高考数学(文)大一轮复习习题变化率与导数、导数的运算 word版含答案

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2025高考数学一轮复习-3.1-变化率与导数、导数的计算【课件】

2．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是 h(t)＝10－4.9t2 ＋8t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在 0.5 秒时的瞬时速度为_____3_._1_______米/秒．
【解析】 ∵h′(t)＝－9.8t＋8，∴他在 0.5 秒时的瞬时速度为 h′(0.5)＝3.1 米/秒．
易错易混 5．(多选)下列求导运算正确的是( BC ) A.x＋1x′＝1＋x12 B．(log2x)′＝xl1n2 C．(3x)′＝3x·ln3 D．(x2cosx)′＝－2xsinx
【解析】
因为
x＋1x
′＝1－
1 x2
，所以选项A不正确；因为(log2x)′＝
1 xln2
，所以选项B
正确；因为(3x)′＝3xln3，所以选项C正确；因为(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx，所以选项D不正
(2)函数 y＝f(x)的导数 f ′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f ′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
『基础过关』
思考辨析
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x0)是函数 y＝f(x)在 x＝x0 附近的平均变化率．( × ) (2)f ′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．( × ) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (4)函数 f(x)＝sin(－x)的导数是 f ′(x)＝cosx.( × )
3
2．分别求下列函数的导数 (1)y＝x2sinx； (2)y＝lnx＋1x； (3)y＝coesx x； (4)y＝ln(2x－5)； (5)y＝xsin2x＋2πcos2x＋2π.

高考新课标数学(理)大一轮复习课时作业13变化率与导数、导数的计算 Word版含解析

课时作业变化率与导数、导数的计算一、选择题．已知()＝( ＋)，′()＝，则等于( )．．．．解析：因为()＝＋，所以′()＝＋＋＝＋，又因为′()＝，所以＋＝，解得＝.答案：．若()＝′()＋，则′()等于( )．．．－．－解析：′()＝′()＋，令＝，则′()＝′()＋，得′()＝－，所以′()＝′()＋＝－.答案：．已知曲线＝－的一条切线的斜率为－，则切点横坐标为( ) ．－．．或－．解析：设切点坐标为(，)，因为′＝－，所以′＝－＝－，即＋－＝，解得＝或＝－(舍)，故选.答案：．已知直线＝＋与曲线＝(＋)相切，则的值为( )．．．－．－解析：设切点坐标为(，)，由′＝知′＝＝，即＋＝.解方程组得故选.答案：．下面四个图象中，有一个是函数()＝＋＋(－)＋(∈)的导函数＝′()的图象，则(－)＝( )．－．－或解析：∵′()＝＋＋－，∴′()的图象开口向上，则②④排除．若′()的图象为①，此时＝，(－)＝；若′()的图象为③，此时－＝，又对称轴＝－>，∴＝－，∴(－)＝－.答案：．设为实数，函数()＝＋＋(－)的导函数为′()，且′()是偶函数，则曲线＝()在点(，())处的切线方程为( )．－－＝．＋－＝．＋－＝．－－＝解析：′()＝＋＋－，由于′()是偶函数，所以＝，此时′()＝－，′()＝，()＝，所以曲线＝()在点(，())处的切线方程为－＝(－)，即－－＝.答案：二、填空题．函数＝()的图象在点(，())处的切线方程为＝＋，′()为()的导函数，则()＋′()＝．解析：(，())在切线＝＋上，∴()＝，又′()＝，∴()＋′()＝.答案：。

高考数学一轮复习导数的概念及其意义、导数的运算

当 x< 0 时 y＝ln(－x)，设切点为(x1，ln(－x1))，由 y′＝1x，所以 y′|x ＝x1＝x11，所以切线方程为 y－ln(－x1)＝x11(x－x1)，
又切线过坐标原点，所以－ln(－x1)＝x11(－x1)，解得 x1＝－e，所以切线方程为 y－1＝－1e(x＋e)，即 y＝－1ex.
角度2 求切点坐标或参数的值(范围)
[例2] (1)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x
＋b，则
()
A．a＝e，b＝－1
B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1
D.a＝e－1，b＝－1
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______________________________________________．
答案：e2
4．函数 f(x)的导函数为 f′(x)，若 f(x)＝x2＋f′π3sin x，则 f π6＝________. 解析：∵f′(x)＝2x＋f′π3cos x， ∴f′π3＝23π＋21f′π3，∴f′π3＝43π，∴f π6＝3π62＋23π. 答案：3π62＋23π
[一“点”就过] (1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错． (2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导． ②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．
022x2 ＋ 021
1 xln
2，D
正确．
答案：A B D
2．一个质点做直线运动，其位移s(单位：米)与时间t(单位：秒)满足关系式s＝t4＋(3t－1)3，则当t＝1秒时，该质点的瞬时速度为 ( )

高考数学复习、高中数学变化率与导数、导数的计算附答案解析

第三章导数及其应用第1节变化率与导数、导数的计算课标要求 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2.体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能根据导数定义求函数y =c ，y =x ，y =x 2，y =x 3，y =1x，y =x 的导数；5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数（限于形如f （ax +b ））的导数；6.会使用导数公式表。

【知识衍化体验】知识梳理1．导数的概念(1)f (x )在x ＝x 0处的导数就是f (x )在x ＝x 0处的，记作：y ′|x ＝x 0或f ′(x 0)，即“当x 0∆→时，f x 0＋Δx －f x 0Δx →f ′(x 0)”.(2)当把上式中的x 0看作变量x 时，f ′(x )即为f (x )的导函数，简称导数，即y ′＝f ′(x ).2．导数的几何意义和物理意义几何意义：函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数就是曲线y ＝f(x)上的斜率k ，即k ＝；切线方程为．物理意义：若物体位移随时间变化的关系为s ＝f(t)，则f′(t 0)是物体运动在t ＝t 0时刻的．3．基本初等函数的导数公式(1)C ′＝ (C 为常数)；(2)(x n)′＝ (n ∈Q *)； (3)(sin x )′＝；(4)(cos x )′＝； (5)(a x)′＝；(6)(e x)′＝； (7)(log a x )′＝；(8)(ln x )′＝ . 4．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝； (2)[f (x )·g (x )]′＝；特别地：[C ·f (x )]′＝ (C 为常数)； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝ (g (x )≠0)．5．复合函数的导数设函数u ＝φ(x )在点x 处有导数u ′＝φ′(x )，函数y ＝f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′＝f ′(u )，则复合函数y ＝f [φ(x )]在点x 处也有导数y ′x ＝f ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．【微点提醒】1．f ′(x 0)与x 0的值有关，不同的x 0，其导数值一般也不同． 2．f ′(x 0)不一定为0，但[f (x 0)]′一定为0.3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 4．曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，贰直线与二次曲线相切只有一个公共点．5.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．基础自测1．有一机器人的运动方程为s (t )＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为( )A.194 B.174 C.154 D.1342．设函数f (x )可导，则f （1＋Δx ）－f （1）3Δx 等于( )A ．f ′(1) B．3f ′(1) C.13f ′(1) D ．f ′(3)3．曲线y ＝x2x －1在点(1,1)处的切线方程为( )A ．x －y －2＝0B ．x ＋y －2＝0C ．x ＋4y －5＝0D ．x －4y －5＝04．函数f (x )＝x (2017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2018，则x 0的值为( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e5．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值是 A ．e B ．－e C.1e D ．－1e【考点聚焦突破】考点一导数的基本运算角度1 根据求导法则求函数的导数【例1-1】求下列函数的导数：(1)y ＝cos x e x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3) y ＝lnx x 2＋1.（4）y ＝－sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4 (5)y ＝12x －13.角度2 导数运算的应用【例1-2】已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，且对任意的实数x 都有f ′(x )＝e x(2x －2)＋f (x )，f (0)＝1，则( )A ．f (x )＝e x (x ＋1)B ．f (x )＝e x (x －1)C ．f (x )＝e x (x ＋1)2D ．f (x )＝e x (x －1)2规律方法 1.连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．2.分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导.3.对数形式：先化为和、差的形式，再求导.4.根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导.5.三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.6.复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导. 【训练1】求下列函数的导数：(1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)；(2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝11－2x .考点二导数的几何意义角度1 求切点坐标与切线方程【例2-1】（1）(2015陕西，5分)设曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x >0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为________．（2）(2018全国Ⅱ卷)曲线y＝2ln x在点(1，0)处的切线方程为________．(3)已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4，则经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．角度2 求参数的值或范围【例2-2】（1）(2018全国Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)e x在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a＝________．（2）对函数f(x)＝－e x－x图象上任意一点处的切线为l1，若总存在函数g(x)＝ax＋2cos x图象上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是( ) A．[－1，2] B．(－1，2) C．[－2，1] D．(－2，1)角度3 求公切线的方程【例2-3】 (1)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2(2)若直线l 与曲线y ＝e x及y ＝－14x 2都相切，则直线l 的方程为________．规律方法 1.求曲线切线方程的步骤：①求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率；②由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)．注意区分曲线在某点出的切线和曲线过某点的曲线。

