2020年山东省三校高三线上联考数学试卷含答案

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2020年三省三校高三联考理科数学试题和答案

2020届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（一）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案C D C B B C B D C D C B【解析】1．依题有接受调查的100名学生中有70位看过《我和我的祖国》，故全校学生中约有2300*0.71610人看过《我和我的祖国》这部影片，故选C．2．由，得，故选D．3．某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人人，样本中的中年人为6人，则老年人为，青年人为代入选项计算，C不符合，故选C．4．的展开式中，项为，，故选B．5．设的公差为，由，，故选B．6．由题意可知，故在点处的切线方程为，故选C．7．由为奇函数，得的图象关于原点对称，排除C，D；又当时，，故选B．8．已知由余弦定理可得，所以，即①正确；由平面ABCD，得，所以平面，②正确；平面，得，又，所以平面ABE，③正确；由平面ABE，得，④正确，故选D．9．由程序框图得，第一次运行；第二次运行；第三次运行，…，故，故选C．10．因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，由的面积是，所以，双曲线的实轴长为2，故选D．11．依题意，有，则为奇函数，且在上单调递增，所以为偶函数．当时，有且，所以，即在上递增，所以，故选C．12．设点，，由三角函数的定义得将直线的方程与圆的方程联立得，由韦达定理得所以因此，当是常数时，是常数，故选B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516答案5【解析】13．由，得，即，故，则向量与的夹角为．14．由的表达式知，为等差数列，设公差为d，则成等比数列，故，即，解得或，若，与矛盾，故．15．正八面体上半部分的斜高为，高为，则其体积为．16．依题意，，由椭圆的定义可得，所以==，从而因为离心率，所以，又，解得，所以，故椭圆C的方程为．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1）由已知得，故．……………………………………………………………………………（3分）法一：，．……………………………………………………………………………（6分）法二：．………………………………………………（6分）（2）………………………………………………………………………（10分）估计女子的平均身高为(cm)．……………………………………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1），…………………………………………………………（1分）由正弦定理得…………………………………（2分）……………………………………………………（3分），………………………………………………………………（5分）又是的内角，．…………………………………………………………………………………（6分）（2）为锐角三角形，，……………………………………………………………（7分）由正弦定理得，…………………………………………（8分）………………………………………………………………………………………（9分）关于A为减函数，………………………………………………（10分），……………………………………（11分），即的取值范围是．……………………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：如图，设的中点为，连接，…………………………………………………（1分）由题意，得，则为直角三角形，点为的外接圆圆心．……………………（2分）又点在平面上的射影为的外接圆圆心，所以平面，…………………………………………………………………（3分）又平面，所以平面平面．……………………………………（4分）（2）解：由（1）可知平面，所以，，，于是以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，………………………………………………………………………………………（5分）则，，，，，设，，，………………………………………………………………………………………（6分）设平面的法向量为，则得令，得，，即．……………………………………………………………………（8分）设平面的法向量为，由得令，得，，即…………………………………………（9分）……………………………………………………………………………………（10分）解得．………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）令，………………………………………………………………………………………（2分）故………………………………………………………………………………………（3分）的单调递增区间为的单调递减区间为．………………………………………………………………………………………（4分）（2），令其中．……………………………………（5分）令，，……………………………………………………（6分）故在上单调递减，故，…………………………………………………（7分）故，从而在上单调递减；在上单调递增，………………………………………………………………………………………（8分）故在上，函数………………………………………………………………………………………（9分）由于，令，……………………………………………………（10分），对于恒成立，从而，即，当时等号成立，…………………………………………………（11分）故．……………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）（1）证明：依题意有，直线，…………………………………（1分）设，直线与抛物线相交，联立方程消去，化简得………………………………（2分）所以，．…………………………………………………………（3分）又因为，所以直线的斜率.同理，直线的斜率…………………………………………………………（4分）所以，………………………………………………………………（5分）所以，直线，即．…………………………………………………（6分）（2）解：由（1）可知，圆是以为直径的圆，设是圆上的一点，则，所以，圆的方程为………………………………………………………………………………………（7分）又因为所以，圆的方程可化简为………………………………………………………………………………………（8分）联立圆与抛物线得消去，得即，即………………………………………………………………………………………（9分）若方程与方程有相同的实数根，则矛盾，……………………………………………………………………………………（10分）所以，方程与方程没有相同的实数根，所以，圆与抛物线有四个不同的交点等价于……………………………………………………………………………………（11分）综上所述，．………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）由曲线的极坐标方程是，得直角坐标方程为，即．……………………………………………………………………（3分）（2）把直线的参数方程（为参数），代入圆的方程得，化简得．……………………………………………………………………………………（5分）设两点对应的参数分别是，则，，………………………………………………………………………………（6分）故，…………………………………………………………………………………（8分）得，…………………………………………………………………………（9分）得．………………………………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】证明：（1）由柯西不等式，得，所以．………………………………………………………………（5分）（2）由柯西不等式，得所以．………………………………………………………………（10分）。

山东省潍坊市2020届高三第三次线上检测数学试题含答案

C. x, y且 x y ，使得 a = b = c = d
D. a,b, c, d 中至少有两个大于 1
12.已知在棱长为 1 的正方体 ABCD − A1B1C1D1中，点 E，F，H 分别是 AB, A1D1, BC1 的中
点，下列结论中正确的是
A. D1C1 / / 平面 CHD
B. AC1 ⊥ 平面 BDA1
1.设集合 M = x x2 + x − 2 0 , N = x log2 x 1 ，则 M N =
A.x − 2 x 1 B.x 0 x 1
C.x 1 x 2 D.x − 2 x 2
2.已知向量 AB = (2,1), AC = (3,t ), BC = 1，则AB AC =
A.2
B.3
C.7
D.8
3．设 i 为虚数单位，a∈R，“复数 z = a2 − i2020 是纯虚数”是“ a = 1 ”的 2 1−i
A．充分而不必要条件 C．充分必要条件
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的网形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美．如果能够将圆的周长和面积同
x
最小值为_________；若
p>0，在[1,e]上至少存在一点 x0
，使得
f
( x0
)
2e x0
成立，则实数
p
的取值范围为_________．(本题第一空 2 分，第二空 3 分)
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
( ) 17（. 10 分）在 ABC 中，已知内角 A，B，C 所对的边分别为 a,b, c ， 1 + 3 c = 2b, A = . 6

数学-2020年3月高三第三次在线大联考(山东卷)(全解全析)

合定义域解得 −1 x 0,或0 x 1 ，故 D 正确．故选 AD． 3
11．BCD 【解析】 f (x) = 6 sin x cos x + 2 cos2 x − 2 = 6 sin 2x + 2 1 + cos 2x − 2 = 2 sin(2x + π) ，将
22
2
2
6
函数 f (x) 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 1 ，纵坐标不变，得函数 g(x) = 2 sin(4x + π) 的图象．对
=
(t 2
+ 1)
+
1 t2 +1
−
3
2
(t 2
+ 1)
t2
1 +
1
−
3
=
−1
，当且仅当
t2
+1
=
t2
1 +1
，即
t
=
0
时取等号，y 取得最小值为 −1 .此时，a = (−1,0),b = (2, −1) ，则 cos a,b = a b = −2 = − 2 5 .故选 B． | a | | b | 1 5 5
7．D【解析】如图，连接 BD ，因为 AB = a, AD = b ，AA' = a + b ，所以 A'B2 = a2 + (a + b)2 ，A'D2 = b2 + (a + b)2 ，
BD2 = a2 + b2 ，结合余弦定理得 cos BA'D = A'B2 + A'D2 − BD2 = a2 + (a + b)2 + b2 + (a + b)2 − (a2 + b2 ) =

2020届山东省六地市部分学校高三下学期3月线上考试数学试题(解析版)

2020届山东省六地市部分学校高三下学期3月线上考试数学试题一、选择题1．已知集合{}|2,0xA y y x -==<，集合12|B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=（）A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．()0,+∞D ．[)0,+∞ 【答案】B 【解析】因为，，所以A B ⋂=()1,+∞.故选B.2．设()()()2i 3i 35i x y +-=++(i 为虚数单位），其中,x y 是实数，则i x y +等于( ) A ．5 B 13C ．22D ．2【答案】A【解析】由()()()2i 3i 35i x y +-=++，得()()632i 35i x x y ++-=++，∴63325x x y +=⎧⎨-=+⎩，解得34x y =-⎧⎨=⎩，∴i 34i 5x y +=-+=．故选A ． 3．已设,a b 都是正数，则“33a b log log ＜”是“333a b ＞＞”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由33a b log log ＜，得01b a ＜＜＜或01a b ＜＜＜或1a b ＞＞，由333a b ＞＞，得1a b ＞＞， ∴“33a b log log ＜”是“333a b ＞＞”的必要不充分条件．故选：B ．4．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是 A ．甲 B ．乙C ．丙D ．无法预测【答案】A【解析】若甲的预测正确，乙、丙的预测错误，则丙是第一名，甲不是第三名，则甲是第二名，乙是第三名，矛盾！若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，则乙是第三名，甲的预测错误，那么甲是第三名，矛盾！若丙的预测正确，则甲、乙的预测错误，则甲是第三名，乙不是第三名，丙是第一名，则乙是第二名。

山东省山东2020-2021学年高三上学期大联考数学试题(解析版)

