高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程测标题无答案新人教A版选(1)

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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程练习含解析新人教A版选修111104

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程练习含解析新人教A 版选修111104[学生用书P109(单独成册)])[A 基础达标]1．动点P (x ，y )到点F (3，0)的距离比它到直线x ＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．双曲线的一支D ．抛物线解析：选D.依题意可知动点P (x ，y )在直线右侧，设P 到直线x ＋2＝0的距离为d ，则|PF |＝d ＋1，所以动点P 到F (3，0)的距离与到x ＋3＝0的距离相等，其轨迹为抛物线．故选D.2．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B.因为a 2＝6，b 2＝2，所以c 2＝a 2－b 2＝4，c ＝2，即椭圆的右焦点为(2，0)，所以抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为(2，0)，所以p2＝2，p ＝4.3．经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝x 或x 2＝－8y B ．y 2＝x 或y 2＝8x C ．y 2＝－8xD ．x 2＝－8y解析：选A.因为点P 在第四象限，所以抛物线开口向右或向下．当开口向右时，设抛物线方程为y 2＝2p 1x (p 1>0)，则(－2)2＝8p 1，所以p 1＝12，所以抛物线方程为y 2＝x .当开口向下时，设抛物线方程为x 2＝－2p 2y (p 2>0)，则42＝4p 2，p 2＝4，所以抛物线方程为x 2＝－8y .4．已知P (8，a )在抛物线y 2＝4px (p >0)上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析：选B.由题意可知准线方程为x ＝－p ，所以8＋p ＝10，所以p ＝2. 所以焦点到准线的距离为2p ＝4.5．在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)的曲线大致是( )解析：选D.a 2x 2＋b 2y 2＝1其标准方程为x 21a 2＋y 21b 2＝1，因为a >b >0，所以1a 2<1b2，表示焦点在y轴上的椭圆；ax ＋by 2＝0其标准方程为y 2＝－abx ，表示焦点在x 的负半轴的抛物线．6．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线相切，则p ＝________．解析：由题意知圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝16，圆心为(3，0)，半径为4，抛物线的准线为x ＝－p 2，由题意知3＋p2＝4，所以p ＝2.答案：27．在抛物线y 2＝－12x 上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________．解析：由方程y 2＝－12x ，知焦点F (－3，0)，准线l ：x ＝3.设所求点为P (x ，y )，则由定义知|PF |＝3－x .又|PF |＝9，所以3－x ＝9，x ＝－6，代入y 2＝－12x ，得y ＝±6 2.所以所求点的坐标为(－6，62)，(－6，－62)．答案：(－6，62)，(－6，－62)8．若抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点的横坐标是________．解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知点A 到焦点F 的距离等于点A 到准线的距离，即|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋12.同理|BF |＝x 2＋p 2＝x 2＋12.故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋1＝5，即x 1＋x 2＝4，得x 1＋x 22＝2，故线段AB 的中点的横坐标是2.答案：29．根据下列条件求抛物线的标准方程．(1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5. 解：(1)由双曲线方程得x 29－y 216＝1，其左顶点为(－3，0)．因此抛物线的焦点为(－3，0)．设其标准方程为y 2＝－2px (p >0)，则p2＝3.所以p ＝6.因此抛物线的标准方程为y 2＝－12x .(2)当抛物线开口向右时，设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)， A (x 0，－3)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧9＝2px 0，x 0＋p2＝5. 解得p ＝1，或p ＝9.当抛物线开口向左时，设抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)， A (x 0，－3)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧9＝－2px 0，p2－x 0＝5.解得p ＝1或p ＝9. 综上所述，所求抛物线的标准方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .10.如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB |＝18米，拱顶距离水面8米，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF .若|CD |＝9米，那么|DE |不超过多少米才能使货船通过拱桥？解：如图所示，以点O 为原点，过点O 且平行于AB 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，则B (9，－8)．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．因为B 点在抛物线上，所以81＝－2p ·(－8)，所以p ＝8116，所以抛物线的方程为x 2＝－818y .当x ＝92时，y ＝－2，即|DE |＝8－2＝6.所以|DE |不超过6米才能使货船通过拱桥．[B 能力提升]11．(2019·德州检测)已知O 为坐标原点，A (0，2)，抛物线C ：y 2＝mx (m >0)的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM |∶|MN |＝1∶3，则△OFN 的面积为( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5解析：选A.抛物线C ：y 2＝mx 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫m4，0，设点N 的坐标为(x N ，y N )，点M 在准线上的射影为点K ，由抛物线的定义，知|MF |＝|MK |，由|FM |∶|MN |＝1∶3，可得|KM |∶|MN |＝1∶3，则|KN |∶|KM |＝2∶1，k FN ＝0－2m 4－0＝－8m .又k FN ＝－|KN ||KM |＝－2，所以8m ＝2，即m＝42，所以y N ＝4，故△OFN 的面积为12·y N ·|OF |＝12×4×2＝2 2.故选A.12．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三个不同的点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝________．解析：因为FA →＋FB →＋FC →＝0，所以点F 为△ABC 的重心，所以A ，B ，C 三点的横坐标之和为点F 的横坐标的三倍，即x A ＋x B ＋x C ＝3，所以|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝x A ＋1＋x B ＋1＋x C ＋1＝6.答案：613．如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，点A 到抛物线准线的距离等于5，过点A 作AB 垂直于y 轴，垂足为点B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)过点M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)由题意得A (4，4)，B (0，4)，M (0，2)．又F (1，0)，所以k AF ＝43，则直线FA 的方程为y ＝43(x －1)．因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34，则MN 的方程为y ＝－34x ＋2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－34x ＋2，y ＝43（x －1），得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝45，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45. 14．(选做题)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点． (1)若点P 到直线x ＝－1的距离为d ，A (－1，1)，求|PA |＋d 的最小值； (2)若B (3，2)，求|PB |＋|PF |的最小值．解：(1)依题意，抛物线的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线的定义，知|PF |＝d ，于是问题转化为求|PA |＋|PF |的最小值．如图(1)所示，连接AF ，交抛物线于点P ，则|PA |＋d 的最小值为22＋12＝ 5.(2)把点B 的横坐标代入y 2＝4x 中，得y ＝±23，因为23>2，所以点B 在抛物线内部．自点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1(如图(2)所示)．由抛物线的定义，知|P 1Q |＝|P 1F |，则|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝3＋1＝4.即|PB |＋|PF |的最小值为4.。

