2020四川省凉山州中考数学试卷 (word解析版)

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2020年四川省凉山州中考数学试题和答案

四川省凉山州2020年中考数学试卷

四川省凉山州2020年中考数学试卷一、单选题（共12题；共24分）1.（﹣1）2020等于（）A. ﹣2020B. 2020C. ﹣1D. 12.如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（）A. B. C. D.3.点关于x轴对称的点的坐标是（）A. B. C. D.4.已知一组数据1，0，3，-1，x，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是（）A. -1B. 3C. -1和3D. 1和35.一元二次方程x2=2x的解为（）A. x=0B. x=2C. x=0或x=2D. x=0且x=26.下列等式成立的是（）A. B. C. D.7.已知一次函数y =（2m+1）x+m-3的图像不经过第二象限，则m的取值范围（）A. m>-B. m<3C. - <m<3D. - <m≤38.点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段，则线段BD的长为（）A. 10cmB. 8cmC. 8cm或10cmD. 2cm或4cm9.下列命题是真命题的是（）A. 顶点在圆上的角叫圆周角B. 三点确定一个圆C. 圆的切线垂直于半径D. 三角形的内心到三角形三边的距离相等10.如图所示，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（）A. B. C. 2 D.11.如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于，则（）A. B. C. D.12.二次函数的图象如图所示，有如下结论：① ；② ；③；④ （m为实数）．其中符合题意结论的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（共7题；共7分）13.函数y=中，自变量x的取值范围是________ ．14.因式分解：=________.15.如图，的对角线AC、BD相交于点O，交AD于点E，若OA=1，的周长等于5，则的周长等于________．16.如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积为，则半圆的半径OA的长为________．17.如图，矩形OABC的面积为3，对角线OB与双曲线相交于点D，且，则k的值为________．18.关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是________.19.如图，矩形ABCD中，AD=12，AB=8，E是AB上一点，且EB=3，F是BC上一动点，若将沿EF 对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距为________．三、解答题（共9题；共86分）20.解方程：21.化简求值：，其中22.如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．23.某校团委在“五·四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，广三批对全校20个班的作品进行评比在第一批评比中，随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如下两幅不完整的统计图，（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品________件；在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为________；（2）补全条形统计图；（3）第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品在两个不同班级的概率．24.如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分交半圆于点D，过点D作与AC的延长线交于点H．（1）求证：DH是半圆的切线；（2）若，，求半圆的直径．25.如图，点P、Q分别是等边边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．（1）如图1，连接AQ、CP求证：（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．26.如图，已知直线（1）当反比例函数的图象与直线在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围（2）若反比例函数的图象与直线在第一象限内相交于点、，当时，求k的值并根据图象写出此时关的不等式的解集27.如图，的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，、、所对的边分别是a、b、c（1）求证：（2）若，，，利用（1）的结论求AB的长和的值28.如图，二次函数的图象过、、三点（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作轴，交直线CD于Q，当线段PQ 的长最大时，求点P的坐标．答案解析部分一、单选题1.【解析】【解答】解：（﹣1）2020=1，故答案为：D.【分析】根据-1的偶次方是1可以解答.2.【解析】【解答】解：A、圆柱的左视图是矩形，不符合题意；B、三棱锥的左视图是等腰三角形，符合题意；C、三棱柱的左视图是矩形，不符合题意；D、正方体的左视图是矩形（正方形），不符合题意．故答案为：B．【分析】根据左视图是从物体左面看所得到的图形，分别得出四个几何体的左视图，即可解答．3.【解析】【解答】关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变相反数∴点关于x轴对称的点的坐标是（2，-3）故答案为：B【分析】利用平面直角坐标系内，对称坐标的特点即可解答.4.【解析】【解答】解：由题意，得：，解得：，所以这组数据的众数是：﹣1和3．故答案为：C．【分析】先根据平均数的定义求出x的值，再根据众数的定义解答即可．5.【解析】【解答】解：x2=2x，x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，x=0，x﹣2=0，x=0或2，故选C．【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．6.【解析】【解答】A. ，故不符合题意；B. ，故不符合题意；C. ，符合题意；D.∵，∴无意义；故答案为：C．【分析】根据二次根式、绝对值、负指数幂及特殊角的三角函数值即可求解．7.【解析】【解答】当函数图象经过第一，三，四象限时，，解得：－＜m＜3.当函数图象经过第一，三象限时，，解得m＝3.∴－＜m≤3.故答案为：D.【分析】一次函数的图象不经过第二象限，即可能经过第一，三，四象限，或第一，三象限，所以要分两种情况.8.【解析】【解答】如图，∵点C是线段AB的中点，∴AC=BC= AB=6cm当AD= AC=4cm时，CD=AC-AD=2cm∴BD=BC+CD=6+2=8cm；当AD= AC=2cm时，CD=AC-AD=4cm∴BD=BC+CD=6+4=10cm；故答案为：C．【分析】根据题意作图，由线段之间的关系即可求解．9.【解析】【解答】解：A、顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫圆周角，故A不符合题意；B、不在同一条直线上的三点确定一个圆，故B不符合题意；C、圆的切线垂直于过切点的半径，故C不符合题意；D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，故D符合题意；故答案为：D．【分析】根据圆周角的定义、圆的定义、切线的定义，以及三角形内心的性质，分别进行判断，即可得到答案．10.【解析】【解答】如图，取格点E，连接BE，由题意得：，，，∴．故答案选A．【分析】如图，取格点E，连接BE，构造直角三角形，利用三角函数解决问题即可；11.【解析】【解答】如图，过点O作，，设圆的半径为r，∴△OBM与△ODN是直角三角形，，∵等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于，∴, ，∴，，∴，，∴．故答案选B．【分析】过点O作，，设圆的半径为r，根据垂径定理可得△OBM与△ODN是直角三角形，根据三角函数值进行求解即可得到结果．12.【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴是直线x=1，∴，∴b＜0，，故②符合题意；∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴，故①符合题意；∵当x=3时，y＞0，∴9a+3b+c＞0，∵，∴，整理即得：，故③符合题意；∵当x=1时，二次函数y取最小值a+b+c，∴（m为实数），即（m为实数），故④符合题意．综上，正确结论的个数有4个．故答案为：D．【分析】由抛物线的对称轴公式即可对②进行判断；由抛物线的开口方向可判断a，结合抛物线的对称轴可判断b，根据抛物线与y轴的交点可判断c，进而可判断①；由图象可得：当x=3时，y＞0，即9a+3b+c ＞0，结合②的结论可判断③；由于当x=1时，二次函数y取最小值a+b+c，即（m为实数），进一步即可对④进行判断，从而可得答案．二、填空题13.【解析】【解答】解：由题意得，x+1≥0，解得x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．14.【解析】【解答】解：原式= a(a+b)(a-b).故答案为a(a+b)(a-b).【分析】本题考查的是提公因式法和利用平方差公式分解因式.15.【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，AC、BD是对角线，∴O为BD和AC的中点，又∵，∴，，E为AD的中点，又∵OA=1，的周长等于5，∴AE+OE=4，∴，∴的周长= ．故答案为16．【分析】根据已知可得E为AD的中点，OE是△ABD的中位线，据此可求得AB，根据OA=1，的周长等于5，可求得具体的结果．16.【解析】【解答】解：如图，连接点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，为等边三角形，解得：（负根舍去），故答案为：3【分析】如图，连接证明再证明从而可以列方程求解半径．17.【解析】【解答】过D作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N，设D的坐标是（x，y），则DM＝y，DN＝x，∵OB：OD＝5：3，四边形OABC是矩形，∴∠BAO＝90°，∵DM⊥OA，∴DM∥BA，∴△ODM∽△OBA，∴，∴DM＝AB，同理DN＝BC，∵四边形OABC的面积为3，∴AB×BC＝3，∴DM×DN＝xy＝AB× BC＝×3＝，即k＝xy＝．故答案为：．【分析】过D作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N，设D的坐标是（x，y），根据矩形的性质和平行线分线段成比例定理求出DM＝AB，DN＝BC，代入矩形的面积即可求出答案．18.【解析】【解答】解不等式①得，x＞8；解不等式②得，x＜2-4a；∴不等式组的解集为8＜x＜2-4a.∵不等式组有4个整数解，∴12＜2-4a≤13，∴- ≤a＜-【分析】解不等式组求得不等式组的解集，根据不等式组有四个整数解，进而求出a的范围．19.【解析】【解答】解：如图，连接图则＞，为定值，当落在上时，最短，如图，连接，图由勾股定理得：即的最小值为：10故答案为：10【分析】如图，连接利用三角形三边之间的关系得到最短时的位置，如图利用勾股定理计算，从而可得答案．三、解答题20.【解析】【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解．21.【解析】【分析】利用平方差公式，完全平方公式和去括号的法则对原式进行展开化简，然后将代入求值即可．22.【解析】【分析】设正方形的边长为x，表示出AI的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．23.【解析】【解答】解：（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品为6÷25%=24套，∴C班的作品数量为24-4-6-4=10套，故C班的扇形的圆心角的度数为150°故答案为24；150°；【分析】（1）根据B班的作品数量及占比即可求出第一批所抽取的4个班共征集的作品件数，再求出C 班的作品数量，求出其占比即可得到扇形的圆心角的度数；（2）根据C班的作品数量即可补全统计图；（3）根据题意画出树状图，根据概率公式即可求解．24.【解析】【分析】（1）连接OD，先证明OD∥AH，然后根据DH⊥AH，可得OD⊥DH，即可证明；（2）过点O作OE⊥AH于E，由（1）知，四边形ODHE是矩形，可得OE=DH= ，在Rt△AOE中，根据sin∠BAC= ，sin∠BAC= ，可得AO= = × =6，即可求出直径．25.【解析】【分析】（1）根据点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发，可得BQ=AP，结合等边三角形的性质证全等即可；（2）由（1）中全等可得∠CPA=∠AQB，再由三角形内角和定理即可求得∠AMP 的度数，再根据对顶角相等可得的度数；（3）先证出，可得∠Q=∠P，再由对顶角相等，进而得出∠QMC=∠CBP=120°．26.【解析】【分析】（1）根据方程至少有一个交点，得判别式大于或等于0，可得答案；（2）根据韦达定理，可得方程两根的关系，结合，即可求出k的值；进而求出点A、B的横坐标，然后根据反比例函数图象在上方的区域，可得不等式的解集．27.【解析】【分析】(1)根据圆周角的性质作出辅助线构造直角三角形,利用三角函数解出即可求证.(2)利用(1)中的结论代入求出AB,再作BD⊥AC,利用三角函数求出AC的值,再根据(1)的结论求出.28.【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可求解；（2）先求出直线OB的解析式为y= x与线段OB的中点E的坐标，可设直线CD的解析式为y= x+m，再把E点代入即可求出直线CD的解析式；（3）设P的横坐标为t，先联立直线CD与抛物线得到D点的横坐标，得到t的取值，再得到线段PQ关于t的关系式，利用二次函数的性质即可求解．。

四川省凉山州2020年数学中考试题及答案

2020年四川省凉山州数学中考试题一、选择题1．﹣12020＝（）A．1B．﹣1C．2020D．﹣20202．如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（）A．B．C．D．3．点P（2，3）关于x轴对称的点P'的坐标是（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（3，2）4．已知一组数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是（）A．﹣1B．3C．﹣1和3D．1和35．一元二次方程x2＝2x的根为（）A．x＝0B．x＝2C．x＝0或x＝2D．x＝0或x＝﹣2 6．下列等式成立的是（）A．＝±9B．|﹣2|＝﹣+2C．（﹣）﹣1＝﹣2D．（tan45°﹣1）0＝17．若一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（）A．m＞﹣B．m＜3C．﹣＜m＜3D．﹣＜m≤3 8．点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12cm，则线段BD 的长为（）A．10cm B．8cm C．10cm或8cm D．2cm或4cm 9．下列命题是真命题的是（）A．顶点在圆上的角叫圆周角B．三点确定一个圆C．圆的切线垂直于半径D．三角形的内心到三角形三边的距离相等10．如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tan A的值为（）A．B．C．2D．211．如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（）A．2：B．：C．：D．：212．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③3b﹣2c＜0；④am2+bm≥a+b（m为实数）．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13．函数y＝中，自变量x的取值范围是．14．因式分解：a3﹣ab2＝．15．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E，若OA＝1，△AOE的周长等于5，则▱ABCD的周长等于．16．如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积是π，则半圆的半径OA的长为．17．如图，矩形OABC的面积为，对角线OB与双曲线y＝（k＞0，x＞0）相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k的值为．三、解答题（本大题共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．解方程：x﹣＝1+．19．化简求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣（x+2）2+4（x+3），其中x＝．20．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？21．某校团委在“五•四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，分三批对全校20个班的作品进行评比．在第一批评比中，随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如图两幅不完整的统计图．（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品件；在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为；（2）补全条形统计图；（3）第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同班级的概率．22．如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分∠BAC交半圆于点D，过点D作DH⊥AC与AC的延长线交于点H．（1）求证：DH是半圆的切线；（2）若DH＝2，sin∠BAC＝，求半圆的直径．四、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）23．若不等式组恰有四个整数解，则a的取值范围是．24．如图，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为．五、解答题（本大题共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．（1）如图1，连接AQ、CP．求证：△ABQ≌△CAP；（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，∠QMC 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．26．如图，已知直线l：y＝﹣x+5．（1）当反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围．（2）若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线1在第一象限内相交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x2﹣x1＝3时，求k的值，并根据图象写出此时关于x的不等式﹣x+5＜的解集．27．如图，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．（1）求证：＝＝＝2R；（2）若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝4，利用（1）的结论求AB的长和sin∠B的值．28．如图，二次函数y＝ax2+bx+x的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（，）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD 于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．1．B．2．B．3．A．4．C．5．C．6．C．7．D．8．C．9．D．10．A．11．B．12．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13．x≥﹣1．14．a（a+b）（a﹣b）．15．16．16．3．17．12．三、解答题（本大题共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．解：去分母，得：6x﹣3（x﹣2）＝6+2（2x﹣1），去括号，得：6x﹣3x+6＝6+4x﹣2，移项，得：6x﹣3x﹣4x＝6﹣6﹣2，合并同类项，得：﹣x＝﹣2，系数化为1，得：x＝2．19．解：原式＝4x2﹣9﹣（x2+4x+4）+4x+12＝4x2﹣9﹣x2﹣4x﹣4+4x+12＝3x2﹣1，当x＝时，原式＝3×（）2﹣1＝3×2﹣1＝6﹣1＝5．20．解：∵四边形EGFH为正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD⊥BC，∴＝，∴＝，解得：x＝48．答：正方形零件的边长为48mm．21．解：（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品6÷25%＝24（件），则C班级作品数为24﹣（4+6+4）＝10（件），∴在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为360°×＝150°，故答案为：24、150°；（2）补全图形如下：（3）列表如下：A B B C C DA BA BA CA CA DAB AB BB CB CB DBB AB BB CB CB DBC AC BC BC CC DCC AC BC BC CC DCD AD BD BD CD CD由表可知，共有30种等可能结果，其中抽取的作品来自两个不同班级的有26种结果，∴抽取的作品来自两个不同班级的概率为＝．22．（1）证明：连接OD，∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ADO，∴AH∥OD，∵DH⊥AC，∴OD⊥DH，∴DH是半圆的切线；（2）解：连接BC交OD于E，∵AB是半圆AOB的直径，∴∠ACB＝90°，∴四边形CEDH是矩形，∴CE＝DH＝2，∠DEC＝90°，∴OD⊥BC，∴BC＝2CE＝4，∵sin∠BAC＝＝，∴AB＝12，即半圆的直径为12．四、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）23．解：解不等式2x＜3（x﹣3）+1，得：x＞8，解不等式＞x+a，得：x＜2﹣4a，∵不等式组有4个整数解，∴12＜2﹣4a≤13，解得：﹣≤a＜﹣，故答案为：﹣≤a＜﹣．24．解：如图，连接PD，DE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝8，BE＝3，∴AE＝5，∵AD＝12，∴DE＝＝13，由折叠得：EB＝EP＝3，∵EP+DP≥ED，∴当E、P、D共线时，DP最小，∴DP＝DE﹣EP＝13﹣3＝10；故答案为：10．五、解答题（本大题共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．解：（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP＝BQ，在△ABQ与△CAP中，，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；（2）点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC是△ACM的外角，∴∠QMC＝∠ACP+∠MAC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC∵∠BAC＝60°，∴∠QMC＝60°；（3）如图2，点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变理由：同理可得，△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC是△APM的外角，∴∠QMC＝∠BAQ+∠APM，∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°，即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC的度数为120°．26．解：（1）将直线l的表达式与反比例函数表达式联立并整理得：x2﹣5x+k＝0，由题意得：△＝25﹣4k≥0，解得：k≤，故k的取值范围0＜k≤；（2）设点A（m，﹣m+5），而x2﹣x1＝3，则点B（m+3，﹣m+2），点A、B都在反比例函数上，故m（﹣m+5）＝（m+3）（﹣m+2），解得：m＝1，故点A、B的坐标分别为（1，4）、（4，1）；将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝4×1＝4，观察函数图象知，当﹣x+5＜时，0＜x＜1或x＞4．27．【解答】（1）证明：作直径BE，连接CE，如图所示：则∠BCE＝90°，∠E＝∠A，∴sin A＝sin E＝＝，∴＝2R，同理：＝2R，＝2R，∴＝＝＝2R；（2）解：由（1）得：＝，即＝＝2R，∴AB＝＝4，2R＝＝8，过B作BH⊥AC于H，∵∠AHB＝∠BHC＝90°，∴AH＝AB•cos60°＝4×＝2，CH＝BC＝2，∴AC＝AH+CH＝2（），∴sin∠B＝＝＝．28．解：（1）将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x；（2）由点B的坐标知，直线BO的倾斜角为30°，则OB中垂线（CD）与x负半轴的夹角为60°，故设CD的表达式为：y＝﹣x+b，而OB中点的坐标为（，），将该点坐标代入CD表达式并解得：b＝，故直线CD的表达式为：y＝﹣x+；（3）过点P作y轴额平行线交CD于点H，设点P（x，x2﹣x），则点H（x，﹣x+），则PH＝﹣x+﹣（x2﹣x）＝﹣x2﹣x+，∵＜0，故PH有最大值，此时点P的坐标为（﹣，）．。

