），解得BC=5，…（4分）又因为AB是半圆O的直径，故，…（6分）则在三角形PDB中有．…（10分）【点评】本题考查切割线定理的运用，考查勾股定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（2017?盐城一模）设矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，求m与λ的值．【分析】推导出，由此能求出结果．【解答】解：∵矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，∴，…（8分）解得m=0，λ=﹣4．…（10分）【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意特征向量的性质的合理运用．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2017?盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，已知直线为参数）．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．【分析】直线为参数）化为普通方程，圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程，求出圆C的圆心到直线l的距离，即可求弦AB的长．【解答】解：直线为参数）化为普通方程为4x﹣3y=0，…（2分）圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，…（4分）则圆C的圆心到直线l的距离为，…（6分）所以．…（10分）【点评】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的转化，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2017?盐城一模）若实数x，y，z满足x+2y+z=1，求x2+y2+z2的最小值．【分析】利用条件x+2y+z=1，构造柯西不等式（x+y+z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+12）进行解题即可．【解答】解：由柯西不等式，得（x+2y+z）2≤（12+22+12）?（x2+y2+z2），即，…（5分）又因为x+2y+z=1，所以，当且仅当，即时取等号．综上，．…（10分）【点评】本题主要考查了函数的最值，以及柯西不等式的应用，解题的关键是利用（x+2y+z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+12）进行解决．[必做题]（第25、26题，每小题0分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）25．（2017?盐城一模）某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．【分析】（1）利用对立事件的概率关系求解；（2）两个班“在一星期的任一天同时上综合实践课”的概率为，一周中5天是5次独立重复试验，服从二项分布．【解答】解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为．…（4分）（2）由题意得，．…（6分）所以X的概率分布表为：X012345P…（8分）所以，X的数学期望为．…（10分）【点评】本题考查了古典概型的概率，独立重复试验的分布列、期望，属于中档题．26．（2017?盐城一模）设n∈N*，n≥3，k∈N*．（1）求值：①kCn k﹣nCn﹣1k﹣1；②k2Cn k﹣n（n﹣1）Cn﹣2k﹣2﹣nCn﹣1k﹣1（k≥2）；（2）化简：12Cn 0+22Cn1+32Cn2+…+（k+1）2Cnk+…+（n+1）2Cnn．【分析】（1）利用组合数的计算公式即可得出．（2）方法一：由（1）可知当k≥2时=．代入化简即可得出．方法二：当n≥3时，由二项式定理，有，两边同乘以x，得，两边对x求导，得，两边再同乘以x，得，两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n﹣1x+n（n﹣1）（1+x）n﹣2x2+2n（1+x）n﹣1x=．令x=1，即可得出．【解答】解：（1）①=．…（2分）②==．…（4分）（2）方法一：由（1）可知当k≥2时=．（6分）故==（1+4n）+n（n﹣1）2n﹣2+3n（2n﹣1﹣1）+（2n﹣1﹣n）=2n﹣2（n2+5n+4）．…（10分）方法二：当n≥3时，由二项式定理，有，两边同乘以x，得，两边对x求导，得，…（6分）两边再同乘以x，得，两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n﹣1x+n（n﹣1）（1+x）n﹣2x2+2n（1+x）n﹣1x=．…（8分）令x=1，得2n+n2n﹣1+n（n﹣1）2n﹣2+2n2n﹣1=，即=2n﹣2（n2+5n+4）．…（10分）【点评】本题考查了组合数的计算公式及其性质、利用导数的运算法则化简证明，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn；sxs123；zlzhan；lcb001；qiss；w3239003；wkl197822；陈远才；双曲线；刘老师；沂蒙松（排名不分先后）菁优网2017年3月4日。
江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷[1]
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2017年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），则A ∩B= ．2．（5分）设复数z 满足（1+i ）z=2，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为 ． 3．（5分）已知样本数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的方差s 2=3，则样本数据2x 1，2x 2，2x 3，2x 4，2x 5的方差为 ．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的x 的值是 ．5．（5分）在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为 ．6．（5分）已知实数x ，y 满足，则的最小值是 ．7．（5分）设双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为 ． 8．（5分）设{a n }是等差数列，若a 4+a 5+a 6=21，则S 9= ．9．（5分）将函数的图象向右平移φ（）个单位后，所得函数为偶函数，则φ= ． 10．（5分）将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O ，△EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O ﹣EFG 体积的最大值是 ．11．（5分）在△ABC 中，已知，，则的最大值为 ．12．（5分）如图，在平面直角坐标系中，分别在x 轴与直线上从左向右依次取点A k 、B k ，k=1，2，…，其中A 1是坐标原点，使△A k B k A k+1都是等边三角形，则△A 10B 10A 11的边长是 ．13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为函数y=2lnx 的图象与圆M ：（x ﹣3）2+y 2=r 2的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数y=f （x ）的图象经过点O ，P ，M ，则y=f （x ）的最大值为 ．14．（5分）在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．16．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin2C=csinB．（1）求角C；（2）若，求sinA的值．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=b2经过椭圆（0＜b＜2）的焦点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M（﹣1，0），N（1，0），记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m2﹣2k2=1时，求k1•k2的值．18．（16分）如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足．（1）若设计AB=18米，AD=6米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）19．（16分）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+﹣3（a∈R）．（1）当a=2时，解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）当a=1时，记h（x）=f（x）•g（x），是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln2≈，ln3≈）．20．（16分）若存在常数k（k∈N*，k≥2）、q、d，使得无穷数列{an}满足则称数列{an}为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差．设数列{bn}为“段比差数列”．（1）若{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3．①当q=0时，求b2016；②当q=1时，设{bn }的前3n项和为S3n，若不等式对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{bn }为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{bn}，并说明理由．数学附加题部分（本部分满分0分，考试时间30分钟）[选做题]（在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，计20分）[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，AB是半圆O的直径，点P为半圆O外一点，PA，PB分别交半圆O于点D，C．若AD=2，PD=4，PC=3，求BD的长．[选修4-2：矩阵与变换]22．设矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，求m与λ的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线为参数）．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l 与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．[选修4-5：不等式选讲]24．若实数x，y，z满足x+2y+z=1，求x2+y2+z2的最小值．[必做题]（第25、26题，每小题0分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）25．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．26．设n∈N*，n≥3，k∈N*．（1）求值：①kCn k﹣nCn﹣1k﹣1；②k2Cn k﹣n（n﹣1）Cn﹣2k﹣2﹣nCn﹣1k﹣1（k≥2）；（2）化简：12Cn 0+22Cn1+32Cn2+…+（k+1）2Cnk+…+（n+1）2Cnn．2017年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）（2017•盐城一模）已知集合A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），则A∩B= {﹣1} ．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），∴A∩B={﹣1}，故答案为：{﹣1}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2017•盐城一模）设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，则z的虚部为﹣1 ．【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后运用复数的除法进行运算，分子分母同时乘以1﹣i．整理后可得复数z的虚部．【解答】解：由（1+i）z=2，得：．所以，z的虚部为﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，此题是基础题．3．（5分）（2017•盐城一模）已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，则样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为12 ．【分析】利用方差性质求解．【解答】解：∵样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，∴样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为：22s2=4×3=12．故答案为：12．【点评】本题考查样本数据方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用．4．（5分）（2017•盐城一模）如图是一个算法流程图，则输出的x的值是9 ．【分析】模拟执行程序，即可得出结论．【解答】解：由题意，x=1，y=9，x＜y，第1次循环，x=5，y=7，x＜y，第2次循环，x=9，y=5，x＞y，退出循环，输出9．故答案为9．【点评】本题考查程序框图，考查学生的计算能力，比较基础．5．（5分）（2017•盐城一模）在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为．【分析】基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，由此能求出选中的数字中至少有一个是偶数的概率．【解答】解：在数字1、2、3、4中随机选两个数字，基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，∴选中的数字中至少有一个是偶数的概率为p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．6．（5分）（2017•盐城一模）已知实数x，y满足，则的最小值是．【分析】先作出不等式组所表示的平面区域，由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可求斜率最大值【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如图所示：由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可知，当直线过OA时斜率最小．由于可得A（4，3），此时k=．故答案为：．【点评】本题主要考查了线性规划在求解最值中的应用，解题的关键是发现所求的式子的几何意义是平面区域内的点与原点的连线的斜率．7．（5分）（2017•盐城一模）设双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为．【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得a=，则c==2，再由离心率公式，即可得到双曲线的离心率．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，则tan30°=即为a=，则c==2，即有e=．故答案为．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．8．（5分）（2017•盐城一模）设{an }是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9= 63 ．【分析】由等差数列的通项公式求出a5=7，再由等差数列的前n项和公式得，由此能求出结果．【解答】解：∵{a n }是等差数列，a 4+a 5+a 6=21， ∴a 4+a 5+a 6=3a 5=21，解得a 5=7， ∴=63． 故答案为：63．【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．9．（5分）（2017•盐城一模）将函数的图象向右平移φ（）个单位后，所得函数为偶函数，则φ= ．【分析】若所得函数为偶函数，则﹣2φ=+kπ，k ∈Z ，进而可得答案． 【解答】解：把函数f （x ）=3sin （2x+）的图象向右平移φ个单位， 可得函数y=3sin[2（x ﹣φ）+]=3sin （2x+﹣2φ）的图象， 若所得函数为偶函数， 则﹣2φ=+kπ，k ∈Z ， 解得：φ=﹣+kπ，k ∈Z ， 当k=1时，φ的最小正值为． 故答案为：．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，函数图象的平移变换，难度中档．10．（5分）（2017•盐城一模）将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O ，△EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O ﹣EFG 体积的最大值是 4 ．【分析】三棱锥O ﹣EFG 的高为圆柱的高，即高为ABC ，当三棱锥O ﹣EFG 体积取最大值时，△EFG 的面积最大，当EF 为直径，且G 在EF 的垂直平分线上时，（S△EFG）max =，由此能求出三棱锥O ﹣EFG 体积的最大值．【解答】解：∵将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，∴三棱锥O﹣EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，∴当三棱锥O﹣EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，（S△EFG ）max=，∴三棱锥O﹣EFG体积的最大值Vmax==．故答案为：4．【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11．（5分）（2017•盐城一模）在△ABC中，已知，，则的最大值为．【分析】可先画出图形，对的两边平方，进行数量积的运算即可得到，根据不等式a2+b2≥2ab即可得到，这样便可求出的最大值．【解答】解：如图，；∴；∴；即；∴=；∴的最大值为．故答案为：．【点评】考查向量减法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，以及不等式a2+b2≥2ab的运用．12．（5分）（2017•盐城一模）如图，在平面直角坐标系中，分别在x 轴与直线上从左向右依次取点A k 、B k ，k=1，2，…，其中A 1是坐标原点，使△A k B k A k+1都是等边三角形，则△A 10B 10A 11的边长是 512 ．【分析】设直线与x 轴交点坐标为P ，由直线的倾斜角为300，又△A 1B 1A 2是等边三角形，求出△A 2B 2A 3、…找出规律，就可以求出△A 10B 10A 11的边长．【解答】解：∵直线的倾斜角为300，且直线与x 轴交点坐标为P （﹣1，0）， 又∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴∠B 1A 1A 2=600，B 1A 1=1，PA 2=2， ∴△A 2B 2A 3的边长为PA 2=2，同理 B 2A 2=PA 3=4，…以此类推 B 10A 10=PA 10=512，∴△A 10B 10A 11的边长是512， 故答案为：512．