天一大联考2020年高三高考全真模拟考试理科综合试卷(四)参考答案
2020届高三高考模拟考试理科综合测试试题及答案解析
2020 届高考模拟试卷（一）理科综合试卷考生注意：1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷、机读卡上。
考生认真核对。
2、第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卷上书写作答，在试卷上作答，答案无效。
3、考试结束后，请将答题卷和机读卡一并上交。
可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 N-14 P-31 Mn-55 Pb-207 I-127第I 卷(选择题共126 分)一、选择题：本题共13 小题，每小题 6 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1.下列有关细胞中元素和化合物的说法，正确的是A.吲哚乙酸是以色氨酸为原料合成的蛋白质B.通过胞吐释放的神经递质都是生物大分子C.某蛋白质分子独特的螺旋结构决定了其特定的生理功能D.与相同质量的脂肪相比，糖类完全氧化分解需更多氧气2.下列关于植物细胞质壁分离实验的叙述，错误的是A.与洋葱鳞片叶内表皮细胞相比，外表皮更有利于观察B.使用低倍显微镜无法观察到植物细胞质壁分离的现象C.使用黑藻叶片进行实验时，叶绿体的存在不会干扰观察D.植物细胞质壁分离过程中，细胞液吸收水分的能力增强3.H2O2 能将鸟嘌呤氧化损伤为8-oxodG，8-oxodG 与腺嘌呤互补配对。
若下图所示DNA 片段中有两个鸟嘌呤发生上述氧化损伤后，再正常复制多次形成大量的子代DNA。
下列相关叙述不正确的是A.氧化损伤可能诱发DNA 上基因种类改变B.子代DNA 可能都会发生碱基序列的改变C.部分子代DNA 中嘧啶碱基的比例可能会增加D.子代DNA 控制合成的蛋白质可能不发生改变4.下列关于光合作用和细胞呼吸的叙述，错误的是A.光反应叶绿素吸收光能的过程不需要酶参与B.C3 的还原需要光反应提供的NADH 和ATPC.病毒核酸的复制需要宿主细胞呼吸作用提供能量D.无氧呼吸产生的乳酸或酒精对细胞本身是有害的5.如图为观察某一性别生物组织装片的显微镜视野图，下列说法错误的是A.该组织装片中的一定是动物细胞B.该组织装片一定取自雌性生物中C.①②细胞中具有的染色体组数相同D.③产生的子细胞都能参与受精作用6.下列关于内环境与稳态的叙述，正确的是A.尿素、氧气和葡萄糖等化学成分可存在于内环境中B.淀粉的水解和葡萄糖的氧化分解都发生在内环境中C.组织液中大部分物质是从毛细血管的动脉端回到血浆中D.剧烈运动后，人体血浆的酸碱度会由弱碱性变为弱酸性7.化学是一门创造新物质的科学。
2024-2025学年陕西省“天一大联考”高三(上)阶段性检测数学试卷(四)(含答案)
2024-2025学年陕西省“天一大联考”高三（上）阶段性检测数学试卷（四）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U ={x ∈N|−2<x <112}，集合A ={1,3,4,5}，则∁U A =( ) A. {2}B. {2,5}C. {0,2}D. {0,2,5}2.已知等比数列{a n }满足a 1+a 3=4，a 4+a 6=32，则其公比q =( ) A. 1B. 2C. 3D. 43.若8cos 2α−3sin2α+1=0，则tanα=( ) A. 3B. 13C. 2D. 124.已知函数f(x)={x 2,x ≤5,−(x −5)3+1,5<x <a 的最小值为0，则实数a 的取值范围为( )A. (5,6)B. (5,6]C. [6,+∞)D. (5,7]5.遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记100个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率(记住的单词个数占总单词数的百分比) y 与初次记忆经过的时间x(ℎ)的函数关系式为y =1−0.5x 0.06，当其记住的单词仅剩25个时，x ≈( )参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48． A. 100 ℎB. 300ℎC. 1000ℎD. 2000ℎ6.已知正项数列{a n }，{b n }满足a n 2=b n b n+1，且a n +a n+1=2b n+1，则( )A. {√ b n }为等差数列B. {1b n}为等差数列C. {√ b n }为等比数列D. {b n }为等比数列7.已知函数f(x)=sin(ωx −π4)(ω>0)在区间(0,π4)上存在最值，且在区间(3π4,π)上具有单调性，则ω的取值范围是( ) A. [103,154] B. [73,103] C. [113,4] D. [113,154] 8.已知四面体ABCD 满足AC =BC =AD =BD =8，AB =CD =4，动点M 在四面体ABCD 的外接球的球面上，且MA =4√ 3，则点M 的轨迹的长度为( ) A. 4πB. 6πC. 8πD. 9π二、多选题：本题共3小题，共18分。
2020届全国天一大联考新高考押题模拟考试(四)理科数学
2020届全国天一大联考新高考押题模拟考试（四）理科数学试卷★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高二考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设集合{}|3,xA y y x R ==∈，{}|B x y x R ==∈，则A B =I （）A. 12⎧⎫⎨⎬⎩⎭B. ()0,1C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】集合A 表示函数3,xy x R =∈的值域，集合B 表示函数y =法，求出集合A 、B ，再求A B I 即可.【详解】解：因为3,xy x R =∈，则0y >，即()0,A =+∞，又y =x ∈R ,由120x -≥，解得12x ≤，即1,2B ⎛⎤=-∞ ⎥⎝⎦，即A B =I 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，故选D.【点睛】本题考查了函数的定义域、值域的求法，重点考查了集合交集的运算，属基础题. 2.复数121z i z i =+=，，其中i 为虚数单位，则12z z 的虚部为（ ） A. 1- B. 1C. iD. i -【答案】A 【解析】 【分析】根据复数共轭的概念得到__1z ，再由复数的除法运算得到结果即可.【详解】11211,1,z i z i i z i-=-==-- 虚部为-1， 故选A.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3.若2,a ln =125b -=，201cos 2c xdx π=⎰，则,,a b c 的大小关系（ ） A. a b c << B. b a c << C. c b a << D. b c a <<【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的性质，以及微积分定理与12比较即可.【详解】12ln ,2a ln =>=121,25b -=<== ()02111cos sin 22220c xdx x ππ=⎰=⨯=，故选：D【点睛】本题考查实数大小的比较，考查对数函数的性质，微积分定理，考查利用中间量比较大小，属于常考题型.4.给出下列两个命题：命题p ：“0a =，0b ≠”是“函数2y x ax b =++为偶函数”的必要不充分条件；命题q ：函数1ln 1xy x-=+是奇函数，则下列命题是真命题的是（ ） A. p q ∧ B. p q ⌝∧C. p q ∨D. p q ⌝∨【答案】C 【解析】 【分析】先判断出简单命题p 、q 的真假，然后利用复合命题的真假判断出各选项中命题的真假. 【详解】对于命题p ，若函数2y x ax b =++为偶函数，则其对称轴为02ax =-=，得0a =， 则“0a =，0b ≠”是“函数2y x ax b =++为偶函数”的充分不必要条件，命题p 为假命题； 对于命题q ，令101x x->+，即101x x -<+，得11x -<<，则函数1ln 1xy x -=+的定义域为()1,1-， 关于原点对称，且()()11111ln ln ln ln 1111x x x x x x x x ----++⎛⎫===- ⎪+-+--⎝⎭， 所以，函数1ln1xy x-=+为奇函数，命题q 为真命题， 因此，p q ∧、p q ⌝∧、p q ⌝∨均为假命题，p q ∨为真命题，故选C.