数学建模2000B钢管订购优化模型

钢管订购与运输的优化模型

摘要

钢管订购与运输问题实际上是一最优规划的求解问题。

问题一首先通过用Floyd算法分别求得铁路、公路最短距离，即以7个钢管厂和17个铁路中转站建立一个邻接矩阵，以15个铺设点、17个中转站和三个钢管厂建立一个邻接矩阵。再通过MA TLAB编程确定单位钢管从钢管厂运输到铺设点的距离矩阵及其最小运输费用。通过（总费用=钢管出场总价+运输费+铺设费）列出目标函数和约束条件建立一个数学模型，最后利用Lingo软件求得最优解1277132万元。

问题二的主要思路就是将问题转化为上限变化对费用的影响和销价变化对费用的影响的问题。然后再在问题一的求解基础上使用灵敏度分析，主要是对目标函数中的价值系数销价的改变进行灵敏度分析。

问题三的思路与问题一得思路相似，也是建立两个距离矩阵，一个是以7个钢管厂，14个中转站建立的邻接矩阵，是以21个铺设点、14个中转站建立的距离矩阵，将这两个邻接矩阵用于Floyd算法求出距离矩阵及其最短路程，然后通过MA TLAB编程确定最小运输费用，建立数学模型，使用Lingo软件得到最优解1407149万元。

1问题的重述

要铺设一条A

1→A

2

→…→A

15

的输送天然气的主管道，如图一（见附录一）。经筛选后

可以生产这种主管道钢管的钢厂有S

1,S

2

, (7)

为方便计，１Km主管道称为１单位钢管。

一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。钢厂S

i

在指定期限内能生

产该钢管的最大数量为s

i 个单位，钢管出厂销价１单位钢管为P

i

万元，如下表：

1000 Km以上每增加１至100Km运价增加5元。

公路运输费用为１单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。

钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点A

1,A

2

…A

15

，而是管道全线）。

(1)请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用）。

(2)请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。(3)如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图二（见附录一）按（1）的要求给出模型和结果。

2问题的分析

本文讨论的是铺设一条A

1→A

2

→…→A

15

的天然气主管道，从钢管厂到铺设点其间有

铁路和公路，而铁路的运价又不同于公路运价，且有多种运输方式。需找出最优的运输方式，通过铁路与公路的最优搭配使得总运输费用最小。

2.1针对问题一：要求铺设这条天然气主管道的总费用最小。总费用=钢管出场总价+运输费+铺设费，分别求出钢管出场总价、运输费、铺设费。其中，求运输费时由于铁路运费是里程的分段阶跃函数，而公路运费是里程的线性函数，故总运费不具可加性，由此本文采用了Floyd算法通过距离矩阵分别求出铁路、公路的最短距离，再通过MATLAB编程确定单位钢管从钢管厂运输到铺设点的最小运输费用

2.2针对问题二：求解问题二的关键在于将问题转化为上限变化对费用的影响和销价变化对费用的影响的问题。然后再在问题一的求解基础上使用灵敏度分析，主要是利用运筹学只是对目标函数中的价值系数销价的改变进行灵敏度分析。

2.3针对问题三：仔细观察，分析图（二）可知，铺设Ａ1～Ａ7这一段，完全与题Ⅰ相同，不同的是所增加的集中于Ｓ５，Ｓ６旁的一些需铺设的路段，并且管道形成一个树形图。显然费用将大大增加，所以解决该问题可以先解决分支部分，而后做主干部分，也就是先计算出所增加铺设路段的最小费用。（计算的方法可参照问题Ⅰ的算法）再把其加到题Ⅰ中的目标函数，当然函数的约束条件将有所变化。与问题一相比较，问题三的距离矩阵更大，若没有问题一做铺垫，问题三的工作量将非常庞大，所以说解决问题三是在问题一的基础上的。

3问题的假设

①钢管的总费用和订购数量、钢管销价、运费、铺设费有关

②运输过程中，不考虑装卸，停靠及其他人工维护的费用

③钢管的生产是完好的，运输和铺设都没有出现损耗和浪费

④把铁路公路都假设成1个单位为1的单位钢管，不足1km都按照1km计算

⑤钢管的材料选择就是就近原则，每次都是在最近的地方选取

⑥钢管的相邻铺设点之间有公路连接，费用和公路运输的费用一样

4符号约定

S i:钢厂i的产量上限i=1,2,3 (7)

A j：铺设点i=1,2,3 (15)

C

ij

：由

S

i

至

A j

的最小购运费用路线及最小费用

t i =⎪⎩⎪⎨

⎧不提供钢管

　钢管厂提供钢管

　钢管厂S S i i 01 X

ij

：钢厂

S

i

运到

A j 的钢管数

L j

：运到铺设点A j

的钢管向左铺设数目 R j

：运到铺设点A j

的钢管向右铺设数目

b j

：从

A j

到A

j 1

+得距离

P i

：钢厂S i 的出场钢管单位价格

d

:公路上一单位刚才最小运费 Z

：总费用 Q

：钢管出场总价

P ：运输费 T

：铺设费

5问题一的求解

5.1建立数学模型

5.1.1确定目标函数：首先问题一要求总费用最小，总费用=钢管出场总价+运输费+铺设费。

决策变量：

X

ij

L j

R j

价值系数：

P

i

C

ij

2

d

Z =Q +P +T

Min Z

=

X P ij

j i

i ∑∑==15

1

7

1

+∑∑==15

1

71

j ij

ij

i X

C +

2

d ∑

=15

1

j ()()[]R R L L j

j

j

j

+++11

5.1.2确定约束条件：首先要使用0—1规划确定钢管厂S

i

是否向铺设点

A j

提供钢管，若

提供钢管记作

t i

=1，若不提供钢管记作t i

=0；其次要限制钢管厂的生产能力，即确定钢管

厂的生产上下限；然后要保证运到铺设点的钢管全部用完，尽量做到不增加运输路程，不浪