2.1认识无理数第一课时教案

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北师大版八年级数学上册：2.1《认识无理数》教学设计

一. 教材分析

《认识无理数》是北师大版八年级数学上册第二章的第一节内容。本节内容是

在学生学习了实数、有理数的基础上，引入无理数的概念，使学生了解无理数在生活中的应用和实际意义，培养学生运用数学解决实际问题的能力。教材通过丰富的实例和探究活动，让学生感受无理数的存在，体验数的概念的扩展，培养学生的数感。

二. 学情分析

八年级的学生已经学习了实数和有理数，对数的概念有一定的了解。但是，学

生对无理数的理解可能还比较模糊，需要通过具体的实例和实践活动来加深对无理数概念的理解。此外，学生可能对无理数的存在感到困惑，需要教师通过讲解和引导，让学生逐渐接受无理数的存在。

三. 教学目标

1.了解无理数的概念，理解无理数的存在和实际意义。

2.能够识别常见的无理数，如π、√2等。

3.能够运用无理数解决实际问题，提高运用数学解决实际问题的能力。

4.培养学生的数感，提高学生的数学思维能力。

四. 教学重难点

1.重点：无理数的概念和实际意义的理解。

2.难点：无理数的识别和运用。

五. 教学方法

1.实例教学法：通过具体的实例，让学生感受无理数的存在和实际意义。

2.实践活动法：通过实践活动，让学生加深对无理数概念的理解。

3.问题驱动法：通过提问和引导，让学生主动探索无理数的性质和运用。

六. 教学准备

1.教材和教案。

2.投影仪和教学课件。

3.练习题和测试题。

七. 教学过程

1.导入（5分钟）

利用投影仪展示生活中的实例，如圆的周长和面积的关系，引出无理数的概念。

2.呈现（10分钟）

1.1认识无理数一等奖创新教案

2.1认识无理数（一）

一、教材解读

《2.1认识无理数（一）》是北师大版八年级上第二章第一节第一课时，在此之前学生已经经历了数系从非负有理数到有理数的扩充，学习了勾股定理，本节课学生将经历数系的第二次扩充，既是对前面有理数的一个扩展，也是前一章勾股定理内容的一个重要应用，同时是后续深入学习实数的基础，是承前启后的一个重要知识节点。

二、学情分析

学生已经有了数系扩充的经验，本次数学的扩充同样是有实际的背景和必要性，前面勾股定理的学习为本次无理数产生提供了很好的知识储备。学生具备了操作经历产生无理数的知识基础和基本经验。

三、教学目标

1、知识与技能：感受无理数的存在，初步把握无理数的特征。能够说明一个数既不是整数，也不是分数，不是前面学习的有理数。重点

2、过程与方法：通过观察、计算、探索，经历无理数产生的实际背景和必要性。通过方格纸画图进一步感受无理数的存在事实和可操作性。学会用勾股定理这一工具构造长度为无理数的线段，进一步研究无理数。经历由具体到抽象，由特殊到一般的概念形成过程。难点

3、情感态度价值观：让学生在构造无理数的过程中感受到数学学习的乐趣，让学生感受到数学来源于生活和实际，具有看得见，摸得着，可操作的特点，改变以往学生心目中数学枯燥，乏味的观念。

四、教学设计

【回顾迎新】

1．整数和___________统称为有理数.整数又可分为正整数，_________，________.

2．下列不是分数的是（）

A．3.14 B.5% C. D.

3．下列说法错误的是（）

北师大版八年级上册 2.1 认识无理数第一课时教案

2.1认识无理数

〔第一课时〕

一、教学目的叙写

１．学生通过预习教材21页,并考虑情景引入中的问题1．

２．学生通过合作探究局部，初步感知数不够用了,让学生充分感受“新数〞〔无理数〕的存在.

３．学生通过交流知识点、易错点和思想方法，培养学生归纳才能和有条理的表达才能．４．学生通过完成“五、当堂评价〞，能正确地进展判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解．

二、教学重难点

１．重点：让学生经历无理数的发现过程.

２．难点：会判断一个数是否为无理数．

三、教学过程

〔一〕、情景引入

［师］同学们,我们上了好多年的学,学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢?

