2019-2020学年东北三省三校高三第一次模拟考试数学(理)模拟试题有答案

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东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中)2020年高三第一次联合模拟考试理科数学试题(含评分细则

2020年高三第一次联合模拟考试理科数学第Ⅰ卷（选择题共 60 分）、选择题：本题共 12小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .A.( , 1) (3,B.( , 1] [3,D.( , 1] [1,4.大约在 20 世纪 30 年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数 n ，如果它是偶数，则除以 2；如果它是奇数，则将它乘以 3 加 1，这样反复运算，最后结果必然是1 ，这个题目在东方称为“角谷猜想” ，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对 700 亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取 n 13，则要想算出结果 1，共需要经过的运算步数是（）A.9B.10C.11D.125.已知 a ln3,b log 3 e,c log e (注：e 为自然对数的底数），则下列关系正确的是（）A.b acB.c b aC.b c aD.a b c6.已知在边长为 3 的等边 ABC 的中，1BD DC ，则 AD AC =( )2A.6B.9C.12D. 61.已知集合 A x 22x，B11 则 C R (A B) ( ) x2.已知复数 za bi(a,b R)， z i1 是实数，那么复数 z 的实部与虚部满足的关系式为 A.a B.a b C.a 2b 0 D.a 2b 0 3.已知是两个不同的平面，直线 m ，下列命题中正确的是（ A.若，则 m ∥ B.若，则 m C.若 m∥，则 ∥D.若 m ，则C.[3, )7.如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， ED 平面 ABCD ， FC 平面 ABCD ，y 轴对称，则2nb n 为数阵从左至右的 n 列，从上到下的 n 行共 n 2个数的和，则数列的前 2020 项和为bnED 2FC 2 ，则四面体 A BEF 的体积为( )1 A.32 B. 3C.14 D.38.已知函数 f (x)sin2x 3 cos2x 的图像向右平移 (02)个单位后，其图像关于A.12B.6C.35 D. 122x9.已知椭圆 2a2yb 21(a b 0) 的右焦点为 F(c,0) ，上顶点为A(0,b) ，直线2 ax 上 c存在一点 P 满足 (FP FA) AP 0 ，则椭圆的离心率取值范围为(1A.[12,1) 2 B.[ 22 ,1) 51 C.[ 52 1,1) D.(0, 2 ]10. 已知定义在 R 上的函数 f (x) ，满足 f(1 x) f (1 x) ，当[1, ) 时f(x)1 x 2,xx12f ( 2 ),x[1,3) [3, )，则函数 f(x) 的图像与函数 g(x)ln x,xln(2 x),x 1的图像在区间 [ 5,7] 上所有交点的横坐标之和为(A.5B.6C.7D.911.已知数 a n 列的通项公式为 a n 2n2 ，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）4 小题，每小题5 分，共 20 分 .把答案填写在答题纸相应位置上13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力 .假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到 2000 次的概率为 85%，充放电循环次数达到 2500 次的概率为 35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了 2000 次充电，那么他的车能够充电 2500 次的概率为 .14.已知函数 f （x ） e x ae x 在［ 0,1］上不单调，则实数 a 的取值范围为.2*15.数列 a n 满足 a 1 1，a n （2S n 1） 2S n 2（n 2,n N *），则 a n =.16.已知函数 f （x ）（x 2 a ）2 3x 2 1 b ，当时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有 .（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可）一）必考题：共 60 分 .17. （本小题满分 12 分）在 ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 2bcosC 2a c （Ⅰ）求 B ；（Ⅱ）若 a 2， D 为AC 的中点，且 BD 3，求 c .18. （本小题满分 12 分）如图，三棱柱 A 1B 1C 1 ABC 中， BB 1 平面 ABC ， AB BC ， AB 2，BC 1，1011 A.20202019 B.20202020 C.2021 1010 D.202112.已知双曲线2y1 的左、右焦点分别为 F 1、F2 ，点3 1 2P 在双曲线上，且 F 1PF 2 120 ，F 1PF 2 的平分线交 x 轴于点 A ，则 PA （）A. 55B.2 5 5C.3 55D. 5二、填空题：本题共 1①a2⑤ 4 个极小值35② a ③ a 1, 2 b 0 22⑥1 个极小值点⑦6 个零点④ a 1, 9 b4⑧4 个零点三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤2或 b 01 （Ⅱ）F 是线段CC1上一点，且直线AF 与平面ABB1A1所成角的正弦值为3，求二3 面角F BA1 A 的余弦值.19. （本小题满分12 分）为了研究55 岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100 万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B 症状：醒的太早；C 症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：数据1：出现A症状人数为8.5 万，出现B症状人数为9.3 万，出现C 症状人数为 6.5万，其中含AB症状同时出现 1.8 万人，AC症状同时出现1万人，BC症状同时出现2万人，ABC症状同时出现0.5 万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5 万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73 万人.（Ⅰ）依据上述数据试分析55 岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如下列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？n(ad bc)2参考公式：K2(a b)(c d)(a c)(b d)20. (本小题满分12 分)1 2 2 1已知以动点P为圆心的⊙ P与直线l: x 相切，与定圆⊙ F：(x 1)2 y2相24 外切.(Ⅰ)求动圆圆心P的轨迹方程C ；(Ⅱ)过曲线C上位于x轴两侧的点M、N (MN 不与x轴垂直)分别作直线l 的垂线，垂足记为M 1、N1 ，直线l 交x轴于点A，记AMM 1、AMN、ANN 1的面积分别为S1、S2、S3 ，且S22 4S1S3 ，证明：直线MN过定点.21. (本小题满分12 分)12已知函数f(x) (x 1) ln( x 1)- ax2 x(a R) .2(Ⅰ)设f (x)为函数f(x) 的导函数，求函数f ( x)的单调区间；(Ⅱ)若函数f(x)在(0, )上有最大值，求实数a 的取值范围.二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任取一题作答 .如果多做，则按所做的第题计分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分 10 分.22. [选修 4-4：坐标系与参数方程 ]Ⅰ）求曲线 C 的普通方程及曲线 D 的直角坐标方程；Ⅱ）设 M 、N 分别为曲线 C 和曲线 D 上的动点，求 MN 的最小值 .23. [选修 4-5：不等式选将 ]设函数 f （x ） x 2 x 3（Ⅰ）求不等式 f （x ） 9的解集；（Ⅱ）过关于 x 的不等式 f （x ） 3m 2 有解，求实数 m 的取值范围一模答案、填空题1, n 113. 14. 15. a n2 16. ①⑥、② ,n 22n 1 2n 3⑤、③⑦、④⑧均可三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得 2sin BcosC 2sin A sinC ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.2⋯分⋯在直角坐标系 xOy 中，参数方程x cos （其中 y sin为参数）的曲线经过伸缩变换2x得到曲线 C ，以原点 O 为极点， yx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 D 的极坐标方程为 sin （3 10 2又由sin A sin(B C) sin BcosC cosB sin C ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.4⋯分⋯得2cos B sin C sinC 0 ，因为0 C ，所以sinC0，所以cosB1．因为0 B ，所以2．2B．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.6⋯分⋯3uuur uuur uuur（Ⅱ）因为D 为AC 的中点，所以BA BC2BD ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.8⋯分⋯uuu r uuur 2 uuur 2所以BC)2 (2BD)2，即a2 2 c ac12，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯0 ⋯分因为a 2，解方程c22c 8 0，得c 4 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分18. 解析：(I )连结AB1交A1B于O，连结EO , OC11Q OA OB, AE EB, OE BB1, OE //BB1, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯分⋯21又DC1BB1，DC1// BB1,2OE/ /DC 1 ，因此，四边形DEOC 1为平行四边形，即ED / /OC1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.2⋯分⋯Q OC1 面C1AB, ED 面C1AB, DE // 平面C1BA1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.5⋯分⋯z(II )建立空间直角坐标系B xyz ，如图过F 作FH BB1 ，连结AHQ BB1 面ABC,AB 面ABC, AB BB1Q AB BC,BC I BB1, AB 面CBB1C1Q AB 面BAA1 B1 , 面BAA1B1 面CBB1C1,Q FH 面CBB1C1, FH BB1, 面BAA1B1 I 面CBB1C1 BB1, FH 面BAA1B1，即FAH 为直线AF 与平面ABB1 A1 所成角，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.7⋯分⋯11记为，sin , AF 3,AF 3在Rt ACF 中，5 AC 2 CF 2 AF 2 CF 2 9, CF 2,uuur uuurF(0,2,1), A1(2,3,0), BF (0,2,1), BA1 (2,3,0),20．解析：ur 设平面 BAC 1的法向量 m （x, y,z ），ur m ur m uuur BF 2y uuur BA 1 2x3y 0 ur ，取 y 2,m ( 3,2, 4) 0 平面 BAA 1 的法向量 n (0,0,1) ，⋯⋯ur r |cos m,n |4 ⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分 29 1因此，二面角 F BA 1 A 的余弦值 429 .⋯29 19. 解析：设 A ｛出现 A 症状的人｝、 B 示有限集合元素个数）根据数 .1⋯0 ⋯分.1⋯2分⋯出现 B 症状的人｝、 C ｛出现 C 症状的人｝（ card 表 1 可知card AI B 1.8,card AI C 1,card BI C 2,card AI BI C 0.5，所以 card AUBUC card A card B card card AI B card AI C card B I C card=8.5+9.3+6.5 1.8 1 0.5 20 1.3 6.2 0.5 40.51.5失眠人数（万）不失眠人数（万）患病人数（万） 5 7 12 不患病人数（万）15 73 882080100得患病总人数为 20 万人，比例大约为 20%.⋯⋯.4⋯分⋯ ⋯分⋯.9⋯分22100 5 73 15 7k 24.001 3.841.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分12 88 80 20有 95%的把握说明失眠与中风或心脏病存在 “强关联 ” . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分Ⅰ）设P x,y ，e P 半径为 R ，则R x 1, PF 21R 1 ，所以点 P 到直线 x2 1的距离与到 F 1,0 的距离相等，故点 P 的轨迹方程 C 为 y 2 4x . .4⋯分⋯Ⅱ）设 M x 1, y 1 N x 2, y 2 ，则 M 1 2,y 11 N 12,y2 设直线 MN : x ty n t 22 0 代入 y 2 4x 中得 y 2 4ty 4n 0 y 1 y 2 4t, y 1y 2 4n 0. .6⋯分⋯Q S 1 2 x 1y 1 、 S 3 x 2 4S 1S 31 ty 1 n2ty 2n 1 2y 1y 221t y 1y 2 n2t y 1y2n22211 4nt 24t2nn22x12x 1 2 y 1y 24n214n222t 2 n 1 4n2 又 S 2 11 n y 1 y2 1 1 n y122 2 2 22 2 1 1 2 1 S 22 n 16t 2 16n 4 n 24 2 2 2 S 22 4S 1S 3 8nt 2 4 n 1 t 2 2n2y 24y 1y 22t 2 n . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯0 ⋯分21 1⋯⋯nn⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分22 .⋯⋯.8⋯分⋯直线 MN 恒过 1,0 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分 221．解析：（Ⅰ） f x ln x 1 ax2 x ．令 h xln x 1 ax ，1 fxhxa ； .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯分⋯x 11o当 a0时，h x 0 ，f 'x在 1, 上递增，无减区间hx 0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.3⋯分⋯2o当a0时，令 hx011 x 1，a令 h x0x11a所以， f 'x 在 1,11 上单调递增，在 11, 上单调递减； .⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯.5⋯aa分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当 a 0 时，f ' x在 0, 上递增， f ' xf ' 0 0在 0,上递增，无最大值，不合题意；x所以，当x0时，h x 2 x 1 ax 2 x 1 a x 1 x 12ax1．取t4211，则t 1 ，且h t t 1 2 a t 10．a a又因为h11h0 0，所以由零点存在性定理，存在x01 1,t ，使得a ah x00；⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分当x0, x0时，h x0 ，即f x 0；当x x0 ,时，h x0 ，即f x0；所以， f x 在0, x0上单调递增，在x0 ,上单调递减，在0,上有最大值f x0 ．综上，0a1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分在第22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时用2．B．铅．笔．在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

