三维设计高考数学苏教版理科一轮复习课时检测2.12导数与函数极值、最值(含答案详析)

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8．已知函数 f(x)＝x3－ax2－3x. (1)若 f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数 a 的取值范围； (2)若 x＝3 是 f(x)的极值点，求 f(x)的单调区间．
第Ⅱ卷：提能增分卷 1．已知 a∈R，函数 f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e 为自然对数的底数)． (1)当 a＝2 时，求函数 f(x)的单调递增区间； (2)函数 f(x)是否为 R 上的单调函数？若是，求出 a 的取值范围；若不是，请说明理由．
综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．
8．解：(1)对 f(x)求导，
得 f′(x)＝3x2－2ax－3.
31 x－
由 f′(x)≥0，得 a≤2( x).
31
x－
记 t(x)＝2( x)，当 x≥1 时，t(x)是增函数，∴t(x)min＝2(1－1)＝0.∴a≤0.
C．[0,3]
11
，＋∞
5．函数 f(x)＝1＋x－sin x 在(0,2π)上的单调情况是________．
B．c<b<a
D．b<c<a
)上是增函数，则 a 的取值范围是( )
B．[－1，＋∞)
D．[3，＋∞)
13 6．(2014·河南省三市调研)若函数 f(x)＝3x3－2x2＋ax＋4 恰在)当 a＝2 时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，
1 －3
0
极大值
－∞，－
1
1 －，3
( ) 3
－
11
( 3]，[3，＋∞)，f(x)的单调递减区间为[ 3 ].
∴f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.

江苏新高考数学理科一轮创新设计总复习训练3.2利用导数研究函数的单调性、极值与最值

第 2 讲利用导数研究函数的单一性、极值与最值基础稳固题组(建议用时： 40 分钟 )一、填空题1.已知函数 y＝ f(x)的图象是以下四个图象之一，且其导函数 y＝f′ (x)的图象如右图所示，则该函数的图象是 ________．(填序号 )分析由 y＝f′ (x)的图象知， y＝ f(x)的图象为增函数，且在区间(－1,0)上增长速度愈来愈快，而在区间(0,1)上增加速度愈来愈慢．答案②2．(2014 ·青岛模拟 )函数 f(x)＝ x3－3x2＋2 在区间 [－1,1] 上的最大值是 ________．分析f′(x)＝ 3x2－ 6x，令 f′(x)＝0，得 x＝ 0 或 2.∴f(x)在[ －1,0)上是增函数， f(x)在(0,1]上是减函数．∴f(x)max＝ f(x)极大值＝f(0)＝ 2.答案23．(2014·苏州模拟函数y＝x的最小值是 ________．)xe分析y′＝e x＋x＝(1＋x，令′＝，则＝－，由于x＜－1时，′xe x)e y0x1y1＜ 0，x＞－ 1 时， y′＞ 0，因此 x＝－ 1 时， y min＝－e.1答案－e4．(2013·威海期末考试)函数y＝ln x－x2的极值点为 ________．函数的定义域为 (0，＋∞)，函数的导数为 y′＝1－＝1－2x2分析，令′x2x x y 1－2x2222＝x＝0，解得 x＝2，当 x＞2时， y′＜0，当 0＜ x＜2时， y′＞0，22因此当 x＝2时，函数获得极大值，故函数的极值点为 2.答案2 25．(2013·福建卷改编设函数f(x)的定义域为0 0≠0)是f(x)的极大值点，以)R，x (x下结论必定正确的选项是 ________(填序号 )．① ? x∈R，f(x)≤f(x0)②－ x0是 f(－x)的极小值点③－ x0是－ f(x)的极小值点④－ x0是－ f(－x)的极小值点分析①错，由于极大值未必是最大值；②错，由于函数y＝f(x)与函数 y＝f(－x)的图象对于 y 轴对称，－ x应是 f(－x)的极大值点；③错，函数y＝f(x)与函数 y＝－ f(x)的图象对于 x 轴对称， x0应为－ f(x)的极小值点；④正确，函数 y＝ f(x)与 y＝－ f(－ x)的图象对于原点对称，－ x应为 y＝－ f(－x)的极小值点．答案④6．若函数f(x)＝x2＋a在 x＝1 处取极值，则 a＝________.x＋ 12x x＋1 － x2＋a x2＋ 2x－a分析由 f′ (x)＝x＋ 12＝x＋ 12＝0，∴x2＋2x－a＝ 0， x≠ －1，又 f(x)在 x＝1 处取极值，∴x＝1 是 x2＋ 2x－a＝0 的根，∴a＝3.答案37．函数f(x)＝x的单一递减区间是 ________．ln x分析ln x－1，令′得－，且≠ ∴或，f′(x)＝2f(x)<0ln xln x1<0ln x 0. 0<x<11<x<e 故函数的单一递减区间是(0,1)和(1，e)．答案(0,1)，(1，e)1 28．已知函数f(x)＝－2x ＋ 4x－3ln x 在[t， t＋1]上不但一，则t 的取值范围是________．分析由题意知 f′(x)＝－ x＋4－3＝－x－1 x－3，由 f′(x)＝ 0 得函数 f(x)xx的两个极值点为1,3，则只需这两个极值点有一个在区间(t，t＋ 1)内，函数 f(x)在区间 [t，t＋1]上就不但一，由t<1<t＋ 1 或 t<3<t＋1，得 0<t<1 或 2<t<3.答案(0,1)∪(2,3)二、解答题．·郑州质检已知函数2＋bln x 在 x＝ 1 处有极值19 (2014)f(x)＝ax2.(1)求 a，b 的值；(2)判断函数 y＝f(x)的单一性并求出单一区间．b1解(1)f′(x)＝2ax＋x，又 f(x)在 x＝1处有极值2.11f 1 ＝2，即a ＝2，∴f ′ 1 ＝ 0， 2a ＋ b ＝ 0.解得 a ＝1，b ＝－ 1.21 21(2) 由 (1) 可知 f(x) ＝ 2x－ ln x ，其定义域是 (0，＋∞ ) ，且 f ′ (x)＝ x － x ＝x ＋ 1 x －1 .x令 f ′ (x)＝0，解得 x ＝1 或－ 1(舍去 )．当 x 变化时， f ′ (x)，f(x)的变化状况以下表：x(0,1) 1 (1，＋∞ )f ′ (x) －0 ＋f(x)极小值因此函数 y ＝ f(x)的单一减区间是 (0,1)，单一增区间是 (1，＋∞ )．10．(2013 ·重庆卷 )设 f(x)＝a(x －5)2＋6ln x ，此中 a ∈R ，曲线 y ＝ f(x)在点 (1，f(1))处的切线与 y 轴订交于点 (0,6)．(1)确立 a 的值；(2)求函数 f(x)的单一区间与极值．解 (1)由于 f(x)＝a(x －5)2＋6ln x ，因此 f ′(x)＝ 2a(x －5)＋6x .令 x ＝ 1，得 f(1)＝ 16a ，f ′ (1)＝6－8a ，因此曲线 y ＝ f(x)在点 (1， f(1))处的切线方程为y －16a ＝(6－ 8a)(x －1)，1由点 (0,6)在切线上可得 6－ 16a ＝ 8a －6，故 a ＝2.1 2 ＋6ln x(x>0)， (2)由(1)知， f(x)＝2(x －5) 6 x －2 x －3 f ′(x)＝ x － 5＋ x ＝ x.令 f ′ (x)＝0，解得 x ＝2 或 3.当 0<x<2 或 x>3 时， f ′(x)>0，故 f(x)在(0,2)，(3，＋∞ )上为增函数；当 2<x<3 时， f ′ (x)<0，故 f(x)在 (2,3)上为减函数．9由此可知 f(x)在 x ＝2 处获得极大值 f(2)＝ 2＋6ln 2，在 x ＝ 3 处获得极小值 f(3)＝ 2＋6ln 3.能力提高题组(建议用时： 25 分钟 )一、填空题． (2014 ·杭州质检函数2－2ax ＋a 在区间 (－∞， 1)上有最小值，则函数 1 ) f(x)＝ xf x 在区间 (1，＋∞ )上必定 ________(填序号 )．g(x)＝ x①有最小值 ②有最大值 ③是减函数 ④是增函数分析由函数 f(x)＝ x 2－＋ a 在区间 ( －∞ ， 1) 上有最小值，可得，又2ax a<1f x aag(x)＝ x ＝ x ＋ x － 2a ，则 g ′(x)＝ 1－ x 2，易知在 x ∈(1，＋ ∞)上 g ′(x)>0，所以 g(x)在(1，＋ ∞)上为增函数．答案④2．(2013 ·湖北卷改编 ) 已知 a 为常数，函数 f(x)＝x(ln x －ax)有两个极值点 x1，x 2 1(x ＜ x 2)，则以下结论正确的选项是 ________(填序号 )． ① f(x 1 ＞， 2 ＞－ 1 ②f(x 1 ＜， 2 ＜－ 1) 0 f(x ) 2 ) 0 f(x ) 2③ f(x 1 ＞， 2 ＜－ 1 ④f(x 1 ＜， 2 ＞－ 1 ) 0 f(x ) 2 ) 0 f(x ) 2分析f ′(x)＝ ln x ＋1－2ax(x ＞0)，依题意 ln x ＋1－2ax ＝0 有两个正实数根1x 1， x 2(x 1＜x 2)．设 g(x)＝ln x ＋ 1－ 2ax ；则 g ′ (x)＝ x －2a ，明显当 a ≤0 时不1 1合题意，必有 a ＞0.令 g ′(x)＝ 0，得 x ＝2a ，于是 g(x)在 0， 2a 上是增函数， 1 1 1 1 在 2a ，＋ ∞ 上是减函数，因此 g(x)在 x ＝2a 处获得极大值，因此 f ′ 2a ＝ln 2a111＞ 0，即2a＞1,0＜a＜2，且应有 x1＜2a＜ x2 .于是f(x1) ＝x1ln x1－ ax21＝ x1(2ax1－ 1)－ax21＝ ax21－ x1＝ x1(ax1－ 1)＜ 0.又 x∈12a，x2时 f′(x)＞0，x∈(x2，＋∞ )时 f′(x)＜0，因此 x2是 f(x)的极大值点，1因此 f(x2)＞ f(1)＝－ a＞－2.答案④3．设直线 x＝t，与函数 f(x)＝x2，g(x)＝ln x 的图象分别交于点M，N，则当 |MN| 达到最小时 t 的值为 ________．分析当 x＝ t 时， f(t)＝t2，g(t)＝ln t，∴y＝ |MN|＝ t2－ln t(t＞ 0)．2t2－12t＋2t－222∴y′＝2t－1＝＝t .t t当 0＜t＜2时， y′＜0；当 t＞2时， y′＞ 0. 2222∴y＝ |MN|＝ t －ln t 在 t＝2时有最小值．答案22二、解答题4．(2014 ·兰州模拟 )已知函数 f(x)＝－ x2＋ ax－ln x(a∈R)．1(1)当 a＝3 时，求函数 f(x)在2，2 上的最大值和最小值；1(2)当函数 f(x)在2， 2 上单一时，求 a 的取值范围．12x 2－ 3x＋1－－12x 1 x解(1)a＝ 3 时， f′(x) ＝－ 2x＋3－x＝－x＝－x，令1f′(x)＝ 0，解得 x＝2或 1.当 x∈ 0，1∪(1，＋∞ )时， f′ (x)<0，故 f(x)在 0，1和(1，＋∞ )上单一递22减；当 ∈ 1，1 时， f ′ (x)>0 ，故f(x) 在 1，1 上单一递加， x 2 21因此函数 f(x)在区间 2，2 上仅有极大值点 x ＝ 1，1故这个极大值点也是最大值点，故函数 f(x)在2，2 上的最大值是 f(1)＝2.1 5 3又 f(2)－f 2 ＝(2－ln 2)－ 4＋ln 2＝4－2ln 2<0，1故 f(2)<f 2 ，故函数在 1，2 上的最小值为f(2) ＝－ln 2.2211(2)f ′(x)＝－ 2x ＋a － x ，令 g(x)＝2x ＋ x ，1 1 22则 g ′(x)＝ 2－ x 2 ，则函数 g(x)在 2，2 上单一递减，在2 ，2 上单一递加，1 92 1 9由 g 2 ＝ 3， g(2) ＝2，g2 ＝ 22，故函数 g(x)在2，2 的值域为 2 2，2 .1若要 f ′(x)≤ 0 在 2，2 上恒建立，11 即 a ≤2x ＋x 在 2，2 恒建立，只需 a ≤2 2；1若要 f ′(x)≥ 0 在 2，2 上恒建立，1 19即 a ≥2x ＋x 在 2，2 上恒建立，只需 a ≥ 2，9即 a 的取值范围是 (－∞， 2 2 ]∪ 2，＋∞ .。

《三维设计》高考数学(苏教,理科)大一轮配套课时跟踪检测28 数系的扩充与复数的引入

课时跟踪检测(二十八) 数系的扩充与复数的引入第Ⅰ组：全员必做题1．(2010·江苏高考)设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为________．2．(2014·盐城摸底)若复数z ＝(m 2－1)＋(m ＋1)i(i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为________．3．(2013·苏北三市调研)已知i 是虚数单位，实数a ，b 满足(3＋4i)(a ＋b i)＝10i ，则3a －4b ＝________.4．若实数a 满足2＋a i 1－i＝2i ，其中i 是虚数单位，则a ＝________. 5．(2013·南京、淮安二模)若复数z ＝1－m i 2＋i(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值是________．6．(2014·常州质检)已知复数z ＝－1＋i(i 为虚数单位)，则z ·zz －z ＝________.7．若3＋b i 1－i＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________. 8．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2z z －1＝________. 9．(2013·南通二模)已知复数z 1＝m ＋2i ，z 2＝3－4i ，若z 1z 2为实数，则实数m 的值为________．10．已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则2－i z(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为第________象限．11．(2013·湖北黄冈中学)已知i 是虚数单位，若z 1＝a ＋i ，z 2＝a －i ，z 1z 2为纯虚数，则实数a ＝________.12．已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．第Ⅱ组：重点选做题1．定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是________．2．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则y x的最大值为________． 3．(2014·陕西师大附中模拟)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，z ＝x ＋y i(i 为虚数单位)，则|z －1＋2i|的最小值是________．4．已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则y x的最大值是________．答案第Ⅰ组：全员必做题1．解析：法一：由z (2－3i)＝6＋4i 得z ＝6＋4i 2－3i ＝(6＋4i )(2＋3i )(2－3i )(2＋3i )＝26i 13＝2i ，所以|z |＝2. 法二：由z (2－3i)＝6＋4i 得|z ||2－3i|＝|6＋4i|，所以|z |·13＝52，所以|z |＝2.答案：22．解析：由z 为纯虚数知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m ＋1≠0，所以m ＝1.答案：13．解析：由(3＋4i)(a ＋b i)＝10i 得3a －4b ＋(4a ＋3b )i ＝10i ，所以3a －4b ＝0.答案：04．解析：因为2＋a i 1－i＝2i ，所以2＋a i ＝(1－i)·2i ＝2＋2i ，故a ＝2.答案：25．解析：z ＝1－m i 2＋i ＝(1－m i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝2－m －(1＋2m )i 5＝2－m 5－1＋2m 5i.又z 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－m ＝0，1＋2m ≠0，即m ＝2.答案：26．解析：因为z ·z ＝(－1＋i)(－1－i)＝2，z －z ＝－1＋i －(－1－i)＝2i ，所以z ·z z －z ＝22i ＝1i＝－i. 答案－i7．解析：由3＋b i 1－i ＝(3＋b i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝3－b ＋(3＋b )i 2＝a ＋b i ，得a ＝3－b 2，b ＝3＋b 2，解得b ＝3，a ＝0，所以a ＋b ＝3.答案：38．解析：z 2－2z z －1＝(z －1)2－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i －i·i＝－2i. 答案：－2i9．解析：因为z 1z 2为实数，所以z 1z 2为实数，即(m ＋2i)(3＋4i)＝(3m －8)＋(4m ＋6)i 为实数，从而由4m ＋6＝0得m ＝－32. 答案：－32 10．解析：依题意得2－i z ＝2－i －1＋2i ＝(2－i )(－1－2i )(－1＋2i )(－1－2i )＝－4－3i 5，因此该复数在复平面内对应的点的坐标是⎝⎛⎭⎫－45，－35，位于第三象限．答案：三11．解析：z 1z 2＝a 2－1＋2a i a 2＋1为纯虚数，则a ≠0，a 2－1＝0，a ＝±1. 答案：±112．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i. 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i.∴(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i.由于(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．第Ⅱ组：重点选做题1．解析：设(x ＋y i)2＝－3＋4i ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝－3，xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－2.答案：1＋2i 或－1－2i2．解析：∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝⎛⎭⎫y x max ＝31＝ 3.答案： 33．解析：∵|z －1＋2i|＝(x －1)2＋(y ＋2)2，所以|z －1＋2i|的最小值即点(1，－2)到不等式组⎩⎨⎧ x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3所表示的平面区域的距离的最小值，即为(1，－2)到x ＋y ＝0的距离，易得最小值为22. 答案：224．解析：由题意知(x －2)2＋y 2＝3，即(x －2)2＋y 2＝3，所以对应的圆心为(2,0)，半径为r ＝ 3.设k ＝y x ，则y ＝kx .当直线与圆相切时，圆心到直线y ＝kx 的距离为|2k |1＋k2＝3，解得k ＝±3，可知y x的最大值是 3. 答案： 3。

