高三联考理科数学试卷及答案

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河南省普高联考2022-2023学年高三下学期测评(四)理科数学试题PDF版含解析

河南省普高联考2022-2023学年高三下学期测评（四）理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，，则（）{24}A xx =<<∣{(6)(3)0}B x x x =--≥∣A ．B ．C ．D ．2A B∈ 3A B∈⋂4A B∈ 5A B∈ 2．若复数z 的共轭复数为，且，则z 的虚部为（）z (2i)35i z z -+=-+A ．B ．C ．D ．22i-2i2-3．已知等比数列的前n 项和为，且，，则（）{}n a n S 123nn S m =⨯-m ∈R 4S =A ．B ．5C ．D ．1331732234．塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑．最初是供奉或收藏佛骨、佛像、佛经、僧人遗体等的高耸型点式建筑，称“佛塔”．如图，为测量某塔的总高度AB ，选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，现测得，，米，在C 点测得塔顶A 的仰角为60°，则塔的总30BCD ∠=︒45BDC ∠=︒30CD =高度约为（））1.4≈ 1.7≈A ．13米B ．24米C ．39米D ．45米5．函数的大致图象是（）3sin ||x xy x -=A ．B ．C ．D．6．某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了“绘画、书法、围棋、舞蹈、武术”五项兴趣拓展活动，小明计划从这五项活动中选择三项，则书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中的概率为（）A ．B ．C ．D ．0.90.70.60.37．记不等式组的解集为D ，现有下面四个命题：30,10,30x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩，；，；1:(,)p x y D ∀∈280x y -+≥2:(,)p x y D ∃∈240x y -+>，；，．3:(,)p x y D ∀∈30x y ++>4:(,)p x y D ∃∈330x y +-≤其中真命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知抛物线的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于点A ，B ，与2:2(0)C x py p =>抛物线的准线交于点M ，且点A 位于第一象限，F 恰好为AM 的中点，，AF BM λ=()λ∈R 则（）λ=A ．B ．CD32439．任意写出一个正整数，并且按照以下的规律进行变换：如果是个奇数，则下一m m 步变成，如果是个偶数，则下一步变成，无论是怎样一个数字，最终必31+m m 12m m 进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．它可以表示为数列1421→→→（为正整数），，若，则的所有可能{}1:n a a m =m 131,1,2n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩当为奇数时当为偶数时72a =m 取值之和为（）A ．B ．C ．D ．18819019220110．在菱形ABCD 中，，，AC 与BD 的交点为G ，点M ，N 分别在线段5AB =6AC =AD ，CD 上，且，，将沿MN 折叠到，使13AM MD =13CN ND =MND MND '△的外接球的表面积为（）GD '=D ABC '-A ．B ．C ．D ．1203π16627π16289π840π11．设双曲线的左、右焦点分别为，，B 为双曲线E 上:E 22221x y a b-=(0,0)a b >>1F 2F 在第一象限内的点，线段与双曲线E 相交于另一点A ，AB 的中点为M ，且1F B ，若，则双曲线E 的离心率为（）2F M AB ⊥1230AF F ∠=︒AB ．2C D 12．已知，，，其中e 为自然对数的底数，则（）0.618e 1a =-ln1.618b =tan 0.618c =A ．B ．c a b >>a b c >>C ．D ．b a c>>a c b>>二、填空题13．二项式的展开式中的系数为________．523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4x 14．如图，在矩形ABCD 中，，AC 与BD 的交点为M ，N 为边AB 上任22AB BC ==意点（包含端点），则的最大值为________．MB DN ⋅15．圆与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧)，点N 满足22:280M x y x ++-=，直线与圆M 和点N 的轨迹同时相切，则直线l 的斜率为||2||NA NB =:(0)l y kx m k =+>________．16．先将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横()cos f x x =2π3坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象与函数的图象关于x 轴对称，1(0)ωω>()g x 若函数在上恰有两个零点，且在上单调递增，则的取值范围是()g x 2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ω________．三、解答题17．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．ABC cos )sin b a C c A -=(1)求A ；(2)若D 在线段AC 上，且，求BD 的最小值．ABC 13AD AC =18．如图，在四棱锥中，底面ABCD 是平行四边形，，M ABCD -4AB =AD =，点M 在底面ABCD 上的射影为CD 的中点O ，E 为线段AD MC ==45ADC ∠︒上的点(含端点)．(1)若E 为线段AD 的中点，证明：平面平面MAD ；MOE ⊥(2)若，求二面角的余弦值．3AE DE =D ME O --19．某公司为了解年营销费用x （单位：万元）对年销售量y （单位：万件）的影响，统计了近5年的年营销费用和年销售量，得到的散点图如图所示，对i x (1,2,3,4,5)i y i =数据进行初步处理后，得到一些统计量的值如下表所示．51ii u=∑51ii v=∑()()51iii u u v v =--∑()521ii u u =-∑16.1026.020.40 1.60表中，，，．已知可以作为年销售量y 关ln i i u x =ln i i v y =5115i i u u ==∑5115i i v v ==∑b y a x =⋅于年营销费用x 的回归方程．(1)求y 关于x 的回归方程；(2)若公司每件产品的销售利润为4元，固定成本为每年120万元，用所求的回归方程估计该公司每年投入多少营销费用，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益销售=利润营销费用固定成本）--参考数据：．4.399e 81≈139≈参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截()()()1122,,,,,,n n u v u v u v v u αβ=+距的最小二乘估计分别为，．()()()`121ˆniii ni i u u v v u u β==--=-∑∑ˆˆv u αβ=-20．已知椭圆的右焦点为F ，离心率为，且点在㮋圆上．2222:1(0)x y C a b a b+=>>1231,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过右焦点F 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为Q ，经过坐标原点O 和点Q 的直线m 与椭圆C 交于M ，N 两点，求四边形AMBN 的面积的取值范围．21．已知函数．()2cos sin ()f x mx mx x x m =--∈R (1)当时，求在点处的切线方程；1m =()f x ()()π,πf (2)当时，，求实数m 的取值范围．0x >()0f x >22．在直角坐标系中，直线l 的参数方程为其中t 为参数，以坐标原点为xOy 1,1,x t y t =+⎧⎨=-⎩极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为，其中为参数．2|sin |2|cos |ρθθ=+θ(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程，并画出曲线C 的简图（无需写出作图过程）；(2)直线与曲线C 相交于A ，B 两点，且的值．:m θα=π0,2α⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭||AB =α23．已知函数的最小值为m ．()2|1||1|4f x x x =++--(1)在直角坐标系中画出的图象，并求出m 的值；()y f x =(2)a ，b ，c 均为正数，且，求的最小值．1a b c m ++=-+222a b c b c a++参考答案：1．B【分析】根据二次不等式解法求出集合B ，求出及，根据元素和集合的关系即A B ⋂A B ⋃可逐项判断.【详解】由题可知或，则，或{6B xx =≥∣3}x ≤{23}A B x x ⋂=<≤∣{4A B x x ⋃=<∣，依据选项可知B 正确.6}x ≥故选：B ．2．D【分析】先根据条件求出复数，然后可得虚部.z 【详解】设复数，a ，，则，i z a b =+b ∈R i (2i)(i)a b a b +-+-()(3)i a b b a =-++-35i =-+即，解得，则，故z 的虚部为2.()335a b b a -+=-⎧⎨-=⎩12a b =⎧⎨=⎩12z i =+故选：D ．3．B【分析】先根据的定义依次求出，再由等比数列的定义即可得到关于的关系式，n S 123,,a a a m 解之即可得出答案.【详解】因为，123nn S m =⨯-当时，，1n =1123a S m ==-当时，，则，2n =21243m a S a =+=-223a =当时，，则，3n =312383a m a a S +=+-=343a =因为是等比数列，所以，则，{}n a 322a q a ==2113a a q ==所以，解得，2133m -=13m =则，11233n n S =⨯-则.45S =故选：B.4．C【分析】在Rt △ABC 根据∠ACB 的正切得AB 与BC 的关系，在△BCD 中利用正弦定理列式即可求解．【详解】设，则，AB m=tan 60m BC ==︒在中，，由正弦定理得，BCD △105CBD ∠=︒sin105sin 45CD BC=︒︒因为，()sin105sin 4560︒=︒+︒sin 45cos 60cos 45sin 60=︒︒+︒︒=代入数据，解得（米），90m =-9030 1.739≈-⨯=故选：C ．5．A【分析】先判断函数的奇偶性即可排除选项；再利用特殊值即可排除选项，进而求解.B,D C 【详解】函数的定义域为，3sin ()xx xy f x -==(,0)(0,)-∞+∞ 且，3sin()3sin ()()x x x xf x x x f x-----+-===-所以是奇函数，图象关于原点对称，排除选项，()f x B,D 只需研究的图象，当时，，则，排除选项.0x >π6x =πππ33sin 06662-=-<π06f ⎛⎫< ⎪⎝⎭C 故选：．A 6．B【分析】方法一：根据排列组合结合分类加法法则得出答案；方法二：先求出“书法、舞蹈这两项活动都被选中”的概率，即可根据对立事件的概率求法得出答案.【详解】方法一：“书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中”分两种情况：①都没有被选中，有种情况；②两项活动只有一项被选中，有种情况，33C 1223C C 则所求概率为，故选B ．31232335C C C 70.7C 10P +===方法二：“书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中”的对立事件是“书法、舞蹈这两项活动都被选中”，故所求概率为，123235C C 710.7C 10P =-==故选：B ．7．C【分析】作出不等式组所表示的区域，再逐项的作出对应直线，观察所作直线与可行域的关系，再利用存在命题与全称命题的概念进行判断即可求解.【详解】不等式组的解集D 表示的可行域如图中阴影部分所示，依据图（1）知命题为真1p 命题，依据图（2）知命题为真命题，2p 依据图（3）知命题为假命题，依据图（4）知命题为真命题．所以真命题有3个，3p 4p故选：C ．8．A【分析】过点A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为N ，E ，根据抛物线的定义，又F 恰好为AM 的中点，可得到比例，进一步推导得到的值.||||AF BM λ【详解】如图，过点A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为N ，E ，根据抛物线的定义得，，||||AF AN =||||BF BE =因为F 为AM 的中点，所以，又||||||||1||||||AF BF BM BF BM BM BM +==+||||||||BF BE BM BM ==，所以，所以.||||1||||2AN AF AM AM ==||||1311||||22AF BF BM BM =+=+=32λ=故选：A 9．B【分析】列举出的可能情况，可得出的所有可能取值，1234567a a a a a a a →→→→→→m 相加即可得解.【详解】由题意，的可能情况有：1234567a a a a a a a →→→→→→①；②；2142142→→→→→→16842142→→→→→→③；④；2010516842→→→→→→310516842→→→→→→⑤；⑥；128643216842→→→→→→21643216842→→→→→→所以，的可能取值集合为，的所有可能取值之和为m {}2,16,20,3,128,21m .21620312821190+++++=故选：B.10．B【分析】设MN 与BD 的交点为H ，连接，证明平面ABC ．设的外接圆圆D H 'D G '⊥ABC 心为，的外接圆圆心为，过，分别作平面ABC ，平面的垂线，设1O AD C ' 2O 1O 2O AD C '两垂线交于点O ，则O 是三棱锥外接球的球心，先求出，再求出三棱锥D ABC '-12,r r 的外接球的半径即得解.D ABC '-R 【详解】如图所示，因为，，13AM MD =13CN ND =所以，设MN 与BD 的交点为H ，连接，//MN AC 'D H 因为，，所以，则，，5AD CD AB ===3GA GC ==4DG =1GH =3DH =所以．又，则．又，3D H '=GD '=222D G GH D H ''+=D G GH '⊥D G AC '⊥，平面ABC ，故平面ABC ．AC HG G ⋂=AC HG ⊂，D G '⊥设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，过，分别作平面ABC ，平ABC 1O AD C ' 2O 1O 2O 面的垂线，设两垂线交于点O ，则O 是三棱锥外接球的球心，且四边形AD C 'D ABC '-为矩形．设的外接圆半径为，在中，由，解得12O OO G ABC 1r ABC ()2221143r r -+=，同理可得的外接圆半径的1258r =AD C ' 2r =2GO =D ABC '-外接球半径为R ，则，则三棱锥的外接球的表面22212R O A GO =+6252627646464=+=D ABC '-积.26274π16S R π==故选：B ．11．D【分析】连结连接、.设，根据双曲线的定义可推得，即2AF 2BF 2AF =2BF m =||4AB a =．进而在直角三角形中，根据勾股定理可得.结合已知条件，即可2m a =2F 得出，从而得出离心率.222c a =【详解】如图，连接、.2AF 2BF 因为M 为AB 的中点，，所以．2F M AB ⊥22AF BF =设，2AF =2BF m =因为，所以.212AF AF a -=12AF m a =-又因为，所以，122B F B F a -=1BF =2m a +则．11||4AB BF AF a =-=因为M 为AB 的中点，所以，则．||||2AM BM a ==1F M m =设，在中，122FF c =12Rt F F M △2F在中，2Rt AF M△2F ，整理可得，所以．=22222m a c =+2F 当时，，则，1230AF F ∠=︒12sin AF F ∠=212FMF F =12=222c a =所以离心率为ce a==故选：D ．12．D【分析】构造函数，，利用导数判断其单调性即可判断的大()1tan x f x x =--e π04x <<,a c 小；，可构造函数判断与的大小，ln1.618ln(10.618)b ==+()ln(1)h x x x =+-ln1.618b =0.618构造函数判断与的大小，从而可判断的大小.()tan k x x x =-0.618tan 0.618,b c 【详解】令，，()1tan xf x x =--e e cos cos sin cos x x x xx--=π04x <<令，()e cos x g x x =-cos sin x x -则，()(sin cos )e x g x x x '=-+sin cos x x +-()e 1(cos sin )xx x =--当时，，则在上单调递增，π04x <<()0g x '>()g x 0,4π⎛⎫⎪⎝⎭又，所以当时，，又，所以在上恒(0)110g =-=04x π<<()0g x >cos 0x >()0f x >0,4π⎛⎫⎪⎝⎭成立，又，所以，即．00.6184π<<(0.618)0f >a c >令，则，()ln(1)h x x x =+-1()111x h x x x -=-=++'当时，，所以在上单调递减，02x π<<()0h x '<()h x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭所以当时，，即．02x π<<()(0)0h x h <=ln(1)x x +<令，则，在上单调递减，()tan k x x x =-21()10cos k x x '=-≤()k x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭所以当时，，即，02x π<<()(0)0k x k <=tan x x <所以在上恒成立．ln(1)tan x x x +<<0,2π⎛⎫⎪⎝⎭令，则，所以．0.618x =ln(0.6181)0.618tan 0.618+<<c b >综上所述，．a c b >>故选：D ．【点睛】构造函数比较大小主要方法有：1.通过找中间值比较大小，要比较的两个或者三个数之间没有明显的联系，这个时候我们就可以通过引入一个常数作为过渡变量，把要比较的数和中间变量比较大小，从而找到他们之间的大小；2.通过构造函数比较大小，要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数，然后找到这个函数的单调性，就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较的数的大小关系.有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围.13．90【分析】由二项式展开式通项公式可求.【详解】由题知，当时，，故的系数为90．()52153C rrrr T xx -+⎛⎫= ⎪⎝⎭1035C 3r r rx -=⋅⋅2r =4390T x =4x 故答案为：90.14．##522.5【分析】以点A 为坐标原点，，的方向为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，写ABAD 出对应点的坐标，设，根据平面向量数量积的坐标运算即可求解.(,0)N m (02)m ≤≤【详解】以点A 为坐标原点，，的方向为x 轴，y 轴正方向，建立平面直角坐标系，ABAD 则，，，设，11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭(2,0)B (0,1)D (,0)N m (02)m ≤≤所以，，则，11,2MB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ (,1)DN m =- MB DN ⋅= 12m +因为，所以，即的最大值为．02m ≤≤1522MB DN ≤⋅≤ MB DN ⋅ 52故答案为：．5215【分析】求出A 、B 坐标，设N (x ,y )，求出N 的轨迹圆E 的方程，作出图象，利用圆的公切线的几何性质即可求其斜率．【详解】对于圆，令，得，解得或，22:280M x y x ++-=0y =2280x x +-=4x =-2x =则，．()4,0A -()2,0B 设，∵，∴，(,)N x y 2NANB=2NA NB =，整理得，=22(4)16x y -+=则点N 的轨迹是圆心为，半径为的圆．()4,0E 4R =又圆M 的方程为，则圆M 的圆心为，半径为．22(1)9x y ++=(1,0)-3r =∵，∴两圆相交，434(1)43-<--<+设直线l 与圆M 和点N 轨迹圆E 切点分别为C ，D ，连接CM ，DE ，过M 作DE 的垂线，垂足为点F ，则四边形CDFM 为矩形，∵，，∴5ME =431EF DE DF R CM =-=-=-=MF =则tan FME ∠则两圆公切线CD 的斜率即为直线FM16．11,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先根据题目的要求平移伸缩对称变换得到的解析式，然后结合函数在()g x 2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点以及在上单调递增，列出不等式组，即可求得本题答案.ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【详解】函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，()f x 2π32πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭再将图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象，因1ω2πcos 3y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为函数的图象与的图象关于x 轴对称，()g x 2πcos 3y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以，2π()cos 3g x x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2ππsin 32x ω⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭πsin 6x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭因为，所以，20π3x ≤≤ππ2ππ6636x ωω≤+≤+又因为在恰有2个零点，且，，π()sin 6g x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦()sin π0k =Z k ∈所以，解得，2π2ππ3π36ω≤+<1117<44ω≤令，，得，，令，22πππ2π2π262k x k ω-+≤+≤+2k ∈Z 222π2π2ππ33k k x ωωωω-+≤≤+2k ∈Z 20k =得在上单调递增，所以，()g x 2ππ,33ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2ππ,33ωω⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦所以，又，解得．2ππ312ππ312ωω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩0ω>04ω<≤综上所述，，故的取值范围是．1144ω≤≤ω11,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：11,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦17．(1)；π3A =【分析】（1）根据正弦定理，结合三角恒等变换化简可推得tan A =（2）由已知可推得.在中，由余弦定理可推得，然后根据9bc =ABD △2221193c bbc BD =+-基本不等式，即可得出BD 的最小值．【详解】（1，sin cos )sin sin B A CC A -=又，πA B C ++=]sin()sin cossin sin A C A C C A +-=．sin A C sin sin C A =又，则．sin 0C >sin A A =tan A =因为，所以．(0,π)A ∈π3A =（2）由（1）知，则的面积为．π3A =ABC 1πsin 23S bc ===9bc =在中，，ABD △13AD b =由余弦定理得2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅2211π2cos933c b c b =+-⨯⨯⨯，221193c b bc =+-≥13bc 133bc ==当且仅当，即2219c b =b =c =所以BD 18．(1)证明见解析【分析】(1)在△ADO 中，利用勾股定理证明ED ⊥EO ，再结合ED ⊥MO 即可证明平面MOE ，AD ⊥从而可证明平面平面MAD ；MOE ⊥(2)连接OA ，证明，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量即可DO OA ⊥求解二面角的余弦值．【详解】（1）∵平面ABCD ，平面ABCD ，∴．AD ⊂MO ⊥MO AD ⊥∵O 为线段CD 的中点，E 为线段AD 的中点，∴，2DO =DE =∵，由余弦定理得，=45ADC ∠︒2222222EO =+-⨯=则，则．222EO DE DO +=DE EO ⊥∵，平面MOE ，∴平面MOE ，MO EO O ⋂=,MO EO ⊂AD ⊥又∵平面MAD ，∴平面平面MAD ．AD ⊂MOE ⊥（2）连接OA ，由(1)知当E 为线段AD 的中点时，AE DE EO ===则A 、O 、D 三点在以AD 为直径的圆上，故．DO OA ⊥故以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又，MC =2MO =∴，，，．(0,0,0)O (2,0,0)D (0,2,0)A (0,0,2)M 又，则，3AE DE =13,,022E ⎛⎫⎪⎝⎭∴，，，．(0,0,2)OM = (2,0,2)DM =- (2,2,0)DA =-13,,022OE ⎛⎫= ⎪⎝⎭设平面MAD 的法向量为，则解得()111,,m x y z = 1111220220DM m x z DA m x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，，1111x z x y =⎧⎨=⎩，，取，则平面MAD 的一个法向量为．11x =(1,1,1)m =设平面MEO 的法向量为，则解得()222,,x n y z = 2221302220OE n x y OM n z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩，，22230x y z =-⎧⎨=⎩，，取，则平面MEO 的一个法向量为．23x =(3,1,0)n =-则，cos m n m n m n ⋅⋅===⋅则二面角D ME O --19．(1)1481y x =(2)该公司每年投入351万元营销费用时，该产品一年的收益达到最大【分析】(1)根据题目要求可知，y 关于x 的回归方程为非线性的，设，可得b y a x =⋅，代入已知条件所给的数据，计算即可.(2)列出年收益与营销费用的关系式，ln ln ln y a b x =+通过求导来求得最值.【详解】（1）由得，，令，，，则b y a x =⋅ln ln()ln ln b y a x a b x =⋅=+ln u x =ln v y =lnc a =．v c bu =+由表中数据可得，，()()()515210.4ˆ0.251.6iii ii u u v v bu u ==--===-∑∑则，所以．26.0216.1ˆˆ0.25 4.39955cv bu =-=-⨯=ˆ 4.3990.25v u =+即，因为，所以，ˆln 4.3990.25ln y x =+14.3994ln e x ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭ 4.399e 81≈14ˆ81y x =故所求的回归方程为．1481y x =（2）设年收益为W 万元，则，144120324120W y x x x =--=--对求导，得，()W f x =34'()811f x x -=-令，解得，348110x --=132433519x =≈⨯=当时，，单调递增，当时，，单调递减，(0,351)x ∈'()0f x >()f x (351,)x ∈+∞'()0f x <()f x 因此，当时W 有最大值，即该公司每年投入351万元营销费用时，该产品一年的收351x =益达到最大．20．(1)；22143xy +=(2)．[6,【分析】（1）由题得到关于的方程，解方程即得解；,,a b c （2）设直线l 的方程为，联立椭圆C 的方程得到韦达定理，设线段AB 的中点为1x ky =+，求出它的坐标，求出、点M ，N 到直线l 的距离，再化简求出()00,Q x y ||AB 12,d d 即得解.S =【详解】（1）设椭圆右焦点的坐标为，则，即，(,0)(0)c c >12c a =2a c =又，则，222a b c =+223b c =因为点在椭圆上，31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，即，解得，221914a b +=2213144c c +=1c =则，C 的标准方程为．2a =b =22143x y +=（2）由（1）知，因为直线l 的斜率不为0，所以可设直线l 的方程为，(1,0)F 1x ky =+代入椭圆C 的方程，消去x 化简得，22143x y +=()2234690k y ky ++-=设，，则，．()11,A x y ()22,B x y 122634ky y k -+=+122934y y k -=+设线段AB 的中点为，则，，()00,Q x y 12023234y y k y k +-==+200231134k x ky k -=+=++2434k =+即，则直线m 的方程为，2243,3434k Q k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭34k y x =-代入椭圆C 的方程可得，x =M．N⎛ ⎝||AB =-=，=()2212134k k +=+点M ，N 到直线l 的距离分别为1d 2d 则四边形AMBN 的面积为1211||||22S AB d AB d =⨯⨯+⨯⨯()121|2ABd d =⨯⨯+∣1||2AB =⨯⨯因为点M ，N 在直线l 的两侧，所以1|2S AB =⨯1||2AB ⨯⨯1||2AB ⨯()221211234k k +=⨯+=，==因为，所以2110344k <≤+6S ≤<因此，四边形AMBN 的面积的取值范围为．[6,21．(1)4πy x =-(2)[1,)+∞【分析】（1）由导数法求切线；（2）法一：对m 分类讨论，由导数法研究函数单调性及符号即可判断，其中时，由作1m ≥差法说明，将问题转化为判断的符号；()2cos sin f x x x x x ≥--()2cos sin g x x x x x =--法二：不等式等价为，由导数法研究图象性质，由数形结合判sin 2cos xmx x >-sin ()2cos x g x x=-断范围.【详解】（1）因为，所以，()2cos sin f x x x x x =--()22cos sin f x x x x '=-+因为，，所以切线方程为，即．()π4f '=()π3πf =()3π4πy x -=-4y x π=-（2）方法一：i.若，1m ≥由，2cos sin (2cos sin )mx mx x x x x x x -----2(1)(1)cos m x m x x =---(1)(2cos )0m x x =--≥可得，()2cos sin f x x x x x ≥--设，则，()2cos sin g x x x x x =--()22cos sin g x x x x '=-+当时，，所以单调递增，则；(0,]x π∈()0g x '>()g x ()(0)0g x g >=当时，，所以，(,)x ∈π+∞()(1cos )(sin )0g x x x x x =-+->()0g x >所以恒成立，符合题意；()0f x >ii.若，，0m ≤()2cos sin f x mx mx x x =--(1cos )sin mx x mx x =-+-当时，，不合题意．π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x <iii.若，，01m <<()2(1)cos sin f x m m x mx x '=-++设，则，()()h x f x '=()(21)sin cos h x m x mx x '=++当时，，所以在上单调递增，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0h x '>()f x 'π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭因为，，所以存在，使得，ππ2022f m ⎛⎫⎛⎫=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'(0)0f '<0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00f x '=当时，，则在上单调递减，，不合题意．()00,x x ∈()0f x '<()f x ()00,x ()(0)0f x f <=综上所述，m 的取值范围为．[1,)+∞方法二：由题知当时，，即，0m >2cos sin 0mx mx x x -->(2cos )sin mx x x ->因为，所以．2cos 0x ->sin 2cos xmx x>-设，因为，所以为周期函数，且周期为．sin ()2cos x g x x=-(2)()g x g x π+=()g x 2π，22cos (2cos )sin ()(2cos )x x x g x x --'=-22cos 1(2cos )x x -=-令，则或，，()0g x '=π2π3x k =+5π2π3x k =+k ∈Z 所以当，时，，则单调递增；ππ2π,2π33x k k ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭k ∈Z ()0g x '>()g x 当，时，，则单调递减．π5π2,2π33x k k π⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭k ∈Z ()0g x '<()g x 当时，令，则，则单调递减，0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()h x g x '=32sin (1cos )()0(2cos )x x h x x -+'=<-()()h x g x '=∴.()(0)1g x g ''<=当时，直线与曲线相切，如图，1m =y mx =()y g x =根据图象可知，要使，只需，故实数m 的取值范围为．sin 2cos x mx x>-m 1≥[1,)+∞【点睛】恒成立问题，一般可通过分离参数法，转化为由导数法研究不含参部分的最值；或者对参数分类讨论，由导数法分别说明.22．(1)，，作图见解析；20x y +-=222||2||0x y x y +--=(2)或．π12α=5π12α=【分析】（1）消去参数，即可得出直线的普通方程.根据公式即可求得曲线C 的直角坐标方t 程.然后根据方程作图即可；（2）设点A 位于第一象限，由图象集合已知条件可推出，2sin 2cos A ραα=+.由.然后根据的范围，即可得出2sin 2cos B ραα=+||AB =πsin 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭αα的值．【详解】（1）将直线的参数方程消去t ，得普通方程为．20x y +-=曲线C 的极坐标方程为，即，2|sin |2|cos |ρθθ=+22|sin |2|cos |ρρθρθ=+又，，，所以曲线C 的直角坐标方程为222x y ρ=+cos x ρθ=sin y ρθ=．222||2||0x y x y +--=则曲线C的简图如图所示．（2）不妨设点A 位于第一象限，结合图形和直线可知，:0,2m πθαα⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，2sin 2cos A ραα=+2sin(π)2cos(π)B ραα=-+-+2sin 2cos αα=+则，||4sin 4cos A B AB ρραα=+=+π4α⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以.πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭又，所以，π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ3π,444α+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦则或，所以或．ππ43α+=π2π43α+=π12α=5π12α=23．(1)作图见解析，2m =-(2)3【分析】(1)写出f (x )解析式，按照一次函数图象画法即可画出图象，根据图象即可求出最小值m ；(2)利用基本不等式得，，，三式相加即可求得22a b a b+≥22b c b c +≥22c a c a +≥222a b c b c a ++的最小值．【详解】（1）由题知()35,1,1,11,33,1,x x f x x x x x --≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩描点，，，，连线得的图象如图所示．(2,1)-(1,2)--(1,0)(2,3)()y f x =通过图象可知，当时，函数的最小值为，即．=1x -()y f x =2-2m =-（2）由(1)知，，2m =-13a b c m ++=-+=，，，22a b a b+≥22b c b c +≥22c a c a +≥三个式子相加得，当且仅当时等式成立，2223a b c a b c b c a++≥++=1a b c ===∴的最小值为3．222a b c b c a++。

2020年高三全国统一考试·联考数学理科(含答案)

2020年普通高等学校招生全国统一考试·联考理科数学本试卷共5页，23小题（含选考题），满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型（B ）填在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}N x x x x A ∈<--=,0322，则集合A 的真子集有（）A ．5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个2．已知i 是虚数单位，则化简2020)11(ii -+的结果为（） A.i B.i - C.1- D.13.若干年前，某教师刚退休的月退休金为400元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（）A ．4500元 B. 5000元 C ．5500元 D ．6000元4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（） A.72 B.73 C.71 D.143 5已知抛物线x y 42=的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点)32,3(M 的直线l 交抛物线于另一点N ，则NM NF :等于（）A.2:1B.3:1C.4:1D.3:16.在所有棱长都相等的直三棱柱111C B A ABC -中，D ，E 分别为棱AC CC ,1的中点，则直线AB 与平面DE B 1所成角的余弦值为（） A.1030 B.2030 C.20130 D.1070 7已知点A （4，3），点B 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥06200y x y x y 所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（）A.5B.554 C.5 D.552 8．给出下列说法①定义在[a ，b]上的偶函数b x a x x f ++-=)4()(2的最大值为20； ②“4π=x ”是“1tan =x ”的充分不必要条件； ③命题“21),,0(000≥++∞∈∃x x x ”的否定形式是“21),,0(<++∞∈∀xx x ” 其中正确说法的个数为（）A.0B.1C.2D.39.已知5.03422log 2log ,,,03log m c m b m a m ===>，则c b a ,,间的大小关系为 A.c b a << B.c a b << C.b a c << D.a c b <<10．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤=15斤，1斤=16两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何?其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半.若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（）A ．9两 B.127266两 C.63266两 D.127250两 11在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若3cos cos c A b B a =-，则B b A a B a cos cos cos +的最大值为( ) A.2 B.22 C.23 D.332 12.已知几)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，且)13(log )()(3+=+x x g x f ，不等式0)()(3≥--t x f x g 对R x ∈恒成立，则t 的最大值为（）A.1B.2log 233-C.2D.12log 233- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知向量a =（2，5-），b =（1，52），则b 在a 方向上的投影等于 .14在△ABC 中，∠B=32π，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且BC=21AB ，则E 的离心率为 .5已知函数)0,0)(cos()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是奇函数，且在]4,6[ππ-上单调减，则ω的最大值是 .16已知三棱锥A-BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，BC=CD=2，AB=AD=6，则三棱锥A-BCD 的外接球的体积为 .三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第次年题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且112n n n S na a =+-．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，证明： 32n T ＜．18．（12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，AF ⊥DF ，AF=22FD ，∠DFE=∠CEF=45．（1）证明DC ∥FE ；（2）求二面角D-BE-C 的平面角的余弦值．19．（12分）已知点P 在圆O ：x 2+y 2=9上，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足432PQ MQ u u u r u u u u r ．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设G （-3，0），H （3，0），过点F （1，0）的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点，问直线AG 与直线BH 的斜率之比是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．20．（12分）某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A 、B 、C ．经过引种实验发现，引种树苗A 的自然成活率为0.7，引种树苗B 、C 的自然成活率均为p （0.6≤p≤0.8）（1）任取树苗A 、B 、C 各一棵，估计自然成活的棵数为X ，求X 的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p 的值作为B 种树苗自然成活的概率，该农户决定引种n 棵B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B 种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种种树苗多少棵?21．（12分）已知函数f （x ）=（a-1）x+xlnx 的图象在点A （e 2，f （e 2））（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为4（1）求实数a 的值；（2）若m ∈Z ，且m （x-1）<f （x ）+1对任意x>1恒成立，求m 的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为-22ππρθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，），直线l 的参数方程为2cos 4sin x t y ts αα=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）．（1）点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：x+2+1=0垂直，求点A 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数f （x ）=|x-1|+2|x+1|，x ∈R（1）求不等式f （x ）<5的解集；（2）若关于x 的不等式122)(-<+t x f 在实数范围内解集为空集，求实数t 的取值范围·11·。

