2014届高考理科学数学第一轮复习导学案6.doc

学案7指数与指数函数导学目标： 1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，并掌握指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型．自主梳理1．指数幂的概念(1)根式如果一个数的n次方等于a(n>1且n∈N*)，那么这个数叫做a的n次实数方根．也就是，若x n＝a，则x叫做______________，其中n>1且n∈N*.式子na叫做________，这里n叫做____________，a叫做____________．(2)根式的性质①当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数，这时，a的n次实数方根用符号________表示．②当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次实数方根用符号______表示，负的n次实数方根用符号________表示．正负两个n次实数方根可以合写成________(a>0)．③(na)n＝____.④当n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，a≥0，－a，a<0.⑤当n为奇数时，na n＝____.⑥负数没有偶次方根．⑦零的任何次方根都是零．2．有理指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是mna＝________(a>0，m，n∈N*，n>1)．②正数的负分数指数幂是mna-＝____________＝____________(a>0，m，n∈N*，n>1)．③0的正分数指数幂是____，0的负分数指数幂无意义．(2)有理指数幂的运算性质①a s a t ＝________(a >0，s ，t ∈Q )． ②(a s )t ＝_______(a >0，s ，t ∈Q )． ③(ab )t ＝_______(a >0，b >0，t ∈Q )．1．下列结论中正确的有________(填序号)． ①当a <0时，322()a ＝a 3； ②na n ＝|a |；③函数y ＝12(2)x －(3x －7)0的定义域是(2，＋∞)； ④若100a ＝5,10b ＝2，则2a ＋b ＝1.2．函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则a ＝________.3．如图所示的曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 的大小关系为____________．4．若a >1，b >0，且a b＋a －b＝22，则a b－a －b 的值为________． 5．函数f (x )＝a x －b 的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是________(填序号)．①a >1，b <0； ②a >1，b >0； ③0<a <1，b >0； ④0<a <1，b<0.探究点一 有理指数幂的化简与求值例1 已知a ，b 是方程9x 2－82x ＋9＝0的两根，且a <b ，求：(1)a －1＋b －1(ab )－1；变式迁移1(a 、b >0)的结果为____________．探究点二 指数函数的图象及其应用例2 已知函数y ＝(13)|x +1|. (1)作出函数的图象(简图)； (2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x 取什么值时有最值，并求出最值．变式迁移2 若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围为________．探究点三 指数函数的性质及应用例3 如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．变式迁移3 已知函数f (x )＝(12x －1＋12)x 3.(1)求f (x )的定义域； (2)证明：f (－x )＝f (x )； (3)证明：f (x )>0.分类讨论思想 例 (14分)已知f (x )＝aa 2－1(a x －a －x )(a >0且a ≠1)．(1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围． 【答题模板】解 (1)函数定义域为R ，关于原点对称．又因为f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．[3分] (2)当a >1时，a 2－1>0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数， 从而y ＝a x －a －x 为增函数， 所以f (x )为增函数．[6分] 当0<a <1时，a 2－1<0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数， 从而y ＝a x －a －x 为减函数， 所以f (x )为增函数．[9分]故当a >0，且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增．[10分] (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数， ∴在区间[－1,1]上为增函数， ∴f (－1)≤f (x )≤f (1)，∴f (x )min ＝f (－1)＝a a 2－1(a －1－a )＝aa 2－1·1－a 2a＝－1.∴要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1， 故b 的取值范围是(－∞，－1]．[14分] 【突破思维障碍】本例第(2)(3)问是难点，讨论f (x )的单调性对参数a 如何分类，分类的标准和依据是思维障碍之一．【易错点剖析】在(2)中，函数的单调性既与a x－a －x 有关，还与a a 2－1的符号有关，若没考虑aa 2－1的符号就会出错，另外分类讨论完，在表达单调性的结论时，要综合讨论分类的情况，如果没有一个总结性的表达也要扣分，在表达时如果不呈现a 的题设条件中的范围也是错误的．1．一般地，进行指数幂的运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于用运算性质进行乘、除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．2．比较两个指数幂大小时，尽量化同底数或同指数，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．