2.3：不等式的证明(1)比较法
证明不等式的几种方法
昭通学院学生毕业论文论文题目证明不等式的几种方法姓名学号 201103010128学院数学与统计学院专业数学教育指导教师2014年3月6日证明不等式的几种方法摘 要：证明不等式就是要推出这个不等式对其中所有允许值都成立或推出数值不等式成立。
本文主要归纳了几种不等式证明的常用方法。
关键词：不等式; 证明; 方法 1.引言在定义域中恒成立的不等式叫做恒不等式，确认一个不等式为恒不等式的过程为对该不等式进行证明。
证明不等式的主要方法是根据不等式的性质和已有的恒不等式进行合乎逻辑的等价变换。
主要方法有：比较法、综合法、分析法、反证法、归纳法、放缩法、构造法、导数法、均值不等式性质证明不等式等方法。
2.不等式证明的常用方法2.1 比较法比较法是直接作出所证不等式，两边的差（或商）然后推演出结论的方法。
具体地说欲证B A >)(B A <,直接将差式B A -与0比较大小；或若当+∈R B A ,时，直接将商式BA与1比较大小[]1。
差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“若0≥-b a ,则b a ≥;若0≤-b a ,则b a ≤.”其一般步骤为：1.作差：观察不等式左右两边构成的差式，将其看成一个整体。
2.变形：把不等式两边的差进行变形，或变形成一个常数，或为若干个因式的积，或一个或几个平方和。
其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的方法。
3.判断：根据已知条件与上述变形结果判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求不等式成立的结论。
应用范围：当被证的不等式两端是多项式，对于分式或对数式时，一般使用差值比较法。
商值比较法的理论依据是：“∈b a ,+R ，若b a 1≥则b a ≥;若ba1≤则b a ≤.”其一 般步骤为：1.作商：将左右两端作商。
2.变形：化简商式到最简形式。
3.判断：商与1的大小关系，就是判定商大于1还是小于1。
应用范围：当被证的不等式两端含有幂指数式时，一般使用商值比较法。
证明不等式的基本方法—比较法五篇范文
证明不等式的基本方法—比较法五篇范文第一篇：证明不等式的基本方法—比较法§4.2.1证明不等式的基本方法—比较法【学习目标】能熟练运用比较法来证明不等式。
【新知探究】1．比较法证明不等式的一般步骤：作差（商）—变形—判断—结论.2．作差法：a－b＞0⇒a＞b，a－b＜0⇒a＜b.作差法证明不等式是不等式证明的最基本的方法.作差后需要判断差的符号，作差变形的方向常常是因式分解（分式通分、无理式有理化等）后，把差写成积的形式或配成完全平方式.3．作商法：a＞0，b＞0，a＞1⇒a＞b.b a＞1不能推出a＞b.这里要注意a、b两数的符号.b比商法要注意使用条件，若【自我检测】1中最大的一个是 1-xA.aB.bC.cD.不能确定2．已知x、y∈R，M=x2+y2+1，N=x+y+xy，则M与N的大小关系是A.M≥NB.M≤NC.M=ND.不能确定1．设0＜x＜1，则a=2x，b=1+x，c=3．若11＜＜0，则下列结论不正确的是．．．abB.ab＜b2 A.a2＜b2C.ba+＞2D.|a|+|b|＞|a+b| ab4．已知|a+b|＜－c（a、b、c∈R），给出下列不等式：①a＜－b－c；②a＞－b+c；③a＜b－c；④|a|＜|b|－c；⑤|a|＜－|b|－c.其中一定成立的是____________.（把成立的不等式的序号都填上）5．若a、b∈R，有下列不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2≥2（a －b－1）；③a5+b5＞a3b2+a2b3；④a+1≥2.其中一定成立的是__________.（把成立的不等式的序号都填上）a【典型例题】3322例1、已知a,b都是正数，并且a≠b，求证：a+b>ab+ab.-1 –“学海无涯苦作舟，书山有路勤为径”变式训练：当m＞n时，求证：m3－m2n－3mn2＞2m2n－6mn2＋n3．例2、已知a,b都是正数，求证：aabb≥abba, 当且仅当a=b时，等号成立。
证明不等式的基本方法
8、已知 f ( x ) x 2 px q ，求证： | f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中至 少有一个不小于
1
.
2 1 分析：设 | f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中没有一个大于或等于 ， 2 观察： f (1) 1 p q , f (2) 4 2 p q , f (3) 9 3 p q
cd b cd d d dac cd
把以上四个不等式相加 得 abcd abcd abd bca cbd d ac ab cd . 即 ab cd a b c d 1 2 abd bca cba d ac a b c d
利用综合法证明不等式 时 , 应注意对已证 不等式的使用 , 常用的不等式有 : (1)a 2 0; ( 2 ) a 0; ( 3 )a 2 b 2 2 ab ; 它的变形形式又有 ( a b ) 4 ab ;
2
a b
2
2
2
ab 2
2
(4)
ab
2 a b a b 2( ab 0 ); 2( ab 0 ) b a b a
6、已知 x , y 0,且 x y 2, 1 x 1 y 试证 , 中至少有一个小于 2. y x
1 x 1 y 证明 : 假设 , 都 不 小 于 2, y x
1 x 1 y 即 2, 且 2, y x x , y 0 , 1 x 2 y , 1 y 2 x , 2 x y 2( x y ) x y 2 , 这 与 已 知 条 件 x y 2矛 盾 . 1 x y 与 1 y x 中 至 少 有 一 个 小 于2
不等式的证明方法之一比较法
不等式的证明方法之一：比较法目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a0<-⇔<b a b a二、典型例题：例1、设b a ≠，求证：)(2322b a b b a +>+。
例2、若实数1≠x ，求证：.)1()1(32242x x x x ++>++证明：采用差值比较法： 2242)1()1(3x x x x ++-++=3242422221333x x x x x x x ------++=)1(234+--x x x=)1()1(222++-x x x=].43)21[()1(222++-x x ,043)21(,0)1(,122>++>-≠x x x 且从而 ∴ ,0]43)21[()1(222>++-x x ∴ .)1()1(32242x x x x ++>++讨论：若题设中去掉1≠x 这一限制条件，要求证的结论如何变换？例3、已知,,+∈R b a 求证.a b b a b a b a ≥ 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于b a ,对称，不妨设.0>≥b a0)(0≥-=-∴≥---b a b a b b a b b a b a b a b a b a b a ，从而原不等式得证。
2）商值比较法：设,0>≥b a,0,1≥-≥b a ba .1)(≥=∴-b a a b b a b a b a b a 故原不等式得证。
注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。
用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。
例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。
甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走。
不等式的证明
不等式的证明最新考纲 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．知 识 梳 理1.基本不等式定理1：如果a ，b ∈R，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立. 定理2：如果a ，b >0，那么a ＋b 2≥a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥a ＝b ＝c 时，等号成立.2.不等式的证明方法(1)比较法①作差法(a ，b ∈R)：a －b >0⇔a >b ；a －b <0⇔a <b ；a －b ＝0⇔a ＝b . ②作商法(a >0，b >0)：a b >1⇔a >b ；a b <1⇔a <b ；a b＝1⇔a ＝b .(2)综合法与分析法①综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立.综合法又叫顺推证法或由因导果法.②分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法.[微点提醒]1.作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系.2.用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即要证……”“就要证……”等分析到一个明显成立的结论，再说明所要证明的数学问题成立.3.利用基本不等式证明不等式或求最值时，要注意变形配凑常数.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论.( )(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论.( )(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.