2024-2025学年辽宁省三校高三数学上学期10月联考试卷及答案解析

2024—2025学年度上学期高三10月联合教学质量检测高三数学试卷本试卷共5页满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}21A x x =-<，{}3B x a x a =<<+，若{}15A B x x ⋃=<<，则a =（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】【分析】先求出集合A ，再根据并集得出参数的值.【详解】因为()1,3A =,()1,5A B ⋃=，又因为(),3B a a =+，所以35,a +=即a =2.故选：C.2. 如图，在ABC V 中，点D 是BC 边的中点，3AD GD = ，则用向量AB ，AC表示BG 为（）A. 2133BG AB AC=-+u u u u r uu r u u u r B. 1233BG AB AC=-+u u u r u uu r u u u r C. 2133BG AB AC=-u u u r u u u r u u u r D. 2133BG AB AC=+u u u r u u u r u u u r【答案】A 【解析】【分析】利用向量的线性运算求解即可.【详解】3AD GD =，故23AG AD = ，则()2212133233B C G BA BA BA AG AD AB A AB AC =+=+=+⨯+=-+.故选：A3. 在等比数列{}n a 中，记其前n 项和为n S ，已知3212a a a =-+，则84S S 的值为（）A. 2 B. 17 C. 2或8D. 2或17【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列通项公式求得1q =或2q =-，再利用等比数的求和公式求解即可.【详解】解：由等比数列的通项公式可得21112a q a q a =-+，整理得220q q +-=，解得1q =或2q =-．当q =1时，1841824S a S a ==；当2q =-时，()()814844184111117111a q S q q q S q a q q ---====-+--．所以84S S 的值为2或17．故选：D ．4. 每年10月1日国庆节，根据气象统计资料，这一天吹南风的概率为25%，下雨的概率为20%，吹南风或下雨的概率为35%，则既吹南风又下雨的概率为（）A. 5% B. 10%C. 15%D. 45%【答案】B 【解析】【分析】根据概率公式直接得出结论.【详解】由题知，既吹南风又下雨的概率为25%20%35%10%+-=.故选:B5. 若直线:3l y kx k =+-与曲线:C y =恰有两个交点，则实数k 的取值范围是（）A. 4,+3∞⎛⎫⎪⎝⎭B. 43,32⎛⎤⎥⎝⎦C. 40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 43,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】先得到直线过定点()1,3P ，作出直线l 与曲线C ，由图求出直线l 过点()1,0A -时的斜率和直线l 与曲线C 相切时的斜率即可树形结合得解.【详解】由()313y kx k k x =+-=-+可知直线l 过定点()1,3P ，曲线:C y =两边平方得()2210x y y +=≥，所以曲线C 是以()0,0为圆心，半径为1且位于直线x 轴上方的半圆，当直线l 过点()1,0A -时，直线l 与曲线C 有两个不同的交点，此时3032k k k =-+-⇒=，当直线l 与曲线C 相切时，直线和圆有一个交点，圆心()0,0到直线l的距离1d ，两边平方解得43k =，所以结合图形可知直线l 与曲线C 恰有两个交点，则4332k <≤.故选：B.6. 已知()ππsin 0,32f x x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=++>< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，()()sin g x x ωϕ=+，则下列结论不正确的A. π6ϕ=B. 若()g x 的最小正周期为3π，则23ω=C. 若()g x 在区间()0,π上有且仅有3个最值点，则ω的取值范围为710,33⎛⎫⎪⎝⎭D. 若π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ω的最小值为2【答案】D 【解析】【分析】先根据()f x 是偶函数求ϕ判断A 选项；根据最小正周期公式计算可以判断B 选项；据有且仅有3个最值点求范围判断C 选项；据函数值求参数范围结合给定范围求最值可以判断D 选项.【详解】()ππsin 0,32f x x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=++>< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，则πππππ,Z,,,3226k k ϕϕϕ+=+∈<∴=∣∣A 选项正确；若()g x 的最小正周期为3π，由()sin()g x x ωϕ=+则2π23π,3T ωω==∴=，B 选项正确；πππ(0,π),(,π)666x x ωω∈+∈+ 若()g x 在区间()0,π上有且仅有3个最值点，则5ππ7π710π,26233ωω<+≤<≤,C 选项正确；若π()sin(6g x x ω=+ πππsin +446g ω⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πππ+2π463k ω=+或ππ2π+2π463k ω=+，Z k ∈，则 283k ω=+或28,Z k k ω=+∈，又因为0ω>，则ω的最小值为23，D 选项错误.故选:D.7. 已知()612a x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为1280-，则a =（）A. ―2B. 2C. D. 1【解析】【分析】根据已知条件，结合二项式定理并分类讨论，即可求解.【详解】由题意，62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为()()6662166C 2C 2rr r r r rr r a T x a x x ---+-⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭，令620r -=，则3r =，令621r -=-，则72r =不符合题意，所以()612a x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的常数项为()3336C 21280a --=-，解得2a =-．故选：A .8. 已知函数22()log f x x mx x =-+，若不等式()0f x >的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数m的取值范围是（）A. 23log 33,89+⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 23log 33,94+⎛⎫⎪⎝⎭C. 23log 33,94+⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 23log 33,89+⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】不等式()0f x >可化为2log 1xmx x-<，利用导数分析函数()2log x g x x =的单调性，作函数()1h x mx =-，()2log xg x x=的图象，由条件结合图象列不等式求m 的取值范围.【详解】函数22()log f x x mx x =-+的定义域为(0,+∞)，不等式()0f x >化为：2log 1xmx x-<．令()1h x mx =-，()2log x g x x=，()2222221log e log log e log x xx x g x x x --='=，故函数()g x 在()0,e 上单调递增，在()e,∞+上单调递减．当1x >时，()0g x >，当1x =时，()0g x =，当01x <<时，()0g x <，当x →+∞时，()0g x →，当0x >，且0x →时，()g x ∞→-，画出()g x 及()h x 的大致图象如下，因为不等式()0f x >的解集中恰有两个不同的正整数解，故正整数解为1,2．故()()()()2233h g h g ⎧<⎪⎨≥⎪⎩，即22log 2212log 3313m m ⎧-<⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，解得23log 3943m +≤<.故选：C.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 已知复数232023i i i i 1iz ++++=+ ，则下列结论正确的是（）A. 1i 2z -=-B. 1i 2z -=C. 1i 2z +=-D. z =【答案】ACD 【解析】【分析】利用234i+i +i +i 0=对分子化简，然后利用复数的除法化简，可求共轭复数、复数的模依次判断即可得出结果.【详解】因为i,411,42i ,i,431,4nn k n k k n k n k=+⎧⎪-=+⎪=∈⎨-=+⎪⎪=⎩Z ，所以234i+i +i +i 0=，所以()()()()2342323202323505i+i +i +i i i i 1i i i i i i i i 111i 1i 1i 1i 1i 1i 1i 22z +++--++++++-======-++++++- ，所以A 正确，B 错误，111i i=222z +=---，C 准确，所以z ==D 正确.故选：ACD10. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题. 该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了解答，当 ABC V 的三个内角均小于120°时，使得120AOB BOC COA ︒∠=∠=∠=的点O 即为费马点；当 ABC V 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.下列说法正确的是（）A. 正三角形的的费马点是正三角形的中心B. 若P 为ABC V 的费马点, 且 0PA PB PC ++=u u r u u r u u u r r，则ABC V 一定为正三角形C. 若ABC V 三边长分别为2D. ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ， c ， π22A ,bc ∠==，若点P 为ABC V 的费马点，则PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅=.【答案】ABC 【解析】【分析】对A ，根据正三角形中心的性质结合费马点定义易判断；对B ，取AB 的中点D ，由0PA PB PC ++=可得点P 是ABC V 的重心，再结合条件可得点P 是ABC V 的中心，得证；对C ，利用三角形旋转，结合费马点定义，构造正三角形转化线段长求解；对D ，由向量数量积定义，结合费马点定义和三角形等面积法列式求解.【详解】对于A ，如图O 是正三角形ABC 的中心，根据正三角形的性质易得o 120AOB AOC BOC ∠=∠=∠=，所以点O 是正三角形ABC 的费马点，故A 正确；对于B ，如图，取AB 的中点D ，则2PA PB PD += ，因为0PA PB PC ++=，所以2PC PD =-u u u r u u u r，所以,,C P D 三点共线，且点P 是ABC V 的重心，又点P 是ABC V 费马点，则o 120APB APC BPC ∠=∠=∠=，则o 60APD BPD ∠=∠=，又AD BD =，易得PA PB =，同理可得PC PB =，所以PA PB PC ==所以点P 是ABC V 的外心，所以点P 是ABC V 的中心，即ABC V 是正三角形.故B 正确；对于C ，如图，在Rt ABC △中，1AB =，BC =，2AC =，o 30ACB ∠=，点O 是Rt ABC △的费马点，将COA 绕点C 顺时针旋转o 60，得到CED △，易证COE ，ACD 是正三角形，则OC OE =，OA DE =，CD AC =，且点,,,B O E D 共线，所以o90BCD ∠=，所以BD ===又OA OB OC DE OE OB DB ++=++==，的.故C 正确；对于D ，由费马点定义可得o 120APB APC BPC ∠=∠=∠=，设PA x =，PB y =，PC z =，,,0x y z >，由ABC PAB PAB PAB S S S S =++V V V V，可得111122222xy xz yz ++=⨯，整理得xy yz xz ++=，所以111222PA PB PB PC PC PA xy yz xz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+⋅=⋅-+⋅-+⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()1122xy yz xz =-++=-=，故D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，解答D 选项的关键在于利用三角形等面积法求出xy yz xz ++=.11. 在四面体ABCD 中，棱AB 的长为4，AB BD ⊥，CD BD ⊥，2BD CD ==，若该四面体的体积为）A. 异面直线AB 与CD 所成角的大小为π3B. AC的长可以为C. 点D 到平面ABCD. 当二面角A BC D --是钝角时，其正切值为【答案】ACD【解析】【分析】根据等体积法可结合三角形的面积公式可得sin CDE ∠=A ，根据余弦定理即可求解B ，根据等体积法即可求解C ，根据二面角的几何法，结合同角关系即可求解D.【详解】在平面ABD 内过D 作DE AB ∥，且ED AB =,由于AB BD ⊥，故四边形ABDE 为矩形，CD BD ⊥，DE BD ⊥，BD DE C = ，CD ⊂平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，故BD ⊥平面CDE ，故11233C ABD C EDA B CDE CDE CDE V V V S BD S ---===⋅=⨯=，11sin 24sin 4sin 22CDE S CD DE CDE CDE CDE=⋅⋅∠=⨯⨯∠=∠故1124sin 233C ABD CDE V S CDE -=⨯=⨯∠⨯=，因此sin CDE ∠=由于()0,CDE π∠∈，所以3CDE π∠=或23π，由于CDE ∠为异面直线AB 与CD 所成角或其补角，故异面直线AB 与CD 所成角的大小为3π，A 正确，当23CDE π∠=时，CE ===,由于BD ⊥平面CDE ，AE BD ，∴AE ⊥平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，故AE CE ⊥，此时AC ==当3CDE π∠=时，CE ===,由于BD ⊥平面CDE ，AE BD ，∴AE ⊥平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，故AE CE ⊥，此时4AC ==,故B 错误，由于BC ==,4AB =,当AC =cos BAC ∠==sin BAC ∠=，11sin 422ABC S AB AC BAC =⋅⋅∠=⨯⨯= ,当4AC =时，161683cos 2444BAC +-∠==⨯⨯，故sin BAC ∠=，1sin 2ABC S AB AC BAC =⋅∠= ,故点D 到平面ABC的距离为d ===,C 正确，当4AC =时，4AB AC ==,2CD BD ==,取BC 中点为O ，连接OA ,OD ,则AOD ∠即为二面角A BC D --的平面角，12OD BC ===,AO ==所以22cos 0AOD ∠===<,故AOD ∠为钝角，符合题意，此时sin tan cos AODAOD AOD∠∠==∠，当4AC =，由于2DBCS =，点A 到平面BDC距离为d ===,设A 在平面BDC 的投影为H ,则AH =,故HD==HC ==,因此点O 为以D ,C为圆心，以半径为,显然交点位于BC ,同D 的一侧，故此时二面角A BC D --为锐角，不符合要求，故D 正确，故选：ACD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 已知,a b +∈R ，41a b +=，则aba b+的最大值是________．【答案】19【解析】的【分析】先求出11a b+的最小值，再将aba b +化为111a b+，即可求得答案.【详解】因为,a b +∈R ，41a b +=，故()111144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b=，结合41a b +=，即11,63==a b 时等号成立，所以11119ab a b a b =≤++，即ab a b +的最大值是19，故答案为：1913. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体（四个面都是等边三角形围成的几何体）在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在每个顶点的曲率为π2π3π3-⨯=，故其总曲率为4π．我们把平面四边形ABCD 外的点P 连接顶点A 、B 、C 、D 构成的几何体称为四棱锥，根据曲率的定义，四棱锥的总曲率为______．【答案】4π【解析】【分析】根据曲率的定义求解即可.【详解】由定义可得多面体的总曲率2π=⨯顶点数各面内角和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形，所以任意四棱锥的总曲率为()2π5π42π14π⨯-⨯+⨯=.故答案为：4π.14. 过双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上焦点1F ，作其中一条渐近线的垂线，垂足为H ，直线1F H 与双曲线的上､下两支分别交于,M N ，若3NH HM =，则双曲线的离心率e =__________.【解析】【分析】设双曲线右焦点为2F ，HM t =，3NH t =，由题意结合双曲线定义可依次求出1F H 、1OF 、1F M 、1F N 、2F N 和2F M ，接着分别在1Rt F OH 、12F MF △和12F NF △中结合余弦定理求出1cos OF M ∠，进而建立等量关系式求出t ，从而求得2b a =，进而由离心率公式即可得解.【详解】设双曲线右焦点为2F ，由题()10,F c ，双曲线的一条渐近线方程为ay x b=-即0ax by +=，过该渐近线作垂线，则由题1F H b =，1OF c =，设HM t =，则由题3NH t =，1F M b t =-，13F N b t =+，所以232F N b t a =+-，22F M b t a =-+，所以在1Rt F OH 中，111cos F H bOF M OF c∠==①，在12F MF △中，()()()()()22222211221112||||22cos 222F M F F F M b t c b t a OF M b t c F M F F +--+--+∠==-⋅②，在12F NF △中，()()()()()22222211221112||||3232cos 2322F N F F F N b t c b t a OF M b t c F N F F +-++-+-∠==+⋅③，由①②得()()()()()2222222b t c b t a bb tc c-+--+=-，化简解得ab t a b =+，由①③得()()()()()2223232232b t c b t a b b t c c++-+-=+，化简解得()3ab t b a =-，所以()23ab abb a a b b a =⇒=+-，故双曲线的离心率c e a====.【点睛】思路点睛：依据题意设双曲线右焦点为2F ，HM t =，则结合双曲线定义可得1Rt F OH 、12F MF △和12F NF △的边长均是已知的，接着结合余弦定理均可求出三个三角形的公共角1OF M ∠的余弦值1cos OF M ∠，从而可建立等量关系式依次求出t 和2b a =，进而由离心率公式得解.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足()*1N n n S a n =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记22212n n T S S S =+++ ，求n T .【答案】（1）1()2n n a = （2）1235111((3232n nn n T --=+-⋅【解析】【分析】（1）应用1n n n S S a --=，再结合等比数列定义及通项公式计算即可；（2）先化简得出21111()()24n n n S --+=，再应用分组求和及等比数列前n 项和公式计算.小问1详解】因为数列{a n }的前n 项和，满足1n n S a =-，当2n ≥时，可得111n n S a --=-，两式相减得1n n n a a a -=-，即12n n a a -=，所以112n n a a -=，令1n =，可得1111S a a =-=，解得112a =，所以数列{a n }构成首项为12，公比为12的等比数列，所以{a n }的通项公式为1111()(222n nn a -=⋅=.【小问2详解】由（1）知1(2nn a =，可得11(2nn S =-，所以222111111()]12()()1((22224[1n n n n n n S -=-⋅=+=-+-，【则222121111()[1()]244(111)111124n n n n T S S S -⋅-=+++=+++-+-- 1235111()()3232n n n --=+-⋅.16. 如图，正四棱台ABCD EFGH -中，24,EG AC MN ==上为上下底面中心的连线，且MN 与侧面.（1）求点A 到平面MHG 的距离；（2）求二面角E HM G --的余弦值.【答案】（1（2）23-【解析】【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，求得平面法向量，利用点面距向量公式，可得答案；（2）求得两个平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案.【小问1详解】由题意，易知,,MN MA MB 两两垂直，分别以,,MA MB MN 为,,x y z 轴建立直角坐标系，如下图：则()()()()1,0,0,0,0,0,0,2,1,2,0,1A M H G --，取()()0,2,1,2,0,1MH MG =-=-，设平面MHG 的法向量(),,n x y z = ，则2020n MH y z n MG x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令2z =，则1,1x y ==，所以平面MHG 的一个法向量()1,1,2n =，取()1,0,0MA = ，点A 到平面MHG的距离MA n d n ⋅===.【小问2详解】由（1）可知()()()()2,0,1,0,2,1,0,0,0,2,0,1E H M G --，取()()()()2,2,0,2,0,1,2,2,0,2,0,1HE ME HG MG ===-=-，设平面EHM 的法向量()1111,,m x y z = ，则11111122020m HE x y m ME x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令11x =-，则221,2y z ==，所以平面EHM 的一个法向量()11,1,2m =-，设平面HMG 的法向量()2222,,m x y z = ，则22222222020m HG x y m MG x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令21x =，则111,2y z ==，所以平面EHG 的一个法向量()21,1,2m =，设二面角E HM G --的大小为θ，则12121142cos 1143m m m m θ⋅-++=-=-=-++⋅ .17. 某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图：（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）由频率分布直方图计算得样本标准差s 的近似值为49.75.根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，σ近似为样本标准差S.（ⅰ）利用该正态分布，求()250.25399.5P X <<；（ⅱ）假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z 表示这20辆新能源汽车中单次最大续航里程位于区间（250.25，399.5）的车辆数，求E （Z ）；参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，()()220.9545,330.99731P P μσξμσμσξμσ-<<+=-<<+=.（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在x 轴上从原点O 出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都12，客户每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面，则遥控车向移动一个单位，若掷出反面，则遥控车向右移动两个单位，直到遥控车移到点（59，0）（胜利大本营）或点（60，0）（失败大本营）时，游戏结束，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.设遥控车移到点(),0n 的概率为()160n P n ≤≤，试证明数列{}1n n P P --是等比数列()259n ≤≤，求出数列{}()160n P n ≤≤的通项公式，并比较59P 和60P 的大小.【答案】（1）300 （2）（ⅰ）0.8186；（ⅱ）16.372（3）证明见解析，158211,159362111,60362n n n P n -⎧⎛⎫-⋅-≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩，5960P P >【解析】【分析】（1）根据平均数的求法求得正确答案.（2）（ⅰ）根据正态分布的对称性求得正确答案.（ⅱ）根据二项分布的知识求得正确答案.（3）根据已知条件构造等比数列，然后利用累加法求得n P ，利用差比较法比较59P 和60P 的大小.【小问1详解】2050.12550.23050.453550.24050.05300x ≈⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】（ⅰ）0.95450.6827(250.25399.5)0.68270.81862P X -<<=+=.（ⅱ））∵Z 服从二项分布()20,0.8186B ，∴()200.818616.372E Z =⨯=.【小问3详解】当359n ≤≤时，()12112111,222n n n n n n n P P P P P P P -----=+-=--，1221111131,,222244P P P P ==⨯+=-=.∴{}1(259)n n P P n --≤≤是以14为首项，12-为公比的等比数列，2111(259)42n n n P P n --⎛⎫-=⋅-≤≤ ⎪⎝⎭.22132111111,,,(259)44242n n n P P P P P P n --⎛⎫⎛⎫-=-=⋅-⋯-=⋅-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.累加得：115816058111422111111,(259),1362236212n n n n P P P n P P --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭-==-⋅-≤≤==+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+.∴158211,159362111,60362n n n P n -⎧⎛⎫-⋅-≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩∵58585960111111033232P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯=-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴5960P P >.注：比较59P 和60P 的另一个过程：58596059592112111,13623622P P P P ⎛⎫=-⋅>-==-<< ⎪⎝⎭.18. 已知函数()1e xx f x +=.（1）求函数()f x 的极值；（2）若不等式()e ln 1xf x a x +≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）已知直线l 是曲线()y f x =在点()(),t f t 处的切线，求证：当1t >时，直线l 与曲线()y f x =相交于点()(),s f s ，其中s t <.【答案】（1）极大值为1，没有极小值（2）[]e,0- （3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，利用导数判断()f x 的单调性和极值；（2）根据题意可得ln 0x a x +≥恒成立，构建()ln ,0g x x a x x =+>，分类讨论a 的符号，利用导数求最值，结合恒成立问题分析求解；（3）根据导数的几何意义可得当1t >时，方程2110e e ex t tx tx t t ++++-=有小于t 的解，构建()211e e ex t tx tx t t h x +++=+-，其中x t <，1t >，利用导数研究函数零点分析证明.小问1详解】由题意可知：()f x 的定义域为R ，且()ex xf x '-=，令()0f x '=时，0x =，则x ，f ′(x )，()f x 的关系为x(),0∞-0(0,+∞)f ′(x )+0-()f x 单调递增极大值单调递减所以，当0x =时，()f x 取到极大值为1，没有极小值.【小问2详解】若()e ln 1xf x a x +≥，即ln 0x a x +≥恒成立，设()ln ,0g x x a x x =+>，则()1a x a g x x x'+=+=，①当0a =时，则()0g x x =>恒成立，符合题意；②当0a >时，则()0g x '≥，可知()g x 在(0,+∞)上单调递增，因为11e e 10a a g --⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以ln 0x a x +≥不恒成立；③当0a <时，x ，()g x '，()g x 的关系为x()0,a -a-(),a ∞-+()g x '-+【()g x 单调递减极小值单调递增可知()g x 的最小值为()()min ln g x a a a =-+-，则()ln 0a a a -+-≥，因为0a <，则()1ln 0a --≥，解得e 0a ≤-<；综上所述：实数a 的取值范围是[]e,0-.【小问3详解】因为()1e x x f x +=，()e x x f x '-=，则()1e t tf t +=，e t t k -=即切点坐标为1,e t t t +⎛⎫⎪⎝⎭，切线l 斜率为e tt k -=，可得l 的方程为()1e e t t t t y x t +--=-，即21e et tt t t y x -++=+，联立方程21e e 1e t txt t t y x x y ⎧-++=+⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，可得2110e e e x t tx tx t t ++++-=，由题可知：当1t >时，方程2110e e ex t tx tx t t ++++-=有小于t 的解，设()211e e ex t tx tx t t h x +++=+-，其中x t <，1t >且()0h t =，则()e e x t x t h x '-=+，设()()F x h x ='，则()1e xx F x '-=，因为1t >，x ，()F x '，F (x )的关系为x(),1∞-1()1,t ()F x '-+F (x )单调递减1e et t -+，单调递增可知F (x )的最小值()()()min 10F x F F t =<=，且()1e 0e ttF -=+>，可知()01,1x ∃∈-，使()00F x =，当()0,x x ∞∈-时，()0F x >，即h ′(x )>0；当()0,x x t ∈时，()0F x <，即h ′(x )<0；可知h (x )在()0,x ∞-内单调递增；在()0,x t 内单调递减，可知h (x )的最大值()()()0max 0h x h x h t '=>=，且()()2110e t t h -+-=<，可知h (x )存在小于t 的零点，所以当1t >时，直线l 与曲线y =f (x )相交于点()(),s f s ，其中s t <，得证.【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．19. 蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来．如图，已知圆M 的方程为222()x y b r +-=，直线x my =与圆M 交于()11,C x y ，()22,D x y ，直线x ny =与圆M 交于()33,E x y ，()44,F x y ．原点O 在圆M 内．设CF 交x 轴于点P ，ED 交x 轴于点Q ．（1）当0b =，r =，12m =-，2n =时，分别求线段OP 和OQ 的长度；（2）①求证：34121234y y y y y y y y ++=．②猜想|OP |和|OQ |的大小关系，并证明．【答案】（1）53OP OQ == （2）①证明见解析；②猜测OP OQ =，证明见解析.【解析】【分析】（1）联立直线与圆的方程，可求,,,C D E F 各点的坐标，利用直线的两点式方程，可得直线CF 和ED 的方程，并求它们与x 轴的交点坐标，可得问题答案.（2）①联立直线与圆的方程，求出两根之和与两根之积，找到相等代换量，从而证明成立.②分别求出点P 和点Q 的横坐标表达式，结合①中的结论，从而证明成立.【小问1详解】当0b =，r =，12m =-，2n =时，圆M ：225x y +=，直线CD ：12x y =-，由22512x y x y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩⇒12x y =⎧⎨=-⎩或12x y =-⎧⎨=⎩，故()1,2C -，()1,2D -；直线EF ：2x y =，由2252x y x y⎧+=⎨=⎩⇒21x y =⎧⎨=⎩或21x y =-⎧⎨=-⎩，故()2,1E ，()2,1F --.所以直线CF :122112y x ++=+-+，令0y =得53x =-，即5,03P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；直线ED :122112y x --=---，令0y =得53x =，即5,03Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以：53OP OQ ==.【小问2详解】①由题意：22b r <.由()222x y b r x my ⎧+-=⎪⎨=⎪⎩⇒()()222my y b r +-=⇒()2222120m y by b r +-+-=，则1y ，2y 是该方程的两个解，由韦达定理得：12222122211b y y m b r y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，所以1222122y y b y y b r +=⋅-.同理可得：3422342y y b y y b r +=⋅-，所以34121234y y y y y y y y ++=⋅⋅.②猜测OP OQ =，证明如下：设点(),0P p ，(),0Q q .因为,,C P F 三点共线，所以：414100y y x p x p --=--⇒411414x y x y p y y -=-，又因为点C 在直线x my =上，所以11x my =；点F 在直线x ny =上，所以44x ny =.所以()1441141414y y n m ny y my y p y y y y --==--；同理因为,,E Q D 三点共线，可得：()2323y y n m q y y -=-.由①可知：34121234y y y y y y y y ++=⋅⋅⇒12341111y y y y +=+⇒14321111y y y y -=-⇒23411423y y y y y y y y --=⋅⋅⇒231414230y y y y y y y y ⋅⋅+=--，所以()()14231423y y n m y y n m p q y y y y --+=+--()23141423y y y y n m y y y y ⎛⎫=-+ ⎪--⎝⎭0=.即p q =-，所以OP OQ =成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键是联立直线与圆的方程，结合一元二次方程根与系数的关系，进行化简处理，设计多个字母的运算，整个运算过程一定要小心、仔细.。