高中数学第2章圆锥曲线与方程 2.3.1 抛物线及其标准方程新人教A版选修1-1

答案
知识点二抛物线标准方程的几种形式
图形
标准方程焦点坐标准线方程
___y_2＝_2_p_x(_p_>0_)___ (p2，0)
x＝－p2
_____________
y2＝－2px(p>0)
__
(－p2，0)
x＝p2
答案
__x_2_＝_2_py_(p_>_0_) __
(0，p2)
y＝－p2
____________
解析答案
12345
4.已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－离之和的最小值是( A )
A.2
B.3
C.151
D.3176
解析易知直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线，
如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为PF的长度，
答案
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题型探究
题型一求抛物线的标准方程例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)焦点为(－2,0)；解由于焦点在 x 轴的负半轴上，且p2＝2， ∴p＝4，∴抛物线的标准方程为y2＝－8x. (2)准线为y＝－1；解 ∵焦点在 y 轴正半轴上，且p2＝1， ∴p＝2，∴抛物线的标准方程为x2＝4y.
17 2.
解析答案
题型三抛物线的实际应用例3 如图所示，一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍，若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 如图所示，一隧道内设双行线公路，
其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，
12345
3.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线 x42－y22＝1上，则抛物线的方程为( D )

2019年秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程测标题无答案新人教A版选修1_12017071028

抛物线及其标准方程本试卷满分60+5分一.选择题（每小题5分，共30分）1．抛物线y ＝1ax 2(a ＞0)的焦点坐标是 ( ) A ．(0，a 4)或(0，-a 4) B ．(0，a 4) C ．(0，14a )或(0，-14a) D ．(0，14a )2．抛物线y 2＝4x 上一点P 到焦点F 的距离是10，则点P 到直线x ＝-2的距离是( )A ．10B ．11C ．9D ．123．动圆M 经过点A(3,0)且与直线l ：x ＝-3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝9xC ．y 2＝3xD ．y 2＝6x4．抛物线y=ax 2的准线方程为y=2，则a 的值为 ( )A ．18B ．-18C ．8D ．-85．抛物线x 2=4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5 6．抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线x+y+2=0上，则此抛物线的方程为( )A ．y 2=4x 与y 2=-4xB ．x 2=4y 与y 2= -4x C ．x 2=-8y 与y 2=-8xD ．x 2= 8y 与y 2= -8x二.填空题（每小题5分，共10分）7．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标是_____________．8．动点P 在抛物线y ＝2x 2＋1上移动，则P 点与A(0，1)的连线中点的轨迹方程是______________．三.解答题（每小题10分，共20分） 9．点M 与点F(4,0)的距离比它到直线L:x+5=0的距离小1，求点M 的轨迹方程．10．若抛物线型拱桥顶距离水面2米，水面宽4米，当水下降1米后，求水面宽为多少米．附加题（5分）设抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A. 2248y x y x ==或B. 2228y x y x ==或C. 22416y x y x ==或D. 22216y x y x ==或。

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程课件新人教A版选修1_1

第二章
圆锥曲线与方程
2.3 抛物线
2.3.1 抛物线及其标准方程
1
自主预习 ·探新知
2
互动探究 ·攻重难
3
课堂达标 ·固基础
4
课时作业 ·练素能
自主预习·探新知
你可曾留意枝头上的鸟儿展翅高飞的那一瞬间在天空留下的魅力弧线？你可曾看到流星划过天际残留的星痕？你可曾欣赏运动员跳高时纵身一跃所形成的完美曲线？你可曾游览被誉为“西湖十景”之一的“断桥残雪”？……那些就是一条条优美的抛物线.
(2)∵点(3，－4)在第四象限， ∴设抛物线的标准方程为 y2＝2px(p>0)或 x2＝－2p1y(p1>0)．把点(3，－4)的坐标分别代入 y2＝2px 和 x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3,32＝－ 2p1·(－4)，即 2p＝136，2p1＝94. ∴所求抛物线的标准方程为 y2＝136x 或 x2＝－94y. (3)令 x＝0 得 y＝－5；令 y＝0 得 x＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)． ∴所求抛物线的标准方程为 x2＝－20y 或 y2＝－60x.
(p2，0)
x＝－p2
_____y_2＝__－__2_p_x_(_p_>_0_)____ (－p2，0)
x＝p2
图形
标准方程
焦点坐标准线方程
_____x2_＝__2_p_y_(_p_>_0_)____
(0，p2)
y＝－p2
____x_2_＝__－__2_p_y_(p_>__0_) ____ (0，－p2)
3．(2020·福州市八县(市)协作校期末)y＝2x2 的焦点坐标是( D )

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程新人教A版选修

[问题1] 画出的曲线是什么形状？ [提示1] 抛物线． [问题2] 点D在移动过程中，满足什么条件？ [提示2] 点D到直线EF的距离|DA|等于DC. [问题3] 到定点F和定直线l距离相等的点的轨迹方程是什么？ [提示3] 抛物线．
抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条直线l(l不经过点F)_距__离__相__等__的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的__焦__点__，直线l叫做抛物线的_准__线___．
解析： (1)设抛物线的标准方程为 y2＝2px(p>0)，其焦点为 p2，0，根据题意有p2＝3，故 p＝6，
因此，标准方程为 y2＝12x. (2)设抛物线的标准方程为 y2＝2px(p>0)，其准线方程为 x＝－52，由题意有－p2＝－52，故 p＝5，因此，标准方程为 y2＝10x.
合作探究课堂互动
求抛物线的焦点坐标及准线方程
求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)y2＝－14x；(2)5x2－2y＝0；(3)y2＝ax(a>0)． [思路点拨] (1)是标准形式，可直接求出焦点坐标和准线方程； (2)(3)需先将方程化为标准形式，再对应写出焦点坐标和准线方程．
(1)因为 p＝7，所以焦点坐标是－72，0，准线方程是 x＝72.
1．已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点和准线方程．
(1)y2＝6x；(2)2y2－5x＝0；(3)y＝ax2.
解析： (1)∵2p＝6，∴p＝3，开口向右．则焦点坐标是 32，0，准线方程为 x＝－32.
(2)将 2y2－5x＝0 变形为 y2＝52x. ∴2p＝52，p＝54，开口向右． ∴焦点为58，0，准线方程为 x＝－58. (3)抛物线方程 y＝ax2(a≠0)化为标准形式：x2＝1ay，当 a＞0 时，则 2p＝1a，解得 p＝21a，p2＝41a，

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.1抛物线及其标准方程测标题无答案新人教A版选修

抛物线及其标准方程本试卷满分60+5分一.选择题（每小题5分，共30分）1.抛物线y ＝1a x 2(a ＞0)的焦点坐标是 ( )A ．(0，a 4)或(0，-a4)B ．(0，a4)C ．(0，14a )或(0，-14a)D ．(0，14a)2.动圆M 经过点A(3,0)且与直线l ：x ＝-3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是( ) A ．y 2＝12x B ．y 2＝9x C ．y 2＝3xD ．y 2＝6x3.抛物线y 2＝4x 上一点P 到焦点F 的距离是10，则点P 到直线x ＝-2的距离是( ) A ．10 B ．11 C ．9D ．124.已知抛物线y 2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y 2=16相切,则p 的值为 ( )A ．12B ．1C ．2D ．4 5．抛物线x 2=4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为 ( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．56．抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线x+y+2=0上，则此抛物线的方程为 ( )A ．y 2=4x 与y 2=-4xB ．x 2=4y 与y 2= -4xC ．x 2=-8y 与y 2=-8x D ．x 2= 8y 与y 2= -8x 二.填空题（每小题5分，共10分）7.抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标是___________．8．动点P 在抛物线y ＝2x 2＋1上移动，则P 点与A(0，1)的连线中点的轨迹方程是______________．三.解答题（每小题10分，共20分）9．点M 与点F(4,0)的距离比它到直线L:x+5=0的距离小1，求点M 的轨迹方程．10．抛物线y 2=2x 上距离点M(m,0)(m>0)最近的点恰好是抛物线的顶点，则m 的取值范围．附加题（5分）设抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A 2248y x y x ==或B 2228y x y x ==或C 22416y x y x ==或D 22216y x y x ==或。

