高三复习综合试卷兼答案

2015年高三综合测试1．设集合2{|430},{|213},A x x x B x x A B =-+->=->=则（ ）A ．{|11}x x x <->或B ．{|12}x x x <->或C ．{|23}x x <<D ．R2．“a=1”是“f（x ）=212x x a a⋅-+是奇函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知两个不同的平面αβ、和两个不重合的直线m 、n ，有下列四个命题： ①若//,m n m n αα⊥⊥，则； ②若,,//m m αβαβ⊥⊥则； ③若,//,,m m n n αβαβ⊥⊂⊥则； ④若//,//m n m n ααβ⋂=，则.其中正确命题的个数是（ ）A.0B.1C.2D.34．M ．N 分别为正方体中棱BC 和棱CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为h 的值为（ ）A ．2B ．．6．已知点(),a b 在圆221x y +=上，则函数()2cos sin cos 12af x a x b x x =+--的最小正周期和最小值分别为（ ） A ．32,2π-B ．3,2π-C ．5,2π- D ．52,2π- 7．要得到函数()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ） A.向左平移2π个单位长度 B.向右平移2π个单位长度 C.向左平移4π个单位长度 D.向右平移4π个单位长度 8．已知(),x y 满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则1y k x =+的最大值等于A ．12 B ．32 C ．1 D ．149．已知向量与AC 的夹角为120°,且32==,若AC AB AP +=λ,且0)(=-⋅AB AC AP ，则实数λ的值为（ ）A ．73 B ．712C ．6D ．13 10．以双曲线22221x y a b-=(a>0，b>0)的左焦点F 为圆心，作半径为b 的圆F ，则圆F 与双曲线的渐近线( )A ．相交B ．相离C ．相切D ．不确定11．若函数)(x f 满足：存在,0T R T ∈≠，对定义域内的任意,()()()x f x T f x f T +=+恒成立，则称)(x f 为T 函数．现给出下列函数：①xy 1=；②x y 2=；③nx y 1=；④x y s i n =；⑤2x y =其中为T 函数的序号是 ．（把你认为正确的序号都填上）12．定义在R 上的奇函数()f x 满足3()(),(2014)2,2f x f x f -=+=则(1)f -= ． 13．已知两个非零向量a 与b ，定义|a³b|＝|a|²|b|sin θ，其中θ为a 与b 的夹角．若a ＝(－3,4)，b ＝(0,2)，则|a³b|的值为________．14．已知等差数列}{n a 中，14754a a a π++=，那么=+)cos(53a a ． 15．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0对称（a ，b ∈R ），则ab 的最大值是 16．将函数)43sin()(π+=x x f 的图象向右平移3π个单位长度，得到函数)(x g y =的图象，则函数)(x g y =在]32,3[ππ上的最小值为 ．17．在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c 且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列． （1）求B 的值；（2）求()22sin cos A A C +-的范围．18．已知数列{}n a 与{}n b ，若13a =且对任意正整数n 满足12,n n a a +-= 数列{}n b 的前n 项和2n n S n a =+．（1）求数列{}{}n n a b ,的通项公式；（2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和.n T19．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB //CD ，AB AD ⊥，4,2AB AD CD ===，PA ⊥平面ABCD ，4PA =. （1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PACPQPB的值．PDCBA20．设函数f(x)＝ax 2＋(b －2)x ＋3(a≠0)，若不等式f(x)＞0的解集为(－1,3)． (1)求a ，b 的值；(2)若函数f(x)在x ∈[m,1]上的最小值为1，求实数m 的值．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，且长轴长等于4.（1）求椭圆C 的方程；（2）12F F ，是椭圆C 的两个焦点，圆O 是以12F F ，为直径的圆，直线m kx y l +=:与圆O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，若23-=⋅→→OB OA ，求k 的值.1．C 【解析】试题分析：由0342>-+-x x 得31<<x ，由312>-x 得2>x 或1-<x ，因此B A{}{}{}32|12|31|<<=-<><<=x x x x x x x 或 ，故答案为C ．考点：1、一元二次不等式的解法；2、集合的交集． 