山东中学联盟2021届高三大联考数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．一、单项选择题：本题共8小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合{}3,1,1,3A =--，{}260B x x x =--≤，则AB =（）A. {}3,1,1--B. {}1,1,3-C. {}3-D. {}3【答案】B 【解析】【分析】先解出集合B ,然后求A B ．【详解】∵{}{}26023B x x x x x =--≤=-≤≤， ∴AB ={}1,1,3-故选：B2. 已知i 是虚数单位，则2⎝⎭在复平面内对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】先把212i ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭化简，再判断其对应的点在第几象限.【详解】∵2112i 22⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，∴它在复平面内对应的点1,22⎛- ⎝⎭位于第四象限. 故选：D3. 已知向量()2,3,4a =-，()3,,b x y =-分别是平面α，β的法向量，若α//β，则（） A. 92x =-，6y = B. 92x =-，6y =- C. 92x =，6y = D. 92x =，6y =- 【答案】A 【解析】【分析】利用两平面平行，法向量共线即可求解.【详解】∵向量()2,3,4a =-，()3,,b x y =-分别是平面α，β的法向量，且α//β，∴3=234x y -=-, 解得：92x =-，6y =.故选：A4. 已知圆22:4240C x y x y ++--=关于直线:240l x ay -+=对称，则原点O 到直线l 的距离为（）A.37B. 1C.5D.【答案】C 【解析】【分析】根据圆关于直线对称求出a ，再根据点到直线的距离可求得结果. 【详解】由圆22:4240C x y x y ++--=，可得圆心(2,1)C -，因为圆22:4240C x y x y ++--=关于直线:240l x ay -+=对称，所以圆心(2,1)C -在直线:240l x ay -+=上，所以2240a --+=，得1a =，所以直线:240l x y -+=，所以原点(0,0)O 到直线:240l x y -+==. 故选：C5. “[]2,1x ∀∈-，220x a -≤”为真命题的一个充分不必要条件是（） A. 0a ≥ B. 1a ≥C. 2a ≥D. 3a ≥【答案】D 【解析】【分析】先确定“[]2,1x ∀∈-，220x a -≤”为真命题时a 的范围，进而找到对应选项.【详解】若命题“[]2,1x ∀∈-，220x a -≤”为真命题，则2()22max x a =，则3a ≥是2a ≥的充分不必要条件，故选：D ．6. 设ln 3p =，lg3q =，则（） A. p q pq p q ->>+ B. p q p q pq ->+> C. p q pq p q +>>- D. p q p q pq +>->【答案】D 【解析】【分析】根据0q >，可得()()20p q p q q +--=>，利用换底公式可得110p q pq q p-=->，即p q pq ->，由此可得答案.【详解】因为ln30p =>，lg30q =>，所以()()20p q p q q +--=>，所以p q p q +>-，因为3331110log 10log log p q e pq q p e-=-=-=3log 31>=，且0pq >，所以p q pq ->，所以p q p q pq +>->. 故选：D7. 已知实数x ，y 满足11917x y x y +++=，其中0x >，0y >，则11x y+的最小值为（） A.116B. 1C. 2D. 16【答案】B 【解析】【分析】由已知得11179x y x y +=--，先求211x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值，21111(179)x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，相乘后，利用基本不等式得出关于11x y+的不等式，解之可得．【详解】因为11917x y x y+++=，其中0x >，0y >，所以11179x y x y+=--，21111119(179)17()10y x x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+--=+--+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，96y x x y +≥=，当且仅当9y x x y =，即3x y =时等号成立，此时由311917x y x y x y =⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得443x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或14112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．由96y x x y +≥得91016y x x y ⎛⎫--+≤- ⎪⎝⎭，所以211111716x y x y ⎛⎫⎛⎫+≤+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得11116x y ≤+≤，所以11x y +的最小值是1，此时44,3x y ==．故选：B ．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．8. 正三角形ABC 的内切圆圆心为Q ，点P 为圆Q 上任意一点．若QP mQC nQA =+，则m n +的取值范围（） A. []1,1- B. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. ,22⎡-⎢⎣⎦D. ⎡⎣【答案】A 【解析】【分析】以BC 的中点O 为原点，分别以,BC OA 所在的直线为,x y 轴，建立直角坐标系，写出,,A C Q ，其设333 cos,sin333Pθθ⎛⎫+⎪⎪⎝⎭，利用向量的坐标运算可得331cos,cos sin362m nθθθ==+，根据三角函数的性质即可求解.【详解】设正三角形ABC的边长为2，以,BC OA所在的直线为,x y轴，建立直角坐标系，则(3A，()1,0C，由正三角形的性质可知3QO=3Q⎛∴⎝⎭，∴内切圆圆心为30,3Q⎛⎝⎭，半径为3QO=不妨设333,333Pθθ⎛⎫+⎪⎪⎝⎭，可得230,3QA⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，31,3QC⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，33cos,sin33QPθθ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，QP mQC nQA=+，33233mθθ⎧=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，1sin 2m n θθθ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，[]1sin cos sin 1,1223m n πθθθ⎛⎫∴+=+=+∈- ⎪⎝⎭.故选：A二、多项选择题：本题共4小题．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．9. 函数()2sin cos 1f x x x x =+的图象的一个最值点为（） A. 3,32π⎛⎫⎪⎝⎭B. 51,62π⎛⎫⎪⎝⎭C. 55,62π⎛⎫⎪⎝⎭D. 45,32π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BD 【解析】【分析】化简函数解析式为()3sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由()262x k k Z πππ-=+∈可得()32k x k Z ππ=+∈，利用赋值法与代入法可得出合适的选项. 【详解】()21cos 213sin cos 1212cos 2222x f x x x x x x x -=+=++=-+3sin 262x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由()262x k k Z πππ-=+∈，可得()32k x k Z ππ=+∈. 当0k =时，35sin 3222f ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭；当1k =时，5331sin 6222f ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；当2k =时，4535sin 3222f ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭. 故AC 选项不满足条件，BD 选项满足条件. 故选：BD.【点睛】关键点点睛：本题考查正弦型函数最值点的求解，在求解最值点的横坐标时，实质上就是求出对称轴方程，可通过()262x k k Z πππ-=+∈结合赋值法求解.10. 设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，点P 是双曲线上任意一点，若双曲线0y ±=，焦距为）A.B. 双曲线的离心率为2C. D. 存在点P ，使得21F P =【答案】BC 【解析】【分析】先根据题意求出a 、b 、c ，然后对A 、B 、C 、D 一一验证：对于A ：求出a 直接判断；对于B ：求出a 、b 、c ，直接求出离心率即可；对于C ：用点到直线的距离公式求出右焦点到渐近线的距离；对于D ：判断2F P 的最小值即可.【详解】双曲线2222:1x y C a b-=0y ±=，可得b a =焦距为2c =，且222+=a b c ，解得：22=26a b =，对于A ：实轴长2a =，故A 错误；对于B ：离心率为2c e a ===，故B 正确；对于C ：右焦点()2F 0y -=的距离d ==C 正确；对于D ：当P 为右顶点时，2F P =最短，故不存在点P ，使得21F P =，故D 错误.故选：BC【点睛】多项选择题是2020年高考新题型，需要对选项一一验证．11. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，满足()()11f x f x -=+，当[]0,1x ∈时，()f x x =．设函数()()g x f x kx k =--，下列结论成立的是（） A. 函数()f x 的一个周期为2B. 4233f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. 当实数1k >-时，函数()g x 在区间[]1,2上为单调递减函数D. 在区间[]1,3-内，若函数()g x 有4个零点，则实数k 的取值范围是10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】ACD 【解析】【分析】利用周期2T =和偶函数，画出函数()f x 图像和函数(1)y k x =+的图像可解得. 【详解】由()()11f x f x -=+，知函数()f x 的周期2T =，可知A 正确；由周期和奇偶性得4222()=()()3333f f f -==，故B 不正确；当[]1,2x ∈时，()()()2,=(1)2f x x g x f x kx k k x k =-∴=---++-，由函数()g x 在区间[]1,2上为单调递减函数，所以(1)0k -+<，即1k >-.得C 正确；函数()g x 在区间[]1,3-有4个零点，()(1),[1,3]f x kx k k x x +=+=∈-有4个解，即()f x 与直线(1)y k x =+在[1,3]-有4个交点，利用周期2T =和偶函数，结合()f x 在[]0,1x ∈的解析式，可画出函数()f x 和函数(1)y k x =+在R 上的图像.如图：由图可得041k <≤，即104k <≤，实数k 的取值范围是10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦,D 正确.故选：ACD.【点睛】对具有奇偶性和周期性的函数，通过画图像数形结合可以快速解决函数的单调和零点问题.12. 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是正方形11ADD A （含边界）上的动点，若1PB 与1A C 垂直，下列结论成立的是（） A. 1//PB 平面1BC DB. 动点P 一定在线段1AD 上C. 11,2PB ⎡⎤∈⎣⎦D. 1PB 与平面11BCC B 所成角的正弦值可以是3【答案】AB 【解析】【分析】通过证明1A C ⊥平面11AB D ，结合1PB 与1A C 垂直，可得动点P 一定在线段1AD 上，说明B 正确，通过证明平面1//BC D 平面11AB D ，可得1//PB 平面1BC D ，说明A 正确，求出1||PB 的取值范围，可知C 不正确，根据直线与平面所成角的定义找到直线与平面所成角，求出这个角的正弦值的取值范围，可知D 不正确.【详解】连接11B D ，1AD ，1AB ，如图：因为1111B D A C ⊥，111B D CC ⊥，且1111AC CC C =，所以11B D ⊥平面11A CC ，所以111B D AC ⊥，同理可得11AD AC ⊥，又1111B D AD D ⋂=，所以1A C ⊥平面11AB D ，同理1A C ⊥平面1BC D ，所以平面1//BC D 平面11AB D ，因为11PB A C ⊥，1B ∈平面11AB D ，1A C ⊥平面11AB D ，所以P ∈平面11AB D ，因为P 是正方形11ADD A （含边界）上的动点，平面11AB D 平面11ADD A 1AD =，所以1P AD ∈，即动点P 一定线段1AD 上，故B 正确；由以上知1PB ⊂平面11AB D ，平面1//BC D 平面11AB D ，所以1//PB 平面1BC D ，故A 正确；因为11AB D 2的正三角形，所以当P 为1AD 的中点时，1min ||PB =6P 与A 或1D 重合时，1max ||PB=1||[2PB ∈，故C 不正确；因为平面11ADD A //平面11BCC B ，所以1PB 与平面11BCC B 所成角等于1PB 与平面11ADD A 所成的角，因为11B A ⊥平面11ADD A ，所以11B PA ∠就是1PB 与平面11ADD A 所成的角，所以11111||sin ||A B B PA PB ∠=11[,||23PB =∈>，所以1PB 与平面11BCC B 所成角的正弦值不可以是2，故D 不正确. 故选：AB【点睛】关键点点睛：熟练掌握直线与平面垂直的判定与性质、平面与平面平行的性质、直线与平面所成角的定义是解题关键.三、填空题：本题共4小题．13.的正方体所有棱都相切的球的体积为______．【答案】4π3【解析】【分析】依题意得球心为正方体的体对角线的交点，半径为面对角线的一半，根据棱长即可求解．【详解】与正方体所有棱都相切的球的球心为正方体的体对角线的交点，所以正方体的面对角线长为2= ，则球的半径为1R =所以球的体积为34433V R ππ==故答案为：4π314. 近两年，中国移动推动5G 和4G技术共享、资源共享、覆盖协同、业务协同，充分利用原4G 线路传输资源，并高效建设5G 基站．如图，南北方向的公路l ，城市A 处，城市B 地（看作一点）在A 北偏东60°方向2km 处，原有移动4G 线路PQ 曲线上任意一点满足到公路l 和到城市A 地距离相等．现要在线路PQ 上一处M 建一座5G 基站，则这座5G 基站到城市A ，B 两地的总距离最短时为______km ．【答案】3【解析】【分析】过A 作AN l ⊥，垂足为N ，以NA 为x 轴，NA 的中垂线为y 轴建立坐标系，过M 作MH l ⊥，垂足为H ，根据抛物线的定义，可得MA MH =，所以MA MB MB MH +=+，当,,B M H 三点在一条直线上，即BH l ⊥时，MB MH +取得最小值. 【详解】过A 作AN l ⊥，垂足为N ，以NA 为x 轴，NA 的中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系.所以3AN =由PQ 曲线上任意一点满足到公路l 和到城市A 地距离相等. 则曲线PQ 是以A 为焦点，直线l 为准线的抛物线.又城市B 地在A 北偏东60°方向2km 处，所以2,30AB BAx =∠=︒，33B ⎫⎪⎪⎝⎭过B 作BE x ⊥轴，垂足为E ，则2cos303AE =⨯︒=过M 作MH l ⊥，垂足为H ，根据抛物线的定义，可得MA MH = 所以MA MB MB MH +=+当,,B M H 三点在一条直线上，即BH l ⊥时，MB MH +取得最小值，所以此时MB MH +取得最小值等于23AE AN AE =+=，故答案为：3【点睛】关键点睛：本题考查抛物线中的最值问题，解答本题的关键是过M 作MH l ⊥，垂足为H ，根据抛物线的定义，可得MA MH = 转化为求MB MH +的最小值问题，当,,B M H 三点在一条直线上，即BH l ⊥时，MB MH +取得最小值，属于中档题.15. 已知数列()()12123n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ，若对任意的*N n ∈，不等式26n T a a <-恒成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】(][),12,-∞-⋃+∞ 【解析】【分析】用裂项法求和得13n T <，由26n T a a <-恒成立，得22a a ≤-解不等式即可．【详解】由()()1111212342123n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭所以11111111141537592123n T n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭111111111141321233421233n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 因为26n T a a <-恒成立，所以2163a a ⨯≤-，则1a ≤-或2a ≥ 故答案为：(][),12,-∞-⋃+∞【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：（1）()a f x ≥ 恒成立()max a f x ⇔≥；（2）()a f x ≤ 恒成立()min a f x ⇔≤．16. 已知函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,π有且仅有3个零点，则函数()f x 在[]0,π上存在______个极小值点，实数ω的取值范围是______．【答案】 (1). 1 (2). 1319,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】首先求6x πω-的范围，根据正弦函数的图象，确定极小值点个数，以及根据端点值，列不等式求ω的范围.【详解】[]0,x π∈，,666t x πππωωπ⎡⎤∴=-∈--⎢⎥⎣⎦，由条件可知sin y t =在区间,66ωππ⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦有3个零点，∴由函数图象可知：有1个极小值点，两个极大值点，且236ωππ≤π-<π，解得：131966ω≤<.