应用二元一次方程组—里程碑上的数
北师大版八年级数学上册《应用二元一次方程组——里程碑上的数》精品教案
将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型；设间接未知数转化解决实际问题列方程式要注意哪些点？列出方程；（2）13：00时小明看到的数可表示为，12：00～13：00间摩托车行驶的路程是；（3）14：00时小明看到的数可表示为，13：00～14：00间摩托车行驶的路程是；[归纳总结]在求两位数或三位数时，一般是不能直接设这个两位数或三位数的，而是把它各个数位上的数字设为未知数。
解题的关键是弄清题意，根据题意找出合适的等量关系，列出方程组，再进行求解。
活动探究二：想一想，回答下面的问题（小组讨论，3min）例两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数．活动探究三：想一想，回答下面的问题（小组讨论，3min）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的?与同伴交流一下.列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤:审清题意,找出等量关系;(鸡兔同笼、增收开支、里程碑上的数)设未知数x,y;列出二元一次方程组解方程组；检验；答题.变式1：一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1.这个两位数是多少？变式2：小亮和小明做加法游戏,小明在第一个加首先由学生思考，说出设未知数的方法，教师再给予点评、引导，然后共同完成问题的解决。
学生通过练习检验自己对本节知识的掌握情况．动画引入，使数字问题变的更有趣，确实有效地激发了学生的兴趣，学生参与热情很高；借助图表分析，有效地克服了难点设计本题，意在让学生了解，在具体解决问题时，不一定直接设未知数，设间接未知数是复杂问题简单化的解决途径之一，是转化思想的应用手段。
本例中，要求一个三位数，学生习惯设三个未知数，可是只有两个等量关系，学生发现不太好解答，思维陷入僵局，这时通过教师的引导，发现这里十位数字与个位数字组成的两位数在问题中一直连在一起，因此可以将它们看成一个整体，这时学生一下子豁然开朗，然后列出了方程组并解出该题。
北师大版初中数学八年级(上)备课资料5-5 应用二元一次方程组——里程碑上的数
5应用二元一次方程组——里程碑上的数典型例题题型一列二元一次方程组解决数字问题例1有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5，如果把这两个数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数.分析：如果一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b，这个两位数就表示为10a+b；如果一个三位数百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，这个三位数就表示为100a+10b+c.本题中的相等关系：①个位上的数字-十位上的数字＝5，②原数+新数＝143.解：设原来的两位数中，个位上的数字为x，十位上的数字为y，则原数为10y+x，把这两个数字的位置对换后，所得的新数为10x+y.根据题意，得5, 1010143, x yy x x y-=⎧⎨+++=⎩解得9,4. xy=⎧⎨=⎩所以这个两位数为10y+x＝10×4+9＝49.答：这个两位数为49.点拨：利用方程组解决数字问题时，一般不直接设这个数，而是设这个数的各数位上的数字，再利用数的表示方法表示出这个数.例2有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小45，又知百位数字的9倍比十位和个位数字组成的两位数小3，求原三位数.分析：根据两个条件，可知不必设成三个未知数，只需把它看成一个百位数字x和一个由十位与个位数字组成的两位数y，则这个三位数就可看成100x+y；若将最左边的数字移到最右边，则x就变成了个位数字，y就扩大了10倍，新三位数可表示为10y+x.因此相等关系为：(1)百位数字×9＝由十位与个位数字组成的两位数-3；(2)新三位数＝原三位数-45.解：设原三位数的百位数字为x，由十位与个位数字组成的两位数为y.根据题意，得93, 1010045, x yy x x y=-⎧⎨+=+-⎩解得4,39.xy=⎧⎨=⎩则4×100+39＝439.答：原三位数为439.点拨：此题通过灵活选设未知数，将一个三元问题转化成了二元问题.题型二列二元一次方程组解决行程问题例3某中学新建的塑胶操场环形跑道一圈长400 m，甲、乙两名同学从同一起点同时出发，相背而跑，40 s后首次相遇；若从同一起点同时同向而跑，200 s后甲首次追上乙，求甲、乙两名同学的速度.分析：在环形跑道上，同时同地出发，相背而跑，为相遇问题，首次相遇时，相等关系为：甲跑的路程+乙跑的路程＝跑道一圈的长；若从同一地点同时同向而跑，甲首次追上乙为追及问题，相等关系为：甲跑的路程-乙跑的路程＝跑道一圈的长.解：设甲同学的速度为x m/s，乙同学的速度为y m/s.根据题意，得()40400, 200200400, x yx y+⨯=⎧⎨-=⎩整理，得10,2,x yx y+=⎧⎨-=⎩解得6,4.xy=⎧⎨=⎩答：甲同学的速度为6 m/s，乙同学的速度为4 m/s.点拨：相遇问题中，(甲速+乙速)×时间＝总路程；追及问题中，(甲速-乙速)×时间＝甲、乙相距的路程.例4甲、乙两地相距160 km，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地出发，相向而行，43h 相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1 h 后调转车头原速返回，在汽车再次出发12h 时追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？ 分析：画直线型示意图理解题意(如图1所示).图1这里有两个未知数：(1)汽车的行程；(2)拖拉机的行程.有两个相等关系：(1)相向而行：汽车43h 行驶的路程+拖拉机43h 行驶的路程＝160 km ； (2)同向而行：汽车12h 行驶的路程＝拖拉机112⎛⎫+ ⎪⎝⎭h 行驶的路程. 解：设汽车每小时行驶x km ，拖拉机每小时行驶y km. 根据题意，得4()160,3111,22x y x y ⎧⨯+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩解得90,30.x y =⎧⎨=⎩ 90×4132⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝165(km)，30×4332⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝85(km). 答：汽车行驶了165 km ，拖拉机行驶了85 km.题型三 列二元一次方程组解决航速问题例5 一轮船从甲地到乙地顺流航行需4 h ，从乙地到甲地逆流航行需6 h ，那么一木筏从甲地漂流到乙地需多长时间？分析：对于航速问题，主要有如下两个公式：①顺速＝静速+水(风)速；②逆速＝静速-水(风)速.显然本题中所求的木筏由甲地漂流到乙地所需的时间，实际上就是水从甲地流到乙地需要的时间，木筏漂流的速度就是水流的速度，如果本题采用直接设法，则难以解决，故选用间接设法，设出轮船在静水中的速度和水流速度，为了解题更简单，可增设一个未知数，即甲、乙两地间的路程.解：设轮船在静水中的速度为x km/h ，水流速度为y km/h ，甲、乙两地间的路程为a km.