2020年高考数学一轮复习考点13变化率与导数导数的运算必刷题理含解析

考点13 变化率与导数、导数的运算1、已知函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程x －2y ＋1＝0，则f (1)＋2f ′(1)的值是( ) A.12 B ．1 C ．32 D ．2【答案】D【解析】∵函数y ＝f (x )的图象在点(1, f (1))处的切线方程是x －2y ＋1＝0，∴f (1)＝1,f ′(1)＝12.∴f (1)＋2f ′(1)＝2.故选D.2、曲线y ＝sin x ＋e x在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0 D ．3x －y ＋1＝0【答案】C【解析】y ′＝cos x ＋e x，故切线斜率为k ＝2，切线方程为y ＝2x ＋1，即2x －y ＋1＝0. 3、.已知奇函数y=f (x )在区间(-∞,0]上的解析式为f (x )=x 2+x ,则曲线y=f (x )在横坐标为1的点处的切线方程是( ) A.x+y+1=0 B.x+y-1=0 C.3x-y-1=0 D.3x-y+1=0【答案】B【解析】由函数y=f (x )为奇函数,可得f (x )在[0,+∞)内的解析式为f (x )=-x 2+x ,故切点为(1,0).因为f'(x )=-2x+1, 所以f'(1)=-1, 故切线方程为y=-(x-1), 即x+y-1=0.4、已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝12f (x )，则tan 2x 的值是( )A ．－23B ．－43C ．43D ．34【答案】D【解析】因为f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，所以tan x ＝－3，所以tan 2x＝2tan x 1－tan 2x ＝－61－9＝34.故选D. 5、过函数f (x )＝13x 3－x 2图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πD ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 【答案】B【解析】设切线的倾斜角为α.由题意得k ＝f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，即k ＝tan α≥－1，解得0≤α<π2或3π4≤α<π，即切线倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.故选B.6、已知a 为实数,函数f (x )=x 3+ax 2+(a-3)x 的导函数为f'(x ),且f'(x )是偶函数,则曲线y=f (x )在原点处的切线方程为( )A.y=3x+1B.y=-3xC.y=-3x+1D.y=3x-3【答案】B【解析】因为f (x )=x 3+ax 2+(a-3)x ,所以f'(x )=3x 2+2ax+(a-3). 又f'(x )为偶函数,所以a=0,所以f (x )=x 3-3x ,f'(x )=3x 2-3.所以f'(0)=-3. 故所求的切线方程为y=-3x.7、已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( ) A ．－e B ．－1 C ．1 D ．e【答案】B【解析】由题可得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x，则f ′(1)＝2f ′(1)＋1，解得f ′(1)＝－1，所以选B.8、已知f ′(x )是f (x )＝sin x ＋a cos x 的导函数，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝24，则实数a 的值为( )A.23 B ．12 C ．34 D ．1【答案】B【解析】由题意可得f ′(x )＝cos x －a sin x ，则由f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝24可得22－22a ＝24，解得a ＝12.故选B.9、已知函数f (x )=x ln x ,若直线l 过点(0,-1),并且与曲线y=f (x )相切,则直线l 的方程为( ) A.x+y-1=0 B.x-y-1=0 C.x+y+1=0 D. x-y+1=0【答案】B【解析】设直线l 的方程为y=kx-1,直线l 与f (x )的图像相切于点(x 0,y 0), 则解得∴直线l 的方程为y=x-1,即x-y-1=0.10、已知曲线f (x )＝e 2x－2e x＋ax －1存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，72 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72 D ．(0,3)【答案】B【解析】由题得f ′(x )＝2e 2x－2e x ＋a ，则方程2e 2x －2e x＋a ＝3有两个不同的正解，令t ＝e x (t >0)，且g (t )＝2t 2－2t ＋a －3，则由图像可知，有g (0)>0且Δ>0，即a －3>0且4－8(a －3)>0，解得3<a <72.故选B.11、已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)的对称中心为M (x 0，y 0)，记函数f (x )的导函数为f ′(x )，f ′(x )的导函数为f ″(x )，则有f ″(x 0)＝0.若函数f (x )＝x 3－3x 2，则f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0322 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0332 017＝( )A ．－8 066B ．－4 033C ．8 066D ．4 033【答案】A【解析】由f (x )＝x 3－3x 2得f ′(x )＝3x 2－6x ，f ″(x )＝6x －6，又f ″(x 0)＝0，所以x 0＝1且f (1)＝－2，即函数f (x )的对称中心为(1，－2)，即f (x )＋f (2－x )＝－4.令S ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0322 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0332 017，则S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0332 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0322 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫32 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017，所以2S ＝4 033×(－4)＝－16 132，S ＝－8 066.12、已知函数f (x )＝ln x ＋tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的导函数为f ′(x )，若使得f ′(x 0)＝f (x 0)成立的x 0满足x 0<1，则α的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π4B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎝⎛⎭⎪⎫π6，π4D ．⎝⎛⎭⎪⎫0，π3【答案】B【解析】∵f ′(x )＝1x ，∴f ′(x 0)＝1x 0，由f ′(x 0)＝f (x 0)，得1x 0＝ln x 0＋tan α，∴tanα＝1x 0－ln x 0.又0<x 0<1，∴1x 0－ln x 0>1，即tan α>1，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.故选B.13、已知函数f (x )=e x ln x ,f'(x )为f (x )的导函数,则f'(1)的值为 . 【答案】e【解析】∵f (x )=e x ln x ,∴f'(x )=e x ln x+.∴f'(1)=eln 1+=e .14、已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a·e x图象的切线，则实数a ＝________.【答案】e 2【解析】设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a ·e x 0＝－1，∴e x 0＝a ，又－1a·e x 0＝－x 0＋1，∴x 0＝2，∴a ＝e 2.15、已知函数f (x )=x++b (x ≠0)在点(1,f (1))处的切线方程为y=2x+5,则a-b= . 【答案】-8 【解析】∵f'(x )=1-=,∴f'(1)=1-a=2,∴a=-1,f (1)=1+a+b=b , ∴在点(1,f (1))处的切线方程为y-b=2(x-1), ∴b-2=5,b=7,∴a-b=-8.16、已知f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________. 【答案】－3π【解析】f ′(x )＝－sin x ·x －cos x x 2，当x ＝π2时，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－2π，又f (π)＝－1π，所以f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－3π. 17、函数f (x )=x e x 的图像在点(1,f (1))处的切线方程是 . 【答案】y=2e x-e【解析】∵f (x )=x e x ,∴f (1)=e,f'(x )=e x +x e x ,∴f'(1)=2e,∴f (x )的图像在点(1,f (1))处的切线方程为y-e =2e(x-1),即y=2e x-e .18、已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x －ln x 上存在与直线x ＋y －1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞【解析】由题意知曲线的切线斜率为1，所以y ′＝2ax ＋3－1x＝1有正根，即2ax 2＋2x －1＝0有正根．当a ≥0时，显然满足题意；当a ＜0时，需满足Δ≥0，解得－12≤a ＜0.综上，a ≥－12.19、若函数f (x )= x 2-ax+ln x 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是 . 【答案】[2,+∞)【解析】∵f (x )= x 2-ax+ln x ,∴f'(x )=x-a+.∵f (x )的图像存在垂直于y 轴的切线, ∴f'(x )存在零点, ∴x+-a=0有解, ∴a=x+≥2(x>0).20、直线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= . 【答案】-3【解析】设f (x )=(ax+1)e x ,∵f'(x )=a·e x +(ax+1)e x =(ax+a+1)e x ,∴f(x)=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线斜率k=f'(0)=a+1=-2,∴a=-3.21、已知函数f(x)＝x3－x.(1)求曲线y＝f(x)在点M(1,0)处的切线方程；(2)如果过点(1，b)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数b的取值范围．【答案】(1) 2x－y－2＝0 (2) (－1,0)【解析】(1)f′(x)＝3x2－1，∴f′(1)＝2.故切线方程为y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.(2)设切点为(x0，x30－x0)，则切线方程为y－(x30－x0)＝f′(x0)(x－x0)．又切线过点(1，b)，所以(3x20－1)(1－x0)＋x30－x0＝b，即2x30－3x20＋b＋1＝0.由题意，上述关于x0的方程有三个不同的实数解．记g(x)＝2x3－3x2＋b＋1，则g(x)有三个不同的零点，而g′(x)＝6x(x－1)，令g′(x)＝0得x＝0或x＝1，则结合图像可知g(0)g(1)<0即可，可得b∈(－1,0)．。

2021年高考数学一轮复习第三章第1讲变化率与导数、导数的运算文(含解析)

2021年高考数学一轮复习第三章第1讲变化率与导数、导数的运算文（含解析）一、选择题1．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为( )A ．－15B ．0 C.15D ．5解析因为f (x )是R 上的可导偶函数，所以f (x )的图象关于y 轴对称，所以f (x )在x ＝0处取得极值，即f ′(0)＝0，又f (x )的周期为5，所以f ′(5)＝0，即曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为0，选B. 答案 B2．函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的可导函数，且满足f (x )>0，xf ′(x )＋f (x )<0，则对任意正数a ，b ，若a >b ，则必有( )．A ．af (b )<bf (a )B ．bf (a )<af (b )C ．af (a )<f (b )D ．bf (b )<f (a )解析构造函数F (x )＝f x x (x >0)，F ′(x )＝xf ′x －f xx 2，由条件知F ′(x )<0，∴函数F (x )＝f x x在(0，＋∞)上单调递减，又a >b >0，∴f aa<f b b，即bf (a )<af (b )．答案 B3．已知函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋1ax (a >0)，则f (2)的最小值为( )．A ．1232B ．12＋8a ＋1aC ．8＋8a ＋2aD ．16解析f(2)＝8＋8a＋2a，令g(a)＝8＋8a＋2a，则g′(a)＝8－2a2，由g′(a)>0得a>12，由g′(a)<0得0<a<12，∴a＝12时f(2)有最小值．f(2)的最小值为8＋8×12＋212＝16.故选D.答案 D4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝( )．A．－e B．－1 C．1 D．e解析由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋1x ，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.答案 B5．等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝( )．A．26 B．29 C．212 D．215解析函数f(x)的展开式含x项的系数为a1·a2·…·a8＝(a1·a8)4＝84＝212，而f′(0)＝a1·a2·…·a8＝212，故选C.答案 C6．已知函数f′(x)，g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数h(x)＝f(x)－g(x)，则 ( )．A．h(1)<h(0)<h(－1)B．h(1)<h(－1)<h(0)C．h(0)<h(－1)<h(1)D．h(0)<h(1)<h(－1)解析由图象可知f′(x)＝x，g′(x)＝x2，则f(x)＝12x2＋m，其中m为常数，g(x)＝13x3＋n，其中n为常数，则h(x)＝12x2－13x3＋m－n，得h(0)<h(1)<h(－1)．答案 D二、填空题7．曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．解析 ∵y ＝x (3ln x ＋1)，∴y ′＝3ln x ＋1＋x ·3x＝3ln x ＋4，∴k ＝y ′|x ＝1＝4，∴所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3. 答案 y ＝4x －38．若过原点作曲线y ＝e x的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．解析 y ′＝e x，设切点的坐标为(x 0，y 0)则y 0x 0＝e x 0，即e x 0x 0＝e x 0，∴x 0＝1.因此切点的坐标为(1，e)，切线的斜率为e. 答案 (1，e) e9．已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的导数f ′(1)＝________.解析 ∵f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8， ∴x ＝1时，f (1)＝2f (1)－1＋8－8， ∴f (1)＝1，即点(1,1)，在曲线y ＝f (x )上．又∵f ′(x )＝－2f ′(2－x )－2x ＋8，x ＝1时，f ′(1)＝－2f ′(1)－2＋8，∴f ′(1)＝2. 答案 210．同学们经过市场调查，得出了某种商品在2011年的价格y (单位：元)与时间t (单位：月)的函数关系为：y ＝2＋t 220－t (1≤t ≤12)，则10月份该商品价格上涨的速度是______元/月．解析 ∵y ＝2＋t 220－t(1≤t ≤12)，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋t 220－t ′＝2′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 220－t ′＝t 2′20－t －t 220－t ′20－t 2＝40t －t 220－t2.由导数的几何意义可知10月份该商品的价格的上涨速度应为y ′|t ＝10＝40×10－10220－102＝3.因此10月份该商品价格上涨的速度为3元/月．答案 3 三、解答题11．求下列函数的导数：(1)y ＝(2x ＋1)n，(n ∈N *)； (2)y ＝ln (x ＋1＋x 2)；(3)y ＝e x＋1e x －1； (4)y ＝2x sin(2x ＋5)．解 (1)y ′＝n (2x ＋1)n －1·(2x ＋1)′＝2n (2x ＋1)n －1.(2)y ′＝1x ＋1＋x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 21＋x 2＝11＋x 2. (3)∵y ＝e x＋1e x －1＝1＋2e x －1∴y ′＝－2exe x－12.(4)y ′＝2sin(2x ＋5)＋4x cos(2x ＋5)．12．设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线l . (1)求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；(2)若方程f (x )＋g (x )＝mx 有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，其中x 1<x 2，且对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立，求实数m 的取值范围．解析 (1)f ′(x )＝3x 2＋4ax ＋b ，g ′(x )＝2x －3，由于曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线，故有f (2)＝g (2)＝0，f ′(2)＝g ′(2)＝1，由此解得a ＝－2，b ＝5；切线l 的方程为：x －y －2＝0.(2)由(1)得f (x )＋g (x )＝x 3－3x 2＋2x ，依题意得：方程x (x 2－3x ＋2－m )＝0有三个互不相等的根0，x 1，x 2，故x 1，x 2是方程x 2－3x ＋2－m ＝0的两个相异实根，所以Δ＝9－4(2－m )>0⇒m >－14；又对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立，特别地，取x ＝x 1时，f (x 1)＋g (x 1)－mx 1<－m 成立，即0<－m ⇒m <0，由韦达定理知：x 1＋x 2＝3>0，x 1x 2＝2－m >0，故0<x 1<x 2，对任意的x ∈[x 1，x 2]，有x －x 2≤0，x －x 1≥0，x >0，则f (x )＋g (x )－mx ＝x (x －x 1)(x －x 2)≤0；又f (x 1)＋g (x 1)－mx 1＝0，所以函数在x ∈[x 1，x 2]上的最大值为0，于是当m <0时对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立．综上：m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，013．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．(1)解方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由f ′(x )＝1＋3x2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x20·(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)．令x ＝0得，y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为6.14．设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b ，为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切． (1)求a ，b 的值；(2)证明：当0<x <2时，f (x )<9x x ＋6. (1)解由y ＝f (x )过(0,0)点，得b ＝－1. 由y ＝f (x )在(0,0)点的切线斜率为32，又y ′|x ＝0＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋12x ＋1＋a x ＝0＝32＋a ，得a ＝0.(2)证明当x >0时，2x ＋1·1<x ＋1＋1＝x ＋2，故x ＋1<x 2＋1.记h (x )＝f (x )－9xx ＋6，则h ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1－54x ＋62＝2＋x ＋12x ＋1－54x ＋62<x ＋64x ＋1－54x ＋62＝x ＋63－216x ＋14x ＋1x ＋62. 令g (x )＝(x ＋6)3－216(x ＋1)，则当0<x<2时，g′(x)＝3(x＋6)2－216<0.因此g(x)在(0,2)内是递减函数，又由g(0)＝0，得g(x)<0，所以h′(x)<0.因此h(x)在(0,2)内是递减函数，又h(0)＝0，得h(x)<0.于是当0<x<2时，f(x)<9xx＋6.5w!L=UxJ%33163 818B 膋JH35395 8A43 詃25295 62CF 拏u。