故答案为：1；1319,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 四、解答题：本题包括6个小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且5b =，3cos 5B =．（1）求ABC 的面积的最大值；（2sinsin 2B Ca C +=，求ABC 的周长．【答案】（1）ABC 的面积的最大值为252；（2）15．【解析】【分析】(1)由条件结合余弦定理，利用均值不等式可得ac 的最大值，从而得出ABC 的面积的最大值.（2）由正弦定理将条件互为πsin sin sin 2A C A C -⋅=⋅πsin 2AA -=，由而sin cos 222A A A=⋅，从而得出角A ，进一步求出边,a b ，得出答案. 【详解】（1）∵3cos 5B =，∴4sin 5B =，由余弦定理知：2222cos b a c ac B =+-，即226625255a c ac ac ac =+-≥-，即1254ac ≤，当且仅当a c =时取等号．所以11125425sin 22452S ac B =≤⨯⨯=，所以ABC 的面积的最大值为252．（2πsin sin sin 2AC A C -⋅=⋅ ∵sin 0C ≠πsin 2A A -=2sin cos 222A A A=⋅． ∵cos02A ≠，故sin 22A =，由0A π<< ∴90A =︒．∵4sin 5b B a ==，∴254a =， ∴25315cos 454c a B =⋅=⋅=， ∴周长为∴251551544a b c ++=++=． 18. 已知数列{}n a 的前n 项和是n A ，数列{}n b 的前n 项和是n B ，若314A =，12n n a a +=，*N n ∈．再从三个条件：①221n B n n =-+；②12n n n B B b ++=+，120b =；③2222log n n b a =-，中任选一组作为已知条件，完成下面问题的解答．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）定义：,,a a ba b b a b ≤⎧*=⎨>⎩．记n n n c a b =*，求数列{}n c 前100项的和100T ．【答案】选择见解析；（1）222n b n =-；（2）7940-．【解析】【分析】（1）根据已知条件可知数列{}n a 是公比为2的等比数列，根据314A =求出1a 的值，可求得等比数列{}n a 的通项公式.选①，由11,1,2n n n B n b B B n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n b 的通项公式；选②，推导出数列{}n b 是公差为2-的等差数列，结合120b =可求得数列{}n b 的通项公式；选③，由{}n a 的通项公式结合对数运算可得出数列{}n b 的通项公式；（2）求出数列{}n c 的表达式，进而可求得100T 的值. 【详解】（1）由已知得，{}n a 为等比数列，公比为2q，则231112214A a a a =++=，12a ∴=，所以，112n n n a a q -==.选择①，当1n =时，1120b B ==，当2n ≥时，()()()221212111222n n n b B B n nn n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦. 120b =满足222n b n =-，所以，()222n b n n N *=-∈；选择②，12n n n B B b +-=-，即12n n b b +=-，所以{}n b 是首项为20，公差为2-的等差数列，()121222n b b n n ∴=--=-；选择③，2222log 2222nn b n =-=-；（2）11220a b =<=，22418a b =<=，33816a b =<=，441614a b =>=，当4n ≥且n *∈N 时，令()22222222nnn n n x a b n n =-=--=+-，则数列{}n x 为单调递增数列，且420n x x ≥=>，即n n a b >.所以，()*2,13N 222,4n n n n n c a b n n n ⎧≤≤=*=∈⎨-≥⎩，所以，()()31410010012345610019712a qb b T a a a b b b b q-+=++++++⋅⋅⋅+=+-()()3421297141782279547940122-⨯-=+=--=--．【点睛】方法点睛：已知n S 求n a ：若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项，可用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解，但需要注意对初始项是否满足通项进行检验.19. 某工厂有一批材料被预定制作“阳马”（中国古代算数中的一种几何体，是底面为长方形，两个三角侧面与底面垂直的四棱锥体），材料是由底面为ABCD 的正四棱柱被截面AEFG 所截而得到的几何体，每一块材料制作一个“阳马”．材料的尺寸如图所示，1BE =，4DG =，2AB =．（1）求通过此材料制作成的“阳马”中，最长的棱的长度；（2）求平面AEFG 与底面ABCD 所夹锐角的余弦值．【答案】（1）33；（2）22121．【解析】【分析】（1）以C 为原点，CD ，CB ，CF 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．根据条件可得AG EF =，从而可求出CF 的长，从而可得答案.（2）平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =,求出平面AEFG 的法向量，由向量法可得答案.【详解】（1）以C 为原点，CD ，CB ，CF 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．设点()0,0,F h ，且有()2,2,0A ，()2,0,4G ，()0,2,1E ，因为几何体是由底面为ABCD 的正四棱柱被截面AEFG 所截而得到的，所以平面//ADG 平面BCFE ，又平面ADG平面AEFG AG =，平面BCFE ⋂平面AEFG EF =，所以//AG EF ，同理//AE GF ，所以四边形AEFG 是平行四边形．所以AG EF =，即()()0,2,40,2,1h -=--，得5h =易知由F ABCD -制作成的阳马中，最长的棱长为FA ，所以4FA ==所以FA（2）根据题意可取平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =．由（1）知，()0,2,4AG =-，()2,0,1AE =- 设平面AEFG 的法向量为(),,n x y z =，则由00n AE n AG ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得24020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，即22y z z x =⎧⎪⎨=⎪⎩令2z =，所以()1,4,2n =，所以cos ,211m n m n m n⋅====⨯⋅，所以平面AEFG 与底面ABCD ．【点睛】方法点睛：向量法求解空间几何问题的步骤：建、设、求、算、取1、建：建立空间直角坐标系，以三条互相垂直的直线的交点为原点，没有三条垂线时需做辅助线；建立右手直角坐标系，尽可能的使得较多的关键点落在坐标轴或坐标平面内.2、设：设出所需的点的坐标，得出所需的向量坐标.3、求：求出所需平面的法向量4、算：运用向量的数量积运算，验证平行、垂直，利用线面角公式求线面角，或求出两个平面的法向量的夹角的余弦值5、取：根据题意，或二面角的范围，得出答案.20. 某地方舱医院的建设中，为了使得内部环境更加温馨，在儿童病区采用了如图所示的一个窗户（该图为轴对称图形），其中上半部分曲线AOD 拟从以下两种曲线中选择一种：曲线1E 是一段余弦曲线，在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为cos 1y x =-，此时记窗户的最高点O 到BC 边的距离为()1h t ；曲线2E 是一段抛物线，其焦点到准线的距离为98，此时记窗户的最高点O 到BC 边的距离为()2h t ；窗户的下半部分中，AB ，BC ，CD 是矩形ABCD 的三条边，由总长度为6米的材料弯折而成，记BC 边的长度为2t米（312t ≤≤）．（1）分别求函数()1h t 、()2h t 的表达式；（2）为了使得点O 到BC 边的距离最大，窗户的上半部分应选择曲线1E 还是曲线2E ？请说明理由，并求出此时矩形部分的BC 边长度应设计成多少米．【答案】（1）()1cos 4h t t t =--+，312t ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭；()22433,192h t t t t ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭；（2）选用曲线2E ，答案见解析；矩形部分的BC 边长度设计成3米．【解析】【分析】（1）对于曲线1E ，点D 的坐标为(),cos 1t t -，3AB DC t ==-则()1cos 4h t t t =--+；对于曲线2E ，点D 的坐标为24,9t t ⎛⎫-⎪⎝⎭，3AB DC t ==-则()22433,192h t t t t ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭；（2）分别求解()1h t 、()2h t 的最大值，并比较它们的大小，对于()1h t 通过求导分析单调性即可求最大值，对于()2h t 分析单调性从而求得最大值，最后选用最大值较大的曲线即可，并求出相应的BC 边长度．【详解】（1）曲线1E 解析式为cos 1y x =-，所以点D 的坐标为(),cos 1t t -，点O 到AD 的距离为1cos t -，而3AB DC t ==-，则()()()131cos cos 4h t t t t t =-+-=--+，312t ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭关于曲线2E ，可知抛物线的方程为294x y =-．所以点D 的坐标为24,9t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点O 到AD 的距离为249t ，又3AB DC t ==-，可得()22433,192h t t t t ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭．（2）因为()1sin 0h t t '=-+<，所以()1h t 在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以当1t =时，()1h t 取得最大值为3cos1-．又()22429h t t t =-+312t ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭二次函数开口向上，在91,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在93,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当32t =时，()2h t 取得最大值为52经比较，π1cos1cos32>=，所以153cos1322-<-=所以，选用曲线2E ，满足点O 到BC 边的距离最大，此时23t =，即矩形部分的BC 边长度设计成3米．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据图形找出关键点的坐标代入求解解析式．21. 已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>过点2P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，短轴的一个端点到焦点的距离为2．（1）求椭圆E 的方程；（2）定义PQ k 为P ，Q 两点所在直线的斜率，若四边形ABCD 为椭圆的内接四边形，且AC ，BD 相交于原点O ，且14AC BDk k =，试判断AB k 与BC k 的和是否为定值．若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）是定值，定值为0．【解析】【分析】（1）用待定系数法求标准方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，用“设而不求法”表示出AC BD k k 、、,并转化为12124y y x x =，代入求出斜率k 即可求出AB k +BC k .【详解】（1）因为椭圆()222210x y a b a b +=>>过点1,2P ⎛- ⎝⎭，所以221314a b +=，又由题意知，短轴的一个端点到焦点的距离为22a =联立方程2213142a ba ⎧+=⎪⎨⎪=⎩．解得24a =，21b =，所以椭圆E的方程为2214x y +=．（2）证明：设直线AB 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()()222148410k x kmx m +++-=， ∴()()()()2222284414116410km k m k m ∆=-+⨯-=-+≥，()12221228144114km x x k m x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，因为14AC BD k k =，所以14OA OB k k =，所以12124y y x x =，又()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++， ∴()()22121241440k x x km x x m -+++=．∴()()22222418414401414m kmk kmm k k---++=++．整理得241k =，∴12k =±，∵A ，B ，C ，D 可以轮换 ∴AB ，BC 的斜率一个是12，另一个就是12-， ∴0AB BC k k +=．所以AB k 与BC k 的和定值，0AB BC k k +=．【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题. 22. 函数()2ln m x a x x =+．（1）当0a ≠时，若函数()m x 恰有一个零点，求实数a 的取值范围；（2）设函数()()23ln 2f x x m x x x '=-++，R a ∈．（ⅰ）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为2y x n =+，求实数a ，m 的值；（ⅱ）对于曲线()y f x =上的两个不同的点()()11,M x f x =，()()22,N x f x =，记直线MN 的斜率为k ，若函数的导函数为()f x '，证明：122x x f k +⎛⎫'< ⎪⎝⎭．【答案】（1）2a e =-或0a >；（2）（ⅰ）11a m =-⎧⎨=-⎩；（ⅱ）证明见解析．【解析】【分析】（1）先讨论出函数()m x 的单调性，由零点存在原理分析函数()m x 恰有一个零点的条件可得答案.（2）（ⅰ）先求出()1f 的值，得出切点坐标，再求()1f '，即切线的斜率值，由()()112121f a f a m ⎧=-=⎪⎨=-=⨯+'⎪⎩，可得到答案.（ⅱ）由题意可得1212ln ln x x k a x x -=--，()()1211212221ln x x x f x k x x x x x -⎡⎤'-=-⎢⎥-+⎣⎦，不妨设210x x <<，12x t x =，则1t >，将()1211222ln x x x x x x --+转化为()21ln 1t t t --+，设()()()21ln 11t h t t t t -=->+，讨论出其单调性可证明.【详解】（1）函数()()2ln 0m x a x xa =+≠的定义域为()0,∞+，∴()222a x am x x x x+'=+=．①当0a >时，()0m x '>，所以()m x 在()0,∞+上单调递增，取1ax e -=，则21110a a e e --⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为()11m =，所以()()010m x m <，此时函数()m x 有一个零点． ②当0a <时，令()0m x '=，解得x =当0x <<()0m x '<，所以()m x在⎛ ⎝上单调递减．当x >()0m x '>，所以()m x在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．当0x →时，()m x →+∞，当x →+∞时，()m x →+∞.要使函数()m x有一个零点，则02a m a ==，即ln 12a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2a e =-．综上，若函数()m x 恰有一个零点，则2a e =-或0a >．（2）（ⅰ）∵()ln 2f x x a =-，∴()1f x a x'=-． ∵曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为2y x m =+，∴()()112121f a f a m ⎧=-=⎪⎨=-=⨯+'⎪⎩．整理11a m =-⎧⎨=-⎩．（ⅱ）证明：()()()121221ln ln f x f x x x a x x -=-+-，()()()12122112121212ln ln ln ln f x f x x x a x x x x k a x x x x x x --+--===----，又()11ax f x a x x -'=-=，121222x x f a x x +⎛⎫'=- ⎪+⎝⎭，()12121211212121222ln ln 21ln 2x x x x x x x f k x x x x x x x x x -⎡⎤+-⎛⎫'-=-=-⎢⎥ ⎪+--+⎝⎭⎣⎦12111222211ln 1x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥=-⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦不妨设210x x <<，12x t x =，则1t >，即()1211222121ln ln 11x t x x t x x t x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭-=-++．令()()()21ln 11t h t t t t -=->+,则()()()22101t h t t t-'=-<+，因此()h t 在()1,+∞上单调递减，所以()()10h t h <=．又210x x <<，所以120x x ->，所以1202x x f k +⎛⎫'-<⎪⎝⎭，即122x x f k +⎛⎫'< ⎪⎝⎭．【点睛】关键点睛：本题考查根据函数零点个数求参数和导数的几何意义的应用以及利用导数证明不等式，解答本题的关键是由()121211212221ln 2x x x x x f k x x x x x -⎡⎤+⎛⎫'-=-⎢⎥ ⎪-+⎝⎭⎣⎦12111222211ln 1x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥=-⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，不妨设210x x <<，12x t x =，则1t >，将()1211222ln x x x x x x --+转化为()21ln 1t t t --+，分析其正负，属于难题.。