2020年东北三省三校高三第一次模拟考理科数学试卷含解析

D.VS
第 H 卷（非选择题共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上． 13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大．动力
蓄电池技术作为新能源、汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源、汽车发展的主要动力．假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为 85字号，充放电循环次数达到2500次的概率为 35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了 2000次充电，那么他的车能够充电 2500次的概率为
f(x
）＝
I ri
斗
一 lx-21,xξ［1,3)
／工 ← 1\
\2f（丁），巾，＋∞）
’ 则函数
f(x ）的图象与函数
rlnx,x二三1 g(x)=j＼ln(2,--x）以1的图象
在区间［-5,7］上所有交点的横坐标之和为
A. 5
B. 6
C. 7
11.己知数列｛a＂｝的通项公式为ι ＝ 2η十2，将这个数列中的项摆
AB_lBC,AB = 2,BC二 l,BB I 二3,D是CC1 的中点，
E是AB 的中点．
C I ）证明：DE／／平面C1 BA1 ;
t C II) F是线段CC1 上一点，且直线 AF与平面ABB1 A1 所成角的正弦值为，求二面角F BAi A的余 A
弦值．
D
C1
19.（本小题满分12分）为了研究 55 岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状， A 症状：人睡困难；B症状：醒得太早；C症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：数据l：出现A 症状人数为8.5万，出现B 症状人数为9.3万，出现C症状人数为6. 5万，其中含 AB 症状同时出现1.8万人，AC症状同时出现1 万人，BC症状同时出现2万人，ABC症状同时出现0.5万人；数据2：同时有失眠症状和忠心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人．

【精品】2019年东北三省三校(辽宁省实验中学)高考数学一模试卷(理科)【解析版】

2019 年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁
省实验中学）高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1．（5 分）复数（1﹣i）（3+i）的虚部是（）
A．4
B．﹣4
C．2
D．﹣2
2．（5 分）若集合 A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|log3x≤1}，则 A∩B＝（）
第 1 页（共 24 页）
A．0
B．﹣1
C．1
D．2
8．（5 分）如图在直角坐标系 xOy 中，过坐标原点 O 作曲线 y＝ex 的切线，切点为 P，过点
P 分别作 x，y 轴的垂线垂足分别为 A，B，向矩形 OAPB 中随机撒一粒黄豆，则它落到
阴影部分的概率为（）
A．
B．
C．
D．
第 2 页（共 24 页）
）| ＝，
设“向矩形 OAPB 中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分”为事件 A，由几何概型的面积型可得：
P（A）＝故选：A．
＝＝，
第 9 页（共 24 页）
9．（5 分）已知 α，β 是不重合的平面，m，n 是不重合的直线，则 m⊥α 的一个充分条件是
（）
A．m⊥n，n⊂α
B．m∥β，α⊥β
0.01 的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？
近视
不近视
足够的户外暴露时间
不足够的户外暴露时间
附：K2＝
P（K2≥k0）
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828

2019-2020年高三第一次模拟考试数学(理)试题含答案(III)