2018届高考数学(文)大一轮复习检测第二章第10讲变化率与导数、导数的计算Word版含答案

第10讲变化率与导数、导数的计算, [学生用书P47])1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0 f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝lim Δx →0 Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx. (2)导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim Δx →0_f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）](g (x )≠0)．1．辨明三个易误点(1)利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(x n )′＝nx n －1与指数函数的求导公式(a x )′＝a x ln a 混淆．(2)求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．(3)曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．2．导数运算的技巧(1)要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商的形式，再利用运算法则求导数； (2)对于不具备求导法则结构形式的，要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数．但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误．对数函数的真数是根式或者分式时，可用对数的运算性质将真数转化为有理式或整式，然后再求解比较方便；当函数表达式含有三角函数时，可优先考虑利用三角公式进行化简后再求导．1.教材习题改编函数y ＝f (x )的图象如图，则导函数f ′(x )的大致图象为( )B [解析] 由导数的几何意义可知，f ′(x )为常数，且f ′(x )＜0. 2.教材习题改编函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A ．x sin x B ．－x sin xC ．x cos xD ．－x cos xB [解析] y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 3.教材习题改编已知f (x )＝13－8x ＋2x 2，f ′(x 0)＝4，则x 0＝________．[解析] 因为f ′(x )＝－8＋4x ，所以f ′(x 0)＝－8＋4x 0＝4，解得x 0＝3. [答案] 34.教材习题改编函数y ＝x ln x 与x 轴的交点为P ，则曲线y ＝x ln x 在点P 处的切线方程为________．[解析] 由y ＝0得x ln x ＝0，即x ＝1，所以P 点的坐标为(1，0)．又y ′＝ln x ＋1，所以曲线在点P 处的切线斜率为y ′|x ＝1＝ln 1＋1＝1.故切线方程为y ＝x －1.[答案] y ＝x －15．若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．[解析] 设P (x 0，y 0)，因为y ＝e －x ，所以y ′＝－e －x ，所以点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2，所以－x 0＝ln 2，所以x 0＝－ln 2，所以y 0＝e ln 2＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2)． [答案] (－ln 2，2)导数的计算[学生用书P47][典例引领](1)已知函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )且f (x )＝x 2f ′⎝⎛⎭⎫π3＋sin x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π3＝________．(2)求下列函数的导数：①y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)；②y ＝x 2sin x ；③y ＝3x e x －2x ＋e ；④y ＝ln xx 2＋1.【解】 (1)因为f (x )＝x 2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋sin x ，所以f ′(x )＝2xf ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋cos x .所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2×π3f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋cos π3.所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝36－4π.故填36－4π.(2)①因为y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1) ＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ，所以y ′＝18x 2－10x －4.②y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . ③y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x e x ln 3＋3x e x －2x ln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.④y ′＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x （x 2＋1）－2x ln x （x 2＋1）2＝x 2＋1－2x 2ln xx （x 2＋1）2.[通关练习]1．已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 017)＋2 017ln x ，则f ′(2 017)＝________．[解析] 由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 017)＋2 017x ，所以f ′(2 017)＝2 017＋2f ′(2 017)＋2 0172 017，即f ′(2 017)＝－(2 017＋1)＝－2 018. 故填－2 018. [答案] －2 0182．求下列函数的导数：(1)y ＝x n e x ；(2)y ＝cos xsin x ；(3)y ＝e x ln x .[解] (1)y ′＝nx n －1e x ＋x n e x ＝x n －1e x (n ＋x )． (2)y ′＝－sin 2x －cos 2x sin 2x ＝－1sin 2x. (3)y ′＝e x ln x ＋e x ·1x＝e x ⎝⎛⎭⎫1x ＋ln x .导数的几何意义(高频考点)[学生用书P48]导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，属中低档题．高考对导数几何意义的考查主要有以下三个命题角度： (1)已知切点求切线方程；(2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标； (3)已知切线方程求参数值．[典例引领](1)(2016·高考全国卷丙)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程是____________．(2)(2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则a ＝________．(3)设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．【解析】 (1)当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝e x －1＋x .又f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝e xe ＋x ，所以当x ＞0时，f ′(x )＝e x －1＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .(2)因为 f ′(x )＝3ax 2＋1，所以f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，所以切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．因为切线过点(2，7)，所以7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.(3)y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x(x >0)的导数为y ′＝－1x 2(x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m >0)，因为两切线垂直，所以k 1 k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1，1)．【答案】 (1)y ＝2x (2)1 (3)(1，1)[题点通关]角度一已知切点求切线方程 1．(2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0B [解析] 因为点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，所以设切点为(x 0，y 0)．又因为f ′(x )＝1＋ln x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.所以切点为(1，0)，所以f ′(1)＝1＋ln 1＝1.所以直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.角度二已知切线方程(或斜率)求切点坐标2．设a ∈R ，函数f (x )＝e x＋aex 的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数．若曲线y ＝f (x)的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为________．[解析] 函数f (x )＝e x ＋a e x 的导函数是f ′(x )＝e x －aex .又f ′(x )是奇函数，所以f ′(x )＝－f ′(－x )，即e x －ae x ＝－(e －x －a ·e x )，则e x (1－a )＝e －x (a －1)，所以(e 2x ＋1)(1－a )＝0，解得a ＝1，所以f ′(x )＝e x －1e x .令e x －1e x ＝32，解得e x ＝2或e x ＝－12(舍去)，所以x ＝ln 2.[答案] ln 2角度三已知切线方程求参数值3．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b 的值等于( ) A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－2C [解析] 依题意知，y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C., [学生用书P49])——导数与其他知识的交汇抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D (包含三角形内部与边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．【解析】由于y ′＝2x ，所以抛物线在x ＝1处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.画出可行域(如图)．设x ＋2y ＝z ，则y ＝－12x ＋12z ，可知当直线y ＝－12x ＋12z 经过点A ⎝⎛⎭⎫12，0，B (0，－1)时，z 分别取到最大值和最小值，此时最大值z max ＝12，最小值z min ＝－2，故取值范围是⎣⎡⎦⎤－2，12. 【答案】 ⎣⎡⎦⎤－2，12(1)本题以y ＝x 2在x ＝1处的切线问题为条件，利用导数的几何意义求得切线方程，构造出求x ＋2y 的取值范围的可行域，充分体现了导数与线性规划的交汇．(2)利用导函数的特性，在求解有关奇(偶)函数问题中，发挥出奇妙的作用． (3)导数还可以与数列、向量、解析几何等交汇．(2017·武汉高三月考)已知曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 017x 1＋log 2 017x 2＋…＋log 2 017x 2 016的值为________．[解析] f ′(x )＝(n ＋1)x n ，k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1，1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝nn ＋1.所以x 1·x 2·…·x 2 016＝12×23×34×…×2 0152 016×2 0162 017＝12 017.则log 2 017x 1＋log 2 017x 2＋…＋log 2 017x 2 016＝log 2 017(x 1·x 2·…·x 2 016)＝log 2 01712 017＝－1.[答案] －1, [学生用书P311(独立成册)])1．(2017·惠州模拟)已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( )A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1πC [解析] 因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π.2．(2017·大同模拟)已知函数f (x )＝x sin x ＋ax ，且f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．4A [解析] 因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＋a ，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，所以sin π2＋π2cos π2＋a ＝1，即a ＝0.3．(2016·高考山东卷)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3A [解析] 设两切点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．选项A 中，y ′＝cos x ，cos x 1cos x 2＝－1，当x 1＝0，x 2＝π时满足，故选项A 中的函数具有T 性质；选项B 、C 、D 中函数的导数均为正值或非负值，故两点处的导数之积不可能为－1，故选A. 4．曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0，1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0 D ．3x －y ＋1＝0C [解析] 因为y ＝sin x ＋e x ，所以y ′＝cos x ＋e x ，所以y ′|x ＝0＝cos 0＋e 0＝2，所以曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0，1)处的切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0. 5．(2017·上饶模拟)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( )A ．1B ． 2C ．22D ． 3B [解析] 因为定义域为(0，＋∞)，令y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1，则在P (1，1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2.6．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2D [解析] 因为f ′(x )＝1x，所以直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0，所以切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，于是解得m ＝－2. 7．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(2 017)＝________．[解析] 令e x ＝t ，则x ＝ln t ，所以f (t )＝ln t ＋t ，故f (x )＝ln x ＋x .求导得f ′(x )＝1x＋1，故f ′(2017)＝12 017＋1＝2 0182 017.[答案] 2 0182 0178．若直线l 与幂函数y ＝x n 的图象相切于点A (2，8)，则直线l 的方程为________． [解析] 由题意知，A (2，8)在y ＝x n 上，所以2n ＝8，所以n ＝3，所以y ′＝3x 2，直线l 的斜率k ＝3×22＝12，又直线l 过点(2，8)．所以y －8＝12(x －2)，即直线l 的方程为12x －y －16＝0.[答案] 12x －y －16＝0 9．(2017·郑州第二次质检)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________．[解析] 由题图可得曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. [答案] 0 10．(2017·保定一模)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________．[解析] 函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解，而f ′(x )＝1x ＋a ，即1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，a ＝2－1x，因为x >0，所以2－1x<2，所以a 的取值范围是(－∞，2)． [答案] (－∞，2)11．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．[解] (1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－2]∪(1，3)∪[2＋2，＋∞)．12．(2017·安徽安庆二模)给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，f ″(x )是函数f ′(x )的导函数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．已知函数f (x )＝3x ＋4sin x －cos x 的拐点是M (x 0，f (x 0))，则点M ( )A ．在直线y ＝－3x 上B ．在直线y ＝3x 上C ．在直线y ＝－4x 上D ．在直线y ＝4x 上B [解析] f ′(x )＝3＋4cos x ＋sin x ，f ″(x )＝－4sin x ＋cos x ，令f ″(x )＝0，则有4sin x 0－cos x 0＝0，所以f (x 0)＝3x 0，故M (x 0，f (x 0))在直线y ＝3x 上．故选B. 13．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．[解] (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32. (2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，所以x 0＝－2，所以y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k ＝3×(－2)2＋1＝13.所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．(3)因为切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，所以切线的斜率k ＝4.设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，所以x 0＝±1. 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18，即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18.即y ＝4x －18或y ＝4x －14. 14．(2017·河北省唐山一中月考)已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值； (2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．[解] (1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，因为f ′(－1)＝0，所以3a －6－6a ＝0，所以a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0，9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x0，3x20＋6x0＋12)．因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将(0，9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。

高考数学模拟试题-第16讲变化率与导数、导数的计算(解析版)

