安徽工业大学复变函数与积分变换客观题4(第四章)

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复变函数与积分变换第四章习题解答

= tat.�!:'(z-2)" -t (;,,2 (z -2)'
Zo
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I 一= Z z 2 3 及一 I- + -z +···,I Z I<) 。故 I+z
1 z-1 = 一 = z -1 I (z 1) 言 (z-1 +2) 了 l + 已 2
(6) arctan z, z =0
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吕＝旱 [1- 子十 (T丁-···+(- 1t'(罕）'+
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1 ” a11+1 a n =0 = lim n =lim (2) R=1/lim ; 11 ---'>«> 1---)00 1 II 00 n+ 1 a＂ all+ [
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扣厂 lim1/ 11 + i I = 1/忒； ---'>
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00
0, 1，
3. 判断下列级数的绝对收敛性与收敛性：
2)
不存在，
lakl, 囡>l, a=l ，囡=l,a
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1.
I 上－；
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3)
解所以
C:,J
1)
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《复变函数与积分变换》习题册

《复变函数与积分变换》习题册合肥工业大学《复变函数与积分变换》校定平台课程建设项目资助2018年9月《复变函数与积分变换》第一章习题1.求下列各复数的实部、虚部、模、辐角和辐角主值:（1）122345i i i i +---；（2）312⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.2. 将下列复数写成三角表达式和指数形式:（1）1；（2）21i i+.3. 利用复数的三角表示计算下列各式:（1；（2）103⎛⎫4. 解方程310z +=.5. 设12cos z zθ-+=（0,z θ≠是z 的辐角），求证：2cos n n z z n θ-+=.6.指出满足下列各式的点z 的轨迹或所在范围.（1）arg()4z i π-=；（2）0zz az az b +++=，其中a 为复数，b 为实常数. （选做）7.用复参数方程表示曲线：连接1i +与i 41--的直线段.8.画出下列不等式所确定的图形，指出它们是否为区域、闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连通区域还是多连通区域？并标出区域边界的方向.(1) 11,Re 2z z <≤；(2) 0Re 1z <<；9.函数z w 1=把下列z 平面上的曲线映射成w 平面上怎么样的曲线？（1）224x y +=；（2）x y =；（3）1=x .10.试证：0Re limz z z→不存在.《复变函数与积分变换》第二章习题1.用导数定义求z z f Re )(=的导数.2.下列函数在何处可导，何处不可导？何处解析，何处不解析？（1）z z f 1)(=；（2））32233(3)(y y x i xy x z f -+-=；3.试讨论y ix xy z f 22)(+=的解析性，并由此回答：若复变函数),(),()(y x iv y x u z f +=中的),(y x u 和),(y x v 均可微，那么iv u z f +=)(一定可导吗？4.设3232()(f z my nx y i x lxy =+++）为解析函数，试确定,,l m n 的值.5.设()f z 在区域D 内解析，试证明在D 内下列条件是彼此等价的：（1）()f z =常数；（2）Re ()f z =常数；（3）()f z 解析.6.试解下列方程：（1）1ze =+；（2）0cos =z ；（3）0cos sin =+z z .7.求下列各式的值：（1）Ln(34)i -+；（2）i -33；（3）i e +2.8.等式33Ln 3Ln z z =是否正确？请给出理由.《复变函数与积分变换》第三章习题3.1复积分的概念与基本计算公式1. 计算积分dz ix y x C )(2⎰+-，其中C 为从原点到点1+i 的直线段.2．计算积分dz z zC ⎰的值，其中C 为2=z3.当积分路径是自i -沿虚轴到i ，利用积分性质证明：2)(22≤+⎰-dz iy x i i3.2柯西古萨基本定理1.计算积分dz z C ⎰1,其中C 为2=z2. 计算积分dz z e z C z)sin (⎰⋅-,其中C 为a z =.3.3基本定理的推广1. 计算积分dz z e Cz⎰,其中C 为正向圆周2=z 与负向圆周1=z 所组成。