【点评】本题考查了直线的倾斜角，等边三角形的性质，及归纳推理的能力，属于基础题．13．（5分）（2017•盐城一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为函数y=2lnx 的图象与圆M ：（x ﹣3）2+y 2=r 2的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数y=f （x ）的图象经过点O ，P ，M ，则y=f （x ）的最大值为 ．【分析】设P （x 0，y 0），求得y=2lnx 的导数，可得切线的斜率和切线方程；求得圆上一点的切线方程，由直线重合的条件，可得二次函数y=x （3﹣x ），满足经过点P ，O ，M ，即可得到所求最大值．【解答】解：设P （x 0，y 0），函数y=2lnx 的导数为y′=， 函数y=2lnx 在点P 处的切线方程为y ﹣y 0=（x ﹣x 0）， 即为x ﹣y+y 0﹣2=0；圆M ：（x ﹣3）2+y 2=r 2的上点P 处的切线方程为（x 0﹣3）（x ﹣3）+yy 0=r 2， 即有（x 0﹣3）x+yy 0+9﹣3x 0﹣r 2=0； 由切线重合，可得 ==，即x0（3﹣x）=2y，则P为二次函数y=x（3﹣x）图象上的点，且该二次函数图象过O，M，则当x=时，二次函数取得最大值，故答案为：．【点评】本题考查圆的方程、导数的几何意义和二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．14．（5分）（2017•盐城一模）在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为．【分析】由三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理可求S2=a2b2﹣，进而利用基本不等式，从而可求S2≤﹣（c2﹣）2，从而利用二次函数的性质可求最值．【解答】解：由三角形面积公式可得：S=absinC，可得：S2=a2b2（1﹣cos2C）=a2b2[1﹣（）2]，∵a2+b2+2c2=8，∴a2+b2=8﹣2c2，可得：a2+b2=8﹣2c2≥2ab，解得：ab≤4﹣c2，当且仅当a=b时等号成立，∴S2=a2b2[1﹣（）2]=a2b2[1﹣（）2]=a2b2﹣≤（4﹣c2）2﹣=﹣+c2=﹣（c2﹣）2，当且仅当a=b时等号成立，∴当c2=时，﹣+c2取得最大值，S的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式，二次函数的最值的综合应用，考查了运算能力和转化思想，难度中等．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）（2017•盐城一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．【分析】（1）证明B1C1∥DE，即可证明B1C1∥平面A1DE；（2）证明DE⊥平面ACC1A1，即可证明平面A1DE⊥平面ACC1A1．【解答】证明：（1）因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC，…（2分）又因为在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C1∥BC，所以B1C1∥DE…（4分）又B1C1⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE…（6分）（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，又DE⊂底面ABC，所以CC1⊥DE…（8分）又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC，…（10分）又CC1，AC⊂平面ACC1A1，且CC1∩AC=C，所以DE⊥平面ACC1A1…（12分）又DE⊂平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1…（14分）【点评】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．（14分）（2017•盐城一模）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin2C=csinB．（1）求角C；（2）若，求sinA的值．【分析】（1）根据正弦定理化简已知等式得2sinBsinCcosC=sinCsinB，结合sinB ＞0，sinC＞0，可求，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（2）由角的范围利用同角三角函数基本关系式可求cos（B﹣）的值，由于A=﹣（B﹣），利用两角差的正弦函数公式即可计算求值得解．【解答】解：（1）由bsin2C=csinB，根据正弦定理，得2sinBsinCcosC=sinCsinB，…（2分）因为sinB＞0，sinC＞0，所以，…（4分）又C∈（0，π），所以．…（6分）（2）因为，所以，所以，又，所以．…（8分）又，即，所以=sin[﹣（B﹣）]…（12分）=．…（14分）【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17．（14分）（2017•盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=b2经过椭圆（0＜b＜2）的焦点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M（﹣1，0），N（1，0），记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m2﹣2k2=1时，求k1•k2的值．【分析】（1）椭圆E的焦点在x轴上，圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，所以2b2=4，即b2=2，即可求出椭圆E的方程；（2）求出T的坐标，利用斜率公式，结合条件，即可求k1•k2的值．【解答】解：（1）因0＜b＜2，所以椭圆E的焦点在x轴上，又圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，…（3分）所以2b2=4，即b2=2，所以椭圆E的方程为．…（6分）（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），T（x，y），联立，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，所以，又2m2﹣2k2=1，所以x1+x2=，所以，，…（10分）则．…（14分）【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．18．（16分）（2017•盐城一模）如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足．（1）若设计AB=18米，AD=6米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）【分析】（1）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=米＜米，即可得出结论；（2）方法一：设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得h≤25﹣2r，即可求出截面面积最大；方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为米，即可求出截面面积最大【解答】解：如图所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．（1）因为AB=18，AD=6，所以半圆的圆心为H（9，6），半径r=9．设太阳光线所在直线方程为，即3x+4y﹣4b=0，…（2分）则由，解得b=24或（舍）．故太阳光线所在直线方程为，…（5分）令x=30，得EG=米＜米．所以此时能保证上述采光要求…（7分）（2）设AD=h米，AB=2r米，则半圆的圆心为H（r，h），半径为r．方法一：设太阳光线所在直线方程为，即3x+4y﹣4b=0，由，解得b=h+2r或b=h﹣2r（舍）…（9分）故太阳光线所在直线方程为，令x=30，得，由，得h≤25﹣2r…（11分）所以=．当且仅当r=10时取等号．所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大…（16分）方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为米，则此时点G为（30，），设过点G的上述太阳光线为l1，则l1所在直线方程为y﹣=﹣（x﹣30），即3x+4y﹣100=0…（10分）由直线l1与半圆H相切，得．而点H（r，h）在直线l的下方，则3r+4h﹣100＜0，1即，从而h=25﹣2r…（13分）又=．当且仅当r=10时取等号．所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大…（16分）【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查直线与圆的位置关系，考查配方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（16分）（2017•盐城一模）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+﹣3（a∈R）．（1）当a=2时，解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）当a=1时，记h（x）=f（x）•g（x），是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln2≈，ln3≈）．【分析】（1）当a=2时，求出g（x）=0的解，即可解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+﹣3，φ′（x）=，分类讨论，利用导数的正负，求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）判断h（x）不存在最小值，即可得出结论．【解答】解：（1）当a=2时，g（x）=0，可得x=1，g（e x）=0，可得e x=或e x=1，∴x=﹣ln2或0；（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+﹣3，φ′（x）=①a=0，φ′（x）=＞0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；②a=1，φ′（x）=•x＞0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；③0＜a＜1，x=＜0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；④a＞1，x=＞0，函数的单调递增区间是（，+∞）；⑤a＜0，x=＞0，函数的单调递增区间是（0，）；（3）a=1，h（x）=（x﹣3）lnx，h′（x）=lnx﹣+1，h″（x）=+＞0恒成立，∴h′（x）在（0，+∞）上单调递增，∴存在x0，h′（x）=0，即lnx=﹣1+，h（x）在（0，x0）上单调递减，（x，+∞）上单调递增，∴h（x）min =h（x）=﹣（x+）+6，∵h′（）＜0，h′（2）＞0，∴x∈（，2），∴h（x）∈（﹣，﹣），∴存在λ的最小值0，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．20．（16分）（2017•盐城一模）若存在常数k（k∈N*，k≥2）、q、d，使得无穷数列{an }满足则称数列{an}为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差．设数列{bn}为“段比差数列”．（1）若{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3．①当q=0时，求b2016；②当q=1时，设{bn }的前3n项和为S3n，若不等式对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{bn }为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{bn}，并说明理由．【分析】（1）①方法一：由{bn }的首项、段长、段比、段差可得b2014=0×b2013=0，再由b2015=b2014+3，b2016=b2015+3即可；方法二：根据{bn }的首项、段长、段比、段差，⇒b1=1，b2=4，b3=7，b4=0×b3=0，b 5=b4+3=3，b6=b5+3=6，b7=0×b6=0，…⇒bn}是周期为3的周期数列即可；②方法一：由{bn }的首项、段长、段比、段差，⇒b3n+2﹣b3n﹣1=（b3n+1+d）﹣b3n﹣1=（qb3n +d）﹣b3n﹣1=[q（b3n﹣1+d）+d]﹣b3n﹣1=2d=6，⇒{b3n﹣1}是等差数列，又∵b3n﹣2+b3n﹣1+b3n=（b3n﹣1﹣d）+b3n﹣1+（b3n﹣1+d）=3b3n﹣1，即可求S3n方法二：由{bn }的首项、段长、段比、段差⇒b3n+1=b3n，∴b3n+3﹣b3n=b3n+3﹣b3n+1=2d=6，∴{b3n }是首项为b3=7、公差为6的等差数列即可，（2）方法一：设{bn}的段长、段比、段差分别为k、q、d，⇒等比数列的通项公式有，当m∈N*时，bkm+2﹣bkm+1=d，即bq km+1﹣bq km=bq km（q﹣1）=d恒成立，①若q=1，则d=0，bn=b；②若q≠1，则，则q km为常数，则q=﹣1，k为偶数，d=﹣2b，；方法二：设{bn}的段长、段比、段差分别为k、q、d，①若k=2，则b1=b，b2=b+d，b3=（b+d）q，b4=（b+d）q+d，由，得b+d=bq；由，得（b+d）q2=（b+d）q+d，求得得d 即可②若k≥3，则b1=b，b2=b+d，b3=b+2d，由，求得得d 即可．【解答】（1）①方法一：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴b2014=0×b2013=0，∴b2015=b2014+3=3，∴b2016=b2015+3=6．…（3分）方法二：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴b1=1，b2=4，b3=7，b4=0×b3=0，b5=b4+3=3，b6=b5+3=6，b7=0×b6=0，…∴当n≥4时，{bn}是周期为3的周期数列．∴b2016=b6=6．…（3分）②方法一：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴b3n+2﹣b3n﹣1=（b3n+1+d）﹣b3n﹣1=（qb3n+d）﹣b3n﹣1=[q（b3n﹣1+d）+d]﹣b3n﹣1=2d=6，∴{b3n﹣1}是以b2=4为首项、6为公差的等差数列，又∵b3n﹣2+b3n﹣1+b3n=（b3n﹣1﹣d）+b3n﹣1+（b3n﹣1+d）=3b3n﹣1，∴S3n=（b1+b2+b3）+（b4+b5+b6）+…+（b3n﹣2+b3n﹣1+b3n）=，…（6分）∵，∴，设，则λ≥（cn）max，又，当n=1时，3n2﹣2n﹣2＜0，c1＜c2；当n≥2时，3n2﹣2n﹣2＞0，cn+1＜cn，∴c1＜c2＞c3＞…，∴（cn）max=c2=14，…（9分）∴λ≥14，得λ∈[14，+∞）．…（10分）方法二：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴b3n+1=b3n，∴b3n+3﹣b3n=b3n+3﹣b3n+1=2d=6，∴{b3n}是首项为b3=7、公差为6的等差数列，∴，易知{bn }中删掉{b3n}的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，∴，∴，…（6分）以下同方法一．（2）方法一：设{bn}的段长、段比、段差分别为k、q、d，则等比数列{bn}的公比为，由等比数列的通项公式有，当m∈N*时，bkm+2﹣bkm+1=d，即bq km+1﹣bq km=bq km（q﹣1）=d恒成立，…（12分）①若q=1，则d=0，bn=b；②若q≠1，则，则q km为常数，则q=﹣1，k为偶数，d=﹣2b，；经检验，满足条件的{bn }的通项公式为bn=b或．…（16分）方法二：设{bn}的段长、段比、段差分别为k、q、d，①若k=2，则b1=b，b2=b+d，b3=（b+d）q，b4=（b+d）q+d，由，得b+d=bq；由，得（b+d）q2=（b+d）q+d，联立两式，得或，则bn=b或，经检验均合题意．…（13分）②若k≥3，则b1=b，b2=b+d，b3=b+2d，由，得（b+d）2=b（b+2d），得d=0，则bn=b，经检验适合题意．综上①②，满足条件的{bn }的通项公式为bn=b或．…（16分）【点评】本题考查了等差等比数列的运算及性质，考查了学生的推理和分析能力，属于难题．数学附加题部分（本部分满分0分，考试时间30分钟）[选做题]（在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，计20分）[选修4-1：几何证明选讲]21．（2017•盐城一模）如图，AB是半圆O的直径，点P为半圆O外一点，PA，PB分别交半圆O于点D，C．若AD=2，PD=4，PC=3，求BD的长．【分析】由切割线定理得：PD•PA=PC•PB，求出BC，利用勾股定理，求BD的长．【解答】解：由切割线定理得：PD•PA=PC•PB则4×（2+4）=3×（3+BC），解得BC=5，…（4分）又因为AB是半圆O的直径，故，…（6分）则在三角形PDB中有．…（10分）【点评】本题考查切割线定理的运用，考查勾股定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（2017•盐城一模）设矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，求m与λ的值．【分析】推导出，由此能求出结果．【解答】解：∵矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，∴，…（8分）解得m=0，λ=﹣4．…（10分）【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意特征向量的性质的合理运用．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2017•盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，已知直线为参数）．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．【分析】直线为参数）化为普通方程，圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程，求出圆C的圆心到直线l的距离，即可求弦AB的长．【解答】解：直线为参数）化为普通方程为4x﹣3y=0，…（2分）圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，…（4分）则圆C的圆心到直线l的距离为，…（6分）所以．…（10分）【点评】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的转化，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2017•盐城一模）若实数x，y，z满足x+2y+z=1，求x2+y2+z2的最小值．【分析】利用条件x+2y+z=1，构造柯西不等式（x+y+z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+12）进行解题即可．【解答】解：由柯西不等式，得（x+2y+z）2≤（12+22+12）•（x2+y2+z2），即，…（5分）又因为x+2y+z=1，所以，当且仅当，即时取等号．综上，．…（10分）【点评】本题主要考查了函数的最值，以及柯西不等式的应用，解题的关键是利用（x+2y+z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+12）进行解决．[必做题]（第25、26题，每小题0分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）25．（2017•盐城一模）某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．【分析】（1）利用对立事件的概率关系求解；（2）两个班“在一星期的任一天同时上综合实践课”的概率为，一周中5天是5次独立重复试验，服从二项分布．【解答】解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为．…（4分）（2）由题意得，．…（6分）所以X的概率分布表为：X012345P…（8分）所以，X的数学期望为．…（10分）【点评】本题考查了古典概型的概率，独立重复试验的分布列、期望，属于中档题．26．（2017•盐城一模）设n∈N*，n≥3，k∈N*．（1）求值：①kCn k﹣nCn﹣1k﹣1；②k2Cn k﹣n（n﹣1）Cn﹣2k﹣2﹣nCn﹣1k﹣1（k≥2）；（2）化简：12Cn 0+22Cn1+32Cn2+…+（k+1）2Cnk+…+（n+1）2Cnn．【分析】（1）利用组合数的计算公式即可得出．（2）方法一：由（1）可知当k≥2时=．代入化简即可得出．方法二：当n≥3时，由二项式定理，有，两边同乘以x，得，两边对x求导，得，两边再同乘以x，得，两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n﹣1x+n（n﹣1）（1+x）n﹣2x2+2n（1+x）n﹣1x=．令x=1，即可得出．【解答】解：（1）①=．…（2分）②==．…（4分）（2）方法一：由（1）可知当k≥2时=．（6分）故==（1+4n）+n（n﹣1）2n﹣2+3n（2n﹣1﹣1）+（2n﹣1﹣n）=2n﹣2（n2+5n+4）．…（10分）方法二：当n≥3时，由二项式定理，有，两边同乘以x，得，两边对x求导，得，…（6分）两边再同乘以x，得，两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n﹣1x+n（n﹣1）（1+x）n﹣2x2+2n（1+x）n﹣1x=．…（8分）令x=1，得2n+n2n﹣1+n（n﹣1）2n﹣2+2n2n﹣1=，即=2n﹣2（n2+5n+4）．…（10分）【点评】本题考查了组合数的计算公式及其性质、利用导数的运算法则化简证明，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn；sxs123；zlzhan；lcb001；qiss；w3239003；wkl197822；陈远才；双曲线；刘老师；沂蒙松（排名不分先后）菁优网2017年3月4日。