［生］在小学我们学过自然数、小数、分数.

［生］在初一我们还学过负数.

［师］对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩大到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题.

1、考虑：⑴一个整数的平方一定是整数吗？⑵一个分数的平方一定是分数吗？

2、一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边长x的平方，并提出问题：x是整数〔或分数〕吗？

〔二〕、自主探究

［师］请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？

［生］好.(学生非常快乐地投入活动中).

［师］经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请同学们把自己拼的图展示一下.

同学们非常踊跃地呈现自己的作品给教师.

2.1.1 认识无理数(第1课时)

,
,

越来越大，所以

a
a不可能是整数

3 9，
2
（2）a可能是分数吗? a可能是以2为分母的分数吗?
,
a

3 3 9 ...... 2 2 4,
结果都为分数，所以a不可能是
以2为分母的分数。
（2）a可能是分数吗? a可能是以3为分母的分数吗?
够用了．请问你有什么收获与体会？
2.客观世界中，的确存在不是有理
数的数，你能列举几个吗？
3.除了本课所认识的非有理数的数
以外，你还能找到吗？
读一读
无理数的发现（教材第23页）
做一做
习题2.1
把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
1
1
1
1
拼图：
1 1
变化的世界
奇妙的组合
问题与思考
(1)设大正方形的边长为a,a满足什么条件?
a
因为正方形的面积为2
所以
a

S
释一释
a 2
2
释1.
a 可能是整数吗？ a 可能是分数吗？
释2.
（1）a可能是整数吗?
随堂练习:
如图，正三角形的边长为2，高为h，h可能是
整数吗？可能是分数吗？

2.1《认识无理数》1、2课时

2.1认识无理数（1）

学习目标：

①感受客观世界中无理数的存在；

②能判断三角形的某边长是否为无理数；

学习过程：

一、想一想：⑴一个整数的平方一定是整数吗？⑵一个分数的平方一定是分数吗？

二、探究学习：

1．算一算：已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边长x的平方。x是整数（或分数）吗？

a=，请问：①a可能是整数吗？②a可能是分数吗？

2．议一议：已知22

a=的a为什么不是整数？

3．释一释：释1．满足22

a=的a为什么不是分数？

释2．满足22

4、忆一忆：让学生回顾“有理数”概念，既然a不是整数也不是分数，那么a一定不是有理数，这表明：有理数不够用

了.

5、找一找：小正方形边长为1，在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度不是有理数的线段。

6、画一画：在上边的正方形网格中，画出两条线段。a．长度是有理数的线段b．长度不是有理数的线段

在上边的正方形网格中画出四个三角形：

(1)．三边长都是有理数 (2)．只有两边长是有理数

(3)．只有一边长是有理数 (4)．三边长都不是有理数 8．仿一仿：例：在数轴上表示满足()2

20x x =>的x

解：

仿：在数轴上表示满足()2

50x x =>的x

三、当堂检测：

1、在等式 x 2

= 7中，下列说法正确的是（）

A. x 可能是整数

B. x 可能是分数

C. x 可能是有理数

D. x 不是有理数 2、做一个面积为13 cm 2

的正方形，它的边长可能是（）

A. 一个整数

B. 一个分数

C. 一个有理数

D. 一个无理数 2、下列各数中，是有理数的有（）

新北师大版初中八年级数学上册2.1认识无理数1公开课优质课教学设计

2．1 认识无理数

1．了解无理数的概念及意义，会判断一个数是有理数还是无理数；(重点)

2．会对一个无理数进行估算．(难点)

一、情境导入

拼图发现新数——无理数

请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形纸片和剪刀，按虚线剪开拼成一个大的正方形．

因为两个小正方形面积之和等于大正方形的面积，所以根据正方形面积公式可知a 2＝2，那么a 是整数吗？a 是分数吗？

二、合作探究

探究点一：无理数的概念及认识

下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

3．14，－53，0.58··，－0.125，－5π，0.35，227

，5.3131131113…(相邻两个3之间1的个数逐次加1)．

解析：准确理解有理数和无理数的概念是解答本题的关键．任何有限小数或无限循环小数都是有理数；无限不循环小数称为无理数，故－5π，5.3131131113…是无理数，其他都是有理数．

