线性规划-单纯形法课件
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第1讲线性规划及单纯形法
21
解：目标函数： Min 约束条件：
f = 2x1 + 3 x2
s.t.
x1 + x2 ≥ 350
x1 ≥ 125
2 x1 + x2 ≤ 600
x1 , x2 ≥ 0 采用图解法。如下图：得Q点坐标（250，100）为最优解。
x2
x1 =125
600
500
2x1+3x2 =1200
400
2x1+x2 =600
26
凸集
定义 2.2.1：设 S Rn 是 n 维欧氏空间的点集，若对任意 x S, y S 的和任意 [0,1] 都有 x (1 ) y S 就称 S 是一个凸集。
定理 2.2.1 线性规划的可行域 D { x Ax b, x 0} 是凸集 定理 2.2.2 任意多个凸集 Si 的交还是凸集
例1 目标函数： max 50x1+100x2 约束条件：x1+x2+s1=300，
2x1+x2+s2=400， x2+s3=250.
xj≥0 （j=1，2）,sj≥0 （j=1，2,3）
30
它的系数矩阵 ,
1 1 1 0 0
A(p1,p2,p3,p4,p5)2 1 0 1 0
0 1 0 0 1
其中pj为系数矩阵A第j列的向量。A的秩为3,A的秩m小于此方程组的变
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n s i b i , s i 0
或
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
松弛变量
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n s i b i , s i 0
解：目标函数： Min 约束条件：
f = 2x1 + 3 x2
s.t.
x1 + x2 ≥ 350
x1 ≥ 125
2 x1 + x2 ≤ 600
x1 , x2 ≥ 0 采用图解法。如下图：得Q点坐标（250，100）为最优解。
x2
x1 =125
600
500
2x1+3x2 =1200
400
2x1+x2 =600
26
凸集
定义 2.2.1：设 S Rn 是 n 维欧氏空间的点集，若对任意 x S, y S 的和任意 [0,1] 都有 x (1 ) y S 就称 S 是一个凸集。
定理 2.2.1 线性规划的可行域 D { x Ax b, x 0} 是凸集 定理 2.2.2 任意多个凸集 Si 的交还是凸集
例1 目标函数： max 50x1+100x2 约束条件：x1+x2+s1=300，
2x1+x2+s2=400， x2+s3=250.
xj≥0 （j=1，2）,sj≥0 （j=1，2,3）
30
它的系数矩阵 ,
1 1 1 0 0
A(p1,p2,p3,p4,p5)2 1 0 1 0
0 1 0 0 1
其中pj为系数矩阵A第j列的向量。A的秩为3,A的秩m小于此方程组的变
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n s i b i , s i 0
或
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
松弛变量
a i1 x 1 a i 2 x 2 a in x n s i b i , s i 0
线性规划与单纯形法PPT课件
Max Z = 50 x1 + 30 x2
第3步 --表示约束条件
4x1+3x2 120（木工工时限制） 2x1+x2 50 （油漆工工时限制）
x1，x2≥0 （变量取非负值限制）
该计划的数学模型
max Z=50x1+30x2 4x1+3x2 120
s.t.
2x1+ x2 50 x1, x2 0
问如何组织生产才能使每月的销售收入最大？
• 第1步 -确定决策变量
是问题中要确定的未知量
xx •设
1 ——桌子的产量 2 ——椅子的产量
，表明规划中的用数量表 示的方案、措施，可由决 策者决定和控制。
z ——利润
x1
x2
第2步 --定义目标函数
Max Z = 50 x1 + 30 x2
第2步 --定义目标函数
线性规模解决的问题
• 给定一定数量的人力、物力、财力等资源， 研究如何充分利用，以发挥其最大效果
• 已给定计划任务，研究如何统筹安排，用最 少的人力、物力、财力去完成
2、线性规划问题的数学模型
线性规划数学模型三要素：
决策变量、目标函数、约束条件
➢ 每一个线性规划问题都有一组决策变量 (x1, x2, ……, xn) , 这组决策变量的值就代表 一个具体方案。
1、问题的提出
例1.1 生产计划问题（资源利用问题） 某家具厂生产桌子和椅子两种家具。 桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/个。 需要木工和油漆工两种工种。 生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。 生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。 该厂每个月可用木工工时为120小时， 油漆工工时为50小时。
第1工厂投污水的水质要求 ：(2 x1) 2 500 1000
第3步 --表示约束条件
4x1+3x2 120（木工工时限制） 2x1+x2 50 （油漆工工时限制）
x1，x2≥0 （变量取非负值限制）
该计划的数学模型
max Z=50x1+30x2 4x1+3x2 120
s.t.