2020年四川省凉山州中考数学试卷(解析版)

5.一元二次方程 x2=2x 的解为（）
A. x=0
B. x=2
C. x=0 或 x=2
D. x=0 且 x=2
【答案】C
【解析】
【详解】 x2 2x 0,
x x 2 0,
x 0 或 x 2 0,
x1 0, x2 2.
故选 C.
6.下列等式成立的是（）
A. 81 9
B. 5 2 5 2
故选 C．【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知二次根式、绝对值、负指数幂及特殊角的三角函数
值．
7.已知一次函数 y =（2m+1）x+m-3 的图像不经过第二象限，则 m 的取值范围（）
1 A. m>-
2
B. m<3
1 C. - <m<3
2
1 D. - <m≤3
2
【答案】D
【解析】
【分析】
EF 对折后，点 B 落在点 P 处，则点 P 到点 D 的最短距为
．
25.如图，点 P、Q 分别是等边 ABC 边 AB、BC 上的动点（端点除外），点 P、点 Q 以相同的速度，同时
从点 A、点 B 出发．
（1）如图 1，连接 AQ、CP 求证： ABQ CAP （2）如图 1，当点 P、Q 分别在 AB、BC 边上运动时，AQ、CP 相交于点 M， QMC 的大小是否变化？
C.
( 1 )1 2 2
【答案】C
D. (tan 45 1)0 1
【解析】
【分析】
根据二次根式、绝对值、负指数幂及特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】A. 81 9 ，故错误；
B. 5 2 5 2 ，故错误；

2020年四川省凉山州中考数学试卷(含解析)

2020年四川省凉山州中考数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）A卷（共100分）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1．﹣12020＝（）A．1 B．﹣1 C．2020 D．﹣20202．如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（）A．B．C．D．3．点P （2，3）关于x轴对称的点P'的坐标是（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（3，2）4．已知一组数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是（）A．﹣1 B．3 C．﹣1和3 D．1和35．一元二次方程x2＝2x的根为（）A．x＝0 B．x＝2 C．x＝0或x＝2 D．x＝0或x＝﹣26．下列等式成立的是（）A．＝±9 B．|﹣2|＝﹣+2C．（﹣）﹣1＝﹣2 D．（tan45°﹣1）0＝17．若一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（）A．m＞﹣B．m＜3 C．﹣＜m＜3 D．﹣＜m≤38．点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12cm，则线段BD的长为（）A．10cm B．8cm C．10cm 或8cm D．2cm 或4cm9．下列命题是真命题的是（）A．顶点在圆上的角叫圆周角B．三点确定一个圆C．圆的切线垂直于半径D．三角形的内心到三角形三边的距离相等10．如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（）A．B．C．2 D．211．如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（）A．2：B．：C．：D．：212．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③3b﹣2c＜0；④am2+bm≥a+b（m为实数）．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13．函数y＝中，自变量x的取值范围是．14．因式分解：a3﹣ab2＝．15．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E，若OA＝1，△AOE的周长等于5，则▱ABCD的周长等于．16．如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积是π，则半圆的半径OA的长为．17．如图，矩形OABC的面积为，对角线OB与双曲线y＝（k＞0，x＞0）相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k的值为．三、解答题（共32分）18．（5分）解方程：x﹣＝1+．19．（5分）化简求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣（x+2）2+4（x+3），其中x＝．20．（7分）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？21．（7分）某校团委在“五•四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，分三批对全校20个班的作品进行评比．在第一批评比中，随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如图两幅不完整的统计图．（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品件；在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为；（2）补全条形统计图；（3）第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同班级的概率．22．（8分）如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分∠BAC交半圆于点D，过点D作DH⊥AC与AC的延长线交于点H．（1）求证：DH是半圆的切线；（2）若DH＝2，sin∠BAC＝，求半圆的直径．B卷（50分）一、填空题（每小题5分，共10分）23．（5分）若不等式组恰有四个整数解，则a的取值范围是．24．（5分）如图，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC上一动点，若将△EBF 沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为．二、解答题（本大题共4小题，共40分）25．（8分）如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．（1）如图1，连接AQ、CP．求证：△ABQ≌△CAP；（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．26．（10分）如图，已知直线l：y＝﹣x+5．（1）当反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围．（2）若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内相交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x2﹣x1＝3时，求k的值，并根据图象写出此时关于x的不等式﹣x+5＜的解集．27．（10分）如图，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．（1）求证：＝＝＝2R；（2）若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝4，利用（1）的结论求AB的长和sin∠B的值．28．（12分）如图，二次函数y＝ax2+bx+x的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（，）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD 的解析式；（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：﹣12020＝﹣1．故选：B．2．【解答】解：A、圆柱的左视图是矩形，故本选项不符合题意；B、三棱锥的左视图是三角形，故本选项符合题意；C、三棱柱的左视图是矩形，故本选项不符合题意；D、正方体的左视图是正方形，故本选项不符合题意．故选：B．3．【解答】解：点P（2，3）关于x轴对称的点P'的坐标是（2，﹣3）．故选：A．4．【解答】解：∵数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，∴1+0+3﹣1+x+2+3＝7×1，解得x＝﹣1，则这组数据为1，0，3，﹣1，﹣1，2，3，∴这组数据的众数为﹣1和3，故选：C．5．【解答】解：∵x2＝2x，∴x2﹣2x＝0，则x（x﹣2）＝0，∴x＝0或x﹣2＝0，解得x1＝0，x2＝2，故选：C．6．【解答】解：A．＝9，此选项计算错误；B．|﹣2|＝﹣2，此选项错误；C．（﹣）﹣1＝﹣2，此选项正确；D．（tan45°﹣1）0无意义，此选项错误；故选：C．7．【解答】解：根据题意得，解得﹣＜m≤3．故选：D．8．【解答】解：∵C是线段AB的中点，AB＝12cm，∴AC＝BC＝AB＝×12＝6（cm），点D是线段AC的三等分点，①当AD＝AC时，如图，BD＝BC+CD＝BC+AC＝6+4＝10（cm）；②当AD＝AC时，如图，BD＝BC+CD′＝BC+AC＝6+2＝8（cm）．所以线段BD的长为10cm或8cm，故选：C．9．【解答】解：A、顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫圆周角，原命题是假命题；B、不在同一直线上的三点确定一个圆，原命题是假命题；C、圆的切线垂直于过切点的半径，原命题是假命题；D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，是真命题；故选：D．10．【解答】解：如图，连接BD，由网格的特点可得，BD⊥AC，AD＝＝2，BD＝＝，∴tanA＝＝＝，故选：A．11．【解答】解：连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，如图所示：则AH＝BH＝AB，∵正方形ABCD和等边三角形AEF都内接于⊙O，∴∠AOB＝120°，∠AOD＝90°，∵OA＝OD＝OB，∴△AOD是等腰直角三角形，∠AOH＝∠BOH＝×120°＝60°，∴AD＝OA，AH＝OA•sin60°＝OA，∴AB＝2AH＝2×OA＝OA，∴＝＝，故选：B．12．【解答】解：①∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴ab＜0，∵c＜0∴abc＞0故①正确；②∵对称轴x＝﹣＝1，∴2a+b＝0；故②正确；③∵2a+b＝0，∴a＝﹣b，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，∴﹣b﹣b+c＞0∴3b﹣2c＜0故③正确；④根据图象知，当x＝1时，y有最小值；当m为实数时，有am2+bm+c≥a+b+c，所以am2+bm≥a+b（m为实数）．故④正确．本题正确的结论有：①②③④，4个；故选：D．二、填空题13．【解答】解：由题意得，x+1≥0，解得x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．14．【解答】解：a3﹣ab2＝a（a2﹣b2）＝a（a+b）（a﹣b）．15．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，∵OE∥AB，∴OE是△ABD的中位线，∴AB＝2OE，AD＝2AE，∵△AOE的周长等于5，∴OA+AE+OE＝5，∴AE+OE＝5﹣OA＝5﹣1＝4，∴AB+AD＝2AE+2OE＝8，∴▱ABCD的周长＝2×（AB+AD）＝2×8＝16；故答案为：16．16．【解答】解：连接OC、OD、CD．∵△COD和△CBD等底等高，∴S△COD＝S△BCD．∵点C，D为半圆的三等分点，∴∠COD＝180°÷3＝60°，∴阴影部分的面积＝S扇形COD，∵阴影部分的面积是π，∴＝π，∴r＝3，故答案为3．17．【解答】解：设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（5m，5n）．∵矩形OABC的面积为，∴5m•5n＝，∴mn＝．把D的坐标代入函数解析式得：3n＝，∴k＝9mn＝9×＝12．故答案为12．三、解答题18．【解答】解：去分母，得：6x﹣3（x﹣2）＝6+2（2x﹣1），去括号，得：6x﹣3x+6＝6+4x﹣2，移项，得：6x﹣3x﹣4x＝6﹣6﹣2，合并同类项，得：﹣x＝﹣2，系数化为1，得：x＝2．19．【解答】解：原式＝4x2﹣9﹣（x2+4x+4）+4x+12＝4x2﹣9﹣x2﹣4x﹣4+4x+12＝3x2﹣1，当x＝时，原式＝3×（）2﹣1＝3×2﹣1＝6﹣1＝5．20．【解答】解：∵四边形EGFH为正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD⊥BC，∴＝，∴＝，解得：x＝48．答：正方形零件的边长为48mm．21．【解答】解：（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品6÷25%＝24（件），则C班级作品数为24﹣（4+6+4）＝10（件），∴在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为360°×＝150°，故答案为：24、150°；（2）补全图形如下：（3）列表如下：A B B C C DA BA BA CA CA DAB AB BB CB CB DBB AB BB CB CB DBC AC BC BC CC DCC AC BC BC CC DCD AD BD BD CD CD由表可知，共有30种等可能结果，其中抽取的作品来自两个不同班级的有26种结果，∴抽取的作品来自两个不同班级的概率为＝．22．【解答】（1）证明：连接OD，∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ADO，∴AH∥OD，∵DH⊥AC，∴OD⊥DH，∴DH是半圆的切线；（2）解：连接BC交OD于E，∵AB是半圆AOB的直径，∴∠ACB＝90°，∴四边形CEDH是矩形，∴CE＝DH＝2，∠DEC＝90°，∴OD⊥BC，∴BC＝2CE＝4，∵sin∠BAC＝＝，∴AB＝12，即半圆的直径为12．B卷一、填空题23．【解答】解：解不等式2x＜3（x﹣3）+1，得：x＞8，解不等式＞x+a，得：x＜2﹣4a，∵不等式组有4个整数解，∴12＜2﹣4a≤13，解得：﹣≤a＜﹣，故答案为：﹣≤a＜﹣．24．【解答】解：如图，连接PD，DE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝8，BE＝3，∴AE＝5，∵AD＝12，∴DE＝＝13，由折叠得：EB＝EP＝3，∵EP+DP≥ED，∴当E、P、D共线时，DP最小，∴DP＝DE﹣EP＝13﹣3＝10；故答案为：10．二、解答题25．【解答】解：（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP＝BQ，在△ABQ与△CAP中，，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；（2）点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC是△ACM的外角，∴∠QMC＝∠ACP+∠MAC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC∵∠BAC＝60°，∴∠QMC＝60°；（3）如图2，点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变理由：同理可得，△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC是△APM的外角，∴∠QMC＝∠BAQ+∠APM，∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°，即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC的度数为120°．26．【解答】解：（1）将直线l的表达式与反比例函数表达式联立并整理得：x2﹣5x+k＝0，由题意得：△＝25﹣4k≥0，解得：k≤，故k的取值范围0＜k≤；（2）设点A（m，﹣m+5），而x2﹣x1＝3，则点B（m+3，﹣m+2），点A、B都在反比例函数上，故m（﹣m+5）＝（m+3）（﹣m+2），解得：m＝1，故点A、B的坐标分别为（1，4）、（4，1）；将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝4×1＝4，观察函数图象知，当﹣x+5＜时，0＜x＜1或x＞4．27．【解答】（1）证明：作直径BE，连接CE，如图所示：则∠BCE＝90°，∠E＝∠A，∴sinA＝sinE＝＝，∴＝2R，同理：＝2R，＝2R，∴＝＝＝2R；（2）解：由（1）得：＝，即＝＝2R，∴AB＝＝4，2R＝＝8，过B作BH⊥AC于H，∵∠AHB＝∠BHC＝90°，∴AH＝AB•cos60°＝4×＝2，CH＝BC＝2，∴AC＝AH+CH＝2（），∴sin∠B＝＝＝．28．【解答】解：（1）将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x；（2）由点B的坐标知，直线BO的倾斜角为30°，则OB中垂线（CD）与x负半轴的夹角为60°，故设CD的表达式为：y＝﹣x+b，而OB中点的坐标为（，），将该点坐标代入CD表达式并解得：b＝，故直线CD的表达式为：y＝﹣x+；（3）设点P（x，x2﹣x），则点Q（x，﹣x+），则PQ＝﹣x+﹣（x2﹣x）＝﹣x2﹣x+，∵＜0，故PQ有最大值，此时点P的坐标为（﹣，）。

