高一物理向心力

四、竖直面内的圆周运动问题
1.没有支承的小球：如图所示，细绳系的小球或在轨道内
侧运动的小球，在最高点时的临界状态为只受重力，由
v2 mg m , 得 v gr . r
在最高点时：
(1)v=
gr 时，拉力或压力为零.
(2)v＞ gr 时，物体受向下的拉力或压力，并且随速度的
增大而增大.
(3)v＜ gr 时，物体不能达到最高点.(实际上球未到最高 点就脱离了轨道) 即绳类的临界速度为v临=
大，cos 小，两地随地球自转的角速度相同，因此北京随 地球自转的向心加速度比广州的小，D正确、C错误.
【规律方法】向心加速度公式的应用技巧 向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系， 必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系 . 在比较转动物体上做圆周运动的各点的向心加速度的大小 时，应先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同.在 线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度 相同时，向心加速度与半径成正比.
【解题指导】解答本题应注意以下两点
【标准解答】选C.向心力是产生圆周运动的条件而不是结 果，A错误；向心力只改变线速度方向，不改变线速度的大 小，B错误；做匀速圆周运动的物体的向心力就是该物体所 受外力的合力，C正确；向心力的方向是时刻变化的，向心
力是变力，D错误.
【规律方法】向心力与合外力判断方法 (1)向心力是按力的作用效果来命名的，它不是某种确定性 质的力，可以由某个力来提供，也可以由某个力的分力或 几个力的合力来提供.
(2)任何情况的圆周运动，向心力的方向一定指向圆心，向
心力是做圆周运动的物体需要的一个指向圆心的力，而不 是物体又受到一个新的力.
【典例1】(2011·吴江高一检测)关于向心力的说法中正确
的是( )
A. 物体由于做圆周运动而产生的一个指向圆心的力就是向
心力
B.向心力也可以改变物体运动速度的大小 C. 做匀速圆周运动的物体的向心力是该物体所受的外力的 合力 D.做匀速圆周运动的物体的向心力是不变的
形碗的球心O的连线跟竖直方向的夹角
为θ ，半球形碗的半径为R，求小球做 匀速圆周运动的速度及碗壁对小球的弹力.
【解题指导】解答此题应注意以下三点
【标准解答】由题图可知，小球做匀速
圆周运动的圆心为O′，运动半径为 r=Rsinθ.小球受重力mg及碗壁对小球
弹力F的作用，向心力由弹力的水平分
力提供.受力分析如图所示.
到的合力与速度之间的夹角是钝角. (2)解决匀速圆周运动问题依据的规律是牛顿第二定律和匀 速圆周运动的运动学公式.解决变速圆周运动，除了依据上 述规律还需要用到后面章节将要学习的功能关系等.
5.关于匀速圆周运动问题的处理思路和解题步骤
(1)指导思路:凡是做匀速圆周运动的物体一定需要向心力 . 而物体所受外力的合力充当向心力 ,这是处理该类问题的理 论基础.
列式求解.
【典例】如图所示，水平转盘上放有质 量为m的物体(可视为质点)，连接物体 和转轴的绳子长为r ，物体与转盘间的 最大静摩擦力是其压力的μ 倍，转盘的 角速度由零逐渐增大，试通过计算求： (1)绳子对物体拉力为零时的最大角速度. (2)当角速度为
3g 时，绳子对物体拉力的大小. 2r
【解题指导】明确角速度由零逐渐增大时，摩擦力及绳子 拉力的变化；恰好达到最大静摩擦力时，绳子的受力有何 特点.
【规律方法】匀速圆周运动解题策略 在解决匀速圆周运动的过程中，要注意以下几个方面： (1)弄清物体做圆周运动轨道所在的平面，明确圆心和半径 是解题的一个关键环节.
(2)分析清楚向心力的来源，明确向心力是由什么力提供的 .
(3)对解题结果进行动态分析，明确各变量之间的制约关系、 变化趋势以及结果涉及物理量的决定因素，如若改变物体 的线速度，则角速度、周期、圆周轨道半径、向心加速度、 向心力等都随之改变.