高考数学一轮复习教案(含答案)：第2章第12节导数与函数的极值、最值

第十二节导数与函数的极值、最值[考纲传真] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．1．函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．2．函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[常用结论]对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的极大值一定比极小值大．()(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．()(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()(4)x＝0是函数f(x)＝x3的极值点． ()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为()A．1B．2C．3D．4A[导函数f′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个，所以f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点．]3．设函数f(x)＝2x＋ln x，则()A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点D[函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－2x2＝x－2x2，令f′(x)＝0得x＝2，又0＜x＜2时，f′(x)＜0，x＞2时，f′(x)＞0.因此x＝2为f(x)的极小值点，故选D.]4．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝()A．－4 B．－2 C．4 D．2D[由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x<－2或x>2时，f ′(x )>0；当－2<x <2时，f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f (x )在x ＝2处取得极小值，∴a ＝2.]5．函数y ＝2x 3－2x 2在区间[－1,2]上的最大值是________．8 [y ′＝6x 2－4x ，令y ′＝0，得x ＝0或x ＝23.∵f (－1)＝－4，f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－827， f (2)＝8，∴最大值为8.]【例1】设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)D [由题图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．]►考法2 根据函数的解析式求极值【例2】已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．[解] (1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表．故f (x )极大值(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x ＞0)，当a ≤0时，f ′(x )＞0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a ＞0时，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，故函数在x ＝1a 处有极大值．综上所述，当a ≤0时，函数在定义域上无极值点，当a ＞0时，函数有一个极大值点．►考法3 已知函数的极值求参数【例3】 (1)(2020·成都模拟)若函数f (x )＝(x 2＋ax ＋3)e x 在(0，＋∞)上有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－22]B ．(－∞，－22)C ．(－∞，－3]D ．(－∞，－3)(2)若函数f (x )＝x (x －a )2在x ＝2处取得极小值，则a ＝________.(1)C (2)2 [(1)f ′(x )＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax ＋3)e x ＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a ＋3]e x . 令g (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋a ＋3，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋22＞0，g (0)≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋22≤0，g (0)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋22＞0，a ＋3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋22≤0，a ＋3＜0，解得a ≤－3，故选C.(2)f (x )＝x (x －a )2＝x 3－2ax 2＋a 2x ，∴f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2.由f ′(2)＝12－8a ＋a 2＝0，解得a ＝2或a ＝6.当a ＝2时，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4＝(x －2)(3x －2)，函数在x ＝2处取得极小值，符合题意；当a ＝6时，f ′(x )＝3x 2－24x ＋36＝3(x －2)(x －6)，函数在x ＝2处取得极大值，不符合题意，∴a ＝2.](1)当a ＝1，且函数图象过点(0,1)时，求f (x )的极小值．(2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，求a 的取值范围．[解] f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1.(1)函数图象过点(0,1)时，有f (0)＝c ＝1.当a ＝1时，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，令f ′(x )＞0，解得x ＜13或x ＞1；令f ′(x )＜0，解得13＜x ＜1.所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13和(1，＋∞)上单调递增；在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1上单调递减，极小值是f (1)＝13－2×12＋1＋1＝1.(2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，则f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，即f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立．①当a ＝0时，f ′(x )＝－4x ＋1，显然不满足条件；②当a ≠0时，f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×3a ×1≤0，即16－12a ≤0，解得a ≥43.综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.【例4】 (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．[解] (1)由f (x )＝(x －k )e x ，得f ′(x )＝(x －k ＋1)e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.f (x )与f ′(x )的变化情况如下：所以，f (x )(k －1，＋∞)．(2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ，当0＜k －1＜1，即1＜k ＜2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1.当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.综上可知，当k ≤1时，f (x )min ＝－k ；当1＜k ＜2时，f (x )min ＝－e k －1；当k ≥2时，f (x )min ＝(1－k )e.已知函数f (x )＝1－x x ＋k ln x ，k ＜1e ，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值和最小值．[解] 因为f (x )＝1－x x ＋k ln x ，所以f ′(x )＝－x －(1－x )x 2＋k x ＝kx －1x 2. (1)若k ＝0，则f ′(x )＝－1x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上恒有f ′(x )＜0，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递减．所以f (x )min ＝f (e)＝1－e e ，f (x )ma x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e －1. (2)若k ≠0，f ′(x )＝kx －1x 2＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k x 2.①若k ＜0，则在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上恒有k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k x 2＜0，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递减，所以f (x )min ＝f (e)＝1－e e ＋k ln e ＝1e ＋k －1，f (x )ma x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e －k －1. ②若k ＞0，由k ＜1e ，得1k ＞e ，则x －1k ＜0，所以k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k x 2＜0，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递减．所以f (x )min ＝f (e)＝1－e e ＋k ln e ＝1e ＋k －1，f (x )ma x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e －k －1. 综上，k ＜1e 时，f (x )min ＝1e ＋k －1，f (x )ma x ＝e －k －1.【例5】已知函数f (x )＝e x(a ＞0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值．[解] (1)f ′(x )＝(2ax ＋b )e x －(ax 2＋bx ＋c )e x(e x )2＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c e x，令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ，因为e x ＞0，所以y ＝f ′(x )的零点就是g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c 的零点，且f ′(x )与g (x )符号相同．又因为a ＞0，所以当－3＜x ＜0时，g (x )＞0，即f ′(x )＞0，当x ＜－3或x ＞0时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，所以f (x )的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．(2)由(1)知，x ＝－3是f (x )的极小值点，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －3b ＋c e －3＝－e 3，g (0)＝b －c ＝0，g (－3)＝－9a －3(2a －b )＋b －c ＝0，解得a ＝1，b ＝5，c ＝5，所以f (x )＝x 2＋5x ＋5e x. 因为f (x )的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，所以f (0)＝5为函数f (x )的极大值，故f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大者，而f (－5)＝5e－5＝5e 5＞5＝f (0)，所以函数f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e 5.若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是________．[－3,0) [由题意，得f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)，故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，令13x 3＋x 2－23＝－23得，x ＝0或x ＝－3，则结合图象可知，⎩⎨⎧－3≤a ＜0，a ＋5＞0，解得a ∈[－3,0)．]1．(2020·全国卷Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1A [函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，则f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)·e x －1＝e x －1·[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]．由x ＝－2是函数f (x )的极值点得f ′(－2)＝e －3·(4－2a －4＋a －1)＝(－a －1)·e －3＝0，所以a ＝－1.所以f (x )＝(x 2－x －1)e x －1，f ′(x )＝e x －1·(x 2＋x －2)．由e x －1>0恒成立，得x ＝－2或x ＝1时，f ′(x )＝0，且x <－2时，f ′(x )>0；－2<x <1时，f ′(x )<0；x >1时，f ′(x )>0.所以x ＝1是函数f (x )的极小值点．所以函数f (x )的极小值为f (1)＝－1.故选A.]2．(2020·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0. 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；第11页共11页当a >0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0.因此，a 的取值范围是(0,1)．。

三维设计高考数学湘教版理科一轮复习课时检测2.13导数与函数的综合问题(含答案详析)

课时跟踪检测(十六) 导数与函数的综合问题(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页)第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2014·宜昌模拟)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝⎛⎭⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于( )A.14 B.13 C.12D ．12．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．03．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a )4．(2013·山西诊断)设D 是函数y ＝f (x )定义域内的一个区间，若存在x 0∈D ，使f (x 0)＝－x 0，则称x 0是f (x )的一个“次不动点”，也称f (x )在区间D 上存在“次不动点”，若函数f (x )＝ax 2－3x －a ＋52在区间[1,4]上存在“次不动点”，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，12 5．电动自行车的耗电量y 与速度x 之间有关系y ＝13x 3－392x 2－40x (x >0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．6．函数f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，则a 的取值范围是________．7．已知函数f (x )＝ln x －ax.(1)若a >0，试判断f (x )在定义域内的单调性； (2)若f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．8．(2014·泰安模拟)某种产品每件成本为6元，每件售价为x 元(6<x <11)，年销售为u 万件，若已知5858－u 与⎝⎛⎭⎫x －2142成正比，且售价为10元时，年销量为28万件． (1)求年销售利润y 关于售价x 的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2013·浙江十校联考)已知函数f (x )＝ln x ＋ax (a ∈R )． (1)求f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝x 2－4x ＋2，若对任意x 1∈(0，＋∞)，均存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)<g (x 2)，求a 的取值范围．2．(2014·江南十校高三联考)已知函数f (x )＝f ′(1)e ·e x －f (0)·x ＋12x 2(e 是自然对数的底数)．(1)求函数f (x )的解析式和单调区间；(2)若函数g (x )＝12x 2＋a 与函数f (x )的图像在区间[－1,2]上恰有两个不同的交点，求实数a 的取值范围．3．(2014·宁波月考)已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 3＋ax 2－x ＋2.(1)如果函数g (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－13，1，求函数g (x )的解析式； (2)在(1)的条件下，求函数y ＝g (x )的图像在点P (－1,1)处的切线方程； (3)若不等式2f (x )≤g ′(x )＋2恒成立，求实数a 的取值范围．答案第Ⅰ组：全员必做题1．选D 由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )>0；当x >1a时，f ′(x )<0.∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1.2．选A 因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，所以－1，1为函数的极值点．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3,2]上f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19.又由题设知在区间[－3,2]上f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20，所以t 的最小值是20.3．选A ∵xf ′(x )≤－f (x )，f (x )≥0， ∴⎝⎛⎭⎫f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2≤－2f (x )x 2≤0.则函数f (x )x 在(0，＋∞)上是单调递减的，由于0<a <b ，则f (a )a ≥f (b )b .即af (b )≤bf (a )．4．选D 设g (x )＝f (x )＋x ，依题意，存在x ∈[1,4]，使g (x )＝f (x )＋x ＝ax 2－2x －a ＋52＝0.当x ＝1时，g (1)＝12≠0；当x ≠1时，由ax 2－2x －a ＋52＝0得a ＝4x －52(x 2－1).记h (x )＝4x －52(x 2－1)(1<x ≤4)，则由h ′(x )＝－2x 2＋5x －2(x 2－1)2＝0得x ＝2或x ＝12(舍去)．当x ∈(1,2)时，h ′(x )>0；当x ∈(2,4)时，h ′(x )<0，即函数h (x )在(1,2)上是增函数，在(2,4)上是减函数，因此当x ＝2时，h (x )取得最大值，最大值是h (2)＝12，故满足题意的实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12，选D.5．解析：由y ′＝x 2－39x －40＝0，得x ＝－1或x ＝40，由于0<x <40时，y ′<0；当x >40时，y ′>0.所以当x ＝40时，y 有最小值．答案：406．解析：f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，即函数f (x )恰有两个极值点，即f ′(x )＝0有两个不等实根．∵f (x )＝ax 3＋x ，∴f ′(x )＝3ax 2＋1. 要使f ′(x )＝0有两个不等实根，则a <0. 答案：(－∞，0)7．解：(1)由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋ax 2.∵a >0，∴f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数． (2)∵f (x )<x 2，∴ln x －ax <x 2.又x >0，∴a >x ln x －x 3. 令g (x )＝x ln x －x 3， h (x )＝g ′(x )＝1＋ln x －3x 2， h ′(x )＝1x －6x ＝1－6x 2x .∵x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0， ∴h (x )在(1，＋∞)上是减函数． ∴h (x )<h (1)＝－2<0，即g ′(x )<0， ∴g (x )在(1，＋∞)上也是减函数． g (x )<g (1)＝－1，∴当a ≥－1时，f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立． 8．解：(1)设5858－u ＝k ⎝⎛⎭⎫x －2142， ∵售价为10元时，年销量为28万件， ∴5858－28＝k ⎝⎛⎭⎫10－2142，解得k ＝2. ∴u ＝－2⎝⎛⎭⎫x －2142＋5858 ＝－2x 2＋21x ＋18.∴y ＝(－2x 2＋21x ＋18)(x －6)＝－2x 3＋33x 2－108x －108(6<x <11)． (2)y ′＝－6x 2＋66x －108＝－6(x 2－11x ＋18)＝－6(x －2)(x －9)．令y ′＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝9，显然，当x ∈(6,9)时，y ′>0；当x ∈(9,11)时，y ′<0.∴函数y ＝－2x 3＋33x 2－108x －108在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是递减的． ∴当x ＝9时，y 取最大值，且y max ＝135，∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．第Ⅱ组：重点选做题1．解：(1)f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1x (x >0)．①当a ≥0时，由于x >0，故ax ＋1>0， f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)． ②当a <0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a.在区间⎝⎛⎭⎫0，－1a 上，f ′(x )>0，在区间⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上， f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞. 综上所述，当a ≥0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，当a <0时，f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞. (2)由题意得f (x )max <g (x )max ，而g (x )max ＝2，由(1)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，值域为R ，故不符合题意．当a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递减，故f (x )的极大值即为最大值，f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1－ln(－a )，所以2>－1－ln(－a )，解得a <－1e 3.故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－1e 3. 2．解：(1)由已知得f ′(x )＝f ′(1)ee x－f (0)＋x ，令x ＝1，得f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1，即f (0)＝1.又f (0)＝f ′(1)e ，所以f ′(1)＝e.从而f (x )＝e x －x ＋12x 2.显然f ′(x )＝e x －1＋x 在R 上单调递增且f ′(0)＝0，故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. ∴f (x )的单调递减区间是(－∞，0)，单调递增区间是(0，＋∞)． (2)由f (x )＝g (x )得a ＝e x －x . 令h (x )＝e x －x ，则h ′(x )＝e x －1. 由h ′(x )＝0得x ＝0.所以当x ∈(－1,0)时，h ′(x )<0；当x ∈(0,2)时，h ′(x )>0. ∴h (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增．又h (0)＝1，h (－1)＝1＋1e ，h (2)＝e 2－2且h (－1)<h (2)．∴两个图像恰有两个不同的交点时，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤1，1＋1e . 3．解：(1)g ′(x )＝3x 2＋2ax －1，由题意得3x 2＋2ax －1<0的解集是⎝⎛⎭⎫－13，1，即3x 2＋2ax －1＝0的两根分别是－13，1.将x ＝1或x ＝－13代入方程3x 2＋2ax －1＝0，得a ＝－1.∴g (x )＝x 3－x 2－x ＋2.(2)由(1)知，g ′(x )＝3x 2－2x －1， ∴g ′(－1)＝4，∴点P (－1,1)处的切线斜率k ＝g ′(－1)＝4，∴函数y ＝g (x )的图像在点P (－1,1)处的切线方程为y －1＝4(x ＋1)，即4x －y ＋5＝0. (3)∵f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴2f (x )≤g ′(x )＋2恒成立，即2x ln x ≤3x 2＋2ax ＋1对x ∈(0，＋∞)上恒成立．可得a ≥ln x －3x 2－12x 在x ∈(0，＋∞)上恒成立．令h (x )＝ln x －3x 2－12x，则h ′(x )＝1x －32＋12x 2＝－(x －1)(3x ＋1)2x 2.令h ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－13(舍)．当0<x <1时，h ′(x )>0；当x >1时，h ′(x )<0.∴当x ＝1时，h (x )取得最大值， h (x )max ＝h (1)＝－2，∴a ≥－2.∴a 的取值范围是[－2，＋∞)．。