( )(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用.( )解析(1)作商比较法是商与1的大小比较．(3)分析法是从结论出发，寻找结论成立的充分条件．(4)应用反证法时，“反设”可以作为推理的条件应用．答案(1)×(2)√(3)×(4)×2.(选修4－5P23习题2.1T1改编)已知a≥b>0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为________.解析2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b.答案M≥N3.(选修4－5P25T3改编)已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则1a ＋1b＋1c的最小值为________.解析把a＋b＋c＝1代入1a ＋1b＋1c得a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋⎝⎛⎭⎪⎫ba＋ab＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立． 答案 94.(2019·聊城模拟)下列四个不等式：①log x 10＋lg x ≥2(x >1)；②|a －b |<|a |＋|b |；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2(ab ≠0)；④|x －1|＋|x －2|≥1，其中恒成立的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析 log x 10＋lg x ＝1lg x＋lg x ≥2(x >1)，①正确； ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |，②不正确；因为ab ≠0，b a 与a b同号，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ≥2，③正确； 由|x －1|＋|x －2|的几何意义知，|x －1|＋|x －2|≥1恒成立，④也正确，综上①③④正确．答案 C5.(2017·全国Ⅱ卷)已知a >0，b >0，且a 3＋b 3＝2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4；(2)a ＋b ≤2.证明 (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 4＋b 4－2a 2b 2)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋3(a＋b)24(a＋b)＝2＋3(a＋b)34，所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.考点一比较法证明不等式【例1】设a，b是非负实数，求证：a2＋b2≥ab(a＋b). 证明因为a2＋b2－ab(a＋b)＝(a2－a ab)＋(b2－b ab)＝a a(a－b)＋b b(b－a)＝(a－b)(a a－b b)＝(a 12－b12)(a32－b32).因为a≥0，b≥0，所以不论a≥b≥0，还是0≤a≤b，都有a 12－b12与a32－b32同号，所以(a 12－b12)(a32－b32)≥0，所以a2＋b2≥ab(a＋b).规律方法比较法证明不等式的方法与步骤1．作差比较法：作差、变形、判号、下结论．2．作商比较法：作商、变形、判断、下结论．提醒(1)当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法．(2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法．【训练1】(1)(2019·锦州模拟)设不等式|2x－1|＜1的解集为M.①求集合M；②若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小.(2)若a >b >1，证明：a ＋1a >b ＋1b. (1)解 ①由|2x －1|＜1得－1＜2x －1＜1，解得0＜x ＜1.所以M ＝{x |0＜x ＜1}.②由①和a ，b ∈M 可知0＜a ＜1，0＜b ＜1，所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)＞0.故ab ＋1＞a ＋b .(2)证明 a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －b ＋b －a ab ＝(a －b )(ab －1)ab . 由a >b >1得ab >1，a －b >0，所以(a －b )(ab －1)ab>0. 即a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b >0， 所以a ＋1a >b ＋1b. 考点二 综合法证明不等式【例2】 (1)已知a ，b ，c ∈R，且它们互不相等，求证a 4＋b 4＋c 4>a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2；(2)已知x ，y ，z 均为正数，求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z. 证明 (1)∵a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，a 4＋c 4≥2a 2c 2，∴2(a 4＋b 4＋c 4)≥2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)，即a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.又∵a ，b ，c 互不相等，∴a 4＋b 4＋c 4>a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.(2)因为x ，y ，z 都为正数，所以x yz ＋y zx ＝1z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥2z①，同理可得yxz＋zyx≥2x②，z xy ＋xyz≥2y③，当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立. 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得xyz ＋yzx＋zxy≥1x＋1y＋1z.规律方法 1.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．2．在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件．【训练2】已知实数a，b，c满足a>0，b>0，c>0，且abc＝1.(1)证明：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8；(2)证明：a＋b＋c≤1a＋1b＋1c.证明(1)1＋a≥2a，1＋b≥2b，1＋c≥2c，相乘得：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8abc＝8.(2)1a ＋1b＋1c＝ab＋bc＋ac，ab＋bc≥2ab2c＝2b，ab＋ac≥2a2bc＝2a，bc＋ac≥2abc2＝2c，相加得a＋b＋c≤1a ＋1b＋1c.考点三分析法证明不等式【例3】已知函数f(x)＝|x－1|.(1)解不等式f (x －1)＋f (x ＋3)≥6；(2)若|a |<1，|b |<1，且a ≠0，求证：f (ab )>|a |f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a . (1)解 由题意，知原不等式等价为|x －2|＋|x ＋2|≥6，令g (x )＝|x －2|＋|x ＋2|，则g (x )＝⎩⎨⎧－2x ，x ≤－2，4，－2<x <2，2x ，x ≥2.当x ≤－2时，由－2x ≥6，得x ≤－3；当－2<x <2时，4≥6不成立，此时无解；当x ≥2时，由2x ≥6，得x ≥3.综上，不等式的解集是(－∞，－3]∪[3，＋∞).(2)证明 要证f (ab )>|a |f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ， 只需证|ab －1|>|b －a |，只需证(ab －1)2>(b －a )2.而(ab －1)2－(b －a )2＝a 2b 2－a 2－b 2＋1＝(a 2－1)(b 2－1)>0，从而原不等式成立. 规律方法 1.当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．2．分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为： Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件【训练3】 已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a .证明 由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，知a >0，c <0. 要证b 2－ac <3a ，只需证b 2－ac <3a 2.∵a ＋b ＋c ＝0，只需证b 2＋a (a ＋b )<3a 2，只需证2a 2－ab －b 2>0，只需证(a －b )(2a ＋b )>0，只需证(a －b )(a －c )>0.∵a >b >c ，∴a －b >0，a －c >0，∴(a －b )(a －c )>0显然成立，故原不等式成立.