函数周期性习题及答案

1.给出定义：若1122
m x m -<≤+（其中m 为整数）,则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ,即{}x m =，在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个命题:
①()y f x =的定义域是R ,值域是11(,]22-;
②点(,0)k 是()y f x =的图象的对称中心，其中k Z ∈;
③函数()y f x =的周期为1;
④函数()y f x =在13(,]22-上是增函数
上述命题中真命题的序号是（ ）
A ． ①②ﻩ
ﻩ B. ②③ C. ①③ﻩﻩ ﻩﻩ D ． ②④
2.设()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数,(2)()f x f x +=-,当01x ≤≤时有()2f x x =,则(2015)f =( )
A. 1-ﻩﻩ
B. 2-ﻩ C ． １ﻩﻩD. 2
3.函数21()(1cos 2)sin ,2
f x x x x R =
+∈是（ ） A. 最小正周期为π的奇函数 ﻩﻩﻩﻩB. 最小正周期为2
π的奇函数 C. 最小正周期为π的偶函数 ﻩＤ. 最小正周期为2π的偶函数 4.已知函数()4cos sin()1(0)f x x x ϕϕπ=+-<<，若()13
f π
=,则()f x 的最小正周期为（ ）
A. π
B. 32
π Ｃ. 2π D. 4π 5.定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=，当[3,1)x ∈--时，2()(2)f x x =-+,当
[1,3)x ∈-时,()f x x =，则(1)(2)(3)...(2015)f f f f ++++=( ）
A. 336 B ． 355 C. 1676 Ｄ. 2015
6．在数列{}n a 中，已知122,7a a ==,记n a 与1()n a n N ++∈的积的个位数为2n a +，则2015a =
____＿＿＿__．
７.函数22()sin cos f x x x =-的最小正周期是___＿__＿.
８.函数3()sin 24sin cos ()f x x x x x R =-∈的最小正周期为_____＿_.
９．函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且满足(2)()f x f x +=.当[0,1]x ∈时,()2f x x =,若在区间[2,3]-上方程+2()0ax a f x -=恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是＿_____＿_．
１０.已知函数()f x 是R 上的奇函数,且(2)f x +为偶函数，若(1)1f =,则(8)(9)f f +=____.
1１.设函数()y f x =的定义域为D ,如果存在非零常数T ，对于任意x D ∈，都有()()f x T T f x +=⋅，则称函数()y f x =是“似周期函数”,非零常数T 为函数()y f x =的“似周期”.现有下面四个关于“似周期函数”的命题：
①如果“似周期函数”()y f x =的“似周期”为1-，那么它是周期为2的周期函数； ②函数()f x x =是“似周期函数”；
③函数-()2x f x =是“似周期函数”；
④如果函数()cos f x x ω=是“似周期函数”,那么“,k k Z ωπ=∈”．
其中是真命题的序号是___＿_．（写出所有满足条件的命题序号)
１2.已知函数21()sin 22
f x x x =，则()f x 的最小正周期是＿______;如果()f x 的导函数是()f x ',则()6
f π
'=___＿___． ﻬ答案和解析
1.2０１5年河南省信阳市高中毕业班模拟数学理科试题卷第１2题
答案:C 分析：
２.20１５年广西省玉林市４月高中毕业班联合数学模拟理科试卷第5题
答案：B
分析:∵(2)()f x f x +=-,得(4)()f x f x +=,∴周期为4T =,
又∵函数为奇函数，(2015)(50441)(1)(1)2f f f f =⨯-=-=-=-，
故选B .
