第九章电磁学压轴大题增分策略(三)突破“磁发散”和“磁聚焦”两大难点

第九章“冲刺双一流”深化内容

电磁学压轴大题增分策略(三)——突破“磁发散”和“磁聚焦”两大难点带电粒子在磁场中的运动形式很多，其中有一种是带电粒子在圆形磁场中的运动。当粒子做圆周运动的半径与圆形磁场的半径相等时，会出现磁发散或磁聚焦现象。

带电粒子在圆形磁场中的发散

运动

不同带电粒子在圆形磁场中从同一点沿不同方向出发，做发散运动，离开磁场后速度方向都相同。

例如：当粒子由圆形匀强磁场的边界上某点以不同速度射入磁场时，会平行射出磁场，如图所示。

[例1] 真空中有一半径为r的圆柱形匀强磁场区域，磁场方

向垂直于纸面向里，Ox为过边界上O点的切线，如图所示。从

O点在纸面内向各个方向发射速率相同的电子，设电子间相互作

用忽略，且电子在磁场中运动的圆周轨迹半径也为r。所有从磁场边界射出的电子，其速度方向有何特征？

[解析] 如图所示，无论入射的速度方向与x轴的夹角为何

值，入射点O、出射点A、磁场圆心O1和轨道圆心O2，一定组

成边长为r的菱形，因为OO1⊥Ox，所以O2A⊥Ox。而O2A与

电子射出的速度方向垂直，可知电子射出方向一定与Ox轴方向

平行，即所有的电子射出圆形磁场时，速度方向均与Ox轴正向相同。

[答案] 见解析

[例2] 如图所示，真空中有一个半径r ＝0.5 m 的圆形磁场，与坐标原点相切，磁场的磁感应强度大小B ＝2×10－3 T ，方向垂直于纸面向外，在x ＝1 m 和x ＝2 m 之间的区域内有一个方向沿y 轴正向的匀强电场区域，电场强度E ＝1.5×103 N/C 。在x ＝3 m 处有一垂直x 轴方向的足够长的荧光屏，从O 点处向不同方向发射出速率相同的比荷q

m

＝1×

109 C/kg ，且带正电的粒子，粒子的运动轨迹在纸面内，一个速度方向沿y 轴正方向射入磁场的粒子，恰能从磁场最右侧的A 点离开磁场，不计重力及阻力的作用，求：

(1)沿y 轴正方向射入的粒子进入电场时的速度和粒子在磁场中的运动时间； (2)速度方向与y 轴正方向成θ＝30°角(如图中所示)射入磁场的粒子，离开磁场时的速度方向；

(3)(2)中的粒子最后打到荧光屏上，该发光点的位置坐标。

[解析] (1)由题意可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径R ＝r ＝0.5 m ，由

Bqv ＝

mv 2R

，可得粒子进入电场时的速度为

v ＝

qBR m

＝1×109×2×10－3×0.5 m/s ＝1×106 m/s 。

在磁场中运动的时间为

t 1＝14T ＝πm 2Bq ＝ 3.14

2×109×2×10

－3 s ＝7.85×10－7 s 。 (2)粒子的运动圆轨迹和磁场圆的交点O 、C 以及两圆的圆心O 1、O 2组成菱形，CO 2

和y 轴平行，所以v 和x 轴平行向右，如图所示。

(3)粒子在磁场中转过120°角后从C 点离开磁场，速度方向和x 轴平行，做直线运动，再垂直电场线进入电场，如图所示：

在电场中的加速度大小为：

a ＝

Eq m

＝1.5×103×1×109 m/s 2＝1.5×1012 m/s 2。

粒子穿出电场时有：

v y ＝at 2＝a ×

Δx

v

＝1.5×106 m/s ，

tan α＝v y v x

＝

1.5×1061×106

＝1.5。

在磁场中y 1＝1.5r ＝1.5×0.5 m ＝0.75 m 。 在电场中侧移为：

y 2＝12at 22＝1

2×1.5×1012×⎝ ⎛⎭

⎪⎫11×106

2 m ＝0.75 m 。 飞出电场后粒子做匀速直线运动

y 3＝Δx tan α＝1×1.5 m ＝1.5 m ，

y ＝y 1＋y 2＋y 3＝0.75 m ＋0.75 m ＋1.5 m ＝3 m 。

则该发光点的坐标为(3 m,3 m)。

[答案] (1)1×106 m/s 7.85×10－7 s (2)与x 轴平行向右 (3)(3 m,3 m)

带电粒子在圆形磁场中的汇聚

运动

速度相同的不同带电粒子进入圆形匀强磁场后，汇聚于同一点。

例如：当速度相同的粒子平行射入磁场中，会在圆形磁场中汇聚于圆上一点，如图所示。

[例3] 真空中有一半径为r的圆柱形匀强磁场区域，磁场方向

垂直于纸面向里，Ox为过边界上O点的切线，如图所示，速率相

同，方向都沿Ox方向的不同电子，在磁场中运动的圆周轨迹半径

也为r。进入圆形匀强磁场后，所有从磁场边界出射的电子，离开磁场的位置有何特征？

[解析] 由A点进入磁场的电子，其圆周轨道和圆形磁场的两交点以及两圆心组成边长为r的菱形，v0和AO1垂直，所以AO1的对边也和v0垂直，即AO1的对边和Ox方向垂直，所以AO1的对边即为O2O，电子从O点离开磁场，因此，所有从磁场边界出射的电子，离开磁场的位置都在O点。

[答案] 见解析

[例4] 如图甲所示，平行金属板A和B间的距离为d，现在A、B板上加上如图乙所示的方波形电压，t＝0时，A板比B板的电势高，电压的正向值为u0，反向值为－u0，现有质量为m、带电荷量为q的正粒子组成的粒子束，从AB的中点O1以平行于金属板方向

O1O2的速度v0＝3qu0T

3dm

射入，所有粒子在AB间的飞行时间均为T，不计重力影响。求：

(1)粒子射出电场时位置离O 2点的距离范围及对应的速度；

(2)若要使射出电场的粒子经某一圆形区域的匀强磁场偏转后都能通过圆形磁场边界的一个点处，而便于再收集，则磁场区域的最小半径和相应的磁感应强度是多大？

[解析] (1)当粒子由t ＝nT 时刻进入电场，向下侧移最大， 则：s 1＝qu 02dm ⎝ ⎛⎭⎪⎫2T 32＋qu 0dm ⎝ ⎛⎭⎪⎫2T 3⎝ ⎛⎭⎪⎫T 3－qu 02dm ⎝ ⎛⎭⎪⎫

T 32＝7qu 0T 2

18dm 。 当粒子由t ＝nT ＋2T

3

时刻进入电场，向上侧移最大，

则s 2＝qu 02dm ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 32＝qu 0T 2

18dm

， 在距离O 2中点下方7qu 0T 218dm 至上方qu 0T 2

18dm 的范围内有粒子射出。

打出粒子的速度都是相同的，在沿电场线方向速度大小为

v y ＝

u 0q dm ·T 3＝

u 0qT 3dm

。

所以射出速度大小为

v ＝v 02＋v y

2＝

⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫3u 0qT 3dm 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫u 0qT 3dm 2＝2u 0qT 3dm 。 设速度方向与v 0的夹角为θ， 则tan θ＝v y v 0

＝

13

，

θ＝30°。

(2)要使平行粒子能够交于圆形磁场区域边界且有最小区域时，磁场直径最小值与粒子宽度相等，