2020年四川省凉山州中考数学试卷附答案

①abc＞0；
②2a+b=0； ③3b-2c＜0； ④am2+bm≥a+b（m 为实数）．
其中正确结论的个数是（）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
二、填空题（本大题共 7 小题，共 30.0 分）
13. 函数 y=
中，自变量 x 的取值范围是______．
14. 因式分解：a3-ab2=______．
23. 某校团委在“五•四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，分三批对全校 20 个班的作品进行评比．在第一批评比中，随机抽取 A、B、C、D 四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如图两幅不完整的统计图．（1）第一批所抽取的 4 个班共征集到作品______件；在扇形统计图中表示 C 班的扇形的圆心角的度数为______；（2）补全条形统计图；（3）第一批评比中，A 班 D 班各有一件、B 班 C 班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作
三、解答题（本大题共 9 小题，共 72.0 分） 20. 解方程：x- =1+ ．
21. 化简求值：（2x+3）（2x-3）-（x+2）2+4（x+3），其中 x= ．
22. 如图，一块材料的形状是锐角三角形 ABC，边 BC=120mm，高 AD=80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？
2020 年四川省凉山州中考数学试卷
题号得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 48.0 分）
1. -12020=（）

凉山州中考数学试卷解析

四川省凉山州2020年中考数学试卷一、选择题（共12小题，满分48分）1．（4分）（2020•凉山州）在实数，，0，，，﹣1.414，有理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：实数．分析：根据有理数是有限小数或无限循环小数，可得答案．解答：解：，0，，﹣1.414，是有理数，故选：D．点评：本题考查了有理数，有理数是有限小数或无限循环小数．2．（4分）（2020•凉山州）下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（）A．B．C．D．考点：对顶角、邻补角分析：根据对顶角的特征，有公共顶点，且两边互为反向延长线，对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A．∠1、∠2没有公共顶点，不是对顶角，故本选项3．（4分）（2020•凉山州）下列计算正确的是（）4．（4分）（2020•凉山州）某班数学学习小组某次测验成绩分别是63，72，49，66，81，53，92，69，则这组数据的极差是（）5．（4分）（2020•凉山州）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=10m，则坡面AB的长度是（）A．15m B．20m C．20m D．10m考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题分析：在Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．解答：解：Rt△ABC中，BC=10m，tanA=1：；∴AC=BC÷tanA=10m，∴AB==20m．故选C．点评：此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．6．（4分）（2020•凉山州）凉山州的人口约有473万人，将473万人用科学记数法表示应为（）A．473×104人B．4.73×106人 C．4.7×106人D．47.3×105人考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于473万有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．解答：解：473万=4 730 000=4.73×106．故选B．点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．7．（4分）（2020•凉山州）如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（）A．1：25 B．1：5 C．1：2.5 D．1：考点：相似多边形的性质分析：根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答．解答：解：∵两个相似多边形面积的比为1：5，∴它们的相似比为1：．故选D．点评：本题考查了相似多边形的性质，熟记性质是解题的关键．8．（4分）（2020•凉山州）分式的值为零，则x的值为（）A．3B．﹣3 C．±3D．任意实数考点：分式的值为零的条件分析：分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．解答：解：依题意，得|x|﹣3=0且x+3≠0，解得，x=3．故选：A．点评：本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．9．（4分）（2020•凉山州）下列图形中阴影部分的面积相等的是（）A．②③B．③④C．①②D．①④考点：抛物线与x轴的交点；正比例函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数系数k的几何意义分析：首先根据各图形的函数解析式求出函数与坐标轴交点的坐标，进而可求得各个阴影部分的面积，进而可比较出个阴影部分面积的大小关系．解答：解：②：直线y=﹣x+2与坐标轴的交点坐标为：（2，0），（0，=×2×2=2；2），故S阴影①：图中的函数为正比例函数，与坐标轴只有一个交点（0，0），由于缺少条件，无法求出阴影部分的面积；④：该抛物线与坐标轴交于：（﹣1，0），（1，0），（0，﹣1），故阴影部分的三角形是等腰直角三角形，其面积S=×2×1=1；③：此函数是反比例函数，那么阴影部分的面积为：S=xy=×4=2；②③的面积相等，故选A．点评：此题主要考查了函数图象与坐标轴交点坐标的求法以及图形面积的求法，是基础题，熟练掌握各函数的图象特点是解决问题的关键．10．（4分）（2020•凉山州）在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C 的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．105°考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理分析：根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C的度数．解答：解：由题意，得 cosA=，tanB=1，∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°．故选：C．点评：此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于基础题，关键是熟记一些特殊角的三角形函数值，也要注意运用三角形的内角和定理．11．（4分）（2020•凉山州）函数y=mx+n与y=，其中m≠0，n≠0，那么它们在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．考点：反比例函数的图象；一次函数的图象分析：根据图象中一次函数图象的位置确定m、n的值；然后根据m、n的值来确定反比例函数所在的象限．解答：解：A、∵函数y=mx+n经过第一、三、四象限，∴m＞0，n＜0，∴＜0，∴函数的y=图象经过第二、四象限．与图示图象不符．故本选项错误；B、∵函数y=mx+n经过第一、三、四象限，∴m＞0，n＜0，∴＜0，∴函数的y=图象经过第二、四象限．与图示图象一致．故本选项正确；C、∵函数y=mx+n经过第一、二、四象限，∴m＜0，n＞0，∴＜0，∴函数的y=图象经过第二、四象限．与图示图象不符．故本选项错误；D、∵函数y=mx+n经过第二、三、四象限，∴m＜0，n＜0，∴＞0，∴函数的y=图象经过第一、三象限．与图示图象不符．故本选项错误．故选：B．点评：本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．12．（4分）（2020•凉山州）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm考点：垂径定理；勾股定理．专题：分类讨论．分析：先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．解答：解：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，当C点位置如图1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM===3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC===4cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5﹣3=2cm，在Rt△AMC中，AC===2cm．故选C．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．二、填空题13．（4分）（2020•凉山州）函数y=+中，自变量x的取值范围是x≥﹣1且x≠0 ．考点：函数自变量的取值范围分析：根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．解答：解：由题意得，x+1≥0且x≠0，解得x≥﹣1且x≠0．故答案为：x≥﹣1且x≠0．点评：本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．14．（4分）（2020•凉山州）顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是菱形．学校的一块菱形花园两对角线的长分别是6m和8m，则这个花园的面积为 24m2．考点：菱形的判定与性质；中点四边形分析：因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．根据菱形的面积公式求出即可．解答：解：连接AC、BD，在△ABD中，∵AH=HD，AE=EB∴EH=BD，同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，又∵在矩形ABCD中，AC=BD，∴EH=HG=GF=FE，∴四边形EFGH为菱形；这个花园的面积是×6m×8m=24m2，故答案为：菱形，24m2．点评：本题考查了菱形的判定和菱形的面积，三角形的中位线的应用，注意：菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．15．（4分）（2020•凉山州）已知x1=+，x2=﹣，则x12+x22= 10 ．考点：二次根式的混合运算．分析：首先把x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，再进一步代入求得数值即可．解答：解：∵x1=+，x2=﹣，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（++﹣）2﹣2（+）（﹣）=12﹣2=10．故答案为：10．点评：此题考查二次根式的混合运算，把代数式利用完全平方公式化简是解决问题的关键．16．（4分）（2020•凉山州）已知一个直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 5或．考点：勾股定理．专题：分类讨论．分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．解答：解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：=；②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为：=5；故第三边的长为：5或．点评：此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解．17．（4分）（2020•凉山州）“服务社会，提升自我．”凉山州某学校积极开展志愿者服务活动，来自九年级的5名同学（三男两女）成立了“交通秩序维护”小分队．若从该小分队任选两名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是．考点：列表法与树状图法分析：画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．解答：解：根据题意画出树状图如下：一共有20种情况，恰好是一男一女的有12种情况，所以，P（恰好是一男一女）==．故答案为：．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．三、解答题18．（6分）（2014•凉山州）计算：（）﹣2﹣6sin30°﹣（）0++|﹣|考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值分析：先算负指数幂，特殊角的三角函数值，0指数幂，以及绝对值，再算乘法，最后算加减，由此顺序计算即可．解答：解：原式=4﹣6×﹣1+﹣+=4﹣3﹣1+=．点评：此题考查负指数幂，特殊角的三角函数值，0指数幂，以及绝对值，二次根式的混合运算，按照运算顺序，正确判定符号计算即可．19．（6分）（2020•凉山州）先化简，再求值：÷（a+2﹣），其中a2+3a﹣1=0．考点：分式的化简求值分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，已知方程变形后代入计算即可求出值．解答：解：原式=÷•=，当a2+3a﹣1=0，即a2+3a=1时，原式=．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．四、解答题20．（8分）（2020•凉山州）州教育局为了解我州八年级学生参加社会实践活动情况，随机抽查了某县部分八年级学生第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据检测了两幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图（如图）请根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）a= 10 %，并写出该扇形所对圆心角的度数为36° ，请补全条形图．（2）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？（3）如果该县共有八年级学生2000人，请你估计“活动时间不少于7天”的学生人数大约有多少人？考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；中位数；众数专题：图表型．分析：（1）根据各部分所占的百分比等于1列式计算即可求出a，再用360°乘以所占的百分比求出所对的圆心角的度数，然后求出8天的人数，补全条形统计图即可；（2）众数和中位数的定义解答；（3）用总人数乘以“活动时间不少于7天”的百分比，计算即可得解．解答：解：（1）a=1﹣（40%+20%+25%+5%）=1﹣90%=10%，所对的圆心角度数=360°×10%=36°，被抽查的学生人数：240÷40%=600，8天的人数：600×10%=60人，补全统计图如图所示：故答案为：10，36°；（2）参加社会实践活动5天的最多，所以，众数是5天，600人中，按照参加社会实践活动的天数从少到多排列，第300人和301人都是6天，所以，中位数是6天；（3）2000×（25%+10%+5%）=2000×40%=800人．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．除此之外，本题也考查了中位数、众数的认识．21．（8分）（2020•凉山州）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质专题：证明题；压轴题．分析：（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因为△ABE 是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF；（2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形．解答：证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC，又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF∴AF=BC，在Rt△AFE和Rt△BCA中，，∴△AFE≌△BCA（HL），∴AC=EF；（2）∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°∴EF∥AD，∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD，∴四边形ADFE是平行四边形．点评：此题是首先利用等边三角形的性质证明全等三角形，然后利用全等三角形的性质和等边三角形的性质证明平行四边形．22．（8分）（2020•凉山州）实验与探究：三角点阵前n行的点数计算如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…容易发现，10是三角点阵中前4行的点数约和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+…+23+24=300．得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系前n行的点数的和是1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n，可以发现．2×[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]=[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]+[n+（n﹣1）+（n﹣2）+…3+2+1]把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n项相加，上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1，整个式子等于n（n+1），于是得到1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n=n（n+1）这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是n（n+1）下列用一元二次方程解决上述问题设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有n（n+1）整理这个方程，得：n2+n﹣600=0解方程得：n1=24，n2=25根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24行的点数的和是300．请你根据上述材料回答下列问题：（1）三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n、…，你能探究处前n行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数的和能使600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．考点：一元二次方程的应用；规律型：图形的变化类分析：（1）由于第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…，则前n行共有（1+2+3+4+5+…+n）个点，然后求它们的和，前n行共有个点，则=600，然后解方程得到n的值；（2）根据2+4+6+…+2n=2（1+2+3+…+n）=2×个进而得出即可；根据规律可得n（n+1）=600，求n的值即可．解答：解：（1）由题意可得：=600，整理得n2+n﹣1200=0，（n+25）（n﹣24）=0，此方程无正整数解，所以，三角点阵中前n行的点数的和不可能是600；（2）由题意可得：2+4+6+…+2n=2（1+2+3+…+n）=2×=n（n+1）；依题意，得n（n+1）=600，整理得n2+n﹣600=0，（n+25）（n﹣24）=0，∴n1=﹣25，n2=24，∵n为正整数，∴n=24．故n的值是24．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．五、解答题23．（8分）（2020•凉山州）如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A1B2C2；（3）如果网格中小正方形的边长为1，求点B经过（1）、（2）变换的路径总长．考点：弧长的计算；作图-平移变换；作图-旋转变换专题：网格型．分析：（1）利用平移的性质画图，即对应点都移动相同的距离；（2）利用旋转的性质画图，对应点都旋转相同的角度．然后利用弧长公式求点B经过（1）、（2）变换的路径总长．解答：解：（1）连接AA1，然后从C点作AA1的平行线且A1C1=AC．同理找到点B．（2）画图正确．（3）；弧B1B2的长=．点B所走的路径总长=．点评：本题主要考查了平移变换、旋转变换的相关知识，做这类题时，理解平移旋转的性质是关键．24．（8分）（2020•凉山州）我州某校计划购买甲、乙两种树苗共1000株用以绿化校园，甲种树苗每株25元，乙种树苗每株30元，通过调查了解，甲，乙两种树苗成活率分别是90%和95%．（1）若购买这种树苗共用去28000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？（2）要使这批树苗的总成活率不低于92%，则甲种树苗最多购买多少株？（3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用．考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用分析：（1）设购甲种树苗x株，乙种树苗y株，根据购买两种树苗的总价为28000元建立方程组求出其解即可；（2）购买甲种树苗a株，则购买乙种树苗（1000﹣a）株，由这批树苗的总成活率不低于92%建立不等式求出其解即可；（3）设购买树苗的总费用为W元，根据总费用=两种树苗的费用之和建立解析式，由一次函数的性质求出结论．解答：解：（1）设购甲种树苗x株，乙种树苗y株，由题意，得，解得：．答：购甲种树苗400株，乙种树苗600株；（2）购买甲种树苗a株，则购买乙种树苗（1000﹣a）株，由题意，得90%a+95%（1000﹣a）≥92%×1000，解得：a≤600．答：甲种树苗最多购买600株；（3）设购买树苗的总费用为W元，由题意，得W=25a+30（1000﹣a）=﹣5a+30000．∴k=﹣5＜0，∴W随a的增大而减小，∵0＜a≤600，∴a=600时，W最小=27000元．∴购买家中树苗600株．乙种树苗400株时总费用最低，最低费用为27000元．点评：本题考查了总价=单价×数量的运用，列二元一次方程解实际问题的运用，一元一次不等式的解法的运用，一次函数的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．六、填空题25．（5分）（2020•凉山州）关于x的方程=﹣1的解是正数，则a的取值范围是 a＞﹣1 ．考点：分式方程的解分析：根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得答案．解答：解：=﹣1，解得x=，=﹣1的解是正数，a＞﹣1，故答案为：a＞﹣1．点评：本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出a的取值范围．26．（5分）（2020•凉山州）如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为 20 cm．考点：平面展开-最短路径问题分析：将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．解答：解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B===20（cm）．故答案为：20．点评：本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．七、解答题27．（8分）（2020•凉山州）已知：如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC （C为切点）和割线PAB，分别交⊙O于A、B，连接AC，BC．（1）求证：∠PCA=∠PBC；（2）利用（1）的结论，已知PA=3，PB=5，求PC的长．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质分析：（1）连结OC，OA，先根据等腰三角形的性质得出∠ACO=∠CAO，再由PC是⊙O的切线，C为切点得出∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，在△AOC中根据三角形内角和定理可知∠ACO+∠CAO+∠AOC=180°，由圆周角定理可知∠AOC=2∠PBC，故可得出∠ACO+∠PBC=90°，再根据∠PCA+∠ACO=90°即可得出结论；（2）先根据相似三角形的判定定理得出△PAC∽△PCB，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．解答：（1）证明：连结OC，OA，∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∵PC是⊙O的切线，C为切点，∴PC⊥OC，∴∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，在△AOC中，∠ACO+∠CAO+∠AOC=180°，∵∠AOC=2∠PBC，∴2∠ACO+2∠PBC=180°，∴∠ACO+∠PBC=90°，∵∠PCA+∠ACO=90°，∴∠PCA=∠PBC；（2）解：∵∠PCA=∠PBC，∠CPA=∠BPC，∴△PAC∽△PCB，∴=，∴PC2=PA•PB，∵PA=3，PB=5，∴PC==．点评：本题考查的是切线的性质，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键．28．（12分）（2020•凉山州）如图①，在平面直角坐标中，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，﹣1），二次函数y=﹣x2的图象为l1．（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过点A，但不过点B．①满足此条件的函数解析式有无数个．②写出向下平移且经点A的解析式 y=﹣x2﹣1 ．（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过A，B两点，所得的抛物线l2，如图②，求抛物线l2的函数解析式及顶点C的坐标，并求△ABC的面积．（3）在y轴上是否存在点P，使S△ABC =S△ABP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题分析：（1）①根据实际情况可以直接写出结果；②设平移以后的二次函数解析式是：y=﹣x2+c，把（1，﹣2）代入即可求得c的值，得到函数的解析式；（2）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（3）过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、EE、F，求得△ABC的面积，然后分当点P位于点G的下方和上方，两种情况进行讨论求解．解答：解：（1）①满足此条件的函数解析式有无数个；②设平移以后的二次函数解析式是：y=﹣x2+c，把（1，﹣2）代入得：﹣1+c=﹣2，解得：c=﹣1，则函数的解析式是：y=﹣x2﹣1；（2）设l2的解析式是y=x2+bx+c，∵l2经过点A（1，﹣2）和B（3，﹣1），根据题意得：，解得：，则l2的解析式是：y=﹣x2+x﹣，则顶点C的坐标是（，﹣）．（3）过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则AD=2，CF=，BE=1，DE=2，DF=，FE=．得：S△ABC =S梯形ABED﹣S梯形BCFE﹣S梯形ACFD=．延长BA交y轴于点G，直线AB的解析式为y=x﹣，则点G的坐标为（0，﹣），设点P的坐标为（0，h）①当点P位于点G的下方时，PG=﹣﹣h，连结AP、BP，则S△AEF =S△EFG﹣S△AFG=﹣﹣h，又∵S△ABC =S△ABP=，得h=﹣，点P的坐标为（0，﹣）．②当点P位于点G的上方时，PG=+h，同理h=﹣，点PP的坐标为（0，﹣）．综上所述所求点P的坐标为（0，﹣）或（0，﹣）点评：本题是待定系数法求函数的解析式，以及函数的平移的综合题，正确理解平移时，函数解析式的变化规律是关键．。

