安徽省淮南市第二中学2015-2016学年高二下学期第一次教学检测理数试题(解析版)

安徽省淮南市第二中学2015-2016学年高二下学期第一次教学检测理数试题第Ⅰ卷（共36分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若抛物线ax y =2的焦点与椭圆22162x y +=的左焦点重合，则a 的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．－4 D ．－8 【答案】D 【解析】试题分析：22162x y +=中2226,242a b c c ==∴=∴=，左焦点为()2,0-，所以284a a =-∴=-考点：椭圆抛物线性质2.已知0>>b a ，椭圆C 1的方程为22221x y a b +=，双曲线C 2的方程为22221x y a b-=，C 1与C 2的离心率之积为，则C 2的渐近线方程为（ ） A ．02=±y x B ．02=±y x C ．02=±y x D ．02=±y x【答案】A 【解析】2244434a b a b a +-===4414b b a a ∴=∴= 所以渐近线为02=±y x考点：椭圆双曲线性质3.如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，90=∠ACB ，21=AA ，1==BC AC ，则异面直线B A 1与AC 所成角的余弦值是( )．D.【答案】C 【解析】试题分析：连结1BC ，由AC ∥11A C 可得异面直线所成角为11BAC ∠，在11BAC ∆中11111,AC BC A B ===222111111111cos 2A B AC BC BAC A B AC +-∠==考点：异面直线所成角4.已知R 上的可导函数()f x 的图象如图所示，则不等式()()2230x x f x '-->的解集为（ ）A ．()(),21,-∞-+∞错误！未找到引用源。

B ．()(),21,2-∞-错误！未找到引用源。

C ．()()(),11,13,-∞--+∞D ．()()(),11,02,-∞--+∞【答案】C 【解析】试题分析：由函数图象可知f ′（x ）＞0的解集为：（-∞，-1）∪（1，+∞）， f ′（x ）＜0的解集为：（-1，1）．由()()2230x x f x '-->得()2'2300x x f x ⎧-->⎪⎨>⎪⎩①或()2'2300x x f x ⎧--<⎪⎨<⎪⎩②，解①得：x ＜-1或x ＞3；解②得：-1＜x ＜1． ∴不等式()()2230x x f x '-->的解集为()()(),11,13,-∞--+∞考点：函数导数与单调性5.设正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，则点1D 到平面BD A 1的距离是( )A ．23B ．22 C ．322 D ．332 【答案】D考点：点、线、面间的距离计算6.某产品的销售收入1y （万元）是产量x （千台）的函数：)0(1721>=x x y ，生产成本2y （万元）是产量x （千台）的函数：)0(2232>-=x x x y ，为使利润最大，应生产（ ） A.6千台 B. 7千台 C.8千台 D.9千台 【答案】A 【解析】试题分析：根据题意，利润函数为()32122180y y y x xx =-=-+>，对函数求导，得'2636y x x =-+令y ′=0，解得x=0，或x=6；∴当x ∈（0，6）时，y ′＞0，y 是增函数；当x ∈（6，+∞）时，y ′＜0，y 是减函数；∴当x=6时，y 取得最大值． 所以，为使利润最大，应生产6千台 考点：函数解析式的求解及常用方法；基本不等式7.如图，空间四边形OABC 中，===,,.点M 在OA 上，且MA OM 2=,点N 为BC 中点，则=MN （ ）+- B.++--+-+ 【答案】B 【解析】试题分析：1121121132322322MN MA AB BN OA OB OA BC OA OB OC a b c =++=+-+=-++=-++ 考点：向量加减混合运算及其几何意义8.已知函数()y f x =的图像在点()()1,1f 处的切线方程是210x y -+=，若()()xg x f x =，则()1g '=（ ） A ．12 B ．12- C ．32- D ．2 【答案】A 【解析】试题分析：：∵函数y=f （x ）的图象在点（1，f （1））处的切线方程是x-2y+1=0，∴f （1）=1，f ′（1）= 12，∵()()x g x f x =，∴()()()()''2f x xf xg x f x -=， 则()()()()''2111112f fg f -== 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程9.已知点O 是四边形ABCD 所在平面外任意一点，且y x -+=2（R y x ∈,）,则22y x +的最小值为（ ） A.0 B.21C. 22D.1【答案】B【解析】试题分析：：∵y x -+=2，R y x ∈,， ∴2+x-y=1，∴y=x+1， ∴()22221111442x y x x +=++≥+= 考点：向量的线性运算性质及几何意义10.如图所示，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，线段11D B 上有两个动点F E ,且EF ，则下列结论中错误的是( )．