三维设计江苏专用高三数学一轮总复习第三章导数及其应用课时跟踪检测理

三维设计江苏专用高三数学一轮总复习第三章导数及其应用课时跟踪检测理第一节导数的概念与计算1．导数的概念 (1)平均变化率一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f x 2－f x 1x 2－x 1.(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 ①定义：设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，此值Δy Δx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．②几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式(sin x )′＝cos_x ，(cos x )′＝－sin_x ，(a x)′＝a xln_a ， (e x)′＝e x，(log a x )＝1x ln a ，(ln x )′＝1x. 3．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)．[小题体验]1．(教材习题改编)一次函数f (x )＝kx ＋b 在区间[m ，n ]上的平均变化率为________．解析：由题意得函数f (x )＝kx ＋b 在区间[m ，n ]上的平均变化率为f n －f mn －m＝k .答案：k2．(教材习题改编)如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋5，则f (3)＝________，f ′(3)＝________.解析：由图知切点为(3,2)，切线斜率为－1. 答案：2 －13．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝________. 解析：由f (x )＝x ＋ln x (x >0)，知f ′(x )＝1＋1x，所以f ′(1)＝2.答案：24．(2015·天津高考)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析：f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案：31．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．[小题纠偏]1．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝________.解析：对关系式f (x )＝2xf ′(e)＋ln x 两边求导，得f ′(x )＝2f ′(e)＋1x，令x ＝e ，得f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，所以f ′(e)＝－1e.答案：－1e2．已知f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则f (2)＝________.解析：因为f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)，所以f ′(2)＝4＋3f ′(2)，所以f ′(2)＝－2，所以f (x )＝x 2－6x ，所以f (2)＝22－6×2＝－8.答案：－83．已知定义在R 上的函数f (x )＝e x ＋x 2－x ＋sin x ，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是________．解析：令x ＝0，得f (0)＝1.对f (x )求导，得f ′(x )＝e x＋2x －1＋cos x ，所以f ′(0)＝1，故曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝x ＋1.答案：y ＝x ＋1考点一导数的运算基础送分型考点——自主练透[题组练透]求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x；(3)y ＝cos x e x ；(4)y ＝11－x ＋11＋x. 解：(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x′ ＝1x －1x2.(3)y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x e x ′ ＝cos x ′e x－cos x e x′e x 2＝－sin x ＋cos x ex. (4)∵y ＝11－x ＋11＋x ＝21－x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫21－x ′＝－21－x ′1－x 2＝21－x2.[谨记通法] 求函数导数的3种原则考点二导数的几何意义常考常新型考点——多角探明[命题分析]导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题．常见的命题角度有： (1)求切线方程； (2)求切点坐标； (3)求参数的值．[题点全练]角度一：求切线方程1．(2016·南通调研)已知f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，则f (x )在点P (－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于________．解析：∵f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6， ∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1， ∴f ′(－1)＝8，故切线方程为y －2＝8(x ＋1)，即8x －y ＋10＝0，令x ＝0，得y ＝10，令y ＝0，得x ＝－54，∴所求面积S ＝12×54×10＝254.答案：254角度二：求切点坐标2．若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线 2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．解析：由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2. 设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ，所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)．答案：(e ，e) 角度三：求参数的值3．(2016·南京外国语学校检测)已知函数f (x )＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b ＝________.解析：∵f ′(x )＝4x 3＋2ax －b ，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′0＝－13，f ′－1＝－27⇒⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－13－4－2a －b ＝－27，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝13，∴a ＋b ＝18. 答案：18[方法归纳]导数几何意义的应用的2个注意点(1)当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为________．解析：∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3， ∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．答案：3(x 2－a 2)2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝________.解析：由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x.∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.3．(2016·徐州一中检测)曲线y ＝f (x )＝x (x －1)(x －2)·…·(x －6)在原点处的切线方程为________．解析：y ′＝(x －1)(x －2)·…·(x －6)＋x [(x －1)·(x －2)·…·(x －6)]′，所以f ′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)×(－6)＋0＝720.故切线方程为y ＝720x .答案：y ＝720x4．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 答案：15．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 与直线4x －y －1＝0平行，且点P 0在第三象限，则点P 0的坐标为________．解析：设P 0(x 0，y 0)．由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1. 由已知，得3x 20＋1＝4，解得x 0＝±1. 当x 0＝1时，y 0＝0；当x 0＝－1时，y 0＝－4.又点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)．答案：(－1，－4)二保高考，全练题型做到高考达标1．某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位：s ，s 的单位：m)，则它在第4 s 末的瞬时速度为________ m/s.解析：∵s ′＝2t －3t 2，∴在第4 s 末的瞬时速度v ＝s ′| t ＝4＝8－316＝12516 m/s.答案：125162．(2015·苏州二模)已知函数f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )，且f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________.解析：f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )＝ax 4＋(2a ＋b )x 2＋2b ，f ′(x )＝4ax 3＋2(2a ＋b )x 为奇函数，所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.3．已知f (x )＝x (2 015＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 016，则x 0＝________.解析：f ′(x )＝2 015＋ln x ＋x ·1x＝2 016＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 016得2 016＋lnx 0＝2 016，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.答案：14．(2016·金陵中学模拟)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线倾斜角α的取值范围为________．解析：因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π5．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为________．解析：∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2. 答案：－26．(2016·太原一模)函数f (x )＝x e x的图象在点(1，f (1))处的切线方程是________．解析： ∵f (x )＝x e x， ∴f (1)＝e ，f ′(x )＝e x＋x e x，∴f ′(1)＝2e ，∴f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －e ＝2e(x －1)，即y ＝2e x －e.答案：y ＝2e x －e7.(2015·无锡调研)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.答案：08．设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )(a ，b ，c 是两两不等的常数)，则a f ′a＋b f ′b＋c f ′c＝________.解析：∵f (x )＝x 3－(a ＋b ＋c )x 2＋(ab ＋bc ＋ca )x －abc ， ∴f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b ＋c )x ＋ab ＋bc ＋ca ，f ′(a )＝(a －b )(a －c )， f ′(b )＝(b －a )(b －c )， f ′(c )＝(c －a )(c －b )．∴a f ′a ＋bf ′b ＋c f ′c＝aa －ba －c＋bb －a b －c＋c c －ac －b＝a b －c －b a －c ＋c a －ba －b a －c b －c＝0.答案：09．求下列函数的导数． (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)．解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′＝tan x ＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x＝tan x ＋xcos 2x.(2)y ′＝(x ＋1)′[(x ＋2)(x ＋3)]＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.10．已知曲线y ＝f (x )＝x 2a－1(a >0)在x ＝1处的切线为l ，求l 与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值．解：因为f (1)＝1a－1，所以切点为⎝⎛⎭⎪⎫1，1a－1.由已知，得f ′(x )＝2x a ，切线斜率k ＝f ′(1)＝2a，所以切线l 的方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1＝2a(x －1)，即2x －ay －a －1＝0. 令y ＝0，得x ＝a ＋12；令x ＝0，得y ＝－a ＋1a. 所以l 与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×a ＋12×a ＋1a ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋12≥14×2a ×1a ＋12＝1，当且仅当a ＝1a，即a ＝1时取等号，所以S min ＝1.故l 与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值为1. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________．解析：设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ，切线的斜率k ＝y ′|x ＝t＝3t 2－a ①，所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t ) ②.将点A (1,0)代入②式得－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解得t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ，由题意得它们互为相反数，故a ＝278.答案：2782．(2016·无锡一中检测)已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．解析：∵f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，∴f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×22＋22，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1.故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝(2－1)×22＋22＝1.答案：13．(2016·苏北四市调研)设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任意一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解：(1)f ′(x )＝a ＋b x2.∵点(2，f (2))在切线7x －4y －12＝0上， ∴f (2)＝2×7－124＝12.又曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′2＝74，f 2＝12⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b 4＝74，2a －b 2＝12⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.∴f (x )的解析式为f (x )＝x －3x.(2)设⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0－3x 0为曲线y ＝f (x )上任意一点，则切线的斜率k ＝1＋3x 20，切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)，令x ＝0，得y ＝－6x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20x －x 0，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0，y ＝2x 0.∴曲线y ＝f (x )上任意一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12|2x 0|⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0＝6，为定值．第二节导数的应用1．函数的单调性在(a ，b )内可导函数f (x )，f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒等于0.f ′(x )≥0⇔f (x )在(a ，b )上为增函数．f ′(x )≤0⇔f (x )在(a ，b )上为减函数．2．函数的极值 (1)函数的极小值：函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．(2)函数的极大值：函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近的其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 3．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．[小题体验]1．(教材习题改编)函数f (x )＝x 2e x的单调增区间是________．解析：函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝2x e x ＋x 2e x ＝e x (2x ＋x 2)，令f ′(x )>0，得x <－2或x >0，所以函数f (x )的单调增区间为(－∞，－2)和(0，＋∞)．答案：(－∞，－2)，(0，＋∞)2．(教材习题改编)函数f (x )＝13x 3＋32x 2－4x ＋13取得极大值时x 的值是________．解析：f ′(x )＝x 2＋3x －4，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－4，经检验知x ＝－4时，函数y 取得极大值．答案：－43．(教材习题改编)函数f (x )＝32x ＋sin x 在区间[0,2π]上的最大值为________．解析：f ′(x )＝32＋cos x ，令f ′(x )＝0，x ∈[0,2π]，得x ＝5π6或x ＝7π6，又f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝53π12＋12.f ⎝⎛⎭⎪⎫7π6＝73π12－12，f (2π)＝3π.所以函数f (x )在区间[0,2π]上的最大值为3π.答案：3π4．已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则a 的最大值是________．答案：31．求函数单调区间与函数极值时没有列表的习惯，会造成问题不能直观且有条理的解决．2．求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论．3．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f ′(x )＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点．[小题纠偏]1．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则ab的值为________．解析：由题意，知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由函数f (x )在x ＝1处取得极大值10，知⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝0，f 1＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9满足题意，故a b ＝－23.答案：－232．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．解析：因为f ′(x )＝4x －1x (x >0)，所以可求得f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.又函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤k －1<12，k ＋1>12，解得1≤k <32.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 3．函数y ＝2x 3－2x 2在区间[－1,2]上的最大值是________．解析：y ′＝6x 2－4x ，令y ′＝0，得x ＝0或x ＝23.∵f (－1)＝－4，f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－827，f (2)＝8. ∴最大值为8. 答案：8第一课时导数与函数的单调性考点一判断或证明函数的单调性重点保分型考点——师生共研[典例引领]设a ∈[－2,0]，已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－a ＋5x ，x ≤0，x 3－a ＋32x 2＋ax ，x >0.证明f (x )在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．证明：设函数f 1(x )＝x 3－(a ＋5)x (x ≤0)，f 2(x )＝x 3－a ＋32x 2＋ax (x ≥0)，①f 1′(x )＝3x 2－(a ＋5)，由于a ∈[－2,0]，从而当－1<x ≤0时，f 1′(x )＝3x 2－(a ＋5)<3－a －5≤0，所以函数f 1(x )在区间(－1,0]内单调递减． ②f 2′(x )＝3x 2－(a ＋3)x ＋a ＝(3x －a )(x －1)，由于a ∈[－2,0]，所以当0<x <1时，f 2′(x )<0；当x >1时，f 2′(x )>0，即函数f 2(x )在区间[0,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．综合①②及f 1(0)＝f 2(0)，可知函数f (x )在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．[由题悟法]导数法证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的3步骤(1)一求．求f ′(x )；(2)二定．确认f ′(x )在(a ，b )内的符号；(3)三结论．作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数．[提醒] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．[即时应用]已知函数f (x )＝ln x －x1＋2x.(1)求证：f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增； (2)若f [x (3x －2)]＜－13，求实数x 的取值范围．解：(1)证明：由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)． ∵f (x )＝ln x －x1＋2x， ∴f ′(x )＝1x －1＋2x －2x 1＋2x 2＝4x 2＋3x ＋1x 1＋2x 2. ∵x ＞0，∴4x 2＋3x ＋1＞0，x (1＋2x )2＞0. ∴当x ＞0时，f ′(x )＞0. ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增． (2)∵f (x )＝ln x －x1＋2x ，∴f (1)＝ln 1－11＋2×1＝－13.由f [x (3x －2)]＜－13得f [x (3x －2)]＜f (1)．由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x3x －2＞0，x3x －2＜1，解得－13＜x ＜0或23＜x ＜1.∴实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1.考点二求函数的单调区间重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2(m ，n ∈R ，m ≠0)，函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线与x 轴平行．(1)用关于m 的代数式表示n ； (2)求函数f (x )的单调增区间．解：(1)由已知条件得f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，又f ′(2)＝0，所以3m ＋n ＝0，故n ＝－3m . (2)因为n ＝－3m ，所以f (x )＝mx 3－3mx 2，所以f ′(x )＝3mx 2－6mx . 令f ′(x )>0，即3mx 2－6mx >0，当m >0时，解得x <0或x >2，则函数f (x )的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m <0时，解得0<x <2，则函数f (x )的单调增区间是(0,2)．综上，当m >0时，函数f (x )的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m <0时，函数f (x )的单调增区间是(0,2)．[由题悟法] 确定函数单调区间4步骤(1)确定函数f (x )的定义域； (2)求f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f ′(x )＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．[即时应用](2015·重庆高考改编)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R)在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x，求g (x )的单调区间．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43 ＝0，即3a ·169＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43 ＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x，故g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋52x 2＋2x e x＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x.令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝－4. 当x ＜－4时，g ′(x )＜0，故g (x )为减函数；当－4＜x ＜－1时，g ′(x )＞0，故g (x )为增函数；当－1＜x ＜0时，g ′(x )＜0，故g (x )为减函数；当x ＞0时，g ′(x )＞0，故g (x )为增函数．综上知，g (x )的减区间为(－∞，－4)和(－1,0)，增区间为(－4，－1)和(0，＋∞)．考点三已知函数的单调性求参数的范围题点多变型考点——纵引横联[典型母题]已知函数f (x )＝x 3－ax －1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )在R 上为增函数，求实数a 的取值范围． [解] (1)f ′(x )＝3x 2－a . ①当a ≤0时，f ′(x )≥0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数．②当a ＞0时，令3x 2－a ＝0得x ＝±3a3；当x ＞3a 3或x ＜－3a 3时，f ′(x )＞0；当－3a 3＜x ＜3a 3时，f ′(x )＜0. 因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a a 上为减函数．综上可知，当a ≤0时，f (x )在R 上为增函数；当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数． (2)因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在 (－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立．因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )＝x 3－1在R 上是增函数，所以a ≤0，即实数a 的取值范围为(－∞，0].根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f ′(x )≥0；若函数单调递减，则f ′(x )≤0”来求解．[提醒] f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0，且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．[越变越明][变式1] 函数f (x )不变，若f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．解：因为f ′(x )＝3x 3－a ，且f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x 2－a ≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3，即a 的取值范围为(－∞，3]．[变式2] 函数f (x )不变，若f (x )在区间(－1,1)上为减函数，试求a 的取值范围．解：由f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，得a ≥3x 2在(－1,1)上恒成立．因为－1＜x ＜1，所以3x 2＜3，所以a ≥3.即当a 的取值范围为[3，＋∞)时，f (x )在(－1,1)上为减函数．[变式3] 函数f (x )不变，若f (x )的单调递减区间为(－1,1)，求a 的值．解：由母题可知，f (x )的单调递减区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3，∴3a 3＝1，即a ＝3.[破译玄机]函数的单调区间是指单调递增或单调递减，在求解中应列方程求解，与函数在某个区间上具有单调性是不同的．[变式4] 函数f (x )不变，若f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．解：∵f (x )＝x 3－ax －1，∴f ′(x )＝3x 2－a .由f ′(x )＝0，得x ＝±3a3(a ≥0)．∵f (x )在区间(－1,1)上不单调，∴0＜3a3＜1，得0＜a ＜3，即a 的取值范围为(0,3)．[破译玄机]函数在其区间上不具有单调性，但可在子区间上具有单调性，如变式4中利用了3a 3∈(0,1)来求解．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2015·镇江模拟)函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是________．解析：函数f (x )＝(x －3)e x的导数为f ′(x )＝[(x －3)e x]′＝e x＋(x －3)e x＝(x －2)e x.由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )＞0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x ＞0，解得x ＞2.答案：(2，＋∞)2．设函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]上是单调函数，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意，知当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5的值恒不小于0或恒不大于0. 若当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5≥0，即有－2a ≤x ＋5x在[1,3]上恒成立，而x ＋5x≥2x ·5x＝25(当且仅当x ＝5时取等号)，故－2a ≤25，解得a ≥－ 5. 若当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5≤0，即有－2a ≥x ＋5x恒成立，注意到函数g (x )＝x ＋5x 在[1，5]上是减函数，在[5，3]上是增函数，且g (1)＝6>g (3)＝143，因此－2a ≥6，解得a ≤－3.综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[－5，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[－5，＋∞)3．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上的单调情况是________．解析：在(0,2π)上有f ′(x )＝1－cos x ＞0，所以f (x )在(0,2π)上单调递增．答案：单调递增4．(2016·启东模拟)已知a ≥1，f (x )＝x 3＋3|x －a |，若函数f (x )在[－1,1]上的最大值和最小值分别记为M ，m ，则M －m 的值为________．解析：当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 3＋3(a －x )＝x 3－3x ＋3a (a ≥1)，∴f ′(x )＝3(x －1)(x ＋1)．当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以原函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，所以M ＝f (－1)＝3a ＋2，m ＝f (1)＝3a －2，所以M －m ＝4.答案：45．(2016·苏州测试)已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，∵⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋1x max ＝83， ∴2a ≥83，即a ≥43.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 二保高考，全练题型做到高考达标1．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．解析：由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6得f ′(x )＝3x 2－30x －33，令f ′(x )＜0，即3(x －11)(x ＋1)＜0，解得－1＜x ＜11，所以函数f (x )的单调减区间为(－1,11)．答案：(－1,11)2．若幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，12，则函数g (x )＝e xf (x )的单调递减区间为________．解析：设幂函数f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12，所以12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e xx ＝e x(x 2＋2x )＜0，得－2＜x ＜0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)．答案：(－2,0)3．(2016·南通、扬州、淮安、连云港调研)设f (x )＝4x 3＋mx 2＋(m －3)x ＋n (m ，n ∈R)是R 上的单调增函数，则实数m 的值为________．解析：因为f ′(x )＝12x 2＋2mx ＋m －3，又函数f (x )是R 上的单调增函数，所以12x2＋2mx ＋m －3≥0在R 上恒成立，所以(2m )2－4×12(m －3)≤0，整理得m 2－12m ＋36≤0，即(m －6)2≤0.又因为(m －6)2≥0，所以(m －6)2＝0，所以m ＝6.答案：64．已知函数f (x )＝x ＋1ax在(－∞，－1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )＝x ＋1ax 的导数为f ′(x )＝1－1ax2，由于f (x )在(－∞，－1)上单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，－1)上恒成立，即1a≤x 2在(－∞，－1)上恒成立．由于当x ＜－1时，x 2＞1，则有1a≤1，解得a ≥1或a ＜0.答案：(－∞，0)∪[1，＋∞)5．(2015·南通、扬州、泰州、淮安三调)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋m ，0≤x ≤1，mx ＋5，x >1.若函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为________．解析：由f (x )＝2x 3＋3x 2＋m ，得f ′(x )＝6x 2＋6x ，所以f (x )在[0,1]上单调递增，即f (x )＝2x 3＋3x 2＋m 与x 轴至多有一个交点，要使函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋5>0，m <0，从而可得m ∈(－5,0)．答案：(－5,0)6．若函数f (x )＝ax 3－3x 在(－1,1)上为单调递减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3ax 2－3，∵f (x )在(－1,1)上为单调递减函数，∴f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立，即3ax 2－3≤0在(－1,1)上恒成立．当x ＝0时，a ∈R ；当x ≠0时，a ≤1x2，∵x∈(－1,0)∪(0,1)，∴a ≤1.综上，实数a 的取值范围为(－∞，1]．答案：(－∞，1]7．(2016·盐城中学模拟)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．解析：设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12，∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减，∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)8．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．解析：对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，解得a ＞－19.所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞9．(2016·镇江五校联考)已知函数f (x )＝ln x ＋k e x(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间．解：(1)由题意得f ′(x )＝1x－ln x －k e x，又f ′(1)＝1－ke ＝0，故k ＝1.(2)由(1)知，f ′(x )＝1x－ln x －1ex. 设h (x )＝1x －ln x －1(x ＞0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x＜0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0＜x ＜1时，h (x )＞0，从而f ′(x )＞0；当x ＞1时，h (x )＜0，从而f ′(x )＜0. 综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．10．(2016·徐州调研)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式； (2)若φ(x )＝m x －1x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．解：(1)由已知得f ′(x )＝1x ，∴f ′(1)＝1＝12a ，a ＝2.又∵g (1)＝0＝12a ＋b ，∴b ＝－1，∴g (x )＝x －1.(2)∵φ(x )＝m x －1x ＋1－f (x )＝m x －1x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数．∴φ′(x )＝－x 2＋2m －2x －1x x ＋12≤0在[1，＋∞)上恒成立．即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，则2m －2≤x ＋1x，x ∈[1，＋∞)，∵x ＋1x∈[2，＋∞)，∴2m －2≤2，m ≤2.故实数m 的取值范围是(－∞，2]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x，若f (x )在[－1,1]上是单调减函数，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x，由题意知当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0恒成立，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0恒成立．令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧g －1≤0，g1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2－2a ·－1－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 2．(2016·泰州模拟)若函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[0,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ≤0时，f (x )＝x 3－ax 2，f ′(x )＝3x 2－2ax ≥0在[0，＋∞)上恒成立，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增，则也在[0,2]上单调递增，成立；当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x 3，0≤x ≤a ，x 3－ax 2，x >a .①当0≤x ≤a 时，f ′(x )＝2ax －3x 2，令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝23a ，则f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 上单调递减； ②当x >a 时，f ′(x )＝3x 2－2ax ＝x (3x －2a )>0，所以f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，所以当a >0时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．要使函数在区间[0,2]上单调递增，则必有23a ≥2，解得a ≥3.综上，实数a 的取值范围是(－∞，0]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)3．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′x ＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a 1－xx.当a ＞0时，f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)；当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x.∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′t ＜0，g ′3＞0.当g ′(t )＜0，即3t 2＋(m ＋4)t －2＜0 对任意t ∈[1,2]恒成立，由于g ′(0)＜0，故只要g ′(1)＜0且g ′(2)＜0，即m ＜－5且m ＜－9，即m ＜－9；由g ′(3)＞0，即m ＞－373.所以－373＜m ＜－9.即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9. 第二课时导数与函数的极值、最值考点一运用导数解决函数的极值问题常考常新型考点——多角探明[命题分析]函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有填空题，也有解答题，难度适中，为中高档题．常见的命题角度有： (1)已知函数求极值； (2)已知极值求参数； (3)由图判断极值．[题点全练]角度一：已知函数求极值1．已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R)．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解：由题意知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x. (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x(x ＞0)，因为f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x ＞0知：①当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值；②当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .又当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．角度二：已知极值求参数2．(2016·黑龙江哈三中期末)已知x ＝2是函数f (x )＝x 3－3ax ＋2 的极小值点，那么函数f (x )的极大值为________．解析：x ＝2是函数f (x )＝x 3－3ax ＋2的极小值点，即x ＝2是f ′(x )＝3x 2－3a ＝0的根，将x ＝2代入得a ＝4，所以函数解析式为f (x )＝x 3－12x ＋2，则由3x 2－12＝0，得x ＝±2，故函数在(－2,2)上是减函数，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，由此可知当x ＝－2时函数f (x )取得极大值f (－2)＝18.答案：183．若函数f (x )＝13ax 3－ax 2＋(2a －3)x ＋1在R 上存在极值，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，f ′(x )＝ax 2－2ax ＋2a －3，因为函数f (x )＝13ax 3－ax 2＋(2a －3)x ＋1在R 上存在极值，所以f ′(x )＝0有两个不等实根，其判别式Δ＝4a 2－4a (2a －3)＞0，所以0＜a ＜3，故实数a 的取值范围为(0,3)．答案：(0,3)角度三：由图判断极值4．已知函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )有________个极大值点，________个极小值点．解析：由导数与函数极值的关系，知当f ′(x 0)＝0时，若在x 0的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则f (x )在x ＝x 0处取得极大值；若在x 0的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则f (x )在x ＝x 0处取得极小值．设函数f ′(x )的图象与x 轴的交点从左到右的横坐标依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则f (x )在x ＝x 1，x ＝x 3处取得极大值，在x ＝x 2，x ＝x 4处取得极小值．答案：2 2[方法归纳]利用导数研究函数极值的一般流程考点二运用导数解决函数的最值问题重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知函数f (x )＝xa－e x(a ＞0)．(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求函数f (x )在[1,2]上的最大值．解：(1)f (x )＝x a－e x (a ＞0)，则f ′(x )＝1a－e x.令1a －e x ＝0，则x ＝ln 1a.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln a ；单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫ln a ，＋∞.(2)当ln 1a ≥2，即0＜a ≤1e2时，f (x )max ＝f (2)＝2a－e 2；当1＜ln 1a ＜2，即1e 2＜a ＜1e时，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1a ＝1a ln 1a －1a；当ln 1a ≤1，即a ≥1e时，f (x )max ＝f (1)＝1a－e.[由题悟法]求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值3步骤(1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．[即时应用]设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x ＞0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切，(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值．解：(1)f ′(x )＝a x－2bx ，∵函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝a －2b ＝0，f 1＝－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12.(2)由(1)得f (x )＝ln x －12x 2，则f ′(x )＝1x －x ＝1－x2x，∵当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )＞0得1e ≤x ＜1；令f ′(x )＜0，得1＜x ≤e，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上单调递增，在[]1，e 上单调递减，∴f (x )max ＝f (1)＝－12.考点三函数极值和最值的综合问题重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知函数f (x )＝ax －2x－3ln x ，其中a 为常数．(1)当函数f (x )的图象在点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23处的切线的斜率为1时，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3上的最小值；(2)若函数f (x )在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a 的取值范围．解：(1)∵f ′(x )＝a ＋2x 2－3x，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝a ＝1，故f (x )＝x －2x－3ln x ，则f ′(x )＝x －1x －2x2.由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x 32⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 2 (2,3) 3 f ′(x ) －0 ＋f (x )1－3ln 2从而在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3上，f (x )有最小值，且最小值为f (2)＝1－3ln 2.(2)f ′(x )＝a ＋2x 2－3x ＝ax 2－3x ＋2x2(x ＞0)，由题设可得方程ax 2－3x ＋2＝0有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x 1，x 2，并令h (x )＝ax 2－3x ＋2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－8a ＞0，x 1＋x 2＝3a ＞0，x 1x 2＝2a ＞0⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－8a ＞0，－－32a ＞0，h 0＞0，解得0＜a ＜98. 故所求a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，98. [由题悟法]求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的方法求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．[即时应用]已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0，①当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0，② 由①②，解得a ＝2，b ＝－4.由于切点的横坐标为1，所以f (1)＝4. 所以1＋a ＋b ＋c ＝4，得c ＝5. (2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的取值及变化情况如下表所示：x －3 (－3，－2)－2 ⎝⎛⎭⎪⎫－2，23 23 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 1 f ′(x )＋0 －0 ＋f (x )81395274所以y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数f (x )＝ln x －x 在(0，e]上的最大值为________．解析：f ′(x )＝1x －1＝1－xx(x >0)，令f ′(x )>0，得0<x <1，令f ′(x )<0，得x >1，∴f (x )在(0,1]上是增函数，在(1，e]上是减函数．∴当x ＝1时，f (x )在(0，e]上取得最大值f (1)＝－1.答案：－12．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域为________解析：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴f ′(x )＝e xcos x ≥0，∴f (0)≤f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即12≤f (x )≤12e π2.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，12e π23．当函数y ＝x ·2x取极小值时，x ＝________. 解析：令y ′＝2x ＋x ·2xln 2＝0，∴x ＝－1ln 2. 答案：－1ln 24．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为________．解析：若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1＝0有根，故Δ＝(－4c )2－12>0，从而c >32或c <－32.故实数c 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 5．已知函数f (x )＝2f ′(1)ln x －x ，则f (x )的极大值为________．解析：因为f ′(x )＝2f ′1x－1，令x ＝1，得f ′(1)＝1.所以f (x )＝2ln x －x ，f ′(x )＝2x－1.当0<x <2，f ′(x )>0；当x >2，f ′(x )<0.从而f (x )的极大值为f (2)＝2ln 2－2.答案：2ln 2－2二保高考，全练题型做到高考达标1．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为________．解析：f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x，且x ＞0.令f ′(x )＞0，得x ＞1；令f ′(x )＜0，得0＜x＜1.∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，且f (1)＝12－ln 1＝12.答案：122．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值和最小值分别为M ，N ，则M －N 的值为________．解析：f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，得x ＝1(x ＝－1舍去)．∵f (0)＝－a ，f (1)＝－2－a ，f (3)＝18－a .∴M ＝18－a ，N ＝－2－a .∴M －N ＝20.答案：203．(2016·南京外国语学校)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图。

