2013电磁场与电磁波 ch1
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A A(ex cos ey cos ez cos )
z
eA ex cos ey cos ez cos ˆx ˆ cos y ˆ cos z ˆ cos 或a 其中cos 、 cos 、 cos 分别表示矢量A 与x、y、z轴正向间的夹角余弦，称为 矢量A的方向余弦。
证:
A B C A Bx Cx ex ey By Cy
By Bz A ex Cy Cz
ez
Bz Cz
ey
Bx Cx
Bz Cz
ez
Bx Cx
By Cy
By Ax Cy
Ax Bx Cx Ay By Cy
Bz Bx Ay Cz Cx
第1章 矢量分析
1.1 矢量代数
一、矢量与矢量场 1、标量：一个只用大小描述的物理量。
2、矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用斜 体加黑字母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示
矢量的代数表示： A eA A eA A
A
A A 矢量的大小或模：
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
第一章 矢量分析
1.1 矢量代数 1.2 三种正交坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1.5 矢量场的通量与旋度 1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理
2014-7-3
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1
电磁场与电磁波
A B B A ——矢量的标积符合交换律 A B
A B 0
A // B
A B AB
ex ey ey ez ez ex 0 ex ex ey ey ez ez 1
2014-7-3
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5
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
A B AC
Bz Az Cz
C Cy
有：三重矢量积
2014-7-3
A B C A C B A B C
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10
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
Ex1: 已知三个矢量
A ex e y 2 ez 3 B e y 4 e z
r 为常数
圆柱面； 半平面； 平 面．
x
z
为常数
z 为常数
o
z
y
柱面坐标与直角坐标的关系为
x r cos , y r sin , z z.
2014-7-3
r x y , y arctan , x z z.
2 2
A
y
x
z
x0 x
P(x0,y0,z0)
ez
单位方向矢量：
ex , ey , ez
O
ex
ey
y0 y
空间任一点 P（x0,y0,z0):
其位置矢量：
r x0ex y0ey z0ez
dr ex dx e y dy ez dz
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By Cy
Bz Az Cz
ey By ez Bz ey C y ez Cz
B Bx C Cx Ax B
Bx ez Bz ex Bx Ax Cx ez Cz exCx
By Ay B Bz C Cz Az B C
By ex Bx ey By Ay Cy exCx ey C y
（5）矢量的混合积
A B C B C A C A B
A B C B A C C A B
2014-7-3
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
A ( B C ) B (C A) C ( A B)
（4）矢量的矢积（叉积）
A B en AB sin
用坐标分量表示为
A B ex ( Ay Bz Az By ) ey ( Az Bx Ax Bz ) ez ( Ax By Ay Bx )
写成行列式形式为
ex A B Ax Bx
不满足交换律 不满足结合律
2014-7-3
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
（2）标量乘矢量
kA ex kAx ey kAy ez kAz
（3）矢量的标积（点积） 定义：
B
A
A B AB cos
矢量 A与 B 的夹角
数学计算：对应分量相乘的和 A B Ax Bx Ay By Az Bz
M ( x, y, z)
o
x
r
y
P(r, )
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16
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3、球面坐标系
单位方向矢量： er , 变量取值范围:
e , e
θ O ψ0 x
z
0r 0 0 2
位置矢量： 矢量函数：
e r
0
P(r0,θ 0,ψ 0)
Bz Az Cz
By ey Cy
Bx Cx
ez
Bz Cz
Bz Bx e Ax z Cz Cx
By Cy
ex
Bx Cx
Bx By e Ay x Cx Cy
Bz Cz
ey
A ˆ来表示单位 矢量的单位矢量： eA ，（现在文献中用a A 常矢量：大小和方向均不变的矢量。 ˆ eA） 矢量a
矢量的几何表示
注意：单位矢量不一定是常矢量。