复变函数与积分变换习题册(含答案)

第1章复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为。

2、k 为任意整数，则34+k 的值为。

3、复数i i (1)-的指数形式为。

4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划） 1、2121z z z z +=+ （）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （）3、()()i i i 125432+=++ （）三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（）（A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（）。

(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。

安徽工业大学复变函数与积分变换客观题4（第四章）

安徽工业大学复变函数与积分变换客观题4（第四章）测验题4第四章级数一、选择题：1．设),2,1(4)1( =++-=n n nia n n ，则n n a ∞→lim ( ) （A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于i （D ）不存在2．下列级数中，条件收敛的级数为( )（A ）∑∞=+1)231(n ni （B ）∑∞=+1!)43(n n n i （C ）∑∞=1n n n i （D ）∑∞=++-11)1(n n n i3．下列级数中，绝对收敛的级数为( )（A ）∑∞=+1)1(1n n in （B ）∑∞=+-1]2)1([n n n i n(C)∑∞=2ln n n n i （D ）∑∞=-12)1(n nnn i 4．若幂级数∑∞=0n n nz c在i z 21+=处收敛，那么该级数在2=z 处的敛散性为( )（A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）不能确定5．设幂级数∑∑∞=-∞=01,n n n n nn znc z c 和∑∞=++011n n n z n c 的收敛半径分别为321,,R R R ，则321,,R R R 之间的关系是( )（A ）321R R R << （B ）321R R R >> （C ）321R R R <= （D ）321R R R == 6．设10<∑∞=02n n n z q 的收敛半径=R ( )（A ）q （B ）q1（C ）0 （D ）∞+ 7．幂级数∑∞)2(2sinn n z n n π的收敛半径=R ( )（A ） 1 （B ）2 （C ）2 （D ）∞+8．幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<="">（A ）)1ln(z + （B ）)1ln(z -（D ）z +11ln(D) z-11ln 9．设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ，那么幂级数∑∞=0n n n z c 的收敛半径=R ( )（A ）∞+ （B ）1 （C ）2π（D ）π 10．级数+++++22111z z z z的收敛域是( ) （A ）1<<<="">11．函数21z 在1-=z 处的泰勒展开式为( ) （A ）)11()1(11<++-∑∞=-z z n n n n（B ）)11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n（C ）)11()1(11<++-∑∞=-z z n n n （D ）)11()1(1 1<++∑∞=-z z n n n12．函数z sin ，在2π=z 处的泰勒展开式为( )（A ）)2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n（B ）)2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n nn（C ）)2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n（D ）)2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n nn13．设)(z f 在圆环域201:R z z R H <-<内的洛朗展开式为∑∞-∞=-n n nz z c)(0，c 为H 内绕0z 的任一条正向简单闭曲线，那么=-?c dz z z z f 20)()(( )(A)12-ic π （B ）12ic π （C ）22ic π （D ）)(20z f i 'π14．若?--==-+= ,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ，则双边幂级数∑∞-∞=n nn z c 的收敛域为( ) （A ）3141<<<="">+∞<<="" 41="" p="" （d="" ）+∞<115．设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个，那么=m ( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 二、填空题 1．若幂级数∑∞=+0)(n n ni z c在i z =处发散，那么该级数在2=z 处的收敛性为．2．设幂级数∑∞=0n nnz c与∑∞=0)][Re(n n n z c 的收敛半径分别为1R 和2R ，那么1R 与2R 之间的关系是． 3．幂级数∑∞=+012)2(n n nz i 的收敛半径=R4．设)(z f 在区域D 内解析，0z 为内的一点，d 为0z 到D 的边界上各点的最短距离，那么当dz z <-0时，∑∞=-=0)()(n n nz z cz f 成立，其中=n c ．5．函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为． 6．设幂级数∑∞=0n nnzc的收敛半径为R ，那么幂级数∑∞=-0)12(n n n nz c 的收敛半径为．7．双边幂级数∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 的收敛域为．8．函数zz e e 1+在+∞<<<0内的洛朗展开式为∑∞<="" cot="" p="" z="" 在原点的去心邻域r="" ．="">-∞=n n nz c，那么该洛朗级数收敛域的外半径=R ． 10．函数)(1i z z -在+∞<-答案第四章级数一、1．（C ）2．（C ）3．（D ）4．（A ）５．（D ）６．（D ）７．（B ）８．（A ）９．（C ） 10．（B ）11．（D ） 12．（B ） 13．（B ） 14．（A ） 15．（C ）二、1．发散 2．12R R ≥ 3．224．),2,1,0()(!10)( =n z f n n 或（)0,2,1,0()()(21010d r n dz z z z f ir z z n <<=-π?=-+ ） 5．)1(12)1(012<+-∑∞=+z z n n n n 6．2R 7．211<-<z< p=""> 8．n n n n z n z n ∑∑∞=∞=+00!11!1 9．π 10．∑∞=+--02)()1(n n nn i z i</z<>。