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程课件新人教A版选修1-

8
与抛物线有关的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，本题运用抛物线的定义“化折(线)为直”，充分体现了数学中的转化思想．
3．已知点 M(－2,4)及焦点为 F 的抛物线 y＝18x2，在抛物线上求一点 P，使|PM|＋|PF|的值最小．
【解析】如图所示，设抛物线上的点 P 到准线的距离为|PQ|. 由抛物线的定义，知|PF|＝|PQ|，∴|PF|＋|PM|＝|PQ|＋|PM|.当 P， Q，M 三点共线时，|PM|＋|PF|最小．由 M(－2,4)，可设 P(－2， y0)，代入 y＝18x2，得 y0＝12，故 P 点的坐标为－2，12.
2.3 抛物线抛物线及其标准方程
目标定位
重点难点
1.掌握抛物线的定义、几何图形
和标准方程
重点：抛物线的方程
2．能根据条件确定抛物线的标准难点：抛物线的方程方程
1．抛物线的定义平面内与一定点 F 和一条定直线 l(距不离经相等过点 F)__________ 的点的轨迹叫作抛物线．点焦F点叫作抛物线的 ________，直准线线l叫作抛物线的____________．
∴F(－1,0)或 F(－9,0)．若 F(－1,0)，则 p＝2，方程为 y2＝－4x; 若 F(－9,0)，则 p＝18，方程为 y2＝－36x.故选 B. 【错因分析】由已知求出 F(－1,0)或 F(－9,0)，只说明这两点到点(－5，－2 5)的距离为 6，并不代表点(－5，－2 5)一定在以 F(－1,0)或 F(－9,0)为焦点的抛物线上．
【解析】(1)∵抛物线焦点在 x 轴上且过点 M(－3，m)，∴
设抛物线方程为 y2＝－2px(p>0)，则焦点坐标 F－p2，0.

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.1抛物线及其标准方程学案无答案新人教A版选修(1)

2.4.1 抛物线及其标准方程学习目标：1.理解掌握抛物线的定义、标准方程及推导过程;2.掌握抛物线的定义及标准方程的应用.自主学习:抛物线的定义学习教材P64-65定义平面内与一个________和一条____________(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的______思考1、(1)在抛物线定义中,若去掉条件“l不经过点F”,点的轨迹还是抛物线吗?(2)椭圆与双曲线的焦点均有两个,抛物线的焦点有几个?自主学习:抛物线的标准方程思考2、类比椭圆、双曲线的标准方程的建立过程,你认为应如何选择坐标系,才能使所建立的抛物线的方程更简单?怎样推导抛物线的标准方程？小结1、抛物线的标准方程思考3、(1)总结双曲线标准方程的结构特征，如何由方程确定抛物线的开口方向？p的几何意义是什么?(2)方程)0(2≠=m mx y 及)0(2≠=m my x 表示的曲线是抛物线吗?若是,它的焦点坐标和准线方程是什么小结2、合作学习:例1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程(1) x y 42= (2)0522=+y x(3))0(2>=p px y (4))0(22≠=a ax y例2、求适合下列条件的抛物线的标准方程,并写出它们的焦点坐标和准线方程(1)顶点在原点,焦点到原点的距离为5,开口向下;(2)顶点在原点,过点)23,2(-H(3)焦点在直线01243=--y x 上自主学习:教材P66例1及例2思维拓展：已知抛物线y2 ,点P是此抛物线上一动点,点A的坐标为(12,6),求点P到点A的距离与x4其到x轴距离之和的最小值.变式:若改为“求点P到点A(2,3)的距离与其到焦点的距离之和的最小值”，怎样求解呢？改为：求ΔPAF周长的最小值呢？。

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程学案新人教A版选修1

学习资料2．3 抛物线2。

3。

1抛物线及其标准方程内容标准学科素养1.理解并掌握抛物线的定义．2.理解并掌握抛物线的标准方程．3。

掌握求抛物线标准方程的方法．4.会用抛物线的定义解决简单的轨迹问题。

发展逻辑推理提高数学运算能力授课提示：对应学生用书第39页［基础认识］知识点一抛物线的定义预习教材P56－57，思考并完成以下问题我们知道，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0)的图象是一条抛物线，而且研究过它的顶点坐标、对称轴等问题．那么，抛物线到底有怎样的几何特征？它还有哪些几何性质？如图，点F是定点，l是不经过点F的定直线．H是l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M。

拖动点H，观察点M的轨迹．你能发现点M满足的几何条件吗？提示:可以发现，点M随着H运动的过程中，始终有｜MF｜＝|MH|,即点M与定点F和定直线l的距离相等．知识梳理抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l（不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．这个定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．知识点二抛物线的标准方程知识梳理抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px（p〉0）错误!x＝－错误!y2＝－2px(p〉0) 错误!x＝错误!x2＝2py（p>0) 错误!y＝－错误!x2＝－2py（p>0) 错误!y＝错误!1．若动点P到点(3,0)的距离和它到直线x＝－3的距离相等,则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．抛物线C．直线D．双曲线答案：B2．抛物线x2＝错误!y的开口向________，焦点坐标为________，准线方程是________．答案：上错误!y＝－错误!3．若抛物线的准线方程是x＝5,则其标准方程为________，焦点坐标为________．答案：y2＝－20x(－5，0)授课提示：对应学生用书第40页探究一求抛物线的标准方程[阅读教材P58例1]（1)已知抛物线的标准方程是y2＝6x，求它的焦点坐标和准线方程; （2）已知抛物线的焦点是F（0,－2），求它的标准方程．题型：(1)利用标准方程,求焦点与准线．（2）根据条件求抛物线的标准方程．方法步骤：①先求出p的值，从而写出焦点坐标及准线方程．②先确定焦点的位置，求出p的值，写出抛物线的标准方程．［例1］分别求符合下列条件的抛物线的标准方程：（1）过点（－3，2）；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．［解析］(1）设抛物线的标准方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0），又点（－3，2)在抛物线上，∴2p ＝错误!或2p ＝错误!，∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－错误!x 或x 2＝错误!y .（2）当焦点在y 轴上时,已知方程x －2y －4＝0，令x ＝0,得y ＝－2,∴所求抛物线的焦点为(0,－2)，设抛物线的标准方程为x 2＝－2py （p >0），由错误!＝2,得2p ＝8，∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－8y ；当焦点在x 轴上时，已知x －2y －4＝0,令y ＝0,得x ＝4，∴抛物线的焦点为(4，0）,设抛物线的标准方程为y 2＝2px （p 〉0）,由错误!＝4,得2p ＝16，∴所求抛物线的标准方程为y 2＝16x 。

