第6章 测量误差分析

6.1 测量误差的基本概念
河南科技大学机电学院
现有两块电压表，其中一块为150V量程的 级电压表， 量程的1.5级电压表 *例：现有两块电压表，其中一块为 量程的 级电压表， 另一块为15V的2.5级电压表，欲测量 的 级电压表 欲测量10V左右的电压时， 级电压表， 左右的电压时， 另一块为 左右的电压时 问选用哪块电压表？ 问选用哪块电压表？ 解：由 γ = ×100%得
ˆ 设被测量的估计值为m ，已定系统误差为∆ ，则测量结果为
ˆ y = m−∆±U(测量单位 (置信概率 测量单位) 置信概率) 测量单位 置信概率
如果系统误差已修正， 如果系统误差已修正，则测量结果表示为
ˆ y = m±U (测量单位 (置信概率 测量单位) 置信概率) 测量单位 置信概率
第6章 测量误差分析 章 6.2 随机误差的处理 6.2.1 随机误差的概率分布和特征
6.1 测量误差的基本概念 6.1.2 测量误差的来源 （1）测量设备方面 ） （2）测量方法方面 ） （3）环境方面 ） （3）人为方面 ）
河南科技大学机电学院
标准量具、仪器仪表及附件 标准量具、 的不准确所引起的误差。 的不准确所引起的误差。 测量方法不完善所引起的误 测量方法不完善所引起的误 如近似的测量方法。 差，如近似的测量方法。 温度、湿度、气压、光强、 温度、湿度、气压、光强、磁 场变化等所引起的误差。 场变化等所引起的误差。 所引起的误差 测量人员瞄准、读错、 测量人员瞄准、读错、操作 不当等所引起的误差 所引起的误差。 不当等所引起的误差。
1 n 2 1 n ( i σ = ∑ i = ∑ m − R)2 ∆ n i=1 n i=1 1 n 2 1 n vi = (m −m 2 —— 贝塞尔公式 σ= ∑ ∑ i ) n−1n=1 n−1 i=1
6.2.3 测量列的标准差
河南科技大学机电学院
不同形状的分布曲线所表征的含义是不同的。曲线越陡， 不同形状的分布曲线所表征的含义是不同的。曲线越陡， 随机误差的分布就越集中，表明测量精度就越高。 随机误差的分布就越集中，表明测量精度就越高。
p ∆) = (
1
σ 2 π
e
σ −∆2 /(2 2 )
=
1
σ 2 π
e
σ −(m R)2 /(2 2 ) −
6.2.1 随机误差的概率分布和特征
河南科技大学机电学院
服从正态分布的随机误差具有以下特征： 服从正态分布的随机误差具有以下特征：
（1）对称性：绝对值相等的正误差与负误差出现的次 ）对称性： 数相等， 数相等，即 p(+∆) = p(−∆) ； （2）单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现 ）单峰性： 的次数多， 的次数多，即 pmax(∆) = p(0) p(±∆) < p(0) ； ， （3）有界性：随机误差的绝对值不会超过一定界限， ）有界性：随机误差的绝对值不会超过一定界限， 只会出现在一个有限的区间内， 只会出现在一个有限的区间内，即[-kσ,+kσ]。 。 （4）抵偿性：随着测量次数的增加，随机误差的算术 ）抵偿性：随着测量次数的增加， 平均值趋向于零， 平均值趋向于零，即
• 误差以真值为中心，不确定度以被测量的估计值为中心； 误差以真值为中心，不确定度以被测量的估计值为中心； • 误差一般难以定量，不确定度可以定量评定； 误差一般难以定量，不确定度可以定量评定； • 误差分三类，界限模糊，难以严格区分；不确定度分两类， 误差分三类，界限模糊，难以严格区分；不确定度分两类，
m +m +L m + n 1 n 1 2 m= m = ∑ i n n i=1
当测量次数无限增加时，算术平均值必然趋近于真值 。 当测量次数无限增加时，算术平均值必然趋近于真值R。
Q∆ = m − R i i
∑∆i = ∑mi −nR
n
∑mi − ∑∆i ∴R=
n
∑mi →R m=
n
6.2.2 算术平均值和残余误差
∆
L
∆ =γ1L =1.5% 150 = 2.25V × 1 1
∆ =γ2L = 2.5% 15 = 0.375V × 2 2
2.25 δ1 = ×100%= ×100%= 22.5% R 10 ∆ 0.375 2 δ2 = ×100%= ×100%= 3.75% R 10
∆ 1
6.1 测量误差的基本概念
河南科技大学机电学院
由此我们可得出结论： 由此我们可得出结论：如果能够对某一量进行无限多次 测量，就可得到不受随机误差影响的测量值， 测量，就可得到不受随机误差影响的测量值，或其影响很小 可以忽略。这就是当测量次数无限增大时， 可以忽略。这就是当测量次数无限增大时，算术平均值被认 为是最接近于真值的理论依据 的理论依据。 为是最接近于真值的理论依据。 但由于实际上都是有限次测量， 但由于实际上都是有限次测量，处理时我们只能把算术 平均值近似地作为被测量的真值，于是就有残余误差： 平均值近似地作为被测量的真值，于是就有残余误差：