根据题意，得4(),6(),x y a x y a +=⎧⎨-=⎩解这个方程组，得x ＝5y .把x ＝5y 代入①，得a ＝4×(5y +y )＝24y . 所以木筏从甲地漂流到乙地所需时间为a y ＝24y y＝24(h). 答：木筏从甲地漂流到乙地需24 h.点拨：本题中有三个未知数，但是却只有两个方程，所以在解题后是得不到具体数据的，不过我们可以把其中的一个未知数看作一个常数，如上面的y ，其他的未知数就可以用这个未知数来表示.a 的参与增加了方程组的可理解性，更能提供操作的可能性，便于解题.题型四列二元一次方程组解决年龄问题例6一名学生问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这样大时，你才出生；你到我这么大时，我已经36岁了.”请求出老师、学生今年的年龄.分析：本题的相等关系：①老师的年龄-学生的年龄＝相差年龄(学生今年年龄)；②增长的年龄+老师的年龄＝36.解：设老师今年x岁，学生今年y岁.根据题意，得,36,x y yx y x-=⎧⎨-+=⎩解得24,12.xy=⎧⎨=⎩答：老师今年24岁，学生今年12岁.注意：人与人的年龄是同时增长的，所以老师与学生的年龄差是不变的.题型四开放拓展题例7如图2所示，在3×3的方格内，填写了一些代数式和数.图2(1)在图①中，各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请求出x，y的值.(2)把满足(1)的其他6个数填入图2②中的方格中.分析：依题意可知图2①中有两个等式：2x+3+2＝2+(-3)+4y，2x+3+2＝2x+y+4y，由此可以列出二元一次方程组求解.解：(1)由已知条件可列出方程组2322(3)4, 23224,x yx x y y++=+-+⎧⎨++=++⎩整理，得2343,55,x yy+=-⎧⎨=⎩解得1,1.xy=-⎧⎨=⎩(2)由(1)可得如图3所示的方格.图3说明：本题列方程组时有不同的列法，具有一定的开放性，虽然所列的方程组可能不同，但结果是一样的.拓展资源经典有趣的行程问题1甲、乙两人分别从相距100 米的A、B两地出发，相向而行，其中甲的速度是2米/秒，乙的速度是3 米/秒.一只狗从A地出发，先以6米/秒的速度奔向乙，碰到乙后再掉头冲向甲，碰到甲之后再跑向乙，如此反复，直到甲、乙两人相遇.问在此过程中狗一共跑了多少米？这可以说是最经典的行程问题了.不用分析小狗具体跑过哪些路程，只需要注意到甲、乙两人从出发到相遇需要20 秒，在这20 秒的时间里小狗一直在跑，因此它跑过的路程就是120 米.2假设你站在甲、乙两地之间的某个位置，想乘坐出租车到乙地去.你看见一辆空车远远地从甲地驶来，而此时整条路上并没有别人与你争抢空车.我们假定车的行驶速度和人的步行速度都是固定不变的，并且车速大于人速.为了更快地到达目的地，你应该迎着车走过去，还是顺着车的方向往前走一点？在各种人多的场合下提出这个问题，此时大家的观点往往会立即分为鲜明的两派，并且各有各的道理.有人说，由于车速大于人速，我应该尽可能早地上车，充分利用汽车的速度优势，因此应该迎着空车走上去，提前与车相遇.另一派人则说，为了尽早到达目的地，我应该充分利用时间，马不停蹄地赶往目的地.因此，我应该自己先朝目的地走一段路，再让出租车载我走完剩下的路程.其实答案出人意料的简单，两种方案花费的时间显然是一样的.只要站在出租车的角度上想一想，问题就变得很显然了：不管人在哪儿上车，出租车反正都要驶完甲地到乙地的全部路程，因此你到达乙地的时间总等于出租车驶完全程的时间，加上途中接人上车可能耽误的时间.从省事儿的角度来讲，站在原地不动是最好的方案！不过不少人都找到了这个题的一个缺陷，那就是在某些极端情况下，顺着车的方向往前走可能会更好一些，因为你或许会直接走到终点，而此时出租车根本还没追上你！。
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数
速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是
( D) A．14分钟
B．17分钟
C．18分钟
D．20分钟
11．有两个两位数的和为88，把较小的两位数写在较大的两位数的 右边，得到一个四位数，把较小的两位数写在较大的两位数的左边， 得到另一个四位数，这两个四位数的差为3 564，则较小的两位数为 __2_6___．
7．(4 分)小颖家离学校 1 200 m，其中有一段为上坡路，另一段为下
坡路．她去学校共用了 16 分钟．假设小颖上坡路的平均速度是 3 km/h，
下坡路的平均速度是 5 km/h.若设小颖上坡用了 x 分钟，下坡用了 y 分钟，
根据题意可列方程组为( B )
3x＋5y＝1 200 A.x＋y＝16
B．xy
C．100x＋10y
D．100x＋y
3．(4 分)一个两位数的十位数字与个位数字的和是 8，把这个两位数
加上 18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位
数字为 x，十位数字为 y，所列方程组正确的是( B )
x＋y＝8 A.xy＋18＝yx
x＋y＝8 C.10x＋y＋18＝yx
3x＋5y＝1.2 C.x＋y＝16
B.630x＋650y＝1.2 x＋y＝16
D.630x＋650y＝1 200 x＋y＝16
8．(8 分)学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，先以 60 km/h 的速
度走平路，后又以 30 km/h 的速度爬坡，共用了 6.5 h；回校时汽车以 40
km/h 的速度下坡，又以 50 km/h 的速度走平路，共用了 6 h，问平路和坡
6 余 2，则这个两位数是___5_6___．
6．(8 分)有一个三位数，现将左边的数字移到最右边，则比原数小 45，又 已知百位数字的 9 倍比十位和个位组成的两位数小 3，试求原来的三位数．
北师大版八年级数学上册里程碑上的数说课课件
活动四：学以致用，巩固提高
1. 一个两位数,数字之和为8,个位数字与十位数字互换后所成的新数比原数小18,则原数为 ( )
A. 26
B. 62
C. 53
D. 35
（二）处理引例问题的设计思路
本题的重点是：找出相等关系，列出方程组 本题的难点是： 1.通过审题，找出汽车在三个时间段匀速行驶的相等关系； 2.根据里程碑上的数字变化，表示出汽车行驶的路程。 （这一点 在课前热身已经突破）
突破以上难点具体做法是：如何找出汽车在匀速行驶过程中 的相等关系，教材中只给出了“从路程相等上找相等关系”的思 路，但是对于引例而言，不仅仅可以从路程相等找相等关系，还 可以从速度相等或里程碑上的数字和行驶路程的关系来找相等关 系，根据八年级的特点，我的设计是，不给暗示，不把学生的思 维限制在教材预定的程序中，而是给足够的空间，让他们小组讨 论，并及时作出中肯的评价，让他们在交流过程中获得信息。这 种设计使学生经历了自主探索解决问题的全过程，使难点层层得 以突破，顺利完成引例的教学目标。
2. 已知一个三位数,个位上的数字为x,十位上的数字为y,百位上的数字为z,则这个三位数可表示
为( )
A. xyz
B. x+y+z
C. 100x+10y+z D. 100z+10y+x
3. 已知一个两位数,如果把这个两位数的个数数字与十位数字对调,则所得的两位数比原两位数小9,
设原两位数的十位数字为x,个位数字为y,则可得到方程正确的是 ( )
➢评价反思
✓教材学情 ➢教法学法 ➢教学程序 ➢评价反思
八年级数学 里程碑 应用二元一次方程组
3． 一个两位数，个位上的数为c，十位上的数为a， 如果在它们之间添上一个0，就得到一个三位数， 这个三位数用代数式可以表示为 100a+c ．
4. 有两个两位数a和b，如果将a放在b的左边，就 得到一个四位数，那么这个四位数用代数式表示 为 100a+b .