2019-2020年高三第一次模拟考试数学（理）试题含答案(III)2016．03注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合{}{}=20,A x x B x x a -<=<，若AB A =，则实数a 的取值范围是（A ）(,2]-∞- （B ）[2,)-+∞ （C ）(,2]-∞ （D ）[2,)+∞ （2）若复数z 满足iii z -=+2，则复数z 的模为（A ）10 （B ）10 （C ）4 （D ）3 （3）下列函数中，在(0,)+∞上单调递减，并且是偶函数的是（A ）2y x = （B ）3y x =- （C ）ln y x =- （D ）2x y =（4）双曲线的一个顶点为(2,0)，一条渐近线方程为y =，则该双曲线的方程是（A ）22148x y -= （B ） 22184y x -= （C ）22124x y -= （D ）22142x y -= （5）给出下列说法：①命题“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“0,x R ∃∈320010x x -+>”； ②若“p q ∧”为假命题，则,p q 均为假命题；③“三个数,,a b c 成等比数列”是“b = 其中不正确的个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（6）已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题：①α∥βl m ⇒⊥；②αβ⊥⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒αβ⊥；④l m αβ⊥⇒⊥，其中正确的是（A ）①②③ （B ）②③④ （C ）②④ （D ）①③（7）记定义在区间[,]a b 上的连续函数()y f x =，如果存在0[,]x a b ∈，使得()()baf x dx f x b a=-⎰ 成立，则称0x 为函数()f x 在[,]a b 上的“平均值点”.那么函数3()2f x x x =+在[1,1]-上“平均值点”的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（8）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形.若该几何体的体积为V ，并且可以用n 个这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体，则,V n 的值是（A ）32,2V n ==（B ）64,33V n == （C ）32,63V n ==（D ）16,4V n == （9）已知曲线()sin (0)f x x x ωωω=>的两条相邻的对称轴之间的距离为2π，且曲线关于点0(,0)x 成中心对称，若0[0,]2x π∈，则0x =（A ）12π （B ）6π （C ）3π （D ）512π （10）已知在三棱锥P ABC -中，1PA PB BC ===,AB =,AB BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（A（B ）3π （C）3（D ）2π （11）在平面直角坐标系xOy 中，已知⊙C ：22(1)5x y +-=，点A 为⊙C 与x 轴负半轴的交点，过A 作⊙C 的弦AB ，记线段AB 的中点为M ，若O A O M =，则直线AB的斜率为（A ）2- （B ）12（C ）2 （D ）4 （12）已知函数32()f x x x x a =--+的图象与x 轴只有一个交点，则实数a 的取值范围是（A ）1(,1)(,)9-∞--+∞ （B ）5(,1)27- （C ）(,1)-∞（D ）5(,)(1,)27-∞-+∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题～（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答.第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答. 二．填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分. （13）若1,2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为_________.（14）已知在等差数列{}n a 中，12017,a a 为方程210160x x -+=的两根，则210092016a a a ++=_______________.（15）设变量,x y 满足约束条件220,420,0,0,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩目标函数(,z abx y a b =+均大于0)的最大值为8，则a b +的最小值为_____________.（16）已知12,F F 是椭圆2214x y +=的两个焦点，,A B 分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点P 在线段AB 上，则12PF PF ⋅的最小值为________________. 三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且21232621,4a a a a a +==.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设21222log log log n n b a a a =++⋅⋅⋅+，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . （18）（本小题满分12分）已知A B C ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，(,2)sin()am c b A B =-+，(sin 2,1)n C =，且满足0m n ⋅=.（I ）求A ∠的大小；（II ）若1a =，求ABC ∆周长的取值范围. （19）（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是菱形，PA ⊥平面ABCD ，AC BC =，,E F 分别是,BC PC 的中点.（I ）证明：平面AEF ⊥平面PAD ；（II ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为2，求二面角F AE B --的余弦值.（20）（本小题满分12分）已知函数2()ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值. （I ）求函数()f x 的单调区间；（II ）若关于x 的方程5()2f x x b =-+在区间(0,2)有两个不等实根，求实数b 的取值范围；（III ）对于n N +∈，证明：22222341ln(1)123n n n ++++⋅⋅⋅+>+.（21）（本小题满分12分）从抛物线22x py Γ=：(p 为常数且0p >)外一点P 引抛物线Γ的两条切线PA 和PB (切点为A 、B )，分别与x 轴相交于点C 、D ，若AB 与y 轴相交于点Q .（I ）求证：四边形PCQD 是平行四边形；（II ）四边形PCQD 能否为矩形？若能，求出点Q 的坐标；若不能，请说明理由. 请考生在第（22）～（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 为⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BC ，OC 交⊙O 于点E ，AE 的延长线交BC 于点D .（I ）求证：2CE CD CB =⋅；（II ）若2AB BC ==，求CE 和CD 的长.（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 232,21（t 为参数）.以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρθ=.（I ）求出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（II ）设直线l 与曲线C 的交点为,A B ，求AB 的值. （24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()212f x x x =--+. （I ）解不等式:()0f x >；（II ）若()321f x x a ++≥-对一切实数x 均成立,求a 的取值范围.大庆市高三年级第一次教学质量检测数学试题参考答案及评分标准（理科）2016.03说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一．选择题二．填空题（13）34π；（14）15；（15）2；（16）115-. 三. 解答题（17）（本小题满分12分）解: （I ）设数列{}n a 的公比为q ，由23264a a a =得225111()4a q a q a q =⋅，∴214q =. ……………………………….2分由已知0q >，∴12q =，由1221a a +=得112a =. …………………………….4分故数列{}n a 的通项公式为12n n a =. ……………………………………….6分（II ）21222log log log n n b a a a =++⋅⋅⋅+(1)(12)2n n n +=-++⋅⋅⋅+=-，……..9分∴12112()(1)1n b n n n n =-=--++， ∴121111111122[(1)()()]22311n n nS b b b n n n =++⋅⋅⋅+=--+-+⋅⋅⋅+-=-++. ……12分（18）（本小题满分12分）解：（I ）∵0m n ⋅=，∴sin 220sin()aC c b A B ⋅+-=+， …………………2分∴2sin cos 20sin aC C c b C⋅+-=，即2cos 20a C c b +-=，…………………3分由余弦定理得：2222202a b c a c b ab+-⋅+-=， …………………………………4分整理得222+b c a bc -=，∴1cos 2A =，∵0A π<<，∴=3A π. ……………6分（II ）∵1cos 2A =，∴sin A =， …………………………………7分由正弦定理得：sin sin sin b c a B C A ====， …………………………8分 ABC ∆的周长1sin )1sin()]3332sin()16l a b c B C B B B ππ=++=++=+++=++…………………………………10分 ∵203B π<<，∴5666B πππ<+<,∴1sin()126B π<+≤, …………………11分因此23l <≤，故ABC ∆周长的取值范围为(2,3]. …………………12分（19）（本小题满分12分）解：（I ）由四边形ABCD 是菱形，AC BC =，可得ABC ∆为正三角形.，∴AE B C ⊥. 又∵BC ∥AD ，∴AE AD ⊥ ……………………………………1分 ∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AE ， ∵PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，且PA AD A =，∴AE ⊥平面PAD ，而AE ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PAD . …………………4分（II ）设2AB =，H 为PD 上任意一点，连接,AH EH ，由（I ）知AE ⊥平面PAD ，则EHA ∠为EH 与平面PAD 所成的角. …………5分在Rt EHA ∆中，AE =∴当AH 最短时，EHA ∠最大，即当AH PD ⊥时，EHA ∠最大，此时tan 2EHA ∠=. …………………6分∴AH 2AD =，∴45ADH ο∠=，∴2PA =. ………………8分由（I ）知,,AE AD AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 又,E F 分别是,BC PC 的中点，∴(0,0,0)A，1,0)B -，,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P，E，1,1)2F . ………………9分 ∴(3,0,0)AE =，31(,1)2AF =. 设平面AEF 的法向量为111(,,)m x y z =，则0,0,m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴11110,10,2x y z =++= ………10分取11z =-，则(0,2,1)m =-为平面AEF 的一个法向量. 又PA ⊥平面ABC ，∴(0,0,1)n =为平面ABE 的一个法向量.∴cos ,5mn m n m n⋅===⨯，故所求二面角的余弦值为………………………12分（20）（本小题满分12分）解：（I ）由已知得112()()()21x x a x a f x x x a x a-+-+'=--=++， ……………1分 ∵(0)0f '=，∴10aa-=，∴1a =. 因此2()ln(1)(1)f x x x x x =+-->-， ………………………2分于是32()12(1)(1)2()(1)11x x x x x f x x x x -+-+-+'==>-++，由()0f x '>得10x -<<；由()0f x '<，得0x >，∴()f x 的单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞. …………………4分（II ）令253()()()ln(1),(0,2)22g x f x x b x x x b x =--+=+-+-∈，则21345()2122(1)x x g x x x x +-'=-+=-++，令()0g x '=，得1x =或54x =-（舍），当01x <<时，()0g x '>；当12x <<时()0g x '<，即()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减. ………………………7分方程5()2f x x b =-+在区间(0,2)有两个不等实根等价于函数()g x 在(0,2)上有两个不同的零点.∴(0)0,(1)0,(2)0g g g <⎧⎪>⎨⎪<⎩即0,1ln 20,2ln 310b b b -<⎧⎪⎪+->⎨⎪--<⎪⎩亦即0,1ln 2,2ln 3 1.b b b >⎧⎪⎪<+⎨⎪>-⎪⎩∴1ln 31ln 22b -<<+，故所求实数b 的取值范围为1ln 31ln 22b b ⎧⎫-<<+⎨⎬⎩⎭. (9)分（III ）由（I ）可得，当0x ≥时2ln(1)x x x +≤+（当且仅当0x =时等号成立），设1x n =，则2111l n (1)n n n +<+，即211ln n n n n ++< ① ………………………10分 ∴222222334411ln ,ln ,ln ,,ln 112233n n n n++>>>⋅⋅⋅>，将上面n 个式子相加得：222223412341ln ln ln ln ln(1)123123n n n n n +++++⋅⋅⋅+>+++⋅⋅⋅+=+, 故22222341ln(1)123n n n++++⋅⋅⋅+>+. ………………………12分（21）（本小题满分12分）解：（I ）由2:2G x py =得22x y p=，∴x y p '=. ………………………1分设221212(,),(,)22x x A x B x p p ，则直线PA 的方程为2111()2x x y x x p p-=-，①直线PB 的方程为2222()2x x y x x p p-=- ②， ………………………3分由①、②解得1212,22x x x x x y p +==，∴P 点坐标为1212(,)22x x x xp+. ……………………4分设点(0,)Q t ，则直线AB 的方程为y kx t =+. ………………………5分由22,x py y kx t⎧=⎨=+⎩得2220x pkx pt --=，则12122,2x x pk x x pt +==-， ∴(,)P pk t -，∴线段PQ 被x 轴平分，即被线段CD 平分. ………………………7分在①中，令0y =，解得12x x =，∴1(,0)2x C ；同理得2(,0)2xD ，∴线段CD 的中点坐标为12(,0)4x x +，即(,0)2pk. ………………………8分又∵直线PQ 的方程为2ty x t pk=-+，∴线段CD 的中点(,0)2pk 在直线PQ 上，即线段CD 被线段PQ 平分，因此四边形PCQD 是平行四边形. ………………………9分（II ）由（I ）得四边形PCQD 是平行四边形，要使四边形PCQD 是矩形，必须使得PQ CD ===2p t =.∴当点Q 为(0,)2p（即抛物线G 的焦点）时，四边形PCQD 为矩形. ……………………12分（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲证明：（I ）连接BE ，∵BC 为⊙O 的切线，∴∠90ABC O=,CBE A AEO CED ∠=∠=∠=∠. (3)分在CDE ∆和CEB ∆中，,CBE CED C C ∠=∠∠=∠，∴CDE ∆∽CEB ∆， ∴CE CD CB CE=，∴2CE CD CB =⋅. ……………………6分（II）依题意OC =1CE OC OE =-,…8分由（I ）得2CE CD CB =⋅，∴21)2CD =，∴3CD = ……………………10分（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（I ）由直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 232,21消去参数t 得普通方程为0323=-+-y x . (3)分由ρθ=，得2sin ρθ=，从而有22x y +=，所以曲线C的直角坐标方程为22(3x y +=. …………………………6分（II ）曲线C是圆心为，半径r =.圆心到直线l的距离1d ==， …………………8分所以AB==…………………………10分（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（I）3,2,1()31,2,213,.2x xf x x xx x⎧⎪-+≤-⎪⎪=---<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩……………………………3分当2x≤-时，由()0f x>得30x-+>，解得2x≤-，…………………………4分当122x-<<时，由()0f x>得310x-->，解得123x-<<-，………………5分当12x≥时，由()0f x>得30x->，解得3x>，…………………………6分综上，得()0f x>的解集为1,33x x x⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或. ……………………………7分（II）∵()3221221224f x x x x x x++=-++=-++()12(24)5x x≥-++=. …………………………8分∴由题意可知15a-≤，解得46a-≤≤，……………………………9分故所求a的取值范围是{}46a a-≤≤. …………………………10分。