2x1+ x2 50 x1, x2 0
问如何组织生产才能使每月的销售收入最大？
• 第1步 -确定决策变量
是问题中要确定的未知量
xx •设
1 ——桌子的产量 2 ——椅子的产量
，表明规划中的用数量表 示的方案、措施，可由决 策者决定和控制。
z ——利润
x1
x2
第2步 --定义目标函数
Max Z = 50 x1 + 30 x2
第2步 --定义目标函数
线性规模解决的问题
• 给定一定数量的人力、物力、财力等资源， 研究如何充分利用，以发挥其最大效果
• 已给定计划任务，研究如何统筹安排，用最 少的人力、物力、财力去完成
2、线性规划问题的数学模型
线性规划数学模型三要素：
决策变量、目标函数、约束条件
➢ 每一个线性规划问题都有一组决策变量 (x1, x2, ……, xn) , 这组决策变量的值就代表 一个具体方案。
1、问题的提出
例1.1 生产计划问题（资源利用问题） 某家具厂生产桌子和椅子两种家具。 桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/个。 需要木工和油漆工两种工种。 生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。 生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。 该厂每个月可用木工工时为120小时， 油漆工工时为50小时。
第1工厂投污水的水质要求 ：(2 x1) 2 500 1000
第1章-线性规划及单纯形法-课件(1)
✓ x1、 x2 0
IБайду номын сангаас
设备
1
原材料 A 4
原材料 B 0
利润
2
II 资源限量
2 8 台时
0
16kg
4
12kg
3
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
该计划的数学模型
✓ 目标函数 ✓ 约束条件
Max Z = 2x1 + 3x2
x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x1
✓ 美国航空公司关于哪架飞机用于哪一航班和哪些 机组人员被安排于哪架飞机的决策。
✓ 美国国防部关于如何从现有的一些基地向海湾运 送海湾战争所需要的人员和物资的决策。
✓ ……
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
二、线性规划问题的数学模型
✓ 1、一般形式 ✓ 2、简写形式 ✓ 3、表格形式 ✓ 4、向量形式 ✓ 5、矩阵形式
1、唯一最优解
max Z 2 x 1 3 x 2
2 x 1 2 x 2 12 ⑴
x1 4 x1
2 x2
8 16
⑵ ⑶
4 x 2 12 ⑷
x 1 0 , x 2 0
1 234 56
x2
⑶ ⑷
(4，2)
0 1 234 5678
x1
⑵
⑴
✓最优解：x1 = 4,x2 = 2，有唯一最优解Z=14。
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
三、线性规划模型的标准形式
✓ 1、标准形式 ✓ 2、转换方式
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
1、标准形式
maZx cjxj
xj
aijxj 0
bi
运筹学第四版第二章线性规划及单纯形法
方案的制定受到那些现实条件制约：
确定约束条件
人力资源（劳动力）的限制： 9x1 4x2 360
设备工时的限制：
4x1 5x2 200
原材料资源的限制：
3x1 10x2 300
此外，决策变量的取值不应为负值即 x1 0, x2 0
6
综上所述，我们得到了这个问题的数学模型
目标函数 约束条件
大？
项目
Ⅰ
设备A (h)
0
设备B (h)
6
调试工序(h) 1
利润（元） 2
Ⅱ 每天可用能力
5
15
2
24
表1-2
1
5
1
12
其数学模型为：
max Z 2x1 x2
5x2 15
6xx11
2x2 x2
24 5
x1, x2 0
13
例3：捷运公司在下一年度的1～4月份的4个月内拟租用仓库
堆放物资。已知各月份所需仓库面积列于下表1-3。仓库租
借费用随合同期而定，期限越长，折扣越大，具体数字见表
1-4。租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定
租用面积和期限。因此该厂可根据需要，在任何一个月初办
理租借合同。每次办理时可签一份合同，也可签若干份租用
面积和租用期限不同的合同。试确定该公司签订租借合同的
最优决策，目的是使所租借费用最少。
14
max Z 70 x1 120 x2
9x1 s.t. 43xx11
x1,
4x2 5x2 10x2 x2 0
360 200 300
资源约束
非负约束
其中 约束条件可记 s.t (subject to), 意思为“以… 为条件“、”假定“、”满足“之意。
第3章 线性规划的单纯形法《管理运筹学》PPT课件
当第一阶段求解结果表明问题有可行解时，第二阶段 是在原问题中去除人工变量，并从此可行解（第一阶段的 最优解）出发，继续寻找问题的最优解。
3.3 关于单纯形法的进一步讨论
根据以上思路，我们用二阶段法来求解下面例题： max z=3x1-x2-x3
x1-2x2+x3≤11 s.t. -4x1+x2+2x3≥3
,
C
CB CN
线性规划问题成为 max z=CBTXB+CNTXN+ CIT XI s.t. BXB+NXN+IXI=b XB，XN，XI≥0
3.2 单纯形法原理
这个线性规划问题可以用表3-1来表示：
表3-1称为初始单纯形表。可以看出，单纯形表中 直接包含了单纯形迭代所需要的一切信息。
3.2 单纯形法原理
3.1 线性规划的基本理论
1.可行区域的几何机构 考虑标准的线性规划问题：
min cT x
Ax b
s.t.