复变函数与积分变换五套试题及答案

Re s[ f (z),2] lim z 1 1 z2 2z 2 2
（2 分）（2 分）（2 分）
7
Re s[ f (z), ] 1
（1 分）
6．解：原式（3
分）
2iRe

s
z
ze z 2
1
,1

Re s
z
ze z 2
1
,1
zi i（ cos z）zi i cos i = ich1
五、1．解：
f
(z)
（1分）
1 (z i)

z
1 i
i

（1分） 1 (z i)
1 i 31
1 z
i i

（1分） 1 z
i
1 i
n0

z
i
i n
n1

（3分）2i
e 2

e 1 2

2i ch1
（1 分）
7．解：
原式=（2 分）
1 dz =（1 分）
2i dz
| z | 1
2
z2
1
iz
|z|1 z 2 4z 1
2z
=（1 分）
2i
dz
|z|1 (z 2 3)(z 2 3)
数，且 f(0)=0。
三、（10 分）应用留数的相关定理计算
dz
|z|2 z 6 (z 1)(z 3)
四、计算积分（5 分×2）
dz
1． |z|2 z(z 1)
2． cos z c (z i)3
C：绕点 i 一周正向任意简单闭曲线。

复变函数与积分变换考题附答案

答案：一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）1sin )44--+i ππ2、1,1-+--i i3、2104+-=v u4、4+k e ππ5、12+i二、计算与解答题（本大题共8小题，每小题9分，总计72分）1.223e ()d ()==-⎰f z z ξξξξξ，当(1)||3,>z 22023e e ()()d =2[]'|()==-=-⎰z f z i z ξξξξξξπξξ 220222e ()e 212|2()=----==-z z i i z z ξξξξππξ (2)0||3,<<z 122222e e ()()d d -=+-⎰⎰C C z f z z ξξξξξξξξ2222221e e 21222----=+=z z z z i i i z z z πππ(3)0=z ，22033e 2()d (e )''|42!=====⎰i f z i ξξξξπξπξ 2、2()()(,)=++f z x y iv x y φ，由于2(,)()=+u x y x y φ为调和函数，故=-xx yy u u ，即''()2=-y φ，212()=-++y y C y C φ.由C-R 方程，12=,2==-+=-x y y x u x v u y C v 从而得到 132=++v xy C x C . 由于(0)'(0)0==f f ，得1230===C C C . 因此2222()(,)2,()2=-==-+=，y y v x y xy f z x y xyi z φ. 3、将函数21()-=z f z z在将01=z 处展开成泰勒级数，并指出收敛半径. 收敛半径1=R ，即|1|1-<z2101111()(1)()'(1)()'11(1)((1)(1))'(1)(1)∞∞+==-==--=--+-=----=--∑∑n n n nn n z f z z z z z z z z n z4、333241111()cos (1)2!4!2!4!==-+-=-+-z f z z z z z z z z11Re [(),0]4!24==s f z5、扩充复平面内函数3e ()(1e )=-zz f z z 的奇点为,0∞和使10,1,12,0,1,2,-=====±±z z e e z Ln i k k π当220,11(1)(1)2!2!2!=-=-+++=---=---z z z z k e z z z故0=z 是()f z 的四级极点.设()1,(2)0,'(2)0=-=≠z g z e g k i g k i ππ2,1,2,==±±z i k k π是一级极点.又lim 2→∞=∞k k i π，故∞不是孤立奇点.6、841d (2)(5)=--⎰z z z z812Re [(),]2(Re [(),5]Re [(),])===-+∞∑k k i s f z z i s f z s f z ππ851Re [(),5]lim(5)(),Re [(052→=-=∞-），]＝z s f z z f z s f z 所以，原式8152-＝-2iπ7、ℱ0000[()cos ]()cos ()2-+∞+∞---∞-∞+=⋅=⋅⎰⎰i t i t iwtiwte ef t t f t t edt f t e dt ωωωω00()()0011()()[()()]22+∞---+-∞=⋅+⋅=-++⎰i t i tf t e f t e dt F F ωωωωωωωωℱ0000[()cos ]()cos cos |1+∞--=-∞===⎰i t i t t f t t t te dt te ωωωδωω8、两边Laplace 变换得 2()(4)(1)=++sY s s s求逆变换得 4441()c o s s in 171717-=-++t y t e t t 三1、由卷积定理L a t t af t =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰0d )(L ss aF t f 1)(]1*)([⋅=3、由C-R 方程得 '()0=+=-=x x y y f z u iv v iu ，得0====x x y y u v v u ，从而12,==u c v c ，故()f z 在D 内恒为常数.。