3．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c <d <1<a <b .在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小；即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知a ＝133()4-，b ＝143()4-，c ＝343()2-，则a 、b 、c 的大小关系为______________．2．函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围为________．3．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝{x ∈Z |12<2x ＋1<4}，则M ∩N ＝________.4．(2011·扬州模拟)定义运算a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )，b (a >b )，则函数f (x )＝1 2x 的值域为________．5．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围为________．6．(2011·镇江模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0，a x ， x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围为________．7．(2010·江苏)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )，x ∈R 是偶函数，则实数a ＝________.8．若函数f (x )＝a x －1(a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 的值为________．二、解答题(共42分)9．(14分)(2011·常州模拟)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．10．(14分)(2010·北京丰台区期末)已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x 的定义域为[0,1]．(1)求a 的值．(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．11．(14分)函数y ＝1＋2x ＋4x a 在x ∈(－∞，1]上y >0恒成立，求a 的取值范围．答案自主梳理1．(1)a的n次实数方根根式根指数被开方数(2)①na②na－na±na③a⑤a 2.(1)①na m②1mna1na m③0(2)①a s＋t②a st③a t b t 3.R (0，＋∞)(1)(0,1)(2)y>1 0<y<1(2)0<y<1y>1(3)增函数(3)减函数自我检测1．④解析只有④正确．①中a<0时，3 22()a>0，a3<0，所以322()a≠a3；②中，n为奇数时且a<0时，na n＝a；③中定义域为[2，73)∪(73，＋∞)．2．2解析∵y＝(a2－3a＋3)a x是指数函数，∴a2－3a＋3＝1，解得a ＝2或a＝1(舍去)．3．b<a<d<c解析y轴左、右的图象对应函数的底数按逆时针方向增大．所以c>d>1,1>a>b>0.4．2解析(a b－a－b)2＝(a b＋a－b)2－4＝4，∵a>1，b>0，∴a b>1,0<a－b<1，∴a b－a－b＝2.5．④解析由f(x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a<1；函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的，所以b<0.课堂活动区例1解题导引 1.指数幂的化简原则(1)化负数指数为正指数；(2)化根式为分数指数幂；(3)化小数为分数．2．指数幂的化简结果要求为有关有理指数幂的化简结果不要同时含有根号和分数指数幂，也不要既有分母又含有负指幂，即尽量化成与题目表示形式一致且统一的最简结果．解 ∵a ，b 是方程的两根，而由9x 2－82x ＋9＝0解得x 1＝19，x 2＝9，且a <b ，故a ＝19，b ＝9，(1)化去负指数后求解．a －1＋b －1(ab )－1＝1a ＋1b 1ab ＝a ＋b ab1ab ＝a ＋b .∵a ＝19，b ＝9，∴a ＋b ＝829，即原式＝829.(2)原式＝a 72×13·a －32×13÷(a (－83)×12·a 153×12)＝a 76－12－(－43＋52)＝a －12.∵a ＝19， ∴原式＝3.变式迁移1 ab解析 原式＝11363211233a b a bab a b- ＝3111111226333ab+-++--＝ab －1＝ab .例2 解题导引 在作函数图象时，首先要研究函数与某一基本函数的关系，然后通过平移、对称或伸缩来完成．解 (1)方法一 由函数解析式可得y ＝(13)|x ＋1|＝⎩⎨⎧(13)x ＋1， x ≥－1，3x ＋1， x <－1.其图象由两部分组成：一部分是：y ＝(13)x(x ≥0)y ＝(13)x ＋1(x ≥－1)；另一部分是：y ＝3x (x <0)y ＝3x ＋1(x <－1)． 如图所示．方法二 ①由y ＝(13)|x |可知函数是偶函数，其图象关于y 轴对称，故先作出y ＝(13)x的图象，保留x ≥0的部分，当x <0时，其图象是将y ＝(13)x (x ≥0)图象关于y 轴对折，从而得出y ＝(13)|x |的图象．②将y ＝(13)|x |向左移动1个单位，即可得y ＝(13)|x ＋1|的图象，如图所示．(2)由图象知函数的单调增区间为(－∞，－1)，单调减区间为(－1，＋∞)．(3)由图象知当x ＝－1时，有最大值1，无最小值． 变式迁移2 [－1,1]解析 分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．例3 解题导引 1.指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)的图象与性质与a 的取值有关，要特别注意区分a >1与0<a <1来研究．2．指数函数与二次函数复合而成的初等函数的性质可通过换元的方法转化为指数函数或二次函数的性质．