解：有理数：3.14，－5

，0.58··，－0.125，0.35，

；无理数：－5π，5.3131131113…

(相邻两个3之间1的个数逐次加1)．

方法总结：有理数与无理数的主要区别．

(1)无理数是无限不循环小数，而有理数可以用有限小数或无限循环小数表示．

(2)任何一个有理数都可以化为分数形式，而无理数则不能．

探究点二：借助计算器用“夹逼法”求无理数的近似值

正数x满足x2＝17，则x精确到十分位的值是________．

解析：已知x2＝17，所以4<x<5，4.12＝16.81<17，4.22＝17.64>17，所以4.1<x<4.2.又因为4.122＝16.9744<17，4.132＝17.0569>17，所以4.12<x<4.13.故x 精确到十分位是4.1.

2.1认识无理数教学设计北师大版八年级数学上册

整数之比来表示。毕达哥拉斯的学生希帕索斯发
现了一种数无法用整数或者整数之比来表示。他
的新发现与毕达哥拉斯学派内部形成了对立，引
起了学派内部的恐慌,因为他违背了毕达哥拉斯
派的信条，而且冲击着当时希腊人持有的“一切
量都可以用有理数表示”的信仰，引发了第一次
数学危机。为了减少希帕索斯的影响，毕达哥拉
斯命人把希帕索斯扔进了爱琴海。
设计意图
回顾本节课的知识形成过程，建立知识体系，让学生数学的发展史给自己带来的体会和思考，从而树立
更远大的目标，形成正确的人生观和价值观。
7.板书设计
a2 2
估算 1：因为12 1，, 22 4 ，所以 1<a<2
估算 2: 因为1.52 2.25，所以 1<a<1.5
实数
有理数无理数的定义：
理数构成了实数。
除了像刚才我们举出的例子，像我们非常熟悉的
圆周率 π=3.1415926...也是一个无限不循环小数，因此它也是个无理数。
再如：0.585885888588885...（相邻两个 5 之间 8 的个数逐次加 1），也是无理数。
设计意图
问题 7 是进一步丰富无理数的实际背景，使学生体会到无理数在现实生活中大量存在。目前学生只能以几何图形为背景，借助勾股定理进行举例，因此在下完定义后的举例说明中，给出了两个不同类型的无理数，再一次丰富学生的认知。在给出定义的环节，结合学生之前的学习有理数的经验，对数系继续进行扩充，自然而然地得到了实数的定义。

认识无理数优秀教案

2.1认识无理数

（第一课时）

一、教学目标叙写

１．学生通过预习教材21页,并思考情景引入中的问题1．

２．学生通过合作探究部分，初步感知数不够用了,让学生充分感受“新数”（无理数）的存在.

３．学生通过交流知识点、易错点和思想方法，培养学生归纳能力和有条理的表达能力．４．学生能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解．

二、教学重难点

１．重点：让学生经历无理数的发现过程.

２．难点：会判断一个数是否为无理数．

三、教学过程

（一）、情景引入

［师］同学们,我们上了好多年的学,学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢?

［生］在小学我们学过自然数、小数、分数.

［生］在初一我们还学过负数.

［师］对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题.

1、思考：⑴一个整数的平方一定是整数吗？⑵一个分数的平方一定是分数吗？

2、已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边长x的平方，并提出问题：x是整数（或分数）吗？

（二）、自主探究

1.问题的提出

［师］请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？

［生］好.(学生非常高兴地投入活动中).

［师］经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请同学们把自己拼的图展示一下.

同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师.