复变函数试题库完整

《复变函数论》试题库梅一A111《复变函数》考试试题（一）1、 =-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.（n 为自然数） 2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n ...lim 21______________. 8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z 在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分) 1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3. =-⎰=-1||00)(z z nz z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________.8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________.9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=z e ，则___=z . 9. 若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze.三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z 在|z |<1内根的个数. 四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

复变函数与积分变换试题及答案

复变函数与积分变换试题与答案一、填空（3分×10）1．)31ln(i --的模，幅角。

2．-8i 的三个单根分别为：，，。

3．Ln z 在的区域内连续。

4．z z f =)(的解极域为：。

5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f 。

6．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 。

7．指数函数的映照特点是：。

8．幂函数的映照特点是：。

9．若)(ωF =F [f (t )]，则)(t f = F )][(1ω-f 。

10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]= 。

二、判断题（每题2分，共20分，请在正确的题打“√”，错误的题后打“×”）1．区域Im(z)＞0是无界的单连通的闭区域。

（）2．初等函数在其定义域内解析，可导。

（）3．解析函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )的u(x ,y )与v (x ,y )互为共扼调和函数。

（）4．如果f (z )在z o 解析，那么f (z )在z o 连续。

（）5．如果)(o z f '存在，那么f (z )在z o 解析。

（）6．如果z o 是f (z )的奇点，那么f (z )在z o 不可导。

（）7．如果u (x ,y )，v (x ,y )的偏导数存在，那么f (z )=u +iv 可导。

（）8．每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛。

（）9．幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点。

（）10．在z o 处可导的函数，一定可以在z o 的邻域内展开成泰勒级数。

（）二、计算题(6分×4)1．求p ，m ，n 的值使得函数)()(2323pxy x i y nx my z f +++=为解析函数。

2．求u (x ，y )=y 3－3x 2y 与它的共扼调和函数v (x ，y )构成的解析函数)()()(y x iv y x u z f ，，+=3.⎰=⎪⎭⎫⎝⎛-++4||3211z dz z z （积分沿正向圆周进行）4．dz z ze z z ⎰=-2||21（积分沿正向圆周进行）四、（5分）将下面函数在指定圆环内展为罗朗级数)1(1)(z z z f -= （1<|z |<+∞）五、（5分）求把上半平面保形照为单位圆的分式线性函数。