【点睛】本题考查复合命题真假性的判断，解题的关键就是判断出各简单命题的真假，考查逻辑推理能力，属于中等题.5.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意*n N ∈都有21n n S a =-，设2log n n b a =，则数列{}n b 的前5项之和为（ ） A. 11 B. 16C. 10D. 15【答案】C 【解析】【分析】根据21n n S a =-，再写出一个等式1121n n S a ++=-，两式相减并化简，由此证明{}n a 是等比数列并求解出{}n a 的通项公式，然后求解出{}n b 的通项公式，根据通项公式即可求解前5项之和.【详解】11121,1,21n n n n S a a S a ++=-∴==-Q ①，21n n S a =-②， 由①和②得12n n a a +=，∴数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，1123452,1,0123410n n n a b n b b b b b -∴=∴=-∴++++=++++=.故选C.【点睛】已知n a 与n S 的关系式，可通过将n 替换为1n +得到新的关系式，再根据()12n n n a S S n -=-≥得到{}n a 的递推公式，从而求解出{}n a 的通项公式.6.已知向量a r ，b r 满足||a =r||1b =r ，且||b a -=r r a r 与b r 的夹角的余弦值为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】先由向量模的计算公式，根据题中数据，求出12a b ⋅=r r ，再由向量夹角公式，即可得出结果.【详解】因为向量a r ，b r 满足||a =r||1b =r ，且||b a -=r r 所以2||2-=r r b a ，即2222+-⋅=r r r r b a a b ，因此12a b ⋅=r r ，所以cos ,4⋅<>===r rr r r r a b a b a b .故选：C【点睛】本题主要考查由向量的模求向量夹角余弦值，熟记向量夹角公式，以及模的计算公式即可，属于常考题型.7.已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能是（ ）A. ()()=44xxf x x -+ B. ()()244log x xf x x -=-C. ()2()44log ||x xf x x -=+D. ()12()44logx xf x x -=+【答案】C 【解析】 【分析】根据图像得到函数()f x 为偶函数，而且1x =时，()0f x =，通过排除法排除掉A 、B 选项，然后通过判断()0,1x ∈时，()f x 的值，排除D 选项，从而得到答案.【详解】函数()f x 的图象如图所示，函数是偶函数，1x =时，函数值为0．()()44x x f x x -=+是偶函数，但是()10f ≠， ()()244log x x f x x -=-是奇函数，不满足题意． ()()244log x x f x x -=+是偶函数，()10f =满足题意；()()1244log x x f x x -=+是偶函数，()10f =，()0,1x ∈时，()0f x >，不满足题意．故选C 项．【点睛】本题考查函数图像的性质，函数的奇偶性，零点和值域，属于简单题.8.若函数1sin 2ω=y x 在区间,812ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A. [)4,0- B. [)2,0-C. [)[]4,04,6-⋃D. [4,6]【答案】A 【解析】 【分析】先由题意，得到0ω<，函数()1sin 2ω=-y x 在区间,812ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，列出不等式组求解，即可得出结果.【详解】因为函数1sin 2ω=y x 在区间,812ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减， 当0ω≥时，显然不可能，所以0ω<， 因此，函数()1sin 2ω=-y x 在区间,812ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以821220ππωππωω⎧⎛⎫-⋅-≥- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪-⋅≤⎨⎪<⎪⎪⎩，解得：40ω-≤<. 故选：A【点睛】本题主要考查由正弦型函数的单调性求参数，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.9.已知M 是△ABC内的一点，且AB AC ⋅=u u u v u u u v30BAC ∠=︒，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为1，x ，y ，则4y xxy+的最小值是（ ） A. 2 B. 8C. 6D. 9【答案】D 【解析】 【分析】由AB AC ⋅=u u u v u u u v30BAC ∠=︒，可知8bc =，进而求出1sin3022ABC S bc ∆=︒=，从而1x y +=，而41414y x xy x y x y ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭()45y x x y x y ⨯+=++，利用基本不等式求最小值即可．【详解】∵AB AC ⋅=u u u v u u u v30BAC ∠=︒，∴cos30bc ︒=，化为8bc =． ∴111sin3082222ABC S bc ∆=︒=⨯⨯=． ∴12x y ++=．则1x y +=，而41414y x xy x y x y ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭ ()455y x x y x y ⨯+=++≥+=5+4=9， 当且仅当4y xx y=，即2y x =时取等号， 故4y xxy+的最小值是9，故选D ． 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了向量的数量积，三角形的面积公式，属于中档题．10.已知函数22()(ln )x e f x k x x x=-+，若2x =是函数()f x 的唯一一个极值点，则实数k 的取值范围为( ) A. (,]e -∞ B. []0,eC. (),e -∞D. )0,e ⎡⎣【答案】A 【解析】 分析：由()f x 的导函数形式可以看出，需要对k 进行分类讨论来确定导函数为0时的根.详解：Q 函数()22ln x e f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的定义域是()0,∞+，()()()24232221xx x e kx x e x xe f x k x xx x ---⎛⎫∴=--+= ⎪⎝⎭'， Q 2x =是函数()f x 的唯一一个极值点，∴2x =是导函数()'0f x =的唯一一个极值点，0x e kx ∴-=在()0,∞+无变号零点，令()xg x e kx =-，()'x g x e k =-，①0k ≤时，()'0g x >恒成立，()g x 在()0,∞+时单调递增；()g x 的最小值为()01g =，()0g x =无解；②0k >时，()'0g x =有解为：ln x k =，0ln x k <<，()'0g x <，∴()g x 在()0,ln k 单调递减， ln x k >时，()'0g x >，∴()g x 在()ln ,k +∞单调递增，∴()g x 的最小值为()ln ln g k k k k =-， ∴ln 0k k k ->∴k e <，由xy e =和y ex =图象，它们切于()1,e ，综上所述，k e ≤. 故选：A.点睛：本题考查由函数的导函数确定极值问题，对参数需要进行讨论.11.