2020-2021学年高三数学(文科)三校联考高考模拟试题及答案解析

三校联考高考数学模拟试卷（文科）（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．2 B．C．1 D．34．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．7 B．8 C．9 D．106．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A ．在[，]上是增函数B ．其图象关于直线x=﹣对称C ．函数g （x ）是奇函数D ．当x ∈[0，]时，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的全面积是（单位：m 2）．（）A ．B ．C ．D ．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]10．已知双曲线C ：﹣=1的左、右焦点分别是F 1，F 2，正三角形△AF 1F 2的顶点A在y 轴上，边AF 1与双曲线左支交于点B ，且=4，则双曲线C 的离心率的值是（）A ．+1 B ．C ．+1 D ．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O （重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（） A ．π B ．π C ．π D ．π12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（） A ．2015 B ．2016C ．4030D ．4032二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．设i 为虚数单位，则复数= ．14．已知函数f （x ）=2x 2﹣xf ′（2），则函数f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线方程是． 15．若x ，y 满足若z=x+my 的最大值为，则实数m= ．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列．（1）证明数列{a n }是等比数列；（2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率． 19．如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面是直角梯形ABCD ，其中AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AB=4，CD=2，侧面PAD 是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD 垂直，E 为PA 的中点．（1）求证：DE ∥平面PBC ；（2）求三棱锥A ﹣PBC 的体积．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．（1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．21．设函数f （x ）=x 2﹣（a+b ）x+ablnx （其中e 为自然对数的底数，a ≠e ，b ∈R ），曲线y=f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y=﹣e 2．（1）求b ；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}【分析】根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．【解答】解：∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，∴M∪N={x|x≥﹣2}，故选A．【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答．2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假．【解答】解：命题p：∃x∈N，x3＜x2，是假命题；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），令x﹣1=1，解得：x=2，此时f（2）=0，（x﹣1）的图象过点（2，0），是真命题；故函数f（x）=loga故¬p∧q真是真命题；故选：C．【点评】本题考查了不等式以及对数函数的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题．3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）【分析】根据向量的数量积的运算和向量的模计算即可．【解答】解：∵|+2|=2，∴+4+4=||2+4||||cos+4||2=||2+2||+4=12，解得||=2，故选：A．【点评】本题考查了向量的数量积的运算和向量的模的计算，属于基础题．4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）【分析】由已知中的程序语句可知该框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，由程序框图可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=﹣12+22﹣32+42的值，∵S=﹣12+22﹣32+42=10故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．6．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[，]上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[0，]时，函数g（x）的值域是[﹣1，2]【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的图象性质，得出结论．【解答】解：把函数f（x）=2sin（2x+）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x+）+]=2cos2x的图象，显然，函数g（x）是偶函数，故排除C．当x∈[，]，2x∈[，π]，函数g（x）为减函数，故排除A．当x=﹣时，g （x ）=0，故g （x ）的图象不关于直线x=﹣对称，故排除B ．当x ∈[0，]时，2x ∈[0，]，cos2x ∈[﹣，1]，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]，故选：D ．【点评】本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于基础题．7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．【分析】由题意得（1+2d ）2=1+12d ，求出公差d 的值，得到数列{a n }的通项公式，前n 项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【解答】解：∵a 1=1，a 1、a 3、a 13成等比数列， ∴（1+2d ）2=1+12d ．得d=2或d=0（舍去）， ∴a n =2n ﹣1， ∴S n ==n 2， ∴=．令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．故选：A ．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的全面积，做本题时要注意本题中的规律应用，即四个侧面两两相等，注意到这一点，可以大大降低运算量．三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]【分析】由题意，方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根，等价于y=f （x ）与y=ax 有2个交点，又a 表示直线y=ax 的斜率，求出a 的取值范围．【解答】解：∵方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根， ∴y=f （x ）与y=ax 有2个交点，又∵a 表示直线y=ax 的斜率， ∴y ′=，设切点为（x 0，y 0），k=，∴切线方程为y ﹣y 0=（x ﹣x 0），而切线过原点，∴y 0=1，x 0=e ，k=， ∴直线l 1的斜率为，又∵直线l 2与y=x+1平行， ∴直线l 2的斜率为，∴实数a 的取值范围是[，）．故选：B ．【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题．10．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形△AF1F2的顶点A在y轴上，边AF1与双曲线左支交于点B，且=4，则双曲线C的离心率的值是（）A．+1 B．C．+1 D．【分析】不妨设△AF1F2的边长为4，求得c=2，由向量共线可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理求得|BF2|=，再由双曲线的定义和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：不妨设△AF1F2的边长为4，则|F1F2|=2c=4，c=2．由，可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理可得|BF2|2=|BF1|2+|F1F2|2﹣2|BF1||F1F2|cos∠BF1F2=1+16﹣2×1×4×=13，|BF2|=，由双曲线的定义可得2a=|BF2|﹣|BF1|=﹣1，解得a=，则e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和余弦定理，考查运算能力，属于中档题．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（）A．πB．πC．πD．π【分析】先求出没有水的部分的体积是，再求出棱长为2，可得小球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的，∵正四面体的各棱长均为4， ∴正四面体体积为=，∴没有水的部分的体积是，设其棱长为a ，则=， ∴a=2，设小球的半径为r ，则4×r=，∴r=，∴球的表面积S=4=．故选：C ．【点评】本题考查球的表面积，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确求出半径是关键．12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（） A ．2015B ．2016C ．4030D ．4032【分析】特殊值法：令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032．根据条件x ＞0时，有f （x ）＜2016，得出函数的单调性，根据单调性求出函数的最值．【解答】解：∵对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，∴令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032．设x 1＜x 2，x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，则x 2﹣x 1＞0，f （x 2﹣x 1）=f （x 2）+f （﹣x 1）﹣2016，∴f（x2）+f（﹣x1）﹣2016＜2016．又∵f（﹣x1）=4032﹣f（x1），∴f（x2）＜f（x1），即函数f（x）是递减的，∴f（x）max=f（﹣2016），f（x）min=f（2016）．又∵f（2016）+f（﹣2016）=4032，∴M+N的值为4032．故选D．【点评】考查了抽象函数中特殊值的求解方法，得出函数的性质．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设i为虚数单位，则复数= i ．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：=，故答案为：i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．14．已知函数f（x）=2x2﹣xf′（2），则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是4x﹣y﹣8=0 ．【分析】求导函数，确定切点处的斜率与切点的坐标，即可求得函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程．【解答】解：∵函数f（x）=2x2﹣xf′（2），∴f′（x）=4x﹣f′（2），∴f′（2）=8﹣f′（2），∴f′（2）=4∴f（2）=8﹣2×4=0∴函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y﹣0=4（x﹣2）即4x﹣y﹣8=0故答案为：4x﹣y﹣8=0【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，确定切点处的斜率与切点的坐标是关键．15．若x，y满足若z=x+my的最大值为，则实数m= 2 ．【分析】画出满足约束条件的可行域，求出目标函数的最大值，从而建立关于m的等式，即可得出答案．【解答】解：由z=x+my得y=x，作出不等式组对应的平面区域如图：∵z=x+my的最大值为，∴此时z=x+my=，此时目标函数过定点C（，0），作出x+my=的图象，由图象知当直线x+my=，经过但A时，直线AC的斜率k=＞﹣1，即m＞1，由平移可知当直线y=x，经过点A时，目标函数取得最大值，此时满足条件，由，解得，即A（，），同时，A也在直线x+my=上，代入得+m=，解得m=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义确定取得最大值的最优解是解决本题的关键．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为．【分析】先利用余弦定理求得A ，进而通过正弦定理表示出c ，代入面积公式求得S+cosBcosC 的表达式，利用两角和与差的余弦函数公式化简求得其最大值．【解答】解：∵a 2=b 2+c 2+bc ， ∴cosA==﹣，∴A=，由正弦定理 c=a ==2sinC ， ∴S===sinBsinC ∴S+cosBcosC=sinBsinC+cosBcosC=cos （B ﹣C ）≤，故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．求得面积的表达式是解决问题的关键，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列．（1）证明数列{a n }是等比数列；（2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．【分析】（1）由题意得2a n =S n +，易求，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n﹣1﹣，两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），由递推式可得结论；（2）由（1）可求=2n ﹣2，从而可得b n ，进而有=，利用裂项相消法可得T n ；【解答】解：（1）证明：由S n ，a n ，成等差数列，知2a n =S n +，当n=1时，有，∴，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n ﹣1﹣，两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），即a n =2a n ﹣1，由于{a n }为正项数列，∴a n ﹣1≠0，于是有=2（n ≥2），∴数列{a n }从第二项起，每一项与它前一项之比都是同一个常数2， ∴数列{a n }是以为首项，以2为公比的等比数列．（2）解：由（1）知==2n ﹣2，∴b n =log 2a n +3==n+1，∴==，∴T n =（）+（）+…+（）==．【点评】本题考查等差数列、等比数列的概念、数列的求和，裂项相消法是高考考查的重点内容，应熟练掌握．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a，b，c的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图能求出甲部门数据的中位数和乙部门数据的中位数，再求出甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，由此能求出a，b，c．（Ⅱ）利用列举法求出从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况和其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况，由此能求出所取两数之差的绝对值大于20的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据茎叶图得甲部门数据的中位数是78.5，乙部门数据的中位数是78.5；∵甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，∴a=0.05，在80～90的频率为0.2，∴b=0.02在60～70的频率为0.1，∴c=0.01．（Ⅱ）从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况是：（63，67），（63，68），（63，69），（63，73），（63，75），…，（96，86），（96，94），（96，97）共有100种；其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况是：（63，85），（63，86），（63，94），（63，97），（72，94），（72，97），（74，97），（76，97），（91，67），（91，68），（91，69），（96，67），（96，68），（96，69），（96，73），（96，75）共有16种，故所求的概率为．【点评】本题考查概率的求法，考查频率分布直方图的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求三棱锥A﹣PBC的体积．【分析】（1）（法一）取PB的中点F，连接EF，CF，由已知得EF∥AB，且，从而四边形CDEF是平行四边形，由此能证明DE∥平面PBC．（1）（法二）：取AB的中点F，连接DF，EF，由已知得四边形BCDF为平行四边形，从而DF∥BC，由此能证明DE∥平面PBC．（2）取AD的中点O，连接PO，由已知得PO⊥平面ABCD，由此能求出三棱锥A﹣PBC 的体积．【解答】（1）证明：（方法一）：取PB的中点F，连接EF，CF．∵点E，F分别是PA，PB的中点∴EF∥AB，且又CD∥AB，且∴EF∥CD，且EF=CD∴四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF．又DE⊄平面PBC，CF⊂平面PBC∴DE∥平面PBC．（1）证明：（方法二）：取AB的中点F，连接DF，EF．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，所以BF∥CD，且BF=CD．所以四边形BCDF为平行四边形，所以DF∥BC．在△PAB中，PE=EA，AF=FB，所以EF∥PB．又DF∩EF=F，PB∩BC=B，所以平面DEF∥平面PBC．因为DE⊂平面DEF，所以DE∥平面PBC．（2）解：取AD的中点O，连接PO．在△PAD中，PA=PD=AD=2，所以PO⊥AD，PO=又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO就是三棱锥P﹣ABC的高．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，AD=2，AB⊥AD，所以．故．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．（1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．【分析】（1）通过|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．列出方程，求出a 、b ，即可求椭圆E 的方程；（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，然后联立直线方程与椭圆方程，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），结合x 1x 2+y 1y 2=0，即可求圆的方程．（ⅱ）若AB 的斜率不存在，设A （x 1，y 1），则B （x 1，﹣y 1），利用⊥，求出半径，得到结果．【解答】解：（1）由题知2|F 1F 2|=|MF 1|+|MF 2|，即2×2c=2a ，得a=2c ．①又由，得②且a 2=b 2+c 2，综合解得c=1，a=2，b=．∴椭圆E 的方程为+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，r 2=，①消去y ，整理得（3+4k 2）x 2+8kmx+4（m 2﹣3）=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），又∵⊥，∴x1x2+y1y2=0，即4（1+k2）（m2﹣3）﹣8k2m2+3m2+4k2m2=0，化简得m2=（k2+1），②由①②求得r2=．所求圆的方程为x2+y2=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（ⅱ）若AB的斜率不存在，设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），∵⊥，∴=0，得x=．此时仍有r2=|x|=．综上，总存在以原点为圆心的圆x2+y2=满足题设条件．【点评】考查椭圆的方程和基本性质，与向量相结合的综合问题．考查分析问题解决问题的能力．21．设函数f（x）=x2﹣（a+b）x+ablnx（其中e为自然对数的底数，a≠e，b∈R），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=﹣e2．（1）求b；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．【分析】（1）求导，从而求b；（2）由（1）得，，从而①当时，要使得f（x）在上有且只有两个零点，只需=，②当时，求导确定零点个数，③当a＞e时，求导确定零点个数．【解答】解：（1），∵f′（e）=0，a≠e，∴b=e；（2）由（1）得，，①当时，由f′（x）＞0得x＞e；由f′（x）＜0得．此时f（x）在上单调递减，在（e，+∞）上单调递增．∵，；∴要使得f（x）在上有且只有两个零点，则只需=，即；②当时，由f′（x）＞0得或x＞e；由f′（x）＜0得a＜x＜e．此时f（x）在（a，e）上单调递减，在和（e，+∞）上单调递增．此时，∴此时f（x）在[e，+∞）至多只有一个零点，不合题意；③当a＞e时，由f′（x）＞0得或x＞a，由f′（x）＜0得e＜x＜a，此时f（x）在和（a，+∞）上单调递增，在（e，a）上单调递减，且，∴f（x）在至多只有一个零点，不合题意．综上所述，a的取值范围为．【点评】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．【分析】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BDBE=BABF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BEBD﹣AEAC．【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，（1分）又EF⊥AB，∠AFE=90°，（1分）则A，D，E，F四点共圆（2分）∴∠DEA=∠DFA（1分）（2）由（1）知，BDBE=BABF，（1分）又△ABC∽△AEF∴，即ABAF=AEAC（2分）∴BEBD﹣AEAC=BABF﹣ABAF=AB（BF﹣AF）=AB2（2分）【点评】本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．【分析】（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，根据曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心解得a，即可得出．（Ⅱ）由题意可得，|OA|，|OB|，|OC|，|OD|，代入利用和差公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，∵曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心（1，1），解得a=1，故C2的直角坐标方程为y=1．（Ⅱ）由题意可得，，，，，．【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、圆的对称性、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．【分析】（Ⅰ）问题等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，通过讨论m的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质证明即可．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（1）+f（﹣2）≥5等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，可化为，解得m≤﹣2；或，无解；或，解得m≥3；综上不等式解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）…（5分）（Ⅱ）证明：当x≠0时，，|x|＞0，，…（10分）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．。

2020届全国第二次(3月)在线大联考((山东卷))数学(理)试题(解析版)