2017年江苏省南京市盐城市高考数学一模试卷1
实用文档文案大全2017年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），则A∩B=2．（5分）设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，则z的虚部为3．（5分）已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，则样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的x的值是5．（5分）在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为6．（5分）已知实数x，y满足，则的最小值是7．（5分）设双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为8．（5分）设{a n}是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9=9．（5分）将函数的图象向右平移φ（）个单位后，所得函数为偶函数，则φ=实用文档文案大全10．（5分）将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O﹣EFG体积的最大值是11．（5分）在△ABC中，已知，，则的最大值为12．（5分）如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线上从左向右依次取点A k、B k，k=1，2，…，其中A1是坐标原点，使△A k B k A k+1都是等边三角形，则△A10B10A11的边长是13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P为函数y=2lnx的图象与圆M：（x﹣3）2+y2=r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y=f（x）的图象经过点O，P，M，则y=f（x）的最大值为14．（5分）在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．16．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin2C=csinB．实用文档文案大全（1）求角C；（2）若，求sinA的值．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=b2经过椭圆（0＜b＜2）的焦点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M（﹣1，0），N（1，0），记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m2﹣2k2=1时，求k1?k2的值．18．（16分）如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足．（1）若设计AB=18米，AD=6米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）实用文档文案大全19．（16分）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+﹣3（a∈R）．（1）当a=2时，解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）当a=1时，记h（x）=f（x）?g（x），是否存在整数λ，使得关于x 的不等式2λ≥h（x）有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．20．（16分）若存在常数k（k∈N*，k≥2）、q、d，使得无穷数列{a n}满足则称数列{a n}为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差．设数列{b n}为“段比差数列”．（1）若{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3．①当q=0时，求b2016；②当q=1时，设{b n}的前3n项和为S3n，若不等式对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{b n}为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{b n}，并说明理由．数学附加题部分（本部分满分0分，考试时间30分钟）[选做题]（在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，计20分）[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，AB是半圆O的直径，点P为半圆O外一点，PA，PB分别交半圆O于点D，C．若AD=2，PD=4，PC=3，求BD的长．[选修4-2：矩阵与变换]实用文档文案大全22．设矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，求m与λ的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线为参数）．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．[选修4-5：不等式选讲]24．若实数x，y，z满足x+2y+z=1，求x2+y2+z2的最小值．[必做题]（第25、26题，每小题0分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）25．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．26．设n∈N*，n≥3，k∈N*．（1）求值：①kC nk﹣nC n﹣1k﹣1；②k2C nk﹣n（n﹣1）C n﹣2k﹣2﹣nC n﹣1k﹣1（k≥2）；（2）化简：12C n0+22C n1+32C n2+…+（k+1）2C nk+…+（n+1）2C nn．实用文档文案大全2017年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）（2017?盐城一模）已知集合A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），则A∩B= {﹣1} ．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），∴A∩B={﹣1}，故答案为：{﹣1}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2017?盐城一模）设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，则z的虚部为﹣1【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后运用复数的除法进行运算，分子分母同时乘以1﹣i．整理后可得复数z的虚部．【解答】解：由（1+i）z=2，得：．所以，z的虚部为﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，此题是基础题．3．（5分）（2017?盐城一模）已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，则样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为12【分析】利用方差性质求解．【解答】解：∵样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，实用文档文案大全∴样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为：22s2=4×3=12．故答案为：12．【点评】本题考查样本数据方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用．4．（5分）（2017?盐城一模）如图是一个算法流程图，则输出的x的值是9【分析】模拟执行程序，即可得出结论．【解答】解：由题意，x=1，y=9，x＜y，第1次循环，x=5，y=7，x＜y，第2次循环，x=9，y=5，x＞y，退出循环，输出9．故答案为9．【点评】本题考查程序框图，考查学生的计算能力，比较基础．5．（5分）（2017?盐城一模）在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为【分析】基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，由此能求出选中的数字中至少有一个是偶数的概率．实用文档文案大全【解答】解：在数字1、2、3、4中随机选两个数字，基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，∴选中的数字中至少有一个是偶数的概率为p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．6．（5分）（2017?盐城一模）已知实数x，y满足，则的最小值是【分析】先作出不等式组所表示的平面区域，由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可求斜率最大值【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如图所示：由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可知，当直线过OA时斜率最小．由于可得A（4，3），此时k=．．故答案为：．【点评】本题主要考查了线性规划在求解最值中的应用，解题的关键是发现所求实用文档文案大全的式子的几何意义是平面区域内的点与原点的连线的斜率．7．（5分）（2017?盐城一模）设双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得a=，则c==2，再由离心率公式，即可得到双曲线的离心率．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，则tan30°=即为a=，则c==2，即有e=．．故答案为．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．8．（5分）（2017?盐城一模）设{a n}是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9=63【分析】由等差数列的通项公式求出a5=7，再由等差数列的前n项和公式得，由此能求出结果．【解答】解：∵{a n}是等差数列，a4+a5+a6=21，∴a4+a5+a6=3a5=21，解得a5=7，∴=63．故答案为：63．【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．9．（5分）（2017?盐城一模）将函数的图象向右平移φ（）个单位后，所得函数为偶函数，则φ=实用文档文案大全【分析】若所得函数为偶函数，则﹣2φ=+kπ，k∈Z，进而可得答案．【解答】解：把函数f（x）=3sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，可得函数y=3sin[2（x﹣φ）+]=3sin（2x+﹣2φ）的图象，若所得函数为偶函数，则﹣2φ=+kπ，k∈Z，解得：φ=﹣+kπ，k∈Z，当k=1时，φ的最小正值为．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，函数图象的平移变换，难度中档．10．（5分）（2017?盐城一模）将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O﹣EFG体积的最大值是4【分析】三棱锥O﹣EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，当三棱锥O﹣EFG 体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，（S△EFG）max=，由此能求出三棱锥O﹣EFG体积的最大值．【解答】解：∵将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，∴三棱锥O﹣EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，∴当三棱锥O﹣EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，（S△EFG）max=，∴三棱锥O﹣EFG体积的最大值V max==．故答案为：4．实用文档文案大全【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11．（5分）（2017?盐城一模）在△ABC中，已知，，则的最大值为【分析】可先画出图形，对的两边平方，进行数量积的运算即可得到，根据不等式a2+b2≥2ab即可得到，这样便可求出的最大值．【解答】解：如图，；∴；∴；即；∴=；∴的最大值为．实用文档文案大全故答案为：．【点评】考查向量减法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，以及不等式a2+b2≥2ab的运用．12．（5分）（2017?盐城一模）如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线上从左向右依次取点A k、B k，k=1，2，…，其中A1是坐标原点，使△A k B k A k+1都是等边三角形，则△A10B10A11的边长是512【分析】设直线与x轴交点坐标为P，由直线的倾斜角为300，又△A1B1A2是等边三角形，求出△A2B2A3、…找出规律，就可以求出△A10B10A11的边长．【解答】解：∵直线的倾斜角为300，且直线与x轴交点坐标为P（﹣1，0），又∵△A1B1A2是等边三角形，∴∠B1A1A2=600，B1A1=1，PA2=2，∴△A2B2A3的边长为PA2=2，同理B2A2=PA3=4，…以此类推B10A10=PA10=512，∴△A10B10A11的边长是512，故答案为：512．【点评】本题考查了直线的倾斜角，等边三角形的性质，及归纳推理的能力，属于基础题．13．（5分）（2017?盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点P为函数y=2lnx的图象与圆M：（x﹣3）2+y2=r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y=f（x）的图象经过点O，P，M，则y=f（x）的最大值为【分析】设P（x0，y0），求得y=2lnx的导数，可得切线的斜率和切线方程；求得实用文档文案大全圆上一点的切线方程，由直线重合的条件，可得二次函数y=x（3﹣x），满足经过点P，O，M，即可得到所求最大值．【解答】解：设P（x0，y0），函数y=2lnx的导数为y′=，函数y=2lnx在点P处的切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），即为x﹣y+y0﹣2=0；圆M：（x﹣3）2+y2=r2的上点P处的切线方程为（x0﹣3）（x﹣3）+yy0=r2，即有（x0﹣3）x+yy0+9﹣3x0﹣r2=0；由切线重合，可得==，即x0（3﹣x0）=2y0，则P为二次函数y=x（3﹣x）图象上的点，且该二次函数图象过O，M，则当x=时，二次函数取得最大值，故答案为：．【点评】本题考查圆的方程、导数的几何意义和二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．14．（5分）（2017?盐城一模）在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为【分析】由三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理可求S2=a2b2﹣，进而利用基本不等式，从而可求S2≤﹣（c2﹣）2，从而利用二次函数的性质可求最值．【解答】解：由三角形面积公式可得：S=absinC，可得：S2=a2b2（1﹣cos2C）=a2b2[1﹣（）2]，实用文档文案大全∵a2+b2+2c2=8，∴a2+b2=8﹣2c2，可得：a2+b2=8﹣2c2≥2ab，解得：ab≤4﹣c2，当且仅当a=b时等号成立，∴S2=a2b2[1﹣（）2]=a2b2[1﹣（）2]=a2b2﹣≤（4﹣c2）2﹣=﹣+c2=﹣（c2﹣）2，当且仅当a=b时等号成立，∴当c2=时，﹣+c2取得最大值，S的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式，二次函数的最值的综合应用，考查了运算能力和转化思想，难度中等．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）（2017?盐城一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．【分析】（1）证明B1C1∥DE，即可证明B1C1∥平面A1DE；（2）证明DE⊥平面ACC1A1，即可证明平面A1DE⊥平面ACC1A1．