x
0
用Rn表示n维的欧式空间，这里x Rn，c Rn ，b Rn
，A Rmn . 不妨设可行区域 D {x Rn | Ax b, x 0} ，因此线性方程组 Ax b 相容，总可以把多余方程去掉，
3.2 单纯形法原理
1. 单纯形表的结构 设线性规划问题为 max z=CTX+CIT XI s.t. AX+XI=b X，XI≥0 设B是线性规划的一个可行基，为了表达简便，不妨
设这个基B包含在矩阵A中，即 A=[B，N]
3.2 单纯形法原理
变量X和目标函数系数向量C也相应写成：
X
XB XN
3.2 单纯形法原理
第三步：在基变量用非基变量表出的表达式中，观 察进基变量增加时各基变量变化情况，在进基变量增加 过程中首先减少到0的基变量成为“离基变量”.当进基 变量的值增加到使离基变量的值降为0时，可行解移动到 相邻的极点。
3.3 关于单纯形法的进一步讨论
根据以上思路，我们用二阶段法来求解下面例题： max z=3x1-x2-x3
x1-2x2+x3≤11 s.t. -4x1+x2+2x3≥3
,
C
CB CN
线性规划问题成为 max z=CBTXB+CNTXN+ CIT XI s.t. BXB+NXN+IXI=b XB，XN，XI≥0
3.2 单纯形法原理
这个线性规划问题可以用表3-1来表示：
表3-1称为初始单纯形表。可以看出，单纯形表中 直接包含了单纯形迭代所需要的一切信息。
3.2 单纯形法原理
3.1 线性规划的基本理论
1.可行区域的几何机构 考虑标准的线性规划问题：
min cT x
Ax b
s.t.
x
0
用Rn表示n维的欧式空间，这里x Rn，c Rn ，b Rn
，A Rmn . 不妨设可行区域 D {x Rn | Ax b, x 0} ，因此线性方程组 Ax b 相容，总可以把多余方程去掉，
3.2 单纯形法原理
1. 单纯形表的结构 设线性规划问题为 max z=CTX+CIT XI s.t. AX+XI=b X，XI≥0 设B是线性规划的一个可行基，为了表达简便，不妨
设这个基B包含在矩阵A中，即 A=[B，N]
3.2 单纯形法原理
变量X和目标函数系数向量C也相应写成：
X
XB XN
3.2 单纯形法原理
第三步：在基变量用非基变量表出的表达式中，观 察进基变量增加时各基变量变化情况，在进基变量增加 过程中首先减少到0的基变量成为“离基变量”.当进基 变量的值增加到使离基变量的值降为0时，可行解移动到 相邻的极点。
第1章线性规划与单纯形法
26
线性规划问题的数学模型
7. 线性规划问题的解
线性规划问题
n
max Z cj xj (1) j 1
s.t
n j 1
aij
xj
bi
(i 1, 2,
, m) (2)
x
j
0,
j
1, 2,
, n (3)
求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组 中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。
解： Max z = 3x1–5x2’+5x2”–8x3 +7x4 s.t. 2x1–3x2’+3x2”+5x3+6x4+x5= 28 4x1+2x2’-2x2”+3x3-9x4-x6= 39 -6x2’+6x2”-2x3-3x4-x7 = 58 x1 ,x2’,x2”,x3 ,x4 ,x5 ,x6 ,x7 ≥ 0
x1 , x2 0, x3无约束
解:（１）因为x3无符号要求 ，即x3取正值也可取负值，标准 型中要求变量非负，所以
用 x3 x3 替换 x3 ，且 x3 , x3 0
20
线性规划问题的数学模型
(2) 第一个约束条件是“≤”号，在“≤”左端加入松驰变量x4， x4≥0,化为等式；
(3) 第二个约束条件是“≥”号，在“≥”左端减去剩余变量x5， x5≥0；
11
线性规划问题的数学模型
3. 建模条件 (1) 优化条件：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且 能够用极值 （max 或 min）来表示；
(2) 限定条件：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够 用决策变量的线性等式或线性不等式表示；
(3) 选择条件：有多种可选择的方案供决策者选择，以便找 出最优方案。
线性规划问题的数学模型
7. 线性规划问题的解
线性规划问题
n
max Z cj xj (1) j 1
s.t
n j 1
aij
