2020年山东省三校高三线上联考 数学试卷含答案
2020年三省三校高三联考 理科数学试题和答案
2020届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（一）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案C D C B B C B D C D C B【解析】1．依题有接受调查的100名学生中有70位看过《我和我的祖国》，故全校学生中约有2300*0.71610人看过《我和我的祖国》这部影片，故选C．2．由，得，故选D．3．某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人人，样本中的中年人为6人，则老年人为，青年人为代入选项计算，C不符合，故选C．4．的展开式中，项为，，故选B．5．设的公差为，由，，故选B．6．由题意可知，故在点处的切线方程为，故选C．7．由为奇函数，得的图象关于原点对称，排除C，D；又当时，，故选B．8．已知由余弦定理可得，所以，即①正确；由平面ABCD，得，所以平面，②正确；平面，得，又，所以平面ABE，③正确；由平面ABE，得，④正确，故选D．9．由程序框图得，第一次运行；第二次运行；第三次运行，…，故，故选C．10．因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，由的面积是，所以，双曲线的实轴长为2，故选D．11．依题意，有，则为奇函数，且在上单调递增，所以为偶函数．当时，有且，所以，即在上递增，所以，故选C．12．设点，，由三角函数的定义得将直线的方程与圆的方程联立得，由韦达定理得所以因此，当是常数时，是常数，故选B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516答案5【解析】13．由，得，即，故，则向量与的夹角为．14．由的表达式知，为等差数列，设公差为d，则成等比数列，故，即，解得或，若，与矛盾，故．15．正八面体上半部分的斜高为，高为，则其体积为．16．依题意，，由椭圆的定义可得，所以==，从而因为离心率，所以，又，解得，所以，故椭圆C的方程为．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1）由已知得，故．……………………………………………………………………………（3分）法一：，．……………………………………………………………………………（6分）法二：．………………………………………………（6分）（2）………………………………………………………………………（10分）估计女子的平均身高为(cm)．……………………………………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1），…………………………………………………………（1分）由正弦定理得…………………………………（2分）……………………………………………………（3分），………………………………………………………………（5分）又是的内角，．…………………………………………………………………………………（6分）（2）为锐角三角形，，……………………………………………………………（7分）由正弦定理得，…………………………………………（8分）………………………………………………………………………………………（9分）关于A为减函数，………………………………………………（10分），……………………………………（11分），即的取值范围是．……………………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：如图，设的中点为，连接，…………………………………………………（1分）由题意，得，则为直角三角形，点为的外接圆圆心．……………………（2分）又点在平面上的射影为的外接圆圆心，所以平面，…………………………………………………………………（3分）又平面，所以平面平面．……………………………………（4分）（2）解：由（1）可知平面，所以，，，于是以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，………………………………………………………………………………………（5分）则，，，，，设，，，………………………………………………………………………………………（6分）设平面的法向量为，则得令，得，，即．……………………………………………………………………（8分）设平面的法向量为，由得令，得，，即…………………………………………（9分）……………………………………………………………………………………（10分）解得．………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）令，………………………………………………………………………………………（2分）故………………………………………………………………………………………（3分）的单调递增区间为的单调递减区间为．………………………………………………………………………………………（4分）（2），令其中．……………………………………（5分）令，，……………………………………………………（6分）故在上单调递减，故，…………………………………………………（7分）故，从而在上单调递减；在上单调递增，………………………………………………………………………………………（8分）故在上，函数………………………………………………………………………………………（9分）由于，令，……………………………………………………（10分），对于恒成立，从而，即，当时等号成立，…………………………………………………（11分）故．……………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）（1）证明：依题意有，直线，…………………………………（1分）设，直线与抛物线相交，联立方程消去，化简得………………………………（2分）所以，．…………………………………………………………（3分）又因为，所以直线的斜率.同理，直线的斜率…………………………………………………………（4分）所以，………………………………………………………………（5分）所以，直线，即．…………………………………………………（6分）（2）解：由（1）可知，圆是以为直径的圆，设是圆上的一点，则，所以，圆的方程为………………………………………………………………………………………（7分）又因为所以，圆的方程可化简为………………………………………………………………………………………（8分）联立圆与抛物线得消去，得即，即………………………………………………………………………………………（9分）若方程与方程有相同的实数根，则矛盾，……………………………………………………………………………………（10分）所以，方程与方程没有相同的实数根，所以，圆与抛物线有四个不同的交点等价于……………………………………………………………………………………（11分）综上所述，．………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）由曲线的极坐标方程是，得直角坐标方程为，即．……………………………………………………………………（3分）（2）把直线的参数方程（为参数），代入圆的方程得，化简得．……………………………………………………………………………………（5分）设两点对应的参数分别是，则，，………………………………………………………………………………（6分）故，…………………………………………………………………………………（8分）得，…………………………………………………………………………（9分）得．………………………………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】证明：（1）由柯西不等式，得，所以．………………………………………………………………（5分）（2）由柯西不等式，得所以．………………………………………………………………（10分）。
山东省潍坊市2020届高三第三次线上检测数学试题 含答案
C. x, y且 x y ，使得 a = b = c = d
D. a,b, c, d 中至少有两个大于 1
12.已知在棱长为 1 的正方体 ABCD − A1B1C1D1中，点 E，F，H 分别是 AB, A1D1, BC1 的中
点，下列结论中正确的是
A. D1C1 / / 平面 CHD
B. AC1 ⊥ 平面 BDA1
1.设集合 M = x x2 + x − 2 0 , N = x log2 x 1 ，则 M N =
A.x − 2 x 1 B.x 0 x 1
C.x 1 x 2 D.x − 2 x 2
2.已知向量 AB = (2,1), AC = (3,t ), BC = 1，则AB AC =
A.2
B.3
C.7
D.8
3．设 i 为虚数单位，a∈R，“复数 z = a2 − i2020 是纯虚数”是“ a = 1 ”的 2 1−i
A．充分而不必要条件 C．充分必要条件
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹 组成的网形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美．如果能够将圆的周长和面积同
x
最小值为_________；若
p>0，在[1,e]上至少存在一点 x0
，使得
f
( x0
)
2e x0
成立，则实数
p
的取值范围为_________．(本题第一空 2 分，第二空 3 分)
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
( ) 17（. 10 分）在 ABC 中，已知内角 A，B，C 所对的边分别为 a,b, c ， 1 + 3 c = 2b, A = . 6
数学-2020年3月高三第三次在线大联考(山东卷)(全解全析)
合定义域解得 −1 x 0,或0 x 1 ，故 D 正确．故选 AD． 3
11．BCD 【解析】 f (x) = 6 sin x cos x + 2 cos2 x − 2 = 6 sin 2x + 2 1 + cos 2x − 2 = 2 sin(2x + π) ，将
22
2
2
6
函数 f (x) 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 1 ，纵坐标不变，得函数 g(x) = 2 sin(4x + π) 的图象．对
=
(t 2
+ 1)
+
1 t2 +1
−
3
2
(t 2
+ 1)
t2
1 +
1
−
3
=
−1
，当且仅当
t2
+1
=
t2
1 +1
，即
t
=
0
时取等号，y 取得最小值为 −1 .此时，a = (−1,0),b = (2, −1) ，则 cos a,b = a b = −2 = − 2 5 .故选 B． | a | | b | 1 5 5
7．D【解析】如图，连接 BD ，因为 AB = a, AD = b ，AA' = a + b ，所以 A'B2 = a2 + (a + b)2 ，A'D2 = b2 + (a + b)2 ，
BD2 = a2 + b2 ，结合余弦定理得 cos BA'D = A'B2 + A'D2 − BD2 = a2 + (a + b)2 + b2 + (a + b)2 − (a2 + b2 ) =
2020届山东省六地市部分学校高三下学期3月线上考试数学试题(解析版)
2020届山东省六地市部分学校高三下学期3月线上考试数学试题一、选择题1．已知集合{}|2,0xA y y x -==<，集合12|B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=（ ）A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．()0,+∞D ．[)0,+∞ 【答案】B 【解析】因为，，所以A B ⋂=()1,+∞.故选B.2．设()()()2i 3i 35i x y +-=++(i 为虚数单位），其中,x y 是实数，则i x y +等于( ) A ．5 B 13C ．22D ．2【答案】A【解析】由()()()2i 3i 35i x y +-=++，得()()632i 35i x x y ++-=++，∴63325x x y +=⎧⎨-=+⎩，解得34x y =-⎧⎨=⎩，∴i 34i 5x y +=-+=．故选A ． 3．已设,a b 都是正数，则“33a b log log ＜”是“333a b ＞＞”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由33a b log log ＜，得01b a ＜＜＜或01a b ＜＜＜或1a b ＞＞，由333a b ＞＞，得1a b ＞＞， ∴“33a b log log ＜”是“333a b ＞＞”的必要不充分条件．故选：B ．4．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是 A ．甲 B ．乙C ．丙D ．无法预测【答案】A【解析】若甲的预测正确，乙、丙的预测错误，则丙是第一名，甲不是第三名，则甲是第二名，乙是第三名，矛盾！若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，则乙是第三名，甲的预测错误，那么甲是第三名，矛盾！若丙的预测正确，则甲、乙的预测错误，则甲是第三名，乙不是第三名，丙是第一名，则乙是第二名。
山东省山东2020-2021学年高三上学期大联考数学试题(解析版)
山东中学联盟2021届高三大联考数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．一、单项选择题：本题共8小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合{}3,1,1,3A =--，{}260B x x x =--≤，则AB =（ ）A. {}3,1,1--B. {}1,1,3-C. {}3-D. {}3【答案】B 【解析】【分析】先解出集合B ,然后求A B ．【详解】∵{}{}26023B x x x x x =--≤=-≤≤， ∴AB ={}1,1,3-故选：B2. 已知i 是虚数单位，则2⎝⎭在复平面内对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】先把212i ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭化简，再判断其对应的点在第几象限.【详解】∵2112i 22⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，∴它在复平面内对应的点1,22⎛- ⎝⎭位于第四象限. 故选：D3. 已知向量()2,3,4a =-，()3,,b x y =-分别是平面α，β的法向量，若α//β，则（ ） A. 92x =-，6y = B. 92x =-，6y =- C. 92x =，6y = D. 92x =，6y =- 【答案】A 【解析】【分析】利用两平面平行，法向量共线即可求解.【详解】∵向量()2,3,4a =-，()3,,b x y =-分别是平面α，β的法向量，且α//β，∴3=234x y -=-, 解得：92x =-，6y =.故选：A4. 已知圆22:4240C x y x y ++--=关于直线:240l x ay -+=对称，则原点O 到直线l 的距离为（ ）A.37B. 1C.5D.【答案】C 【解析】【分析】根据圆关于直线对称求出a ，再根据点到直线的距离可求得结果. 【详解】由圆22:4240C x y x y ++--=，可得圆心(2,1)C -， 因为圆22:4240C x y x y ++--=关于直线:240l x ay -+=对称， 所以圆心(2,1)C -在直线:240l x ay -+=上，所以2240a --+=，得1a =，所以直线:240l x y -+=，所以原点(0,0)O 到直线:240l x y -+==. 故选：C5. “[]2,1x ∀∈-，220x a -≤”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. 0a ≥ B. 1a ≥C. 2a ≥D. 3a ≥【答案】D 【解析】【分析】先确定“[]2,1x ∀∈-，220x a -≤”为真命题时a 的范围，进而找到对应选项.【详解】若命题“[]2,1x ∀∈-，220x a -≤”为真命题，则2()22max x a =，则3a ≥是2a ≥的充分不必要条件， 故选：D ．6. 设ln 3p =，lg3q =，则（ ） A. p q pq p q ->>+ B. p q p q pq ->+> C. p q pq p q +>>- D. p q p q pq +>->【答案】D 【解析】【分析】根据0q >，可得()()20p q p q q +--=>，利用换底公式可得110p q pq q p-=->，即p q pq ->，由此可得答案.【详解】因为ln30p =>，lg30q =>，所以()()20p q p q q +--=>，所以p q p q +>-，因为3331110log 10log log p q e pq q p e-=-=-=3log 31>=，且0pq >，所以p q pq ->， 所以p q p q pq +>->. 故选：D7. 已知实数x ，y 满足11917x y x y +++=，其中0x >，0y >，则11x y+的最小值为（ ） A.116B. 1C. 2D. 16【答案】B 【解析】【分析】由已知得11179x y x y +=--，先求211x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值，21111(179)x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，相乘后，利用基本不等式得出关于11x y+的不等式，解之可得． 【详解】因为11917x y x y+++=，其中0x >，0y >，所以11179x y x y+=--，21111119(179)17()10y x x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+--=+--+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，96y x x y +≥=，当且仅当9y x x y =，即3x y =时等号成立， 此时由311917x y x y x y =⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得443x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或14112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 由96y x x y +≥得91016y x x y ⎛⎫--+≤- ⎪⎝⎭， 所以211111716x y x y ⎛⎫⎛⎫+≤+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得11116x y ≤+≤，所以11x y +的最小值是1，此时44,3x y ==．故选：B ．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．8. 正三角形ABC 的内切圆圆心为Q ，点P 为圆Q 上任意一点．若QP mQC nQA =+，则m n +的取值范围（ ） A. []1,1- B. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. ,22⎡-⎢⎣⎦D. ⎡⎣【答案】A 【解析】【分析】以BC 的中点O 为原点，分别以,BC OA 所在的直线为,x y 轴，建立直角坐标系，写出,,A C Q ，其设333 cos,sin333Pθθ⎛⎫+⎪⎪⎝⎭，利用向量的坐标运算可得331cos,cos sin362m nθθθ==+，根据三角函数的性质即可求解.【详解】设正三角形ABC的边长为2，以,BC OA所在的直线为,x y轴，建立直角坐标系，则(3A，()1,0C，由正三角形的性质可知3QO=3Q⎛∴⎝⎭，∴内切圆圆心为30,3Q⎛⎝⎭，半径为3QO=不妨设333,333Pθθ⎛⎫+⎪⎪⎝⎭，可得230,3QA⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，31,3QC⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，33cos,sin33QPθθ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，QP mQC nQA=+，33233mθθ⎧=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，1sin 2m n θθθ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，[]1sin cos sin 1,1223m n πθθθ⎛⎫∴+=+=+∈- ⎪⎝⎭.故选：A二、多项选择题：本题共4小题．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．9. 函数()2sin cos 1f x x x x =+的图象的一个最值点为（ ） A. 3,32π⎛⎫⎪⎝⎭B. 51,62π⎛⎫⎪⎝⎭C. 55,62π⎛⎫⎪⎝⎭D. 45,32π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BD 【解析】【分析】化简函数解析式为()3sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由()262x k k Z πππ-=+∈可得()32k x k Z ππ=+∈，利用赋值法与代入法可得出合适的选项. 【详解】()21cos 213sin cos 1212cos 2222x f x x x x x x x -=+=++=-+3sin 262x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由()262x k k Z πππ-=+∈，可得()32k x k Z ππ=+∈. 当0k =时，35sin 3222f ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭；当1k =时，5331sin 6222f ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭； 当2k =时，4535sin 3222f ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭. 故AC 选项不满足条件，BD 选项满足条件. 故选：BD.【点睛】关键点点睛：本题考查正弦型函数最值点的求解，在求解最值点的横坐标时，实质上就是求出对称轴方程，可通过()262x k k Z πππ-=+∈结合赋值法求解.10. 设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，点P 是双曲线上任意一点，若双曲线0y ±=，焦距为 ）A.B. 双曲线的离心率为2C. D. 存在点P ，使得21F P =【答案】BC 【解析】【分析】先根据题意求出a 、b 、c ，然后对A 、B 、C 、D 一一验证： 对于A ：求出a 直接判断；对于B ：求出a 、b 、c ，直接求出离心率即可；对于C ：用点到直线的距离公式求出右焦点到渐近线的距离； 对于D ：判断2F P 的最小值即可.【详解】双曲线2222:1x y C a b-=0y ±=，可得b a =焦距为2c =，且222+=a b c ，解得：22=26a b =，对于A ：实轴长2a =，故A 错误；对于B ：离心率为2c e a ===，故B 正确；对于C ：右焦点()2F 0y -=的距离d ==C 正确；对于D ：当P 为右顶点时，2F P =最短，故不存在点P ，使得21F P =，故D 错误.故选：BC【点睛】多项选择题是2020年高考新题型，需要对选项一一验证．11. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，满足()()11f x f x -=+，当[]0,1x ∈时，()f x x =．设函数()()g x f x kx k =--，下列结论成立的是（ ） A. 函数()f x 的一个周期为2B. 4233f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. 当实数1k >-时，函数()g x 在区间[]1,2上为单调递减函数D. 在区间[]1,3-内，若函数()g x 有4个零点，则实数k 的取值范围是10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】ACD 【解析】【分析】利用周期2T =和偶函数，画出函数()f x 图像和函数(1)y k x =+的图像可解得. 【详解】由()()11f x f x -=+，知函数()f x 的周期2T =，可知A 正确； 由周期和奇偶性得4222()=()()3333f f f -==，故B 不正确； 当[]1,2x ∈时，()()()2,=(1)2f x x g x f x kx k k x k =-∴=---++-， 由函数()g x 在区间[]1,2上为单调递减函数， 所以(1)0k -+<，即1k >-.得C 正确； 函数()g x 在区间[]1,3-有4个零点，()(1),[1,3]f x kx k k x x +=+=∈-有4个解，即()f x 与直线(1)y k x =+在[1,3]-有4个交点，利用周期2T =和偶函数，结合()f x 在[]0,1x ∈的解析式， 可画出函数()f x 和函数(1)y k x =+在R 上的图像.如图：由图可得041k <≤，即104k <≤， 实数k 的取值范围是10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦,D 正确.故选：ACD.【点睛】对具有奇偶性和周期性的函数，通过画图像数形结合可以快速解决函数的单调和零点问题.12. 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是正方形11ADD A （含边界）上的动点，若1PB 与1A C 垂直，下列结论成立的是（ ） A. 1//PB 平面1BC DB. 