实用文档文案大全【解答】证明：（1）因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC，…（2分）又因为在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C1∥BC，所以B1C1∥DE…（4分）又B1C1?平面A1DE，DE?平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE…（6分）（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，又DE?底面ABC，所以CC1⊥DE…（8分）又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC，…（10分）又CC1，AC?平面ACC1A1，且CC1∩AC=C，所以DE⊥平面ACC1A1…（12分）又DE?平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1…（14分）【点评】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．（14分）（2017?盐城一模）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C 的对边，且bsin2C=csinB．（1）求角C；（2）若，求sinA的值．【分析】（1）根据正弦定理化简已知等式得2sinBsinCcosC=sinCsinB，结合sinB＞0，sinC＞0，可求，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（2）由角的范围利用同角三角函数基本关系式可求cos（B﹣）的值，由于A=﹣（B﹣），利用两角差的正弦函数公式即可计算求值得解．【解答】解：（1）由bsin2C=csinB，根据正弦定理，得2sinBsinCcosC=sinCsinB，…（2分）因为sinB＞0，sinC＞0，所以，…（4分）又C∈（0，π），所以．…（6分）（2）因为，所以，实用文档文案大全所以，又，所以．…（8分）又，即，所以=sin[﹣（B﹣）]…（12分）=．…（14分）【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17．（14分）（2017?盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=b2经过椭圆（0＜b＜2）的焦点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M（﹣1，0），N（1，0），记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m2﹣2k2=1时，求k1?k2的值．【分析】（1）椭圆E的焦点在x轴上，圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，所以2b2=4，即b2=2，即可求出椭圆E的方程；（2）求出T的坐标，利用斜率公式，结合条件，即可求k1?k2的值．【解答】解：（1）因0＜b＜2，所以椭圆E的焦点在x轴上，又圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，…（3分）实用文档文案大全所以2b2=4，即b2=2，所以椭圆E的方程为．…（6分）（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），T（x0，y0），联立，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，所以，又2m2﹣2k2=1，所以x1+x2=，所以，，…（10分）则．…（14分）【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．18．（16分）（2017?盐城一模）如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足．（1）若设计AB=18米，AD=6米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）【分析】（1）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设实用文档文案大全太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，即可得出结论；（2）方法一：设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得h≤25﹣2r，即可求出截面面积最大；方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，即可求出截面面积最大【解答】解：如图所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．（1）因为AB=18，AD=6，所以半圆的圆心为H（9，6），半径r=9．设太阳光线所在直线方程为，即3x+4y﹣4b=0，…（2分）则由，解得b=24或（舍）．故太阳光线所在直线方程为，…（5分）令x=30，得EG=1.5米＜2.5米．所以此时能保证上述采光要求…（7分）（2）设AD=h米，AB=2r米，则半圆的圆心为H（r，h），半径为r．方法一：设太阳光线所在直线方程为，即3x+4y﹣4b=0，由，解得b=h+2r或b=h﹣2r（舍）…（9分）故太阳光线所在直线方程为，令x=30，得，由，得h≤25﹣2r…（11分）所以=实用文档文案大全当且仅当r=10时取等号．所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大…（16分）方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，则此时点G为（30，2.5），设过点G的上述太阳光线为l1，则l1所在直线方程为y﹣=﹣（x﹣30），即3x+4y﹣100=0…（10分）由直线l1与半圆H相切，得．而点H（r，h）在直线l1的下方，则3r+4h﹣100＜0，即，从而h=25﹣2r…（13分）又=．当且仅当r=10时取等号．所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大…（16分）【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查直线与圆的位置关系，考查配方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（16分）（2017?盐城一模）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+﹣3（a ∈R）．（1）当a=2时，解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）当a=1时，记h（x）=f（x）?g（x），是否存在整数λ，使得关于x 的不等式2λ≥h（x）有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参实用文档文案大全考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．【分析】（1）当a=2时，求出g（x）=0的解，即可解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+﹣3，φ′（x）=，分类讨论，利用导数的正负，求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）判断h（x）不存在最小值，即可得出结论．【解答】解：（1）当a=2时，g（x）=0，可得x=1，g（e x）=0，可得e x=或e x=1，∴x=﹣ln2或0；（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+﹣3，φ′（x）=①a=0，φ′（x）=＞0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；②a=1，φ′（x）=?x＞0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；③0＜a＜1，x=＜0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；④a＞1，x=＞0，函数的单调递增区间是（，+∞）；⑤a＜0，x=＞0，函数的单调递增区间是（0，）；（3）a=1，h（x）=（x﹣3）lnx，h′（x）=lnx﹣+1，h″（x）=+＞0恒成立，∴h′（x）在（0，+∞）上单调递增，∴存在x0，h′（x0）=0，即lnx0=﹣1+，h（x）在（0，x0）上单调递减，（x0，+∞）上单调递增，∴h（x）min=h（x0）=﹣（x0+）+6，∵h′（）＜0，h′（2）＞0，∴x0∈（，2），∴h（x0）∈（﹣，﹣），∴存在λ的最小值0，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨实用文档文案大全论的数学思想，属于中档题．20．（16分）（2017?盐城一模）若存在常数k（k∈N*，k≥2）、q、d，使得无穷数列{a n}满足则称数列{a n}为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差．设数列{b n}为“段比差数列”．（1）若{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3．①当q=0时，求b2016；②当q=1时，设{b n}的前3n项和为S3n，若不等式对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{b n}为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{b n}，并说明理由．【分析】（1）①方法一：由{b n}的首项、段长、段比、段差可得b2014=0×b2013=0，再由b2015=b2014+3，b2016=b2015+3即可；方法二：根据{b n}的首项、段长、段比、段差，?b1=1，b2=4，b3=7，b4=0×b3=0，b5=b4+3=3，b6=b5+3=6，b7=0×b6=0，…?b n}是周期为3的周期数列即可；②方法一：由{b n}的首项、段长、段比、段差，?b3n+2﹣b3n﹣1=（b3n+1+d）﹣b3n﹣1=（qb3n+d）﹣b3n﹣1=[q（b3n﹣1+d）+d]﹣b3n﹣1=2d=6，?{b3n﹣1}是等差数列，又∵b3n﹣2+b3n﹣1+b3n=（b3n﹣1﹣d）+b3n﹣1+（b3n﹣1+d）=3b3n﹣1，即可求S3n 方法二：由{b n}的首项、段长、段比、段差?b3n+1=b3n，∴b3n+3﹣b3n=b3n+3﹣b3n+1=2d=6，∴{b3n}是首项为b3=7、公差为6的等差数列即可，（2）方法一：设{b n}的段长、段比、段差分别为k、q、d，?等比数列的通项公式有，当m∈N*时，b km+2﹣b km+1=d，即bq km+1﹣bq km=bq km（q﹣1）=d恒成立，①若q=1，则d=0，b n=b；②若q≠1，则，则q km为常数，则q=﹣1，k为偶数，d=﹣2b，；方法二：设{b n}的段长、段比、段差分别为k、q、d，实用文档文案大全①若k=2，则b1=b，b2=b+d，b3=（b+d）q，b4=（b+d）q+d，由，得b+d=bq；由，得（b+d）q2=（b+d）q+d，求得得d 即可②若k≥3，则b1=b，b2=b+d，b3=b+2d，由，求得得d 即可．【解答】（1）①方法一：∵{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴b2014=0×b2013=0，∴b2015=b2014+3=3，∴b2016=b2015+3=6．…（3分）方法二：∵{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴b1=1，b2=4，b3=7，b4=0×b3=0，b5=b4+3=3，b6=b5+3=6，b7=0×b6=0，…∴当n≥4时，{b n}是周期为3的周期数列．∴b2016=b6=6．…（3分）②方法一：∵{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴b3n+2﹣b3n﹣1=（b3n+1+d）﹣b3n﹣1=（qb3n+d）﹣b3n﹣1=[q（b3n﹣1+d）+d]﹣b3n=2d=6，﹣1∴{b3n﹣1}是以b2=4为首项、6为公差的等差数列，又∵b3n﹣2+b3n﹣1+b3n=（b3n﹣1﹣d）+b3n﹣1+（b3n﹣1+d）=3b3n﹣1，∴S3n=（b1+b2+b3）+（b4+b5+b6）+…+（b3n﹣2+b3n﹣1+b3n）=，…（6分）∵，∴，设，则λ≥（c n）max，又，当n=1时，3n2﹣2n﹣2＜0，c1＜c2；当n≥2时，3n2﹣2n﹣2＞0，c n+1＜c n，∴c1＜c2＞c3＞…，∴（c n）max=c2=14，…（9分）∴λ≥14，得λ∈[14，+∞）．…（10分）方法二：∵{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴b3n+1=b3n，∴b3n+3﹣b3n=b3n+3﹣b3n+1=2d=6，∴{b3n}是首项为b3=7、公差为6的等差数列，∴，易知{b n}中删掉{b3n}的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数实用文档文案大全列，∴，∴，…（6分）以下同方法一．（2）方法一：设{b n}的段长、段比、段差分别为k、q、d，则等比数列{b n}的公比为，由等比数列的通项公式有，当m∈N*时，b km+2﹣b km+1=d，即bq km+1﹣bq km=bq km（q﹣1）=d恒成立，…（12分）①若q=1，则d=0，b n=b；②若q≠1，则，则q km为常数，则q=﹣1，k为偶数，d=﹣2b，；经检验，满足条件的{b n}的通项公式为b n=b或．…（16分）方法二：设{b n}的段长、段比、段差分别为k、q、d，①若k=2，则b1=b，b2=b+d，b3=（b+d）q，b4=（b+d）q+d，由，得b+d=bq；由，得（b+d）q2=（b+d）q+d，联立两式，得或，则b n=b或，经检验均合题意．…（13分）②若k≥3，则b1=b，b2=b+d，b3=b+2d，由，得（b+d）2=b（b+2d），得d=0，则b n=b，经检验适合题意．综上①②，满足条件的{b n}的通项公式为b n=b或．…（16分）【点评】本题考查了等差等比数列的运算及性质，考查了学生的推理和分析能力，属于难题．数学附加题部分（本部分满分0分，考试时间30分钟）[选做题]（在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，计20分）[选修4-1：几何证明选讲]实用文档文案大全21．（2017?盐城一模）如图，AB是半圆O的直径，点P为半圆O 外一点，PA，PB分别交半圆O于点D，C．若AD=2，PD=4，PC=3，求BD的长．【分析】由切割线定理得：PD?PA=PC?PB，求出BC，利用勾股定理，求BD 的长．【解答】解：由切割线定理得：PD?PA=PC?PB则4×（2+4）=3×（3+BC），解得BC=5，…（4分）又因为AB是半圆O的直径，故，…（6分）则在三角形PDB中有．…（10分）【点评】本题考查切割线定理的运用，考查勾股定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（2017?盐城一模）设矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，求m与λ的值．【分析】推导出，由此能求出结果．【解答】解：∵矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，∴，…（8分）解得m=0，λ=﹣4．…（10分）【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意特征向量的性质的合理运用．[选修4-4：坐标系与参数方程]实用文档文案大全23．（2017?盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，已知直线为参数）．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．【分析】直线为参数）化为普通方程，圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程，求出圆C的圆心到直线l的距离，即可求弦AB的长．【解答】解：直线为参数）化为普通方程为4x﹣3y=0，…（2分）圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，…（4分）则圆C的圆心到直线l的距离为，…（6分）所以．…（10分）【点评】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的转化，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2017?盐城一模）若实数x，y，z满足x+2y+z=1，求x2+y2+z2的最小值．【分析】利用条件x+2y+z=1，构造柯西不等式（x+y+z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+12）进行解题即可．【解答】解：由柯西不等式，得（x+2y+z）2≤（12+22+12）?（x2+y2+z2），即，…（5分）又因为x+2y+z=1，所以，当且仅当，即时取等号．综上，．…（10分）【点评】本题主要考查了函数的最值，以及柯西不等式的应用，解题的关键是利实用文档文案大全用（x+2y+z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+12）进行解决．[必做题]（第25、26题，每小题0分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）25．（2017?盐城一模）某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．【分析】（1）利用对立事件的概率关系求解；（2）两个班“在一星期的任一天同时上综合实践课”的概率为，一周中5天是5次独立重复试验，服从二项分布．【解答】解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为．…（4分）（2）由题意得，．…（6分）所以X的概率分布表为：P…（8分）所以，X的数学期望为．…（10分）【点评】本题考查了古典概型的概率，独立重复试验的分布列、期望，属于中档题．26．（2017?盐城一模）设n∈N*，n≥3，k∈N*．（1）求值：实用文档文案大全①kC nk﹣nC n﹣1k﹣1；②k2C nk﹣n（n﹣1）C n﹣2k﹣2﹣nC n﹣1k﹣1（k≥2）；（2）化简：12C n0+22C n1+32C n2+…+（k+1）2C nk+…+（n+1）2C nn．【分析】（1）利用组合数的计算公式即可得出．（2）方法一：由（1）可知当k≥2时=．代入化简即可得出．方法二：当n≥3时，由二项式定理，有，两边同乘以x，得，两边对x求导，得，两边再同乘以x，得，两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n﹣1x+n（n﹣1）（1+x）n﹣2x2+2n（1+x）n﹣1x=．．令x=1，即可得出．【解答】解：（1）①=．…（2分）②==．…（4分）（2）方法一：由（1）可知当k≥2时实用文档文案大全=．（6分）故==（1+4n）+n（n﹣1）2n﹣2+3n（2n﹣1﹣1）+（2n﹣1﹣n）=2n﹣2（n2+5n+4）．…（10分）方法二：当n≥3时，由二项式定理，有，两边同乘以x，得，两边对x求导，得，…（6分）两边再同乘以x，得，两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n﹣1x+n（n﹣1）（1+x）n﹣2x2+2n（1+x）n﹣1x=．．…（8分）令x=1，得2n+n2n﹣1+n（n﹣1）2n﹣2+2n2n﹣1=，即=2n﹣2（n2+5n+4）．…（10分）【点评】本题考查了组合数的计算公式及其性质、利用导数的运算法则化简证明，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．实用文档文案大全参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn；sxs123；zlzhan；lcb001；qiss；w3239003；wkl197822；陈远才；双曲线；刘老师；沂蒙松（排名不分先后）菁优网2017年3月4日。