《复变函数与积分变换》考试试卷(A卷)

20.（12分）将函数在下列范围内展为幂级数或罗朗（Laurent）级数，
（1）；（2）（3）
得分
21.（11分）已知，求常数及二元函数使得为解析函数且满足 .
3．下列级数中，绝对收敛的级数为
（A）（B） (C) （D）
4.若函数在复平面内处处解析，那么实常数
（A）（B）（C）（D）
5. 则下列结论正确的是
（A） (B)
(C) (D)
6.设是从到的直线段，，则积分
（A） (B) (C) (D)
7. 阶零点.
（A） (B) (C) (D)
8.下列命题中，正确的是（）
（A）设在区域D内均为的共轭调和函数，则必有；
(B) ；
(C)以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数；
(D)指数函数是周期函数；
9. 阶极点.
（A） (B) (C) (D)
得分
二、填空题（本大题共有6小题，每题3分，满分18分）
10.复数的辐角主值为；
11．设，则；
12．极限；
13．函数在处展成幂级数为（并注明收敛域）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
得分
答案
1.幂级数在内的和函数为
（A）（B）（C） (D)
2．下列命题不正确的是
（A）是的极点，则在处不可导；
（B）若函数在某点解析，它的各阶导数在该点不一定解析；
（C）若在区域D内解析，则在D内从到的积分与路径无关；
（D）幂级数在其收敛圆内的和函数是解析函数；
；
14．幂级数的收敛半径为；

复变函数与积分变换第四章ppt课件

定理4.4
若
n
收
敛
收
n
敛
，
且
n
n
.
n1
n1
n1
n1
证明 n an ibn an2 bn2
由比较判定法
an an2 bn2 ,
an和
bn均绝对收敛，
n1
n1
bn an2 bn2
n
n
k k ,
k 1
k 1
由定理4.2得
收敛。
n
n1
n n
n1
n1
?
若
收
n
敛
n1
n1
lim
n
n
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b.
证明
“
”已知
lim
n
n
即，
0, N 0,当 n N , 恒有 n
又 n (an a) i(bn b) (an a)2 (bn b)2
an a n bn b n
故
lim
n
a
n
a
,
lim
n
bn
3)
R 1 e
5. 幂级数的运算和性质
代数运算
设
an z n
f (z)
R
r1，
bn z n
g(z)
R
r2
n0
n0
anzn bnzn (an bn )zn f (z) g(z) z R
n0
n0
n0
---幂级数的加、减运算
( anzn ) ( bnzn ) (a0bn a1bn1 a2bn2 anb0 )zn

(完整版)《复变函数》考试试题与答案各种总结

《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）:1.若f （z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z ）在z 0解析. （）2.有界整函数必在整个复平面为常数。

( ) 3。

若}{n z 收敛,则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ）4.若f （z ）在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f （z ）在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. （ ) 6。

若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。

( ） 7。

若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f （z)的可去奇点. ( )8。

若函数f （z ）在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠。

（ ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .（）10.若函数f(z ）在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数。

（）二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2。

=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________。

5。

幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________。

6.若函数f （z ）在整个平面上处处解析，则称它是__________。

7。

若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8。

=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数。

9. zz sin 的孤立奇点为________ .10。

复变函数及积分变换试题及答案

第一套第一套一、选择题（每小题3分，共21分）1. 若（），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。

A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。

2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（）。

A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C +3.2|2|1(2)z dzz -==-⎰（）。

A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（）。

A. 101()2()n n f d c iz ξξπξ+=-⎰ B. 0()!n n f z c n =C. 201()2n k f d c iz ξξπξ=-⎰D. 210!()2()n n k n f d c iz ξξπξ+=-⎰5. z=0是函数zz sin 2的（）。