A ．BE AC ⊥B ．EF //平面ABCDC ．三棱锥BEF A -的体积为定值D ．异面直线BF AE ,所成的角为定值 【答案】D 【解析】试题分析：∵AC ⊥平面11BB D D ，又BE ⊂平面11BB D D ∴AC ⊥BE ．故①正确．∵11B D ∥平面ABCD ，又E 、F 在直线11B D 上运动，∴EF ∥平面ABCD ．故②正确．③中由于点B 到直线11B D 的距离不变，故△BEF 的面积为定值．又点A 到平面BEF ，故三棱锥BEF A -的体积为定值．③正确；当点E 在1D 处，F 为11B D 的中点时，异面直线AE ，BF 所成的角是1OD A ∠，当E 在上底面的中心时，F 在1B 的位置，异面直线AE ， BF 所成的角是∠OEA ，显然两个角不相等，④不正确．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角11.已知函数()3sin 34(,)f x a x bx a R b R =++∈∈，()f x '为()f x 的导函数，则()()2014(2014)2015(2015)f f f f ''+-+--=（ ）A ．0B ．8C ．2014D ．2015 【答案】B 【解析】 试题分析：()()()3'2'sin 343cos33f x a x bx f x a x bx f x =++∴=+∴是偶函数，所以()2015(2015)0f f ''--=()()()2014(2014)2015(2015)2014(2014)8f f f f f f ''∴+-+--=+-=考点：函数奇偶性与函数求值12.已知函数()221ln f x x x a x =-++有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，则（ ）A ．()212ln 24f x +<-B ．()212ln 24f x -< C ．()212ln 24f x -> D ．()212ln 24f x +>【答案】C 【解析】试题分析：由题意()221ln f x x x a x =-++的定义域为（0，+∞），∴()2'2222a x x af x x x x-+=-+=；∵f （x ）有两个极值点1x ，2x ，∴f ′（x ）=0有两个不同的正实根1x ，2x ，∵120x x <<，且121x x +=，∴222211,222x a x x <<=-，∴()()222222222122ln f x x x x x x =-++-． 令()()222122ln g t t t t t t =-++-，其中112t <<，则g ′（t ）=2（1-2t ）lnt ．当t ∈1,12⎛⎫⎪⎝⎭时，g ′（t ）＞0，∴g （t ）在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数．∴()112ln 224g t g -⎛⎫>=⎪⎝⎭． 故()()2212ln 24f xg x -=>考点：利用导数研究函数的极值第Ⅱ卷（共64分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.已知双曲线221916x y -=，12,F F 分别为它的左、右焦点，P 为双曲线上一点，设 17PF =，则2PF 的值为 ．【答案】13 【解析】试题分析：由方程可知212293,26613a a a PF PF PF =∴==∴-=∴= 考点：双曲线定义及性质14.已知)3,1,1(),2,1,1(--==b a 且)//()(b a b a k -+，则=k 【答案】1- 【解析】试题分析：()()(),,21,1,31,1,23ka b k k k k k k +=+--=--+ ，()2,2,1a b -=-()()//()12231ka b a b k k k +-∴-=-+∴=-考点：向量的坐标运算15.函数()2, 0,2,x x f x x -≤⎧=<≤，则()22f x dx -⎰的值为 【答案】6π+ 【解析】 试题分析：()()0220222122|62f x dx x dx x x ππ---⎛⎫=-+=-+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰考点：定积分及其几何意义16.已知()xf x xe =，2()(1)g x x a =-++，若12,x x R ∃∈，使得21()()f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是____________． 【答案】1[,)e-+∞ 【解析】试题分析：12,x x R ∃∈，使得21()()f x g x ≤成立，等价于f （x ）min ≤g （x ）max ，()()'1x f x x e =+，当x ＜-1时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减，当x ＞-1时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增， 所以当x=-1时，f （x ）取得最小值f （x ）min=f （-1）=1e-； 当x=-1时g （x ）取得最大值为g （x ）max=g （-1）=a ， 所以1e -≤a ，即实数a 的取值范围是a ≥1e-考点：函数单调性与最值三、解答题 （本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分8分）椭圆C ：12222=+by a x )0(>>b a 的离心率为36，短轴的一个端点到右焦点的距离为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线1+=x y 与椭圆C 交于B A ,两点，求B A ,两点间的距离【答案】（1）1322=+y x （2考点：椭圆方程及性质；直线与椭圆相交的弦长问题18.