[思维升华]证明不等式的方法和技巧：(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等．(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的根本思路是去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据．[易错防范]在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用时，要求分析每次使用时等号是否成立.基础巩固题组(建议用时：60分钟)1.设a ，b >0且a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252. 证明 因为(12＋12)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab 2≥25⎝⎛⎭⎪⎫因为ab ≤14. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252.2.设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证1a ＋1b ＋1ab≥8. 证明 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ， 即ab ≤12，∴1ab≥4， ∴1a ＋1b ＋1ab ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1ab ≥2ab ·21ab ＋1ab ≥4＋4＝8. 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立， ∴1a ＋1b ＋1ab≥8. 3.(2019·大理一模)已知函数f (x )＝|x |＋|x －3|.(1)解关于x 的不等式f (x )－5≥x .(2)设m ，n ∈{y |y ＝f (x )}，试比较mn ＋4与2(m ＋n )的大小.解 (1)f (x )＝|x |＋|x －3|＝⎩⎨⎧3－2x ，x <0，3，0≤x ≤3，2x －3，x >3.f (x )－5≥x ，即⎩⎨⎧x <0，3－2x ≥x ＋5或⎩⎨⎧0≤x ≤3，3≥x ＋5或⎩⎨⎧x >3，2x －3≥x ＋5，解得x ≤－23或x ∈∅或x ≥8. 所以不等式的解集为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－23∪[8，＋∞). (2)由(1)易知f (x )≥3，所以m ≥3，n ≥3.由于2(m ＋n )－(mn ＋4)＝2m －mn ＋2n －4＝(m －2)(2－n ).且m ≥3，n ≥3，所以m －2>0，2－n <0，即(m －2)(2－n )<0，所以2(m ＋n )<mn ＋4.4.(2019·郴州质量检测)已知a ，b ，c 为正数，函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －5|.(1)求不等式f (x )≤10的解集；(2)若f (x )的最小值为m ，且a ＋b ＋c ＝m ，求证：a 2＋b 2＋c 2≥12.(1)解 f (x )＝|x ＋1|＋|x －5|≤10等价于⎩⎨⎧x ≤－1，－(x ＋1)－(x －5)≤10或⎩⎨⎧－1<x <5，(x ＋1)－(x －5)≤10或⎩⎨⎧x ≥5，(x ＋1)＋(x －5)≤10，解得－3≤x ≤－1或－1<x <5或5≤x ≤7，∴不等式f (x )≤10的解集为{x |－3≤x ≤7}.(2)证明 ∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －5|≥|(x ＋1)－(x －5)|＝6，∴m ＝6，即a ＋b ＋c ＝6.∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，c 2＋b 2≥2cb ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋ac ＋bc )，∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝(a ＋b ＋c )2，∴a 2＋b 2＋c 2≥12.当且仅当a ＝b ＝c ＝2时等号成立.5.(2019·沈阳模拟)设a ，b ，c >0，且ab ＋bc ＋ca ＝1.求证：(1)a ＋b ＋c ≥3； (2)a bc ＋b ac ＋c ab ≥3(a ＋b ＋c ). 证明 (1)要证a ＋b ＋c ≥3，由于a ，b ，c >0，因此只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3.而ab ＋bc ＋ca ＝1，故只需证明a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )，即证a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .而这可以由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c时等号成立)证得.所以原不等式成立. (2)a bc ＋b ac ＋c ab ＝a ＋b ＋c abc. 在(1)中已证a ＋b ＋c ≥ 3.因此要证原不等式成立，只需证明1abc ≥a ＋b ＋c ， 即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca .而a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac2， b ac ≤ab ＋bc2，c ab ≤bc ＋ac2，所以a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝33时等号成立. 所以原不等式成立.6.(2019·百校联盟联考)已知函数f (x )＝|2x －3|＋|2x －1|的最小值为M .(1)若m ，n ∈[－M ，M ]，求证：2|m ＋n |≤|4＋mn |；(2)若a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋2b ＝M ，求2a ＋1b的最小值. (1)证明 ∵f (x )＝|2x －3|＋|2x －1|≥|2x －3－(2x －1)|＝2，∴M ＝2. 要证明2|m ＋n |≤|4＋mn |，只需证明4(m ＋n )2≤(4＋mn )2，∵4(m ＋n )2－(4＋mn )2＝4(m 2＋2mn ＋n 2)－(16＋8mn ＋m 2n 2)＝(m 2－4)(4－n 2)， ∵m ，n ∈[－2，2]，∴m 2，n 2∈[0，4]，∴(m 2－4)(4－n 2)≤0，∴4(m ＋n )2－(4＋mn )2≤0，∴4(m ＋n )2≤(4＋mn )2，可得2|m ＋n |≤|4＋mn |.(2)解 由(1)得，a ＋2b ＝2，因为a ，b ∈(0，＋∞)，所以2a ＋1b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (a ＋2b ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2＋a b ＋4b a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋2a b ·4b a ＝4， 当且仅当a ＝1，b ＝12时，等号成立. 所以2a ＋1b的最小值为4. 能力提升题组(建议用时：20分钟)7.已知函数f (x )＝x ＋1＋|3－x |，x ≥－1.(1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若f (x )的最小值为n ，正数a ，b 满足2nab ＝a ＋2b ，求证：2a ＋b ≥98. (1)解 根据题意，若f (x )≤6，则有⎩⎨⎧x ＋1＋3－x ≤6，－1≤x <3或⎩⎨⎧x ＋1＋(x －3)≤6，x ≥3， 解得－1≤x ≤4，故原不等式的解集为{x |－1≤x ≤4}.(2)证明 函数f (x )＝x ＋1＋|3－x |＝⎩⎨⎧4，－1≤x <3，2x －2，x ≥3，分析可得f (x )的最小值为4，即n ＝4， 则正数a ，b 满足8ab ＝a ＋2b ，即1b ＋2a＝8， 又a >0，b >0，∴2a ＋b ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋2a (2a ＋b )＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋2b a ＋5≥18⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋22a b ·2b a ＝98，当且仅当a ＝b ＝38时取等号. 原不等式得证.8.(2015·全国Ⅱ卷)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件.证明 (1)∵a ，b ，c ，d 为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，欲证a ＋b >c ＋d ，只需证明(a ＋b )2>(c ＋d )2， 也就是证明a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd ，只需证明ab >cd ，即证ab >cd .由于ab >cd ，因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .∵a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd . 由(1)得a ＋b >c ＋d .②若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2， ∴a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd .∵a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |<|c －d |.综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件.。