动点P 一定在线段1AD 上C. 11,2PB ⎡⎤∈⎣⎦D. 1PB 与平面11BCC B 所成角的正弦值可以是3【答案】AB 【解析】【分析】通过证明1A C ⊥平面11AB D ，结合1PB 与1A C 垂直，可得动点P 一定在线段1AD 上，说明B 正确，通过证明平面1//BC D 平面11AB D ，可得1//PB 平面1BC D ，说明A 正确，求出1||PB 的取值范围，可知C 不正确，根据直线与平面所成角的定义找到直线与平面所成角，求出这个角的正弦值的取值范围，可知D 不正确.【详解】连接11B D ，1AD ，1AB ，如图：因为1111B D A C ⊥，111B D CC ⊥，且1111AC CC C =，所以11B D ⊥平面11A CC ，所以111B D AC ⊥， 同理可得11AD AC ⊥，又1111B D AD D ⋂=，所以1A C ⊥平面11AB D ，同理1A C ⊥平面1BC D ，所以平面1//BC D 平面11AB D ，因为11PB A C ⊥，1B ∈平面11AB D ，1A C ⊥平面11AB D ，所以P ∈平面11AB D ，因为P 是正方形11ADD A （含边界）上的动点，平面11AB D 平面11ADD A 1AD =，所以1P AD ∈，即动点P 一定线段1AD 上，故B 正确；由以上知1PB ⊂平面11AB D ，平面1//BC D 平面11AB D ，所以1//PB 平面1BC D ，故A 正确； 因为11AB D 2的正三角形，所以当P 为1AD 的中点时，1min ||PB =6P 与A 或1D 重合时，1max ||PB=1||[2PB ∈，故C 不正确； 因为平面11ADD A //平面11BCC B ，所以1PB 与平面11BCC B 所成角等于1PB 与平面11ADD A 所成的角， 因为11B A ⊥平面11ADD A ，所以11B PA ∠就是1PB 与平面11ADD A 所成的角， 所以11111||sin ||A B B PA PB ∠=11[,||23PB =∈>，所以1PB 与平面11BCC B 所成角的正弦值不可以是2，故D 不正确. 故选：AB【点睛】关键点点睛：熟练掌握直线与平面垂直的判定与性质、平面与平面平行的性质、直线与平面所成角的定义是解题关键.三、填空题：本题共4小题．13.的正方体所有棱都相切的球的体积为______． 【答案】4π3【解析】【分析】依题意得球心为正方体的体对角线的交点，半径为面对角线的一半，根据棱长即可求解． 【详解】与正方体所有棱都相切的球的球心为正方体的体对角线的交点，所以正方体的面对角线长为2= ，则球的半径为1R =所以球的体积为34433V R ππ==故答案为：4π314. 近两年，中国移动推动5G 和4G技术共享、资源共享、覆盖协同、业务协同，充分利用原4G 线路传输资源，并高效建设5G 基站．如图，南北方向的公路l ，城市A 处，城市B 地（看作一点）在A 北偏东60°方向2km 处，原有移动4G 线路PQ 曲线上任意一点满足到公路l 和到城市A 地距离相等．现要在线路PQ 上一处M 建一座5G 基站，则这座5G 基站到城市A ，B 两地的总距离最短时为______km ．【答案】3【解析】【分析】过A 作AN l ⊥，垂足为N ，以NA 为x 轴，NA 的中垂线为y 轴建立坐标系，过M 作MH l ⊥，垂足为H ，根据抛物线的定义，可得MA MH =，所以MA MB MB MH +=+，当,,B M H 三点在一条直线上，即BH l ⊥时，MB MH +取得最小值. 【详解】过A 作AN l ⊥，垂足为N ，以NA 为x 轴，NA 的中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系.所以3AN =由PQ 曲线上任意一点满足到公路l 和到城市A 地距离相等. 则曲线PQ 是以A 为焦点，直线l 为准线的抛物线.又城市B 地在A 北偏东60°方向2km 处，所以2,30AB BAx =∠=︒，33B ⎫⎪⎪⎝⎭过B 作BE x ⊥轴，垂足为E ，则2cos303AE =⨯︒=过M 作MH l ⊥，垂足为H ，根据抛物线的定义，可得MA MH = 所以MA MB MB MH +=+当,,B M H 三点在一条直线上，即BH l ⊥时，MB MH +取得最小值， 所以此时MB MH +取得最小值等于23AE AN AE =+=， 故答案为：3【点睛】关键点睛：本题考查抛物线中的最值问题，解答本题的关键是过M 作MH l ⊥，垂足为H ，根据抛物线的定义，可得MA MH = 转化为求MB MH +的最小值问题，当,,B M H 三点在一条直线上，即BH l ⊥时，MB MH +取得最小值，属于中档题.15. 已知数列()()12123n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ，若对任意的*N n ∈，不等式26n T a a <-恒成立，则实数a 的取值范围是______． 【答案】(][),12,-∞-⋃+∞ 【解析】【分析】用裂项法求和得13n T <，由26n T a a <-恒成立，得22a a ≤-解不等式即可． 【详解】由()()1111212342123n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭所以11111111141537592123n T n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭111111111141321233421233n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 因为26n T a a <-恒成立，所以2163a a ⨯≤-，则1a ≤-或2a ≥ 故答案为：(][),12,-∞-⋃+∞【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）()a f x ≥ 恒成立()max a f x ⇔≥； （2）()a f x ≤ 恒成立()min a f x ⇔≤．16. 已知函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π有且仅有3个零点，则函数()f x 在[]0,π上存在______个极小值点，实数ω的取值范围是______． 【答案】 (1). 1 (2). 1319,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】首先求6x πω-的范围，根据正弦函数的图象，确定极小值点个数，以及根据端点值，列不等式求ω的范围.【详解】[]0,x π∈，,666t x πππωωπ⎡⎤∴=-∈--⎢⎥⎣⎦， 由条件可知sin y t =在区间,66ωππ⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦有3个零点，∴由函数图象可知：有1个极小值点，两个极大值点，且236ωππ≤π-<π，解得：131966ω≤<.故答案为：1；1319,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 四、解答题：本题包括6个小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且5b =，3cos 5B =． （1）求ABC 的面积的最大值；（2sinsin 2B Ca C +=，求ABC 的周长． 【答案】（1）ABC 的面积的最大值为252；（2）15． 【解析】【分析】(1)由条件结合余弦定理，利用均值不等式可得ac 的最大值，从而得出ABC 的面积的最大值.（2）由正弦定理将条件互为πsin sin sin 2A C A C -⋅=⋅πsin 2AA -=，由而sin cos 222A A A=⋅，从而得出角A ，进一步求出边,a b ，得出答案. 【详解】（1）∵3cos 5B =，∴4sin 5B =，由余弦定理知：2222cos b a c ac B =+-，即226625255a c ac ac ac =+-≥-，即1254ac ≤，当且仅当a c =时取等号． 所以11125425sin 22452S ac B =≤⨯⨯=，所以ABC 的面积的最大值为252． （2πsin sin sin 2AC A C -⋅=⋅ ∵sin 0C ≠πsin 2A A -=2sin cos 222A A A=⋅． ∵cos02A ≠，故sin 22A =，由0A π<< ∴90A =︒．∵4sin 5b B a ==，∴254a =， ∴25315cos 454c a B =⋅=⋅=， ∴周长为∴251551544a b c ++=++=． 18. 已知数列{}n a 的前n 项和是n A ，数列{}n b 的前n 项和是n B ，若314A =，12n n a a +=，*N n ∈．再从三个条件：①221n B n n =-+；②12n n n B B b ++=+，120b =；③2222log n n b a =-，中任选一组作为已知条件，完成下面问题的解答． （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）定义：,,a a ba b b a b ≤⎧*=⎨>⎩．记n n n c a b =*，求数列{}n c 前100项的和100T ．【答案】选择见解析；（1）222n b n =-；（2）7940-． 【解析】【分析】（1）根据已知条件可知数列{}n a 是公比为2的等比数列，根据314A =求出1a 的值，可求得等比数列{}n a 的通项公式.选①，由11,1,2n n n B n b B B n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n b 的通项公式；选②，推导出数列{}n b 是公差为2-的等差数列，结合120b =可求得数列{}n b 的通项公式；选③，由{}n a 的通项公式结合对数运算可得出数列{}n b 的通项公式； （2）求出数列{}n c 的表达式，进而可求得100T 的值. 【详解】（1）由已知得，{}n a 为等比数列，公比为2q，则231112214A a a a =++=，12a ∴=，所以，112n n n a a q -==.选择①，当1n =时，1120b B ==， 当2n ≥时，()()()221212111222n n n b B B n nn n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦. 120b =满足222n b n =-，所以，()222n b n n N *=-∈；选择②，12n n n B B b +-=-，即12n n b b +=-，所以{}n b 是首项为20，公差为2-的等差数列，()121222n b b n n ∴=--=-；选择③，2222log 2222nn b n =-=-；（2）11220a b =<=，22418a b =<=，33816a b =<=，441614a b =>=， 当4n ≥且n *∈N 时，令()22222222nnn n n x a b n n =-=--=+-，则数列{}n x 为单调递增数列，且420n x x ≥=>，即n n a b >.所以，()*2,13N 222,4n n n n n c a b n n n ⎧≤≤=*=∈⎨-≥⎩， 所以，()()31410010012345610019712a qb b T a a a b b b b q-+=++++++⋅⋅⋅+=+-()()3421297141782279547940122-⨯-=+=--=--．【点睛】方法点睛：已知n S 求n a ：若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项，可用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解，但需要注意对初始项是否满足通项进行检验.19. 某工厂有一批材料被预定制作“阳马”（中国古代算数中的一种几何体，是底面为长方形，两个三角侧面与底面垂直的四棱锥体），材料是由底面为ABCD 的正四棱柱被截面AEFG 所截而得到的几何体，每一块材料制作一个“阳马”．材料的尺寸如图所示，1BE =，4DG =，2AB =．（1）求通过此材料制作成的“阳马”中，最长的棱的长度； （2）求平面AEFG 与底面ABCD 所夹锐角的余弦值． 【答案】（1）33；（2）22121． 【解析】【分析】（1）以C 为原点，CD ，CB ，CF 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．根据条件可得AG EF =，从而可求出CF 的长，从而可得答案.（2）平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =,求出平面AEFG 的法向量，由向量法可得答案.【详解】（1）以C 为原点，CD ，CB ，CF 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．设点()0,0,F h ，且有()2,2,0A ，()2,0,4G ，()0,2,1E ，因为几何体是由底面为ABCD 的正四棱柱被截面AEFG 所截而得到的， 所以平面//ADG 平面BCFE ， 又平面ADG平面AEFG AG =，平面BCFE ⋂平面AEFG EF =，所以//AG EF ，同理//AE GF ，所以四边形AEFG 是平行四边形． 所以AG EF =，即()()0,2,40,2,1h -=--，得5h =易知由F ABCD -制作成的阳马中，最长的棱长为FA ，所以4FA ==所以FA（2）根据题意可取平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =． 由（1）知，()0,2,4AG =-，()2,0,1AE =- 设平面AEFG 的法向量为(),,n x y z =，则由00n AE n AG ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得24020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，即22y z z x =⎧⎪⎨=⎪⎩令2z =，所以()1,4,2n =，所以cos ,211m n m n m n⋅====⨯⋅，所以平面AEFG 与底面ABCD ． 【点睛】方法点睛：向量法求解空间几何问题的步骤：建、设、求、算、取1、建：建立空间直角坐标系，以三条互相垂直的直线的交点为原点，没有三条垂线时需做辅助线；建立右手直角坐标系，尽可能的使得较多的关键点落在坐标轴或坐标平面内.2、设：设出所需的点的坐标，得出所需的向量坐标.3、求：求出所需平面的法向量4、算：运用向量的数量积运算，验证平行、垂直，利用线面角公式求线面角，或求出两个平面的法向量的夹角的余弦值5、取：根据题意，或二面角的范围，得出答案.20. 某地方舱医院的建设中，为了使得内部环境更加温馨，在儿童病区采用了如图所示的一个窗户（该图为轴对称图形），其中上半部分曲线AOD 拟从以下两种曲线中选择一种：曲线1E 是一段余弦曲线，在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为cos 1y x =-，此时记窗户的最高点O 到BC 边的距离为()1h t ；曲线2E 是一段抛物线，其焦点到准线的距离为98，此时记窗户的最高点O 到BC 边的距离为()2h t ；窗户的下半部分中，AB ，BC ，CD 是矩形ABCD 的三条边，由总长度为6米的材料弯折而成，记BC 边的长度为2t米（312t ≤≤）．（1）分别求函数()1h t 、()2h t 的表达式；（2）为了使得点O 到BC 边的距离最大，窗户的上半部分应选择曲线1E 还是曲线2E ？请说明理由，并求出此时矩形部分的BC 边长度应设计成多少米． 【答案】（1）()1cos 4h t t t =--+，312t ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭；()22433,192h t t t t ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭；（2）选用曲线2E ，答案见解析；矩形部分的BC 边长度设计成3米． 【解析】【分析】（1）对于曲线1E ，点D 的坐标为(),cos 1t t -，3AB DC t ==-则()1cos 4h t t t =--+；对于曲线2E ，点D 的坐标为24,9t t ⎛⎫-⎪⎝⎭，3AB DC t ==-则()22433,192h t t t t ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭；（2）分别求解()1h t 、()2h t 的最大值，并比较它们的大小，对于()1h t 通过求导分析单调性即可求最大值，对于()2h t 分析单调性从而求得最大值，最后选用最大值较大的曲线即可，并求出相应的BC 边长度． 【详解】（1）曲线1E 解析式为cos 1y x =-，所以点D 的坐标为(),cos 1t t -，点O 到AD 的距离为1cos t -， 而3AB DC t ==-，则()()()131cos cos 4h t t t t t =-+-=--+，312t ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭关于曲线2E ，可知抛物线的方程为294x y =-． 所以点D 的坐标为24,9t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点O 到AD 的距离为249t ， 又3AB DC t ==-， 可得()22433,192h t t t t ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭． （2）因为()1sin 0h t t '=-+<，所以()1h t 在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以当1t =时，()1h t 取得最大值为3cos1-． 又()22429h t t t =-+312t ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭二次函数开口向上，在91,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在93,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 当32t =时，()2h t 取得最大值为52经比较，π1cos1cos32>=，所以153cos1322-<-=所以，选用曲线2E ，满足点O 到BC 边的距离最大， 此时23t =，即矩形部分的BC 边长度设计成3米．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据图形找出关键点的坐标代入求解解析式．21. 已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>过点2P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，短轴的一个端点到焦点的距离为2． （1）求椭圆E 的方程；（2）定义PQ k 为P ，Q 两点所在直线的斜率，若四边形ABCD 为椭圆的内接四边形，且AC ，BD 相交于原点O ，且14AC BDk k =，试判断AB k 与BC k 的和是否为定值．若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）是定值，定值为0． 【解析】【分析】（1）用待定系数法求标准方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，用“设而不求法”表示出AC BD k k 、、,并转化为12124y y x x =，代入求出斜率k 即可求出AB k +BC k .【详解】（1）因为椭圆()222210x y a b a b +=>>过点1,2P ⎛- ⎝⎭，所以221314a b +=，又由题意知，短轴的一个端点到焦点的距离为22a =联立方程2213142a ba ⎧+=⎪⎨⎪=⎩． 解得24a =，21b =，所以椭圆E的方程为2214x y +=．（2）证明：设直线AB 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 联立2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()()222148410k x kmx m +++-=， ∴()()()()2222284414116410km k m k m ∆=-+⨯-=-+≥，()12221228144114km x x k m x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩， 因为14AC BD k k =，所以14OA OB k k =，所以12124y y x x =， 又()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++， ∴()()22121241440k x x km x x m -+++=．∴()()22222418414401414m kmk kmm k k---++=++． 整理得241k =，∴12k =±，∵A ，B ，C ，D 可以轮换 ∴AB ，BC 的斜率一个是12，另一个就是12-， ∴0AB BC k k +=．所以AB k 与BC k 的和定值，0AB BC k k +=．【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题. 22. 函数()2ln m x a x x =+．（1）当0a ≠时，若函数()m x 恰有一个零点，求实数a 的取值范围； （2）设函数()()23ln 2f x x m x x x '=-++，R a ∈．（ⅰ）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为2y x n =+，求实数a ，m 的值；（ⅱ）对于曲线()y f x =上的两个不同的点()()11,M x f x =，()()22,N x f x =，记直线MN 的斜率为k ，若函数的导函数为()f x '，证明：122x x f k +⎛⎫'< ⎪⎝⎭．【答案】（1）2a e =-或0a >；（2）（ⅰ）11a m =-⎧⎨=-⎩；（ⅱ）证明见解析．【解析】【分析】（1）先讨论出函数()m x 的单调性，由零点存在原理分析函数()m x 恰有一个零点的条件可得答案.（2）（ⅰ）先求出()1f 的值，得出切点坐标，再求()1f '，即切线的斜率值，由()()112121f a f a m ⎧=-=⎪⎨=-=⨯+'⎪⎩，可得到答案.（ⅱ）由题意可得1212ln ln x x k a x x -=--，()()1211212221ln x x x f x k x x x x x -⎡⎤'-=-⎢⎥-+⎣⎦，不妨设210x x <<，12x t x =，则1t >，将()1211222ln x x x x x x --+转化为()21ln 1t t t --+，设()()()21ln 11t h t t t t -=->+，讨论出其单调性可证明.【详解】（1）函数()()2ln 0m x a x xa =+≠的定义域为()0,∞+，∴()222a x am x x x x+'=+=．①当0a >时，()0m x '>，所以()m x 在()0,∞+上单调递增，取1ax e -=，则21110a a e e --⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为()11m =，所以()()010m x m <，此时函数()m x 有一个零点． ②当0a <时，令()0m x '=，解得x =当0x <<()0m x '<，所以()m x在⎛ ⎝上单调递减．当x >()0m x '>，所以()m x在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增． 当0x →时，()m x →+∞，当x →+∞时，()m x →+∞.要使函数()m x有一个零点，则02a m a ==，即ln 12a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2a e =-． 综上，若函数()m x 恰有一个零点，则2a e =-或0a >． （2）（ⅰ）∵()ln 2f x x a =-，∴()1f x a x'=-． ∵曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为2y x m =+，∴()()112121f a f a m ⎧=-=⎪⎨=-=⨯+'⎪⎩．整理11a m =-⎧⎨=-⎩．（ⅱ）证明：()()()121221ln ln f x f x x x a x x -=-+-，()()()12122112121212ln ln ln ln f x f x x x a x x x x k a x x x x x x --+--===----，又()11ax f x a x x -'=-=，121222x x f a x x +⎛⎫'=- ⎪+⎝⎭，()12121211212121222ln ln 21ln 2x x x x x x x f k x x x x x x x x x -⎡⎤+-⎛⎫'-=-=-⎢⎥ ⎪+--+⎝⎭⎣⎦12111222211ln 1x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥=-⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦不妨设210x x <<，12x t x =，则1t >，即()1211222121ln ln 11x t x x t x x t x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭-=-++． 令()()()21ln 11t h t t t t -=->+,则()()()22101t h t t t-'=-<+， 因此()h t 在()1,+∞上单调递减，所以()()10h t h <=． 又210x x <<，所以120x x ->， 所以1202x x f k +⎛⎫'-<⎪⎝⎭，即122x x f k +⎛⎫'< ⎪⎝⎭． 【点睛】关键点睛：本题考查根据函数零点个数求参数和导数的几何意义的应用以及利用导数证明不等式，解答本题的关键是由()121211212221ln 2x x x x x f k x x x x x -⎡⎤+⎛⎫'-=-⎢⎥ ⎪-+⎝⎭⎣⎦12111222211ln 1x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥=-⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，不妨设210x x <<，12x t x =，则1t >，将()1211222ln x x x x x x --+转化为()21ln 1t t t --+，分析其正负，属于难题.。