解 设t ＝a x ，则y ＝f (t )＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2. (1)当a >1时，t ∈[a －1，a ]，∴y max ＝a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3，满足 a >1； (2)当0<a <1时，t ∈[a ，a －1]， ∴y max ＝(a －1)2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13，满足0<a <1.故所求a 的值为3或13. 变式迁移3 (1)解 由2x －1≠0⇒x ≠0， 所以定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)证明 f (x )＝(12x －1＋12)x 3可化为f (x )＝2x ＋12(2x －1)·x 3，则f (－x )＝2－x ＋12(2－x －1)(－x )3＝2x ＋12(2x －1)x 3＝f (x )， 所以f (－x )＝f (x )．(3)证明 当x >0时，2x >1，x 3>0，所以(12x －1＋12)x 3>0.因为f (－x )＝f (x )，所以当x <0时，f (x )＝f (－x )>0. 综上所述，f (x )>0. 课后练习区 1．c <b <a解析 ∵y ＝(34)x 单调递减，且－13<－14<0， ∴(34)－13>(34)－14>(34)0，即a >b >1，又0<c <1，∴c <b <a . 2．(－1,1)解析 由于函数y ＝|2x －1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，所以有k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1.3．{－1} 4．(0,1]解析 当x <0时，0<2x <1，此时f (x )＝2x ∈(0,1)； 当x ≥0时，2x ≥1，此时f (x )＝1.所以f (x )＝1 2x＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x <0)，1 (x ≥0).其值域为(0,1]．5．(0，12)解析 方程|a x －1|＝2a 有两个不等实根可转化为函数y ＝|a x －1|与函数y ＝2a 有两个不同交点，作出函数y ＝|a x －1|的图象，从图象观察可知只有0<2a <1时，符合题意，即0<a <12.6．[13，1)解析 据单调性定义，f (x )为减函数应满足：⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，3a ≥a 0，即13≤a <1. 7．－1解析 设g (x )＝e x ＋a e －x ，则f (x )＝xg (x )是偶函数．∴g (x )＝e x ＋a e －x 是奇函数．∴g (0)＝e 0＋a e －0＝1＋a ＝0，∴a ＝－1. 8. 3解析 当a >1时，f (2)＝2，∴a 2－1＝2，a ＝3，经验证符合题意；当0<a <1时，f (0)＝2，即1－1＝2，无解．∴a ＝ 3.9．解 (1)∵f (x )是定义在R 上奇函数，∴f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0，解得b ＝1，…………………………………………………(2分)从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a. 又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a， 解得a ＝2.经检验a ＝2适合题意，∴a ＝2，b ＝1.……………………………………………………………………………(4分)(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1. 由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．…………………………………………(8分)又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．…………………………………………………………………………(10分)因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k .即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0.从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.故k 的取值范围为(－∞，－13)．………………………………………………………(14分)10．解 方法一 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32.…………………………(4分)(2)此时g (x )＝λ·2x －4x ，设0≤x 1<x 2≤1，因为g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，所以g (x 1)－g (x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，………………………………………………………………………(10分)即λ<2x 2＋2x 1恒成立．由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2，所以，实数λ的取值范围是λ≤2.……………………………………………………………………………………………(14分)方法二 (1)由已知得3a ＋2＝18⇒3a ＝2⇒a ＝log 32.……………………………………(4分)(2)此时g (x )＝λ·2x －4x ，因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数，所以有g ′(x )＝λln 2·2x －ln 4·4x ＝2x ln 2(－2·2x ＋λ)≤0成立，………………………(10分)所以只需要λ≤2·2x 恒成立．所以实数λ的取值范围是λ≤2.…………………………(14分)11．解 由题意得1＋2x ＋4x a >0在x ∈(－∞，1]上恒成立，即a >－1＋2x4x在x ∈(－∞，1]上恒成立．………………………………………………(6分)又因为－1＋2x 4x ＝－(12)2x －(12)x ，设t ＝(12)x ，∵x ≤1，∴t ≥12且函数f (t )＝－t 2－t ＝－(t ＋12)2＋14(t ≥12)在t ＝12时，取到最大值．∴(12)x ＝12即x ＝1时，－1＋2x 4x 的最大值为－34，………………………………………(12分)∴a >－34.故a 的取值范围为(－34，＋∞)．………………………………………………………(14分)。