A.本性奇点B.极点C. 连续点D.可去奇点6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（）。

A.1z zw -=B. z 1z w -=C. zz 1w -= D. z11w -=7. sin kt =（）L （），（()Re 0s >）。

A.22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. ks 1.二、填空题（每小题3分，共18分）1.23(1)i += [1] ；----------------------------------------装--------------------------------------订-------------------------------------线----------------------------------------------------2. 幂级数∑∞=1n nn z ！收敛于 [2] ；3. 设0Z 为复函数）（z f 的可去奇点，则）（z f 在该点处的留数为 [3] . ；4. 通过分式线性映射z kz λωλ-=-（k 为待定复常数）可将 [4] 映射成单位圆内部1ω<；5. 一个一般形式的分式线性映射可由z b ω=+、az ω=、1zω=三种特殊形式的映射复合而成，分别将ω平面看成z 平面的平移映射、旋转与伸缩映射、 [5] ； 6. 求积分()i x e x dx ωδ∞--∞=⎰[6] ；三、判断题（每小题2分，共10分）1. 平面点集D 称为一个区域，如果D 中任何两点都可以用完全属于D 的一条折线连接起来，这样的集合称为连通集。

复变函数与积分变换单元测试及考试答案

得分/总分A.B.3.00/3.00C.D.得分/总分•A.3.00/3.00•B.•C.•D.正确答案：A你选对了3单选(3分)得分/总分•A.•B.3.00/3.00•C.•D.正确答案：B你选对了4单选(3分)得分/总分•A.•B.•C.3.00/3.00•D.正确答案：C你选对了解析函数单元测验返回本次得分为：12.00/12.00, 本次测试的提交时间为：2020-03-08, 如果你认为本次测试成绩不理想，你可以选择再做一次。

1单选(3分)得分/总分•A.3.00/3.00•B.•C.•D.正确答案：A你选对了解析： A、复变函数在一点解析要求函数在该点可导，并且在该点的领域内处处可导。