一辆匀速行驶的汽车从深圳出发去广州，行驶一段 时间看到里程碑上的数字是42，1小时后看到里程碑 上的数字是96，你能说出汽车的速度吗？
和为7
十位与个位数字与 12:00的正好颠倒
比12:00时看到的两 位数中间多了个0
分析：设小明在12:00看到的数十位数字是x，个位数 字是y，则有：
时刻 百位数字 十位数字 个位数字 小明看到的数
１２：００
x
１３：００
y
１４：００
x
０
y
１０ x ＋ y
x
１０ y ＋ x
y
１００ x ＋ y
根据以上分析，得方程组 解这个方程组，得 答：小明在12：00时看到的里程碑上的数是16.
解这个方程组，得
x 45
y
23
答：这两个两位数分别为45和23.
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是什么？
1.分析题意设未知数； 2.找到两个等量关系； 3.列方程； 4.解方程； 5.检验是否符合题意，作答.
1.一个两位数，减去他的各位数之和的3倍，结果是23；这个 两位数除以它的各位数数之和，商是5，余数是1。这个两位 数是多少？
42km
96km
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例1 小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是 小明每隔1小时看到的里程情况．你能确定小明在12:00时看到的 里程碑上的数吗？
应用二元一次方程组——里程碑上的数(知识梳理与考点分类讲解)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练
专题5.20应用二元一次方程组——里程碑上的数（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】里程碑上的数字问题两位数：十位数字×10+个位数字.三位数：百位数字×100+十位数字×10+个位数字.四位数：千位数字+百位数字×100+十位数字×10+个位数字.......例如：如果一个两位数，个位数字为x，十位数字为y，则这个两位数可表示为10y+x，而不可表示为yx，因为yx表示y乘x，应注意区别.特别提醒：1.在表示多位数时，什么数位上的数字就乘什么，如百位上的数字乘100，千位上的数字乘1000.2.若用两个数拼一个新数，则要关注两个数的前后顺序和前面的数扩大的倍数与后面的数的数位的关系.【考点目录】【考点1】数字问题；【考点2】几何问题；【考点3】图表信息题；【考点4】开放问题；【考点5】其他问题.【考点一】数字问题【例1】（2023下·河南南阳·七年级校考阶段练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．”那么，你能回答以下问题吗？（1）他们取出的两张卡片上的数字分别是几？（2）第一次，他们拼出的两位数是多少？【答案】（1）他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5；（2）第一次他们拼成的两位数为45．【分析】（1）设他们取出的两个数字分别为x 、y ．根据题意列方程组求解即可；（2）根据（1）的结果即可求解．（1）解：设他们取出的两个数字分别为x 、y ．第一次拼成的两位数为10x y +，第二次拼成的两位数为10y x +．根据题意得：910910x y y x x y +=⎧⎨+-=+⎩①②，由②，得：1y x -=③，+①③得：5y =．把5y =代入①得：4x =，∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5．（2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5，所以第一次他们拼成的两位数为45．【点拨】本题考查二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2022下·重庆江津·七年级校联考阶段练习）甲乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的151倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1089．求这两个两位数？如果设甲数为x ，乙数为y ．则得方程组（）A ．1001511001001089x y y y x x y +=⎧⎨+=+-⎩B ．1001511001001089x y x y x x y +=⎧⎨+=++⎩C ．1001001089100151x y x y y x y +=++⎧⎨+=⎩D ．1001001089100151x y x y y x y +=+-⎧⎨+=⎩【答案】A【分析】设甲数为x ，乙数为y ．根据题意，列出二元一次方程组即可求解．解：设甲数为x ，乙数为y ．根据题意，得方程组1001511001001089x y y y x x y +=⎧⎨+=+-⎩，故选A ．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解题的关键．【变式2】（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）小凡出门前看了下智能手表上的运动APP ，发现步数计数是一个两位数，步行下楼后发现十位数字与个位上数字互换了，到小区门口时，发现步数计数比下楼后看到的两位数中间多了个1，且从出门到小区门口共走了．．．．．．．．．．．586步，则出门时看到的步数是．【答案】26【分析】设出门时看到的步数的十位数字为x ，个位数字为y ，根据从出门到小区门口共走了586步，可列出关于x ，y 的二元一次方程，结合x ，y 均为一位正整数，即可得出x ，y 的值，再将其代入()10x y +中，即可求出结论．解：设出门时看到的步数的十位数字为x ，个位数字为y ，根据题意得：()1001010586y x x y ++-+=，∴1164y x =+.又∵x ,y 均为一位正整数，∴2 6x y =⎧⎨=⎩，∴10102626x y +=⨯+=，即出门时看到的步数是26．故答案为：26．【点拨】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．【考点二】几何问题【例2】（2023上·四川内江·八年级威远中学校校考期中）（1）一个正方形的边长增加3cm ，面积就增加281cm ，求原正方形的边长；（2）已知一个长方形，若它的长增加4cm ，宽减少1cm ，则面积保持不变；若它的长减少2cm ，宽增加1cm ，则面积仍保持不变．求这个长方形的面积．【答案】（1）12cm ；（2）224cm 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用：（1）设原正方形的边长为cm x ，根据“正方形的边长增加3cm ，面积就增加281cm ”，列出方程，即可求解；（2）设长方形原来的长为cm x ，宽为cm y ，根据“它的长增加4cm ，宽减少1cm ，则面积保持不变；若它的长减少2cm ，宽增加1cm ，则面积仍保持不变”，列出方程组，即可求解．（1）解：设原正方形的边长为cm x ，()22381x x +-=，解得12x =．答：原正方形的边长为12cm ；（2）解：设长方形原来的长为cm x ，宽为cm y ，依题意，得()()()()4121x y xy x y xy ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩，整理得：4422x y x y -=-⎧⎨-=⎩，解得：83x y =⎧⎨=⎩，所以这个长方形的面积23824cm S xy ==⨯=．答：这个长方形的面积是224cm ．【举一反三】【变式1】（2021上·福建漳州·八年级校考阶段练习）如图，周长为34的大长方形ABCD 被分成7个全等的小长方形，则每个小长方形的面积为（）A ．10B ．14C ．20D ．30【答案】A 【分析】本题中的两个等量关系是：长方形长的四倍与宽的七倍之和为34；长的二倍等于宽的五倍，据此建立二元一次方程组求解即可．