2019年东北三省三校第一次联合考试理科数学试题---含答案

2019年三省三校高三第一次联合模拟考试理科数学答案一．选择题1-6 DBCABB 7-12 DACDCC二．填空题13. 3 14. 乙 15. 78-16. 4π 三．解答题17. 解：（Ⅰ）1()2cos 21sin(2)1226f x x x x =++=++π 2分 ∵[0,]2x π∈，∴72666πππ≤+≤x 4分∴1sin(2)1226π≤++≤x ∴函数()f x 的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 6分（Ⅱ）∵3()sin(2)162π=++=f A A ∴1sin(2)62π+=A ∵0π<<A ，∴132666πππ<+<A ，∴5266ππ+=A ，即3π=A8分由正弦定理，2a AB ==，∴sin B = 2034B B ππ<<∴=9分∴sin sin()C AB =+=sin sin c bC B ==，∴2=b11分∴1sin 2∆==ABC S bc A 12分 18. 解：（Ⅰ）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件A ，则1131241()2C C P A C == 故随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视的概率为12. 4分（Ⅱ）根据以上数据得到列联表：近视 8分所以2K 的观测值2200(40406060)8.000 6.635(4060)(6040)(4060)(6040)k ⨯⨯-⨯==>++++，故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系.12分 19.解：（Ⅰ）在BDC ∆中，延长BF 交CD 于点M ， 13OF OD =,BDC ∆是等边三角形 F ∴为BDC ∆的重心13MF BM ∴= 2分//EF 平面ACD , EF ⊂平面ABM ABMACD AM =，且面面， //EF AM ∴13AE AB ∴=,即点E 为线段AB 上靠近点A 的三等分点. 4分（Ⅱ）等边BCD ∆中，O D B C ⊥，OD BCD ⊂平面，ABC BCD ⊥面面，交线为BC ，OD ABC ∴⊥平面 6分如图以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -点A 在平面BEF 上，所以二面角D FB E --与二面角D FB A --为相同二面角.设2AB =,则OD OA =，(0,0,(0,1,0)3F A B3(0,1,),(3,1,0)3BF BA ∴=-=- 设平面AFB 的法向量u (,,)x y z =，则⎧⎨⎩u u 00⋅=⋅=BF BA 即030y z y ⎧-+=⎪⎨-=，取1x =，则u (1,)= 9分又OA ⊥平面OBD ，(3,0,0)OA =,10分则cos <u ,OA >=u u 13== 又二面角D FB E --为钝二面角，所以余弦值为 . 12分 20.解：（Ⅰ）设),(00y x P 0(2)x ≠±，则220014x y +=，因为)0,2(),0,2(B A -，则4144142220202020000021-=--=-=-⋅+=x x x y x y x y k k 2分(,)Q x y 设(2)x ≠±所以4422212243λλ-==-=-⋅+=k k x y x y x y k k ，整理得 1422=+λy x )2(±≠x . 所以，当4=λ时，曲线2C 的方程为 )2(422±≠=+x y x . .4分（Ⅱ）设),(),,(2211y x F y x E . 由题意知，直线AM 的方程为：26-=y x ，直线BM 的方程为：22+-=y x . 由（Ⅰ）知，曲线2C 的方程为1422=+λy x )2(±≠x ， .7分联立 )2(442622±≠⎩⎨⎧=+-=x y x y x λλ，消去x ，得2(91)60y y λ+-λ=，得 1961+=λλy 联立)2(442222±≠⎩⎨⎧=++-=x y x y x λλ，消去x ，得2(1)20λ+-λ=y y ，得 122+=λλy 9分 2212111111sin 91222211sin 2222MA MF AMF y y MA MF S S MB ME MB ME BME y y ∠--+=====+∠--λλ 10分设918()911g λ+λ==-λ+λ+，则()g λ在[1,3]上递增又(1)5,(3)7g g ==，OA ⋅OA12S S ∴ 的取值范围为[]5,7 12分21.解：（Ⅰ）当1a =时,()()()x h x f x g x e x -=+=+，()1,x h x e -'=-+令()0,h x '=解得0x =()=(0)1h x h ∴=极小值 4分（Ⅱ）设1()(1)ln(1)e ()e ln(1)e t t f t t g t at t ϕ+=--++--=-++-，令1(1)t x x +=≥，()e ln e ,1x F x ax x a x =-+-+≥，1'()e x F x a x =-+，设1()()e x t x F x a x '==-+，21()e x t x x'=-，由1x ≥得，2211,01x x e e x≥∴<≤≥Q 21'()e 0x t x x =->，()t x 在(1,)+∞单调递增，即()F x '在(1,)+∞单调递增，(1)1F e a '=+-，① 当e 10a +-≥，即e 1a ≤+时，(1,)x ∈+∞时，()(1)0F x F ''>≥，()F x 在(1,)+∞单调递增,又(1)0F =，故当1x ≥时，关于x 的方程e ln e 0x ax x a -+-+=有且只有一个实数解. 8分②当10e a +-<，即1a e >+时，1(1)0,'(ln )0ln F F a a a a a a'<=-+>-=，又ln ln(1)1a e >+> 故00(1,ln ),()0x a F x '∃∈=，当0(1,)x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，又(1)0F =，故当(]01,x x ∈时，()0F x <，在[)01,x 内，关于x 的方程e ln e 0x ax x a -+-+=有一个实数解1x =. 10分又0(,)x x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增，且22()ln 1a a F a e a a a e e a =+-+->-+，令2()1(1)x k x e x x =-+≥， ()()2x s x k x e x '==-,()e 2e 20x s x '=->->,故()k x '在()1,+∞单调递增，又(1)0k '>故()k x 在()1,+∞单调递增，故()(1)0k a k >>，故()0F a >，又0ea a x >>，由零点存在定理可知，101(,),()0x x a F x ∃∈=，故在()0,x a 内，关于x 的方程e ln e 0x ax x a -+-+=有一个实数解1x .此时方程有两个解. 综上，e 1a ≤+. 12分22.解：（Ⅰ）22324103x x x y y αα⎧=+⎪∴-++=⎨=⎪⎩2分所以曲线C 的极坐标方程为24cos 10ρρθ-+=.4分（Ⅱ）设直线l 的极坐标方程为[)11(,0,)R θθρθπ=∈∈，其中1θ为直线l 的倾斜角，代入曲线C 得214cos 10,ρρθ-+=设,A B 所对应的极径分别为12,ρρ. 21211214cos ,10,16cos 40∴+==>∆=->ρρθρρθ7分 1212OA OB +=+=+=ρρρρ8分 1cos θ∴= 满足0∆>16πθ∴=或56π， l 的倾斜角为6π或56π，则1tan k θ==10分 23.解：（Ⅰ）因为a x a x x a x x f 444)(=--≥+-=，所以 a a 42≤，解得 44≤≤-a .故实数a 的取值范围为]4,4[-.4分（Ⅱ）由（1）知，4=m ，即424x y z ++=. 根据柯西不等式 222)(z y y x +++[][]2222221)2(4)(211+-+⋅+++=z y y x []21162)(42112=+-+≥z y y x 8分等号在z y y x =-=+24即884,,72121x y z ==-=时取得. 所以222)(z y y x +++的最小值为2116. 10分。

2019届东北三省三校高三第一次联合模拟考试理科数学试题及答案

东北三省三校高三第一次联合模拟考试理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}21x x A =-<<，{}220x x x B =-≤，则AB =（）A ．{}01x x <<B ．{}01x x ≤<C ．{}11x x -<≤D ．{}21x x -<≤ 2、复数212ii+=-（） A ．()22i+ B ．1i + C ．iD ．i -3、点()1,1M 到抛物线2y ax =准线的距离为2，则a 的值为（） A ．14 B ．112-C ．14或112-D ．14-或1124、设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n =（）A ．6B ．7C ．10D ．95、执行如图所示的程序框图，要使输出的S 值小于1，则输入的t 值不能是下面的（）A ．2012B ．2013C ．2014D ．2015 6、下列命题中正确命题的个数是（） ①对于命题:p R x ∃∈，使得210x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，均有210x x +->②p 是q 的必要不充分条件，则p ⌝是q ⌝的充分不必要条件 ③命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题④“1m =-”是“直线1:l ()2110mx m y +-+=与直线2:l 330x my ++=垂直”的充要条件A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A ．6B ．8C ．10D ．128、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，焦点F 到一条渐近线的距离为d ，若F 3dB ≥，则双曲线离心率的取值范围是（） A ．(1,2⎤⎦B ．)2,⎡+∞⎣C ．(]1,3D ．)3,⎡+∞⎣9、不等式组2204x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的点集记为A ，不等式组220x y y x-+≥⎧⎨≥⎩表示的点集记为B ，在A 中任取一点P ，则P∈B 的概率为（）A ．932 B ．732 C ．916D ．71610、设二项式12nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭（n *∈N ）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为n a ，n b ，则1212n na a ab b b ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+（）A ．123n -+B ．()1221n -+C ．12n +D ．111、已知数列{}n a 满足3215334n a n n m =-++，若数列的最小项为1，则m的值为（）A ．14B ．13C ．14-D ．13-12、已知函数())()()0ln 10x f x x x ≥=⎪--<⎩，若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点，则k 的取值范围为（）A ．()0,1B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、向量a ，b 满足1a =，2b =，()()2a b a b+⊥-，则向量a 与b 的夹角为．14、三棱柱111C C AB -A B 各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，C 120∠A B =，C C A =B =，14AA =，则这个球的表面积为．15、某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有种不同选课方案（用数字作答）．16、已知函数()()sin 2cos y x x πϕπϕ=+-+（0ϕπ<<）的图象关于直线1x =对称，则sin 2ϕ= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）已知C ∆AB 的面积为2，且满足0C 4<AB⋅A ≤，设AB 和C A 的夹角为θ． ()1求θ的取值范围；()2求函数()22sin 3cos 24f πθθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭的取值范围．18、（本小题满分12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表1和频率分布直方图2．()1频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名市民的平均年龄；()2在抽出的100名市民中，按分层抽样法抽取20人参加宣传活动，从这20人中选取2名市民担任主要发言人，设这2名市民中“年龄低于30岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望． 19、（本小题满分12分）如图，四棱锥CD P -AB 的底面是边长为1的正方形，PA ⊥底面CD AB ，E 、F 分别为AB 、C P 的中点．()I 求证：F//E 平面D PA ；()II 若2PA =，试问在线段F E 上是否存在点Q ，使得二面角Q D -AP -的余弦值为55？若存在，确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由．20、（本小题满分12分）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F ，点()2,2A 在椭圆上，且2F A 与x 轴垂直．()1求椭圆的方程；()2过A 作直线与椭圆交于另外一点B ，求∆AOB 面积的最大值． 21、（本小题满分12分）已知a 是实常数，函数()2ln f x x x ax =+． ()1若曲线()y f x =在1x =处的切线过点()0,2A -，求实数a 的值；()2若()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <）， ()I 求证：102a -<<； ()II 求证：()()2112f x f x >>-．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在C ∆AB 中，C 90∠AB =，以AB 为直径的圆O 交C A 于点E ，点D 是C B 边的中点，连接D O 交圆O 于点M ． ()I 求证：D E 是圆O 的切线；()II 求证：D C D C D E⋅B =M⋅A +M⋅AB ．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是212x t m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． ()I 求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；()II 设点(),0m P ，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且1PA ⋅PB =，求实数m 的值． 24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()212f x x x =--+． ()I 解不等式()0f x >；()II 若0R x ∃∈，使得()2024f x m m +<，求实数m 的取值范围．东北三省三校三校第一次联合模拟考试理科数学试题参考答案一．选择题：1.B2.C3.C4.B5.A6.B7.C8.A9.A 10.C 11.B 12.C 二．填空题：13. 9014. 64π 15. 84 16. 54-三．解答题：17.解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，则由已知：2sin 21=θbc ，4cos 0≤<θbc ， 4 分可得1tan ≥θ，所以：)2,4[ππθ∈． 6 分（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+-πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭． 8 分)2,4[ππθ∈ ，∴)32,6[32πππθ∈-，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=．所以：函数)(θf 的取值范围是]3,2[12 分18.解：（1）由表知：①，②分别填300.0,35.补全频率分布直方3 分年龄(岁)平均年龄估值为:5.33)1.0853.07535.0652.05505.045(21=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（岁）6 分(2)由表知:抽取的20人中,年龄低于30岁的有5人,X 的可能取值为0,1,2 3821)0(222015===C C XP 3815)1(22011515===C C C X P 382)2(22025===C C X P 9 分X的分布列为X12P3821 3815 38210 分期望2138223815138210)(=⨯+⨯+⨯=X E （人）12 分19.证明: (Ⅰ)取PD 中点M , 连接MA MF ,, 在△CPD 中, F 为PC 的中点, DC MF 21//∴,正方形ABCD 中E 为AB 中点,DC AE 21//∴,MF AE //∴ 故：EFMA为平行四边形 AM EF //∴2 分又⊄EF 平面PAD,⊂AM 平面PAD∴//EF 平面PAD4 分(Ⅱ) 如图：以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系:yz111(0,0,2),(0,1,0),(1,1,0),(0,,0),(,,1)222P B C E F由题易知平面PAD 的法向量为)0,1,0(=n ， 6 分假设存在Q 满足条件：设11,(,0,1),(,,)222EQ EF EF Q λλλ== ,]1,0[∈λ1(0,0,2),(,,),22AP AQ λλ==设平面PAQ 的法向量为(,,)m x y z =,10(1,,0)220x y z m z λλλ⎧++=⎪⇒=-⎨⎪=⎩10 分∴21,cos λλ+-< 由已知：5512=+λλ解得：21=λ 所以：满足条件的Q存在，是EF中点。