因此，函数在一点解析能推出函数在该点可导，但是函数在一点可导不能推出在该点解析。

B、复变函数在一点解析要求函数在该点可导，并且在该点的领域内处处可导。

因此，函数在一点解析能推出函数在该点可导，但是函数在一点可导不能推出在该点解析。

C、复变函数在一点解析要求函数在该点可导，并且在该点的领域内处处可导。

因此，函数在一点解析能推出函数在该点可导，但是函数在一点可导不能推出在该点解析。

D、复变函数在一点解析要求函数在该点可导，并且在该点的领域内处处可导。

因此，函数在一点解析能推出函数在该点可导，但是函数在一点可导不能推出在该点解析。

2单选(3分)得分/总分•A.•B.3.00/3.00•C.•D.正确答案：B你选对了解析： B、利用“复变函数中的对数表达式'计算。

其中包含两项：（1）实部为复变数的模取对数；（2）虚部为复变数的辐角。

3单选(3分)得分/总分•A.3.00/3.00•B.•C.•D.正确答案：A你选对了解析： A、利用”乘幂的代数运算式“计算。

4单选(3分)得分/总分•A.3.00/3.00•B.•C.•D.正确答案：A你选对了解析： A、利用”复变函数的指数函数形式“计算。

复变函数积分单元测试返回本次得分为：9.00/12.00, 本次测试的提交时间为：2020-04-12, 如果你认为本次测试成绩不理想，你可以选择再做一次。

复变函数与积分变换考试题

2014年复变函数与积分变换考试题一、选择题（每题2分，共16分）1．设{|1||3}P z z =<<，则P 为【】(A)无界区域 (B) 多连通区域 (C)单连通区域 (D) 闭区域. 2. 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000z x y =+处连续的充要条件是【】 (A) 函数)(z f 在区域D 内可导 (B) 函数),(y x u 在点00,()x y 处连续(C) 函数),(y x v 在点00,()x y 处连续(D) 函数),(y x u 和),(y x v 在点00,()x y 处连续.3. 若),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析，则下列命题中错误的是【】 (A) 函数)(z f 在区域D 内可导(B) 函数),(),,(y x v y x u 是区域D 内的调和函数(C) 函数),(),,(y x v y x u 在区域D 内满足柯西-黎曼方程 (D) 函数),(y x u 是),(y x v 在区域D 内的共轭调和函数 4．设C 为|1|0z r-=>的正向圆周，则1Czdz z =-⎰【】(A) 0 (B) 2i π (C) 1 (D) 4i π5. 下列级数中绝对收敛的是【】(A)1(6+8)!nn i n ∞=∑(B) ∑∞=-1)1(n n(C) ∑∞=1n nni (D)113()2nn i ∞=+∑6．下列函数中以0=z 为本性奇点的是【】(A) 2sin z z z - (B) z z sin (C) z sin 1 (D) 1()z cos 7．函数()h z 在单连通区域D 内解析是函数()h z 在D 内存在原函数的【】 (A) 必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D)既非必要条件也非充分条件.8．指数衰减函数,0()=0,0t e t f t t α-⎧>⎨<⎩（其中α>0）的傅里叶变换是【】(A) 1j αω- (B) 1j αω+ (C) 11j ω+ (D) 1j ωα+二、填空题（每题2分，共14分）9.设复数z=+指数表示为 .10．计算复值函数(1)n i L += .11．已知C 为|1|2z -=的正向圆周，求3z Cedz z=⎰.12．设C 为正向圆周1||=z ,则积分2116Cdz z=-⎰ .13．幂级数61nn zn ∞=+∑的收敛半径 R= .14．映照射2z z ω=+在点1+z i =处的伸缩率是 .15．设k 为实常数， 2()sin f t t kt t =+,则)(t f 的拉普拉斯变换为 .三、计算题（每题5分，共25分）16．讨论函数3232()3(3)f z y x y i x xy =-+-的解析性，其中z x yi =+, 求导函数()f z '.17．利用留数计算43|z|=1/51dz z z-⎰18. 求函数1()(1)(2)F j j ωωω=++的傅里叶逆变换.19. 求函数2221)1)()((ss s G s -=+的拉普拉斯逆变换.20. 求积分值5cos (1)Czdz z π-⎰，其中C 为正向圆周||2z =四、解答题（每题9分,共36分）21. 计算积分22222(1)(2)x dx x x +∞-∞++⎰的值。

成人高考数学复变函数与积分变换考核试卷

C. L{cos(at)} = s/(s²+a²)
D. L{sin(at)} = a/(s²+a²)
（）
6.对于傅里叶变换，以下表述正确的是（）
A.傅里叶变换是一种积分变换
B.傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号
C.傅里叶变换具有线性性质
D. A、B、C都正确
（）
7.以下关于复变函数积分变换的表述，正确的是（）
B. f(z)在z=0处的解析延拓与f(z)在z=0处的解析性质有关
C. f(z)在z=0处的解析延拓的收敛域与f(z)在z=0处的解析性质有关
D. A、B、C都正确
（）
16.以下关于积分变换的表述，正确的是（）
A.积分变换是一种线性变换
B.积分变换可以解决微分方程初值问题
C.积分变换可以简化计算过程
8.拉普拉斯变换可以解决微分方程的初值问题。（）
9.在复变函数中，任何连续函数的积分都是路径无关的。（）
10. Z变换是复变函数积分变换的一种，常用于控制理论。（）
五、主观题（本题共2小题，每题10分，共20分）
1. (10分)请说明复变函数解析的概念，并给出两个解析函数的例子。
2. (10分)请解释傅里叶级数的概念，并说明其在信号处理中的应用。
A.函数在整个复平面上解析
B.函数在一个单连通区域内解析
C.函数在一个多连通区域内解析，但积分路径不包围任何奇点
D.函数在一个多连通区域内解析，积分路径包围了奇点
（）
13.以下哪些是复变函数的应用领域？（）
A.量子力学
B.电路分析
C.流体力学
D.数论
（）
14.关于积分变换的性质，以下哪些是正确的？（）

复变函数与积分变换试题及答案24.