【江苏省南京、盐城】2017学年高考一模数学年试题
江苏省南京市、盐城市2017年高考一模数学试卷答 案1．{}1- 2．1- 3．12 4．95．56 6．3478．639．512π 10．4 11．3212．13．981415．证明：（1）因为D ，E 分别是AB ，AC 的中点，所以//DE BC ，又因为在三棱柱111ABC A B C -中，11//B C BC ，所以11//B C DE ， 又11B C ⊄平面1A DE ，DE ⊂平面1A DE ，所以11//B C 平面1A DE ． （2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ， 又DE ⊂底面ABC ，所以1CC DE ⊥， 又BC AC ⊥，//DE BC ，所以DE AC ⊥， 又1CC ，AC ⊂平面11ACC A ，且1CC AC C =，所以DE ⊥平面11ACC A ，又DE ⊂平面1A DE ，所以平面1A DE ⊥平面11ACC A ．16．解：（1）由sin 2sin b C c B =，根据正弦定理，得2sin sin cos sin sin B C C C B =， 因为sin 0B ＞，sin 0C ＞，所以1cos 2C =， 又0πC ∈(,)，所以π3C =． （2）因为π3C =， 所以2π(0,)3B ∈， 所以πππ(,)333B -∈-，又π3sin()35B -=，所以π4cos()35B -==．又2π3A B +=，即2π3A B =-，所以2πππ413sin sin()sin[()]333525A B B =-=--=-⨯=． 17．解：（1）因02b ＜＜，所以椭圆E 的焦点在x 轴上，又圆222O x y b +=:经过椭圆E 的焦点，所以椭圆的半焦距c b =，所以224b =，即22b =，所以椭圆E 的方程为22142x y +=．（2）设11P x y (,)，22Q x y (,)，00T x y (,)，联立22142x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得222124240k x kmx m +++=()-， 所以122412km x x k +=-+，又22221m k =-，所以122k x x m+=-， 所以0kx m=-，012k y m k m m =-=， 则1222221111122442(22)211m m k k k k k m m k m m====-----+--． 18．解：如图所示，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．（1）因为18AB =，6AD =，所以半圆的圆心为96H (,)， 半径9r =．设太阳光线所在直线方程为34y x b =-+，即3440x y b +=-，9=，解得24b =或32b =（舍）． 故太阳光线所在直线方程为3244y x =-+，令30x =，得 1.5EG =米 2.5＜米． 所以此时能保证上述采光要求．（2）设AD h =米，2AB r =米，则半圆的圆心为H r h (,)，半径为r ．方法一：设太阳光线所在直线方程为34y x b =-+，即3440x y b +=-r =，解得2b h r =+或2b h r =-（舍）故太阳光线所在直线方程为324y x h r =-++，令30x =，得4522EG r h =+-，由52EG ≤，得252h r ≤-所以2222213355222(252)50(10)25025022222S rh r rh r r r r r r r π=+=+⨯≤-+⨯=-+=--+≤．当且仅当10r =时取等号．所以当20AB =米且5AD =米时，可使得活动中心的截面面积最大方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG 恰为2.5米，则此时点G 为302.5(,)， 设过点G 的上述太阳光线为1l ，则1l 所在直线方程为533024y x =--(-)， 即341000x y +=-由直线1l 与半圆H 相切，得341005r h r +-=．而点H r h (,)在直线1l 的下方，则341000r h +-＜，即341005r h r +-=-，从而252h r =-又2222135522(252)50(10)2502502222S rh r r r r r r r π=+=-+⨯=-+=--+≤．当且仅当10r =时取等号．所以当20AB =米且5AD =米时，可使得活动中心的截面面积最大19．解：（1）当2a =时，0g x =()，可得12x =或1， 0x g e =()，可得12x e =或1x e =， ∴ln 2x =-或0；（2）1ln 3a x f x g x x ax xϕ-=+=++()()()-，2[(1)](1)ax a x x x ϕ--+'=()①0a =，210x x x ϕ+'=()＞，函数的单调递增区间是0+∞(,)； ②1a =，210x x x x ϕ+'=()＞，函数的单调递增区间是0+∞(,)； ③01a ＜＜，10a x a-=＜，函数的单调递增区间是0+∞(,)； ④1a ＞，10a x a-=＞，函数的单调递增区间是1(,)a a -+∞； ⑤0a ＜，10a x a -=＞，函数的单调递增区间是1(0,)a a-； （3）1a =，3ln h x x x =()(-)，3ln 1h x x x'=+()-， 2130h x x x "=+()＞恒成立，∴h x '()在0+∞(,)上单调递增，∴存在0x ，00h x '=()，即003ln 1x x =+-， h x ()在00x (,)上单调递减，0x +∞(,)上单调递增，∴00096min h x h x x x ==++()()-()， ∵10h '()＜，20h '()＞，∴012x ∈(,)， ∴h x ()不存在最小值，∴不存在整数λ，使得关于x 的不等式2h x λ≥()有解．20．（1）①方法一：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴2014201300b b =⨯=，∴2015201433b b =+=，∴2016201536b b =+=．方法二：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴11b =，24b =，37b =，4300b b =⨯=，5433b b =+=，6536b b =+=，7600b b =⨯=， ∴当4n ≥时，{}n b 是周期为3的周期数列． ∴201666b b ==．②方法一：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴32313131331313126[]n n n n n n n n b b b d b qb d b q b d d b d +-+---=+=+=++==--()-()-()-， ∴31{}n b -是以24b =为首项、6为公差的等差数列，又∵32313313131313n n n n n n n b b b b d b b d b -----++=+++=﹣(-)()，∴3123456n S bb b b b b =+++++()() 2323132531(1)3)3[46]932n n n n n n b b b b b b n n n --++++=++=+⨯=+--()(， ∵133n n S λ-≤，∴313n n S λ-≤，设2ADB π∠=，则n max c λ≥()， 又2221119(1)3(1)932(322)333n n n n n n n n n n n c c +--++++----=-=， 当1n =时，23220n n --＜，12c c ＜；当2n ≥时，23220n n --＞，1n n c c +＜， ∴123c c c ＜＜＜，∴214n max c c ==()，∴14λ≥，得14[,λ∈+∞)．方法二：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴313n n b b +=，∴333333126n n n n b b b b d +++===--，∴{}3n b 是首项为37b =、公差为6的等差数列， ∴2363(1)76342n n n b b b n n n -++=+⨯=+， 易知{}n b 中删掉{}3n b 的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列， ∴2124532312(21)21362n n n n b b b b b b n n n ---++++++=⨯+⨯=-， ∴2223(34)(6)93n S n n n n n n =++-=+，以下同方法一．（2）方法一：设{}n b 的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ， 则等比数列{}n b 的公比为1k kb q b +=，由等比数列的通项公式有1n n b bq -=， 当*m N ∈时，21km km b b d ++=-，即11km km km bq bq bq q d +==-(-)恒成立，② 若1q =，则0d =，n b b =； ②若1q ≠，则(1)kmd qq b=-，则kmq 为常数，则1q =-，k 为偶数，2d b =-，1(1)n n b b -=-；经检验，满足条件的{}n b 的通项公式为n b b =或1(1)n n b b -=-．方法二：设{}n b 的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ，①若2k =，则1b b =，2b b d =+，3b b d q =+()，4b b d q d =++()，由2132b b b =，得b d bq +=；由2243b b b =，得2b d q b d q d +=++()()，联立两式，得01d q =⎧⎨=⎩或21d b q =-⎧⎨=-⎩，则n b b =或1(1)n n b b -=-，经检验均合题意．②若3k ≥，则1b b =，2b b d =+，32b b d =+，由2132b b b =，得22b d b b d +=+()()，得0d =，则n b b =，经检验适合题意．综上①②，满足条件的{}n b 的通项公式为n b b =或1(1)n n b b -=-．21．解：由切割线定理得：PD PA PC PB = 则42433BC ⨯+=⨯+()()，解得5BC =， 又因为AB 是半圆O 的直径，故2ADB π∠=，则在三角形PDB中有BD ==． 22．解：∵矩阵223m M =-的一个特征值λ对应的特征向量为12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， ∴4262m λλ-=⎧⎨+=-⎩，解得0m =，4λ=-．23．解：直线35:(45x t l t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）化为普通方程为430x y =-， 圆C 的极坐标方程2cos ρθ=化为直角坐标方程为2211x y +=(-)，则圆C 的圆心到直线l的距离为45d ==，所以65AB ==． 24．解：由柯西不等式，得22222222121x y z x y z ++≤++++()()()，即222x y z x y ++≤++又因为21x y z ++=，所以22216x y z ++≥， 当且仅当121x y z ==，即16x z ==，13y =时取等号． 综上，222min 1()6x y z ++=．25．解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为321333P =-=⨯． （2）由题意得1(5,)3XB ，5512()()()33k k k P X kC -==，0,1,2,3,4,5k =．所以X 的概率分布表为：所以，X 的数学期望为()533E X =⨯=．26．解：（1）①11!(1)!!()!(1)!()!k k n n n n kC nC k n k n k k n k ----=⨯-⨯---!!0(1)!()!(1)!()!n n k n k k n k =-=----．②221221!(2)!(1)!(1)(1)!()!(2)!()!(1)!()!k k k n n n n n n k C n n C nC k n n n k n k k n k k n k ---------=⨯--⨯-⨯-----!!!(1)!()!(2)!()!(1)!()!n n n k k n k k n k k n k =⨯--------!1(1)0(2)!()!11n k k n k k k =--=----．（2）方法一：由（1）可知当2k ≥时，222211211(1)(21)C 2[(1)]2k k k k k k k k k n n n n n n n n n k C k k k C kC C n n C nC nC C ------+=++=++=-+++2121(1)3k k k n n n n n C nC C ----=-++．故20212222123(1)(1)knn n n n nC C C k C n C ++++++++202101212123222111(12)(1)()3()(C )n n n n n n n n n n n n n n C C n n C C C n C C C C C --------=++-+++++++++++2122(14)(1)23(21)(21)2(54)n n n n n n n n n n n ---=++-+-+--=++．方法二：当3n ≥时，由二项式定理，有122(1)1n k k n nn n n n x C x C x C x C x +=++++++，两边同乘以x ，得122311(1)n k k n n n n n n x x x C x C x C x C x +++=++++++，两边对x 求导，得1122(1)(1)123(1)(1)n n k kn nn n n n x n x x C x C x k C x n C x -+++=++++++++，两边再同乘以x ，得12122311(1)(1)23(1)(1)n n k k n n n n n n x x n x x x C x C x k C x n C x -+++++=++++++++，两边再对x 求导，得1221111121n n n n x n x x n n x x n x x +++++++---()()(-)()()2122222123(1)(1)k kn nn n n n C x C x k C x n C x =++++++++．令1x =，得121212222221222123(k 1)(1)n n n n knn n n n n n n n C C C n C --+++=++++++++-(-)，即20212222222123(k 1)(1)54knn n n n n n C C C n n n C C -++++=++++++()．江苏省南京市、盐城市2017年高考一模数学试卷解析1．【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），∴A∩B={﹣1}，故答案为：{﹣1}2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后运用复数的除法进行运算，分子分母同时乘以1﹣i．整理后可得复数z的虚部．【解答】解：由（1+i）z=2，得：．所以，z的虚部为﹣1．故答案为﹣1．3．【考点】极差、方差与标准差．【分析】利用方差性质求解．【解答】解：∵样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，∴样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为：22s2=4×3=12．故答案为：12．4．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，即可得出结论．【解答】解：由题意，x=1，y=9，x＜y，第1次循环，x=5，y=7，x＜y，第2次循环，x=9，y=5，x＞y，退出循环，输出9．故答案为9．5．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，由此能求出选中的数字中至少有一个是偶数的概率．【解答】解：在数字1、2、3、4中随机选两个数字，基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，∴选中的数字中至少有一个是偶数的概率为p=1﹣=．故答案为：．6．【考点】简单线性规划．【分析】先作出不等式组所表示的平面区域，由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可求斜率最大值【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如图所示：由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可知，当直线过OA时斜率最小．由于可得A（4，3），此时k=．故答案为：．7．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得a=，则c==2，再由离心率公式，即可得到双曲线的离心率．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，则tan30°=即为a=，则c==2，即有e=．故答案为．8．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的通项公式求出a5=7，再由等差数列的前n项和公式得，由此能求出结果．【解答】解：∵{a n}是等差数列，a4+a5+a6=21，∴a4+a5+a6=3a5=21，解得a5=7，∴=63．故答案为：63．9．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】若所得函数为偶函数，则﹣2φ=+kπ，k∈Z，进而可得答案．【解答】解：把函数f（x）=3sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，可得函数y=3sin[2（x﹣φ）+]=3sin（2x+﹣2φ）的图象，若所得函数为偶函数，则﹣2φ=+kπ，k∈Z，解得：φ=﹣+kπ，k∈Z，当k=1时，φ的最小正值为．故答案为：．10．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥O﹣EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，当三棱锥O﹣EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，（S△EFG）max=，由此能求出三棱锥O﹣EFG体积的最大值．【解答】解：∵将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，∴三棱锥O﹣EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，∴当三棱锥O﹣EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，（S△EFG）max=，∴三棱锥O﹣EFG体积的最大值V max==．故答案为：4．11．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可先画出图形，对的两边平方，进行数量积的运算即可得到，根据不等式a2+b2≥2ab即可得到，这样便可求出的最大值．【解答】解：如图，；∴；∴；即；∴=；∴的最大值为．故答案为：．12．【考点】数列的求和．【分析】设直线与x轴交点坐标为P，由直线的倾斜角为300，又△A1B1A2是等边三角形，求出△A2B2A3、…找出规律，就可以求出△A10B10A11的边长．