初中数学知识点：不等式证明的六大方法
马行软地易失蹄，人贪安逸易失志。
对待生命要认真，对待生活要活泼。
以下是为您推荐初中数学知识点：不等式证明的六大方法。
1、比较法：包括比差和比商两种方法。
2、综合法
证明不等式时，从命题的已知条件出发，利用公理、定理、法则等，逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法，它是由因导果的方法。
3、分析法
证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法。
4、放缩法
证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法。
5、数学归纳法
用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。
在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。
6、反证法
证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的
条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。
比较法证明不等式的过程
比较法证明不等式的过程比较法证明不等式方法一.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。
(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。
其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体;②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。
应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。
(2)商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。
其一般步骤为：①作商：将左右两端作商;②变形：化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。
应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。
2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。
其逻辑关系为：AB1 B2 B3… BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。
a>b>0,求证：a^ab^b>(ab)^a+b/2因a^a*b^b=(ab)^ab,又ab>a+b/2故a^a*b^b>(ab)^a+b/2已知:a,b,c属于(-2,2).求证：ab+bc+ca>-4.用极限法取2或-2，结果大于等于-4，因属于(-2，2)不包含2和-2就不等于-4，结果就只能大于-4下面这个方法算不算“比较法”啊?作差 M = ab+bc+ca - (-4) = ab+bc+ca+4构造函数 M = f(c) = (a+b)c + ab+4这是关于 c 的一次函数(或常函数)，在 cOM 坐标系内，其图象是直线，而 f(-2) = -2(a+b) + ab+4 = (a-2)(b-2) > 0(因为 a<2, b<2) f(2) = 2(a+b) + ab+4 = (a+2)(b+2) > 0(因为 a>-2, b>-2)所以函数 f(c) 在c∈(-2, 2) 上总有 f(c) > 0即 M > 0即 ab+bc+ca+4 > 0所以 ab+bc+ca > -4比较法证明不等式方法二设x,y∈R,求证x^2+4y^2+2≥2x+4y(x-1)²≥0(2y-1)²≥0x²-2x+1≥04y²-4x+1≥0x²-2x+1+4y²-4x+1≥0x²+4y²+2≥2x+4x除了比较法还有：求出中间函数的值域：y=(x^2-1)/(x^2+1)=1-2/(x^2+1)x为R，y=2/(x^2+1)在x=0有最小值是2，没有最大值，趋于无穷校所以有：-1<=y=1-2/(x^2+1)<1原题得到证明比较法：①作差比较，要点是：作差——变形——判断。
证明不等式的基本方法——比较法
证明不等式的基本方法——比较法不等式的基本方法之一是比较法（或称为递推法）。
该方法的主要思想是通过比较不等式两边的表达式来确定它们的大小关系。
在使用比较法证明不等式时，我们通常需要注意以下几点：1.明确不等式的目标：确定我们想要证明的具体不等式。
2.选择合适的比较对象：我们需要找到一个或多个合适的表达式作为比较对象，通常是在已知不等式中出现过的表达式。
3.建立递推关系：通过比较对象与目标表达式的大小关系，建立一种递推关系。
递推关系可以是通过改变不等式两边的表达式，或是通过引入新的变量来推导出来。
4.递归执行递推关系：通过递归执行建立好的递推关系，最终推导出目标不等式的结果。
下面将通过具体的例子来说明比较法的应用。
例1：证明对于任意正整数n，有$n^2>n$。
解：首先明确不等式的目标是$n^2>n$。
可以选择$n-1$作为比较对象，因为$n^2>n$与$n>n-1$是等价的。
建立递推关系：假设$n>1$，则有$(n-1)^2=n^2-2n+1<n^2<n(n-1)$。
递归执行递推关系，当$n=2$时，有$2^2=4>2$。
对于$n>2$，可以继续推导出$n^2>n$。
综上所述，对于任意正整数n，有$n^2>n$。
例2：证明对于任意正整数n，有$2^n>n$。
解：首先明确不等式的目标是$2^n>n$。
可以选择$n-1$作为比较对象，因为$2^n>n$与$n>n-1$是等价的。
建立递推关系：假设$n>1$，则有$2^{n-1} = \frac{1}{2^n} <\frac{n}{2}$。
递归执行递推关系，当$n=2$时，有$2^2=4>2$。
对于$n>2$，可以继续推导出$2^n>n$。
综上所述，对于任意正整数n，有$2^n>n$。
比较法是一种简单直观的证明不等式的方法。
通过找到合适的比较对象，建立递推关系，并递归执行递推关系，我们可以有效地证明不等式。
数学：不等式证明四法比较法综合法分析法反证法与放缩法
不等式证明一（比较法）比较法是证明不等式的一种最重要最基本的方法。
比较法分为：作差法和作商法 一、 作差法若a ，b ∈R ，则： a —b ＞0⇔a ＞b ；a —b ＝0⇔a ＝b ；a —b ＜0⇔a ＜b 它的三个步骤：作差——变形——判断符号（与零的大小）——结论. 作差法是当要证的不等式两边为代数和形式时，通过作差把定量比较左右的大小转化为定性判定左—右的符号，从而降低了问题的难度。
作差是化归，变形是手段，变形的过程是因式分解（和差化积）或配方，把差式变形为若干因子的乘积或若干个完全平方的和，进而判定其符号，得出结论.例１、求证：x ２ + ３ > ３x 证：∵（x ２ + ３） ３x = 043)23(3)23()23(32222>+-=+-+-x x x ∴x ２ + ３ > ３x例2、 （课本P ２２例２）已知a, b, m 都是正数，并且a < b ，求证：bam b m a >++ 证：)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ ∵a,b,m 都是正数，并且a<b ，∴b + m > 0 , b a > 0 ∴0)()(>+-m b b a b m 即：bam b m a >++变式：若a > b ，结果会怎样？若没有“a < b ”这个条件，应如何判断？例3、 已知a, b 都是正数，并且a b ，求证：a ５ + b ５ > a ２b ３ + a ３b ２ 证：（a ５ + b ５ ）（a ２b ３ + a ３b ２） = （ a ５ a ３b ２） + （b ５ a２b ３）= a ３ （a ２b ２ ）b ３ （a ２b ２） = （a ２b ２ ）（a ３ b ３）= （a + b ）（a b ）２（a ２ + ab + b ２）∵a, b 都是正数，∴a + b, a ２ + ab + b ２ > 0又∵a b ，∴（a b ）２ > 0 ∴（a + b ）（a b ）２（a ２ + ab + b２） > 0即：a ５ + b ５ > a ２b ３ + a ３b ２例4、 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果m n ，问：甲乙两人谁先到达指定地点？解：设从出发地到指定地点的路程为S ，甲乙两人走完全程所需时间分别是t １, t ２，则：21122,22t n S m S S n t m t=+=+可得：mnn m S t n m S t 2)(,221+=+= ∴)(2)()(2])(4[2)(22221n m mn n m S mn n m n m mn S mn n m S n m S t t +--=++-=+-+=- ∵S, m, n 都是正数，且m n ，∴t １ t ２ < 0 即：t １ < t ２从而：甲先到到达指定地点。
证明不等式的基本方法-比较法
5.设 P = a 2 b 2 + 5, Q = 2ab − a 2 − 4a , 若 P > Q , 则实数 a , b
a b b a
a−b
a−b
≥1
∴ a b ≥ a b ,当且仅当 a = b时, 等号成立 .