2024-2025学年河南省高三上学期联考(二)数学试题及答案

2024-2025年度河南省高三年级联考（二）数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，三角函数，平面向量，数列，不等式.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21A x x =-<，{}3B x a x a =<<+.，若{}15A B x x =<< ，则a =（）A.0B.1C.2D.32.已知符号）（表示不平行，向量(1,2)a =--，(,7)b m m =+ .设命题:(0,)p m ∀∈+∞，a ）（b ，则（）A.:(0,)p m ⌝∃∈+∞，//a b，且p ⌝为真命题B.:(0,)p m ⌝∀∈+∞，//a b，且p ⌝为真命题C.:(0,)p m ⌝∃∈+∞，//a b，且p ⌝为假命题D.:(0,)p m ⌝∀∈+∞，//a b，且p ⌝为假命题3.若||0a b >>，则下列结论一定成立的是（）A.22a b ab > B.2211ab a b> C.33a b < D.a c c b->-4.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31S ma =，则“7m =”是“{}n a 的公比为2”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数3()log f x x =，若0b a >>，且a ，b 是()f x 的图像与直线(0)y m m =>的两个交点对应的横坐标，则4a b +的最小值为（）A.2B.4C.6D.86.三角板主要用于几何图形的绘制和角度的测量，在数学、工程制图等领域被广泛应用.如图，这是由两块直角三角板拼出的一个几何图形，其中||||AB AC = ，||||BD BC =，0BD BC ⋅= .连接AD ，若AD x AB y AC =+，则x y -=（）A.1B.2D.327.若0a ≠，()2ππsin 066x ax bx c ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭对[0,8]x ∈恒成立，则（）A.0a > B.0bc +> C.0c > D.16b c a-=-8.已知A 是函数()e 3xf x x =+图象上的一点，点B 在直线:30l x y --=上，则||AB 的最小值是（）B.3C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且3n an b =，则下列结论不正确的是（）A.若{}n a 是递增数列，则{}n S 是递增数列B.若{}n a 是递减数列，则{}n S 是递减数列C.若{}n a 是递增数列，则{}n T 是递增数列D.若{}n a 是递减数列，则{}n T 是递减数列10.已知(31)f x +为奇函数，(3)1f =，且对任意x ∈R ，都有(2)(4)f x f x +=-，则必有（）A.(11)1f =-B.(23)0f =C.(7)1f =- D.(5)0f =11.已知函数()sin sin 3f x x x =+，则（）A.()f x 的图象关于点(π,0)中心对称B.()f x 的图象关于直线π4x =对称C.()f x的值域为⎡⎢⎣D.()f x 在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且1a =，3b =，1cos 3C =，则ABC △外接圆的面积是__________.13.已知某种污染物的浓度C （单位：摩尔/升）与时间t （单位：天）的关系满足指数模型(1)0e k t C C -=，其中0C 是初始浓度（即1t =时该污染物的浓度），k 是常数.第2天（即2t =）测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n 天测得该污染物的浓度变为027C ，则n =__________.14.1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法.要用尺规作出正十七边形，就要将圆十七等分.高斯墓碑上刻着如图所示的图案.设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为α，则162121tan 2k k α==+∑__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，4cos 5A =，2cos 3cos a C c A =.（1）求sin C 的值；（2）若3a =，求ABC △的周长.16.（15分）已知函数()sin()(0,0,0π)f x A x b A ωϕωϕ=++>><<的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的零点；（3）将()f x 图象上的所有点向右平移π12个单位长度，得到函数()g x 的图象，求()g x 在7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.17.（15分）已知函数3()33xx a f x ⋅=+，且()()66log 3log 122f f +=.（1）求a 的值；（2）求不等式()22310f x x +->的解集.18.（17分）已知函数2()(2)ln(1)2f x ax x x x =++--.（1）当0a =时，求()f x 的单调区间与极值；（2）当0x ≥时，()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围.19.（17分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的n +∈N ，都有2n n S kS =（k 为非零常数），则称数列{}n a 为“和等比数列”，其中k 为和公比.（1）若23n a n =-，判断{}n a 是否为“和等比数列”.（2）已知{}n b 是首项为1，公差不为0的等差数列，且{}n b 是“和等比数列”，2n b nc =，数列{}n c 的前n 项和为n T .①求{}n b 的和公比；②求n T ；③若不等式2134(1)22n n n n T m -+->--对任意的n +∈N 恒成立，求m 的取值范围.2024-2025年度河南省高三年级联考（二）数学参考答案1.C 由题意可得{}13A x x =<<.因为{}15A B x x =<< ，所以1,35a a ≥⎧⎨+=⎩，解得2a =.2.A :(0,)p m ⌝∃∈+∞，//a b ，当(7)2m m -+=-，即7m =时，//a b，所以p ⌝为真命题.3.B 当3a =，2b =-时，2218,12a b ab =-=，此时22a b ab <，则A 错误.因为||0a b >>，所以a b >，且0ab ≠，所以2210a b >，所以2211ab a b>，则B 正确.当2a =，1b =-时，338,1a b ==-，此时33a b >，则C 错误.当2a =，1b =，3c =时，1a c -=-，2c b -=，此时a c c b -<-，则D 错误.4.A 设{}n a 的公比为q ，则()23123111S a a a q q a ma =++=++=.因为10a ≠，所以21q q m ++=.由7m =，得217q q ++=，即260q q +-=，解得2q =或3q =-.由2q =，得7m =，则“7m =”是“{}n a 的公比为2”的必要不充分条件.5.B 由题意可得01a b <<<，1b a=，则44a b +≥，当且仅当42a b ==时，等号成立.故4a b +的最小值为4.6.A 如图，以A 为原点，AB ，AC的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立直角坐标系，设1AB =，则(0,0)A ，(1,0)B ，(0,1)C ，故(1,0)AB = ，(0,1)AC =.作DF AB ⊥，交AB 的延长线于点F .设||1AB = ，则||||1BF DF ==，所以(2,1)D ，所以(2,1)AD = .因为AD x AB y AC =+，所以2,1x y ==，则1x y -=.7.B 因为[0,8]x ∈，所以πππ7π,6666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.当[0,1)x ∈时，ππsin 066x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭；当()1,7x ∈时，ππsin 066x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭；当(7,8]x ∈时，ππsin 066x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭.因为()2ππsin 066x ax bx c ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭对[0,8]x ∈恒成立，所以1，7是20ax bx c ++=的两根，且0a <，则17,17,b ac a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩故80b a =->，70c a =<，15b c a -=-，0b c a +=->.8.D 由题意可得()(1)e xx f x +'=.设()()g x f x '=，则()(2)e xg x x '=+，当1x <-时，()0f x '<，当1x >-时，()0g x '>，()f x '单调递增.因为(0)1f '=，所以()(1)e 1x f x x '=+=，得0x =，此时(0,3)A，故min ||AB ==.9.ABD 当7n a n =-时，{}n a 是递增数列，此时{}n S 不是递增数列，则A 错误.当12n a n =-+时，{}n a 是递减数列，此时{}n S 不是递减数列，则B 错误.由{}n a 是递增数列，得{}n b 是递增数列，且0n b >，则{}n T 是递增数列，故C 正确.由{}n a 是递减数列，得{}n b 是递减数列，且0n b >，则{}n T 是递增数列，故D 错误.10.CD 由(31)f x +为奇函数，可得(31)(31)f x f x -+=-+，则()f x 的图象关于点(1,0)对称.又(2)(4)f x f x +=-，所以()f x 的图象关于直线3x =对称，则()f x 是以8为周期的周期函数，所以(7)(3)1f f =-=-，(5)(1)0f f ==，(11)(3)1f f ==，(23)(7)1f f ==-，故选CD.11.ACD 因为(π)(π)sin(π)sin 3(π)sin(π)sin 3(π)0f x f x x x x x ++-=++++-+-=，所以()f x 的图象关于点(π,0)中心对称，则A 正确.由题意可得()sin sin 32sin 2cos f x x x x x =+=，则ππππ2sin 2cos 2cos 2cos 4244f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，ππππ2sin 2cos 2cos 2cos 4244f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于直线π4x =对称，则B 错误.由题意可得3()2sin 2cos 4sin 4sin f x x x x x ==-.设sin [1,1]t x =∈-，则3()44y g t t t ==-+，故()22()124431g t t t '=-+=--.由()0g t '>，得t <<()0g t '<，得1t -≤<1t <≤，则()g t在1,⎡-⎢⎣和⎤⎥⎦上单调递减，在⎛ ⎝上单调递增.因为(1)(1)0g g -==，g ⎛= ⎝，g =()g t ⎡∈⎢⎣，即()f x的值域是⎡⎢⎣，则C 正确.当π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin t x ⎤=∈⎥⎦.因为sin t x =在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()g t在⎤⎥⎦上单调递减，所以()f x 在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则D 正确.12.9π4 由余弦定理可得22212cos 1921383c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，则c =因为1cos 3C =，所以sin C =，则ABC △外接圆的半径32sin 2c R C ==，故ABC 外接圆的面积为29ππ4R =.13.7 由题意可得030e 5,e 15,k kC C ⎧=⎨=⎩则2e 3k =，解得ln 32k =.因为(1)00e 27k n C C -=，即3ln(1)200e 27n C C -=，所以ln 3(1)2e 27n -=，所以ln 3(1)ln 273ln 32n -==，解得7n =.14.15 由题可知2π17α=，则222π11tan 1tan π217cos 17k k k α+=+=，则161616162211112π2π2π2cos 1cos 16cos 1717171tan 2k k k k k k k k α====⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭+∑∑∑∑.由161611π2π(21)π(21)π33πππ2sin cos sin sin sin sin 2sin17171717171717k k k k k ==+-⎡⎤⋅=-=-=-⎢⎥⎣⎦∑∑，得1612πcos117k k ==-∑，故原式16115=-=.15.解：（1）因为4cos 5A =，且0πA <<，所以3sin 5A ==.因为2cos 3cos a C c A =，所以2sin cos 3sin cos A C C A =，所以342cos 3sin 55C C ⨯=⨯，即cos 2sin C C =.因为22sin cos 1C C +=，所以21sin 5C =.因为0πC <<，所以sin C =（2）由（1）可知3sin 5A =，4cos 5A =，sin C =，cos C =，则34sin sin()sin cos cos sin 55B A C A C A C =+=+==由正弦定理可得sin sin sin a b cA B C==，则sin sin a B b A ==，sin sin a C c A==，故ABC △的周长为3a b c ++=+.16.解：（1）由图可知3(1)22A --==，3(1)12b +-==，()f x 的最小正周期7ππ2π1212T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.因为2π||T ω=，且0ω>，所以2ω=.因为()f x 的图象经过点π,312⎛⎫⎪⎝⎭，所以ππ2sin 2131212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 16ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以ππ2π()62k k ϕ+=+∈Z ，即π2π()3k k ϕ=+∈Z .因为0πϕ<<，所以π3ϕ=.故π()2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（2）令()0f x =，得π1sin 232x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则ππ22π()36x k k +=-∈Z 或π5π22π()36x k k +=-∈Z ，解得ππ4x k =-或7ππ()12k k -∈Z ，故()f x 的零点为ππ4k -或7ππ()12k k -∈Z .（3）由题意可得πππ()2sin 212sin 211236g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ4π2,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.当ππ262x +=，即π6x =时，()g x 取得最大值π36g ⎛⎫= ⎪⎝⎭；当π4π263x +=，即7π12x =时，()g x 取得最小值7π112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故()g x 在7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1⎡⎤⎣⎦.17.解：（1）因为3()33x x a f x ⨯=+，所以221393(2)333933x x x xa a af x --+⨯-===+++，则33()(2)3333x x x a af x f x a ⨯+-=+=++.又666log 3log 12log 362+==，所以()()66log 3log 12f f a +=，从而2a =.（2）由（1）可知236()23333x x xf x ⨯==-++，显然()f x 在R 上单调递增.因为1(0)2f =，所以由()22310f x x +->，可得()23(0)f x x f +>，则230x x +>，解得3x <-或0x >，故不等式()22310f x x +->的解集为(,3)(0,)-∞-+∞ .18.解：（1）当0a =时，2()2ln(1)2f x x x x =+--，其定义域为(1,)-+∞，则()222(2)22111x x x x f x x x x x ---+'=--==+++.当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 的单调递增区间为(1,0)-，当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，故()f x 的极大值为(0)0f =，无极小值.（2）设1t x =+，[1,)t ∈+∞，2()(2)ln 1g t at a t t =+--+，[1,)t ∈+∞，则2()ln 2at a t t a tg -=+-+'.设()()h t g t '=，则222222()2a a t at a h t t t t --++-'=--=.设2()22m t t at a =-++-，则函数()m t 的图象关于直线4at =对称.①当2a ≤时，()m t 在[1,)+∞上单调递减.因为(1)240m a =-≤，所以2()220m t t at a =-++-≤在[1,)+∞上恒成立，即()0h t '≤在[1,)+∞上恒成立，则()h t 在[1,)+∞上单调递减，即()g t '在[1,)+∞上单调递减，所以()(1)0g t g ''≤=，所以()g t 在[1,)+∞上单调递减，则()(1)0g t g ≤=，即()0f x ≤在[0,)+∞上恒成立，故2a ≤符合题意.②当2a >时，()m t 在[1,)+∞上单调递减或在[1,)+∞上先增后减，因为(1)240m a =->，所以存在01t >，使得()00m t =.当()01,t t ∈时，()0m t >，即()0h t '>，所以()g t '在()01,t 上单调递增.因为(1)0g '=，所以()0g t '>在()01,t 上恒成立，所以()g t 在()01,t 上单调递增，则()0(1)0g t g >=，故2a >不符合题意.综上，a 的取值范围为(,2]-∞.19.解：（1）因为23n a n =-，所以121n a n +=-，所以12n n a a +-=.因为11a =-，所以{}n a 是首项为-1，公差为2的等差数列，则22n S n n =-，所以2244n S n n =-，所以222444422n n S n n n S n n n --==--.因为442n n --不是常数，所以{}n a 不是“和等比数列”.（2）①设等差数列{}n b 的公差为d ，前n 项和为n S ，则21(1)1222n n n d d S nb d n n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，所以222(2)n S dn d n =+-.因为{}n b 是“和等比数列”，所以2n n S kS =，即222(2)22kd kd dn d n n k n ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭，所以2,22,2kd d kd d k ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得4,2,k d =⎧⎨=⎩即{}n b 的和公比为4.②由①可知12(1)21n b n n =+-=-，则212n n n c -=，所以35211232222n n n T -=++++ ，所以2352121112122222n n n n nT -+-=++++ ，所以235212121211122311111422222212nn n n n n n T -++⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=++++-=-- ，即2132344332n n n T ++=-⨯，所以21834992n n n T -+=-⨯.③设2121212134834348103429922992n n n n n n n n n n P T ----++++=-=--=-⨯⨯，12121103710345(1)092924n n n n n n n n P P ++-+++-=-⨯+⨯=>.不等式2134(1)22n n n n T m -+->--对任意的n +∈N 恒成立，即不等式(1)2n n P m >--对任意的n +∈N 恒成立.当n 为奇数时，()1min 23n m P P --<==-，则1m >；当n 为偶数时，()2min 122n m P P -<==-，则32m <.综上，m 的取值范围是31,2⎛⎫⎪⎝⎭.。

2023年高三1月大联考(全国乙卷)理科数学试题及参考答案

2023年高三1月大联考（全国乙卷）理科数学试题及参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.砸每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{},0>=x x A {}01232≤--=x x x B ，则()=B A C R （）A .⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-31，B .()⎪⎭⎫⎝⎛∞+∞-，，310 C .()1-∞-，D .(]()∞+∞-，，10 2.已知i 为虚数单位，复数z 的共轭复数为z ，且i z z 232+=+，则=z1（）A .i 5251-B .i 5251+C .i 2121-D .i 2121+3.榫卯，是一种中国传统建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式.春秋时期著名的工匠鲁班运用榫卯结构制作了鲁班锁，且鲁班锁可拆解，但是要将它们拼接起来则需要较高的空间思维能力和足够的耐心.如图（1）六通鲁班锁是由六块长度大小一样，中间各有着不同镂空的长条形木块组装而成.其主视图如图（2）所示，则其侧视图为（）4.已知向量()3,1=a ，2=b ，且10=-b a ，则()()=-⋅+b a b a2（）A .1B .14C .14D .105.已知32cos 3sin =-αα，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+32cos πα（）A .91-B .91C .97D .97-6.使得“函数()txx x f 323-=在区间()3,2上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（）A .2≥tB .2≤tC .3≥tD .334≤≤t 7.某精密仪器易因电压不稳定损坏，自初装起，第一次电压不稳仪器损坏的概率为0.1.若在第一次电压不稳仪器未损坏的条件下，第二次电压不稳仪器损坏的概率为0.2，则连续两次电压不稳仪器为损坏的概率为（）A .0.72B .0.7C .0.2D .0.188.已知函数()x x f cos 4=，将函数()x f 的图象向左平移3π个单位长度，再将所得函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的()01>ωω倍得到函数()x g 的图象，若函数()()2-=x g x h 在()π2,0上有且仅有4个零点，在实数ω的取值范围为（）A .[)3,2B .⎥⎦⎤ ⎝⎛382，C .(]3,1D .⎪⎭⎫⎢⎣⎡338，9.已知1.1log 2.1=a ，1.12.1=b ，2.11.1=c ，则（）A .c b a <<B .c a b <<C .b a c <<D .bc a <<10.已知数列{}n a 满足121-=+n n a a ，11=a ，设{}n a 的前n 项和为n S ，若*N n ∈∀，不等式λ≤-+--8476n S a n n n 恒成立，则λ的最小值为（）A .21B .2C .5D .611.已知双曲线C ：()0,012222>>=-b a by a x 的左顶点为A ，右焦点为F ，以线段AF 为直径圆M 与双曲线的一条渐近线相交于D B ,两点，且满足2-=⋅OD OB （O 为坐标原点），若圆M 的面积S 满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈825,49ππS ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（）A .⎥⎦⎤⎢⎣⎡247B .[]4,2C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡447，D .(]2,112.已知函数()x f 的定义域为R ，且满足()()011=-+-x f x f ，()()x f x f =+8，()11=f ，()13-=f ，()()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+≤<++-=42,120,12x b x x a x x f ，给出下列结论：①31-=-=b a ，；②()12023=f ；③当[]6,4-∈x 时，()0<x f 的解集为()()4,20,2 -；④若函数()x f 的图象与直线m mx y -=在y 轴右侧有3个交点，则实数m 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--4176166121，， .其中正确结论的个数为（）A .4B .3C .2D .1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.()6111⎪⎭⎫⎝⎛+-x x 的展开式中含x 1项的系数为.14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，51-=a ，32-=a ，对任意*N n ∈，都有21221++=+++n S n S n S n n n ，则=2023a .15.已知抛物线x y 42=，其准线为l 且与x 轴交于点D ，其焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于B A ,两点，过点A 作准线l 的垂线，垂足为H .若BF AH 2=，则线段HF 的长度为.16.如图，已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，F E ,分别为BC AB ,的中点，则下列说法正确的是.（填写所有正确说法的序号）①平面EF D 1截正方体1111D C B A ABCD -所得截面图形的周长为5223+；②点B 到平面EF D 1的距离为1717；③平面EF D 1将正方体1111D C B A ABCD -分割成两部分，较小一部分的体积为925；④三棱锥EF D B 1-的外接球的表面积为π18三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（12分）记ABC ∆的三个内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，=⎪⎭⎫⎝⎛-A a 2cos π()()()C b c C A b --++πsin sin .（1）求A ；（2）若AD 是角A 的平分线且3=AD ，求c b +的最小值.18.（12分）某地区一中学为了调查教师是否经常使用多媒体教学与教师年龄的关系，规定在一个月内使用多媒体上课的次数超过本月上课总次数的一半视为经常使用，否则视为不经常使用.现对120名教师进行调查统计，汇总有效数据得到如下22⨯列联表：（1）根据表中数据，判断能否有99.9%的把握认为教师是否经常使用多媒体教学与教师年龄有关？（2）若从45岁以下的被调查教师中按是否经常使用多媒体教学采用分层抽样的方式抽取6名教师，再从这6名教师中随机选取3名教师，记其中经常使用多媒体教学的教师的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.附：()()()()()d b d c c a b a bc ad n K ++++-=22（其中d c b a n +++=）45岁以下45岁以上合计经常使用402060不经常使用204060合计6060120()2k K p ≥0.100.050.0250.0100.0050.0010k 2.7063.8415.0246.6357.87910.82819.（12分）如图，已知四棱锥ABCD P -中，⊥P A 平面ABCD ，四边形ABCD 为等腰梯形，BC AD ∥，且BC AD AB P A 21===，E 为线段BC 的中点.（1）求证：BD ⊥平面P AE ；（2）求直线PE 与平面PCD 所成角的正弦值.20.（12分）已知椭圆C ：()012222>>=+b a by a x 的左顶点和上顶点分别为B A ,，直线AB与圆O ：3422=+y x 相切，切点为M ，且MB AM 2=.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过圆O 上任意一点P 作圆O 的切线，交椭圆C 于F E ,两点，试判断：PF PE 是否为定值？若是，求出该值，并证明；若不是，请说明理由.21.（12分）已知函数()()R a x x ax x f ∈--=ln 2.（1）若当22>x 时，直线a x y +-=与函数()x f 的图象相切，恒成立，求实数a 的值；（2）设()()()x a x f x g ln 12++=，若()x g 有两个零点，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ϕϕsin cos 1t y t x （t 为参数，()πϕ，0∈）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=.（1）求曲线C 的直角坐标方程和当4πϕ=时，直线l 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于B A ,两点，且与x 轴交于点F ，38=-BF AF ，求直线l 的倾斜角.23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()x ax x f 21++=.（1）若1=a ，求不等式()4≤x f 的解集；（2）若()x f 的最小值为1，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题1.A解析：∵{},0>=x x A ()(){}⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤-+=1310113x x x x x B ，∴⎭⎫⎩⎨⎧-≥=31x x B A ，∴()=B A C R ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-31，.2.B解析：设bi a z +=，则bi a z -=，i bi a z z 2332+=-=+，则2,1-==b a ，∴()()i i i i i i z 52515212121212111+=+=+-+=-=.3.C解析：观察主视图中的木条位置，分析可知侧视图不可能是A 和B，观察木条的层次位置，分析可知侧视图也不可能是D.4.B 解析：∵102222=+⋅-=-b b a a b a ，10=a ，2=b ，∴2=⋅b a ，∴()()1424202222=--=⋅--=-⋅+b a b a b a b a.5.D解析：∵32cos 3sin =-αα，∴316cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα，∴9716cos 232cos 2-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+παπα.6.C解析：由函数()txx x f 323-=在区间()3,2上单调递减，得tx x y 32-=在区间()3,2上单调递减，∴323≥t，解得2≥t .结合A,B,C,D 四个选项，知使得“函数()tx x x f 323-=在区间()3,2上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是3≥t .7.A解析：设第i 次电压不稳仪器损坏为事件()2,1=i A i ，则()1.01=A P ，()9.01=A P ，()2.012=A A P ，()8.012=A A P ，故连续两次电压不稳仪器为损坏的概率为()()()72.09.08.011221=⨯==A P A A P A A P .8.B解析：由题意得()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3cos 4πωx x g .()()02=-=x g x h ，得213cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πωx ，∴323πππω-=+k x 或323πππω+=+k x ，Z k ∈，解得ωππ322-=k x 或ωπk x 2=，Z k ∈，欲使函数()x h 在()π2,0上有且仅有4个零点，则ωππωπ31624≤<，解得382≤<ω.9.D解析：12.1log 1.1log 2.12.1=<=a ,12.12.101.1=>=b ,11.11.102.1=>=c .设()x x x f ln =，则()2ln 1xxx f -='.当e x <<0时，()0>'x f ，()x f 在()e ,0上单调递增，当e x >时，()0<'x f ，()x f 在()+∞,e 上单调递减，∵e <<2.11.1，∴1.11.1ln 2.12.1ln >，即1.1ln 2.12.1ln 1.1>，即2.11.11.1ln 2.1ln >，∴2.11.11.12.1>，∴b c a <<.10.C 解析：由题意知()12111+=++n n a a ，∴12121-⎪⎭⎫⎝⎛⨯=+n n a ，∴12121-⎪⎭⎫⎝⎛⨯=-n n a ，n n S nnn -+⎪⎭⎫⎝⎛⨯-=--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=42142112112，∴533253768476-+=--=-+--n n n n S a n n n 当2=n 时，55376max=⎪⎭⎫⎝⎛--n n ，∴5≥λ，∴λ的最小值为5.11.B 解析：设双曲线C 的半焦距为c ，∵2-=⋅OD OB2=.由圆的相交弦定理知：2===OD OB OF OA ac .又圆M 的半径2c a r +=，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=825,4922πππc a S ，∴825424922≤++≤c ac a ，∴2252922≤++≤c ac a ，∴217522≤+≤c a ，∴acac c a ac 27522≤+≤.又2=ac ，∴417125≤+≤e e ，∴42≤≤e .12.C 解析：∵()()011=-+-x f x f ，∴()()x f x f -=-，∴函数()x f 为奇函数，且()00=f .∵()()x f x f =+8，∴()x f 的周期为8.又()()11112=++-=a f ，∴1-=a ，()1133-=-+=b f ，∴3-=b ,故①正确.∵()()()()111182532023-=-=-=-⨯=f f f f ，故②错误.已知()()⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<+--=42,1320,112x x x x x f ，作出函数()x f 在[]4,0上的图象，根据函数()x f 为奇函数，及其周期为8，得到函数()x f 在R 上的图象，如图所示，由()x f 的图象知，当[]6,4-∈x 时，()0<x f 的解集为()()4,20,2 -.故③正确.由题意知直线()1-=-=x m m mx y 恒过点()0,1，与函数()x f 的图象在y 轴右侧有3个交点.根据图象可知：当0>m 时，应有15<-⨯m m ，即41<m ，且同时满足()x f m mx =-，[]10,8，∈x 无解，即当[]10,8，∈x 时，()()m mx x x -=--810无解，∴0<∆，解得76167616+<<-m ，∴417616<<-m .当0<m 时，应有13->-⨯m m ，即21->m ，且同时满足()x f m mx =-，[]8,6∈x 无解，即当[]8,6∈x 时，()()m mx x x -=--86无解，∴0<∆，解得3521235212+-<<--m ，∴3521221+-<<-m ，综上，417616<<-m 或3521221+-<<-m ，④错误.二、填空题13.9解析：∵()6661111111⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x x，∴其展开式中含有x1项的系数有两部分：一部分是611⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 展开式中21x 的系数1526=C ，另一部分时611⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 展开式中x 1的系数616=C ，∴所求的系数为9615=-.14.4039解析：由题意，知⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 时等差数列，422121-=-=S S ，,∴615-=-+-=n n nS n，即n n S n 62-=.当2≥n 时，()()16121---=-n n S n ，以上两式相减得：()272≥-=n n a n .又51-=a 也适合上式，∴72-=n a n ∴当2023=n 时，40397202322023=-⨯=a .15.32解析：由抛物线定义知，AF AH =，又BF AH 2=，∴BF AF 2=.如图，过点B 作直线l 的垂线，垂足为E ，则BF BE =，过点B 作AH 的垂线，垂足为C .设m BF BE ==，则m AF AH 2==，显然m m m BE AH AC =-=-=2，∴312cos =+=+==∠m m m BF AF m ABAC CAF ，∴22tan =∠CAF ，∴直线AB 的斜率为22，∴直线AB 的的方程为()122-=x y .不妨设()11,y x A ，0011>>y x ，，由()⎪⎩⎪⎨⎧=-=121114122x y x y ，解得⎩⎨⎧==22211y x ，∴3212221==+=DFy HF.16.③④解析：由题意，知平面EF D 1截正方体1111D C B A ABCD -所得截面图形为HEFG D 1，如图，易得32==AH CG ，3411==H A GC ，∴3132916411=+==H D G D ，313941=+==GF HE ，∴所求周长为21322313231322+=+⨯+⨯，故①正确；设点B 到平面EF D 1的距离为h ，由题意，得31221311=⨯⨯=-BEF D V ，311==F D E D ，2=EF ，∴2172172211=⨯⨯=∆EF D S ，∴2173131⋅=h ，即17172=h ，故②错误；正方体1111D C B A ABCD -的体积为8222=⨯⨯，其中一部分的体积9251223221312312232213123231111=⨯⨯⎪⎭⎫⎝⎛+⨯⨯++⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯+⨯⨯=++=---DAH D E DCG D F DEF D V V V V ，则另一部分的体积为9479258=-，∴平面EF D 1将正方体1111D C B A ABCD -分割成两部分，较小一部分的体积为925，故③正确；对于三棱锥EF D B 1-，先找到BEF ∆的外接圆的圆心，即为EF 中点，设为M ，过点M 作1BB MN ∥，交11D B 于点N ，则外接球球心在直线MN 上，设球心为O ，外接球半径为R ，x MO =，∴()22222223222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x R ，∴2=x ，292=R ，球O 的表面积ππ1842==R S ，故④正确.三、解答题（一）必考题17.解：（1）由题意得()C b c B b A a sin sin sin -+=，由正弦定理得()bc c b c b c b a -+=-+=2222.由余弦定理得2122cos 222==-+=bc bc bc a c b A.又()π，0∈A ，∴3π=A .（2）∵ABD ∆与ACD ∆的面积之和等于ABC ∆的面积，且AD 为角A 的平分线，由（1）知，3π=A ，∴3sin 216sin 3216sin 321πππbc c b =+，∴bc c b =+.又22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤c b bc ，当且仅当⎩⎨⎧=+=bc c b c b ，即2==c b 时取等号，∴22⎪⎭⎫⎝⎛+≤+c b c b ，∴4≥+c b ，∴c b +的最小值为4.18.解：（1）由于()828.10333.13340606060602020404012022>≈=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ，∴有99.9%的把握认为教师是否经常使用多媒体教学与教师年龄有关.（2）抽取的6名教师中，经常使用多媒体教学的教师人数为42040406=+⨯，不经常使用多媒体教学的教师人数为22040206=+⨯.X 的所有可能取值为1,2,3，()511361422===C C C X P ；()532362412===C C C X P ；()5133634===C C X P ，∴X 的分布列为∴()2513532511=⨯+⨯+⨯=X E .19.解：（1）如图，连接ED ,BC AD ∥，∵E 为BC 的中点，BC AD 21=，∴BC BE 21=，∴BE AD =，BE AD ∥，∴四边形ABED 为平行四边形.又AD AB =，∴四边形ABED 为菱形，∴BD AE ⊥.∵⊥P A 平面ABCD ，⊂BD 平面ABCD ，∴BD P A ⊥.又⊂P A AE ,平面P AE ，且A P A AE = ，∴⊥BD 平面P AE .（2）设121====BC AD AB P A ，则1===AB BE AE ，∴ABE ∆为正三角形.X 123P515351过点A 作AD AH ⊥交BC 于点H ，由题意，知AP AD AH ,,两两垂直，以A 为坐标原点，AP AD AH ,,所在直线分别为z y zx ,,轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()0100,23,230,21,23100，，，，，，，D C E P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1,21,23PE ，()110-=，，PD ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0,21,23DC .设平面PCD 的法向量为()z y x n ,,= ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0DC n PD n ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=-021230y x z y ，令1-=x ，得33==z y ，，∴()3,3,1-=n是平面PCD 的一个法向量.设直线PE 与平面PCD 所成的角为θ，∴1442723sin =⨯===nθ，∴直线PE 与平面PCD 所成角的正弦值为1442.20.解：（1）依题意，得()()b B a A ,0,0,-，设λ=MB ，则λ2=AM ，λ3=AB ,()2223λ=+b a ……①由OM AB ⊥，知22222MB OB AM OA OM-=-=，∴()3422222=-=-λλb a ……②.由①②解得：2422==b a ，，∴椭圆C 的标准方程为12422=+y x .（2）①当直线EF 的斜率不存在时，即x EF ⊥轴时，⎪⎭⎫ ⎝⎛0,332P 或⎪⎭⎫⎝⎛-0,332P ，直线EF 的方程为332=x 或332-=x ，代入12422=+y x 中，得332±=y ，∴34332332=⨯=PF PE .②当直线EF 的斜率存在时，设直线EF 的方程为m kx y +=，()()2211,,y x F y x E ，.∵直线EF 与圆O 相切于点P ，∴圆心O 到EF 的距离33212=+=k m OP ，即()()*13422+=k m .联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 12422，整理得()042421222=-+++m kmx x k ，()()014316248222>+=+-=∆k m k 恒成立，且22212212142214k m x x k km x x +-=+-=+，，()()()2212122121m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=，∴()()2222212122121214431k k m m x x km x x k y y x x +--=++++=+，将（*）式代入上式得02121=+y y x x ，∴OF OE ⊥.又EF OP ⊥，∴OPE ∆∽EPO ∆，∴PEOP OPPF =，∴342==OPPF PE .综上可得，PF PE 为定值34.21.解：（1）设直线a x y +-=与函数()x f 的图象相切于点()00,y x P ，求导得()xx a x f 12--='，则11200-=--x x a ，即11200-+=x x a ……①由题意知a x x x ax +-=--00200ln ，……②由①②消去a 得，02ln 1200020=+---x x x x .()2ln 122+---=x x x x x h ，22>x ，则()()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+-='221211122x x x x x x h ，当⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈1,22x 时，()0<'x h ，()x h 单调递减，当()+∞∈,1x 时，()0>'x h ，()x h 单调递增，∴()x h 在1=x 处取得极小值，也是最小值，()021211=+--=h ，∴()⎪⎪⎭⎫⎝⎛>+---=222ln 122x x x x x x h 有唯一零点1，即02ln 1200020=+---x x x x 有唯一根1，∴2112=-+=a .（2）由题意，知()()0,ln ln 1ln 2222>+-=++--=x x a x ax x a x x ax x g ，则()()()xa x a x x a x a x g +-+=+-='222.当0=a 时，()02<-=x x g ，无零点；当0>a 时，若()a x ,0∈，则()0>'x g ，()x g 单调递增，若()+∞∈,a x ，则()0<'x g ，()x g 单调递减，∴()x g 在a x =处取得极大值，也是最大值，()a a a g ln 2=，欲使()x g 有两个零点，则()0ln 2>=a a a g ，解得1>a .又043211112222222<+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+-=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛e ae e ae e a a e e a e g ，且a e <1，∴⎪⎭⎫⎝⎛∈∃a e x ,11，使()01=x g .易证当0>x 时，x x ln >，∴()a x x a x ax x a x ax x g >+-<+-=,ln 2222，∴()()()()0111122222<++-=++---++<++a a a a a a a a a a g ，∴()1,22++∈∃a a a x ，使()02=x g ，故()x g 有两个零点.当0<a 时，若⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,0a x ，则()0>'x g ，()x g 单调递增，若⎪⎭⎫⎝⎛+∞-∈,2a x ，则()0<'x g ，()x g 单调递减，∴()x g 在2a x -=处取得极大值，也是最大值，⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-2ln 43222a a a a g ，欲使()x g 有两个零点，则02ln 43222>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a a g ，解得432e a -<.又01<⎪⎭⎫⎝⎛e g ，()012<++a a g ，且1212++<-<a a ae ，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈∃2,13a e x ，⎪⎭⎫⎝⎛++-∈1,224a a a x ，使得()()043==x g x g .综上，实数a 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞-432,e ∪()∞+，1.（二）选考题22.解：（1）由θθρcos 4sin 2=得，θρθρcos 4sin 22=，将θρθρsin cos ==y x ，，代入得x y 42=.当4πϕ=时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty t x 22221，消去t 得01=--y x .∴曲线C 的直角坐标方程为x y 42=，直线l 的普通方程为01=--y x .（2）设B A ,对应的参数分别为21,t t ，将⎩⎨⎧=+=ϕϕsin cos 1t y t x 代入x y 42=得，04cos 4sin 22=--ϕϕt t ，∴0sin 4sin cos 4221221<-==+ϕϕϕt t t t ，，∴21,t t 异号，∴382121=+=-=-t t t t BF AF ，∴38sin cos 42=ϕϕ，解得21cos =ϕ或21cos -=ϕ，∵()πϕ，0∈，∴3πϕ=或32πϕ=，∴直线l 的倾斜角为3π或32π.23.解：（1）当1=a 时，()x x x f 21++=，当1-<x 时，不等式()4≤x f 等价于421≤---x x ，解得35-≥x ，则135-<≤-x ；当01≤≤-x 时，不等式()4≤x f 等价于421≤-+x x ，解得3-≥x ，则01≤≤-x ；当0>x 时，不等式()4≤x f 等价于421≤++x x ，解得1≤x ，则10≤<x .综上可得，不等式()4≤x f 的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-135，.（2）若()x f 的最小值为1，则()121≥++=x ax x f 恒成立，即x ax 211->+，分别作出函数()1+=ax y 和x y 21-=的图象，由图分析可知，当22≤≤-a 时，x ax 211->+恒成立.∴实数a 的取值范围是[]2,2-.。