xj
bi
(i 1, 2,
, m) (2)
x
j
0,
j
1, 2,
, n (3)
求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组 中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。
解： Max z = 3x1–5x2’+5x2”–8x3 +7x4 s.t. 2x1–3x2’+3x2”+5x3+6x4+x5= 28 4x1+2x2’-2x2”+3x3-9x4-x6= 39 -6x2’+6x2”-2x3-3x4-x7 = 58 x1 ,x2’,x2”,x3 ,x4 ,x5 ,x6 ,x7 ≥ 0
x1 , x2 0, x3无约束
解:（１）因为x3无符号要求 ，即x3取正值也可取负值，标准 型中要求变量非负，所以
用 x3 x3 替换 x3 ，且 x3 , x3 0
20
线性规划问题的数学模型
(2) 第一个约束条件是“≤”号，在“≤”左端加入松驰变量x4， x4≥0,化为等式；
(3) 第二个约束条件是“≥”号，在“≥”左端减去剩余变量x5， x5≥0；
11
线性规划问题的数学模型
3. 建模条件 (1) 优化条件：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且 能够用极值 （max 或 min）来表示；
(2) 限定条件：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够 用决策变量的线性等式或线性不等式表示；
(3) 选择条件：有多种可选择的方案供决策者选择，以便找 出最优方案。
线性规划及单纯形法PPT课件
图
1.建立平面直角坐标系，标出坐标原点,
解
坐标轴的指向和单位长度。
法
2.对约束条件加以图解，找出可行域。 3.画出目标函数等值线。
4.结合目标函数的要求求出最优解。
图
max z 2 x1 x 2
5 x 2 15
s
.t
.
6 x
x
1
1
x
2
2
x2
5
24
x1 , x 2 0
(1.1a) (1.1b)
xj(j1,2, ,n) 称为决策变量
非负约束
cj(j1,2, ,n) 称为价值系数或目标函数系数
bi(i1,2, ,m) 称为资源常数或约束右端常数
aij0 (i=1 ,..,m ;j=1 ,..,n ) 称为技术系数或约束系数
概 念 和 模 型
紧缩形式：
n
max（或min）Z c j x j j 1 n
若线性规划问题的可行域存在， 则可行域是一个凸集。
若线性规划问题的最优解存在， 则最优解或者最优解之一（如果 有无穷多的话）一定是可行域的 凸集的某个顶点。
解题思路是，先找出凸集的任一 顶点，计算在顶点处的目标函数 值。
线性 规划 及单 纯形
法
❖ 线性规划问题及数学模型 ❖ 图解法 ❖ 单纯形法原理 ❖ 单纯形法计算步骤 ❖ 单纯形法进一步讨论 ❖ 数据包络分析 ❖ 其他应用例子
§3单 纯 形 法 原 理
线性规划问题的解的概念 凸集及其顶点 几个基本定理
线性规划问题
n
max z c j x j j 1
s.t.
n j 1
a ij x j
bi
(i 1,.., m )
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3
4
0
0
1
36
xB (x1, x2 , x3 )T xN (x4 , x5 )T
(B,
N
)
X X
B N
b
线性规划解的概念
如果非基变量XN取0值，则约束方程为：
(
B,
N
)
X X
B N
b
BXB b
因B是满秩矩阵，上述右边方程有唯一解:
X B B1b
约束方程特解 x (B1b,0) 称为基本解
3x1
2x2 4x2
x4 12 x5 36
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
x1 x2 x3 x4 x5
1 0 1 0 0 8
A 0 2 0 1 0 12
3
4
0
0
1 36
B1
max z 42
1 2
x4
x5
21 s.t. x1 4 3 x4 3 x5
0 1/ 2 0 (3,5,0)0
向量B-1Pj中至少有一个正分量，则问题没有达到最优； ✓ 如果存在至少一个检验数大于零，该检验数对应的列向
量B-1Pj的所有分量都小于零，则不存在有界最优解。
单纯形方法的矩阵描述
例：未达最优线性规划典则形式
max z 3x1 5x2
x3 8 x1
s.t.