解：设长方形的长为x ，宽为y ，根据题意，得：473425x y x y +=⎧⎨=⎩，解得：52x y =⎧⎨=⎩，∴5210xy =⨯=，∴每个小长方形的面积为10．故选：A ．【点拨】本题考查二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．【变式2】（2023上·陕西西安·八年级高新一中校考期中）如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，有关尺寸如图所示，则图中大长方形ABCD 的面积是2cm ．【答案】560【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，设小长方形的长、宽分别为x 、y ，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形长和宽，然后求得大长方形的长和宽，从而求得面积．解题的关键是会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题．解：设小长方形的长、宽分别为cm cm x y ，，依题意得212328x y y x y +-=⎧⎨+=⎩，解之得164x y =⎧⎨=⎩，∴小长方形的长、宽分别为16cm 4cm ，，∴12220cm,28cm AB y BC =+==，∴大长方形ABCD 的面积22028560cm AB BC =⋅=⨯=，【考点三】图表信息问题【例3】（2022上·陕西西安·八年级统考期末）张老师在某文体店购买商品A 、B 若干次（每次A 、B 两种商品都购买，且A 、B 都只能购买整数个），其中第一、二两次购买时，均按标价购买，两次购买商品A 、B 的数量和费用如表所示：购买商品A 的数量/个购买商品B 的数量/个购买总费用/元第一次购物65980第二次购物37940（1）求商品A 、B 的标价；（2）若张老师第三次购物时，商品A 、B 同时打6折出售，这次购买总费用为960元，则张老师有哪几种购买方案？【答案】（1）商品A 的标价为80元/个，商品B 的标价为100元/个；（2）张老师共有三种购买方案，方案一：购买15个商品A ，4个商品B ；方案二：购买10个商品A ，8个商品B ；方案三：购买5个商品A ，12个商品B【分析】（1）设商品A 的标价为x 元/个，商品B 的标价为y 元/个，根据“表格信息”建立方程组，再解方程组即可；（2）设张老师购买m 个商品A ，n 个商品B ，根据“这次购买总费用为960元”建立二元一次方程，再利用方程的正整数解可得答案．（1）解：设商品A 的标价为x 元/个，商品B 的标价为y 元/个，根据题意得：6598037940x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：80100x x =⎧⎨=⎩．答：商品A 的标价为80元/个，商品B 的标价为100元/个．（2）设张老师购买m 个商品A ，n 个商品B ，根据题意得：800.61000.6960m n ⨯+⨯=，∴5204m n =-．当4n =时，15m =；当8n =时，10m =；当12n =时，5m =．答：张老师共有三种购买方案，方案一：购买15个商品A ，4个商品B ；方案二：购买10个商品A ，8个商品B ；方案三：购买5个商品A ，12个商品B ．【点拨】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解的含义，理解题意，确定相等关系建立方程组或方程是解本题的关键．【举一反三】【变式1】（2023下·河北邢台·七年级校考期末）如图，两架天平均保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（）A ．10gB ．20gC ．25gD ．30g【答案】B 【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即三块巧克力的质量＝两个果冻的质量，一块巧克力的质量+一个果冻的质量50=克．根据这两个等量关系式可列一个方程组，进行求解即可．解：设每块巧克力的重量为x 克，每块果冻的重量为y 克．由题意列方程组得：3250x y x y =⎧⎨+=⎩，解方程组得：2030x y =⎧⎨=⎩．即：每块巧克力的质量是20克．故选：B ．【点拨】题考查二元一次方程的应用，根据等量关系列方程组是关键．【变式2】（2023下·浙江湖州·七年级统考期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在33⨯（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．如图2的方格中填写了一些代数式，若能构成一个广义的三阶幻方，则a b +=．【答案】6-【分析】根据三阶幻方中的数字列方程组求解即可．解：由题意知，322224a a b +=-⎧⎨-=+-⎩，解得33a b =-⎧⎨=-⎩，∴336a b +=--=-，故答案为：6-．【点拨】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练根据三阶幻方列方程求解是解题的关键．【考点四】开放问题【例4】（2017下·江苏南通·七年级校考期中）由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨．请根据以上信息，提出一个能用二元一次方程组解决的问题，并写出这个问题的解答过程．【答案】问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?（本题的答案不唯一），答案：6.5吨.【分析】1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨？根据题意可知，本题中的等量关系是“3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨”和“2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨”，列方程组求解即可．解：问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?（本题的答案不唯一）设1辆大车一次运货x 吨，1辆小车一次运货y 吨．根据题意,得3422{2623x y x y +=+=，解得4{ 2.5x y ==.则x+y=4+2.5=6.5（吨）.答：1辆大车与1辆小车一次可以运货6.5吨．【举一反三】【变式1】（2020上·辽宁铁岭·八年级校联考期中）小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则大壮的得分是（）A ．20B ．22C ．23D ．25【答案】C 【分析】设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x ，y 分，根据等量关系列出方程组，解方程组即可；解：设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x ，y 分，依题意得：32192321x y x y +=⎧⎨+=⎩，∴解这个方程组为：35x y =⎧⎨=⎩，∴大壮的得分为：432023x y +=+=．故选：C ．【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确计算是解题的关键．【变式2】（2018下·七年级单元测试）如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”的高度为23cm ，小红所搭的“小树”的高度为22cm ，设每块A 型积木的高为x cm ，每块B 型积木的高为y cm ，则x =，y =．【答案】45解：根据小强搭的积木的高度=A 的高度×2+B 的高度×3，小红搭的积木的高度=A 的高度×3+B 的高度×2，依两个等量关系列出方程组23233222x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得45x y =⎧⎨=⎩．故答案为：4和5．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是看清图形的意思，找出等量关系列方程组求解．