【典例4】如图所示，小球A质量为m，固 定在轻细直杆L的一端，并随杆一起绕 杆的另一端点O在竖直平面内做圆周运 动，如果小球经过最高位置时，杆对小
球的作用力大小等于小球的重力.求：
(1)小球的速度大小； (2)当小球经过最低点时速度为
6gL , 此时，求杆对球的
作用力的大小和球的向心加速度的大小.
加速运动.
3.大小
v2 4 2 2 r 2 r 42 n 2 r 42f 2 r v (1)公式：a r T
(2)a与r的关系图象如图(a)、(b)所示.
(3)理解
①当匀速圆周运动的半径一定时，向心加速度的大小与角 速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比，随频率的 增加或周期的减小而增大. ②当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比. ③当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比.
(2)对于匀速圆周运动，合外力提供物体做圆周运动的向心
力，对于非匀速圆周运动，其合外力不指向圆心，它既要 改变线速度大小，又要改变线速度方向，向心力是合外力
的一个分力.
(3)无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，物体所受各 力沿半径方向分量的矢量和为向心力.
二、对向心加速度的理解
1.物理意义：描述线速度的方向改变的快慢. 2. 方向：总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终 与运动方向垂直，方向时刻改变 . 不论向心加速度 a 的大小 是否变化，a的方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变
gr轻杆上固定的小球或在 管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的 支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是在 最高点的速度大于或等于零，小球的受力情况为：
(1)v=0时，小球受向上的支持力N=mg.
(2)0＜v＜ gr 时，小球受向上的支持力且随速度的增大而 减小.
(1) 向心加速度的公式也适用于非匀速 圆周运动. (2)无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动向心加速度的 方向都指向圆心.
【典例2】(双选)关于北京和广州随地球自转的向心加速度，
下列说法中正确的是( )
A.它们的方向都是沿半径指向地心
B.它们的方向都在平行于赤道的平面内指向地轴
C.北京的向心加速度比广州的向心加速度大 D.北京的向心加速度比广州的向心加速度小
(3)v=
gr 时，小球只受重力.
(4)v＞ gr 时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的 增大而增大. 即杆类的临界速度为v临=0.
(1)在最高点，轻绳模型中物体的最小速 度是
gr ，而杆模型中在最高点物体的最小速度是零 .
(2)绳模型中物体在最高点只可能受竖直向下的弹力，杆模 型中物体在最高点可能受竖直向下的弹力也可能受竖直向 上的弹力.
(2)小球A在最低点时，对球受力分析：重力mg、拉力F，设
向上为正方向
根据小球做圆周运动的条件，合外力等于向心力，
v2 F mg m L v2 解得 F mg m 7mg L 2 v 故球的向心加速度 a 6g. L
答案：(1)
2gL 或0
(2)7mg
6g
【规律方法】竖直面内圆周运动的分析方法 (1)确定圆周运动的类型：是绳模型还是杆模型 . (2)确定物体过最高点的临界条件. (3)分析物体受力情况，根据牛顿第二定律及向心力的公式
v2 由向心力公式 Fn m 得 r 2 v Fsin m Rsin
竖直方向上小球的加速度为零，所以竖直方向上小球所受 的合力为零，即Fcosθ=mg，解得 F mg
v Rgsintan.
cos
联立两式，可解得小球做匀速圆周运动的速度
答案： Rgsintan
mg/cosθ
【标准解答】(1)当恰由最大静摩擦力提供向心力时，绳子 拉力为零且转速达最大，设转盘转动的角速度为ω0，
2 r, 得 0 g 则 mg m0
(2)当ω= 3g 时，ω＞ω0，所以绳子的拉力F和最大静摩
2r
r
擦力共同提供向心力，此时，F+μmg=mω2·r,即
1 3g F+μmg=m· ·r,得F= mg 2 2r 1 答案：(1) g (2) mg 2 r
【解题指导】确定小球在最高点、最低点的向心力，
小球经过最高点时，杆对小球的作用力可以是支持力也可 以是拉力. 【标准解答】(1)小球A在最高点时，对球受力分析：重力 mg，拉力F=mg或支持力F=mg 根据小球做圆周运动的条件，合外力等于向心力，得
v2 mg F m L
① ②
F=mg
解①②两式，可得 v 2gL 或v=0
(1)对做圆周运动的物体进行受力分析时 ,
注意以下两点:①物体的受力应是实际受到的力，是性质力,
存在施力物体;②不能另外分析向心力. (2)列方程时要区分受到的力和物体做圆周运动所需的向心 力，利用题目条件灵活运用向心力表达式 .