2．A 【解析】试题分析：当1=a ，()1212+-=x x x f ，()()x f x f x x xx xx -=+--=+-=+-=---121221211212，又由于定义域为R ，因此函数为奇函数；若()a a x f x x +-⋅=212为奇函数，()()x f x f -=-，即aa a a x x xx +-⋅-=+-⋅--212212，整理得 xx x x a a a a 221212+⋅-=⋅+-，化简得()x x a 41412+=+，12=∴a ，1±=∴a ，因此“a=1”是“f （x ）=212x x a a⋅-+是奇函数”的充分不必要条件考点：充分条件和必要条件． 3．D. 【解析】试题分析：对于①，因为α⊥m ，所以直线m 与平面α所成的角为090，又因为m ∥n ，所以直线n 与平面α所成的角也为090，即α⊥n 命题成立，故正确；对于②，若α⊥m ，β⊥m ，则经过m 作平面γ，设a =⋂αγ，b =⋂βγ，又因为α⊂a ，β⊂b ，所以在平面γ内，a m ⊥，b n ⊥，所以直线a 、b 是平行直线.因为β⊄a ，β⊂b ，a ∥b ，所以a ∥β.经过m 作平面θ，设c =⋂αθ，d =⋂βθ，用同样的方法可以证出c ∥β.因为a 、c 是平面α内的相交直线，所以α∥β，故正确；对于③，因为α⊥n ，m ∥n ，所以α⊥n .又因为β⊂n ，所以βα⊥，故正确； 对于④，因为m ∥β，n =⋂βα，当直线m 在平面β内时，m ∥n 成立，但题设中没有m 在平面β内这一条件，故不正确.综上所述，其中正确命题的个数是3个，应选D.考点：平面的基本性质及推论. 4．C 【解析】试题分析：连接11,BC AD ，由正方体性质知111//BC ,MN//BC AD ，故AC D 1∠为异面直线AC 和MN 所成的角，又三角形AC D 1为等边三角形，所以 601=∠AC D 。

考点：异面直线所成角的定义及求法。

5．B 【解析】试题分析：由三视图可得，该几何体是四棱锥，侧棱与底面垂直，底面积3065=⨯=S ，体积Sh V 31=31010==h ，解得3=h ，故答案为B ．考点：几何体的体积． 6．B ． 【解析】试题分析：因为点(),a b 在圆221x y +=上，所以122=+b a ，可设ϕϕsin ,cos ==b a ，代入原函数()2cos sin cos 12af x a x b x x =+--化简为：12sin sin 21)1cos 2(cos 211cos 21cos sin sin cos cos )(22-+-=--=x x x x x x f ϕϕϕϕϕ1)2cos(2112sin sin 212cos cos 21--=-+=ϕϕϕx x x ，故函数)(x f 的最小正周期为ππ==22T ，函数)(x f 的最小值23121)(min -=--=x f ．故应选B ．考点：二倍角公式；两角和的余弦公式；三角函数的周期与最值． 7．C. 【解析】试题分析：因为函数()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭)]125(2sin[]2)32sin[(πππ+=++=x x ， 所以将函数()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度， 即可得到函数)652sin(]3)4(2sin[πππ+=++=x x y 的图像.故应选C. 考点：函数)sin(φω+=x A y 的图像变换. 8．C 【解析】试题分析：作出不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥100y x y x 表示的平面区域为AOB ∆边界及内部区域，()101---=+=x y x y k 表示()y x ,点和()0,1-的连线的斜率，由图知，()1,0点和()0,1-连线的斜率最大，所以()11001max =---=k ，故答案为C ．考点：线性规划的应用． 9．B 【解析】试题分析：由题设cos ,23cos1203AB AC AB AC AB AC ⋅=⋅⋅<>=⨯⨯=- 所以由0)(=-⋅ 得：()()0AB ACAC AB λ+-=所以，()2210AB AB AC AC λλ-+-⋅+= 所以，()43190λλ---+= ，解得：127λ= 故选B.考点：向量的数量积. 10．C【解析】左焦点F 为(－c,0)，渐近线方程为y＝bax 即bx －ay ＝0，∴圆心到直线的距离为＝b ，所以相切．11．④ 【解析】试题分析：对于①存在,0T R T ∈≠，对定义域内的任意,()()()x f x T f x f T +=+恒成立，则Tx T x 111+=+ 得()T x x TT +-=1，不存在常数T 式子恒成立，不对；对于②对定义域内的任意,()()()x f x T f x f T +=+恒成立，得T x Tx 222+=+，令0=x 得01=不成立；对于③对定义域内的任意,()()()x f x T f x f T +=+恒成立，得()()T x T x T x ⋅=+=+ln ln ln ln ，即T x T x ⋅=+，令1=x 得01=不成立；对于④对定义域内的任意,()()()x f x T f x f T +=+恒成立，即()T x T x sin sin sin +=+，当π=T 时，恒成立对；对于⑤对定义域内的任意,()()()x f x T f x f T +=+恒成立，即()222T x T x +=+，0=⋅∴T x ，不符合；错．