1.求证 : 若a, b, c ∈ R+ , 则a b c ≥ ( abc )
a b c
a + b+ c 3
2.若a, b, m, n都是正实数, 且m + n = 1, 试证明 ma + nb ≥ m a + n b
2
= (a + b )(a − b )2
Q a , b > 0,∴ a + b > 0
又 Q a ≠ b ∴ (a − b ) > 0
2
故 (a + b )(a − b )2 > 0即(a 3 + b 3 ) − ( a 2b + ab 2 ) > 0
∴ a + b > a b + ab
3 3 2
2
a 例 2 如果用 akg 白糖制出 bkg 糖溶液 , 则其浓度为 , b 若在上述溶液中再添加 mkg 白糖 , 此时溶液的浓度 a+m , 将这个事实抽象为数学 问题 , 并给出证明 . 增加到 b+m 解 : 可以把上述事实抽象成 如下不等式问题 :
不等式的证明的方法介绍
不等式的证明的方法介绍不等式的性质及常用的证明方法主要有：比较法、分析法、综合法、数学归纳法等． 要明确分析法、反证法、换元法、判别式法、放缩法证明不等式的步骤及应用范围． 若能够较灵活的运用常规方法（即通性通法）、运用数形结合、函数等基本数学思想，就能够证明不等式的有关问题．一、不等式的证明方法（1）比较法：作差比较：B A B A ≤⇔≤-0． 作差比较的步骤：①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差．②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和．③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号．注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小．（2）综合法：由因导果．（3）分析法：执果索因．基本步骤：要证……只需证……，只需证……①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件．②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达．（4）反证法：正难则反．（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的．放缩法的方法有： ①添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1(；②将分子或分母放大（或缩小）； ③利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3log 2=<=+<⋅； 2)1()1(++<+n n n n ； ④利用常用结论：k k k k k 21111<++=-+；k k k k k 111)1(112--=-< ； 111)1(112+-=+>k k k k k（程度大） )1111(21)1)(1(111122+--=+-=-<k k k k k k ； （程度小） （6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元．如：已知222a y x =+，可设θθs i n ,c o s a y a x ==；已知122≤+y x ，可设θθs i n ,c o s r y r x ==（10≤≤r ）；已知12222=+by a x ，可设θθsin ,cos b y a x ==； 已知12222=-by a x ，可设θθtan ,sec b y a x ==； （7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．⑻数学归纳法法：数学归纳法法证明不等式在数学归纳法中专门研究．证明不等式不但用到不等式的性质，不等式证明的技能、技巧，还要注意到横向结合内容的方方面面．如与数列的结合，与“二次曲线”的结合，与“三角函数”的结合，与“一元二次方程，一元二次不等式、二次函数”这“三个二次”间的互相联系、互相渗透和互相制约，这些也是近年命题的重点．在不等式证明中还要注意数学方法，如比较法（包括比差和比商）、分析法、综合法、反证法、数学归纳法等，还要注意一些数学技巧，如数形结合、放缩、分类讨论等．比较法是证明不等式最常用最基本的方法．分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用，两个重要策略原则是：正难则反原则，即若从正面考虑问题比较难入手时，则可考虑从相反方向去探索解决问题的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯；简单化原则，即寻求解题思路与途径，常把较复杂的问题转化为较简单的问题，在证明较复杂的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化，得到一个较易证明的不等式．凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法．换元法（主要指三角代换法）多用于条件不等式的证明，此法若运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化成简单的三角问题．含有两上字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关于某字母的二次式时，这时可考虑判别式法，并注意根的取值范围和题目的限制条件．有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，放缩时要看准目标，做到有的放矢，注意放缩适度． 不等式证明知识概要不等式的证明问题，由于题型多变、方法多样、技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。
证明不等式的基本方法一比较法
证明不等式的基本方法一比较法不等式的基本方法一比较法是以较为常用和广泛的方法之一，用于证明不等式的真实性或者不真实性。
该方法基于两个原则：1.如果对于不等式两边的所有常数，左边的常数小于右边的常数，则不等式成立；2.如果不等式两边的所有元素中的其中一个元素，在一些范围内小于另一个元素，则不等式成立。
下面通过一些例子来详细介绍基本方法一比较法的具体步骤和应用。
例子1：证明对于所有的正整数n，都有n^2>n。
证明：根据不等式的基本方法一比较法，我们可以利用两个原则来进行证明。
首先，根据原则1，我们可以比较n^2和n。
当n=1时，n^2=1，n=1，所以n^2>n成立。
对于n>1的情况，由于n^2是n的平方，而n的平方大于n，因此n^2>n成立。
其次，根据原则2，我们可以比较n^2和n。
当n=1时，n^2=1，n=1，所以n^2>n成立。
对于n>1的情况，考虑到n^2是n的平方，而n的平方是n乘以n，所以n^2>n成立。
综上所述，我们可以得出结论，对于所有的正整数n，n^2>n成立。
例子2：证明对于所有的正整数n，都有n^2+n>2n。
证明：同样地，我们可以利用不等式的基本方法一比较法来证明该不等式。
首先，根据原则1，我们可以比较n^2+n和2n。
对于n=1的情况，n^2+n=1+1=2，2n=2，所以n^2+n>2n成立。
对于n>1的情况，我们可以将不等式简化为n^2>n，这是一个已经证明过的不等式。
其次，根据原则2，我们可以比较n^2+n和2n。
当n=1时，n^2+n=2，2n=2，所以n^2+n>2n成立。
对于n>1的情况，我们可以继续简化不等式为n^2>n，这同样是一个已经证明过的不等式。
综上所述，我们可以得出结论，对于所有的正整数n，n^2+n>2n成立。
通过上述例子，我们可以总结论证不等式的基本方法一比较法的步骤如下：1.确定要证明的不等式形式；2.根据不等式的特点，选择合适的比较方法，并根据比较原则进行证明；3.在证明过程中，可以使用数学推导、归纳法等数学方法来辅助证明；4.利用已经证明过的不等式和已知的数学定理等，简化和推导不等式；5.综合所有的证明过程，得出最终结论。
证明不等式的基本方法
恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”； 乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常 数，求函数的最值”； 丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图象”；
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，
即a的取值范围是________． [答案] a≤10
[点评与警示] 论证过程中，执果索因与由因导果总是不
断变化，交替出现．尤其综合题推理较盲目时，利用分析法从
要证的问题入手，逐步推求，再用综合法逐步完善，最后找到 起始条件为止．
(人教版选修 4—5 第 30 页第 1 题)已知 a， b， c∈(0,1)， 1 求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不同时大于4.