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，已知点A 和B 分别为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ︒∠=，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为（ ）A.B. 1C.3D.3【答案】D 【解析】 【分析】先分别过点A 、B 作抛物线准线的垂线AQ 、BP ，垂直分别为Q 、P ，连接AF 、BF ，设=AF a 、=BF b ，根据抛物线的定义，得到==AQ AF a 、==BP BF b ，再由余弦定理，以及基本不等式，即可求出结果.【详解】如图，分别过点A 、B 作抛物线准线的垂线AQ 、BP ，垂直分别为Q 、P ，连接AF 、BF ，设=AF a 、=BF b ，由抛物线的定义可得：==AQ AF a 、==BP BF b ，在梯形ABPQ中，2=+=+MN BP AQ a b，由余弦定理可得：222222cos120=+-=++oAB AF BF AF BF a b ab2222()3()()()44++=+-≥+-=a b a ba b ab a b，所以()22232234++=≤=+++a b a bMNAB a b aba b.故选：D【点睛】本题主要考查抛物线的应用，熟记抛物线的性质，以及基本不等式即可，属于常考题型.12.已知P,A,B,C是半径为2的球面上的点，PA=PB=PC=2，90ABC∠=︒，点B在AC上的射影为D，则三棱锥P ABD-体积的最大值为（）A. 334B. 3C. 38D. 338【答案】D【解析】【分析】先画出图形（见解析），求出三棱锥的高，由题意得出三棱锥P ABD-体积最大时ABDn面积最大，进而求出ABDn的面积表达式，利用函数知识求出面积最大值，从而求出三棱锥P ABD-体积最大值．【详解】如下图，由题意，2PA PB PC===，90ABC∠=︒，取AC的中点为G，则G为三角形ABC的外心，且为P在平面ABC上的射影，所以球心在PG的延长线上，设PG h =，则2OG h =-，所以2222OB OG PB PG -=-，即22424h h --=-，所以1h =. 故G CG 3A ==，过B 作BD AC ⊥于D ，设AD x =(023x <<)，则23CD x =-,设(03)BD m m =<≤，则~ABD BCD n n ，故23m xx -=， 所以()223m x x =-，则()23m x x =-，所以ABD n 的面积()3112322S xm x x ==-，令()()323f x x x =-，则()2'634f x x x =-（），因为20x >，所以当3032x <<时，()'0f x >，即()f x 此时单调递增；当33232x ≤<时，()'0f x ≤，此时()f x 单调递减．所以当332x =时，()f x 取到最大值为24316，即ABD n 的面积最大值为1243932168=． 当ABD n 的面积最大时，三棱锥P ABD -体积取得最大值为1933338⨯=. 故选D.【点睛】本题主要考查三棱锥的体积公式、三角形的面积公式、导数等知识，是一道综合性很强的题目．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若实数x ，y 满足2222x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则z x y=+取值范围为________.【答案】[]0,6【解析】 【分析】先由约束条件作出可行域，化目标函数z x y =+为y x z =-+，得z 表示直线y x z =-+在y 轴截距，结合图像，即可求出结果.【详解】根据约束条件2222x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩作出可行域如下，由z x y =+得y x z =-+，所以z 表示直线y x z =-+在y 轴截距， 由图像可得，当直线y x z =-+过点A 时，在y 轴截距最小； 当y x z =-+过点B 时，在y 轴截距最大； 由222x y y +=⎧⎨=⎩得22x y =-⎧⎨=⎩，即(2,2)A -；由22x y y -=⎧⎨=⎩得42x y =⎧⎨=⎩，即(4,2)B ；因此min 220=-+=z ，max 426=+=z ， 即z x y =+的取值范围为[]0,6； 故答案为：[]0,6【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需由约束条件作出可行域，根据目标函数的几何意义，以及图像求解即可，属于常考题型.14.观察下列各式:2222221311511171,1,1222332344,+<++<+++<…根据上述规律,则第n 个不等式应该为_______ 【答案】222111211...23(1)1n n n +++++<++ 【解析】 【分析】根据规律，不等式的左边是1n +个自然数的倒数的平方和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，由此可得结论.【详解】根据规律，不等式的左边是1n +个自然数的倒数的平方和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列， 所以第n 个不等式应该是222111211...23(1)1n n n +++++<++， 故答案为222111211...23(1)1n n n +++++<++. 【点睛】本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中得出不等式的左边是1n +个自然数的倒数的平方和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.15.设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x -<-的解集为__________．【答案】(1,)+∞ 【解析】 【分析】根据条件构造函数F （x ）()xf x e=，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【详解】设F （x ）()xf x e=，则F ′（x ）()()'xf x f x e-=，∵()()f x f x '>，∴F ′（x ）＞0，即函数F （x ）在定义域上单调递增． ∵()()121x ef x f x -<-∴()()2121xx f x f x ee--＜，即F （x ）＜F （2x 1-）∴x 2x 1-＜，即x ＞1 ∴不等式()()121x ef x f x -<-的解为()1,+∞故答案为()1,+∞【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键． 16.设ABC ∆的内角A B C ，，的对边长a b c ，，成等比数列，()1cos cos 2A CB --=，延长BC 至D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为__________.【解析】 【分析】由()1cos cos 2A C B --=，可得1cos cos 4A C =，由,,a b c 成等比数列，结合正弦定理 可得2sin sin sinB AC =，两式相减，可求得3B π=，从而得ABC ∆为正三角形，设正三角形边长为a ，ACD S ∆ ()2a a =-，利用基本不等式可得结果. 【详解】()cos cos A C B --Q ()()1cos cos 2A C A C =-++=， 1cos cos 4A C ∴=，① 又,,a b c Q 成等比数列，2b ac ∴=， 由正弦定理可得2sin sin sin B A C =，② ①-②得21sin cos cos sin sin 4B AC A C -=-()cos cos A C B =+=-，21cos 1cos 4B B ∴+-=-，解得1cos ,23B B π==， 由()1cos cos 2A C B --=，得()1cos cos 12A C B -=+=，0,A C A B -==，ABC ∆为正三角形，设正三角形边长为a ， 则2CD a =-，1sin1202ACD S AC CD o ∆=⋅()()1222a a a =-=- ()224a a ⎡⎤+-⎣⎦≤=，1a =时等号成立．