2020-2021学年高三数学(文科)三校联考高考模拟试题及答案解析
三校联考高考数学模拟试卷（文科）（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．2 B．C．1 D．34．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．7 B．8 C．9 D．106．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A ．在[，]上是增函数B ．其图象关于直线x=﹣对称C ．函数g （x ）是奇函数D ．当x ∈[0，]时，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的全面积是（单位：m 2）．（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（ ）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]10．已知双曲线C ：﹣=1的左、右焦点分别是F 1，F 2，正三角形△AF 1F 2的顶点A在y 轴上，边AF 1与双曲线左支交于点B ，且=4，则双曲线C 的离心率的值是（ ）A ．+1 B ．C ．+1 D ．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O （重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（ ） A ．π B ．π C ．π D ．π12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（ ） A ．2015 B ．2016C ．4030D ．4032二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．设i 为虚数单位，则复数= ．14．已知函数f （x ）=2x 2﹣xf ′（2），则函数f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线方程是 ． 15．若x ，y 满足若z=x+my 的最大值为，则实数m= ．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列． （1）证明数列{a n }是等比数列； （2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率． 19．如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面是直角梯形ABCD ，其中AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AB=4，CD=2，侧面PAD 是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD 垂直，E 为PA 的中点．（1）求证：DE ∥平面PBC ； （2）求三棱锥A ﹣PBC 的体积．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．21．设函数f （x ）=x 2﹣（a+b ）x+ablnx （其中e 为自然对数的底数，a ≠e ，b ∈R ），曲线y=f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y=﹣e 2． （1）求b ；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}【分析】根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．【解答】解：∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，∴M∪N={x|x≥﹣2}，故选A．【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答．2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假．【解答】解：命题p：∃x∈N，x3＜x2，是假命题；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），令x﹣1=1，解得：x=2，此时f（2）=0，（x﹣1）的图象过点（2，0），是真命题；故函数f（x）=loga故¬p∧q真是真命题；故选：C．【点评】本题考查了不等式以及对数函数的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题．3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）【分析】根据向量的数量积的运算和向量的模计算即可．【解答】解：∵|+2|=2，∴+4+4=||2+4||||cos+4||2=||2+2||+4=12，解得||=2，故选：A．【点评】本题考查了向量的数量积的运算和向量的模的计算，属于基础题．4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）【分析】由已知中的程序语句可知该框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，由程序框图可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=﹣12+22﹣32+42的值，∵S=﹣12+22﹣32+42=10故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．6．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[，]上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[0，]时，函数g（x）的值域是[﹣1，2]【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的图象性质，得出结论．【解答】解：把函数f（x）=2sin（2x+）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x+）+]=2cos2x的图象，显然，函数g（x）是偶函数，故排除C．当x∈[，]，2x∈[，π]，函数g（x）为减函数，故排除A．当x=﹣时，g （x ）=0，故g （x ）的图象不关于直线x=﹣对称，故排除B ．当x ∈[0，]时，2x ∈[0，]，cos2x ∈[﹣，1]，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]，故选：D ．【点评】本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于基础题．7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．【分析】由题意得（1+2d ）2=1+12d ，求出公差d 的值，得到数列{a n }的通项公式，前n 项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【解答】解：∵a 1=1，a 1、a 3、a 13成等比数列， ∴（1+2d ）2=1+12d ． 得d=2或d=0（舍去）， ∴a n =2n ﹣1， ∴S n ==n 2， ∴=．令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．故选：A ．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的全面积，做本题时要注意本题中的规律应用，即四个侧面两两相等，注意到这一点，可以大大降低运算量．三视图的投影规则是主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（ ）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]【分析】由题意，方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根，等价于y=f （x ）与y=ax 有2个交点，又a 表示直线y=ax 的斜率，求出a 的取值范围． 【解答】解：∵方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根， ∴y=f （x ）与y=ax 有2个交点， 又∵a 表示直线y=ax 的斜率， ∴y ′=，设切点为（x 0，y 0），k=，∴切线方程为y ﹣y 0=（x ﹣x 0），而切线过原点，∴y 0=1，x 0=e ，k=， ∴直线l 1的斜率为， 又∵直线l 2与y=x+1平行， ∴直线l 2的斜率为，∴实数a 的取值范围是[，）． 故选：B ．【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题．10．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形△AF1F2的顶点A在y轴上，边AF1与双曲线左支交于点B，且=4，则双曲线C的离心率的值是（）A．+1 B．C．+1 D．【分析】不妨设△AF1F2的边长为4，求得c=2，由向量共线可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理求得|BF2|=，再由双曲线的定义和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：不妨设△AF1F2的边长为4，则|F1F2|=2c=4，c=2．由，可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理可得|BF2|2=|BF1|2+|F1F2|2﹣2|BF1||F1F2|cos∠BF1F2=1+16﹣2×1×4×=13，|BF2|=，由双曲线的定义可得2a=|BF2|﹣|BF1|=﹣1，解得a=，则e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和余弦定理，考查运算能力，属于中档题．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（）A．πB．πC．πD．π【分析】先求出没有水的部分的体积是，再求出棱长为2，可得小球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的，∵正四面体的各棱长均为4， ∴正四面体体积为=，∴没有水的部分的体积是，设其棱长为a ，则=， ∴a=2，设小球的半径为r ，则4×r=，∴r=，∴球的表面积S=4=．故选：C ．【点评】本题考查球的表面积，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确求出半径是关键．12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（ ） A ．2015B ．2016C ．4030D ．4032【分析】特殊值法：令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032．根据条件x ＞0时，有f （x ）＜2016，得出函数的单调性，根据单调性求出函数的最值．【解答】解：∵对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，∴令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032． 设x 1＜x 2，x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，则x 2﹣x 1＞0，f （x 2﹣x 1）=f （x 2）+f （﹣x 1）﹣2016，∴f（x2）+f（﹣x1）﹣2016＜2016．又∵f（﹣x1）=4032﹣f（x1），∴f（x2）＜f（x1），即函数f（x）是递减的，∴f（x）max=f（﹣2016），f（x）min=f（2016）．又∵f（2016）+f（﹣2016）=4032，∴M+N的值为4032．故选D．【点评】考查了抽象函数中特殊值的求解方法，得出函数的性质．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设i为虚数单位，则复数= i ．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：=，故答案为：i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．14．已知函数f（x）=2x2﹣xf′（2），则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是4x﹣y﹣8=0 ．【分析】求导函数，确定切点处的斜率与切点的坐标，即可求得函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程．【解答】解：∵函数f（x）=2x2﹣xf′（2），∴f′（x）=4x﹣f′（2），∴f′（2）=8﹣f′（2），∴f′（2）=4∴f（2）=8﹣2×4=0∴函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y﹣0=4（x﹣2）即4x﹣y﹣8=0故答案为：4x﹣y﹣8=0【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，确定切点处的斜率与切点的坐标是关键．15．若x，y满足若z=x+my的最大值为，则实数m= 2 ．【分析】画出满足约束条件的可行域，求出目标函数的最大值，从而建立关于m的等式，即可得出答案．【解答】解：由z=x+my得y=x，作出不等式组对应的平面区域如图：∵z=x+my的最大值为，∴此时z=x+my=，此时目标函数过定点C（，0），作出x+my=的图象，由图象知当直线x+my=，经过但A时，直线AC的斜率k=＞﹣1，即m＞1，由平移可知当直线y=x，经过点A时，目标函数取得最大值，此时满足条件，由，解得，即A（，），同时，A也在直线x+my=上，代入得+m=，解得m=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义确定取得最大值的最优解是解决本题的关键．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为．【分析】先利用余弦定理求得A ，进而通过正弦定理表示出c ，代入面积公式求得S+cosBcosC 的表达式，利用两角和与差的余弦函数公式化简求得其最大值．【解答】解：∵a 2=b 2+c 2+bc ， ∴cosA==﹣，∴A=，由正弦定理 c=a ==2sinC ， ∴S===sinBsinC ∴S+cosBcosC=sinBsinC+cosBcosC=cos （B ﹣C ）≤，故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．求得面积的表达式是解决问题的关键，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列． （1）证明数列{a n }是等比数列；（2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．【分析】（1）由题意得2a n =S n +，易求，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n﹣1﹣，两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），由递推式可得结论；（2）由（1）可求=2n ﹣2，从而可得b n ，进而有=，利用裂项相消法可得T n ；【解答】解：（1）证明：由S n ，a n ，成等差数列，知2a n =S n +， 当n=1时，有，∴，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n ﹣1﹣， 两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），即a n =2a n ﹣1， 由于{a n }为正项数列，∴a n ﹣1≠0，于是有=2（n ≥2），∴数列{a n }从第二项起，每一项与它前一项之比都是同一个常数2， ∴数列{a n }是以为首项，以2为公比的等比数列． （2）解：由（1）知==2n ﹣2，∴b n =log 2a n +3==n+1，∴==，∴T n =（）+（）+…+（）==．【点评】本题考查等差数列、等比数列的概念、数列的求和，裂项相消法是高考考查的重点内容，应熟练掌握．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a，b，c的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图能求出甲部门数据的中位数和乙部门数据的中位数，再求出甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，由此能求出a，b，c．（Ⅱ）利用列举法求出从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况和其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况，由此能求出所取两数之差的绝对值大于20的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据茎叶图得甲部门数据的中位数是78.5，乙部门数据的中位数是78.5；∵甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，∴a=0.05，在80～90的频率为0.2，∴b=0.02在60～70的频率为0.1，∴c=0.01．（Ⅱ）从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况是：（63，67），（63，68），（63，69），（63，73），（63，75），…，（96，86），（96，94），（96，97）共有100种；其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况是：（63，85），（63，86），（63，94），（63，97），（72，94），（72，97），（74，97），（76，97），（91，67），（91，68），（91，69），（96，67），（96，68），（96，69），（96，73），（96，75）共有16种，故所求的概率为．【点评】本题考查概率的求法，考查频率分布直方图的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求三棱锥A﹣PBC的体积．【分析】（1）（法一）取PB的中点F，连接EF，CF，由已知得EF∥AB，且，从而四边形CDEF是平行四边形，由此能证明DE∥平面PBC．（1）（法二）：取AB的中点F，连接DF，EF，由已知得四边形BCDF为平行四边形，从而DF∥BC，由此能证明DE∥平面PBC．（2）取AD的中点O，连接PO，由已知得PO⊥平面ABCD，由此能求出三棱锥A﹣PBC 的体积．【解答】（1）证明：（方法一）：取PB的中点F，连接EF，CF．∵点E，F分别是PA，PB的中点∴EF∥AB，且又CD∥AB，且∴EF∥CD，且EF=CD∴四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF．又DE⊄平面PBC，CF⊂平面PBC∴DE∥平面PBC．（1）证明：（方法二）：取AB的中点F，连接DF，EF．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，所以BF∥CD，且BF=CD．所以四边形BCDF为平行四边形，所以DF∥BC．在△PAB中，PE=EA，AF=FB，所以EF∥PB．又DF∩EF=F，PB∩BC=B，所以平面DEF∥平面PBC．因为DE⊂平面DEF，所以DE∥平面PBC．（2）解：取AD的中点O，连接PO．在△PAD中，PA=PD=AD=2，所以PO⊥AD，PO=又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO就是三棱锥P﹣ABC的高．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，AD=2，AB⊥AD，所以．故．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．【分析】（1）通过|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．列出方程，求出a 、b ，即可求椭圆E 的方程；（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，然后联立直线方程与椭圆方程，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），结合x 1x 2+y 1y 2=0，即可求圆的方程．（ⅱ）若AB 的斜率不存在，设A （x 1，y 1），则B （x 1，﹣y 1），利用⊥，求出半径，得到结果．【解答】解：（1）由题知2|F 1F 2|=|MF 1|+|MF 2|， 即2×2c=2a ，得a=2c ．①又由，得②且a 2=b 2+c 2，综合解得c=1，a=2，b=．∴椭圆E 的方程为+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，r 2=，①消去y ，整理得（3+4k 2）x 2+8kmx+4（m 2﹣3）=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），又∵⊥，∴x1x2+y1y2=0，即4（1+k2）（m2﹣3）﹣8k2m2+3m2+4k2m2=0，化简得m2=（k2+1），②由①②求得r2=．所求圆的方程为x2+y2=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（ⅱ）若AB的斜率不存在，设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），∵⊥，∴=0，得x=．此时仍有r2=|x|=．综上，总存在以原点为圆心的圆x2+y2=满足题设条件．【点评】考查椭圆的方程和基本性质，与向量相结合的综合问题．考查分析问题解决问题的能力．21．设函数f（x）=x2﹣（a+b）x+ablnx（其中e为自然对数的底数，a≠e，b∈R），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=﹣e2．（1）求b；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．【分析】（1）求导，从而求b；（2）由（1）得，，从而①当时，要使得f（x）在上有且只有两个零点，只需=，②当时，求导确定零点个数，③当a＞e时，求导确定零点个数．【解答】解：（1），∵f′（e）=0，a≠e，∴b=e；（2）由（1）得，，①当时，由f′（x）＞0得x＞e；由f′（x）＜0得．此时f（x）在上单调递减，在（e，+∞）上单调递增．∵，；∴要使得f（x）在上有且只有两个零点，则只需=，即；②当时，由f′（x）＞0得或x＞e；由f′（x）＜0得a＜x＜e．此时f（x）在（a，e）上单调递减，在和（e，+∞）上单调递增．此时，∴此时f（x）在[e，+∞）至多只有一个零点，不合题意；③当a＞e时，由f′（x）＞0得或x＞a，由f′（x）＜0得e＜x＜a，此时f（x）在和（a，+∞）上单调递增，在（e，a）上单调递减，且，∴f（x）在至多只有一个零点，不合题意．综上所述，a的取值范围为．【点评】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．【分析】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BDBE=BABF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BEBD﹣AEAC．【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，（1分）又EF⊥AB，∠AFE=90°，（1分）则A，D，E，F四点共圆（2分）∴∠DEA=∠DFA（1分）（2）由（1）知，BDBE=BABF，（1分）又△ABC∽△AEF∴，即ABAF=AEAC（2分）∴BEBD﹣AEAC=BABF﹣ABAF=AB（BF﹣AF）=AB2（2分）【点评】本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．【分析】（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，根据曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心解得a，即可得出．（Ⅱ）由题意可得，|OA|，|OB|，|OC|，|OD|，代入利用和差公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，∵曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心（1，1），解得a=1，故C2的直角坐标方程为y=1．（Ⅱ）由题意可得，，，，，．【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、圆的对称性、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．【分析】（Ⅰ）问题等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，通过讨论m的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质证明即可．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（1）+f（﹣2）≥5等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，可化为，解得m≤﹣2；或，无解；或，解得m≥3；综上不等式解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）…（5分）（Ⅱ）证明：当x≠0时，，|x|＞0，，…（10分）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．。