2020年四川省凉山州中考数学试卷

2020年四川省凉山州中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．1．（4分）（2020•凉山州）20201(-= )A ．1B ．1-C ．2020D ．2020-2．（4分）（2020•凉山州）如图，下列几何体的左视图不是矩形的是( )A ．B ．C ．D ．3．（4分）（2020•凉山州）点P (2,3)关于x 轴对称的点P '的坐标是( )A ．(2,3)-B ．(2,3)-C ．(2,3)--D ．(3,2)4．（4分）（2020•凉山州）已知一组数据1，0，3，1-，x ，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是( )A ．1-B ．3C ．1-和3D ．1和35．（4分）（2020•凉山州）一元二次方程22x x =的根为( )A ．0x =B ．2x =C ．0x =或2x =D ．0x =或2x =-6．（4分）（2020•凉山州）下列等式成立的是( )A 819=±B ．52|52=-C ．11()22--=-D ．0(tan 451)1︒-= 7．（4分）（2020•凉山州）若一次函数(21)3y m x m =++-的图象不经过第二象限，则m 的取值范围是( )A ．12m >-B ．3m <C ．132m -<<D ．132m -< 8．（4分）（2020•凉山州）点C 是线段AB 的中点，点D 是线段AC 的三等分点．若线段12AB cm =，则线段BD 的长为( )A ．10cmB ．8cmC ．10cm 或8cmD ．2cm 或4cm9．（4分）（2020•凉山州）下列命题是真命题的是( )A ．顶点在圆上的角叫圆周角B ．三点确定一个圆C ．圆的切线垂直于半径D ．三角形的内心到三角形三边的距离相等10．（4分）（2020•凉山州）如图所示，ABC ∆的顶点在正方形网格的格点上，则tan A 的值为( )A ．12B ．22C ．2D ．2211．（4分）（2020•凉山州）如图，等边三角形ABC 和正方形ADEF 都内接于O ，则:(AD AB = )A ．22:3B ．2:3C ．3:2D ．3:2212．（4分）（2020•凉山州）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有如下结论：①0abc >；②20a b +=；③320b c -<；④2(am bm a b m ++为实数）．其中正确结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13．（4分）（2020•凉山州）函数1y x =+x 的取值范围是．14．（4分）（2020•凉山州）因式分解：32a ab -= ．15．（4分）（2020•凉山州）如图，ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，//OE AB 交AD 于点E ，若1OA =，AOE ∆的周长等于5，则ABCD 的周长等于． 16．（4分）（2020•凉山州）如图，点C 、D 分别是半圆AOB 上的三等分点，若阴影部分的面积是32π，则半圆的半径OA 的长为．17．（4分）（2020•凉山州）如图，矩形OABC 的面积为1003，对角线OB 与双曲线(0,0)k y k x x=>>相交于点D ，且:5:3OB OD =，则k 的值为．三、解答题（本大题共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（5分）（2020•凉山州）解方程：221123x x x ---=+． 19．（5分）（2020•凉山州）化简求值：2(23)(23)(2)4(3)x x x x +--+++，其中2x =．20．（7分）（2020•凉山州）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC ，边120BC mm =，高80AD mm =，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？21．（7分）（2020•凉山州）某校团委在“五四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，分三批对全校20个班的作品进行评比．在第一批评比中，随机抽取A 、B 、C 、D 四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如图两幅不完整的统计图．（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品件；在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为；（2）补全条形统计图；（3）第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同班级的概率．22．（8分）（2020•凉山州）如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分BAC∠交半圆于点D，过点D作DH AC⊥与AC的延长线交于点H．（1）求证：DH是半圆的切线；（2）若25DH=，5sin3BAC∠=，求半圆的直径．四、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）23．（5分）（2020•凉山州）若不等式组23(3)1324x xxx a<-+⎧⎪⎨+>+⎪⎩恰有四个整数解，则a的取值范围是．24．（5分）（2020•凉山州）如图，矩形ABCD中，12AD=，8AB=，E是AB上一点，且3EB=，F是BC上一动点，若将EBF∆沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为．五、解答题（本大题共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（8分）（2020•凉山州）如图，点P、Q分别是等边ABC∆边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．（1）如图1，连接AQ 、CP ．求证：ABQ CAP ∆≅∆；（2）如图1，当点P 、Q 分别在AB 、BC 边上运动时，AQ 、CP 相交于点M ，QMC ∠的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；（3）如图2，当点P 、Q 在AB 、BC 的延长线上运动时，直线AQ 、CP 相交于M ，QMC ∠的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．26．（10分）（2020•凉山州）如图，已知直线:5l y x =-+．（1）当反比例函数(0,0)k y k x x=>>的图象与直线l 在第一象限内至少有一个交点时，求k 的取值范围．（2）若反比例函数(0,0)k y k x x=>>的图象与直线l 在第一象限内相交于点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，当213x x -=时，求k 的值，并根据图象写出此时关于x 的不等式5k x x-+<的解集．27．（10分）（2020•凉山州）如图，O 的半径为R ，其内接锐角三角形ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别是a 、b 、c ．（1）求证：2sin sin sin a b c R A B C===∠∠∠；（2）若60A ∠=︒，45C ∠=︒，43BC =，利用（1）的结论求AB 的长和sin B ∠的值．28．（12分）（2020•凉山州）如图，二次函数2y ax bx x =++的图象过(0,0)O 、(1,0)A 、3(2B ，3)2三点．（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB 的垂直平分线与y 轴交于点C ，与二次函数的图象在x 轴上方的部分相交于点D ，求直线CD 的解析式；（3）在直线CD 下方的二次函数的图象上有一动点P ，过点P 作PQ x ⊥轴，交直线CD 于Q ，当线段PQ 的长最大时，求点P 的坐标．。

W2020年四川凉山中考数学试题(含答案)

2020年四川凉山中考数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．1．﹣12020＝（）A．1 B．﹣1 C．2020 D．﹣2020参考答案：：B．2．如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（）A．B．C．D．参考答案：：B．3．点P （2，3）关于x轴对称的点P'的坐标是（）A．（2，﹣3） B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（3，2）参考答案：：A．4．已知一组数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是（）A．﹣1 B．3 C．﹣1和3 D．1和3参考答案：：C．5．一元二次方程x2＝2x的根为（）A．x＝0 B．x＝2 C．x＝0或x＝2 D．x＝0或x＝﹣2参考答案：：C．6．下列等式成立的是（）A．＝±9 B．|﹣2|＝﹣+2 C．（﹣）﹣1＝﹣2 D．（tan45°﹣1）0＝1参考答案：：C．7．若一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（）A．m＞﹣B．m＜3 C．﹣＜m＜3 D．﹣＜m≤3 参考答案：：D．8．点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12cm，则线段BD的长为（）A．10cm B．8cm C．10cm 或8cm D．2cm 或4cm 参考答案：：C．9．下列命题是真命题的是（）A．顶点在圆上的角叫圆周角B．三点确定一个圆C．圆的切线垂直于半径D．三角形的内心到三角形三边的距离相等参考答案：：D．10．如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（）A．B．C．2 D．2参考答案：：A．11．如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB ＝（）A．2：B．：C．：D．：2参考答案：：B．12．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③3b﹣2c＜0；④am2+bm≥a+b（m为实数）．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个参考答案：：D．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13．函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥﹣1 ．14．因式分解：a3﹣ab2＝ a（a+b）（a﹣b）．15．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E，若OA＝1，△AOE的周长等于5，则▱ABCD的周长等于 16 ．16．如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积是π，则半圆的半径OA的长为 3 ．17．如图，矩形OABC的面积为，对角线OB与双曲线y＝（k＞0，x＞0）相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k的值为 12 ．三、解答题（本大题共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．解方程：x﹣＝1+．解：去分母，得：6x﹣3（x﹣2）＝6+2（2x﹣1），去括号，得：6x﹣3x+6＝6+4x﹣2，移项，得：6x﹣3x﹣4x＝6﹣6﹣2，合并同类项，得：﹣x＝﹣2，系数化为1，得：x＝2．19．化简求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣（x+2）2+4（x+3），其中x＝．解：原式＝4x2﹣9﹣（x2+4x+4）+4x+12＝4x2﹣9﹣x2﹣4x﹣4+4x+12＝3x2﹣1，当x＝时，原式＝3×（）2﹣1＝3×2﹣1＝6﹣1＝5．20．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？参考答案：：正方形零件的边长为48mm．21．某校团委在“五•四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，分三批对全校20个班的作品进行评比．在第一批评比中，随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如图两幅不完整的统计图．（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品 24 件；在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为 150°；（2）补全条形统计图；（3）第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同班级的概率．参考答案：：24、150°；（2）补全图形如下：（3）列表如下：A B B C C DA BA BA CA CA DAB AB BB CB CB DBB AB BB CB CB DBC AC BC BC CC DCC AC BC BC CC DCD AD BD BD CD CD由表可知，共有30种等可能结果，其中抽取的作品来自两个不同班级的有26种结果，∴抽取的作品来自两个不同班级的概率为＝．22．如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分∠BAC 交半圆于点D，过点D作DH⊥AC与AC的延长线交于点H．（1）求证：DH是半圆的切线；（2）若DH＝2，sin∠BAC＝，求半圆的直径．【解答】（1）证明：连接OD，∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ADO，∴AH∥OD，∵DH⊥AC，∴OD⊥DH，∴DH是半圆的切线；（2）解：连接BC交OD于E，∵AB是半圆AOB的直径，∴∠ACB＝90°，∴四边形CEDH是矩形，∴CE＝DH＝2，∠DEC＝90°，∴OD⊥BC，∴BC＝2CE＝4，∵sin∠BAC＝＝，∴AB＝12，即半圆的直径为12．四、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）23．若不等式组恰有四个整数解，则a的取值范围是﹣≤a＜﹣．参考答案：：﹣≤a＜﹣．24．如图，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为 10 ．参考答案：：10．五、解答题（本大题共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．（1）如图1，连接AQ、CP．求证：△ABQ≌△CAP；（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．解：（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP＝BQ，在△ABQ与△CAP中，，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；（2）点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC是△ACM的外角，∴∠QMC＝∠ACP+∠MAC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC∵∠BAC＝60°，∴∠QMC＝60°；（3）如图2，点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变理由：同理可得，△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC是△APM的外角，∴∠QMC＝∠BAQ+∠APM，∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°，即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC的度数为120°．26．如图，已知直线l：y＝﹣x+5．（1）当反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围．（2）若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线1在第一象限内相交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x2﹣x1＝3时，求k的值，并根据图象写出此时关于x的不等式﹣x+5＜的解集．解：（1）将直线l的表达式与反比例函数表达式联立并整理得：x2﹣5x+k＝0，由题意得：△＝25﹣4k≥0，解得：k≤，故k的取值范围0＜k≤；（2）设点A（m，﹣m+5），而x2﹣x1＝3，则点B（m+3，﹣m+2），点A、B都在反比例函数上，故m（﹣m+5）＝（m+3）（﹣m+2），解得：m＝1，故点A、B的坐标分别为（1，4）、（4，1）；将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝4×1＝4，观察函数图象知，当﹣x+5＜时，0＜x＜1或x＞4．27．如图，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．（1）求证：＝＝＝2R；（2）若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝4，利用（1）的结论求AB的长和sin∠B的值．【解答】（1）证明：作直径BE，连接CE，如图所示：则∠BCE＝90°，∠E＝∠A，∴sinA＝sinE＝＝，∴＝2R，同理：＝2R，＝2R，∴＝＝＝2R；（2）解：由（1）得：＝，即＝＝2R，∴AB＝＝4，2R＝＝8，过B作BH⊥AC于H，∵∠AHB＝∠BHC＝90°，∴AH＝AB•cos60°＝4×＝2，CH＝BC＝2，∴AC＝AH+CH＝2（），∴sin∠B＝＝＝．28．如图，二次函数y＝ax2+bx+x的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（，）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．解：（1）将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x；（2）由点B的坐标知，直线BO的倾斜角为30°，则OB中垂线（CD）与x负半轴的夹角为60°，故设CD的表达式为：y＝﹣x+b，而OB中点的坐标为（，），将该点坐标代入CD表达式并解得：b＝，故直线CD的表达式为：y＝﹣x+；（3）过点P作y轴额平行线交CD于点H，设点P（x，x2﹣x），则点H（x，﹣x+），则PH＝﹣x+﹣（x2﹣x）＝﹣x2﹣x+，∵＜0，故PH有最大值，此时点P的坐标为（﹣，）．白雪歌送武判官归京北风卷地白草折，胡天八月即飞雪。

2020年四川省凉山州中考数学试题及参考答案(word解析版)