即ACD ∆【点睛】本题主要考查对比中项的应用、正弦定理的应用以及基本不等式求最值，属于难题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知在递增的等差数列{}1319,2,n a a a a a =中是和的等比中项 (I)求数列{}n a 的通项公式；(II)若()11n n b n a =+，n S 为数列{}n b 的前n项和，求nS ． 【答案】 (I)2n a n = (II)n S = ()21nn +【解析】 【分析】(I)根据已知求出{}2n d a =，再写出数列的通项公式. (II) 由题意可知()11112121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，再利用裂项相消法求和得解.【详解】(I)设公差为d ,因为2319a a a =，所以()()222228d d +=+，解得()2d 0d ==或舍，所以2n a n =. (II)由题意可知：()11112121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭所以n S =()1111111...2223121n n n n ⎛⎫-+-++-= ⎪++⎝⎭. 【点睛】本题主要考查等差数列通项的求法和裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18.在ABC ∆中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos cos a c Cb B-=. （1）求角B 的大小；（22sin cos 222C A A-的取值范围.【答案】（1）3B π=（2）,44⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角可得2sin sin cos sin cos A C CB B-=，再由两角和的正弦可得2sin cos sin A B A =，即得1cos 2B =，得解；（22sin cos 222C A A -=1cos 26C π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，再结合203C π<<求解即可. 【详解】解：（1）由2cos cos a c C b B -=得到2sin sin cos sin cos A C CB B -=， 即()2sin cos sin A B BC =+，即2sin cos sin A B A =，又∵A 为三角形内角，∴sin 0A ≠，所以1cos 2B =，从而3B π=. （2）()2313cos sin cos cos 1sin 22222C A A C A -=+- 3123cos sin 2232C C ⎛⎫=--+⎪⎝⎭π 31313cos sin cos 426C C C π⎛⎫=-+=++⎪⎝⎭， ∵203C π<<，∴5666C <+<πππ， ∴33cos 262C ⎛⎫-<+< ⎪⎝⎭π，所以31333cos 42624C π⎛⎫<++<⎪⎝⎭. 所以23cos sin cos 222C A A-的取值范围为333,44⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了正弦定理、正弦与余弦的二倍角公式及三角函数求值域问题，重点考查了运算能力，属中档题.19.已知在多面体ABCDE 中，DE AB ∥，AC BC ⊥，24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =且平面DAC ⊥平面ABC .（1）设点F 为线段BC 的中点，试证明EF ⊥平面ABC ；（2）若直线BE 与平面ABC 所成的角为60o ，求二面角B AD C --的余弦值. 【答案】（1）详见解析（23【解析】 【分析】（1）由四边形DEFO 为平行四边形.∴EF DO P ，再结合DO ⊥平面ABC ，即可证明EF ⊥平面ABC ；（2）由空间向量的应用，建立以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴的空间直角坐标系，再求出平面ADC 的法向量()0,1,0m =u r，平面ADB的法向量()n =r，再利用向量夹角公式求解即可.【详解】（1）证明：取AC 的中点O ，连接EF ，OF ， ∵在DAC ∆中DA DC =，∴DO AC ⊥.∴由平面DAC ⊥平面ABC ，且交线为AC 得DO ⊥平面ABC . ∵O ，F 分别为AC ，BC 的中点，∴OF AB P ，且2AB OF =. 又DE AB ∥，2AB DE =，∴OF DE P ，且OF DE =. ∴四边形DEFO 为平行四边形.∴EF DO P ， ∴EF ⊥平面ABC .（2）∵DO ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，∴以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.则()1,0,0A ，()1,0,0C -，()1,4,0B -.∵EF ⊥平面ABC ，∴直线BE 与平面ABC 所成的角为60EBF ∠=o .∴tan 60DO EF BF ===o(D .可取平面ADC 的法向量()0,1,0m =u r，设平面ADB 的法向量(),,n x y z =r ，()2,4,0AB =-uu u r，(AD =-uuu r ，则240x y x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，则x =y =()n =r ，∴cos ,m n m n m n⋅<>==u r ru r r u r r ，∴二面角B AD C --【点睛】本题考查了线面垂直的判定及利用空间向量求解二面角的大小，重点考查了空间想象能力，属中档题.20.高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.（Ⅰ）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？（Ⅱ）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为X，求X的分布列与数学期望.【答案】（Ⅰ）14；（Ⅱ）X的分布列见解析，数学期望是34【解析】【分析】（Ⅰ）若要小球落入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左，根据二项分布公式可求得概率；（Ⅱ）落入4号容器的小球个数X的可能取值为0，1，2，3，算出对应事件概率，利用离散型随机变量分布列数学期望的公式可求得结果.【详解】解：（Ⅰ）记“小球落入4号容器”为事件A，若要小球落入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左，∴理论上，小球落入4号容器的概率43411 ()24 P A C⎛⎫==⎪⎝⎭.（Ⅱ）落入4号容器的小球个数X 的可能取值为0，1，2，3，∴303127(0)C 1464P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，2131127(1)C 14464P X ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 223119(2)C 14464P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33311(3)C 464P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ∴X 的分布列为：∴27279130123646464644EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查二项分布及其数学期望的计算，较基础.21.设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.