2020届全国第二次(3月)在线大联考((山东卷))数学(理)试题(解析版)
2020届全国第二次（3月）在线大联考（（山东卷）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|24}A x x =-<<，集合2560{|}B x x x =-->，则A B =I A ．{|34}x x << B ．{|4x x <或6}x > C ．{|21}x x -<<- D ．{|14}x x -<<【答案】C 【解析】【详解】由2560x x -->可得1)60()(x x -+>，解得1x <-或6x >，所以B ={|1x x <-或6}x >，又{|24}A x x =-<<，所以{|21}A B x x ⋂=-<<-，故选C ．2．已知i 为虚数单位，若复数12z i =+，15z z ⋅=，则||z = A ．1 BC ．5 D．【答案】B 【解析】【详解】 由15z z ⋅=可得15z z =，所以155||2i ||||z z +===B ． 3．命题p ：2(1,2],20()x x x a a ∀∈--+≥∈R 的否定为A ．2000(1,2],20()x x x a a ∃∈--+≥∈R B ．2(1,2],20()x x x a a ∀∈--+<∈R C ．2000(1,2],20()x x x a a ∃∈--+<∈R D ．2(1,2],20()x x x a a ∀∉--+<∈R【答案】C 【解析】【详解】命题p 为全称命题，它的否定为特称命题，将全称量词改为存在量词，并将结论否定，可知命题p 的否定为2000(1,2],20()x x x a a ∃∈--+<∈R ，故选C ． 4．设直线l 的方程为20()x y m m -+=∈R ，圆的方程为22(1)(1)25x y -+-=，若直线l被圆所截得的弦长为m 的取值为 A ．9-或11 B ．7-或11C ．7-D ．9-【答案】A【解析】【详解】圆22(1)(1)25x y -+-=的圆心坐标为（1，1），该圆心到直线l 的距离5d =，结合弦长公式得2|1|225()255m --=，解得9m =-或11m =，故选A ． 5．函数1()ln ||1xf x x+=-的图象大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【详解】由题可得函数()f x 的定义域为{|1}x x ≠±， 因为1()ln ||1x f x x --==+1ln ||()1xf x x+-=--，所以函数()f x 为奇函数，排除选项B ； 又(1.1)ln 211f =>，(3)ln 21f =<，所以排除选项A 、C ，故选D ．6．设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6322S S -=，则2823a a 的最小值为A ．8B ．16C ．24D ．36【答案】B 【解析】【详解】方法一：由题意得636332()2S S S S S -=--=，根据等差数列的性质，得96633,,S S S S S --成等差数列，设3(0)S x x =>，则632S S x -=+，964S S x -=+，则222288789962212333(3)()()=3a a a a a S S a a a a a S ++-==++2(4)x x+=168816x x =++≥=，当且仅当4x =时等号成立，从而2823a a 的最小值为16，故选B ．方法二：设正项等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式及6322S S -=，化简可得11653262(3)222a d a d ⨯⨯+-+=，即29d =，则2222822222243()33(6)163383a a a d a a a a a ++===++≥816=，当且仅当221633a a =，即243a =时等号成立，从而2823a a 的最小值为16，故选B ．7．2021年某省将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为 A ．18B ．14C ．16D ．12【答案】B 【解析】【详解】甲同学所有的选择方案共有122412C C =种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有133C =种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率31124P ==，故选B ． 8．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11A D 的中点，若三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为A ．12πB ．10πC ．414πD ．212π【答案】C 【解析】【详解】分别以AB u u u r，AD u u u r ，1AA u u u r 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,1,2)P ，设ABC V 的外心为M ，则(1,1,0)M ，设球O 的球心为()1,1,O h ，半径为R ，则||||OA OP R ==，所以222111(2)R h h =++=+-，解得34h =，所以24116R =，所以球O 的表面积为24R π=414π，故选C ．二、多选题9．某校高三年级共有800名学生参加了数学测验（满分150分），已知这800名学生的数学成绩均不低于90分，将这800名学生的数学成绩分组如下：[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是 （ ）A ．0.045a =B ．这800名学生中数学成绩在110分以下的人数为160C ．这800名学生数学成绩的中位数约为121.4D ．这800名学生数学成绩的平均数为125 【答案】BC 【解析】【详解】由频率分布直方图可知0.01020.0250.0150.00511)0(a ⨯++++⨯=，解得0.035a =，故A 不正确；这800名学生中数学成绩在110分以下的人数为800⨯0.0100.01010)16(0+⨯=，故B 正确；设这800名学生数学成绩的中位数为x ，则0.010100.010100.0251012()00.0350.5x ⨯+⨯+⨯+-⨯=，解得121.4x ≈，故C 正确；对于D ，这800名学生数学成绩的平均数为950.010101050.01010115⨯⨯+⨯⨯+⨯0.025101250.035101350.015101450.00510120⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故D 不正确．综上，正确答案为BC ．10．设函数(32)1,1(),1xa x x f x a x --≤⎧=⎨>⎩(0a >且1)a ≠，下列关于该函数的说法正确的是（ ）A ．若2a =，则2(log 3)3f =B ．若()f x 为R 上的增函数，则312a << C ．若(0)1f =-，则32a =D ．函数()f x 为R 上奇函数 【答案】AB 【解析】【详解】对于选项A ，因为2log 31>，所以2log 32(log 3)23f ==，所以选项A 正确；对于选项B ，欲使得该函数为增函数，则满足3201321a a a a->⎧⎪>⎨⎪--≤⎩，解得312a <<，所以选项B 正确；对于选项C ，使得(0)1f =-，此时0a >且1a ≠，与条件不符，所以选项C 错误；对于选项D ，该函数为非奇非偶函数，所以选项D 错误，综上只有选项AB 符合题意，故选AB ．11．已知函数()cos ||sin f x x x =+，则下列结论中正确的是（ ） A ．若2a =，则2(log 3)3f =B ．若()f x 为R 上的增函数，则312a << C ．若(0)1f =-，则32a =D ．函数()f x 为R 上奇函数 【答案】BCD 【解析】【详解】对于选项A ，(π)cos(π)sin(π)|cos ||sin (|)f x x x x x f x +=+++=-≠，所以选项A 错误；对于选项B ，因为()cos ||sin f x x x =+，所以 cos sin ()|()|(sin |22c )|os 2x x x f x x πππ+++==++，()2f x π-= cos si |()|()|2n sin |cos 2x x x x ππ+-=+-，所以() ()22f x f x ππ+=-，所以函数()f x 的图象是轴对称图形，所以选项B 正确；对于选项C ，易知函数()f x 的最小正周期为2π，因为函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，所以只需研究函数()f x 在3[,]22ππ上的最大值即可．当322x ππ≤≤时，()cos sin )4f x x x x π=-+=-，且5444x πππ≤-≤，令42x ππ-=，得34x π=，可知函数()f x 在34x π=处取得最大值为C 正确；对于选项D ，由5444x πππ≤-≤，得1)4x π--所以函数()f x 的最小值为1-，所以选项D 正确．故选BCD ．12．双曲线C ：22142x y -=的右焦点为F ，点P 在双曲线C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，则下列说法正确的是( )A ．双曲线C的离心率为2B ．双曲线22148y x -=与双曲线C 的渐近线相同C ．若PO PF ⊥，则PFO △D ．||PF 的最小值为2 【答案】ABC 【解析】【详解】对于选项A ，因为2,a b ==所以c ==所以选项A 正确；对于选项B，它们的渐近线都是y x =，渐近线相同，选项B 正确，对于选项C ，结合PO PF ⊥，又点P 在双曲线C的一条渐近线上，不妨设在2y x =上，则直线PF的方程为0y x -=-，即y x =-，联立方程组y x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩P ，所以PFO △的面积为12S ==C 正确；对于选项D，因为点F ，其中一条渐近线的方程为2y x =，所以||PF 的最小值就是点F到渐近线的距离，因为该距离为d =D 错误，综上，只有选项ABC 正确，故选ABC ．三、填空题13．函数()ln(1)=-f x x ____________．（写成区间的形式） 【答案】[1,1)- 【解析】【详解】要使函数()f x 有意义，需满足210430->⎧⎨+-≥⎩x x x ，即114<⎧⎨-≤≤⎩x x ，解得11x -≤<，故函数()f x 的定义域是[1,1)-．14．设α为锐角，若π2cos()64α+=，则sin2α的值为____________．【答案】733+【解析】【详解】∵α为锐角，π2cos()6α+=，∴π14sin()6α+=，∴πππ7sin(2)2sin()cos()366ααα+=++=，2π3cos(2)2cosπ()6134αα+=-=-+，故ππππππsin2sin[(2)]sin(2)co713373324s cos(2)sin333333αααα=+-=+-+⨯+⨯=+=.15．如图，在菱形ABCD中，AB=3，o60BAD∠=，E，F分别为BC，CD上的点，2,2CE EB CF FD==u u u r u u u r u u u r u u u r，若线段EF上存在一点M，使得56AM xAB AD=+u u u u r u u u r u u u r()x R∈，则x=____________，AM BD⋅=u u u u r u u u r____________．（本题第1空2分，第2空3分）【答案】1232【解析】【详解】根据题意，设EM EFλ=u u u u r u u u r，则1133AM AB BE EM AB AD EF AB ADλ=++=++=++u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22125()(1)()33336AD AB AB AD xAB ADλλλ-=-++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以213125336xλλ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1234xλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1526AM AB AD=+u u u u r u u u r u u u r，从而有22151151()()3263263AM BD AB AD AD AB AB AD AB AD⋅=+⋅-=-⋅-+=-⨯u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1533cos6099262⨯⨯︒-⨯+⨯=.16．已知0x=是函数()(tan)f x x ax x=-的极大值点，则a的取值范围是____________．【答案】(,1]-∞【解析】【详解】方法一：令()tan g x ax x =-，则(())f x x g x =⋅，21()cos g'x a x =-，当1a ≤，(,)22x ππ∈-时，'()0g x ≤，()g x 单调递减，∴(,0)2x π∈-时，()(0)0g x g >=，()()0f x x g x =⋅<，且()()f x xg'x '=+()0>g x ，∴()f x 在(,0)2π-上单调递增，(0,)2x π∈时，()(0)0g x g <=，()()0f x x g x =⋅<，且()()+()<0f 'x =xg'x g x ，∴()f x 在(0,)2π上单调递减，∴0x =是函数()f x 的极大值点，∴1a ≤满足题意；当1a >时，存在(0,)2t π∈使得cos t=，即'()0g t =，又21()cos g'x a x =-在(0,)2π上单调递减，∴,()0x t ∈时，'()0g t =，()(0)0g x g >=，所以()()(0)0f x x g x f =⋅>=，这与0x =是函数()f x 的极大值点矛盾．综上，1a ≤．方法二：依据极值的定义，要使0x =是函数()f x 的极大值点，由(0)0f =知须在0x =的左侧附近，()0f x <，即tan 0ax x ->；在0x =的右侧附近，()0f x <，即tan 0ax x -<．易知，1a =时，y ax =与tan y x =相切于原点，所以根据y ax =与tan y x =的图象关系，可得1a ≤．四、解答题17．在①2a =，②2a b ==，③2b c ==这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求ABC V 的面积的值（或最大值）．已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，三边a ，b ，c 与面积S 满足关系式：2224S b c a =+-，且 ，求ABC V 的面积的值（或最大值）．【答案】见解析 【解析】【详解】若选择①，结合三角形的面积公式，得222144sin 2S bc A b c a =⨯=+-，化简得到sin A =222cos 2b c a A bc+-=，则tan 1A =，又0180A <<︒︒，从而得到45A =︒，将2a =代入222cos 2b c a A bc+-=，得224b c ++．2242b c bc +=+≥，∴4bc ≤+，当且仅当b c ==∴11sin41222S bc A=≤⨯+⨯（，故ABCV1，此时b c==．若选择②，2a b==，结合三角形的面积公式，得222144sin2S bc A b c a=⨯=+-，化简得到sin A=222cos2b c aAbc+-=，则tan1A=，又0180A<<︒︒，从而得到45A=︒，则45A B==︒，此时ABCV为等腰直角三角形，12222S=⨯⨯=.若选择③，2b c==，则结合三角形的面积公式，得222144sin2S bc A b c a=⨯=+-，化简得到sin A=222cos2b c aAbc+-=，则tan1A=，又0180A<<︒︒，从而得到45A=︒，则122sin452S=⨯⨯⨯︒=18．已知数列{}n a满足111221(),1nn na a n a+*+=++∈=N，等差数列{}n b满足1224(2,3,)n nb n b n-+=+=L，（1）分别求出{}n a，{}n b的通项公式；（2）设数列{}n a的前n项和为n S，数列114lg2{}1lg nnn Sbn++-+的前n项和为,n T证明：<1nT．【答案】(1) 21,2nn na nb n=⋅-=（2）证明见解析【解析】【详解】（1）因为11221()nn na a n+*+=++∈N，所以1122(12)nn na a n+*+++=+∈N，所以1111122n nn na a++++=+，即1111122n nn na a++++-=，又因为11a=，所以数列1{}2nna+为等差数列，且公差为1，首项为1，则11(1)12nnan n+=+-⨯=，即21nna n=⋅-.设{}n b的公差为d，则111122424n n n n nb b b n b b n d-----=-+-=-+=，所以124nb n d-=-+（2,3,n=L），则2(1)4nb n d=+-+（n*∈N），所以1[2(1)4](24)2n nd b b n d n d-=-=+-+--+=，因此2(1)422nb n n=+-+=，综上，21,2nn na nb n=⋅-=．（2）设数列{2}nn⋅的前n项和为nM，则234122232422,nnM n=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯L234512122232422,n n M n +=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯L两式相减得2341112121212122(1)22,n n n n M n n ++-=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯-⨯=-⋅-L1(1)22n n M n +=-⋅+，所以1(1)22n n S n n +=-⋅+-，设114lg 2,1lg n n n c n S b n++=-+则24lg 22112()2(1)lg 2(1)(2)12n n c n n n n n +===-+++++， 所以1111111122()2()11233412222n T n n n n =⨯-+-++-=⨯-=-<++++L . 19．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面PCD ，底面ABCD 满足AD ∥BC ，122AP AB BC AD ====，90ABC ∠=︒，E 为AD 的中点，AC 与BE 的交点为O .（1）设H 是线段BE 上的动点，证明：三棱锥H PCD -的体积是定值； （2）求四棱锥P ABCD -的体积；（3）求直线BC 与平面PBD 所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）22P ABCD V -= （3311【解析】【详解】（1）因为底面ABCD 为梯形，且BC ED =，所以四边形BCDE 为平行四边形，则BE ∥CD ，又BE ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以BE P 平面PCD ，又因为H 为线段BE 上的动点，PCD V 的面积是定值，从而三棱锥H PCD -的体积是定值.（2）因为PA ⊥平面PCD ，所以PA CD ⊥，结合BE ∥CD ，所以AP BE ⊥， 又因为AB BC ⊥，12AB BC AD ==，且E 为AD 的中点，所以四边形ABCE 为正方形，所以BE AC ⊥，结合AP AC A ⋂=，则BE ⊥平面APC ，连接PO ，则BE PO ⊥，因为PA ⊥平面PCD ，所以PA PC ⊥，因为22AC AB AP ==，所以PAC V 是等腰直角三角形，O 为斜边AC 上的中点，所以PO AC ⊥，且AC BE O =I ，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PO 是四棱锥P ABCD -的高，又因为梯形ABCD 的面积为11()(242622BC AD AB +⨯=⨯+⨯=）， 在Rt APC △中，2PO =，所以11622233P ABCD ABCD V S PO -=⋅=⨯⨯=梯形.（3）以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，则B 20，0），C （02，0），D （22-2，0），P （0，02）， 则(2,2,0),(2,0,2),(22,2,2)BC PB PD =-=-=-u u u r u u u r u u u r，设平面PBD 的法向量为(,,)u v w =n ，则0,0PB PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 即220,22220u w u v w -=-+=⎪⎩则3u wv w =⎧⎨=⎩， 令1w =，得到(1,3,1)n =，设BC 与平面PBD 所成的角为α，则212322sin |cos ,|211BC α-⨯+⨯===⨯u u u r n ，所以2311cos 1sin αα=- 所以直线BC 与平面PBD 311． 20．某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久．甲上台阶时，可以一步走一个台阶，也可以一步走两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为13，每步上两个台阶的概率为23．为了简便描述问题，我们约定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第n 个台阶的概率为n P ，其中*n N ∈，且998n ≤．（1）若甲走3步时所得分数为X ，求X 的分布列和数学期望； （2）证明：数列1{}n n P P +-是等比数列；（3）求甲在登山过程中，恰好登上第99级台阶的概率．【答案】（1）分布列见解析，()5E X = （2）证明见解析 （3）9899342()5153P =-⨯ 【解析】【详解】（1）由题可得X 的所有可能取值为3，4，5，6， 且311()()3327P X ===，32124C 312()()39P X ==⨯⨯=，23224()(15C)P X =⨯==⨯，328()()6P X ===，所以X 的分布列为所以X 的数学期望1248()34565279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． （2）由题可得213231n n n P P P +++=，所以2112()3n n n n P P P P +++-=--，又113P =，22217()339P =+=，所以21409P P -=≠， 所以1{}n n P P +-是以49为首项，23-为公比的等比数列．（3）由（2）可得9999989897211()()()P P P P P P P P =-+-++-+L 989842[1()]134293()23515313⨯--=+=-⨯+．21．设函数f (x )=x 2−4x sin x −4cos x ．（1）讨论函数f (x )在[−π，π]上的单调性； （2）证明：函数f (x )在R 上有且仅有两个零点． 【答案】见解析 【解析】【详解】（1）f '(x )=2x −4x cos x −4sin x +4sin x =41()2cos x x -，由f '(x )=0，x ∈[−π，π]得x =0或π3-或π3． 当x 变化时，f '(x )和f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在区间[ππ)3--，，(0,π3)上单调递减，在区间()π,03-，(π,π]3上单调递增． （2）由（1）得极大值为f (0)=−4；极小值为f (π3-)=f (π3)<f (0)<0． 又f (π)=f (−π)=π2+4>0，所以f (x )在[ππ)3--，，(π,π]3上各有一个零点． 显然x ∈(π，2π)时，−4x sin x >0，x 2−4cos x >0，所以f (x )>0； x ∈[2π，+∞)时，f (x )≥x 2−4x −4>62−4×6−4=8>0， 所以f (x )在(π，+∞)上没有零点．因为f (−x )=(−x )2−4(−x )sin(−x )−4cos(−x )=x 2−4x sin x −4cos x =f (x )， 所以f (x )为偶函数，从而x <−π时，f (x )>0，即f (x )在(−∞，−π)上也没有零点．故f (x )仅在[ππ)3--，，(π,π]3上各有一个零点，即f (x )在R 上有且仅有两个零点． 22．设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)．（1）当直线l 的倾斜角为45︒时，求线段AB 的中点的横坐标； （2）设点A 关于x 轴的对称点为C ，求证：M ，B ，C 三点共线；（3）设过点M 的直线交椭圆于,G H 两点，若椭圆上存在点P ，使得OG OH OP λ+=u u u r u u u r u u u r（其中O 为坐标原点），求实数λ的取值范围． 【答案】(1) AB 的中点的横坐标为23；（2）证明见解析；（3）(2,2)- 【解析】【详解】 设1122(,),(,)A x y B x y .（1）因为直线l 的倾斜角为45︒，(1,0)F ，所以直线AB 的方程为1y x =-，联立方程组22112y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理，得2340x x -=，则121242,323x x x x ++==， 故线段AB 的中点的横坐标为23． （2）根据题意得点11(,)C x y -，若直线AB 的斜率为0，则直线AB 的方程为0y =，A 、C 两点重合，显然M ，B ，C 三点共线；若直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为1x my =+，联立方程组22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得22(2)210m y my ++-=， 则12122221,22m y y y y m m +=-=-++，设直线BM 、CM 的斜率分别为BM k 、CM k ， 则2121122112121222112121212(2)(2)(1)(1)2()22(2)(2)(1)(1)1()BM CM y y y x y x y my y my my y y y k k x x x x my my m y y m y y --+--+--+-=-====-------++222222222202122m m m m m m m m -+++=+-++，即BM k =CM k ，即M ，B ，C 三点共线．（3）根据题意，得直线GH 的斜率存在，设该直线的方程为(2)y k x =-， 设003344(,),(,),(,)P x y G x y H x y ，联立方程组2212(2)x y y k x =+=-⎧⎪⎨⎪⎩，消去y 并整理，得2222(12)8820k x k x k +-+-=， 由422644(12)(82)0k k k ∆=-+->，整理得21<2k ，又22343422882,1212k k x x x x k k-+==++， 所以343424(4)12ky y k x x k +=+-=-+，结合OG OH OP λ+=u u u r u u u r u u u r，得034034,x x x y y y λλ=+=+，当0λ=时，该直线为x 轴，即0y =，此时椭圆上任意一点P 都满足OG OH OP λ+=u u u r u u u r u u u r，此时符合题意；当0λ≠时，由OG OH OP λ+=u u u r u u u r u u u r ，得202021*******k x k k y k λλ⎧=⋅⎪⎪+⎨-⎪=⋅⎪+⎩，代入椭圆C 的方程，得4222222232161(12)(12)k k k k λλ+=++，整理，得222216161122k k kλ==++， 再结合21<2k ，得到20<<4λ，即(2,0)(0,2)λ∈-U ，综上，得到实数λ的取值范围是(2,2)-．。