第16讲变化率与导数、导数的计算学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·全国·高三专题练习）若函数()()e ln 1axf x x =++，()04f '=，则a =( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】由()()e ln 1ax f x x =++，得()1e 1ax f x a x '=++，又()04f '=，所以()014f a '=+=，则3a =．故选：D.2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()221sin 1x xf x x ++=+，其导函数记为()f x '，则()()()()389389389389f f f f ''++---=（） A ．2 B ．2-C ．3D ．3-【答案】A【解析】由已知得()22sin 11x xf x x +=++，则()()()()()2222cos 12sin 21x x x x xxf x ++-+'+=⋅，显然()f x '为偶函数.令()()22sin 11x xg x f x x +=-=+，显然()g x 为奇函数.又()f x '为偶函数，所以()()3893890f f ''--=，()()()()389389389138912f f g g +-=++-+=，所以()()()()3893893893892f f f f ''++---=. 故选：A.3．（2022·全国·高三专题练习）下列函数求导运算正确的个数为（） ①)(333log x x e '=；①)(21log ln 2x x '=；①)(x xe e '=；①1ln x x '⎛⎫=⎪ ⎭⎝；①)(1x x xe e '=+．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①()'33ln 3x x =, 故错误;①()'21log ln 2x x =⋅, 故正确; ①()'x x e e =, 故正确;①()''1211ln ln ln x x x x -⎛⎫⎡⎤==- ⎪⎣⎦⋅⎝⎭, 故错误; ①()'x x x xe e x e =+⋅, 故错误;故选：B.4．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）函数()2ln 1sin y x x =++的图象在0x =处的切线对应的倾斜角为α，则sin2α=（） A ．310B ．±310 C ．35D ．±35【答案】C【解析】因为()2ln 1sin y x x =++ 所以2cos 1y x x '=++ 当0x =时，3y，此时tan 3α=，①2222sin cos 2tan 63sin 22sin cos sin cos tan 1915ααααααααα⋅=⋅====+++．故选：C.5．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则14a b+的最小值为（） A ．8 B ．9 C ．10 D ．13【答案】B【解析】设切点为00(,)x y ，ln()y x b =+的导数为1y x b'=+，由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1，令0011,1x b x b ==-+，则0ln(1)0y b b =-+= ，故切点为(1,0)b -，代入y x a =-，得1a b +=， a 、b 为正实数，则14144()()559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当13a =，23b =时，14a b +取得最小值9，故选：B6．（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）过点()1,2P 作曲线C ：4y x=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（） A ．280x y +-= B ．240x y +-= C ．240x y +-= D ．240x y +--=【答案】A【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，24y x '=-，所以在A 点处的切线方程为()11214y y x x x -=--，将()1,2P 代入得()1121421y x x -=--，因为114y x =，化简得11280x y +-=，同理可得22280x y +-=，所以直线AB 的方程为280x y +-=，故选：A ．7．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）函数()y f x =的图像如图所示，下列不等关系正确的是（）A ．()()()()02332f f f f ''<<<-B ．()()()()02323f f f f ''<<-<C ．()()()()03322f f f f ''<<-<D ．()()()()03232f f f f ''<-<<【答案】C【解析】从()f x 的图象可以看出，点B 处切线的斜率大于直线AB 的斜率，直线AB 的斜率大于点A 处切线的斜率，点A 处切线的斜率大于0，根据导数的几何意义可得(3)(2)0(3)(2)32f f f f -''<<<-，即0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<.故选：C8．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知偶函数()f x ，当0x >时，()()212f x x f x '=-+，则()f x 的图象在点()()2,2f --处的切线的斜率为（） A ．3- B ．3 C ．5- D ．5【答案】A【解析】当0x >时，()()21f x x f ''=-，()()121f f ''∴=-，解得：()11f '=， ∴当0x >时，()22f x x x =-+；当0x <时，0x ->，()22f x x x ∴-=++，又()f x 为偶函数，()()22f x f x x x ∴=-=++，即0x <时，()22f x x x =++，则()21f x x '=+，()2413f '∴-=-+=-. 故选：A.9．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）若两曲线y =x 2-1与y =a ln x -1存在公切线，则正实数a 的取值范围为（） A ．(]0,2e B ．(]0,e C ．[)2,e +∞ D ．(],2e e【答案】A【解析】设()()21122121122,1,,ln 1,2,,2,a a A x x B x a x y x y k x k x x ''--====切线：()()211112y x x x x --=-，即21121y x x x =--切线：()()222ln 1a y a x x x x --=-，即22ln 1a y x a a x x =-+-，()122222122,41ln 1ln 1a x x a x x x a a x ⎧=⎪∴∴=-⎨⎪--=-+-⎩ 令()()()()22141ln ,81ln 4f x x x f x x x x x ⎛⎫=-=-+- ⎝'⎪⎭()88ln 448ln 412ln 0,x x x x x x x x x x =--=-=-==()f x在(上单调递增，在)+∞上单调递减，所以(]max ()2,0,2.f x fe a e ==∴∈故选：A ．10．（多选）（2022·江苏·高三专题练习）下列求导数运算正确的有（） A ．(sin )cos x x '= B ．211()x x'=C ．31(log )3ln x x'= D ．1(ln )x x'=【答案】AD【解析】A ：(sin )cos x x '=，故正确； B ：211()x x'=-，故错误；C ：31(log )ln 3x x '=，故错误； D ：1(ln )x x'=，故正确. 故选：AD11．（多选）（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）下列曲线在x =0处的切线的倾斜角为钝角的是（）A ．曲线2sin y x x =-B ．曲线2sin y x x =-C ．曲线()2e xy x =-D ．曲线11e x y x -=+【答案】BC【解析】若2sin y x x =-，则2cos y x '=-，当0x =时，10y '=>，故选项A 不符合题意；若2sin y x x =-，则12cos y x '=-，当0x =时，10y '=-<，故选项B 符合题意；若()2e xy x =-，则()1e xy x '=-，当0x =时，10y '=-<，故选项C 符合题意；若11e x y x -=+，则()211e x x y x +'=+，当0x =时，10y '=>，故选项D 不符合题意，故选：BC12．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知函数()()()()20e 01x f x f x f x '=+--，则函数()f x =___________. 【答案】2e x x +【解析】由题意得()()00f f '=，且()()()()0e 201xf x f x f ''=+--，令0x =，得(0)1f =，故()2e xf x x =+故答案为：2e x x +13．（2022·广东·模拟预测）已知2ln ()1xf x x =+，则曲线在(1,1)处的切线方程为________．【答案】y x = 【解析】因为2ln ()1xf x x =+ 所以24431ln 22ln 12ln ()x x xx x x x x f x x x x ⋅-⋅--=='=，所以(1)1f '=，①切线方程为11y x -=-，即y x =．故答案为：y x =.14．（2022·北京市第一六一中学模拟预测）写出一个同时具有下列性质①①①的函数f (x )=___________： ①1212()()()f x x f x f x =： ①当()0,x ∞∈+时，()0f x '>； ①()f x '是偶函数．【答案】()3f x x =（答案不唯一）【解析】取()3f x x =，则()()()()33312121212x f x x x x x f x f x ===，满足①， ()23f x x '=，0x >时有()0f x '>，满足①，()23f x x '=的定义域为R ，又()()()2233f x x x f x '-=-==，故()f x '是偶函数，满足①.故答案为：()3f x x =（答案不唯一）15．（2022·全国·高考真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．【答案】 1e y x =1ey x =- 【解析】解：因为ln y x =，当0x >时ln y x =，设切点为()00,ln x x ，由1y x'=，所以001|x x y x ='=，所以切线方程为()0001ln y x x x x -=-，又切线过坐标原点，所以()0001ln x x x -=-，解得0e x =，所以切线方程为()11e e y x -=-，即1ey x =；当0x <时()ln y x =-，设切点为()()11,ln x x -，由1y x'=，所以111|x x y x ='=，所以切线方程为()()1111ln y x x x x --=-，又切线过坐标原点，所以()()1111ln x x x --=-，解得1e x =-，所以切线方程为()11e ey x -=+-，即1ey x =-；故答案为：1e y x =；1ey x =- 16．（2022·全国·高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．【答案】()(),40,∞∞--⋃+【解析】①()e x y x a =+，①(1)e x y x a '=++，设切点为()00,x y ,则()000e x y x a =+,切线斜率()001e xk x a =++, 切线方程为：()()()00000e 1e x xy x a x a x x -+=++-, ①切线过原点，①()()()00000e 1e x xx a x a x -+=++-,整理得：2000x ax a +-=,①切线有两条，①240a a ∆=+>,解得4a 或0a >,①a 的取值范围是()(),40,-∞-+∞,故答案为：()(),40,-∞-+∞17．（2022·山东威海·三模）已知曲线212:e ,:2(0)x C y x C y x x a a =+=-++>，若有且只有一条直线同时与1C ，2C 都相切，则=a ________．【答案】1【解析】设l 与1C 相切于111(,e )x P x x +，与2C 相切于点2222(,2)Q x x x a -++，由1:e xC y x =+，得'e 1x y =+，则与1C 相切于点P 的切线方程为：1111e (e 1)()x x y x x x --=+-，即1111(1e )e e x x xy x x =+-+，由22:2C y x x a =-++，22y x '=-+，则与2C 相切于点P 的切线方程为：222222(22)()y x x a x x x +--=-+-，即22222y x x x x a =-+++，222(22)y x x a x =-++，因为两切线重合，所以，121e 22x x +=-①，11212e e x x x a x -=+①，由①得121e 2x x -=，代入①得，111214(1)e 412e e x x xx a -=+-+，化简得，11121e 6e 4e 14x x x x a -+=--，明显可见，10x =，1a =时等式成立.故答案为：118．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数ln y x x =. （1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点1x =处的切线方程. 【解】（1）因为ln y x x =，则1ln ln 1y x x x x'=+⋅=+；（2）所求切线斜率为1ln11k =+=，当1x =时，0y =，切点坐标为()1,0，因此，函数ln y x x =的图象在点1x =处的切线方程为1y x =-.19．（2022·全国·高考真题（文））已知函数32(),()f x x x g x x a =-=+，曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线也是曲线()y g x =的切线． (1)若11x =-，求a ； (2)求a 的取值范围．【解】(1)由题意知，(1)1(1)0f -=---=，2()31x f x '=-，(1)312f '-=-=，则()y f x =在点()1,0-处的切线方程为2(1)y x =+，即22y x =+，设该切线与()g x 切于点()22,()x g x ，()2g x x '=，则22()22g x x '==，解得21x =，则(1)122g a =+=+，解得3a =；(2)2()31x f x '=-，则()y f x =在点()11(),x f x 处的切线方程为()()32111131()y x x x x x --=--，整理得()2311312y x x x =--，设该切线与()g x 切于点()22,()x g x ，()2g x x '=，则22()2g x x '=，则切线方程为()22222()y x a x x x -+=-，整理得2222y x x x a =-+，则21232123122x x x x a ⎧-=⎨-=-+⎩，整理得2223343212111113193122222424x a x x x x x x ⎛⎫=-=--=--+ ⎪⎝⎭，令432931()2424h x x x x =--+，则32()9633(31)(1)h x x x x x x x '=--=+-，令()0h x '>，解得103x -<<或1x >，令()0h x '<，解得13x <-或01x <<，则x 变化时，(),()h x h x '的变化情况如下表：则()h x 的值域为[)1,-+∞，故a 的取值范围为[)1,-+∞.【素养提升】1．（2022·湖北·模拟预测）若过点()(),0m n m <可作曲线3y x =-三条切线，则（） A ．30n m <<- B ．3n m >- C ．0n < D ．30n m <=-【答案】A【解析】设切点为()3,t t -，由323y x y x '=-⇒=-，故切线方程为()323y t t x t +=--，因为()(),0m n m <在切线上，所以代入切线方程得32230t mt n --=，则关于t 的方程有三个不同的实数根，令()3223g t t mt n =--，则()2660g t t mt t m '=-=⇒=或0=t ，所以当(),t m ∈-∞，()0,∞+时，()0g t '>，()g t 为增函数，当(),0t m ∈-时，()0g t '<，()g t 为减函数，且t →-∞时，()g t →-∞，t →+∞时，()g t →+∞，所以只需()()()()300g t g m m n g t g n ⎧==-->⎪⎨==-<⎪⎩极大值极小值，解得30n m <<-故选：A2．（2022·山东潍坊·三模）过点()()1,P m m ∈R 有n 条直线与函数()e xf x x =的图像相切，当n 取最大值时，m 的取值范围为（） A ．25e e m -<< B ．250e m -<< C ．10em -<<D ．e m <【答案】B【解析】由()e x f x x =，()()1e xf x x '=+，故当1x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减，且()0f x <；当1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增，结合图象易得，过点()()1,P m m ∈R 至多有3条直线与函数()x f x xe =的图像相切，故3n =.此时，设切点坐标为()00,x y ，则切线斜率()001e x k x =+⋅，所以切线方程为()()00000e e 1x xy x x x x -=+⋅-，将()1,P m 代入得()02001e x m x x =-++⋅，存在三条切线即函数()21e xm x x =-++⋅有三个不同的根，又()()()1e 2x g x x x '=--+⋅，易得在()2,1-上，()0g x '>，()g x 单调递增；在(),2-∞-和()1,+∞上，()0g x '<，()g x 单调递减，画出图象可得当()20g m -<<，即250e m -<<时符合题意故选：B3．（多选）（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）已知函数()e xx f x =(e为自然对数的底数)，过点(,)a b 作曲线()f x 的切线.下列说法正确的是（）A ．当0a =时，若只能作两条切线，则24e b =B ．当0a =，24e b >时，则可作三条切线 C ．当02a <<时，可作三条切线，则24e e a a a b -<< D ．当2a =，0b >时，有且只有两条切线【答案】AC【解析】函数()e x x f x =，所以()'1e x x f x -=，设切点000(,)e x x x ，则切线的斜率为()0'001ex x k f x -==，则切线方程为：000001()e ex x x x y x x -=--，选项A ，当0a =时，则24e b =，设()2ex x g x =，所以()'(2)e x x x g x -=，所以，当(,0)x ∈-∞，()'g x ＜0，()g x 单调递减，当(2,)x ∈+∞，()'g x ＞0，()g x 单调递增，如图：当0x =时，()g x 取得极小值，极小值为0，当2x =时，()g x 取得极大值，极小值为24e ，若只能做两条切线，y b =与()2e x x g x =有且只有两个交点，则24e b =，故选项正确；选项B ，当0a =时，24e b ＞时，则y b =与()2ex x g x =有且只有一个交点，因此可做一条切线，故该选项错误；选项C ，当02a <<时，则0200(1)e x x x a b +-=，设2((e )1)xx a x x h +-=，所以2'(2)2(2)()e )e (x x h x a x a x x x a -++-==--，因为02a <<，所以，当(,)x a ∈-∞，()'h x ＜0，()h x 单调递减，当(,)x a ∈+∞，()'h x ＞0，()h x 单调递增，如图：所以，当x a =时，()h x 取得极小值，极小值为e a a ，当2x =时，()h x 取得极大值，极小值为24e a -，由可作三条切线，则y b =与()h x 有3个交点，则24e e a a a b -<<，故该选项正确；选项D ，当2a =时，则02002(1)e x x x b +-=，此时，设22(e )(1)xk x x x +-=，所以，2'244(2)0e ()e x x k x x x x -+--=-≤=，所以()k x 单调递减，且()0k x ＞，如图：所以，当0b >时，y b =与()k x 只有1个交点，因此有且只有1条切线，故该选项错误. 故选：AC.4．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））若曲线31:C y x =与曲线2:e (0)x C y a a =>存在2条公共切线，则a 的值是_________．【答案】327e【解析】设公切线在3y x =上的切点为()311,x x ，在()e 0x y a a =>上的切点为()22,e x x a ，则曲线在切点的切线方程的斜率分别为213y x '=，2e x y a '=，对应的切线方程分别为321113()y x x x x -=-、222e e ()x x y a a x x -=-，即231132y x x x =-、222e e (1)x x y a x a x =+-，所以22213123e 2e (1)x x x a x a x ⎧=⎨-=-⎩，得32112231x x x =-，有123(1)2x x =-，则2223e 3[(1)]2x a x =⋅-，整理，得222(1)427e x x a -=，设2(1)()e xx g x -=，则()0>g x ，(1)(3)()e x x x g x ---'=，令()013g x x '>⇒<<，令()01g x x '<⇒<或3x >，所以函数()g x 在(1,3)上单调递减，在(,1)-∞和(3,)+∞上单调递增，因为两条曲线有2条公共切线，所以函数427y a =与()y g x =图像有两个交点，又34(1)0(3)e g g ==，，且()0>g x ，如图，所以34427e a =，解得327ea =. 故答案为：327e .5．（2022·河北邯郸·二模）已知点P 为曲线ln ex y =上的动点，O 为坐标原点．当OP 最小时，直线OP 恰好与曲线ln y a x =相切，则实数a ＝___．【答案】e -【解析】设1(,ln )e P x x，所以OP = 设2221()()(ln )e g x x x =+⋅，22222ln 11e ()2()2(ln )e x x g x x x x x +'=+⋅⋅⋅=，当1e x >时，2222ln 1ln e e x x >-⇒>-，222e2x >，所以()0,()'>g x g x 单调递增，当10e x <<时，2222ln 1ln e e x x <-⇒<-，222e2x <，所以()0,()g x g x '<单调递减，当1e x =时，函数()g x 有最小值，即OP 有最小值，所以11(,)e eP -，此时直线OP 的方程为y x =-，设直线y x =-与曲线ln y a x =相切于点00(,ln )x a x ，由00ln 1a a y a x y x a x x '=⇒=⇒=-⇒=-，显然00(,ln )x a x 在直线y x =-上，则00ln a x x =-，因此有ln()e a a a a -=⇒=-，故答案为：e -。