2022年高三12月大联考(全国乙卷)理科数学试题及参考答案

2022年高三12月大联考（全国乙卷）理科数学试题及参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.砸每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{},0322>-+=x x x A {}1-≥=x x B ，则=B A （）A .()∞+，1B .[)∞+-，1C .(]13，-D .[)11，-2.已知()i i z 7432+-=+⋅，i 为虚数单位，则复数z 在复平面内所对应的点的坐标是（）A .()1,1B .()12，C .()2,1D .()2,23.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1674-=+S a ，48a a -=，则=10a （）A .1B .2C .3D .44.已知抛物线C ：x y 42=的焦点为F ，直线1-=kx y 过点F 且与抛物线C 交于B A ,两点，则=AB （）A .8B .6C .2D .45.已知向量()3,1=a ，()4,3-=b ，()2,7=c，则下列结论正确的是（）A .15-=⋅b aB .55=++c b aC .b a +与a的夹角为钝角D .b a +与c 垂直6.将函数()162sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()x g 的图象，则()x g 图象的对称中心可以为（）A .⎪⎭⎫⎝⎛03πB .⎪⎭⎫ ⎝⎛-0125πC .⎪⎭⎫⎝⎛13，πD .⎪⎭⎫ ⎝⎛-1125π7.中国古代“刍童”作为长方棱台（上、下底面均为矩形的棱台）的专用术语.关于计算的描述，《九章算术》中记载：“倍上袤，下袤从之亦倍下袤，上袤从之各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六而一”.即体积计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，所得结果再与上底面的宽相乘：将下底面的长乘二，与上底面的长相加，所得结果再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，所得结果与高相乘，再取其六分之一.按照此算法，如图，现有体积为328的长方棱台1111D C B A ABCD -，其高为2，上底面矩形的长11B A为a 2，宽11D A 为a ，下底面矩形的长AB 为a 4，则该长方棱台的三视图中侧视图的面积为（）A .7B .3C .17D .1938.将2个红球、2个白球、1个绿球放入编号分别为①②③的三个盒子中，其中，两个盒子各放1个球，另外一个盒子放3个球，这5个球除颜色外其他都一样，则不同的放法有（）A .24中B .30种C .62种D .41种9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13+=nn S ，则数列{}2na 的前n 项和为（）A .236-⨯nB .22331++n C .2239+n D .23391-+n 10.若实数y x ,满足()yxyx22244+=+，则1122--+y x 的值可以是（）A .21B .1C .23D .2511.已知e 为自然对数的底数，若()()ea b e b e a ba 122214221-->-+--，且0<a ，则下列结论一定正确的是（）A .322+>b aB .12+>b a C .ab <+32D .eb a +<212.已知圆1C ：31633222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+y x 过双曲线2C ：()0,012222>>=-b a b y a x 的左、右焦点21F F ，，曲线1C 与曲线2C 在第一象限的交点为M ，若1221=⋅MF MF ，则双曲线2C 的离心率为（）A .2B .3C .2D .3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.现从某校2022年高三上学期某次测试成绩中随机抽取部分学生的物理成绩ξ作为样本进行分析，成绩ξ近似服从正态分布()273σ，N ，且()78.077=<ξP ，则()=<<7369ξP .14.()51-x 的展开式中所有有理项的系数之和为.15.已知函数()x f 的导函数()()()m x x m x f -+-='2，若()x f 在m x =处取到极小值，则m 的取值范围是.16.如图，ED 是边长为2的正三角形ABC 的一条中位线，将ADE ∆沿DE 折起，构成四棱锥BCDE F -，若CD EF ⊥，则四棱锥BCDE F -外接球的表面积为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（12分）在ABC ∆中，点D 在边BC 上，2=BD ，4=CD ，AB AC >.（1）若32=AB ，6π=C ，求AD 的长；（2）若32π=∠BAC ，求ACD ∆的面积S 的取值范围.18.（12分）2022年11月12日，在湖北黄石举行的2022年全国乒乓球锦标赛中，樊振东最终以4:2战胜林高远，夺得2022年全国乒乓球锦标赛男子单打冠军.乒乓球单打规则时是首先由发球员合法发球，再由接发球员合法还击，然后两者交替合法还击，胜利者得1分.在一局比赛中，先得11分的一方为胜方，10平后，先多得2分的一方为胜方.甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次合法发球中，得1分的概率为53，乙在一次合法发球中，得1分的概率为52，设在一局比赛中第n 个合法发球出现得分时，甲的累积得分为n a .（假定在每局比赛中双方运动员均为合法发球）（1）求随机变量3a 的分布列及数学期望；（2）求621,,a a a 成等比数列的概率.19.（12分）已知几何体1111D DCC A ABB -为正四棱柱1111D DEE A ABB -沿1DD 和BE 的中点C 截去一个三棱柱后的剩余部分，其中2==BC AB ，如图，平面1CDD 与直线11E B的交点记为1C .（1）过A 点作与平面D BC 1平行的平面α，试确定平面α与11B A 的交点位置，并证明；（2）求二面角B DC A --11的正弦值.20.（12分）已知曲线C 上任意一点()y x P ,满足方程()()4112222=++++-y x y x .（1）求点P 的轨迹方程；（2）如果直线l 交曲线C 于B A ,两点，且0=⋅OB OA ，过原点O 作直线AB 的垂线，垂足为H .判断OH 是否为定值，若是，请求出此定值，若不是，请说明理由.21.（12分）已知函数()x x f cos =，其导函数为()x f '.（1）若对任意0≤x ，()ax x f ≤'恒成立，求实数a 的取值范围；（2）判断函数()()⎪⎭⎫⎝⎛+-=x x f x g 2ln π的零点个数，并证明.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ty tx 211（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为()1sin 1=-θρ.（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 的直角坐标方程；（2）设()1,1M ，曲线1C ，2C 的交点为B A ,，求MB MA ⋅的值.23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()124123---=x x x f .（1）求不等式()2>x f 的解集；（2）若不等式()x k x f ≤恒成立，求实数k 的取值范围.参考答案一、选择题1.A解析：由0322>-+x x ，得1>x 或3-<x ，∴{}31-<>=x x x A 或，又{}1-≥=x x B ，∴()∞+=，1B A .2.C解析：由()i i z 7432+-=+⋅，得()()()()i i i i i ii z 21323232743274+=-+-+-=++-=，∴复数z 在复平面内所对应的点的坐标为()2,1.3.D解析：设等差数列()n a 的公差为d ，由1674-=+S a ，48a a -=，可得：()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⨯+++016217774814a a d a a ，即⎩⎨⎧=+++-=+++0371621731111d a d a d a d a ，解得⎩⎨⎧=-=151d a ，∴()611-=-+=n d n a a n ，则410=a .4.A解析：由题意知抛物线C ：x y 42=的焦点F 的坐标为()0,1，2=p ，又直线1-=kx y 过抛物线C 的焦点()01，F ，∴01=-k ，解得1=k ，∴直线的方程为1-=x y ，由⎩⎨⎧=-=xy x y 412得0162=+-x x ，设()()B B A A y x B y x A ,,，，∴6=+B A x x ，∴826=+=++=p x x AB B A .5.D 解析：∵()3,1=a，()4,3-=b ，∴9123=+-=⋅b a ，A 错误；∵()9,5=++c b a ，∴1068125=+=++c b a，B 错误；∵()019>=⋅+a b a ，∴b a +与a的夹角为锐角，C 错误；由题意，知()7,2-=+b a ，又()2,7=c，∴()0=⋅+c b a ，则b a +与c 垂直，D 正确.6.D解析：由题意得()162sin 1662sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππx x x g ，令Z k k x ∈=-,62ππ，得122ππ+=k x ，Z k ∈，当1-=k 时，125122πππ-=+-=x ，∴⎪⎭⎫⎝⎛-1125π为函数()x g 图象的一个对称中心.7.B 解析：由题意，的长方棱台的体积()()[]()32832822086122284461222==⨯+=⨯⋅++⋅+⨯=a a a a a a a a a V ，∴1=a ，∴该长方棱台的三视图中侧视图为等腰梯形，其上底长为1，下底长为2，高为2，则侧视图的面积为()322121=⨯+⨯=S .8.A解析：第一步，选一个盒子放3个球，则这样的选法有313=C （种）；第二步，假设③号盒子放3个球，若③号盒子放1绿2白或1绿2红，则①②号盒子只有1种放法，若③号盒子放1红1白1绿，则①②号盒子有2种放法，若③号盒子放2红1白或2白1红，则①②号盒子有2种放法.∴，不同的放法有()242221113=++++⨯C （种）.9.C解析：由13+=n n S 得当2≥n 时，1311+=--n n S ，以上两式相减，得132-⨯=n n a ，又当1=n 时，41=a ，∴⎩⎨⎧≥⨯==-2,321,41n n a n n ，∴⎩⎨⎧≥⨯==-2,941,1612n n a n n ，其前n 项和为()2239919941699941121+=--⨯+=+++⨯=+=-n n n n T .10.C 解析：()y x y xyx22222442⋅⋅-+=+，()y xy x 22212211+=+--，设()022>=+t t yx，则由题意得t t yx22222=⋅⋅-，即t t yx22222-=⋅⋅.∵222222220⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅≤⋅⋅<y x yx ，即42022t t t ≤-<，当且仅当yx22=，即1==y x 时等号成立，解得42≤<t ，∴1122--+y x 的取值范围是(]2,1.11.B 解析：由题意，知()()122214212-->-+-+a b e b e a b a，∴()()b eb a e a b a 212124212+->++-+，∴()()beb a e a b a2212122212+-+>++-+∴()[]()()21221222212+++-+>++-+b eb a e a b a，设()()22++-=x e x x f x ，则()()11+-='x e x x f ，李陵()()x f x g '=，则()xxe x g ='，当0<x 时，()0<'x g ，()x f '单调递减，∴()()00='>'f x f ，∴()x f 单调递增，∴()()00=<f x f ；当0>x 时，()0>'x g ，()x f '单调递增，∴()()00='>'f x f ，∴()x f 单调递增，∴()()00=<f x f .∴()()00=<f a f .，∴()()()1220+>>>b f a f a f ，∴()()12+>b f a f ，∴12+>b a .12.C 解析：由题意，知圆1C 的圆心坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3320，，半径334=r ，()()02,0221，，F F -，则421=F F ，在O C F Rt 11∆中（其中O 为坐标原点），∵334332111==F C O C ，，∴︒=∠6011O C F ，∴︒=∠=∠︒=∠602112021121211F C F MF F F C F ，，在21MF F ∆中，由余弦定理得：()221221212221221460cos 2a MF MF MF MF MF MF MF MF F F =+-=︒-+=1612=+，∴1=a ，又2=c ，∴双曲线2C 的离心率为2=e .又11296lg 3125lg 6lg 5lg 5log 45456>==，∴545log 6>=c ，∴c b <.∴c b a <<.二、填空题13.28.0解析：由随机变量ξ服从正态分布()2,73σN ，()78.077=<ξP ，得()()22.06977=≤=≥ξξP P ，∴()28.022.05.07369=-=<<ξP .14.16-解析：由二项式定理，可得()51-x 的展开式通项为()()r rrr x C T 1551-=-+，5,4,3,2,1=r ，当42,05，=-r ，即1,3,5=r 时，1+r T 为有理项，∴所有有理项的系数之和为()()()()16510111115353555-=++-=-+-+-C C C .15.()2,0解析：由题意得0≠m ，当0>m 时，()x f '为图象开口向下的二次函数，若()x f 在m x =处取到极小值，则有20<<m ；当0<m 时，()x f '为图象开口向上的二次函数，若()x f 在m x =处取到极小值，则有2>m ，与0<m 矛盾，不符合题意，故m 的取值范围是()2,0.16.π211解析：由EF BE AE ==得BF AF ⊥，同理CF AF ⊥，又F CF BF = ，∴⊥AF 平面BCF ，如图，取BC 的中点G ，连接AG FG EG ,,，则AC EG ∥，又AC EF ⊥，∴EG EF ⊥，∴在EFG Rt ∆中，2=FG ，在AFG Rt ∆中，122=-=FG AG AF ，∴三棱锥ADE F -为正四面体，设AG 与ED 的交点为M ，易知M 为ED 的中点，连接FM ，则23==MG FM ，在FMG ∆中，由余弦定理得312cos 222-=⋅-+=∠MG FM FG MG FM FMG ，设正三角形EFD 的中心为I ，易知等腰梯形BCDE 的外接圆圆心为BC 的中点G ，设四棱锥BCDE F -外接球的球心为O ，连接OG OI ,，则⊥OI 平面EFD ，⊥OG 平面BCDE ，连接GI ，在MGI ∆中，131236322363cos 222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∠⋅-+=FMG MG MI MG MI GI ，易知I O G M ,,,四点共圆，设四边形MGOI 外接圆的半径为r ，结合正弦定理，得223sin 2=∠==GMI GI r OM ，8322=-=MG OM OG ，设四棱锥BCDE F -外接球的半径为R ，则811831222=+=+=OG BG R，∴四棱锥BCDE F -外接球的表面积为π211.三、解答题17.解：（1）由题意知6=BC ，在ABC ∆中，由余弦定理得C AC BC AC BC AB cos 2222⋅⋅-+=，即236236122⨯⨯⨯-+=AC AC ，即024362=+-AC AC ，解得32=AC 或34=AC ，∵AB AC >，∴34=AC .在ADC ∆中由余弦定理得：C AC DC AC DC AD cos 2222⋅⋅-+=，即1623344248162=⨯⨯⨯-+=AD ，∴4=AD .（2）∵326π=∠=BAC BC ，，∴在ABC ∆中，由正弦定理得34sin sin sin =∠==BACBCB AC C AB ，∴C AB sin 34=，⎪⎭⎫⎝⎛-==C B AC 3sin 34sin 34π，∴C C C AC CD S sin 3sin 34421sin 21⋅⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯=⋅⋅=πC C C C C C 2sin 34cos sin 12sin sin 21cos 2338-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=()3262sin 342cos 21322sin 6-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--=πC C C .又AB AC >，则60π<<C ，∴2626πππ<+<C ，∴162sin 21<⎪⎭⎫ ⎝⎛+<πC ，可得320<<S ，∴ACD ∆的面积S 的取值范围为()32,0.18.解：（1）随机变量3a 的可能取值为0,1,2,3.()12585203033=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C a P ；()12536525312133=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯==C a P ；()12554525322233=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C a P ；()125275333333=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C a P .随机变量3a 的分布列为∴()59125273125542125361125803=⨯+⨯+⨯+⨯=a E .（2）若621a a a ，，成等比数列，则11=a ，当12=a 时，则16=a ，()156259652531,1,15621=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯====a a a P ；当22=a 时，则46=a ，()1562519445253534,2,122242621=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛====C a a a P ∴事件621a a a ，，成等比数列的概率31254081562519441562596=+=P .19.解：（1）由题意，知1C 为11E B 的中点，如图，取11D A 的中点P ，连接AP P C ，1，则1111112C B P A C B P A ∥，==，∴四边形111B PC A 为平行四边形，∴111B A PC ∥，∴AB PC ∥1，又AB PC =1，∴四边形B APC 1为平行四边形，∴1BC AP ∥，又⊄AP 平面D BC 1，⊂1BC 平面D BC 1，∴AP ∥平面D BC 1，连接11D B ，同理可证11D B BD ∥，设11B A 的中点为Q ，连接AQ PQ ,，则11D B PQ ∥，∴BD PQ ∥，又⊄PQ 平面D BC 1，⊂BD 平面D BC 1，∴PQ ∥平面D BC 1，又P PQ AP = ，∴平面APQ ∥平面D BC 1，从而平面APQ 即为平面α，故平面α与11B A 的交点为11B A 的中点Q .（2）以1A 为坐标原点，11111D A B A A A ，，所在的直线分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，如图所示.3a 0123P1258125361255412527则()()()()0,2,222040200011B C D A ，，，，，，，，，，∴()4021，，=D A ，()22011，，=C A ，()420，，-=BD ，()2021，，-=BC .设平面D C A 11的法向量为()1111,,z y x n =，∵⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011111n C A n D A ，∴⎩⎨⎧=+=+022*******z y z x ，令11=y ，∴()1,1,21-=n 即平面D C A 11的一个法向量为()1,1,21-=n.设平面D BC 1的法向量为()2222,,z y x n =，∵⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00212n BC n BD ，∴⎩⎨⎧=+-=+-022*******z x z y ，令12=x ，∴()1,2,12=n ，∴平面D BC 1的一个法向量为()1,2,12=n.∴21663,cos 212121=⨯=⋅=n n n n n n.设二面角B DC A --11的大小为θ，则23211sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛-=θ，∴二面角B DC A --11的正弦值为23.20.解：（1）由题意知，点P 的轨迹是椭圆，设椭圆的标准方程为()012222>>=+b a b y a x ，且12==c a ，，∴32=b ，∴点P 的轨迹方程为13422=+y x .（2）当直线l 的斜率不存在时，0=⋅OB OA ，不妨设点A 在第一象限，易得⎪⎪⎭⎫⎝⎛72127212，A ，∴7212=OH .当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：m kx y +=，且与曲线C 的交点分别为()()2211,,y x B y x A ，，联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 13422，化简得()0124843222=-+++m kmx x k ，∴()0434822>-+=∆mk ，即2243k m+<，且222122143124438k m x x k km x x +-=+-=+，，由此可得2222143123k k m y y +-=，又0=⋅OB OA ，∴0431********22222121=+-++-=+k k m k m y y x x ，即01212722=--k m ，∴()222431712k k m +<+=，则721271212==+=km OH ，综上，OH 为定值7212.21.解：（1）由()x x f cos =可得()x x f sin -='，令()()ax x ax x f x h --=-'=sin ，则()a x x h --='cos .当1-≤a 时，()0cos 1≥-≥'x x h ，()x h 在(]0，∞-上单调递增，故()()00=≤h x h ，符合题意；当1≥a 时，()0cos 1≤--≤'x x h ，()x h 在(]0，∞-上单调递减，故()()00=≥h x h ，不符合题意；当11<<-a 时，方程()0='x h 在(]0，∞-上有无数个解，记其中最大的负数解为0x ，则当()0,0x x ∈时，()0<'x h ，故()()00=>h x h ，不符合题意.综上，1-≤a ，即实数a 的取值范围为(]1，∞-.（2）()⎪⎭⎫⎝⎛+-=x x x g 2ln cos π的定义域为⎪⎭⎫⎝⎛∞+-2π，①当⎪⎭⎫⎝⎛∞+∈2πx 时，1cos ≤x ，1ln 2ln >>⎪⎭⎫⎝⎛+ππx ，∴()0<x g ，此时函数()x g 无零点.②当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，()021sin <+--='xx x g π，()x g 在⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上单调递减，∵()02ln10>-=πg ，0ln 02<-=⎪⎭⎫⎝⎛ππg ，∴函数()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有且仅有1个零点.③当⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈0,2πx 时，令()2ln 22ln πππ--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x p ，则()022221>⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+='ππππx xx x p ，∴()x p 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2π上单调递增，故()()00=<p x p ，即2ln 22ln πππ+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x .令()2ln 2cos ππ--=x x x q ，⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πx ，则()π2sin --='x x q ，令()π2sin --=x x n ，⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πx ，则()0cos <-='x x n ，可得()x n 在⎪⎭⎫⎝⎛-0,2π上单调递减，又02>⎪⎭⎫ ⎝⎛-πn ，()00<n ，故存在⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,20πx 使()00=x n ，则存在⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,20πx ，使得()00='x q ，且当⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,20πx 时，()00>'x q ，()x q 单调递增，当()0,0x x ∈时，()00<'x q ，()x q 单调递减，又()02ln 102>-==⎪⎭⎫⎝⎛-ππq q ，∴当02<<-x π时，()0>x q ，即2ln 2cos ππ+>x x ，∴⎪⎭⎫⎝⎛+>x x 2ln cos π，即当⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πx 时，()0>x g ，∴()⎪⎭⎫⎝⎛+-=x x x g 2ln cos π在⎪⎭⎫⎝⎛-0,2π上无零点.综上，函数()x g 有1个零点.（二）选考题22.解：（1）∵曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=②，①t y t x 21,1，则①-⨯2②，得122-=-y x ，∴曲线1C 的普通方程为：0212=-+-y .由()1sin 1=-θρ得1sin +=θρρ，两边同时平方得1sin 2sin 222++=θρθρρ，将y =θρsin ，222y x +=ρ代入上式，得12222++=+y y y x ，化简得122+=y x ，∴曲线2C 的直角坐标方程为21212-=x y .（2）将曲线1C 的参数方程化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+='+=t y t x 361331，代入21212-=x y 得()0662322=-'-+'t t ，设B A ,两点对应的参数分别为21t t ''，，则621-=''t t .∴621='⋅'=⋅t t MB MA .23.解：()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤+-<=4,43,2473,x x x x x x x f ，（1）①当3<x 时，2>x ，即32<<x ；②当43≤≤x 时，2247>+-x ，解得722<x ，即7223≤≤x ；③当4>x 时，2>-x ，解得2-<x ，则()2>x f 无解.综上所述，不等式()2>x f 的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛7222，.（2）①当0=x 时，显然成立；②当0≠x 时，不等式()x k x f ≤可化为xx xx x k 124123124123---=---≥.又1124123124123=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤---x x x x ，当且仅当0124123≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 且xx 124123->-时等号成立，∴实数k 的取值范围为[)∞+，1.。

高三数学12月联考试题理(含解析)

天一大联考20１7-２０18学年高中毕业班时期性测试(三)数学(理科)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分、在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的、1。

已知集合,,则( )A、Ｂ。

Ｃ。

D、【答案】A【解析】由题意得,因此。

选A。

２、已知是虚数单位,若复数为纯虚数(,),则( )A、 B。

C、Ｄ、【答案】A【解析】由题意得为纯虚数,因此,故。

因此、选A。

3、如图是一边长为８的正方形苗圃图案,中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心,圆与圆之间是相切的,且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍、若在正方形图案上随机取一点,则该点取自白色区域的概率为( )Ａ。

Ｂ、C。

D。

【答案】Ｄ【解析】由题意得正方形的内切圆的半径为４,中间黑色大圆的半径为2,黑色小圆的半径为1,因此白色区域的面积为,由几何概型概率公式可得所求概率为。

选Ｄ。

４。

已知函数()的最小值为２,则实数( )A。

2 Ｂ、４ C、 8 D、 16【答案】B【解析】由得,故函数的定义域为,易知函数在上单调递增,因此,解得。

选Ｂ。

５、已知数列满足,,,则数列前项的和等于( )A、 162B、 182C、 234D、346【答案】B【解析】由条件得,因此,因此数列为等差数列、又,,因此。

故。

选B。

点睛:在等差数列项与和的综合运算中,要注意数列性质的灵活应用,如在等差数列中项的下标和的性质,即:若,则与前n项和公式经常结合在一起运用,采纳整体代换的思想,以简化解题过程、6。

用,,…,表示某培训班10名学员的成绩,其成绩依次为８５,６8,95,7５,88,9２,９0,80,78,８7、执行如图所示的程序框图,若分别输入的10个值,则输出的的值为( )A、 B、 C、 D、【答案】Ｃ、。

、、、、、。

、。

、、、、、、、。

、。

、7。

如图画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A、１6B、 32 Ｃ。

４8 D。

高三数学下学期毕业班联考试卷一理含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校十二重点2021届高三下学期毕业班联考〔一〕数学〔理〕试题本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部.一共150分.考试时间是是120分钟．第一卷选择题(一共40分)本卷须知：2．第一卷每一小题在选出答案以后，需要用2B铅笔把答题卡上对应之答案标号涂黑；参考公式：·假设事件、互斥，那么柱体的体积公式.其中表示柱体的底面积,表示柱体的高.一、选择题：本大题一一共8小题，每一小题5分，总分值是40分．1.集合等于〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出M中y的范围确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出M与N的交集即可．【详解】由y=ln(x2+1)⩾0，得到M=[0，+∞)，由N中2x<4=22，得到x<2，即N= (−∞,2)，那么M∩N=[0，2)，应选：C【点睛】此题考察了交集及其运算，纯熟掌握交集的定义是解此题的关键．2.设变量满足约束条件{x−y+1≤02x+3y−6≥03x−2y+6≥0，那么目的函数z=x−2y的最大值为〔〕A.−6639B.−135C.−2D.2【答案】B 【解析】【分析】先作出不等式对应的可行域，再利用数形结合分析得到目的函数z =x −2y 的最大值. 【详解】作出不等式组的可行域如下列图，由题得目的函数为y =12x −z2，直线的斜率为12，纵截距为−z2，当目的函数经过点A(35,85)时，纵截距−z2最小，z 最大.所以z max =35−2⋅85=−135. 故答案为：B【点睛】此题主要考察线性规划求最值，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和数形结合分析推理才能. 3.p ：∀x ∈R,x 2+x <0，那么¬p ：∃x ∈R,x 2+x >0； p ：|2x −1|≤1q ：11−x >0，那么p 是q 成立的充分不必要条件；③在等比数列{b n }中，假设b 5=2，b 9=8，那么b 7=±4； ) A.0 B.1C.2D.3【答案】A 【解析】【分析】 .【详解】p ：∀x ∈R,x 2+x <0，那么¬p ：∃x ∈R,x 2+x ≥0pq ：x ＜1，那么p 是q③在等比数列{b n }中，假设b 5=2，b 9=8，那么b 7=±4，但是等比数列的奇数项都是同号的，所以要舍去-4,所以b 7=4 应选:A 【点睛】.4.如图是一个算法流程图，那么输出的k 的值是() A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B 【解析】【分析】分析程序中的变量，语句的作用，根据流程图的顺序，即可得出答案. 【详解】由题意提供的算法流程图中的算法程序可知当S=1，k=1时，S=2<10，k=2；当S=2，k=2时，S=6<10，k=3；当S=6，k=3时，S=15>10，此时运算程序完毕，输出k=3 应选B.【点睛】此题主要考察了程序框图，属于简单题. 5.将函数y =cos （2x −π6）的图象向左平移φ(0<φ<π)的单位后，得到函数y =cos(2x +π3)的图象，那么φ等于〔〕 A.π3B.π6C.π2D.π4【解析】【分析】将函数y=cos（2x−π6）的图象向左平移φ(0<φ<π)的单位后，得到函数y=cos[2(x+φ)−π6]=cos（2x+2φ−π6）,所以2φ−π6=2kπ+π3,k∈z，解之即得解.【详解】将函数y=cos（2x−π6）的图象向左平移φ(0<φ<π)的单位后，得到函数y=cos[2(x+φ)−π6]=cos（2x+2φ−π6）,所以2φ−π6=2kπ+π3,k∈z，因为0<φ<π，所以k=0时，φ=π4.应选：D【点睛】此题主要考察三角函数图像的变换和三角函数的图像和性质，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.6.a=log130.60.3,b=log1214,c=log130.50.4,那么实数a,b,c的大小关系为〔〕A.c<a<bB.b<a<cC.a<c<bD.c<b< a【答案】C【解析】【分析】先化简得到b=2,再分析得到a<c,再证明c<2，即得解.【详解】由题得b=log1214=2，因为0.60.3>0.60.4>0.50.4，∴log130.60.3<log130.50.4，log130.50.4=0.4log130.5<0.4log1313=0.4，所以a<c<b.【点睛】此题主要考察对数函数指数函数幂函数的图像和性质，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能. 7.双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，过原点的直线与双曲线交于A,B 两点，以AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C ，假设ΔABC 的面积为2a 2，那么双曲线的渐近线方程为〔〕 A.y =±√22xB.y =±√2xC.y =±√33xD.y =±√3x【答案】B 【解析】【分析】根据以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点C ，得到以AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2=c 2，根据三角形的面积求出B 的坐标，代入双曲线方程进展整理即可得解．【详解】∵以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点C ，∴以AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2=c 2，由对称性知ΔABC 的面积S =2S ΔOBC =2×12cℎ=cℎ=2a 2，即ℎ=2a 2c，即B 点的纵坐标为y =2a 2c，那么由x 2+(2a 2c)2=c 2，得x 2=c 2−(2a 2c)2=c 2−4a 4c 2，因为点B 在双曲线上，那么c 2−4a 4c 2a 2−4a 4c 2b 2=1，即c 2a 2−4a 2c 2−4a 4c 2(c 2−a 2)=1，即c 2a 2−4a 2c 2(1+a 2c 2−a 2)=1，即c 2a 2−4a 2c 2·c 2c 2−a 2=1，即c2a2−4a2c2−a2=1，即c2a2−1=4a2c2−a2=c2−a2a2，得4a4=(c2−a2)2，即2a2=c2−a2，得3a2=c2，得c=√3a，b=√2a.那么双曲线的渐近线方程为y=±bax=±√2x.应选：B【点睛】此题主要考察双曲线的几何性质，考察圆的方程，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理计算才能.8.函数f(x)={|log3(2−x)|,x<2−(x−3)2+2,x≥2，g(x)=x+1x−1，那么方程f(g(x))=a的实根个数最多为〔〕A.6B.7C.8D.9【答案】C【解析】【分析】先求出函数g(x)的值域，再令g(x)=t换元得到f(t)=a,作出函数f(x)的图像，数形结合观查分析得到方程f(g(x))=a的实根个数最多为8.【详解】由题得函数g(x)=x+1x−1的值域为[1,+∞)∪(−∞,−3]，设g〔x〕=t(t∈[1,+∞)∪(−∞,−3]),作出函数f(x)的图像为：所以f(t)=a,当1≤a≤2时，直线和图像交点个数最多，有四个交点，也就是t有四个实根.且一个t≤-1，有三个t＞1.因为函数g(x)=x +1x−1在〔0,1〕〔-1,0〕单调递减，在〔1，+∞〕，〔-∞，-1〕单调递增. 所以g(x)=t,当t 在[1,+∞)∪(−∞,−3]每取一个t 值时，x 都有两个值和它对应，因为t 最多有4个根，所以x 最多有8个解. 应选:C【点睛】此题主要考察函数的图像和性质的综合应用，考察利用函数的图像研究零点问题，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和数形结合分析推理才能.第二卷非选择题(一共110分)二、填空题：本大题一一共6小题，每一小题5分，一共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9.假设z =1+2i ，且(a +bi)⋅z =8−i ，那么a ⋅b =__________．【答案】6 【解析】【分析】先化简得{a +2b =8b −2a =−1，解方程即得a,b 的值，即得解.【详解】由题得〔a+bi 〕(1-2i)=8-i,化简得a+2b+(b-2a)i=8-i, 即{a +2b =8b −2a =−1,∴a =2,b =3,∴a ⋅b =6.故答案为：6【点睛】此题主要考察复数的运算和复数相等的概念，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.10.a =∫sinxdx π0，那么(ax +√x)5的二项展开式中，x 2的系数为__________．【答案】80 【解析】【分析】由题得a=2,再利用二项式展开式的通项求出x2的系数.【详解】由题得a=(−cosx)|0π=2，所以(ax+√x )5=(2x+√x)5，设二项式展开式的通项为T r+1=C5r(2x)5−r(√x)r=C5r⋅25−r x5−32r，令5−32r=2,∴r=2,所以x2的系数为C5223=80.故答案为：80【点睛】此题主要考察定积分的计算和二项式展开式的某一项的系数的求法，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理计算才能.11.圆柱的高和底面半径均为2，那么该圆柱的外接球的外表积为_____________．【答案】20π【解析】【分析】设球的半径为r,由题得r2=12+22，再求圆柱外接球的外表积.【详解】设球的半径为r,由题得r2=12+22=5，∴S球=4π⋅5=20π.故答案为：20π【点睛】此题主要考察圆柱外接球外表积的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.12.直线：{x=aty=1−2t〔为参数〕，圆C：ρ=−4√2sin(θ+3π4)〔极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度一样〕，假设圆C上恰有三个点到直线的间隔为√2，那么实数a=__________．【答案】−4±2√6【解析】【分析】先求出直线的普通方程为2x+ay-a=0,再求出圆的方程为（x +2)2+(y −2)2=8，根据得到方程√4a 2=√2，解方程即得a 的值.【详解】由题得直线的方程为2x+ay-a=0,圆的方程为（x +2)2+(y −2)2=8，因为圆C 上恰有三个点到直线的间隔为√2，所以√4a 2=√2，解之即得a=−4±2√6. 故答案为：−4±2√6【点睛】此题主要考察参数方程、极坐标与直角坐标的互化，考察直线和圆的位置关系，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.13.x >0，y >0，√2是2x 与4y 的等比中项，那么1x +xy 的最小值为__________．【答案】2√2+1 【解析】【分析】先由得到x+2y=1,再对1x+xy 化简变形，再利用根本不等式求其最小值.【详解】由题得2x ⋅4y =2,∴2x+2y =2,∴x +2y =1. 所以1x +x y =x+2yx+x y =1+2y x+x y ≥1+2√2y x ⋅xy =1+2√2.当且仅当x =√2−1,y =2−√22时取等.所以1x +xy 的最小值为2√2+1. 故答案为：2√2+1 【点睛】此题主要考察根本不等式求最值，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能. 14.在等腰梯形ABCD 中，下底AB 长为4，底角A 为45∘，高为m ，Q 为折线段B −C −D 上的动点，AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =2AE ⃑⃑⃑⃑⃑ 设AE⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AQ ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最小值为f (m )，假设关于m 的方程f (m )=km −3有两个不相等的实根，那么实数k 的取值范围为__________．【答案】(2√3+2,112)【解析】【分析】建立直角坐标系，其中A(0,0),B(4,0),C(4-m,m),D(m,m),先对Q 的位置分类讨论得到f(m)=m 2+2m ，根据得到k =m +3m +2有两个不相等的实根，再利用导数和数形结合求得k 的取值范围.【详解】建立坐标系，其中A(0,0),B(4,0),C(4-m,m),D(m,m),所以AC⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(4，2m)=2(2,m)=2AE ⃑⃑⃑⃑⃑ , 所以点E(2，m),且0＜m ＜2，又动点Q 为折线上B-C-D 上的点， ①Q 在CD 上时，Q(x Q ,m)，m ≤x Q ≤4−m,AE⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AQ ⃑⃑⃑⃑⃑ =m 2+2x Q ≥m 2+2m ， ②Q 在BC 上时，Q(x Q ,4-x Q )，4-m ≤x Q ≤4,AE⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AQ ⃑⃑⃑⃑⃑ =4m +(2−m)x Q ≥4m +(2−m)(4−m)=m 2−2m +8，因为0＜m ＜2，所以m 2+2m <m 2−2m +8，∴f(m)=m 2+2m . 因为f (m )=km −3，所以k =m +3m+2，构造函数g(m)=m +3m+2(0<m <2)，函数在（0，√3）单调递减，在（√3，2）单调递增.所以g(√3)<k <g(2)，即k∈(2√3+2,112).故答案为：(2√3+2,112)【点睛】此题主要考察平面向量的坐标运算和数量积，考察导数求函数的单调性，考察导数研究函数的零点问题，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.三、解答题：本大题6小题，一共80分．解容许写出必要的文字说明，证明过程或者演算步骤． 15.在ΔABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，2b(2b −c)cosA =a 2+b 2−c 2. 〔Ⅰ〕求角A 的大小；〔Ⅱ〕假设ΔABC的面积SΔABC=25√34，且a=5，求b+c.【答案】〔Ⅰ〕A=π3；〔Ⅱ〕10.【解析】【分析】〔Ⅰ〕利用余弦定理正弦定理对2b(2b−c)cosA=a2+b2−c2化简即得A=π3.〔Ⅱ〕先化简SΔABC=25√34得到bc=25,再利用余弦定理求得b2+c2=50，再求b+c的值.【详解】〔Ⅰ〕∵2b(2b−c)cosA=a2+b2−c2∴2b(2b−c)cosA2ab =a2+b2−c22ab，∴(2b−c)cosA=acosC，由正弦定理得∴(2sinB−sinC)cosA=sinAcosC，即∴2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC∴2sinBcosA=sinB，∵0<B<π∴sinB≠0，∴cosA=12,∵0<A<π∴A=π3.〔Ⅱ〕∵SΔABC=12bcsinA=25√34,∴bc=25,∵cosA=b2+c2−a22bc =b2+c2−252×25=12,∴b2+c2=50,∴(b+c)2=b2+c2+2bc=100,即b+c=10.【点睛】此题主要考察正弦定理余弦定理解三角形，考察三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.16.“绿水青山就是金山银山〞，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习。