2020年山东高三三模数学试卷
2020年山东高三三模数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.设复数，则在复平面内对应的点位于（ ）．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合，，则（ ）．A. B.， C. D.3.已知为坐标原点，为直线上在第一象限内的点，，，则与的夹角为（ ）．A.B.C.D.4.已知函数的最小正周期为，则的展开式中的系数为（ ）．A.B.C.D.5.函数的部分图象大致为（ ）．A.B.C.D.6.记为正项数列的前项和，，若数列是等差数列，则（ ）．A.B.C.D.7.物理学上，“分贝”是一种测量声音相对响度的单位，分贝的计算公式为，其中为分贝，为声压标准值，为声压测量值．分贝是人刚能听到的最微弱的声音，分贝是较为理想的安静环境，超过分贝会影响休息和睡眠，超过分贝会影响学习和工作，超过分贝会影响听力，如果突然暴露在高达分贝的噪声环境中，鼓膜会破裂出血，双耳完全失去听力．已知摇滚演唱会最前排听到声音的声压约为，则其约为（参考数据：，）（ ）．A.分贝B.分贝C.分贝D.分贝8.已知四棱锥中，侧面是边长为的等边三角形，，，则四棱锥的体积是（ ）．A.B.C.D.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9.下图为某地区年上半年年上半年住宅供应面积、住宅成交面积以及住宅成交均价走势图：年年下半年年上半年年下半年年年下半年上半年年上半年上半年住宅供应面积万平方米住宅成交面积万平方米住宅成交均价（元平方米）根据该走势图可知，下列说法正确的有（ ）．A.住宅面积总是供不应求B.住宅成交均价逐年增长速度相同C.年下半年住宅供需面积差异最大D.年下半年住宅供需面积最为平衡10.已知双曲线：的一条渐近线平行于直线：，则下列说法正确的有（ ）．A.的渐近线方程为B.的离心率为C.与直线有两个公共点D.若过点，则的标准方程为11.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的有（ ）．A.的一个周期是B.在区间上有个零点C.的最大值为D.在区间上是增函数12.已知底面是菱形的直四棱柱，棱长为，，，分别为，的中点，为线段上不同于，的动点，则下列说法正确的有（ ）．A.存在点，使B.存在点，使C.平面截四棱柱所得截面面积的取值范围为D.三棱锥的体积为定值三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.“回文”是指正读、反读都能读通的句子，它是古今中外都有的一种修辞方式和文字游戏，如“我为人人，人人为我”等．在数学中也有这样一类数字称为回文数．设是自然数，若将的各位数字反向排列所得自然数与相等，则称为回文数．例如，若，则称为回文数．在中任取两个回文数，则这两个回文数都能被整除的概率是 ．14.已知，则 ．15.设抛物线的焦点为，以抛物线上一点为圆心的圆与直线相切，连接与圆交于点，且，则的方程为 ；若点为圆上的动点，为坐标原点，则的最小值为 ．16.已知函数若函数至少有一个零点，则实数的取值范围是 ．，四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.在①，②，③的前项和这三个条件中，任选一个补充到下面的题目中，并解答题目．已知数列是等差数列，是等比数列，且，， ，．设，求数列的前项和．（1）（2）18.在中，，为内一点，．若，求．若，求．（1）（2）19.如图，在四棱锥 中，底面是平行四边形， 平面，，分别为，的中点， ， ， ．证明： ．求直线与平面所成角的正弦值．20.党的十八大以来，党中央明确了到年我国将完成“脱贫攻坚”任务．某市许多年轻人得知政府在大力扶植地区特色产业后，纷纷投入家乡如火如荼的创业大潮中，建立了“万亩蓝莓园”．在蓝莓采（1）（2）摘时，把质量较好的蓝莓（我们称之为“一等品”）挑选出来，“一等品”的价格是一般蓝莓价格的倍，“一等品”越多，收益也就越好．从该市随机抽取男、女果农各名，调查了他们平均每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量（单位：千克），分别为，，，，，绘制成如下条形图：男果农一等品重量千克频数一等品重量千克频数女果农若我们把平均每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量不少于千克的果农称为“蓝莓种植能手”，由以上统计填写下列列联表，并判断是否有的把握认为“蓝莓种植能手”与性别有关．“蓝莓种植能手”非“蓝莓种植能手”总计男果农 女果农 总计已知今年的蓝莓平均亩产为千克，收购价为：一般蓝莓元千克，“一等品”蓝莓元千克，随机抽取名男果农和名女果农，以表示这名果农中每亩收益大于元的人数，求的分布列及数学期望．参考公式及数据：，其中．（1）（2）21.已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为，且椭圆过点．求椭圆的标准方程．过点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点，过点作垂直于轴交椭圆于点，直线与轴交于点，求面积的最大值．【答案】解析:，所以，所以在复平面内对应的点位于第一象限．故选．解析:集合表示直线上点的集合，集合表示抛物线上点的集合，为直线与抛物线的交点组成的集合，联立，解得或．故选．解析:∵为直线上在第一象限上的点，不妨设设，则，∴，即点坐标为，∴，∴，设与的夹角为，（1）（2）22.已知函数．若，求的极值．若恒成立，求的最大值．A1.D2.D3.则，∴．故选：．解析:∵函数的最小正周期，则，解得，二项式的展开式的通项：（，，，），令，解得，，∴的展开式中的系数为．故正确．解析:因为，所以为奇函数，选项错误；当时，，选项错误；当时，，令即，解得．所以当时，单调递增，选项错误．故选．解析:C 4.C 5.A 6.因为数列是等差数列，所以数列是等比数列，设其公比为，则，即，解得或（舍去），又，所以，，所以．故选．解析:，由于，即，，所以．故选．解析:由题意得四边形为直角梯形，，易知为直角三角形，，又，，所以平面，作，垂足为，则，又，所以平面，所以，故选．解析:.全图供应面积小于成交面积，供小于求，故选项正确；B 7.B 8.四边形四边形A 9..明显年下半年速度变快，趋势变陡，故选项错误；.年上半年差值更大，故选项错误；.年下半年供求差值最小，故选项错误．故选．解析:由题意可得，，故正确；令，即，即，得或，当时，解得或或，故正确；因为，所以．设，令，得，所以或，令，得，所以或，即在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，因为，，所以，故正确，错误．故选．BD 10.ABC 11.解析:当为中点时，且，四边形为平行四边形，所以，故选项正确；如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，设，则，，，．，得，故选项错误；如图，平面截四棱柱所得截面为平面，，，，，，所以，，，，，所以，故选项正确；设为点到平面的距离，因为平面平面，平面，所以为定值，又为定值，故为定值，故选项正确．故选．ACD 12.四边形四边形解析:中的回文数有，，，，，，，，，，共个，其中能被整除的有，，，共个，所以．解析:，即，即，所以．解析:因为圆与直线相切，又，所以．又，所以，即，解得，所以的方程为，所以．又，，所以．解析:当时，，所以，函数至少有一个零点，即函数的图象与函数的图象至少有一个交点．13.14. ;15.16.当时，，，设以为切点的切线过点，则切线斜率，解得，如图，xyI所以．解析:①设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，由，，可得，．即，，则，则．又，则数列的前项和为．②由，，可得．，，，则，则．又，则数列的前项和为③，．17.（1）（2）．③设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，由，，可得．，即，，则，则．又，则数列的前项和为．解析:因为，，所以，，，所以，，因为，所以，，在中，，，，所以，解得．因为，，所以，设，则，，因为，所以，在中，，在中，，（1）．（2）．18.（1）即，化简得，所以．解析:取的中点，连接，，如图所示，因为，分别为，的中点，所以且，因为四边形为平行四边形，所以且， 且，因为为中点，所以 且，所以 且，所以四边形为平行四边形，所以 且 ，因为 ，所以 ，因为 平面，平面，所以 ，所以 ，又因为 ，所以，在 中，因为，（1）证明见解析．（2） ．19.（2）所以 ，即 ，又因为 ，所以 平面，又因为 平面，所以 ，因为 平面，平面，所以 ，又因为 ，所以 平面，又因为 平面，所以 ．因为平面， ，所以以为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，因为 ， ，所以 ，所以 ， ， ， ， ，， ， ，设平面的一个法向量 ，则 ，即 ，令 得 ，所以，（1）（2）所以直线与平面所成角的正弦值为 ．解析:列联表如下： “蓝莓种植能手”非“蓝莓种植能手”总计男果农女果农总计，所以有的把握认为“蓝莓种植能手”与性别有关．当果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量为千克时，每亩收益为（元），则每亩收益大于元的人数就是每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的人数，女果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的概率为，男果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的概率为，设名女果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的人数为，名男果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的人数为，则，，的所有可能取值为，，，，（1）列联表如下： “蓝莓种植能手”非“蓝莓种植能手”总计男果农女果农总计有的把握认为“蓝莓种植能手”与性别有关．（2）的分布列为：．20.（1）（2），，，，所以的分布列为：．解析:由题意得，．又因为椭圆过点，代入椭圆方程得，所以椭圆的标准方程为．设直线，，，则，直线，得，联立方程组，整理得，则恒成立，，，，所以，当且仅当点在短轴端点处取得等号，故面积的最大值为．（1）．（2）．21.（1）当时，取得极大值，且无极小值．22.（1）（2）解析:由题意得，，当时，的定义域为，，在区间上单调递增，所以无极值；当时，的定义域为，当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，所以当时，取得极大值，且无极小值．若恒成立，即恒成立，设，若，由得，取，使得，则，而，，所以，所以，与矛盾，故，由得，且，当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，因此，故，所以，记，则，（2）．当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，因此，所以当，时，取得最大值．。
数学-学科网3月第三次在线大联考(山东卷)(全解全析版)
学科网2020年3月高三第三次在线大联考（山东卷）数学（满分：150分 考试时间：120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知集合{|20}A x x =-≥，{|ln(1)}B x y x =∈=+Z ，则A B =I A ．[1,2]-B ．(1,2]-C ．{0,1,2}D ．{1,0,1,2}-2．设复数z 满足|i ||i |z z -=+，i 为虚数单位，且z 在复平面内对应的点为(,)Z x y ，则下列结论一定正确的是 A ．1x =B ．1y =C ．0x =D ．0y =3．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为 A ．171.25cmB ．172.75cmC ．173.75cmD ．175cm4．已知向量(1,),(2,)t y =-=a b ，其中22121y t t =-++，则当y 最小时，cos ,=a bA B ． C ．D 5．函数52sin ()([,0)(0,])33xxx xf x x -+=∈-ππ-U 的大致图象为6．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，数列{}n a 满足1[]22(1)n n a n -=-，则数列{}n a 的前60项的和为A ．1830B ．1830-C ．3660D ．3660-7．长方体ABCD A'B'C'D'-中，,AB a AD b ==，AA'a b =+，则三个角,,AA'B BA'D DA'A ∠∠∠的和为A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒8．已知过点(4,0)M 的直线与抛物线C ：24y x =交于点,A B ，设O 为坐标原点，则||||||OA OB AB +的最大值为A ．1B ．2CD 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．已知a ，b ，c 是实数，则下列结论正确的是 A ．“22a b >”是“a b >”的充分条件 B ．“22a b >”是“a b >”的必要条件C ．“22ac bc >”是“a b >”的充分条件D ．“||||a b >”是“a b >”的既不充分也不必要条件10．若函数21()ln ||+1f x x x =-，则下列说法正确的是 A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 在定义域上是单调增函数C ．函数()f x 在(0,)+∞上单调递减D ．不等式(1)(2)f x f x ->的解集为1(1,0)(0,)3-U11．将函数2()cos f x x x x =-的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象．则下列说法正确的是A ．函数()g x 的图象关于点π(,0)3成中心对称B ．函数()g x 在(π,π)-上有8个极值点C．函数()g x 在区间ππ[,]24--D ．函数()g x 在区间π(0,)12上单调递增12．在如图所示的平面多边形中，四边形ABCD 的正方形，外侧4个三角形均为正三角形．若沿正方形的4条边将三角形折起，使顶点1234,,,S S S S 重合为S 点，得到四棱锥S ABCD -，则AB ．此四棱锥的外接球的表面积为3πC ．此四棱锥的外接球的体积为43πD ．此四棱锥的高为1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．35(2)()x y x y +-的展开式中35x y 的系数为___________.14．已知双曲线E ：2221(0)x y a a-=>的左、右焦点分别为12,F F ，M 在E 的右支上，若12ππ[,]43F MF ∠∈，则12MF MF ⋅u u u u r u u u u r的最大值为___________. 15．若存在直线l 与函数1()(0)f x x x=<及2()g x x a =+的图象都相切，则实数a 的最小值为___________．16．某中学某天有6节课，其中上午4节，下午2节，若要排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理这6节课，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则不同的排法种数是_________，数学排第一节课的概率是_________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足112(2)n n n n a a n a a +-+=≥，且12a a ≠，315a =，125,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1{}na 的前n 项和为n S ，+1n n n nb a a S =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）已知四边形ABCD 中，AB AD ⊥，π6BDC ∠=，2AD =，4DC =.（1）若cos ABD ∠BD ，BC ； （2）若C ADC ∠=∠，求sin CBD ∠. 19．（本小题满分12分）如图所示，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，MB ∥AN ，2NA AB ==，4BM =，CN =（1）证明：平面DMN ⊥平面BCN ； （2）求二面角C MN D --的余弦值. 20．（本小题满分12分）为增强学生的法治观念，营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围，某学校开展了“宪法小卫士”活动，并组织全校学生进行法律知识竞赛.现从全校学生中随机抽取100名学生，统计了他们的竞赛成绩，已知这100名学生的竞赛成绩均在[50,100]内，并得到频数分布表（如下）.（1）将竞赛成绩在[70,100]内定义为“合格”，竞赛成绩在[50,70)内定义为“不合格”．请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关？（2）根据（1）的数据分析，将频率视为概率，从该校学生中用随机抽样的方法抽取3人，记被抽取的3人中“不合格”的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列和数学期望()E X .附参考公式及临界值表：22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++.21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，过椭圆C 的左、右焦点12,F F 分别作倾斜角为π3的直线12,l l ，12,l l（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 只有一个公共点，求点12,F F 到直线l 的距离之积. 22．（本小题满分12分）已知函数()cos(1)(1ln )f x x x x =-+-. （1）设()()g x f x '=，求证：1()g x x<； （2）讨论()f x 的单调性.学科网2020年3月高三第三次在线大联考（山东卷）数学 全解全析（满分：150分 考试时间：120分钟）1．C 【解析】因为{|20}{|2}A x x x x =-≥=≤，{|ln(1)}{|1}B x y x x x =∈=+=∈>-Z Z ，所以{0,1,2}A B =I .故选C ．2．D 【解析】因为满足|i ||i |z z -=+的点Z 为复平面内到点(0,1)和(0,1)-的距离相等的点的集合，所以(,)Z x y 的轨迹为x 轴，其方程为0y =.故选D ．3．C 【解析】由题可得0.00520.02020.040(1)10a ⨯++⨯+⨯=，解得0.010a =， 则(0.0050.0100.020)100.35++⨯=，0.350.040100.750.5+⨯=>，所以这部分男生的身高的中位数的估计值为0.50.3517010173.75(cm)100.040-+⨯=⨯，故选C ．4．B 【解析】2222112(1)33111y t t t t =-+=++-≥=-++，当且仅当22111t t +=+，即0t =时取等号，y 取得最小值为1-.此时，(1,0),(2,1)=-=-a b ，则cos ,||||⋅===⋅a b a b a b .故选B ． 5．A 【解析】因为5()2sin()52sin ()()3333x x x xx x x xf x f x ---+-+-===--，所以函数()f x 是偶函数，排除B 、D ，又5()033f π-πππ=>-，排除C ，故选A ．6．D 【解析】当43n k =-或42n k =-时，1[]2(1)1n --=；当41n k =-或4n k =时，1[]2(1)1n --=-，所以4342k k a a --+2222414(43)(42)(41)(4)3212k k a a k k k k k -++=-+----=-+，所以数列{}n a 的前60项和60S =32123215121536602-+-⨯+⨯=-.故选D ．7．D 【解析】如图，连接BD ，因为,AB a AD b==，AA'a b =+，所以222()A'B a a b =++，222()A'D b a b =++， 222BD a b =+，结合余弦定理得222222222cos 2A'B A'D BD BA'D A'B A'D +-∠===⋅=cos cos BA'A DA'A ∠⋅∠．又因为tan tan 1a b BA'A DA'A a b a b∠+∠=+==++sin sin cos cos BA'A DA'ABA'A DA'A∠∠+∠∠，所以sin()cos cos cos BA'A DA'A BA'A DA'A BA'D ∠+∠=∠⋅∠=∠，所以BA'D ∠+90DA'A BA'A ∠+∠=︒，故选D ．8．C 【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为4x my =+，与24y x =联立得24160y my --=，则124y y m +=，1216y y =-，所以212121212(4)(4)(1)4()1616(1OA OB my my y y m y y m y y ⋅=+++=++++=-u u u r u u u r22)16160m m +++=，所以OA OB ⊥，则222||||||OA OB AB +=,所以||||OA OB +≤|AB =（当且仅当||||OA OB =时等号成立），所以||||||OA OB AB +故选C ．9．CD 【解析】A ，举反例，取4,1a b =-=可知A 错误；B ，举反例，取1,2a b ==-可知B 错误；而C ，D 显然正确．故选CD ．10．AD 【解析】首先，函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称，因为21()ln ||()()1f x x f x x -=--=-+，所以函数()f x 为偶函数，故A 正确；当0x >时，21()ln +1f x x x =-，由复合函数的单调性可知，函数()f x 单调递增，由偶函数的图象关于y 轴对称，可知当0x <时，函数()f x 单调递减，故B 错误，C错误；由函数()f x 是偶函数及其单调性，得(1)(2)f x f x ->等价于|1||2|x x ->，即22(1)(2)x x ->，结合定义域解得110,03x x -<<<<或，故D 正确．故选AD ．11．BCD 【解析】21cos2π()cos 2)26x f x x x x x x +=-+，将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得函数π())6g x x +的图象．