【考点五】其他问题【例5】（2023上·全国·八年级专题练习）在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，预从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．如果购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元，如果购买60瓶免洗手消毒液和120瓶84消毒液，共需花费1860元．（1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？（2）若商场有两种促销方案：方案一，所有购买商品均打八折；方案二，购买5瓶免洗手消毒液送2瓶84消毒液，学校打算购进免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，请问学校选用哪种方案更节约钱？节约多少钱？【答案】（1）每瓶免洗手消毒液价格是15元，每瓶84消毒液的价格是8元；（2）学校选用方案一更节约钱，节约76元．【分析】本题考查二元一次方程组的应用．（1）根据购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元，如果购买60瓶免洗手消毒液和120瓶84消毒液，共需花费1860元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元；（2）根据题意，可以求出方案一和方案二的花费情况，然后比较大小并作差即可解答本题．（1）解：设每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是a 元、b 元，40901320601201860a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：158a b =⎧⎨=⎩，答：每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是15元、8元；（2）方案一的花费为：()151008600.81584⨯+⨯⨯=（元），方案二的花费为：()15100860100521660⨯+⨯-÷⨯=（元），1660158476-=（元），15841660<，答：学校选用方案一更节约钱，节约76元．【举一反三】【变式1】（2023下·河南新乡·七年级统考期末）如图，2个塑料凳子叠放在一起的高度为60cm ，4个塑料凳子叠放在一起的高度为80cm ，塑料凳子相同且叠放时均忽略缝隙，则11个塑料凳子叠放在一起时的高度为（）A ．120cmB ．130cmC ．140cmD ．150cm【答案】D 【分析】设1支塑料凳子的高度为 cm x ，每叠放1支塑料凳子高度增加 cm y ，根据2个塑料凳子叠放在一起的高度为60cm ，4个塑料凳子叠放在一起的高度为80cm ，列出二元一次方程组，解之求出x 、y 的值，即可解决问题．解：设1支塑料凳子的高度为 cm,x 每叠放1支塑料凳子高度增加 cm y ，依题意得：60380x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：5010x y =⎧⎨=⎩10501010150x y ∴+=+⨯=，即11支塑料凳子整齐地叠放在一起的高度为150cm ．故选：D ．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式2】（2022·黑龙江齐齐哈尔·校考三模）某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2个A 种奖品和4个B 种奖品共需100元；购买5个A 种奖品和2个B 种奖品共需130元．学校准备用160元全部购买A ，B 两种奖品若干个，那么可以购买B 种奖品个．【答案】4或8【分析】设A 种奖品的单价为x 元，B 种奖品的单价为y 元，根据“购买2个A 种奖品和4个B 种奖品共需100元；购买5个A 种奖品和2个B 种奖品共需130元”，可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之可得出两种奖品的单价，设可以购买A 种奖品m 个，B 种奖品n 个，利用总价=单价×数量，可得出关于m ，n 的二元一次方程，结合m ，n 均为正整数，即可得出n 的值．解：设A 种奖品的单价为x 元，B 种奖品的单价为y 元，根据题意得：2410052130x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：2015x y =⎧⎨=⎩，∴A 种奖品的单价为20元，B 种奖品的单价为15元．设可以购买A 种奖品m 个，B 种奖品n 个，根据题意得：2015160m n +=，∴384m n =-，∵m ，n 均为正整数，∴54m n =⎧⎨=⎩或28m n =⎧⎨=⎩，∴可以购买B种奖品4或8个．故答案为：4或8．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键．。
里程碑上的数字
１００ａ＋ｂ
４．ａ为两位数，ｂ是一个三位数，若把ａ放 在ｂ的左边得到一个五位数，则这个五位数可
表示为：１０００ａ＋ｂ
点拨
• 1、关键在于正确的用代数式表示一个多位数。 • 2、注意数与数字的区别，即怎样用数字表示数。 • 3、求得的解应该小于10的非负整数。 • 4、最高位上的数字不能为0.
小明星期天开车出去兜风，他在公路上匀速行 驶，根据动画中的情境，你能确定他在１２：００ 看到的里程碑上的数吗？
化归的方法不仅数学中使用，其他学科也采用．比如 我们要测量炼钢炉中的高温，用普通玻璃水银柱的温度计 无法测量，所以使用热电阻材料，将温度转变为电流，而 电流是可以测量的，所以利用热电转换公式，高温也可以 测量了．这是将测温问题化归为测电问题．
亲爱的同学们，你能用化归的数学思想来解决实际问题 吗？
学习反思：
１２：００ 是一个两位数，它的两个数字之和为７； １３：００ 十位与个位数字与１２：００所看到的正好颠倒了； １４：００ 比１２：００时看到的两位数中间多了个０．
看课本上的例题
下面我们接着研究数字问题：
两个两位数的和是68，在较大的两位 数的右边接着写较小的两位数，得到一 个四位数，在较大的两位数的左边写上 较小的两位数，也得到一个四位数，已 知前一个四位数比后一个四位数大 2178，求这个两位数.
第五章 二元一次方程组
3. 应用二元一次方程组 ——里程碑上的数
１．一个两位数的十位数字是x，个位 数字是y，则这个两位数可表示为：
１０x＋Байду номын сангаасy
２．一个三位数，若百位数字为ａ， 十位数字为ｂ，个位数字为ｃ，则这 个三位数为：１００ａ＋１０ｂ＋ｃ
３．一个两位数，十位数字为ａ，个位数字为 ｂ，若在这两位数中间加一个０，得到一个 三位数，则这个三位数可表示为：
北师大版八年级数学上册第5章 二元一次方程组 应用二元一次方程组——里程碑上的数
21.
答：这个两位数是 63，另一个两位数是 21.
知识拓展
5. 汽车在上坡时速度为 28 km/h，下坡时速度 42 km/h，
从甲地到乙地用了 4 小时 30 分，返回时用了 4 小时 40 分，
从甲地到乙地上、下坡路各是多少千米？(只列方程组) 分析：从甲地到乙地的上坡路和下坡路分别是从乙
地到甲地的下坡路和上坡路. 解：设从甲地到乙地上坡路是 x 千米，下坡路是 y 千米.
根据题意，得
解得
x 6，
y
5.
x y 11， 10x y 10y
x 9，
10y＋x＝56.
答：原来的两位数为 56.
[归纳总结] 在求两位数或三位数时，一般是不能直接设 这个两位数或三位数的，而是把它各个数位上的数字设
为未知数．解题的关键是弄清题意，根据题意找出合适
的等量关系，列出方程组，再进行求解．
上学 60(10 x) 80x
放学 60(15 y) 40 y
80x40y. x5，
解方程组，得
y
10.
故，平路路程：60×(10 - 5) = 300(米)，
坡路路程：80×5 = 400(米).
所以，小明家到学校的距离为 300 + 400 = 700 (米).