2020年凉山州高中阶段学校招生统一考试数学试题（全卷满分150分，考试时间120分钟）A卷（共100分）第Ⅰ卷（选择题共48分）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．1．﹣12020＝（）A．1 B．﹣1 C．2020 D．﹣20202．如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（）A．B．C．D．3．点P （2，3）关于x轴对称的点P'的坐标是（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（3，2）4．已知一组数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是（）A．﹣1 B．3 C．﹣1和3 D．1和35．一元二次方程x2＝2x的根为（）A．x＝0 B．x＝2 C．x＝0或x＝2 D．x＝0或x＝﹣26．下列等式成立的是（）A．＝±9 B．|﹣2|＝﹣+2 C．（﹣）﹣1＝﹣2 D．（tan45°﹣1）0＝1 7．若一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（）A．m＞﹣B．m＜3 C．﹣＜m＜3 D．﹣＜m≤38．点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12cm，则线段BD的长为（）A．10cm B．8cm C．10cm 或8cm D．2cm 或4cm9．下列命题是真命题的是（）A．顶点在圆上的角叫圆周角B．三点确定一个圆C．圆的切线垂直于半径D．三角形的内心到三角形三边的距离相等10．如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（）A．B．C．2 D．211．如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB ＝（）A．2：B．：C．：D．：212．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③3b﹣2c＜0；④am2+bm≥a+b（m为实数）．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个第Ⅱ卷（非选择题共52分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13．函数y＝中，自变量x的取值范围是．14．因式分解：a3﹣ab2＝．15．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E，若OA＝1，△AOE的周长等于5，则▱ABCD的周长等于．16．如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积是π，则半圆的半径OA的长为．17．如图，矩形OABC的面积为，对角线OB与双曲线y＝（k＞0，x＞0）相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k的值为．三、解答题（本大题共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（5分）解方程：x﹣＝1+．19．（5分）化简求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣（x+2）2+4（x+3），其中x＝．20．（7分）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？21．（7分）某校团委在“五•四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，分三批对全校20个班的作品进行评比．在第一批评比中，随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如图两幅不完整的统计图．（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品件；在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为；（2）补全条形统计图；（3）第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同班级的概率．22．（8分）如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分∠BAC交半圆于点D，过点D作DH⊥AC与AC的延长线交于点H．（1）求证：DH是半圆的切线；（2）若DH＝2，sin∠BAC＝，求半圆的直径．B卷（共50分）四、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）23．（5分）若不等式组恰有四个整数解，则a的取值范围是．24．（5分）如图，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为．五、解答题（本大题共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（8分）如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．（1）如图1，连接AQ、CP．求证：△ABQ≌△CAP；（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．26．（10分）如图，已知直线l：y＝﹣x+5．（1）当反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围．（2）若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内相交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x2﹣x1＝3时，求k的值，并根据图象写出此时关于x的不等式﹣x+5＜的解集．27．（10分）如图，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．（1）求证：＝＝＝2R；（2）若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝4，利用（1）的结论求AB的长和sin∠B的值．28．（12分）如图，二次函数y＝ax2+bx+x的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（，）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．答案与解析A卷（共100分）第Ⅰ卷（选择题共48分）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．1．﹣12020＝（）A．1 B．﹣1 C．2020 D．﹣2020【知识考点】有理数的乘方．【思路分析】根据有理数的乘方运算，即可得出答案．【解题过程】解：﹣12020＝﹣1．故选：B．【总结归纳】此题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握有理数的乘方运算的法则是解本题的关键．2．如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（）A．B．C．D．【知识考点】简单几何体的三视图．【思路分析】根据左视图是从物体左面看所得到的图形，分别得出四个几何体的左视图，即可解答．【解题过程】解：A、圆柱的左视图是矩形，故本选项不符合题意；B、三棱锥的左视图是三角形，故本选项符合题意；C、三棱柱的左视图是矩形，故本选项不符合题意；D、正方体的左视图是正方形，故本选项不符合题意．故选：B．【总结归纳】本题主要考查简单几何体的三视图；考查了学生的空间想象能力，属于基础题．3．点P （2，3）关于x轴对称的点P'的坐标是（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（3，2）【知识考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【思路分析】关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．据此即可得出答案．【解题过程】解：点P（2，3）关于x轴对称的点P'的坐标是（2，﹣3）．故选：A．【总结归纳】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握：点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．4．已知一组数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是（）A．﹣1 B．3 C．﹣1和3 D．1和3【知识考点】算术平均数；众数．【思路分析】先根据算术平均数的定义列出关于x的方程，解之求出x的值，从而还原这组数据，再利用众数的概念求解可得．【解题过程】解：∵数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，∴1+0+3﹣1+x+2+3＝7×1，解得x＝﹣1，则这组数据为1，0，3，﹣1，﹣1，2，3，∴这组数据的众数为﹣1和3，故选：C．【总结归纳】本题主要考查众数和算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数和众数的概念．5．一元二次方程x2＝2x的根为（）A．x＝0 B．x＝2 C．x＝0或x＝2 D．x＝0或x＝﹣2【知识考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【思路分析】移项后利用因式分解法求解可得．【解题过程】解：∵x2＝2x，∴x2﹣2x＝0，则x（x﹣2）＝0，∴x＝0或x﹣2＝0，解得x1＝0，x2＝2，故选：C．【总结归纳】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．6．下列等式成立的是（）A．＝±9 B．|﹣2|＝﹣+2 C．（﹣）﹣1＝﹣2 D．（tan45°﹣1）0＝1 【知识考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【思路分析】根据算术平方根的定义、绝对值的性质、负整数指数幂和零指数幂的规定逐一判断即可得．【解题过程】解：A．＝9，此选项计算错误；B．|﹣2|＝﹣2，此选项错误；C．（﹣）﹣1＝﹣2，此选项正确；D．（tan45°﹣1）0无意义，此选项错误；故选：C．【总结归纳】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握算术平方根的定义、绝对值的性质、负整数指数幂和零指数幂的规定．7．若一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（）A．m＞﹣B．m＜3 C．﹣＜m＜3 D．﹣＜m≤3【知识考点】一次函数图象与系数的关系．【思路分析】根据题意得到关于m的不等式组，然后解不等式组即可．【解题过程】解：根据题意得，解得﹣＜m≤3．故选：D．【总结归纳】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．8．点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12cm，则线段BD的长为（）A．10cm B．8cm C．10cm 或8cm D．2cm 或4cm【知识考点】两点间的距离．【思路分析】根据线段中点的定义和线段三等分点的定义即可得到结论．【解题过程】解：∵C是线段AB的中点，AB＝12cm，∴AC＝BC＝AB＝×12＝6（cm），点D是线段AC的三等分点，①当AD＝AC时，如图，BD＝BC+CD＝BC+AC＝6+4＝10（cm）；②当AD＝AC时，如图，BD＝BC+CD′＝BC+AC＝6+2＝8（cm）．所以线段BD的长为10cm或8cm，故选：C．【总结归纳】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，分类讨论思想的运用是解题的关键．9．下列命题是真命题的是（）A．顶点在圆上的角叫圆周角B．三点确定一个圆C．圆的切线垂直于半径D．三角形的内心到三角形三边的距离相等【知识考点】命题与定理．【思路分析】根据圆周角定理、圆的条件、三角形内心以及切线的性质判断即可．【解题过程】解：A、顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫圆周角，原命题是假命题；B、不在同一直线上的三点确定一个圆，原命题是假命题；C、圆的切线垂直于过切点的半径，原命题是假命题；D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，是真命题；故选：D．【总结归纳】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．10．如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（）A．B．C．2 D．2【知识考点】解直角三角形．【思路分析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求AD、BD，再根据三角函数的意义可求出tanA的值．【解题过程】解：如图，连接BD，由网格的特点可得，BD⊥AC，AD＝＝2，BD＝＝，∴tanA＝＝＝，故选：A．【总结归纳】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键．11．如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（）A．2：B．：C．：D．：2【知识考点】等边三角形的性质；正方形的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；正多边形和圆．【思路分析】连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，由垂径定理得出AH＝BH＝AB，证出△AOD是等腰直角三角形，∠AOH＝∠BOH＝60°，AH＝BH＝AB，得出AD＝OA，AH＝OA，则AB＝2AH＝OA，进而得出答案．【解题过程】解：连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，如图所示：则AH＝BH＝AB，∵正方形ABCD和等边三角形AEF都内接于⊙O，∴∠AOB＝120°，∠AOD＝90°，∵OA＝OD＝OB，∴△AOD是等腰直角三角形，∠AOH＝∠BOH＝×120°＝60°，∴AD＝OA，AH＝OA•sin60°＝OA，∴AB＝2AH＝2×OA＝OA，∴＝＝，故选：B．【总结归纳】本题考查了正多边形和圆、垂径定理、等边三角形的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理、等边三角形和正方形的性质是解题的关键．12．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③3b﹣2c＜0；④am2+bm≥a+b（m为实数）．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【知识考点】二次函数图象与系数的关系．【思路分析】由抛物线的对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定2a+b＝0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c；然后由图象顶点坐标确定am2+bm与a+b的大小关系．【解题过程】解：①∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴ab＜0，∵c＜0∴abc＞0故①正确；②∵对称轴x＝﹣＝1，∴2a+b＝0；故②正确；③∵2a+b＝0，∴a＝﹣b，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，∴﹣b﹣b+c＞0∴3b﹣2c＜0故③正确；④根据图象知，当x＝1时，y有最小值；当m为实数时，有am2+bm+c≥a+b+c，所以am2+bm≥a+b（m为实数）．故④正确．本题正确的结论有：①②③④，4个；故选：D．【总结归纳】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a 与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．第Ⅱ卷（非选择题共52分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13．函数y＝中，自变量x的取值范围是．【知识考点】函数自变量的取值范围．【思路分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解题过程】解：由题意得，x+1≥0，解得x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．【总结归纳】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．14．因式分解：a3﹣ab2＝．【知识考点】提公因式法与公式法的综合运用．【思路分析】观察原式a3﹣ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．【解题过程】解：a3﹣ab2＝a（a2﹣b2）＝a（a+b）（a﹣b）．【总结归纳】本题是一道典型的中考题型的因式分解：先提取公因式，然后再应用一次公式．本题考点：因式分解（提取公因式法、应用公式法）．15．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E，若OA＝1，△AOE的周长等于5，则▱ABCD的周长等于．【知识考点】三角形中位线定理；平行四边形的性质．【思路分析】由平行四边形的性质得AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，证OE是△ABD的中位线，则AB＝2OE，AD＝2AE，求出AE+OE＝4，则AB+AD＝2AE+2OE＝8，即可得出答案．【解题过程】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，∵OE∥AB，∴OE是△ABD的中位线，∴AB＝2OE，AD＝2AE，∵△AOE的周长等于5，∴OA+AE+OE＝5，∴AE+OE＝5﹣OA＝5﹣1＝4，∴AB+AD＝2AE+2OE＝8，∴▱ABCD的周长＝2×（AB+AD）＝2×8＝16；故答案为：16．【总结归纳】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．16．如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积是π，则半圆的半径OA 的长为．【知识考点】扇形面积的计算．【思路分析】连接OC、OD，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形OCD 的面积，列式计算就可．【解题过程】解：连接OC、OD、CD．∵△COD和△CBD等底等高，∴S△COD＝S△BCD．∵点C，D为半圆的三等分点，∴∠COD＝180°÷3＝60°，∴阴影部分的面积＝S扇形COD，∵阴影部分的面积是π，∴＝π，∴r＝3，故答案为3．【总结归纳】本题考查扇形的面积，解题的关键是理解阴影部分的面积等于扇形OCD的面积．17．如图，矩形OABC的面积为，对角线OB与双曲线y＝（k＞0，x＞0）相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k的值为．【知识考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．【思路分析】设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（5m，5n），根据矩形OABC的面积即可求得mn的值，把D的坐标代入函数解析式y＝即可求得k的值．【解题过程】解：设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（5m，5n）．∵矩形OABC的面积为，∴5m•5n＝，∴mn＝．把D的坐标代入函数解析式得：3n＝，∴k＝9mn＝9×＝12．故答案为12．【总结归纳】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，理解矩形的面积与反比例函数的解析式之间的关系是解决本题的关系．三、解答题（本大题共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（5分）解方程：x﹣＝1+．【知识考点】解一元一次方程．【思路分析】根据解一元一次方程的步骤解答即可．【解题过程】解：去分母，得：6x﹣3（x﹣2）＝6+2（2x﹣1），去括号，得：6x﹣3x+6＝6+4x﹣2，移项，得：6x﹣3x﹣4x＝6﹣6﹣2，合并同类项，得：﹣x＝﹣2，系数化为1，得：x＝2．【总结归纳】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解答本题的关键．19．（5分）化简求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣（x+2）2+4（x+3），其中x＝．【知识考点】整式的混合运算—化简求值．【思路分析】先利用平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式法则展开，再去括号、合并同类项即可化简原式，继而将x的值代入计算可得答案．【解题过程】解：原式＝4x2﹣9﹣（x2+4x+4）+4x+12＝4x2﹣9﹣x2﹣4x﹣4+4x+12＝3x2﹣1，当x＝时，原式＝3×（）2﹣1＝3×2﹣1＝6﹣1＝5．【总结归纳】本题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是掌握平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式法则、去括号法则、合并同类项法则．20．（7分）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？【知识考点】正方形的性质；相似三角形的应用．【思路分析】根据正方形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”，设正方形零件的边长为xmm，则KD ＝EF＝x，AK＝80﹣x，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果．【解题过程】解：∵四边形EGFH为正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD⊥BC，∴＝，∴＝，解得：x＝48．答：正方形零件的边长为48mm．【总结归纳】本题考查了正方形的性质、相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键．21．（7分）某校团委在“五•四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，分三批对全校20个班的作品进行评比．在第一批评比中，随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如图两幅不完整的统计图．（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品件；在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为；（2）补全条形统计图；（3）第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同班级的概率．【知识考点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法．【思路分析】（1）根据第一批所抽取的B班级的作品数量及其所占百分比可得征集作品的总数量，再求出C班级作品数量，从而用360°乘以C班级作品数所占比例即可得出答案；（2）根据以上所求结果即可补全条形图；（3）列表得出所有等可能结果，从中找到抽取的作品来自两个不同班级的结果数，再利用概率公式求解可得．【解题过程】解：（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品6÷25%＝24（件），则C班级作品数为24﹣（4+6+4）＝10（件），∴在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为360°×＝150°，故答案为：24、150°；（2）补全图形如下：（3）列表如下：A B B C C DA BA BA CA CA DAB AB BB CB CB DBB AB BB CB CB DBC AC BC BC CC DCC AC BC BC CC DCD AD BD BD CD CD由表可知，共有30种等可能结果，其中抽取的作品来自两个不同班级的有26种结果，∴抽取的作品来自两个不同班级的概率为＝．【总结归纳】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．22．（8分）如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分∠BAC交半圆于点D，过点D作DH⊥AC与AC的延长线交于点H．（1）求证：DH是半圆的切线；（2）若DH＝2，sin∠BAC＝，求半圆的直径．【知识考点】角平分线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质；解直角三角形．【思路分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠DAO＝∠ADO，根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠OAD，等量代换得到∠CAD＝∠ADO，求得AH∥OD，根据平行线的性质得到OD⊥DH，于是得到结论；（2）连接BC交OD于E，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，推出四边形CEDH是矩形，得到CE＝DH＝2，∠DEC＝90°，根据三角函数的定义即可得到结论．【解题过程】（1）证明：连接OD，∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ADO，∴AH∥OD，∵DH⊥AC，∴OD⊥DH，∴DH是半圆的切线；（2）解：连接BC交OD于E，∵AB是半圆AOB的直径，∴∠ACB＝90°，∴四边形CEDH是矩形，∴CE＝DH＝2，∠DEC＝90°，∴OD⊥BC，∴BC＝2CE＝4，∵sin∠BAC＝＝，∴AB＝12，即半圆的直径为12．【总结归纳】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，角平分线的定义，矩形的判定，垂径定理，作出辅助线构建直角三角形和矩形是解题的关键．B卷（共50分）四、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）23．（5分）若不等式组恰有四个整数解，则a的取值范围是．【知识考点】一元一次不等式组的整数解．【思路分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组有4个整数解可得关于a的不等式组，解不等式组可得a的范围．【解题过程】解：解不等式2x＜3（x﹣3）+1，得：x＞8，解不等式＞x+a，得：x＜2﹣4a，∵不等式组有4个整数解，∴12＜2﹣4a≤13，解得：﹣≤a＜﹣，故答案为：﹣≤a＜﹣．【总结归纳】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组有4个整数解得到关于a的不等式组是关键．24．（5分）如图，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为．【知识考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【思路分析】先根据勾股定理计算ED的长，当E、P、D共线时，DP最小，即最短距离是此时PD的长．【解题过程】解：如图，连接PD，DE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝8，BE＝3，∴AE＝5，∵AD＝12，∴DE＝＝13，由折叠得：EB＝EP＝3，∵EP+DP≥ED，∴当E、P、D共线时，DP最小，∴DP＝DE﹣EP＝13﹣3＝10；故答案为：10．【总结归纳】本题考查了矩形的性质，勾股定理，翻折变换的性质，利用数形结合的思想，根据图形确定点P到点D的最短距离解决问题．五、解答题（本大题共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（8分）如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．（1）如图1，连接AQ、CP．求证：△ABQ≌△CAP；（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．【知识考点】三角形综合题．【思路分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP即可；（2）先判定△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝60°；（3）先判定△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝120°．【解题过程】解：（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP＝BQ，在△ABQ与△CAP中，，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；（2）点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC是△ACM的外角，∴∠QMC＝∠ACP+∠MAC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC∵∠BAC＝60°，∴∠QMC＝60°；（3）如图2，点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变理由：同理可得，△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC是△APM的外角，∴∠QMC＝∠BAQ+∠APM，∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°，即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC的度数为120°．【总结归纳】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识的综合应用．解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意运用全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质．26．（10分）如图，已知直线l：y＝﹣x+5．（1）当反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内至少有一个交点时，求k 的取值范围．（2）若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内相交于点A（x1，y1）、B （x2，y2），当x2﹣x1＝3时，求k的值，并根据图象写出此时关于x的不等式﹣x+5＜的解集．【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【思路分析】（1）由题意得：△＝25﹣4k≥0，即可求解；（2）设点A（m，﹣m+5），而x2﹣x1＝3，则点B（m+3，﹣m+2），点A、B都在反比例函数上，故m（﹣m+5）＝（m+3）（﹣m+2），即可求解．【解题过程】解：（1）将直线l的表达式与反比例函数表达式联立并整理得：x2﹣5x+k＝0，由题意得：△＝25﹣4k≥0，解得：k≤，故k的取值范围0＜k≤；（2）设点A（m，﹣m+5），而x2﹣x1＝3，则点B（m+3，﹣m+2），点A、B都在反比例函数上，故m（﹣m+5）＝（m+3）（﹣m+2），解得：m＝1，故点A、B的坐标分别为（1，4）、（4，1）；将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝4×1＝4，观察函数图象知，当﹣x+5＜时，0＜x＜1或x＞4．【总结归纳】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．27．（10分）如图，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．（1）求证：＝＝＝2R；（2）若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝4，利用（1）的结论求AB的长和sin∠B的值．【知识考点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；解直角三角形．【思路分析】（1）证明：作直径BE，连接CE，如图所示：则∠BCE＝90°，∠E＝∠A，根据三角函数的定义得到sinA＝sinE＝＝，求得＝2R，同理：＝2R，＝2R，于是得到结论；（2）由（1）得：＝，得到AB＝＝4，2R＝＝8，过B作BH⊥AC于H，解直角三角形得到AC＝AH+CH＝2（），根据三角函数的定义即可得到结论．【解题过程】（1）证明：作直径BE，连接CE，如图所示：则∠BCE＝90°，∠E＝∠A，∴sinA＝sinE＝＝，∴＝2R，同理：＝2R，＝2R，∴＝＝＝2R；（2）解：由（1）得：＝，即＝＝2R，∴AB＝＝4，2R＝＝8，过B作BH⊥AC于H，∵∠AHB＝∠BHC＝90°，∴AH＝AB•cos60°＝4×＝2，CH＝BC＝2，∴AC＝AH+CH＝2（），∴sin∠B＝＝＝．【总结归纳】本题考查了三角形的外接圆、圆周角定理、三角函数定义、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和三角函数定义是解题的关键．28．（12分）如图，二次函数y＝ax2+bx+x的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（，）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．。