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
矢量用坐标分量表示
A ex Ax ey Ay ez Az 也可以表示为 ˆ x yA ˆ y zA ˆ z A xA Ax A cos ，Ax 表示A在x方向的投影，是一个标量 Ay A cos ，Az A cos
第1章 矢量分析
Ay ey Bz Cz Bz Cz Bx Cx Az ez Bx Cx By Cy
Bz Cz ex Bx Cx Bz By e Ay x Cz Cy Bx Cx ey By Cy
By Bx Ax ez Cy Cx
2014-7-3
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1.2
三种常用的正交曲线坐标系 描绘物理状态空间分布的标量函数 (r )和矢量函 数 F (r ) ，在时间一定的情况下，它们是唯一的， 其大小或方向与所选择的坐标系无关，即对于坐标 (r ) 和 F (r )的大小与方向保持不变。 系的变换， 在正交坐标系：直角坐标 x, y,z,e x ,ey ,ez 柱面坐标 , ,z,e ,e ,ez
ex ey ez
A (B C )
；（6） ( A B) C
A C 1
5
ex 5 ey
2 3 e 4 e 13 e 10 x y z 0 2
ez 1
（5）
BC
0 4
0 2
ex 8 e y 5 ez 20
A ( B C ) (ex e y 2 ez 3) (ex 8 ey 5 ez 20) 42
ey Ay By
ez Az Bz
A B
B
AB sin
A B B A
矢量A 与B 的叉积
A
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
若 若
，则 A B ，则 A // B
A B AB
A B 0
ex ex 0, ey ey 0, ez ez 0 ex ey ez , ey ez ex , ez ex ey
A B (ex e y 2 ez 3)
(e y 4 ez ) -11
11
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
Ex1: 已知三个矢量
A ex e y 2 ez 3 B e y 4 e z
C ex 5 ez 2
求：（4） A C ；（5） 解 (4)
Bx Bz ez Cx Cz
Ay ey Bz Cz Bz Cz Bx Cx
9
Az ez Bx Cx By Cy
By Cy By Cy
ex
Bz Cz
Bz Cz
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电磁场与电磁波
A B C Ax ex By Cy
Bx ey Cx By Cy ez Bz Cz
证：
A B C (ex Ax e y Ay ez Az ) Bx Cx By A ex Cy ex Ax By Cy
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ex
ey By Cy By Cy Ax
ez Bz Cz
Bz Bx ey Cz Cx ey Ay ez Az Bx Cx Bx Cx
Az Cz Bx Cx Bz Ax
Bx Bz Az Cx Cz
By Ay Cy Bz Cz
By Cy
Bx Ax By Cy Ay Cz B C A Az Bz
Az Cx
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
A ( B C ) ( A C ) B ( A B)C
14
矢量函数： A(r ) Ax ex Ay ey Az ez 微分元：
2014-7-3
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
z r0
2、圆柱坐标系
单位方向矢量：
er , e , ez
0r
0 2
P(r0,ψ 0,z0) z0 O ψ0 x
变量取值范围
z
空间任一点P(r0,ψ 0,z0) 其位置矢量： r
2014-7-3
Az
Ax O
x
3
A
Ay
y
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3. 矢量的代数运算 （1）矢量的加减法
A Ax ex Ay e y Az ez B Bx ex By e y Bz ez
四边形法则 三角形法则
A B
Ax Bx ex Ay By e y Az Bz ez
球面坐标 r,θ, ,e r ,eθ ,e
F (r ) F ( x, y, z ) F ( , , z ) F (r , , )
2014-7-3
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1、直角坐标系
坐标变量:
变量取值范围：
x, y , z
z z0
Байду номын сангаас
r0
e
e
y
r r0er
A(r ) Ar (r )er A (r )e A (r )e
微分元：
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dr er dr e rd e r sin d
C ex 5 ez 2
AB 求：（1） a A ；（2）A B ；（3）
ex e y 2 ez 3 A 1 2 3 ex ey ez 解 (1) a A A 14 14 14 12 22 (3) 2
；
（2） A B (e x e y 2 e z 3) (e y 4 e z ) e x e y 6 e z 4 53 （3)
ez er
e
y
r0er z0ez
矢量函数： A( r ) A ( r )e A ( r )e A ( r )e r x z z 微分元