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程练习含解析新人教A版选修

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程练习含解析新人教A 版选修A 级基础巩固一、选择题1．准线方程为y ＝23的抛物线的标准方程为( )A ．x 2＝83yB ．x 2＝－83yC ．y 2＝－83xD ．y 2＝83x解析：由准线方程为y ＝23，知抛物线焦点在y 轴负半轴上，且p 2＝23，则p ＝43.故所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y .答案：B2．已知抛物线y －2 016x 2＝0，则它的焦点坐标是( ) A ．(504，0) B.⎝⎛⎭⎪⎫18 064，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 064 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1504 解析：抛物线的标准方程为x 2＝12 016y ，故其焦点为(0，18 064)．答案：C3．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1.答案：A4．一动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆过定点( ) A ．(4，0) B ．(2，0) C ．(0，2)D ．(0，4)解析：由题意易知直线x ＋2＝0为抛物线y 2＝8x 的准线，由抛物线的定义知动圆一定过抛物线的焦点．答案：B5．抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是焦点，|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( )A ．x 1，x 2，x 3成等差数列B ．x 1，x 3，x 2成等差数列C ．y 1，y 2，y 3成等差数列D ．y 1，y 3，y 2成等差数列解析：由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，|CF |＝x 3＋p2.因为|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，所以2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋p 2，即2x 2＝x 1＋x 3.故x 1，x 2，x 3成等差数列．故选A.答案：A 二、填空题6．抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 中点的横坐标是________．解析：由抛物线的定义知点A ，B 到准线的距离之和是5，则AB 的中点到准线的距离为52，故AB 中点的横坐标为x ＝52－12＝2.答案：27．抛物线过原点，焦点在y 轴上，其上一点P (m ，1)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程是________．解析：由题意，知抛物线开口向上，且1＋p2＝5，所以p ＝8，即抛物线的标准方程是x2＝16y .答案：x 2＝16y8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴建立直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py ，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p ＝1，所以x 2＝－2y .当y ＝－3时，x 2＝6，所以水面宽为2 6.答案：2 6 三、解答题9．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点(3，－4)；(2)焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上．解：(1)方法一因为点(3，－4)在第四象限，所以设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝－2p 1y (p 1>0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y 2＝2px 和x 2＝－2p 1y ，得(－4)2＝2p ·3，32＝－2p 1·(－4)，即2p ＝163，2p 1＝94.所以所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .方法二因为点(3，－4)在第四象限，所以抛物线的方程可设为y 2＝ax (a ≠0)或x 2＝by (b ≠0)．把点(3，－4)分别代入，可得a ＝163，b ＝－94.所以所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .(2)令x ＝0得y ＝－5；令y ＝0得x ＝－15. 所以抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0)．所以所求抛物线的标准方程为x 2＝－20y 或y 2＝－60x .10．动圆P 与定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，且与直线l ：x ＝1相切，求动圆圆心P 的轨迹方程．解：设动圆圆心P (x ，y )，过点P 作PD ⊥l 于点D ，作直线l ′：x ＝2，过点P 作PD ′⊥l ′于点D ′，连接PA .设圆A 的半径为r ，动圆P 的半径为R ，可知r ＝1. 因为圆P 与圆A 外切，所以|PA |＝R ＋r ＝R ＋1.又因为圆P 与直线l ：x ＝1相切，所以|PD ′|＝|PD |＋|DD ′|＝R ＋1.因为|PA |＝|PD ′|，即动点P 到定点A 与到定直线l ′距离相等，所以点P 的轨迹是以A 为焦点，以l ′为准线的抛物线．设抛物线的方程为y 2＝－2px (p >0)，可知p ＝4，所以所求的轨迹方程为y 2＝－8x .B 级能力提升1．点M (5，3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A ．y ＝12x 2B ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2C ．y ＝－36x 2D ．y ＝112x 2或y ＝－136x 2解析：当a ＞0时，抛物线开口向上，准线方程为y ＝－14a ，则点M 到准线的距离为3＋14a ＝6，解得a ＝112，抛物线方程为y ＝112x 2.当a ＜0时，开口向下，准线方程为y ＝－14a，点M 到准线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋14a ＝6，解得a ＝－136，抛物线方程为y ＝－136x 2.答案：D2．(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：方法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋p2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p 2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p . 联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，⇒2py a 2－y 2b 2＝1⇒y 2b 2－2pya2＋1＝0.由根与系数的关系得y 1＋y 2＝－－2pa 21b2＝2p a 2×b 2＝2b 2a2p .所以2b 2a 2p ＝p ⇒b 2a 2＝12⇒b a ＝22，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 方法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF|＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p2，|OF |＝p 2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 222p －x 212p x 2－x 1＝x 2＋x 12p.由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）＝b 2a 2·x 1＋x 2p ，则b 2a 2·x 1＋x 2p ＝x 2＋x 12p，所以b 2a 2＝12⇒b a ＝22，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .答案：y ＝±22x 3.如图所示，一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口宽AB 恰好是拱高CD 的4倍，若拱口宽为a m ，求能使卡车通过的a 的最小整数值．解：以拱顶为原点，拱高所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a4.设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，因为点B 在抛物线上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝－2p ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，解得p ＝a2，所以抛物线方程为x 2＝－ay .将点E (0.8，y )代入抛物线方程，得y ＝－0.64a.所以点E 到拱底AB 的距离为a 4－|y |＝a 4－0.64a>3.解得a >12.21.因为a 取整数，所以a 的最小整数值为13.。

秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程学案新人教A版选修1-1(2

2018年秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程学案新人教A版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程学案新人教A版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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2。

3。

1 抛物线及其标准方程学习目标：1。

掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．（重点)2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点)3。

明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．(难点）[自主预习·探新知］1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．思考1：抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么点的轨迹是什么？［提示]点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．2．抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px（p>0）F错误!x＝－错误!y2＝－2px(p>0)F错误!x＝错误!x2＝2py(p>0)F错误!y＝－错误!x2＝－2py（p>0）F错误!y＝错误!(2）根据抛物线方程如何确定焦点的位置?［提示］（1)p的几何意义是焦点到准线的距离．（2）根据抛物线方程中一次式±2px，±2py来确定焦点位置，“x，y”表示焦点在x轴或y轴上，系数“±2p”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上．［基础自测］1．思考辨析（1)并非所有二次函数的图象都是抛物线．( )(2）抛物线是双曲线的一支．（)（3)抛物线的标准方程有四种不同的形式，它们的共同点为“顶点在原点,焦点在坐标轴上．”（) [答案］（1）×(2）×(3)√2．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是( )A．(2，0）B．（－2，0）C．(4，0) D．（－4，0)B[抛物线y2＝－8x的焦点在x轴的负半轴上，且错误!＝2,因此焦点坐标是(－2,0）．] 3．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是（）A．1 B．2C．4 D．8C[由y2＝8x得p＝4，即焦点到准线的距离为4。