【答案】（1）AM 的方程为2y x =-+2y x =；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）首先根据l 与x 轴垂直，且过点()1,0F ，求得直线l 的方程为1x =，代入椭圆方程求得点A 的坐标为1,2⎛ ⎝⎭或1,2⎛-⎝⎭，利用两点式求得直线AM 的方程； （2）分直线l 与x 轴重合、l 与x 轴垂直、l 与x 轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果. 【详解】（1）由已知得()1,0F ，l 的方程为1x =.由已知可得，点A的坐标为⎛ ⎝⎭或1,⎛ ⎝⎭. 所以AM的方程为2y x =-+2y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=o .当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为()()10y k x k =-≠，()()1122,,,A x y B x y ，则12x x <<直线MA 、MB 的斜率之和为121222MA MB y yk k x x +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得()()()12121223422MA MB kx x k x x kk k x x -+++=--.将()1y k x =-代入2212x y +=得()2222214220k x k x k +-+-=.所以，22121222422,2121k k x x x x k k -+==++. 则()33312122441284234021k k k k kkx x k x x k k --++-++==+.从而0MA MB k k +=，故MA 、MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠.【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.22.已知函数2()(0)1xe f x a x ax =≥-+，（1）试讨论函数()f x 单调区间；（2）若不等式(x)x f ≥对于任意的[0,1]x a ∈+恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）[0,2)【解析】【详解】解: （1）：22/222222(12)((2)1)(1)((1))()(1)(1)(1)x x x e x ax x a e x a x a e x x a f x x ax x ax x ax -+-+-+++--+===-+-+-+ 当0a =时，函数定义域为R ，在R 上单调递增 当(0,2)a ∈时，2240,10a x ax ∆=-∴-+Q 恒成立，函数定义域为R ，又11,()a f x +>∴在(,1)-∞单调递增，(1,1)a +单调递减，(1,)a ++∞单调递增当2a =时，函数定义域为(,1)(1,)-∞⋃+∞，/(3)(),()(1)x e x f x f x x -=∴-在(,1)-∞单调递增，(1,3)单调递减，(3,)+∞单调递增当(2,)a ∈+∞时，240,a ∆=->Q 设210x ax -+=的两个根为12,,x x 且12x x <，由韦达定理易知两根均为正根，且1201x x <<<，所以函数的定义域为12(,)(,)x x -∞+∞U ，又对称轴12a x a =<+，且22(1)(1)1201a a a a x a +-++=+>∴<+，()f x ∴在11(,),(,1)x x -∞单调递增，22(1,),(,1)x x a +单调递减，(1,)a ++∞单调递增（2）：由（1）可知当2a >时，12[,][0,1]x x x a ∈⊆+时，有()0f x <即(x)x f ≥不成立， 当0a =时，单调递增，所以(x)x f ≥在[0,1]x a ∈+上成立 当(0,2)a ∈时，，下面证明：1(1)12a e f a a a ++=≥++即证(1)0(1(1,3))x e x x x a -+≥=+∈ 令单调递增，使得在0(1,)x 上单调递减，在上单调递增，此时所以不等式(1)0(1(1,3))x e x x x a -+≥=+∈所以1(1)12a e f a a a ++=≥++ 又当2a =时，由函数定义域可知，显然不符合题意综上所述，当[0,2)a ∈时，不等式(x)x f ≥对于任意的[0,1]x a ∈+恒成立。
2020届天一大联考高三高考全真模拟卷（四）数学（文）试题（解析版）
2020届天一大联考高三高考全真模拟卷（四）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{A x y ==，(){}2lg B x y x x ==-，则A B =（ ）A ．{}()01,+∞ B ．(](),01,-∞+∞ C ．[)0,+∞D ．()1,+∞【答案】D【解析】求函数定义域确定集合,A B ，然后由集合交集定义求解． 【详解】由题意{}0A x x =≥，()(),01,B =-∞+∞.根据交集的定义得()1,A B =+∞.故选：D ． 【点睛】本题主要考查集合的交集运算.，掌握对数函数性质是解题关键．2．已知复数z 满足()123z i i ⋅+=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）A ．52B ．52-C ．52i D ．52i -【答案】B【解析】由复数除法运算计算出z ，再由复数概念得结论． 【详解】由()123z i i ⋅+=-知2315122i z i i -==--+，故复数z 的虚部为52-. 故选：B ． 【点睛】本题考查复数的有关概念及复数的运算．对于复数(),z a bi a R b R =+∈∈，复数z 的虚部为b ，不是bi .3．某高中有1300名高一学生，1200名高二学生，1500名高三学生，其性别比例如图所示，则该校女生人数是（ ）A ．1660B ．1960C ．2040D ．2340【答案】A【解析】根据图表中比例分别计算各年级女生人数后相加即得． 【详解】思路点拨女生人数130040%120045%150040%1660n =⨯+⨯+⨯=. 故选：A ． 【点睛】本题考查统计图中的扇形图，属于基础题．4．已知双曲线C ：()222210y x a b a b-=>>的两条渐近线的夹角为23π，则该双曲线C的离心率e 为（ ） A ．23B 3C 233D ．32【答案】A【解析】由渐近线的夹角得,a b 的关系式，从而可得,a c 的关系式，求得离心率e ． 【详解】由双曲线C ：()222210y x a b a b-=>>的方程，可知渐近线方程为a y x b =±.由0a b >>得tan 33a b π==所以3a b ，即()222233a b c a ==-，所以2234c a =，即2243c a =，所以离心率33e =. 故选：A ． 【点睛】本题考查双曲线的渐近线和离心率，解题时直接求出,a c 的关系式即可，如果忽略条件中的0a b >>，则导致结果有两种可能，从而错选C.5．执行如图所示的程序框图，若输人的[]1,1x ∈-，则输出的y 的取值范围为（ ）A ．(][),01,e -∞B ．(]1,0,1e ⎡-∞⎤⎢⎥⎣⎦C ．[)11,0,e⎡⎤⎢-⎥⎦∞⎣-+D ．[][),10,e --+∞【答案】B【解析】由程序框图，确定函数()f x 的解析式，然后可求得值域． 【详解】由程序框图可知，,10,ln ,01x e x y x x ⎧-≤≤=⎨<≤⎩，函数xy e =在区间[]1,0-上单调递增，值域为1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；函数ln y x =在区间(]0,1上也单调递增，值域为(],0-∞，所以当[]1,1x ∈-时，y 的取值范围为(]1,0,1e ⎡-∞⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B ． 【点睛】本题考查程序框图及分段函数的值域. 本题可以画出分段函数,10,ln ,01x e x y x x ⎧-≤≤=⎨<≤⎩的图象，借助函数的图象求分段函数的值域.函数的值域为函数图象上所有点的纵坐标组成的集合.分段函数的值域为各段上函数值域的并集.6．已知圆锥的底面半径为2，高为4，有一个半径为1的圆柱内接于此圆锥，则该圆柱的侧面积是（ ） A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【答案】D【解析】作出轴截面，在轴截面中由相似三角形可求解． 