（本小题满分10分）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，E D ,分别是1,BB AB 的中点，AB CB AC AA 221===.（1）证明：BC 1∥平面A 1CD（2）求二面角D ﹣A 1C ﹣E 的正弦值．【答案】（1）详见解析（2【解析】试题分析：（Ⅰ）连接1AC 交1A C 于点F ，由三角形中位线定理得1BC ∥DF ，由此能证明1BC ∥平面1ACD （Ⅱ）以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，CB 的方向为y 轴正方向，1CC 的方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系C-xyz ．分别求出平面1ACD 的法向量和平面1ACE 的法向量，利用向量法能求出二面角D ﹣A 1C ﹣E 的正弦值试题解析：（1）证明：连接AC 1交A 1C 于点F ， 则F 为AC 1的中点．又D 是AB 的中点， 连接DF ，则BC 1∥DF ．因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD ．.................................................................................4分 （2）解：由AC=CB=AB ，得AC ⊥BC ． 以C 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，的方向为y 轴正方向，的方向为z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C ﹣xyz ． 设CA=2，则D （1，1，0），E （0，2，1），A 1（2，0，2），=（1，1，0），=（0，2，1），=（2，0，2）．设=（x 1，y 1，z 1）是平面A 1CD 的法向量，则，取x 1=1，得=（1，﹣1，﹣1）．同理，设=（x 2，y 2，z 2）是平面A 1CE 的法向量，则，取x 2=2，得=（2，1，﹣2）．从而cos ＜，＞==，故sin ＜，＞=．即二面角D ﹣A 1C ﹣E 的正弦值为．.......................................10分考点：线面平行的判定；二面角求解19.（本小题满分10分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈ （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程； （2）讨论函数)(x f 的单调区间.【答案】（1）20x y +-=（2）当0a ≤时增区间()0,+∞，当0a >时增区间(),a +∞，减区间()0,a 【解析】试题分析：（1）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决；（2）先求出f （x ）的导数，根据f ′（x ）＞0求得的区间是单调增区间，f ′（x ）＜0求得的区间是单调减区间，因为在函数式中含字母系数a ，要对a 分类讨论试题解析：（Ⅰ）()2,2ln a f x x x =∴=-，()112ln11f ∴=-=，即()1,1A ．()2'1f x x=-，()'1121f ∴=-=-， 由导数的几何意义可知所求切线的斜率()'11k f ==-，所以所求切线方程为()11y x -=--，即20x y +-=．...............4分（2） ()'1a x a f x x x -=-=， 当0a ≤时， 0x >，()'0f x ∴>恒成立，()f x ∴在定义域()0,+∞上单调递增；当0a >时， 令()'0f x =，得x a =，0x >，()'0f x ∴>得x a >；()'0f x <得0x a <<；()f x ∴在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增．.......................10分考点：函数导数的几何意义；函数导数与单调性20.（本小题共12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，PAB ∆和PAD ∆是两个边长为2的正三角形，4DC =，O 为BD 的中点，E 为PA 的中点．（1）求证：PO ⊥平面ABCD ；（2）求直线CB 与平面PDC 所成角的正弦值．