《三维设计》高考数学(苏教,理科)大一轮配套课时跟踪检测52 最值、范围、证明问题

课时跟踪检测(五十二) 最值、范围、证明问题(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页) 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2014·南京模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，F 1，F 2分别为椭圆C的左、右焦点，若椭圆C 的焦距为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设M 为椭圆上任意一点，以M 为圆心，MF 1为半径作圆M .当圆M 与椭圆的右准线l 有公共点时，求△MF 1F 2面积的最大值．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点是F (1,0)，且离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点P (0，y 0)，求y 0的取值范围．3.(2013·南京二模) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (0,1)，Q (0,2)，设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T .求证：点T 在椭圆C 上．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2013·南京学情调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，离心率为12，右准线为l ：x ＝4.M 为椭圆上不同于A ，B 的一点，直线AM 与直线l 交于点P .(1)求椭圆C 的方程；(2)若AM ＝MP ，判断点B 是否在以PM 为直径的圆上，并说明理由； (3)连结PB 并延长交椭圆C 于点N ，若直线MN 垂直于x 轴，求点M 的坐标．2．(2013·南京、盐城三模)在平面直角坐标系xOy 中，过点A (－2，－1)的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，短轴端点分别为B 1，B 2，1FB ·2FB ＝2b 2. (1)求a ，b 的值；(2)过点A 的直线l 与椭圆C 的另一个交点为Q ，与y 轴的交点为R .过原点O 且平行于l 的直线与椭圆的一个交点为P .若AQ ·AR ＝3OP 2，求直线l 的方程．答案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．解：(1)因为2c ＝2，且c a ＝12，所以c ＝1，a ＝2，所以b 2＝3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设点M 的坐标为(x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1. 因为F 1(－1,0)，a 2c＝4，所以直线l 的方程为x ＝4.由于圆M 与l 有公共点，所以M 到l 的距离4－x 0小于或等于圆的半径R .因为R 2＝MF 21＝(x 0＋1)2＋y 20，所以(4－x 0)2≤(x 0＋1)2＋y 20，即y 20＋10x 0－15≥0. 又因为y 20＝3⎝⎛⎭⎫1－x 204，所以3－3x 204＋10x 0－15≥0，解得43≤x 0≤12.又|x 0|≤2，所以43≤x 0≤2.当x 0＝43时，|y 0|＝153，所以(S △MF 1F 2)max ＝12×2×153＝153.2．解：(1)设椭圆C 的半焦距为c .依题意，得c ＝1.因为椭圆C 的离心率为e ＝12，所以a ＝2c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当MN ⊥x 轴时，显然y 0＝0.当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为Q (x 3，y 3)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2.所以x 3＝x 1＋x 22＝4k 23＋4k2， y 3＝k (x 3－1)＝－3k3＋4k 2.线段MN 的垂直平分线的方程为y ＋3k3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4k 23＋4k 2.在上述方程中，令x ＝0，得y 0＝k 3＋4k 2＝13k ＋4k.当k ＜0时，3k＋4k ≤－43，当且仅当3k ＝4k ，k ＝－32时等号成立；当k ＞0时，3k＋4k ≥43，当且仅当3k ＝4k ，k ＝32时等号成立．所以－312≤y 0＜0或0＜y 0≤312. 综上，y 0的取值范围是⎣⎡⎦⎤－312，312. 3．解：(1)由题意知椭圆C 的短半轴长为圆心到切线的距离，即b ＝22＝ 2. 因为离心率e ＝c a ＝32，所以b a＝1－⎝⎛⎭⎫c a 2＝12.所以a ＝2 2.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)由题意可设M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0－1x 0x＋1, ① 直线QN 的方程为y ＝y 0－2－x 0x ＋2.②设T 点的坐标为(x ，y )．联立①②解得x 0＝x2y －3，y 0＝3y －42y －3.因为x 208＋y 202＝1，所以18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y －32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y －42y －32＝1. 整理得x 28＋(3y －4)22＝(2y －3)2，所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2－12y ＋9，即x 28＋y 22＝1. 所以点T 的坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上．第Ⅱ组：重点选做题1．解：(1)由⎩⎨⎧c a ＝12，a2c ＝4解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，所以b 2＝3.所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)可知A (－2,0)，B (2,0)．因为AM ＝MP ，则M 为AP 的中点，所以x M ＝1，代入椭圆方程得y M ＝32，即M ⎝⎛⎭⎫1，32，所以直线AM 的方程为y ＝12(x ＋2)，则P (4,3)，所以BM ＝⎝⎛⎭⎫－1，32，BP ＝(2,3)．因为BM ·BP ＝52≠0，所以点B 不在以PM 为直径的圆上． (3)因为MN 垂直于x 轴，由椭圆对称性可设M (x 1，y 1)， N (x 1，－y 1)．直线AM 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，所以y P ＝6y 1x 1＋2，直线BN 的方程为y ＝－y 1x 1－2(x －2)，所以y P ＝－2y 1x 1－2，所以6y 1x 1＋2＝－2y 1x 1－2.因为y 1≠0，所以6x 1＋2＝－2x 1－2，解得x 1＝1.所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32. 2．解：(1)由题知，F (－c,0)，B 1(0，－b )， B 2(0，b )，所以1FB ＝(c ，－b )，2FB ＝(c ，b )．因为1FB ·2FB ＝2b 2，所以c 2－b 2＝2b 2.①因为椭圆C 过点A (－2，－1)，把A (－2，－1)代入椭圆方程得4a 2＋1b 2＝1.②由①②解得a 2＝8，b 2＝2. 所以a ＝22，b ＝ 2. (2)由题意，设直线l 的方程为 y ＋1＝k (x ＋2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k (x ＋2)，x 28＋y 22＝1消去y ，得(x ＋2)[(4k 2＋1)(x ＋2)－(8k ＋4)]＝0. 因为x ＋2≠0，所以x ＋2＝8k ＋44k 2＋1，即x Q ＋2＝8k ＋44k 2＋1.由题意，得直线OP 的方程为y ＝kx .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 22＝1消去y ，得(1＋4k 2)x 2＝8，解得x 2P ＝81＋4k 2.因为AQ ·AR ＝3OP 2，所以|x Q －(－2)|×|0－(－2)|＝3x 2P ，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪8k ＋44k 2＋1·2＝3·81＋4k 2，解得k ＝1或k ＝－2.当k ＝1时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0；当k ＝－2时，直线l 的方程为2x ＋y ＋5＝0. 所以直线l 的方程为 x －y ＋1＝0或2x ＋y ＋5＝0.。

《三维设计》高考数学(苏教,理科)大一轮复习一模考前专项训练：多题一法专项训练(三) 待定系数法

多题一法专项训练(三) 待定系数法方法概述适用题型要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法．其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f (x )＝g (x )的充要条件是：对于一个任意的a 值，都有f (a )＝g (a )；或者两个多项式各同类项的系数对应相等.在高考中待定系数法应用广泛，常见的类型有以下几种：(1)函数解析式的求法； (2)圆的方程的求法； (3)圆锥曲线方程的求法； (4)等差、等比数列的基本运算； (5)已知三角函数性质求参数．一、填空题1．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，且过点(－2，－3)，则双曲线的方程为________．解析：设所求的双曲线方程为y 2－4x 2＝k ，因为双曲线过点(－2，－3)，所以(－3)2－4(－2)2＝k ，得k ＝1，所以双曲线的方程为－x 214＋y 2＝1.答案：y 2－x 214＝12．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 4＝10，若a k ＝148，则k 等于________．解析：设等差数列的公差为d ，∵a 1＝1，a 4＝10，∴d ＝3. ∴148＝1＋3(k －1)，∴k ＝50. 答案：503．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于________．解析：∵x <1，f (x )＝2x ＋1，∴f (0)＝2.由f (f (0))＝4a ，得f (2)＝4a ，∵x ≥1，f (x )＝x 2＋ax ， ∴4a ＝4＋2a ，解得a ＝2. 答案：24．设二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <13，则ab 的值为________．解析：由⎩⎨⎧－1＋13＝－ba ，－1×13＝1a ，得a ＝－3，b ＝－2.∴ab ＝6. 答案：65．已知m ＝(－5,3)，n ＝(－1,2)，当(λm ＋n )⊥(2n ＋m )时，实数λ的值为________．解析：由已知得|m |＝34，|n |＝5，m ·n ＝11， ∵(λm ＋n )⊥(2n ＋m )，∴(λm ＋n )·(2n ＋m )＝λm 2＋(2λ＋1)m ·n ＋2n 2＝0，即34λ＋(2λ＋1)×11＋2×5＝0，解得λ＝－38.答案：－386．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图像如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f (0)＝________.解析：由题意可知，此函数的周期T ＝2(11π12－7π12)＝2π3，故2πω＝2π3，∴ω＝3，f (x )＝A cos(3x ＋φ)． f ⎝⎛⎭⎫π2＝A cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋φ＝A sin φ＝－23.又由题图可知 f ⎝⎛⎭⎫7π12＝A cos ⎝⎛⎭⎫3×7π12＋φ＝0，∴f (0)＝A cos φ＝23. 答案：237．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a ＝________.解析：因为f (－x )＝－x (e －x ＋a e x )，f (x )是偶函数，所以－x (e －x ＋a e x )＝x (e x ＋a e －x )， e x ＋a e －x ＋e －x ＋a e x ＝0， (1＋a )e x ＋(1＋a )e －x ＝0， (1＋a )(e x ＋e －x )＝0，所以1＋a ＝0，即a ＝－1.答案：－18．已知圆经过原点，圆心在第三象限且在直线y ＝x 上，若圆在y 轴上截得的弦长为2，则该圆的方程为________．解析：依题意设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －a )2＝2a 2，令x ＝0，得(y －a )2＝a 2，此时在y 轴上截得的弦长为2|a |，由已知得2|a |＝2，故a ＝±1，由圆心在第三象限，得a ＝－1，于是，所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2.答案：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝29．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆(x －5)2＋y 2＝4相切，则该双曲线的离心率等于________．解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，∵渐近线与圆(x －5)2＋y 2＝4相切， ∴|5b ±0|a 2＋b2＝2，∴b 2＝4a 2，c 2－a 2＝4a 2，∴c 2＝5a 2. e ＝ca ＝ 5. 答案： 510．设a 是实数，且a 1＋i＋1－i 2是实数，则a ＝________.解析：由a1＋i ＋1－i 2＝a (1－i )＋1－i 2＝(a ＋1)－i (a ＋1)2是实数得，a ＋1＝0，a ＝－1.答案：－1 二、解答题11．设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7.(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)试求所有的正整数m ，使得a m a m ＋1a m ＋2为数列{a n }中的项．解：(1)由题意，设等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ≠0.由a 22＋a 23＝a 24＋a 25知2a 1＋5d ＝0.①又因为S 7＝7，所以a 1＋3d ＝1.② 由①②可得a 1＝－5，d ＝2.所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －7， S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 2－6n .(2)因为a m a m ＋1a m ＋2＝(a m ＋2－4)(a m ＋2－2)a m ＋2＝a m ＋2－6＋8a m ＋2为数列{a n }中的项，故8a m ＋2为整数．又由(1)知a m ＋2为奇数，所以a m ＋2＝2m －3＝±1，即m ＝1,2.经检验，符合题意的正整数只有m ＝2.12．一动圆与圆x 2＋y 2＋6x ＋5＝0外切，同时与圆x 2＋y 2－6x －91＝0内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．解：如图所示，设动圆半径为R ，已知圆的圆心分别为O 1，O 2，将两圆方程分别配方得(x ＋3)2＋y 2＝4，(x －3)2＋y 2＝100，故O 1(－3,0)，r 1＝2；O 2(3,0)，r 2＝10. 当⊙M 与⊙O 1外切时，有|O 1M |＝R ＋2，① 当⊙M 与⊙O 2内切时，有|O 2M |＝10－R ，②将①②两式的两边分别相加，得|O 1M |＋|O 2M |＝12，又|O 1O 2|＝6，所以|O 1M |＋|O 2M |>|O 1O 2|，由椭圆的定义可知，动圆圆心M 的轨迹是一个以O 1，O 2为焦点，长轴长为12的椭圆．设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝12，a 2－b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝33，故椭圆方程为x 236＋y 227＝1.所以动圆圆心的轨迹方程是x 236＋y 227＝1，其轨迹是一个以O 1(－3,0)，O 2(3,0)为焦点，长轴长为12的椭圆．13．(2014·武汉模拟)已知椭圆C 1，抛物线C 2的焦点均在y 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：(1)求C 1，C 2(2)设斜率不为0的动直线l 与C 1有且只有一个公共点P ，且与C 2的准线相交于点Q ，试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设C 1，C 2的标准方程分别为： y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，x 2＝2py . 将点(－1，116)和(4,1)代入抛物线方程中得到的解相同，∴2p ＝16，∴点(0，－22)和(2，－2)在椭圆上，代入椭圆方程得a ＝22，b ＝2，故C 1，C 2的标准方程分别为y 28＋x 24＝1，x 2＝16y .(2)设直线l 的方程为x ＝my ＋n ，将其代入y 28＋x 24＝1中，消去x 并化简整理得，(1＋2m 2)y 2＋4mny ＋2n 2－8＝0. ∵直线l 与C 1相切，∴Δ＝16m 2n 2－4(1＋2m 2)(2n 2－8)＝0， ∴n 2＝4(1＋2m 2)，设切点P (x 0，y 0)，则y 0＝－2mn1＋2m 2＝－8mn ，x 0＝my 0＋n ＝n 2－8m 2n ＝4n .又直线l 与C 2的准线y ＝－4的交点为Q (n －4m ，－4)，∴以PQ 为直径的圆的方程为(x －4n )(x －n ＋4m )＋(y ＋8mn)(y ＋4)＝0，化简并整理得x 2－4n x ＋(4m －n )x ＋8mn (y ＋2)＋(y ＋2)2＝0，故存在定点M (0，－2)符合题意．。

三维设计高考数学苏教版理科一轮复习创新问题专项训练(一)(含答案详析)

创新问题专项训练(一)一、填空题1.如图，直线l 和圆C ，当l 从l0开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图像大致是________(填序号)．解析：依题意，直线l 从l 0开始按逆时针方向匀速转动，开始一段时间阴影部分的面积增加的比较慢，中间一段时间阴影部分的面积增加的比较快，最后一段时间阴影部分的面积增加的又比较慢，因此④符合题意．答案：④2．已知两个非零向量a 与b ，定义|a ×b |＝|a |·|b |sin θ，其中θ为a 与b 的夹角．若a ＝(－3,4)，b ＝(0,2)，则|a ×b |的值为________．解析：|a |＝(－3)2＋42＝5，|b |＝02＋22＝2，a ·b ＝－3×0＋4×2＝8，所以cos θ＝a ·b|a |·|b |＝85×2＝45，又因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝1－cos 2θ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35.故根据定义可知|a ×b |＝|a |·|b |sin θ＝5×2×35＝6.答案：63．设实数a 1，a 2，a 3，a 4是一个等差数列，且满足1<a 1<3，a 3＝4.若定义b n ＝{2a n }，给出下列命题：(1)b 1，b 2，b 3，b 4是一个等比数列；(2)b 14；(4)b 4>32；(5)b 2·b 4＝256.其中真命题的个数为________．解析：若{a n }是公差为d 的等差数列，则{2a n }是公比为2d 的等比数列，故(1)正确；a 3>a 1⇒公差d >0⇒公比2d >1，(2)正确；a 1＋a 3＝2a 2，由1<a 1<3，a 3＝4，得a 1＋a 3>5⇒a 2>2⇒b 2＝2a 2>4，(3)正确；1<a 1<3，a 3＝4，又a 3＝a 1＋2d ⇒d ＝4－a 12∈(12，32)⇒a 4∈(92，112)，故b 4＝2a 4不一定大于32，(4)不正确；因为b 2·b 4＝b 23＝(2a 3)2＝256，所以(5)正确．答案：44．我们把形如y ＝f (x )φ(x )的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边求对数得ln y ＝φ(x )ln f (x )，两边求导得y ′y ＝φ′(x )·ln f (x )＋φ(x )·f ′(x )f (x )，于是y ′＝f (x )φ(x )[φ′(x )·ln f (x )＋φ(x )·f ′(x )f (x )]．运用此方法可以探求得y ＝x 1x 的单调递增区间是________．解析：由题意知y ′＝x 1x (－1x 2ln x ＋1x ·1x )＝x 1x ·1x 2(1－ln x )，x >0，1x 2>0，x 1x >0，令y ′>0，则1－ln x >0，所以0<x <e. 答案：(0，e)5．对向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)定义一种运算“⊗”：a ⊗b ＝(a 1，a 2)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知动点P ，Q 分别在曲线y ＝sin x 和y ＝f (x )上运动，且OQ ＝m ⊗OP ＋n (其中O 为坐标原点)，若向量m ＝(12，3)，n ＝(π6，0)，则y ＝f (x )的最大值为________．解析：设P ＝(x 1，y 1)，Q ＝(x ，y )，∵m ＝(12，3)，∴m ⊗OP ＝(12，3)⊗(x 1，y 1)＝(x 12，3y 1)，∵OQ ＝m ⊗OP ＋n ，∴(x ，y )＝(x 12，3y 1)＋(π6，0)，∴x ＝x 12＋π6，y ＝3y 1，∴x 1＝2x －π3，y 1＝y3，又y 1＝sin x 1，∴y 3＝sin(2x －π3)，∴y ＝3sin(2x －π3)，显然当sin(2x －π3)＝1时，y ＝f (x )取得最大值3.答案：36．设a ＝x 2－xy ＋y 2，b ＝p xy ，c ＝x ＋y ，若对任意的正实数x ，y ，都存在以a ，b ，c 为三边长的三角形，则实数p 的取值范围是________．解析：∵a ＝x 2－xy ＋y 2，b ＝p xy ，c ＝x ＋y ，∴a <c ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－xy ＋y 2＋p xy >x 2＋2xy ＋y 2，x 2－xy ＋y 2＋x 2＋2xy ＋y 2>p xy ，即⎩⎪⎨⎪⎧p >x y ＋yx ＋2－ x y ＋yx －1，p < x y ＋yx＋2＋ x y ＋yx－1，令t ＝x y ＋yx(t ≥2)，则⎩⎪⎨⎪⎧p >t ＋2－t －1p <t ＋2＋t －1，从而10，a ≠1)的图像经过第三象限的概率是________．解析：(b ，a )的所有可能情况有：⎝⎛⎭⎫－1，13，⎝⎛⎭⎫－1，14，(－1，3)，(－1,4)；⎝⎛⎭⎫1，13，⎝⎛⎭⎫1，14，(1,3)，(1,4)；⎝⎛⎭⎫－2，13，⎝⎛⎭⎫－2，14，(－2,3)，(－2,4)；⎝⎛⎭⎫2，13，⎝⎛⎭⎫2，14，(2,3)，(2,4)，共16种．由于函数f (x )的图像经过第三象限，因此，0<a <1，b <－1或a >1，b <0，因此满足条件的(b ，a )有：(－1,3)，(－1,4)，(－2，13)，(－2，14)，(－2,3)，(－2,4)，共6种．根据古典概型的概率计算公式可得P ＝616＝38. 答案：388.一个平面图由若干顶点与边组成，各顶点用一串从1开始的连续自然数进行编号，记各边的编号为它的两个端点的编号差的绝对值，若各条边的编号正好也是一串从1开始的连续自然数，则称这样的图形为“优美图”．已知如图是“优美图”，则点A ，B 与边a 所对应的三个数分别为________．解析：观察图中编号为4的边，由于6－2＝5－1＝4，而数字2已为一端点的编号，故编号为4的边的左、右两端点应为5、1，从而易知编号为1的边的左、右两端点应为4、3.考虑到图中编号为1的边，易知点A 对应的数为3，点B 对应的数为6.故应填3、6、3.答案：3、6、39．已知数列{a n }：a 1，a 2，a 3，…，a n ，如果数列{b n }：b 1，b 2，b 3，…，b n 满足b 1＝a n ，b k ＝a k －1＋a k －b k －1，其中k ＝2,3，…，n ，则称{b n }为{a n }的“衍生数列”．若数列{a n }：a 1，a 2，a 3，a 4的“衍生数列”是5，－2,7,2，则{a n }为________；若n 为偶数，且{a n }的“衍生数列”是{b n }，则{b n }的“衍生数列”是________．解析：由b 1＝a n ，b k ＝a k －1＋a k －b k －1，k ＝2,3，…，n 可得，a 4＝5,2＝a 3＋a 4－7，解得a 3＝4.又7＝a 2＋a 3－(－2)，解得a 2＝1.由－2＝a 1＋a 2－5，解得a 1＝2，所以数列{a n }为2,1,4,5.由已知，b 1＝a 1－(a 1－a n )，b 2＝a 1＋a 2－b 1＝a 2＋(a 1－a n )，….因为n 是偶数，所以b n ＝a n ＋(－1)n (a 1－a n )＝a 1.设{b n }的“衍生数列”为{c n }，则c i ＝b i ＋(－1)i (b 1－b n )＝a i ＋(－1)i ·(a 1－a n )＋(－1)i (b 1－b n )＝a i ＋(－1)i (a 1－a n )＋(－1)i ·(a n －a 1)＝a i ，其中i ＝1,2,3，…，n .则{b n }的“衍生数列”是{a n }．答案：2,1,4,5 {a n } 二、解答题10．设数列{a n }的各项均为正数．若对任意的n ∈N *，存在k ∈N *，使得a 2n ＋k ＝a n ·a n ＋2k 成立，则称数列{a n }为“J k 型”数列．(1)若数列{a n }是“J 2型”数列，且a 2＝8，a 8＝1，求a 2n ；(2)若数列{a n }既是“J 3型”数列，又是“J 4型”数列，证明：数列{a n }是等比数列．解：(1)由题意得a 2，a 4，a 6，a 8，…成等比数列，且公比q ＝(a 8a 2)13＝12，所以a 2n ＝a 2q n －1＝(12)n －4.(2)由数列{a n }是“J 4型”数列，得a 1，a 5，a 9，a 13，a 17，a 21，…成等比数列，设公比为t . 由数列{a n }是“J 3型”数列，得a 1，a 4，a 7，a 10，a 13，…成等比数列，设公比为α1； a 2，a 5，a 8，a 11，a 14，…成等比数列，设公比为α2； a 3，a 6，a 9，a 12，a 15，…成等比数列，设公比为α3. 则a 13a 1＝α41＝t 3，a 17a 5＝α42＝t 3，a 21a 9＝α43＝t 3. 所以α1＝α2＝α3，不妨记α＝α1＝α2＝α3，且t ＝α43.于是a 3k －2＝a 1αk －1＝a 1(3α)(3k －2)－1，a 3k －1＝a 5αk －2＝a 1tαk －2＝a 1αk －23＝a 1(3α)(3k －1)－1，a 3k ＝a 9αk －3＝a 1t 2αk －3＝a 1αk －13＝a 1(3α)3k －1，所以a n ＝a 1(3α)n －1，故{a n }为等比数列．11．春节前，有超过20万名广西，四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人员因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交通事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾驶人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人员有一个停车休息的场所．交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就进行省籍询问一次，询问结果如图所示．(1)问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法；(2)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的被抽取了5名，则四川籍的应抽取几名？(3)在上述抽出的驾驶人员中任取2名，求至少有1名驾驶人员是广西籍的概率．解：(1)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法．(2)从图中可知，被询问了省籍的驾驶人员是广西籍的有5＋20＋25＋20＋30＝100名，四川籍的有15＋10＋5＋5＋5＝40名．设四川籍的驾驶人员应抽取x名，依题意得5100＝x40，解得x＝2，即四川籍的应抽取2名．(3)用a1，a2，a3，a4，a5表示被抽取的广西籍驾驶人员，b1，b2表示被抽取的四川籍驾驶人员，则所有基本事件有{a1，a2}，{a1，a3}，{a1，a4}，{a1，a5}，{a1，b1}，{a1，b2}，{a2，a3}，{a2，a4}，{a2，a5}，{a2，b1}，{a2，b2}，{a3，a4}，{a3，a5}，{a3，b1}，{a3，b2}，{a4，a5}，{a4，b1}，{a4，b2}，{a5，b1}，{a5，b2}，{b1，b2}，共21个，其中2名驾驶人员都是四川籍的基本事件有{b1，b2},1个．所以抽取的2名驾驶人员都是四川籍的概率P1＝121，至少有1名驾驶人员是广西籍的概率P＝1－P1＝1－121＝2021.。