[证明]
(反证法)假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 都大于 ①
1 1 (1－b)c· (1－c)a>64 4，则(1－a)b· 1 即[a(1－a)· b(1－b)· c(1－c)]>64
a＋1－a 2 1 而 0<a(1－a)≤[ ]＝ ， 2 4
1 1 0<b(1－b)≤ ，0<c(1－c)≤ 4 4 1 ∴[a(1－a)][b(1－b)][c(1－c)]≤ 与①矛盾 64 1 ∴(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不同时大于 . 4
) B．a2＞b2 1a 1b D．(2) ＜(2)
1 2 ．若 a ＞ b ＞ 1 ， P ＝ lga· lgb ， Q ＝ (lga ＋ lgb) ， R ＝ 2 a＋b lg( )，则( 2 A．R＜P＜Q C．Q＜P＜R
[解析]
) B．P＜Q＜R
D．P＜R＜Q 1 ∵lga＞lgb＞0，∴ (lga＋lgb)＞ lga· lgb，即 Q 2
中学数学证明不等式的方法
中学数学证明不等式常见的九种证明方法许071114 数学与应用数学不等式作为工具，被广泛地应用到数学的各个领域。
不等式的证明是高考和数学竞赛中的热门话题。
不等式的形式多种多样，证明手法也是灵活多变，它常常和许多内容相结合，所以具体问题具体分析是证明不等式的精髓。
不等式的证明问题也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。
解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的证明方法。
下面就结合不等式教学实际谈谈如何让学生通过不等式的证明这个知识点进行横向扩散和纵向扩散。
1、比较法：比较两个式子的大小,求差、求商或过渡比较法都是最基本最常用的方法。
1.1求差法：要证不等式a>b,只需证明a-b>0即可，其步骤为：做差a-b →变形(常用变形方法有:通分，因式分解，配方等)→判断符号。
例1 求证：x2+3＞3x证明：：∵(x2+3)-3x=x2-3x+(32)2-(32)2+3= +≥ >0 ∴x2+3＞3x例2 已知a,b ∈R+，并且a ≠b ，求证 a5+b5＞a3b2+a2b3证明：(a5+b5)-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)-(a2b3-b5)= a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)∵a,b ∈R+ ∴a+b ＞0, a2+ab+b2＞0又因为a ≠b,所以（a-b ）2＞0∴(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)＞0 即(a5+b5)-(a3b2+a2b3)＞0∴a5+b5＞a3b2+a2b31.2求商法：当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数式可采用作商比较法。
若b>0,欲证a>b,只需证明b a >1;欲证:a<b,只需证明: 1<b a 。
其步骤为：作商→变形→判断结果与1的大小关系。
例 3 已知a>0,b>0,求证:aabb ≥(ab)2ba +.分析：因两边都是乘积的幂指数运算形式，而a>0,b>0,故可作商与1比大小.证明： 2222)()(b a a b b a ba ba b a b a ab b a -=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∙=∙1）若a>b>0,则02,1>->b a b a ,故2ba b a -⎪⎭⎫ ⎝⎛>1。
不等式的证明学生用(基本方法)
不等式的证明一、知识归纳1．证明不等式的常用方法： （1）比较法①作差比较法步骤：作差—变形—判定符号②作商比较法步骤：作商—变形—确定与1的大小关系（2）分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等), 从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执 索 的思考和证明方法.用分析法证明不等式的逻辑关系：寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达．（3）综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又叫由 导 法.用综合法证明不等式的逻辑关系：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒ 几个重要不等式：①当a ，b ∈R 时，a 2+b 2≥2ab （当且仅当a=b 时等号成立） ②当a ，b ∈R 时，222)2(2b a b a +≥+（当且仅当a=b 时等号成立）③当ab >0时，2≥+ba ab （当且仅当a=b 时等号成立）④当a ，b ∈R +时，ab b a 2≥+（当且仅当a=b 时等号成立） 等价变形：2)2(b a ab +≤⑤当a ，b ，c ∈R 时，ca bc ab c b a ++≥++222二、例题分析：例1 已知a ，b ，c ∈R +，求证a 2b+ab 2+a 2c+ac 2+b 2c+bc 2≥6abc练习:(2009年高考江苏卷)设a ≥b >0， 求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2. [证明] 证法一 (综合法) ∵a ≥b >0，∴a 2≥b 2， 则3a 2≥2b 2，则3a 2－2b 2≥0. 又a －b ≥0，∴(a －b )(3a 2－2b 2)≥0，12 ( ) n B B B B A⇐⇐⇐⇐⇐ 结步步寻求不等式已论成立的充分条件知即3a 3－2ab 2－3a 2b ＋2b 3≥0， 则3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2， 故原不等式成立． 证法二 (分析法)．要证3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2， 只需证3a 3＋2b 3－3a 2b －2ab 2≥0， 即3a 2(a －b )＋2b 2(b －a )≥0，也即(a －b )(3a 2－2b 2)≥0 (*) ∵a ≥b >0，∴a －b ≥0. 又a 2≥b 2，则3a 2≥2b 2， ∴3a 2－2b 2≥0，(*)式显然成立，故原不等式成立．练习2： (2010年高考江苏卷)设a 、b 是非负实数， 求证：a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)． 证明：由a ，b 是非负实数，作差得a 3＋b 3－ab (a 2＋b 2)＝a 2a (a －b )＋b 2b (b －a ) ＝(a －b )[(a )5－(b )5]．当a ≥b 时，a ≥b ，从而(a )5≥(b )5， 得(a －b )[(a )5－(b )5]≥0； 当a <b 时，a <b ，从而(a )5<(b )5， 得(a －b )[(a )5－(b )5]>0. 所以a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)．练习3：(2010年高考辽宁卷)已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．证明：证法一 因为a ，b ，c 均为正数，由平均值不等式得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，①1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13， 所以⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23.