2020届全国第二次（3月）在线大联考（（山东卷）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|24}A x x =-<<，集合2560{|}B x x x =-->，则A B =I A ．{|34}x x << B ．{|4x x <或6}x > C ．{|21}x x -<<- D ．{|14}x x -<<【答案】C 【解析】【详解】由2560x x -->可得1)60()(x x -+>，解得1x <-或6x >，所以B ={|1x x <-或6}x >，又{|24}A x x =-<<，所以{|21}A B x x ⋂=-<<-，故选C ．2．已知i 为虚数单位，若复数12z i =+，15z z ⋅=，则||z = A ．1 BC ．5 D．【答案】B 【解析】【详解】由15z z ⋅=可得15z z =，所以155||2i ||||z z +===B ． 3．命题p ：2(1,2],20()x x x a a ∀∈--+≥∈R 的否定为A ．2000(1,2],20()x x x a a ∃∈--+≥∈R B ．2(1,2],20()x x x a a ∀∈--+<∈R C ．2000(1,2],20()x x x a a ∃∈--+<∈R D ．2(1,2],20()x x x a a ∀∉--+<∈R【答案】C 【解析】【详解】命题p 为全称命题，它的否定为特称命题，将全称量词改为存在量词，并将结论否定，可知命题p 的否定为2000(1,2],20()x x x a a ∃∈--+<∈R ，故选C ． 4．设直线l 的方程为20()x y m m -+=∈R ，圆的方程为22(1)(1)25x y -+-=，若直线l被圆所截得的弦长为m 的取值为 A ．9-或11 B ．7-或11C ．7-D ．9-【答案】A【解析】【详解】圆22(1)(1)25x y -+-=的圆心坐标为（1，1），该圆心到直线l 的距离5d =，结合弦长公式得2|1|225()255m --=，解得9m =-或11m =，故选A ． 5．函数1()ln ||1xf x x+=-的图象大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【详解】由题可得函数()f x 的定义域为{|1}x x ≠±，因为1()ln ||1x f x x --==+1ln ||()1xf x x+-=--，所以函数()f x 为奇函数，排除选项B ；又(1.1)ln 211f =>，(3)ln 21f =<，所以排除选项A 、C ，故选D ．6．设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6322S S -=，则2823a a 的最小值为A ．8B ．16C ．24D ．36【答案】B 【解析】【详解】方法一：由题意得636332()2S S S S S -=--=，根据等差数列的性质，得96633,,S S S S S --成等差数列，设3(0)S x x =>，则632S S x -=+，964S S x -=+，则222288789962212333(3)()()=3a a a a a S S a a a a a S ++-==++2(4)x x+=168816x x =++≥=，当且仅当4x =时等号成立，从而2823a a 的最小值为16，故选B ．方法二：设正项等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式及6322S S -=，化简可得11653262(3)222a d a d ⨯⨯+-+=，即29d =，则2222822222243()33(6)163383a a a d a a a a a ++===++≥816=，当且仅当221633a a =，即243a =时等号成立，从而2823a a 的最小值为16，故选B ．7．2021年某省将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为 A ．18B ．14C ．16D ．12【答案】B 【解析】【详解】甲同学所有的选择方案共有122412C C =种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有133C =种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率31124P ==，故选B ． 8．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11A D 的中点，若三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为A ．12πB ．10πC ．414πD ．212π【答案】C 【解析】【详解】分别以AB u u u r，AD u u u r ，1AA u u u r 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,1,2)P ，设ABC V 的外心为M ，则(1,1,0)M ，设球O 的球心为()1,1,O h ，半径为R ，则||||OA OP R ==，所以222111(2)R h h =++=+-，解得34h =，所以24116R =，所以球O 的表面积为24R π=414π，故选C ．二、多选题9．某校高三年级共有800名学生参加了数学测验（满分150分），已知这800名学生的数学成绩均不低于90分，将这800名学生的数学成绩分组如下：[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是（）A ．0.045a =B ．这800名学生中数学成绩在110分以下的人数为160C ．这800名学生数学成绩的中位数约为121.4D ．这800名学生数学成绩的平均数为125 【答案】BC 【解析】【详解】由频率分布直方图可知0.01020.0250.0150.00511)0(a ⨯++++⨯=，解得0.035a =，故A 不正确；这800名学生中数学成绩在110分以下的人数为800⨯0.0100.01010)16(0+⨯=，故B 正确；设这800名学生数学成绩的中位数为x ，则0.010100.010100.0251012()00.0350.5x ⨯+⨯+⨯+-⨯=，解得121.4x ≈，故C 正确；对于D ，这800名学生数学成绩的平均数为950.010101050.01010115⨯⨯+⨯⨯+⨯0.025101250.035101350.015101450.00510120⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故D 不正确．综上，正确答案为BC ．10．设函数(32)1,1(),1xa x x f x a x --≤⎧=⎨>⎩(0a >且1)a ≠，下列关于该函数的说法正确的是（）A ．若2a =，则2(log 3)3f =B ．若()f x 为R 上的增函数，则312a << C ．若(0)1f =-，则32a =D ．函数()f x 为R 上奇函数【答案】AB 【解析】【详解】对于选项A ，因为2log 31>，所以2log 32(log 3)23f ==，所以选项A 正确；对于选项B ，欲使得该函数为增函数，则满足3201321a a a a->⎧⎪>⎨⎪--≤⎩，解得312a <<，所以选项B 正确；对于选项C ，使得(0)1f =-，此时0a >且1a ≠，与条件不符，所以选项C 错误；对于选项D ，该函数为非奇非偶函数，所以选项D 错误，综上只有选项AB 符合题意，故选AB ．11．已知函数()cos ||sin f x x x =+，则下列结论中正确的是（） A ．若2a =，则2(log 3)3f =B ．若()f x 为R 上的增函数，则312a << C ．若(0)1f =-，则32a =D ．函数()f x 为R 上奇函数【答案】BCD 【解析】【详解】对于选项A ，(π)cos(π)sin(π)|cos ||sin (|)f x x x x x f x +=+++=-≠，所以选项A 错误；对于选项B ，因为()cos ||sin f x x x =+，所以 cos sin ()|()|(sin |22c )|os 2x x x f x x πππ+++==++，()2f x π-= cos si |()|()|2n sin |cos 2x x x x ππ+-=+-，所以() ()22f x f x ππ+=-，所以函数()f x 的图象是轴对称图形，所以选项B 正确；对于选项C ，易知函数()f x 的最小正周期为2π，因为函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，所以只需研究函数()f x 在3[,]22ππ上的最大值即可．当322x ππ≤≤时，()cos sin )4f x x x x π=-+=-，且5444x πππ≤-≤，令42x ππ-=，得34x π=，可知函数()f x 在34x π=处取得最大值为C 正确；对于选项D ，由5444x πππ≤-≤，得1)4x π--所以函数()f x 的最小值为1-，所以选项D 正确．故选BCD ．12．双曲线C ：22142x y -=的右焦点为F ，点P 在双曲线C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，则下列说法正确的是( )A ．双曲线C的离心率为2B ．双曲线22148y x -=与双曲线C 的渐近线相同C ．若PO PF ⊥，则PFO △D ．||PF 的最小值为2 【答案】ABC 【解析】【详解】对于选项A ，因为2,a b ==所以c ==所以选项A 正确；对于选项B，它们的渐近线都是y x =，渐近线相同，选项B 正确，对于选项C ，结合PO PF ⊥，又点P 在双曲线C的一条渐近线上，不妨设在2y x =上，则直线PF的方程为0y x -=-，即y x =-，联立方程组y x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩P ，所以PFO △的面积为12S ==C 正确；对于选项D，因为点F ，其中一条渐近线的方程为2y x =，所以||PF 的最小值就是点F到渐近线的距离，因为该距离为d =D 错误，综上，只有选项ABC 正确，故选ABC ．三、填空题13．函数()ln(1)=-f x x ____________．（写成区间的形式）【答案】[1,1)- 【解析】【详解】要使函数()f x 有意义，需满足210430->⎧⎨+-≥⎩x x x ，即114<⎧⎨-≤≤⎩x x ，解得11x -≤<，故函数()f x 的定义域是[1,1)-．14．设α为锐角，若π2cos()64α+=，则sin2α的值为____________．【答案】733+【解析】【详解】∵α为锐角，π2cos()6α+=，∴π14sin()6α+=，∴πππ7sin(2)2sin()cos()366ααα+=++=，2π3cos(2)2cosπ()6134αα+=-=-+，故ππππππsin2sin[(2)]sin(2)co713373324s cos(2)sin333333αααα=+-=+-+⨯+⨯=+=.15．如图，在菱形ABCD中，AB=3，o60BAD∠=，E，F分别为BC，CD上的点，2,2CE EB CF FD==u u u r u u u r u u u r u u u r，若线段EF上存在一点M，使得56AM xAB AD=+u u u u r u u u r u u u r()x R∈，则x=____________，AM BD⋅=u u u u r u u u r____________．（本题第1空2分，第2空3分）【答案】1232【解析】【详解】根据题意，设EM EFλ=u u u u r u u u r，则1133AM AB BE EM AB AD EF AB ADλ=++=++=++u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22125()(1)()33336AD AB AB AD xAB ADλλλ-=-++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以213125336xλλ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1234xλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1526AM AB AD=+u u u u r u u u r u u u r，从而有22151151()()3263263AM BD AB AD AD AB AB AD AB AD⋅=+⋅-=-⋅-+=-⨯u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1533cos6099262⨯⨯︒-⨯+⨯=.16．已知0x=是函数()(tan)f x x ax x=-的极大值点，则a的取值范围是____________．【答案】(,1]-∞【解析】【详解】方法一：令()tan g x ax x =-，则(())f x x g x =⋅，21()cos g'x a x =-，当1a ≤，(,)22x ππ∈-时，'()0g x ≤，()g x 单调递减，∴(,0)2x π∈-时，()(0)0g x g >=，()()0f x x g x =⋅<，且()()f x xg'x '=+()0>g x ，∴()f x 在(,0)2π-上单调递增，(0,)2x π∈时，()(0)0g x g <=，()()0f x x g x =⋅<，且()()+()<0f 'x =xg'x g x ，∴()f x 在(0,)2π上单调递减，∴0x =是函数()f x 的极大值点，∴1a ≤满足题意；当1a >时，存在(0,)2t π∈使得cos t=，即'()0g t =，又21()cos g'x a x =-在(0,)2π上单调递减，∴,()0x t ∈时，'()0g t =，()(0)0g x g >=，所以()()(0)0f x x g x f =⋅>=，这与0x =是函数()f x 的极大值点矛盾．综上，1a ≤．方法二：依据极值的定义，要使0x =是函数()f x 的极大值点，由(0)0f =知须在0x =的左侧附近，()0f x <，即tan 0ax x ->；在0x =的右侧附近，()0f x <，即tan 0ax x -<．