【解答】解：∵直线的倾斜角为300，且直线与x轴交点坐标为P（﹣，0），又∵△A1B1A2是等边三角形，∴∠B1A1A2=600，B1A1=，PA2=2，∴△A2B2A3的边长为PA2=2，同理B2A2=PA3=4，…以此类推B10A10=PA10=512，∴△A10B10A11的边长是512，故答案为：512．13．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设P（x0，y0），求得y=2lnx的导数，可得切线的斜率和切线方程；求得圆上一点的切线方程，由直线重合的条件，可得二次函数y=x（3﹣x），满足经过点P，O，M，即可得到所求最大值．【解答】解：设P（x0，y0），函数y=2lnx的导数为y′=，函数y=2lnx在点P处的切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），即为x﹣y+y0﹣2=0；圆M：（x﹣3）2+y2=r2的上点P处的切线方程为（x0﹣3）（x﹣3）+yy0=r2，即有（x0﹣3）x+yy0+9﹣3x0﹣r2=0；由切线重合，可得==，即x0（3﹣x0）=2y0，则P为二次函数y=x（3﹣x）图象上的点，且该二次函数图象过O，M，则当x=时，二次函数取得最大值，故答案为：．14．【考点】余弦定理．【分析】由三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理可求S2=a2b2﹣，进而利用基本不等式可求S2≤﹣=﹣+c，从而利用二次函数的性质可求最值．【解答】解：由三角形面积公式可得：S=absinC，可得：S2=a2b2（1﹣cos2C）=a2b2[1﹣（）2]，∵a2+b2+2c2=8，∴a2+b2=8﹣2c2，∴S2=a2b2[1﹣（）2]=a2b2[1﹣（）2]=a2b2﹣≤﹣=﹣+c，当且仅当a=b时等号成立，∴当c=时，﹣ +c取得最大值，S的最大值为．故答案为：．15．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）证明B1C1∥DE，即可证明B1C1∥平面A1DE；（2）证明DE⊥平面ACC1A1，即可证明平面A1DE⊥平面ACC1A1．16．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）根据正弦定理化简已知等式得2sinBsinCcosC=sinCsinB，结合sinB＞0，sinC＞0，可求，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（2）由角的范围利用同角三角函数基本关系式可求cos（B﹣）的值，由于A=﹣（B﹣），利用两角差的正弦函数公式即可计算求值得解．17．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）椭圆E的焦点在x轴上，圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，所以2b2=4，即b2=2，即可求出椭圆E的方程；（2）求出T的坐标，利用斜率公式，结合条件，即可求k1•k2的值．18．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，即可得出结论；（2）方法一：设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得h≤25﹣2r，即可求出截面面积最大；方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，即可求出截面面积最大19．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当a=2时，求出g（x）=0的解，即可解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+﹣3，φ′（x）=，分类讨论，利用导数的正负，求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）判断h（x）不存在最小值，即可得出结论．20．【考点】数列的应用；等比数列的性质．【分析】（1）①方法一：由{b n}的首项、段长、段比、段差可得b2014=0×b2013=0，再由b2015=b2014+3，b2016=b2015+3即可；方法二：根据{b n}的首项、段长、段比、段差，⇒b1=1，b2=4，b3=7，b4=0×b3=0，b5=b4+3=3，b6=b5+3=6，b7=0×b6=0，…⇒b n}是周期为3的周期数列即可；②方法一：由{b n}的首项、段长、段比、段差，⇒b3n+2﹣b3n﹣1=（b3n+1+d）﹣b3n﹣1=（qb3n+d）﹣b3n﹣1=[q（b3n +d）+d]﹣b3n﹣1=2d=6，⇒{b3n﹣1}是等差数列，又∵b3n﹣2+b3n﹣1+b3n=（b3n﹣1﹣d）+b3n﹣1+（b3n﹣1+d）=3b3n﹣1，﹣1即可求S3n方法二：由{b n}的首项、段长、段比、段差⇒b3n+1=b3n，∴b3n+3﹣b3n=b3n+3﹣b3n+1=2d=6，∴{b3n}是首项为b3=7、公差为6的等差数列即可，（2）方法一：设{b n}的段长、段比、段差分别为k、q、d，⇒等比数列的通项公式有，当m∈N*时，b km+2﹣b km+1=d，即bq km+1﹣bq km=bq km（q﹣1）=d恒成立，①若q=1，则d=0，b n=b；②若q≠1，则，则q km为常数，则q=﹣1，k为偶数，d=﹣2b，；方法二：设{b n}的段长、段比、段差分别为k、q、d，①若k=2，则b1=b，b2=b+d，b3=（b+d）q，b4=（b+d）q+d，由，得b+d=bq；由，得（b+d）q2=（b+d）q+d，求得得d即可②若k≥3，则b1=b，b2=b+d，b3=b+2d，由，求得得d即可．数学附加题部分（本部分满分0分，考试时间30分钟）[选做题]（在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，计20分）21．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由切割线定理得：PD•PA=PC•PB，求出BC，利用勾股定理，求BD的长．22．【考点】特征向量的定义．【分析】推导出，由此能求出结果．23．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】直线为参数）化为普通方程，圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程，求出圆C的圆心到直线l的距离，即可求弦AB的长．24．若实数x，y，z满足x+2y+z=1，求x2+y2+z2的最小值．【考点】基本不等式．【分析】利用条件x+2y+z=1，构造柯西不等式（x+y+z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+12）进行解题即可．25．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）利用对立事件的概率关系求解；（2）两个班“在一星期的任一天同时上综合实践课”的概率为，一周中5天是5次独立重复试验，服从二项分布．26．【考点】组合及组合数公式．【分析】（1）利用组合数的计算公式即可得出．（2）方法一：由（1）可知当k≥2时=．代入化简即可得出．方法二：当n≥3时，由二项式定理，有，两边同乘以x，得，两边对x求导，得，两边再同乘以x，得，两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n﹣1x+n（n﹣1）（1+x）n﹣2x2+2n（1+x）n﹣1x=．令x=1，即可得出．。
江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟试卷数学试卷
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南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试(图片版含附加题,解析版)
参考答案与解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．【答案】{}1【命题立意】本题考查集合交集的运算，考查概念的理解与运算能力，难度较小。
【解题思路】A ∩B={}1。
【归纳总结】解决含有不等式的集合的运算或关系问题，往往通过数轴进行数形结合，利用数轴加以直观分析与求解。
2．【答案】-1【命题立意】本题考查复数的相关概念与四则运算，考查概念的理解与运算能力，难度较小。
【解题思路】由于()212112i z i i -===-+，则z 的虚部为-1。
【方法技巧】正确的复数四则运算是解决此类复数概念或几何意义问题的关键，要做到细心准确。
3．【答案】12【命题立意】本题考查统计中的方差的运算，考查概念的理解与运算能力，难度较小。
【解题思路】根据统计中的方差的公式22222222121211[()()()][()]n n S x x x x x x x x x nx nn=-+-++-=+++-可得12。
4．【答案】9【命题立意】本题考查算法的程序框图及其应用，考查数形结合思想，概念的理解与运算能力，难度较小。
【解题思路】开始时，x=1，y=9，此时不满足条件x>y 可得x=5,y=7；接下来有x=5,y=7, 此时不满足条件x>y 可得x=9，可得y=5，此时满足条件x>y,结束循环，输出x=9。
【归纳总结】正确分析对应的程序框图中算法的表达内容，并结合等式的运算及条件的识别来确定输出问题．在处理算法问题中，经常会碰到给定输入不同的值，通过程序框图的分析或读图，剖析其结果，达到对应运算的目的，得到对应的输出结果． 5．【答案】56【命题立意】本题考查古典概型，考查概念的理解与运算能力，难度较小。
【解题思路】从1，2，3，4这四个数中选择两个数，有如下情况：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），两个数中至少有一个偶数的有10种，根据古典概型可得所求的概率为P=1012=56。
2017年江苏省南京市、盐城市高三一模数学试卷
2017年江苏省南京市、盐城市高三一模数学试卷一、填空题（共14小题；共70分）1. 已知集合，，则 ______．2. 设复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为______．3. 已知样本数据，，，，的方差，则样本数据，，，，的方差为______．4. 如图是一个算法流程图，则输出的的值是______．5. 在数字，，，中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为______．6. 已知实数，满足则的最小值是______．7. 设双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则该双曲线的离心率为______．8. 设是等差数列，若，则 ______．9. 将函数的图象向右平移个单位后，所得函数为偶函数，则______．10. 将矩形绕边旋转一周得到一个圆柱，，，圆柱上底面圆心为，为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥体积的最大值是______．11. 在中，已知，，则的最大值为______．12. 如图，在平面直角坐标系中，分别在轴与直线上从左向右依次取点，，，其中是坐标原点，使都是等边三角形，则的边长是______．13. 在平面直角坐标系中，已知点为函数的图象与圆的公共点，且它们在点处有公切线，若二次函数的图象经过点，，，则的最大值为______．14. 在中，，，所对的边分别为，，，若，则面积的最大值为 ______．二、解答题（共12小题；共156分）15. 如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点．（1）求证： 平面；（2）求证：平面平面．16. 在中，，，分别为内角，，的对边，且．（1）求角；（2）若，求的值．17. 在平面直角坐标系中，已知圆经过椭圆的焦点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交椭圆于，两点，为弦的中点，，，记直线，的斜率分别为，，当时，求的值．18. 如图所示，某街道居委会拟在地段的居民楼正南方向的空白地段上建一个活动中心，其中米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形，上部分是以为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长不超过米，其中该太阳光线与水平线的夹角满足．（1）若设计米，米，问能否保证上述采光要求?（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计与的长度，可使得活动中心的截面面积最大?（注：计算中取）19. 设函数，．（1）当时，解关于的方程（其中为自然对数的底数）；（2）求函数的单调增区间；（3）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解?若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：，）．20. 若存在常数，，，使得无穷数列满足，则称数列为“段比差数列”，其中常数，，分别叫做段长、段比、段差、设数列为“段比差数列”．（1）若的首项、段长、段比、段差分别为，，，．①当时，求；②当时，设的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围．（2）设为等比数列，且首项为，试写出所有满足条件的，并说明理由．21. 如图，是半圆的直径，点为半圆外一点，，分别交半圆于点，．若，，，求的长．22. 设矩阵的一个特征值对应的特征向量为，求与的值．23. 在平面直角坐标系中，已知直线（为参数）．现以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆的极坐标方程为，直线与圆交于，两点，求弦的长．24. 若实数，，满足，求的最小值．25. 某年级星期一至星期五每天下午排节课，每天下午随机选择节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为，求的概率分布表与数学期望．26. 设，，．（1）求值：①；②；（2）化简：．答案第一部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.第二部分15. （1）因为，分别是，的中点，所以，又因为在三棱柱中，，所以．又平面，平面，所以 平面．（2）在直三棱柱中，底面，又底面，所以．又，，所以，又平面，且，所以平面．又平面，所以平面平面．16. （1）由，根据正弦定理，得，因为，，所以，又，所以．（2）因为，所以，所以，又，所以．又，即，所以17. （1）因，所以椭圆的焦点在轴上，又圆经过椭圆的焦点，所以椭圆的半焦距，所以，即，所以椭圆的方程为．（2）设，，，联立消去，得，所以，又，所以，所以，，则．18. （1）如图所示，以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．，，所以半圆的圆心为，半径．设太阳光线所在直线方程为，即，则由，解得或（舍）．故太阳光线所在直线方程为，令，得米米．所以此时能保证上述采光要求．（2）设米，米，则半圆的圆心为，半径为．方法一：设太阳光线所在直线方程为，即，由，解得或（舍）．故太阳光线所在直线方程为，令，得，由，得．所以截面积当且仅当时取等号．所以当米且米时，可使得活动中心的截面面积最大．方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长恰为米，则此时点为，设过点的上述太阳光线为，则所在直线方程为，即．由直线与半圆相切，得．而点在直线的下方，则，即，从而．又当且仅当时取等号．所以当米且米时，可使得活动中心的截面面积最大．19. （1）当时，，可得或，，可得或，所以或；（2），①，，函数的单调递增区间是；②，，函数的单调递增区间是；③，，函数的单调递增区间是；④，，函数的单调递增区间是；⑤，，函数的单调递增区间是；（3），，，恒成立，所以在上单调递增，所以存在，，即，在上单调递减，上单调递增，所以，因为，，所以，所以，所以存在的最小值，使得关于的不等式有解．20. （1）①方法一：因为的首项、段长、段比、段差分别为，，，，所以，所以，所以，方法二：因为的首项、段长、段比、段差分别为，，，，所以，，，，，，，，所以当时，是周期为的周期数列．所以．②方法一：因为的首项、段长、段比、段差分别为，，，，所以所以是以为首项、为公差的等差数列，又因为，所以因为，所以，设，则，又，当时，，；当时，，，所以，所以，所以，得．方法二：因为的首项、段长、段比、段差分别为，，，，所以，所以，所以是首项为、公差为的等差数列，所以，易知中删掉的项后按原来的顺序构成一个首项为公差为的等差数列，所以，所以，以下同方法一．（2）方法一：设的段长、段比、段差分别为，，，则等比数列的公比为，由等比数列的通项公式有，当时，，即恒成立，①若，则，，②若，则，则为常数，则，为偶数，，，经检验，满足条件的的通项公式为或．方法二：设的段长、段比、段差分别为，，，①若，则，，，，由，得；由，得，联立两式，得或则或，经检验均合题意．②若，则，，，由，得，得，则，经检验适合题意．综上①②，满足条件的的通项公式为或．21. 由切割线定理得：，则，解得，又因为是半圆的直径，故，则在三角形中有．22. 因为矩阵的一个特征值对应的特征向量为，所以解得，．23. 直线（为参数）化为普通方程为，圆的极坐标方程化为直角坐标方程为，则圆的圆心到直线的距离为，所以．24. 由柯西不等式，得，即，又因为，所以，当且仅当，即，时取等号．综上，．25. （1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为．（2）由题意得，所以的概率分布表为：所以，的数学期望为．26. （1）①②（2）方法一：由（1）可知当时故方法二：当时，由二项式定理，有，两边同乘以，得两边对求导，得两边再同乘以，得两边再对求导，得令，得即第11页（共11 页）。
2017年高考一模数学试卷(附答案与解析)
11．在△ABC 中，已知 AB
3，C
π 3
，则
CA
CB 的最大值为__________．
12．如图，在平面直角坐标系中，分别在x 轴与直线 y
3 ( x 1) 上从左向右依次取点 3
A k
、B k
，k
1，2
，…，
其中 A 是坐标原点，使△A B A 都是等边三角形，则△A B A 的边长是_________．
17．在平面直角坐标系 xOy中，已知圆O:x2 y2 b2 经过椭圆 E :
x2 4
y2 b2
1(0
b
2) 的焦点．
（1）求椭圆 E 的标准方程； （2）设直线l:y kx m 交椭圆 E 于 P ，Q 两点，T 为弦 PQ 的中点，M(-10,)，N(1,0)，记直线 TM ，TN
的斜率分别为 k ， k ，当 2m2-2k2 1时，求 k k 的值．
方法一：设太阳光线所在直线方程为 y
3x 4
b
，
即 3x 4y-4b 0 ，由 3r 4 b h-2r （舍）
故太阳光线所在直线方程为 y 3 x h 2r ， 4
令
x 30，得 EG
2r
h
45 2
，由
EG
5 2
，得
h
25-2r
所以 S
2rh
1 r2 2
2rh
3 2
r
2
2r (25
2r )
3 2
r
2
5r2 2
50r
52(r
10)2
250
250 ．
当且仅当 r 10时取等号．
所以当 AB 20 米且 AD 5 米时，可使得活动中心的截面面积最大
【推荐】江苏省南京市、盐城市高三年级第一次模拟考试数学试卷有答案