2023年高三5月大联考(全国乙卷)理科数学试题及参考答案

2023届高三5月大联考（全国乙卷）理科数学试题及参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}022<--=x x x M ，{}012>+∈=x Z x N ，则=N M （）A .⎥⎦⎤ ⎝⎛-2321，B .⎥⎦⎤ ⎝⎛-121C .{}2,1,0D .{}1,02.在复平面内，设复数21,z z 对应的点分别为()()1,12021-Z Z ，，，则=21z z （）A .2B .3C .2D .13.映射由德国数学家戴德金在1887年提出，曾被称为“基础数学中最为美妙的灵魂”，在计算机科学、数学以及生活的方方面面都有重要的应用.例如，在新高考中，不同选考科目的原始分要利用赋分原则，映射到相应的赋分区间内，转换成对应的赋分后再计入总分.下面是某省选考科目的赋分规则：若小华选考政治的原始分为82，对应等级A，且等级A 的原始分期间为[81,87]，则小华的政治成绩对应的赋分为（）A .91B .92C .93D .94等级原始分占比赋分区间A 3%[91，100]B+7%[81，90]B 16%[71，80]C+24%[61，70]C 24%[51，60]D+16%[41，50]D 7%[31，40]E3%[21，30]4.已知不共线的平面向量b a ,满足a b 2=，()a b a⊥+，则平面向量b a ,的夹角为（）A.6πB .3πC .2πD .32π5.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-≤--010201y x y x y x ，则y x z +=2的最大值为（）A .1B .2C .3D .316.学校安排老师到小区对指定的学生进行家访.甲、乙两位老师被安排从A,B,C,D,E 五个小区中各选两个小区进行家访，且甲、乙两位老师选择的小区最多可以有一个相同.若甲必须去A 小区，则甲、乙两位老师不同的安排方法有（）A .48种B .36种C .32种D .24种7.已知函数()x f 在[]2,2-上的图象如图所示，则()x f 的解析式可能是（）A .()x e x f --=22B .()22--=x x x fC .()xex x f -=22D .()()122ln 2-+-=x x x f 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体各个面中，面积最大的面的面积为（）A .28B .36C .64D .89.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，84=a ，3612=S ，则满足n n a S >的正整数n 的最大值为（）A .16B .15C .12D .810.已知椭圆C ：()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，O 为坐标原点，点P在椭圆C 上且位于第一象限，直线PO 与椭圆C 的另一个交点为A ，直线2PF 与椭圆C 的另一个交点为B .若直线AB 平行于x 轴，且213PF PF =，则椭圆C 的离心率为（）A .21B .22C .23D .4211.已知函数()()ϕω+=x x f cos 2()00<<->ϕπω，，()30=f ，且()x f 在[]π,0上有且只有三个极值点，则下列说法不正确的个数是（）①存在ω值，使得函数()x f 在[]π,0上有两个极小值点；②ω的取值范围为⎦⎤⎝⎛619613，；③函数()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛50π，上单调递增；④若Z ∈ω，则函数()x f 图象的一个对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛092π.A .1B .2C .3D .412.已知正三棱锥ABC S -的底面ABC ∆的中心为O ，M 为棱SC 的中点，⊥OG 平面SAC ，且GM AG 2=.若MAB ∆的面积为6，则正三棱锥ABC S -外接球的表面积为（）A .π12B .π64C .π26D .π8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线xxy ln =在1=x 处的切线方程为.14.若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，222341+==S a a ，，则等比数列{}n a 的公比为.15.在立德学校举办的春季运动会上，甲、乙两位教师进行某项比赛，采取七局四胜制（当一人赢得四局时就获胜，比赛结束）.根据甲、乙两人多次比赛的成绩统计，每局甲获胜的概率为32，乙获胜的概率为31.设各局比赛结果相互独立，则乙在第一局负的情况下获胜的概率是.16.已知双曲线C ：()0,012222>>=-b a b y a x 的焦距为c 2，过双曲线C 的左焦点F 作圆M ：04222=+++b cx y x 的切线，切点为B ，该切线交双曲线C 的右支于点A ，若FB F A 4=,则双曲线C 的离心率为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（12分）在ABC ∆中，交C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且A c C a Cb cos cos 32cos 22+=.（1）若2π≠C ，求a b的值；（2）若32π=C ,ABC ∆的面积为23，求c 的值.18.（12分）如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，AB AA 21=，G F E ,,分别为棱BC DD AD ，，1的中点，M 为线段G D 1上一点.（1）求证：∥AM 平面CEF ；（2）当12MD GM =时，求二面角C EF M --的正弦值.19.（12分）已知抛物线C ：()022>=p px y ，M 是其准线与x 轴的交点，过点M 的直线l 与抛物线C 交于B A ,两点，当点A 的坐标为()0,4y 时，有BA MB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）设点A 关于x 轴的对称点为点P ，证明：直线BP 过定点，并求出该定点坐标.20.（12分）已知函数()0ln 12≠--=a x a x ex f ，.（1）求函数()x f 的单调区间；（2）当1=a 时，若关于x 的方程()m x f =（m 为实数）有两个不相等的实数根21,x x ，且21x x <，求证：()112+<-m e x x .21.（12分）某公司生产B A ,两种型号的盲盒，每一种型号的盲盒又12款形态各异的玩偶，买家拆封之前，不知道盲盒里玩偶的款式.（1）小明看中了A 型号盲盒，12款玩偶中有2款他特别喜欢，1款他不喜欢，另有3款他已经拥有.小明从中随机购买2款，若他购买到1宽他特别喜欢的玩偶，积3分；购买到1款他不喜欢的玩偶，积-3分；购买到1款他已经拥有的玩偶，积-1分；购买到1款其他款式的玩偶，积1分.记X 表示小明购买的2款玩偶的总积分，求X 的分布列和数学期望；（2）五一前，该公司推出D C ,两种新型号盲盒，现规定每一名爱好者一次只能购买其中一种型号的盲盒.据统计，爱好者第一次购买D C ,两种型号盲盒的概率都是21.如果上次购买C 型号盲盒，则这次购买C 型号盲盒的概率为32，购买D 型号盲盒的概率为31；如果上次购买D 型号盲盒，那么这次购买D C ,型号盲盒的概率都为21.如此重复，设一名爱好者第n 次购买C 型号盲盒的概率为n P .（1）求n P ；（2）如果这名爱好者长期购买D C ,型号盲盒，试判断该爱好者购买C 型号盲盒的概率能否达到53.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+==ααsin 21cos t y t x （t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 22πθρ.（1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点P 的直角坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛210，，若直线l 与曲线C 交于N M ,两点，求PN PM -的最大值.23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知c b a ,,都是正实数..（1）若1=ac ，求证：()()b c b b a 4≥++；（2）若1112121=++++cb a ，求c b a ++的最小值.参考答案一、选择题1.D解析：由已知得{}21<<-=x x M ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧->∈=21x Z x N ，∴=N M {}1,0.2.C解析：由题意，知i z 21=，i z -=12，∴i i i z z +-=-=11221，∴221=z z .3.C解析：根据赋分公式得9110081828287--=--T T，解得935.92≈=T .4.D 解析：设向量b a ,的夹角为θ，∵()a b a ⊥+，∴()0=⋅+a b a ，即2a b a -=⋅，∴2cos a b a -=⋅θ ,∴212cos 22-=⋅-=⋅-=a a a b a aθ.∵[]πθ，0∈，∴向量b a ,的夹角为32π.5.B 解析：作出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-≤--010201y x y x y x 所表示的平面区域如图中阴影部分所示.由y x z +=2得z x y +-=2.作出直线x y 2-=，然后平移该直线，当直线经过点()01，A 时，z 取得最大值，即2012max =+⨯=z .6.B解析：（1）若甲、乙两位老师选择的家访小区完全不同，则有2314C C 种安排方法.（2）若甲、乙两位老师选择的家访小区有一个相同：①若甲、乙两位老师选择了A 小区，则有24A 种安排方法；②若甲、乙两位老师选择的相同小区不是A 小区，则有1314C C 种安排方法.综上，甲、乙两位老师不同的安排方法有361314242314=++C C A C C 种.7.C解析：由题图知函数()x f 的图象关于y 轴对称，∴函数是偶函数，故排除A；对于B，()⎪⎩⎪⎨⎧<-+≥--=0,20,222x x x x x x x f ，虽然函数()x f 为偶函数且在⎪⎭⎫⎝⎛210，上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛221上单调递增，但()02=f ，与图象不吻合，排除B；对于D，∵()()()x f x x x f -=-+-=122ln 2，∴函数()x f 是偶函数，但()012ln 2<-=f ，与图象不吻合，排除D；对于C，函数()x f 为偶函数，图象关于y 轴对称，下面只分析y 轴右侧部分.当()+∞∈,0x 时，()xe x xf -=22，()xe x xf -='4，令()xe x x -=4ϕ，求导得()xe x -='4ϕ.当()4ln ,0∈x 时，()0>'x ϕ，()x f '单调递增，当()2,4ln ∈x 时，()0<'x ϕ，()x f '单调递减，∴()x f '在4ln =x 处取得最大值.又∵()00<'f ，()04ln >'f ，()02>'f ，∴()4ln ,00∈∃x ，使得()00='x f ,当()0,0x x ∈时，()0<'x f ，()x f 为减函数，当()2,0x x ∈时，()0>'x f ，()x f 为增函数，与图象吻合，故选C.8.A解析：如图，在棱长为4的正方体中，C 为棱的中点，三棱锥BCD A -即为该几何体.其中ABD ∆为直角三角形，BD AB BD AB ⊥==，，424，∴其面积为2824421=⨯⨯；BCD ∆为等腰三角形，4==BD CD BC ，，点C 到边BD 的距离为4，∴其面积为84421=⨯⨯；ABC ∆为等腰三角形，2452===AB AC BC ，，∴点C 到边AB 的距离为32，∴其面积为64243221=⨯⨯；ACD ∆为等腰三角形，3452===AD CD AC ，，∴点C 到边AD 的距离为22，∴其面积为64243221=⨯⨯；综上，该几何体各个面中面积最大的面为ABD ∆，其面积为28.9.B解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧=+=+3666128311d a d a ，解得⎩⎨⎧-==2141d a ，∴n n S n a n n 152162+-=-=，.由n n a S >得n n n 216152->+-，即016172<+-n n ，解得161<<n ，∴正整数n 的最大值为15.10.B 解析：由椭圆的对称性，知点A 与点P 关于原点对称.∵直线AB 平行于x 轴，∴点B 与点A 关于y 轴对称，∴点P 与点B 关于x 轴对称，即2PF ⊥x 轴，∴a b PF 22=.又213PF PF =，∴a b PF 213=.又a PF PF 221=+，∴a b a b a 2232+=，即2122=a b ，∴椭圆C 的离心率22122=-==ab ac e .11.C 解析：∵()30=f ，∴23cos =ϕ.∵0<<-ϕπ，∴6πϕ-=.当[]π,0∈x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈-6,66πωπππωx ，∵()x f 在[]π,0上有且只有三个极值点，∴ππωππ362<-≤得619613<≤ω，∴根据图象可以判断，()x f 在[]π,0上有两个极大值点，一个极小值点，∴①错误，②错误；当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈5,0πx 时，6566ππωπωππ-<-≤-，显然065>-ππω，不符合题意∴③错误；由Z ∈ω得3=ω，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=63cos 2πx x f ，令Z k k x ∈+=-，263πππ，得Z k k x ∈+=，923ππ，当0=k 时，92π=x ，∴④正确.故选C.12.A 解析：如图，连接SG 并延长交AC 于点D ，连接BD ∵GM AG 2=，∴M G A ,,三点共线，且GM AG 2=.又∵AM 为SAC ∆的中线，∴G 为SAC ∆的重心，∴D 为AC 的中点，且GD SG 2=.又O 为正三角形ABC 的中心，∴B O D ,,三点共线，且OD BO 2=，∴BS OG ∥，且BS OG 31=，∵⊥OG 平面SAC ，∴⊥SB 平面SAC ，∴SA BS SC BS ⊥⊥，.又∵三棱锥ABC S -为正三棱锥，∴SA SC ⊥.设a SA 2=，则a MB MA a AB 522===，.在MAB ∆中，512cos 222=⋅⋅-+=∠MB MA AB MB MA AMB ，∴562sin =∠AMB ，∴265625521sin 21a a a AMB MB MA S MAB =⋅⋅⋅=∠⋅⋅⋅=∆，即662=a ，解得1=a .由SB SA SB SC SA SC ⊥⊥⊥，，,且2===SC SB SA ，知正三棱锥ABC S -的外接球即是棱长为2的正方体的外接球，棱长为2的正方体的体对角线长32即为外接球的直径，∴正三棱锥ABC S -的外接球的半径3=R ，表面积为ππ1242=R .二、填空题13.01=--y x 解析：2ln 1xxy -='，当1=x 时，1='y .又当1=x 时，0=y ，∴曲线xxy ln =在1=x 处的切线方程为1-=x y ，即01=--y x .14.3解析：设等比数列{}n a 的公比为q ，由2234+=S a 得()22211131+++=qa q a a q a .又21=a，∴032223=---q q q ，即0323223=--+-q q q q ，∴()()0132=++-q q q ，解得3=q .15.72973解析：由题意，乙在第一局负的情况下获胜，则乙还需要胜四局比赛.若再比赛四局乙获胜，则概率为811314=⎪⎭⎫⎝⎛，若再比赛五局乙获胜，则概率为24383132414=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯C ，若再比赛六局乙获胜，则概率为7294031324225=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯C .综上，一在第一局负的情况下获胜的概率是72973729402438811=++.16.5解析：圆M ：04222=+++b cx y x 可化为42222a y c x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛+，∴圆心为⎪⎭⎫⎝⎛-0,2c M ，半径2a r =.连接BM ，则AF BM ⊥.设双曲线C 的离心率为e ，右焦点为F '，连接F A '.∵c F F c FM 22='=，，∴41='F F FM .又FB F A 4=,∴41=F AFB ，∴F AFBF F FM ='，∴A F MB '∥，∴a MB A F 24=='，︒='∠90AF F ，即AF F A ⊥'.根据双曲线的定义，得a a A F F A 42=+'=.在F AF Rt '∆中，由勾股定理得222F F A F F A'='+，∴()()()222224c a a =+，即225c a =，∴5222==e ac ，∴双曲线C 的离心率为5.三、解答题（一）必考题：共60分17.解：（1）由A c C a Cb cos cos 32cos22+=得()A c C a C b cos cos 3cos 1+=+.由正弦定理得：()A C C A C B cos sin cos sin 3cos 1sin +=+,∴()C A C A C B B ++=+sin cos sin 2cos sin sin ,∵()B C A sin sin =+，∴C A C B cos sin 2cos sin =.∵2π≠C ，∴0cos ≠C ，∴A B sin 2sin =，∴a b 2=，∴2=ab.（2）由（1）知a b 2=.∵32π=C ,ABC ∆的面积为23，∴232332sin 212==a ab π，解得12=a ，即1=a ，∴22==a b .由余弦定理得724132cos2222=++=-+=πab b a c ，∴7=c .18.解：（1）如图，连接AG AD ，1，∵F E ,分别为棱1DD AD ，的中点，∴EF AD ∥1.∵⊄1AD 平面CEF ，⊂EF 平面CEF ，∴1AD ∥平面CEF ，∵BC AD ∥，且BC AD =，G E ,分别为棱BC AD ，的中点，∴CG AE ∥且CG AE =，∴四边形AECG 为平行四边形，∴CE AG ∥.∵⊄AG 平面CEF ，⊂CE 平面CEF ，∴AG ∥平面CEF .又∵A AG AD = 1，⊂AG AD ,1平面G AD 1，∴平面G AD 1∥平面CEF .∵⊂AM 平面G AD 1，∴∥AM 平面CEF .（2）如图，以1,,DD DC F A 所在的直线分别为z y x ,,轴建立如图所示的空间直角坐标系.设()c b a M DA ,,2，=，则()()()020021001，，，，，，，，C G E ，()()4002001，，，，，D F .∵12MD GM =，∴132GD GM =，即()()4,2,132,2,1--=--c b a ，解得383231===c b a ，，，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛38,32,31M ，∴()()⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=32323138,32,32220021，，，，，，，，，FM EM FC EC .设平面MEF 的法向量为()1111,,z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n FM n EM ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++-03232310383232111111z y x z y x ，令11=z ，则2211-==y x ，，∴平面MEF 的一个法向量为()1,2,21-=n.设平面CEF 的法向量为()2222,,z y x n =，在⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n FC n EC ，∴⎩⎨⎧=-=+-022022222z y y x ，令12=y ，则1222==z x ，，∴平面CEF 的一个法向量为()1,1,22=n.∴66633,cos 212121==⋅=n n n n n n.设二面角C EF M --的平面角为θ，∴630661,cos1sin 2212=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=n nθ，即二面角C EF M --的正弦值为630.19.解：（1）设()B B y x B ,，由BA MB =得B 诶线段MA 的中点.∵⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2p M ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=02242y y p x B B ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2420y y p x B B ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,420y p B ，把⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,420y p B 代入px y 22=中，得⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛422220p p y ，把()0,4y A 代入px y 22=中，得p y 820=，∴p p p 2422=⎪⎭⎫⎝⎛-.又0>p ，∴4=p ，∴抛物线C 的方程为x y 82=.（2）由题意，知直线l 的斜率存在且不为0，∵()02，-M ，∴可设直线l 的方程为2-=my x .设()()2211,,y x B y x A ，，则点()11,y x P -.由⎩⎨⎧=-=xy my x 822消去x 得01682=+-my y ，∴0>∆，根据根与系数的关系得1682121==+y y m y y ，.直线BP 的斜率12212212121288y y y y y y x x y y k -=-+=-+=，直线BP 的方程为()21228x x y y y y --=-，∴()()()221222122122128181********y y y y y y y x y y y y y y x ++--=+---=()28112+-=y y y ，即直线BP 的方程可表示为()28112+-=y y y x .∴直线BP 过定点，且定点坐标为()02，.20.解：（1）()exaex x a e x f -=-='22.①当0<a 时，()0>'x f 恒成立，∴()x f 在()∞+，0上单调递增；②当0>a 时，令()0>'x f ，解得2ae x >，令()0<'x f ，解得20aex <<，∴()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛20ae ，上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,2ae 上单调递增.综上所述，当0<a 时，()x f 的单调递增区间为()∞+，0，无单调递减区间；当0>a 时，()x f 的单调递减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛20ae ，，单调递增区间为⎪⎭⎫⎝⎛+∞,2ae .（2）当1=a 时，()x x ex f ln 12--=，由（1）可知()x f 的单调递减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛20ae ，，单调递增区间为⎪⎭⎫⎝⎛+∞,2ae .∵方程()m x f =有两个不相等的实数根21,x x ，且21x x <，因此2120x ex <<<.由于2x 时()m x f =的实数根，∴m x x e=--22ln 12，整理得()2221ln x m e x e x -+=-.令()x e x x h ln -=，且2ex >，则()x e x x e x h -=-='1，令()0>'x h ，解得e x >，令()0<'x h ，解得e x e<<2，∴()x h 在⎪⎭⎫⎝⎛e e ,2上单调递减，在()∞+，e 上单调递增，∴()()0ln =-=≥e e e e h x h ，即0ln 22≥-x e x ，∴()012≥-+x m e ，而01>x ，因此()0112>+-+x x m e ，即()112+<-m e x x .21.解：（1）由题意知X 的所有可能取值为-4，-2,0,2,4,6，且()221663421213===-=C C X P ；()22366922122316==+=-=C C C X P ；()331066200212121613==+==C C C C X P ；()22766212212261213==+==C C C C X P ；()112661242121612====C C C X P ；()661621222===C C X P ，∴X 的分布列为：∴()()()16616112422723310022322214=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-+⨯-=X E .（2）①记一名爱好者第1+n 次购买C 型号盲盒的概率为1+n P ，则()n n n P P P -+=+121321，即21611+=+n n P P ，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+5361531n n P P .∵211=P ，∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+531n P 是以101531-=-P 为首项，61为公比的等比数列，∴16110153-⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=-n n P ，即53611011+⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=-n n P .②∵5353611011<+⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=-n n P ，∴这名爱好者购买C 型号盲盒的概率不能达到53.（二）选考题22.解：（1）∵⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 22πθρ，∴θθρcos 2sin 2+=，即θρθρρcos 2sin 22+=.X -4-2246P2212233310227112661又θρcos =x ，θρsin =y ，222ρ=+y x ，∴曲线C 的直角坐标方程为02222=--+y x y x .（2）依题意，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得：()043cos 2sin 2=-+-t t αα.设点N M ,所对应的参数分别为21,t t ，则43cos 2sin 2121-=+=+t t t t ，αα.∵点P 的直角坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛210，，∴1t PM =，2t PN =.∵021<t t ，∴2121t t t t PN PM +=-=-()ϕααα+=+=sin 5cos 2sin ，其中552sin 55cos ==ϕϕ，.由()03cos 2sin 2>++=∆αα，得R ∈α，∴当()1sin ±=+ϕα时，PN PM -最大，且最大值为5.23.解：（1）∵c b a ,,都是正实数，∴02>≥+ab b a ，02>≥+bc c b ，∴()()bc ab c b b a 22⋅≥++，当且仅当1===c b a 时，等号成立，即()()ac b c b b a 4≥++.又∵1=ac ，∴()()b c b b a 4≥++.（2）∵1112121=++++c b a ，∴12212422=++++cb a .由柯西不等式，得()()[]()22122212142221242++≥⎪⎭⎫⎝⎛++++++++c b a c b a ，即()22215222+≥+++c b a ，即222+≥++c b a ，当且仅当()c b a 21222=+=+，即222222+===c b a ，，时等号成立，∴c b a ++的最小值为222+.。

高三联考卷理科数学参考答案及评分标准

高三联考卷理科数学参考答案及评分标准命题、审题组教师杨昆华张宇甜顾先成李春宣王海泉莫利琴蔺书琴张远雄崔锦杨耕耘一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ADCBBDCBACCD1. 解析：因为()31i 22i z =-=--，所以22i z =-+选A. 2. 解析：因为集合{}0,1A =，{}0,1AB =，则B A ⊆，所以集合B 可能的情况有{}0，{}1，{}0,1，∅，共有4个.选D.3. 解析：记每天走的里程数为{}n a ，易知{}n a 是以12为公比的等比数列，其前6项和6378S =，则166112378112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，解得1192a =，所以341192()242a =⨯=.选C.4. 解析：该几何体是由一个底面半径为1，高为3的半圆锥，和一个底面为等腰直角三角形，高为3的三棱锥组成，所以该几何体的体积为：21111=(13(213132322V ππ⨯⋅⋅⨯+⨯⨯⨯⨯=+）），选B ．5. 解析：画出可行域如下，可知当直线经过点()13，或者()0，4时取得最大值4，选B.6. 解析：发言的3人来自3家不同企业的概率为32162436164205C C C P C -===，选D ． 7. 解析：对于A ：()2222222222f x x x x x =+=++-++222≥-中，22222x x +=+的等号不成立，A 错；当0m =时210mx mx ++≥也成立，B 错；当13x =，2y =时1xy <也成立，又原命题与逆否命题真假性一致，所以D 错；选C.8. 解析：1i =时，()1021121S =+⨯+-=-；2i =时，()()()()2212212141S =-+⨯+-=-++；3i =时，()()()()()()32141231214161S =-+++⨯+-=-+++-； ……6i =时，()()()()214161121241242S =-+++-+++=+++=，所以输出42，选B.9. 解析：因为12PF PF -=22112224PF PF PF PF m -⋅+=，又因为12PF PF +=221122212PF PF PF PF +⋅+=，所以221226PF PF m +=+，由12PF PF ⊥得：22128PF PF m +=，所以826m m =+，所以1m =，选A ．10. 解析：以O 为原点，以OA ，OB 所在的直线为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，则A （1,0），B （0,3）,由题意可设C ,)m ,由OC xOA yOB =+可得，,)=(1,0)(0,3)m x y +，所以xy=选C . 11. 解析：设AB 的中点为E ，连结PE ，CE ，易知AB ⊥平面PEC ，所以AB PC ⊥，又PC BD ⊥，所以PC ⊥平面PAB ，所以PC PA ⊥，PC PB ⊥，所以PA PB ⊥，因此，以PA ，PB ，PC 为同一顶点出发的正方体的八个顶点在球O 的表面上，所以2222412R PA PB PC =++=，所以球O 的表面积为12π，选C ．12. 解析：2242312e 2e 2e (2)()()=0x x x x x x x f x a a x x x x x ---'=--=-，因为x ∈（0,2），e =xa x所以函数e =x y x 的图象与函数=y a 图象有两个不同的交点，所以a ∈2e e,2（），选D. 二、填空题13. 解析：(2)1(6)0.22P X P X ≤=-<=．14. 解析：因为(+)()632x x πππ--=，所以cos()cos()sin()3626x x x ππππ-=+-=+，所以5()sin(+)66f x x π=，所以函数()f x 的最大值为56.15. 解析：因为12n n a a n +=+，所以12n n a a n +-=，从而2121a a -=⨯，3222a a -=⨯，…，12(1)(2)n n a a n n --=-≥，累加可得21(1)2[12(1)]22n n na a n n n --=⨯++⋅⋅⋅+-=⨯=-，所以221n a n n =-+， 221211n a n n n n n n -+==+-，因为21()1f n n n=+-在(0,4]递减，在[5,)+∞递增当4n =时，338.254n a n ==，当5n =时，418.25n a n ==，所以n a n 的最小值为415.16. 解析：双曲线的两个焦点分别为（4,0-），（4,0），则这两点刚好是两圆的圆心，由几何性质知，13PM PF ≤+,21PN PF ≥-,所以12316PM PN PF PF -≤+-+=,所以最大值为6.三、解答题（一）必考题17. 解：（1）在△ABC 中，由cos A =sin A =由sin B C 得sin()A C C +=，sin cos cos sin A C A C C +=，C C C C C =，tan C . ………6分（2）因为tan C =，所以sin C =，cos C =sin 1B C =，由sin sin b cB C=得sin c b C =，因为△ABC2111sin sin sin 222bc A b b C A b =⋅⋅=26b =，b =. ………12分 18. 解：（1）由频率分布直方图，优质花苗的频率为(0.040.02)100.6+⨯=，即概率为0.6．设所抽取的花苗为优质花苗的株数为X ，则35~3,X B ⎛⎫⎪⎝⎭，于是3328(0)5125P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭；2133236(1)55125P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；2233254(2)55125P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；333327(3)5125P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭．其分布列为：所以，所抽取的花苗为优质花苗的数学期望39()355E X =⨯=．………6分（2）频率分布直方图，优质花苗的频率为(0.040.02)100.6+⨯=，则样本中优质花苗的株数为60株，列联表如下表所示：可得22100(20103040)16.667 6.63560405050K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯．所以，有99%的把握认为优质花苗与培育方法有关系．………12分119. （1）证明：因为111ABC A B C -为直三棱柱，所以BC ∥11B C ，且11BC B C =，又因为四边形ABCD 为平行四边形，所以BC ∥AD ，且BC AD =，所以AD ∥11C B ，且11AD C B =，所以四边形11ADC B 为平行四边形，所以A ，D ，1C ，1B 四点共面；因为1AA AC =，又1AA ⊥平面ABCD ，所以1AA AC ⊥，所以四边形11A ACC 正方形，连接1AC 交1A C 于E ，所以11A C AC ⊥，在ADC ∆中，2CD AD =，60ADC ∠=，由余弦定理得2222cos60AC AD CD AD CD =+-⋅，所以AC ，所以222CD AC AD =+，所以AD AC ⊥，又1AA AD ⊥，所以AD ⊥平面11A ACC ，所以1AD A C ⊥，又因为!ADAC A =，所以1A C ⊥平面11ADC B ；所以11A C DC ⊥. ………6分（2）解：由（1）知，可如图建立直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0D ，()C，()1A ，()1C， ()()111,0,3,DA DC λ∴=-=-，设平面11A C D 的法向量为()1111,,n x y z =，由 111100n DA nDC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1111100x z x z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，取()13,0,1n λ=设平面1AC D 的法向量为()2222,,n x y z = 由22100n AD nAC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得22200x z =⎧+=,取()20,,1n λ=-，由12212cos ||3n n n n θλ⋅===⋅21λ=，因为0λ>，所以1λ= 此时1AD =，1CC AC ==，所以四边形11A ACC 正方形，因为11A C AC ⊥，1A C AD ⊥，又因为!ADAC A =，所以1A C ⊥平面11ADC B ，所以1CC 与平面11ADC B 所成角为145EC C ∠=. .………12分20. 解：(1) 设(,)M x y2=，即22222(1)2(2)x y x y -+=-+，所以曲线22:2E x y += .………4分(2)当PQ所在直线斜率不存在时，其方程为：x =此时PQ = 当PQ 所在直线斜率存在时，设其方程为：y kx m =+，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，()0,0O 到直线PQ 的距离d r ==，所以2222m k =+.直线PQ 与椭圆C 联立22163x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222214260k x kmx m +++-=，所以12221224212621mk x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以PQ ==2211t k =+≥，(]10,1t ∈ 22222224121112(1)2(21)k t t z k k t t t ++--=+==+++，因为(]10,1t ∈，所以924z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以PQ ⎡⎤∈⎣⎦，所以OPQS PQ ⎡=∈⎢⎣⎦.………12分 21. 解：（1）因为()()e e 10x xf x ax =--≥，且e 0x >，所以e 10x ax --≥，构造函数()e 1x u x ax =--，则()'e x u x a =-，又()00u =，若0a ≤，则()'0u x >，则()u x 在R 上单调递增，则当0x <时，()0u x <矛盾，舍去；若01a <<，则ln 0a <，则当ln 0a x <<时，'()0u x >，则()u x 在(ln ,0)a 上单调递增，则()()ln 00u a u <=矛盾，舍去；若1a >，则ln 0a >，则当0ln x a <<时，'()0u x <，则()u x 在(0,ln )a 上单调递减，则()()ln 00u a u <=矛盾，舍去；若1a =，则当0x <时，'()0u x <，当0x >时，'()0u x >，则()u x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，故()()00u x u ≥=，则()()e 0x f x u x =⋅≥，满足题意；综上所述，1a =. ………6分（2）由（1）可知()()2e 1e x x f x x =-+⋅，则()()'e 2e 2x x f x x =--，构造函数()2e 2x g x x =--，则()'2e 1x g x =-，又()'g x 在R 上单调递增，且()'ln 20g -=，故当ln2x <-时，'()0g x <，当ln2x >-时，'()0g x >，则()g x 在(,ln 2)-∞-上单调递减，在(ln 2,)-+∞上单调递增，又()00g =，()2220e g -=>，又33233332223214e16e 022e 2e 8e 2e g --⎛⎫-=-==< ⎪⎝⎭+，结合零点存在性定理知，在区间3(2,)2--存在唯一实数0x ，使得()00g x =，当0x x <时，()'0f x >，当00x x <<时，()'0f x <，当0x >时，()'0f x >，故()f x 在()0,x -∞单调递增，在()0,0x 单调递减，在()0,+∞单调递增，故()f x 存在唯一极大值点0x ，因为()0002e 20x g x x =--=，所以00e 12x x =+，故()()()()022200000011e1e 11112244x x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=+-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0322x -<<-，所以()201133144216f x ⎛⎫<--+< ⎪⎝⎭. ………12分（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。

安徽省2022-2022届高三联考试题数学(理)试卷(含答案)