易知，1a =时，y ax =与tan y x =相切于原点，所以根据y ax =与tan y x =的图象关系，可得1a ≤．四、解答题17．在①2a =，②2a b ==，③2b c ==这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求ABC V 的面积的值（或最大值）．已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，三边a ，b ，c 与面积S 满足关系式：2224S b c a =+-，且，求ABC V 的面积的值（或最大值）．【答案】见解析【解析】【详解】若选择①，结合三角形的面积公式，得222144sin 2S bc A b c a =⨯=+-，化简得到sin A =222cos 2b c a A bc+-=，则tan 1A =，又0180A <<︒︒，从而得到45A =︒，将2a =代入222cos 2b c a A bc+-=，得224b c ++．2242b c bc +=+≥，∴4bc ≤+，当且仅当b c ==∴11sin41222S bc A=≤⨯+⨯（，故ABCV1，此时b c==．若选择②，2a b==，结合三角形的面积公式，得222144sin2S bc A b c a=⨯=+-，化简得到sin A=222cos2b c aAbc+-=，则tan1A=，又0180A<<︒︒，从而得到45A=︒，则45A B==︒，此时ABCV为等腰直角三角形，12222S=⨯⨯=.若选择③，2b c==，则结合三角形的面积公式，得222144sin2S bc A b c a=⨯=+-，化简得到sin A=222cos2b c aAbc+-=，则tan1A=，又0180A<<︒︒，从而得到45A=︒，则122sin452S=⨯⨯⨯︒=18．已知数列{}n a满足111221(),1nn na a n a+*+=++∈=N，等差数列{}n b满足1224(2,3,)n nb n b n-+=+=L，（1）分别求出{}n a，{}n b的通项公式；（2）设数列{}n a的前n项和为n S，数列114lg2{}1lg nnn Sbn++-+的前n项和为,n T证明：<1nT．【答案】(1) 21,2nn na nb n=⋅-=（2）证明见解析【解析】【详解】（1）因为11221()nn na a n+*+=++∈N，所以1122(12)nn na a n+*+++=+∈N，所以1111122n nn na a++++=+，即1111122n nn na a++++-=，又因为11a=，所以数列1{}2nna+为等差数列，且公差为1，首项为1，则11(1)12nnan n+=+-⨯=，即21nna n=⋅-.设{}n b的公差为d，则111122424n n n n nb b b n b b n d-----=-+-=-+=，所以124nb n d-=-+（2,3,n=L），则2(1)4nb n d=+-+（n*∈N），所以1[2(1)4](24)2n nd b b n d n d-=-=+-+--+=，因此2(1)422nb n n=+-+=，综上，21,2nn na nb n=⋅-=．（2）设数列{2}nn⋅的前n项和为nM，则234122232422,nnM n=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯L234512122232422,n n M n +=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯L两式相减得2341112121212122(1)22,n n n n M n n ++-=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯-⨯=-⋅-L1(1)22n n M n +=-⋅+，所以1(1)22n n S n n +=-⋅+-，设114lg 2,1lg n n n c n S b n++=-+则24lg 22112()2(1)lg 2(1)(2)12n n c n n n n n +===-+++++，所以1111111122()2()11233412222n T n n n n =⨯-+-++-=⨯-=-<++++L . 19．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面PCD ，底面ABCD 满足AD ∥BC ，122AP AB BC AD ====，90ABC ∠=︒，E 为AD 的中点，AC 与BE 的交点为O .（1）设H 是线段BE 上的动点，证明：三棱锥H PCD -的体积是定值；（2）求四棱锥P ABCD -的体积；（3）求直线BC 与平面PBD 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）22P ABCD V -= （3311【解析】【详解】（1）因为底面ABCD 为梯形，且BC ED =，所以四边形BCDE 为平行四边形，则BE ∥CD ，又BE ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以BE P 平面PCD ，又因为H 为线段BE 上的动点，PCD V 的面积是定值，从而三棱锥H PCD -的体积是定值.（2）因为PA ⊥平面PCD ，所以PA CD ⊥，结合BE ∥CD ，所以AP BE ⊥，又因为AB BC ⊥，12AB BC AD ==，且E 为AD 的中点，所以四边形ABCE 为正方形，所以BE AC ⊥，结合AP AC A ⋂=，则BE ⊥平面APC ，连接PO ，则BE PO ⊥，因为PA ⊥平面PCD ，所以PA PC ⊥，因为22AC AB AP ==，所以PAC V 是等腰直角三角形，O 为斜边AC 上的中点，所以PO AC ⊥，且AC BE O =I ，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PO 是四棱锥P ABCD -的高，又因为梯形ABCD 的面积为11()(242622BC AD AB +⨯=⨯+⨯=），在Rt APC △中，2PO =，所以11622233P ABCD ABCD V S PO -=⋅=⨯⨯=梯形.（3）以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，则B 20，0），C （02，0），D （22-2，0），P （0，02），则(2,2,0),(2,0,2),(22,2,2)BC PB PD =-=-=-u u u r u u u r u u u r，设平面PBD 的法向量为(,,)u v w =n ，则0,0PB PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 即220,22220u w u v w -=-+=⎪⎩则3u wv w =⎧⎨=⎩，令1w =，得到(1,3,1)n =，设BC 与平面PBD 所成的角为α，则212322sin |cos ,|211BC α-⨯+⨯===⨯u u u r n ，所以2311cos 1sin αα=- 所以直线BC 与平面PBD 311． 20．某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久．甲上台阶时，可以一步走一个台阶，也可以一步走两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为13，每步上两个台阶的概率为23．为了简便描述问题，我们约定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第n 个台阶的概率为n P ，其中*n N ∈，且998n ≤．（1）若甲走3步时所得分数为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）证明：数列1{}n n P P +-是等比数列；（3）求甲在登山过程中，恰好登上第99级台阶的概率．【答案】（1）分布列见解析，()5E X = （2）证明见解析（3）9899342()5153P =-⨯ 【解析】【详解】（1）由题可得X 的所有可能取值为3，4，5，6，且311()()3327P X ===，32124C 312()()39P X ==⨯⨯=，23224()(15C)P X =⨯==⨯，328()()6P X ===，所以X 的分布列为所以X 的数学期望1248()34565279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）由题可得213231n n n P P P +++=，所以2112()3n n n n P P P P +++-=--，又113P =，22217()339P =+=，所以21409P P -=≠，所以1{}n n P P +-是以49为首项，23-为公比的等比数列．（3）由（2）可得9999989897211()()()P P P P P P P P =-+-++-+L 989842[1()]134293()23515313⨯--=+=-⨯+．21．设函数f (x )=x 2−4x sin x −4cos x ．（1）讨论函数f (x )在[−π，π]上的单调性；（2）证明：函数f (x )在R 上有且仅有两个零点．【答案】见解析【解析】【详解】（1）f '(x )=2x −4x cos x −4sin x +4sin x =41()2cos x x -，由f '(x )=0，x ∈[−π，π]得x =0或π3-或π3．当x 变化时，f '(x )和f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在区间[ππ)3--，，(0,π3)上单调递减，在区间()π,03-，(π,π]3上单调递增．（2）由（1）得极大值为f (0)=−4；极小值为f (π3-)=f (π3)<f (0)<0．又f (π)=f (−π)=π2+4>0，所以f (x )在[ππ)3--，，(π,π]3上各有一个零点．显然x ∈(π，2π)时，−4x sin x >0，x 2−4cos x >0，所以f (x )>0； x ∈[2π，+∞)时，f (x )≥x 2−4x −4>62−4×6−4=8>0，所以f (x )在(π，+∞)上没有零点．因为f (−x )=(−x )2−4(−x )sin(−x )−4cos(−x )=x 2−4x sin x −4cos x =f (x )，所以f (x )为偶函数，从而x <−π时，f (x )>0，即f (x )在(−∞，−π)上也没有零点．故f (x )仅在[ππ)3--，，(π,π]3上各有一个零点，即f (x )在R 上有且仅有两个零点． 22．设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)．（1）当直线l 的倾斜角为45︒时，求线段AB 的中点的横坐标；（2）设点A 关于x 轴的对称点为C ，求证：M ，B ，C 三点共线；（3）设过点M 的直线交椭圆于,G H 两点，若椭圆上存在点P ，使得OG OH OP λ+=u u u r u u u r u u u r（其中O 为坐标原点），求实数λ的取值范围．【答案】(1) AB 的中点的横坐标为23；（2）证明见解析；（3）(2,2)- 【解析】【详解】设1122(,),(,)A x y B x y .（1）因为直线l 的倾斜角为45︒，(1,0)F ，所以直线AB 的方程为1y x =-，联立方程组22112y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理，得2340x x -=，则121242,323x x x x ++==，故线段AB 的中点的横坐标为23．（2）根据题意得点11(,)C x y -，若直线AB 的斜率为0，则直线AB 的方程为0y =，A 、C 两点重合，显然M ，B ，C 三点共线；若直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为1x my =+，联立方程组22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得22(2)210m y my ++-=，则12122221,22m y y y y m m +=-=-++，设直线BM 、CM 的斜率分别为BM k 、CM k ，则2121122112121222112121212(2)(2)(1)(1)2()22(2)(2)(1)(1)1()BM CM y y y x y x y my y my my y y y k k x x x x my my m y y m y y --+--+--+-=-====-------++222222222202122m m m m m m m m -+++=+-++，即BM k =CM k ，即M ，B ，C 三点共线．（3）根据题意，得直线GH 的斜率存在，设该直线的方程为(2)y k x =-，设003344(,),(,),(,)P x y G x y H x y ，联立方程组2212(2)x y y k x =+=-⎧⎪⎨⎪⎩，消去y 并整理，得2222(12)8820k x k x k +-+-=，由422644(12)(82)0k k k ∆=-+->，整理得21<2k ，又22343422882,1212k k x x x x k k-+==++，所以343424(4)12ky y k x x k +=+-=-+，结合OG OH OP λ+=u u u r u u u r u u u r，得034034,x x x y y y λλ=+=+，当0λ=时，该直线为x 轴，即0y =，此时椭圆上任意一点P 都满足OG OH OP λ+=u u u r u u u r u u u r，此时符合题意；当0λ≠时，由OG OH OP λ+=u u u r u u u r u u u r ，得202021*******k x k k y k λλ⎧=⋅⎪⎪+⎨-⎪=⋅⎪+⎩，代入椭圆C 的方程，得4222222232161(12)(12)k k k k λλ+=++，整理，得222216161122k k kλ==++，再结合21<2k ，得到20<<4λ，即(2,0)(0,2)λ∈-U ，综上，得到实数λ的取值范围是(2,2)-．。