又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立．故当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原不等式等号成立．证法二 因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得 a 2＋b 2≥2ab ， b 2＋c 2≥2be ， c 2＋a 2≥2ac .所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .①同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac故a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab ＋bc ＋ac ＋3ab ＋3bc ＋3ac≥6 3.③所以原不等式成立． 当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立．故当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原不等式等号成立．练习4：设a a ab y b a x 42,5222--=+=，若x >y ，则实数a ，b 应满足的条件为 解析：x －y ＝a 2b 2＋5－(2ab －a 2－4a ) ＝a 2b 2－2ab ＋a 2＋4a ＋5 ＝(ab －1)2＋(a ＋2)2>0， ∴ab ≠1或a ≠－2. 答案：ab ≠1或a ≠－2练习5:(2011年安徽卷)证明：xy yxxyy x ++≤++111例2 已知a ，b ∈R ，且a+b=1． 求证：()()2252222≥+++b a ．练习：已知mb m a ba b a R m b a ++<<∈+:,,,,求证练习： 练习：已知R b a y x ∈,,,，且1,12222=+=+b a y x ， 求证：1||≤+by ax 练习：（1）已知+∈R b a ,，且1=+b a 求证：322<+b a（2）已知b a ,是互不相等的正数，设函数n n b a n f -=)(，且)2()3(f f =求证：341<+<b a例3：设c bx x x f ++=2)(（b ，c 为实数），方程x x f =)(的两个实数根为21,x x ，且满足1,0121>->x x x 。
高三数学 不等式的证明(比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法);不等式的应用知识精讲
高三数学不等式的证明（比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法）；不等式的应用知识精讲（一）不等式的证明1. 实数大小的性质（1）a b a b ->⇔>0；（2）a b a b -=⇔=0；（3）a b a b -<⇔<0。
2. 比较法证明的步骤（1）求差比较法步骤：作差——变形——判别差的符号，在运用求差比较法证明时其关键是变形，通常变形方法是分解因式、配方、利用判别式及把差化为若干个非负数的和。
（不能分解时证明有恒定符号可配方）（2）求商比较法步骤：作商——变形——判别商与1的大小，在运用求商比较法证明不等式时要根据已知条件灵活采用函数的单调性及基本不等式进行放缩。
3. 基本不等式定理1：如果a b R ，∈，那么a b ab 222+≥（当且仅当a b =时取等号）。
定理2：如果a b c R ，，∈+，那么a b c abc 3333++≥（当且仅当a b c ==时取等号）。
推论1：如果a b R ，∈+，那么a b ab +≥2（当且仅当a b =时取“＝”号）。
推论2：如果a b c R ，，∈+，那么a b c abc ++≥33（当且仅当a b c ==时取“＝”号）。
4. 综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式，这种证明方法叫做综合法。
综合法的证明思路是：由因导果，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件替代前面的不等式，直到推导出要证的不等式。
5. 分析法：从求证的不等式出发分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。
这种证明方法叫做分析法。
分析法的证明思路是：“执果索因”，即从求证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直至找到已知不等式为止。
用分析法证明不等式要把握以下三点：（1）寻找使不等式成立的充分条件时，往往是先寻找使不等式成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否充分。
不等式证明技巧
不等式证明技巧
1. 比较法，这就像我们走路，要知道哪条路更近！比如证明 2x+3＞
x+5，我们就把左边减去右边，看看是不是大于 0 就知道啦！
2. 分析法，哎呀呀，就像侦探破案一样，一步步找到证据来证明不等式！比如证明根号(x+1)＞x，咱们就从结论往回推，找到能说明它成立的条件。
3. 综合法，这不就是把各种线索都放到一起嘛！比如说已知 a＞b，b＞c，
那咱就能直接得出 a＞c 啦。
4. 放缩法，哈哈，就像把东西变胖或变瘦一样！比如要证明一个式子小于
1/2，咱可以把一些项放大一点，让它更容易看出来。
就好比证明 1/(n+1)!＜1/2^n。
5. 反证法，哇哦，和别人争论的时候常用到呀，假设不对然后推出矛盾！例如证明不存在整数 x 让 x^2-2x-3=0 成立。
6. 数学归纳法，就像爬楼梯一样，先证明第一步能行，再假设第 n 步行然
后证明第n+1 步也没问题！像证明1+2+3+…+n=n(n+1)/2 就很适用呢。
7. 构造函数法，嘿，这就像给自己打造一个专属工具来解决问题！比如构造个函数来证明不等式 x^2+2x+2＞0。
8. 换元法，相当于给问题换个包装呀！像证明(1+2^x)(1+3^x)≥4 ，咱可
以换个元来让它更简单明了。
9. 利用基本不等式，这可是个宝贝啊！举例来说，已知 x＞0，y＞0，要证
明x+y≥2 根号(xy) 是不是很常用！
我觉得呀，这些不等式证明技巧都超级实用，就像我们手里的武器，能帮我们攻克一个又一个难题！大家可得好好掌握它们呀！。
不等式的证明(1)--比较法
法，因式分解法，有时把差变 2 (a b)(a b) (a b )(a b) 形为常数或变形为常数与几个 数的平方和的形式或变形为几 a, b是正数, 且a b, 2 个因式积的形式.变形到可判断 a b 0, (a b) 符号为止. 0,
三、例题讲解
作商比较法是将问题 a b 转化为商与1的关系， a b (ab) 故变形时要注意1的几 a b a b b a 种情形，如 a b 2 (ab) a0 2 2 2 同理 b a a b ( ) a 1 1=a =log a=a/a等，对 ab b 商的变形目的常为 a b an,logan等形式，以利 b a 2 (ab) a b 于利用指数函数和对 数函数的单调性作出 a b a b b a 判断. 2 a b (ab) a b
a b a b 0 a b a b 0 a b ab 0
作差比较法的步骤： 作差——变形（化简）——定号 （差值 的符号）
一、复习引入 2.作商比较法的原理及步骤：
a, b R a a b 1 b a a b 1 b a a b 1 b
(a 2) 2 0 2 4a
4a 1. 2 4a
四、练习
a b 4.已知 c a b 0, 求证 . c a c b
a b ( a b )c 证明: c a c b (c a)(c b) c a b 0,
( a b)c 0 (c a)(c b) a b . ca cb
作差法：作差—变形—定号.变形常用因式分解，分组配 方等；作商法：作商——变形（化简）——判断（商值与 实数1的大小关系），对商的变形常有约分化简，合并等. 3.一般情况下，多项式比较用作差法，而积商幂的形式用 作商法.