东北三省三校2019届高三下学期3月一模考试数学(理)试卷.doc

2019年三省三校高三第一次联合模拟考试理科数学答案一．选择题1-6 DBCABB 7-12 DACDCC 二．填空题13. 3 14. 乙 15. 78- 16. 4π 三．解答题17. 解：（Ⅰ）1()2cos 21sin(2)1226f x x x x =++=++π2分∵[0,]2x π∈，∴72666πππ≤+≤x4分∴1sin(2)1226π≤++≤x ∴函数()f x 的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．6分（Ⅱ）∵3()sin(2)162π=++=f A A ∴1sin(2)62π+=A∵0π<<A ，∴132666πππ<+<A ，∴5266ππ+=A ，即3π=A8分由正弦定理，2aA B ==，∴sin B =2034B B ππ<<∴=9分 ∴sin sin()C AB =+=，sin sin c bC B==，∴2=b 11分∴13sin 22∆==ABC S bc A12分18. 解：（Ⅰ）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件A ，则1131241()2C C P A C == 故随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视的概率为12.4分（Ⅱ）根据以上数据得到列联表：8分所以2K 的观测值2200(40406060)8.000 6.635(4060)(6040)(4060)(6040)k ⨯⨯-⨯==>++++，故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系. 12分19.解：（Ⅰ）在BDC ∆中，延长BF 交CD 于点M ，13OF OD =,BDC ∆是等边三角形F ∴为BDC ∆的重心13MF BM ∴=2分//EF 平面ACD , EF ⊂平面ABM ABMACD AM =，且面面，//EF AM ∴13AE AB ∴=,即点E 为线段AB 上靠近点A 的三等分点.4分（Ⅱ）等边B C D ∆中，O D B C⊥，OD BCD ⊂平面，ABC BCD ⊥面面，交线为BC ，OD ABC ∴⊥平面 6分如图以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -点A 在平面BEF上，所以二面角D FB E --与二面角D FB A --为相同二面角. 设2AB =,则OD OA ==(0,0,(0,1,0)3F A B 3(0,1,),(3,1,0)3BF BA ∴=-=-设平面AFB 的法向量u (,,)x y z =，则⎧⎨⎩u u 0⋅=⋅=BF BA即030y z y ⎧-+=⎪-=，取1x =，则u = 9分又OA ⊥平面OBD ，(3,0,0)OA =, 10分则cos <u ,OA >=u u 1313== 又二面角D FB E --为钝二面角，所以余弦值为 .12分20.解：（Ⅰ）设),(00y x P 0(2)x ≠±，则220014x y +=，因为)0,2(),0,2(B A -，则4144142220202020000021-=--=-=-⋅+=x x x y x y x y k k2分(,)Q x y 设(2)x ≠±所以4422212243λλ-==-=-⋅+=k k x y x y x y k k ，整理得1422=+λy x )2(±≠x . 所以，当4=λ时，曲线2C 的方程为 )2(422±≠=+x y x . . 4分（Ⅱ）设),(),,(2211y x F y x E . 由题意知，直线AM 的方程为：26-=y x ，直线BM 的方程为：22+-=y x .由（Ⅰ）知，曲线2C 的方程为1422=+λy x )2(±≠x ， .7分联立 )2(442622±≠⎩⎨⎧=+-=x y x y x λλ，消去x ，得2(91)60y y λ+-λ=，得 1961+=λλy 联立)2(442222±≠⎩⎨⎧=++-=x y x y x λλ，消去x ，得2(1)20λ+-λ=y y ，得 122+=λλy 9分2212111111sin 91222211111sin 2222MA MF AMF y y MA MF S S MB ME MB ME BME y y ∠--+=====+∠--λλ 10分OA ⋅OA设918()911g λ+λ==-λ+λ+，则()g λ在[1,3]上递增又(1)5,(3)7g g ==，12S S ∴的取值范围为[]5,7 12分21.解：（Ⅰ）当1a =时,()()()xh x f x g x e x -=+=+，()1,x h x e -'=-+令()0,h x '=解得0x =()=(0)1h x h ∴=极小值4分（Ⅱ）设1()(1)ln(1)e ()eln(1)e t t f t t g t at t ϕ+=--++--=-++-，令1(1)t x x +=≥，()e ln e ,1xF x ax x a x =-+-+≥，1'()e x F x a x=-+，设1()()e x t x F x a x '==-+，21()e x t x x '=-，由1x ≥得，2211,01x x e e x≥∴<≤≥Q21'()e 0x t x x=->，()t x 在(1,)+∞单调递增，即()F x '在(1,)+∞单调递增，(1)1F e a '=+-，① 当e 10a +-≥，即e 1a ≤+时，(1,)x ∈+∞时，()(1)0F x F ''>≥，()F x 在(1,)+∞单调递增, 又(1)0F =，故当1x ≥时，关于x 的方程e ln e 0x ax x a -+-+=有且只有一个实数解. 8分②当10e a +-<，即1a e >+时，1(1)0,'(ln )0ln F F a a a a a a'<=-+>-=，又ln ln(1)1a e >+> 故00(1,ln ),()0x a F x '∃∈=，当0(1,)x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，又(1)0F =，故当(]01,x x ∈时，()0F x <，在[)01,x 内，关于x 的方程e ln e 0xax x a -+-+=有一个实数解1x =.10分又0(,)x x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增，且22()ln 1a a F a e a a a e e a =+-+->-+，令2()1(1)x k x e x x =-+≥，()()2x s x k x e x '==-,()e 2e 20x s x '=->->,故()k x '在()1,+∞单调递增，又(1)0k '>故()k x 在()1,+∞单调递增，故()(1)0k a k >>，故()0F a >，又0eaa x >>，由零点存在定理可知，101(,),()0x x a F x ∃∈=，故在()0,x a 内，关于x 的方程e ln e 0x ax x a -+-+=有一个实数解1x .此时方程有两个解. 综上，e 1a ≤+.12分22.解：（Ⅰ）22324103x x x y y αα⎧=+⎪∴-++=⎨=⎪⎩2分所以曲线C 的极坐标方程为24cos 10ρρθ-+=.4分（Ⅱ）设直线l 的极坐标方程为[)11(,0,)R θθρθπ=∈∈，其中1θ为直线l 的倾斜角，代入曲线C 得214cos 10,ρρθ-+=设,A B 所对应的极径分别为12,ρρ.21211214cos ,10,16cos 40∴+==>∆=->ρρθρρθ7分1212OA OB +=+=+=ρρρρ8分1cos θ∴= 满足0∆>16πθ∴=或56π， l 的倾斜角为6π或56π，则1tan k θ==10分23.解：（Ⅰ）因为a x a x x a x x f 444)(=--≥+-=，所以 a a 42≤，解得 44≤≤-a . 故实数a 的取值范围为]4,4[-. 4分（Ⅱ）由（1）知，4=m ，即424x y z ++=. 根据柯西不等式222)(z y y x +++[][]2222221)2(4)(211+-+⋅+++=z y y x []21162)(42112=+-+≥z y y x 8分等号在z yy x =-=+24即884,,72121x y z ==-=时取得. 所以222)(z y y x +++的最小值为2116. 10分。

东北三省三校2020届高三数学第一次联合模拟考试试题理含解析

9。已知偶函数的图象经过点，且当时,不等式恒成立，则使得成立的的取值范围为（）
A。 B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先由题意，得到点也在函数图象上，函数在上为减函数，将不等式化为，根据函数单调性，即可得出结果.
【详解】根据题意, 为偶函数, 且经过点 ,则点也在函数图象上，
【详解】不等式组所表示的平面区域如图所示：
表示过可行域内的点与
点的直线的斜率的最大值，
由，解得，
这时，
故目标函数的最大值是。
故选D。
【点睛】本题考查非线性目标函数最优解，对目标函数的几何意义理解是解题的关键,属于基础题.
11. 的内角，，的对边为，， ,若 ,且的面积为 ,则的最大值为( )
又当时，不等式恒成立，
则函数在上为减函数,
因为，所以
解得或 .
故选：C
【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性的概念即可，属于常考题型。
10.已知实数，满足不等式组，目标函数的最大值是（）
A. B. C。 D。
【答案】D
【解析】
【分析】
作出可行域，利用目标函数的几何意义，即可求出目标函数最大值。
∴ ,∴ ,故选B。
【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题。
2.设 : ，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ )
A。 B. C。 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
解不等式,求出命题，成立的解集，把是的必要不充分条件转化为解集间的集合关系，即可求出实数的取值范围.