1 n 1 m= ∑ i = ×750.45m = 75.045m m m m n i=1 10
σ=
vi2 ∑
0.00825 m = 0.0303m m m = n−1 10−1
σm =
σ
n
=
0.0303 m = 0.0096m m m 10
6.2 随机误差的处理 6.2.4 测量列的极限误差
河南科技大学机电学院
∆2 − 2 e 2σ
p(∆)
( Qp ∆) =
1
σ 2 π
1
∴p ax = m
σ 2 π
∆
由此可知， ↓，曲线就越平坦， 由此可知，当 σ ↑，越分散，测量精度就越低。 分布就越分散，测量精度就越低。
6.2.3 测量列的标准差
河南科技大学机电学院
6.1 测量误差的基本概念 6.1.4 测量误差的表示方法 绝对误差 表示方法 相对误差 引用误差
河南科技大学机电学院
∆ = m− R=−C
δ=
∆
×100% R
γ = ×100%
L
∆
γ 仪器仪表的准确度等级： 仪器仪表的准确度等级： a =100
在选用仪器仪表时， 在选用仪器仪表时，在合理选用量程的条件下再选合适 的准确度等级，一般应可能在量程的2/3以上使用 以上使用， 的准确度等级，一般应可能在量程的 以上使用，以免产生 较大的相对误差。 较大的相对误差。
河南科技大学机电学院
6.1.5 测量误差的分类 已定系统误差 系统误差 未定系统误差 按特点性质分 随机误差 粗大误差
6.1 测量误差的基本概念 6.1.6 测量不确定度(U)
河南科技大学机电学院
测量不确定度表示测量结果不确定的程度， 测量不确定度表示测量结果不确定的程度，或表征被测 量值的分散性，是对测量结果准确性高低的定量表达。 量值的分散性，是对测量结果准确性高低的定量表达。 测量结果＝被测量的估计值＋ 测量结果＝被测量的估计值＋不确定度 A类评定：通过对一系列观测数据的统计分析来评定。 类评定：通过对一系列观测数据的统计分析来评定。 类评定 B类评定：基于经验或其他信息所认定的概率分布来评定。 类评定： 类评定 基于经验或其他信息所认定的概率分布来评定。 误差与不确定度的区别： 误差与不确定度的区别：
现代检测技术
河南科技大学机电学院
第6章 测量误差分析
6.1 测量误差的基本概念 6.1.1 测量误差及研究的意义
测量误差 = 测量结果 - 真值
（1）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以利 ）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因， 于寻求减小产生误差的途径； 于寻求减小产生误差的途径； （2）正确处理测量和实验数据，合理计算测量结果，以 ）正确处理测量和实验数据，合理计算测量结果， 便于获得更准确、更可靠的测量结果； 便于获得更准确、更可靠的测量结果； （3）合理设计或选用测量仪器、测量条件、测量方法， ）合理设计或选用测量仪器、测量条件、测量方法， 从而获得预期的测量结果。 从而获得预期的测量结果。
界限分明，分析方法简单。 界限分明，分析方法简单。
6.1 测量误差的基本概念 6.1.7 误差公理及测量结果报告
河南科技大学机电学院
误差公理：测量误差是不可避免地存在于一切测量过程中， 误差公理：测量误差是不可避免地存在于一切测量过程中， 一切测量都存在误差” 即“一切测量都存在误差”。 测量结果报告：给出测量单位、 测量结果报告：给出测量单位、被测量的估计值和该估计值 的不确定度及置信概率。 的不确定度及置信概率。
河南科技大学机电学院
随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微小偶然 因素(如仪器仪表中传动部件的间隙和摩擦 如仪器仪表中传动部件的间隙和摩擦、 因素 如仪器仪表中传动部件的间隙和摩擦、连接件的弹性变 形引起的示值不稳定、温度或湿度变化引起的干扰等)构成 构成， 形引起的示值不稳定、温度或湿度变化引起的干扰等 构成， 其大小和符号均无变化规律。但在多次重复测量中， 其大小和符号均无变化规律。但在多次重复测量中，误差值 的总体服从统计规律。 的总体服从统计规律。 实践证明大多数情况下，随机误差服从正态分布， 实践证明大多数情况下，随机误差服从正态分布，也有 非正态分布。 非正态分布。正态分布的概率密度函数为
n→ ∞
∑∆i = 0 lim
n
6.2 随机误差的处理 6.2.2 算术平均值和残余误差
河南科技大学机电学院
对某量进行一系列等精度测量时，由于存在随机误差， 对某量进行一系列等精度测量时，由于存在随机误差， 因此其获得的测量值不完全相同，此时应以算术平均值作为 因此其获得的测量值不完全相同，此时应以算术平均值作为 最后测量结果。 最后测量结果。 次测量所得的值， 设 m , m ,L m为n次测量所得的值，则算术平均值为： , n 次测量所得的值 则算术平均值为： 1 2