高三年级联考数学(理科)考生注意:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填在试卷后面的答题卡上.3.本试卷主要考试内容:高考全部内容.第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x|x2<5},B={x|1<x<4},则A∪B=A.{x|1<x<5}B.{x|-<x<4}C.{x|1<x<}D.{x|-5<x<4}2.若复数z=,则=A.3+2iB.-3+2iC.-3-2iD.3-2i3.设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的实轴长与焦距分别为2,4,则双曲线C的渐近线方程为A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±3x4.函数f(x)=的零点之和为A.-1B.1C.-2D.25.函数f(x)=cos(3x+)的单调递增区间为A.[+,+](k∈Z)B.[+,+](k∈Z)C.[-+,+](k∈Z)D.[-+,+](k∈Z)6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A.24π-6B.8π-6C.24π+6D.8π+67.已知两个单位向量e1,e2的夹角为60°,向量m=t e1+2e2(t<0),则A.的最大值为-B.的最小值为-2C.的最小值为-D.的最大值为-28.某图形由一个等腰直角三角形,一个矩形(矩形中的阴影部分为半圆),一个半圆组成,从该图内随机取一点,则该点取自阴影部分的概率为A.B.C.D.9.已知不等式组表示的平面区域为等边三角形,则z=x+3y的最小值为A.2+3B.1+3C.2+D.1+10.若函数f(x)=a·()x(≤x≤1)的值域是函数g(x)=(x∈R)的值域的子集,则正数a的取值范围为A.(0,2]B.(0,1]C.(0,2]D.(0,]11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知10sin A-5sin C=2,cos B=,则=A.B.C.D.12.在正方形BCDF中,A,E分别为边BF与DF上一点,且AF=EF=1,AB=2,将三角形AFE沿AE折起,使得平面AEF⊥平面ABCDE(如图所示).点M,N分别在线段DE,BC上,若沿直线MN将四边形MNCD 向上翻折,D与F恰好重合,则线段BM的长为A.B.4 C.D.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知tan(α+)=6,则tanα=.14.若(a+)5的展开式中的系数为1,则|a|=.15.斜率为k(k<0)的直线l过点F(0,1),且与曲线y=x2(x≥0)及直线y=-1分别交于A,B两点,若|FB|=6|F A|,则k=.16.若曲线y=x3-ax2存在平行于直线y=-3x+1的切线,则a的取值范围为.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)已知数列{a n}满足-=1,且a1=1.(1)证明:数列{+1}为等比数列.(2)求数列{+2n}的前n项和S n.18.(12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB=2,AC=AA1=2BC=4,且D为线段AB的中点.(1)证明:BC⊥A1D.(2)求平面A1CD与平面BCC1B1所成锐二面角的余弦值.19.(12分)某大型工厂有5台大型机器,在1个月中,1台机器至多出现1次故障,且每台机器是否出现故障是相互独立的,出现故障时需1名工人进行维修.每台机器出现故障的概率为.已知1名工人每月只有维修1台机器的能力,每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修,就能使该厂获得10万元的利润,否则将亏损3万元.该工厂每月需支付给每名维修工人1.5万元的工资.(1)若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修,则称工厂能正常运行.若该厂只有2名维修工人,求工厂每月能正常运行的概率;(2)已知该厂现有4名维修工人.(ⅰ)记该厂每月获利为X万元,求X的分布列与数学期望;(ⅱ)以工厂每月获利的数学期望为决策依据,试问该厂是否应再招聘1名维修工人?20.(12分)已知P(2,3)是椭圆C:+=1(a>b>0)上一点,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,且a=2b.(1)证明:|PF2|,|F1F2|,|PF1|成等差数列.(2)直线l与PF1垂直,且与椭圆C相交于A,B两点,l与线段F1F2有公共点,若四边形AF1BF2的面积为,求l的方程.21.(12分)已知函数f(x)=e2x-3-2x.(1)求f(x)的单调区间与最小值.(2)是否存在实数x,y,使得f(x)+2x≤(x+y+1)(x-y-2)(x>)?若存在,求x,y的值;若不存在,请说明理由.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(θ为参数).(1)求l和C的普通方程;(2)将l向左平移m(m>0)个单位长度后,得到直线l',若圆C上只有一个点到l'的距离为1,求m.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)设函数f(x)=|x-a|+|x-4|(a≠0).(1)当a=1时,求不等式f(x)<x的解集;(2)若f(x)≥-1恒成立,求a的取值范围.数学参考答案(理科)1.B∵A={x|-<x<},∴A∪B={x|-<x<4}.2.D z===3+2i,=3-2i.3.C因为2a=2,2c=4,所以a=1,c=2,b=,所以C的渐近线方程为y=±x.4.A函数f(x)=的零点为log62,-log612,故零点之和为log62-log612=-log66=-1.5.A因为f(x)=-sin3x,所以只要求y=sin3x的递减区间.令+2kπ≤3x≤+2kπ(k∈Z),解得+≤x≤+(k∈Z).6.B由三视图可知该几何体是在一个圆锥中挖掉一个长方体得到的,其中圆锥的底面圆的半径为2,高为6,挖掉的长方体的底面是边长为的正方形,高为3.故该几何体的体积为π×22×6-2×3=8π-6.7.A因为t<0,所以====-=-,当=-,即t=-4时,取得最大值,且最大值为-.8.C设矩形的长为2a,则宽为a,所以该图形的面积为a×2a+×2a×2a+π×(a)2=(4+π)a2,阴影部分的面积为×2a×2a+π×a2=(2+)a2,故该点取自阴影部分的概率为P==.9.D依题意可得k=,作出不等式组表示的平面区域如图所示,当直线z=x+3y经过点(1,)时,z取得最小值1+.10.A令y=g(x),则(y-1)x2+yx+y+1=0,当y=1时,x=-2;当y≠1时,Δ=y2-4(y-1)(y+1)≥0,则y2≤.所以g(x)的值域为[-,].因为a>0,所以f(x)的值域为[,],从而0<≤,则0<a≤2.11.C∵cos B=,∴sin B=.又10sin A-5sin C=2,∴2sin A-sin C=sin B,由正弦定理,得2a-c=b,由余弦定理,得(2a-c)2=a2+c2-2ac×,整理得5a=6c,即=.12.D取AE的中点H,连接FH,∵AF=EF,∴FH⊥AE,又平面AEF⊥平面ABCDE,∴FH⊥平面ABCDE.如图,以B为坐标原点建立空间直角坐标系B-xyz,则D(3,3,0),F(,,).设EM=x(0<x<2),则M(1+x,3,0).∵翻折后D与F重合,∴DM=FM,则(x-2)2=(x+)2+()2+,解得x=,从而,=(,3,0),||=.13.设tanα=x,则=6,解得x=.14.因为(a+)5的展开式中的项为a2()3=,所以10a2=1,则|a|=.15.-易知曲线y=x2(x≥0)是抛物线C:x2=4y的右半部分,如图,其焦点为F(0,1),准线为y=-1.过A作AH⊥准线,垂足为H,则|AH|=|AF|,因为|FB|=6|F A|,所以|AB|=5|AH|,tan∠ABH===,故直线l的斜率为-.16.(-∞,-3]∪(3,+∞)设平行于直线y=-3x+1的切线的切点为(m,m3-am2),∵y'=3x2-2ax,∴3m2-2am=-3,Δ=4a2-36≥0,解得a∈(-∞,-3]∪[3,+∞).若切点在直线y=-3x+1上,则m3-am2=-3m+1,又3m2-2am=-3,从而m3-3m+2=(m-1)2(m+2)=0,解得m=1或m=-2.当m=1时,a=3,此时方程3m2-6m+3=0有两个相等的实根,曲线y=x3-ax2不存在平行于直线y=-3x+1的切线;当m=-2时,a=-,此时方程2m2+5m+2=0有两个不等的实根,曲线y=x3-ax2仅存在一条平行于直线y=-3x+1的切线.综上,a的取值范围为(-∞,-3]∪(3,+∞).17.(1)证明:因为-=1,所以+1=2(+1), ...................................................................................................................................................... 2分又+1=2, ............................................................................................................................................................................. 3分所以数列{+1}为等比数列,且首项为2,公比为2. ............................................................................................................ 4分(2)解:由(1)知+1=2n,.......................................................................................................................................................... 6分所以+2n=2n+2n-1............................................................................................................................................................. 7分所以S n=+=2n+1+n2-2............................................................................................................ 12分18.(1)证明:因为AA1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以AA1⊥BC. ....................................................................................................................................................................... 1分因为AB=2,AC=2BC=4,所以AB2+BC2=AC2,所以BC⊥AB........................................................................................................................................ 3分因为AB∩AA1=A,所以BC⊥平面ABB1A1............................................................................................................................. 4分又A1D⊂平面ABB1A1,所以BC⊥A1D. .................................................................................................................................. 5分(2)解:以B为坐标原点,建立空间直角坐标系B-xyz,如图所示,则C(0,0,2),D(,0,0),A1(2,4,0)........................................................................................................................................ 6分设平面A1CD的法向量为n=(x,y,z),则 .................................................................................................................................... 8分令x=4,则n=(4,-,2)...................................................................................................................................................... 9分易知平面BCC1B1的一个法向量为m=(1,0,0),.................................................................................................................... 10分则cos<m,n>==................................................................................................................................................. 11分故所求锐二面角的余弦值为.................................................................................................................................... 12分19.解:(1)因为该厂只有2名维修工人,所以要使工厂正常运行,最多只能出现2台大型机器出现故障,........................................................................................ 1分故该工厂能正常运行的概率为(1-)5+××(1-)4+()2(1-)3=. ........................................................................... 4分(2)(ⅰ)X的可能取值为31,44, ............................................................................................................................................... 6分P(X=31)=()5=,................................................................................................................................................................ 7分P(X=44)=1-=,.............................................................................................................................................................. 8分则X的分布列为X3144P9分故EX=31×+44×=. ........................................................................................................................................ 10分(ⅱ)若该厂有5名维修工人,则该厂获利的数学期望为5×10-1.5×5=42.5万元, ............................................................ 11分因为>42.5,所以该厂不应再招聘1名维修工人...................................................................................................... 12分20.(1)证明:依题意可得,解得,...................................................................................................... 2分则c2=4,c=2,F1(-2,0),F2(2,0),.................................................................................................................................................. 3分从而|PF2|=3,|F1F2|=4,|PF1|=5, ............................................................................................................................................. 4分故|PF2|,|F1F2|,|PF1|成等差数列............................................................................................................................................. 5分(2)解:因为直线PF1的斜率为,所以可设l的方程为x=-y+m. ....................................................................................... 6分将l的方程代入+=1消去x,得y2-my+3m2-48=0,.............................................................................................. 7分设A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=,y1y2=, ........................................................................................................ 8分则|y1-y2|==,........................................................................................................ 9分所以四边形AF1BF2的面积S=|F1F2|·|y1-y2|==,.............................................................. 10分解得m=0, ............................................................................................................................................................................. 11分故l的方程为x=-y,即4x+3y=0........................................................................................................................................ 12分21.解:(1)f'(x)=2e2x-3-2, ............................................................................................................................................................ 1分令f'(x)=0,得x=; .................................................................................................................................................................. 2分令f'(x)<0,得x<;令f'(x)>0,得x>. .................................................................................................................................... 3分故f(x)的单调递减区间为(-∞,),单调递增区间为(,+∞), .................................................................................................. 4分从而f(x)min=f()=-2............................................................................................................................................................... 5分(2)易证mn≤()2,则(x+y+1)(x-y-2)≤()2=,当且仅当x+y+1=x-y-2,即y=-时,取等号........................................................................................................................... 7分f(x)+2x=e2x-3,则e2x-3≤,.......................................................................................................................................... 8分令t=2x-1(t>0),则e t-2≤t2,即t-2≤2ln t-2ln2. .......................................................................................................................... 9分设g(t)=t-2-(2ln t-2ln2)(t>0),则g'(t)=,当0<t<2时,g'(t)<0,g(t)单调递减;当t>2时,g'(t)>0,g(t)单调递增. ................................................................................... 10分故g(t)min=g(2)=0,则g(t)≥0,又t-2≤2ln t-2ln2,即g(t)≤0,从而g(t)=0,即t=2................................................................................................................................................................ 11分综上,x=,y=-..................................................................................................................................................................... 12分22.解:(1)由题意可得|a|=1, .................................................................................................................................................... 1分故l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(θ为参数),消去参数t,得l的普通方程为3x-4y-7=0, ............................................................................................................................ 3分消去参数θ,得C的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=1.................................................................................................................. 5分(2)l'的方程为y=(x+m)-,即3x-4y+3m-7=0,..................................................................................................................... 6分因为圆C只有一个点到l'的距离为1,圆C的半径为1,所以C(1,-2)到l'的距离为2, ................................................................................................................................................. 8分即=2,解得m=2(m=-<0舍去). .................................................................................................... 10分23.解:(1)当a=1时,f(x)=, .............................................................................................................................. 3分故不等式f(x)<x的解集为(3,5). ............................................................................................................................................ 5分(2)∵f(x)=|x-a|+|x-4|≥|(x-a)-(x-4)|=|a-4|, .............................................................................................................................. 6分∴|a-4|≥-1=,................................................................................................................................................................ 7分当a<0或a≥4时,不等式显然成立; ...................................................................................................................................... 8分当0<a<4时,≤1,则1≤a<4................................................................................................................................................... 9分故a的取值范围为(-∞,0)∪[1,+∞). ..................................................................................................................................... 10分。

2024届高三10月大联考(全国乙卷)理科数学含答案解析

2024届高三10月大联考（全国乙卷）理科数学一、单选题(共36 分)1已知集合A={x∈Z∣x2−x−2≤0},B={x∣0≤x≤5}则A∩B=（）A{0,1}B{0,1,2}C[0,2)D[0,2]【答案】B【分析】先求A集合再利用交集概念求解即可【详解】因为A={x∈Z∣(x−2)(x+1)≤0}={−1,0,1,2},B={x∣0≤x≤5}所以A∩B={0,1,2}故选：B2命题“∀x>011−x≥1+x”的否定是（）A∃x0>011−x0<1+x0或x0=1B∃x0>011−x0≥1+x0C∃x0≤011−x0<1+x0D∀x≤011−x<1+x【答案】A【分析】由全称量词命题的否定是特称命题直接写出结果【详解】根据全称命题的否定为特称命题可知命题“∀x>0,11−x ≥1+x”的否定是“∃x0>0,11−x0<1+x0或x0=1”故选：A3已知向量a⃗=(−1,x),b⃗⃗=(2,y)若a⃗//b⃗⃗则（）A x y =12B xy=−12C2x−y=0D2x+y=0【答案】D【分析】根据共线坐标表示得到2x+y=0,结合选项进行判断即可【详解】因为a⃗//b⃗⃗所以2x+y=0所以AC错误；因为x=0,y=0也成立所以B错误故选：D4下列函数中满足对任意的x1,x2∈(0,+∞)都有f(x1x2)=f(x1)f(x2)的是（）A f(x)=2x2B f(x)=lnxC f(x)=x−12D f(x)=−x3【答案】C【分析】根据各项函数解析式结合指对数运算性质或特例判断是否满足题设即可得答案【详解】A：若f(x)=2x2由f(x1x2)=f(x1)f(x2)得2x12x22=4x12x22取x1=x2=1得2=4不成立；B：若f(x)=lnx由f(x1x2)=f(x1)f(x2)得ln(x1x2)=lnx1lnx2取x1=1,x2=2得ln2=0不成立；C：若f(x)=x−12则f(x1x2)=(x1x2)−12,f(x1)f(x2)=x1−12⋅x2−12=(x1x2)−12即f(x1x2)=f(x1)f(x2)成立；D：若f(x)=−x3由f(x1x2)=f(x1)f(x2)得−x13x23=x13x23取x1=x2=1得−1=1不成立故选：C5已知p:1<a<53,q:log a43>2(a>0且a≠1)则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【分析】对于q：利用对数函数单调性解得1<a<2√33再根据包含关系结合充分、必要条件分析判断【详解】当0<a <1时y =log a x 在定义域内单调递减则a 2>43无解；当a >1时y =log a x 在定义域内单调递增则a 2<43可得1<a <2√33；综上所述：不等式log a 43>2的解集为(1,2√33) 又因为(1,2√33)是(1,53)的真子集所以p 是q 的必要不充分条件故选：B6若θ∈(π2,π)则使sin2θ>cosθ成立的θ的取值范围为（） A (π2,2π3) B (2π3,π)C (π2,5π6) D (5π6,π)【答案】D 【分析】根据题意由正弦的二倍角公式化简即可得到sinθ<12从而可得θ的范围【详解】由sin2θ>cosθ得2sinθcosθ>cosθ因为θ∈(π2,π)所以cosθ<0所以2sinθ<1即sinθ<12所以5π6<θ<π所以使sin2θ>cosθ成立的θ的取值范围为(5π6,π) 故选:D7白色污染是人们对难降解的塑料垃圾（多指塑料袋）污染环境现象的一种形象称谓经过长期研究一种全生物可降解塑料（简称PBAT ）逐渐被应用于超市购物袋､外卖包装盒等产品研究表明在微生物的作用下PBAT 最终可被完全分解为二氧化碳和水进入大自然当其分解率（分解率=已分解质量总质量×100%）超过60%时就会成为对环境无害的物质为研究总质量为100g 的PBAT 的已分解质量y （单位：g ）与时间x （单位：月）之间的关系某研究所人员每隔1个月测量1次PBAT 的已分解质量对通过实验获取的数据做计算处理研究得出已分解质量y 与时间x 的函数关系式为y =100−e 4.6−0.1x 据此研究结果可以推测总质量为100g 的PBAT 被分解为对环境无害的物质的时间至少为（）（参考数据：ln40≈3.7） A8个月 B9个月C10个月D11个月【答案】C根据题意令y =100−e 4.6−0.1x >60求解即可【详解】令y =100−e 4.6−0.1x >60得0.1x >4.6−ln40≈0.9解得x >9故至少需要10个月总质量为100g 的PBAT 才会被分解为对环境无害的物质故选：C8若函数f (x )=log 2(2ax +1)−(x +3)2(a ∈R )是偶函数则a =（） A-6 B6 C-12 D12【答案】D 【分析】根据偶函数的定义可得f (x )−f (−x )=0从而得到(a −12)x =0求解即可【详解】因为f (x )是偶函数所以f (x )−f (−x )=log 22ax +12−ax +1−12x =log 22ax (1+2−ax )2−ax +1−12x =(a −12)x =所以a =12 故选：D9若函数f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示则下列说法正确的个数为（）①ω=2；②φ=−π6；③f (x )在(π2,5π6)上单调递减；④f (−π2)=√3 A1 B2C3D4【答案】C 【分析】由图像经过的特殊点(5π12,2)和(π6,0)逐项判断即可由题图得A =2最小正周期T =4×(5π12−π6)=π 又T =2πω=π所以ω=2故①正确；f (x )=2sin (2x +φ)又f (x )的图象过点(5π12,2) 所以2×5π12+φ=2kπ+π2,k ∈Z 所以φ=2kπ−π3,k ∈Z又|φ|<π2所以φ=−π3故②错误； f (x )=2sin (2x −π3)令t =2x −π3当π2<x <5π6时2π3<t <4π3函数y =sint 在(2π3,4π3)上单调递减故③正确；f (−π2)=2sin (−π−π3)=√3故④正确故选：C10已知O 是△ABC 所在平面内一点若OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=yAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,x,y 均为正数则xy 的最小值为（） A 12 B 49C1D 43【答案】B 【分析】先根据OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗分析出O 点位置为重心再根据三点共线性质等到关于x,y 的等式最后由均值不等式得到xy 的最小值【详解】因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗所以点O 是△ABC 的重心所以AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗) 因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=yAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1y AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所以AO⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13x AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+13yAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 又因为MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λON⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗所以M,O,N 三点共线所以13x +13y =1即1x +1y =3 因为x,y 均为正数所以3=1x +1y ≥2√1xy 即√1xy ≤32所以xy ≥49（当且仅当1x =1y =32即x =y =23时取等号）所以xy 的最小值为49 故选：B11已知函数f (x ),g (x )及其导函数f ′(x ),g ′(x )的定义域均为R 且f (x +2)为偶函数函数y =g (x +1)的图象关于点(−1,0)对称则f(g ′(−1))=（） A f(4−g ′(1)) B f(4+g ′(1)) C f(−g ′(1)) D −f(g ′(1))【答案】A 【分析】根据f (x +2)为偶函数可求出f (x )关于x =2对称y =g (x +1)关于点(−1,0)对称可求出g (x )为奇函数从而得出g ′(x )为偶函数然后通过利用函数的奇偶性和对称性从而求解【详解】因为f (x +2)为偶函数所以函数y =f (x )的图象关于直线x =2对称所以可得：f (x )=f (4−x ) 因为函数y =g (x +1)的图象关于点(−1,0)对称所以函数y =g (x )关于点(0，0)对称所以可得y =g (x )为奇函数所以y =g ′(x )为偶函数所以g ′(−1)=g ′(1) 所以f(g ′(−1))=f(g ′(1))=f(4−g ′(1)) 故选A12已知a,b,c ∈(e,+∞),lna 10=aln8,lnb 9=bln9,lnc 8=cln10则（）A a >b >cB c >b >aC b >c >aD c >a >b【答案】B 【分析】由题设有lna a=10ln8,lnb b=9ln9,lnc c =8ln10构造g (x )=(18−x )lnx 且x ∈[8,+∞)研究单调性比较g (8),g (9),g (10)大小进而确定lna a,lnb b,lncc再构造f (x )=lnx x且x ∈(e,+∞)研究单调性比较参数由lna10=aln8,lnb 9=bln9,lnc 8=cln10得lna a=10ln8,lnb b=9ln9,lnc c=8ln10令g (x )=(18−x )lnx 且x ∈[8,+∞)则g ′(x )=−lnx +18x−1且在[8,+∞)上单调递减而g ′(8)=−ln8+94−1=54−ln8<54−lne 2=54−2<0 所以g ′(x )<0在[8,+∞)上恒成立故g (x )在[8,+∞)上单调递减所以g (8)>g (9)>g (10)即10ln8>9ln9>8ln10 所以lna a>lnb b >lnc c令f (x )=lnx x且x ∈(e,+∞)则f ′(x )=1−lnx x 2<0所以f (x )在(e,+∞)上单调递减故c >b >a 故选：B 【点睛】关键点点睛：由lna a=10ln8,lnb b=9ln9,lnc c=8ln10构造g (x )=(18−x )lnx 研究单调性比较等式右侧大小确定lna a ,lnb b,lncc大小构造f (x )=lnx x并利用单调性确定参数大小二、填空题(共 12 分)13已知幂函数y =f (x )的图象过点(16,164)则f (14)=__________ 【答案】8 【分析】设f (x )=x α根据幂函数过的点求出其解析式再代入数值求得答案【详解】设f (x )=x α由f (16)=16α=164得42α=4−3所以α=−32所以f (x )=x −32所以f (14)=(14)−32=432=22×32=23=8故答案为：814已知x,y 均为正数x +2y =a 若xy 的最大值为b 且1≤b ≤2则满足条件的一个实数a 的值为__________利用基本不等式即可求出8≤a 2≤16解出即可【详解】因为x +2y =a ≥2√2xy （当且仅当x =2y =a2时取等号）所以xy ≤a 28所以1≤b =a 28≤2所以8≤a 2≤16又易知a >0所以2√2≤a ≤4故答案为：415《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作书中有一道测量山上松树高度的题目受此题启发小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度如图把塔底与塔顶分别看作点CDCD 与地面垂直小李先在地面上选取点AB （点A,B 在建筑物的同一侧且点A,B,C,D 位于同一个平面内）测得AB =20√3m 在点A 处测得点C,D 的仰角分别为30∘,67∘在点B 处测得点D 的仰角为33.5∘则塔高CD 为__________m （参考数据：sin37∘≈35）【答案】24 【分析】在△ACD 中求出AD =20√3∠CAD =37∘,∠ACD =120∘利用正弦定理求解即可【详解】如图延长DC 与BA 的延长线交于点E 则∠DAE =67∘,∠CAE =30∘,∠DBA =33.5∘所以∠ADB =67∘−33.5∘=33.5∘,∠CAE =90∘−30∘=60∘ 所以AD =AB =20√3在△ACD 中∠CAD =67∘−30∘=37∘,∠ACD =180∘−60∘=120∘ 由正弦定理得CD =ADsin37∘sin120∘≈20√3×35√32=24（m ）故答案为：2416当x≥1时恒有ln x2+1e x−mx≤e x−x2−mx−1成立则m的取值范围是__________【答案】(−∞,e−2]【分析】根据函数有意义可得m<e xx 在[1,+∞)上恒成立进而可得m<e：由ln x2+1e x−mx≤e x−x2−mx−1可得ln(x2+1)+(x2+1)≤ln(e x−mx)+(e x−mx)构造函数可得m≤e x−x2−1x进而可得m≤e−2从而可得答案【详解】由题意得x 2+1e x−mx>0又x2+1>0恒成立所以e x−mx>0在[1,+∞)上恒成立即m<e xx在[1,+∞)上恒成立令g(x)=e xx (x≥1)则g′(x)=e x(x−1)x2当x≥1时g′(x)≥0所以g(x)在[1,+∞)上单调递增所以g(x)min=g(1)=e所以m<e①由ln x 2+1e x−mx≤e x−x2−mx−1得ln(x2+1)−ln(e x−mx)≤(e x−mx)−(x2+1)即ln(x2+1)+(x2+1)≤ln(e x−mx)+(e x−mx)构造函数ℎ(x)=lnx+x则ℎ(x2+1)≤ℎ(e x−mx)因为ℎ(x)=lnx+x在(0,+∞)上是增函数所以x2+1≤e x−mx所以m≤e x−x2−1x令f(x)=e x−x2−1x(x≥1)则f′(x)=(x−1)(e x−x−1)x2构造函数m(x)=e x−(x+1)⇒m′(x)=e x−1,x∈(−∞,0)时m′(x)<0m(x)递减：x∈(0,+∞)时m′(x)>0m(x)递增所以f′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立所以f(x)在[1,+∞)上单调递增所以f(x)min=f(1)=e−2所以m≤e−2②由①②知m≤e−2故答案为：(−∞,e−2]【点睛】不等式恒成立问题常见方法：①分离参数a≥f(x)恒成立(a≥f(x)max即可)或a≤f(x)恒成立（a≤f(x)min即可）；②数形结合(y=f(x)图象在y=g(x)上方即可)；③讨论最值f(x)min≥0或f(x)max≤0恒成立；④讨论参数排除不合题意的参数范围筛选出符合题意的参数范围三、问答题(共12 分)已知平面向量m⃗⃗⃗=(sinx,2sinx),n⃗⃗=(2cosx,√3sinx)函数f(x)=m⃗⃗⃗⋅n⃗⃗−√317 求不等式f(x)≥1的解集；18 求函数f(x)在[−π2,π2]上的单调递增区间【答案】17 [kπ+π4,kπ+7π12],k∈Z18 单调递增区间为[−π12,5π12]【分析】（1）先利用三角恒等变化将函数表达式化简成f(x)=2sin(2x−π3)从而f(x)≥1等价于sin(2x−π3)≥12即2kπ+π6≤2x−π3≤2kπ+5π6,k∈Z解不等式即可（2）由题意令2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2,k∈Z解不等式即可进一步求解【17题详解】由题意得f(x)=2sinxcosx+2√3sin2x−√3=sin2x+2√3×1−cos2x2−√3=sin2x−√3cos2x=2sin(2x−π3 )由f(x)≥1得2sin(2x−π3)≥1即所以2kπ+π≤2x−π≤2kπ+5π,k∈Z解得kπ+π4≤x ≤kπ+7π12,k ∈Z所以不等式f (x )≥1的解集为[kπ+π4,kπ+7π12],k ∈Z 【18题详解】由（1）知f (x )=2sin (2x −π3)令2kπ−π2≤2x −π3≤2kπ+π2,k ∈Z 解得kπ−π12≤x ≤kπ+5π12,k ∈Z所以f (x )的单调递增区间为[kπ−π12,kπ+5π12],k ∈Z 当k =0时f (x )的单调递增区间为[−π12,5π12]所以函数f (x )在[−π2,π2]上的单调递增区间为[−π12,5π12]如图在平行四边形ABCD 中AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗令AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗19用a ⃗,b ⃗⃗表示AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗； 20若AB =AM =2且AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=10求cos⟨a ⃗,b⃗⃗⟩ 【答案】19 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13(b ⃗⃗−a ⃗)BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13b ⃗⃗−43a ⃗CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−13a ⃗−23b⃗⃗ 20√3468【分析】（1）利用平面向量的四则运算法则求解即可；（2）利用平面向量数量积的公式和运算律求解即可【19题详解】因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗且ABCD 是平行四边形所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗−a ⃗所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13(b ⃗⃗−a ⃗) 所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13(b ⃗⃗−a ⃗)−a ⃗=13b ⃗⃗−43a ⃗所以CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13b ⃗⃗−43a ⃗−(b ⃗⃗−a ⃗)=−13a ⃗−23b ⃗⃗【20题详解】方法一：由（1）知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13(b ⃗⃗−a ⃗),BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13b ⃗⃗−43a ⃗ 又AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗,AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=10,AB =AM =2所以b ⃗⃗⋅(13b ⃗⃗−43a ⃗)=10,|13(b ⃗⃗−a ⃗)|=2,|a ⃗|=2即b ⃗⃗2−4a ⃗⋅b ⃗⃗=30,b ⃗⃗2+a ⃗2−2a ⃗⋅b ⃗⃗=36 解得a ⃗⋅b⃗⃗=1,|b ⃗⃗|=√34 所以cos⟨a ⃗,b ⃗⃗⟩=a ⃗⃗⋅b ⃗⃗|a ⃗⃗||b ⃗⃗|=√3468方法二：因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,AM =2所以AD =BC =6因为AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+13BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+23BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+13BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2且AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=10 所以−22+23×6×2×cos∠ABC +13×62=10 解得cos∠ABC =14所以a ⃗⋅b⃗⃗=(−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=−2×6×14+22=1 又|a ⃗|=2,|b⃗⃗|=√(BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)2=√BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−2BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=√34 所以cos⟨a ⃗,b ⃗⃗⟩=a ⃗⃗⋅b ⃗⃗|a ⃗⃗||b ⃗⃗|=√3468四、应用题(共 6 分)某公园池塘里浮萍的面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）的关系如下表所示：现有以下三种函数模型可供选择：①y =kt +b ②y =p ⋅a t +q ③y =m ⋅log a t +n 其中k,b,p,q,m,n,a 均为常数a >0且a ≠121 直接选出你认为最符合题意的函数模型并求出y 关于t 的函数解析式；22 若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到15m 2,31m 2,211m 2所经过的时间分别为t 1,t 2,t 3写出一种t 1,t 2,t 3满足的等量关系式并说明理由【答案】21 模型②y =2t +122 t1+t2=t3+1理由见解析【分析】（1）根据表格数据选择函数模型然后求解析式；（2）根据指数幂运算公式计算【21题详解】应选择函数模型②y=p⋅a t+q依题意得{p×a1+q=3p×a2+q=5 p×a3+q=9解得{p=1 a=2 q=1所以y关于t的函数解析式为y=2t+1【22题详解】t1+t2=t3+1理由：依题意得2t1+1=152t2+1=312t3+1=211所以2t1=142t2=302t3=210所以2t1⋅2t2=420所以2t1⋅2t2=2t1+t2=420=2×2t3=2t3+1所以t1+t2=t3+1五、问答题(共6 分)已知函数f(x)=e x−ax2+x−123 若ℎ(x)为函数f(x)的导函数求ℎ(x)的极值；24 若f(x)=0有两个不等的实根求实数a的取值范围【答案】23 答案见解析24 (−∞,0)∪{e2+14}【分析】（1）求导得到导函数再次求导考虑a≤0和a>0两种情况根据函数单调性计算极值即可（2）确定f(0)=0变换得到a=e x+x−1x2构造新函数求导得到单调区间和极值画出函数图像根据图像得到取值范围【23题详解】f′(x)=e x−2ax+1(x∈R)故ℎ(x)=e x−2ax+1(x∈R)则ℎ′(x)=e x−2a当a≤0时ℎ′(x)>0,ℎ(x)在R上单调递增所以ℎ(x)无极值；当a>0时令ℎ′(x)=e x−2a=0得x=ln(2a)当x<ln(2a)时ℎ′(x)<0,ℎ(x)单调递减当x>ln(2a)时ℎ′(x)>0,ℎ(x)单调递增所以当x=ln(2a)时ℎ(x)取得极小值无极大值ℎ(x)极小值=ℎ(ln(2a))=2a−2aln(2a)+1综上所述：当a≤0时ℎ(x)无极值；当a>0时ℎ(x)有极小值ℎ(ln(2a))=2a−2aln(2a)+1无极大值【24题详解】显然f(0)=0要使方程f(x)=0有两个不等的实根只需当x≠0时f(x)=0有且仅有一个实根当x≠0时由方程f(x)=0得a=e x+x−1x2令g(x)=ex+x−1x2(x≠0)则直线y=a与g(x)=e x+x−1x2(x≠0)的图象有且仅有一个交点g′(x)=(e x+1)x2−2x(e x+x−1)x4=(x−2)(e x−1)x3当x<0时g′(x)<0,g(x)单调递减；当0<x<2时g′(x)<0,g(x)单调递减；当x>2时g′(x)>0,g(x)单调递增所以当x=2时g(x)取得极小值g(2)=e 2+1 4又当x<0时e x<1所以e x+x−1<0,g(x)<0当x>0时e x>1,e x+x−1>0,g(x)>0所以作出g(x)的大致图象如图所示由图象知要使直线y=a与g(x)=e x+x−1x2(x≠0)的图象有且仅有一个交点只需a<0或a=e 2+1 4综上所述：若f(x)=0有两个不等的实根则实数a的取值范围为(−∞,0)∪{e 2+1 4}【点睛】关键点睛：本题考查了求函数极值利用导数解决函数的零点问题意在考查学生的计算能力转化能力和综合应用能力其中利用参数分离的思想将零点问题转化为函数图像的交点问题数形结合可以简化运算便于理解是解题的关键六、其它(共6 分)在斜三角形ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sinC−sinA=b5c+5asinB25 求证：2tanC=3tanA；26 若点D在边AC上BD⊥AC且AD=3,sin∠ABC=20ac求BD的长【答案】25 证明见解析26 4【分析】（1）方法一：根据正弦定理角化为边再结合余弦定理正弦定理将边化为角利用三角恒等变换即可化简证明；方法二：根据正弦定理将边化为角再结合三角恒等变换即可证明；（2）首先根据正切关系以及（1）的结果求得CD=2再根据面积公式求得BD的长【25题详解】方法一：由sinC−sinA=b5c+5a sinB及正弦定理得c−a=b25c+5a所以c2−a2=15b2,c2+b2−a2=65b2由余弦定理得2bccosA=65b2即5ccosA=3b由正弦定理得5sinCcosA=3sinB=3sin(A+C)=3sinAcosC+3cosAsinC 所以2sinCcosA=3sinAcosC易得cosAcosC≠0上式两边同时除以cosAcosC得2tanC=3tanA方法二：由sinC−sinA=b5c+5asinB及正弦定理得5sin2C−5sin2A=sin2B=sin2(A+C)=(sinAcosC+cosAsinC)2易得cosAcosC≠0上式两边同时除以cos2Acos2C得5tan 2C ⋅sin 2A+cos 2Acos 2A−5tan 2A ⋅sin 2C+cos 2Ccos 2C=(tanA +tanC)2即5tan 2C −5tan 2A =(tanA +tanC)2因为0<A +C <π,tanA +tanC ≠0所以5tanC −5tanA =tanA +tanC 整理得2tanC =3tanA 【26题详解】由BD ⊥AC 得tanA =BDAD ,tanC =BD CD因为2tanC =3tanA 所以CD =23AD因为AD =3所以CD =2所以AC =AD +CD =5 因为sinB =20ac 所以△ABC 的面积S =12acsinB =10 所以S =12×BD ×AC =12×BD ×5=10 解得BD =4所以BD 的长为4 七、问答题(共 6 分)已知函数g (x )=e ax cosx −e ax−x27 若a =1求g (x )的图象在点(0,g (0))处的切线方程； 28 若g (x )在区间(−π4,π4)上单调递增求实数a 的取值范围【答案】27 x −y =0 28 [1,1+2√2e π4−1]【分析】（1）求导根据导数的几何意义运算求解；（2）方法一：求导根据题意分析可得当x ∈(−π4,π4)时e x (acosx −sinx )−(a −1)≥0恒成立构建新函数ℎ(x )=e x (acosx −sinx )−(a −1)利用导数分类讨论判断其单调性和最值结合恒成立问题分析求解；方法二：求导根据题意分析可得(e x cosx −1)a ≥e x sinx −1在x ∈(−π4,π4)上恒成立分类讨论运用参变分离法结合恒成立问题分析求解【27题详解】当a =1时g (x )=e x cosx −1则g ′(x )=e x (cosx −sinx ) 可得g (0)=0g ′(0)=1即切点坐标为(0,0)斜率k =1所以g (x )的图象在点(0,g (0))处的切线方程为y =x 即x −y =0【28题详解】方法一：因为g (x )=e ax cosx −e ax−x所以g ′(x )=e ax (acosx −sinx )−(a −1)e ax−x =e ax−x [e x (acosx −sinx )−(a −1)] 设ℎ(x )=e x (acosx −sinx )−(a −1)且e ax−x >0由题意可知：当x ∈(−π4,π4)时ℎ(x )≥0恒成立则ℎ′(x )=e x [(a −1)cosx −(a +1)sinx ] 当x ∈(−π4,π4)时e x >0,cosx >0整理得ℎ′(x )=e x cosx [a −1−(a +1)tanx ] 设m (x )=a −1−(a +1)tanx（i ）当a +1<0即a <−1时则m (x )在区间(−π4,π4)上单调递增则m(x)<m (π4)=−2<0即ℎ′(x )<0所以ℎ(x )单调递减所以ℎ(π4)=√22e π4(a −1)−a +1≥0解得a ≥1不符合题意舍去；（ⅱ）当a +1=0即a =−1时ℎ′(x )=−2e x cosx 当x ∈(−π4,π4)时ℎ′(x )<0 所以ℎ(x )在(−π4,π4)上单调递减ℎ(π4)=2−√2e π4<0不符合题意舍去；（ⅲ）当a +1>0即a >−1时则m (x )在区间(−π4,π4)上单调递减 ①若−1<a ≤0则m(x)<m (−π4)=2a ≤0 即ℎ′(x )≤0可知ℎ(x )在区间(−π4,π4)上单调递减所以ℎ(π4)=√22e π4(a −1)−a +1≥0解得a ≥1不符合题意舍去；②当a >0时因为m (−π4)=2a >0,m (π4)=−2<0 所以存在x 0∈(−π4,π4)使得m (x 0)=0当x ∈(−π4,x 0)时m (x )>0即ℎ′(x )>0,ℎ(x )单调递增；当x ∈(x 0,π4)时m (x )<0即ℎ′(x )<0,ℎ(x )单调递减；由题意可得{ℎ(−π4)=√22e −π4(a +1)−a +1≥0ℎ(π4)=√22e π4(a −1)−a +1≥0解得1≤a ≤√2+e −π4√2−e −π4=1+2√2e π4−1综上所述：实数a 的取值范围是[1,1+2√2e π4−1]方法二：因为g (x )=e ax cosx −e ax−x则g ′(x )=e ax (acosx −sinx )−(a −1)e ax−x =e ax [(acosx −sinx )−(a −1)e −x ] 由题意可知：当x ∈(−π4,π4)时g ′(x )≥0恒成立因为e ax >0则(acosx −sinx )−(a −1)e −x ≥0恒成立又因为e x >0则e x (acosx −sinx )−(a −1)≥0恒成立所以(e x cosx −1)a ≥e x sinx −1在x ∈(−π4,π4)上恒成立令k (x )=e x cosx −1则k ′(x )=e x (cosx −sinx ) 因为x ∈(−π4,π4)则cosx >sinx可知k ′(x )>0所以k (x )在(−π4,π4)上单调递增且k (0)=0 可得：当x ∈(−π4,0)时则k (x )<0；当x ∈(0,π4)时则k (x )>0；设ℎ(x )=e x sinx−1e x cosx−1则ℎ′(x )=e x (e x −2sinx )(e x cosx−1)2设m (x )=e x −2sinx①当x =0时e x cosx −1=0,e x sinx −1=−1该不等式成立所以a ∈R ； ②当x ∈(−π4,0)时e xcosx −1<0可得a ≤e x sinx−1e x cosx−1当x ∈(−π4,0)时e x >0,sinx <0则m (x )=e x −2sinx >0即ℎ′(x )>0 所以ℎ(x )在(−π4,0)上单调递增可得ℎ(x )>ℎ(−π4)=√2+e −π4√2−e −π4=1+2√2e π4−1所以a ≤1+2√2e π4−1；③当x ∈(0,π4)时e x cosx −1>0所以a ≥e x sinx−1e x cosx−1 因为m (x )=e x −2sinx 所以m ′(x )=e x −2cosx 且y =e x 和y =−2cosx 在(0,π4)上单调递增则m ′(x )在(0,π4)上单调递增且m ′(0)<0,m ′(π4)>0 可知∃x 0∈(0,π4)使得m ′(x 0)=0即e x 0−2cosx 0=0可得当x ∈(0,x 0)时m ′(x )<0,m (x )单调递减；当x ∈(x 0,π4)时m ′(x )>0,m (x )单调递增；所以当x ∈(0,π4)时m (x )>m (x 0)=e x 0−2sinx 0=2cosx 0−2sinx 0>0 即ℎ′(x )>0则ℎ(x )在(0,π4)上单调递增可得ℎ(x )<ℎ(π4)=1所以a ≥1；综上所述：实数a 的取值范围是[1,1+2√2e π4−1]【点睛】方法点睛：1．两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．。