高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.3.1 抛物线及其标准方程综合提升案新人教A版高二选修1-1

2-3-1抛物线及其标准方程综合提升案·核心素养达成[限时40分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．抛物线y ＝－18x 2的准线方程是 A ．x ＝132B ．x ＝12C ．y ＝2D ．y ＝4解析抛物线y ＝－18x 2的方程可化为x 2＝－8y ，所以其准线方程为y ＝2. 答案 C2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是A ．y 2＝－8xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝4x解析由抛物线的准线方程为x ＝－2知p ＝4，且开口向右，故抛物线的方程为y 2＝8x . 答案 C3．若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P 的轨迹方程为A ．x 2＝12yB ．y 2＝12xC ．x 2＝4yD ．x 2＝6y解析由题意知点P 到直线y ＝－3的距离等于它到点(0，3)的距离，故点P 的轨迹方程为x 2＝12y .答案 A4．抛物线y 2＝ax 的焦点与双曲线x 23－y 2＝1的左焦点重合，则这条抛物线的方程是 A ．y 2＝4x B ．y 2＝－4xC ．y 2＝－42xD ．y 2＝－8x解析 ∵x 23－y 2＝1的左焦点为(－2，0)， ∴抛物线开口向左，∴a ＜0，且p ＝|a |2＝4.∴a ＝－8. ∴抛物线方程为y 2＝－8x .故选D.答案 D5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为A.12B ．1C ．2D ．4 解析 ∵抛物线y 2＝2px 的准线x ＝－p 2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，∴－p2＝－1，即p ＝2.答案 C 6．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取最小值时，点P 的坐标为 A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 C ．(1，2) D ．(1，－2)解析点P 到抛物线焦点距离等于点P 到抛物线准线距离，如图，|PF |＋|PQ |＝|PS |＋|PQ |，故最小值在S 、P 、Q 三点共线时取得，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1. 答案 A二、填空题(每小题5分，共15分)7．若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________．解析抛物线的准线方程为x ＝－p 2，p >0，双曲线的焦点为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，所以－p2＝－2，p ＝2 2. 答案 2 2 8．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，双曲线x 2－y 2a ＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a ＝________．解析根据抛物线的定义得1＋p2＝5，p ＝8. 不妨取M (1，4)，则AM 的斜率为2，由已知得－a ×2＝－1，故a ＝14. 答案 149．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号)．解析抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x 上一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．答案 ②④三、解答题(共35分)10．(10分)已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．解析设抛物线方程为y 2＝－2px (p ＞0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0，由题意可得⎩⎨⎧m 2＝6p ， m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－p 22＝5，解得⎩⎨⎧m ＝26p ＝4或⎩⎨⎧m ＝－26，p ＝4，故所求的抛物线方程为y 2＝－8x .∴m 的值为±2 6. 11．(10分)设抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A ∈C ，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于B ，D 两点．若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程．解析因为以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于B ，D 两点，所以△BFD 为等腰直角三角形，故斜边|BD |＝2p ，又点A 到准线l 的距离d ＝|FA |＝|FB |＝2p ，所以S △ABD ＝42＝12|BD |×d ＝12×2p ×2p ，所以p ＝2.所以圆F 的圆心为(0，1)，半径r ＝|FA |＝22，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8.12．(15分)已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设A ，B 是抛物线C 上的两个动点(AB 不垂直于x 轴)，且|AF |＋|BF |＝8，线段AB 的垂直平分线恒经过定点Q (6，0)，求抛物线的方程．解析设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则其准线为x ＝－p2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为|AF |＋|BF |＝8，所以x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝8，即 x 1＋x 2＝8－p .因为Q (6，0)在线段AB 的垂直平分线上，所以|QA |＝|QB |，即（6－x 1）2＋（－y 1）2＝（6－x 2）2＋（－y 2）2，又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以(x 1－x 2)(x 1＋x 2－12＋2p )＝0，因为AB 与x 轴不垂直，所以x 1≠x 2. 故x 1＋x 2－12＋2p ＝8－p －12＋2p ＝0，即p ＝4. 从而抛物线的方程为y 2＝8x .。

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程课件新人教A版选修11[1]

把点(-3,2)的坐标分别代入 y2=-2px(p>0)和 x2=2py(p>0),得
4=-2p×(-3)或 9=2p·2,
4
9
即 2p= 3 或2p= 2.
∴所求抛物线的标准方程为 y
2
4
9
2
=− 3 或x = 2 .
第十一页，共21页。
题型一
题型二
题型三
(2)令 x=0,得 y=-2;令 y=0,得 x=4.
p
0,2
y= 2
第六页，共21页。
p
p
2
1
2
归纳总结四种位置的抛物线标准方程的对比:
(1)共同点:①原点在抛物线上;
②焦点在坐标轴上;
1
③焦点的非零坐标都是一次项系数(xìshù
. )的
4
(2)不同点:①当焦点在x轴上时,方程的右端为±2px,左端为y2;当焦
点在y轴上时,方程的右端为±2py,左端为x2;
1
2
【做一做1-1】抛物线x2=-16y的焦点坐标是(
)
A.(0,-4)
B.(0,4)
C.(4,0) D.(-4,0)
答案:A
【做一做1-2】若动点P到定点F(-4,0)的距离(jùlí)与到直线x=4的距离
(jùlí)相等,则点P的轨迹是(
)
A.抛物线
B.线段
C.直线D.射线
解析:由抛物线的定义,到定点F的距离(jùlí)与到定直线距离(jùlí)相等
建立直角坐标系xOy,如图.
因为灯口直径(zhíjìng)|AB|=24 cm,灯深|OP|=10 cm,
所以点A的坐标是(10,12).
设抛物线的方程为y2=2px(p>0),由点A(10,12)