认识无理数2.1

2
1
（2）设该正方形的边长为b，b满足什么条件？
（3）b是有理数吗？
随堂练习
（1）、如图，正三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？
长，宽分别是3，2的长方形，它的对角线的长可能是整数吗？可能是分数吗？
画一画
如下图，是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段。
通过这节课的学习,你能有哪些收获?
1.用计算器进行无理数的估算. 2.无理数的定义. 3.判断一个数是无理数或有理数.
数学是锻炼思维的体操，体操能使你身体健康，动作敏捷；数学能使你的思想正确敏捷，有了正确的思想，你才有可能爬上科学的大山。同学们，让我们一起走进美妙的数学世界——
• 2.1认识无理数（一）
Ⅰ.创设问题情境,引入新课：我们学过不计其数的数 ,概括起来我们都学过哪些数呢? 我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题.
面积为2的正方形边长a究竟是多少呢？请同学们借助计算器进行探索
边长a 面积s
1<a<2

2.1+认识无理数+课件+++2023-2024学年北师大版八年级上册数学

【当堂检测】
4.一个正方形的面积是43,估计它的边长大小在（ D） A. 3与4之间 B. 4与4之间 C. 5与6之间 D. 6与7之间
五、课堂总结
无理数的概念及认识
认识无理数区分无理数和有理数
借助计算器估算无理数的值
（2）估计面积为5的正方形的边长b的值（结果精确到0.1），并用计算器验证你的估计.
同理可得，b=2.236067978…它也是一个无限不循环小数.
三、概念剖析
归纳总结
任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 无限不循环小数称为无理数. 如π=3.14159265…，0.101 001 000 1…（两个1之间依次多1个0）
例2：下列各数中，是无理数的为（ C ）
A. 3.14
1
B.
3
C. 0.30530553Biblioteka Baidu555…
D.0.4
1
解析：3.14是小数，3
是分数0.4.是无限循环小数，所以选项A,B,D都是有理
数；0.305305530555…是无限不循环小数，所以是无理数.
注意：3.14与π是不同的，3.14只是π的近似值，并不等同于π.
【当堂检测】
3.有六个数：0.123，（-1.5）3，3.1416，2， 11 ，

八年级数学上册第2章名师教案：认识无理数(1)(北师大版)

北师大版数学八年级上册 2.1认识无理数（1）名师教案

（2）a可能是整数吗？说说你的理由.

（3）a可能是分数吗？说说你的理由.

师：事实上，我们可以证明，在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数.

【做一做】

（1）如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？

（2）设该正方形的边长为b，b满足什么条件？（3）b是有理数吗?

【总结提升】的大正方形的

面积是2，如

果大正方形的

边长为a，a

应该满足

a2=2.

没有两个相等

的整数的积等

于2,也没有

两个相等的分

数的积等于

2,因此a不可

能是有理数.

生：由勾股定

理可知，直角

三角形的斜边

的平方为5，

所以正方形的

面积是5.

b2 = 5

生：没有一个

整数或分数的

平方为5，也

就是没有一个

有理数的平方

为5，所以b

不是有理数.

创设从感性到理

性的认知过程,

让学生充分感受

“新数”(无理

数)的存在,从而

激发学习新知的

兴趣 ,让学生感

受到无理数产生

的过程,确定存

在一种数与以往

学过的数不同,

了解学习“新数”

的必要性.

在上面的两个问题中，数a，b确实存在，但都不

是有理数.

在解决实际问题时，我们发现原来学习的有理数远

远不能满足解决实际问题的需要，也就是存在这样

的一类数，既不是整数也不是分数，或者说不是有

理数．

课堂练习 1.在直角三角形中两个直角边长分别为2和3,则斜边的长(B)

A.是有理数

B.不是有理数

C.不确定

D.4

2.下列面积的正方形,边长不是有理数的是(C)

A. 16

B. 25

C. 2

D. 4

3. 已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝5，

那么斜边AB的长是(D)

北师大版-数学-八年级上册-2.1(2)认识无理数教学设计

《2.1认识无理数（1）》教学设计

教学目标：

1．通过拼图，体验无理数的存在；

2．感受无理数产生的实际背景和引入的必要性；

3．发展和情推理能力，进一步体会数学与现实生活的紧密联；

教学重点：

了解无理数与有理数的区别，并能正确判断。

教学难点：

把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程。

教学过程：

一、导入新课

同学们，我们已经上了7年的学，学过了不计其数的数，概括起来我们都学过哪些数呢？

我们在小学学过自然数、小数、分数。

在七年级，我们发现数不够用了，引入了负数，把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否满足我们实际生活的需要呢？下面我们就共同研究这个问题。