【详解】如图，设圆柱的高为h ，由题意可得142h =，所以2h =，从而圆柱的侧面积2124S ππ=⨯⨯=侧，故选：D.【点睛】本题考查圆柱侧面积的计算公式，对旋转体解题时可作出轴截面，在轴截面中计算． 7．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，且20190S >，20200S <，则使0n a <成立的最小自然数n 为（ ） A ．1009 B ．1010C ．1011D ．1012【答案】C【解析】由等差数列的前n 项和公式1()2n n n a a S +=结合等差数列的性质确定项的正负． 【详解】因为20190S >，所以120190a a +>，即101020a >，10100a >.因为20200S <，所以120200a a +<，即101010110a a +<，所以10110a <. 故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及前n 项和公式，考查等差数列的性质，由等差数列只要确定数列相邻两项一正一负即可得结论．8．设满足约束条件10,20,220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩的变量x ，y 形成的区域为D ，有下列四个命题：1p ：(),x y D ∃∈，30x y ++≥；2p ：(),x y D ∃∈，30x y ++≤；. 3p ：()x y D ∀∈,，30x y ++≥；4p ：()x y D ∀∈,，30x y ++≤.其中正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】作出可行域，再作直线30x y ++=，观察此直线与可行域的关系，根据存在命题与全称命题的概念判断． 【详解】思路点拨约束条件10,20,220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的可行域为图中三角形区域，直线30x y ++=经过三角形的一个顶点()2,1--，根据题意可知1p ：(),x y D ∃∈，30x y ++≥正确，2p ：(),x y D ∃∈，30x y ++≤正确，可行域均在直线30x y ++=的上方，故3p ：()x y D ∀∈,，30x y ++≥正确，4p ：()x y D ∀∈,，30x y ++≤错误，故选：C.【点睛】本题考查线性规划与简易逻辑，解题关键是作出可行域，作出直线30x y ++=，由直线与可行域的关系得出结论．9．2019年9月8日，中华人民共和国第十一届少数民族体育运动会在河南郑州开幕，现从我省曾获得乒乓球奖牌的2男1女三名运动员与获得跳远奖牌的1男2女三名远动员中各选1人作为运动会的火炬手，则选出的2名运动员性别恰好相同的概率是（ ）A ．13B ．49C ．59D ．23【答案】B【解析】把6人编号，然后写出各选1人的所有基本事件，从中可得2人性别相同的基本事件的个数，从而计算出概率． 【详解】由题意，记获得乒乓球奖牌的三名运动员分别为1A ，2A ，1B ， 获得跳远奖牌的三名运动员分别为3A ，2B ，3,B 则从中各选1人的基本事件有：()13,A A ，()12,A B ，()13,A B ，()23,A A ，()22,A B ，()23,A B ，()13,B A ，()12,B B ，()13,B B ，共9个，而2人性别相同的基本事件有：()13,A A ，()23,A A ，()12,B B ，()13,B B ，共4个，故所求的概率为49P =. 故选：B ． 【点睛】考查目标本题考查古典概型的计算．求古典概型概率的关键是求问题中基本事件的总数和子事件所包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法，列表法和树状图法，具体应用则可根据需要灵活选择. 10．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3A π=，且ABC 的ABC 周长的最大值是（ ） A ．12 B ．6C ．10D ．9【答案】D【解析】由正弦定理求出a ，由余弦定理及基本不等式求出b c +的最大值，即得周长最大值． 【详解】由正弦定理2sin sin a b R A B ==，得2sin 32a R A ===.由余弦定理2222cos abc bc A =+-，得22221922b c bc b c bc =+-⨯=+-，所以()293b c bc =+-()()2221324b c b c b c ⎛⎫ ⎪⎝=⎭+≥+-+，6b c +≤，当且仅当3==b c 时等号成立，所以ABC 周长的最大值为369+=.故选：D ． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及均值不等式的应用．属于中档题．11．设曲线()4ln f x x =在点()1,0处的切线上有一动点P ，曲线()232ln g x x x =-.上有一点Q ，则线段PQ 长度的最小值为（ ）A ．17B ．17C ．17D ．17【答案】C【解析】求出曲线()f x 在(1,0)处的切线l 方程，再同曲线()g x 的与直线l 平行的切线方程，两平行线间的距离就是所求的最小值． 【详解】()10f =，()4f x x'=，∴切线斜率()14k f '==，故曲线()f x 在()1,0处的切线方程为440x y --=.又()26g x x x'=-，令264x x -=，则1x =或13x =-（舍去）.又()13g =，故g （x ）在()1,3处的切线方程为410x y --=，与直线440x y --=平行，这两条平行线间的距离为d =，故线段PQ 故选：C ． 【点睛】本题考查求一般曲线的切线问题，两条平行线间的距离的应用，考查转化与化归思想．解题关键是把两点间距离的最小值转化为平行线间的距离．12．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，直线1AF 与椭圆的另一个交点为C ，若14ABC BCF S S =△△，则椭圆的离心率为（ ）A B ．5C D 【答案】C【解析】由AB x ⊥轴，可得出A 点坐标（不妨设A 在第一象限），由14ABC BCF S S =△△得14AC CF =，从而可表示出C 点坐标，把C 点坐标代入椭圆方程得,,a b c 的关系式，变形后可求得e ． 【详解】因为AB x ⊥轴，所以不妨设2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为14ABC BCF S S =△△，所以14AC CF =，即113AF CF =.因为()1,0F c -， 113AF FC =，2(2,)3(,)C C b c x c y a --=+，∴53C c x =-，23C b y a=-， 即25,33c b C a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程可得222225199c b a a +=，2222259c a c a +-=，223a c =，所以e =故选：C ． 【点睛】本题考查椭圆的定义及基本性质，求离心率，关键是列出关于,,a b c 的等式，本题根据三角形面积关系得出14AC CF =，从而表示出C 点坐标是解题关键．二、填空题13．已知向量()1,a x x =-，3,21b x ⎛=+⎫⎪⎝⎭.若//a b ，则x 的值为__________. 【答案】2或12-【解析】根据向量共线的坐标表示求出x ． 【详解】因为a 与b 共线，所以()32101x x x --⨯=+得2x =或12-.【点睛】本题考查平面向量共线的坐标运算，属于基础题． 14．已知定义在区间()(),00,-∞+∞上的函数()f x 满足()()0f x f x --=，当0x >时，()ln f x x =，则函数()()g x f x e =-的所有零点的乘积为__________.【答案】1【解析】由解方程的思想求出0x >时，()g x 的零点，在根据偶函数性质得出0x <时的零点，计算乘积即可． 【详解】当0x >时，由()ln f x x =知，()()g x f x e =-的零点有两个，分别为1ex e =和2e x e -=.