2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程学案新人教A版选修1-1

2.3.1 抛物线及其标准方程1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.(重点)2.会求简单的抛物线的方程.(重点)3.了解抛物线的实际应用.(难点)4.能区分抛物线标准方程的四种形式.(易混点)[基础·初探]教材整理抛物线的定义与标准方程阅读教材P56～P58“思考”部分，完成下列问题.1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程四种不同标准形式的抛物线方程判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离.( )(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定.( )(3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线.( ) (4)抛物线可看作双曲线的一支.( ) 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)×[小组合作型]求适合下列条件的抛物线的标准方程，并写出它们的准线方程和焦点坐标. (1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x －2y －4＝0上； (3)焦点到准线的距离为52.【精彩点拨】本题主要考查抛物线标准方程的求法，解题的关键是明确标准方程的类型和参数p 的值.【自主解答】 (1)∵点(－3,2)在第二象限， ∴设抛物线方程为y 2＝－2px 或x 2＝2py (p >0). 将点(－3,2)代入方程，得2p ＝43或2p ＝92.∴当焦点在x 轴上时，所求抛物线方程是y 2＝－43x ，其焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，准线方程为x ＝13；当焦点在y 轴上时，所求抛物线方程为x 2＝92y ，其焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，98，准线方程为y ＝－98. (2)令x ＝0，由方程x －2y －4＝0，得y ＝－2. ∴抛物线的焦点为F (0，－2). 设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则由－p2＝－2，得2p ＝8，∴所求抛物线方程为x 2＝－8y .令y ＝0，由方程x －2y －4＝0，得x ＝4. ∴抛物线的焦点为F (4,0). 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则由p2＝4，得2p ＝16，∴所求抛物线方程为y 2＝16x .综上，所求抛物线方程为x 2＝－8y 或y 2＝16x . 其准线方程为y ＝2或x ＝－4，焦点坐标为(0，－2)或(4,0).(3)由焦点到准线的距离为52，可知p ＝52.∴所求抛物线方程为y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y .求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.焦点在x 轴上的抛物线方程可设为y 2＝ax a，焦点在y 轴上的抛物线方程可设为x 2＝ay a[再练一题]1.根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)准线方程为y ＝－1;【导学号：97792027】(2)焦点在x 轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.【解】 (1)由准线方程为y ＝－1知抛物线焦点在y 轴正半轴上，且p2＝1，则p ＝2.故抛物线的标准方程为x 2＝4y .(2)设焦点在x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p2，则焦点到准线的距离是⎪⎪⎪⎪⎪⎪－p 2－p 2＝p ＝3，因此所求的抛物线的标准方程是y 2＝6x .B 高5 m ，且与OA 所在的直线相距4 m ，水流落在以O 为圆心，半径为9 m 的圆上，则管柱OA 的长是多少？【精彩点拨】根据题意先建立坐标系，设出抛物线方程，把实际问题转化为数学问题.【自主解答】如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x 2＝－2py (p ＞0)，因为点C (5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p ·(－5)，因此2p ＝5，所以抛物线的方程为x 2＝－5y ，点A (－4，y 0)在抛物线上，所以16＝－5y 0，即y 0＝－165，所以OA 的长为5－165＝1.8 (m).所以管柱OA 的长为1.8 m.在建立抛物线的标准方程时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用.[再练一题]2.某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5 m 时，水面宽8 m ，一木船宽4 m ，高2 m ，载货的木船露在水面上的部分为0.75 m ，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？【解】以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y 轴建立直角坐标系.(如图)设抛物线的方程是x 2＝－2py (p ＞0)，由题意知A (4，－5)在抛物线上，故16＝－2p ×(－5)⇒p ＝85，则抛物线的方程是x 2＝－165y (－4≤x ≤4)，设水面上涨，木船面两侧与抛物线形拱桥接触于B 、B ′时，木船开始不能通航. 设B (2，y ′)，∴22＝－165y ′⇒y ′＝－54.∴54＋0.75＝2. 故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2 m 时，木船开始不能通航.[探究共研型]探究【提示】抛物线标准方程中的p 的几何意义是焦点到准线的距离. 探究2 抛物线定义的功能是什么？【提示】根据抛物线的定义，抛物线上的任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，抛物线定义的功能是可以把点点距转化为点线距，从而使有关的运算问题变得简单、快捷.(1)若动点M 到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则动点M 的轨迹方程是________.(2)如图231，已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2).求|PA |＋|PF |的最小值，并求此时P 点坐标.图231【精彩点拨】 (1)中先由抛物线的定义确定点M 的轨迹，再写方程.(2)由定义知，抛物线上点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线的距离d ，求|PA |＋|PF |的问题可转化为|PA |＋d 的问题.【自主解答】(1)如图，设点M 的坐标为(x ，y ).由已知条件可知，点M 与点F 的距离等于它到直线x ＋4＝0的距离.根据抛物线的定义，点M 的轨迹是以F (4,0)为焦点的抛物线，且p2＝4，即p ＝8.因为焦点在x 轴的正半轴上，所以点M 的轨迹方程为y 2＝16x . 【答案】 y 2＝16x(2)如图，作PQ ⊥l 于Q ，由定义知，抛物线上点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线l 的距离d ，由图可知，求|PA |＋|PF |的最小值的问题可转化为求|PA |＋d 的最小值的问题.将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6. ∵6＞2，∴A 在抛物线内部.设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|PA |＋|PF |＝|PA |＋d .由图可知，当PA ⊥l 时，|PA |＋d 最小，最小值为72.即|PA |＋|PF |的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2.∴点P 坐标为(2,2).1.对于动点到定点的距离比此动点到定直线的距离大多少或小多少的问题，实际上也是抛物线问题.2.抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等.[再练一题]3.(1)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) 【导学号：97792028】A.172 B.2 C. 5 D.92(2)抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝________. 【解析】 (1)如图，由抛物线定义知|PA |＋|PQ |＝|PA |＋|PF |，则所求距离之和的最小值转化为求|PA |＋|PF |的最小值，则当A 、P 、F 三点共线时，|PA |＋|PF |取得最小值.又A (0,2)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0， ∴(|PA |＋|PF |)min ＝|AF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋－2＝172.故选A. (2)依题意，点Q 为坐标原点，所以p2＝1，则p ＝2.【答案】 (1)A (2)21.抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( ) A.(1,0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 【解析】抛物线的标准方程为x 2＝12y ，所以p ＝14，故焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.【答案】 D2.抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A.1 B.2 C.4D.8【解析】抛物线焦点到准线的距离是p ＝4. 【答案】 C3.若双曲线x 2m －y 23＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则m ＝________.【解析】双曲线x 2m －y 23＝1的右焦点为(m ＋3，0)，抛物线y 2＝12x 的焦点F (3,0)，∴m ＋3＝3，∴m ＝6. 【答案】 64.以抛物线y 2＝8x 上的任意一点为圆心作圆与直线x ＋2＝0相切，则这些圆必过一定点，这个定点的坐标是________.【解析】抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＋2＝0，根据抛物线的定义，圆心到直线x ＋2＝0的距离等于圆心到焦点的距离，所以这些圆必过抛物线的焦点，所以应填(2,0).【答案】 (2,0)5.已知抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m 的值.【解】设抛物线方程为y 2＝－2px (p ＞0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，0，准线方程为x ＝p2，根据抛物线的定义，点M 到焦点的距离等于5，也就是M 到准线的距离为5，则3＋p2＝5，∴p ＝4，因此，抛物线方程为y 2＝－8x ，又点M (－3，m )在抛物线上，于是m 2＝24， ∴m ＝±2 6.。