【答案】（1）详见解析（2 【解析】试题分析：（Ⅰ）由条件先证明四边形ABFD 为正方形，由等腰三角形的性质证明PO ⊥BD ，由勾股定理求得PO ⊥AO ，从而证得PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）设平面PDC 的法向量为()111,,n x y z =，直线CB 与平面PDC 所成角θ，求出一个法向量为()2,0,1n =又()2,2,0CB =--可得n 和CB 夹角的余弦值，即为直线CB 与平面PDC 所成角的正弦值试题解析：（1）证明：设F 为DC 的中点，连接BF ，则DF AB =∵AB AD ⊥，AB AD =，//AB DC ，∴四边形ABFD 为正方形，∵O 为BD 的中点，∴O 为,AF BD 的交点，∵2PD PB ==，∴PO BD ⊥，∵BD ==∴PO ==，12AO BD ==， 在三角形PAO 中，2224PO AO PA +==，∴PO AO ⊥，∵AO BD O =，∴PO ⊥平面ABCD ； .............................6分（2）由（1）知PO ⊥平面ABCD ，又AB AD ⊥，所以过O 分别做,AD AB 的平行线，以它们做,x y 轴，以OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得：(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，(1,1,0)D -(1,1,0)F ，(1,3,0)C，P ，11(,22E --，则(1,1,PD =-，(1,3,PC =．设平面PDC 的法向量为111(,,)n x y z =，直线CB 与平面PDC 所成角θ，则00n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111111300x y x y ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩，解得1110y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，令11z =，则平面PDC 的一个法向量为(2,0,1)n =，又(2,2,0)CB =--,则sin cos ,θn CB =<>==，∴直线CB 与平面PDC ．..........................12分 考点：线面垂直的判定；线面所成角 21.（本小题满分12分）已知函数()2ln ,f x x ax x a R =+-∈． （1）若函数()f x 在[]1,2上是减函数，求实数a 的取值范围；（2）令()()2g x f x x =-，是否存在实数a ，当(]0,x e ∈（e 是自然常数）时，函数()g x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由；（3）当(]0,x e ∈时，证明：()2251ln 2e x x x x ->+． 【答案】（1）72a ≤-（2）2a e =（3）详见解析 【解析】 试题分析：（1）求导函数，利用函数f （x ）在[1，2]上是减函数，可得()2'210x ax f x x +-=≤在[1，2]上恒成立，考查函数()221h x x ax =+-，即可确定a 的取值范围；（2）求导函数，分类讨论，确定函数的单调性，利用函数g （x ）的最小值是3，即可求出a 的值；（3）原不等式成立只须25ln ln 2e x x x ->+成立．利用()2ln 3g x e x x =-≥，证明5ln 32x+<即可 试题解析：（1）()212120x ax f x x a x x +-'=+-=≤在[]1,2上恒成立，令()2 21h x x ax =+-，有()()1020h h ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩得1,72a a ≤-⎧⎪⎨≤-⎪⎩，得72a ≤-．............3分 （2）假设存在实数a ，使()(]()ln 0,g x ax x x e =-∈有最小值3，()11ax g x a x x -'=-=①当0a ≤时，()g x 在(]0,e 上单调递减，()()min 413,g x g e ae a e ==-==（舍去），②当10e a <<时，()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增 ∴()2min 11ln 3,g x g a a e a ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭，满足条件． ③当1e a ≥时，()g x 在(]0,e 上单调递减，()()min 413,g x g e ae a e ==-==（舍去）， 综上，存在实数2a e =，使得当(]0,x e ∈时()g x 有最小值3．..............7分（3）令()2ln F x e x x =-，由（2）知，()min 3F x =．令()()2ln 51ln ,2x x x x x x ϕϕ-'=+=，当0x e <≤时，()0x ϕ'≥，()h x 在(]0,e 上单调递增∴()()max 15153222x e e ϕϕ==+<+=,2ln 5ln 2x e x x x ->+ 即()2251ln 2e x x x x ->+ ..........................................12分考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用。