2021-2022学年四川省普通高中高三上学期第三次联考数学试卷(理科)(含答案解析)

2021-2022学年四川省普通高中高三上学期第三次联考数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设复数z=(2+i)(1−3i)，则z的实部与虚部之和为()A. 0B. −10C. 5D. 102.已知集合A={x|m<x<m+5}，B={x|−3<x<7}，若A∪B={x|−3<x<8}，则A∩B=()A. {x|2<x<7}B. {x|−3<x<2}C. {x|3<x<7}D. {x|−3<x<3}3.“tanα>0”是“α为锐角”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.截至2021年11月15日，《长津湖》的票房已超56亿，该片突出了革命先烈的牺牲精神，也更加显示出如今和平生活的来之不易，某影院记录了观看此片的70位观众的年龄，其中年龄位于区间[10,20)的有10位，位于区间[20,30)的有20位，位于区间[30,40)的有25位，位于区间[40,50]的有15位，则这70位观众年龄的中位数约为()A. 34B. 33C. 32D. 315.若曲线y=x3+ax在点(1,a+1)处的切线方程为y=7x+m，则m=()A. 3B. −3C. 2D.−26.执行如图所示的程序框图，若输出的S=8，则输入的k可能为()A. 9B. 5C. 4D. 37. 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积S =(a 2+b 2−c 2)sin2C ，则cosC =( )A. ±√24B. √24C. ±14D. 148.函数f(x)=sin(2x −2−x )在[−π2,π2]上的图象大致为( )A.B.C.D.9.设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n +n}是公比为2的等比数列，且a 1=1，则a 8=( )A. 255B. 257C. 127D. 12910. 在矩形ABCD 中，AB =√3AD =3，DC⃗⃗⃗⃗⃗ =4MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 234B. 5C. 194D. 411. 投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，且甲、乙每次投壶投中的概率分别为12,13，每人每次投壸相互独立．若约定甲投壶2次，乙投壶3次，投中次数多者胜，则甲最后获胜的概率为( )A. 23B. 527C. 13D. 102712. 已知1.584<log 23<1.585，1.5843≈3.97，1.5853≈3.98.设a =log 2(log 34)，b =log 3(log 42)，c =log 4(log 23)，则( )A. b <a <cB. b <c <aC. a <c <bD. c <b <a二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. (x 3−2x )4的展开式中的常数项等于______．14. 若x ，y 满足约束条件{y +2≥0x +y −3≤03x −2y +6≥0，则3x −y 的最小值为______．15. 已知函数f(x)=tan x2，现有下列四个命题： ①f(x)的最小正周期为2π； ②曲线y =f(x)关于点(π,0)对称； ③若f(α)=12，则tanα=−43；④若f(2α)=2，则sin(α−π4)=13sin(α+π4)．其中所有真命题的编号是______．16. 设直线x =t(0≤t ≤2)与函数y =x 3的图象交于点A ，与直线y =3x −4交于点B ，则|AB|的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 春见柑橘的学名是春见，俗称耙耙柑，2001年从中国柑橘研究所引进，广泛种植于四川、重庆、江西等地．四川省某个春见柑橘种植基地随机选取并记录了8棵春见柑橘树未使用新技术时的年产量(单位：千克)和使用了新技术后的年产量的数据的变化，得到如下表格：未使用新技术时的8棵春见柑橘树的年产量使用了新技术后的8棵春见柑橘树的年产量已知该基地共有40亩地，每亩地有55棵春见柑橘树．(1)根据这8棵春见柑橘树年产量的平均值，估计该基地使用了新技术后，春见柑橘年总产量比未使用新技术时增加的百分比；(2)已知使用新技术后春见柑橘的成本价为每千克5元，市场销售价格为每千克10元．若该基地的所有春见柑橘有八成按照市场价售出，另外两成只能按照市场价的八折售出，试估计该基地使用新技术后春见柑橘的年总利润是多少万元．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面为直角梯形，CD//AB ，AD ⊥AB ，且PA =AD ，E 为PD 的中点． (1)证明：AE ⊥平面PCD ．(2)若AD =CD =12AB ，求二面角B −PC −D 的大小．19. 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，从下面①②③中任意选择两个作为条件，证明另外个成立． ①a 3=9；②S n =n(a n −n +1)； ③数列{1a n a n+1}的前n 项和为n10n+25．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点恰为椭圆D ：x 24+y 23=1长轴的端点，且C 的短轴长为2． (1)求C 的方程；(2)若直线l 与直线y =2x −1平行，且l 与C 交于A ，B 两点，M(1,0)，求MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值．21. 已知函数f(x)=ax 2−(1+2a)x +lnx ． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a =0时，证明：e x x>710−x 2−2f(x)．22. 在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ=−4cosθ，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy ．(1)写出曲线C的一个参数方程；(2)设P为曲线C上的一个动点，P到x轴，y轴的距离分别为d1，d2，求d1+d2的最大值．23. 已知函数f(x)=|x−3|．(1)求不等式f(x)<|3x−1|的解集．(2)若函数g(x)=f(2x)−2|x−6|的最大值为m，证明：(x2+y2+z4)(1x2+1y2+1z4)≥m．参考答案及解析1.答案：A解析：∵z=(2+i)(1−3i)=2+3−5i=5−5i，∴z的实部为5，虚部为−5，∴z的实部与虚部之和为0．故选：A．根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．2.答案：C解析：集合A={x|m<x<m+5}，B={x|−3<x<7}，若A∪B={x|−3<x<8}，则m+5=8，解答m=3，所以A={x|3<x<8}，所以A∩B={x|3<x<7}，故选：C．由并集运算可求得m的值，从而可得集合A，再利用交集运算求解即可．本题主要考查集合的交集和并集运算，考查运算求解能力，属于基础题．3.答案：B解析：若“α为锐角”，则“tanα>0”成立，反之，不一定成立．故选：B．直接利用三角函数的符号和充分条件和必要条件的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的值，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．4.答案：C解析：根据中位数的定义，利用区间端点判断中位数在[30,40)内，×25=35，设中位数是x，则10+20+x−3010解得x=32，所以这70位观众年龄的中位数约为32．故选：C．根据中位数的定义，利用区间端点计算中位数即可．本题考查了中位数的计算问题，是基础题．5.答案：D解析：由y =x 3+ax ，得y′=3x 2+a ，又曲线y =x 3+ax 在点(1,a +1)处的切线方程为y =7x +m ， ∴{3+a =7a +1=7+m ，解得{a =4m =−2．∴m =−2．故选：D ．求出原函数的导函数，由题意可得关于a 与m 的方程组，求解得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．6.答案：D解析：由S =k3=8，得k =24，则输入的k 的可能为12，6，3，⋅⋅⋅， ∴结合选项知：D 符合要求，故选：D ．根据输出结果可得输出时k =24，结合执行逻辑确定输入k 的可能值，即可知答案．本题考查程序框图，考查学生分析问题的能力，属于容易题．7.答案：A解析：因为S =(a 2+b 2−c 2)sin2C ，所以12absinC =2abcosC ⋅2sinCcosC ，又sinC ≠0，所以cos 2C =18，解得cosC =±√24．故选：A ．利用三角形的面积公式，余弦定理，二倍角的正弦公式化简已知等式即可求解cosC 的值．本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，二倍角的正弦公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．8.答案：B解析：f(−x)=sin(2−x −2x )=−sin(2x −2−x )=−f(x) 所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除CD ；令t =2x −2−x 在(0,π2)递增，且x =0时，t =0， x =1时，t =2−12=32， f(1)=sin 32>0，所以y =sin(2x −2−x )在(0,π2)大于0，排除A ，故选：B ．根据函数图象的对称性判断函数的图象特点，以及函数值的单调性即可得到结论．本题考查函数的图象分析，注意分析函数的奇偶性、单调性，属于基础题．9.答案：C解析：数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n +n}是公比为2的等比数列，且a 1=1， ∴S 1+1=2，∴S n +n =2n ，∴S n =2n −n ，∴a 8=S 8−S 7=(28−8)−(27−7)=127．故选：C ．由数列{S n +n}是公比为2的等比数列，且a 1=1，得到S n +n =2n ，从而S n =2n −n ，再由a 8=S 8−S 7，能求出结果．本题考查等比数列的运算，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：A解析：解：建立如图所示的直角坐标系，则A(0,0)，B(3,0)，D(0,√3)，C(3,√3)，因为DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以M(94,√3)，P(3,√3λ)，所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(94,√3)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,√3λ−√3)，又AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3)⋅(3,√3λ)=3λ=2，所以λ=23则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =94×3+√3(√3λ−√3)=3λ+154=234．故选：A ．。

2019-2020年高三数学理科联考试卷及答案

2019-2020年高三数学理科联考试卷及答案试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间120分钟. 试卷总分为150分。

请考生按规定用笔将所用试题的答案涂、写在答题纸上.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数=⎪⎭⎫⎝⎛-+213i i （ ▲ ）A. 34i --B. 34i -+C. 34i -D. 34i +2．已知实数a ，b ，则ab ≥2是a 2＋b 2≥4的（ ▲ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．阅读右面的程序框图，则输出的k = （ ▲ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 74．从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为（ ▲ ）（A ）1954 （B ）3554 （C ）3854 （D ）4160 5.设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ▲ ） A ．若//a b ，//a α，则//b α B ．若αβ⊥，//a α，则a β⊥ C ．若αβ⊥，a β⊥，则//a α D ．若a b ⊥，a α⊥，b β⊥，则αβ⊥6.若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩且x y +的最大值为9，则实数m = （ ▲ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 2 7．若sin cos tan (0),2πααααα+=<<∈则（ ▲ ）A ．)6,0(πB ．)4,6(ππ C ．)3,4(ππ D ．)2,3(ππ 8．已知10<<a ，则方程|log |||x aa x =的实根个数为n ，且11(1)(1)n x x +++210110121011(2)(2)(2)(2)a a x a x a x a x =+++++++++，则=1a （ ▲ ）A ．9B ．10-C ．11D. 12-9．设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点，其中12,F F分别是双曲线的左、右焦点，且12||2||PF PF =，则双曲线的离心率为（ ▲ ）A．2BC．2D ．10. 已知()f x 是定义在[],a b 上的函数，其图像是一条连续的曲线，且满足下列条件：① ()f x 的值域为G ，且[],G a b ⊆；② 对任意的[],,x y a b ∈，都有()()f x f y x y -<-.那么，关于x 的方程()f x x =在区间[],a b 上根的情况是（ ▲ ）A ．没有实数根 B. 有且仅有一个实数根 C. 恰有两个实数根 D. 有无数个不同的实数根第Ⅱ卷二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分。

新课标2025届高三数学上学期10月大联考试卷及答案解析

2025届高三10月大联考（新课标卷）数学本卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号\.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{|13}A x x =-<≤，2{|4}B x x =>，则R ()A B = ð（）A. ()1,2- B. (]1,2-C. (]2,3- D. (]2,3【答案】B 【解析】【分析】解不等式化简集合B ，再利用补集、交集的定义求解即得.【详解】集合2{|4}(,2)(2,)B x x =>=-∞-+∞ ，则R [2,2]B =-ð，而{|13}A x x =-<≤，所以R ()(1,2]A B =- ð.故选：B 2. 使不等式312x≤-成立的一个必要不充分条件是（）A. ()(),12,-∞-+∞ B. (](),12,-∞-+∞ C. ()[),12,-∞-⋃+∞ D. (][),12,-∞-⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】利用分式不等式化简可得2x ≥或1x <-，即可根据真子集关系求解.【详解】由312x ≤-可得()()120320220x x x x x ⎧+-≤-+≤⇒⎨--≠⎩，解得x >2或1x ≤-，设不等式312x≤-成立的一个必要不充分条件构成的集合是A ,则(](),12,∞∞--⋃+是A 的一个真子集，结合选项可知A 可以为(][),12,-∞-⋃+∞，故选：D3. 已知函数()lg f x x =，()13g x x =-，则()()13100g f f g ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A. 6B. 6- C. 5D. 5-【答案】A 【解析】【分析】由里往外代入即可求解.【详解】11lg 2100100f ⎛⎫==-⎪⎝⎭,()()313310g -=-⨯-=,故()()()()()13210132lg106100g f f g g f ⎛⎫⎛⎫--=--=-⨯--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A.4. 已知a ，b 为非零向量，1a b ⋅= ，()3,4b = ，则a 在b上的投影向量为（）A. 15b r B. 125b C. bD.1125b 【答案】B 【解析】【分析】由模长的坐标表示可得b，再结合投影向量的定义分析求解.【详解】由题意可得：5b == ，所以a 在b 上的投影向量为2125a b b b b ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭r r r rr .故选：B.5. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，若角α的终边过点()6,8A -，则πsin 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.35B. 35-C.45D. 45-【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的定义可得3cos 5α==-，即可由诱导公式化简求解.【详解】由题意可知3cos 5α==-，π3sin cos 25αα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，故选：A6. 已知函数32()22ln f x x x x =--，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A. 2 B. 1 C.12D.14【答案】D 【解析】【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，进而求出三角形面积.【详解】函数32()22ln f x x x x =--，求导得22()62f x x x x'=--，则(1)2f '=，而(1)1f =，因此曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为12(1)y x -=-，即21y x =-，该切线交x 轴于点1(,0)2，交y 轴于点(0,1)-，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为1111224⨯⨯=.故选：D7. 已知函数()f x 满足()()2sin tan f x f x x x --=+，若函数()y f x =在[]3π,5π-上的零点为1x ，2x ，…，n x ，则1ni i x ==∑（）A. 8πB. 9πC. 16πD. 17π【答案】B 【解析】【分析】先利用方程组法求出()f x 的解析式，结合()f x 的奇偶性将[]3π,5π-上的零点和转化为(]3π,5π上的零点和问题，令()0f x =，转化为sin tan x x =-，结合正弦和正切函数的图象性质得到结果.【详解】由()()2sin tan f x f x x x --=+，可得()()()()2sin tan sin tan f x f x x x x x --=-+-=--，解得()()1sin tan 3f x x x =+，易知()f x 为奇函数，故()f x 的图象关于原点对称，则函数y =f (x )在[]3π,3π-上的图象关于原点对称，故函数y =f (x )在[]3π,3π-上的零点也关于原点对称，和为0，在(]3π,5π上的零点和即为[]3π,5π-上的零点和，令()0f x =，得sin tan 0x x +=，sin tan x x =-，(]3π,5πx ∈，作出sin y x =和tan y x =-在同一坐标系中的图象，可知y =f (x )在(]3π,5π内的零点有4π和5π两个，故14π5π9πni i x ==+=∑.故选：B.8. 已知函数()cos(2)(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的图象过点1(0,)2A ，且对任意12π2π,(,)23x x ∈，都有1212()[()()]0x x f x f x --≥，则ω的取值范围是（）A. 25[,34B. 1(0,2C. 25811[,][,3434D. 15(0,][,2]23【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用图象所过点求出ϕ，再利用单调递增区间求出ω范围.【详解】依题意，1(0)cos 2f ϕ==，而0πϕ<<，则π3ϕ=，π()cos(23f x x ω=+，由对任意12π2π,(,23x x ∈，都有1212()[()()]0x x f x f x --≥，得函数()f x 在π2π(,23上单调递增，当2(,)2π3πx ∈时，ππ4ππ2(π,)3333x ωωω+∈++，而余弦函数cos y x =的递增区间为：[]()2ππ,2πk k k -∈Z ，则[]()π4πππ,2ππ,2π333k k k ωω⎛⎫++⊆-∈ ⎪⎝⎭Z ，于是ππ2ππ3,4ππ2π33k k k ωω⎧+≥-⎪⎪∈⎨⎪+≤⎪⎩Z ，解得423,3124k k k ωω⎧≥-⎪⎪∈⎨⎪≤-⎪⎩Z ，显然32k−14>02k−43<32k−14，即11366k <<，而k ∈Z ，因此1k =或2k =，所以ω的取值范围是2534ω≤∈或81134ω≤∈.故选：C【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质列出不等式求解即得.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知01d c a b <<<<<，则（）A. a d b c +<+ B. ac bd <C. b a a b < D.2b aa b+>【答案】ACD 【解析】【分析】利用不等式的性质判断A ；举例说明判断B ；利用指数函数、幂函数单调性判断C ；作差变形判断D.【详解】对于A ，由,d c a b <<，得a d b c +<+，A 正确；对于B ，取114,1,,32d c a b =-=-==，满足01d c a b <<<<<，而123ac bd =->-=，B 错误；对于C ，由01a b <<<，得函数x y a =在R 上递减，a y x =在(0,)+∞上递增，则b a a a a b <<，C 正确；对于D ，由01a b <<<，得220b a a b +-=>，D 正确.故选：ACD10. 已知函数π()cos )(0)6f x a x x a =->的最小值为，则（）A. 直线π2x =为()f x 图象的一条对称轴B. ()f x 在区间π4π(,)23上单调递减C. 将()f x 的图象向左平移π3个单位长度，得到一个奇函数的图象D. 当π[,]3x t ∈-时，()f x 的值域为[，则t 的取值范围为π[,π]3【答案】BD 【解析】【分析】根据给定条件，利用三角恒等变换，结合正弦函数性质求出a ，进而求出()f x ，再逐项分析判断即可.【详解】函数33()cos sin sin ()22f x a x x x x a x x ϕ=+=+=+，其中ϕ由tan ϕ=确定，依题意，=20a -=，而0a >，解得a =3π()sin )26f x x x x ==+，对于A ，πππ3(2262f =+=≠，即直线π2x =不是()f x 图象的对称轴，A 错误；对于B ，当π4π(,23x ∈时，2π3π(,32π6x ∈+，而正弦函数sin y x =在2π3π(,32上递减，因此()f x 在区间π4π(,23上单调递减，B 正确；对于C ，πππ(336f x x x +=++=是偶函数，C 错误；对于D ，当π[,]3x t ∈-时，()f x 的值域为[，则当πππ[,]666x t ++∈-时，1πsin()126x -≤+≤，因此ππ7π266t ≤+≤，解得ππ3t ≤≤，D 正确.故选：BD11. 已知函数()f x 对任意实数,x y 都有()()(1)()(1)f x y f x f y f y f x +=+++，且(1)1f =，(1)1f -=-，则（）A. (0)0f = B. (2)()f x f x +=-C.20241()2024n f n ==∑ D. 对任意*n ∈N ，都有(2)0f n =【答案】ABD 【解析】【分析】根据给定的函数等式，利用赋值法，结合周期函数的定义逐项分析判断即得.【详解】对任意实数,x y 都有()()(1)()(1)f x y f x f y f y f x +=+++，且(1)1,(1)1f f =-=-，对于A ，令0x y ==，得(0)(0)(1)(0)(1)2(0)f f f f f f =+=，则(0)0f =，A 正确；对于B ，令,1x y ∈=-R ，得(1)()(0)(1)(1)(1)f x f x f f f x f x -=+-+=-+，因此(2)()f x f x +=-，B 正确；对于C ，由(2)()f x f x +=-，得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，又(1)(3)0,(2)(4)0f f f f +=+=，即(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，因此202410(1)(2)(3)(4)]()506[n f n f f f f =+++==∑，C 错误；对于D ，由(2)()f x f x +=-，得(2)(4)(0)0f f f =-=-=，又()f x 是周期为4的周期函数，因此对任意*n ∈N ，都有(42)(4)0f n f n +==，即(2)0f n =，D 正确故选：ABD【点睛】关键点点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值，再不断变换求解即可.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知平面向量a，b 满足2= a ，3b =，且a b += ，则a b -= ______.【解析】【分析】根据给定条件，利用平面向量数量积的运算律，列式计算即得..【详解】依题意，2222||||2||2||a b a a b b ++=+- ，而2= a ，3b = ，且a b += ，则29|23|242a b +=⨯-+⨯ ，所以a b -= .13. 已知α为锐角且πsin 2cos 24αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.【答案】14-##0.25-【解析】cos sin αα=-，即可利用辅助角公式求解.【详解】由πsin 2cos 24αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得)()()()22sin cos 2cos sin 2sin cos cos sin αααααααα+=-=+-，由于α为锐角，所以sin cos 0αα+>cos sin αα=-，()πcos sin sin cos 4ααααα⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭，故π1sin 44α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故答案为：14-14. 已知不等式()242e 822e 2ln x x axx a x x x ++--<-对任意0x >恒成立，则实数a 的取值范围为______.【答案】3a >【解析】【分析】原不等式可化为()()24ln 2e2ln e 2x xxaxx x x ax ++++<++，利用()2e x f x x =+为R 上的增函数可得2ln x x x ax +<+对任意0x >恒成立，结合参变分离可求a 的取值范围.【详解】原不等式等价于()242e82ln e 2xxaxx x x x ax +++<++，也就是()()24ln 2e24ln e 2x xxaxx x x ax ++++<++，因为2,e x y x y ==均为R 上的增函数，故()2e xf x x =+为R 上的增函数，故原不等式即为()()24ln f x x f x ax +<+，故24ln x x x ax +<+对任意0x >恒成立，故a >4−x +lnx x对任意0x >恒成立，设s (x )=4−x +lnx x,x >0，则()221ln x xs x x '--=，设()21ln v x x x =--，则()120v x x x'=--<，故()21ln v x x x =--在(0,+∞)上为减函数，而()10v =，故当x ∈(0,1)时，()0v x >即()0s x '>，故()s x 在(0,1)上为增函数；当x ∈(1,+∞)时，()0v x <即()0s x '<，故()s x 在(1,+∞)上减函数，故()()max 13s x s ==，故3a >，故答案为：3a >.【点睛】思路点睛：对于由指数函数和对数函数构成的较为复杂函数，我们可以利用指对数的运算法则对原有的不等式同构变形，从而把原不等式转化为简单不等式.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数()(ln sin cos f x x x =++.（1）证明：()f x 是周期函数；（2）求()f x 的单调递增区间.【答案】（1）证明见解析；（2）3ππ2π,2π,Z 44k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）由辅助角公式可得()πln 4f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用三角函数周期性即可证明得出结论；（2）利用复合函数单调性以及正弦函数图象性质解不等式可得结果.【小问1详解】为由()(ln sin cos f x x x =++可得()πln 4f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；ππ2π44x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()ππ2πln 2πln 44f x x x f x ⎛⎫⎛⎫+=+++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可知()f x 是以2π为周期的周期函数【小问2详解】由复合函数单调性可知求得π4y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭易知π04y x ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭恒成立，可得函数()f x 的定义域为R ；因此只需πππ2π2π,Z 242k x k k -+≤+≤+∈，解得3ππ2π2π,Z 44k x k k -+≤≤+∈；即()f x 的单调递增区间为3ππ2π,2π,Z 44k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.16. 在平面四边形ABCD 中，AB BC ==120ABC ∠=︒，AC CD ⊥且AC =.（1）求AD 的长；（2）若M 为CD 的中点，求cos AMB ∠.【答案】（1）（2【解析】【分析】（1）在三角形ABC 中由余弦定理求出3AC =，然后利用勾股定理求解即可；（2）在BCM 与ADM △中，由余弦定理分别求出BM 与AM ，然后在AMB 中，由余弦定理求解即可.【小问1详解】在三角形ABC 中，AB BC ==120ABC ∠=︒，所以由余弦定理得：22212cos 332392AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=++⨯⨯=，所以3AC =，又AC =，所以CD =，又AC CD ⊥，所以AD ==.【小问2详解】在三角形ABC 中，120ABC ∠=︒，所以30BAC ACB ∠=∠=︒，所以3090120BCD ∠=︒+︒=︒，所以在BCM 中，M 为CD 的中点，所以MC =，BC =，120BCM ∠=︒，所以由余弦定理得：22231212cos 3424BM BC CM BC CM BCM =+-⋅∠=++=，所以BM =，在ADM △中，60ADC ∠=︒，AD =DM =，所以由余弦定理得：22231392cos 122424AM AD DM AD DM ADM =+-⋅∠=+-⨯=所以AM =，所以在AMB中，由余弦定理得：222cos 2AM BM AB AMB AM BM +-∠===⋅17. 已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，6a =，2π3A =，向量()cos ,cos m b C c B = ，()sin ,sin n B C =- ，且m n ⊥ ，ABC V 所在平面内存在点D ，满足()30AD AC AB λλ=+> .（1）判断ABC V 是否为等腰三角形；（2）当2λ=时，求ABD △的面积；【答案】（1）ABC V 等腰三角形，理由见解析（2）【解析】【分析】（1）由m n ⊥ ，得到cos sin cos sin 0b C B c B C -=，由正弦定理，余弦定理角化边整理即可判断；（2）画出图，在ABC V 中，由正弦定理求出b 与c ，设2AE AC AB =+ ，则13ABD ABE S S =求解即可.【小问1详解】因为m n ⊥ ，所以0m n ⋅= ，所以cos sin cos sin 0b C B c B C -=，由正弦定理角化边得22cos cos 0b C c B -=，由余弦定理得：22222222022a b c a c b b c ab ac +-+-⋅-⋅=，所以整理得：()()2222220b a b c c ac b +--+-=，所以()()22220b c a b c bc -+++=，所以0b c -=，所以b c =，故ABC V 是等腰三角形.【小问2详解】是在ABC V中，由正弦定理得：sin sin b a B A ===，所以12b ==，c =，当2λ=时，32AD AC AB =+ ，如图2AE AC AB =+ ，所以在ABE 中，60ABE ∠=，AB =BE =所以11111sin 33232ABD ABE S S AB BE ABE ==⨯⋅∠=⨯⨯= 18. 已知函数()()e 1()x f x x a a =++∈R .（1）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（2）证明：当0x >时，e e e(e 1)x x x >-.【答案】（1）1a ≥-；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，分离参数并构造函数，利用导数求出最大值即可得解.（2）构造函数()e ,0x h x x x =->，利用导数证得e 1x x >+，再利用函数单调性信不等式性质推理即得.【小问1详解】函数()()e 1x f x x a =++的定义域为R ，01()e x x a x f ≥--≥⇔，令1(e )x g x x -=-，依题意，()a g x ≥恒成立，1()1ex g x -+'=，当0x <时，()0g x '>，当0x >时，()0g x '<，则函数()g x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，max ()(0)1g x g ==-，于是1a ≥-，所以实数a 的取值范围是1a ≥-.【小问2详解】当0x >时，令()e x h x x =-，求导得()e 10x h x '=->，函数()h x (0,)+∞上单调递增，在则()(0)1h x h >=，即e 1x x >+，因此e 1e e x x +>，e 1e e xx x x +>，令()e e 1,0x x x x x ϕ=-+>，求导得()e 0x x x ϕ=>，即函数()ϕx 在(0,)+∞上单调递增，()(0)0x ϕϕ>=，即e e 1x x x >-，于是1e e(e 1)x x x +>-，所以e e e(e 1)x x x >-.【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.19. 阅读材料一：设函数()f x 在区间D 上有定义，若对任意12,x x D ∈和任意()0,1λ∈，都有1212((1))(1())()f f x x x x f λλλλ+-≤+-，则称()f x 是区间D 上的下凸函数；反之，如果都有1212((1))(1())()f f x x x x f λλλλ+-≥+-，则称()f x 是区间D 上的上凸函数.阅读材料二：若函数()f x 在区间D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在区间D 上也可导，则称()f x 在区间D 上存在二阶导函数，即()()()f x x f ''''=.设函数()f x 在区间D 上存在二阶导函数，则()f x 在区间D 上是下凸（上凸）函数的充要条件是对任意x D ∈都有()0f x ''≥（()0f x ''≤）且在区间D 的任意子区间内()f x ''不恒为0.阅读材料三：设函数()f x 在区间D 上连续，00(,)x x D δδ-+⊆（其中δ为无限接近于0的正数），()f x 在00(,)x x δδ-+上存在二阶导函数，若()f x ''在00)(,x x δ-和00(,)x x δ+上的符号相反，则点00(,())x f x 为曲线()y f x =的拐点.请根据以上阅读材料，回答下列问题：（1）证明：对任意0a ≥，0b ≥≥（2）设函数32()69f x mx nx x =+-+，若点(1,1)是曲线()y f x =的拐点，求实数m ，n 的值，并证明()f x 的图象关于拐点(1,1)中心对称：（3）设函数2()2ln 33g x x x x =+-+，若点00(,())x g x 是曲线()y g x =的一个拐点，且120()()2()g x g x g x +=，其中12012x x <<<<，试证明：1202x x x +>.【答案】（1）证明见解析；（2）1,3m n ==-，证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）构造函数()0x x ϕ=>，证明()ϕx 是上凸函数即可推理得证.（2）利用“拐点”的意义可得(1)0f ''=，结合(1)1f =求出,m n ；再利用中心对称的定义计算推理即可.（3）利用“拐点”的定义求出“拐点”，构造函数()(2)(),01h x g x g x x =-+<<，利用导数探讨单调性可得(2)()2g x g x -+<，再结合给定条件及函数()g x 的单调性推理即得.【小问1详解】当0a =或0b =≥成立，令函数()0x x ϕ=>，121()2x x ϕ-'=，321()04x x ϕ-''=-<，因此函数()x ϕ=是上凸函数，则对任意0,0a b >>，1212()333))(3(a b a b ϕϕϕ+≥+≥，所以对任意0a ≥，0b ≥≥恒成立.【小问2详解】函数32()69f x mx nx x =+-+，则2()326f x mx nx '=+-，()62f x mx n ''=+，由点(1,1)是曲线()y f x =的拐点，得当1x <时()f x ''值与当1x >时()f x ''值符号相反，因此(1)620f m n ''=+=，又(1)31f m n =++=，解得1,3m n ==-；32()369f x x x x =--+，3322(1)(1)(1)(1)3[(1)(1)]6[(1)(1)]18f x f x x x x x x x ++-=++--++--++-+22263(22)12182x x =+-+-+=，所以()f x 的图象关于拐点(1,1)中心对称.【小问3详解】函数2()2ln 33g x x x x =+-+的定义域为(0,)+∞，则2()23g x x x '=+-，22()2g x x''=-+，当01x <<时，()0g x ''<，当1x >时，()0g x ''>，依题意，01x =，0()(1)1g x g ==，当12012x x <<<<时，12()()2+=g x g x ，即21()2()g x g x =-，令22()(2)()(2)(23)2ln 332ln (2)3h x g x g x x x x x x x +-++-+--+=--+=2(2)2l 2ln 4n 42x x x x =+-+-+，01x <<，求导得32(1)2444(1)()444402(2)(2)x x h x x x x x x x x x ⋅---'=+-+=+-=>---，即函数()h x 在(0,1)上单调递增，(0,1),()(1)2x h x h ∀∈<=，即(2)()2g x g x -+<，而101x <<，则11(2)()2g x g x -+<，即11(2)2()g x g x -<-，因此12(2)()g x g x -<，当0x >时，2()23310g x x x '=+-≥-=>，当且仅当1x =时取等号，于是函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，又121x ->，因此122x x -<，即122x x +>，所以1202x x x +>.【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，①存在常数a ，b 使得()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=⇔++-=，则函数()y f x =图象关于点(,)a b 对称.②存常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.在。