典例精析
例2 甲、乙两地相距 4 km，以各自的速度同时出发. 如果同向而行，甲 2 h 追上乙；如果相向而行，两人 0.5 h 后相遇. 试问两人的速度各是多少？
合作探究 小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀 速行驶，下图是小明每隔 1 小时看到的里程情况．你 能确定小明在 12:00 时看到的里程碑上的数吗？
是一个两位数， 它的两个数字之
5.5应用二元一次方程组里程碑上的数 课件北师大版数学八年级上册
思考
你能归纳列方程组解决实际问题的一般步骤吗？
1. 审题，找 等量关系
2. 设未知数
3. 列方程组
4. 解方程组
5. 检验
任务三：波浪公路之旅
一段波浪公路开始离结束 2.7千米，其中有几段为上坡路，剩下为下坡 路，开完全程共用 5分钟. 已知汽车上坡时的平均速度是 30 千米/时， 下坡时的平均速度是 60千米/时.问这段波浪公路上、下坡各多少千米？
解方程 组
检验
随堂练习
1. 李刚骑摩托车在公路上匀速行驶，早晨 7:00 时看到里程碑上的数是 一个两位数，它的数字之和为 9；8:00 时看到里程碑上的两位数与 7:00 时看到的个位数字和十位数字互换了；9:00 时看到里程碑上的数是 7:00 时看到的数的 8 倍，李刚在 7:00 时看到的数字为多少？
x
y
新三位数
y
x
表达式 100x + y 10y + x
解：设原三位数百位数字为 x，后两位数字为 y. 得方程组：9x = y - 3 100x + y - 45 = 10y + x
9x = y - 3 化简得，
11x - y= 45
解得： x = 4 y = 39
答：原三位数为 439.
3. 汽车在上坡时速度为 28 km/h，下坡时速度 42 km/h，从甲地到乙
解：设乙队每分钟作业长度为 x m，甲每分钟作业长度为 y m.
据题意得： y=x+50
6x 4( x
50)
,
化简得，
y=x+50 x 100
,
解得：
x=100
y
150
,
因此乙队每分钟作业长度为 100 m，甲每分钟作业长度为150 m.
应用二元一次方程组——里程碑上的数
解这个方程组，得
｛
x=1, y=6.
因此，小明在12:00时看到的里程碑上的 数是16.
两个两位数的和是68，在较大的两位数的右 边接着写较小的两位数，得到一个四位数；
在较大的两位数的左边写上较小的两位数，
也得到一个四位数,已知前一个四位数比后一 个四位数大2178，求这个两位数.
列二元一次方程组解决实际问题 的一般步骤是怎样的？
， 100x+y
12:00—13:00与13:00—14:00两段时间内摩 托车的行驶路程有什么关系？你能列出相应 的方程吗？ (100x+y)-(10y+x)=(10y+x)-(10x+y) 根据以上分析，得方程组
｛
x+y=7, (100x+y)-(10y+x)=(10y+x)-(10x+y).
回顾
1、一个两位数，若个位数字是a，十位数字 是b，则这个两位数为 。
2、一个三位数，个位数字是x，十位数字是y， 百位数字是z，表示这个三位数为 。
小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上 匀速行驶，下图是小明每隔1h看到的里程情 况。你能确定小明在12:00时看到的里程碑上 的数吗？
如果设小明在12:00时看到的数的十位数 字是x，个位数字是y，那么
(1)12:00时小明看到的数可表示为 根据两个数字和是7，可列出方程 ， 10x+y x+y=7 ；
(2)13:00时小明看到的数可表示为 ， 10y+x 12:00—13:00间摩托车行驶的路程是 ； (10y+x)-(10x+y)
(3)14:00时小明看到的数可表示为
13:00—14:00间摩托车行驶的路程
5.5应用二元一次方程组--里程碑上的数(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二元一次方程组在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和问题解决能力。
1.通过分析实际问题，让学生抽象出数学模型，即二元一次方程组，培养数学抽象能力。
2.引导学生运用逻辑推理，分析问题中的数量关系，列出方程组，并理解方程组与实际问题之间的联系。
3.培养学生运用消元法、代入法等数学方法解决方程组，提高数学建模和问题解决能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“5.5应用二元一次方程组--里程碑上的数”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算两地距离或行走时间的情况？”（如计算上学、回家的路程和时间）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二元一次方程组在生活中的应用。
-针对难点，教师应采取以下教学方法帮助学生突破：
-使用具体案例，通过图示、表格等方式，帮助学生形象地理解问题中的数量关系。
-引导学生通过小组讨论、互动提问等方式，共同探讨如何从实际问题中提炼出方程组。
-提供不同类型的实际问题，让学生通过练习，加深对方程组求解方法的理解和掌握。
-对于复杂的实际问题，教师应引导学生逐步分析，将问题分解成几个小问题，逐个击破。
5.5应用二元一次方程组——里程碑上的数例题与讲解
5 应用二元一次方程组——里程碑上的数1．数字问题(1)多位数字表示问题两位数＝十位数字×10＋个位数字．三位数＝百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字．如：一个两位数，个位数字是a ，十位数字是b ，所以这个两位数是b 个10和a 个1的和，那么这个数可表示为10b ＋a ；如果交换个位和十位上的数字，得到一个新的两位数可表示为10a ＋b .(2)数位变换后多位数的表示两位数x 放在两位数y 的左边，组成一个四位数，这时，x 的个位数就变成了百位，十位数就变成了千位，因此这个四位数里含有x 个100，而两位数y 在四位数中数位没有变化，因此这个四位数中还含有y 个1.因此用x ，y 表示这个四位数为100x ＋y .同理，如果将x 放在y 的右边，得到一个新的四位数为100y ＋x .一个两位数，个位上的数是m ，十位上的数是n ，如果在它们之间添上零，十位上的n 便成了百位上的数．因此这个三位数是由n 个100,0个10，m 个1组成的，用代数式表示这个三位数即为100n ＋m .【例1】 一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数，求这个两位数．分析：用下表表示(这个两位数的十位数字为x ，个位数字为y ) 十位数字 个位数字 两位数原两位数 x y 10x ＋y新两位数 y x 10y ＋x相等关系：(1)个位数字＋十位数字＝7；(2)原来的两位数＋45＝对调后组成的两位数．解：设这个两位数的十位数字为x ，个位数字为y ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝7，10x ＋y ＋45＝10y ＋x .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6.所以原两位数是16.析规律 数字与数位的关系 解决此类问题，关键是从实际问题中确定相等关系，根据相等关系的个数确定列方程还是列方程组，当问题中涉及两个相等关系时，列方程组解决问题比较简单．2．