考点：函数恒成立的问题． 12．－２． 【解析】试题分析：∵奇函数()f x ，∴)()(x f x f -=-，13．6【解析】|a|5，|b|2，a²b＝－3³0＋4³2＝8，所以cos θ＝a b a b ⋅⋅＝852⨯＝45，又因为θ∈[0，π]，所以sin θ35.故根据定义可知|a³b|＝|a|²|b|sin θ＝5³2³35＝6. 14．23-【解析】试题分析：由等差数列的性质得45444471π=++=++a a a a a a ，解得1254π=a ，所以()()236cos 65cos cos cos 4453-=-==+=+ππa a a a ． 考点：1、等差数列的性质；2、诱导公式的应用． 15．41【解析】试题分析：圆的标准方程为2222)2()1(=-++y x ，由已知得，圆心)2,1(-在直线2ax －by ＋2＝0上，则1=+b a ,则当0,0>>b a 时，ab 取最大值，41,21,21≤≤>=+∴ab ab ab b a . 考点：直线和圆；均值不等式. 16．22-. 【解析】试题分析：∵)43sin()(π+=x x f ，∴将其图像向右平移3π个单位长度后得到的函数为)433sin(]4)3(3sin[)43sin()(ππππ-=+-=+=x x x x g ，∴当]32,3[ππ∈x 时，]45,4[433πππ∈-x ，∴)(x g 在]32,3[ππ的最小值为22-. 考点：三角函数的图像和性质.17．（1）3B π=；（2）1,12⎛- ⎝【解析】为只含Ａ的三角函数，利用三角公式将其化为B x A y ++=)sin (φω的形式，再注试题解析：（1）cos cos 2cos a C c A b B +=由正弦定理得，2sin cos 2cos sin 4sin cos R A C R A C R B B +=，即：sin()sin 2A C B +=，∴ sin sin 2B B =. 又在ABC ∆中，22B B B B π=+=或 0B π<<，∴ 3B π=.（2）3B π=， 所以23A C π+=222sin cos()1cos 2cos(2)3A A C A A π+-=-+-131cos 2cos 2212cos 22222A A A A A =--+=+-1)3A π=+-203A π<<，233A πππ-<-<sin(2)123A π∴-<-≤()22sin cos A A C +-的范围是1,12⎛-+ ⎝．考点：１．等差数列的性质；２．正弦定理；３．三角函数的图象和性质． 18．（1）12+=n a n ，⎩⎨⎧≥+==2,121,4n n n b n ；（2）()322016+-=n n T n【解析】试题分析：（1）给出n S 与n a 的关系，求n a ，常用思路：一是利用()21≥=--n a S S n n n 转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 的关系，再求n a ；（2）观测数列的特点形式，看使用什么方法求和．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源和目的．（3）在做题时注意观察式子特点选择有关公式和性质进行化简，这样给做题带来方便，掌握常见求和方法，如分组转化求和，裂项法，错位相减．试题解析：解：（1）由题意知数列{}n a 是公差为2的等差数列 又因为13a = 所以21n a n =+ 当1n =时，114b S ==；当2n ≥时，()()()22121121121n n n b S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=+⎣⎦对1=4b 不成立所以，数列{}n b 的通项公式: 4,(1)2n 1,(n 2)n n b =⎧=⎨+≥⎩（2）1n =时，1121120T b b ==2n ≥时，111111()(21)(23)22123n n b b n n n n +==-++++ 所以1111111111612025779212320101520(23)n n n T n n n n --⎛⎫=+-+-++-=+= ⎪++++⎝⎭ 1n =仍然适合上式综上，116120101520(23)n n n T n n --=+=++ 考点：1、求数列的通项公式；2、裂项法求数列的和．19．（1）证明：见解析；（2）PQ PB的值为127=k .【解析】试题分析：解答该题可有两种思路，一是利用空间向量方法；二是利用几何法.注意到建立空间直角坐标系较为方便，因此利用“向量法”较好.（1）以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，通过计算(4)2000BD AC ⋅=-⨯+⨯=，(4)00040BD AP ⋅=-⨯++⨯=.证得BD AC ⊥，BD AP ⊥. 进一步得证. （2）设PQPBλ=（其中01λ≤≤），(,,)Qxyz ，线QC 与平面PAC 所成角为θ.所以PQ PB λ=. 所以(,,4)(4,0,4)x y z λ-=-.∴4,0,44,x y z λλ=⎧⎪=⎨⎪=-+⎩即(4,0,44)Q λλ-+ ∴(42,44)CQ λλ=---+. 由平面PAC 的一个法向量为(BD =-.计算得到sin cos ,CQ BD CQ BD CQ BDθ⋅=<>=⋅，根据3=. 解得 7[0,1]12λ=∈. 试题解析：（1）证明：因为AP ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(4,0,0)B ，(0,0,4)P，D，C . 