2018-2019学年高中新三维一轮复习理数江苏专版：课时

课时跟踪检测（十二）函数模型及其应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为________元/件时，利润最大．解析：设单价为6＋x ，日均销售量为100－10x ，则日利润y ＝(6＋x －4)(100－10x )－20＝－10x 2＋80x ＋180＝－10(x －4)2＋340(0＜x ＜10)．所以当x ＝4时，y max ＝340. 即单价为10元/件，利润最大．答案：102．(2018·郑集中学检测)“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝R －A .那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入广告费应为________．(用常数a 表示)解析：D ＝R －A ＝a A －A ，令t ＝A (t ＞0)，则A ＝t 2，所以D ＝at －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋14a 2.所以当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值．答案：14a 23．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.解析：设出租车行驶x km 时，付费y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0＜x ≤3，8＋x －＋1，3＜x ≤8，8＋2.15×5＋x －＋1，x ＞8，由y ＝22.6，解得x ＝9. 答案：94．(2018·苏州调研)世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是________．(参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)解析：设每年人口平均增长率为x ，则(1＋x )40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x )＝lg 2，所以lg(1＋x )＝lg 240≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x ，得1＋x ＝1.017，所以x ＝1.7%.答案：1.7%5．已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为________．解析：设这个广场的长为x 米，则宽为40 000x米．所以其周长为l ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋40 000x≥800，当且仅当x ＝200时取等号．答案：8006．有一位商人，从北京向上海的家中打电话，通话m 分钟的电话费由函数f (m )＝1.06×(0.5[m ]＋1)(元)决定，其中m >0，[m ]是大于或等于m 的最小整数．则从北京到上海通话时间为5.5分钟的电话费为________元．解析：因为m ＝5.5，所以[5.5]＝6.代入函数解析式，得f (5.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.答案：4.24二保高考，全练题型做到高考达标1.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与电话费s (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差________元．解析：依题意可设s A (t )＝20＋kt ，s B (t )＝mt ，又s A (100)＝s B (100)，所以100k ＋20＝100m ，得k －m ＝－0.2，于是s A (150)－s B (150)＝20＋150k －150m ＝20＋150×(－0.2)＝－10，即两种方式电话费相差10元．答案：102．某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件________元．解析：设售价提高x 元，利润为y 元，则依题意得y ＝(1 000－5x )×(100＋x )－80×1 000＝－5x 2＋500x ＋20 000＝－5(x －50)2＋32 500，故当x ＝50时，y max ＝32 500，此时售价为每件150元．答案：1503．(2018·海安中学检测)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是________．(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)解析：设2017年后的第n 年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(1＋12%)n ＞200，得1.12n＞2013，两边取常用对数，得n ＞lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，所以n ≥4，所以从2021年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．答案：2021年4．(2018·启东中学检测)某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．解析：由题意设仓库在离车站x 千米处，则y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，其中x >0，由⎩⎪⎨⎪⎧k 110＝2，10k 2＝8得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝20k 2＝45，即y 1＋y 2＝20x ＋45x ≥2 20x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时等号成立．答案：55．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a8，则m ＝________.解析：根据题意知12＝e 5n，令18a ＝a e nt ，即18＝e nt，因为12＝e 5n ，故18＝e 15n，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10. 答案：106．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v 的平方成正比，且比例系数为k ，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/小时时，总费用最小．解析：设每小时的总费用为y 元，则y ＝kv 2＋96，又当v ＝10时，k ×102＝6，解得k ＝0.06，所以每小时的总费用y ＝0.06v 2＋96，匀速行驶10海里所用的时间为10v小时，故总费用为W ＝10v y ＝10v (0.06v 2＋96)＝0.6v ＋960v≥20.6v ×960v＝48，当且仅当0.6v ＝960v，即v ＝40时等号成立．故总费用最小时轮船的速度为40海里/小时．答案：407.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为________．解析：依题意知：20－x 20＝y －824－8，即x ＝54(24－y )，所以阴影部分的面积S ＝xy ＝54(24－y )·y ＝54(－y 2＋24y )＝－54(y －12)2＋180.所以当y ＝12时，S 有最大值为180. 答案：1808．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x 为8万元时，奖励1万元．销售额x 为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y ＝a log 4x ＋b .某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为______(万元)．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a log 48＋b ＝1，a log 464＋b ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋b ＝1，3a ＋b ＝4.解得a ＝2，b ＝－2.所以y ＝2log 4x －2，当y ＝8时，即2log 4x －2＝8.x ＝1 024(万元)．答案：1 0249.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM 面积的最大值．解：(1)作PQ ⊥AF 于Q ，所以PQ ＝(8－y )米，EQ ＝(x －4)米．又△EPQ ∽△EDF ，所以EQ PQ ＝EF FD ，即x －48－y ＝42. 所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}．(2)设矩形BNPM 的面积为S 平方米，则S (x )＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50，S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x ＝10，所以当x ∈[4,8]时，S (x )单调递增．所以当x ＝8米时，矩形BNPM 的面积取得最大值，为48平方米．10．(2018·常州期末)某辆汽车以x km/h 的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60≤x ≤120)时，每小时的油耗为15⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k ＋4 500x L ，其中k 为常数，且60≤k ≤100.(1)若汽车以120 km/h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L ，欲使每小时的油耗不超过9 L ，求x 的取值范围；(2) 求该汽车行驶100 km 的油耗的最小值．解：(1)由题意，当x ＝120时，15⎝ ⎛⎭⎪⎫120－k ＋4 500120＝11.5，所以k ＝100.由15⎝⎛⎭⎪⎫x －100＋4 500x ≤9，得x 2－145x ＋4 500≤0，所以45≤x ≤100. 又因为60≤x ≤120，所以x 的取值范围是[60,100]． (2)设该汽车行驶100 km 的油耗为y L ，则y ＝100x ·15⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k ＋4 500x ＝20－20k x ＋90 000x 2(60≤x ≤120)．令t ＝1x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1120，160，所以y ＝90 000t 2－20kt ＋20＝90 000⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 9 0002＋20－k 2900，对称轴t ＝k 9 000，因为60≤k ≤100，所以k 9 000∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1150，190.①若1120≤k 9 000≤190，即75≤k ≤100，则当t ＝k9 000，即x ＝9 000k 时，y min ＝20－k2900；②若1150≤k 9 000＜1120，即60≤k ＜75，则当t ＝1120，即x ＝120时，y min ＝1054－k6.答：当75≤k ≤100时，该汽车行驶100 km 的油耗的最小值为20－k 2900；当60≤k ＜75时，该汽车行驶100 km 的油耗的最小值为1054－k6.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·扬州模拟)某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系．Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________． (2)最低种植成本是________(元/100 kg)．解析：根据表中数据可知函数不单调，所以Q ＝at 2＋bt ＋c ，且开口向上，对称轴t ＝－b2a＝60＋1802＝120，代入数据⎩⎪⎨⎪⎧3 600a ＋60b ＋c ＝116，10 000a ＋100b ＋c ＝84，32 400a ＋180b ＋c ＝116，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2.4，c ＝224，a ＝0.01.所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120，最低种植成本是14 400a ＋120b ＋c ＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80.答案：(1)120 (2)802．(2018·苏州高三期中调研)如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是等腰梯形，其中AB 为2 m ，梯形的高为1 m ，CD 为3 m ，上部CmD 是个半圆，固定点E 为CD 的中点．MN 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆(横杆面积可忽略不计)，且滑动过程中始终保持和CD 平行．当MN 位于CD 下方和上方时，通风窗的形状均为矩形MNGH (阴影部分均不通风)．(1)设MN 与AB 之间的距离为x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x <52且x ≠1m ，试将通风窗的通风面积S (m 2)表示成关于x 的函数y ＝S (x )；(2)当MN 与AB 之间的距离为多少m 时，通风窗的通风面积S 取得最大值？解：(1)当0≤x <1时，过A 作AK ⊥CD 于K (如图)，则AK ＝1，DK ＝CD －AB 2＝12，HM ＝1－x ，由AK DK ＝MH DH ＝2，得DH ＝HM 2＝1－x2，所以HG ＝3－2DH ＝2＋x ，所以S (x )＝HM ·HG ＝(1－x )(2＋x )＝－x 2－x ＋2；当1<x <52时，过E 作ET ⊥MN 于T ，连结EN (如图)，则ET ＝x －1，TN ＝MN2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－x －2＝94－x －2，所以MN ＝294－x －2，所以S (x )＝MN ·ET ＝294－x －2·(x －1)，综上，S (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2，0≤x <1，x －94－x －2，1<x <52.(2)当0≤x <1时，S (x )＝－x 2－x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋94在[0,1)上单调递减，所以S (x )max ＝S (0)＝2；当1<x <52时，S (x )＝2(x －1)94－x －2≤2·x －2＋94－x －22＝94，当且仅当(x －1)＝94－x －2，即x ＝324＋1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52时取“＝”，所以S (x )max ＝94>2，所以S (x )的最大值为94，故当MN 与AB 之间的距离为⎝ ⎛⎭⎪⎫324＋1m 时，通风窗的通风面积S 取得最大值．。

三维设计高考数学苏教版理科一轮复习课时检测2.11导数与函数单调性(含答案详析)

课时跟踪检测(十四) 导数与函数单调性(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页) 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为________． 2．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是________．3．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为____________．4．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上是增函数，则a 的取值范围是________． 5．已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间．6．(2013·扬州期末)已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，g (x )＝a (x 2＋x )． (1)若a ＝12，求F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间；(2)若f (x )≤g (x )恒成立，求实数a 的取值范围．7．(2013·苏锡常镇二调)已知函数f (x )＝|ax －2|＋b ln x (x >0，实数a ，b 为常数)． (1)若a ＝1，f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，求b 的取值范围； (2)若a ≥2，b ＝1，求方程f (x )＝1x 在(0,1]上解的个数．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2014·南通模拟)已知函数f (x )＝x 2－2a cos k π·ln x (k ∈N *，a ∈R ，且a >0)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若k ＝2 04，关于x 的方程f (x )＝2ax 有唯一解，求a 的值．2．(2014·南通、泰州、扬州一调)已知函数f (x )＝x ＋sin x .(1)设P ，Q 是函数f (x )图像上相异的两点，证明：直线PQ 的斜率大于0； (2)求实数a 的取值范围，使不等式f (x )≥ax cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上恒成立．3．(2014·苏北四市摸底)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2－bx (b 为常数)．(1)函数f (x )的图像在点(1，f (1))处的切线与g (x )的图像相切，求实数b 的值；(2)设h (x )＝f (x )＋g (x )，若函数h (x )在定义域上存在单调减区间，求实数b 的取值范围； (3)若b >1，对于区间[1,2]上的任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|>|g (x 1)－g (x 2)|成立，求实数b 的取值范围．答案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．解析：函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ex >0，故单调增区间是(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)2．解析：∵f (x )＝(x －3)·e x ， f ′(x )＝e x (x －2)>0，∴x >2. ∴f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)3．解析：依题意得，当x <1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；又f (3)＝f (－1)，且－1<0<12<1，因此有f (－1)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12，即有f (3)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12，c <a <b . 答案：c <a <b4．解析：f ′(x )＝2x ＋a －1x2，因为函数在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上是增函数，所以f ′(x )≥0在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上恒成立，即a ≥1x 2－2x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上恒成立，设g (x )＝1x 2－2x ，g ′(x )＝－2x 3－2，令g ′(x )＝－2x 3－2＝0，得x ＝－1，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，g ′(x )<0，故g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4－1＝3，所以a ≥3.答案：[3，＋∞) 5．解：(1)对f (x )求导，得f ′(x )＝3x 2－2ax －3. 由f ′(x )≥0，得a ≤32⎝⎛⎭⎫x －1x . 记t (x )＝32⎝⎛⎭⎫x －1x ，当x ≥1时，t (x )是增函数， ∴t (x )min ＝32(1－1)＝0.∴a ≤0.(2)由题意，得f ′(3)＝0，即27－6a －3＝0，∴a ＝4.∴f (x )＝x 3－4x 2－3x ， f ′(x )＝3x 2－8x －3.令f ′(x )＝0，得x 1＝－13，x 2＝3.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－13，[3，＋∞)，f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－13，3. 6．解：(1)若a ＝12，则F (x )＝ln x ＋2x －12x 2－12x ，其定义域是(0，＋∞)，则F ′(x )＝1x ＋2－x －12＝－(2x ＋1)(x －2)2x.令F ′(x )＝0，得x ＝2，x ＝－12(舍去)．当0<x <2时，F ′(x )>0，函数单调递增；当x >2时，F ′(x )<0，函数单调递减．即函数F (x )的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(2，＋∞)． (2)设F (x )＝f (x )－g (x ) ＝ln x ＋2x －ax 2－ax ，则F ′(x )＝－(2x ＋1)(ax －1)2x，当a ≤0时，F ′(x )≥0，F (x )单调递增， F (x )≤0不可能恒成立；当a >0时，令F ′(x )＝0，得x ＝1a ，x ＝－12(舍去)．当0<x <1a 时，F ′(x )>0，函数单调递增；当x >1a时，F ′(x )<0，函数单调递减．故F (x )在(0，＋∞)上的最大值是F ⎝⎛⎭⎫1a ，依题意F ⎝⎛⎭⎫1a ≤0恒成立，即ln 1a ＋1a－1≤0.令g (a )＝ln 1a ＋1a －1，又g (x )单调递减，且g (1)＝0，故ln 1a ＋1a －1≤0成立的充要条件是a ≥1，所以实数a 的取值范围是[1，＋∞)． 7．解：(1)当a ＝1时， f (x )＝|x －2|＋b ln x＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2＋b ln x ，0<x <2，x －2＋b ln x ，x ≥2. ①当0<x <2时，f (x )＝－x ＋2＋b ln x ， f ′(x )＝－1＋b x.由条件得－1＋bx ≥0恒成立，即b ≥x 恒成立．所以b ≥2；②当x ≥2时，f (x )＝x －2＋b ln x ， f ′(x )＝1＋bx.由条件得1＋bx ≥0恒成立，即b ≥－x 恒成立．所以b ≥－2.因为函数f (x )的图像在(0，＋∞)上不间断，综合①②得b 的取值范围是[2，＋∞)． (2)令g (x )＝|ax －2|＋ln x －1x，即g (x )＝⎩⎨⎧－ax ＋2＋ln x －1x ，0<x <2a，ax －2＋ln x －1x ，x ≥2a.当0<x <2a时，g (x )＝－ax ＋2＋ln x －1x ，g ′(x )＝－a ＋1x ＋1x 2.因为0<x <2a ，所以1x >a2，则g ′(x )>－a ＋a 2＋a 24＝a (a －2)4≥0，即g ′(x )>0，所以g (x )在⎝⎛⎭⎫0，2a 上是单调增函数；当x >2a 时，g (x )＝ax －2＋ln x －1x ，g ′(x )＝a ＋1x ＋1x2>0，所以g (x )在⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞上是单调增函数．因为函数g (x )的图像在(0，＋∞)上不间断，所以g (x )在(0，＋∞)上是单调增函数．因为g ⎝⎛⎭⎫2a ＝ln 2a －a2，而a ≥2，所以ln 2a ≤0，则g ⎝⎛⎭⎫2a <0， g (1)＝|a －2|－1＝a －3.①当a ≥3时，因为g (1)≥0，所以g (x )＝0在(0,1]上有唯一解，即方程f (x )＝1x 解的个数为1；②当2≤a <3时，因为g (1)<0，所以g (x )＝0在(0,1]上无解，即方程f (x )＝1x 解的个数为0.第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)由已知得x >0 且f ′(x )＝2x －(－1)k ·2ax .当k 是奇数时，f ′(x )>0，则f (x )在(0，＋∞)上是增函数；当k 是偶数时，则f ′(x )＝2x －2a x ＝2(x ＋a )(x －a )x .所以当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.故当k 是偶数时，f (x )在(0，a )上是单调减函数，在(a ，＋∞)上是单调增函数． (2)若k ＝2 014，则f (x )＝x 2－2a ln x (k ∈N *)．记g (x )＝f (x )－2ax ＝x 2－2a ln x －2ax ，则g ′(x )＝2x －2a x －2a ＝2x(x 2－ax －a )．则方程f (x )＝2ax 有唯一解，即g (x )＝0有唯一解．令g ′(x )＝0，得x 2－ax －a ＝0. 因为a >0，x >0，所以x 1＝a －a 2＋4a2<0(舍去)，x 2＝a ＋a 2＋4a 2.当x ∈(0，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(0，x 2)上是单调减函数；当x ∈(x 2，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在(x 2，＋∞)上是单调增函数．当x ＝x 2时，g ′(x 2)＝0，g (x )min ＝g (x 2)．因为g (x )＝0有唯一解，所以g (x 2)＝0.则⎩⎪⎨⎪⎧ g (x 2)＝0，g ′(x 2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 22－2a ln x 2－2ax 2＝0，x 22－ax 2－a ＝0，两式相减得2a ln x 2＋ax 2－a ＝0，因为a >0，所以2ln x 2＋x 2－1＝0.(*) 设函数h (x )＝2ln x ＋x －1.因为当x >0时，h (x )是增函数，所以h (x )＝0至多有一个解．因为h (1)＝0，所以方程(*)的解为x 2＝1. 从而解得a ＝12.2．解：(1)由题意，得f ′(x )＝1＋cos x ≥0. 所以函数f (x )＝x ＋sin x 在R 上单调递增．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1≠x 2，则y 1－y 2x 1－x 2>0，即k PQ >0. 所以直线PQ 的斜率大于0.(2)当a ≤0时，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )＝x ＋sin x ≥0≥ax cos x 恒成立，所以a ≤0；当a >0时，令g (x )＝f (x )－ax cos x ＝x ＋sin x －ax cos x ，则g ′(x )＝1＋cos x －a (cos x －x sin x ) ＝1＋(1－a )cos x ＋ax sin x .①当1－a ≥0，即0<a ≤1时，g ′(x )＝1＋(1－a )cos x ＋ax sin x >0，所以g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上为单调增函数．所以g (x )≥g (0)＝0＋sin 0－a ·0·cos 0＝0，符合题意．所以0<a ≤1；②当1－a <0，即a >1时，令h (x )＝g ′(x )＝1＋(1－a )cos x ＋ax sin x ，于是h ′(x )＝(2a －1)sin x ＋ax cos x . 因为a >1，所以2a －1>0，从而h ′(x )≥0. 所以h (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上为单调增函数．所以h (0)≤h (x )≤h ⎝⎛⎭⎫π2，即2－a ≤h (x )≤π2a ＋1，即2－a ≤g ′(x )≤π2a ＋1.(ⅰ)当2－a ≥0，即1<a ≤2时，g ′(x )≥0，所以g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上为单调增函数．于是g (x )≥g (0)＝0，符合题意．所以1<a ≤2；(ⅱ)当2－a <0，即a >2时，存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使得当x ∈(0，x 0)时，有g ′(x )<0，此时g (x )在(0，x 0)上为单调减函数，从而g (x )<g (0)＝0，不能使g (x )>0恒成立．综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，2]．3．解：(1)因为f (x )＝ln x ，所以f ′(x )＝1x，因此f ′(1)＝1，所以函数f (x )的图像在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝12x 2－bx消去y ，得x 2－2(b ＋1)x ＋2＝0. 所以Δ＝4(b ＋1)2－8＝0，解得b ＝－1±2. (2)因为h (x )＝f (x )＋g (x ) ＝ln x ＋12x 2－bx (x >0)，所以h ′(x )＝1x ＋x －b ＝x 2－bx ＋1x .由题意知，h ′(x )<0在(0，＋∞)上有解．因为x >0，设u (x )＝x 2－bx ＋1，则u (0)＝1>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2>0，(－b )2－4>0，解得b >2.所以实数b 的取值范围是(2，＋∞)． (3)不妨设x 1>x 2.因为函数f (x )＝ln x 在区间[1,2]上是增函数，所以f (x 1)>f (x 2)，函数g (x )图像的对称轴为直线x ＝b ，且b >1.(ⅰ)当b ≥2时，函数g (x )在区间[1,2]上是减函数，所以g (x 1)<g (x 2)，所以|f (x 1)－f (x 2)|>|g (x 1)－g (x 2)|等价于f (x 1)－f (x 2)>g (x 2)－g (x 1)，即f (x 1)＋g (x 1)>f (x 2)＋g (x 2)，等价于h (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋12x 2－bx (x >0)在区间[1,2]上是增函数，即等价于h ′(x )＝1x ＋x －b ≥0在区间[1,2]上恒成立，亦等价于b ≤x ＋1x在区间[1,2]上恒成立，所以b ≤2.又b ≥2，所以b ＝2；(ⅱ)当1|g (x 1)－g (x 2)|等价于f (x 1)－f (x 2)>g (x 2)－g (x 1)，等价于f (x 1)＋g (x 1)>f (x 2)＋g (x 2)，等价于h (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋12x 2－bx (x >0)在区间[1，b ]上是增函数，等价于h ′(x )＝1x ＋x －b ≥0在区间[1，b ]上恒成立，等价于b ≤x ＋1x 在区间[1，b ]上恒成立，所以b ≤2.又1|g (x 1)－g (x 2)|等价于f (x 1)－f (x 2)>g (x 1)－g (x 2)等价于f (x 1)－g (x 1)>f (x 2)－g (x 2)，等价于H (x )＝f (x )－g (x )＝ln x －12x 2＋bx 在区间[b,2]上是增函数，等价于H ′(x )＝1x －x ＋b ≥0在区间[b,2]上恒成立，等价于b ≥x －1x 在区间[b,2]上恒成立，所以b ≥32，故32≤b <2； ③当1≤x 2|g (x 1)－g (x 2)|对于①②同时成立，那么对于③，则存在t 1∈[1，b ]，使|f (x 1)－f (x 2)|>|f (t 1)－f (x 2)|>|g (t 1)－g (x 2)|＝|g (x 1)－g (x 2)|恒成立；或存在t 2∈[b,2]，使|f (x 1)－f (x 2)|> |f (x 1)－f (t 2)|>|g (x 1)－g (t 2)|＝ |g (x 1)－g (x 2)|恒成立．因此32≤b <2.综上所述，实数b 的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，2.。