对于选项A ，π4ππ())336g =+=()g x 的图象不关于点π(,0)3成中心对称，A 错误；对于选项B ，由(π,π)x ∈-得π23π25π4(,)666x +∈-，结合函数图象可得函数()g x 在(π,π)-上有8个极值点，B 正确；对于选项C ，由ππ24x -≤≤-，得11ππ5π4666x -≤+≤-，则()g x ≤所以函数()g x 的最大值为，最小值为，C 正确；对于选项D ，由242262k x k k πππ-+π≤+≤+π,∈Z ，解得,62122k k x k ππππ-+≤≤+∈Z ，取0k =，得612x ππ-≤≤，故函数()g x 在π(0,)12上单调递增，D 正确．故选BCD ．12．CD 【解析】如图所示，连接,AC BD ，设AC BD H =I ，连接SH ，根据题意可得SH ⊥平面ABCD ．设O 为四棱锥S ABCD -的外接球的球心，则O 在SH 上．连接OC ，设此四棱锥的外接球的半径为R ，则OS OC R ==．因为正方形ABCD1CH =，SC =1SH =，所以,H O 重合，即四棱锥的高1SH =，四棱锥的外接球的半径1R =，直径为2，所以四棱锥的外接球的表面积24π4πS R ==，体积34433V R =π=π．故选CD ．13．11- 【解析】35(2)()x y x y +-的展开式中含35x y 的项为303232223233535C (2)C ()C (2)C ()x y x y x y x y -+-+1244030505353535C (2)C ()C (2)C ()11x y x y x y x y x y -+-=-，所以35(2)()x y x y +-的展开式中35x y 的系数为11-． 14．2 【解析】设12||,||MF m MF n ==，12F MF θ∠=，则22242cos c m n mn θ=+-.又2m n a -=，即22224m n mn a +-=，解得21cos mn θ=-，所以12122cos ||||cos cos 1cos MF MF MF MF mn θθθ=θ⋅=⋅⋅==-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r211cos θ-，因为ππ[,]43θ∈，所以1cos 22θ≤≤12cos θ≤≤1111cos θ≤-≤，则2211cos θ≤≤-2=，所以12MF MF ⋅u u u u r u u u u r的最大值为2． 15．【解析】设直线l 与函数()f x 及()g x 的图象分别相切于1(,)(0)A m m m <，2(,)B n n a +，因为21()f x x '=-，所以函数()f x 的图象在点A 处的切线方程为211()y x m m m -=--，即212y x m m=-+，因为()2g x x '=，所以函数()g x 的图象在点B 处的切线方程为22()y n a n x n --=-，即22y nx n a =-+，因为存在直线l 与函数()f x 及()g x 的图象都相切，所以22122n mn a m ⎧=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，所以4124a m m =+， 令1(0)t t m =<，设41()2(0)4h t t t t =+<，则3()2h t t '=+，当t <()0h t '<，函数()h t单调递减；当0t <时，()0h t '>，函数()h t 单调递增，所以min()(h t h ==，所以实数a的最小值为 16．408，517【解析】如果上午第一节课排数学，则语文、英语、信息技术、体育、地理可任意排在其余5节课，故有55A种排法；如果上午第一节课不排数学，则可排语文、英语、信息技术、地理中的任何一门，有14C 种排法，数学应该排在上午第二节、第三节或第四节，有13C 种排法，余下的四门课程可任意排列，有44A 种排法，故上午第一节课不排数学共有114434C C A ⋅⋅种排法，综上，有51145434A 4C C A 08⋅+=⋅种不同的排法．数学排第一节课的概率55A 540817P ==．故答案为408，517．17．（本小题满分10分）【解析】（1）因为112(2)n n n n a an a a +-+=≥，所以0n a ≠，所以11112n n n a a a +-+=， 所以数列1{}n a 是等差数列，设数列1{}na 的公差为d ，由12a a ≠可得0d ≠，（2分） 因为125,,a a a 成等比数列，所以2152a a a =，所以2152111a a a ⋅=，所以2333111(2)(2)()d d d a a a -+=-， 因为315a =，所以2(52)(52)(5)d d d -+=-，（4分） 解得0d =（舍去）或2d =，所以311(3)21n n d n a a =+-=-，所以121n a n =-．（5分） （2）由（1）知121n a n =-，2(121)2n n n S n +-==， 所以2+1111111()(21)(21)44(21)(21)482121n n n n n b a a S n n n n n n ===+=+--+-+-+， 所以21111111111(1)(1)483352121482142n n nT n n n n n n +=+⨯-+-++-=+⨯-=-+++L ．（10分）18．（本小题满分12分）【解析】（1）在Rt ABD △中，由cos ABD ∠2sin 3ABD ∠， 所以3sin ADBD ABD==∠.（3分）在BCD △中，由余弦定理得222222cos 3423425BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=+-⨯⨯=-，所以BC =.（6分）（2）设CBD x ∠=，由C ADC ∠=∠，π6BDC ∠=可得5π6C x ∠=-，π6ABD x ∠=-， 在Rt ABD △中，因为2AD =，所以2πsin sin()6AD BD ABD x ==∠-，（8分）在BCD △中，由正弦定理得sin sin BD CDC CBD =∠∠，即45πsin sin()6BD x x =-， 所以24π5πsin sin()sin()66xx x =--，整理得24sin 2sin 10x x --=.（10分） 由sin 0x >得sin x =sin CBD ∠=.（12分）19．（本小题满分12分）【解析】（1）因为正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABMN ， 因为MN ⊂平面ABMN ，BN ⊂平面ABMN ，所以BC MN ⊥，BC BN ⊥，由2,BC CN ==，得BN =2NA AB ==，可得AB AN ⊥，（3分） 在直角梯形ABMN 中,可得MN =由4BM =，BN MN ==222BN MN BM +=，所以BN MN ⊥， 因为BC BN B =I ，所以MN ⊥平面BCN ，因为MN ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面BCN .（6分）（2）如图，以B 为坐标原点，,,BA BM BC 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系B -xyz ，则(0,0,0),(0,0,2),(2,0,2)B C D ,(0,4,0),(2,2,0)M N ,(2,2,0)MN =-u u u u r ,(2,2,2)CN =-u u u r ,(0,2,2)DN =-u u u r,设111(,,)x y z =n 是平面CMN 的法向量，则00MN CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r n n ，即111112202220x y x y z -=⎧⎨+-=⎩， 取11x =，得(1,1,2)=n .（8分）设222(,,)x y z =m 是平面DMN 的法向量，则0MN DN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u r m m ，即2222220220x y y z -=⎧⎨-=⎩，取21z =，得(1,1,1)=m ，（10分）设二面角C MN D --的平面角为θ，则cos ||||3θ⋅===n m n m ，由图可知二面角C MN D --的余弦值为3.（12分） 20．（本小题满分12分）【解析】（1）补充完整的22⨯列联表如下：。
数学-2020年3月高三第三次在线大联考(山东卷)(全解全析)
2020年3月高三第三次在线大联考（山东卷）数学 全解全析（满分：150分 考试时间：120分钟）1．C 【解析】因为{|20}{|2}A x x x x =-≥=≤，{|ln(1)}{|1}B x y x x x =∈=+=∈>-Z Z ，所以{0,1,2}A B =I .故选C ．2．D 【解析】因为满足|i ||i |z z -=+的点Z 为复平面内到点(0,1)和(0,1)-的距离相等的点的集合，所以(,)Z x y 的轨迹为x 轴，其方程为0y =.故选D ．3．C 【解析】由题可得0.00520.02020.040(1)10a ⨯++⨯+⨯=，解得0.010a =， 则(0.0050.0100.020)100.35++⨯=，0.350.040100.750.5+⨯=>，所以这部分男生的身高的中位数的估计值为0.50.3517010173.75(cm)100.040-+⨯=⨯，故选C ．4．B 【解析】2222112(1)33111y t t t t =-+=++-≥=-++，当且仅当22111t t +=+，即0t =时取等号，y 取得最小值为1-.此时，(1,0),(2,1)=-=-a b ，则cos ,||||⋅===⋅a b a b a b .故选B ． 5．A 【解析】因为5()2sin()52sin ()()3333x x x xx x x xf x f x ---+-+-===--，所以函数()f x 是偶函数，排除B 、D ，又5()033f π-πππ=>-，排除C ，故选A ．6．D 【解析】当43n k =-或42n k =-时，1[]2(1)1n --=；当41n k =-或4n k =时，1[]2(1)1n --=-，所以4342k k a a --+2222414(43)(42)(41)(4)3212k k a a k k k k k -++=-+----=-+，所以数列{}n a 的前60项和60S =32123215121536602-+-⨯+⨯=-.故选D ．7．D 【解析】如图，连接BD ，因为,AB a AD b==，AA'a b =+，所以222()A'B a a b =++，222()A'D b a b =++， 222BD a b =+，结合余弦定理得222222222cos 2A'B A'D BD BA'D A'B A'D +-∠===⋅=cos cos BA'A DA'A ∠⋅∠．又因为tan tan 1a b BA'A DA'A a b a b∠+∠=+==++sin sin cos cos BA'A DA'ABA'A DA'A∠∠+∠∠，所以sin()cos cos cos BA'A DA'A BA'A DA'A BA'D ∠+∠=∠⋅∠=∠，所以BA'D ∠+90DA'A BA'A ∠+∠=︒，故选D ．8．C 【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为4x my =+，与24y x =联立得24160y my --=，则124y y m +=，1216y y =-，所以212121212(4)(4)(1)4()1616(1OA OB my my y y m y y m y y ⋅=+++=++++=-u u u r u u u r22)16160m m +++=，所以OA OB ⊥，则222||||||OA OB AB +=,所以||||OA OB +≤|AB =（当且仅当||||OA OB =时等号成立），所以||||||OA OB AB +故选C ．9．CD 【解析】A ，举反例，取4,1a b =-=可知A 错误；B ，举反例，取1,2a b ==-可知B 错误；而C ，D 显然正确．故选CD ．10．AD 【解析】首先，函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称，因为21()ln ||()()1f x x f x x -=--=-+，所以函数()f x 为偶函数，故A 正确；当0x >时，21()ln +1f x x x =-，由复合函数的单调性可知，函数()f x 单调递增，由偶函数的图象关于y 轴对称，可知当0x <时，函数()f x 单调递减，故B 错误，C错误；由函数()f x 是偶函数及其单调性，得(1)(2)f x f x ->等价于|1||2|x x ->，即22(1)(2)x x ->，结合定义域解得110,03x x -<<<<或，故D 正确．故选AD ．11．BCD 【解析】21cos2π()cos 2)26x f x x x x x x +=-+，将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得函数π())6g x x +的图象．对于选项A ，π4ππ())336g =+=()g x 的图象不关于点π(,0)3成中心对称，A 错误；对于选项B ，由(π,π)x ∈-得π23π25π4(,)666x +∈-，结合函数图象可得函数()g x 在(π,π)-上有8个极值点，B 正确；对于选项C ，由ππ24x -≤≤-，得11ππ5π4666x -≤+≤-，则()g x ≤所以函数()g x 的最大值为，最小值为，C 正确；对于选项D ，由242262k x k k πππ-+π≤+≤+π,∈Z ，解得,62122k k x k ππππ-+≤≤+∈Z ，取0k =，得612x ππ-≤≤，故函数()g x 在π(0,)12上单调递增，D 正确．故选BCD ．12．CD 【解析】如图所示，连接,AC BD ，设AC BD H =I ，连接SH ，根据题意可得SH ⊥平面ABCD ．设O 为四棱锥S ABCD -的外接球的球心，则O 在SH 上．连接OC ，设此四棱锥的外接球的半径为R ，则OS OC R ==．因为正方形ABCD1CH =，SC =1SH =，所以,H O 重合，即四棱锥的高1SH =，四棱锥的外接球的半径1R =，直径为2，所以四棱锥的外接球的表面积24π4πS R ==，体积34433V R =π=π．故选CD ．13．11- 【解析】35(2)()x y x y +-的展开式中含35x y 的项为303232223233535C (2)C ()C (2)C ()x y x y x y x y -+-+1244030505353535C (2)C ()C (2)C ()11x y x y x y x y x y -+-=-，所以35(2)()x y x y +-的展开式中35x y 的系数为11-． 14．2 【解析】设12||,||MF m MF n ==，12F MF θ∠=，则22242cos c m n mn θ=+-.又2m n a -=，即22224m n mn a +-=，解得21cos mn θ=-，所以12122cos ||||cos cos 1cos MF MF MF MF mn θθθ=θ⋅=⋅⋅==-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r211cos θ-，因为ππ[,]43θ∈，所以1cos 22θ≤≤12cos θ≤≤1111cos θ≤-≤，则2211cos θ≤≤-2=，所以12MF MF ⋅u u u u r u u u u r的最大值为2． 15．【解析】设直线l 与函数()f x 及()g x 的图象分别相切于1(,)(0)A m m m <，2(,)B n n a +，因为21()f x x '=-，所以函数()f x 的图象在点A 处的切线方程为211()y x m m m -=--，即212y x m m=-+，因为()2g x x '=，所以函数()g x 的图象在点B 处的切线方程为22()y n a n x n --=-，即22y nx n a =-+，因为存在直线l 与函数()f x 及()g x 的图象都相切，所以22122n mn a m ⎧=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，所以4124a m m =+， 令1(0)t t m =<，设41()2(0)4h t t t t =+<，则3()2h t t '=+，当t <()0h t '<，函数()h t单调递减；当0t <时，()0h t '>，函数()h t 单调递增，所以min()(h t h ==，所以实数a的最小值为 16．408，517【解析】如果上午第一节课排数学，则语文、英语、信息技术、体育、地理可任意排在其余5节课，故有55A种排法；如果上午第一节课不排数学，则可排语文、英语、信息技术、地理中的任何一门，有14C 种排法，数学应该排在上午第二节、第三节或第四节，有13C 种排法，余下的四门课程可任意排列，有44A 种排法，故上午第一节课不排数学共有114434C C A ⋅⋅种排法，综上，有51145434A 4C C A 08⋅+=⋅种不同的排法．数学排第一节课的概率55A 540817P ==．故答案为408，517．17．（本小题满分10分）【解析】（1）因为112(2)n n n n a an a a +-+=≥，所以0n a ≠，所以11112n n n a a a +-+=， 所以数列1{}n a 是等差数列，设数列1{}na 的公差为d ，由12a a ≠可得0d ≠，（2分） 因为125,,a a a 成等比数列，所以2152a a a =，所以2152111a a a ⋅=，所以2333111(2)(2)()d d d a a a -+=-， 因为315a =，所以2(52)(52)(5)d d d -+=-，（4分） 解得0d =（舍去）或2d =，所以311(3)21n n d n a a =+-=-，所以121n a n =-．（5分） （2）由（1）知121n a n =-，2(121)2n n n S n +-==， 所以2+1111111()(21)(21)44(21)(21)482121n n n n n b a a S n n n n n n ===+=+--+-+-+， 所以21111111111(1)(1)483352121482142n n nT n n n n n n +=+⨯-+-++-=+⨯-=-+++L ．（10分）18．（本小题满分12分）【解析】（1）在Rt ABD △中，由cos ABD ∠2sin 3ABD ∠， 所以3sin ADBD ABD==∠.（3分）在BCD △中，由余弦定理得222222cos 3423425BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=+-⨯⨯=-，所以BC =.（6分）（2）设CBD x ∠=，由C ADC ∠=∠，π6BDC ∠=可得5π6C x ∠=-，π6ABD x ∠=-， 在Rt ABD △中，因为2AD =，所以2πsin sin()6AD BD ABD x ==∠-，（8分）在BCD △中，由正弦定理得sin sin BD CDC CBD =∠∠，即45πsin sin()6BD x x =-， 所以24π5πsin sin()sin()66xx x =--，整理得24sin 2sin 10x x --=.（10分） 由sin 0x >得sin x =sin CBD ∠=.（12分）19．（本小题满分12分）【解析】（1）因为正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABMN ， 因为MN ⊂平面ABMN ，BN ⊂平面ABMN ，所以BC MN ⊥，BC BN ⊥，由2,BC CN ==，得BN =2NA AB ==，可得AB AN ⊥，（3分） 在直角梯形ABMN 中,可得MN =由4BM =，BN MN ==222BN MN BM +=，所以BN MN ⊥， 因为BC BN B =I ，所以MN ⊥平面BCN ，因为MN ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面BCN .（6分）（2）如图，以B 为坐标原点，,,BA BM BC 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系B -xyz ，则(0,0,0),(0,0,2),(2,0,2)B C D ,(0,4,0),(2,2,0)M N ,(2,2,0)MN =-u u u u r ,(2,2,2)CN =-u u u r ,(0,2,2)DN =-u u u r,设111(,,)x y z =n 是平面CMN 的法向量，则00MN CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r n n ，即111112202220x y x y z -=⎧⎨+-=⎩， 取11x =，得(1,1,2)=n .（8分）设222(,,)x y z =m 是平面DMN 的法向量，则0MN DN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u r m m ，即2222220220x y y z -=⎧⎨-=⎩，取21z =，得(1,1,1)=m ，（10分）设二面角C MN D --的平面角为θ，则cos ||||3θ⋅===n m n m ，由图可知二面角C MN D --的余弦值为3.（12分） 20．（本小题满分12分）【解析】（1）补充完整的22⨯列联表如下：（3分）则2K 的观测值22()100(24122836)8.654 6.635()()()()60404852n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯． 因此有99%的把握认为“法律知识的竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关．（6分） （2）根据（1）的数据分析，可得随机抽取一人成绩“不合格”的概率为4021005=.（7分） 根据题意得2~(3,)5X B ，X 的所有可能取值为0，1，2，3，00332327(0)C ()()55125P X ==⨯⨯=，11232354(1)C ()()55125P X ==⨯⨯=，22132336(2)C ()()55125P X ==⨯⨯=，3303238(3)C ()()55125P X ==⨯⨯=.（10分） 所以X 的分布列为（11分）所以X 的数学期望2()3 1.25E X =⨯=.（12分） 21．（本小题满分12分）【解析】（1）设c =，由12,l l π2sin 3c =1c =，（2分）由椭圆C 的离心率为12，得12c a =，所以2a =，b ==， 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（5分）（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =±，点12,F F 到直线l 的距离之积为3；（6分） 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，联立y kx m =+及22143x y +=，消去y 得222(34)84120k x kmx m +++-=，（8分） 因为直线l 与椭圆C 只有一个公共点，所以22222(8)4(34)(412)48(43)0km k m m k ∆=-+-=---=， 所以2243m k =+.点1(1,0)F -到直线l ：y kx m =+的距离1d =点2(1,0)F 到直线l ：y kx m =+的距离2d =，所以22221222|||43|311m k k k d d k k -+-===++，（11分） 综上可得，若直线l 与椭圆C 只有一个公共点，则点12,F F 到直线l 的距离之积为3.（12分） 22．（本小题满分12分）【解析】（1）因为()cos(1)(1ln )f x x x x =-+-，所以()()sin(1)ln (0)g x f x x x x '==--->，（1分） 设1()ln (0)h x x x x =-->，则22111()xh x x x x-'=-+=，当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 是增函数；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 是减函数, 所以()(1)1h x h ≤=-，即1ln 1x x --≤-，所以1ln 1x x-≤-，当1x =时取等号.（4分） 因为sin(1)1x --≤，所以1()sin(1)ln 1ln g x x x x x=---≤-≤，等号不同时成立， 所以1()g x x<.（6分） （2）因为()sin(1)ln g x x x =---，所以1()cos(1)g x x x'=---， 当(0,1]x ∈时，1cos(1)0,0x x->>，()0g x '<，所以()g x 在(0,1]上是减函数，当(0,1]x ∈时()(1)0g x g ≥=， 即(0,1]x ∈时()0f x '≥，所以()f x 在(0,1]上是增函数；（8分）(1,1π)x ∈+时，1(0,π)x -∈，所以sin(1)0,ln 0x x --<-<，所以()0g x <，当[1π,)x ∈++∞时,sin(1)1,ln 1x x --≤-<-，所以()0g x <，所以当(1,)x ∈+∞时()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在(1,)+∞上是减函数， 综上，可得()f x 在(0,1]上是增函数，在(1,)+∞上是减函数.（12分）。
2020年山东省三校(莱西一中+高密一中+枣庄三中)高三线上联考 试题卷+参考答案
1.【答案】C
数学试题解析 2020.3
{ } 解析： y = 2x 与 y = x2 的图像有 3 个交点， x 2x = x2 , x ∈ R 的非空真子集的个数
23 − 2 = 6 个
2.【答案】B 3.【答案】A
解析：考察复数几何意义和椭圆定义
( ) 解析： 1 - x2 x − 1 6 = x − 1 6 - x2 x − 1 x x x
−C63 − C64 = −35 ，故选：A.