行程问题(1)行程问题：路程＝速度×时间①追击问题：一般特征：同地、同向、不同时，抓路程之间的关系建立等量关系． ②相遇问题：一般特征：同时、相向、不同地，常用的关系：路程和＝全程． ③航行问题：顺水航行的速度＝船在静水中的速度＋水速；逆水航行的速度＝船在静水中的速度－水速．(2)行程问题的应用：借助图示解答【例2】 已知某一铁路桥长1 000 m ，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用1 min ，整列火车完全在桥上的时间为40 s ，求火车的长度和速度． 分析：解此类问题的关键是分析好火车“开始上桥到完全过桥”与“整列火车完全在桥上”的含义，可根据“路程”与“速度”找等式．解：设火车的长度为x m ，火车的速度为y m/s ，则根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1 000＋x ＝60y ，1 000－x ＝40y .解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝200，y ＝20.所以火车的长度为200 m ，火车的速度为20 m/s.3．怎么解答图形信息题在近几年的中考试题中，出现了一类有趣的图形信息题，即根据日常生活和生产中的实际应用问题绘出图形，让同学们看图分析，捕捉图中提供的数学信息，然后求解．这类问题，大多可用列二元一次方程组的方法求解．图形信息题作为一种新型的中考试题，越来越受到命题者青睐，一类和二元一次方程组有关的图形信息题，不仅考查了同学们从图形中获取信息的能力，而且还考查了根据所得信息列出方程组的能力．图形信息题就是根据文字、图表、图形、图象等给出的数据信息，通过整理、加工、处理等手段去解决实际问题的一类题．解答信息题时，首先要仔细阅读题目所提供的材料，从中捕捉有关信息(如数据间的关系与规律图象的形状特点、变化趋势等)，然后对这些信息进行加工处理，并联系相关数学知识，从而实现信息的转换，使问题顺利获解．【例3】 根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是( )．A ．51元B ．35元C ．8元D ．7.5元 解析：本题以实物图形给出信息，从图中可以知道，一个水壶和一个杯子共43元，两个水壶和三个杯子共94元，因此可设杯子的单价为x 元，水壶的单价为y 元，根据图形信息，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝43，3x ＋2y ＝94.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝8，y ＝35.所以一个杯子的价格是8元，选C.答案：C谈重点 审清题意列方程组列二元一次方程组解实际问题，重点在于正确找出实际问题中的两个等量关系，并把它们表示成两个方程．难点是一些难度较大的题目，有迷惑人的因素存在，等量关系隐蔽，往往不易找到或容易找错．解题时必须弄懂题中奥妙，突破解题瓶颈，理清数量之间的内在联系．4．用方程组解决与图形有关的问题用二元一次方程组解图形中的问题，是一种重要的解题方法，这种解题思想就是重要的数形结合思想．利用数形结合思想解决问题，需要认真观察，分析图形性质中隐含的相等关系．列二元一次方程组解决图形问题，需要从图形中找出数量关系，设出恰当的未知数，列出方程．这类问题的相等关系一般隐含在图形中，掌握图形的特征，从隐含条件中发现相等关系是解决问题的关键．【例4】 用8块相同的矩形地砖拼成一块大的矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，求每块地砖的长与宽．分析：列二元一次方程组解决图形问题，需要从图形中找出数量关系，设出恰当的未知数，列出方程．解：设每块地砖的长为x cm ，宽为y cm ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝60，2x ＝x ＋3y . 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝45，y ＝15.所以每块地砖的长为45 cm ，宽为15 cm.。
应用二元一次方程组——里程碑上的数
【跟踪训练】
1.小亮和小明做加法游戏,小明在第一个加数的后面多写一 个0, 所得和是242; 小亮在另一个加数的后面多写一个0, 所得和是341；求原来的两个加数分别是多少? 【解析】设第一个加数为x，第二个加数为y. 根据题意得：
10 x x
y 10 y
242 341
x y
21 32
中到广元全长约为126 km.一辆小汽车、一辆货车同时从巴 中、广元两地相向开出，经过45 min相遇，相遇时小汽车比 货车多行6 km，设小汽车和货车的速度分别为x km／h , y km／h，则下列方程组正确的是（
45 x y 126 A. 45( x y ) 6
【解析】设十位上的数字为x，个位上的数字为y， 根据题意得：
x y 5 ( x 10 y ) (10 x y ) 143
x 9 解得 y 4
答：这个两位数是94
6.李刚骑摩托车在公路上匀速行驶，早晨7:00时看到里
程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是9；8:00时看
C．1.6 km，3.2 km．
B．1.8 km，3 km；
D．3.2 km，1.6 km．
【解析】选Ａ.设上坡用x时，下坡用y时，据题意得： 6x+12y=4.8，
x＋y＝0.5.
解之得 x＝0.2， y＝0.3.
0 .2 6 1 .2 ,0 .3 12 3 .6
2.A、B两地相距36 km，甲从A地步行到B地，乙从B地步行
★ 列 出二元一次方程组;
★ 解 方程组； ★ 检 验； ★ 答 题.
1.小颖家离学校4 800 m，其中有一段为上坡路 ，另一段 为下坡路，她跑步去学校共用了30 min .已知小颖在上坡 时的平均速度是 6 km/h，下坡时的平均速度是12 km/h. 问小颖上、下坡的路程分别是（ ）
八年级上 5.5 二元一次方程组的应用之里程碑上的数
4
的速度通过平路，到达乙地共用 1 h6 min；他回来时先以每小时 12 km 的速度通过平路，又以每小时 8 km 的速度 上坡，回到甲地用了 1 h 30 min，则甲、乙两地相距多少千米？ 3．甲、乙两人练习赛跑，如果甲让乙先跑 10m，那么甲跑 5s 就能追上乙；如果甲让乙先跑 2s，那么甲跑 4s 就能追上乙，则甲、乙两人每秒钟各跑多少米？( ) A．甲跑 6m，乙跑 4m B．甲跑 8m，乙跑 5m C．甲跑 9m，乙跑 6m D．甲跑 10 m，乙跑 8m 1．解：设此人上下扶梯的行走速度为 x，自动扶梯的速度为 y，则，7.5(x-y) =1.5(x+y),即 x
乙在 14 h 后追上甲，求甲、乙两人的速度？
2
1．解：设甲的速度为 xkm/h，乙的速度为 ykm/h． 由题意，得
6 x 6 y 42, x 2, 解得 y 5. 14y 14x 42.
一、专题精讲
题型一：数字问题
例 1 一个三位数，三个数位上的数字之和为 17，百位上的数字与十位上的数字之和比个位数字大 3，把百位 上的数字与个位上的数字对调后，所得的新数比原数小 198.求原数． 分析：可设百位数字、十位数字、个位数字分别为 x，y，z 等量关系为：三个数字之和=17；百位数字＋十位 数字=个位数字+3；原数一新数=198. 解：设原三位数的百位、十位、个位数字分别为 x，y，z， 根据题意，得
x y z 17, x 9, 解得 y 1, x y z 3, 100x 10 y z (100z 10 y x) 198. z 7.
答：原三位数为 917.