2018-2019学年高中新三维一轮复习理数江苏专版课件：

解析： f′ (x)＝ 3x2＋ 6x＋ 3＝ 3(x＋1)2≥0，则 f(x)在 R 上是增函数，故不存在极值点．
答案：0
角度二：求函数的极值 2．已知函数 f(x)＝ ex－ 3x＋ 3a(e 为自然对数的底数， a∈ R)，求 f(x)的单调区间与极值．
解：由 f(x)＝ ex－ 3x＋ 3a， x∈ R，知 f′ (x)＝ ex－3， x∈ R. 令 f′ (x)＝ 0，得 x＝ ln 3，于是当 x 变化时， f′ (x)， f(x)的变化情况如下表： x (－∞， ln 3) ln 3 (ln 3，＋∞) f(x) － 0 ＋ f(x) 极小值故 f(x)的单调递减区间是 (－∞， ln 3]，单调递增区间是[ln 3，＋∞ )， f(x)在 x＝ ln 3 处取得极小值，极小值为 f(ln 3)＝eln 3－ 3ln 3＋ 3a＝ 3(1－ ln 3＋ a)，无极大值．
自主研、合作探、多面观，全扫命题题点
考点一运用导数解决函数的极值问题
[锁定考向]
函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有填空题，也有解答题．常见的命题角度有： (1)判断函数极值点的个数； (2)求函数的极值； (3)由函数极值求参数值或范围．
[题点ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ练]
角度一：判断函数极值点的个数 1．函数 f(x)＝x3＋3x2＋3x－a 的极值点的个数是________．
f′1＝ 7－ 4a＜ 0， f′2＝ 10－ 2a＞ 0， 7 为， 5. 4
7 即＜a＜5，所以实数 a 的取值范围 4
7 答案：，5 4
ex 4．已知函数 f(x)＝ . x (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)设 g(x)＝ xf(x)－ ax＋ 1，若 g(x)在(0，＋∞)上存在极值点，求实数 a 的取值范围．

三维设计高考数学苏教版理科一轮复习课时检测2.10变化率与导数、导数的计算(含答案详析)

课时跟踪检测(十三) 变化率与导数、导数的计算第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·泰州期末)曲线y ＝2ln x 在点(e,2)处的切线(e 是自然对数的底)与y 轴交点的坐标为________．2．曲线y ＝x 3＋ax ＋1的一条切线方程为y ＝2x ＋1，则实数a ＝________.3．(2014·常州模拟)已知点A (1,1)和B (－1，－3)在曲线C ：y ＝ax 3＋bx 2＋d (a ，b ，d 均为常数)上．若曲线C 在点A ，B 处的切线互相平行，则a 3＋b 2＋d ＝________.4．(2013·南通一模)曲线f (x )＝f ′(1)e ·e x －f (0)x ＋12x 2在点(1，f (1))处的切线方程为____________．5．(2013·南京、盐城三模)设点P 是曲线y ＝x 2上的一个动点，曲线y ＝x 2在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线y ＝x 2的另一交点为Q ，则PQ 的最小值为________．6．(2013·广东高考)若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________.7．已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________.8．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 014⎝⎛⎭⎫π2＝________. 9．(2014·南京摸底)已知函数f (x )＝x 2－(1＋2a )x ＋a ln x (a 为常数)．(1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处切线的方程；(2)当a >0时，讨论函数y ＝f (x )在区间(0,1)上的单调性，并写出相应的单调区间．10．(2013·苏北四市三调)设函数f (x )＝x 2－a ln x 与g (x )＝1ax －x 的图像分别交直线x ＝1于点A ，B ，且曲线y ＝f (x )在点A 处的切线与曲线y ＝g (x )在点B 处的切线斜率相等．(1)求函数f (x )，g (x )的解析式；(2)当a >1时，求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最小值；(3)当a <1时，不等式f (x )≥m ·g (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤14，12上恒成立，求实数m 的取值范围．第Ⅱ组：重点选做题(2014·苏州调研)已知函数f (x )＝a ln x －bx 2图像上一点P (2，f (2))处的切线方程为y ＝－3x ＋2ln 2＋2.(1)求a ，b 的值；(2)若方程f (x )＋m ＝0在⎣⎡⎦⎤1e ，e 内有两个不等实根，求实数m 的取值范围(其中e 为自然对数的底，e ≈2.7)；(3)令g (x )＝f (x )－nx ，如果g (x )图像与x 轴交于A (x 1,0)，B (x 2,0)，x 1<x 2，线段AB 的中点为C (x 0,0)，求证：g ′(x 0)≠0.答案第Ⅰ卷：全员必做题1．解析：由曲线y ＝2ln x 得y ′＝2x ，所以k ＝2e ，所以点(e,2)处的切线方程为y －2＝2e(x －e)，令x ＝0得y ＝0，所以曲线y ＝2ln x 在点(e,2)处的切线与y 轴交点的坐标为(0,0)．答案：(0,0)2．解析：由题知y ′＝3x 2＋a ，设切点为(x 0，x 30＋ax 0＋1)，则切线方程为y －(x 30＋ax 0＋1)＝(3x 20＋a )(x －x 0)，即y ＝(3x 20＋a )x ＋(－2x 30＋1)．又切线方程为y ＝2x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 20＋a ＝2，－2x 30＋1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，a ＝2. 答案：23．解析：由题意得y ′＝3ax 2＋2bx ，因为k 1＝k 2，所以3a ＋2b ＝3a －2b ，即b ＝0.又a ＋d ＝1，d －a ＝－3，所以d ＝－1，a ＝2，即a 3＋b 2＋d ＝7.答案：74．解析：因为f ′(x )＝f ′(1)e ·e x －f (0)＋x ，故有⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝f ′(1)e ，f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝1，f ′(1)＝e ，原函数表达式可化为f (x )＝e x －x ＋12x 2，从而f (1)＝e －12，所以所求切线方程为y －⎝⎛⎭⎫e －12＝e(x －1)，即y ＝e x －12. 答案：y ＝e x －125．解析：设P (x 0，x 20)，又y ′＝2x ，则直线PQ 的方程为y ＝－x 2x 0＋12＋x 20.代入y ＝x 2得x 2＋x 2x 0－12－x 20＝0，即(x －x 0)⎝⎛⎭⎫x ＋x 0＋12x 0＝0，所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫－x 0－12x 0，⎝⎛⎭⎫x 0＋12x 02.从而PQ 2＝⎝⎛⎭⎫2x 0＋12x 02＋⎝⎛⎭⎫1＋14x 202，令t ＝4x 20，则PQ 2＝f (t )＝t ＋3t ＋1t 2＋3(t >0)，则f ′(t )＝(t ＋1)2(t －2)t 3，即f (t )在(0,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，故当t ＝2时，PQ 有最小值332. 答案：3326．解析：因为y ′＝2ax －1x，依题意得y ′|x ＝1＝2a －1＝0，所以a ＝12. 答案：127．解析：∵f ′(x )＝1x－2f ′(－1)x ＋3， f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8.答案：88．解析：f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ，以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )，又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 014⎝⎛⎭⎫π2 ＝503f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋f 3⎝⎛⎭⎫π2＋f 4⎝⎛⎭⎫π2＋f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＝0.答案：09．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2＋x －ln x ，则f ′(x )＝2x ＋1－1x，所以f (1)＝2，且f ′(1)＝2.所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .(2)由题意得f ′(x )＝2x －(1＋2a )＋a x＝2x 2－(1＋2a )x ＋a x＝(2x －1)(x －a )x(x >0)．由f ′(x )＝0，得x 1＝12，x 2＝a . ①当0<a <12时，由f ′(x )>0且x >0，得0<x <a 或12<x <1；由f ′(x )<0且x >0，得a <x <12. 所以函数f (x )的单调递增区间是(0，a )和⎝⎛⎭⎫12，1，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫a ，12； ②当a ＝12时，f ′(x )＝(2x －1)22x ≥0，当且仅当x ＝12时， f ′(x )＝0.所以函数f (x )在区间(0,1)上是单调递增函数；③当12<a <1时，由f ′(x )>0且x >0，得0<x <12或a <x <1；由f ′(x )<0且x >0，得12<x <a . 所以函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，12和(a,1)，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫12，a ；④当a ≥1时，由f ′(x )>0且x >0，得0<x <12；由f ′(x )<0且x >0，得12<x <1. 所以函数f (x )的单调增区间是⎝⎛⎭⎫0，12，单调减区间是⎝⎛⎭⎫12，1. 10．解：(1)由f (x )＝x 2－a ln x ，得f ′(x )＝2x 2－a x. 由g (x )＝1a x －x ，得g ′(x )＝2x －a 2a x. 又由题意可得f ′(1)＝g ′(1)，即2－a ＝2－a 2a ，故a ＝2或a ＝12. 所以当a ＝2时，f (x )＝x 2－2ln x ，g (x )＝12x －x ；当a ＝12时，f (x )＝x 2－12ln x ， g (x )＝2x －x .(2)当a >1时，h (x )＝f (x )－g (x )＝x 2－2ln x －12x ＋x ，所以h ′(x )＝2x －2x －12＋12x＝2(x －1)(x ＋1)x －x －12x＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤4(x x ＋x ＋x ＋1)－x 2x . 由x >0，得4(x x ＋x ＋x ＋1)－x 2x>0.故当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，所以函数h (x )的最小值为h (1)＝1－2ln 1－12＋1＝32. (3)当a ＝12时，f (x )＝x 2－12ln x ， g (x )＝2x －x .当x ∈⎣⎡⎦⎤14，12时，f ′(x )＝2x －12x ＝4x 2－12x<0， f (x )在⎣⎡⎦⎤14，12上为减函数，f (x )≥f ⎝⎛⎭⎫12＝14＋12ln 2>0.当x ∈⎣⎡⎦⎤14，12时，g ′(x )＝2－12x ＝4x －12x>0，g (x )在⎣⎡⎦⎤14，12上为增函数， g (x )≤g ⎝⎛⎭⎫12＝1－22，且g (x )≥g ⎝⎛⎭⎫14＝0.要使不等式f (x )≥m ·g (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤14，12上恒成立，当x ＝14时，m 为任意实数；当x ∈⎝⎛⎦⎤14，12时，m ≤f (x )g (x ). 而⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12g ⎝⎛⎭⎫12＝2＋24ln(4e)，所以m ≤2＋24ln(4e)．实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2＋24ln 4e 第Ⅱ组：重点选做题解：(1)由题知，f ′(x )＝a x－2bx ，则f ′(2)＝a 2－4b ，f (2)＝a ln 2－4b ，所以a 2－4b ＝－3，且a ln 2－4b ＝－6＋2ln 2＋2.解得a ＝2，b ＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2ln x －x 2.令h (x )＝f (x )＋m ＝2ln x －x 2＋m ，则h ′(x )＝2x －2x ＝2(1－x 2)x. 令h ′(x )＝0，得x ＝1(x ＝－1舍去)．在⎣⎡⎦⎤1e ，e 内，当x ∈⎣⎡⎭⎫1e ，1时，h ′(x )>0，所以h (x )是增函数；当x ∈(1，e]时，h ′(x )<0，所以h (x )是减函数．则方程h (x )＝0在⎣⎡⎦⎤1e ，e 内有两个不等实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ h ⎝⎛⎭⎫1e ≤0，h (1)>0，h (e )≤0，解得1<m ≤1e 2＋2. 所以实数m 的取值范围是(1，1e 2＋2]． (3)证明：由题知g (x )＝2ln x －x 2－nx ，g ′(x )＝2x－2x －n . 假设g ′(x 0)＝0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2ln x 1－x 21－nx 1＝0， ①2ln x 2－x 22－nx 2＝0， ②x 1＋x 2＝2x 0， ③2x 0－2x 0－n ＝0， ④①－②得2ln x 1x 2－(x 21－x 22)－n (x 1－x 2)＝0，所以n ＝2ln x 1x 2x 1－x 2－2x 0. 由④得n ＝2x 0－2x 0，所以ln x 1x 2x 1－x 2＝1x 0，即lnx 1x 2x 1－x 2＝2x 1＋x 2，即ln x 1x 2＝2x 1x 2－2x 1x 2＋1. ⑤令t ＝x 1x 2，u (t )＝ln t －2t －2t ＋1(0<t <1)．则u ′(t )＝(t －1)2t (t ＋1)2>0，所以u (t )在0<t <1上是增函数．u (t )<u (1)＝0，所以⑤式不成立，与假设矛盾．故g ′(x 0)≠0.。

《三维设计》高三数学湘教(文)一轮复习配套课件2112导数与函数极值、最值

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第十一节第二课时导数与函数极值、最值
结束
[典例] (2012·重庆高考)已知函数 f(x)＝ax3＋bx＋c 在点 x＝2 处取得极值 c－16.
(1)求 a，b 的值；
(2)若 f(x)有极大值 28，求 f(x)在[－3,3]上的最小值．
[解] (1)因为 f(x)＝ax3＋bx＋c，故 f′(x)＝3ax2＋b. 由于 f(x)在点 x＝2 处取得极值 c－16，故有ff′2＝2＝c－01，6，
解：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.当x＝1
时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，
①
当x＝23时，y＝f(x)有极值，则f′23＝0，可得4a＋3b＋4＝0，②
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第十一节第二课时导数与函数极值、最值
结束
由①②，解得 a＝2，b＝－4.由于切点的横坐标为 1，所以 f(1)＝4. 所以 1＋a＋b＋c＝4.所以 c＝5. (2)由(1)，可得 f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4.令 f′(x)＝0，解之，得 x1＝－2，x2＝23. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：
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第十一节第二课时导数与函数极值、最值
结束
x
－3 (－3，－2) －2 －2，23
2 3
23，1
1
f′(x) ＋
＋
0
－
0＋＋
f(x) 8
13
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4