4.【答案】C 解析：由2t−1 ≤ 108, 解得(t −1)lg 2 ≤ 8, 解得t ≤ 27.5,故选C
5. 【答案】C
解析：定义域是{x
x
≠
±1} ，
f
(x)
=
x(ex − e−x ) x2 −1
，
f
(−x)
=
−x(e−x − ex ) (−x)2 −1
− a5
= cos 5π 3
=
1 2
， a6
=0
..........
以此类推，即知 T=6,
∴ S2020
=
336(a1
+
a2
+ ... +
a6 )
+
a1
+
a2
+
a3
+
a4
=
2023 2
9.【答案】AC
【解析】
( ) A.已知随机变量ξ服从正态分布ξ ~N 1，σ 2 ，P (ξ ≤ 4) = 0.79 ，则曲线关于 x = 1 对称，
展开式通项为：
( ) ( ) C6k
⋅
x6−k
三校2020届高三数学联考试题理(含解析)
三校2020届高三数学联考试题理（含解析）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名.准考证号填在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效.3.填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将正确的答案填涂在答题卡上。
）1.已知全集，函数定义域为，集合，则下列结论正确的是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求函数定义域得集合M，N后，再判断．【详解】由题意，，∴．故选A．【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．2.复数满足：（为虚数单位），为复数的共轭复数，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知求得z，然后逐一核对四个选项得答案．【详解】由（z﹣2）•i＝z，得zi﹣2i＝z，∴z，∴z2＝（1﹣i）2＝﹣2i，，，．故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.下列函数中，其定义域和值域与函数的定义域和值域相同的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函数的定义域和值域均为，定义域值域都是，不合题意；函数的定义域为，值域为，不满足要求；函数的定义域为，值域为，不满足要求；函数的定义域和值域均为，满足要求，故选C.4.三个数的大小顺序是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意得，，故选D.5.已知等比数列的前项和为，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的前n项和公式进行判断即可．【详解】若公比q＝1，则当a1＞0时，则S2019＞0成立，若q≠1，则S2019，∵1﹣q与1﹣q2019符号相同，∴a1与S2019的符号相同，则“a1＞0”⇔“S2019＞0”，即“a1＞0”是“S2019＞0”充要条件，故选：C．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列前n项和公式是解决本题的关键．6.在边长为2的等边三角形中，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】运用向量的加减运算和向量数量积的定义计算可得所求值．【详解】在边长为2的等边三角形ABC中，若，则（）•（）＝（）•（）22•故选：D【点睛】本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．7.《九章算术·均输》中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A. 钱B. 钱C. 钱D. 钱【答案】C【解析】【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a＝﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d ＝5a＝10求得a＝2，则答案可求．【详解】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2d，即a＝﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝10，∴a＝2，则a﹣2d＝a．故选：C．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查实际应用，正确设出等差数列是计算关键，是基础的计算题．8.2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：(1)个税起征点为5000元；(2)每月应纳税所得额(含税)收入个税起征点专项附加扣除；(3)专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月共扣除2000元②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元．新个税政策的税率表部分内容如下：现有李某月收入18000元，膝下有两名子女，需要赡养老人，(除此之外，无其它专项附加扣除，专项附加扣除均按标准的100%扣除)，则李某月应缴纳的个税金额为（）A. 590元B. 690元C. 790元D. 890元【答案】B【解析】分析】由题意分段计算李某的个人所得税额；【详解】李某月应纳税所得额（含税）为：18000﹣5000﹣2000﹣2000＝9000元，不超过3000的部分税额为3000×3%＝90元，超过3000元至12000元的部分税额为6000×10%＝600元，所以李某月应缴纳的个税金额为90+600＝690元．故选：B．【点睛】本题考查了分段函数的应用与函数值计算，准确理解题意是关键，属于中档题．9.已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求导f′（x）＝2x，转化为f′（x）＝2x在有变号零点，再分离参数求值域即可求解【详解】∵f′（x）＝2x，在内不是单调函数，故2x在存在变号零点，即在存在有变号零点，∴2<a，故选：A【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，依题转化为导函数存在变号零点是关键，也是难点所在，属于中档题．10.已知函数，若方程的解为()，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知可得，结合x1＜x2求出x1的范围，再由求解即可．【详解】因为0＜x，∴，又因为方程的解为x1，x2（0＜x1＜x2＜π），∴，∴，∴，因为，∴0＜x1，∴，∴由，得，∴，故=故选：C．【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值和三角函数的图象与性质，属中档题．11.若函数有最小值，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【解析】【分析】利用分段函数的表达式，分别求出x>1和x1时，对应的函数的值域，结合最小值之间的关系进行求解即可．【详解】当x>1时，函数f（x）为增函数，则f（x）＝ex﹣a∈（e﹣a,+）当x≤1时，f（x）＝则f′（x）＝-3x2+6x＝-3x（x﹣2），则由f′（x）<0得或x＜0或x＞2（舍去），此时函数为减函数，由f′（x）>0得0＜x＜2，此时0<x＜1，函数为增函数，即当x＝0时，函数取得极小值同时也是在x≤1时的最小值，最小值为f（0）＝0要使函数f（x）有最小值，则e﹣a≥0，即a≤e，即实数a的取值范围是（﹣∞，e]，故选：B【点睛】本题主要考查函数最值的应用，利用分段函数的解析式分别求出对应的取值范围是解决本题的关键．12.为等差数列，公差为，且，，，函数在上单调且存在，使得关于对称，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】推导出sin4d＝1，由此能求出d，可得函数解析式，利用在上单调且存在，即可得出结论．详解】∵{an}为等差数列，公差为d，且0＜d＜1，a5（k∈Z），sin2a3+2sina5•cosa5＝sin2a7，∴2sina5cosa5＝sin2a7﹣sin2a3＝2sin cos•2cos sin2sina5cos2d•2cosa5sin2d，∴sin4d＝1，∴d．∴f（x）cosωx，∵在上单调∴，∴ω；又存在，所以f（x）在（0，）上存在零点，即，得到ω．故答案为故选：D【点睛】本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知则_______.【答案】【解析】因为，所以14.已知命题，，命题，，若为假命题，则实数的取值范围为_______________．【答案】【解析】【详解】若为假命题，则、均为假命题，则，与，均为真命题．根据，为真命题可得，根据，为真命题可得，解得或．综上，．15.在中，角的对边分别，满足，则的面积为_____．【答案】【解析】【分析】由二次方程有解的条件，结合辅助角公式和正弦函数的值域可求B，进而可求a，然后结合余弦定理可求c，代入S△ABC acsinB，计算可得所求．【详解】把a2﹣2a（sinB cosB）+4＝0看成关于a的二次方程，则△≥0，即8（sinB cosB）2﹣16≥0，即为8（sin（B））2﹣16≥0，化为sin2（B）≥1，而sin2（B）≤1，则sin2（B）＝1，由于0＜B＜π，可得B，可得B，即B，代入方程可得，a2﹣4a+4＝0，∴a＝2，由余弦定理可得，cos，解可得，c＝2∴S△ABC acsinB2×2．故答案为：．【点睛】本题主要考查一元二次方程的根的存在条件及辅助角公式及余弦定理和三角形的面积公式的应用，属于中档题．16.若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是__________．【答案】【解析】设两个切点分别为,两个切线方程分别为,,化简得两条切线为同一条.可得, , ,令，，所以g(x)在递增，递减，。
2020届全国第二次(3月)在线大联考((山东卷))数学(理)试题解析
绝密★启用前2020届全国第二次（3月）在线大联考（（山东卷））数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合{|24}A x x =-<<，集合2560{|}B x x x =-->，则A B =I A ．{|34}x x << B ．{|4x x <或6}x > C ．{|21}x x -<<- D ．{|14}x x -<<答案:C 解：由2560x x -->可得1)60()(x x -+>，解得1x <-或6x >，所以B ={|1x x <-或6}x >，又{|24}A x x =-<<，所以{|21}A B x x ⋂=-<<-，故选C ．2．已知i 为虚数单位，若复数12z i =+，15z z ⋅=，则||z = A ．1 BC ．5D．答案:B 解：由15z z ⋅=可得15z z =，所以155||2i ||||z z +===B ． 3．命题p ：2(1,2],20()x x x a a ∀∈--+≥∈R 的否定为A ．2000(1,2],20()x x x a a ∃∈--+≥∈R B ．2(1,2],20()x x x a a ∀∈--+<∈R C ．2000(1,2],20()x x x a a ∃∈--+<∈R D ．2(1,2],20()x x x a a ∀∉--+<∈R答案:C 解：命题p 为全称命题，它的否定为特称命题，将全称量词改为存在量词，并将结论否定，可知命题p 的否定为2000(1,2],20()x x x a a ∃∈--+<∈R ，故选C ． 4．设直线l 的方程为20()x y m m -+=∈R ，圆的方程为22(1)(1)25x y -+-=，若直线l被圆所截得的弦长为m 的取值为A ．9-或11B ．7-或11C ．7-D ．9-答案:A 解：圆22(1)(1)25x y -+-=的圆心坐标为（1，1），该圆心到直线l 的距离5d =，结合弦长公式得2|1|225()255m --=，解得9m =-或11m =，故选A ． 5．函数1()ln ||1xf x x+=-的图象大致为 A ． B ．C ．D ．答案:D 解：由题可得函数()f x 的定义域为{|1}x x ≠±， 因为1()ln ||1x f x x --==+1ln ||()1xf x x+-=--，所以函数()f x 为奇函数，排除选项B ； 又(1.1)ln 211f =>，(3)ln 21f =<，所以排除选项A 、C ，故选D ．6．设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6322S S -=，则2823a a 的最小值为A ．8B ．16C ．24D ．36答案:B 解：方法一：由题意得636332()2S S S S S -=--=，根据等差数列的性质，得96633,,S S S S S --成等差数列，设3(0)S x x =>，则632S S x -=+，964S S x -=+，则222288789962212333(3)()()=3a a a a a S S a a a a a S ++-==++2(4)x x+=168816x x =++≥=，当且仅当4x =时等号成立，从而2823a a 的最小值为16，故选B ．方法二：设正项等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式及6322S S -=，化简可得11653262(3)222a d a d ⨯⨯+-+=，即29d =，则2222822222243()33(6)163383a a a d a a a a a ++===++≥816=，当且仅当221633a a =，即243a =时等号成立，从而2823a a 的最小值为16，故选B ．7．2021年某省将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为 A ．18B ．14C ．16D ．12答案:B 解：甲同学所有的选择方案共有122412C C =种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有133C =种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率31124P ==，故选B ． 8．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11A D 的中点，若三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为A ．12πB ．10πC ．414πD ．212π答案:C 解：分别以AB u u u r，AD u u u r ，1AA u u u r 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,1,2)P ，设ABC V 的外心为M ，则(1,1,0)M ，设球O 的球心为()1,1,O h ，半径为R ，则||||OA OP R ==，所以222111(2)R h h =++=+-，解得34h =，所以24116R =，所以球O 的表面积为24R π=414π，故选C ．二、多选题9．某校高三年级共有800名学生参加了数学测验（满分150分），已知这800名学生的数学成绩均不低于90分，将这800名学生的数学成绩分组如下：[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是 （ ）A ．0.045a =B ．这800名学生中数学成绩在110分以下的人数为160C ．这800名学生数学成绩的中位数约为121.4D ．这800名学生数学成绩的平均数为125 答案:BC 解：由频率分布直方图可知0.01020.0250.0150.00511)0(a ⨯++++⨯=，解得0.035a =，故A 不正确；这800名学生中数学成绩在110分以下的人数为800⨯0.0100.01010)16(0+⨯=，故B 正确；设这800名学生数学成绩的中位数为x ，则0.010100.010100.0251012()00.0350.5x ⨯+⨯+⨯+-⨯=，解得121.4x ≈，故C 正确；对于D ，这800名学生数学成绩的平均数为950.010101050.01010115⨯⨯+⨯⨯+⨯0.025101250.035101350.015101450.00510120⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故D 不正确．综上，正确答案为BC ． 10．设函数(32)1,1(),1xa x x f x a x --≤⎧=⎨>⎩(0a >且1)a ≠，下列关于该函数的说法正确的是（ ）A ．若2a =，则2(log 3)3f =B ．若()f x 为R 上的增函数，则312a << C ．若(0)1f =-，则32a =D ．函数()f x 为R 上奇函数 答案:AB 解：对于选项A ，因为2log 31>，所以2log 32(log 3)23f ==，所以选项A 正确；对于选项B ，欲使得该函数为增函数，则满足3201321a a a a->⎧⎪>⎨⎪--≤⎩，解得312a <<，所以选项B 正确；对于选项C ，使得(0)1f =-，此时0a >且1a ≠，与条件不符，所以选项C 错误；对于选项D ，该函数为非奇非偶函数，所以选项D 错误，综上只有选项AB 符合题意，故选AB ． 11．已知函数()cos ||sin f x x x =+，则下列结论中正确的是（ ） A ．若2a =，则2(log 3)3f = B ．若()f x 为R 上的增函数，则312a << C ．若(0)1f =-，则32a =D ．函数()f x 为R 上奇函数 答案:BCD 解：对于选项A ，(π)cos(π)sin(π)|cos ||sin (|)f x x x x x f x +=+++=-≠，所以选项A 错误；对于选项B ，因为()cos ||sin f x x x =+，所以 cos sin ()|()|(sin |22c )|os 2x x x f x x πππ+++==++，()2f x π-= cos si |()|()|2n sin |cos 2x x x x ππ+-=+-，所以() ()22f x f x ππ+=-，所以函数()f x 的图象是轴对称图形，所以选项B 正确；对于选项C ，易知函数()f x 的最小正周期为2π，因为函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，所以只需研究函数()f x 在3[,]22ππ上的最大值即可．当322x ππ≤≤时，()cos sin )4f x x x x π=-+=-，且5444x πππ≤-≤，令42x ππ-=，得34x π=，可知函数()f x 在34x π=处取得最大值为C 正确；对于选项D ，由5444x πππ≤-≤，得1)4x π-≤-以函数()f x 的最小值为1-，所以选项D 正确．故选BCD ．12．双曲线C ：22142x y -=的右焦点为F ，点P 在双曲线C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，则下列说法正确的是( )A ．双曲线CB ．双曲线22148y x -=与双曲线C 的渐近线相同C ．若PO PF ⊥，则PFO △D ．||PF 的最小值为2 答案:ABC 解：对于选项A，因为2,a b =所以c =A 正确；对于选项B，它们的渐近线都是2y x =±，渐近线相同，选项B 正确，对于选项C ，结合PO PF ⊥，又点P 在双曲线C的一条渐近线上，不妨设在2y x =上，则直线PF的方程为0y x -=，即y x =，联立方程组y x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩P ，所以PFO △的面积为12S ==C 正确；对于选项D，因为点F ，其中一条渐近线的方程为y x =，所以||PF 的最小值就是点F到渐近线的距离，因为该距离为d =D 错误，综上，只有选项ABC 正确，故选ABC ．三、填空题13．函数()ln(1)=-f x x ____________．（写成区间的形式） 答案:[1,1)- 解：要使函数()f x 有意义，需满足210430->⎧⎨+-≥⎩x x x ，即114<⎧⎨-≤≤⎩x x ，解得11x -≤<，故函。
山东省六地市部分学校2020届高三数学3月线上考试试题【含答案】
山东省六地市部分学校2020届高三数学3月线上考试试题注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必将自己的姓名、准考证号涂写清楚.2．第Ⅰ卷，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.第Ⅰ卷（非选择题 共60分）1、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}|2,0xA y y x -==<，12|B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则A B =A ．[)1,+∞ B. ()1,+∞ C. ()0,+∞ D. [)0,+∞2.设（为虚数单位），其中，是实数，则等于()()()2i 3i 35i x y +-=++i x y i x y +A ．5B ．．23.已知a,b 都是正数，则“”是 “”的3log 3log b a <333>>b a A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C. 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件4.甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知.3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名.若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是A.甲 B.乙 C.丙 D.无法预测5.《九章算术》是我国算术名著，其中有这样一个问题：今有碗田，下周三十步，径十六步，问为田几何？意思是说现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法，以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4,在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是A.B. C. D.1201544158156.若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是n x x ）（22-A.210 B.180 C.160 D.1757.泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征. 为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点处测得“泉标”顶端的仰角为，沿点向北偏东A 45 A 前进到达点，在点处测得“泉标”顶端的仰角为，则“泉标”的高度为30 100m B B 30 A. B. C. D. 50m 100m 120m 150m8.已知函数满足，且的图象交点)(x f 213)(,6)2()-2(--==++x x x g x f x f )()(x g x f 与为则的值为),,(),,(),,(882211y x y x y x 128128x x x y y y +++++++L L A.20 B.24 C.36 D.40二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面m 千米，远地点B （离地面最远的点）距地面n 千米，并且F 、A 、B 三点在同一直线上，地球半径约为R 千米，设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a 、2b 、2c ，则A.a -c =m +RB.a+c=n+RC.2a=m+nD.b=)(m R n R ++）（10.甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是红球，白球和321,,A A A 黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是A. P(B)=B. P 52115A |B 1=）（C. 事件B 与事件相互独立 D.、、两两互斥1A 1A 2A 3A 11.已知点P 是双曲线的右支上一点，为双曲线E 的左、右焦点，1916E 22=-y x ：21,F F 的面积为20，则下列说法正确的是21F PF ∆ A.点P 的横坐标为B.的周长为32021F PF ∆380C.D.的内切圆半径为321π小于PF F ∠21F PF ∆4312.已知正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，侧棱AA 1=1，P 为上底面A 1B 1C 1D 1上的动点，给出下列四个结论中正确结论为A.若PD=3，则满足条件的P 点有且只有一个B.若PD=，则点P 的轨迹是一段圆弧3C.若PD//平面ACB 1，则PD 长的最小值为2D.若PD//平面ACB 1，且PD=，则平面BDP 截正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的外接球所得平面3图形的面积为49π第Ⅱ卷（非选择题 共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量＝(1，＋1)，＝(，2)，若满足//，且方向相同，则＝ .x x x 14.已知 m 是2与8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是_____________.1x 22=-m y 15.对于函数f(x),若在定义域内存在实数满足，则称函数f(x)为0x )()(f 00x f x -=-“倒戈函数”，设是定义在[-1,1]上的“倒戈函数”，则)0,(123)(f ≠∈-+=m R m m x x 实数m 的取值范围是 .16. 已知函数是这两个函数图(),()0,,,f x x g x x A B C ωωω==>，其中象的交点，且不共线.①面积的最小值为 ;1ABC ω=∆当时，②若存在是等腰直角三角形，则的最小值为 .ABC ∆ω四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. （10分）数列).13(21}{321-=++++n n n a a a a a 满足：（1）求的通项公式；}{n a （2）若数列.T }{,3}{n 项和的前求满足：n b a b n b a n n n n =18. （12分）在锐角中，内角所对的边分别为.已知ABC ∆A B C ，，,,a b c sin b A .sin()3a B π=+（1）求角的大小；B （2）求的取值范围.a c19.（12分）如图，三棱柱中，，，平面平面.（1）求证：；（2）若，直线与平面所成角为，为的中点，求二面角的余弦值.20.（12分）为提高城市居民生活幸福感,某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少居民乘车候车时间.为此,该公司对某站台乘客的候车时间进行统计.乘客候车时间受公交车准点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响.在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下,乘客候车时间随机变量X 满足正态分布·在公交车准点率正常、交通拥堵情况N(μ,σ2)正常、非节假日的情况下,调查了大量乘客的候车时间,经过统计得到如图频率分布直方图.（1）在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组中的各个值，试估计μ，的σ2值；（2）在统计学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常情况下，一次试验中，小概率事件是不能发生的.在交通拥堵情况正常、非节假日的某天，随机调查了该站的10名乘客的候车时间，发现其中有3名乘客候车时间超过15分钟，试判断该天公交车准点率是否正常，说明理由.(参考数据： ≈4.38， 19.221.4≈5.16，0.84137≈0.2898，0.84136≈0.3546，0.15873≈0.0040，0.1587426.6≈0.0006， ，，(+)0.6826P X μδμδ-<<=(2+2)0.9544P X μδμδ-<<=)(3+3)0.9973P X μδμδ-<<=21.（12分）已知抛物线为抛物线的焦点，焦点F 到直线F p px y C 点),0(2:2>=的距离为，焦点F 到抛物线0343=+-y x 1d 1223.5,d d C d =的准线的距离为且（1）抛物线C 的标准方程；（2）若在轴上存在点M ，过点M 的直线l 与抛物线C 相交于P ,Q 两点，x 且为定值，求点M 的坐标.2211|PM|||QM +22.（12分）已知函数).0(ln )(2≥+--=a x ax x x f （1）讨论函数的极值点的个数；)(x f （2）若函数有两个极值点)(x f .2ln 23)()(,,2121->+x f x f x x 证明：答案订正。