2020年四川省凉山州中考数学试卷(后附答案及详尽解析)

2020年四川省凉山州中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．1．（4分）﹣12020＝（）A．1B．﹣1C．2020D．﹣20202．（4分）如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（）A．B．C．D．3．（4分）点P（2，3）关于x轴对称的点P'的坐标是（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（3，2）4．（4分）已知一组数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是（）A．﹣1B．3C．﹣1和3D．1和35．（4分）一元二次方程x2＝2x的根为（）A．x＝0B．x＝2C．x＝0或x＝2D．x＝0或x＝﹣2 6．（4分）下列等式成立的是（）A．√81=±9B．|√5−2|=−√5+2C．（−12）﹣1＝﹣2D．（tan45°﹣1）0＝17．（4分）若一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（）A．m＞−12B．m＜3C．−12＜m＜3D．−12＜m≤38．（4分）点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12cm，则线段BD的长为（）A．10cm B．8cm C．10cm或8cm D．2cm或4cm 9．（4分）下列命题是真命题的是（）A．顶点在圆上的角叫圆周角B．三点确定一个圆C．圆的切线垂直于半径D．三角形的内心到三角形三边的距离相等10．（4分）如图所示，△ABC 的顶点在正方形网格的格点上，则tan A 的值为（）A ．12B ．√22C ．2D ．2√211．（4分）如图，等边三角形ABC 和正方形ADEF 都内接于⊙O ，则AD ：AB ＝（）A ．2√2：√3B ．√2：√3C ．√3：√2D ．√3：2√212．（4分）二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，有如下结论： ①abc ＞0； ②2a +b ＝0； ③3b ﹣2c ＜0；④am 2+bm ≥a +b （m 为实数）．其中正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 13．（4分）函数y =√x +1中，自变量x 的取值范围是． 14．（4分）因式分解：a 3﹣ab 2＝．15．（4分）如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OE ∥AB 交AD 于点E ，若OA＝1，△AOE 的周长等于5，则▱ABCD 的周长等于．16．（4分）如图，点C 、D 分别是半圆AOB 上的三等分点，若阴影部分的面积是32π，则半圆的半径OA 的长为．17．（4分）如图，矩形OABC 的面积为1003，对角线OB 与双曲线y =kx（k ＞0，x ＞0）相交于点D ，且OB ：OD ＝5：3，则k 的值为．三、解答题（本大题共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（5分）解方程：x −x−22=1+2x−13． 19．（5分）化简求值：（2x +3）（2x ﹣3）﹣（x +2）2+4（x +3），其中x =√2．20．（7分）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC ，边BC ＝120mm ，高AD ＝80mm ，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？21．（7分）某校团委在“五•四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，分三批对全校20个班的作品进行评比．在第一批评比中，随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如图两幅不完整的统计图．（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品件；在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为；（2）补全条形统计图；（3）第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同班级的概率．22．（8分）如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分∠BAC交半圆于点D，过点D作DH⊥AC与AC的延长线交于点H．（1）求证：DH是半圆的切线；（2）若DH＝2√5，sin∠BAC=√53，求半圆的直径．四、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）23．（5分）若不等式组{2x＜3(x−3)+13x+24＞x+a恰有四个整数解，则a的取值范围是．24．（5分）如图，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC 上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为．五、解答题（本大题共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（8分）如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．（1）如图1，连接AQ、CP．求证：△ABQ≌△CAP；（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，∠QMC 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．26．（10分）如图，已知直线l：y＝﹣x+5．（1）当反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围．（2）若反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内相交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x2﹣x1＝3时，求k的值，并根据图象写出此时关于x的不等式﹣x+5＜k x的解集．27．（10分）如图，⊙O 的半径为R ，其内接锐角三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ．（1）求证：a sin∠A=b sin∠B=c sin∠C=2R ；（2）若∠A ＝60°，∠C ＝45°，BC ＝4√3，利用（1）的结论求AB 的长和sin ∠B 的值．28．（12分）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +x 的图象过O （0，0）、A （1，0）、B （32，√32）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB 的垂直平分线与y 轴交于点C ，与二次函数的图象在x 轴上方的部分相交于点D ，求直线CD 的解析式；（3）在直线CD 下方的二次函数的图象上有一动点P ，过点P 作PQ ⊥x 轴，交直线CD 于Q ，当线段PQ 的长最大时，求点P 的坐标．2020年四川省凉山州中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．1．（4分）﹣12020＝（）A．1B．﹣1C．2020D．﹣2020【解答】解：﹣12020＝﹣1．故选：B．2．（4分）如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、圆柱的左视图是矩形，故本选项不符合题意；B、三棱锥的左视图是三角形，故本选项符合题意；C、三棱柱的左视图是矩形，故本选项不符合题意；D、正方体的左视图是正方形，故本选项不符合题意．故选：B．3．（4分）点P（2，3）关于x轴对称的点P'的坐标是（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（3，2）【解答】解：点P（2，3）关于x轴对称的点P'的坐标是（2，﹣3）．故选：A．4．（4分）已知一组数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是（）A．﹣1B．3C．﹣1和3D．1和3【解答】解：∵数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，∴1+0+3﹣1+x+2+3＝7×1，解得x＝﹣1，则这组数据为1，0，3，﹣1，﹣1，2，3，∴这组数据的众数为﹣1和3，故选：C．5．（4分）一元二次方程x 2＝2x 的根为（） A ．x ＝0B ．x ＝2C ．x ＝0或x ＝2D ．x ＝0或x ＝﹣2【解答】解：∵x 2＝2x ， ∴x 2﹣2x ＝0，则x （x ﹣2）＝0， ∴x ＝0或x ﹣2＝0，解得x 1＝0，x 2＝2，故选：C ．6．（4分）下列等式成立的是（） A ．√81=±9 B ．|√5−2|=−√5+2C ．（−12）﹣1＝﹣2D ．（tan45°﹣1）0＝1【解答】解：A ．√81=9，此选项计算错误； B ．|√5−2|=√5−2，此选项错误； C ．（−12）﹣1＝﹣2，此选项正确；D ．（tan45°﹣1）0无意义，此选项错误；故选：C ．7．（4分）若一次函数y ＝（2m +1）x +m ﹣3的图象不经过第二象限，则m 的取值范围是（） A ．m ＞−12B ．m ＜3C ．−12＜m ＜3D ．−12＜m ≤3【解答】解：根据题意得{2m +1＞0m −3≤0，解得−12＜m ≤3．故选：D ．8．（4分）点C 是线段AB 的中点，点D 是线段AC 的三等分点．若线段AB ＝12cm ，则线段BD 的长为（） A ．10cmB ．8cmC ．10cm 或8cmD ．2cm 或4cm【解答】解：∵C 是线段AB 的中点，AB ＝12cm ， ∴AC ＝BC =12AB =12×12＝6（cm ），点D 是线段AC 的三等分点，①当AD =13AC 时，如图，BD ＝BC +CD ＝BC +23AC ＝6+4＝10（cm ）； ②当AD =23AC 时，如图，BD ＝BC +CD ′＝BC +13AC ＝6+2＝8（cm ）．所以线段BD 的长为10cm 或8cm ，故选：C ．9．（4分）下列命题是真命题的是（） A ．顶点在圆上的角叫圆周角B ．三点确定一个圆C ．圆的切线垂直于半径D ．三角形的内心到三角形三边的距离相等【解答】解：A 、顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫圆周角，原命题是假命题； B 、不在同一直线上的三点确定一个圆，原命题是假命题； C 、圆的切线垂直于过切点的半径，原命题是假命题； D 、三角形的内心到三角形三边的距离相等，是真命题；故选：D ．10．（4分）如图所示，△ABC 的顶点在正方形网格的格点上，则tan A 的值为（）A ．12B ．√22C ．2D ．2√2【解答】解：如图，连接BD ，由网格的特点可得，BD ⊥AC ， AD =√22+22=2√2，BD =√12+12=√2， ∴tan A =BD AD =√222=12，故选：A ．11．（4分）如图，等边三角形ABC 和正方形ADEF 都内接于⊙O ，则AD ：AB ＝（）A ．2√2：√3B ．√2：√3C ．√3：√2D ．√3：2√2【解答】解：连接OA 、OB 、OD ，过O 作OH ⊥AB 于H ，如图所示：则AH ＝BH =12AB ，∵正方形ABCD 和等边三角形AEF 都内接于⊙O ， ∴∠AOB ＝120°，∠AOD ＝90°， ∵OA ＝OD ＝OB ，∴△AOD 是等腰直角三角形，∠AOH ＝∠BOH =12×120°＝60°， ∴AD =√2OA ，AH ＝OA •sin60°=√32OA ， ∴AB ＝2AH ＝2×√32OA =√3OA ， ∴AD AB=√2OA √3OA =√2√3，故选：B ．12．（4分）二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，有如下结论： ①abc ＞0；②2a+b＝0；③3b﹣2c＜0；④am2+bm≥a+b（m为实数）．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴ab＜0，∵c＜0∴abc＞0故①正确；②∵对称轴x=−b2a=1，∴2a+b＝0；故②正确；③∵2a+b＝0，∴a=−12b，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，∴−12b﹣b+c＞0∴3b﹣2c＜0故③正确；④根据图象知，当x＝1时，y有最小值；当m为实数时，有am2+bm+c≥a+b+c，所以am2+bm≥a+b（m为实数）．故④正确．本题正确的结论有：①②③④，4个；故选：D ．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13．（4分）函数y =√x +1中，自变量x 的取值范围是 x ≥﹣1 ．【解答】解：由题意得，x +1≥0，解得x ≥﹣1．故答案为：x ≥﹣1．14．（4分）因式分解：a 3﹣ab 2＝ a （a +b ）（a ﹣b ）．【解答】解：a 3﹣ab 2＝a （a 2﹣b 2）＝a （a +b ）（a ﹣b ）．15．（4分）如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OE ∥AB 交AD 于点E ，若OA ＝1，△AOE 的周长等于5，则▱ABCD 的周长等于 16 ．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，OB ＝OD ， ∵OE ∥AB ，∴OE 是△ABD 的中位线， ∴AB ＝2OE ，AD ＝2AE ， ∵△AOE 的周长等于5， ∴OA +AE +OE ＝5，∴AE +OE ＝5﹣OA ＝5﹣1＝4， ∴AB +AD ＝2AE +2OE ＝8，∴▱ABCD 的周长＝2×（AB +AD ）＝2×8＝16；故答案为：16．16．（4分）如图，点C 、D 分别是半圆AOB 上的三等分点，若阴影部分的面积是32π，则半圆的半径OA 的长为 3 ．【解答】解：连接OC 、OD 、CD ．∵△COD 和△CBD 等底等高， ∴S △COD ＝S △BCD ．∵点C ，D 为半圆的三等分点， ∴∠COD ＝180°÷3＝60°， ∴阴影部分的面积＝S 扇形COD ， ∵阴影部分的面积是32π，∴60π⋅r 2360=32π，∴r ＝3，故答案为3．17．（4分）如图，矩形OABC 的面积为1003，对角线OB 与双曲线y =kx（k ＞0，x ＞0）相交于点D ，且OB ：OD ＝5：3，则k 的值为 12 ．【解答】解：设D 的坐标是（3m ，3n ），则B 的坐标是（5m ，5n ）． ∵矩形OABC 的面积为1003，∴5m •5n =1003， ∴mn =43．把D的坐标代入函数解析式得：3n=k3m，∴k＝9mn＝9×43=12．故答案为12．三、解答题（本大题共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（5分）解方程：x−x−22=1+2x−13．【解答】解：去分母，得：6x﹣3（x﹣2）＝6+2（2x﹣1），去括号，得：6x﹣3x+6＝6+4x﹣2，移项，得：6x﹣3x﹣4x＝6﹣6﹣2，合并同类项，得：﹣x＝﹣2，系数化为1，得：x＝2．19．（5分）化简求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣（x+2）2+4（x+3），其中x=√2．【解答】解：原式＝4x2﹣9﹣（x2+4x+4）+4x+12＝4x2﹣9﹣x2﹣4x﹣4+4x+12＝3x2﹣1，当x=√2时，原式＝3×（√2）2﹣1＝3×2﹣1＝6﹣1＝5．20．（7分）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？【解答】解：∵四边形EGFH为正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD⊥BC，∴EFBC =AKAD，∴x120=80−x80，解得：x＝48．答：正方形零件的边长为48mm．21．（7分）某校团委在“五•四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，分三批对全校20个班的作品进行评比．在第一批评比中，随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如图两幅不完整的统计图．（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品24件；在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为150°；（2）补全条形统计图；（3）第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同班级的概率．【解答】解：（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品6÷25%＝24（件），则C 班级作品数为24﹣（4+6+4）＝10（件），∴在扇形统计图中表示C 班的扇形的圆心角的度数为360°×1024=150°，故答案为：24、150°；（2）补全图形如下：（3）列表如下：A B B C C D A BA BA CA CA DA B AB BB CB CB DB B AB BB CB CB DB C AC BC BC CC DC C AC BC BC CC DC DADBDBDCDCD由表可知，共有30种等可能结果，其中抽取的作品来自两个不同班级的有26种结果， ∴抽取的作品来自两个不同班级的概率为2630=1315．22．（8分）如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分∠BAC交半圆于点D，过点D作DH⊥AC与AC的延长线交于点H．（1）求证：DH是半圆的切线；（2）若DH＝2√5，sin∠BAC=√53，求半圆的直径．【解答】（1）证明：连接OD，∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ADO，∴AH∥OD，∵DH⊥AC，∴OD⊥DH，∴DH是半圆的切线；（2）解：连接BC交OD于E，∵AB是半圆AOB的直径，∴∠ACB＝90°，∴四边形CEDH是矩形，∴CE＝DH＝2√5，∠DEC＝90°，∴OD⊥BC，∴BC＝2CE＝4√5，∵sin∠BAC=BCAB=√53，∴AB＝12，即半圆的直径为12．四、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 23．（5分）若不等式组{2x ＜3(x −3)+13x+24＞x +a恰有四个整数解，则a 的取值范围是 −114≤a ＜−52 ．【解答】解：解不等式2x ＜3（x ﹣3）+1，得：x ＞8，解不等式3x+24＞x +a ，得：x ＜2﹣4a ，∵不等式组有4个整数解， ∴12＜2﹣4a ≤13，解得：−114≤a ＜−52，故答案为：−114≤a ＜−52．24．（5分）如图，矩形ABCD 中，AD ＝12，AB ＝8，E 是AB 上一点，且EB ＝3，F 是BC 上一动点，若将△EBF 沿EF 对折后，点B 落在点P 处，则点P 到点D 的最短距离为 10 ．【解答】解：如图，连接PD ，DE ，∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝90°， ∵AB ＝8，BE ＝3，∴AE ＝5， ∵AD ＝12，∴DE =√52+122=13，由折叠得：EB ＝EP ＝3， ∵EP +DP ≥ED ，∴当E 、P 、D 共线时，DP 最小， ∴DP ＝DE ﹣EP ＝13﹣3＝10；故答案为：10．五、解答题（本大题共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 25．（8分）如图，点P 、Q 分别是等边△ABC 边AB 、BC 上的动点（端点除外），点P 、点Q 以相同的速度，同时从点A 、点B 出发．（1）如图1，连接AQ 、CP ．求证：△ABQ ≌△CAP ；（2）如图1，当点P 、Q 分别在AB 、BC 边上运动时，AQ 、CP 相交于点M ，∠QMC 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；（3）如图2，当点P 、Q 在AB 、BC 的延长线上运动时，直线AQ 、CP 相交于M ，∠QMC 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．【解答】解：（1）证明：如图1，∵△ABC 是等边三角形 ∴∠ABQ ＝∠CAP ＝60°，AB ＝CA ，又∵点P 、Q 运动速度相同， ∴AP ＝BQ ，在△ABQ 与△CAP 中， {AB =CA∠ABQ =∠CPA AP =BQ，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；（2）点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC是△ACM的外角，∴∠QMC＝∠ACP+∠MAC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC∵∠BAC＝60°，∴∠QMC＝60°；（3）如图2，点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变理由：同理可得，△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC是△APM的外角，∴∠QMC＝∠BAQ+∠APM，∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠P AC＝180°﹣60°＝120°，即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC的度数为120°．26．（10分）如图，已知直线l：y＝﹣x+5．（1）当反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围．（2）若反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内相交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x2﹣x1＝3时，求k的值，并根据图象写出此时关于x的不等式﹣x+5＜k x的解集．【解答】解：（1）将直线l的表达式与反比例函数表达式联立并整理得：x2﹣5x+k＝0，由题意得：△＝25﹣4k≥0，解得：k≤25 4，故k的取值范围0＜k≤25 4；（2）设点A（m，﹣m+5），而x2﹣x1＝3，则点B（m+3，﹣m+2），点A、B都在反比例函数上，故m（﹣m+5）＝（m+3）（﹣m+2），解得：m＝1，故点A、B的坐标分别为（1，4）、（4，1）；将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝4×1＝4，观察函数图象知，当﹣x+5＜kx时，0＜x＜1或x＞4．27．（10分）如图，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．（1）求证：asin∠A =bsin∠B=csin∠C=2R；（2）若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝4√3，利用（1）的结论求AB的长和sin∠B的值．【解答】（1）证明：作直径BE，连接CE，如图所示：则∠BCE ＝90°，∠E ＝∠A ，∴sin A ＝sin E =BC BE =a 2R ，∴a sinA =2R ，同理：b sin∠B =2R ，c sin∠C =2R ， ∴a sin∠A =b sin∠B =c sin∠C =2R ；（2）解：由（1）得：AB sinC =BC sinA ，即AB sin45°=4√3sin60°=2R ， ∴AB =√3×√2232=4√2，2R =4√332=8，过B 作BH ⊥AC 于H ，∵∠AHB ＝∠BHC ＝90°， ∴AH ＝AB •cos60°＝4√2×12=2√2，CH =√22BC ＝2√6， ∴AC ＝AH +CH ＝2（√2+√6），∴sin ∠B =AC 2R =2(√2+√6)8=√2+√64．28．（12分）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +x 的图象过O （0，0）、A （1，0）、B （32，√32）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB 的垂直平分线与y 轴交于点C ，与二次函数的图象在x 轴上方的部分相交于点D ，求直线CD 的解析式；（3）在直线CD 下方的二次函数的图象上有一动点P ，过点P 作PQ ⊥x 轴，交直线CD 于Q ，当线段PQ 的长最大时，求点P 的坐标．【解答】解：（1）将点O 、A 、B 的坐标代入抛物线表达式得{c =0a +b +c =0√32=94a +32b +c ，解得{a =−2√33b =−2√33c =0，故抛物线的表达式为：y =2√33x 2−2√33x ；（2）由点B 的坐标知，直线BO 的倾斜角为30°，则OB 中垂线（CD ）与x 负半轴的夹角为60°，故设CD 的表达式为：y =−√3x +b ，而OB 中点的坐标为（34，√34），将该点坐标代入CD 表达式并解得：b =√3，故直线CD 的表达式为：y =−√3x +√3；（3）设点P （x ，2√33x 2−2√33x ），则点Q （x ，−√3x +√3），则PQ =−√3x +√3−（2√33x 2−2√33x ）=−2√33x 2−√33x +√3， ∵−2√33＜0，故PQ 有最大值，此时点P 的坐标为（−14，27√316）．。