由题意()()f x f x -=可知函数()f x 为偶函数，所以当0x <时，()g x 还有两个零点，即3e x e =-，4ex e -=-，所以0121e e x x e e e -⋅=⋅==，()()0341eex x e ee-⋅=-⋅-==，从而12341x x x x =.【点睛】标本题考查函数的奇偶性，考查函数的零点.解题时根据零点定义直接求出零点是解题的基本方法．15．已知函数()sin f x x =与()()()1cos 202g x x ϕϕ=++≤<π的图象有一个横坐标为6π的交点，则()g x 在0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域为__________.【答案】10,2⎡⎢⎣⎦【解析】由交点横坐标得交点坐标，代入()g x 可求得ϕ，再由正弦函数的单调性可求得值域． 【详解】由题意知交点坐标为1,62π⎛⎫⎪⎝⎭，代入()g x 的解析式可以得到11cos 322ϕπ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以32k ππϕπ+=+，k Z ∈.因为0ϕπ≤<，所以6π=ϕ，所以()1cos 262g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()g x 的值域为10,2⎡+⎢⎣⎦.故答案为：⎡⎢⎣⎦．【点睛】考查目标本题考查三角函数的图象与性质，求函数值域时，先关注定义域，再判断函数的单调性，从而求得值域.16．四面体ABCD 的四个顶点都在半径为1的球面上，若ABC 为直角三角形，则该四面体体积的最大值为__________. 【答案】3281【解析】ABC 为直角三角形，不妨设斜边BC 是所在截面圆的直径，当且仅当ABC 为等腰直角三角形时，ABC 的面积最大，当D 到平面ABC 的距离最大时，四面体ABCD 体积最大．由此可得解法．BC 中点是1O ，设1OO x =，把体积表示为x 的函数，再由导数的知识求得最大值． 【详解】设过A ，B ，C 三点的平面截已知球O 所得的圆为圆1O ，因为ABC 为直角三角形，不妨设AB AC ⊥，则BC 为圆1O 的直径，设圆1O 的半径为r ，则当且仅当ABC 为等腰直角三角形时，ABC 的面积最大，连接1O O 并延长交球面于一点，若使得四面体ABCD 的体积最大，则该交点应为点D ，1DO 即为四面体ABCD 的高，设1OO x =，则有221x r +=，则()23211111111333333ABC ABCD V S DO r x x x x =⋅≤⨯⨯+=--++△四面体.令()()321111013333f x x x x x =--++≤<， 则()()()2211131333f x x x x x '=--+=-+-， 所以()f x 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当13x =时，()f x 取得最大值，()f x 的最大值为132381f ⎛⎫=⎪⎝⎭.故答案为：3281． 【点睛】本题考查多面体外接球问题．解题关键是分析出多面体体积最大时，多面体的结构特征．然后引入参数1OO x =，体积可表示为x 的函数，由函数知识求得最大值．三、解答题17．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且3510a a +=-，105S =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令1n n n b a a +=，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项.【答案】（1）317n a n =-（2）12-【解析】（1）由已知条件列出d 与1a 的关系式，求解，得{}n a 的通项公式.（2）由（1）得出{}n b 的通项公式，由通项公式得出满足0n b <时的那一项，即1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由3510a a +=-，105S =-，得112610,10455,a d a d +=-⎧⎨+=-⎩解得114,3,a d =-⎧⎨=⎩ 所以317n a n =-.（2）由1n n n b a a +=，可得()()317314n b n n =--，*n N ∈， 当4n ≤或6n ≥时，0n b >，此时10nb >， 当5n =时，520b =-<，所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭最小项为5112b =-.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，数列中的最值问题．基本量法是解决等差数列通项公式和前n 项和的基本方法．18．在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒且11AB BC CC ===，M 为棱11A C 的中点（1）求证：1AC ⊥平面1B CM ； （2）求三棱锥1A B CM -的体积 【答案】（1）证明见解析（2）16【解析】（1）欲证线面垂直，先证线线垂直，证明同一平面内的两条相交直线垂直时，要注意应用平面几何的知识解决.（2）注意应用等体积转化的思想，即求1B MAC -的体积． 【详解】（1）由题意知，1CC ⊥底面111A B C .11CC B M ∴⊥. 又AB BC =，90ABC ∠=︒，2AC ∴=111A B C ∴∆为等腰直角三角形且11190A B C ∠=︒，112AC ∴=. M 为11A C 的中点，111B M AC ∴⊥.又111CC AC C =，1B M ∴⊥平面11ACC A .1AC ⊂平面11ACC A ，11B M AC ∴⊥.在四边形11ACC A 中，2AC =11CC =，122C M =，1190ACC CC M ∠=∠=︒， 1ACC ∴△与1CC M △相似，11CMC AC C ∴∠=∠.1190AC M AC C ∴∠+∠=︒，1190CMC AC M ∴∠+∠=︒，1AC CM ∴⊥.又1B M CM M =，1AC ∴⊥平面1B CM .（2）由题意知111111212133226A B CM B ACM ACM V V S B M --==⋅=⨯⨯=△. 【点睛】本题考查立体几何中线面垂直问题的证明，证明时注意线面垂直与线线垂直的相互转化．应用等体积转化求三棱锥的体积19．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆C 与圆222x y c +=（c 为椭圆的半焦距）在第一象限内的交点为()3,4M .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求1ABF 面积的最大值【答案】（1）2214520x y +=（2）30【解析】（1）由点()3,4M 在圆222x y c +=上，得5c =.再根据椭圆的定义求出a ，然后再求得b ，从而求出椭圆的标准方程.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 的方程为5x my =+，与椭圆方程联立，消元后应用韦达定理，求出12y y -，先求出三角形面积，再利用换元法，构造均值不等式求三角形面积的最大值. 【详解】（1）由题意可知点()3,4M 在圆上，22234c ∴+=，即5c =，∴两焦点坐标分别为()15,0F -，()25,0F .由122MF MF a +=，得35a =，222452520b a c =-=-=，故所求椭圆C 的标准方程为2214520x y +=.（1）由题意可设直线AB 的方程为5x my =+，225,49180,x my x y =+⎧⎨+=⎩ 设()11,A x y ，()22,B x y ，可得()224940800m y my ++-=， 则1224049m y y m +=-+，1228049y y m -=-+，12y y -==22245549m m +=+，1121221249ABF S F F y y m =⋅-=+△，t =，则[)1,t ∈+∞，故有1304ABF S t t ==≤=+△， 当且仅当54t t =，即t = 1ABF ∴面积的最大值为30.【点睛】本题考查椭圆的定义及简单的几何性质，应用函数思想，解决三角形面积的最大值问题．合理恰当地设出直线AB 的方程对解决该问题起到化繁为简的作用，直线与椭圆相交问题中设而不求思想方法是基本方法．