不等式证明的常见方法
2.3 不等式证明的常见方法
（1）比较法：
1°、作差法（两数同号为负）
①一般步骤：作差→变形→判号（与0比较大小）→定论。
②理论依据：.0;0;0b a b a b a b a b a b a =⇒=-<⇒<->⇒>-2°、作商法（两数同号为正）
①一般步骤：作商→变形→与1比较大小→定论。
②理论依据：.1;01;010b a b
a b a b b a b a b b
a b =⇒=<⇒<>>⇒>>≠若且若且若时，
当（2）综合法：由因及果-----即由已知条件或某些证明过的基本不等式→结论。
（3）分析法：执果锁因-----即由结论→已知条件。
（4）数学归纳法：主要适用于与自然数有关的不等式的证明。
（5）反证法：否定结论→推出矛盾→肯定结论。
（6）其他方法：有换元法、放缩法、函数法、判别式法等。
用放缩法证明不等式的放缩技巧：
1°、往往采用以下技巧：
1）添项或减项的添舍放缩；
2）拆项对比的分项放缩；
3）函数的单调性放缩；
4）均值不等式放缩等。
2°、放缩时要注意适度，否则不能通向传递。
采用的是均值定理。
而法，
采用的是缩小因子的方如2
122)1()1()1(2+=++<+=>+n n n n n n n n n。
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2.3 不等式的证明（1）比较法
【知识要点】 1．作差比较法：
理论依据：000a b a b
a b a b a b a b
->⇔>-=⇔=-<⇔<
证明步骤：（1）作差；（2）变形；（3）判断。
1．作商比较法：
理论依据：当,a b R +∈时，111
a a
b b a a b b a a b b >⇔
>=⇔
=<⇔
< 证明步骤：（1）判断（判断能否作商）；（2）作商；（3）变形；（4）判断。
【基础训练】
1． 已知,(0,)a b ∈+∞，设112,22A B a
b a b
=
+=
+，则A 、B 的大小关系为______________。
2． 已知,a b
是两个不相等的正数，2
M N ==
，则M 与N 的大小关系
为______________。
3． 若1x ³
的大小关系为______________。
4．若0,0a b >>，则a
b
a b 与()2
a b ab +的大小关系为____________。
【精选例题】
例1． 已知,a b R ∈，求证：222a b c ab bc ac ++≥++ 。
解法指导：对于二次型的不等式的证明，我们可考虑“作差法、配方法、∆判别式”。
方法一：()()()2
2
2
2222()2()0a b c ab bc ac a b a c c b ++-++=-+-+-≥ 所以222a b c ab bc ac ++≥++。
方法二：()()2
22
2
22
2
2
22
2
2
()223()024a
b c
ab bc ac a
b c a b c bc
b c b c a b c bc b c b c a ++-++=-+++-++⎛⎫⎛⎫=-++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
+-⎛
⎫=-+≥ ⎪
⎝
⎭
所以222a b c ab bc ac ++≥++。
方法三：()()222222()a b c ab bc ac a b c a b c bc ++-++=-+++-
()2
2
2
4()0b c b c bc D +-=+-
所以()()2220a b c ab bc ac ++-++≥，所以222a b c ab bc ac ++≥++。
思考题：已知,a b R ∈，求证：221a b a b ab ++≥++。
方法一：作差整理成关于a 的二次式，再配方。
方法二：作差整理成关于a 的二次式，再用∆证明。
例2．（2000年上海春季高考题）设函数()|lg |f x x =，若0a b <<且()()f a f b >，证明：1ab <。
解法指导:利用等价命题证明。
证明：2222
()()|lg ||lg ||lg ||lg |lg lg 0f a f b a b a b a
b >???>
()()lg lg lg lg 0lg()lg
a a
b a b ab b ?->圩>，
因为0a b <<，所以01a b
<
<，所以lg
a b <，所以lg()0ab <，即得1a b <。
例3．某收购站分两个等级收购小麦，一等小麦a 元/kg ，二等小麦b 元/kg ()b a <。
现有一等品小麦xkg ，二等品小麦ykg 。
若以两种价格的平均数收购，是否公平合理？ 解：平均价格为
2
a b +元/kg 4。
如以此价格统一收购，则收购费用为
()
2
a b x y ++元；
而原定方案收购费用为（ax by +）元。
因为()()
()()2
2
a b a b x y ax by x y +--+-
+=。
又因为b a <，所以0a b ->，所以
（1）若x y >，则收购站得利；（2）当x y =时，两种方案费用一样；（3）当x y <时，则收购站吃亏。
例4．已知函数()log (0,1,)a f x x a a x R +=>≠∈，如12,x x R +∈，判断121
[()()]2
f x f x +与
12
()2x x f +的大小并加以证明。
解：121[()()]2
f x f x +—12
()2x x f +
=[]12
12
121
log log og log log 222
a a a
a a
x x x x x x l +++-=
因为12,x x R +∈，所以
12
2
x x +≥
12x x =时取等号。
（1） 当1a >时，
121[()()]2
f x f x +≤12
()2x x f +； （2） 当01a <<时，121
[()()]2
f x f x +≥12
(
)2
x x f +。
【能力训练】 一、选择题： 1．已知()2
2
0,1,log (1),log 1a a a a P a a Q a a >?-+=-+，则
P 与Q 的大小关系为
（ ）
（A ）P Q > （B ）P Q < （C ）P Q = （D ）不能确定 2．设,a b R Î,则“221a b +<”是“1ab a b +>+”的 （ ）
（A ）充分条件（B ）必要不充分条件（C ）充分不必要条件（D ）既不充分又不必要条件
3．现给出下列三个不等式：
2
2
2
3(1)12;(2)2();2
a a a
b a b +>+>--()()()2
2
2
2
2
(3)a b
c d
ac bd ++>+，其中恒成立
的不等式共有 （ ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个
4. 设复数12,z z 且12121122,M z z z z N z z z z =+=+,则M 、N 的大小关系为（ ） （A ）M N ³ （B ）M N > （C ）M N £ （D ）不能比较大小 二、填空题： 5．若*
0,1,,a a m n
N
>刮，则1_________m n m n a a a +++（比较大小）。
6．当0,2x p 骣
÷
çÎ÷ç÷
ç桫时，1cos ________sin x x -（比较大小）。
7．设()
2
,22
,sin cos x x
x R P
Q x x +-?+=+，则P 、Q 之间的大小关系为________。
8．设x R Î，则43212______2x x x ++（比较大小）。
三、解答题：
9．设,,,1a b c R ab bc ac +?+=，证明：a b c ++。
10．设0,0,a b >>证明下列不等式。
（1）22222a b a b ++?
（2
11．设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是其前n 项的和。
证明：
0.50.52
0.51log log log 2
n n n S S S +++>。