三维设计江苏专用高三数学一轮总复习第三章导数及其应用第二节导数的应用第三课时导数与函数的综合问题课时

三维设计江苏专用高三数学一轮总复习第三章导数及其应用第二节导数的应用第三课时导数与函数的综合问题课时跟踪检测理一保高考，全练题型做到高考达标1．定义在实数集上的函数f (x )＝x 2＋x ，g (x )＝13x 3－2x ＋m .(1)求函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程；(2)若f (x )≥g (x )对任意的x ∈[－4,4]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝x 2＋x ，∴当x ＝1时，f (1)＝2， ∵f ′(x )＝2x ＋1，∴f ′(1)＝3，∴所求切线方程为y －2＝3(x －1)，即3x －y －1＝0. (2)令h (x )＝g (x )－f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋m ，则h ′(x )＝(x －3)(x ＋1)． ∴当－4＜x ＜－1时，h ′(x )＞0；当－1＜x ＜3时，h ′(x )＜0；当3＜x ＜4时，h ′(x )＞0.要使f (x )≥g (x )恒成立，即h (x )max ≤0，由上知h (x )的最大值在x ＝－1或x ＝4处取得，而h (－1)＝m ＋53，h (4)＝m －203，所以m ＋53≤0，即m ≤－53，∴实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－53.2．已知函数f (x )＝ax －aex(a ＜0)．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的极值；(2)若函数F (x )＝f (x )＋1没有零点，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋1e x，f ′(x )＝x －2e x .由f ′(x )＝0，得x ＝2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，2)2 (2，＋∞)f ′(x )－＋f (x ) 极小值所以，函数f (x )的极小值为f (2)＝－1e 2，函数f (x )无极大值．(2)F ′(x )＝f ′(x )＝a e x －ax －a e x e2x＝－a x －2ex.当a ＜0时，F ′(x )，F (x )的变化情况如下表：x (－∞，2)2 (2，＋∞)F ′(x ) －0 ＋F (x )极小值若使函数F (x )没有零点，当且仅当F (2)＝ae 2＋1＞0，解得a ＞－e 2，所以此时－e 2＜a＜0.故实数a 的取值范围为(－e 2,0)．3．某商场的销售部经过市场调查发现，该商场的某种商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使该商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：(1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，解得a ＝2.(2)由(1)，可知y ＝2x －3＋10(x －6)2. 设该商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )元，则f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10x －62＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6，所以f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)．令f ′(x )＝0，得x ＝4或6(舍去)．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (3,4) 4 (4,6) f ′(x ) ＋0 －f (x )极大值故当销售价格为4元/千克时，该商场每日销售该商品所获得的利润最大．4．(2016·扬州调研)已知函数f (x )＝x 33－ax 2＋(a 2－1)x 和g (x )＝x ＋a 2x.(1)求证：不论实数a 取何值，f (x )总有两个极值点； (2)若f (x )和g (x )有相同的极值点，求实数a 的值．解：(1)证明：由题意，知f ′(x )＝x 2－2ax ＋a 2－1＝[x －(a ＋1)]·[x －(a －1)]，令f ′(x )＝0，解得x ＝a ＋1或x ＝a －1，当x <a －1或x >a ＋1时，f ′(x )>0，当a －1<x <a ＋1时，f ′(x )<0，所以x ＝a －1为f (x )的极大值点，x ＝a ＋1为f (x )的极小值点．所以不论实数a 取何值，f (x )总有两个极值点．(2)由题意，知g ′(x )＝1－a 2x 2＝x －a x ＋ax2. 令g ′(x )＝0，得x ＝a 或x ＝－a .因为f (x )和g (x )有相同的极值点，且a 和a ＋1，a －1不可能相等，所以当－a ＝a ＋1时，a ＝－12；当－a ＝a －1时，a ＝12.经检验，当a ＝－12或12时，f (x )和g (x )有相同的极值点．所以a ＝－12或a ＝12.二上台阶，自主选做志在冲刺名校设函数f (x )＝e x－ax －1.(1)若函数f (x )在R 上单调递增，求a 的取值范围；(2)当a ＞0时，设函数f (x )的最小值为g (a )，求证：g (a )≤0； (3)求证：对任意的正整数n ，都有1n ＋1＋2n ＋1＋3n ＋1＋…＋nn ＋1＜(n ＋1)n ＋1.解：(1)由题意知f ′(x )＝e x－a ≥0对x ∈R 恒成立，且e x＞0，故a 的取值范围为(－∞，0]．(2)证明：由a ＞0，及f ′(x )＝e x－a 可得，函数f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故函数f (x )的最小值为g (a )＝f (ln a )＝e ln a－a ln a －1＝a －a ln a －1，则g ′(a )＝－ln a ，故当a ∈(0,1)时，g ′(a )＞0，当a ∈(1，＋∞)时，g ′(a )＜0，从而可知g (a )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且g (1)＝0，故g (a )≤0.(3)证明：由(2)可知，当a ＝1时，总有f (x )＝e x－x －1≥0，当且仅当x ＝0时等号成立．即当x ＞0时，总有e x＞x ＋1.于是，可得(x ＋1)n ＋1＜(e x )n ＋1＝e(n ＋1)x.令x ＋1＝1n ＋1，即x ＝－n n ＋1可得⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1＜e －n ；令x ＋1＝2n ＋1，即x ＝－n －1n ＋1可得⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1n ＋1＜e －(n －1)；令x ＋1＝3n ＋1，即x ＝n －2n ＋1可得⎝ ⎛⎭⎪⎫3n ＋1n ＋1＜e －(n －2)； …… 令x ＋1＝nn ＋1，即x ＝－1n ＋1可得⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ＋1＜e －1.对以上各式求和可得：⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3n ＋1n ＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ＋1＜e －n ＋e －(n －1)＋e－(n －2)＋…＋e －1＝e－n1－e n1－e ＝e －n －11－e ＝1－e －ne －1＜1e －1＜1. 故对任意的正整数n ，都有1n ＋1＋2n ＋1＋3n ＋1＋…＋nn ＋1＜(n ＋1)n ＋。

三维设计江苏专用高三数学一轮总复习第三章导数及其应用第二节导数的应用第二课时导数与函数的极值最值课件

由不故题妨f设设(x可这)＝得两x－方个2x程根－为a3xln2x－1x，，3xx则＋2，2f并′＝令(0x有)h＝(两x)x个＝－不a1xx等22－x－的3x2正＋.实2，根，则由当xxΔffx11＝′ ′x＋变2x＝9((xx－ x化2))2a＝＝＞8时a3a0＞ 0＞，得3200f′，，x＝(x)1，或32或f(，－xx)＝2Δ－h的＝20－变2.9＞a3化－＞0情80a，况＞20如0，下表：，(解2＋,3得) 0＜a3＜98.
由f′①(－
由f于 (x)切点的8 横坐标为 1，所以13 f(1)＝4.
0＋
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所所以以y＝1＋f(xa)＋在b[－＋3c＝,1]4上，的得最c大＝值5. 为 13，最小值为9257.
第二课时导数与函数的极值、最值
考点一运用导数解决函数的极值问题常考常新型考点——多角探明
[命题分析] 函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有填空题，也有解答题，难度适中，为中高档题．常见的命题角度有： (1)已知函数求极值； (2)已知极值求参数； (3)由图判断极值．
[题点全练] 角度一：已知函数求极值 1．已知函数 f(x)＝x－aln x(a∈R)．
角度三：由图判断极值 4．已知函数 f(x)的定义域为 R，导函数 f′(x)的图象如图
所示，则函数 f(x)有________个极大值点，________个极小值点．
解析：由导数与函数极值的关系，知当 f′(x0)＝0 时，若在 x0 的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，则 f(x)在 x＝x0 处取得极大值；若在 x0 的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0，则 f(x) 在 x＝x0 处取得极小值．设函数 f′(x)的图象与 x 轴的交点从左到右的横坐标依次为 x1，x2，x3，x4，则 f(x)在 x＝x1， x＝x3 处取得极大值，在 x＝x2，x＝x4 处取得极小值．答案：2 2

三维设计江苏专用高三数学一轮总复习第三章导数及其应用第二节导数的应用第一课时导数与函数的单调性课时跟

三维设计江苏专用高三数学一轮总复习第三章导数及其应用第二节导数的应用第一课时导数与函数的单调性课时跟踪检测理一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2015·镇江模拟)函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是________．解析：函数f (x )＝(x －3)e x的导数为f ′(x )＝[(x －3)e x]′＝e x＋(x －3)e x＝(x －2)e x.由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )＞0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x ＞0，解得x ＞2.答案：(2，＋∞)2．设函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]上是单调函数，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意，知当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5的值恒不小于0或恒不大于0. 若当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5≥0，即有－2a ≤x ＋5x在[1,3]上恒成立，而x ＋5x≥2x ·5x＝25(当且仅当x ＝5时取等号)，故－2a ≤25，解得a ≥－ 5. 若当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5≤0，即有－2a ≥x ＋5x恒成立，注意到函数g (x )＝x ＋5x 在[1，5]上是减函数，在[5，3]上是增函数，且g (1)＝6>g (3)＝143，因此－2a ≥6，解得a ≤－3.综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[－5，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[－5，＋∞)3．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上的单调情况是________．解析：在(0,2π)上有f ′(x )＝1－cos x ＞0，所以f (x )在(0,2π)上单调递增．答案：单调递增4．(2016·启东模拟)已知a ≥1，f (x )＝x 3＋3|x －a |，若函数f (x )在[－1,1]上的最大值和最小值分别记为M ，m ，则M －m 的值为________．解析：当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 3＋3(a －x )＝x 3－3x ＋3a (a ≥1)，∴f ′(x )＝3(x －1)(x ＋1)．当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以原函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，所以M ＝f (－1)＝3a ＋2，m ＝f (1)＝3a －2，所以M －m ＝4.答案：45．(2016·苏州测试)已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，∵⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋1x max ＝83， ∴2a ≥83，即a ≥43.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 二保高考，全练题型做到高考达标1．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．解析：由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6得f ′(x )＝3x 2－30x －33，令f ′(x )＜0，即3(x －11)(x ＋1)＜0，解得－1＜x ＜11，所以函数f (x )的单调减区间为(－1,11)．答案：(－1,11)2．若幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，12，则函数g (x )＝e xf (x )的单调递减区间为________．解析：设幂函数f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12，所以12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e xx ＝e x(x 2＋2x )＜0，得－2＜x ＜0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)．答案：(－2,0)3．(2016·南通、扬州、淮安、连云港调研)设f (x )＝4x 3＋mx 2＋(m －3)x ＋n (m ，n ∈R)是R 上的单调增函数，则实数m 的值为________．解析：因为f ′(x )＝12x 2＋2mx ＋m －3，又函数f (x )是R 上的单调增函数，所以12x2＋2mx ＋m －3≥0在R 上恒成立，所以(2m )2－4×12(m －3)≤0，整理得m 2－12m ＋36≤0，即(m －6)2≤0.又因为(m －6)2≥0，所以(m －6)2＝0，所以m ＝6.答案：64．已知函数f (x )＝x ＋1ax在(－∞，－1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )＝x ＋1ax 的导数为f ′(x )＝1－1ax2，由于f (x )在(－∞，－1)上单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，－1)上恒成立，即1a≤x 2在(－∞，－1)上恒成立．由于当x ＜－1时，x 2＞1，则有1a≤1，解得a ≥1或a ＜0.答案：(－∞，0)∪[1，＋∞)5．(2015·南通、扬州、泰州、淮安三调)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋m ，0≤x ≤1，mx ＋5，x >1.若函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为________．解析：由f (x )＝2x 3＋3x 2＋m ，得f ′(x )＝6x 2＋6x ，所以f (x )在[0,1]上单调递增，即f (x )＝2x 3＋3x 2＋m 与x 轴至多有一个交点，要使函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋5>0，m <0，从而可得m ∈(－5,0)．答案：(－5,0)6．若函数f (x )＝ax 3－3x 在(－1,1)上为单调递减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3ax 2－3，∵f (x )在(－1,1)上为单调递减函数，∴f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立，即3ax 2－3≤0在(－1,1)上恒成立．当x ＝0时，a ∈R ；当x ≠0时，a ≤1x2，∵x∈(－1,0)∪(0,1)，∴a ≤1.综上，实数a 的取值范围为(－∞，1]．答案：(－∞，1]7．(2016·盐城中学模拟)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．解析：设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12，∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减，∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)8．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．解析：对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，解得a ＞－19.所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞9．(2016·镇江五校联考)已知函数f (x )＝ln x ＋k e x(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间．解：(1)由题意得f ′(x )＝1x－ln x －k e x，又f ′(1)＝1－ke ＝0，故k ＝1.(2)由(1)知，f ′(x )＝1x－ln x －1ex. 设h (x )＝1x －ln x －1(x ＞0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x＜0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0＜x ＜1时，h (x )＞0，从而f ′(x )＞0；当x ＞1时，h (x )＜0，从而f ′(x )＜0. 综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．10．(2016·徐州调研)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式； (2)若φ(x )＝m x －1x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．解：(1)由已知得f ′(x )＝1x ，∴f ′(1)＝1＝12a ，a ＝2.又∵g (1)＝0＝12a ＋b ，∴b ＝－1，∴g (x )＝x －1.(2)∵φ(x )＝m x －1x ＋1－f (x )＝m x －1x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数．∴φ′(x )＝－x 2＋2m －2x －1x x ＋12≤0在[1，＋∞)上恒成立．即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，则2m －2≤x ＋1x，x ∈[1，＋∞)，∵x ＋1x∈[2，＋∞)，∴2m －2≤2，m ≤2.故实数m 的取值范围是(－∞，2]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x，若f (x )在[－1,1]上是单调减函数，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x，由题意知当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0恒成立，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0恒成立．令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧g －1≤0，g1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2－2a ·－1－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 2．(2016·泰州模拟)若函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[0,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ≤0时，f (x )＝x 3－ax 2，f ′(x )＝3x 2－2ax ≥0在[0，＋∞)上恒成立，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增，则也在[0,2]上单调递增，成立；当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x 3，0≤x ≤a ，x 3－ax 2，x >a .①当0≤x ≤a 时，f ′(x )＝2ax －3x 2，令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝23a ，则f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 上单调递减； ②当x >a 时，f ′(x )＝3x 2－2ax ＝x (3x －2a )>0，所以f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，所以当a >0时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．要使函数在区间[0,2]上单调递增，则必有23a ≥2，解得a ≥3.综上，实数a 的取值范围是(－∞，0]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)3．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′x ＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a 1－xx.当a ＞0时，f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)；当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x.∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′t ＜0，g ′3＞0.当g ′(t )＜0，即3t 2＋(m ＋4)t －2＜0 对任意t ∈[1,2]恒成立，由于g ′(0)＜0，故只要g ′(1)＜0且g ′(2)＜0，即m ＜－5且m ＜－9，即m ＜－9；由g ′(3)＞0，即m ＞－373.所以－373＜m ＜－9.即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.。

《三维设计》高考数学(苏教,理科)大一轮配套课时跟踪检测2 命题及其关系、充分条件与必要条件

课时跟踪检测(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件第Ⅰ组：全员必做题1．设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的____________条件．2．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是________________________．3．(2013·南通二模)命题“若实数a 满足a ≤2，则a 2<4”的否命题是________命题(填“真”或“假”)．4．“a >0”是“a 2＋a ≥0”的____________条件．5．设向量a ＝(2，x －1)，b ＝(x ＋1,4)，则“x ＝3”是“a ∥b ”的____________条件．6．下列命题中为真命题的是________．(填写序号)①命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题②命题“x >1，则x 2>1”的否命题③命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题④命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题7．已知条件p ：x ≤1，条件q ：1x<1，则綈p 是q 的__________条件(填“必要不充分”“充分不必要”“充要”或“既不充分也不必要”)．8．(2013·南通一模)若“x 2－2x －3>0”是“x <a ”的必要不充分条件，则实数a 的最大值为________．9．在命题p 的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f (p )，已知命题p ：“若两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，则a 1b 2－a 2b 1＝0”．那么f (p )＝________.10．(2014·南京模拟)有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．11．下列命题：①若ac 2>bc 2，则a >b ；②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件；④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数．其中正确命题的序号是________．12．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________．第Ⅱ组：重点选做题1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．2．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若命题“A ∩B ＝∅”是假命题，求实数m 的取值范围．答案第Ⅰ组：全员必做题1．解析：M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，所以N M ，故a ∈M 是a ∈N 的必要不充分条件．答案：必要不充分2．解析：否命题既否定题设又否定结论．答案：若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数3．解析：原命题的否命题是“若实数a 满足a >2，则a 2≥4”，这是真命题．答案：真4．解析：a >0⇒a 2＋a ≥0；反之a 2＋a ≥0⇒a ≥0或a ≤－1，不能推出a >0.答案：充分不必要5．解析：当a ∥b 时，有2×4＝(x －1)(x ＋1)，解得x ＝±3，所以x ＝3⇒a ∥b ，但a ∥b ⇒/ x ＝3，故“x ＝3”是“a ∥b ”的充分不必要条件．答案：充分不必要6．解析：对于①，其逆命题是：若x >|y |，则x >y ，是真命题，这是因为x >|y |≥y ，必有x >y ；对于②，否命题是：若x ≤1，则x 2≤1，是假命题．如x ＝－5，x 2＝25>1；对于③，其否命题是：若x ≠1，则x 2＋x －2≠0，由于x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于④，若x 2>0，则x >0或x <0，不一定有x >1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题．答案：①7．解析：由x >1得1x <1；反过来，由1x<1不能得知x >1，即綈p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要8．解析：由x 2－2x －3>0得x >3或x <－1，从而a ≤－1，即实数a 的最大值为－1. 答案：－19．解析：原命题p 显然是真命题，故其逆否命题也是真命题．而其逆命题是：若a 1b 2－a 2b 1＝0，则两条直线l 1与l 2平行，这是假命题，因为当a 1b 2－a 2b 1＝0时，还有可能l 1与l 2重合，逆命题是假命题，从而否命题也为假命题，故f (p )＝2.答案：210．解析：①原命题的否命题为“若a ≤b 则a 2≤b 2”错误．②原命题的逆命题为：“x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确．③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”正确．答案：②③11．解析：对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，∴a >b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°⇒/ 30°＝150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2≠A 2C 1，所以③正确；④显然正确．答案：①③④12．解析：α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }，∵β：|x －1|<1，∴0<x <2，∴β可看作集合B ＝{x |0<x <2}．又∵α是β的必要不充分条件，∴B A ，∴a ≤0.答案：(－∞，0]第Ⅱ组：重点选做题1．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 2．解：因为“A ∩B ＝∅”是假命题，所以A ∩B ≠∅.设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ≤－1或m ≥32. 假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有 ⎩⎨⎧ m ∈U ，x 1＋x 2≥0x 1x 2≥0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0⇒m ≥32. 又集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ≥32关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}，所以实数m 的取值范围是{m |m ≤－1}．。