(完整版)变化率与导数及导数的计算

第十一节变化率与导数、导数的计算一、导数的概念1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．二、基本初等函数的导数公式原函数导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x三、导数的运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；3.⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．1．(教材习题改编)若f (x )＝x e x ，则f ′(1)＝( ) A ．0 B ．e C ．2eD ．e 2解析：选C ∵f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e.2．曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12D ．－12解析：选A 依题意得y ′＝1＋ln x ，y ′ |x ＝e ＝1＋ln e ＝2，所以－1a ×2＝－1，a ＝2.3．(教材习题改编)某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的加速度是( )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2解析：选A 由v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，得t ＝2时，a (2)＝v ′(2)＝12×2－10＝14(m/s 2)．4．(2012·广东高考)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________．解析：∵y ′＝3x 2－1，∴y ′ |x ＝1＝3×12－1＝2. ∴该切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝05．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________．解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′ ＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 答案：－x sin x 1.函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．典题导入[例1] 用定义法求下列函数的导数． (1)y ＝x 2； (2)y ＝4x2.[自主解答] (1)因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝(x ＋Δx )2－x 2Δx＝x 2＋2x ·Δx ＋(Δx )2－x 2Δx ＝2x ＋Δx ，所以y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x . (2)因为Δy ＝4(x ＋Δx )2－4x 2＝－4Δx (2x ＋Δx )x 2(x ＋Δx )2， ΔyΔx ＝－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2，所以limΔx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2＝－8x 3. 由题悟法根据导数的定义，求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)计算导数f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx. 以题试法1．一质点运动的方程为s ＝8－3t 2.(1)求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t ＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解)．解：(1)∵s ＝8－3t 2，∴Δs ＝8－3(1＋Δt )2－(8－3×12)＝－6Δt －3(Δt )2，v ＝ΔsΔt＝－6－3Δt . (2)法一(定义法)：质点在t ＝1时的瞬时速度 v ＝li m Δt →0ΔsΔt＝li m Δt →0 (－6－3Δt )＝－6. 法二(导数公式法)：质点在t 时刻的瞬时速度 v ＝s ′(t )＝(8－3t 2)′＝－6t . 当t ＝1时，v ＝－6×1＝－6.典题导入[例2] 求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1； [自主解答] (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.由题悟法求导时应注意：(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量．(2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使用商的导数法则，减少失误．以题试法2．求下列函数的导数．(1)y ＝e x ·ln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3；解：(1)y ′＝(e x ·ln x )′ ＝e x ln x ＋e x ·1x ＝e x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x . (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.典题导入[例3] (1)(2011·山东高考)曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．15(2)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．－14B ．2C ．4D ．－12[自主解答] (1)y ′＝3x 2，故曲线在点P (1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y －12＝3(x －1)，令x ＝0得y ＝9.(2)∵曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝k ＝2. 又f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，故切线的斜率为4. [答案] (1)C (2)C若例3(1)变为：曲线y ＝x 3＋11，求过点P (0,13)且与曲线相切的直线方程．解：因点P 不在曲线上，设切点的坐标为(x 0，y 0)，由y ＝x 3＋11，得y ′＝3x 2， ∴k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20.又∵k ＝y 0－13x 0－0，∴x 30＋11－13x 0＝3x 20. ∴x 30＝－1，即x 0＝－1. ∴k ＝3，y 0＝10.∴所求切线方程为y －10＝3(x ＋1)，即3x －y ＋13＝0.由题悟法导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知切线过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)求切点，设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f ′(x 0)求解．以题试法3．(1)(2012·新课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________． (2)(2013·乌鲁木齐诊断性测验)直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．1解析：(1)y ′＝3ln x ＋1＋3，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.(2)设切点的坐标为⎝⎛⎭⎫a ，－12a ＋ln a ，依题意，对于曲线y ＝－12x ＋ln x ，有y ′＝－12＋1x ，所以－12＋1a ＝12，得a ＝1.又切点⎝⎛⎭⎫1，－12 在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝12＋b ，得b ＝－1. 答案：(1)y ＝4x －3 (2)B1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)．2．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A.194 B.174 C.154D.134解析：选D ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134.3． (2012·哈尔滨模拟)已知a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x 的导函数f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为( )A ．y ＝－3xB ．y ＝－2xC ．y ＝3xD ．y ＝2x解析：选B ∵f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －2. ∵f ′(x )为偶函数，∴a ＝0. ∴f ′(x )＝3x 2－2.∴f ′(0)＝－2.∴曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－2x .4．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．－2D ．2解析：选A ∵y ′＝－sin 2x －(1＋cos x )cos x sin 2x ＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′|x ＝π2＝－1.由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1.5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3解析：选B 设P (x 0，y 0)到直线y ＝x －2的距离最小，则y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1.得x 0＝1或x 0＝－12(舍)．∴P 点坐标(1,1)．∴P 到直线y ＝x －2距离为d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.6．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )为常数函数D ．f (x )＋g (x )为常数函数解析：选C 由f ′(x )＝g ′(x )，得f ′(x )－g ′(x )＝0，即[f (x )－g (x )]′＝0，所以f (x )－g (x )＝C (C 为常数)．7．(2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x －2f ′(－1)x ＋3，f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8.答案：88．(2012·辽宁高考)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．解析：易知抛物线y ＝12x 2上的点P (4,8)，Q (－2,2)，且y ′＝x ，则过点P 的切线方程为y ＝4x －8，过点Q 的切线方程为y ＝－2x －2，联立两个方程解得交点A (1，－4)，所以点A 的纵坐标是－4.答案：－49．(2012·黑龙江哈尔滨二模)已知函数f (x )＝12x －14sin x －34cos x 的图象在点A (x 0，y 0)处的切线斜率为1，则tan x 0＝________.解析：由f (x )＝12x －14sin x －34cos x 得f ′(x )＝12－14cos x ＋34sin x ，则k ＝f ′(x 0)＝12－14cos x 0＋34sin x 0＝1，即32sin x 0－12cos x 0＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫x 0－π6＝1. 所以x 0－π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得x 0＝2k π＋2π3，k ∈Z.故tan x 0＝tan ⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3＝tan 2π3＝－ 3. 答案：－ 310．求下列函数的导数． (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′ ＝tan x ＋x ·⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋x cos 2x. (2)y ′＝(x ＋1)′(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.11．已知函数f (x )＝x －2x ，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线．解：根据题意有曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′(1)＝3，曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′(1)＝－a .所以f ′(1)＝g ′(1)，即a ＝－3.曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －f (1)＝3(x －1)，得：y ＋1＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －4＝0. 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －g (1)＝3(x －1)．得y ＋6＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －9＝0，所以，两条切线不是同一条直线．12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，当曲线y ＝f (x )斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行时，求a 的值．解：f ′(x )＝3x 2＋2ax －9＝3⎝⎛⎭⎫x ＋a 32－9－a 23，即当x ＝－a 3时，函数f ′(x )取得最小值－9－a 23，因斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，即该切线的斜率为－12，所以－9－a 23＝－12，即a 2＝9，即a ＝±3.1．(2012·商丘二模)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(0)＝( )A ．0B ．26C ．29D ．212解析：选D ∵f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)， ∴f ′(x )＝x ′(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′ ＝(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′，∴f ′(0)＝(－a 1)·(－a 2)·…·(－a 8)＋0＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212. 2．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 012⎝⎛⎭⎫π2＝________. 解析：f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ，以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )，又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 012⎝⎛⎭⎫π2＝503f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋f 3⎝⎛⎭⎫π2＋f 4⎝⎛⎭⎫π2＝0. 答案：03．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l ，根据以下条件求l 的方程．(1)直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点； (2)直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P .解：(1)由f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0，故所求的直线方程为y ＝－2.(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3. 又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表示为y 0－(－2)x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1，所以x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3，即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)(x 0－1)．解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝3⎝⎛⎭⎫14－1＝－94. 所以l 的方程为y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，则⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20·(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.【基础自测】1.（2013全国高考）已知曲线124++=ax x y 在点)2,1(+-a 处的切线的斜率为8，则a =（）A.9B.6C.-9D.-62.（2014宁夏一模）如果过曲线12++=x x y 上的点P 处的切线平行于直线2+=x y ，那么点P 的左标为（）A.（1,0）B.（0,-1） B.（0,1） D.（-1,0）3.（2013惠州一模）设P 为曲线C ：322++=x x y 上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为]4,0[π，则点P 横坐标的取值范围为（） A.]21,1[-- B.]0,1[- C.]1,0[ D.]1,21[4.（2013宁夏联考）已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导数为)('x f ，且0)0('>f ，对于任意实数x 都有0)(≥x f ，则)0()1('f f 的最小值为（） A.3 B.25 C.2 D.23.)1()1(lim,2)1(1)(1'的值求处可导，且在】设函数【例hh f h f f x x f --+==x f D. x fx f B. x f x x f x x f x x f )()(.C )()(.A )()(lim,)(000'0'000--∆-∆-）等于（则处可导在【变式】设函数.)0,1()2(1)1(.123的切线方程求曲线过点处的切线方程；求曲线在】已知曲线【例--=+=x x y。