x4 x5
12 2x2 36 3x1
x0
max z cB xB cN xN s.t. BxB NxN b
xB , xN 0
max z cB B1b (cN cB B 1 N )xN s.t. xB B1b B1NxN
xB , xN 0
单纯形方法的矩阵描述
线性规划关于B的典则形式
max z cB B1b (cN cB B 1 N )xN s.t. xB B1b B1NxN
1
2/3 1/ 2 2/3
1/ 3 0 0 1
1/ 30
x2
6
1 2
x4
4 c4 cB B1 p4为非基变量x4的检验公式
x3
4
2 3
x4
1 3
x5
c4 0, cB (3,5,0), p4 (0,1,0)T
单纯形方法的矩阵描述
max z
4x1
4
2 3
x4
1 3
x5
xB , xN 0 1、将问题转化为标准型，找到一个初始可行基；
2、最优性检验:
如果存在 j 0,且B-1 p j 0，该问题无界，停止计算； 否则计算k max{c j cB B1 p j , j J N }。
如果k 0，已找到最优解x* (B1b,0), z* cB B1b,停止计算；
否则选择变量xk 入基，进入步骤3。
3、用准则确定出基变量，计算：
min i
( B 1b)i (B1 pk )i
(B1 pk )i
0
( B 1b) r (B1 pk )r
令基中的第r 个变量x j (xB )r出基。
4、换基迭代：以pk代替p j得到一个新基，转到步骤2。
单纯形计算表
max z cB B1b (cN cB B 1 N )xN s.t. xB B1b B1NxN
单纯形计算表
单纯形计算表
Cj-CBB-1Pj中B是单位矩 阵，实际计算Cj-CBPj
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
4x2
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
max z 0 (3,5)(x1, x2 )T
s.t.
x3 8 1
x4
12
0
x5 36 3
0
2 4
x1 x2
该例中非基变量x1,x2的检验数都为正，且非 基变量x1,x2对应的列向量中都有正的分量， 所以问题没有达到最优。
单纯形法换基准则
线性规划解的概念
✓ 约束方程的基本解不一定是基本可行解， 只有满足非负条件的基本解才是基本可 行解。
✓ 基本可行解对应的基称为可行基。 ✓ 一个基本可行解中如果存在取零值的基
变量，则该解为退化的基本可行解，该 解对应的基为退化基。
单纯形方法的矩阵描述
线性规划标准形式:
max z cx s.t. Ax b
✓ 入基准则：最大检验数法则，选择检验数 最大的非基变量xk入基。
✓ 出基准则：θ检验准则
min i
(B1b)i (B1 pk )i
(B1 pk )i
0
(B1b)r (B1 pk )r
pk 为入基变量对应的列向量
r为基变量的顺序号，不是变量的自然序号
单纯形法算法
max z cB B1b (cN cB B 1 N )xN s.t. xB B1b B1NxN
xB , xN 0 令 xN 0，则xB B1b，z cB B1b 如果B1b 0，则x (B1b,0)是一个基本可行解 cN cB B 1 N是检验向量
j c j cB B1 p j为第j个非基变量的检验数
单纯形方法的矩阵描述
max z 3x1 5x2
x1
x3
8
s.t.
1 x2 6 2 x4
x3
4
2 3
x4
1 3
x5
max z 42 (1/ 2,1)(x4, x5 )T
s.t.
x1 4 2 / 3
x2
6
1/ 2
x3 4 2 / 3
1/3
0 1/
3
x4 x5
✓ 如果所有的检验数都小于等于零，当前解就是最优解； ✓ 如果存在至少一个检验数大于零，且该检验数对应的列
xB , xN 0
单纯形计算表
例.利用单纯形表计算下列线性规划模型 的最优解。
max z 50x1 30x2 s.t. 4x1 3x2 120
2x1 x2 50 x1, x2 0
max z 50x1 30x2 s.t. 4x1 3x2 x3 120
2x1 x2 x4 50 x1, x2 , x3, x4 0
对应XB为基变量；
✓ N为非基矩阵，每列为非基向量，对应XN为
非基变量。
线性规划解的概念
max z 3x1 5x2
x1
x3
8
s.t.
3x1
2x2 4x2
x4 12 x5 36
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
x1 x2 x3 x4 x5
1 0 1 0 0 8
A 0 2 0 1 0 12
单纯形方法
线性规划标准形式
max z cx s.t. Ax b
x0
其中A是秩为m的mxn矩阵， c是n维行向量，x和b是n 维列向量。
线性规划解的概念
不失一般性，假定A的满秩子 矩阵为A的最前m列，则Ax=b 可以写为如右形式，或
(B,
N
)
X X
B N
b
BxB NxN b
✓ B为基矩阵(基)，秩为m，每列为基向量，
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表步骤
初始单纯形表 检验数计算 判优 选择入基变量 计算出基参数 选择出基变量 换基操作 换基迭代：单位化 换基迭代：清零