20．某网站为了解某新闻的传播总人数y （千人）随时间x （小时）的变化情况，统计数据如下：（1）试根据以上数据画出散点图，并判断函数y a bx =+与kxy ce =中，哪一个适合作为传播总人数y 关于时间x 的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 与x 的回归方程； （3）若该网站的平均收益M （万元）与x ，y 满足关系69.3ln M y x=+，试求平均收益的最小值. 附：参考数据：z()521ii zz=-∑()()51ii i zz x x =--∑3.1884.806 6.930表中ln z y =，5115i i z z ==∑.参考公式：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121nii i nii uu v vu u β==--=-∑∑，v u αβ=+.【答案】（1）作图见解析；kxy ce =比较适合（2）0.6931109x y e +=．（3）14.969万元 【解析】（1）由表中数据描点即可.根据散点图确定函数kx y ce =更适合．（2）由题中数据计算α，β，代入公式即得回归方程. （3）求出平均收益M 后用均值不等式计算最值．【详解】（1）题目中所给数据的散点图如图所示，由散点图容易判断方程kxy ce =比较适合.（2）由kxy ce =，两边取对数可得ln ln y kx c =+，即ln z kx c =+.由题意可知，1234535x ++++==，()52110ii x x =-=∑， 1(ln 6ln12ln 25ln 49ln 95) 3.195z =++++=，所以()()()515216.9300.69310ii i i i zz x x x x β==-===--∑∑， 3188069331109α=-⨯=...，所以z 关于x 的回归方程为06931109z x =+..，所以y 关于x 的回归方程为0.6931109x y e +=．. （3）由（2）知网站的平均收益69.369.369.3ln 06931109 1.1092069314.969M y x x x x x=+=++≥+⋅=.．.， 当且仅当69.30693x x=.，即10x =时取等号， 故平均收益的最小值为14.969万元. 【点睛】本题考查散点图，求非线性回归方程及其应用．解题根据所给数据和公式计算即可．本题还考查了学生的数据处理能力． 21．已知函数()212xx f x e ae ax =-+有两个极值点. （1）求a 的取值范围；（2）设()f x 的两个极值点分别为1x ，2x ，若不等式()()()1212xx f x f x e eλ+<+恒成立，求λ的最小值.【答案】（1）4a >（2）2ln 23-【解析】（1）求导数．()0f x '=有两个不等实根，换元后转化为一元二次方程有两个不等正根，得a 的取值范围；（2）利用根与系数的关系可以得到12x x e e a +=，12x x e e a ⋅=，先转化炎关于a 的不等式恒成立，最后转化为关于a 的函数求最值. 【详解】 （1）因为()212xx f x e ae ax =-+有两个极值点1x ，2x ， 所以()2xx f x eae a '=-+有两个不同的零点，即方程20t at a -+=（其中0x t e =>）有两个不同的正根，所以240,0,20,a a aa ⎧->⎪⎪>⎨⎪>⎪⎩，所以4a >. （2）由（1）知1x ，2x 是()2x xf x e ae a '=-+的两个根，由根与系数的关系得12x x e e a +=，12x x e e a ⋅=，所以12ln x x a +=， 所以()()()()()121222121212x x x x f x f x e e e e x a a x +=+⋅++- ()()()()()1212121212212x x x x x x x x e e e e a e e a x x e e λ-=+-+++<+， 所以221ln 2a a a a a a λ--+<. 因为4a >，所以1ln 12a a λ--<. 设()1ln 12g a a a =--，则()1102g a a '=-<， 所以g （a ）在()4,+∞上单调递减，所以()()42ln 23g a g <=-， 故λ的最小值为2ln 23-.【点睛】本题考查函数极值点的定义以及不等式恒成立问题．考查转化与化归思想，函数有零点极值点，转化方程根的分布问题，不等式恒成立问题转化为求函数的最值．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρ=（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）求曲线1C 与2C 交点的极坐标.【答案】（1）2cos 24ρθ=-；228x y +=（2）3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，23π⎛⎫ ⎪⎝⎭，34π⎛⎫⎪⎝⎭，35π⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）由曲线C 的参数方程通过将两个式子两边分别平方再相减可消去参数t ，得到曲线C 的普通方程，再由公式cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化为极坐标方程即可.对于曲线2C 利用公式cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩直接化为直角坐标方程即可.（2）把曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的极坐标联立即可求得交点的极坐标. 【详解】（1）由题意，将1x t t =-与1y t t=+-两式平方相减可得224x y -=-.因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以2222cos sin 4ρθρθ-=-， 即曲线1C 的极坐标方程为2cos 24ρθ=-.将曲线2C的极坐标方程ρ=228x y +=.（2）由题意得2cos 24,ρθρ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，故1cos 22θ=-，所以223πθ=或43π或83π或310π，即3πθ=或23π或43π或53π.所以两曲线交点的极坐标为3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，23π⎛⎫ ⎪⎝⎭，34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，35π⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查两曲线交点的极坐标的求法.．极坐标与直角坐标之间由关系式cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩相互转化．23．已知实数a ，b ，c ，均大于零，且满足2a b c ++=. （1）求ab bc ac ++的最大值； （2）求22223a b c ++的最小值. 【答案】（1）43（2）2411【解析】（1）利用基本不等式解决. （2）利用柯西不等式解决. 【详解】（1）因为()2222222a b c a b c ab bc ac ++=+++++，又2222222,2,2,a b ab a c ac b c bc ⎧+≥⎪+≥⎨⎪+≥⎩所以222a b c ab bc ac ++≥++， 故有()()23a b c ab bc ca ++≥++，所以()2433a b c ab bc ac ++++≤=，当且仅当“a b c ==”时等号成立，所以ab bc ac ++的最大值为43． （2）由题意，利用柯西不等式可得：()()222211231423a b c a b c ⎛⎫++++≥++= ⎪⎝⎭， 所以222242311a b c ++≥，当且仅当“23a b c ==”时等号成立，所以22223a b c ++的最小值为2411. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查用柯西不等式的应用．掌握基本不等式和柯西不等式是解题基础．。