(北师大版)2020版高考文科数学一轮复习变化率与导数导数的计算文课后训练题含解析

课后限时集训(十三)(建议用时：60分钟) A 组基础达标一、选择题1．已知函数f (x )＝x －exx，f ′(x )是f (x )的导函数，则f ′(1)－f (1)＝( )A ．2B ．eC ．1D ．－e B [f ′(x )＝1－exx －1x 2，则f ′(1)＝1，又f (1)＝1－e ，所以f ′(1)－f (1)＝1－(1－e)＝e ，故选B.]2．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0C [由于y ′＝e －1x，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0，故选C ．]3．曲线y ＝x e x在点(1，e)处的切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，则a b的值为( ) A ．－12eB ．－2eC ．2eD ．12eD [y ′＝e x＋x e x ，则y ′|x ＝1＝2e.∵曲线在点(1，e)处的切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，∴－a b ＝－12e ，∴a b ＝12e.]4．(2019·广州模拟)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C ．1eD ．－1eC [设切点坐标为(x 0，y 0)，由y ′＝1x 得y ′|x ＝x 0＝1x 0，由题意知y 0x 0＝1x 0，即y 0＝1，∴ln x 0＝1，解得x 0＝e ，因此切线的斜率为1e，故选C ．]5．已知奇函数y ＝f (x )在区间(－∞，0]上的解析式为f (x )＝x 2＋x ，则曲线y ＝f (x )在横坐标为1的点处的切线方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．3x －y －1＝0D ．3x －y ＋1＝0B [当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ，又f (－x )＝－f (x )，则－f (x )＝x 2－x ，即f (x )＝－x 2＋x ， ∴f ′(x )＝－2x ＋1，∴f ′(1)＝－1，又f (1)＝0.因此所求切线方程为y ＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0，故选B.] 二、填空题6．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．3 [因为f (x )＝(2x ＋1)e x，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x，所以f ′(0)＝3e 0＝3.]7．若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________.12 [因为y ′＝2ax －1x ，所以y ′|x ＝1＝2a －1.因为曲线在点(1，a )处的切线平行于x 轴，故其斜率为0，故2a －1＝0，a ＝12.]8．如图所示，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.0 [由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.]三、解答题9．已知函数f (x )＝13x 3＋43.(1)求函数f (x )在点P (2,4)处的切线方程； (2)求过点P (2,4)的函数f (x )的切线方程．[解] (1)根据已知得点P (2,4)是切点且y ′＝x 2， ∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′| x ＝2＝4， ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′| x ＝x 0＝x 20，∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43.∵点P (2,4)在切线上， ∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0， ∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.10．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围．[解] (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53，所以斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，斜率k ＝－1，所以切线方程为x ＋y －113＝0.(2)由(1)得k ≥－1，所以tan α≥－1，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.B 组能力提升1．(2019·青岛模拟)若函数y ＝f (x )的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质，下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3A [若y ＝f (x )的图像上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，使得函数图像在这两点处的切线互相垂直，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A ：y ′＝cos x ，若有cos x 1·cos x 2＝－1，则当x 1＝2k π，x 2＝2k π＋π(k ∈Z )时，结论成立；对于B ：y ′＝1x ，若有1x 1·1x 2＝－1，即x 1x 2＝－1，∵x >0，∴不存在x 1，x 2，使得x 1x 2＝－1；对于C ：y ′＝e x，若有e x 1·e x 2＝－1，即e x 1＋x 2＝－1.显然不存在这样的x 1，x 2；对于D ：y ′＝3x 2，若有3x 21·3x 22＝－1，即9x 21x 22＝－1，显然不存在这样的x 1，x 2. 综上所述，选A ．]2．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为( )A ．y ＝12x 3－12x 2－xB ．y ＝12x 3＋12x 2－3xC ．y ＝14x 3－xD ．y ＝14x 3＋12x 2－2xA [设三次函数的解析式为y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，则y ′＝3ax 2＋2bx ＋c .由已知得y ＝－x 是函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 在点(0,0)处的切线，则y ′|x ＝0＝－1⇒c ＝－1，排除选项B 、D.又∵y ＝3x －6是该函数在点(2,0)处的切线，则y ′|x ＝2＝3⇒12a ＋4b ＋c ＝3⇒12a ＋4b －1＝3⇒3a ＋b ＝1.只有A 选项的函数符合，故选A ．]3．(2019·武汉模拟)已知函数f (x ＋1)＝2x ＋1x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________．1 [f (x ＋1)＝2x ＋1－1x ＋1，故f (x )＝2x －1x ，即f (x )＝2－1x，对f (x )求导得f ′(x )＝1x2，则f ′(1)＝1，故所求切线的斜率为1.]4．已知函数f (x )＝x －2x，g (x )＝a (2－ln x )(a ＞0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．[解] 根据题意有f′(x)＝1＋2x2，g′(x)＝－ax.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)，所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0. 曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以，两条切线不是同一条直线．。

2020届高考数学一轮复习：课时作业13《变化率与导数、导数的计算》(含解析)

课时作业13 变化率与导数、导数的计算1．(2019·湖南株洲模拟)设函数y ＝x sin x ＋cos x 的图象在点(t ，f (t ))处的切线斜率为g (t )，则函数y ＝g (t )图象的一部分可以是( A )解析：由y ＝x sin x ＋cos x 可得y ′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，则g (t )＝t cos t ，g (t )是奇函数，排除选项B ，D ；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝g (t )＞0，排除选项C ，故选A.2．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－3t 2＋8t ，那么速度为零的时刻是( D )A ．1秒末B ．1秒末和2秒末C ．4秒末D ．2秒末和4秒末解析：s ′(t )＝t 2－6t ＋8，由导数的定义知v ＝s ′(t )，令s ′(t )＝0，得t ＝2或4，即2秒末和4秒末的速度为零．3．(2019·河南林州一中调研)函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)－ln x ，则f ′(2)的值为( B )A.74 B ．－74 C.94D ．－94解析：∵f (x )＝x 2＋3xf ′(2)－ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)－1x ，令x ＝2，得f ′(2)＝4＋3f ′(2)－12，解得f ′(2)＝－74，故选B.4．(2019·广西五市联考)已知e 为自然对数的底数，曲线y ＝a e x＋x 在点(1，a e ＋1)处的切线与直线2e x －y －1＝0平行，则实数a ＝( B )A.e －1eB.2e －1e C.e －12eD.2e －12e解析：∵y ′＝a e x ＋1，∴切线的斜率为y ′|x ＝1＝a e ＋1，又切线与直线2e x －y －1＝0平行， ∴a e ＋1＝2e ，解得a ＝2e －1e .5．(2019·广州模拟)设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( D )A ．(0,0)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1) 解析：∵f (x )＝x 3＋ax 2，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ，∵曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，∴3x 20＋2ax 0＝－1，∵x 0＋x 30＋ax 20＝0，解得x 0＝±1， ∴当x 0＝1时，f (x 0)＝－1，当x 0＝－1时，f (x 0)＝1.故选D.6．(2019·广东深圳模拟)设函数f (x )＝x ＋1x ＋b ，若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处的切线经过坐标原点，则ab ＝( D )A ．1B ．0C ．－1D ．－2解析：由题意可得，f (a )＝a ＋1a ＋b ，f ′(x )＝1－1x 2，所以f ′(a )＝1－1a 2，故切线方程是y －a －1a －b ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1a 2(x －a )，将(0,0)代入得－a －1a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 2(－a )，故b ＝－2a ，故ab ＝－2，故选D.7．(2019·乐山模拟)已知函数f (x )＝e 2x －2e x ＋ax －1，曲线y ＝f (x )上存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围为( B )A ．(3，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，72 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72 D ．(0,3)解析：f (x )＝e 2x －2e x ＋ax －1的导函数为f ′(x )＝2e 2x －2e x ＋a ，由题意可得2e 2x－2e x＋a ＝3的解有两个，即有⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －122＝7－2a4，即为e x＝12＋7－2a 2或e x＝12－7－2a 2，即有7－2a ＞0且7－2a ＜1，解得3＜a ＜72.8．(2016·山东卷)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( A )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3解析：设函数y ＝f (x )图象上的两点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则由题意知只需函数y ＝f (x )满足f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1即可．y＝f (x )＝sin x 的导函数为f ′(x )＝cos x ，则f ′(0)·f ′(π)＝－1，故函数y ＝sin x 具有T 性质；y ＝f (x )＝ln x 的导函数为f ′(x )＝1x ，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝1x 1x 2＞0，故函数y ＝ln x 不具有T 性质；y ＝f (x )＝e x 的导函数为f ′(x )＝e x ，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝e x 1＋x 2＞0，故函数y ＝e x 不具有T 性质；y＝f (x )＝x 3的导函数为f ′(x )＝3x 2，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝9x 21x 22≥0，故函数y ＝x 3不具有T 性质．故选A.9．(2019·大庆模拟)函数f (x )＝x e x 的图象在点P (1，e)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 e 4 .解析：f ′(x )＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)， ∴切线斜率k ＝f ′(1)＝2e ，∴曲线y ＝f (x )在(1，e)处的切线方程为y －e ＝2e(x －1)，即y ＝2e x －e.∵y ＝2e x －e 与坐标轴交于点(0，－e)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，∴y ＝2e x －e 与坐标轴围成的三角形面积S ＝12×e ×12＝e4. 10．(2019·上饶模拟)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为2 .解析：由题意知y ＝x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，当点P 是曲线的切线中与直线y ＝x －2平行的直线的切点时，点P 到直线y ＝x －2的距离最小，如图所示．故令y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1，故点P 的坐标为(1,1)．故点P 到直线y ＝x －2的最小值d min ＝|1－1－2|2＝ 2.11．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )． (1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0，即4a 2＋4a ＋1＞0，所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 12．(2019·福州质检)设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2，知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.13．(2019·达州二诊)已知曲线C 在动点P (a ，a 2＋2a )与动点Q (b ，b 2＋2b )(a ＜b ＜0)处的切线互相垂直，则b －a 的最小值为( A )A ．1B ．2 C. 2D ．－ 2解析：由题意可得曲线y ＝x 2＋2x 上存在两点处的切线互相垂直，由y ＝x 2＋2x 的导数为y ′＝2x ＋2，可得(2a ＋2)(2b ＋2)＝－1，由a＋1＜b ＋1，可得a ＋1＜0，且b ＝1－4(a ＋1)－1，b －a ＝1－4(a ＋1)＋(－a －1)≥2·(－a －1)·1－4(a ＋1)＝2×12＝1，当且仅当1－4(a ＋1)＝－a－1，即a ＝－32，b ＝－12时等号成立，所以b －a 的最小值为1.14．(2019·安徽江南十校联考)若曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝ex a(a ＞0)存在公共切线，则a 的取值范围为( D )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，e 24 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤e 24，2 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 24，＋∞ 解析：曲线y ＝x 2在点(m ，m 2)的切线斜率为2m ，曲线y ＝e xa (a ＞0)在点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，1a e n 的切线斜率为1a e n ，如果两条曲线存在公共切线，那么2m ＝1a e n.又由直线的斜率公式得到2m ＝m 2－1a e nm －n ，则有m ＝2n －2，则由题意知4n －4＝1a e n 有解，即y ＝4x －4，y ＝1a e x的图象有交点．若直线y ＝4x －4与曲线y ＝1a e x 相切，设切点为(s ，t )，则1a e s ＝4，且t ＝4s －4＝1a e s ，可得切点为(2,4)，此时1a ＝4e 2，故要使满足题意，需1a ≤4e 2，则a ≥e 24，故a 的取值范围是a ≥e 24.故选D.15．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为 x ＋4y －2＝0 .解析：y ′＝－e x(e x ＋1)2＝－1e x ＋1e x ＋2，因为e x＞0，所以e x ＋1e x ≥2e x×1e x ＝2(当且仅当e x＝1e x ，即x ＝0时取等号)，则e x＋1e x ＋2≥4，故y ′＝－1e x ＋1e x ＋2≥－14(当x ＝0时取等号)．当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.16．(2019·安徽淮南一模)已知函数f (x )＝x 2－ln x . (1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)在函数f (x )＝x 2－ln x 的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上？若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由．解：(1)由题意可得f (1)＝1，且f ′(x )＝2x －1x ，f ′(1)＝2－1＝1，则所求切线方程为y －1＝1×(x －1)，即y ＝x .(2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，不妨设x 1＜x 2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－1x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 2＝－1，又函数f ′(x )＝2x －1x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，函数的值域为[－1,1]，故－1≤2x 1－1x 1＜2x 2－1x 2≤1，据此有⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－1x 1＝－1，2x 2－1x 2＝1，解得x 1＝12，x 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＝－1，x 2＝－12舍去，故存在两点⎝⎛⎭⎪⎫12，ln2＋14，(1,1)满足题意．。