变式训练
1．有大小不同的两个两位数，在大数的右边写上一个 0 之后再写上小的数，得到一个五位数；在小数的右边 写上大数，然后再写上一个 0，亦得到一个五位数．第一个五位数除以第二个五位数得到的商为 2，余数为 590.此 外，大数的 2 倍与小数的 3 倍之和是 72，求这两个两位数． 1．解：设大的两位数是 x，小的两位数是 y，则第一个五位数是 1000x +y，第二个五位数是 1000y +10x，由题 意，得
应用二元一次方程组——里程碑上的数课件
——里程碑上的数
知识回顾
储蓄问题
程二
组元
的一
应次
用方
增长率
问题
增（减）量
× 100％
基数
增长（降低）的数量=基数×（1±增
长（降低）率）
增长（降低）率：
利润
× 100％
进价
总利润=总销售额﹣总成本=（售价﹣
进价）×销量
利润率：
销售问题
学习目标
1.能分析复杂问题中的数量关系，建立方程组解决
设他始终保持平路每分钟走 60 m，下坡路每分钟走 80 m，
上坡路每分钟走 40 m，则他从家里到学校需 10 min，从
学校到家里需 15 min.小华家离学校多远？
等量关系：
路程=平均速度×时间
走平路的时间+走下坡路的时间=10 min；
走上坡路的时间+走平路的时间= 15 min．
直接设元法：
的数字为 a，十位上的数字为 b，个位上的数
字为 c，则这个三位数为 100a+10b+c.
2.利用方程组解决数字问题时，一般不直接设
这个数，而是设这个数的数位上的数字，再根
万元.
3.有一个三位数，若将最左边的数字移到最右边，则比
原数小 45，又知原百位数字的 9 倍比由原十位数字和
个位数字组成的两位数(原个位数字仍作为个位数字)小
3，求原三位数.
等量关系：
将最左边的数字移到最右边后得到的数=原数- 45.
9 ×原百位数字=由原十位数字和个位数字组成的两
位数-3.
解：设原百位数字为 x，由原十位数字和个位数字组成
= 45,
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学校：________ 教师：________
课前预习
（1）一个两位数，十位上的数是6，个位上的数是4，这个两 位数是_6_4____.
（2）一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，则这个两位 数用代数式表示为 10b+，a若交换个位和十位上的数字，得到 一个新的两位数用代数式表示为 ．10a+b
两位数： 三位数： 四位数：
练习
1.如果一个两位数的十位数字与个位数字之和为6，
那么这样的两位数的个数是（ B）
A.3 B.6
C.5
D.4
2. 一个两位数，十位数字与个位数字的和是7，如果
这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字
对调后组成的两位数，设十位数字为x,个位数字为y， x+y=7
10x y 3x y 23, 5x y 1 10x y.
解这个方程组,得
x y
5, 6.
10×5+6=56
56-3(5+6)=23 56÷(5+6)=5…1
答：这个两位数是56．
自主探究
过桥问题
某铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，从上 桥到离开桥共用1分钟，整列火车全在桥上的时间为 40秒，求火车的长度和速度．
12：00~13：00间摩托车行驶的路程是 _(1_0_y_+__x_)-_(_1_0_x_+_y_).
探究1 14:00 比12：00时看到的两位数中间多了个0
如果设小明在12：00看到的数的十位数字是x，个 位数字是y，那么：
（3）14：00时小明看到的数可表示为__1_0__0_x_+_y____,
（1）12：00时小明看到的数可表示为_1_0__x_+_y______ 根据两个数字和是7，可列方程__x_+__y_=_7____.
探究1 13:00 十位与个位数字与12：00时所看到的正好颠倒了
如果设小明在12：00看到的数的十位数字是x，个 位数字是y，那么：
（2）13：00时小明看到的数可表示为_1_0__y_+_x____,
13：00~14：00间摩托车行驶的路程是
__(_1_0_0_x+_y_)_-_(1_0_y_+_x_)______.
解答 （4）12：00~13：00与13：00~14：00两段时间内摩托
车的行驶路程有什么关系？你能列出相应的方程吗？
解：如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是
x，个位数字是y，那么根据以上分析，得方程组：
解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y，则有：
x y 68, (100 x y) (100 y x) 2178.
化简，得
x y 68, 99x 99 y 2178.
即
x y 68, x y 22.
解该方程组，得
x 45,
注意：路程不止 有1000米哟！
还要加上火车本身的长度
解：设火车长为x m，速度为y m/s，根据题意，得
60 y 1000 x, 40 y 1000 x.
解得 x 200,
y
20.
答：火车长为200m，速度为20m/s.
3. 一个三位数，三个数位上的数字之和为17，百 位上的数字与十位上的数字的和比个位数字大3， 把百位上的数字与个位上数字对调后，所得的新 数比原数小198，求原数。
情境引入 小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上均速行
驶，下图是小明每隔1小时看到的里程情况，你能确定
小明在12：00时看到的里程碑上的数吗？
是一个两位数，它 的两个数字之和为7
十位与个 位数字与 12：00 时所看到 的正好颠
倒了。
比12：00时看 到的两位数中
间多了个0
探究1
12:00 是一个两位数，它的两个数字之和为7 如果设小明在12：00看到的数的十位数字是x，个 位数字是y，那么：
等量关系
三个数字之和=17 百位数字+十位数字＝个位数字+3 原数－新数＝198
解：设原三位数字的百位、十位、个位数字分 别为x，y，z
体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1、 数字问题（十进制整数的表示方法） 2、学会分析里程中的数学问题。 3、学会分析过桥问题。
布置作业
教材122页习题第3、4题。
你能找出题中的等量关系吗？
分析：设较大的两位数为x，较小的两位数为y， 在较大数的右边接着写较小的数，所写的数可表示 为 100x+y ； 解：设较大的两位数为x，较 在较大数的左边写小上的较两小位的数数为，y所，写则的数可表示
为 100y+x ； (x100yx6y8) (100y x) 2178
x y 7, (100x y) (10y x) (10y x) (10x y).
解这个方程组，得
x 1,
y
6.
10×1+6=16
答：小明在12:00时看到的里程碑上的数是16．
归纳
十进制数一般用 字母如何表示？
数字问题（十进制整数的表示方法）
y
23.
45 23 - 23 45
21 78
答：这两个两位数分别是45和23．
议一议
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？与同伴 进行交流。
随堂练习
一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果 是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5， 余数是1．这个两位数是多少？
解：设这个两位数的十位数为x，个位数为y，则有：
（3）23，45是两个两位数，把较大的两位数写在较小 的两位数的左边，则得到一个四位数，那么这个四位数 是__4_5_2_3___.
（4）有两个两位数a和b ，如果将a放在b的左边，就得
到一个四位数，那么这个四位数用代数式表示
为 100b+a；如果将a放在b的右边，将得到一个新的四
位数，那么这个四位数用代数式可表示为 100a+b ．
列出方程__1_0x_+_y_+_4_5_=_1_0y+x
例题
两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边 接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的 两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位 数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求 这两个两位数．
两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小 的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小 的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四 位数大2178，求这两个两位数．