2019年东北三省三校第一次联合考试理科数学试题--含答案(可编辑修改word版)

2分
∵ x [0, ] ，∴ 2x 7
2
6
66
4分
∴ 1 sin(2x ) 1 2
2
6
∴函数
f
(x)
的值域为
1 2
,
2
．
（Ⅱ）∵ f ( A) sin(2A ) 1 3 ∴ sin(2A ) 1
6
2
62
∵0
A
，∴
2A
13
，∴ 2A
5
，即
A
6
66
66
F '(x) ex a 1 ，设 t(x) F(x) ex a 1 ， t(x) ex 1 ，
x
x
x2
由 x 1得， x2 1,0 1 1 Q ex e x2
t '(x)
ex
1 x2
0 ， t(x) 在 (1, ) 单调递增，
即 F(x) 在 (1, ) 单调递增， F(1) e 1 a ，
OD 平面ABC
6分
如图以 O 为原点建立空间直角坐标系 O xyz
点 A 在平面 BEF 上，所以二面角 D FB E 与二面角 D FB A 为相同二面角.
设 AB 2 ,则 OD OA 3 ， F (0, 0, 3 ), A( 3, 0, 0), B(0,1, 0) 3
BF (0, 1,
. 4分
由（Ⅰ）知，曲线 C2 的方程为
x2 4
y2
1 (x
2) ，
.7 分
联立
x x2
6y2 4 y2 4
(
x
2)
，消去
x
，得
(9
1)
y
2
6y

09601 东北三校2020届高三第一次模拟考试数学(理)试题含答案

17.解析：
（Ⅰ）由正弦定理得 2 sin B cos C = 2 sin A + + sin C ，……………………………….2 分又由 sin A = sin(B + C) = sin B cos C + cos B sin C ，……………………………….4 分
得 2 cos B sin C + sin C = 0 ，
（II）建立空间直角坐标系 B − xyz ，如图
C
DF
过 F 作 FH ⊥ BB1 ，连结 AH
Q BB1 ⊥ 面ABC, AB ⊂ 面ABC,∴ AB ⊥ BB1
B
H
Q AB ⊥ BC, BC I BB1,∴ AB ⊥ 面CBB1C1
O
Q AB ⊂ 面BAA1B1,∴面BAA1B1 ⊥ 面CBB1C1,
=8.5+9.3+6.5 − (1.8 +1+ 2) + 0.5
= 20
.……………………………….4 分
A
6
B
1.3
6.2
0.5 1.5
0.5
得患病总人数为 20 万人，比例大约为 20%.……………………………….6 分
患病人数（万）不患病人数（万）
失眠人数（万） 5 15 20
不失眠人数（万）
Q OA
=
OB,
AE
=
EB,∴OE
=
1 2
BB1,
OE
/
/ BB1 ,……………………………….1
分
又
DC1
=
1 2
BB1
，
DC1
//
BB1
,

东北三省三校2020年高三第一次联合模拟考试理科数学试题 (含评分细则)

2020年高三第一次联合模拟考试理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0322<--=x x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=11x xB 则=)(B AC R Y （） A.),3()1,(+∞--∞Y B.),3[]1,(+∞--∞Y C.),3[+∞ D.),1[]1,(+∞--∞Y 2.已知复数),(R b a bi a z ∈+=，1+i z是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为（）A.0=+b aB.0=-b aC.02=-b aD.02=+b a 3.已知βα,是两个不同的平面，直线α⊂m ，下列命题中正确的是（） A.若βα⊥，则β∥m B.若βα⊥，则β⊥m C.若β∥m ，则βα∥ D.若β⊥m ，则βα⊥4.大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n ，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取13=n ，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（）A.9B.10C.11D.125.已知e c e b a πlog ,log ,3ln 3===（注：e 为自然对数的底数），则下列关系正确的是（）A.c a b <<B.a b c <<C.a c b <<D.c b a << 6.已知在边长为3的等边ABC ∆的中，21=，则⋅=（） A.6 B.9 C.12 D.6-7.如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，⊥ED 平面ABCD ，⊥FC 平面ABCD ，22==FC ED ，则四面体BEF A -的体积为（）A.31 B.32 C.1 D.34 8.已知函数x x x f 2cos 32sin )(+=的图像向右平移)20(πϕϕ<<个单位后，其图像关于y 轴对称，则=ϕ（）A.12π B.6π C.3π D.125π 9.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点为)0,(c F ，上顶点为),0(b A ，直线ca x 2=上存在一点P 满足0)(=⋅+，则椭圆的离心率取值范围为（）A.)1,21[B.)1,22[C.)1,215[-D.]22,0( 10.已知定义在R 上的函数)(x f ，满足)1()1(x f x f -=+，当),1[+∞∈x 时⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∈--=),3[),21(2)3,1[,21)(x x f x x x f ，则函数)(x f 的图像与函数⎩⎨⎧<-≥=1),2ln(1,ln )(x x x x x g 的图像在区间]7,5[-上所有交点的横坐标之和为（）A.5B.6C.7D.911.已知数{}n a 列的通项公式为22+=n a n ，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b n 的前2020项和为（）A.20201011 B.20202019 C.20212020 D.2021101012.已知双曲线1322=-y x 的左、右焦点分别为21F F 、，点P 在双曲线上，且ο12021=∠PF F ，21PF F ∠的平分线交x 轴于点A ，则=PA （）A.55 B.552 C.553 D.5 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为 .14.已知函数xx ae e x f -+=)(在]1,0[上不单调，则实数a 的取值范围为 .15.数列{}n a 满足11=a ，),2(2)12(*2N n n S S a n n n ∈≥=-，则n a = .16.已知函数b x a x x f ----=13)()(222，当时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有 .（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可） ①21-≤a ②2523<<a ③02,1<<-=b a ④249,1-<<-=b a 或0=b ⑤4个极小值点 ⑥1个极小值点 ⑦6个零点 ⑧4个零点三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c a C b +=2cos 2（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2=a ，D 为AC 的中点，且3=BD ，求c . 18.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC C B A -111中，⊥1BB 平面ABC ，BC AB ⊥，2=AB ，1=BC ，31=BB ，D 是1CC 的中点，E 是AB 的中点.（Ⅰ）证明：DE ∥平面11BA C ；（Ⅱ）F 是线段1CC 上一点，且直线AF 与平面11A ABB 所成角的正弦值为31，求二面角A BA F --1的余弦值. 19.（本小题满分12分）为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B 症状：醒的太早；C 症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：数据1：出现A 症状人数为8.5万，出现B 症状人数为9.3万，出现C 症状人数为6.5万，其中含AB 症状同时出现1.8万人，AC 症状同时出现1万人，BC 症状同时出现2万人，ABC 症状同时出现0.5万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人.（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如下列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？参考数据如下：参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=20.（本小题满分12分）已知以动点P 为圆心的⊙P 与直线21:-=x l 相切，与定圆⊙：F 41)1(22=+-y x 相外切.（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程C ；（Ⅱ）过曲线C 上位于x 轴两侧的点N M 、（MN 不与x 轴垂直）分别作直线l 的垂线，垂足记为11N M 、，直线l 交x 轴于点A ，记11ANN AMN AMM ∆∆∆、、的面积分别为321S S S 、、，且31224S S S =，证明：直线MN 过定点.21.（本小题满分12分）已知函数)(21-1ln()1()(2R a x ax x x x f ∈-++=）. （Ⅰ）设)(x f '为函数)(x f 的导函数，求函数)(x f '的单调区间；（Ⅱ）若函数)(x f 在),0(+∞上有最大值，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos y x （其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 2：ϕ得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为2103)4sin(=+πθρ. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设N M 、分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求MN 的最小值.23.[选修4-5：不等式选将] 设函数32)(-++=x x x f （Ⅰ）求不等式9)(>x f 的解集；（Ⅱ）过关于x 的不等式23)(-≤m x f 有解，求实数m 的取值范围.一模答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BBDABABDCCDB13.14.15. ()()1,12,22123n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪--⎩16. ①⑥、②⑤、③⑦、④⑧均可三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =++，……………………………….2分又由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，……………………………….4分得2cos sin sin 0B C C +=，因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2B =-．因为0B π<<，所以23B π=．……………………………….6分（Ⅱ）因为D 为AC 的中点，所以2BA BC BD +=u u u r u u u r u u u r，……………………………….8分所以22()(2)BA BC BD +=u u u r u u u r u u u r，即2212a c ac ++=，……………………………….10分因为2a =，解方程2280c c --=，得4c =．……………………………….12分 18.解析：（I ）连结1AB 交1A B 于O ，连结1,EO OC11,,,2OA OB AE EB OE BB ==∴=Q 1//OE BB ,……………………………….1分又1112DC BB =，1DC //1BB , 1//OE DC ∴，因此，四边形1DEOC 为平行四边形，即1//ED OC ……………………………….2分111,,OC C AB ED C AB ⊂⊄Q 面面DE ∴//平面11C BA （II ）建立空间直角坐标系B xyz -，如图过F 作1FH BB ⊥，连结AH11,,BB ABC AB ABC AB BB ⊥⊂∴⊥Q 面面 111,,AB BC BC BB AB CBB C ⊥∴⊥Q I 面 111111,,AB BAA B BAA B CBB C ⊂∴⊥Q 面面面111,,FH CBB C FH BB ⊂⊥Q 面11111,BAA B CBB C BB =I 面面11FH BAA B ⊥面，即FAH ∠为直线AF 与平面11ABB A 所成角，……………………………….7分记为θ，11sin ,3,3AF AF θ==∴= 在Rt ACF ∆中，222259,2,AC CF AF CF CF ==+=+∴=11(0,2,1),(2,3,0),(0,2,1),(2,3,0),F A BF BA ==u u u r u u u rBA B C OH设平面1BAC 的法向量(,,)m x y z =u r，120230m BF y z m BA x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u r u u u r ur u u u r ，取2,(3,2,4)y m ==--u r 平面1BAA 的法向量(0,0,1)n =r，……………………………….10分|cos ,|m n <>=u r r ……………………………….11分因此，二面角1F BA A --的余弦值……………………………….12分19. 解析：设A =｛出现A 症状的人｝、B =｛出现B 症状的人｝、C =｛出现C 症状的人｝（card 表示有限集合元素个数）根据数据1可知()()()()1.8,1,2,0.5card A B card A C card B C card A B C ====I I I I I ，所以()()()()()()()card A B C card A card B card C card A B card A C card B C card=++-+++⎡⎤⎣⎦U U I I I (9)分()22100573157 4.001 3.84112888020k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.……………………………….11分有95%的把握说明失眠与中风或心脏病存在“强关联” .……………………………….12分20．解析：（Ⅰ）设(),P x y ，P e 半径为R ，则11,22R x PF R =+=+，所以点P 到直线1x =-的距离与到()1,0F 的距离相等，故点P 的轨迹方程C 为24y x =.……………………………….4分（Ⅱ）设()()1122,,M x y N x y 、，则11211,,22M y N y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、设直线():0MN x ty n t =+≠代入24y x =中得2440y ty n --=12124,40y y t y y n +==-<.……………………………….6分 11132211112222S x y S x y =+⋅=+⋅Q 、 131112114S S 22x x y y ⎛⎫⎛⎫∴=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()12122212122222211221142211444221242ty n ty n y y t y y n t y y n nnt t n n nt n n⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++++⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫=++⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.……………………………….8分又21211112222S n y y n =+⋅-=+()()22222211116164422S n t n n t n ⎛⎫⎛⎫∴=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.……………………………….10分2222221311484222S S S nt n t n n ⎛⎫⎛⎫=⇔=+⇔=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12n ⇒=.……………………………….11分∴直线MN 恒过1,02⎛⎫⎪⎝⎭.……………………………….12分21．解析：（Ⅰ）()()ln 1f x x ax '=+-令()()()ln 1h x f x x ax '==+-， ()11h x a x '=-+；.……………………………….1分 1o 当0a ≤时，()0h x '>，()'f x ∴在()1,-+∞上递增，无减区间()0h x '=.……………………………….3分 2o 当0a >时，令()1011h x x a'>⇒-<<-，令()101h x x a'<⇒>- 所以，()'f x 在11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； (5)分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当0a ≤时，()'fx ∴在()0,+∞上递增，()()''00f x f ∴>=()f x ∴在()0,+∞上递增，无最大值，不合题意；.……………………………….6分 1o 当1a ≥时，()1101h x a a x '=-<-≤+ ()'f x ∴在()0,+∞上递减，()()''00f x f ∴<=，()f x ∴在()0,+∞上递减，无最大值，不合题意；.……………………………….8分2o 当01a <<时，110a->，由（Ⅰ）可知()'fx 在10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；.……………………………….9分设()1ln g x x x =--，则()1x g x x-'=；令()001g x x '<⇒<<；令()01g x x '>⇒>()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增； ()()10g x g ∴≥=，即ln 1x x ≤-由此，当0x >时，1≤<ln x <所以，当0x >时，()()12h x ax a x <<+=-．取241t a =-，则11t a >-，且()20h t <-=．又因为()1100h h a ⎛⎫->= ⎪⎝⎭，所以由零点存在性定理，存在011,x t a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00h x =；.……………………………….11分当()00,x x ∈时，()0h x >，即()0f x '>；当()0,x x ∈+∞时，()0h x <，即()0f x '<；所以，()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，在()0,+∞上有最大值()0f x ．综上，01a <<.……………………………….12分在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时用2B ．．铅笔．．在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