2020年山东高三三模数学试卷

2020年山东高三三模数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.设复数，则在复平面内对应的点位于（）．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合，，则（）．A. B.， C. D.3.已知为坐标原点，为直线上在第一象限内的点，，，则与的夹角为（）．A.B.C.D.4.已知函数的最小正周期为，则的展开式中的系数为（）．A.B.C.D.5.函数的部分图象大致为（）．A.B.C.D.6.记为正项数列的前项和，，若数列是等差数列，则（）．A.B.C.D.7.物理学上，“分贝”是一种测量声音相对响度的单位，分贝的计算公式为，其中为分贝，为声压标准值，为声压测量值．分贝是人刚能听到的最微弱的声音，分贝是较为理想的安静环境，超过分贝会影响休息和睡眠，超过分贝会影响学习和工作，超过分贝会影响听力，如果突然暴露在高达分贝的噪声环境中，鼓膜会破裂出血，双耳完全失去听力．已知摇滚演唱会最前排听到声音的声压约为，则其约为（参考数据：，）（）．A.分贝B.分贝C.分贝D.分贝8.已知四棱锥中，侧面是边长为的等边三角形，，，则四棱锥的体积是（）．A.B.C.D.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9.下图为某地区年上半年年上半年住宅供应面积、住宅成交面积以及住宅成交均价走势图：年年下半年年上半年年下半年年年下半年上半年年上半年上半年住宅供应面积万平方米住宅成交面积万平方米住宅成交均价（元平方米）根据该走势图可知，下列说法正确的有（）．A.住宅面积总是供不应求B.住宅成交均价逐年增长速度相同C.年下半年住宅供需面积差异最大D.年下半年住宅供需面积最为平衡10.已知双曲线：的一条渐近线平行于直线：，则下列说法正确的有（）．A.的渐近线方程为B.的离心率为C.与直线有两个公共点D.若过点，则的标准方程为11.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的有（）．A.的一个周期是B.在区间上有个零点C.的最大值为D.在区间上是增函数12.已知底面是菱形的直四棱柱，棱长为，，，分别为，的中点，为线段上不同于，的动点，则下列说法正确的有（）．A.存在点，使B.存在点，使C.平面截四棱柱所得截面面积的取值范围为D.三棱锥的体积为定值三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.“回文”是指正读、反读都能读通的句子，它是古今中外都有的一种修辞方式和文字游戏，如“我为人人，人人为我”等．在数学中也有这样一类数字称为回文数．设是自然数，若将的各位数字反向排列所得自然数与相等，则称为回文数．例如，若，则称为回文数．在中任取两个回文数，则这两个回文数都能被整除的概率是．14.已知，则．15.设抛物线的焦点为，以抛物线上一点为圆心的圆与直线相切，连接与圆交于点，且，则的方程为；若点为圆上的动点，为坐标原点，则的最小值为．16.已知函数若函数至少有一个零点，则实数的取值范围是．，四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.在①，②，③的前项和这三个条件中，任选一个补充到下面的题目中，并解答题目．已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，．设，求数列的前项和．（1）（2）18.在中，，为内一点，．若，求．若，求．（1）（2）19.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，分别为，的中点，，，．证明：．求直线与平面所成角的正弦值．20.党的十八大以来，党中央明确了到年我国将完成“脱贫攻坚”任务．某市许多年轻人得知政府在大力扶植地区特色产业后，纷纷投入家乡如火如荼的创业大潮中，建立了“万亩蓝莓园”．在蓝莓采（1）（2）摘时，把质量较好的蓝莓（我们称之为“一等品”）挑选出来，“一等品”的价格是一般蓝莓价格的倍，“一等品”越多，收益也就越好．从该市随机抽取男、女果农各名，调查了他们平均每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量（单位：千克），分别为，，，，，绘制成如下条形图：男果农一等品重量千克频数一等品重量千克频数女果农若我们把平均每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量不少于千克的果农称为“蓝莓种植能手”，由以上统计填写下列列联表，并判断是否有的把握认为“蓝莓种植能手”与性别有关．“蓝莓种植能手”非“蓝莓种植能手”总计男果农女果农总计已知今年的蓝莓平均亩产为千克，收购价为：一般蓝莓元千克，“一等品”蓝莓元千克，随机抽取名男果农和名女果农，以表示这名果农中每亩收益大于元的人数，求的分布列及数学期望．参考公式及数据：，其中．（1）（2）21.已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为，且椭圆过点．求椭圆的标准方程．过点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点，过点作垂直于轴交椭圆于点，直线与轴交于点，求面积的最大值．【答案】解析:，所以，所以在复平面内对应的点位于第一象限．故选．解析:集合表示直线上点的集合，集合表示抛物线上点的集合，为直线与抛物线的交点组成的集合，联立，解得或．故选．解析:∵为直线上在第一象限上的点，不妨设设，则，∴，即点坐标为，∴，∴，设与的夹角为，（1）（2）22.已知函数．若，求的极值．若恒成立，求的最大值．A1.D2.D3.则，∴．故选：．解析:∵函数的最小正周期，则，解得，二项式的展开式的通项：（，，，），令，解得，，∴的展开式中的系数为．故正确．解析:因为，所以为奇函数，选项错误；当时，，选项错误；当时，，令即，解得．所以当时，单调递增，选项错误．故选．解析:C 4.C 5.A 6.因为数列是等差数列，所以数列是等比数列，设其公比为，则，即，解得或（舍去），又，所以，，所以．故选．解析:，由于，即，，所以．故选．解析:由题意得四边形为直角梯形，，易知为直角三角形，，又，，所以平面，作，垂足为，则，又，所以平面，所以，故选．解析:.全图供应面积小于成交面积，供小于求，故选项正确；B 7.B 8.四边形四边形A 9..明显年下半年速度变快，趋势变陡，故选项错误；.年上半年差值更大，故选项错误；.年下半年供求差值最小，故选项错误．故选．解析:由题意可得，，故正确；令，即，即，得或，当时，解得或或，故正确；因为，所以．设，令，得，所以或，令，得，所以或，即在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，因为，，所以，故正确，错误．故选．BD 10.ABC 11.解析:当为中点时，且，四边形为平行四边形，所以，故选项正确；如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，设，则，，，．，得，故选项错误；如图，平面截四棱柱所得截面为平面，，，，，，所以，，，，，所以，故选项正确；设为点到平面的距离，因为平面平面，平面，所以为定值，又为定值，故为定值，故选项正确．故选．ACD 12.四边形四边形解析:中的回文数有，，，，，，，，，，共个，其中能被整除的有，，，共个，所以．解析:，即，即，所以．解析:因为圆与直线相切，又，所以．又，所以，即，解得，所以的方程为，所以．又，，所以．解析:当时，，所以，函数至少有一个零点，即函数的图象与函数的图象至少有一个交点．13.14. ;15.16.当时，，，设以为切点的切线过点，则切线斜率，解得，如图，xyI所以．解析:①设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，由，，可得，．即，，则，则．又，则数列的前项和为．②由，，可得．，，，则，则．又，则数列的前项和为③，．17.（1）（2）．③设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，由，，可得．，即，，则，则．又，则数列的前项和为．解析:因为，，所以，，，所以，，因为，所以，，在中，，，，所以，解得．因为，，所以，设，则，，因为，所以，在中，，在中，，（1）．（2）．18.（1）即，化简得，所以．解析:取的中点，连接，，如图所示，因为，分别为，的中点，所以且，因为四边形为平行四边形，所以且，且，因为为中点，所以且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以且，因为，所以，因为平面，平面，所以，所以，又因为，所以，在中，因为，（1）证明见解析．（2）．19.（2）所以，即，又因为，所以平面，又因为平面，所以，因为平面，平面，所以，又因为，所以平面，又因为平面，所以．因为平面，，所以以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，因为，，所以，所以，，，，，，，，设平面的一个法向量，则，即，令得，所以，（1）（2）所以直线与平面所成角的正弦值为．解析:列联表如下： “蓝莓种植能手”非“蓝莓种植能手”总计男果农女果农总计，所以有的把握认为“蓝莓种植能手”与性别有关．当果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量为千克时，每亩收益为（元），则每亩收益大于元的人数就是每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的人数，女果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的概率为，男果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的概率为，设名女果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的人数为，名男果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的人数为，则，，的所有可能取值为，，，，（1）列联表如下： “蓝莓种植能手”非“蓝莓种植能手”总计男果农女果农总计有的把握认为“蓝莓种植能手”与性别有关．（2）的分布列为：．20.（1）（2），，，，所以的分布列为：．解析:由题意得，．又因为椭圆过点，代入椭圆方程得，所以椭圆的标准方程为．设直线，，，则，直线，得，联立方程组，整理得，则恒成立，，，，所以，当且仅当点在短轴端点处取得等号，故面积的最大值为．（1）．（2）．21.（1）当时，取得极大值，且无极小值．22.（1）（2）解析:由题意得，，当时，的定义域为，，在区间上单调递增，所以无极值；当时，的定义域为，当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，所以当时，取得极大值，且无极小值．若恒成立，即恒成立，设，若，由得，取，使得，则，而，，所以，所以，与矛盾，故，由得，且，当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，因此，故，所以，记，则，（2）．当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，因此，所以当，时，取得最大值．。