2019版高考数学(文)一轮复习教师用书：第二章第十节变化率与导数、导数的运算 Word版含答案

第十节变化率与导数、导数的运算1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′| x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式3．(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( )(2)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)因为(ln x )′＝1x ，所以⎝⎛⎭⎫1x ′＝ln x ．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×2．已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．e C.ln 22D ．ln 2解析：选B f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e.3．下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2sin x解析：选B ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝x ′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1－1x 2；(3x )′＝3x ln 3；(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x .4．曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2解析：选A 因为y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2，所以y ′＝x ＋2－x (x ＋2)2＝2(x ＋2)2，y ′|x ＝－1＝2，所以曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，所以所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.5．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x 在点(1,2)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝2x －1x 2，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y ′|x ＝1＝2×1－112＝1，所以切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.。

2019版高考数学文大一轮优选全国讲义：第13讲变化率

第13讲变化率与导数、导数的计算1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为__f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1__，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为__ΔyΔx__.2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数及几何意义(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率__ lim Δx→0ΔyΔx __＝__ lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx __为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝__ lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx__.(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点__(x 0，f (x 0))__处的__切线的斜率__.相应地，切线方程为__y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)__.3．函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝__ lim Δx→f (x ＋Δx )－f (x )Δx __为f (x )的导函数，导函数也记作y ′.4．基本初等函数的导数公式5．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝__f ′(x )±g ′(x )__. (2)[f (x )g (x )]′＝__f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )__. (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝__f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2__(g (x )≠0)．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0)．( × ) (2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ )(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (4)若f (x )＝f ′(a )x 2＋ln x (a >0)，则f ′(x )＝2xf ′(a )＋1x .( √ )解析 (1)错误．应先求f ′(x )，再求f ′(x 0)．(2)正确．如y ＝1是曲线y ＝sin x 的切线，但其交点个数有无数个．(3)错误．如y ＝0与抛物线y 2＝x 只有一个公共点，但是y ＝0不是抛物线y 2＝x 的切线． (4)正确．f ′(x )＝[f ′(a )x 2＋ln x ]′＝[f ′(a )x 2]′＋(ln x )′＝2xf ′(a )＋1x.2．曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( A ) A ．2 B ．－2 C ．12D ．－12解析依题意得y ′＝1＋ln x ，y ′|x ＝e ＝1＋ln e ＝2，所以－1a ×2＝－1，a ＝2.3．某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的速度v (t )对t的变化率(即加速度)是( A )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2解析由v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，得t ＝2时，a (2)＝v ′(2)＝12×2－10＝14(m/s 2)．4．曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为__2x －y ＋1＝0__. 解析 ∵y ′＝3x 2－1，∴y ′|x ＝1＝3×12－1＝2. ∴该切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 5．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为__y ′＝－x sin_x __. 解析 y ′＝(x cos x )′－(sin x )′ ＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .一导数的运算导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开，化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导． (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导． (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．【例1】 (1)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝__－94__.(2)已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π6sin x ＋cos x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝__－1__. 解析 (1)∵f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ， ∴f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x，∴f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12＝3f ′(2)＋92，∴f ′(2)＝－94.(2)∵f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π6sin x ＋cos x ，∴f ′(x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π6cos x －sin x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π6＝32f ′⎝⎛⎭⎫π6－12，∴f ′⎝⎛⎭⎫π6＝－(2＋3)，∴f (x )＝－(2＋3)sin x ＋cos x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝－(2＋3)×12＋32＝－1. 【例2】求下列函数的导数． (1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ；(2)y ＝ln x x ；(3)y ＝tan x ；(4)y ＝3x e x －2x ＋e. 解析 (1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x－x ＝x －12－x 12，∴y ′＝(x －12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln xx 2＝1－ln x x 2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′ ＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x. (4)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x ln 3·e x ＋3x e x －2x ln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.二导数的几何意义若已知曲线过点P (x 0，y 0)，求曲线过点P (x 0，y 0)的切线方程，则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解．(1)点P (x 0，y 0)是切点时，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． (2)点P (x 0，y 0)不是切点时，可分为以下几步完成：第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步：写出过点P ′(x 1，f (x 1))的切线方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)；第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)，由此即可得过点P (x 0，y 0)的切线方程．【例3】 (1)(2017·全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x 在点(1,2)处的切线方程为__y ＝x ＋1__.(2)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为__(1,1)__.(3)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m ＝__－2__.解析 (1)因为y ′＝2x －1x2，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y ′|x ＝1＝2×1－112＝1，所以切线方程为y －2＝x －1，即y ＝x ＋1.(2)由y ′＝e x ，知曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线斜率k 1＝e 0＝1. 设P (m ，n )，又y ＝1x (x >0)的导数y ′＝－1x 2，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2.依题意k 1k 2＝－1，所以m ＝1，从而n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)． (3)∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率k ＝f ′(1)＝1.又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1. 又g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2.1．已知y ＝f (x )是可导函数．如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( B )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析 ∵y ＝f (x )在x ＝3处的切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 2．求下列函数的导数．(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6；(2)y ＝x ·tan x ； (3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)y ＝x －1x ＋1.解析 (1)y ′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－(3x 2)′－(5x )′＋6′＝4x 3－6x －5. (2)y ′＝(x ·tanx )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＋xcos 2x.(3)∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′ ＝3x 2＋12x ＋11. (4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2＝x ＋1－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2. 3．(2018·江苏盐城伍佑中学调研)若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围．解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x.∵函数f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )＝x －a ＋1x ＝0在区间(0，＋∞)上有解，即a ＝x ＋1x在区间(0，＋∞)上有解．∵当x >0时，x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时等号成立，∴a ≥2.故实数a 的取值范围是[2，＋∞)． 4．已知曲线C ：y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4. (1)求曲线C 在横坐标为1的点处的切线方程；(2)第(1)问中的切线与曲线C 是否还有其他公共点，若有，请求出；若没有，请说明理由．解析 (1)∵y ′＝12x 3－6x 2－18x ， ∴k ＝y ′|x ＝1＝12－6－18＝－12.又由x ＝1，得y ＝3－2－9＋4＝－4，∴切点的坐标为(1，－4)． ∴所求切线的方程为y ＋4＝－12(x －1)，即12x ＋y －8＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋y －8＝0，y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4，得3x 4－2x 3－9x 2＋12x －4＝0，整理，得(x －1)2(x ＋2)(3x －2)＝0，∴x ＝1或－2或23.∴切线与曲线C 还有其他公共点，由x ＝－2，得y ＝32；由x ＝23，得y ＝0.∴另外两个点的坐标为(－2,32)，⎝⎛⎭⎫23，0.易错点审题不认真致误错因分析：审题时忽视了曲线“在点P 处的切线”与曲线“过点P 的切线”的不同．【例1】求曲线S ：y ＝f (x )＝2x －x 3过点A (1,1)的切线方程．解析设切点为(x 0，f (x 0))．∵f ′(x )＝2－3x 2，∴切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)，即y ＝(2－3x 20)(x －x 0)＋2x 0－x 30，将点A 的坐标(1,1)代入得1＝(2－3x 20)(1－x 0)＋2x 0－x 30，整理得2x 30－3x 20＋1＝0，即2x 30－2x 20－x 20＋1＝0，∴(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，解得x 0＝1或－12，∴y 0＝1，f ′(x 0)＝－1或y 0＝－78，f ′(x 0)＝54.∴切线方程为y ＝－x ＋2或y ＝54x －14.【跟踪训练1】已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解析 (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5， ∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)·(x －2)，又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)·(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.课时达标第13讲[解密考纲]本考点主要考查导数的计算和曲线的切线问题，涉及导数的问题，离不开导数的计算，所以它是导数中的基础；曲线的切线问题，有时在选择题、填空题中考查，有时会出现在解答题中的第(1)问．一、选择题1．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)＝( D ) A ．2 B ．0 C ．－2D ．－4解析 f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，令x ＝1，则f ′(1)＝2f ′(1)＋2，得f ′(1)＝－2，所以f ′(0)＝2f ′(1)＋0＝－4.2．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(0)＝( D )A ．0B ．26C ．29D ．212解析 ∵f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，∴f ′(x )＝x ′(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)·…·(x －a 8)]′ ＝(x －a 1)·…·(x －a 8)＋x [(x －a 1)·…·(x －a 8)]′， ∴f ′(0)＝(－a 1)·(－a 2)·…·(－a 8)＋0＝a 1·a 2·…·a 8 ＝(a 1·a 8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212.3．已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝12f (x )，则tan 2x 的值是( D )A ．－23B ．－43C ．43D ．34解析因为f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，所以tan x ＝－3，所以tan 2x ＝2tan x1－tan 2x ＝－61－9＝34.故选D ． 4．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( B )A ．⎣⎡⎭⎫0，π4 B ．⎣⎡⎭⎫3π4，π C ．⎝⎛⎦⎤π2，3π4D ．⎣⎡⎭⎫π4，π2解析∵y ＝4e x ＋1，∴y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x(e x )2＋2e x ＋1＝－4e x＋1ex ＋2≥－1⎝⎛⎭⎫当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号，∴－1≤tan α<0. 又∵0≤α<π，∴3π4≤α<π.故选B ．5．函数f (x )＝e x cos x 在点(0，f (0))处的切线方程为( C ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0解析 ∵f ′(x )＝e x cos x ＋e x (－sin x )＝e x (cos x －sin x )，∴f ′(0)＝e 0(cos 0－sin 0)＝1.又∵f (0)＝1，∴f (x )在点(0,1)处的切线方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0.故选C ．6．下面四个图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则f (－1)＝( D )A ．13B ．－23C ．73D ．－13或53解析 ∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1， ∴f ′(x )的图象开口向上，则②④排除．若f ′(x )的图象为①，此时a ＝0，f (－1)＝53；若f ′(x )的图象为③，此时a 2－1＝0，又对称轴x ＝－a >0，∴a ＝－1，∴f (－1)＝－13.二、填空题7．曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为__5x ＋y ＋2＝0__.解析由y ＝－5e x ＋3，得y ′＝－5e x ，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5，所以切线方程为y ＋2＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.8．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于__12ln 2__.解析 ∵y ′＝1x ln 2，∴k ＝1ln 2，∴切线方程为y ＝1ln 2(x －1)，∴三角形面积为S ＝12×1×1ln 2＝12ln 2.9．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点坐标为__⎝⎛⎭⎫3，94－3ln 3__. 解析 ∵y ′＝x 2－3x，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＝12，x >0，解得x ＝3.故切点坐标为⎝⎛⎭⎫3，94－3ln 3. 三、解答题10．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．解析 (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． ∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y ＋6＝13(x －2)，即y ＝13x －32. (2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，y 0＝x 30＋x 0－16， ∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又∵直线l 过原点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得x 30＝－8，∴x 0＝－2， ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标(－2，－26)，k ＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． 11．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C ．(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解析 (1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k <0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3<0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．12．(2018·吉林校级联考)设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)设g (x )＝f (x )－x ，证明：函数y ＝g (x )图象上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解析 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2，于是⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，故f (x )＝x －3x . (2)证明：由题意知g (x )＝f (x )－x ＝－3x ，g ′(x )＝3x 2. 设P ⎝⎛⎭⎫x 0，－3x 0为函数y ＝g (x )图象上的任意一点，则过点P 的切线方程为y ＋3x 0＝3x 20(x －x 0)，令x ＝0，则y ＝－6x 0；令y ＝0，则x ＝2x 0，所以过点P 的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为12·⎪⎪⎪⎪－6x 0·|2x 0|＝6，故函数y ＝g (x )图象上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为定值，且定值为6.。