2分 所以(BD =-，AC =，(0,0,4)AP =，所以(4)2000BD AC ⋅=-⨯+⨯=，(4)00040BD AP ⋅=-⨯++⨯=.所以 BD AC ⊥，BD AP ⊥. 4分z yxPD CBA因为 APAC A =，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以 BD ⊥平面PAC . 6分 （2）解：设PQPBλ=（其中01λ≤≤），(,,)Qxyz ，线QC 与平面PAC 所成角为θ.所以PQ PB λ=. 所以(,,4)(4,0,4)x y z λ-=-.∴4,0,44,x y z λλ=⎧⎪=⎨⎪=-+⎩即(4,0,44)Q λλ-+∴(42,44)CQ λλ=---+. 9分 由（1）知平面PAC的一个法向量为(BD =-.因为 sin cos ,CQ BD CQ BD CQ BDθ⋅=<>=⋅， 12分得3=. 解得 7[0,1]12λ=∈.所以712PQ PB =. 14分法2：(1) 依题意：Rt BAD ∆∽Rt ADC ∆,所以ABD DAC ∠=∠，又因为090ABD ADB ∠+∠=， 所以090ADB DAC ∠+∠=，所以BD AC ⊥ ..2分 又因为PA ⊥平面ABCD ，BD Ì平面ABCD所以BD AP ⊥ ..4分 因为AP AC A =，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ， 所以BD ⊥平面PAC . 6分C（2）解：设PQPBλ=（01λ≤≤），(,,)Qxyz ，直线QC 与平面PAC 所成角为θ.记AC 交BD 于O ，连结PO .过Q 作QE 平行于BD ，交PO 于E . 连结CE 、CQ . 由（1）知，BD ⊥平面PAC ，∴QE ⊥平面PAC ，∴QCE ∠即为CQ 与平面PAC 所成角.∴33sin ==∠CQ QE QCE①. 8分设k PB PQ =（10≤≤k ），则k BOQE=.在ACD Rt ∆中， 2=CD ，22=AD ，∴32=AC . 易证ACD ∆∽BAO ∆，∴AD BOAC AB =，即22324BO =，∴3BO =，∴k QE 364= ②. 在PAB Rt ∆中， 4=PA ，4=AB ，∴24=PB ，∴k PQ 24=.在PAC Rt ∆中， 4=PA ，32=AC ，∴72=PC .根据余弦定理有：PCPQ CQ PC PQ PC PB BC PC PB ⋅-+=⋅-+22222222， 12分 即kCQ k 24722)72()24(72242)32()72()24(222222⨯⨯-+=⨯⨯-+，解得28483222+-=k k CQ ③. 将②，③代入①，解得127=k . 14分 考点：1.空间垂直关系；2.空间的角；3.空间向量方法. 20．（1）a ＝－1，b ＝4 （2）1【解析】(1)由条件得213313b aa -⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得：a ＝－1，b ＝4.(2)f(x)＝－x 2＋2x ＋3，对称轴方程为x ＝1，∴f(x)在x ∈[m,1]上单调递增．∴x ＝m 时，f(x)min ＝－m 2＋2m ＋3＝1， 解得m∵m ＜1，∴m ＝121．（1）13422=+y x ；（2）22±.【解析】试题分析：（1）由题意长轴长为4求得a 的值，在由椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭建立方程求解即可求出其标准方程；（2）由于圆O 是以12F F ，为直径的圆，直线m kx y l +=:与圆O 相切，利用直线与圆相切的充要条件得到一个等式，把直线方程与椭圆方程联立利用整体代换的思想，根据23-=⋅→→OB OA 建立k 的方程求k 即可. 试题解析：（1）由题意，椭圆的长轴长42=a ，得2=a ，因为点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1在椭圆上，所以149412=+b 得32=b ，所以椭圆的方程为13422=+y x . （2）由直线l 与圆O 相切，得112=+k m ，即221k m +=，设()()2211,,,y x B y x A ，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+,,13422m kx y y x 消去y ，整理得(),0124843222=-+++m kmx x k 由题意可知圆O 在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，所以222122143124,438k m x x k km x x +-=⋅+-=+.()()().4312343843124222222222212122121k k m m k km km k m k m x x km x x k m kx m kx y y +-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-⋅=+++⋅=++=⋅所以,43121274312343124222222222121k k m k k m k m y y x x +--=+-++-=+⋅ 因为221k m +=，所以2221214355kk y y x x +--=+⋅. 又因为32OA OB ⋅=-，所以23435522-=+--k k ，212=k ，得k 的值为22±. 考点：椭圆的标准方程.。