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直线与 F1PF2 的平分线垂直，垂足为 Q ，则点 Q 的轨迹曲线 E 的方程________； M 在曲
线
E
上，点
A（8,0），
B（5,6），则
1 2
AM
BM
的最小值________.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤. 17.（本题满分 10 分）
sin
2
的最小值为
C .若 f ( ) a sin(1 ) ln 在区间（0,1）上是增函数，则a 0
D .若 f ( ) sin( ) 2 cos( ),0 ,满足f ( 1) f (1- ),
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则 sin 2 4 5
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
3 ，若 AO
m AB
n AC
，
则 m n ______.
15.已知三棱锥 S ABC 的顶点都在球 O 的球面上，且该三棱锥的体积为 2 3 ， SA 平面 ABC ， SA 4 ， ABC 120o ，则球 O 的体积的最小值为______.
16.设双曲线 x2 16
y2 b2
1 的左右两个焦点分别为 F1 、F2 ，P 是双曲线上任意一点，过 F1 的
2
B .1011
C .1008
D . 336
二、多项选择题本题:共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的
得 0 分.
9.下列结论正确的有（）
A. 若随机变量 ~ N 1， 2 ，P 4 0.79，则P -2 0.21
OP OA OB 成立，求实数的范围.
22.（本题满分 12 分）
函数
f
(x)
e
x ex
1
,
h(
x)
x x 1
（1）判断 x 0 时， f (x) h(x) 的零点个数，并加以说明；
（2）正项数列{an}满足 a1 1, a n e an1 f (a n ) ，
①判断数列 {an } 的单调性并加以证明.
[
2 , )，则的取值范 2
围是(
)
A
.
1 2
,
4 3
B
.
4 3
,2
C
.
1 6
,
1 3
D
.
1 6
,
17 12
8.已知数列{an} 的首项 a1
1，函数
f
(x)
x3
an1 an
cos
n 3
为奇函数，记 Sn
为数
列{an} 的前 n 项之和，则 s2020 的值是(
)
2023 A.
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18.（本题满分 12 分）
数列{an} 的前
n
项和为
Sn
，且满足
Sn
an
n 1 n(n 1)
1,n
1, 2,3......
(1)设 bn
an
1 n(n 1)
，求证：数列{bn} 是等比数列；
(2)设 cn 1 2n1an ，求 cn 的最小值.
19.（本题满分 12 分）在三棱锥 S ABC 中，AB 平面 SAC ，AS SC ，AB 1，AC 2 ，E 为 AB
B. 若
X
~
B10，1 ，则D3X
3
2
22
C.
已知回归直线方程为
y
b
x
10.8
，且
x
4,
y
50
，则
b
9.8
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D. 已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是 3,3,5,3,6,11，若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为 22 10.设抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点为 F ， P 为其上一动点，当 P 运动到（2，t）时， PF 4 ，直线 l 与抛物线相交于 A ， B 两点，点 M (4,1) ，下列结论正确的是（） A .抛物线的方程为 y2 4x B . PM PF 的最小值为 6 C .存在直线 l ，使得 A 、 B 两点关于 x y 6 0 对称 D .当直线 l 过焦点 F 时，以 AF 为直径的圆与 y 轴相切 11.在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB 2 3 ， AD AA1 2 ， P, Q, R 分别是 AB , BB1 , A1C 上的动点，下列结论正确的是（）
②证明：
n1 i 1
ai
2
1 n 2
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1.【答案】C
数学试题解析 2020.3
解析： y 2x 与 y x2 的图像有 3 个交点， x 2x x2, x R 的非空真子集的个数
23 2 6 个
2.【答案】B
解析：考察复数几何意义和椭圆定义
）
A .圆
B .椭圆
C .双曲线
D .抛物线
3. 1 x2
x
1 x
6
展ห้องสมุดไป่ตู้式中的常数项为（
）
A . 35
B . 5
C .5
D . 35
4.1943 年，我国病毒学家黄祯祥在美国发表了对病毒学研究有重大影响的论文“西方马脑
炎病毒在组织培养上滴定和中和作用的进一步研究”，这一研究成果，使病毒在试管内繁殖
已知 ABC 的内角 A , B , C 的对应边分别为 a ， b ， c ，
在① 3 cos C(a cos B b cos A) c sin C ② a sin A B c sin A 2 ③ (sin B sin A)2 sin 2 C sin B sin A
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，当_______时，求 sin A sin B 的最大值.
模型的 y B cos , y k b ,人体肺部结构中包含 y Asin ，y ln 的结构，新
型冠状病毒肺炎是由它们复合而成的,表现为 f ( ) .则下列结论正确的是（）
A .若 1 f f 2 f aa 0，则 f ( ) 为周期函数
2
B
.对于
(0,
2
],
从大型超市门口随机抽取 50 名顾客进行了调查，得到了如下列联表：
男性
女性
总计
刷脸支付
18
25
非刷脸支付
13
总计
50
(1)请将上面的列联表补充完整，并判断是否有 95% 的把握认为使用刷脸支付与性别有关？ (2)从参加调查且使用刷脸支付的顾客中随机抽取 2 人参加抽奖活动，抽奖活动规则如下：
“一等奖”中奖概率为 0.25 ，奖品为10 元购物券 m 张 m 3, 且m N* ，“二等奖”中奖
莱西一中
高密一中
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枣庄三中
数学试题
2020.3
本试卷共 6 页，22 题，全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合 x 2x x2 , x R 的非空真子集的个数为（
）
A.2
B.4
C .6
D .8
2.复数 z 满足 z z c z c 2a, z C, a c 0 ，则 z 对应点的轨迹为（
3.【答案】A
解析： 1 - x2 x 1 6 x 1 6 - x2 x 1 x x x
展开式通项为：
C6k
x6k
1 x
k
x 2C6r
x6r
1 x
r
C6k
1 k x62k C6r
1 r x82r ，
6 2k 0 k 3
令 8 2r
A .对于任意给定的点 P ，存在点 Q 使得 D1P CQ
B .对于任意给定的点 Q ，存在点 R 使得 D1R CQ
C .当 AR A1C 时， AR D1R
D .当 A1C 3A1R 时， D1R // 平面 BDC1
12.新型冠状病毒属于属的冠状病毒，有包膜，颗粒常为多形性，其中包含着结构为数学
b
4a
a 3a2
4a
1 3a
[4a
(
1 )] 3a
2
44 3 33
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当且仅当 a b - 3 时， b 有最大值。注意充分条件是小范围 6
7.【答案】D
解析： 0 x ， wx w , 令wx =t ，画出 y sin t 在
x(ex ex ) x2 1
f
(x)
，即
f
(x) 为偶函数，排除
A
当 x (0,1) 时， x2
1
0，x
0 ，1
ex
e
，
1 e
1 ex
1，
ex ex 0 ，则 f (x) 0 ，即可排除 BD
综上，选 C
6.【答案】C
解析：由韦达定理知： x1 x2 4a, x1x2 3a 2 ，