2014-7-3
dr er dr e rd ez dz
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电磁场与电磁波
z
第1章 矢量分析
如图，三坐标面分别为
z
eA ex cos ey cos ez cos ˆx ˆ cos y ˆ cos z ˆ cos 或a 其中cos 、 cos 、 cos 分别表示矢量A 与x、y、z轴正向间的夹角余弦，称为 矢量A的方向余弦。
证:
A B C A Bx Cx ex ey By Cy
By Bz A ex Cy Cz
ez
Bz Cz
ey
Bx Cx
Bz Cz
ez
Bx Cx
By Cy
By Ax Cy
Ax Bx Cx Ay By Cy
Bz Bx Ay Cz Cx
第1章 矢量分析
1.1 矢量代数
一、矢量与矢量场 1、标量：一个只用大小描述的物理量。
2、矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用斜 体加黑字母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示
矢量的代数表示： A eA A eA A
A
A A 矢量的大小或模：
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
第一章 矢量分析
1.1 矢量代数 1.2 三种正交坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1.5 矢量场的通量与旋度 1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理
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电磁场与电磁波
A B B A ——矢量的标积符合交换律 A B
A B 0
A // B
A B AB
ex ey ey ez ez ex 0 ex ex ey ey ez ez 1
2014-7-3
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
A B AC
Bz Az Cz
C Cy
有：三重矢量积
2014-7-3
A B C A C B A B C
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
Ex1: 已知三个矢量
A ex e y 2 ez 3 B e y 4 e z
r 为常数
圆柱面； 半平面； 平 面．
x
z
为常数
z 为常数
o
z
y
柱面坐标与直角坐标的关系为
x r cos , y r sin , z z.
2014-7-3
r x y , y arctan , x z z.
2 2
A
y
x
z
x0 x
P(x0,y0,z0)
ez
单位方向矢量：
ex , ey , ez
O
ex
ey
y0 y
空间任一点 P（x0,y0,z0):
其位置矢量：
r x0ex y0ey z0ez
dr ex dx e y dy ez dz
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By Cy
Bz Az Cz
ey By ez Bz ey C y ez Cz
B Bx C Cx Ax B
Bx ez Bz ex Bx Ax Cx ez Cz exCx
By Ay B Bz C Cz Az B C
By ex Bx ey By Ay Cy exCx ey C y
（5）矢量的混合积
A B C B C A C A B
A B C B A C C A B
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
A ( B C ) B (C A) C ( A B)
（4）矢量的矢积（叉积）
A B en AB sin
用坐标分量表示为
A B ex ( Ay Bz Az By ) ey ( Az Bx Ax Bz ) ez ( Ax By Ay Bx )
写成行列式形式为
ex A B Ax Bx
不满足交换律 不满足结合律
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
（2）标量乘矢量
kA ex kAx ey kAy ez kAz
（3）矢量的标积（点积） 定义：
B
A
A B AB cos
矢量 A与 B 的夹角
数学计算：对应分量相乘的和 A B Ax Bx Ay By Az Bz
M ( x, y, z)
o
x
r
y
P(r, )
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3、球面坐标系
单位方向矢量： er , 变量取值范围:
e , e
θ O ψ0 x
z
0r 0 0 2
位置矢量： 矢量函数：
e r
0
P(r0,θ 0,ψ 0)
Bz Az Cz
By ey Cy
Bx Cx
ez
Bz Cz
Bz Bx e Ax z Cz Cx
By Cy
ex
Bx Cx
Bx By e Ay x Cx Cy
Bz Cz
ey
A ˆ来表示单位 矢量的单位矢量： eA ，（现在文献中用a A 常矢量：大小和方向均不变的矢量。 ˆ eA） 矢量a
矢量的几何表示
注意：单位矢量不一定是常矢量。
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
矢量用坐标分量表示
A ex Ax ey Ay ez Az 也可以表示为 ˆ x yA ˆ y zA ˆ z A xA Ax A cos ，Ax 表示A在x方向的投影，是一个标量 Ay A cos ，Az A cos
第1章 矢量分析
