2007年全县初三年级数学竞赛试卷

2007年全县初三年级数学竞赛试卷 （第一试）一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）1. 在平面直角坐标系中，点(34)-，所在的象限是 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.如图，已知□ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于平面直角坐标系的原点，点A 的坐标为（-2，3），则点C 的坐标为 （ ）A ．（-3，2）B ．（-2，-3）C ．（3，-2）D ．（2，-3）3.如图，是一次函数y =kx+b 与反比例函数y =2x 的图像，则关于x 的方程kx +b =2x的解 为 （ ）A ．x l =1， x 2=2B ．x l = -2，x 2= -1C ．x l =1，x 2= -2D ．x l =2， x 2= -14. 已知21+=m ，21-=n ，且8)763)(147(22=--+-n n a m m ，则a 的值等于 （ ）A. －9B. －5C. 5D.95.如图，在等边ABC △中，9AC =，点O 在AC 上，且3AO =，点P 是AB 上一动点，连结OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60得到线段OD ．要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是（ ）A ．8B ．6C ．5D ．4 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6. 邓老师设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：时，输出的数据是 ．7.将直线2y x =向右平移2个单位所得的直线的解析式是 .（第5题）8. 如图2，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，40EOD ∠= ，则DCF ∠= ．9.将4个数a b c d ，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a b cd，定义a bcdad bc =-，上述记号就叫做2阶行列式．若1111x x x x +--+6=，则x = ． 10.ABCD 绕点A 逆时针方向旋转30o 后得到正方形AB C D '''，则图中阴影部分的面积为 __________平方单位．三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11.为了迎接暑期旅游，某旅行社推出了一种价格优惠方案：从现在开始，各条旅游线路的价格每人y （元）是原来价格每人x （元）的一次函数．现知道其中两条旅游线路原来旅游价格分别为每人2100元和2800元，而现在旅游的价格分别为每人1800元和2300元． （1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）； （2）王老师想参加该旅行社原价格为5600元的一条线路的暑期旅游，请帮王老师算出这条线路的价格．12.课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD 中，AC 平分DAB ∠, ︒=∠60DAB , B ∠与D ∠互补，求证：AC AD AB 3=+．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ＡＢＣＤ特殊化，看如何解决该问题．EFCDGO（第８题）ABC （第10题）（1）特殊情况入手添加条件：“D B ∠=∠”, 如图2，可证AC AD AB 3=+．（请你完成此证明）（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过Ｃ点分别作AB 、AD 的垂线，垂足分别为E 、F ．（请你补全证明）13. 某班级为准备元旦联欢会，欲购买价格分别为2元、4元和10元的三种奖品，每种奖品至少购买一件，共买16件，恰好用50元．若2元的奖品购买a 件． （1）用含a 的代数式表示另外两种奖品的件数； （2）请你设计购买方案，并说明理由．14. 如图，ABCD 是边长为1的正方形，其中 DE EF FG，，的圆心依次是点A B C ，，． （1）求点D 沿三条圆弧运动到点G 所经过的路线长；（2）判断直线GB 与DF 的位置关系，并说明理由．2007年全县初三年级数学竞赛试卷（第一试） 参考答案及评分标准一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）1. D ；2. D ；3. C ；4. A ；5. B .FBAEDCG二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） ;7.2(2)y x =-; 8. 20°;9. 3三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11.解：（1）设y 与x 的函数关系式为y kx b =+，………… 2分由题意，得2100180028002300k b k b +=⎧⎨+=⎩，，······································································· 6分解之，得57300k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，．y ∴与x 的函数关系式为53007y x =+． ····················································· 10分 （2）当5600x =时，5560030043007y =⨯+=元． ∴王老师旅游这条线路的价格是4300元． ···················································· 15分12.证： （1） ︒=∠=∠90D B ， ︒=∠=∠30CAD CAB ， …… 2分∴ AC AB 23=， AC AD 23=， ∴AC AD AB 3=+． …… 5分（2）由（1）知，AC AF AE 3=+．………7分AC 为角平分线， AD CF ⊥， AB CE ⊥，∴ CF CE =，而ABC ∠与D ∠互补，ABC ∠与CBE ∠也互补，∴D ∠=CBE ∠，∴ CDF Rt ∆≌CBE Rt ∆，∴ BE DF =， ……………………………………11分∴ AC AF AE AF BE AB FD AF AB AD AB 3)()(=+=++=++=+．……………………………………15分13. 解：（1）设4元钱的奖品买x 件，10元钱的奖品买y 件． 1分由题意，得16241050a x y a x y ++=⎧⎨++=⎩，．解得554373a x a y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，．··································· 5分4∴元钱的奖品为5543a -件，10元钱的奖品为73a -件． ····························· 6分（2）由题意，得554137131aa a -⎧⎪⎪-⎪⎨⎪⎪⎪⎩，，．≥≥≥ ·································································· 8分 解得1013a ≤≤． ··············································································· 10分 a 为正整数，a ∴=10，11，12，13． ······················································ 11分 当10a =时，5x =，1y =；当11a =时，11433x y ==，（不合题意，舍去）； 当12a =时，73x =，53y =（不合题意，舍去）；当13a =时，1x =，2y =． ··································································· 13分∴购买奖品的方案有两种：方案一：2元的奖品买10件，4元的奖品买5件，10元的奖品买1件；方案二：2元的奖品买13件，4元的奖品买1件，10元的奖品买2件．……………………15分14.解：（1）1AD =∵，90DAE ∠=°， DE ∴的长190π1π1802l ⨯==．………………2分 同理， EF 的长290π2π180l ⨯==，………………4分 FG 的长390π33π1802l ⨯==，………………6分 ∴点D 运动到点G 所经过的路线长1233πl l l l =++=．………………7分（2）直线GB DF ⊥． ………………8分理由如下：延长GB 交DF 于H ．CD CB =∵，DCF BCG ∠=∠，CF CG =， FDC GBC ∴△≌△． ………………12分 F G ∠=∠∴． ………………13分 又90F FDC ∠+∠=∵°，90G FDC ∠+∠=∴°．即90GHD ∠=°，故BG DF ⊥． ……………… 15分。