东北三校2019届高三第一次模拟考试数学(理)

哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2019年高三第一次联合模拟考试数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用o ．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R ，集合A={x|x≥2}，B={x|0≤x<5}，则集合（C u A ）B= （） A ．{x|0<x<2} B ．{x |0<x≤2} C ．{x|0≤x<2}D ．{x| 0≤x≤2} 2．命题“若x>1，则x>0”的否命题是（）A ．若x>l ，则x≤0B ．若x≤l ，则x>0C ．若x≤1，则x≤0D ．若x<l ，则x<0 3．在复平面内复数z=341ii+-对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．已知数列{a n }是等差数列，且a 1+a 4+a 7= 2π，则tan( a 3+a 5)的值为 ( )AB ．C D ．5．与椭圆C ：221612y x + =l 共焦点且过点（1 （）A ．x 2一23y =1B ．y 2—2x 2=1C ．22y 一22x =1 D ．23y 一x 2 =16．将4名实习教师分配到高一年级的3个班实习，若每班至少1名教师，则不同的分配方案种数为( )A ．12B ．36C ．72D ．1087．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M 的值是（） A ．5B ．6C ．7D ．88．若n 的展开式中第四项为常数项，则n=( )A ．4B ．5C ．6D ．79．已知函数y=Asin （x ωϕ+）+k 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2π，直线x=3π是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为（） A ．y= 4sin （4x+6π） B ．y =2sin （2x+3π）+2C ．y= 2sin （4x+3π）+2D ．y=2sin （4x +6π）+210．点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AC =2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为（）A ．1256πB ．8πC ．254πD ．2516π11．若点P 在抛物线y 2= 4x 上，则点P 到点A （2，3）的距离与点P 到抛物线焦点的距离之差（） A ．有最小值，但无最大值 B ．有最大值，但无最小值 C ．既无最小值，又无最大值 D ．既有最小值，又有最大值12．已知f （x ）=111nxnx x-+，f （x ）在x=x O 处取最大值，以下各式正确的序号为 ( ) ①f （x o ）<x o ②f （x o ）=x o ③f （x o ）>x o ④f （x o ）<12 ⑤f （x o ）>12A ．①④B ．②④C ．②⑤D ．③⑤第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

2020东北三校一模理科数学

哈尔滨师大附中 2020年高三第一次联合模拟考试东北师大附中理科数学辽宁省实验中学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分,考试时间120分钟，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在试卷上无效。

3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=<--=11,0322x x B x x x A ，则=)(B A R Y C.A ),3()1,(+∞--∞Y .B ),3[]1,(+∞--∞Y .C ),3[+∞ .D ),1[]1,(+∞--∞Y2. 已知复数),(R b a bi a z ∈+=，1+i z是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为.A 0=+b a.B 0=-b a .C 02=-b a .D 02=+b a3. 已知βα，是两个不同的平面，直线α⊂m ，下列命题中正确的是.A 若βα⊥，则β//m .B 若βα⊥，则β⊥m .C 若β//m ，则βα// .D 若β⊥m ，则βα⊥4. 大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n ，如果它是偶数，职责除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1.这个题目在东方被称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性证明，例如取13=n ，则要想算出结果1，共需要经过的运算步骤是.A 9 .B 10 .C 11 .D 125. 已知e c e b a πlog log 3ln 3===，，，则下列关系正确的是.A c a b << .B a b c << .C a c b <<.D c b a <<6. 已知边长为3的等边ABC ∆，DC BD 21=,则=⋅AC AD.A 6.B 9 .C 12 .D 6-7. 如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，⊥ED 平面ABCD ，⊥FC 平面ABCD ，22==FC ED ，则四面体BEF A -的体积为.A 31 .B 32.C 1.D 34 8. 已知函数)(x f x x 2cos 32sin +=的图象向右平移)20(πϕϕ<<个单位后，其图象关于y 轴对称，则=ϕ.A 12π .B 6π .C 3π .D 125π 9. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)0,(c F ，上顶点为),0(b A ，直线c a x 2=上存在一点P 满足0)(=⋅+AP FA FP ，则椭圆的离心率取值范围为.A )1,21[.B )1,22[.C )1,215[- .D ]22,0( 10. 已知定义在R 上的函数)(x f ，满足)1()1(x f x f -=+，当),1[+∞∈x 时，⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∈--=),3[)21(2)3,1[21)(x xf x x x f ，则函数)(x f 的图象与函数⎩⎨⎧<-≥=1)2ln(1ln )(x x x xx g 的图象在区间]7,5[-上所有交点的横坐标之和为 .A 5.B 6 .C 7 .D 911. 已知数列{}n a 的通项公式为22+=n a n ，将这个数列中的项摆成如图所示的数阵，记n b 为数阵从左至右的n列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b n 的前2020项和为.A 20201011.B 20202019.C 20212020.D 2021101012. 已知双曲线1322=-y x 的左右焦点分别为21F F 、，点P 在双曲线上，且ο12021=∠PF F ，21PF F ∠的平分线交x 轴于点A ，则=PA.A 55 .B 552 .C 553 .D 5122125431432321-++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n n nn n n a a a a a a a a a a a a a a a a第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸相应位置上. 13. 近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大，动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力。