Ay ey Bz Cz Bz Cz Bx Cx Az ez Bx Cx By Cy
Bz Cz ex Bx Cx Bz By e Ay x Cz Cy Bx Cx ey By Cy
By Bx Ax ez Cy Cx
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1.2
三种常用的正交曲线坐标系 描绘物理状态空间分布的标量函数 (r )和矢量函 数 F (r ) ，在时间一定的情况下，它们是唯一的， 其大小或方向与所选择的坐标系无关，即对于坐标 (r ) 和 F (r )的大小与方向保持不变。 系的变换， 在正交坐标系：直角坐标 x, y,z,e x ,ey ,ez 柱面坐标 , ,z,e ,e ,ez
ex ey ez
A (B C )
；（6） ( A B) C
A C 1
5
ex 5 ey
2 3 e 4 e 13 e 10 x y z 0 2
ez 1
（5）
BC
0 4
0 2
ex 8 e y 5 ez 20
A ( B C ) (ex e y 2 ez 3) (ex 8 ey 5 ez 20) 42
ey Ay By
ez Az Bz
A B
B
AB sin
A B B A
矢量A 与B 的叉积
A
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
若 若
，则 A B ，则 A // B
A B AB
A B 0
ex ex 0, ey ey 0, ez ez 0 ex ey ez , ey ez ex , ez ex ey
A B (ex e y 2 ez 3)
(e y 4 ez ) -11
11
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
Ex1: 已知三个矢量
A ex e y 2 ez 3 B e y 4 e z
C ex 5 ez 2
求：（4） A C ；（5） 解 (4)
Bx Bz ez Cx Cz
Ay ey Bz Cz Bz Cz Bx Cx
9
Az ez Bx Cx By Cy
By Cy By Cy
ex
Bz Cz
Bz Cz
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电磁场与电磁波
A B C Ax ex By Cy
Bx ey Cx By Cy ez Bz Cz
证：
A B C (ex Ax e y Ay ez Az ) Bx Cx By A ex Cy ex Ax By Cy
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ex
ey By Cy By Cy Ax
ez Bz Cz
Bz Bx ey Cz Cx ey Ay ez Az Bx Cx Bx Cx
Az Cz Bx Cx Bz Ax
Bx Bz Az Cx Cz
By Ay Cy Bz Cz
By Cy
Bx Ax By Cy Ay Cz B C A Az Bz
Az Cx
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
A ( B C ) ( A C ) B ( A B)C
14
矢量函数： A(r ) Ax ex Ay ey Az ez 微分元：
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第1章 矢量分析
z r0
2、圆柱坐标系
单位方向矢量：
er , e , ez
0r
0 2
P(r0,ψ 0,z0) z0 O ψ0 x
变量取值范围
z
空间任一点P(r0,ψ 0,z0) 其位置矢量： r
2014-7-3
Az
Ax O
x
3
A
Ay
y
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3. 矢量的代数运算 （1）矢量的加减法
A Ax ex Ay e y Az ez B Bx ex By e y Bz ez
四边形法则 三角形法则
A B
Ax Bx ex Ay By e y Az Bz ez
球面坐标 r,θ, ,e r ,eθ ,e
F (r ) F ( x, y, z ) F ( , , z ) F (r , , )
2014-7-3
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电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1、直角坐标系
坐标变量:
变量取值范围：
x, y , z
z z0
Байду номын сангаас
r0
e
e
y
r r0er
A(r ) Ar (r )er A (r )e A (r )e
微分元：
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dr er dr e rd e r sin d
C ex 5 ez 2
AB 求：（1） a A ；（2）A B ；（3）
ex e y 2 ez 3 A 1 2 3 ex ey ez 解 (1) a A A 14 14 14 12 22 (3) 2
；
（2） A B (e x e y 2 e z 3) (e y 4 e z ) e x e y 6 e z 4 53 （3)
ez er
e
y
r0er z0ez
矢量函数： A( r ) A ( r )e A ( r )e A ( r )e r x z z 微分元
2014-7-3
dr er dr e rd ez dz
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15
电磁场与电磁波
z
第1章 矢量分析
如图，三坐标面分别为