【全国卷】名校教研联盟2023届高三联考(三)理科数学试卷及参考答案

绝密食启用前〈全国卷〉理科数学试卷注意事项：1.答Ai-前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，这出每小题答案后，用铅笔j巳辛辛题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再这涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答是巨卡上。

写在本试卷土元效。

3.考试结束后，将本试卷和毛在通卡一并交回。

一、选择题z本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．I.已知z+i＝刀，则lz-il=A豆豆 B.J22 2C.I2. 己知集合M= {xllx -II< 2} , N = {xl2x < 8｝，则MnN=A.｛斗－3＜工＜I}B.{xl-2<x<2}C.{xi-i<x<3}3.己灿，b为单位向景，若la-2bl＝刃，则。

·(a.-2b) =A.0B. -IC.I4.(x－三－1)5的展开式中x的系数为A.-35B.-15 c.5/(1) +f (2) +· · +f(I 0) s.定义域为R的函数f(x）满足f(x)= 2/(x+ I)< 0，则/(11) + /(12）÷…＋ /(30)220A. －－－：－：：－一－B.一一－－－＝－c.2102’υ＋ I 1-2，。

6.已知直线a,b, c两两异丽，且al.c,bl.c P下列说法正确的是A.存在平面α，β，使a cα，b cβ，且ellα，c IIβ，α土βB.存在平面α，β，使a cα，b cβ，且ellα，C IIβ，α／／βc.存在l啦一的平面y，使c c y，且α，b与y所成角相等D.存在平面y，使ally,blly, .llcl.y 。

..!.D.｛斗－I＜工＜2} D.2D.25D.-2107.我国“复兴号”高铁列车是世界上运营速度最快的轮轨列车．在平直的铁轨上停着－辆“复兴号”高铁列车，列车与铁轨上表而接触的车轮半径为R，且某个车轮上的点P刚好与铁轨的上表而接触，若该列车行驶了距离’s，贝I］此时P到铁轨上表丽的距离为A.R sin二RB.2R sin !_RC.R(l－咛）理科数学试题（全国卷）第l页（共4页〉D.R(l+cos言）8.已知x 2+ y 2=2x ，则2-=-的最大值为x＋」己A..!_2B..!_3卢布7卢布了D9.记s，，为等差数列｛。

高三联考数学(理科)试题及答案(2021届)含答案

1oy x12高三联考数学(理科)试题及答案（2021届）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-8题，共40分；第Ⅱ卷为9-21题，共110分.全卷满分150分.考试时间为120分钟.注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B 铅笔涂写在答题纸上．2．第Ⅰ卷、第Ⅱ卷均完成在答题纸上． 3．考试结束后，监考员将答题纸收回．第Ⅰ卷（本卷共计40分）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．函数1()(1)f x x x=>的值域是（）A.()()∞+∞-，，00 B. R C. ),1(+∞ D. )1,0( 2．巳知全集U R =，i 是虚数单位，集合M Z =（整数集）和221(1){,,,}i N i i i i+=的关系韦恩（Ｖenn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A ．３个Ｂ．２个Ｃ．１个Ｄ．无穷个 3．在"3""23sin ",π>∠>∆A A ABC 是中的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数(),0(),0.f x x y g x x >⎧=⎨<⎩是偶函数，()log a f x x =对应的图象如右图所示，则()g x ＝（）A.2xB.12()log x - C. 2log ()x - D.2log ()x --5．函数()sin f x x =在区间[,]a b 上是增函数，且()1,()1f a f b =-=，则cos 2a b+=, C.1-, D.1. 6．ABC △内有一点O ,满足0OA OB OC ++=,且OA OB OB OC ⋅=⋅．则ABC △一定是 A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形7．甲、乙两间工厂的月产值在08年元月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值．乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到08年11月份发现两间工厂的月产值又相同．比较甲、乙两间工厂08年6月份的月产值大小，则有（） A ．甲的产值小于乙的产值 B ．甲的产值等于乙的产值C ．甲的产值大于乙的产值D ．不能确定8．下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R 的映射过程：区间0,1中的实数m 对应数轴上的点M ，如图1；将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合（从A 到B 是逆时针），如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为0,1，如图3.图3中直线AM 与x 轴交于点,0N n ，则m 的象就是n ，记作f m n .则下列说法中正确命题的是（）A.114f ⎛⎫= ⎪⎝⎭； B.()f x 是奇函数；C.()f x 在定义域上单调递增；D.()f x 的图象关于y 轴对称．M B A 图1图2图3数学 (理科)答案第Ⅱ卷（本卷共计110分）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9 ~ 13题）9.在等比数列{}n a 中，若1232a a a =，23416a a a =, 则公比q =10. 对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则02sin xdx π⊗⎰=______.11．△ABC 的三边长分别为7,5,6AB BC CA ===，则AB BC ⋅的值为________. 12．已知不等式|2||1|-++x x ≥m 的解集是R ，则实数m 的取值范围是__________. 13．已知一系列函数有如下性质：函数1y x x =+在(0,1]上是减函数，在[1,)+∞上是增函数；函数2y x x =+在2]上是减函数，在2,)+∞上是增函数；函数3y x x=+在3]上是减函数，在3,)+∞上是增函数；………………利用上述所提供的信息解决问题：若函数3(0)my x x x=+>的值域是[6,)+∞，则实数m 的值是___________.（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）若直线121x ty t =-+⎧⎨=--⎩ （t 为参数）被曲线 13cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数，R θ∈）所截，则截得的弦的长度是____________. 15. （几何证明选讲选做题）如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上的一点。

2019-2020年高三联考数学试卷(理科) 含解析

2019-2020年高三联考数学试卷（理科）含解析一.选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有1个是正确的）1．设i是虚数单位，复数=（）A．2﹣2i B．﹣2﹣2i C．﹣2+2i D．2+2i2．变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．74．下列说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．对于命题p：∃x0∈R，x+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0C．若m，n∈R，“lnm＜lnn”是“e m＜e n”的充分不必要条件D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题5．在的二项展开式中，含x2的系数为（）A．B．C．D．6．已知双曲线与抛物线y2=8x的一个交点为P，F为抛物线的焦点，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．D．7．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（）A．3 B． C．6 D．98．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1二.填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上）9．为了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生300名、260名、280名，若高三学生共抽取14名，则高一学生共抽取________名．10．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是________．11．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C2的方程ρ=﹣2cosθ+2sinθ．曲线C2上任意一点到直线C1距离的最小值为________．12．由不等式组确定的平面区域为A，曲线xy=1和直线y=x以及直线x=3围成的封闭区域为B，在A中随机取一点，则该点恰好在B内的概率为________．13．如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AP和过C的切线互相垂直，垂足为P，过B的切线交过C的切线于T，PB交圆O于Q，若∠BTC=120°，AB=4，则PQ•PB=________．14．已知U=R，关于x的不等式ax2+2x+b＞0（a≠0）的解集是，且a＞b，则，实数t的取值集合为A．集合B={m||x+1|﹣|x﹣3|≤m2﹣3m，x∈R 恒成立}，则A∩（∁U B）=________．三.解答题（本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）（Ⅰ）求函数y=f（x）的对称轴方程，并求在区间[﹣，]上的最值；（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足c=，f（C）=1，且sinB=sinA，求a、b的值．16．A、B两袋中各装有大小相同的小球9个，其中A袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，B袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，甲从A袋中取球，乙从B袋中取球．（Ⅰ）若甲、乙各取一球，求两人中所取的球颜色不同的概率；（Ⅱ）若甲、乙各取两球，称一人手中所取两球颜色相同的取法为一次成功取法，记两人成功取法的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．17．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PA，PB，BC的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAD；（Ⅱ）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PD上是否存在一个动点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，若存在，求线段PM的长度，若不存在，说明理由．18．已知等比数列{a n}的公比q≠1，首项，成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和T n；（Ⅲ）若，P n为数列的前n项和，求不超过P2016的最大的整数k．19．已知椭圆C：离心率，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l过椭圆C的右焦点，并与椭圆相交于E，F两点，截得的弦长为，求直线l的方程；（Ⅲ）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q 两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问：以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．20．已知函数（m∈R），（Ⅰ）求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣5=0垂直，求m的值；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤mx2+（m﹣1）x﹣1恒成立，求整数m的最小值；（Ⅲ）若m=1，m∈R设F（x）=f（x）+x．且正实数x1，x2满足F（x1）=﹣F（x2），求证：x1+x2≥﹣1．2016年天津市滨海新区六所重点学校高三联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有1个是正确的）1．设i是虚数单位，复数=（）A．2﹣2i B．﹣2﹣2i C．﹣2+2i D．2+2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=，故选：D．2．变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x+3y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．【解答】解：变量x，y满足约束条件，画出图形：目标函数z=x+3y经过点A（1，1），z在点A处有最小值：z=1+3×1=4，故选：C．3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当S=0时，满足继续循环的条件，故S=1，k=1；当S=1时，满足继续循环的条件，故S=3，k=2；当S=3时，满足继续循环的条件，故S=11，k=3；当S=11时，满足继续循环的条件，故S=2059，k=4；当S=2049时，不满足继续循环的条件，故输出的k值为4，故选：A4．下列说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．对于命题p：∃x0∈R，x+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0C．若m，n∈R，“lnm＜lnn”是“e m＜e n”的充分不必要条件D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A利用逆否命题的定义判断即可；B存在命题，应把存在改为任意，再否定结论；C根据充分不必要条件的定义判断即可；D根据且命题的真假判断依据判断即可．【解答】解：对于A，逆否命题把命题的条件和结论互换，再同时否定，故命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，故正确；对于B，对于存在命题，应把存在改为任意，再否定结论，故命题p：∃x0∈R，x+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0，故正确；对于C，若m，n∈R，“lnm＜lnn”，则0＜m＜n，可得“e m＜e n”，但由“e m＜e n”，m，n也可能为负值，不一定得出lnm＜lnn”，故应是充分不必要条件，故正确；对于D，且命题为假命题，p和q不能都是真命题，但也不一定都是假命题，故错误．故选：D．5．在的二项展开式中，含x2的系数为（）A．B．C．D．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出求出展开式中含x2项的系数即可．【解答】解：二项展开式的通项公式为：T r+1=••=（﹣1）r•••，令12﹣=2，解得r=4；所以展开式中含x2项的系数为：（﹣1）4C62（）2=．故选：B．6．已知双曲线与抛物线y2=8x的一个交点为P，F为抛物线的焦点，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据抛物线y2=8x上的点P满足|PF|=5，可得P（3，±2），代入双曲线方程算出m的值，即可得到双曲线的a、b之值，从而得到该双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵点P在抛物线y2=8x上，|PF|=5，∴P（x0，y0）满足x0+=5，得x0=5﹣=5﹣2=3因此y02=8x0=24，得y0=±2∴点P（3，±2）在双曲线上可得9﹣=1，解之得m=3∴双曲线标准方程为，得a=1，b=，渐近线方程为y=±，即y=±x故选：C7．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为（）A．3 B． C．6 D．9【考点】平面向量数量积坐标表示的应用；向量在几何中的应用．【分析】先以点A位坐标原点建立的直角坐标系，求出其它各点的坐标，然后利用点的坐标表示出，把所求问题转化为在平面区域内求线性目标函数的最值问题求解即可．【解答】解：：以点A位坐标原点建立如图所示的直角坐标系，由于菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，故点A（0，0），则B（2，0），C（3，），D（1，），M（2，）．设N（x，y），N为平行四边形内（包括边界）一动点，对应的平面区域即为平行四边形ABCD 及其内部区域．因为=（2，），=（x，y），则=2x+y，结合图象可得当目标函数z=2x+y 过点C（3，）时，z=2x+y取得最大值为9，故选D．8．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1【考点】函数的零点．【分析】函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a 的图象交点的横坐标．作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x ≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案．【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=；即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（﹣1，0]；x∈[1，3]时，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]；x∈（3，+∞）时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；画出x≥0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a=0共有五个实根，最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），∴f（﹣x）=（﹣x+1），又f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log2（1﹣x），∴中间的一个根满足log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a，解得x=1﹣2a，∴所有根的和为1﹣2a．故选：A．二.填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上）9．为了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生300名、260名、280名，若高三学生共抽取14名，则高一学生共抽取15名．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样在各部分抽取的比例相等求解．【解答】解：根据分层抽样在各部分抽取的比例相等，分层抽样抽取的比例为=，∴高一应抽取的学生数为300×=15．故答案为：15．10．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是30+6．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图，可得该三棱锥为如图的三棱锥A﹣BCD，其中底面△BCD中，CD⊥BC，且侧面ABC与底面ABC互相垂直，由此结合题中的数据结合和正余弦定理，不难算出该三棱锥的表面积．【解答】解：根据题意，还原出如图的三棱锥A﹣BCD底面Rt△BCD中，BC⊥CD，且BC=5，CD=4侧面△ABC中，高AE⊥BC于E，且AE=4，BE=2，CE=3侧面△ACD中，AC==5∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE⊥BC∴AE⊥平面BCD，结合CD⊂平面BCD，得AE⊥CD∵BC⊥CD，AE∩BC=E∴CD⊥平面ABC，结合AC⊂平面ABC，得CD⊥AC因此，△ADB中，AB==2，BD==，AD==，∴cos∠ADB==，得sin∠ADB==由三角形面积公式，得S△ADB=×××=6又∵S△ACB=×5×4=10，S△ADC=S△CBD=×4×5=10=S△ADB+S△ADC+S△CBD+S△ACB=30+6∴三棱锥的表面积是S表故答案为：30+611．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C2的方程ρ=﹣2cosθ+2sinθ．曲线C2上任意一点到直线C1距离的最小值为．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】直线C1的参数方程为为参数），消去t化为普通方程：x﹣y+6=0．曲线C2的方程ρ=﹣2cosθ+2sinθ，即ρ2=﹣2ρcosθ+2ρsinθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入即可得出直角坐标方程．求出圆心到直线的距离d，即可得出曲线C2上任意一点到直线C1距离的最小值=d﹣r．【解答】解：直线C1的参数方程为为参数），消去t化为普通方程：x﹣y+6=0．曲线C2的方程ρ=﹣2cosθ+2sinθ，即ρ2=﹣2ρcosθ+2ρsinθ，可得直角坐标方程：x2+y2=﹣2x+2y，配方化为：（x+1）2+（y﹣1）2=2，可得圆心C2（﹣1，1），半径r=．圆心到直线的距离d==2曲线C2上任意一点到直线C1距离的最小值=2﹣=．故答案为：．12．由不等式组确定的平面区域为A，曲线xy=1和直线y=x以及直线x=3围成的封闭区域为B，在A中随机取一点，则该点恰好在B内的概率为．【考点】几何概型；二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出平面区域A、B的面积，根据几何概型的概率公式求出对应的概率．【解答】解：如图所示，由不等式组确定的平面区域A的面积为S=3×3=9，曲线xy=1和直线y=x以及直线x=3围成的封闭区域B的面积为S′=×3×3﹣×1×1﹣∫13dx=4﹣ln3；根据几何概型的概率公式知，该点落在区域B内的概率为P=．故答案为：．13．如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AP和过C的切线互相垂直，垂足为P，过B的切线交过C的切线于T，PB交圆O于Q，若∠BTC=120°，AB=4，则PQ•PB=3．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意，圆的半径等于2，设PT与AB交与点M，可得∠COB=60°=∠BTM，∠BMT=30°，利用直角三角形中的边角关系求得TB、BM、MP的值，由切割线定理求得MC，求得PC=MP﹣MC的值，据PQ•PB=PC2求出结果．【解答】解：由题意可得，圆的半径等于2，设PT与AB交与点M，∵∠BTC=120°，则∠COB=60°=∠BTM，∠BMT=30°．TB=TC=OBtan30°=，∴BM==2．由切割线定理可得MC2=MB•MA=2（2+4）=12，∴MC=2．∵cos∠BMT====，∴MP=3，∴PC=MP﹣MC=3﹣2=，由切割线定理可得PQ•PB=PC2=3，故答案为3．14．已知U=R，关于x的不等式ax2+2x+b＞0（a≠0）的解集是，且a＞b，则，实数t的取值集合为A．集合B={m||x+1|﹣|x﹣3|≤m2﹣3m，x∈R恒成立}，则A∩（∁U B）=．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】据基本不等式求以及不等式恒成立求出集合A，B的等价条件，然后根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵关于x的不等式ax2+2x+b＞0（a≠0）的解集是，∴a＞0，且对称轴﹣=，则判别式△=4﹣4ab=0，即ab=1，则==a﹣b+，∵a＞b，∴a﹣b＞0，则t=a﹣b+≥2=2，即A=[2，+∞），∵|x+1|﹣|x﹣3|≤|3﹣（﹣1）|=4，∴若|x+1|﹣|x﹣3|≤m2﹣3m，x∈R恒成立，则m2﹣3m≥4，即m2﹣3m﹣4≥0，即m≥4或m≤﹣1，即B={m|m≥4或m≤﹣1}，则∁U B═{m|﹣1＜m＜4}，则A∩（∁U B）={m|2≤m＜4}，故答案为：三.解答题（本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）（Ⅰ）求函数y=f（x）的对称轴方程，并求在区间[﹣，]上的最值；（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足c=，f（C）=1，且sinB=sinA，求a、b的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用和差公式、倍角公式可得：f（x）=，再利用三角函数的图象与性质即可得出．（Ⅱ），由于0＜C＜π，可得：＜2C﹣，可得C．因为sinB=2sinA，所以由正弦定理得b=2a，再利用余弦定理即可得出．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）=cos2x+sin2x+2×（sinx﹣cosx）×（sinx+cosx）=cos2x+sin2x﹣cos2x=，∵，4分∴对称轴方程为：，∵x∈[﹣，]，∴∈，f（x）在区间[﹣，]上单调递增，在区间上单调递减，所以，当x=时，f（x）取最大值1又=﹣＜=，当x=﹣时，f（x）取最小值﹣．（Ⅱ），∵0＜C＜π，0＜2C＜2π，∴＜2C﹣，∴=，C=，因为sinB=2sinA，所以由正弦定理得b=2a，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcos，即c2=a2+b2﹣ab=3解得：a=1，b=2．16．A、B两袋中各装有大小相同的小球9个，其中A袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，B袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，甲从A袋中取球，乙从B袋中取球．（Ⅰ）若甲、乙各取一球，求两人中所取的球颜色不同的概率；（Ⅱ）若甲、乙各取两球，称一人手中所取两球颜色相同的取法为一次成功取法，记两人成功取法的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设事件A为“两人中所取的球颜色不同”，由此利用对立事件概率计算公式能求出两人中所取的球颜色不同的概率．（Ⅱ）依题意，X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A为“两人中所取的球颜色不同”，则P（A）=1﹣=．（Ⅱ）依题意，X的可能取值为0，1，2．甲所取的两球颜色相同的概率为=，乙所取的两球颜色相同的概率为=，P（X=0）=（1﹣）（1﹣）=，P（X=1）==，P（X=2）==，X0 1EX==．17．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PA，PB，BC的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAD；（Ⅱ）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PD上是否存在一个动点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，若存在，求线段PM的长度，若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明EF⊥平面PAD；（Ⅱ）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（Ⅲ）求出向量坐标，利用直线和平面所成角的定义和关系进行求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD∴AB⊥平面PAD，又∵EF∥AB∴EF⊥平面PAD，（Ⅱ）取AD中点O，连结PO∵平面PAD⊥平面ABCD，PO⊥AD∴PO⊥平面ABCD，如图以O点为原点分别以OG、OD、OP所在直线为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系：∴O（0，0，0）A（0，﹣2，0）B（4，﹣2，0）C（4，2，0），D（0，2，0），G（4，0，0），，E（0，﹣1，），设平面EFG的法向量为，，∴，又平面ABCD的法向量为，设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为θ∴，∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为．（Ⅲ）设，，∴，，∴=，即2λ2﹣3λ+2=0，无解，∴不存在这样的M．18．已知等比数列{a n}的公比q≠1，首项，成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和T n；（Ⅲ）若，P n为数列的前n项和，求不超过P2016的最大的整数k．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）由题意知3q2﹣4q+1=0，从而求出公比，进而求通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而利用错位相减法求其前n项和T n；（Ⅲ）化简为c n=2n﹣1，从而利用裂项求和法及拆项求和法求其前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵成等差数列，∴4a2=a1+3a3，∴3q2﹣4q+1=0，∵q≠1，∴，∴a n=•=；（Ⅱ）由（Ⅰ），∴①，②，①﹣②得，，∴．（Ⅲ）由，得c n=2n﹣1，，=，∴不超过P2016的最大的整数k是2016．19．已知椭圆C：离心率，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l过椭圆C的右焦点，并与椭圆相交于E，F两点，截得的弦长为，求直线l的方程；（Ⅲ）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q 两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问：以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得b=1，由离心率公式和a，b，c的关系，解得a，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得k，再由直线的斜率不存在，不成立．即可得到所求直线的方程；（Ⅲ）以MN为直径的圆过定点（±1，0）．求得M，N的坐标，由直径式的圆的方程可得MN为直径的圆的方程，整理得一般式方程，令y=0，即可得到所求定点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由短轴长为2，得b=1，由，得a2=4，b2=1．∴椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）（1）当直线的斜率存在时，设直线方程：，E（x1，y1），F（x2，y2），由可得，∴，∴，∴；（2）当直线的斜率不存在时，|EF|=1不符合．∴直线方程为和．（Ⅲ）以MN为直径的圆过定点（±1，0）．证明如下：设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），且，即，∵A（﹣2，0），∴直线PA方程为：，∴，直线QA方程为：，∴，以MN为直径的圆为，或通过求得圆心，得到圆的方程．即，∵，∴，令y=0，则x2﹣1=0，解得x=±1．∴以MN为直径的圆过定点（±1，0）．20．已知函数（m∈R），（Ⅰ）求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣5=0垂直，求m的值；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤mx2+（m﹣1）x﹣1恒成立，求整数m的最小值；（Ⅲ）若m=1，m∈R设F（x）=f（x）+x．且正实数x1，x2满足F（x1）=﹣F（x2），求证：x1+x2≥﹣1．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于m的方程，解出即可；（Ⅱ）构造函数，求出函数的导数，通过讨论m的范围，确定函数的单调性，从而求出m的最小值即可；（Ⅲ）求出F（x）的表达式，得F（x1）+F（x2）=0，令t=x1•x2＞0，得到ϕ（t）=t﹣lnt，根据函数的单调性，证出结论即可．【解答】解：（Ⅰ）切线的斜率k=f'（1）=1+m，∴1+m=2，∴m=（Ⅱ）由题意，，设①当m≤0时，因为x＞0，所以G'（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，，所以关于x的不等式G（x）≤0不能恒成立．②当m＞0时，．令G'（x）=0，因为x＞0，得，所以当时，G'（x）＞0；当时，G'（x）＜0．因此函数G（x）在是增函数，在是减函数．故函数G（x）的最大值为．令，因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，又因为，，所以当m≥2时，h（m）＜0．所以整数m的最小值为2．（Ⅲ）m=1时，，由F（x1）=﹣F（x2），得F（x1）+F（x2）=0，即，整理得，令t=x1•x2＞0，则由ϕ（t）=t﹣lnt得，，可知ϕ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．所以ϕ（t）≥ϕ（1）=1，所以，解得，因为x1，x2为正数，所以成立．2016年9月7日。

2023 年高三 2 月大联考(全国乙卷)理科数学参考答案

2023年高三2月大联考（全国乙卷）理科数学·全解全析及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】由(2i)8i z ，得8i 1510i32i 2i 5z ，所以32i z ．故选B ． 2．A 【解析】由103x x ，得(1)(3)0x x 且30x ，解得13x ，所以{|13}M x x . 由22y x ，得2y ，所以{|2}N y y ，所以[2,3)M N ．故选A ．3．B 【解析】根据全称命题的否定为特称命题，可知p 为“1x ，(1)0x x ”，故选B ．4．C 【解析】A ：a 可能在平面内，所以A 错误；B ：a 与m 可能平行，从而与可能相交，所以B 错误；C ：a ∥且b ∥ ∥ m ∥ ，所以C 正确；D ：如图，考虑正方形沿对角线折叠，另一条对角线折起后形成的两条直线，以及折痕和一条半平面内与折痕平行的直线，它们符合垂直关系，但两个半平面不一定垂直，所以D 错误．故选C ．5．D 【解析】因为(,)42 ，所以2(,)2 .又4sin 25 ，所以3cos 25 ，所以2312sin 5 ，解得sin （负值舍去）．故选D ．6．B 【解析】由函数的值域，可以排除A.由函数的奇偶性，可以排除D.C:2cos sin ()x x xf x x，令()cos sin g x x x x ，则()sin g x x x ．当(0,)x 时，()0g x 恒成立，所以()g x 在(0,) 上单调递减．因为(0)0g ，所以()(0)0g x g 在(0,) 上恒成立，所以当(0,)x 时，()0f x 恒成立，所以()f x 在(0,) 上单调递减，所以排除C ．故选B ．7．C 【解析】（1）若“糕点制作”安排1名女教师，有12C 种不同的安排方法，后续项目分两类：①若“自行车修理”安排1名男教师，则余下4人安排到另两个项目，每个项目2人，有122442C C C 种不同的安排方法；②若“自行车修理”安排2名男教师，则余下3人，1人安排到“绿植修剪”，2人安排到“蔬菜种植”，有212432C C C种不同的安排方法.（2）若“糕点制作”安排2名女教师，则“自行车修理”只能安排1名男教师，余下3人，1人安排到“绿植修剪”，2人安排到“蔬菜种植”，有21122432C C C C 种不同的安排方法，所以，一共有1122212211224424322432C (C C C C C C )C C C C 96 种不同的安排方法．故选C ．8．C【解析】2()2sin (cos sin )1sin 22sin 1sin 2cos 24f x x x x x x x x x，所以()f x 的，将8x代入())4f x x，得884f （，故A 和D 错误；将2y x 的图象向右平移4个单位长度得到2(242y x x x的图象，所以B 错误；由2224k x k kZ ，得5()88k x k k Z ，所以5[ 88，是()f x 的一个单调递减区间，所以()f x 在3( 48，上单调递减．故选C ． 9．A 【解析】由题意，知x ，y 满足约束条件0,0113x y x y x y x y，作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示（五边形OEBCD （包含边界）），作出直线24x y ，易得52(,)33A ，(2,1)B ，(1,2)C ，(0,1)D ，(1,0)E ，连接DE ，则非负数x ，y对应的可行域的面积为151122ODE BCDE S S△正方形，事件“24x y ”对应的可行域的面积为1112233ABC S AB BC △，所以所求概率为1235152P ．故选A ．10．D 【解析】由题图（2）得，．设截得的四边形木板为ABCD ，A ，AB c ，,,,BD a AD b BC n CD m ，如图．由3cos 5得4sin 5 ．在ABD △中，由正弦定理，得2sin 2a ，解得a 在ABD △中，由余弦定理，得2222cos abc bc ， ∴226805b c bc ，配方，得216()805b c bc (*)．∵2()2b c bc ，∴(*)式可化为22161()()55b c bc b c ， ∴21()805b c ，∴20b c ，当且仅当10b c 时等号成立．同理，在CBD △中，得10m n ，当且仅当5m n 时等号成立， ∴这块四边形木板周长的最大值为30．故选D ．11．A 【解析】设1||MF m ，2||MF n ，椭圆C 的半焦距为c ，则2m n a ，24mn c ，所以224a c22()()22m n m n mn 2()m a ．因为a c m a c ，所以22224()[0,]a c m a c ，即224c a25c ，则21154e ，所以152e ．故选A ． 12．B 【解析】（1）先比较,a b ：∵0.40.40.40.6e e (1ln e )a ，2ln 42(1ln 2)b ， ∴可以构造函数()(1ln )f x x x ，则0.4(e )a f ，(2)b f ．对()f x 求导，得()ln f x x ，当(1)x ,时，()0f x ， ∴()f x 在(1) ，上单调递减． ∵00.40.51e e e 2 ，∴0.4(e )(2)f f ，即a b ．（2）再比较,b c ：∵4ln 4e 42ln 2e b c ．∴可以构造函数()2ln e g x x x x ，则()1ln g x x ，当(0,e)x 时，()0g x ；当(e,)x 时，()0g x ，∴()g x 在(0e)，上单调递增，在(e ) ，上单调递减，∴max ()(e)0g x g ，∴(2)0g ，∴0b c ，即b c ．（3）最后比较,a c ： ∵0.4(10.4)e e 2a c ，∴可以构造函数()(1)e e 2x h x x ，则()e x h x x ，当(0,1)x 时，()0h x ， ∴()h x 在(0,1)上单调递减．又∵0.5(0.5)0.5e e 2h ，且0.5e 1.6 ，∴(0.5)0h ， ∴(0.4)(0.5)0h h ，∴0a c ，即a c ．综上得，a c b ．故选B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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