【2022 高考数学一轮复习(三维设计)】课时过关检测(十六) 导数与函数的极值、最值

课时过关检测（十六）导数与函数的极值、最值A 级——基础达标1．已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a 等于( ) A ．－4 B ．－2 C ．4D ．2解析：选D 由题意得f ′(x )＝3x 2－12，由f ′(x )＝0得x ＝±2，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增，当x ∈(－2,2)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增，所以a ＝2.2．函数y ＝xe x 在[0,2]上的最大值是( )A ．1eB ．2e 2C ．0D ．12e解析：选A 易知y ′＝1－xe x ，x ∈[0,2]，令y ′＞0，得0≤x ＜1，令y ′＜0，得1＜x ≤2，所以函数y ＝x e x 在[0,1]上单调递增，在(1,2]上单调递减，所以y ＝xex 在[0,2]上的最大值是y |x＝1＝1e，故选A ． 3．某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元，销售额函数是f (x )＝－18x 3＋916ax 2＋12x ，x 是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，a 是常数，若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年种植莲藕( )A ．8万斤B ．6万斤C ．3万斤D ．5万斤解析：选B 设销售利润为g (x )，得g (x )＝－18x 3＋916ax 2＋12x －1－12x ＝－18x 3＋916ax 2－1，当x ＝2时，g (2)＝－18×23＋916a ×22－1＝2.5，解得a ＝2.所以g (x )＝－18x 3＋98x 2－1，g ′(x )＝－38x 2＋94x ＝－38x (x －6)，所以函数g (x )在(0,6)上单调递增，在(6,8)上单调递减．所以当x ＝6时，函数g (x )取得极大值即最大值．4.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的大致图象如图所示，则x 21＋x 22等于( )A ．23B ．43C ．83D ．163解析：选C 由图象可知f (x )的图象过点(1,0)与(2,0)，x 1，x 2是函数f (x )的极值点，因此1＋b ＋c ＝0,8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－3，c ＝2，所以f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，所以f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，则x 1，x 2是方程f ′(x )＝3x 2－6x ＋2＝0的两个不同的实数根，因此x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝23，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－43＝83. 5．(多选)函数y ＝f (x )导函数的图象如图所示，则下列选项正确的有( )A ．(－1,3)为函数y ＝f (x )的递增区间B ．(3,5)为函数y ＝f (x )的递减区间C ．函数y ＝f (x )在x ＝0处取得极大值D ．函数y ＝f (x )在x ＝5处取得极小值解析：选ABD 由函数y ＝f (x )导函数的图象可知，f (x )的单调递减区间是(－∞，－1)，(3,5)，单调递增区间为(－1,3)，(5，＋∞)，所以f (x )在x ＝－1,5取得极小值，在x ＝3取得极大值，C 错误．故选A 、B 、D.6．(多选)若函数f (x )＝2x 3－ax 2(a <0)在⎝⎛⎭⎫a 2，a ＋63上有最大值，则a 的取值可能为( )A ．－6B ．－5C ．－4D ．－3解析：选ABC 令f ′(x )＝2x (3x －a )＝0，得x 1＝0，x 2＝a 3(a <0)，当a3<x <0时，f ′(x )<0；当x <a3或x >0时，f ′(x )>0，则f (x )的增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3，(0，＋∞)，减区间为⎝⎛⎭⎫a3，0，从而f (x )在x ＝a 3处取得极大值f ⎝⎛⎭⎫a 3＝－a 327，由f (x )＝－a 327，得⎝⎛⎭⎫x －a 32⎝⎛⎭⎫2x ＋a 3＝0，解得x ＝a 3或x ＝－a6，又f (x )在⎝⎛⎭⎫a 2，a ＋63上有最大值，所以a 3<a ＋63≤－a 6，即a ≤－4，故选A 、B 、C ．7．函数f (x )＝12x 2＋x －2ln x 的最小值为．解析：因为f ′(x )＝x ＋1－2x ＝(x ＋2)(x －1)x (x ＞0)，所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (1)＝12＋1＝32.答案：328．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为．解析：若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1＝0有两个不等实根，故Δ＝(－4c )2－12＞0，解得c ＞32或c ＜－32. 所以实数c 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 9．函数f (x )＝(x 2－x －1)e x (其e ＝2.718…是自然对数的底数)的极值点是；极大值为．解析：由已知得f ′(x )＝(x 2－x －1＋2x －1)e x ＝(x 2＋x －2)e x ＝(x ＋2)(x －1)e x ，因为e x ＞0，令f ′(x )＝0，可得x ＝－2或x ＝1，当x ＜－2时，f ′(x )＞0，即函数f (x )在(－∞，－2)上单调递增；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0，即函数f (x )在区间(－2,1)上单调递减；当x ＞1时，f ′(x )＞0，即函数f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．故f (x )的极值点为－2或1，且极大值为f (－2)＝5e 2.答案：1或－25e 210．已知函数f (x )＝13x 3＋mx 2＋nx ＋2，其导函数f ′(x )为偶函数，f (1)＝－23，则函数g (x )＝f ′(x )e x 在区间[0,2]上的最小值为．解析：由题意可得f ′(x )＝x 2＋2mx ＋n ， ∵f ′(x )为偶函数，∴m ＝0，故 f (x )＝13x 3＋nx ＋2，∵f (1)＝13＋n ＋2＝－23，∴n ＝－3.∴f (x )＝13x 3－3x ＋2，则f ′(x )＝x 2－3.故g (x )＝e x (x 2－3)，则g ′(x )＝e x (x 2－3＋2x )＝e x (x －1)·(x ＋3)，据此可知函数g (x )在区间[0,1)上单调递减，在区间(1,2]上单调递增，故函数g (x )的极小值，即最小值为g (1)＝e 1·(12－3)＝－2e.答案：－2e11．设函数f (x )＝x 2＋1－ln x . (1)求f (x )的单调区间；(2)求函数g (x )＝f (x )－x 在区间⎣⎡⎦⎤12，2上的最小值．解：(1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －1x ，由f ′(x )＞0，得x ＞22，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜22. ∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，22，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫22，＋∞. (2)由题意知g (x )＝x 2＋1－ln x －x ，g ′(x )＝2x －1x －1＝(2x ＋1)(x －1)x ，由g ′(x )＞0，得x ＞1，由g ′(x )≤0，得0＜x ≤1，∴g (x )在⎣⎡⎭⎫12，1上单调递减，在(1,2]上单调递增， ∴在⎣⎡⎦⎤12，2上，g (x )的最小值为g (1)＝1.12.(2021·全国统一考试模拟演练)已知函数f (x )＝e x －sin x －cos x ，g (x )＝e x ＋sin x ＋cos x .(1)证明：当x ＞－5π4时，f (x )≥0； (2)若g (x )≥2＋ax ，求a .解：(1)证明：∵f (x )＝e x －sin x －cos x ＝e x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， ∴f ′(x )＝e x －2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4(x ∈R )．画出y ＝e x 和y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象，由图可知，当x ＞－5π4时，存在－π2＜x 1＜－π4，使得f ′(x 1)＝f ′(0)＝0，∴当x ∈⎝⎛⎭⎫－54π，x 1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(x 1,0)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；又∵f ⎝⎛⎭⎫－54π＝e －54π＞0，f (0)＝0， ∴当x ＞－5π4时，f (x )min ＝f (0)＝0. ∴当x ＞－5π4时，f (x )≥0. (2)∵g (x )≥2＋ax ， ∴e x ＋sin x ＋cos x ≥2＋ax ，即e x ＋sin x ＋cos x －2－ax ≥0.不妨设F (x )＝e x ＋sin x ＋cos x －2－ax (x ∈R )，则F (x )≥0. 求导可得F ′(x )＝e x ＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－a (x ∈R )． ∵F (x )≥0，且F (0)＝0，∴当x ＝0时，F (x )取最小值，F ′(x )取极小值． ∴F ′(0)＝0，且当x ＞0时，F ′(x )＞0，当x ＜0时，F ′(x )＜0， ∴e 0＋2cos π4－a ＝0，解得a ＝2.B 级——综合应用13．(多选)设函数f (x )＝x ＋e |x |e |x |，则下列选项正确的是( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )的图象关于点(0,1)对称C ．f (x )的最大值为1e ＋1D ．f (x )的最小值为－1e ＋1解析：选BCD f (x )＝x e |x |＋1，不满足f (－x )＝－f (x )，故A 项错误；令g (x )＝xe|x |，则g (－x )＝－x e |－x |＝－xe |x |＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，则f (x )关于点(0,1)对称，B 项正确；设f (x )＝x e |x |＋1的最大值为M ，则g (x )的最大值为M －1，设f (x )＝xe |x |＋1的最小值为N ，则g (x )的最小值为N －1，当x ＞0时，g (x )＝xe x ，所以g ′(x )＝1－x e x ，当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0，当x ＞1时，g ′(x )＜0，所以当0＜x ＜1时，g (x )单调递增，当x ＞1时，g (x )单调递减，所以g (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为g (1)＝1e ，由于g (x )为奇函数，所以g (x )在x ＝－1处取得最小值，最小值为g (－1)＝－1e ，所以f (x )的最大值为M ＝1e ＋1，最小值为N ＝－1e ＋1，故C 、D 项正确．故选B 、C 、D.14．若函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围为．解析：f ′(x )＝3ax 2－3，当a ≤0时，对于x ∈[－1,1]总有f ′(x )＜0，则f (x )在[－1,1]上为减函数， f (x )min ＝f (1)＝a －2＜0，不合题意；当0＜a ≤1时，f ′(x )＝3ax 2－3＝3a ⎝⎛⎭⎫x ＋1a ⎝⎛⎭⎫x －1a ， f (x )在[－1,1]上为减函数， f (x )min ＝f (1)＝a －2＜0，不合题意；当a ＞1时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－1，－1a 和⎝⎛⎭⎫1a ，1上为增函数，在⎝⎛⎭⎫－1a ，1a 上为减函数，所以有f (－1)＝－a ＋4≥0，且f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－2a＋1≥0，解得a ＝4.综上所述，a ＝4. 答案：{4}15．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋ce x (a >0)的导函数f ′(x )的两个零点为－3和0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值．解：(1)f ′(x )＝(2ax ＋b )e x －(ax 2＋bx ＋c )e x(e x )2＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c e x.令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ，因为e x >0，所以f ′(x )的零点就是g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c 的零点，且f ′(x )与g (x )符号相同．又因为a >0，所以当－3<x <0时，g (x )>0，即f ′(x )>0，当x <－3或x >0时，g (x )<0，即f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)． (2)由(1)知，x ＝－3是f (x )的极小值点，所以有⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)＝9a －3b ＋ce －3＝－e 3，g (0)＝b －c ＝0，g (－3)＝－9a －3(2a －b )＋b －c ＝0，解得a ＝1，b ＝5，c ＝5，所以f (x )＝x 2＋5x ＋5e x .由(1)可知当x ＝0时f (x )取得极大值f (0)＝5，故f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大者．而f (－5)＝5e－5＝5e 5>5＝f (0)，所以函数f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e 5.C 级——迁移创新16．若函数f (x )与g (x )满足：存在实数t ，使得f (t )＝g ′(t )，则称函数g (x )为f (x )的“友导”函数．已知函数g (x )＝－13x 3－3x ＋1为函数f (x )＝2x ln x －ax 的“友导”函数，求a 的取值范围．解：由题意，得g ′(x )＝－x 2－3.又由题意知g (x )＝－13x 3－3x ＋1为函数f (x )＝2x ln x－ax 的“友导”函数，所以方程2x ln x －ax ＝－x 2－3有解，即a ＝x ＋2ln x ＋3x 有解．令h (x )＝x ＋2ln x ＋3x ，则h ′(x )＝1＋2x －3x 2＝(x ＋3)(x －1)x 2，当0＜x ＜1时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减；当x＞1时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增，所以h (x )≥h (1)＝4，所以由方程a ＝x ＋2ln x ＋3x 有解，可得a ≥4.故a 的取值范围为[4，＋∞)．。

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课时跟踪检测(十五) 导数与函数极值、最值(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页) 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．当函数y ＝x ·2x 取极小值时，x ＝________.2．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图像不可能为y ＝f (x )图像的是________．(填写序号)3．(2013·南通三模)定义在[1，＋∞)上的函数f (x )满足：①f (2x )＝cf (x )(c 为正常数)；②当2≤x ≤4时，f (x )＝1－|x －3|.若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则c ＝________.4．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________．5．(2013·盐城三调)设a >0，函数f (x )＝x ＋a 2x ，g (x )＝x －ln x ，若对任意的x 1，x 2∈[1，e]，都有f (x 1)≥g (x 2)成立，则实数a 的取值范围为________．6．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是________．7．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图像在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )极大值与极小值之差为________．8．已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a 0； ②f (0)f (1)<0； ③f (0)f (3)>0；④f (0)f (3)<0.其中正确结论的序号是________．9．(2013·江苏高考节选)设函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝e x －ax ，其中a 为实数．若f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，且g (x )在(1，＋∞)上有最小值，求a 的取值范围．10．已知函数f (x )＝x 2－1与函数g (x )＝a ln x (a ≠0)．(1)若f (x )，g (x )的图像在点(1,0)处有公共的切线，求实数a 的值； (2)设F (x )＝f (x )－2g (x )，求函数F (x )的极值．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2014·常州调研)已知函数f (x )＝ax －ln x ，g (x )＝ln xx ，它们的定义域都是(0，e]，其中e 是自然对数的底e ≈2.7，a ∈R .(1)当a ＝1时，求函数f (x )的最小值；(2)当a ＝1时，求证：f (m )>g (n )＋1727对一切m ，n ∈(0，e]恒成立；(3)是否存在实数a ，使得f (x )的最小值是3？如果存在，求出a 的值；如果不存在，说明理由．2．(2014·苏州期末)设函数f (x )＝ln x －kx －aax －ln a (x >0，a >0且为常数)．(1)当k ＝1时，判断函数f (x )的单调性，并加以证明； (2)当k ＝0时，求证：f (x )>0对一切x >0恒成立；(3)若k <0，且k 为常数，求证：f (x )的极小值是一个与a 无关的常数．3．(2014·泰州质检)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )2，a ，b 是常数． (1)若a ≠b ，求证：函数f (x )存在极大值和极小值；(2)设(1)中f (x )取得极大值、极小值时自变量的值分别为x 1，x 2，设点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))．如果直线AB 的斜率为－12，求函数f (x )和f ′(x )的公共递减区间的长度；(3)若f (x )≥mxf ′(x )对于一切x ∈R 恒成立，求实数m ，a ，b 满足的条件．答案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．解析：y ′＝2x ＋x ·2x ln 2＝0，∴x ＝－1ln 2.答案：－1ln 22．解析：因为[f (x )e x ]′＝f ′(x )e x ＋f (x )(e x )′＝[f (x )＋f ′(x )]e x ，且x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，所以f (－1)＋f ′(－1)＝0；④中，f (－1)>0，f ′(－1)>0，不满足f ′(－1)＋f (－1)＝0.答案：④3．解析：易知当2≤x ≤4时，其极大值点为(3,1)；当1≤x ≤2时，2≤2x ≤4，从而由条件得f (x )＝1c f (2x )＝1c (1－|2x －3|)．因为c >0，故极大值点为⎝⎛⎭⎫32，1c ；当2≤x ≤4时，4≤2x ≤8，从上述步骤得f (2x )＝cf (x )＝c (1－|4x －3|)．因为c >0，故极大值点为(6，c )；上述三点在同一直线上，所以1－1c 3－32＝c －16－3，解得c ＝2或1.答案：1或24．解析：求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由函数f (x )在x ＝2处取得极值知 f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3. 由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4， f ′(x )＝－3x 2＋6x ，易知f (x )在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增， ∴当m ∈[－1,1]时， f (m )min ＝f (0)＝－4.又f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图像开口向下，且对称轴为x ＝1， ∴当n ∈[－1,1]时， f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9.故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13. 答案：－135．解析：问题可转化为f (x )min ≥g (x )max ，当x ∈[1，e]时，g ′(x )＝1－1x≥0，故g (x )单调递增，则g (x )max ＝g (e)＝e －1.又f ′(x )＝1－a 2x 2＝x 2－a2x2，令f ′(x )＝0，得x ＝a ，易知，x ＝a是函数f (x )的极小值，当0<a ≤1时，f (x )min ＝f (1)＝1＋a 2，则1＋a 2≥e －1，所以e －2≤a ≤1；当1<a ≤e 时，f (x )min ＝f (a )＝2a ，则2a ≥e －1，显然成立，所以1<a ≤e ；当a >e 时，f (x )min ＝f (e)＝e ＋a 2e ，则e ＋a 2e≥e －1，显然成立，所以a >e.综上，a ≥e －2.答案：[e －2，＋∞)6．解析：f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋m ＋6＝0有两个不等实根，即Δ＝4m 2－12×(m ＋6)>0.所以m >6或m <－3.答案：(－∞，－3)∪(6，＋∞) 7．解析：∵y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，⎩⎪⎨⎪⎧ 3×22＋6a ×2＋3b ＝03×12＋6a ＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.∴y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2. ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 答案：48.解析：∵f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)，由f ′(x )<0，得1<x <3，由f ′(x )>0，得x <1或x >3，∴f (x )在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数．又a 0，y 极小值＝f (3)＝－abc <0. ∴0<abc <4.∴a ，b ，c 均大于零，或者a <0，b <0，c >0.又x ＝1，x ＝3为函数f (x )的极值点，后一种情况不可能成立，如图．∴f (0)<0.∴f (0)f (1)<0，f (0)f (3)>0.∴正确结论的序号是②③. 答案：②③9．解：令f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x <0，考虑到f (x )的定义域为(0，＋∞)，故a >0，进而解得x >a －1，即f (x )在(a －1，＋∞)上是单调减函数．同理，f (x )在(0，a －1)上是单调增函数．由于f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)⊆(a －1，＋∞)，从而a －1≤1，即a ≥1.令g ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ．当x <ln a 时，g ′(x )<0；当x >ln a 时，g ′(x )>0.又g (x )在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a >1，即a >e.综上，a 的取值范围为(e ，＋∞)． 10．解：(1)因为f (1)＝0，g (1)＝0，所以点(1,0)同时在函数f (x )，g (x )的图像上，因为f (x )＝x 2－1，g (x )＝a ln x ，所以f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝ax，由已知，得f ′(1)＝g ′(1)，所以2＝a1，即a ＝2.(2)因为F (x )＝f (x )－2g (x )＝x 2－1－2a ln x (x >0)，所以F ′(x )＝2x －2a x ＝2(x 2－a )x，当a <0时，因为x >0，且x 2－a >0，所以F ′(x )>0对x >0恒成立，所以F (x )在(0，＋∞)上单调递增，F (x )无极值；当a >0时，令F ′(x )＝0，解得x 1＝a ，x 2＝－a (舍去)，所以当x >0时，F ′(x )，F (x )的变化情况如下表：所以当x ＝a 时，F (x )取得极小值，且F (a )＝(a )－1－2a ln a ＝a －1－a ln a . 综上，当a <0时，函数F (x )在(0，＋∞)上无极值；当a >0时，函数F (x )在x ＝a 处取得极小值a －1－a ln a . 第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x －ln x . 所以f ′(x )＝1－1x .令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以当x ＝1时，f (x )min ＝1. (2)证明：由(1)知，当m ∈(0，e]时，有f (m )≥1.因为0<x ≤e ，所以g ′(x )＝1－ln xx 2≥0，即g (x )在区间(0，e]上为增函数，所以g (x )≤g (e)＝ln e e ＝1e <12.7＝1027，所以g (x )＋1727<1027＋1727＝1，所以当m ，n ∈(0，e]时， g (n )＋1727<1≤f (m )．所以f (m )>g (n )＋1727对一切m ，n ∈(0，e]恒成立．(3)假设存在实数a ，使f (x )的最小值是3，则 f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x.①当a ≤1e 时，因为0<x ≤e ，所以ax ≤1，所以f ′(x )≤0，所以f (x )在(0，e]上为减函数．所以当x ＝e 时，f min (x )＝a e －1＝3，解得a ＝4e (舍去)；②当a >1e时，若0<x <1a 时，f ′(x )<0，f (x )在⎝⎛⎦⎤0，1a 上为减函数；若1a <x ≤e 时，f ′(x )>0，f (x )在⎝⎛⎦⎤1a ，e 上为增函数．所以当x ＝1a 时，f min (x )＝1－ln 1a ＝3，解得a ＝e 2.所以假设成立，存在实数a ＝e 2，使得f (x )的最小值是3. 2．解：(1)当k ＝1时， f (x )＝ln x －1a ·x 12＋ax －12－ln a ，因为f ′(x )＝1x －12a ·x －12－a 2x －32＝－(x －a )22x ax≤0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上是单调减函数． (2)证明：当k ＝0时， f (x )＝ln x ＋ax －12－ln a ，故f ′(x )＝1x －a 2x x ＝2x －a2x x .令f ′(x )＝0，解得x ＝a4.当0<x <a4时，f ′(x )<0，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，a 4上是单调减函数；当x >a4时，f ′(x )>0，f (x )在⎝⎛⎭⎫a 4，＋∞上是单调增函数．所以当x ＝a4时，f ′(x )有极小值，为f ⎝⎛⎭⎫a 4＝2－2ln 2.因为e>2，所以f (x )的极小值，为f ⎝⎛⎭⎫a 4＝2(1－ln 2)＝2ln e 2>0. 所以当k ＝0时，f (x )>0对一切x >0恒成立． (3)证明： f (x )＝ln x －k a ·x 12＋ax －12－ln a ，所以f ′(x )＝－kx ＋2ax －a2x ax .令f ′(x 0)＝0，得kx 0－2ax 0＋a ＝0.所以x 0＝a (1－1－k )k⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＝a (1＋1－k )k 舍去.所以x 0＝a (1＋1－k )2.当0<x <x 0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，x 0)上是单调减函数；当x >x 0时，f ′(x )>0，f (x )在(x 0，＋∞)上是单调增函数．因此，当x ＝x 0时，f (x )有极小值f (x 0)．又f (x 0)＝ln x 0a－kx 0a＋ a x 0，而x 0a ＝1(1＋1－k )2是与a 无关的常数，所以ln x 0a，－k x 0a， ax 0均与a 无关．所以f (x 0)是与a 无关的常数．故f (x )的极小值是一个与a 无关的常数． 3．解：(1)证明：f ′(x )＝(x －b )[3x －(2a ＋b )]，因为a ≠b ，所以b ≠2a ＋b3，所以f ′(x )＝0有两个不等实根b 和2a ＋b3，所以f (x )存在极大值和极小值． (2)①当a ＝b 时，f (x )不存在减区间； ②当a >b 时，由(1)知x 1＝b ，x 2＝2a ＋b3，所以A (b,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 3，－4(a －b )327，所以－4(a －b )3272a ＋b3－b ＝－12，即4(a －b )3＝9(a －b )，所以a －b ＝32或a －b ＝－32(舍去)；③当a b 且a －b ＝32或a <b 且a －b ＝－32.所以f (x )的减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，2a ＋b 3，即(b ，b ＋1)或f (x )的减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 3，b ，即(b －1，b )；f ′(x )的减区间为⎝⎛⎭⎫－∞，b ＋12 或⎝⎛⎭⎫－∞.b －12.所以公共减区间为⎝⎛⎭⎫b ，b ＋12或⎝⎛⎭⎫b －1，b －12，长度均为12. (3)由题意f (x )≥mxf ′(x )，所以(x －a )(x －b )2≥mx (x －b )[3x －(2a ＋b )]，所以(x －b ){(1－3m )x 2＋[m (2a ＋b )－(a ＋b )]x ＋ab }≥0.若m ≠13，则左边是一个一次因式乘一个恒正(或恒负)的二次三项式，或者是三个一次因式的积，无论哪种情况，总有一个一次因式的指数是奇次的，这个因式的零点左右的符号不同，因此不可能恒非负．所以m ＝13，所以(x －b )[(a ＋2b )x －3ab ]≤0.若a ＋2b ＝0，则a ＝－2b ，所以a ＝b ＝0；若a ＋2b ≠0，则x 1＝b ，x 2＝3aba ＋2b ，所以⎩⎨⎧a ＋2b <0，b ＝3aba ＋2b，①若b ＝0，则a <0；②若b ≠0，则3aa ＋2b ＝1，所以a ＝b 且b <0.综上，m ＝13，a ＝b ≤0.。