活动过程：通过对学过的数的分类，为无理数的引入做铺垫。

活动成果：一方面对学过的数进行分类，另一方面激发学生求知欲，为继续探究有理数之外的数做铺垫。

【设计意图】：通过列举学过的数，对学过的数进行分类整理，猜想是否在有理数之外还存在着一些数，激发学生探究热情。

二、探究新知

活动一：

请大家四人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形。

活动过程：通过小组合作交流，动手操作得到一个大的正方形，体验在拼图过程中的等量关系。

活动成果：通过拼图，调动学生的学习热情，同时引入无理数的感念。

【设计意图】：通过小组合作交流，拼图得到一个较大的正方形的过程，即锻炼了学生的动手能力，有为本节课的引入做了铺垫，同时还验证了无理数的存在。活动二：

八年级数学上册第二章实数 2.1 认识无理数学案(新版)北师大版

第二章实数

2.1 认识无理数

第一环节：质疑

【想一想】

⑴一个整数的平方一定是整数吗？

⑵一个分数的平方一定是分数吗？

第二环节：课题引入

【算一算】

一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边长x的平方，问题：x是整数〔或分数〕吗？

【剪剪拼拼】

把边长为1的两个小正方形通过剪、拼，设法拼成一个大正方形，你会吗？

第三环节：获取新知

a=，请问：①a可能是整数吗？②a可能是分数吗？

【议一议】：22

a=的a为什么不是整数？

【释一释】：释1．满足22

释2．满足2

2a =的a 为什么不是分数？

【忆一忆】：回忆“有理数〞概念，既然a 不是整数也不是分数，那么a 一定不是有

理数，这说明：有理数不够用了，为“新数〞〔无理数〕的学习奠定了

根底

【找一找】：在以下正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度不是有

理数的线段

第四环节：应用与稳固

【画一画1】：在右1的正方形网格中，画出两条线段：

1．长度是有理数的线段

2．长度不是有理数的线段〔右1〕

【画一画2】：在右2的正方形网格中画出四个三角形

2．三边长都是有理数 2．只有两边长是有理数

3．只有一边长是有理数 4．三边长都不是有理数

【仿一仿】：例：在数轴上表示满足()220x x =>的x

解：〔右2〕

仿：在数轴上表示满足()2

50x x =>的x

【赛一赛】：右3是由五个单位正方形组成的纸片，请你把

它剪成三块，然后拼成一个正方形，你会吗？试试看！〔右3〕

第五环节：课堂小结

内容：

1．通过本课学习，感受有理数又不够用了，请问你有什么收获与体会？

北师大版八年级数学上册：2.1《认识无理数》教案

一. 教材分析

《认识无理数》是北师大版八年级数学上册第二章的第一节内容。本节课的主要内容是让学生了解无理数的概念，理解无理数与有理数的关系，以及掌握一些估算无理数大小方法。教材通过引入π和√2等实际例子，帮助学生建立起无理数的直观印象，进而引导学生通过观察、思考、探究，发现无理数的特点和性质。

二. 学情分析

学生在学习本节课之前，已经学习了有理数的相关知识，对数的概念有一定的了解。但是，学生对无理数的概念和性质可能感到陌生，理解起来有一定难度。因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，通过生动具体的例子和实际操作，帮助学生理解和掌握无理数的概念。

三. 教学目标

1.了解无理数的概念，理解无理数与有理数的关系。

2.能够运用逼近法估算无理数的大小。

3.培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。

四. 教学重难点

1.重点：无理数的概念和性质。

2.难点：理解无理数与有理数的关系，以及运用逼近法估算无理数的大

小。

五. 教学方法

1.采用情境教学法，通过引入实际例子，激发学生的学习兴趣。

2.采用探究教学法，引导学生通过观察、思考、动手操作，自主发现无

理数的特点和性质。

3.采用讲解法，教师详细讲解无理数的概念和性质，引导学生理解和掌

握。

4.采用小组合作学习法，鼓励学生互相讨论、交流，共同解决问题。