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程学案(含解析)新人教A版选修1_1

§2.3抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程学习目标 1.理解抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题．知识点一抛物线的定义思考1 平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是什么？答案连接两定点所得线段的垂直平分线．思考2 平面内，到一定点和一条定直线(点不在定直线上)距离相等的点的轨迹是直线还是曲线呢？答案曲线梳理(1)定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹叫抛物线．(2)焦点：定点F叫抛物线的焦点．(3)准线：定直线l叫抛物线的准线．知识点二抛物线标准方程的几种形式特别提醒：(1)方程特点：焦点在x 轴上，x 是一次项，y 是平方项；焦点在y 轴上，y 是一次项，x 是平方项．(2)一次项表明焦点所在轴，它的符号表明开口方向，有如下口诀：焦点轴一次项，符号确定开口向；若y 是一次项，负时向下正向上；若x 是一次项，负时向左正向右．1．到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线．( × ) 2．抛物线的方程都是y 关于x 的二次函数．( × ) 3．方程x 2＝2ay (a ≠0)是表示开口向上的抛物线．( × )类型一求抛物线的标准方程例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1) 过点(3，－4)；(2) 焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上．考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程解 (1)方法一 ∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝－2p 1y (p 1>0)．把点(3，－4)分别代入y 2＝2px 和x 2＝－2p 1y ，得(－4)2＝2p ·3,32＝－2p 1·(－4)，即2p ＝163，2p 1＝94.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .方法二 ∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线的方程可设为y 2＝ax (a ≠0)或x 2＝by (b ≠0)．把点(3，－4)分别代入，可得a ＝163，b ＝－94.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .(2)令x ＝0得y ＝－5；令y ＝0得x ＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－20y 或y 2＝－60x . 反思与感悟求抛物线的标准方程的关键与方法(1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数．(2)方法：①直接法，建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程．②直接根据定义求p ，最后写标准方程．③利用待定系数法设标准方程，找有关的方程组求系数．跟踪训练1 已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程． (1)y 2＝－6x ； (2)3x 2＋5y ＝0； (3)y ＝4x 2； (4)y 2＝a 2x (a ≠0)．考点抛物线的几何性质题点与准线、焦点有关的简单几何性质解 (1)由方程y 2＝－6x ，知抛物线开口向左，2p ＝6，p ＝3，p 2＝32，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，准线方程为x ＝32. (2)将3x 2＋5y ＝0变形为x 2＝－53y ，知抛物线开口向下， 2p ＝53，p ＝56，p 2＝512，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－512，准线方程为y ＝512.(3)将y ＝4x 2化为x 2＝14y ，知抛物线开口向上， 2p ＝14，p ＝18，p 2＝116，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116，准线方程为y ＝－116.(4)由方程y 2＝a 2x (a ≠0)知抛物线开口向右， 2p ＝a 2，p ＝a 22，p 2＝a 24，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24，0，准线方程为x ＝－a 24. 类型二抛物线定义的应用例2 若动圆M 与圆C ：(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程为________．考点抛物线的定义题点由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程答案 y 2＝8x解析设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，由已知可得定圆圆心为C (2,0)，半径r ＝1. 因为两圆外切，所以|MC |＝R ＋1. 又动圆M 与已知直线x ＋1＝0相切，所以圆心M 到直线x ＋1＝0的距离d ＝R . 所以|MC |＝d ＋1.即动点M 到定点C (2,0)的距离等于它到定直线x ＋2＝0的距离．由抛物线的定义可知，点M 的轨迹是以C 为焦点，x ＋2＝0为准线的抛物线，且p2＝2，p ＝4，故其方程为y 2＝8x .反思与感悟 (1)确定定点与定直线(定点在定直线外)．(2)满足动点到定点与定直线的距离相等，便可确定动点轨迹为抛物线．跟踪训练2 若位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，求点M 的轨迹方程．考点抛物线的定义题点由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程解由位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，所以动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－12的距离相等．由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y 2＝2px (p >0)的形式，而p 2＝12，所以p ＝1,2p ＝2，故点M 的轨迹方程为y 2＝2x (x ≠0)．类型三抛物线的实际应用例3 如图所示，汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处．已知灯口的直径是24cm ，灯深10cm ，那么灯泡与反光镜顶点(即截得抛物线的顶点)的距离为( ) A ．10cm B ．7.2cm C ．3.6cmD ．2.4cm考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用答案 C解析以截得抛物线的顶点为原点，以反光镜的轴为x 轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，点(10,12)在抛物线y 2＝2px 上，∴144＝2p ·10，∴p2＝3.6，∴灯泡与反光镜顶点的距离为3.6cm.反思与感悟求抛物线实际应用的五个步骤 (1)建系：建立适当的坐标系．(2)设方程：设出合适的抛物线标准方程． (3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程． (4)求解：求出需要求出的量．(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题．跟踪训练3 如图是抛物线型拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2m ，水面宽4m ．水位下降1m 后，水面宽________m. 考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用答案 2 6解析以抛物线顶点为原点，以过原点平行于水面的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py ，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p ＝1，所以x 2＝－2y .当y ＝－3时，x 2＝6，所以水面宽为26米．1．抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－2考点抛物线的几何性质题点与准线、焦点有关的简单几何性质答案 A解析由y ＝14x 2，得x 2＝4y ，则抛物线的焦点在y 轴正半轴上，且2p ＝4，即p ＝2，因此准线方程为y ＝－p2＝－1.2．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4B ．6C ．8D ．12 考点抛物线的几何性质题点与准线、焦点有关的简单几何性质答案 B解析由抛物线的定义可知，点P 到抛物线焦点的距离是4＋2＝6.3．已知抛物线x 2＝4y 上的一点M 到此抛物线的焦点的距离为2，则点M 的纵坐标是( ) A ．0B.12C ．1D ．2考点抛物线的定义题点抛物线定义的直接应用答案 C解析根据抛物线方程可求得焦点坐标为F (0,1)，准线方程为y ＝－1，设M (x M ，y M )，根据抛物线定义，得y M ＋1＝2，解得y M ＝1.4．若点P 到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离少1，则动点P 的轨迹方程是________．考点抛物线的定义题点由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程答案 y 2＝16x解析 ∵点P 到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离少1， ∴点P 到直线x ＝－4的距离和它到点(4,0)的距离相等．根据抛物线的定义可得点P 的轨迹是以点(4,0)为焦点，以直线x ＝－4为准线的抛物线，设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)， ∴p2＝4，∴动点P 的轨迹方程为y 2＝16x . 5．求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点为(0，－2)； (2)准线方程为y ＝－1； (3)过点(－2，－1)； (4)焦点到准线的距离为8. 考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程解 (1)因为焦点在y 轴的负半轴上，p2＝2，即p ＝4，所以抛物线方程为x 2＝－8y .(2)∵焦点在y 轴正半轴上，且p2＝1，∴p ＝2，∴抛物线的标准方程为x 2＝4y . (3)点(－2，－1)在第三象限，分两种情况：当焦点在x 轴上时，设其方程为y 2＝－2px ，则1＝4p ，即p ＝14，∴抛物线方程为y 2＝－12x ；当焦点在y 轴上时，设其方程为x 2＝－2py ，则4＝2p ，即p ＝2，∴抛物线方程为x 2＝－4y . (4)∵焦点到准线的距离为8，∴p ＝8，所以抛物线方程有四种形式y 2＝16x ，y 2＝－16x ，x 2＝16y ，x 2＝－16y .1．