2020届山东省名校联盟高三第三次联考数学试卷
2020届山东省名校联盟高三第三次联考数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I卷（选择题60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 的值为A. B. C. D.2. 已知全集,集合,,则A. B. C. D.3.“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 在等差数列中，若其前项和记为，已知，那么等于A.25B.35C.45D.555. 设向量,，且,则等于A ．错误！未找到引用源。
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B ．C．D ．6. 函数的零点所在区间是A ．B ．C ．D ．7. 函数的图象如右图所示，为了得到的图象，只需将的图象A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位8.在中，若，，则的形状是A．等边三角形 B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形9. 函数的图象大致是A B C D10.已知函数,若存在,使得, 则的取值范围为A. B. C. D.11.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“哀”得100,60,36,21.6个单位,递减的比例为40%,今共有粮(0)m m 石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得80石,乙、丁衰分所得的和为164石,则“衰分比”与m的值分别为A．20%369B．80%369C．40%360D．60%36512.设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知向量与夹角为，且,，则 .14.已知，,且，则的最小值是 .15.设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a = ； 若是]1,1[-上的减函数，则a 的取值范围是___________．16.若函数满足，对定义域内的任意，总有恒成立，则称为“”函数.现给出下列函数： ①； ②； ③； ④； ⑤.其中为“”函数的序号是 .（把你认为所有正确的序号都填上）三、解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题共2个小题，每小题5分，满分10分） （Ⅰ）求值：；（Ⅱ）解关于x 的不等式：<3.18.（本题满分12分） 设向量,,若.（Ⅰ）试求的值；（Ⅱ）求函数的最小正周期及单调递增区间．19. (本题满分12分)在中, 分别是角的对边，已知.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的面积的值．20. (本题满分12分)已知是递增的等差数列，且是方程的根；数列的前项和为，且().（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）若(),试求数列的前和.21.（本题满分13分）近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录.为此，一公司拟定在2014年圣诞节期间举行某产品的促销活动，经测算该产品的年销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用万元满足(其中,为正常数).已知2014年生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件.（Ⅰ）试将2014年该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；（Ⅱ）问：2014年该公司促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？22.(本题满分12分)已知函数() ,＝2.718 28…为自然对数的底数.（Ⅰ）求函数在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数为上的单调递增函数，试求实数的范围；（Ⅲ）若当时，总有成立，试求实数的最大值.高三数学参考答案一、选择题：(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13. 14. 15. 16. ②③三、解答题：（本大题共5个小题，共75分）16. 解：（Ⅰ）原式=……………………………3分. …………6分（Ⅱ）原不等式化为.令, 则有, 解得.…………8分即, ∴,即, ………10分∴， (※)即.…………………………………………………11分∴原不等式的解集为. ……………………12分【说明】若考生最后结果解得的集合中的范围为(※)形式不予扣分.17.解:【方法一】（Ⅰ）由题设，得,……2分∴. ………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，…………………………8分∴,即函数的最小正周期为. ……………………………9分由(),得（），∴函数的单调递增区间为 (). ………………12分【方法二】由题意，得. ………………4分（Ⅰ）.………7分（Ⅱ）由,∴函数的最小正周期为. ……………………9分由(),得（），∴函数的单调递增区间为 (). ………………12分18.解：（Ⅰ）在中，,则由，得,…………2分即,解得或（舍去）. ……………………………………4分∵, ∴. …………………………………………………6分（Ⅱ）由余弦定理,得, …………………………7分∵,∴, 即, ……………9分解得. ……………………………………………………………10分∴的面积为. ……………12分19.解：（Ⅰ）易得方程的两根为，则由题意，得. …………………………………………1分设等差数列的公差为，首项为，则，∴.从而, ∴.∴数列的通项公式为. ………………………3分∵，①∴当时，，②①-②得，，∴（）. ……………………………………………………5分由①式，令，有, 解得. ………………6分∴是以2为首项，公比为2的等比数列.且. ……………………………………………………7分（Ⅱ）由题意及（Ⅰ）得.∴, ………………………………………8分即，①∴. ②①-②得,………10分∴ ,∴ . …………………………………………………12分20.解：（Ⅰ）由题意，得.∵,将其代入上式并化简，得（）.此即为所求产品的利润关于促销费用的函数关系式. ……………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当且仅当，即时，上式取等号. ……………………………8分①当时,促销费用需投入1万元，厂家的利润最大；……………………9分②当时,易得,由于，，∴，∴∴函数在上单调递增，∴当时,函数有最大值．即促销费用投入万元时，厂家的利润最大.…12分综上,当时,促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当时, 促销费用投入万元，厂家的利润最大. ……………………13分【说明】本题用其它方法解答，只要思路、结果正确，请参照评分标准赋分.22.解：（Ⅰ）由题设，得，∴, ……………………1分∴在点处的切线方程为,即. ………………………………………………………3分（Ⅱ）依题意，知 ()恒成立，①当时，有恒成立，此时.②当时，有，令,则, …………………4分由得，,且当时，；当时，.∴,则有,∴. …………………………………………………………5分③当时，有，∵, 则有, ∴.又时恒成立.综上，若函数为上的单调递增函数，所求. …………………6分（Ⅲ）依题意，得恒成立，记,即（）恒成立.∴. ………………………………………………7分当时，，则，显然，当时，,∴此时，在单调递增，且有，∴,即(当且仅当时取等号). ………………………8分∴.从而①当，即当时，（），此时，在上单调递增.而，于是，当时，. ………………………………9分由（）可得，即（）.则有②当时，.则有,得, ∴,∴当时，, ∴在单调递减.又，∴当时，有，此不合题意. ………………11分综上，所求实数的最大值为. ………………………………………………12分。
山东省2020版高考数学三模试卷(理科)(I)卷
山东省2020版高考数学三模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共10题；共20分)1. （2分） (2019高一下·杭州期末) 设集合，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2016·兰州模拟) 若复数z满足z（6﹣8i）=|8+6i|（i是虚数单位），则z的虚部为（）A .B . 4C . ﹣D . ﹣43. （2分） (2019高二下·张家口月考) 命题，命题，若命题的必要不充分条件是，则的取值范围为（）A .B .C .D .4. （2分）(2017·荆州模拟) 已知若，是夹角为90°的两个单位向量，则 =3 ﹣， =2 + 的夹角为（）A . 120°B . 60°C . 45°D . 30°5. （2分） (2016高一下·兰州期中) 为了研究学生在考试时做解答题的情况，老师从甲、乙两个班级里各随机抽取了五份答卷并对解答题第16题（满分13分）的得分进行统计，得到对应的甲、乙两组数据，其茎叶图如图所示，其中x，y∈{0，1，2，3}，已知甲组数据的中位数比乙组数据的平均数多，则x+y的值为（）A . 5B . 4C . 3D . 16. （2分）已知一个算法的流程图如图所示，则输出的结果是（）A . 2D . 267. （2分） (2019高二下·佛山月考) 将函数图像上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的倍,再把所得的图像沿轴向右平移个单位,这样所得的曲线与的图像相同,则函数的表达式是（）A .B .C .D .8. （2分）已知函数f（x）=，若g（x）=|f（x）|﹣ax﹣a的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是（）A . （0，）B . （0，）C . [，）D . [，）9. （2分） (2016高二下·通榆期中) 某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选时的不同选法有16种，则小组中的女生数目为（）A . 2B . 310. （2分） (2019高二上·哈尔滨月考) 已知椭圆的右焦点为 ,则（）A .B .C .D .二、填空题： (共5题；共6分)11. （1分）若sin（cosθ）cos（sinθ）＜0，则θ的取值范围________12. （1分） (2016高一上·菏泽期中) 若函数y=f（x+1）是偶函数，则下列说法正确的序号是________（1）y=f（x）图象关于直线x=1对称（2）y=f（x+1）图象关于y轴对称（3）必有f（1+x）=f（﹣1﹣x）成立（4）必有f（1+x）=f（1﹣x）成立．13. （1分） (2019高二上·吉林期中) 已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点. 设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为________．14. （2分） (2017高二下·嘉兴期末) 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的4个面中，直角三角形的个数是________个，它的表面积是________．15. （1分） (2019高二下·四川月考) 已知若有两个零点，则实数的取值范围是________．三、解答题： (共6题；共55分)16. （10分） (2019高三上·广东月考) 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 .（1）求角C；（2）若，求当的面积最大时a，b的长，并求出最大面积.17. （10分）(2017·高台模拟) 在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB= ，AA1=2，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1 ．（1）证明：CD⊥AB1；（2）若OC=OA，求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值．18. （10分）(2018·凉山模拟) 某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如下表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均课外体育运动时间在上的学生评价为“课外体育达标”.参考公式：，其中 .参考数据：（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求时的概率及的数学期望.19. （10分） (2019高三上·烟台期中) 已知为公差不为的等差数列，，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和 .20. （10分） (2017高一下·定州期末) 如图所示，抛物线C：x2=2py（p＞0），其焦点为F，C上的一点M（4，m）满足|MF|=4．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点E（﹣1，0）作不经过原点的两条直线EA，EB分别与抛物线C和圆F：x2+（y﹣2）2=4相切于点A，B，试判断直线AB是否经过焦点F．21. （5分） (2017高三下·平谷模拟) 已知函数．（I）如果在处取得极值，求的值．（II）求函数的单调区间．（III）当时，过点存在函数曲线的切线，求的取值范围．参考答案一、选择题： (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题： (共5题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题： (共6题；共55分)16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、。
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直线与 F1PF2 的平分线垂直，垂足为 Q ，则点 Q 的轨迹曲线 E 的方程________； M 在曲
线
E
上，点
A（8,0），
B（5,6），则
1 2
AM
BM
的最小值________.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤. 17.（本题满分 10 分）
sin
2
的最小值为
C .若 f ( ) a sin(1 ) ln 在区间（0,1）上是增函数，则a 0
D .若 f ( ) sin( ) 2 cos( ),0 ,满足f ( 1) f (1- ),
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则 sin 2 4 5
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
3 ，若 AO
m AB
n AC
，
则 m n ______.
15.已知三棱锥 S ABC 的顶点都在球 O 的球面上，且该三棱锥的体积为 2 3 ， SA 平 面 ABC ， SA 4 ， ABC 120o ，则球 O 的体积的最小值为______.
16.设双曲线 x2 16
y2 b2
1 的左右两个焦点分别为 F1 、F2 ，P 是双曲线上任意一点，过 F1 的
2
B .1011
C .1008
D . 336
二、多项选择题本题:共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的
得 0 分.
9.下列结论正确的有（ ）
A. 若随机变量 ~ N 1， 2 ，P 4 0.79，则P -2 0.21
OP OA OB 成立，求实数 的范围.
22.（本题满分 12 分）
函数
f
(x)
e
x ex
1
,
h(
x)
x x 1
（1）判断 x 0 时， f (x) h(x) 的零点个数，并加以说明；
（2）正项数列{an}满足 a1 1, a n e an1 f (a n ) ，
①判断数列 {an } 的单调性并加以证明.
[
2 , )，则 的取值范 2
围是(
)
A
.
1 2
,
4 3
B
.
4 3
,2
C
.
1 6
,
1 3
D
.
1 6
,
17 12
8.已知数列{an} 的首项 a1
1，函数
f
(x)
x3
an1 an
cos
n 3
为奇函数，记 Sn
为数
列{an} 的前 n 项之和，则 s2020 的值是(
)
2023 A.
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18.（本题满分 12 分）
数列{an} 的前
n
项和为
Sn
，且满足
Sn
an
n 1 n(n 1)
1,n
1, 2,3......
(1)设 bn
an
1 n(n 1)
，求证：数列{bn} 是等比数列；
(2)设 cn 1 2n1an ，求 cn 的最小值.
19.（本题满分 12 分） 在三棱锥 S ABC 中，AB 平面 SAC ，AS SC ，AB 1，AC 2 ，E 为 AB
B. 若
X
~
B10，1 ，则D3X
3
2
22
C.
已知回归直线方程为
y
b
x
10.8
，且
x
4,
y
50
，则
b
9.8
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D. 已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是 3,3,5,3,6,11，若这组数据的平均 数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为 22 10.设抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点为 F ， P 为其上一动点，当 P 运动到（2，t）时， PF 4 ，直线 l 与抛物线相交于 A ， B 两点，点 M (4,1) ，下列结论正确的是（ ） A .抛物线的方程为 y2 4x B . PM PF 的最小值为 6 C .存在直线 l ，使得 A 、 B 两点关于 x y 6 0 对称 D .当直线 l 过焦点 F 时，以 AF 为直径的圆与 y 轴相切 11.在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB 2 3 ， AD AA1 2 ， P, Q, R 分别是 AB , BB1 , A1C 上的动点，下列结论正确的是（ ）
②证明：
n1 i 1
ai
2
1 n 2
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1.【答案】C
数学试题解析 2020.3
解析： y 2x 与 y x2 的图像有 3 个交点， x 2x x2, x R 的非空真子集的个数
23 2 6 个
2.【答案】B
解析：考察复数几何意义和椭圆定义
）
A .圆
B .椭圆
C .双曲线
D .抛物线
3. 1 x2
x
1 x
6
展ห้องสมุดไป่ตู้式中的常数项为（
）
A . 35
B . 5
C .5
D . 35
4.1943 年，我国病毒学家黄祯祥在美国发表了对病毒学研究有重大影响的论文“西方马脑
炎病毒在组织培养上滴定和中和作用的进一步研究”，这一研究成果，使病毒在试管内繁殖
已知 ABC 的内角 A , B , C 的对应边分别为 a ， b ， c ，
在① 3 cos C(a cos B b cos A) c sin C ② a sin A B c sin A 2 ③ (sin B sin A)2 sin 2 C sin B sin A
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，当_______时，求 sin A sin B 的最大值.
模型的 y B cos , y k b ,人体肺部结构中包含 y Asin ，y ln 的结构，新
型冠状病毒肺炎是由它们复合而成的,表现为 f ( ) .则下列结论正确的是（ ）
A .若 1 f f 2 f aa 0， 则 f ( ) 为周期函数
2
B
.对于
(0,
2
],
从大型超市门口随机抽取 50 名顾客进行了调查，得到了如下列联表：
男性
女性
总计
刷脸支付
18
25
非刷脸支付
13
总计
50
(1)请将上面的列联表补充完整，并判断是否有 95% 的把握认为使用刷脸支付与性别有关？ (2)从参加调查且使用刷脸支付的顾客中随机抽取 2 人参加抽奖活动，抽奖活动规则如下：
“一等奖”中奖概率为 0.25 ，奖品为10 元购物券 m 张 m 3, 且m N* ，“二等奖”中奖
莱西一中
高密一中
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枣庄三中
数学试题
2020.3
本试卷共 6 页，22 题，全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将 答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合 x 2x x2 , x R 的非空真子集的个数为（
）
A.2
B.4
C .6
D .8
2.复数 z 满足 z z c z c 2a, z C, a c 0 ，则 z 对应点的轨迹为（
3.【答案】A
解析： 1 - x2 x 1 6 x 1 6 - x2 x 1 x x x
展开式通项为：
C6k
x6k
1 x
k
x 2C6r
x6r
1 x
r
C6k
1 k x62k C6r
1 r x82r ，
6 2k 0 k 3
令 8 2r
A .对于任意给定的点 P ，存在点 Q 使得 D1P CQ
B .对于任意给定的点 Q ，存在点 R 使得 D1R CQ
C .当 AR A1C 时， AR D1R
D .当 A1C 3A1R 时， D1R // 平面 BDC1
12.新型冠状病毒属于 属的冠状病毒，有包膜，颗粒常为多形性，其中包含着结构为数学
b
4a
a 3a2
4a
1 3a
[4a
(
1 )] 3a
2
44 3 33
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当且仅当 a b - 3 时， b 有最大值。注意充分条件是小范围 6
7.【答案】D
解 析 ： 0 x ， wx w , 令wx =t ， 画 出 y sin t 在
x(ex ex ) x2 1
f
(x)
，即
f
(x) 为偶函数，排除
A
当 x (0,1) 时， x2
1
0，x
0 ，1
ex
e
，
1 e
1 ex
1，
ex ex 0 ，则 f (x) 0 ，即可排除 BD
综上，选 C
6.【答案】C
解析：由韦达定理知： x1 x2 4a, x1x2 3a 2 ，