南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分．1．已知集合1,0,1A ，(,0)B ，则AB __________．2．设复数满足(1i)2z ，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为__________．3．已知样本数据12345,,,,x x x x x 的方差23s ，则样本数据123452,2,2,2,2x x x x x 的方差为__________．4．如图是一个算法流程图，则输出的x 的值是___________．5．在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为_________．6．已知实数,x y 满足0722xx y xy，则yx的最小值是__________．7．设双曲线2221(0)x ya a的一条渐近线的倾斜角为30，则该双曲线的离心率为__________．8．设n a 是等差数列，若45621a a a ，则9S __________．9．将函数π3sin(2)3yx的图象向右平移（π02）个单位后，所得函数为偶函数，则_________．10．将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，3AB ，2BC ，圆柱上底面圆心为O ，EFG △为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O EFG 体积的最大值是___________．11．在ABC △中，已知3AB，3C，则CA CB 的最大值为___________．12．如图，在平面直角坐标系中，分别在x 轴与直线313y x 上从左向右依次取点k A 、k B ，1,2,k，其中1A 是坐标原点，使1k k k A B A △都是等边三角形，则101011A B A △的边长是___________．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为函数2ln yx 的图象与圆222:(3)M x yr 的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数()yf x 的图象经过点,,O P M ，则()yf x 的最大值为_________．14．在ABC △中，A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若22228abc，则ABC △面积的最大值为__________．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABCA B C 中，BCAC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．（1）求证：11B C ∥平面1A DE ；（2）求证：平面1A DE平面11ACC A ．16．（本小题满分14分）在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且sin2sin b C c B ．（1）求角C ；（2）若π3sin()35B ，求sin A 的值．17．（本小题满分14分）ABCA 1B 1C 1DE第15题图A 1A 2A 3A 4B 1B 2B 3…xy第12题图在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:O xyb 经过椭圆222:14xy E b(02)b 的焦点．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线:l ykxm 交椭圆E 于,P Q 两点，T 为弦PQ 的中点，(1,0),(1,0)M N ，记直线,TM TN 的斜率分别为12,k k ，当22221m k时，求12k k 的值．18．（本小题满分16分）如图所示，某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心，其中30AE 米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD ，上部分是以DC 为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角满足3tan4．（1）若设计18AB 米，6AD米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB 与AD 的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）19．（本小题满分16分）设函数()ln f x x ，1()3a g x axx （a R ）．（1）当2a 时，解关于的方程(e )0xg （其中e 为自然对数的底数）；（2）求函数()()()x f x g x 的单调增区间；（3）当1a时，记()()()h x f x g x ，是否存在整数，使得关于的不等式2()h x 有解？若存在，请求F第18题图ABEDG C←南居民楼活动中心·l T POyxQ 第17题图出的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln20.6931，ln3 1.0986）.20．（本小题满分16分）若存在常数(,2)k kk*N 、q 、d ，使得无穷数列n a 满足1,,,,nnn n a d ka n qa k**N N 则称数列n a 为“段比差数列”，其中常数k 、q 、d 分别叫做段长、段比、段差．设数列n b 为“段比差数列”．（1）若n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3．①当0q 时，求2016b ；②当1q时，设n b 的前3n 项和为3n S ，若不等式133n nS 对n *N 恒成立，求实数的取值范围；（2）设n b 为等比数列，且首项为，试写出所有满足条件的n b ，并说明理由．附加题21．A （选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 为半圆O 外一点，,PA PB 分别交半圆O 于点,D C ．若2AD，4PD ，3PC ，求BD 的长．21．B （选修4-2：矩阵与变换）设矩阵223m M的一个特征值对应的特征向量为12，求m 与的值．21．C （选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线35:(45xtl tyt 为参数）．现以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为2cos，直线与圆C 交于,A B 两点，求弦AB 的长．21．D （选修4-5：不等式选讲）若实数,,x y z 满足21xyz ，求222x yz 的最小值．ABCPDO·第21（A ）图22．（本小题满分10分）某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X ，求X 的概率分布表与数学期望E （X ）．23．（本小题满分10分）设n*N ，3n，k*N ．（1）求值：①11kk nn kC nC；②221211kk k nn n k C n n CnC（2k）；（2）化简：2220212212311kn nnnnnCCCk Cn C ．南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学试卷答案1．12．13．124．95．566．347．2338．639．5π1210．411．3212．512313．9814．25515．（1）略（2）略16．（1）π3C （2）4331017．（1）22142x y（2）1218．（1）能（2）20AB 米且5AD 米19．（1）0x或ln2x（2）当0a 时，()x 的增区间为1(0,)a a；当01a 时，()x 的增区间为(0,)；1a 时，()x 的增区间为1(,)a a ．（3）的最小值为0．20．（1）①6，②14,（2）nb b 或11n nb b ．21．A ．43B ．0m，4C ．65ABD ．1622．（1）23（2）5()3E X 23．（1）①0，②，0，（2）22254n nn南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学试卷解析1．试题分析：{1,0,1}{,0}{1}A B 考点：集合运算【方法点睛】集合的基本运算的关注点（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．2．试题分析：(1i)21z z i ，所以虚部为 1.考点：复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,,)a bi c di ac bd adbc i a b c d R ．其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R 的实部为、虚部为、模为22ab 、对应点为(,)a b 、共轭为abi ．3．试题分析：由题意得方差为2224312s考点：方差4．试题分析：第一次循环：5,7x y ，第二次循环：9,y5x考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项．5．试题分析：对立事件概率为24116C，因此所求概率为151.66考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法（1）列举法．（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法．（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化．6．考点：线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．7．试题分析：双曲线渐近线方程为x ya，所以123tan30323a c ea考点：双曲线渐近线及离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．8．试题分析：由45621a a a 得57a ，所以19959()9632a S a a 考点：等差数列性质【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．9．考点：三角函数图像变换【思路点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握．无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言．函数y ＝Asin （ωｘ＋φ），x ∈R是奇函数?φ＝k π（k ∈Z ）；函数y ＝Asin （ωｘ＋φ），x ∈R 是偶函数?φ＝k π＋（k ∈Z ）；函数y ＝Acos（ωｘ＋φ），x ∈R 是奇函数?φ＝k π＋（k ∈Z ）；函数y ＝Acos （ωｘ＋φ），x ∈R 是偶函数?φ＝k π（k ∈Z ）．10．试题分析：1124432O EFGEFGEFGV AB SS考点：三棱锥体积【方法点睛】（1）求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法．（2）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解．11．考点：余弦定理【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇．不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解．12．试题分析：设313y x与轴交点为P，则1112223331;112;224;A B AP AB AP AB A P依次类推得101011A B A的边长为92512考点：归纳推理13．考点：导数几何意义，二次函数最值【思路点睛】（1）求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．14．试题分析：222222222111()1(83) sin1cos()()222424 ABCa b c cS ab C ab C ab ab，而2222 28242ab a b c ab c，所以222222221(83)115(165)25(4)(165)2444525ABCc c cS c c c，当且仅当28,5a b c时取等号考点：基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误．15．往往需要利用线面垂直判定与性质定理进行多次转化：由直棱柱性质得侧棱垂直于底面：1CC 底面ABC ，再转化为线线垂直1CC DE ；又根据线线平行//DE BC ，将线线垂直BC AC 进行转化DE AC ，再根据线面垂直判定定理得DE平面11ACC A 试题解析：证明：（1）因为D ，E 分别是AB ，AC 的中点，所以//DE BC ，．．．．．．．．．．．．．．．2分又因为在三棱柱111ABCA B C 中，11//B C BC ，所以11//B C DE ．．．．．．．．．．．．．．．．4分又11B C 平面1A DE ，DE平面1A DE ，所以11B C ∥平面1A DE ．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）在直三棱柱111ABCA B C 中，1CC 底面ABC ，又DE 底面ABC ，所以1CC DE ．．．．．．．．．．．．．．．．8分又BCAC ，//DE BC ，所以DEAC ，．．．．．．．．．．．．．．．10分又1,CC AC 平面11ACC A ，且1CC ACC ，所以DE平面11ACC A ．．．．．．．．．．．．．．．．12分又DE平面1A DE ，所以平面1A DE 平面11ACC A ．．．．．．．．．．．．．．．．14分（注：第（2）小题也可以用面面垂直的性质定理证明DE平面11ACC A ，类似给分）考点：线面平行判定定理，面面垂直判定定理【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型．（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行．（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直．（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．16．同角三角函数关系求得24cos()1sin ()335BB，最后代入可得结果试题解析：解：（1）由sin2sin b C c B ，根据正弦定理，得2sin sin cos sin sin B C C C B ，……2分因为sin 0,sin 0B C，所以1cos 2C，．．．．．．．．．．．．．．．4分又(0,)C，所以3C．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）因为3C，所以2(0,)3B ，所以(,)333B，又3sin()35B，所以24cos()1sin ()335B B．．．．．．．．．．．．．．．．8分又23A B，即23AB ，所以2sin sin()3A B 2253113346932nn n b b b nnn………12分3413433252510．．．．．．．．．．．．．．．．14分考点：正弦定理，给值求值【方法点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．17．试题分析：（Ⅰ）先确定交点位置：在轴上，再根据圆与轴交点得等量关系：c b ；又2a ，所以22b（Ⅱ）设00(,)T x y ，表示201221y k k x，然后根据直线与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理表示中点T 坐标，并利用条件22221m k化简：0k x m，012k y m kmm，最后代入并利用条件22221mk 化简得1212k k（2）方法一：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)T x y ，联立22142x yy kx m ，消去y ，得222(12)4240k x kmx m，所以122412km x x k，又22221m k ，所以12x x 2k m，所以0k x m，012k y m k mm ，．．．．．．．．．．．．．．．10分则1222221111122442(22)211m mk k kkkmmk mm．．．．．．．．．．．．．．．．14分方法二：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)T x y ，则22112222142142x y x y，两式作差，得12121212042x x x x y y y y ，又1202x x x ，1202y y y ，∴01201202x x x y y y ，∴01201202y y y x x x ，又11(,)P x y ，22(,)Q x y 在直线ykx m 上，∴1212y y k x x ，∴0020x ky ，①又00(,)T x y 在直线y kxm 上，∴0y kx m ，②由①②可得02212km x k，0212m y k．．．．．．．．．．．．．．．．10分以下同方法一．考点：直线与椭圆位置关系【思路点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．涉及中点弦问题往往利用点差法．18．222133222(252)222S rhr rhrr r r 225550(10)25025022r rr 试题解析：解：如图所示，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．（1）因为18AB ，6AD ，所以半圆的圆心为(9,6)H ，半径9r ．设太阳光线所在直线方程为34yxb ，即3440x yb ，．．．．．．．．．．．．．．．2分则由22|27244|934b ，解得24b 或32b（舍）．故太阳光线所在直线方程为3244yx ，．．．．．．．．．．．．．．．5分令30x，得 1.5EG 米2.5米．所以此时能保证上述采光要求．．．．．．．．．．．．．．．．7分（2）设ADh 米，2ABr 米，则半圆的圆心为(,)H r h ，半径为．方法一：设太阳光线所在直线方程为34yx b ，ABEDHGC第18题←南·xy即3440x y b ，由22|344|34rhb r ，解得2bh r 或2b h r （舍）．．．．．．．．．．．．．．．．9分故太阳光线所在直线方程为324y x h r ，令30x，得4522EGr h ，由52EG ，得252hr ．．．．．．．．．．．．．．．．11分所以222133222(252)222Srhr rh rr r r225550(10)25025022r r r ．当且仅当10r 时取等号．所以当20AB米且5AD 米时，可使得活动中心的截面面积最大．．．．．．．．．．．．．．．．16分方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG 恰为2.5米，则此时点G 为(30,2.5)，设过点G 的上述太阳光线为，则所在直线方程为y －＝－（x －30），即341000xy ．．．．．．．．．．．．．．．．10分由直线与半圆H 相切，得|34100|5rh r．而点H （r ，h ）在直线的下方，则3r ＋4h －100＜0，即341005r h r ，从而252h r ．．．．．．．．．．．．．．．．13分又221322(252)22Srh rr r r225550(10)25025022rrr ．当且仅当10r 时取等号．所以当20AB米且5AD米时，可使得活动中心的截面面积最大．．．．．．．．．．．．．．．．16分考点：直线与圆位置关系【方法点睛】判断直线与圆的位置关系的常见方法（1）几何法：利用d 与r 的关系．（2）代数法：联立方程之后利用Δ判断．（3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．19．试题分析：（Ⅰ）代入化简方程得22()310x xe e，由二次方程解得1xe或12xe，再根据指对数关min 2()h x ，利用导数先求函数()()()h x f x g x 最小值：本题难点是最小值点0x 不能解出，只能得到其所在区间，为使值能确定最小值，需精确考虑最小值点所在区间，如(1,)x e 细化到3(,2)2试题解析：解：（1）当2a 时，方程()0xg e 即为1230xxee，去分母，得22()310x xe e，解得1xe 或12xe，．．．．．．．．．．．．．．．2分故所求方程的根为0x 或ln2x．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）因为1()()()ln 3(0)a x f x g x xaxxx ，所以222211(1)((1))(1)()a axx a axa x x axxxx（0x），．．．．．．．．．．．．．．．