3．2015年广西省南宁市高中毕业班第二次适应性测试理科数学模拟试题第9题 答案:A 分析:
4．2015年天津市和平区高三二模文科数学试题第4题
答案:A
分析:因为函数()4cos sin()1,()2sin()1133f x x x f ππ
ϕϕ=+-=+-=，所以
sin()13
πϕ+=, 由0ϕπ<<可得333π
π
π
ϕπ<+<+，∴,326π
π
π
ϕϕ+=∴=，故:
2()4cos sin()12sin cos 13
f x x x x x x π=+-=+-
sin 2212sin(2)13
x x x π
=+=+, 则()f x 的最小正周期为22
ππ=,故选A ． 5.2015年北京市东城区高三第二学期数学理科综合练习(二)第7题
答案:Ａ
分析:由题意得(1)1,(2)2,(3)(3)1,(4)(2)0,(5)(1)1,(6)(0)0,f f f f f f f f f f ===-=-=-==-=-== 则(1)(2)(3)(4)(5)(6)1,f f f f f f +++++=又因为201563361=⨯-，所以
(1)(2)(3)(2015)3361(6)336,f f f f f ++++=⨯-=故选A ．
6.20１５年广西省南宁市高中毕业班第一次适应性检测数学模拟试卷（理科)第1５题 答案:2
分析：122714a a =⨯=,所以34,4728a =⨯=，所以428,4832a =⨯=,所以52,2816a =⨯=，所以678910116,2,2,4,8,2,a a a a a a ======所以从第三项起, n a 的值成周期排列，周期数为6,201533565=⨯+ ，所以201552a a ==．
７.201５年北京市西城区高三第一次模拟考试数学文科试题第10题
答案:π
分析：利用二倍角公式化简解析式后求解最小正周期.因为()cos 2f x x =-,所以最小正周期22
T ππ==. ８.２0１5年河北省石家庄市高三二模文科数学试题第1４题
答案:2
π 9.2015年北京市东城区高三第二学期数学文科综合练习（一）第13题
答案:2253
a << 分析：因为函数()f x 为偶函数,且当[0,1]x ∈时,()2f x x =,所以当[1,0]x ∈-时，()2f x x =-,又因为函数()f x 为周期为2的周期函数，所以画出函数()f x 在[2,3]-上的图象如图所示，则方程2()0ax a f x +-=在[2,3]-上有4个不相等的实数根等价于函数()f x 的图象与直线2(2)y ax a a x =+=+在[2,3]-上有4个交点，则图易得实数a 应满足20203(2)1(2)a --<<----，即2253
a <<. １0.2０15年北京市东城区高三第一学期期末教学统一检测数学理科试题第13题 答案:1
分析：因为()f x 是R 上的奇函数，且(2)f x +为偶函数，所以()f x 是以4为周长的奇函数,所以(8)(9)(0)(1)1f f f f +=+=.
11.２01５年北京市丰台区高三第一学期期末练习数学理科试题第14题
答案：①③④
分析：利用新定义逐一判断.若函数()y f x =的“似周期”为1-，则(1)()(1)f x f x f x -=-=+,即它是周期为2的周期函数，所以①正确;若()f x x =是“似周期函数”，则存在非零常数T ，对任意x R ∈满足()()f x T x T Tf x Tx +=+==,显然不可能，所以②错误;若()2x
f x -=是“似周期函数”，则存在非零常数T ，对任意x R ∈满足()()2()2x T x f x T Tf x T -+-+===，即12()2T T T -==，而已知函数1(),2
x y y x ==的图象有一个交点,即非零常数T 存在,所以③正确;若函数()cos f x x ω=是“似周期函数”，则存在非零常数T ，对任意x R ∈满足()cos[()]()cos f x T x T Tf x T x ωω+=+==，则1T =±,此时cos()cos x w x ωω±=±，所以,k k Z ωπ=∈，所以④正确,综上所述,真命题的序号是①③④.
1２．2015年北京市丰台区高三第二学期数学统一练习理科试题（二)第１１题 答案:π，1-
分析:21()sin 22
f x x x =+
1cos 2111
sin 2)sin 22sin(2)2222232
x x x x x π+=+=++=++ 所以()f x 的最小正周期为22ππ=,()f x 的导函数()2cos(2)3f x x π'=+,则()2cos(2)1663
f πππ
'=⨯+=-.。