抛物线的定义中不要忽略条件：点F 不在直线l 上．2．确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p ，但由于标准方程有四种类型．因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论，有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线标准方程可设为x 2＝2my (m ≠0)．3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离.一、选择题1．对抛物线y ＝4x 2，下列描述正确的是( ) A ．开口向上，焦点为(0,1) B ．开口向上，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116C ．开口向右，焦点为(1,0)D ．开口向右，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 考点抛物线的几何性质题点与准线、焦点有关的简单几何性质答案 B解析由y ＝4x 2得x 2＝14y ，∴开口向上，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116.2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为( ) A ．(－1,0) B ．(1,0) C ．(0，－1)D ．(0,1)考点抛物线的标准方程题点与准线、焦点有关的问题答案 B解析抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p 2，由题设知－p2＝－1，即p ＝2，故焦点坐标为()1，0，故选B.3．过点A (3,0)且与y 轴相切的圆的圆心的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．直线D ．抛物线考点抛物线的定义题点由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程答案 D解析设P 为满足条件的点，则点P 到点A 的距离等于点P 到y 轴的距离，即点P 在以点A 为焦点，y 轴为准线的抛物线上，所以点P 的轨迹为抛物线．故选D. 4．经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝x 或x 2＝－8y B ．y 2＝x 或y 2＝8x C ．y 2＝－8x D ．x 2＝－8y考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程答案 A解析因为点P 在第四象限，所以抛物线开口向右或向下．当开口向右时，设抛物线方程为y 2＝2p 1x (p 1>0)，则(－2)2＝8p 1，所以p 1＝12，所以抛物线方程为y 2＝x .当开口向下时，设抛物线方程为x 2＝－2p 2y (p 2>0)，则42＝4p 2，p 2＝4，所以抛物线方程为x 2＝－8y .5．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( ) A ．4 B ．－2 C ．4或－4D ．12或－2考点抛物线的标准方程题点抛物线方程的应用答案 C解析由题可设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)．由定义知点P 到准线的距离为4，故p2＋2＝4，∴p ＝4，∴x 2＝－8y .将点P 的坐标代入x 2＝－8y ，得m ＝±4.6．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( ) A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y考点抛物线的标准方程题点求抛物线的标准方程答案 D解析双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，由于ca ＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝2，所以b a＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以p22＝2，所以p ＝8，所以抛物线方程为x 2＝16y .7．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( ) A ．2B ．22C ．23D ．4 考点抛物线的定义题点由抛物线定义求点坐标答案 C解析抛物线C 的准线方程为x ＝－2，焦点F (2，0)，由|PF |＝42及抛物线的定义知，P 点的横坐标x P ＝32，从而纵坐标y P ＝±2 6.∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝12×2×26＝2 3.二、填空题8．若抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线方程是y ＝2，则a ＝________. 考点抛物线的标准方程题点与准线、焦点有关的问题答案－18解析 y ＝ax 2可化为x 2＝1ay . ∵准线方程为y ＝2，∴a <0且－14a＝2， ∴a ＝－18. 9．抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是__________．考点抛物线的定义题点由抛物线定义求点坐标答案 1516 解析抛物线方程化为x 2＝14y ，准线为y ＝－116.由于点M 到焦点的距离为1，所以M 到准线的距离也为1，所以M 点的纵坐标等于1－116＝1516. 10．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________.考点抛物线的定义题点由抛物线定义求距离答案 8解析如图所示，直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)．与准线方程x ＝－2联立，得 A (－2,43)．设P (x 0,43)，代入抛物线y 2＝8x ，得8x 0＝48，∴x 0＝6.∴|PF |＝x 0＋2＝8.11．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则点B 到该抛物线准线的距离为________．考点抛物线的定义题点由抛物线定义求距离答案 324解析如图所示，由已知，得点B 的纵坐标为1，横坐标为p 4，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4，1.将其代入y 2＝2px ，得1＝2p ×p 4，解得p ＝2，故点B 到准线的距离为p 2＋p 4＝3p 4＝324. 三、解答题 12．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点，且与x 轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，求抛物线和双曲线的方程．考点抛物线的几何性质题点抛物线与其他曲线结合的有关问题解因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x 轴，所以可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)．将点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6代入方程，得p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .准线方程为x ＝－1.由此知双曲线方程中c ＝1，焦点为(－1,0)，(1,0)，点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6到两焦点距离之差2a ＝1，所以双曲线的标准方程为x 214－y 234＝1. 13.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，点A 到抛物线准线的距离等于5，过点A 作AB 垂直于y 轴，垂足为点B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)过点M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程解 (1)抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p 2，于是4＋p 2＝5，p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x . (2)由题意得A (4,4)，B (0,4)，M (0,2)．又F (1,0)，所以k AF ＝43，则FA 的方程为y ＝43(x －1)．因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34，则MN 的方程为y ＝－34x ＋2. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－34x ＋2.y ＝43x －，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝85，y ＝45，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45. 四、探究与拓展 14．如果P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |等于( )A ．n ＋10B ．n ＋20C ．2n ＋10D ．2n ＋20 考点抛物线的定义题点抛物线定义的直接应用答案 A解析由抛物线的方程y 2＝4x 可知其焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，|P n F |＝x n ＋1，所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝x 1＋1＋x 2＋1＋…＋x n ＋1＝(x 1＋x 2＋…＋x n )＋n ＝n ＋10，故选A.15．已知曲线C 上的任意一点到定点F (1,0)的距离与到定直线x ＝－1的距离相等．(1)求曲线C 的方程；(2)若曲线C 上有两个定点A ，B 分别在其对称轴的上、下两侧，且|FA |＝2，|FB |＝5，求原点O 到直线AB 的距离．考点抛物线的标准方程题点求抛物线方程解 (1)因为曲线C 上任意一点到点F (1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，所以曲线C 的轨迹是以F (1,0)为焦点的抛物线，且p 2＝1，所以曲线C 的方程为y 2＝4x . (2)由抛物线的定义结合|FA |＝2可得，A 到准线 x ＝－1的距离为2，即A 的横坐标为1，代入抛物线方程可得y ＝2，即A (1,2)，同理可得B (4，－4)，故直线AB 的斜率k ＝2－－1－4＝－2，故AB 的方程为y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0，由点到直线的距离公式，得原点O 到直线AB 的距离为|－4|22＋12＝455.。