2013届数学高考一轮复习同步训练文科第13讲变化率与导数、导数的运算北师大版选修1-1 Word版含答案

课时作业(十三) [第13讲变化率与导数、导数的运算][时间：35分钟分值：80分]基础热身图K13－11．如图K13－1，函数y ＝f (x )在A 、B 两点间的平均变化率是( )A ．2B ．1C ．－2D ．－12．f (x )＝x ，则f ′(8)等于( )A ．0B ．2 2 C.28D ．－1 3．[2011·青岛模拟] 设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( )A ．e 2B ．ln2 C.ln22D ．e 4．[2011·海淀模拟] 设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为________．能力提升 5．已知物体的运动方程是s ＝13t 3－6t 2＋32t (t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )A ．2秒或4秒B ．2秒或16秒C ．8秒或16秒D ．4秒或8秒6．[2011·湖南卷] 曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12 B.12 C ．－22 D.227．下列图像中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图像，则f (－1)＝( )K13－A.13 B ．－13C.73 D ．－13或538．[2011·潍坊模拟] 若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )A ．－1B ．－2C ．2D ．09．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为________．10．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．11．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数：①f (x )＝x 2＋2x ；②f (x )＝sin x ＋cos x ；③f (x )＝ln x －x ；④f (x )＝－x e x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数的是________．(填序号) 12．(13分)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x－1(a ∈R )．当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程．难点突破 13．(12分)设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．课时作业(十三)【基础热身】1．D [解析] f (1)＝3，f (3)＝1，因此f (3)－f (1)3－1＝－1. 2．C [解析] f (x )＝x 12，f ′(x )＝12x －12＝12x ，f ′(8)＝128＝28. 3．D [解析] f ′(x )＝x ′ln x ＋x (ln x )′＝ln x ＋1，∴f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2，∴ln x 0＝1，∴x 0＝e.4．0 [解析] 由题意得f ′(5)＝li m Δx →0 f (5＋Δx )－f (5)Δx ＝li m Δx →0 f (Δx )－f (0)Δx＝f ′(0)，且f ′(0)＝li m Δx →0 f (Δx )－f (0)Δx ＝－li m Δx →0 f (0－Δx )－f (0)－Δx＝－f ′(0)，f ′(0)＝0，因此f ′(5)＝0. 【能力提升】5．D [解析] 瞬时速度v ＝s ′＝t 2－12t ＋32，令v ＝0可得t ＝4或8.6．B [解析] 对y ＝sin x sin x ＋cos x －12求导得到 y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，当x ＝π4时y ′⎪⎪x ＝π4＝1⎝⎛⎭⎫22＋222＝12. 7．B [解析] f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1＝(x ＋a )2－1，∴y ＝f ′(x )是开口向上，以x ＝－a 为对称轴，(－a ，－1)为顶点的抛物线．∴(3)是对应y ＝f ′(x )的图像．∵由图像知f ′(0)＝0，对称轴x ＝－a >0.∴a 2－1＝0，a <0，∴a ＝－1，∴y ＝f (x )＝13x 3－x 2＋1，∴f (－1)＝－13. 8．B [解析] 由题意知f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，若f ′(1)＝2，即f ′(1)＝4a ＋2b ＝2，从题中可知f ′(x )为奇函数，故f ′(－1)＝－f ′(1)＝－4a －2b ＝－2，故选B.9．4x －y －3＝0 [解析] 设切点坐标为(x 0，y 0)，则4x 30＝4，∴x 0＝1，y 0＝1，即切点坐标为(1,1)，切线的斜率k ＝4，∴l 的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.10．(－∞，0) [解析] 由题意可知f ′(x )＝3ax 2＋1x，又因为曲线存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x ＝0⇒a ＝－13x3(x ＞0)⇒a ∈(－∞，0)． 11．②③④ [解析] 对于①f ′(x )＝2x ＋2，f ″(x )＝2>0，因此①不是凸函数；对于②f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ，∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin x >0，cos x >0， ∴f ″(x )<0，因此②是凸函数；对于③，f ′(x )＝1x －1，f ″(x )＝－1x2<0，因此③是凸函数；对于④，f ′(x )＝－e x －x e x ，f ″(x )＝－e x －e x －x e x ＝－(x ＋2)e x <0，因此④是凸函数．12．[解答] 当a ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2x－1，x ∈(0，＋∞)．所以f ′(x )＝x 2＋x －2x 2，x ∈(0，＋∞)，因此f ′(2)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为1.又f (2)＝ln2＋2，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(ln2＋2)＝x －2，即x －y ＋ln2＝0.【难点突破】13．[解答] (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2，于是⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x . (2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。

2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：13变化率与导数、导数的计算Word版含解析

础巩课时作业13 变化率与导数、导数的计算一、选择题1. (2019 泰安- -模)给出下列结论：1 1 1①若y= log z x,则—xl12；②若丫=飞，贝“ y，=茹；1 2③若f(x) = x2，则f‘ (3)=—刃；④若y= a x(a>0)，则y'= a x lna. 其中正确的个数是(D )A . 1 B. 2C. 3D. 4_ 1 I解析:根据求导公式可知①正确；若y = -£= -x-^,则* Jx-二一―二,所以②正确；若/(兀)二当，则广(算)二2x vx x -2x-31所以广(3)二-务，所以③正确；若y =(e(a >0), 则y f= /hi®所以④正确.因此正确的结论个数是4,故选I).x2. 已知函数f(x) = ^(e是自然对数的底数)，则其导函数f‘ (x) D=(B )1+x 1—xA. 厂B. x~e eC. 1+xD. 1—xx e* —x^x 1 —x解析：函数f(x) = $ 则其导函数f‘ (x)= e2x = er，故选D D DB.3. 若函数f(x) = x3—x+ 3的图象在点P处的切线平行于直线y=2x — 1,则点P 的坐标为(C )A • (1,3)B • (— 1,3)C . (1,3)或(—1,3)D . (1,— 3)解析：f (x)= 3X 2 — 1,令 F (x)= 2,即 3x 2 — 1 = 2? x = 1 或一1, 又 f(1)= 3, f( — 1) = 3,所以 P(1,3)或(— 1,3),经检验，点(1,3), (— 1,3) 均不在直线y = 2x — 1上，故点P 的坐标为(1,3)或(—1,3).4. (2019合肥市质量检测)已知直线2x — y + 1= 0与曲线y = ae T + x 相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值是(B )1 A.2 B . 1 C . 2D . e解析：由题意知丫 = ae x + 1 = 2,则a>0, x = — Ina ,代入曲线方程得y = 1 — lna ,所以切线方程为y —(1 — lna)= 2(x + Ina),即y = 2x + lna + 1 = 2x + 1? a = 1.5. 曲线y = 2lnx 上的点到直线2x — y + 3= 0的最短距离为(A ) A. 5 B . 2 5 C . 3 5D . 2解析：设与直线2x — y + 3= 0平行且与曲线y = 2lnx 相切的直线2 2 方程为 2x — y + m =0.设切点为 P(x °, y o ),Ty ‘ =】，•••斜率k=- = 2, 解得x 0 = 1,因此y °=2ln 1 =0,二切点为P(1,0)，则点P 到直线2x — y—y + 3= 0的最短距离是、!5.+ 3= 0的距离d = |2— 0+引；22 + —1 25, 曲线y = 2lnx 上的点到直线2x6 . （2019福州质检）过点（—1,1）与曲线f（x）= x3—x2—2x+ 1相切的直线有（C ）A . 0条B . 1条C . 2条D . 3条解析：设切点 P(a , a 3-a 1 2-2a +1)，由 f (x) = 3x 2— 2x — 2,当322(a — a — 2a + 1)— 1a ^—1时，可得切线的斜率k = 3a 2— 2a — 2= ,所a —( — 1) 以(3a? — 2a — 2)(a + 1) = a — a — 2a ,即(3a? — 2a — 2)(a + 1) = a(a — 2)(a+ 1),所以a = 1,此时k =— 1•又(—1,1)是曲线上的点且f (— 1)= 3工1 1 1m —；有解，故只要m — e>0，即m>e 即可，故选B.8. 给出定义：设f ‘(x)是函数y = f(x)的导函数，f 〃 (x)是函数f ‘ (x) 的导函数，若方程f 〃 (x) = 0有实数解x o ,则称点(x o , f(x o ))为函数y =f(x)的“拐点”.已知函数f(x) = 3x + 4sinx — cosx 的拐点是皿(心 f(x o ))，则点 M( B )A .在直线y = — 3x 上B .在直线y = 3x 上C .在直线y = — 4x 上D .在直线y = 4x 上解析：f ‘ (x)= 3 + 4cosx + sinx , f 〃 (x) = — 4sinx + cosx ,结合题意知 4sinx 0 — cosx 0 = 0,所以 f(x °) = 3x°,故 M(x ),f(x 。

2020届高考数学(文)一轮复习讲练测专题3.1变化率与导数、导数的计算(讲) 含答案

专题3.1 变化率与导数、导数的计算1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数；4. 能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数。

知识点1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝0lim x ∆→ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0lim x ∆→Δy Δx＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).知识点2.函数y ＝f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函数f ′(x )＝0lim x ∆→f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数.知识点3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos__x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin__x f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a ＞0) f ′(x )＝a x ln__a f (x )＝ln xf ′(x )＝1xf (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1) f ′(x )＝1x ln a若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0). 【特别提醒】1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0.2.⎣⎡⎦⎤1f （x ）′＝－f ′（x ）[f （x ）]2. 3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点. 4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.考点一导数的运算【典例1】(2018·天津卷)已知函数f (x )＝e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为________. 【解析】由题意得f ′(x )＝e x ln x ＋e x ·1x ，则f ′(1)＝e.【答案】e 【方法技巧】1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解。