复变函数与积分变换试题与答案一、填空题（每题4分，共20分）1=2、25|z|=1sin d (2)z e z z z =-⎰Ñ3、幂级数nn n z n ∑∞=+1525的收敛半径4、6sin Re [,0]z zs z -＝5、设1,||1;()0,||1,t f t t ≤⎧=⎨>⎩，则付氏变换Φ[()]___________f t =二、单项选择题（每题4分，共20分）1、1z =是函数1()cos 1f z z =-的 A ．极点， B.本性奇点， C.可去奇点， D.一级零点【】2、函数()152243(1)(2)z f z z z =++在复平面上的所有有限奇点处留数的和：A. 1B. 4C. －1D. 2 【】3、设C 为正向圆周||2z =，则积分43[sin ]d (1)zCz ze z z z ++-⎰Ñ等于 A ．24， B ．24i π， C.0， D. 12i π 【】4、设211()sin f z z z z=-，则Res[(),0]f z 为. A ．1， B ．2， C ．0， D ．2i π。

【】5、设3()sin 2tf z e t -=，则拉氏变换Λ[()]f z 为A ．22(3)4s ++， B. 222(3)[(3)4]s s +++， C. 224s +，D. 224(3)[(3)4]s s +++。

【】三、解答下列各题（1-2每小题6分，3-6每小题7分，共40分）1、设b a ,是实数，函数i by ax xy z f )()(22++=在复平面解析，求b a ,。

2、映射zz w 1+=把圆周1||:=z C 变成什么曲线？写出曲线的方程。

3、求积分dz z zC⎰+1sin 2，其中2||:=z C 。

4、求积分101()(2)Cdz z i z +-⎰Ñ，其中3:||2C z =。

复变函数与积分变换试题及答案14

复变函数与积分变换试题与答案一、单项选择题（每题4分，共16分）1、当 ()z f 为下面（）项时，⎰=≠2|z |0dz )z (f ： A 、 e z cosz B 、21)-z (1 C 、 1z 1- D 、π-z 1 2、点 z =21 关于单位圆 | z | = 1 的对称点是（） A 、 1 + i B 、2 C 、 2 i D 、－23、下列各项中o 正o确的是（）A 、| sin z | ≤1B 、 Ln z 2 = 2 Ln zC 、f(z)= e z 的周期是2πiD 、arg z 1z 2 = arg z 1 + arg z 2 4、若z 0是f (z) 的m 阶极点，下列说法o 错o误的是（）A 、z 0是)z (f 1的m 阶零点 B 、)z (f lim o z z →存在 C 、f(z) 在z 0不解析 D 、)z (f lim oz z →= ∞ 二、计算题（每题6分，共30分）1、设 z =i1i 3+ 求 | z | 、 arg z 和 z3、求 Ln （1－ i ）及其主值 ln （1－ i ）2、求 ⎰cz dz 其中 c: z = 0 到 z = 2 + i 的直线段4、设 z = 2 + 2 i ,写出z 的指数表达式，并计算 ( 2 + 2 i )45、求在映射f (z) = z 2 +3z 下，过点z =2i 的光滑曲线C 在该点的转角和伸缩率三、解答题（每题7分，共35分）1、求方程 z 3 － 8 i = 0 的全部三个根1、f (z ) = 2 x 3+3 y 3i 在何处可导? 何处解析？如果可导，求出f '(z).3、求dz )4z )(1z (z e 2|z |2z ⎰=-- （ C 为正向）4、将 f(z) =2)1z )(z 2(1-- 在 0< |z －1| <1 上展开成罗朗级数。

（幂为(z －1）)5、指出 f(z) =6zsinz z - 在有限复平面上的孤立奇点及类型，并求奇点处的留数四、解答题（1、2题6分，3题7分共19分）1、求将上半平面 Im z > 0 保形映照到单位圆 | w | < 1内，且满足 f ( 2 i )= 0，arg ) i 2(f ' =2π 的分式线性映照。

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