四川省凉山州2020年中考数学试题

2020年凉山州高中阶段学校招生统一考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.=-20201（）A ．1B ．1-C ．2020D ．2020-2.如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（）A ．B ．C ．D ．3.点)32(，P 关于x 轴对称的点P '的坐标是（）A ．)32(-，B ．)32(，-C ．)32(--，D ．)23(， 4.已知一组数据1，0，3，1-，x ，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是（）A ．1-B ．3C ．1-和3D ．1和35.一元二次方程x x 22=的根为（）A ．0=xB ．2=xC ．0=x 或2=xD ．0=x 或2-=x6.下列等式成立的是（）A ．981±=B ．2525+-=-C ．2)21(1-=-- D ．1)145(tan 0=- 7.若一次函数3)12(-++=m x m y 的图象不经过第二象限，则m 的取值范围是（）A ．21->m B ．3<m C ．321<<-m D ．321≤<-m 8.点C 是线段AB 的中点，点D 是线段AC 的三等分点.若线段cm AB 12=，则线段BD 的长为（）A ．cm 10B ．cm 8C ．cm 8或cm 10D ．cm 2或cm 49.下列命题是真命题的是（）A ．顶点在圆上的角叫圆周角B ．三点确定一个圆C ．圆的切线垂直于半径D ．三角形的内心到三角形三边的距离相等10.如图所示，ABC ∆的顶点在正方形网格的格点上，则A tan 的值为（）A ．21 B ．22 C ．2 D ．22 11.如图，等边三角形ABC 和正方形ADEF 都内接于O Θ，则=AB AD :（）A ．3:22B ．3:2C ．2:3D ．22:312.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，有如下结论:①0>abc ；②02=+b a ；③023<-c b ；④b a bm am +≥+2（m 为实数）.其中正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数1+=x y 中，自变量x 的取值范围是．14.因式分解:=-23ab a ．15.如图，ABCD ◊的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB OE //交AD 于点E ，若1=OA ，AOE ∆的周长等于5，则ABCD ◊的周长等于．16.如图，点C 、D 分别是半圆AOB 上的三等分点，若阴影部分的面π23，则半圆的半径OA 的长为．17.如图，矩形OABC 的面积为3，对角线OB 与双曲线)0,0(>>=x k xk y 相交于点D ，且35:：=OD OB ，则k 的值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.18. 解方程：312122--=--x x x 19. 化简求值:)3(4)2()32)(32(2+++--+x x x x ，其中2=x 20. 如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC ，边mm BC 120=，高mm AD 80=，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？21. 某校团委在“五·四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，广三批对全校20个班的作品进行评比在第一批评比中，随机抽取A 、B 、C 、D 四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如下两幅不完整的统计图（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品件；在扇形统计图中表示C 班的扇形的圆心角的度数为；（2）补全条形统计图（3）第一批评比中，A 班D 班各有一件、B 班C 班各有两件作品获得一等奖。

2020年四川省凉山州中考数学试卷(附详解)

于点 D，且 OB：OD＝5：3，则 k 的值为
．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 32 分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（5 分）解方程：x
1
⏠．
19．（5 分）化简求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣（x+2）2+4（x+3），其中 x ．
20．（7 分）如图，一块材料的形状是锐角三角形 ABC，边 BC＝120mm，高 AD＝80mm，把
①abc＞0；
②2aபைடு நூலகம்b＝0；
③3b﹣2c＜0；
④am2+bm≥a+b（m 为实数）．
其中正确结论的个数是（）
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A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
13．（4 分）函数 y
⏠中，自变量 x 的取值范围是
．
14．（4 分）因式分解：a3﹣ab2＝
它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，这
个正方形零件的边长是多少？
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21．（7 分）某校团委在“五•四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，分三批对全
校 20 个班的作品进行评比．在第一批评比中，随机抽取 A、B、C、D 四个班的征集作品，
不同班级的概率．
22．（8 分）如图，AB 是半圆 AOB 的直径，C 是半圆上的一点，AD 平分∠BAC 交半圆于点 D，过点 D 作 DH⊥AC 与 AC 的延长线交于点 H．（1）求证：DH 是半圆的切线；（2）若 DH＝2 ，sin∠BAC ，求半圆的直径．