【典例3】如图所示，有一质量为m的小
球在光滑的半球形碗内做匀速圆周运动， 轨道平面在水平面内.已知小球与半球
【解题指导】解答本题应把握以下两点：
【标准解答】选B、D.如图所示.
地球表面各点的向心加速度方向都在平行于赤道的平面内
指向地轴，B正确、A错误；设地球半径为R0，在地面上纬
度为 的P点，做圆周运动的轨道半径r=R0cos ,其向心加
速度为a=ω2r=ω2R0cos .由于北京的地理纬度比广州的
竖直面内圆周运动向心力分析不清导致错误 (双选)一轻杆下端固定一质量为m的小球，上端连在轴上，
并可绕轴在竖直平面内运动，不计轴和空气阻力，在最低
点给小球水平速度 v0 时，刚好能到达最高点，若小球在最 低点的瞬时速度从v0不断增大，则可知 ( )
A.小球在最高点对杆的作用力不断增大
B.小球在最高点对杆的作用力先减小后增大 C.小球在最低点对杆的作用力先减小后增大 D.小球在最低点对杆的作用力不断增大
一、对向心力的理解
1.向心力的来源：向心力是根据力的作用效果命名的.可以 由重力、弹力、摩擦力等各种性质的力提供，可以是某几 个力的合力，也可以是某个力的分力. 2.向心力的大小
v2 2 2 2 2 F ma m m r mv m( ) r m 2n r r T
3.对公式的理解 (1)向心力公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆
周运动.
(2)向心力公式具有瞬时性，即式中各量对应同一时刻. (3)当m、ω 一定时，由F=mrω 2知F∝r;
2 v 当m、v一定时，由 F m 知 F 1 . r r
(1)在匀速圆周运动中，物体所受的合外 力一定指向圆心，充当向心力.非匀速圆周运动的合外力一 般不指向圆心，合外力的法向分力为向心力.
(2)解题步骤
①明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示 意图.
②将物体所受外力通过力的正交分解将其分解在两条直线
上，其中一个方向上的分力沿半径方向. ③列方程：沿半径方向满足 F合1 另一方向F合2 =0. ④解方程求出结果.
v 2 42 mr mr m , r T2
2
6.几种常见的匀速圆周运动的实例图表
三、对匀速圆周运动的理解及处理方法
1.匀速圆周运动的特点
(1) 线速度大小不变、方向时刻改变； (2) 角速度、周期、
频率都恒定不变；(3)向心加速度和向心力大小都恒定不变， 但方向时刻改变.
2.匀速圆周运动的性质 (1)线速度仅大小不变而方向时刻改变，是变速运动.
(2)向心加速度仅大小恒定而方向时刻改变，是非匀变速曲
线运动. (3)匀速圆周运动具有周期性，即每经过一个周期物体都要 重新回到原来的位置，其运动状态 ( 如 v 、 a 大小及方向 ) 也 要重复原来的情况.
(4)做匀速圆周运动的物体所受外力的合力大小恒定，方向
总是沿半径指向圆心.
3.质点做匀速圆周运动的条件 合力的大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心 .匀
速圆周运动仅是速度的方向变化而速度大小不变的运动，
所以只存在向心加速度，因此向心力就是做匀速圆周运动 的物体所受的合力.
4.匀速圆周运动和变速圆周运动的区别
(1)由做曲线运动的条件可知，变速圆周运动中物体所受的 合力与速度方向一定不垂直，当速率增大时，物体受到的
合力与瞬时速度之间的夹角是锐角;当速率减小时，物体受