6分①当0a 时，由()0x ，解得0x ；②当1a 时，由()0x ，解得1a x a；③当01a 时，由()0x ，解得0x；④当1a 时，由()0x ，解得0x ；⑤当0a时，由()0x ，解得10a xa．综上所述，当0a 时，()x 的增区间为1(0,)a a；当01a 时，()x 的增区间为(0,)；1a 时，()x 的增区间为1(,)a a ．．．．．．．．．．．．．．．．10分（3）方法一：当1a 时，()3g x x ，()(3)ln h x x x ，所以3()ln 1h x x x 单调递增，33()ln 12022h ，3(2)ln 2102h ，所以存在唯一03(,2)2x ，使得0()0h x ，即003ln 10x x ，．．．．．．．．．．．．．．．12分当0(0,)xx 时，()0h x ，当0(,)xx 时，()0h x ，所以2min 0000(3)39()()(3)ln (3)(1)6()x h x h x x x x x x x x ，记函数9()6()r x xx ，则()r x 在3(,2)2上单调递增，．．．．．．．．．．．．．．．14分所以03()()(2)2r h x r ，即031()(,)22h x ，由322，且为整数，得0，所以存在整数满足题意，且的最小值为0．．．．．．．．．．．．．．．．16分方法二：当1a 时，()3g x x ，所以()(3)ln h x x x ，由(1)0h 得，当0时，不等式2()h x 有解，．．．．．．．．．．．．．．．12分下证：当1时，()2h x 恒成立，即证(3)ln 2xx恒成立．显然当(0,1][3,)x时，不等式恒成立，只需证明当(1,3)x 时，(3)ln 2x x恒成立．即证明2ln 03xx ．令2()ln 3m x x x ，所以2221289()(3)(3)x x m x xxx x，由()0m x ，得47x，．．．．．．．．．．．．．．．14分当(1,47)x ，()0m x ；当(47,3)x ，()0m x ；所以max 7121()(47)ln(47)ln(42)ln 21033m x m ．所以当1时，()2h x 恒成立．综上所述，存在整数满足题意，且的最小值为0．．．．．．．．．．．．．．．．16分考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求参数最值【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．20．试题解析：（1）①方法一：∵n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，2014201300b b ，2015201433b b ，2016201536b b ．．．．．．．．．．．．．．．．3分方法二：∵n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴11b ，24b ，37b ，4300b b ，5433b b ，6536b b ，7600b b ，…∴当4n 时，n b 是周期为3的周期数列．∴201666b b ．．．．．．．．．．．．．．．．3分②方法一：∵n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴32313131331313126nnnnnnnnb b b db qb db q b d db d ，∴31n b 是以24b 为首项、6为公差的等差数列，又32313313131313n n n n nn n b b b b d b b d b ，312345632313nnnnS b b b b b b b b b 2253113346932nn n b b b nnn ，．．．．．．．．．．．．．．．6分133n nS ，313n n S ，设2ADB ，则maxnc ，又2221112322913193333nnnn n n nn n nncc ，当1n 时，23220n n，12c c ；当2n 时，23220nn ，1nn c c ，∴123c c c ，∴2max14nc c ，．．．．．．．．．．．．．．．9分∴14，得14,．．．．．．．．．．．．．．．．10分方法二：∵n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴313n n b b ，∴333333126n n nn b b b b d，∴3n b 是首项为37b 、公差为6的等差数列，∴2363176342nn n b b b nn n ，易知n b 中删掉3n b 的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，21245323122121362n nn n b b b b b b n nn ，222334693nS nnnn nn ，．．．．．．．．．．．．．．．6分以下同方法一．（2）方法一：设n b 的段长、段比、段差分别为、n 、d ，则等比数列n b 的公比为1k kb q b ，由等比数列的通项公式有1n n b bq，当m N 时，21k m kmb b d ，即11km kmkmbq bqbqq d 恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．12分①若1q，则0d，nb b ；②若1q，则1kmdqq b，则kmq为常数，则1q，为偶数，2db ，11n nb b ；经检验，满足条件的n b 的通项公式为nb b 或11n nb b ．．．．．．．．．．．．．．．．16分方法二：设n b 的段长、段比、段差分别为、、d ，①若2k ，则1b b ，2b bd ，3b bd q ，4b b d q d ，由2132b b b ，得bd bq ；由2243b b b ，得2bd qbd qd ，联立两式，得01d q或21d b q ，则nb b 或11n nb b ，经检验均合题意．…………13分②若3k ，则1b b ，2b b d ，32b bd ，由2132b b b ，得22bdb bd ，得0d，则nb b ，经检验适合题意．综上①②，满足条件的n b 的通项公式为nb b 或11n nb b ．．．．．．．．．．．．．．．．16分考点：新定义，分组求和，利用数列单调性求最值【方法点睛】分组转化法求和的常见类型（1）若nn n a b c ，且{}n b ，{}n c 为等差或等比数列，可采用分组求和法求{}n a 的前n 项和；（2）通项公式为,,,n n n b n a c n 为奇数为偶数的数列，其中数列{}n b ，{}n c 是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．21．A ．则4(24)3(3)BC ，解得5BC，．．．．．．．．．．．．．．．4分又因为AB 是半圆O 的直径，故2ADB，．．．．．．．．．．．．．．．6分则在三角形PDB 中有22641643BD PB PD ．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：切割线定理21．B ．试题分析：由特征值与对应特征向量关系得211222 3m ，列出方程组4262m ，解方程组得0m，4．试题解析：解：由题意得211222 3m，．．．．．．．．．．．．．．．4分则4262m ，．．．．．．．．．．．．．．．8分解得0m ，4．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：特征值与特征向量21．C ．试题解析：解：直线35:(45xt l t yt 为参数）化为普通方程为430x y ，．．．．．．．．．．．．．．．2分圆C 的极坐标方程2cos化为直角坐标方程为22(1)1x y，．．．．．．．．．．．．．．．4分则圆C 的圆心到直线l 的距离为224454(3)d，．．．．．．．．．．．．．．．6分所以26215AB d．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，垂径定理21．D ．试题分析：利用柯西不等式，得2222222(2)(121)()x y z xyz ，从而有222xyz 的最小值试题解析：解：由柯西不等式，得2222222(2)(121)()xy z xyz ，即2222222121xy z x y z ，．．．．．．．．．．．．．．．5分又因为21x y z ，所以22216x y z，当且仅当121x y z ，即11,63xzy时取等号．综上，222min1()6xyz ．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：柯西不等式22．布：1~(5,)3X B ，根据二项分布公式5512(),0,1,2,3,4,533kkk P X k Ck，及()E X np 求概率分布及数学期望试题解析：解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为321333P ．……4分（2）由题意得1~(5,)3X B ，5512(),0,1,2,3,4,533kkk P Xk Ck．．．．．．．．．．．．．．．．6分所以X 的概率分布表为：X 012345P32243802438024340243102431243…………8分所以，X 的数学期望为15()533E X ．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：概率分布及数学期望【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布X ～B （n ，p ）），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（E （X ）＝np ）求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．23．2212212!!11!!2!!kk k nn n n n k Cn n CnCkn n k n k knk 1!1!!n nk nk !(1)!!01!!1!!1!!k n k n n k n k k n k k nk （Ⅱ）利用（Ⅰ）所得结论进行化简：2221212k k k k k nnnnnkCkk Ck CkC C21121211211213k k k kk k knn n nnnnn n C nC nC C n n C nC C 又01232nnnnnnnC C C C C ，代入化简得结果试题解析：解：（1）①111!!!!1!!k k nn n n kCnCknk nk k nk !!01!!1!!n n k nk knk ．．．．．．．．．．．．．．．．2分②2212212!!11!!2!!kk k nn n n n k Cn n CnCkn n k n k kn k 1!1!!n nk nk !!!1!!2!!1!!n n n kk nk kn k k nk !1102!!11n kknk k k ．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）方法一：由（1）可知当2k 时2221212kkkkknnnnnkC kk C k C kC C 21121211211213k k k kk k knn nnn nn n n C nC nC C n n C nC C ．．．．．．．．．．．．．．．．6分故2220212212311k n nnnnnCCCkC n C 20210121212221111213n n n n n nnnn nC C n n C C C n C C C 23n nnnC CC21141232121n n nn n n n n22254n nn ．．．．．．．．．．．．．．．．10分方法二：当3n 时，由二项式定理，有12211nk kn nnnnnxC x C xC xC x ，两边同乘以，得1223111nk k n n nnnnx x x C x C xC xC x ，两边对求导，得11221112311n n k knnnnnnxn xx C xC xkC x n C x ，．．．．．．．．．．．．．．．6分两边再同乘以，得12122311112311nn k k n n nnnnxx n xxxC xC xk C xn C x，两边再对求导，得1212111121nn n n x n x xn n xxn xx222122212311k kn nnnnnC xC xkC xn C x ．．．．．．．．．．．．．．．．8分令1x ，得121221222nn n n n n n n 22212212311k n nnnnCCk Cn C ，即2220212212311k n nnnnnCCCk Cn C22254n nn ．…………10分考点：组合数定义及其性质【思路点睛】二项式通项与展开式的应用（1）通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定项或指定项的系数等．（2）展开式的应用：①可求解与二项式系数有关的求值，常采用赋值法．②可证明整除问题（或求余数）．关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断．③有关组合式的求值证明，常采用构造法．。
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x > 0 6 已知实数 x, y 满足 x + y ≤ 7 x + 2 ≤ 2 y
是 7 ▲
2
则
y 的最小值 x
输出x 结束
.
设双曲线 为 30°
x − y 2 = 1(a > 0) 的一条渐近线的倾斜角 a2
▲ .
共4页 高三 学试题第 1 页
则该双曲线的离心率为
8
设 {an } 是等差数列 若 a4 + a5 + a6 = 21
一、填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 计 70 分. 不需写出解答过程 请把答案写在答 题纸的指定位置上 1 2 3 已知集合 A = {−1, 0,1} 设复数 z 满足 z (1 + i) = 2 则 z 的虚部为 ▲ . 则样本 . ▲
B = ( −∞, 0)
则 AI B =
▲
. 开始 x← 1 y← 9 是 x> y 否 x←x+4 y← y- 2
第 12 题图
… A4 x
都是等边三角形 则 ∆A10 B10 A11 的边长 是 ▲ . 13 在平面直角坐标系 xOy 中 已知点 P 为函数
y = 2 ln x 的图象与圆 M : ( x − 3)2 + y 2 = r 2 的公共点 且它们在点 P 处有公切线 若二 ▲ . 次函数 y = f ( x ) 的图象经过点 O , P , M 则 y = f ( x ) 的最大值为
则
S9 =
▲
Hale Waihona Puke .9 将函数 y = 3sin(2 x + 则ϕ = 10 ▲ .
π
3
) 的图象向右平移 ϕ
0<ϕ <
π
2
个单位后 所得函数为偶函数
将矩形 ABCD 绕边 AB 旋转一周得到一个圆柱 AB = 3 BC = 2 圆柱上底面圆心 为 O ∆EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形 则三棱锥 O − EFG 体积的最大值 是 ▲ . 已知 AB = 3
南京市、盐城市 2017 届高三年级第一次模拟考试 数 学 试 题
(总分 160 分，考试时间 120 分钟)
注意 1 2 3 项： 本试卷考试时间为 120 分钟 试卷满分 160 分 考试形式闭卷 本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置 否则不给分 答题前 务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题 卡上
参考公式： 锥体体积公式 柱体体积公式
1 V = Sh ，其中 S 为底面积, h 为高 3
V = Sh ，其中 S 为底面积, h 为高.
2
样本 据 x1 , x2 , ⋅⋅⋅, xn 的方差 s =
1 n 1 n 2 ( x − x ) ，其中 x = ∑ i ∑ xi . n i =1 n i =1
BC ⊥ AC
D , E 分别是 AB , AC 的中点
A1 B1 A D E B C C1
B1C1 ∥平面 A1 DE
2 求证 平面 A1 DE ⊥ 平面 ACC1 A1
16
(本小题满分 14 分) 在 ∆ABC 中 a , b , c 分别为内角 A , B , C 的对边 1 求角 C
第 15 题图
第 17 题图
x
18
(本小题满分 16 分) 如图所示 某街道居委会拟在 EF 地段的居民楼正南方向的空白地段 AE 上建一个活动 中心 其中 AE = 30 米 活动中心东西走向 与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截 面图的下部分是长方形 ABCD 上部分是以 DC 为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的 采光要求 活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长 GE 不超过 2.5 米 其中该太阳光线与水平线的夹角 θ 满足 tan θ =
第4题图
其中 i 为虚数单位
已知样本数据 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 的方差 s 2 = 3 数据 2 x1 , 2 x2 , 2 x3 , 2 x4 , 2 x5 的方差为
4 如图是一个算法流程图 则输出的 x 的值是 ▲ . 5 在数字 1、2、3、4 中随机选两个数字 则选中的数字 . 中至少有一个是偶数的概率为 ▲
且 b sin 2C = c sin B
高三
学试题第 2 页
共4页
2 若 sin( B −
π
3
)=
3 5
求 sin A 的值.
17. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中 已知圆 O : x 2 + y 2 = b 2 经过椭圆 E :
x2 y 2 + = 1 (0 < b < 2) 4 b2
11 在 ∆ABC 中
3 12 如图 在平面直角坐标系中 分别在 x 轴与直线 3 ( x + 1) 上从左向右依次取点 Ak 、 Bk 3 k = 1, 2, ⋅⋅⋅ 其中 A1 是坐标原点 使 ∆Ak Bk Ak +1
C=
π
则 CA ⋅ CB 的最大值为 y
uur uur
▲
.
y=
B3 B2 B1 A1 A2 A3
19
(本小题满分 16 分) 设函数 f ( x ) = ln x
a −1 −3 a∈R . x x 1 当 a = 2 时 解关于 x 的方程 g (e ) = 0 其中 e 为自然对数的底数 2 求函数 ϕ ( x) = f ( x ) + g ( x ) 的单调增区间 3 当 a = 1 时 记 h ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) 是否存在整数 λ 使得关于 x 的不等式 2λ ≥ h( x ) g ( x ) = ax +
3 . 4
1 若设计 AB = 18 米 AD = 6 米 问能否保证上述采光要求？ 2 在保证上述采光要求的前提下 如何设计 AB 与 AD 的长度 可使得活动中心的截 面面积最大？ 注 计算中 π 取 3 ←南
活 动 中 心 居 民 楼 G E F
D
C
θ
B 第 18 题图
A 高三 学试题第 3 页 共4页
14 在 ∆ABC 中 大值为 ▲
A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 若 a 2 + b 2 + 2c 2 = 8 则 ∆ABC 面积的最
、解答题 本大题共 6 小题 计 90 分.解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 请把答案写在答题纸的指定区域内 15 (本小题满分 14 分) 如图 在直三棱柱 ABC − A1 B1C1 中 1 求证
的焦点. 1 求椭圆 E 的标准方程 2 设直线 l : y = kx + m 交椭圆 E 于 P, Q 两点 T 为弦 PQ 的中点 M (−1, 0), N (1, 0) 记直线 TM , TN 的斜率分别为 k1 , k 2 当 2 m − 2k = 1 时
2 2
求 k1 ⋅ k 2 的值.
y Q l T · O P