2020年四川省凉山州中考数学试卷及答案

2020年四川省凉山州中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．1．（4分）﹣12020＝（）A．1B．﹣1C．2020D．﹣20202．（4分）如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（）A．B．C．D．3．（4分）点P（2，3）关于x轴对称的点P'的坐标是（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（3，2）4．（4分）已知一组数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是（）A．﹣1B．3C．﹣1和3D．1和35．（4分）一元二次方程x2＝2x的根为（）A．x＝0B．x＝2C．x＝0或x＝2D．x＝0或x＝﹣2 6．（4分）下列等式成立的是（）A．√81=±9B．|√5−2|=−√5+2C．（−12）﹣1＝﹣2D．（tan45°﹣1）0＝17．（4分）若一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（）A．m＞−12B．m＜3C．−12＜m＜3D．−12＜m≤38．（4分）点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12cm，则线段BD的长为（）A．10cm B．8cm C．10cm或8cm D．2cm或4cm 9．（4分）下列命题是真命题的是（）A．顶点在圆上的角叫圆周角B．三点确定一个圆C．圆的切线垂直于半径D．三角形的内心到三角形三边的距离相等10．（4分）如图所示，△ABC 的顶点在正方形网格的格点上，则tan A 的值为（）A ．12B ．√22C ．2D ．2√211．（4分）如图，等边三角形ABC 和正方形ADEF 都内接于⊙O ，则AD ：AB ＝（）A ．2√2：√3B ．√2：√3C ．√3：√2D ．√3：2√212．（4分）二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，有如下结论： ①abc ＞0； ②2a +b ＝0； ③3b ﹣2c ＜0；④am 2+bm ≥a +b （m 为实数）．其中正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 13．（4分）函数y =√x +1中，自变量x 的取值范围是． 14．（4分）因式分解：a 3﹣ab 2＝．15．（4分）如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OE ∥AB 交AD 于点E ，若OA＝1，△AOE 的周长等于5，则▱ABCD 的周长等于．16．（4分）如图，点C 、D 分别是半圆AOB 上的三等分点，若阴影部分的面积是32π，则半圆的半径OA 的长为．17．（4分）如图，矩形OABC 的面积为1003，对角线OB 与双曲线y =kx（k ＞0，x ＞0）相交于点D ，且OB ：OD ＝5：3，则k 的值为．三、解答题（本大题共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（5分）解方程：x −x−22=1+2x−13． 19．（5分）化简求值：（2x +3）（2x ﹣3）﹣（x +2）2+4（x +3），其中x =√2．20．（7分）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC ，边BC ＝120mm ，高AD ＝80mm ，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？21．（7分）某校团委在“五•四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，分三批对全校20个班的作品进行评比．在第一批评比中，随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如图两幅不完整的统计图．（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品件；在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为；（2）补全条形统计图；（3）第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同班级的概率．22．（8分）如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分∠BAC交半圆于点D，过点D作DH⊥AC与AC的延长线交于点H．（1）求证：DH是半圆的切线；（2）若DH＝2√5，sin∠BAC=√53，求半圆的直径．四、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）23．（5分）若不等式组{2x＜3(x−3)+13x+24＞x+a恰有四个整数解，则a的取值范围是．24．（5分）如图，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC 上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为．五、解答题（本大题共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（8分）如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．（1）如图1，连接AQ、CP．求证：△ABQ≌△CAP；（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，∠QMC 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．26．（10分）如图，已知直线l：y＝﹣x+5．（1）当反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围．（2）若反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内相交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x2﹣x1＝3时，求k的值，并根据图象写出此时关于x的不等式﹣x+5＜k x的解集．27．（10分）如图，⊙O 的半径为R ，其内接锐角三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ．（1）求证：a sin∠A=b sin∠B=c sin∠C=2R ；（2）若∠A ＝60°，∠C ＝45°，BC ＝4√3，利用（1）的结论求AB 的长和sin ∠B 的值．28．（12分）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +x 的图象过O （0，0）、A （1，0）、B （32，√32）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB 的垂直平分线与y 轴交于点C ，与二次函数的图象在x 轴上方的部分相交于点D ，求直线CD 的解析式；（3）在直线CD 下方的二次函数的图象上有一动点P ，过点P 作PQ ⊥x 轴，交直线CD 于Q ，当线段PQ 的长最大时，求点P 的坐标．2020年四川省凉山州中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．1．（4分）﹣12020＝（）A．1B．﹣1C．2020D．﹣2020【解答】解：﹣12020＝﹣1．故选：B．2．（4分）如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、圆柱的左视图是矩形，故本选项不符合题意；B、三棱锥的左视图是三角形，故本选项符合题意；C、三棱柱的左视图是矩形，故本选项不符合题意；D、正方体的左视图是正方形，故本选项不符合题意．故选：B．3．（4分）点P（2，3）关于x轴对称的点P'的坐标是（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（3，2）【解答】解：点P（2，3）关于x轴对称的点P'的坐标是（2，﹣3）．故选：A．4．（4分）已知一组数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是（）A．﹣1B．3C．﹣1和3D．1和3【解答】解：∵数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，∴1+0+3﹣1+x+2+3＝7×1，解得x＝﹣1，则这组数据为1，0，3，﹣1，﹣1，2，3，∴这组数据的众数为﹣1和3，故选：C．5．（4分）一元二次方程x 2＝2x 的根为（） A ．x ＝0B ．x ＝2C ．x ＝0或x ＝2D ．x ＝0或x ＝﹣2【解答】解：∵x 2＝2x ， ∴x 2﹣2x ＝0，则x （x ﹣2）＝0， ∴x ＝0或x ﹣2＝0，解得x 1＝0，x 2＝2，故选：C ．6．（4分）下列等式成立的是（） A ．√81=±9 B ．|√5−2|=−√5+2C ．（−12）﹣1＝﹣2D ．（tan45°﹣1）0＝1【解答】解：A ．√81=9，此选项计算错误； B ．|√5−2|=√5−2，此选项错误； C ．（−12）﹣1＝﹣2，此选项正确；D ．（tan45°﹣1）0无意义，此选项错误；故选：C ．7．（4分）若一次函数y ＝（2m +1）x +m ﹣3的图象不经过第二象限，则m 的取值范围是（） A ．m ＞−12B ．m ＜3C ．−12＜m ＜3D ．−12＜m ≤3【解答】解：根据题意得{2m +1＞0m −3≤0，解得−12＜m ≤3．故选：D ．8．（4分）点C 是线段AB 的中点，点D 是线段AC 的三等分点．若线段AB ＝12cm ，则线段BD 的长为（） A ．10cmB ．8cmC ．10cm 或8cmD ．2cm 或4cm【解答】解：∵C 是线段AB 的中点，AB ＝12cm ， ∴AC ＝BC =12AB =12×12＝6（cm ），点D 是线段AC 的三等分点，①当AD =13AC 时，如图，BD ＝BC +CD ＝BC +23AC ＝6+4＝10（cm ）； ②当AD =23AC 时，如图，BD ＝BC +CD ′＝BC +13AC ＝6+2＝8（cm ）．所以线段BD 的长为10cm 或8cm ，故选：C ．9．（4分）下列命题是真命题的是（） A ．顶点在圆上的角叫圆周角B ．三点确定一个圆C ．圆的切线垂直于半径D ．三角形的内心到三角形三边的距离相等【解答】解：A 、顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫圆周角，原命题是假命题； B 、不在同一直线上的三点确定一个圆，原命题是假命题； C 、圆的切线垂直于过切点的半径，原命题是假命题； D 、三角形的内心到三角形三边的距离相等，是真命题；故选：D ．10．（4分）如图所示，△ABC 的顶点在正方形网格的格点上，则tan A 的值为（）A ．12B ．√22C ．2D ．2√2【解答】解：如图，连接BD ，由网格的特点可得，BD ⊥AC ， AD =√22+22=2√2，BD =√12+12=√2， ∴tan A =BD AD =√22√2=12，故选：A ．11．（4分）如图，等边三角形ABC 和正方形ADEF 都内接于⊙O ，则AD ：AB ＝（）A ．2√2：√3B ．√2：√3C ．√3：√2D ．√3：2√2【解答】解：连接OA 、OB 、OD ，过O 作OH ⊥AB 于H ，如图所示：则AH ＝BH =12AB ，∵正方形ABCD 和等边三角形AEF 都内接于⊙O ， ∴∠AOB ＝120°，∠AOD ＝90°， ∵OA ＝OD ＝OB ，∴△AOD 是等腰直角三角形，∠AOH ＝∠BOH =12×120°＝60°， ∴AD =√2OA ，AH ＝OA •sin60°=√32OA ， ∴AB ＝2AH ＝2×√32OA =√3OA ， ∴AD AB=√2OA √3OA =√2√3，故选：B ．12．（4分）二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，有如下结论： ①abc ＞0；中考数学试题②2a+b＝0；③3b﹣2c＜0；④am2+bm≥a+b（m为实数）．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴ab＜0，∵c＜0∴abc＞0故①正确；②∵对称轴x=−b2a=1，∴2a+b＝0；故②正确；③∵2a+b＝0，∴a=−12b，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，∴−12b﹣b+c＞0∴3b﹣2c＜0故③正确；④根据图象知，当x＝1时，y有最小值；当m为实数时，有am2+bm+c≥a+b+c，所以am2+bm≥a+b（m为实数）．故④正确．本题正确的结论有：①②③④，4个；故选：D ．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13．（4分）函数y =√x +1中，自变量x 的取值范围是 x ≥﹣1 ．【解答】解：由题意得，x +1≥0，解得x ≥﹣1．故答案为：x ≥﹣1．14．（4分）因式分解：a 3﹣ab 2＝ a （a +b ）（a ﹣b ）．【解答】解：a 3﹣ab 2＝a （a 2﹣b 2）＝a （a +b ）（a ﹣b ）．15．（4分）如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OE ∥AB 交AD 于点E ，若OA ＝1，△AOE 的周长等于5，则▱ABCD 的周长等于 16 ．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，OB ＝OD ， ∵OE ∥AB ，∴OE 是△ABD 的中位线， ∴AB ＝2OE ，AD ＝2AE ， ∵△AOE 的周长等于5， ∴OA +AE +OE ＝5，∴AE +OE ＝5﹣OA ＝5﹣1＝4， ∴AB +AD ＝2AE +2OE ＝8，∴▱ABCD 的周长＝2×（AB +AD ）＝2×8＝16；故答案为：16．16．（4分）如图，点C 、D 分别是半圆AOB 上的三等分点，若阴影部分的面积是32π，则半圆的半径OA 的长为 3 ．【解答】解：连接OC 、OD 、CD ．∵△COD 和△CBD 等底等高， ∴S △COD ＝S △BCD ．∵点C ，D 为半圆的三等分点， ∴∠COD ＝180°÷3＝60°， ∴阴影部分的面积＝S 扇形COD ， ∵阴影部分的面积是32π，∴60π⋅r 2360=32π，∴r ＝3，故答案为3．17．（4分）如图，矩形OABC 的面积为1003，对角线OB 与双曲线y =kx（k ＞0，x ＞0）相交于点D ，且OB ：OD ＝5：3，则k 的值为 12 ．【解答】解：设D 的坐标是（3m ，3n ），则B 的坐标是（5m ，5n ）． ∵矩形OABC 的面积为1003，∴5m •5n =1003， ∴mn =43．把D的坐标代入函数解析式得：3n=k3m，∴k＝9mn＝9×43=12．故答案为12．三、解答题（本大题共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（5分）解方程：x−x−22=1+2x−13．【解答】解：去分母，得：6x﹣3（x﹣2）＝6+2（2x﹣1），去括号，得：6x﹣3x+6＝6+4x﹣2，移项，得：6x﹣3x﹣4x＝6﹣6﹣2，合并同类项，得：﹣x＝﹣2，系数化为1，得：x＝2．19．（5分）化简求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣（x+2）2+4（x+3），其中x=√2．【解答】解：原式＝4x2﹣9﹣（x2+4x+4）+4x+12＝4x2﹣9﹣x2﹣4x﹣4+4x+12＝3x2﹣1，当x=√2时，原式＝3×（√2）2﹣1＝3×2﹣1＝6﹣1＝5．20．（7分）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？【解答】解：∵四边形EGFH为正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD⊥BC，∴EFBC =AKAD，∴x120=80−x80，解得：x＝48．答：正方形零件的边长为48mm．21．（7分）某校团委在“五•四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，分三批对全校20个班的作品进行评比．在第一批评比中，随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如图两幅不完整的统计图．（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品24件；在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为150°；（2）补全条形统计图；（3）第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同班级的概率．【解答】解：（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品6÷25%＝24（件），则C 班级作品数为24﹣（4+6+4）＝10（件），∴在扇形统计图中表示C 班的扇形的圆心角的度数为360°×1024=150°，故答案为：24、150°；（2）补全图形如下：（3）列表如下：A B B C C D A BA BA CA CA DA B AB BB CB CB DB B AB BB CB CB DB C AC BC BC CC DC C AC BC BC CC DC DADBDBDCDCD由表可知，共有30种等可能结果，其中抽取的作品来自两个不同班级的有26种结果， ∴抽取的作品来自两个不同班级的概率为2630=1315．22．（8分）如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分∠BAC交半圆于点D，过点D作DH⊥AC与AC的延长线交于点H．（1）求证：DH是半圆的切线；（2）若DH＝2√5，sin∠BAC=√53，求半圆的直径．【解答】（1）证明：连接OD，∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ADO，∴AH∥OD，∵DH⊥AC，∴OD⊥DH，∴DH是半圆的切线；（2）解：连接BC交OD于E，∵AB是半圆AOB的直径，∴∠ACB＝90°，∴四边形CEDH是矩形，∴CE＝DH＝2√5，∠DEC＝90°，∴OD⊥BC，∴BC＝2CE＝4√5，∵sin∠BAC=BCAB=√53，∴AB＝12，即半圆的直径为12．四、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 23．（5分）若不等式组{2x ＜3(x −3)+13x+24＞x +a恰有四个整数解，则a 的取值范围是 −114≤a ＜−52 ．【解答】解：解不等式2x ＜3（x ﹣3）+1，得：x ＞8，解不等式3x+24＞x +a ，得：x ＜2﹣4a ，∵不等式组有4个整数解， ∴12＜2﹣4a ≤13，解得：−114≤a ＜−52，故答案为：−114≤a ＜−52．24．（5分）如图，矩形ABCD 中，AD ＝12，AB ＝8，E 是AB 上一点，且EB ＝3，F 是BC 上一动点，若将△EBF 沿EF 对折后，点B 落在点P 处，则点P 到点D 的最短距离为 10 ．【解答】解：如图，连接PD ，DE ，∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝90°， ∵AB ＝8，BE ＝3，∴AE ＝5， ∵AD ＝12，∴DE =√52+122=13，由折叠得：EB ＝EP ＝3， ∵EP +DP ≥ED ，∴当E 、P 、D 共线时，DP 最小， ∴DP ＝DE ﹣EP ＝13﹣3＝10；故答案为：10．五、解答题（本大题共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 25．（8分）如图，点P 、Q 分别是等边△ABC 边AB 、BC 上的动点（端点除外），点P 、点Q 以相同的速度，同时从点A 、点B 出发．（1）如图1，连接AQ 、CP ．求证：△ABQ ≌△CAP ；（2）如图1，当点P 、Q 分别在AB 、BC 边上运动时，AQ 、CP 相交于点M ，∠QMC 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；（3）如图2，当点P 、Q 在AB 、BC 的延长线上运动时，直线AQ 、CP 相交于M ，∠QMC 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．【解答】解：（1）证明：如图1，∵△ABC 是等边三角形 ∴∠ABQ ＝∠CAP ＝60°，AB ＝CA ，又∵点P 、Q 运动速度相同， ∴AP ＝BQ ，在△ABQ 与△CAP 中， {AB =CA∠ABQ =∠CPA AP =BQ，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；（2）点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC是△ACM的外角，∴∠QMC＝∠ACP+∠MAC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC∵∠BAC＝60°，∴∠QMC＝60°；（3）如图2，点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变理由：同理可得，△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC是△APM的外角，∴∠QMC＝∠BAQ+∠APM，∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠P AC＝180°﹣60°＝120°，即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC的度数为120°．26．（10分）如图，已知直线l：y＝﹣x+5．（1）当反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围．（2）若反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内相交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x2﹣x1＝3时，求k的值，并根据图象写出此时关于x的不等式﹣x+5＜k x的解集．【解答】解：（1）将直线l的表达式与反比例函数表达式联立并整理得：x2﹣5x+k＝0，由题意得：△＝25﹣4k≥0，解得：k≤25 4，故k的取值范围0＜k≤25 4；（2）设点A（m，﹣m+5），而x2﹣x1＝3，则点B（m+3，﹣m+2），点A、B都在反比例函数上，故m（﹣m+5）＝（m+3）（﹣m+2），解得：m＝1，故点A、B的坐标分别为（1，4）、（4，1）；将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝4×1＝4，观察函数图象知，当﹣x+5＜kx时，0＜x＜1或x＞4．27．（10分）如图，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．（1）求证：asin∠A =bsin∠B=csin∠C=2R；（2）若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝4√3，利用（1）的结论求AB的长和sin∠B的值．【解答】（1）证明：作直径BE，连接CE，如图所示：则∠BCE ＝90°，∠E ＝∠A ，∴sin A ＝sin E =BC BE =a 2R ，∴a sinA =2R ，同理：b sin∠B =2R ，c sin∠C =2R ， ∴a sin∠A =b sin∠B =c sin∠C =2R ；（2）解：由（1）得：AB sinC =BC sinA ，即AB sin45°=4√3sin60°=2R ， ∴AB =√3×√22√32=4√2，2R =4√3√32=8，过B 作BH ⊥AC 于H ，∵∠AHB ＝∠BHC ＝90°， ∴AH ＝AB •cos60°＝4√2×12=2√2，CH =√22BC ＝2√6， ∴AC ＝AH +CH ＝2（√2+√6），∴sin ∠B =AC 2R =2(√2+√6)8=√2+√64．28．（12分）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +x 的图象过O （0，0）、A （1，0）、B （32，√32）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB 的垂直平分线与y 轴交于点C ，与二次函数的图象在x 轴上方的部分相交于点D ，求直线CD 的解析式；（3）在直线CD 下方的二次函数的图象上有一动点P ，过点P 作PQ ⊥x 轴，交直线CD 于Q ，当线段PQ 的长最大时，求点P 的坐标．【解答】解：（1）将点O 、A 、B 的坐标代入抛物线表达式得{c =0a +b +c =0√32=94a +32b +c ，解得{a =−2√33b =−2√33c =0，故抛物线的表达式为：y =2√33x 2−2√33x ；（2）由点B 的坐标知，直线BO 的倾斜角为30°，则OB 中垂线（CD ）与x 负半轴的夹角为60°，故设CD 的表达式为：y =−√3x +b ，而OB 中点的坐标为（34，√34），将该点坐标代入CD 表达式并解得：b =√3，故直线CD 的表达式为：y =−√3x +√3；（3）设点P （x ，2√33x 2−2√33x ），则点Q （x ，−√3x +√3），则PQ =−√3x +√3−（2√33x 2−2√33x ）=−2√33x 2−√33x +√3， ∵−2√33＜0，故PQ 有最大值，此时点P 的坐标为（−14，27√316）．。

四川省凉山州2020年中考数学试题(解析版)

∴BD=BC+CD=6+2=8cm；
当AD= AC=2cm时，CD=AC-AD=4cm
∴BD=BC+CD=6+4=10cm；
故选C．
【点睛】此题主要考查线段之间的关系，解题的关键是熟知线段的和差关系．
9.下列命题是真命题的是（）
A.顶点在圆上的角叫圆周角
B.三点确定一个圆
C.圆的切线垂直于半径
D.三角形的内心到三角形三边的距离相等
【详解】如图，过点O作，，设圆的半径为r，
∴△OBM与△ODN是直角三角形，，
∵等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于，
∴ , ，
∴ ，，
∴ ，，
∴ ．
故答案选B．
【点睛】本题主要考查了圆的垂径定理知识点应用，结合等边三角形和正方形的性质，利用三角函数求解是解题的关键．
12.二次函数的图象如图所示，有如下结论：① ；② ；③ ；④ （m为实数）．其中正确结论的个数是（）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据圆周角的定义、圆的定义、切线的定义，以及三角形内心的性质，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫圆周角，故A错误；
B、不在同一条直线上的三点确定一个圆，故B错误；
C、圆的切线垂直于过切点的半径，故C错误；
D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，故D正确；
综上，正确结论的个数有4个．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与其系数间的关系等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）