东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学)2020年高三第一次联合模拟考试理数学含评分细则

东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2020年高三第一次联合模拟考试理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0322<−−=x x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=11x xB 则=)(B AC R （） A.),3()1,(+∞−−∞ B.),3[]1,(+∞−−∞ C.),3[+∞ D.),1[]1,(+∞−−∞ 2.已知复数),(R b a bi a z ∈+=，1+i z是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为（）A.0=+b aB.0=−b aC.02=−b aD.02=+b a 3.已知βα,是两个不同的平面，直线α⊂m ，下列命题中正确的是（） A.若βα⊥，则β∥m B.若βα⊥，则β⊥m C.若β∥m ，则βα∥ D.若β⊥m ，则βα⊥4.大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n ，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取13=n ，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（）A.9B.10C.11D.125.已知e c e b a πlog ,log ,3ln 3===（注：e 为自然对数的底数），则下列关系正确的是（） A.c a b << B.a b c << C.a c b << D.c b a <<6.已知在边长为3的等边ABC ∆的中，DC BD 21=，则AC AD ⋅=（） A.6 B.9 C.12 D.6−7.如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，⊥ED 平面ABCD ，⊥FC 平面ABCD ，22==FC ED ，则四面体BEF A −的体积为（）A.31 B.32 C.1 D.34 8.已知函数x x x f 2cos 32sin )(+=的图像向右平移)20(πϕϕ<<个单位后，其图像关于y 轴对称，则=ϕ（）A.12π B.6π C.3π D.125π9.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点为)0,(c F ，上顶点为),0(b A ，直线ca x 2=上存在一点P 满足0)(=⋅+AP FA FP ，则椭圆的离心率取值范围为（）A.)1,21[B.)1,22[C.)1,215[− D.]22,0( 10.已知定义在R 上的函数)(x f ，满足)1()1(x f x f −=+，当),1[+∞∈x 时⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈−∈−−=),3[),21(2)3,1[,21)(x x f x x x f ，则函数)(x f 的图像与函数⎩⎨⎧<−≥=1),2ln(1,ln )(x x x x x g 的图像在区间]7,5[−上所有交点的横坐标之和为（）A.5B.6C.7D.911.已知数{}n a 列的通项公式为22+=n a n ，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b n 的前2020项和为（）A.20201011 B.20202019 C.20212020 D.2021101012.已知双曲线1322=−y x 的左、右焦点分别为21F F 、，点P 在双曲线上，且 12021=∠PF F ，21PF F ∠的平分线交x 轴于点A ，则=PA （）A.55 B.552 C.553 D.5 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为 .14.已知函数x x ae e x f −+=)(在]1,0[上不单调，则实数a 的取值范围为 .15.数列{}n a 满足11=a ，),2(2)12(*2N n n S S a n n n ∈≥=−，则n a = .16.已知函数b x a x x f −−−−=13)()(222，当时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有 .（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可） ①21−≤a ②2523<<a ③02,1<<−=b a ④249,1−<<−=b a 或0=b ⑤4个极小值点 ⑥1个极小值点 ⑦6个零点 ⑧4个零点三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c a C b +=2cos 2（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2=a ，D 为AC 的中点，且3=BD ，求c . 18.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC C B A −111中，⊥1BB 平面ABC ，BC AB ⊥，2=AB ，1=BC ，31=BB ，D 是1CC 的中点，E 是AB 的中点.（Ⅰ）证明：DE ∥平面11BA C ；（Ⅱ）F 是线段1CC 上一点，且直线AF 与平面11A ABB 所成角的正弦值为31，求二面角A BA F −−1的余弦值. 19.（本小题满分12分）为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B 症状：醒的太早；C 症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：数据1：出现A 症状人数为8.5万，出现B 症状人数为9.3万，出现C 症状人数为6.5万，其中含AB 症状同时出现1.8万人，AC 症状同时出现1万人，BC 症状同时出现2万人，ABC 症状同时出现0.5万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人.（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如下列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？参考数据如下：参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++−=20.（本小题满分12分）已知以动点P 为圆心的⊙P 与直线21:−=x l 相切，与定圆⊙：F 41)1(22=+−y x 相外切.（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程C ；（Ⅱ）过曲线C 上位于x 轴两侧的点N M 、（MN 不与x 轴垂直）分别作直线l 的垂线，垂足记为11N M 、，直线l 交x 轴于点A ，记11ANN AMN AMM ∆∆∆、、的面积分别为321S S S 、、，且31224S S S =，证明：直线MN 过定点.21.（本小题满分12分）已知函数)(21-1ln()1()(2R a x ax x x x f ∈−++=）.（Ⅰ）设)(x f '为函数)(x f 的导函数，求函数)(x f '的单调区间；（Ⅱ）若函数)(x f 在),0(+∞上有最大值，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中，参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos y x （其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 2：ϕ得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为2103)4sin(=+πθρ. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设N M 、分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求MN 的最小值.23.[选修4-5：不等式选将] 设函数32)(−++=x x x f （Ⅰ）求不等式9)(>x f 的解集；（Ⅱ）过关于x 的不等式23)(−≤m x f 有解，求实数m 的取值范围.东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2020年高三第一次联合模拟考试理科数学答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B BDABABDCCDB二、填空题13.14.15. ()()1,12,22123n n a n n n =⎧⎪=⎨−≥⎪−−⎩16. ①⑥、②⑤、③⑦、④⑧均可三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =++，……………………………….2分又由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，……………………………….4分得2cos sin sin 0B C C +=，因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2B =−．因为0B π<<，所以23B π=．……………………………….6分（Ⅱ）因为D 为AC 的中点，所以2BA BC BD +=，……………………………….8分所以22()(2)BA BC BD +=，即2212a c ac ++=，……………………………….10分因为2a =，解方程2280c c −−=，得4c =．……………………………….12分 18.解析：（I ）连结1AB 交1A B 于O ，连结1,EO OC11,,,2OA OB AE EB OE BB ==∴=1//OE BB ,……………………………….1分又1112DC BB =，1DC //1BB , 1//OE DC ∴，因此，四边形1DEOC 为平行四边形，即1//ED OC ……………………………….2分111,,OC C AB ED C AB ⊂⊄面面DE ∴//平面11C BA ……………………………….5分（II ）建立空间直角坐标系B xyz −，如图过F 作1FH BB ⊥，连结AH11,,BB ABC AB ABC AB BB ⊥⊂∴⊥面面 111,,AB BC BC BB AB CBBC ⊥∴⊥面 111111,,AB BAA B BAA B CBBC ⊂∴⊥面面面111,,FH CBBC FH BB ⊂⊥面11111,BAA B CBBC BB =面面11FH BAA B ⊥面，即FAH ∠为直线AF 与平面11ABB A 所成角，……………………………….7分记为θ，11sin ,3,3AF AF θ==∴= 在Rt ACF ∆中，222259,2,AC CF AF CF CF ==+=+∴=11(0,2,1),(2,3,0),(0,2,1),(2,3,0),F A BF BA ==设平面1BAC 的法向量(,,)m x y z =，120230m BF y z m BA x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取2,(3,2,4)y m ==−− 平面1BAA 的法向量(0,0,1)n =，……………………………….10分4|cos ,|291m n <>=⋅……………………………….11分 BC1A 1B 1C D OFHxyz因此，二面角1F BA A −−的余弦值……………………………….12分19. 解析：设A =｛出现A 症状的人｝、B =｛出现B 症状的人｝、C =｛出现C 症状的人｝（card 表示有限集合元素个数）根据数据1可知()()()()1.8,1,2,0.5card A B card A C card B C card A B C ====，所以()()()()()()()card A B C card A card B card C card A B card A C card B C card=++−+++⎡⎤⎣⎦()=8.5+9.3+6.5 1.8120.520−+++=.……………………………….4分得患病总人数为20万人，比例大约为20%.……………………………….6分.……………………………….9分()22100573157 4.001 3.84112888020k ⨯⨯−⨯=≈>⨯⨯⨯.……………………………….11分有95%的把握说明失眠与中风或心脏病存在“强关联” .………………………….12分B20．解析：（Ⅰ）设(),P x y ，P 半径为R ，则11,22R x PF R =+=+，所以点P 到直线1x =−的距离与到()1,0F 的距离相等，故点P 的轨迹方程C 为24y x =.……………………………….4分（Ⅱ）设()()1122,,M x y N x y 、，则11211,,22M y N y ⎛⎫⎛⎫−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、设直线():0MN x ty n t =+≠代入24y x =中得2440y ty n −−=12124,40y y t y y n +==−<.……………………………….6分 11132211112222S x y S x y =+⋅=+⋅、 131112114S S 22x x y y ⎛⎫⎛⎫∴=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()12122212122222211221142211444221242ty n ty n y y t y y n t y y n nnt t n n nt n n⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++++⋅−⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫=−++++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫=++⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.……………………………….8分又21211112222S n y y n =+⋅−=+()()22222211116164422S n t n n t n ⎛⎫⎛⎫∴=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.……………………………….10分2222221311484222S S S nt n t n n ⎛⎫⎛⎫=⇔=+⇔=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12n ⇒=.…………………….11分∴直线MN 恒过1,02⎛⎫⎪⎝⎭.…………………………….12分21．解析：（Ⅰ）()()ln 1f x x ax '=+−令()()()ln 1h x f x x ax '==+−， ()11h x a x '=−+；.……………………………….1分 1当0a ≤时，()0h x '>，()'f x ∴在()1,−+∞上递增，无减区间()0h x '=.……………………………….3分 2当0a >时，令()1011h x x a '>⇒−<<−，令()101h x x a'<⇒>− 所以，()'f x 在11,1a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；.……………………………….5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当0a ≤时，()'f x ∴在()0,+∞上递增，()()''00f x f ∴>=()f x ∴在()0,+∞上递增，无最大值，不合题意；.……………………………….6分 1当1a ≥时，()1101h x a a x '=−<−≤+ ()'f x ∴在()0,+∞上递减，()()''00f x f ∴<=，()f x ∴在()0,+∞上递减，无最大值，不合题意；.……………………………….8分 2当01a <<时，110a−>，由（Ⅰ）可知()'f x 在10,1a ⎛⎫− ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；.……………………………….9分设()1ln g x x x =−−，则()1x g x x−'=；令()001g x x '<⇒<<；令()01g x x '>⇒>()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增；()()10g x g ∴≥=，即ln 1x x ≤−由此，当0x >时，1<ln x <所以，当0x >时，()()12h x ax a x <<+=−．取241t a =−，则11t a >−，且()20h t <−=．又因为()1100h h a ⎛⎫−>= ⎪⎝⎭，所以由零点存在性定理，存在011,x t a ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭，使得()00h x =；.……………………………….11分当()00,x x ∈时，()0h x >，即()0f x '>；当()0,x x ∈+∞时，()0h x <，即()0f x '<；所以，()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，在()0,+∞上有最大值()0f x ．综上，01a <<.……………………………….12分在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时用2B ．．铅笔．．在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。